M etodos Estat sticos de F sica Experimental - USP lei de Newcomb-Benford que trata da ocorr^encia dos primeiros d gitos em numeros. Segundo ela a probabilidade de ocorr^encia de Segundo

PrologoLei de Newcomb-Benford

Bibliografia – Lei de Newcomb-Benford

Departamento de Fısica Experimental

Metodos Estatısticos de Fısica ExperimentalLei de Newcomb-Benford

(Borboleta)

25-26 de fevereiro de 2014

Paulo R. Pascholati

Paulo R. Pascholati Metodos Estatısticos de Fısica Experimental



Borboleta - Sao Paulo




Sumario

1 Prologo

2 Lei de Newcomb-BenfordDistribuicao dos Dıgitos mais Significativos de NumerosExemplos

3 Bibliografia – Lei de Newcomb-Benford




Prologo

A lei de Newcomb-Benford que trata da ocorrencia dos primeirosdıgitos em numeros. Segundo ela a probabilidade de ocorrencia denumeros e tal que todas as mantissas de seus logaritmos saoequiprovaveis.

Borboleta, classificacao cientıfica ou taxinomia (sistema de Karl von Linnee (ou

Carolus Linnaeus)) – Reino: Animalia, Filo: Arthropoda, Classe: Insecta,

Ordem: Lepidoptera,Superfamılia: Hesperioidea, Papilionoidea.




Distribuicao dos Dıgitos mais Significativos de NumerosExemplos

Sumario

1 Prologo







Lei de Newcomb-BenfordSimon Newcomb, American Journal of Mathematics (1881)

It has been observed that the pages of a much used table ofcommon logarithms show evidences of a selective use of thenatural numbers. The pages containing the logarithms of thelow numbers 1 and 2 are apt to be more stained and frayed byuse than those of the higher numbers 8 and 9. Ofcourse, noone could be expected to be greatly interested in the conditionof a table of logarithms, but the matter may be consideredmore worthy of study when we recall that the table is used inthe building up of our scientific, engineering, and generalfactual literature. There may be, in the r Simon Newcomb,Note on the Frequency of Use of the Different Digits inNatural Numbers,elative cleanliness of the pages of alogarithm table, data on how we think and how we react whendealing with things that can be described by means of numbers.





Lei de Newcomb-BenfordSimon Newcomb, American Journal of Mathematics (1881)

The law of probability of the occurrence of numbers issuch that all mantissae of their logarithms areequally probable.

A probabilidade de ocorrencia do numero n como dıgito maissignificativo de um numero e obtido por

P(n) = log

(1 +

1

n

)e a probabilidade de ocorrencia do numero n como o segundodıtigo mais significativo de um numero e obtido por

P(n) =9∑

j=1

log

(1 +

1

jn

)Paulo R. Pascholati Metodos Estatısticos de Fısica Experimental




Lei de Newcomb-BenfordDistribuicao dos Dıgitos mais Significativos de Numeros – Frank Benford, The Law ofAnomalous Numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, Vol. 78, No. 4(1938).

Percentual de vezes que os numeros naturais de 1 a 9 sao usados comoprimeiros dıgitos nos numeros como determinado em 20 229 observacoes.

Dados Dıgito mais Significativo Total

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Area de rios 31,0 16,4 10,7 11,3 7,2 8,6 5,5 4,2 5,1 335Populacao 33,9 20,4 14,2 8,1 7,2 6,2 4,1 3,7 2,2 3259Constantes 41,3 14,4 4,8 8,6 10,6 5,8 1,0 2,9 10,6 104

Jornais 30,0 18,0 12,0 10,0 8,0 6,0 6,0 5,0 5,0 100Calor Esp. 24,0 18,4 16,2 14,6 10,6 4,1 3,2 4,8 4,1 1389

Pressao 29,6 18,3 12,8 9,8 8,3 6,4 5,7 4,4 4,7 703H.P. Lost 30,0 18,4 11,9 10,8 8,1 7,0 5,1 5,1 3,6 690Peso Mol. 26,7 25,2 15,4 10,8 6,7 5,1 4,1 2,8 3,2 1800Drenagem 27,1 23,9 13,8 12,6 8,2 5,0 5,0 2,5 1,9 159Peso At. 47,2 18,7 5,5 4,4 6,6 4,4 3,3 4,4 5,5 91n−1,

√n 25,7 20,3 9,7 6,8 6,6 6,8 7,2 8,0 8,9 5000





Lei de Newcomb-BenfordDistribuicao dos Dıgitos mais Significativos de Numeros – Frank Benford, The Law ofAnomalous Numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, Vol. 78, No. 4(1938).

