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MAE 0523 - Teoria da Decisão
Fossaluza, V.
2o semestre de 2015
Aula 01 - Programa
I Elementos de um problema de decisãoI Certeza e incertezaI Probabilidade, utilidade e perdaI Maximização de utilidade esperadaI Formas normal e extensivaI Soluções de Bayes, minimax e admissibilidadeI Funções de decisão e riscoI Estimação e Testes de Hipóteses
I AplicaçõesI Decisões Coletivas
Aula 01 - Referências
I M. H. DeGroot, Optimal Statistical Decisions, Wiley, 2004.I D. V. Lindley, Making Decisions, 2nd ed., London: John Wiley,
1988.I S. French, D. R. Insua, Statistical Decision Theory, New York:
Arnold, 2000.I G. Parmigiani, L. Inoue, Decision Theory: Principles and
Approaches. Chichester: John Wiley, 2009.I R. D. Luce, H. Raiffa, Games and Decicions: Introduction and
Critical Survey. New York: Dover, 1989.I J. O. Berger, Statistical Decision Theory: Foundations,
Concepts and Methods. New York: Springer-Verlag, 1985.I J. W. Pratt, H. Raiffa, R. Schlaifer, Introduction to statistical
decision theory. MIT press, 1995.
Aula 01 - Exemplos
1. Matricular-se ou não em MAE 0523 (conteúdo interessante,método de avaliação: prova/lista/presença, dificuldade,ministrante. . . )
2. Decidir se deve levar ou não o guarda chuva quando sai pelamanhã (carregar peso, tomar chuva, previsão do tempo,. . . )
3. Viajar a Belo Horizonte para assistir o jogo Cruzeiro xPalmeiras (distância, custo, chances de seu time ganhar,. . . )
4. Problemas de Inferência (Estimação/Testes de Hipóteses)I estimar a proporção de paulistanos favoráveis à redução da
velocidade nas marginaisθ ∈
kN , k = 0, . . . ,N
, N: no de paulistanos
simplificação: θ ∈ [0, 1]
Aula 02 - ProbabilidadeI Ω: espaço amostral
I A: σ-álgebra de subconjuntos de Ω, isto é,1. Θ ∈ A;2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A;3. A1,A2, . . . ∈ A =⇒
⋃i≥1
Ai ∈ A.
I Os elementos de A são chamados de eventos e serãodenotados por A,B,C , . . . ,A1,A2, . . .
I P : A −→ [0, 1] é uma medida de probabilidade se1. P(Ω) = 1;2. A1,A2, . . . ∈ A com Ai
⋂Aj = ∅ , P
⋃i≥1
Ai
=∑i≥1P (Ai ).
I Probabilidade: expressão numérica de incerteza
Aula 02 - Relação de Crença -
- : relação de “crença” em A×A
I A ≺ B : acredito mais em B que em A (B A)I A ∼ B : acredito igualmente em B e AI A - B : acredito em B pelo menos tanto quanto em A
Objetivo: sob certas condições em -, obter uma medida de proba-bilidade P que representa (concorda) com -.
A - B ⇐⇒ P(A) ≤ P(B)
Aula 02 - Suposições sobre -
SP1: Para A,B ∈ A, exatamente uma das afirmações a seguir devevaler: A ≺ B , B ≺ A ou A ∼ B.
SP2: A1,A2,B1,B2 ∈ A tais que A1 ∩A2 = B1 ∩B2 = ∅ e Ai - Bi ,i = 1, 2. Então A1 ∪ A2 - B1 ∪ B2.
Além disso, se Ai ≺ Bi para algum i , então A1 ∪ A2 ≺ B1 ∪ B2.
Lema 1: A,B,D ∈ A tais que A ∩ D = B ∩ D = ∅. Então
A - B ⇔ A ∪ D - B ∪ D
Demo: (⇒) A - B ⇒ A ∪ D - B ∪ D (SP1)(⇐) B ≺ A⇒ B ∪ D ≺ A ∪ D (SP1)
Aula 02 - Suposições sobre -
Teorema 1: Se A - B e B - D então A - D.
