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MÉTODOS MATEMÁTICOS I
Anne Bastos Nogueira
Aluna de Engenharia Mecânica na Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, sala
209, São Domingos, Niterói - Rio de Janeiro, Cep.: 24210-240, [email protected].
Dáfnis Soares Gonzalez
Aluno de Engenharia Mecânica na Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, sala
209, São Domingos, Niterói - Rio de Janeiro, Cep.: 24210-240, email:[email protected]
Gustavo Cardoso Moreira
Aluno de Engenharia Mecânica na Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, sala
209, São Domingos, Niterói - Rio de Janeiro, Cep.: 24210-240, email:[email protected]
Tabatta Regina de Brito Martins
Aluna de Engenharia Mecânica na Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, sala
209, São Domingos, Niterói - Rio de Janeiro, Cep.: 24210-240, email: [email protected]
Resumo:
Uma Série de Fourier é a representação de uma função periódica como uma soma de funções periódicas da forma
que são harmônicas de ei x. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas
equivalentemente em termos de funções seno e co-seno. Existem vários teoremas e condições como de Dirichlet e
D’Alembert que podem ser aplicados a estas funções e assim ajudar na resolução de problemas como a equação da onda e do
calor.
Introdução:
A transformada de Fourier desempenha um papel de grande importância em vários ramos das ciências exatas. As
séries de Fourier são um caso particular da transformada de Fourier e determina que uma função qualquer
periódica f(t) com período T0 pode ser expressa por um somatório de senos e cossenos:
Onde T0 é o período da função e os coeficientes senoidais são dados pelas integrais:
1
O estudo das séries de Fourier faz parte da introdução à disciplina de Métodos Matemáticos I, podendo ser
empregado diretamente em um grande número de problemas, de aplicabilidade em diversos ramos da Engenharia.
Estes conceitos serão expostos ao longo deste material com a devida atenção em exemplos e exercícios
resolvidos.
1. Séries de Fourier.
1.1- Funções Periódicas
Uma função f(x) é dita periódica com período T se f(x + T) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x + nT) =
f(x) para n inteiro n = 0, ± 1, ± 2, ....
Exemplos:
1- Se f(x) = tan x, temos que tan (x + π) = tan x, logo T = π.
2- Achar o período da função f(x) = sen nx
Se a função for periódica
sen n(x + T) = sen nx
sen nx cos nT + sen nT cos nx = sen nx
cos nT = 1 cos nT = cos 2π
sen nT = 0 sen nT = sen 2π
Logo, Logo,
Obs: Se duas funções g(x) e h(x) possuem período T então a função f(x) = a g(x) + b h(x) é periódica com período
T.
1.2 - Série Trigonométrica
É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos
da variável independente x por coeficientes, que não dependem da variável x e são admitidos reais.
Ou
(*)
Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma
função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de
2
período 2π, a soma S(x) será uma função periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série
trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π, π) ou (0, 2π).
As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.
Esta representação é possível se a f(x) satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.
1.3- Condições de Dirichlet
Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada
por uma série trigonométrica, as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a
convergência da série para a função.
1ª - A função f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo (-π, π), com exceção, talvez, de um número
finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).
Exemplos:
Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x = 0
Contra-exemplo:
3
Figura 1
no intervalo (0, 2π)
Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto x = 3.
2ª - Efetuando-se uma partição no intervalo (-π,π) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada
um deles será monótona. A função f(x) tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.
Exemplo:
Podemos considerar 3 sub-intervalos
No 1º f(x) é crescente
No 2º f(x) é decrescente
No 3º f(x) é crescente
Apresenta no período um ponto de máximo e um de mínimo.
Contra-exemplo:
4
Figura 2
Esta função apresenta um número infinito de máximos e mínimos na vizinhança de x = 0.
1.4- Ortogonalidade – Integrais de Euler
Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período T = 2π, isto é, a integral em um período do
produto de quaisquer dois termos é nula.
Integrais de Euler
1) n = 1, 2, 3, ........
2) n = 0, 1, 2, 3, ........
3) (p ≠ q) inteiros
4) q = p = 1, 2, ........
5) (p ≠ q) inteiros
6) p = q ≠ 0
7) p = q ou p ≠ q
Demonstrando:
1) ; n = 1, 2, 3, ........
