�

Resolução das atividades complementares

MatemáticaM9 — Função exponencial p. 26

3

1 Escreva na forma 2n:a) 232 c) (22)3 e) 84

b) (23)2 d) 223

2 Calcule:a) 32 2 22 1 (21)3 2 (22)3 b) 224 2 (23)3 1 30

3 Calcule:

a) 2 42 4

2 2

1 1

2 2

2 2

1

1 b) (3 ? 2)21 ? (321 1 221)21

51264

64256

4 096

Resolução:

a) 2(2 2

3

3 6

2

5 5

5 ? 5 5

5

2 5122 2 642

9

3 2 3

2 3

bc) ( ) ) ( )) ( ) ((2

256e) 8 (2

2

4 3

) ( ) ( )

))

? ? 5 5

5 5

5

2 2 2 64

2 2

2 2 6

2 8

4

3

d55 52 4 09612

12 12Resolução:a) 32 2 22 1 (21)3 2 (22)3 5 9 2 4 1 (21) 2 (28) 5 5 2 1 1 8 5 12b) 224 2 (23)3 1 30 5 216 2 (227) 1 1 5 12

512

15

Resolução:

a

b

)

)

24

(3

2 2

2 2

1

15

1

15 5

?

2 2

1 14

2

14

116

12

14

51634

512

22 2 16

13

12

16

15

1 1 1 11 1

) )2 2 2 22 2

? 1 5 ? 1 5 ? 5(3 56( ) ( )

�

4 Calcule:

a) (2a)5 ? (3a)4 b) 23

3 4

2 5a ba b

c) 6 3

2 3

2 3 4

2 2 2 3 3a b b

ab a b

( )( ) ( )?

5 Escreva na forma de potência de expoente racional:

a) a4 b) a35 c) a23

6 Escreva usando radicais:

a) 913 c) 5

26

b) 634 d) 7

12

7 Calcule 2 2 2

2 2

12 11 9

10 92 2

1.

2 592a9 23ab

62 6a b

Resolução:a) (2a)5 ? (3a)4 5 25 ? a5 ? 34 ? a4 5 32 ? 81 ? a9 5 2 592a9

b a ba b

ab

c b bb

)

))

23

233

3 4

2 5

4

2 3

5

?

(6a )(2ab (3a

2 3

2 2 ))3 5 56 3

2 32 32 3

3 6 3 4

2 2 4 3 6 9

3 4 6 7

2 3 8 13a b b

a b a ba ba b

55 62 6a b

a14 a

35 a

23

Resolução:

a a a

b a a

c a a

)

)

)

414

3535

2323

5

5

5

93

634

53

7Resolução:

a

b

c

d

)

)

)

)

9 9

6 6

5 5 5

7 7

13 3

34 34

26 26 3

12

5

5

5 5

5

1

Resolução:2 2 2

2 22 2 1

2 133

112 11 9

10 9

9 2

92 2

15

? 2 2

? 15 5

(2(2

3 ))

�

8 Calcule a aa a

12 11

10 92

1.

p. 29

9 Considere uma função exponencial ƒ dada por f(x) 5 (k2 – 4)x. Determine k, de modo que ƒ seja crescente.

10 Uma experiência mostrou que a população de um certo microorganismo triplica a cada hora. Sendo p0 a população inicial, escreva a sentença que fornece a população p em função do tempo t em horas.

11 O gráfico ao lado mostra o número n de bactérias em uma certa cultura em função do tempo. Sabe-se que n é dado por n(t) 5 kat, sendo a e k números reais, a positivo e diferente de 1. Obtenha o número de bactérias após 4 horas.

a aa

2 11

( )21

Resolução:a aa a

aa a

a aa

12 11

10 9

11

9

211

11

2

15

? 2

? 15

? 21

(a )( )

( )

k , 22 ou k 2Resolução:Se a função é crescente, temos: k2 2 4 0 → a função é quadráticaa 5 1 0 → a concavidade está voltada para cimazeros de f: k2 2 4 5 0 → k 5 ±2Estudando os sinais da função, temos:

� �

��2 2

k , 22 ou k 2

Resolução:A seqüência que indica a população será (p0, 3p0, 9p0, ...) que é dada por p 5 3tp0 ou p 5 (p0) ? 3

t.

Resolução:n(t) 5 k ? at

Pelo gráfico, temos: se t 5 0 → k ? 1 5 103 → k 5 103

se t 5 2 → 103 ? a2 5 4 ? 103 → a 5 2Portanto, n(t) 5 103 ? 2t.Para t 5 4, temos: n(4) 5 103 ? 24 5 16 000 bactérias.

16 000

�

12 Considere as funções ƒ e g dadas por f x g x xx( ) ( ) .5 5223

3 e Calcule o valor de f(g(21)).