Teorema 2 (generalização do SP2): Se A1, . . . ,An são eventosdisjuntos e B1, . . . ,Bn são também eventos disjuntos tais que Ai - Bi ,para i = 1, . . . , n, então
n⋃i=1
Ai -n⋃
i=1Bi .
Se Ai ≺ Bi para algum i, então⋃n
i=1 Ai ≺⋃n
i=1 Bi .
Teorema 3: Se A - B então Ac % Bc .
Demo: Do Lema 1, A∪(Ac∩Bc) - B∪(Ac∩Bc)⇒ Bc∪(A∩B) -Ac ∪ (A ∩ B)⇒ Bc - Ac .
Aula 02 - Suposições sobre -
Demo do Teorema 1:
52
6
4
1
3
7
AB
D
52
6
4
1
3
7
AB
D
(i) (1) ∪ (2) ∪ (4) ∪ (5) - (1) ∪ (2) ∪ (3) ∪ (6) ⇒ (4) ∪ (5) - (3) ∪ (6)
(ii) Analogamente, (2) ∪ (6) - (4) ∪ (7)
De (i) e (ii) e pelo Lema 1, (4) ∪ (5) ∪ (2) ∪ (6) - (3) ∪ (6) ∪ (4) ∪ (7)
⇒ (2) ∪ (5) - (3) ∪ (7) ⇒ (2) ∪ (5) ∪ (1) ∪ (4) - (3) ∪ (7) ∪ (1) ∪ (4)
Aula 02 - Suposições sobre -
SP3: Se A é um evento, então ∅ - A. Além disso, ∅ ≺ Ω.
Resultado: Para todo evento A, A - Ω.
Demo: Por SP3, ∅ - Ac . Tomando D = A no Lema 1, ∅ ∪ A -Ac ∪ A⇒ A - Ω.
Teorema 4: Se A ⊆ B então A - B.
Demo: Suponha, B ≺ A. Tomando D = Bc no Lema 1, B ∪ Bc ≺A ∪ Bc ⇒ Ω ≺ A ∪ Bc . Absurdo!
Aula 03 - Suposições sobre -
SP4: Se A1,A2, . . . uma sequência decrescente de eventos, isto é,An ⊇ An+1, ∀n, e B tal que B - An, ∀n então
B -⋂n≥1
An.
Exemplo 1: ω0 ∈ Ω. A - B ⇔ ω0 ∈ B ou ω0 /∈ (A ∪ B).
- obedece a SP1 a SP4(SP1) A - B ⇔ ω0 ∈ B ∪ (A ∪ B)c
⇒ B ≺ A⇔ ω0 ∈ Bc ∩ (A ∪ B)⇔ ω0 ∈ A ∩ Bc .Analogamente, A ≺ B ⇔ ω0 ∈ B ∩ Ac .A ∼ B ⇔ A - B e B - A
⇔ ω0 ∈ [B ∪ (A ∪ B)c ] ∩ [A ∪ (A ∪ B)c ]⇔ ω0 ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∪ B)c .
Aula 03 - Suposições sobre -
(SP2) Ai - Bi , i = 1, 2⇔ ω0 ∈ [B1 ∪ (A1 ∪ B1)c ] ∩ [B2 ∪ (A2 ∪ B2)c ]⇔ ω0 ∈ [(B1 ∪ B2) ∩ Dc ] ∪ (A1 ∪ B1 ∪ A2 ∪ B2)c ,
com, D = (A1 ∩ B2) ∪ (A2 ∩ B1).A1 ∪A2 - B1 ∪B2 ⇔ ω0 ∈ (B1 ∪B2)∪ (A1 ∪A2 ∪B1 ∪B2)c
Como (B1 ∪ B2) ∩ Dc ⊆ (B1 ∪ B2), vale o SP2.
(SP3) ∅ - A⇔ ω0 ∈ A ∪ (∅ ∪ A)c ⇔ ω0 ∈ A ∪ Ac = Ω.Como Ω é não-vazio, ∃ω0 ∈ Ω e, portanto, ∅ ≺ Ω.
