MAE 317 Planejamento de Experimentos I - IME-USP

MAE 317

Planejamento de

Experimentos I

Delineamento Fatorial

Profa. Júlia Maria Pavan Soler

[email protected]

IME/USP

Delineamento Completmente Aleatorizado

DCA - Um Único Fator

F.V. g l SQ QM F p

ENTRE K-1

DENTRO N-K

TOTAL N-1

2)( yyn jj

ij

jij yy 2)(

ij

ij yy 2)(

SQE / (K-1)

SQR / (N-K)

QME / QMR

0. . .:. . .: 110210 kk HH

i jii jii jy 2

1

;0~;0 Ni j

k

i

i

F = F (K-1,N-K ) QME

QMR


A1 A2 . . . Aa

B1 B2 ... Bb B1 B2 ... Bb . . . B1 B2 ... Bb

Yijk

• Estrutura de Tratamento 2 ou + Fatores Cruzados

• Atribuição completamente aleatória das unidades amostrais aos k=ab tratamentos

• Replicações em cada combinação dos níveis dos fatores

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

DCA: Fatorial a x b

Exemplo Dados: Medidas de clorofila a

Fatorial 2x2: 4 Tratamentos

T1 T2 T3 T4

6,2 12,7 7,0 8,3

4,8 11,3 4,4 7,1

3,0 9,3 3,8 11,7

5,6 9,5 5,0 10,0

7,1 11,7 5,5 8,5

4,8 15,3 3,2 12,4

30% 100%

SN N SN N

Luminosidade

Nutrientes

2 fatores,

cada um

em dois

níveis

Results for Lumino = 1

Variable Nutri N Mean SE Mean StDev

Clora 1 6 5,250 0,575 1,408

2 6 11,633 0,907 2,222

Results for Lumino = 2

Variable Nutri N Mean SE Mean StDev

Clora 1 6 4,817 0,550 1,348

2 6 9,667 0,847 2,075

21

12

11

10

9

8

7

6

5

4

Nutri

Me

an

1

2

Lumino

Interaction Plot for CloraData Means

Gráfico de perfis de médias

Gráfico de perfis de

médias: representação das

(ab=4) médias para melhor

visualização do efeito de

interação entre os fatores.

(Compare com os box-

plots dos quatro grupos)

Análise

Descritiva

Perfis de Médias – Efeito de Interação

Fatorial 2x2

A1 A2

B1

B2

A1 A2

B1

B2

A1 A2

B1

B2

A1 A2

B1

B2

Existência de Interação Não Existência de Interação

Efeito

principal

somente

de B

Efeito

principal

tanto de A

como de B

A direção da

diferença

entre as

médias de B

muda de

acordo com o

nível de A

A

magnitude

do Efeito

de B muda

de acordo

com o nível

de A

Tabela de ANOVA

DCA com um único Fator em k níveis

F.V. g l SQ

ENTRE k-1

DENTRO n-k

TOTAL n-1

2)( yyn jj

ij

jij yy 2)(

ij

ij yy 2)(

Fator A a-1

Fator B b-1

Interação A*B (a-1)*(b-1)

(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)=ab-1=k-1

k=ab, n=abr nj=r

Particionar a soma de quadrados e o número de graus de liberdade

ENTRE tratamentos em termos de efeitos principais e de interação

entre os fatores

Modelo Teórico

2;0~ Ni j k

Componente aleatório:

modela a variância de Y

: desvio em relação à média geral devido ao efeito principal do

fator A no nível i

ijkijji

ijkijijky

componente fixo: modela

o valor esperado de Y

.ii

jj .

01111

b

j

ij

a

i

i j

b

j

j

a

i

i

: desvio em relação à média geral devido ao efeito principal do

fator B no nível j

Modelo Teórico

2;0~ Ni j k

é o efeito de interação entre os fatores, isto é, o quanto a média

conjunta dos fatores se desvia do efeito aditivo dos mesmos.

Este parâmetro mede a diferença do efeito do fator A em cada nível do

fator B.

;i j ki jjii j ki ji j ky

jii jjii jjii ji j ....

01111

b

j

ij

a

i

i j

b

j

j

a

i

i

ij

Modelo Teórico

i j ki jjii j ki ji j ky

Modelo Aditivo (reduzido): i j kjii j ky

Para um delineamento Fatorial 2x2, escreva, na forma matricial, o

modelo completo formulado com a parametrização de desvios em

relação à média.

