Uma abordagem da Série dupla de Fourier e da Convergência de Séries de Fourier

L. de M. Vassalo

UFF – GMA

Palavra-chave

ContinuidadeCoeficiente de Série dupla de FourierConvergência pontualmenteConvergência em média Convergência uniformeConvergência absolutamente

Resumo:

O desenvolvimento desse trabalho teve como objetivo desenvolver o conhecimento matemático anteriores. Os focos do trabalho foram série dupla de Fourier e Convergência da Série de Fourier.

Summary:

The development of this work was to develop mathematical knowledge earlier. The focus were double Fourier series and convergence of Fourier series.

Dados históricos:

Em matemática, uma série de Fourier, nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma

X→ e(-inx)

que são harmônicas de ei nx. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas equivalentemente em termos de funções seno e cosseno. Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações preliminares de Euler, D’Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são algo informais, em boa parte devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais nos inícios do século XIX. Mais tarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande precisão e rigor formal. Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde então, estendendo a outras aplicações a ideia inicial de representar qualquer função periódica pela sobreposição de harmónicas. A área genérica destes estudos é hoje por vezes definida como a análise harmónica. Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides e podem ser calculadas pela forma trigonométrica ou pela forma complexa.

Com isso iremos dar a continuidade nesse assunto, aprofundando nos temas em destaque.

Desenvolvimento:

Uma função é continua ou continua por parte num retângulo R do plano, se:

f é continua no interior e na fronteira de R, com a possível excessão de um número finito de pontos, e/ou ao longo de um número finito de arcos diferenciaveis simples;

Existe lim( x , y )→( xₒ , yₒ)

f (x , y ), onde (x0, y0) é um ponto de descontinuidade de f e (x, y) tende a (x0, y0) pelo intervalo de qualquer uma das regiões em que R é definida pelos arcos de descontinuidade.

< f,g > = ∬ f ( x , y ) . g (x , y )dR

< f,g > = ∫a

b

∫c

d

f ( x , y ) . g ( x , y )dx dy

Teorema: Sejam {fi(x)} e {gj(y)} bases ortogonais do espaço euclidiano cp[a,b] e cp[c,d], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos {fi(x) .gj(y)}, i=1,2,3,... e j= 1,2,3,.. numa base de cp[R], onde R é o retângulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

Exemplo de função descontinua:

f(x)= tag x

Série dupla de Fourier

1. Base para cp[-π,π], f(x) ϵ cp[-π,π], y ϵ [-π,π]{cos(nx), sen(mx)}, n = 0, 1, 2, ... m = 1, 2, 3, ...

2. Base para cp[-π,π], f(y) ϵ cp[-π,π], x ϵ [-π,π]

{cos(px), sen(qx)}, p = 0, 1, 2, ... q = 1, 2, 3, ...

Assim:

3. Base para cp[R], f(y) ϵ cp[-π,π], x ϵ [-π,π]{ cos(nx).cos(px), cos(nx).sen(qx), sen(mx).cos(px), sen(mx).sen(qx)}

Coeficiente de Série dupla de Fourier

Para a função f(x,y)ε cp[R ]

f(x,y) =

De um modo mais geral,

sen(mπxa ) sen(

nπyb );

sen(mπxa ) cos(

qπyb );

cos(pπxa ) sen(

nπyb );

cos(pπxa ) cos(

qπyb );

Teorema:

Seja R o retângulo -π ≤ x ≤ π, -π ≤ y ≤ π, e suponhamos que F seja contínua em R, em ∂F∂ x

, ∂F∂ y ,

∂ ²F∂x ∂ y , existam e seja limitadas em R. Então, a série dupla de Fourier de F

converge pontualmente para F em R.

Convergência em média

Em um espaço de funções com produto interno expresso por uma integral a afirmação segundo a qual:

limR→∞

∥ f '−f ∥= limR→∞

¿¿¿, onde f ’ = fR

Não é o mesmo que dizer que a sequência {fR } converge para função f em todo ponto de [a,b] (converge pontualmente).

Em Matemática essa convergência via produto interno é conhecida como convergência em média, para enfatizar que ela é calculada por integração, que em certo sentido é um processo de média generalizado.