De fato
5
2) ; n = 0, 1, 2, 3, ........
De fato
3) ; p ≠ q
De fato
(1)
(2)
Somando membro a membro: (1) + (2), temos:
4) ; q = p = 1, 2, ........
De fato
(1)
(2)
Somando (1) + (2)
Então:
5) ; (p ≠ q) inteiros
(1)
(2)
6
Subtraindo as duas equações: (2) – (1), temos:
6) ; p = q ≠ 0
(1)
(2)
Somando as duas equações: (1) + (2), temos:
1.5- Determinação dos Coeficientes de Fourier
Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar , em
termos de f(x) de maneira que no intervalo (-π, π) a série trigonométrica (*) seja igual à função f(x), isto é,
(*)
Integramos os dois membros de (*) entre (-π, π)
1ª I.E. 2 ª I.E.
Cálculo de
7
Multiplicando (*) por cos px, sendo p, número fixo dado e integremos entre os limites –π e π:
1ª I.E.
3ª I. E. 7ª I.E.
Se n = p
Cálculo de
Multipliquemos (*) por sen px e integremos entre os limites –π e π:
Se n = p
Exemplo: Determine a série de Fourier da função f(x) que supomos possuir o período 2π e fazer esboço gráfico
de f(x) e das primeiras três somas parciais.
8
9
Figura 3
As somas parciais são:
Figura 4
10
Figura 5
Figura 6
11
Figura 7
Vimos que para:
f (x + 2π) = f(x)
A série de Fourier representa é f(x) =
Vamos determinar a série de Fourier para
Figura 8
12
A função f 1(x) é a f(x) deslocada ½ unidade para baixo,
logo
A função f 2 (x) é a mesma f (x), exceto por uma alteração na escala do tempo
Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as freqüências angulares dos termos individuais, mas não altera
seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer
conveniente.
Exercícios:
1.6 - Resolva:
1)
2)
3)
13
Figura 9
4)
5)
1.7 – Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π.
1)
2)
3)
4) onde k é constante
PARA CONFERIR:
1.6
1 – Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie.
Figura 10
Para t = 2 ,
2 - Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t= -2
3 - Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x= 1
4 - Sim, as duas condições são satisfeitas
14
5 - Não, pois na vizinhança de z = 1 temos número infinito de máximos mínimos
1.7.1 –
A f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos coeficientes de Fourier:
Figura 11
Fazendo a integração por partes:
u = x du= dx
dv = cos n x dx
v = sen nx / n
+
15
u = x , du = dx
dv= sen nx ,
,
Logo
1.7.2-
16
Figura 12
1.7.3 –
A f(t) satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos coeficientes:
Sabemos que:
17
Multiplicando por n2
Mas, sen nπ = sen (-nπ) = 0
cos nπ = cos (-nπ) = (-1)n
De modo análogo calculamos
Logo,
ou
1.7.4 –
1.6 - Funções Pares e Ímpares
Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π). Diz-se que:
g(x) é par se g(-x) = g(x),
h(x) é ímpar se h(-x) = - h(x),
18
Figura 13 Figura 14
Observações:
1ª - O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
2ª - O valor da função ímpar no ponto zero é zero: h(0) = 0
Para calcularmos os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar, verifiquemos que:
I)
De fato:
Então:
II)
De fato
Então:
III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x), é ímpar.
19
q(x) = g(x) h(x)
q-(x) = g(-x) h(-x)
q(-x) = g(x) (-h(x))
q(-x) = -g(x) h(x)
q(x) = -q(x)
IV) O produto de uma função par por outra função par: é par.
q(x) = g(x) g(x)
q(-x) = g(-x) g(-x)
q(-x) = g(x) g(x)
q(-x) = g(x) g(x)
V) O produto de uma função ímpar por outra função ímpar é par.
q(x) = h(x) h(x)
q(-x) = h(-x) h(-x)
q(-x) = -h(x) (-h(x))
q(-x) = +h(x) h(x)
q(-x) = q(x)
Conclusão: Se f(x) é uma função par, f(x) sen nx é uma função ímpar e
Se f(x) é uma função é uma função ímpar, f(x) cos nx é ímpar e
Teorema I
A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em cossenos.