Considere também a parametrização do modelo em termos das 4 médias.

Modelo Completo: inclui os efeitos principais e de

interação entre os fatores

Modelo Teórico

;ijkijjiijkijijky

112211121121

12121

1

1221

1

1221

1

1221

1

;;

00;00

00;00

iii

b

j

ijjjjj

a

i

ij

b

j

j

a

i

i

kkk

kkk

kkk

kkk

y

y

y

y

111111222222

211111212121

111111121212

111111111111

;

;

;

Dados de Clorofila a

Matriz de Planejamento

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 -1 -1

1 1 -1 -1

1 1 -1 -1

1 1 -1 -1

1 1 -1 -1

1 1 -1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 -1 1

1 -1 -1 1

1 -1 -1 1

1 -1 -1 1

1 -1 -1 1

1 -1 -1 1

12414424124 eXY

Descreva cada parâmetro do modelo em termos de

contrastes ortogonais entre as 4 médias conjuntas.

Proponha uma estatística F para testar cada contraste

ortogonal separadamente.

Como construir uma única estatística F para testar

simultâneamente estes 3 contrastes ortogonais?

Delineamento Fatorial 2x2

A terceira coluna é

o produto da

segunda e terceira

Modelo Teórico

;ijkijjiijkijijky

jj

ii

a

i

b

j

ij

a

i

ij

j

b

j

ij

i

jiijjiij

abab

.

.

1 1

1.

1

.

..

1;

“Fontes de Variabilidade”


)()()()( .... i ji j kjii jjii j k yyyyyyyyyyyy

SQTotal SQA SQResid SQB SQA*B

Efeito principal

dos fatores A e B

Efeito de interação

Elevando ao

quadrado e aplicando

o somatório em ijk:

)()()()( .... i ji j kjii jjii j k yyyyyyyyyyyy

Identidade útil



ijk

ijij

ij

jiij

b

j

j

a

i

i

ijk

ijk

yyyyyyr

yyrayyrbyy

22

..

1

2

.

1

2

.

2

Mostre que a soma dos três primeiros termos (efeitos principais e de interação) é a

soma de quadrados do efeito (total) dos tratamentos com (k-1) graus de liberdade:

ij

ij yyr2

SQTotal = SQ(A) + SQ(B) + SQ(A*B) + SQRes

Tabela de ANOVA

DCA – Fatorial axb

F.V. g.l. SQ QM F

Total n-1

i j k

i ji j k yy 2)(

i j k

i j k yy 2)(

Fator A a-1 QM(A) QM(A)/QMRes

Fator B b-1 QM(B) QM(B)/QMRes

Interação A*B (a-1)(b-1) QM(A*B) QM(A*B)/QMRes

Resíduo n-k QMRes

i

i yybr 2

. )(

j

j yyar 2

. )(

i j

jii j yyyyr 2

.. )(

Testar primeiro o efeito de interação (H01: ij=0)

Se H01 for rejeitada, realizar comparações múltiplas para estudar o efeito de interação

Se H01snão for rejeitada, testar os efeitos principais dos fatores (modelos reduzidos, aditivos)



Mostre que:

1

)(

Re

1

2

2

2

arbAQME

sQME

a

i

i

SQTotal = SQ(A) + SQ(B) + SQ(A*B) + SQRes

(abr – 1) = (a – 1) + (b – 1) + (a - 1)(b – 1) + (abr – ab)

)1)(1(

)*(

1)(

2

2

1

2

2

barBAQME

braBQME

ij

ij

b

j

j

Graus de liberdade

=ab(r-1) O resíduo é um

efeito de interação

ANÁLISE DE VARIÂNCIA – MODELO COMPLETO – Fatorial 2x2

Factor Type Levels Values

Lumino fixed 2 1 2

Nutri fixed 2 1 2

Analysis of Variance for Resp

Source DF SS MS F P

Lumino 1 8.640 8.640 2.65 0.119

Nutri 1 189.282 189.282 58.04 0.000

Lumino*Nutri 1 3.527 3.527 1.08 0.311

Error 20 65.230 3.261

Total 23 266.678

Concl. ?

Escreva a

hipótese H0.

Compare o valor da soma destas

SQ com a SQTrat no DCA!

Tabela de ANOVA DCA com um único fator em 4 níveis.