Title First Digit Counts

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Design 26,8 14,8 14,3 7,5 8,3 8,4 7,0 7,3 5,6 560Digest 33,4 18,5 12,4 7,5 7,1 6,5 5,5 4,9 4,2 308

Cost Data 32,4 18,8 10,1 10,1 9,8 5,5 4,7 5,5 3,1 741X-RayVolts 27,9 17,5 14,4 9,0 8,1 7,4 5,1 5,8 4,8 707Am. League 32,7 17,6 12,6 9,8 7,4 6,4 4,9 5,6 3,0 1458Black Body 31,0 17,3 14,1 8,7 6,6 7,0 5,2 4,7 54 1165Addresses 28,9 19,2 12,6 8,8 8,5 6,4 5,6 5,0 5,0 342

n1, n2 · · · n! 25,3 16,0 12,0 10,0 8,5 8,8 6,8 7,1 5,5 900Death Rate 27,0 18,6 15,7 9,4 6,7 6,5 7,2 4,8 4,1 418

Media 30,6 18,5 12,4 9,4 8,0 6,4 5,1 4,9 4,7 1011

Newcomb 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6





Lei de Newcomb-BenfordDistribuicao dos dois Dıgitos mais Significativos de Numeros – Frank Benford,Proceedings of the American Philosophical Society, Vol. 78, No. 4 (1938).

Percentual de vezes que os numeros naturais de 1 a 9 sao usados como

primeiros e segundos dıgitos nos numeros segundo a lei de Newcomb-Benford.

dıgito primeiro dıgito segundo dıgito0 0 0,121 0,301 0,1142 0,176 0,1083 0,125 0,1044 0,097 0,1005 0,079 0,0976 0,067 0,0937 0,058 0,098 0,051 0,0889 0,046 0,085





Lei de Newcomb-BenfordDistribuicao dos Dıgitos mais Significativos de Numeros - Paulo Pascholati

Percentual de vezes que os numeros naturais de 1 a 9 aparecem como primeiros

dıgitos significativos nos numeros de residencia, de aleatorio, de produto de

dois e tres aleatorios.

digito 1 2 3 4 5 6 7 8 9

casa 27,1 29,2 14,6 4,2 8,3 12,5 4,2 0 0um 11,0 11,2 11,2 10,7 11,1 11,4 11,4 10,8 11,1dois 23,2 18,2 14,4 12,2 9,5 7,8 6,1 5,0 3,5tres 29,4 19,1 13,4 9,9 7,9 6,1 5,4 4,6 4,2

lei 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6





Lei de Newcomb-BenfordDistribuicao dos dois Dıgitos mais Significativos de Numeros - Paulo Pascholati


dıgitos significativos nos numeros de 62 residencias.







dıgitos significativos nos numeros de 82 residencias.







dıgitos significativos nos numeros aleatorios.







dıgitos significativos nos produtos de dois numeros aleatorios.







dıgitos significativos nos produtos de tres numeros aleatorios.




Sumario

1 Prologo







Simon Newcomb, Note on the Frequency of Use of theDifferent Digits in Natural Numbers, American Journal ofMathematics, Vol. 4, No. 1 (1881), pp. 39-40.

Ralph A. Raimi, The First Digit Problem, The AmericanMathematics Monthly, Vol. 83, No. 7 (1976), pp. 521-538.

Frank Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proceedingsof the American Philosophical Society, Vol. 78, No. 4 (1938),551-572.

Theodore P. Hill, Base-Invariance Implies Benfords Law,Proceedings of the American Mathematical Society, Volume:123, Issue: 3 (1995), 887-895.

Theodore P. Hill,, The first digital phenomenon, AmericanScientist, 86.4 (July-August 1998): p358.


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M etodos Estat sticos de F sica Experimental - USP lei de Newcomb-Benford que trata da ocorr^encia dos primeiros d gitos em numeros. Segundo ela a probabilidade de ocorr^encia de Segundo