(SP4) Exercício
Exemplo 2: Ω = N, A = P(N). A - B ⇔ B é infinito ou A e Bsão finitos com |A| ≤ |B|. Mostre se - satisfaz SP1 a SP4.
Aula 03 - Suposições sobre -
Teorema 5: Se A1 ⊆ A2 ⊆ . . . é uma sequência crescente de eventose B é tal que An - B,∀n então⋃
n≥1An - B.
Demo: Acn ⊇ Ac
n+1 e, pelo Teo 3, Acn % Bc .
Por SP4,⋂
n≥1 Acn - Bc ⇒
⋃n≥1 An - B.
Teorema 6: (An)n≥1 e (Bn)n≥1 sequências tais que Ai ∩ Aj =Bk ∩ Bl = ∅, ∀i 6= j , ∀k 6= l .
Ai - Bi , ∀i ⇒⋃n≥1
An -⋃n≥1
Bn.
Se existe ao menos um j tal que Aj ≺ Bj então⋃n≥1
An ≺⋃n≥1
Bn.
Aula 03 - Suposições sobre -
Demo: Da extensão de SP2, temos quen⋃
i=1Ai -
n⋃i=1
Bi , ∀n ≥ 1
⇒n⋃
i=1Ai -
∞⋃i=1
Bi , ∀n ≥ 1 ⇒∞⋃
i=1Ai -
∞⋃i=1
Bi (Teo 5)
∃n0 tal que An0 ≺ bn0 . De SP2, temos que, para n ≥ n0,
n0⋃i=1
Ai =n0−1⋃i=1
Ai ∪ An0 ≺n0−1⋃i=1
Bi ∪ Bn0 =n0⋃
i=1Bi ⇒
n0⋃i=1
Ai ≺n0⋃
i=1Bi
Da primeira parte, temos que∞⋃
i=n0+1Ai -
∞⋃i=n0+1
Bi e, por SP2,
n0⋃i=1
Ai ∪∞⋃
i=n0+1Ai ≺
n0⋃i=1
Bi ∪∞⋃
i=n0+1Bi
provando o resultado.
Aula 04 - Suposições sobre -
SP5: Existe uma variável aleatória X : Ω −→ R, A-mensurável, talque X (ω) ∈ [0, 1],∀ω ∈ Ω e, se I1 e I2 são intervalos contidos em[0, 1],
X ∈ I1 - X ∈ I2 ⇔ λ(I1) ≤ λ(I2) .
I Se I = [a, b] ⊆ [0, 1], λ(I) = b − a é o comprimento dointervalo I (medida de Lebesgue).
I “Experimento auxiliar” ; X ∼ Uniforme[0,1]
I X ∈ [a, b] ∼ X ∈ (a, b] ∼ X ∈ [a, b) ∼ X ∈ (a, b)
Aula 04 - Medida de Probabilidade que “representa” -Teorema 7: Seja A ∈ A. Então ∃!a∗ ∈ [0, 1] tal queA ∼ X ∈ [0, a∗].
Demo: Seja U(A) = a ∈ [0, 1] : A - X ∈ [0, a].1 ∈ U(A) pois Ω = X ∈ [0, 1] % A ⇒ U(A) 6= ∅.Tome a∗ = inf U(A).
(i) Considere (an)n≥1, an ∈ [0, 1],∀n ≥ 1, tal que an ≥ an+1 ≥ a∗
e an ↓ a∗. Então, ∀n ≥ 1 , X ∈ [0, an] % A.
Por SP4,∞⋂
n=1X ∈ [0, an] % A ⇒ X ∈ [0, a∗] % A
(ii) Se a∗ = 0 , X ∈ [0, 0] ∼ ∅ - A (por SP3)Se a∗ > 0 , considere (an)n≥1 com an ≤ an+1 < a∗ e an ↑ a∗.
X ∈ [0, an] - A,∀n ≥ 1 e, pelo Teo 5,∞⋃
n=1X ∈ [0, an] - A
⇒ X ∈ [0, a∗) ∼ X ∈ [0, a∗] - A.