5,02,50,0-2,5-5,0

99

90

50

10

1

Residual

Pe

rce

nt

1210864

4

2

0

-2

-4

Fitted Value

Re

sid

ua

l

43210-1-2-3

4,8

3,6

2,4

1,2

0,0

Residual

Fre

qu

en

cy

24222018161412108642

4

2

0

-2

-4

Observation OrderR

esid

ua

l

Normal Probability Plot Versus Fits

Histogram Versus Order

Residual Plots for Clora

Análise de Diagnóstico

Quais são as suposições adotadas no modelo de ANOVA?

As suposições estão satisfeitas?

Para os dados de Clorofila a calcule os valores ajustados da resposta e os resíduos.

ANÁLISE DE VARIÂNCIA – MODELO REDUZIDO

EFEITOS PRINCIPAIS

Source DF SS MS F P

Lumino 1 8,640 8,640 2,64 0,119

Nutri 1 189,282 189,282 57,81 0,000

Error 21 68,757 3,274

Total 23 266,678

S=1,80945 R=74,22%

R(adj)=71,76%

21

11

10

9

8

7

6

5

21

Lumino

Me

an

Nutri

Main Effects Plot for CloraData Means

Concl. ?

ANÁLISE DE VARIÂNCIA – MODELO “MAIS” REDUZIDO

EFEITO PRINCIPAL DE NUTRIENTES

Source DF SS MS F P

Nutri 1 189,28 189,28 53,80 0,000

Error 22 77,40 3,52

Total 23 266,68

S = 1,87564 R=70,98%

R(adj)=69,66%

21

11

10

9

8

7

6

5

Nutri

Me

an

Main Effects Plot for CloraData Means

Concl. ?

É necessário aplicar o teste

de Tukey neste caso?

O teste F apresentado é

equivalente a qual teste de

comparação de médias?

2

22 1,22t F

Teste t

sob homocedasticidade!

A B C D

I 0,31 0,82 0,43 0,45

0,45 1,1 0,45 0,71

0,46 0,88 0,63 0,66

0,43 0,72 0,76 0,62

II 0,36 0,92 0,44 0,56

0,29 0,61 0,35 1,02

0,4 0,49 0,31 0,71

0,23 1,24 0,4 0,38

III 0,22 0,3 0,23 0,3

0,21 0,37 0,25 0,36

0,18 0,38 0,24 0,31

0,23 0,29 0,22 0,33


Resposta imunológica de acordo com o tipo de Agente

Infeccioso (I, II e III) e Espécie (A, B, C e D)

Há efeito do agente infeccioso e espécie da planta na

resposta imunológica?

Realize a análise destes dados.

Boxplot da resposta imunológica de acordo com os tratamentos.

Perfis de médias

Padrão de interação entre os

fatores agente infeccioso (fa)

e espécie da planta (fb)

Perfis de médias - Efeitos principais de cada fator sob estudo.

Médias Conjuntas

1 2 3 4

1 0.5025 0.6775 0.6575 0.6325

2 0.5700 0.5675 0.4775 0.5625

3 0.2625 0.2975 0.2775 0.2675

Médias Marginais

1 2 3

0.617500 0.544375 0.276250

1 2 3 4

0.4450000 0.5141667 0.4708333 0.4875000

Tabela de ANOVA:

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

fa 2 1.0330 0.5165 9.940 0.000365 ***

fb 3 0.0304 0.0101 0.195 0.899224

fa:fb 6 0.0711 0.0118 0.228 0.964912

Residuals 36 1.8706 0.0520

---

ANOVA:


trat 11 1.135 0.10313 1.985 0.0601 .

Residuals 36 1.871 0.05196


fa 2 1.0330 0.5165 9.940 0.000365 ***

fb 3 0.0304 0.0101 0.195 0.899224

fa:fb 6 0.0711 0.0118 0.228 0.964912

Residuals 36 1.8706 0.0520


Resposta Imunológica

Conclusão?

Quais são os próximos passos da análise?

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.2

0.0

0.2

0.4

Valores Ajustados

Resíduos

Resíduos vs Preditos


Tempos de sobrevivência

Análise de resíduos: indicação

de heterocedasticidade.

Realize uma transformação dos

dados para estabilizar a

variância. Use a transformação

indicada segundo a técnica de

Box-Cox.

