MAGISTÉmO MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO -2010 ao CFO/QC - 2011

PROVA DE CONHECIMENTOSESPECÍFICOS

MAGISTÉRIO MATEMÁTICA VIsTo:

QUESTÃO ÚNICA SU I R >lfENSINO

10,000 pontos distribuídos em 40 itens

41. Sobre lógica proposicional, assinale a alternativa correta.

(A) A negação da proposição "Violetas são azuis e rosas são vermelhas" é"Rosas não são vermelhas e violetas são azuis".

(B) A negação da proposição "Rita gosta de Matemática ou Física" é "Rita nãogosta de Matemática ou não gosta de Física".

(C) A proposição "Aderbaldo canta e Milena estuda ou brinca" é equivalente à"Aderbaldo canta e Milena estuda" ou "Aderbaldo canta e Milena brinca".

(D) A proposição "Aderbaldo canta e Milena estuda ou brinca" é equivalente à

"Aderbaldo canta ou Milena estuda e brinca".

(E) A negação da proposição "Todo losango é um quadrado" é "Existe umlosango que é um quadrado.

42. Suponha que p, q, r e s são proposições simples. Complete cada um dos

espaços seguintes de modo que os argumentos sejam válidos.

(paq)-> (~ r))A(~ (~ r))-:

(pA(~ q))v(qAr))^ e p^ (~ q)

p n(q^ r))^ o ~ p

(A) pnq - ~ qvr - p-> qar

(B) ~ pvq - ~ (q^ r) - p-> q

(C) ~ p-> q - ~ qar - p-+ qar

(D) ~ (qar) - -pv~ q - p->~ (q^ r)

(E) ~ pv f~ q) - ~ (qar) - pn~ (q^ r)

43. Assinale a alternativa correta.

(A) 1 s k e N , a sequência de termo geral x, = (-1)* I + converge para 1.

(B) Vn > 0 natural,as soluções de x2 - nx -1 = 0 são números racionais.

(C) Existem 20 funções f : (1,2,3,...,7} -+ (1,2,3,...,10} estritamente crescentes.

1 1 1 1(D) A série infinita ---+---+ · · · não tem soma nos reais.

2! 3! 4! 5!

(n2(E) Seja n natural, então o resultado de é sempre um inteiro.

(n!)

44. Qual é o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que

3-z = 5+ z ?

(A) O lugar geométrico é a mediatriz do segmento de extremos -5 e 3.

(B) O lugar geométrico é a mediatriz do segmento de extremos -3 e 5 .

(C) O lugar geométrico é a mediatriz do segmento de extremos 3 e 5 .

(D) O lugar geométrico é a reta de inclinação 60° passando por 5 .

(E) O lugar geométrico é a reta de inclinação 60° passando por 3.

45. Analise as afirmativas abaixo, colocando entre parênteses a letra "V", quando setratar de afirmativa verdadeira, e a letra "F", quando se tratar de afirmativa falsa.A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

( ) 1 < k e N . Se M, = 2* -1 é número primo então k é primo.

( ) Se p e p2 + 8 são números primos então p3 + 8 é primo.

( ) Se o mde entre a e b é d, então mde entre a2 e b2 é d2

( ) O resto da divisão de 2325 por 17 vale 15.

(A) F-V-V-V

(B) F-V-V-F

(C) V-F-V-V

(D) F-F-V-F

(E) V-V-V-V

46. Sobre a teoria dos conjuntos numéricos, analise as afirmativas abaixo e, a seguir,assinale a alternativa correta.

I. Para todo número real a 2 -l e todo número natural n 2 1 temos que a

desigualdade 1 + a 2 1 + na é válida.

II. Sejam a, ß e R , a > 0 . Então não existe n E N de modo que na > ß .

III. Seja AcR, A* 0.Se A élimitadosuperiormente, então A admitesupremo em R .

IV. Sejam A e B subconjuntos de R , tais que A u B = Ø e, ainda, que todo

a e A é menor que todo b e B. Então existe um úniCO C E R que não é

superado por nenhum a e A e que não supera nenhum b e B.

(A) Somente I está correta.(B) Somente I e III estão corretas.(C) Somente II e IV estão corretas.(D) Somente I, III e IV estão corretas.(E) Somente II, III e IV estão corretas.

47. Sejam P3(R)= (p= ao + aix+ a2×2

+ a3×3 ; ao, ai, a2, a3 e R} e a aplicação

linear T : P3(R) -+ P3(R) definida por T(p) = p"+ p' - 2p onde p", p'

representam respectivamente, a segunda e a primeira derivada do polinômio

p e P3(R) em relação à variável real x. Então

I. Em relação à base x3 2, x,1 , T é isomorfismo.

II. A dimensão do espaço imagem de T é igual a 4 .

III. O núcleo de T é o subespaço e ,

e-2x

IV. Na base 1, x,x2 3

, a matriz de T tem traço nulo.