De (i) e (ii), temos que A ∼ X ∈ [0, a∗].
Aula 04 - Medida de Probabilidade que “representa” -Teorema 8: A probabilidade do evento A, P(A), é definida comoa∗ ∈ [0, 1] tal que A ∼ X ∈ [0, a∗]. Assim, A ∼ X ∈ [0,P(A)].A função de probabilidade assim definida satisfaz:
A - B ⇔ P(A) ≤ P(B).
Demo: Do Teo 7, A ∼ X ∈ [0,P(A)] e B ∼ X ∈ [0,P(B)].A - B ⇔ X ∈ [0,P(A)] - X ∈ [0,P(B)]
⇔ λ ([0,P(A)]) - λ ([0,P(B)]) ⇔ P(A) ≤ P(B).
Teorema 9: A função P : A −→ [0, 1] que, para cada A ∈ A,associa P(A) tal que A ∼ X ∈ [0,P(A)] é uma medida de proba-bilidade (no sentido σ-aditiva).
Demo: P(A) ≥ 0.Ω ∼ X ∈ [0, 1] ⇒ P(Ω) = 1 . ∅ ∼ X ∈ [0, 0] ⇒ P(∅) = 0∅ - A⇒ 0 ≤ P(A).
Aula 04 - Medida de Probabilidade que “representa” -
Demo: Seja A e B tal que A ∩ B = ∅. Vamos mostrar queP(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Pelo Teo 8, A ∼ X ∈ [0,P(A)], B ∼ X ∈ [0,P(B)],A ∪ B ∼ X ∈ [0,P(A ∪ B)].
Como A ⊆ A∪B e, por SP3, A - A∪B, vale que P(A) ≤ P(A∪B).Vamos verificar que B ∼ X ∈ (P(A),P(A ∪ B)].Suponha, por absurdo, B ≺ X ∈ (P(A),P(A ∪ B)].
A - X ∈ [0,P(A)] SP2=⇒
⇒ A ∪ B ≺ X ∈ [0,P(A)] ∪ X ∈ (P(A),P(A ∪ B)]⇒ A ∪ B ≺ X ∈ [0,P(A)] ∪ (P(A),P(A ∪ B)]⇒ A ∪ B ≺ X ∈ [0,P(A ∪ B)] (Absurdo!)
Analogamente, B X ∈ (P(A),P(A ∪ B)] é absurdo! Logo,B ∼ X ∈ (P(A),P(A ∪ B)] ∼ X ∈ [0,P(A ∪ B)− P(A)] .Como B ∼ X ∈ [0,P(B)], temos que P(A∪B) = P(A) +P(B).
Aula 05 - Medida de Probabilidade que “representa” -
Corolário 1: Se A1, . . . ,An são eventos disjuntos, então
P
( n⋃i=1
Ai
)=
n∑i=1P (Ai ) .
Teorema 10: Seja A1 ⊇ A2 ⊇ . . . uma seq. decrescente de eventostais que
⋂ni=1 Ai = ∅. Então lim
n↑∞P(An) = 0.
Demo: A1 ⊇ A2 ⊇ . . . ⇒ P(A1) ≥ P(A)2 ≥ . . .Além disso, lim
n↑∞P(An) = b.
Como P(An) ≥ b, ∀n, segue que An % X ∈ [0, b], ∀n.Por SP4, ∅ =
⋂∞i=n Ai % X ∈ [0, b].
Se b > 0, então X ∈ [0, b] X ∈ [0, b/2] % ∅. Como essarelação contradiz a anterior, temos que b deve ser igual a 0.
Aula 05 - Medida de Probabilidade que “representa” -
Exercício 1: Use o Corolário 1 e o Teorema 10 para conculuir ademonstração do Teorema 9, mostrando que P é σ-aditiva, isto é,
P
( ∞⋃i=1
Ai
)=∞∑
i=1P (Ai ) , Ai ∩ Aj = ∅,∀i 6= j .
Teorema 11: Se a relação de crença - obedece SP1 a SP5 então∃! P : A → [0, 1], medida de probabilidade, tal que P representa -.