(Veja Aula CEC)

A1 A2

B1 B2 B3 B1 B2 B3

8 8 4 14 0 15

4 10 8 10 4 9

0 6 7 13 2 12


Diâmetro do tumor após tratamento

Realize uma análise de variância destes dados: apresente o modelo estrutural e

distribucional, interprete os parâmetros, indique a formulação matricial do

modelo, realize uma análise descritiva, obtenha a tabela de ANOVA, defina as

hipóteses envolvidas, realize a análise de diagnóstico das premissas do modelo.

Quais as conclusões? Realize comparações múltiplas se necessário.

A1 A2

B1 4 (4) 12,33 (2,08) 8,17

B2 8 (2) 2 (2) 5

B3 6,33 (2,08) 12 (3) 9,17

6,11 8,78 7,44

Delineamento Fatorial 2x3: Diâmetro do tumor após tratamento

Estatísticas descritivas. Média e desvio padrão (entre parênteses).

; 1, 2, 3; 1, 2; 1, 2, 3ijk i j ij ijky e k i j

0i j ij ij

i j i j


; 1, 2, 3; 1, 2; 1, 2, 3ijk i j ij ijky e k i j

0i j ij ij

i j i j

:

:

:

:

:

:

ijk

i

j

ij

ijk

y

e

diâmetro do tumor avaliado no indivíduo k do tratamento A no nível I e B no nível j

média basal do diâmetro do tumor idenpendentemente dos tratamentos

desvio da média basal devido ao efeito do tratamento A no nível i

desvio da média basal devido ao efeito do tratamento B no nível j

é o desvio da média conjunta imposto pelo efeito de interação entre os tratamentos.

é o componente aleatório do mpdelo devido ao efeito de erros não controlados no

experimento.

2 2~ 0; ; ~ ;ijk ijk ije N Y N

18 1 18 6 6 1 18 1Y X e


1 1 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1

1 1 -1 -1 -1 -1

1 1 -1 -1 -1 -1

1 1 -1 -1 -1 -1

1 -1 1 0 -1 0

1 -1 1 0 -1 0

1 -1 1 0 -1 0

1 -1 0 1 0 -1

1 -1 0 1 0 -1

1 -1 0 1 0 -1

1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 -1 1 1

X=

Matriz de Planejamento

Vetor de parâmetros

1

1

2

11

12

Modelo matricial

Como a variável resposta que recebeu

A no nível 2 e B no nível 3 está

estruturada sob o modelo de ANOVA

com interação? E sob o modelo

reduzido com somente efeitos

principais dos fatores?



Boxplot

Bartlett test of homogeneity of variances: K-squared = 1.595, df = 5, p-value = 0.9019

A1 A2

B1 4 (4) 12,33 (2,08) 8,17

B2 8 (2) 2 (2) 5

B3 6,33 (2,08) 12 (3) 9,17

6,11 8,78 7,44

Estatísticas descritivas. Média e desvio

padrão (entre parênteses).

Comente o padrão de variação das

médias.

Há evidência de variâncias

heterogêneas entre os grupos?



Gráfico de Perfis de Médias



Tabela ANOVA


A 1 32.00 32.00 4.608 0.05296 .

B 2 56.78 28.39 4.088 0.04427 *

A*B 2 174.33 87.17 12.552 0.00114 **

Residuals 12 83.33 6.94

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Conclusão!

Estimativas dos Parâmetros do Modelo

A1 A2

B1 4 12,33 8,17

B2 8 2 5

B3 6,33 12 9,17

6,11 8,78 7,44

Médias conjuntas e marginais.

33,444,7511,68ˆ

83,244,717,811,64ˆ

44,244,75ˆ

772,044,717,8ˆ

33,144,711,6ˆ

44,7ˆ

211..22121

111..11111

22.2

11.1

1.11

; 1, 2, 3; 1, 2; 1, 2, 3ijk i j ij ijky e k i j 0i j ij ij

i j i j



Comparações Múltiplas de Tukey

Quais as conclusões sobre o efeito de

interação?