Com coeficientes:
e
20
A série de Fourier de uma função periódica ímpar que possui período 2π é uma série de Fourier em senos.
Com coeficientes:
Consideremos f(x) par.
Mas com f é par, f(-x) = f(x)
(1) + (2):
ou
Por outro lado,
Como f(x) e cos nx são funções pares, temos:
Consideremos f(x) ímpar
21
Como f é ímpar, f(-x) = -f(x)
(1) - (2):
Por outro lado,
Como f(x) e sen nx são funções ímpares,
Logo, ao calcular os coeficientes na série de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de
–π a π ao invés de 0 a 2π.
Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o eixo horizontal ou ambos, de
maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas ondas simétricas.
22
Exemplos:
1) Determine a série de Fourier da função
Figura 15
Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo (-π, π)
Cálculo dos coeficientes:
Como f(x) é par →
Integral que foi calculada anteriormente.
Portanto
2) Determine a série de Fourier para f(t)
23
Figura 16
Embora pudéssemos determinar a série de Fourier de f(t) diretamente, vamos relocalizar os eixos a fim de usar as
relações de simetria, pois f(t) não é nem par nem ímpar.
1º CASO: A subtração de uma constante produz uma função ímpar .
Figura 17
Logo:
Portanto
24
2º CASO: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par :
Logo
Portanto
25
Figura 18
Como,
Podemos reescrever f(t):
Como no resultado anterior.
1.7 – Funções Com Período Arbitrário
Até agora consideramos funções periódicas de período 2π. Por uma simples mudança de variável podemos
encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T qualquer.
Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear.
Seja f(t) definida no intervalo
Somando membro a membro 1 e 2:
Substituindo em 1:
Então:
26
Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde , logo a é definida no intervalo .
Assim, onde, ,
e .
Para simplificar os cálculos façamos
Onde: , e .
O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo 0<t<T
O teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer.
Exemplo : Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T=4
27
Figura 19
Temos que .
Como f(t) é par, bn=0 e
1.8 – Séries em Senos e Séries em Cossenos
Desenvolvimento de meio período.
Seja f(t) de período T=2L
Se f(t) for par a série de Fourier fica:
Ou:
Com coeficientes:
28
.
Como f(t) é par:
Se f(t) for ímpar:
Figura 20
Com coeficientes:
Figura 21: f(t) prolongada como função par
29
Figura 22 :Prolongamento periódico ímpar
OBS: Constatamos que 2 e 4 empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo (0,L)
Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries 1 e 3. Se a função satisfaz as
condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0,L). Fora deste intervalo, a série 1
representará o prolongamento par da f(t), tendo período 2L; e a 3 o prolongamento periódico ímpar da f(t).
Exemplo:
Encontrar a série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo (0,L) e fazer o gráfico do
prolongamento periódico correspondente.
Figura 23 Figura 24
30
Exercícios:
1.11-Verificar se as funções são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares.
1)
2)
3)
4)
5)
1.12 – Desenvolver em Série de Fourier as funções, supostas periódicas de período 2π:
1) e obter o seguinte resultado devido a Euler:
2) e mostrar que:
3)
31
4) e mostrar que
1.13 – Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T:
1)
2)
3)
4)
1.14 – Representar por meio da Série de Fourier em Cossenos as funções 1 e 2 e por meio da
Série de Fourier em Senos as funções 3 e 4. E fazer o prolongamento periódico correspondente:
1)
2)
3)
4)
PARA CONFERIR:
1.11
, logo função nem par nem ímpar
2) Par
3)
32
, logo, função ímpar.
4)Nem par nem ímpar
5)
, logo, função par.
1.12
1)
Como f(x) é par, bn=0
Ou
Fazendo x=π, temos:
33
Figura 25
2)
Fazendo obtém-se o resultado.
3)
Como f(t) é par, bn=0
Para n≠2 an=0
Para n=2
Portanto
34
4)
Fazendo x=0, obtém-se o resultado.