13 Uma função exponencial ƒ, decrescente, é tal que f f( ) ( ) .1 1 136

1 2 5 Podemos afirmar que:

a) f(0) , 1 c) f( )1 23

e) f( )2 29

b) f( )1 13

, d) f( )2 19

,

14 Resolva as equações:

a) 9 3 1x 5 b) 5 25 55

? 5xx

p. 31

2Resolução:

f(x) ; g(x)

(g(x))

5 5

5 5

2

2

2 ? 2

23

2 21

3

33

x

xx

x

ff g( ( )) 55 52 22 21( )

Resolução:f é decrescente, então: f(x) 5 ax e 0 , a , 1.

Se a , temos: a15 1 5 1 5 1 521 136

1 136

6 131 2 2a aa

a a a→ → → 22 1 5

5

5

13 6 0

3223

a

a (não convém) ou

a. Logo, a

55 5

5

23

23

1

e f x

b Falsa

x

( )

.

) ( )

( ) .

a) (Falsa); f(0)

; f(1)

(Falsa); f(2)

5

5

5

23

1 23

.

) ( ); ( ) .

)

c Falsa f

d 449

49

.

)e (Verdadeira); f(2) .5

2 14

22

Resolução:

a x x

S

x x x) 9 3 3 3 1 3 3 2 1

20 1

41

212

2 12 05 ? 5 5 1 5 5 2

5 2

1→ → →

44

25 55

5 5 5 5 5 1 22 1 1 2 1

{ }b) 5 ? 5 ? 5 5 1 52 1 2x

xx x x x x→ → → xx x

S

2 5 2

5 2

1 2

2

→

{ }

�

15 Determine o número real x, tal que 5x 1 1 1 5x 1 5x 2 1 5 155.

16 Obtenha x, de modo que 22x 1 2 2 3 ? 2x 1 2 5 16.

17 Resolva a equação 72x 5 8 ? 7x 2 7.

18 Determine x e y, de modo que 2 2 20

2 64

x y

x y

1 5

51

.

x 5 2Resolução:

5 5 5 155 5 5 5 155 5 311 1 1 2 1x x x x x1 2 2 21 1 5 ? 1 1 5 ?→ →(5 )0 55

5 5 5 2 5 52 2

155

5 15531

5 5 5 1 1 21 1

→

→ → → →x xx x

x 5 2Resolução:22x 1 2 2 3 ? 2x 1 2 5 16 → 22x ? 22 2 3 ? 2x ? 22 5 16Fazendo 2x 5 y, temos:4 12 16 0 3 4 0 4 1 0 42 2y y ou y y y ou2 2 5 2 2 5 2 ? 1 5 5→ →(y ) (y ) yy 5 21Para y 5 4, temos: 2x 5 4 5 22 → x 5 2 e, para y 5 21, temos 2x 5 21. (impossível)Portanto, x 5 2.

S 5 {1, 0}Resolução:72x 5 8 ? 7x 2 7 → 72x 5 8 ? 7x 2 7Fazendo 7x 5 y, temos:y2 2 8y 1 7 5 0 → (y 2 7) ? (y 2 1) 5 0 → y 5 7 ou y 5 1Para y 5 7, temos: 7x 5 7 → x 5 1 e,para y 5 1, temos: 7x 5 70 → x 5 0. S 5 {0, 1}

x 5 2 e y 5 4 ou x 5 4 e y 5 2

Resolução:

C.E.22

x

x

1 5

? 5

2 202 64

y

y

III( )

( )

De (I), temos: 2x 5 20 2 2y; substituindo em (II), obtemos:(20 2 2y) ? 2y 5 64 → 22y 2 20 ? 2y 1 64 5 0Fazendo 2y 5 a:a a a a ou a2 20 64 0 16 4 0 16 42 ? 1 5 2 ? 2 5 5 5→ →(a ) ( )Se a 5 16 → 2y 5 16 → 2y 5 24 → y 5 4. Daí, 2x 5 20 2 16 → x 5 2 ou se a 5 4 → 2y 5 4 → 2y 5 22 → y 5 2. Daí, 2x 5 20 2 4 → x 5 4.Portanto, x 5 2 e y 5 4 ou x 5 4 e y 5 2.

�

19 Seja ƒ uma função dada por f(x) 5 53x e k um número real, tal que f(k) 5 27. Determine f k6( ).

20 Resolva a equação 32x 1 3 2 32x 1 2 1 2 ? 32x 5 22x 1 5 2 22x 1 1.

21 Resolva as inequações:

a) 65x 2 3 , 62x 1 9 b) 127

19

4 3( ) ( )x x1 2

p. 34

3Resolução:f(x) 5 53x; f(k) 5 27f(k) 5 53k 5 33 (i)

f k

f k

kk

65 5

36

36 36

3

( )( )

5 5

5

?