Tukey multiple comparisons of means

95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = resp ~ fa1 + fa2 + fa1 * fa2)

$fa1

diff lwr upr p adj

A2-A1 2.666667 -0.03998531 5.373319 0.0529613

$fa2

diff lwr upr p adj

B2-B1 -3.166667 -7.2256920 0.8923586 0.1355932

B3-B1 1.000000 -3.0590253 5.0590253 0.7918881

B3-B2 4.166667 0.1076414 8.2256920 0.0441382

$`fa1:fa2`

diff lwr upr p adj

A2:B1-A1:B1 8.3333333 1.106086 15.560580 0.0210126

A1:B2-A1:B1 4.0000000 -3.227247 11.227247 0.4680175

A2:B2-A1:B1 -2.0000000 -9.227247 5.227247 0.9311201

A1:B3-A1:B1 2.3333333 -4.893914 9.560580 0.8784933

A2:B3-A1:B1 8.0000000 0.772753 15.227247 0.0273035

A1:B2-A2:B1 -4.3333333 -11.560580 2.893914 0.3886729

A2:B2-A2:B1 -10.3333333 -17.560580 -3.106086 0.0044581

A1:B3-A2:B1 -6.0000000 -13.227247 1.227247 0.1272120

A2:B3-A2:B1 -0.3333333 -7.560580 6.893914 0.9999837

A2:B2-A1:B2 -6.0000000 -13.227247 1.227247 0.1272120

A1:B3-A1:B2 -1.6666667 -8.893914 5.560580 0.9668330

A2:B3-A1:B2 4.0000000 -3.227247 11.227247 0.4680175

A1:B3-A2:B2 4.3333333 -2.893914 11.560580 0.3886729

A2:B3-A2:B2 10.0000000 2.772753 17.227247 0.0057481

A2:B3-A1:B3 5.6666667 -1.560580 12.893914 0.1620495

Realize comparações múltiplas de

Tukey entre as médias de A dentro

dos níveis do fator B.

Construa o teste dos contrastes do efeito de

interação.

2;12; /2

1( Re )i jY Y q QM s

r

B1: 8.33 4.688

B2: -6.0 4.688

B3: 5.67 4.688

Realize comparações múltiplas entre

as médias de B dentro dos níveis do

fator A.

3;12; /2

1( Re )i jY Y q QM s

r

A1: 4.00 5.74 2.33 5.74 -1.67 5.74

A2:-10.33 5.74 -0.33 5.74 10.005.74

11 12 13 21 22 23

11 13 21 23

12 13 22 23

1 0 -1 -1 0 1

0 1 -1 0 -1 1

Conclusão?

Qual é o coletivo?

Conclusão? Qual é o coletivo?

Calcule também os intervalos de

Bonferroni para comparar as médias de A

dentro de B e de B dentro de A.

A1 A2

B1 B2 B3 B1 B2 B3

8 8 4 14 0 15

4 10 8 10 4 9

0 6 7 13 2 12



A análise destes dados pode também ser feita via a formulação de um

modelo de regressão com variáveis indicadoras de efeito de tratamentos:

Veja a matriz de regressão definida a seguir:

1 1 1 2 2 3 11 1 2 12 1 3* * ; 1, 2, ...,18k k k k k k k k ijky X X X X X X X e k

Variáveis preditoras: X1 X2 X3 X1X2 X1X3

Modelo de regressão ajustado:

A B Repl Y X1 X2 X3 X1X2 X1X3

1 1 1 8 1 1 0 1 0

1 1 2 4 1 1 0 1 0

1 1 3 0 1 1 0 1 0

1 2 1 8 1 0 1 0 1

1 2 2 10 1 0 1 0 1

1 2 3 6 1 0 1 0 1

1 3 1 4 1 -1 -1 -1 -1

1 3 2 8 1 -1 -1 -1 -1

1 3 3 7 1 -1 -1 -1 -1

2 1 1 14 -1 1 0 -1 0

2 1 2 10 -1 1 0 -1 0

2 1 3 13 -1 1 0 -1 0

2 2 1 0 -1 0 1 0 -1

2 2 2 4 -1 0 1 0 -1

2 2 3 2 -1 0 1 0 -1

2 3 1 15 -1 -1 -1 1 1

2 3 2 9 -1 -1 -1 1 1

2 3 3 12 -1 -1 -1 1 1

Y = 7,44 - 1,33 X1 + 0,722 X2 - 2,44 X3 - 2,83 X1X2 + 4,33 X1X3

Formulação de Regressão do Modelo ANOVA


The regression equation is

Y = 7,44 - 1,33 X1 + 0,722 X2 - 2,44 X3 - 2,83 X1X2 + 4,33 X1X3

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 7,4444 0,6211 11,99 0,000

X1 -1,3333 0,6211 -2,15 0,053

X2 0,7222 0,8784 0,82 0,427

X3 -2,4444 0,8784 -2,78 0,017

X1X2 -2,8333 0,8784 -3,23 0,007

X1X3 4,3333 0,8784 4,93 0,000

S = 2,63523 R-Sq = 75,9% R-Sq(adj) = 65,9%

Interprete as estimativas dos

coeficientes de regressão em

termos dos efeitos principais e

de interação do modelo de

ANOVA!