1.13
1.13.1 f(t) = 1 (-1 < t < 0), f(t) = -1 (0 < t < 1), f(0) = 0, T = 2
Figura 26
Como f(t) é impar logo, a0 = an = 0
Logo,
35
0
1
1.13.2
1.13.3 f(x) = x (0 ≤ x ≤ 2), T = 2
Figura 27
Logo
36
2
0
2
0
0
2
0
0
2
2
2
0
2
0
1.13.4
1.14
1.14.1
Figura 28: Prolongamento periódico par
Cálculo da integral:
Logo,
37
2 4
4
02
1.14.2 -
1.14.3 - f(x) = cos x (0 < x < π)
38
0
2
2
4
4
f(x)
Figura 29
Logo,
1.14.4 -
1.9 – Forma Complexa das Séries de Fourier
O desenvolvimento de Fourier:
39
04
0
π
y = cos x
3π/2
1
ππ/20x
-π/2-π-3π/2
-1
Onde , pode ser escrito sobre a forma complexa. Escreva:
E introduza estas expressões na série. É conveniente definir:
Então a série de Fourier pode ser escrita em sua forma complexa:
Então:
Exemplo : Seja a série complexa de Fourier de
Figura 30
40
(2.2)
2. Séries de Fourier: Mudança de intervalo
Até aqui, tratamos exclusivamente de funções nos intervalos [-π, π] e [0, π]. Para muitas finalidades, entretanto,
esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos generalizar nossos resultados para um intervalo arbitrário
[a,b]. Mas, ao invés de começar imediatamente com o caso mais geral, será mais simples considerarmos primeiro
os intervalos de forma [-p,p] e seus espaços euclidianos associados CP[-p,p].
Logo as funções:
São mutuamente ortogonais em CP[-p,p]. Além disso, justamente como no caso em que p = π, pode se mostrar
que essas funções formam uma base deste espaço e por conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas
convergem em média. Finalmente levando-se em consideração o comprimento do intervalo, todas as nossas
observações concernentes a convergência pontual são válidas neste contexto.
Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função CP[-p,p], notemos que:
Então, pela fórmula abaixo,
Onde,
41
(2.1)
Para todo K.
A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano CP[a,b]. Com efeito, se
fizermos, 2p = b – a, de modo que [a,b] = [a,a + 2p], as funções de (9-25) formarão também uma base para CP[a,a
+ 2p]. Isto nos leva imediatamente as seguintes fórmulas para o calculo do desenvolvimento em série de Fourier
de uma função f em CP[a,b]:
Em que,
Para todo K.
Exemplo 1: Determine a série de Fourier em CP[0,1] da função f(x) = x.
Onde, b – a = 1, e (2.5) torna-se:
Por integração por partes temos:
a0 = 1, aK = 0, K ≠ 0, bK = -1/Kπ.
Portanto,
O gráfico desta série é dado abaixo:
42
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Figura 31
Exemplo 2: Determine a série de Fourier da função f, mostrada na fig. 2.2.
Neste caso,
Figura 32
Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser simplificados
consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio.
Designemos por F a extensão periódica de f a todo o eixo dos x (fig.2.3). Então as funções F(x) cos kxπ e F(x) sen
kxπ são periódicas com período 2. Então:
43(2.6)
Para qualquer número real a. [Neste ponto apoiamos no fato óbvio de g ser continua por partes em (- ∞, ∞) com
período 2p. Então,
Para qualquer par de números reais a,b]. Fazemos agora a = -1 em (2.6), para obter.
Mas, no intervalo [-1,1], F coincide com a função par |x|. Onde bk = 0 para todo k, e .
Portanto,
.
Conclusão:
O desenvolvimento deste material nos foi de grande ajuda, ao longo do início deste período, não apenas como
base de estudo para a primeira prova, mas também como expansão de conhecimento. Assim, conclui-se que a
análise das séries de Fourier na disciplina de Métodos Matemáticos I não é complicada, mas sofre de uma
defasagem de material voltado especificamente para o programa do curso. Problema este que se espera resolver
com o conteúdo exposto acima.
Agradecimentos:
Agradecemos a todos que passaram em nossas vidas e que direta ou indiretamente contribuíram para a realização
deste trabalho.
Referências:
44
Introdução a análise linear. R. Kreider, D.R. Ostberg, R.C. Kuller, F.W. Perkins. Editora UNB e ao Livro
Tecnico, RJ, 1972
Notas de Aula, Séries de Fourier. A.S. de Assis, 2010
Apostila séries de Fourier, R.O. Sacramento, 1980
45