Exercício 2: Demonstre o Teorema 11.
Aula 05 - Medida de Probabilidade Condicional
Nova Relação: A,B,D ∈ A ; (A|D) - (B|D)
(Sabendo que D ocorreu, B é preferível a A).
I Para D = Ω, temos o caso anterior: A - B ⇔ (A|Ω) - (B|Ω).I Suponha que vale as suposições SP1 a SP5 e, adicionalmente,
SP6: A,B,D ∈ A
(A|D) - (B|D)⇔ (A∩D) - (B ∩D)
((A∩D|Ω) - (B ∩D|Ω)
)
Aula 05 - Medida de Probabilidade CondicionalPropriedade decorrentes de SP1 a SP6:
1. ∀A,B,D, (A|D) - (B|D).
2. Se (A|D) - (B|D) e (B|D) - (E |D) então (A|D) - (E |D).
3. A,B,D,E com A ∩ D ∩ E ∼ B ∩ D ∩ E ∼ ∅.(A|D) - (B|D) ⇔ (A ∪ E |D) - (B ∪ E |D).
4. (A|D) - (B|D) ⇔ (Ac |D) % (Bc |D).
5. Seja B,D e (An)n≥1 tal que An ⊇ An+1.
(B|D) - (An|D), ∀n, então (B|D) - (∞⋂
n=1An|D).
6. (An)n≥1 e (Bn)n≥1 tal que Bi ∩ Bj ∼ D ∼ ∅, i 6= j e
(An|D) - (Bn|D), ∀n. Então( ∞⋃
n=1An|D
)-
( ∞⋃n=1
Bn|D)
Aula 05 - Medida de Probabilidade Condicional
Teorema 12: ∀A,B,D ∈ A, considere - satisfazendo SP1 a SP6.Então P : A → [0, 1] de modo que para cada A ∈ A é associ-ada P(A) ∈ [0, 1] tal que A ∼ X ∈ [0,P(A)] é uma medida deprobabilidade que reprsenta -, isto é,
(A|Ω) - (B|Ω)⇔ P(A) ≤ P(B).
Além disso, se D ∈ A é tal que P(D) ≥ 0, então
(A|D) - (B|D)⇔ P(A|D) ≤ P(B|D),
onde P(·|D) : A → [0, 1] é uma medida de probabilidade tal que
P(A|D) =P(A ∩ D)
P(D).
Aula 06 - Relação de Preferências -∗
Suposições: Seja A o conjunto de objetos sobre o qual considera-sea noção de preferência.
U1: comparabilidade∀a, b ∈ A , a -∗ b ou b -∗ a ou ambos (a ∼∗ b).
U2: transitividade∀a, b ∈ A , se a -∗ b e b -∗ c então a -∗ c.
U3: consistência entre preferência fraca e indiferença∀a, b ∈ A , a ∼∗ b ⇔ (a -∗ b e a %∗ b).
U4: ∀a, b ∈ A , a ≺∗ b ⇔ b %/ ∗a.
Dizemos que a função utilidade U : A → R representa (concordacom) -∗ se
a -∗ b ⇔ U(a) ≤ U(b)
Aula 06 - Noções de Preferências e Função UtilidadeTeorema: A finito ou enumerável e -∗ atendento U1 a U4. Então,∃U : A→ R que representa -∗.
Caso Finito: Considere A finito e, para cada a ∈ A, seja M(a) =b ∈ A : b -∗ a. Tome U(a) = |M(a)|.(i) a -∗ b ⇒ M(a) ⊆ M(b)⇒ U(a) ≤ U(b).(ii) a ∗ b ⇒ M(a) ⊇ M(b)⇒ U(a) ≥ U(b). Além disso, a ∈ M(a)mas a /∈ M(b) e, portanto, M(a) ⊃ M(b). Então U(a) > U(b).