Teste dos dois contrastes ortogonais

representando o efeito de interação

Y = 7,44 - 1,33 X1 + 0,722 X2 - 2,44 X3 - 2,83 X1X2 + 4,33 X1X3


A1 A2

B1 4 12,33 8,17

B2 8 2 5

B3 6,33 12 9,17

6,11 8,78 7,44

Médias conjuntas e marginais.

33,444,7511,68ˆ

83,244,717,811,64ˆ

44,244,75ˆ

772,044,717,8ˆ

33,144,711,6ˆ

44,7ˆ

211..22121

111..11111

22.2

11.1

1.11

FV SQ gl QM

Modelo 263,111 5 52,622

X1 32,00 1

X2|X1 3,00 1

X3|X1,X2 53,78 1

X1X2|X1,X2,X3 5,33 1

X1X3|X1,X2,X3,X1X2 169,00 1

Resíduo 83,333 18-6 6,944

Total 346,444 18-1

SQM(X2|X1) = SQM(X1,X2) – SQM(X1) = SQRes(X1) – SQRes(X1,X2)

SQM(X3|X1,X2) = SQRes(X1,X2) – SQRes(X1,X2,X3)

SQM(X1X2|X1,X2,X3) = SQRes(X1,X2,X3) – SQRes(X1,X2,X3, X1X2)

SQM(X1X3|X1,X2,X3,X1X2) = SQRes(X1,X2,X3,X1X2) – SQRes(X1,X2,X3,X1X2,X1X3)

SQ(A*B)

174,33

SQ(B)

56,78


SQ(A)


A 1 32.00 32.00 4.608 0.05296 .

B 2 56.78 28.39 4.088 0.04427 *

A*B 2 174.33 87.17 12.552 0.00114 **

Residuals 12 83.33 6.94

Delineamento Completamente

Aleatorizado com Estrutura Fatorial 2K

Concentração de um metabólito de acordo com dois níveis

fixados de variáveis químicas da dieta.

A B C Y

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

Discuta características

deste delineamento:

• Tratamentos

• Réplicas

• Esqueleto da

ANOVA

• Estimativas dos

Efeitos

- : nível baixo do fator; +: nível alto do fator



Dados da concentração de um metabólito de

acordo com dois níveis dos fatores A, B e C.

A B C Y

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

> fiti2 <- aov(resp ~ fa1 + fa2 + fa3 + fa1*fa2

+ fa1:fa3 + fa2:fa3 + fa1:fa2:fa3)

> anova(fiti2)

Analysis of Variance Table

Response: resp


fa1 1 1058.0 1058.0

fa2 1 50.0 50.0

fa3 1 4.5 4.5

fa1:fa2 1 4.5 4.5

fa1:fa3 1 200.0 200.0

fa2:fa3 1 0.0 0.0

fa1:fa2:fa3 1 0.5 0.5

Residuals 0 0.0

Não há graus de liberdade para o Resíduo!

Solução: Incluir termos de interação de mais alta

ordem como fatores residuais.



> fiti1 <- aov(resp ~ fa1 + fa2 + fa3 + fa1:fa2 + fa1:fa3)


Response: resp


fa1 1 1058.0 1058.00 4232 0.0002362 ***

fa2 1 50.0 50.00 200 0.0049628 **

fa3 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .

fa1:fa2 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .

fa1:fa3 1 200.0 200.00 800 0.0012477 **

Residuals 2 0.5 0.25

Fatores incluídos no resíduo (2 graus de Liberdade) que

não são significantes:

fa2:fa3 + fa1:fa2:fa3

SQResíduo = SQ(fa2:fa3) + SQ(fa1:fa2:fa3)

> tapply(resp,list(fa1,fa2), mean)

0 1

0 56.0 49.5

1 77.5 74.0

> fiti1.tu12 <- TukeyHSD(fiti1, "fa1:fa2")

> fiti1.tu12

Tukey multiple comparisons of means

95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = resp ~ fa1 + fa2 + fa3 + fa1:fa2 + fa1:fa3)

$`fa1:fa2`

diff lwr upr p adj

1:0-0:0 21.5 18.035527 24.96447342 0.0001277

0:1-0:0 -6.5 -9.964473 -3.03552658 0.0147557

1:1-0:0 18.0 14.535527 21.46447342 0.0005878

0:1-1:0 -28.0 -31.464473 -24.53552658 0.0000036

1:1-1:0 -3.5 -6.964473 -0.03552658 0.0490327

1:1-0:1 24.5 21.035527 27.96447342 0.0000276



Interprete os resultados das

comparações múltiplas de

Tukey entre pares de medias.

