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3a prova de Geometria Plana com Gabarito — MA-520

20 de junho de 2012

NOME: Turma: RA: .

Responda a cinco das questoes abaixo e marque aquela que excluir com × no quadro acima.Toda solucao deve ser justificada.

1. (a) [10 pontos] Enuncie o postulado das paralelas e ilustre em uma mesma figura as congruenciasde angulos alternos externos, alternos internos, correspondentes e opostos pelo vertice.

Solucao Postulado das Paralelas: Por um ponto nao pertencente a uma reta dada, passa uma unica

reta paralela a essa reta.

Na figura abaixo sejam r e s duas retas paralelas. Cada uma das situacoes estao representadas em

uma das quatro transversais as duas retas. Na ordem, da esquerda para a direita, estao representados

na mesma cor/estilo os angulos: alternos externos; alternos internos; correspondentes; opostos pelo

vertice.

(b) [10 pontos] Enuncie os tres casos de semelhanca de triangulos.

Solucao Ver em qualquer um dos livros textos, procurem os capıtulos nomeados Semelhanca de

Triangulos!

2. [20 pontos] Prove que a semelhanca LL , A, L

L implica LL ,

LL ,

LL .

Solucao Considere 4ABC ./ 4DEF tal que ABDE

= AC

DE⇐⇒ AB

AC= DE

DFe queÕBAC 'ÕEDF . Suponha

sem perda de generalidade que o 4DEF tenha os lados menores do que o 4ABC. Considere E′ ∈ [AB]

tal que [AE′] ' [DE]. Considere a reta r paralela a reta que contem o lado [BC] passando por E′. SejaX = [AC]

Tr. Pelo teorema fundamental da proporcionalidade temos que

AE′

AX=AB

AC

porem da hipotese temosDE

DF=AE′

AX

de onde concluımos que DF = AX. Pelo caso de congruencia L.A.L. concluımos que AE′X ' DEF . Do

teorema da proporcionalidade e pelo fato deÕBAC ser angulo comum, concluımos por semelhanca L.A.L.que AE′X ./ ABC. Dai

AE′

E′X=AB

BC⇐⇒ DE

EF=AB

BC⇐⇒ AB

DE=BC

EF

de onde concluımos que L.A.L implica L.L.L.. Isto e, dado um triangulo com dois lados correspondentes

proporcionais, e o angulo compreendido entre esses lados congruentes, mostramos tambem que sempre

serao proporcionais seus outros dois lados, e ainda, tal proporcao e sempre igual a dos outros dois,

concluindo entao que os triangulos semelhantes dados inicialmente sempre possuem os tres lados em

proporcao.

3. [20 pontos] Enuncie e demonstre o teorema do angulo inscrito.

Solucao Ver [Geometria euclidiana plana e construcoes geometricas, Eliane Q. F. Rezende, Maria Lucia

B. Q.] pagina 90 e 91.

4. (a) [10 pontos] Mostre que a altura oriunda do vertice reto de um triangulo retangulo o divideem dois triangulos que lhe sao semelhantes.

Solucao Ver [Geometria euclidiana plana e construcoes geometricas, Eliane Q. F. Rezende, Maria

Lucia B. Q.] pagina 77.

(b) [10 pontos] Enuncie e demonstre o Teorema de Pitagoras.

Solucao Ver [Geometria euclidiana plana e construcoes geometricas, Eliane Q. F. Rezende, Maria

Lucia B. Q.] pagina 78.

5. Sejam ABC isosceles de base [BC] e D ∈ [BC] um ponto da base. Construa r′ (resp. r′′) aperpendicular a (AB) (resp. (AC)) por D, e marque D′ (resp. D′′) a intersecao com [AB] (resp.[AC]).

(a) [5 pontos] Explique por que a construcao acima depende do Teorema de Pasch.

Solucao Suponha que r′ ou r′′ nao passem por nenhum vertice. Como r′T

[BC] 6= ∅ entao pelo

teorema de Pasch tal reta vai intersecionar [AB] ou [AC].

(b) [15 pontos] Mostre que a soma DD′ + DD′′ e igual a medida da altura de B (ou C).

Solucao Observe a figura abaixo. Seja k a reta paralela a [AC] passando por D. DD′EF e um

retangulo. Logo DD′ = FE. ÕABC 'ÕBDF , logo 4GBD e isosceles. Tanto [BF ] quanto [DD′′]

sao alturas relativas aos lados congruentes, logo elas tambem sao congruentes (tente ver isso). Dai

BF + FE = D′′D +DD′.

6. Seja ABCD um quadrilatero inscrito em um cırculo.

Figura:

(a) [6 pontos] Mostre que existe P ∈ [AC] tal que ÕABP 'ÕCBD.

Solucao Vemos que ÕABC = ÕCBD +ÕDBA. Logo ÕCBD <ÕCBA(*). Lembre-se que intÕABC =SP∈[AC]

[BP ). Pelo postulado do transferidor e pelo fato (*), podemos posicionar P de tal forma em

[AC] tal queÕABP =ÕCBD.

(b) [6 pontos] Mostre que ABP ./ DBC e ABD ./ PBC.

Solucao Note que ÕAPB 'ÕDBC e que ÕBAP 'ÕBDC, o primeiro por construcao e o segundo por

se tratar de angulos inscritos sob o mesmo arco÷BC. Logo pelo corolario A.A., temos que 4ABP ./

4DBC. Considere agora ÕPBD = θ. Dai ÕABD 'ÕPBC, pois ambos medem ÕDBC + θ, temos

tambem que ÕADB 'ÕACB, pois ambos sao angulos inscritos sob um mesmo arco öAB. Novamente

pelo corolario A.A., temos que 4ABD ./ 4BPC.

(c) [8 pontos] Prove o Teorema de Ptolomeu: dado um quadrilatero inscritıvel ABCD, tem-se

AB.CD + BC.DA = AC.BD.

Solucao Das semelhancas do item (b) concluimos que:

AB

AC=BP

CDe que

BC

DP=AC

AD

o que nos leva aAB · CD = BP ·AC e BC ·AD = DP ·AC

somando ambas as equacoes acima obtemos

AB · CD +BC ·AD = BP ·AC +DP ·AC

que e igual aAB · CD +BC ·AD = AC · (BP +DP )

fica claro entao queAB · CD +BC ·AD = AC ·BD