Exemplo: A = Quatro Queijos(Q),Calabresa(C),Marguerita(M),Jiló(J)
Q C M JQ 1 1 1 1C 0 1 0 1M 0 1 1 1J 0 0 0 1
U(Q) = 4 ; U(M) = 3 ; U(C) = 2 ; U(J) = 1
Aula 06 - Noções de Preferências e Função Utilidade
Caso Enumerável: Considere A = a1, a2, . . . e seja
U(aj) =∞∑
i=1
δij2i ,
onde δij = I(ai -∗ aj). Considere M(a) = ai ∈ A : ai -∗ a ea = ai , b = aj(i) a -∗ b ⇒ M(a) ⊆ M(b)⇒ U(a) ≤ U(b).(ii) a ∗ b ⇒ M(a) ⊃ M(b)⇒ U(a) > U(b).
I Caso não enumerável ???
Aula 06 - Noções de Preferências e Função Utilidade
Definição: Dizemos que B ⊆ A é “order-dense” com relação à -∗
se ∀a, d ∈ Ar B tais que a ≺ d e ∃b ∈ B tal que a ≺ b ≺ d .
Teorema: Seja A e -∗ satisfazendo U1 a U4. Se existe B “order-dense” enumerável então existe U : A→ R tal que
a -∗ b ⇔ U(a) ≤ U(b).
Demo: Omitida!
Aula 07 - Problemas com incertezaEm problemas reais, em geral, nos deparamos com situações onde
precisamos tomar decisões na presença de incerteza.
Nesse caso, temos que construir a função utilidade (perda) comalgumas propriedades, de modo que seja possível obter teoremas derepresentação, como feito anteriormente.
Considere um experimento onde os possíveis resultados θ pertencema um espaço Θ (chamado espaço de estados da natureza ou espaçoparamétrico). Seja D o espaço de todas as possíveis ações ou decisõesd .
Seja R o conjuntos de todas as possíveis recompensas r = r(d , θ)quando o estatístico toma a decisão d e o resultado do experimentoé θ. O nome “recompensas” é uma convenção de linguagem e estáassociado a consequência da decisão d . Essa recompensa pode seralgo complicado e não está necessariamente associadas a quantidadesmonetárias.
Aula 07 - Problemas com incertezaExemplo: Venda de pamonha (v: venda, c: custo)
Ações: d0, d1, d2 , di : fazer i pamonhas.
di -∗ dj ⇔ g(di ) ≤ g(dj)
Demanda 1: g(d0) = 0 ; g(d1) = v − c ; g(d2) = v − 2c
Quando não há incerteza, -∗ é representado por U : D → R.Nesse exemplo, di -∗ dj ⇔ g(di ) ≤ g(dj).
Demanda desconhecida: θ ∈ 0, 1, 2Recompensa (induzida por di) na reta ou loteria ou medida Pdi .
d0 → g(d0, 0) = g(d0, 1) = g(d0, 2) = 0
d1 → g(d1, 0) = −c ; g(d1, 1) = g(d1, 2) = v − c
d2 → g(d2, 0) = −2c ; g(d2, 1) = v − 2c ; g(d2, 2) = 2v − 2c
Nesse caso, cada di induz uma medida de probabilidade Pi .É necessário comparar as Pi ’s! (di -∗ dj ⇔ Pdi -
∗ Pdj )
Aula 07 - Problemas com incerteza
Seja A uma σ-álgebra de subconjuntos de R e P o conjunto dasmedidas de probabilidade em (R,A).
Objetivo: r1 -∗ r2 ⇔ Pr1 -∗ Pr2
Notação: [r1, r2] = r ∈ R : r1 -∗ r -∗ r2
Condições:
1. ∀r1, r2 ∈ R, [r1, r2] ∈ A.2. P ∈ P é limitada se ∃r1, r2 ∈ R tal que P([r1, r2]) = 1.3. PL: classe das distribuições de probabilidade limitadas.4. PL é convexa se P1,P2 ∈ PL ⇒ αP1 + (1− α)P2 ∈ PL.
Aula 07 - Problemas com incerteza: Função Utilidade
Suposições:
SU1: P1,P2 ∈ PL. Então P1 -∗ P2.
SU2: P1,P2,P3 ∈ PL. P1 -∗ P2 e P2 -∗ P3 então P1 -∗ P3.