Delineamento Fatorial 2K

Concentração de um metabólito de acordo com dois níveis

fixados de variáveis químicas da dieta.

A B C Y

1 - - - 60

2 + - - 72

3 - + - 54

4 + + - 68

5 - - + 52

6 + - + 83

7 - + + 45

8 + + + 80

Estruturação

conveniente dos

dados para

estimação dos

efeitos principais e

de interação!

Delineamento 2K

Média A B C AB AC BC ABC Y

+ - - - + + + - 60

+ + - - - - + + 72

+ - + - - + - + 54

+ + + - + - - - 68

+ - - + + - - + 52

+ + - + - + - - 83

+ - + + - - + - 45

+ + + + + + + + 80

Média geral:

Efeito principal de A:

Efeito de interação de primeira ordem de AB:

60 72 54 68 52 83 45 80 51464,25

8 8

60 72 54 68 52 83 45 80 303 211 9223,00

4 4 4 4

60 72 54 68 52 83 45 80 4010,00

4 4

lj jA A jY Y c Y

lj jA B A B A B A B jY Y Y Y c Y

Não há replicas:

; 1j ijY Y i

Estimativas dos efeitos:

> Efeito A = 23.0

> Efeito B = -5.0

> Efeito C = 1.5

> Efeito AB = 1.5

> Efeito AC = 10.0

> Efeito BC = 0.0

> Efeito ABC = 0.5

Delineamento 2K

Média A B C AB AC BC ABC Y

+ - - - + + + - 60

+ + - - - - + + 72

+ - + - - + - + 54

+ + + - + - - - 68

+ - - + + - - + 52

+ + - + - + - - 83

+ - + + - - + - 45

+ + + + + + + + 80

Teste a significância destes efeitos.

Obtenha Intervalos de Confiança para estes Efeitos.


2~ ; ; 1,..., ; 1,..., ; 2K

ij jY N i r j G G

22~ ; ; 0lj j lj j lj ljj j j j

c Y N c c cr

0 1: 0 : 0j j j jj jH c H c

2

. .Re

2

ˆ~ ; ReRe

lj jj

l g l s

ljj

c Yt t QM s

QM sc

r

2 2

2

2

1,( . .Re )2

/~

1 Re / Re /Re

lj j lj j ljj j j l

l l g l s

ljj

c Y c Y c SQ Ct F F

QM s r QM s rQM s c

r



Response: resp


fa1 1 1058.0 1058.00 4232 0.0002362 ***

fa2 1 50.0 50.00 200 0.0049628 **

fa3 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .

fa1:fa2 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .

fa1:fa3 1 200.0 200.00 800 0.0012477 **


2 2

2

1,( . .Re )2

/~

1 Re / Re /Re

lj j lj j ljj j j l

l g l s

ljj

c Y c Y c SQ CF F

QM s r QM s rQM s c

r

5,( . .Re )~

Re

A B C AB AC

A B C AB AC g l s

SQ C SQ C SQ C SQ C SQ CF F F F F F

QM s



Response: resp


fa1 1 1058.0 1058.00 4232 0.0002362 ***

fa2 1 50.0 50.00 200 0.0049628 **

fa3 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .

fa1:fa2 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .

fa1:fa3 1 200.0 200.00 800 0.0012477 **


(5,2)

1317,005.268,00 ~

0.25lF F

2

. .Re a (1 )100% ( / 2) Rel lj j g l s ljj jIC C c Y t QM s c

Estimativas dos efeitos:

> Efeito A 23.0 4.30(0.25/4)= 23 1.075

> Efeito B = -5.0 1.075

> Efeito C = 1.5 1.075

> Efeito AB = 1.5 1.075

> Efeito AC = 10.0 1.075

> Efeito BC = 0.0 1.075

> Efeito ABC = 0.5 1.075

K: número de

grupos : número

de graus de

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MAE 317 Planejamento de Experimentos I - IME-USP