Por (i), temos: 53k → 55 53 336 .

12

Resolução:32x 1 3 2 32x 1 2 1 2 ? 32x 5 22x 1 5 2 22x 1 1

32x ? 33 2 32x ? 32 1 2 ? 32x 5 22x ? 25 2 22x ? 232x ? (33 2 32 1 2) 5 22x ? (25 2 2)32x ? 20 5 22x ? 30

32

32

2 1 12

12

2( ){ }

x

x x

S

5 5 5

5

→ →

S x x5

� 6S 5 {x V | x , 4}

Resolução:a) 65x − 3 , 62x 1 9 → base 1 5x 2 3 , 2x 1 9 → 3x , 12 → x , 4 S 5 {x ∈ Vx , 4}

bx x x

))

127

19

13

13

4 3 3 4 2(x (3 )

00 1

3 12 6 2 5 6 65

65

base

x x x x

S x x� |

�

22 Resolva:a) 83x 1 2 2 162x 1 9 , 0 b) 5 4

25825

3

? 1( )x

23 Obtenha x, de modo que 2x 1 3 1 2x 1 1 1 3 323.

24 Resolva: 32x 1 2 2 32x 1 1 1 32x 63.

25 Resolva a inequação 3 ? (32x 1 3) > 28 ? 3x.

S 5 {x V | x , 30} S x x 32

�Resolução:a) 83x 1 2 2 162x 1 9 < 0 (23)3x 1 2 < (24)2x 1 9 → 29x 1 6 < 28x 1 36 → base 1 9x 1 6 < 8x 1 36 → x < 30 S 5 {x ∈ Vx < 30}

bx

)

)

5 425

825

5 25

2 25

25

3

2 3 2 2(x xx

x x x

S x

6 325

0 1

2 6 3 2 3 32

base

� | xx 32

S 5 {x V | x 5}Resolução:2x 1 3 1 2x 1 1 1 3 3232x 1 3 1 2x 1 1 320 → 2x ? (23 1 2) 26 ? 5 → 2x 2 5

2 5

6 ??

→ 2x 25 → base 1 → x 5S 5 {x ∈ Vx 5}

S 5 {x V | x 1}Resolução:32x 1 2 2 32x 1 1 1 32x 6332x ? (32 2 3 1 1) 63 → 32x 32 → base 12x 2 → x 1S 5 {x ∈ Vx 1}

S 5 {x V | x < 1 ou x > 2}Resolução:3 ? (32x 1 3) > 28 ? 3x

32x 1 1 1 9 > 28 ? 3x → 32x ? 3 2 28 ? 3x 1 9 > 0Fazendo a 5 3x:3 ? a2 2 28a 1 9 > 0

zeros de f: 3 28 9 0 28 28 1086

9 13

22

? 2 1 5 5 2

5 5a a a e a→ → a

Estudando os sinais da função, temos:

� �

�13

9

a ou a xx x13

9 13

3 3 1 9 31, então: 3 ou 3x x 33 2

1 2

2 x

ou xS {x | x }�

�

27 Resolva a inequação 4x 2 10 ? 2x 1 16 > 0.

26 Resolva a inequação 2 ? 32x > 3x 1 1.

Resolução:4x 2 10 ? 2x 1 16 > 022x 2 10 ? 2x 1 16 > 0Fazendo 2x 5 a:a2 2 10a 1 16 > 0

zeros de f: a a a a e a2 10 16 0 8 2 0 8 22 1 5 2 ? 2 5 5 5→ →(a )) (Estudando a variação de sinais, temos:

� �

�2 8

a < 2 ou a > 8; então, temos: 2x < 2 → x < 1 ou 2x > 23

Portanto, x > 3.S 5 {x ∈ Vx < 1 ou x > 3}

Resolução:2 ? 3−x > 3x 1 1 → 3x 0; portanto:2 ? 3x ? 3−x > 3x ? 3x 1 3x → 2 > 32x 1 3x → 32x 1 3x 2 2 < 0Fazendo 3x 5 a:a2 1 a 2 2 < 0

zeros de f: a a a a a2 2 0 1 1 82

1 21 2 5 52 1

5 5 2→ → e

Estudando a variação de sinais, temos:

� �

��2 1

22 < a < 1 → 22 < 3x < 30 → 3x 22 (sempre verdadeiro)3x < 30 → x < 0Portanto, x < 0.S 5 {x ∈ Vx < 0}

S 5 {x V | x < 0}

S 5 {x V | x < 1 ou x > 3}