SU3: P1,P2,P ∈ PL e α ∈ (0, 1).P1 -∗ P2 ⇔ αP1 + (1− α)P -∗ αP2 + (1− α)P.
Resultado 1: P1,P2,Q1,Q2 ∈ PL , Pi -∗ Qi , i = 1, 2 e ∀α ∈(0, 1) , αP1 + (1− α)P2 -∗ αQ1 + (1− α)Q2.
Demo: αP1 +(1−α)P2 -∗ αQ1 +(1−α)P2 -∗ αQ1 +(1−α)Q2.
Resultado 2: r1, r2 ∈ R , r1 ≺∗ r2 e α ∈ (0, 1). Então r1 ≺∗αr1 + (1− α)r2 ≺∗ r2.
Demo: r1 = αr1 + (1− α)r1 ≺∗ αr1 + (1− α)r2 ≺∗ r2.
Aula 07 - Problemas com incerteza: Função Utilidade
Resultado 3: r1, r2 ∈ R , r1 ≺∗ r2 e α, β ∈ (0, 1). Entãoαr1 + (1− α)r1 ≺∗ βr2 + (1− β)r2 ⇔ α < β.
Demo:(⇐) α < β ⇒ 1−β
1−α = γ < 1αr2 +(1−α)r1 = γ(αr2 +(1−α)r1)+(1−γ)(αr2 +(1−α)r1)
≺∗ γ(αr2 + (1− α)r1) + (1− γ)r2 = βr2 + (1− β)r1.(⇒) α ≥ β
α = β ⇒ αr2 + (1− α)r1 = βr2 + (1− β)r1α > β ⇒ αr2 + (1−α)r1 ∗ βr2 + (1− β)r1, portanto %∗.
SU4: P1,P2,P ∈ PL tais que P1 ≺∗ P ≺∗ P2. Então∃α, β ∈ (0, 1) tais que βP2 + (1− β)P1 ≺∗ P ≺∗ αP2 + (1−
α)P1.
Aula 08 - Contrução de Utilidade em R
Teorema 1: r1, r2, r ∈ R tais que r1 ≺∗ r2 e r1 -∗ r -∗ r2. Então∃!v ∈ [0, 1] tal que r ∼∗ vr2 + (1− v)r1.
Seja r∗, r∗ ∈ R tais que r∗ ≺∗ r∗.
Se r ∈ [r∗, r∗], U(r) é um número em [0, 1] tal quer ∼∗ U(r)r∗ + (1− U(r))r∗, com U(r∗) = 0 e U(r∗) = 1.
Se r ≺∗ r∗, definimos U de modo que U(r∗) = αU(r∗)+(1−α)U(r),isto é, U(r) =
−α1− α , α = α(r).
Analogamente, para r ∗ r∗ , U(r) =1α
, α = α(r).
Teorema 2: r1, r2, r3 ∈ R tais que r2 ∼∗ αr3 + (1−α)r1 para algumα ∈ [0, 1]. Então U(r2) = αU(r3) + (1− α)U(r1).
Aula 08 - Contrução de Utilidade em R
Seja r ′, r ′′ ∈ R, com r ′ ≺∗ r ′′. Para todo r ∈ [r ′, r ′′] , ∃α = α(r) talque r ∼∗ αr ′′+(1−α)r ′. Além disso, U(r) = αU(r ′′)+(1−α)U(r ′),donde α = α(r) = U(r)−U(r ′)
U(r ′′)−U(r ′) .
Seja P em (R,A) tal que P([r ′, r ′′]) = 1.
P deve ser equivalente a uma loteria com prêmios r ′′ e r ′ com proba-bilidades β e 1− β, respectivamente, onde β =
∫[r ′,r ′′]
α(r)dP(r).
SU5: Seja P ∈ PL e r ′, r ′′ ∈ R tais que P([r ′, r ′′]) = 1. Então
P ∼∗ βr ′′ + (1− β)r ′ ,
com β =
∫[r ′,r ′′]
α(r)dP(r) =
∫[r ′,r ′′] U(r)dP(r)− U(r ′)
U(r ′′)− U(r ′) .