A seguência de função de função {x, x2, x3, ...} converge em média para zero (0) em x ∈ [-1, 1]. De fato, limR→∞

∥x R−0∥= limR→∞ (∫

−1

1

x2k dx)½

= limR→∞ ( 2

2R+1 )1/2

= 0

Entretanto, {x, x2, x3, ...} não converge para zero em cada ponto. Sendo assim, a sequência mostra que a convergência em média é diferente da pontual.De uma forma fácil de entender, a convergência em média é feita da forma (u¿¿).

O conjunto de função é uma base do espaço euclidiano das funções contínuas por parte no retângulo -

a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ b

Definição:

Diz-se que uma série infinita ∑R=1

∞

ûR de vetores de um espaço euclidiano converge para o

vetor û ↔a, seguência associada das somas parciais converge para û no sentido que

limR→∞

∥ûR−û∥=0 , neste caso, escrevemos, û = ∑R=1

∞

ûR e dizemos que û foi desenvolvida em

série infinita.

Mais detalhadamente, ∑R=1

∞

ûR converge para û, para cada número real ε > 0 e existe um

número inteiro K tal que ∥∑R=1

N

ûR-û∥ = ε, toda vez que N >K. O número Real ε pode ser

entendido como o “erro”. Na verdade, ∥∑R=1

N

ûR-û∥ é a distância da soma ao vetor û. É sabido que todo espaço euclidiano, de dimensão finita, tem uma base ortonormal {û1, û2, û3, ..., ûN} que todo vetor desse espaço pode ser escrito de modo único sobre a forma:

û = (û-û1).û1 + (û-û2).û2+ ... +(û-ûN).ûN

É possível generalizar este resultado para espaços euclidianos de dimensão infinita. Assim, N→∞ na equação acima.

Convergência uniforme

Teorema de Weterstrass:

Se ∑R=1

∞

MR é uma série convergênte de números reais positivos e se ∑R=1

∞

f R(x ) é uma série

de funções tais que ∥f R( x)∥ ≤M R para todo R e todo x no intervalo a ≤ x ≤ bEntão ∑R=1

∞

f R(x ) é uniforme e absolutamente convergente em a ≤ x ≤ bOBS1: Se ∑

R=1

∞

f R(x ) converge, diz-se que a série converge absolutamente.OBS2: Diz-se que uma sequência ∑

R=1

∞

f R(x ) converge uniforme para a função f(x) no interior a ≤ x ≤ b, se qualquer que seja ε > 0 existe um

inteiro positivo K, dependendo de ε, mas não de x, tal que, ∥ f R(x )−f (x)∥ < ε quando R ≥ K e x estão no intervalo dado.

Note que se {f R( x)}for a sequência das somas parciais {f R( x)} a série correspondente converge uniformimente

∥ f R(x )−f (x)∥ < ε, quando R ≥ K → limR→∞

(f R(x )− f (x))=0 ,para qualquer x

De uma forma mais simples: Dada a função F, se f(x) é continua e f `(x) existe e é continua por parte ou descontinua em finitos pontos, com salto finito, então F converge uniformemente.

Conclusão:

Série de Fourier está muito desenvolvida, portanto, este artigo foi meramente feito como trabalho amador de curso de graduação em engenharia. Todos os passos foram apresentados para chegar ao resultado final dos cálculos dos temas propostos (série dupla e convergência de série de Fourier).

Agradecimento:

Agradeço ao professor de Métodos Matemáticos I da Universidade Federal Fluminense, Altair S. De Assis, pois foi ele que incentivou esse trabalho, tanto com o fornecimento do seu conhecimento, quanto com a metodologia apresentada.

Referências:

Introdução à Álgebra Linear, R. Kreider, D.R. Ostberg, R.C. Kuller e F.W. Perkins. Editora UNB e ao livro técnico RJ, 1972

Nota de aula, Série Fourier, A. S. De Assis, 2010, apostila Série de Fourier, R.O. Sacramento, 1980.

Djairo Guedes de Figueiredo. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais.IMPA, Rio de Janeiro, 1977.