Aula 08 - Contrução de Utilidade em RSeja E [U|P] =
∫[r ′,r ′′] U(r)dP(r). Logo,
P ∼∗(E [U|P]− U(r ′)
U(r ′′)− U(r ′)
)r ′′ +
(1− E [U|P]− U(r ′)
U(r ′′)− U(r ′)
)r ′
Teorema 3: Seja P1,P2 ∈ PL.
P1 - P2 ⇔ E [U|P1] ≤ E [U|P1].
Demo:P1 - P2 ⇔ E [U|P1]−U(r ′)
U(r ′′)−U(r ′) ≤E [U|P2]−U(r ′)U(r ′′)−U(r ′) ⇔ E [U|P1] ≤ E [U|P1]
Teorema 4: Seja U1 e U2 funções utilidade de R em R como noTeorema anterior. Então existem constantes a > 0 e b tais queU1(r) = aU2(r) + b, para todo r ∈ R.
OBS: Se U é uma função utilidade, podemos tomar L = −U e, aessa função, damos o nome de função de perda.
Aula 09 - Elementos de um Problema de DecisãoI Conjunto de ações D = d1, d2, . . . (Espaço de decisões)I Conjunto de estados da natureza Θ (Espaço paramétrico)I Conjunto de recompensas RI r : D ×Θ −→ RI Quando θ é incerto consideramos P sobre (Θ,A)
I Sobre R definimos a função utilidade U : R −→ R
I Para cada d ∈ D , r(d , θ) induz uma medida de probabilidadeem R.
(Θ,A,P)r(d ,θ)−→ (R,B,Pd )
Pd (B) = Pd (r(d , θ) ∈ B) = P (θ ∈ Θ : r(d , θ) ∈ B)= P
(r−1(d , θ)(B)
)I Fixado d ∈ D,
E [U|Pd ] =
∫R
U(r)dPd (r) =
∫Θ
U (r(d , θ)) dP(θ)
Aula 09 - Exemplo de Problema de Decisão
Exemplo: Venda de pamonha (v: venda, c: custo, θ: demanda)
D = 0, 1, 2, . . . , 50 ; Θ = 0, 1, 2, . . . ; R = R
r(d , θ) =
(v − c)d , d ≤ θ(v − c)θ − c(d − θ) , d > θ
E [U|Pd ] =∑∞
i=1 U (r(d , i))P(θ = i)
=d∑
i=1(v − c)i − c(d − i)±vdP(θ = i) +
∞∑i=d+1
(v − c) dP(θ = i)
= vd∑
i=1P(θ = 1) + (v − c)d − vdP(θ ≤ d)
Aula 09 - Exemplo de Problema de Decisão
∆d = E [U|Pd+1]− E [U|Pd ]
= v(d + 1)P(θ = d + 1) + (v − c)− v(d + 1)P(θ ≤ d + 1)− vdP(θ ≤ d)
= v(d+1)P(θ = d+1)+(v−c)−[v(d + 1)− vd ]P(θ ≤ d) + v(d + 1)P(θ = d + 1)
⇒ ∆d = (v − c)− vP(θ ≤ d)
∆d > 0 ⇔ (v − c) > vP(θ ≤ d) ⇔ P(θ ≤ d) <(v − c)
v
d∗ = mini∈N
P(θ ≤ i) ≥ v − c
v
Aula 09 - Problema de Decisão
I Abuso de notação: U(d , θ) = U (r(d , θ)).I Em geral, vamos considerar L(d , θ) = −U(d , θ), a perda
associada à decisão d quando o estado da natureza é θ.
Definição: o risco da decisão d contra a distribuição P é dado por
ρ(d |P) =
∫Θ
L(d , θ)dP(θ) = E [L(d , θ)|P] .
Definição: o risco da Bayes contra a distribuição P é dado por
ρ∗(P) = infd∈D
ρ(d |P)
e d∗ é chamada decisão de Bayes se
ρ(d∗|P) = ρ∗(P)