(A) Somente I está correta.(B) Somente I e II estão corretas.(C) Somente II e IV estão corretas.(D) Somente I, II e III estão corretas.(E) Todas estão corretas.

48. Seja x o número de lançamentos em que um dado não viciado é jogado até a

obtenção do terceiro 6. Então a probabilidade disso ocorrer na décima jogada é:

57

(A) 76

45

(B) -7

5

35

(C) -43

67

(D) 75

75

(E) -

6

49. Em um concurso as questões possuem 3 respostas para cada pergunta e apenasuma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um candidato tem probabilidade

-de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um3

candidato sabe 30% das respostas da prova do concurso. Se ele deu a respostacorreta para uma das perguntas, qual a probabilidade de que ele tenhaadivinhado?

1(A) -

5

5(B) -

16

7(C) -

16

2(D) -

3

3(E) -

4

2 150. Para que valores de n o desenvolvimento de 2x - - possui um termo

x

independente de x ?

(A) n é múltiplo de 3.

(B) n é múltiplo de 4.

(C) n é múltiplo de 5.

(D) n é múltiplo de 6.

(E) n é múltiplo de 7.

451. O desvio médio (absoluto) da lista numérica a, b, 5 vale -. Sabe-se que a e b

3são reais positivos. Pode-se afirmar que:

(A) a-b= 4 oub-a= 4

(B) a+ b= 14 ou a+ b= 6

(C) a-b= 4 e a+ b= 14

(D) a+ b= 6 e b-a= 4

(E) a+ b= 10 e a= 4-b

l -5 8 -8

52. Considere a matriz A = e a matriz B =, pode-se afirmar

7 8 3 2

que:

(A) det(A)= -det(A')

(B) det(40 A-') = 40 det(A)

(C) det(B-')det(A~')=1

1720

(D) det(A - B) = det(A)+ 5 det (B)(E) det(A+ 7B)= det(A)+ 49det(B)

53. Seja p(x) um polinômio real de coeficientes reais com grau n 2 l finito e

pík)(x) a derivada de p(x) em relação a x de ordem k, pode-se afirmar que:

(A) Para todo p(x) tem-se que lim e'N = +00 .X->ND

(B) Se n é par então pfl)(x) tem pelo menos uma raiz real.

(C) Se a é raiz simples de p(x) então pf i)(a) = p(2)(a) = 0 .

(D) Se a é raiz inteira de p(x) então a divide o termo independente de p(x).

(E) Seja F(x) = , então FI* )(a) = 0 se, e somente se p (a) = 0 .

p(x)

1 1 1 1 -2 3

54. Considere as Matrizes A = 2 3 1 e B = -3 0 2 , então pode-se

4 9 1 5 -7 9

afirmar que:

2 -1 4

(A) A¯ ' +B~ ' = -1 3 3

9 2 10

(B) det (A + B) = 105

85 -26- -4 -

3 3

-i -i -31 3 19(C) A · B = - - -

3 2 6

-40 3 25

3 2 6.

-1 -1 -1 -l

(D) 4A + 21B = 4A + 21B

( -1 3(E) det A + B =

242

55. Considere a base canônica do R3 e sejam A, B, C: R3-> R3 transformações

lineares definidas por A(x, y, z) = (3x,3y, 3z) , B(x, y, z) = (x, -y, -z) e

C(x, y, z) = (z, y, -x) . Considere P o paralelepípedo definido pelos vetores de

coordenadas (a,0,0), (0, b,0) e (0,0,c). Pode-se afirmar que:

(A) ovolumede(BoC)(P)é8abc.

(B) o volume de (A o B o C)(P) é 27abc .

(C) a área total de (C o B)(P) é 2(a + b + c).

(D) (B o A o C)(P) tem um vértice em (0,3b,0).

(E) a área total de (C o B o A)(P) é 4(a + b + c).

2× d056. Sobre I(a) = f 2 2

com a > 0, pode-se afirmar que:o cos 0+ a

(A) Não existe.

(B) I(a)= 16x

2x(C) I f a =

2aÛa + 1

16x(D) I fa =

3aÛa2 + 1

7x(E) I fa =

1 23ava + 1

57. Sobre o valor da integral f e¯' dx , pode-se afirmar que:

(A) Não existe.

(B) É igual a x

(C) É igual a 0(D) É igual a zero.(E) E infinito.

58. Analise as afirmativas abaixo, colocando entre parênteses a letra "V", quando setratar de afirmativa verdadeira, e a letra "F", quando se tratar de afirmativa falsa.A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

( ) W = (A e M2(R); A T = TA, T fixada em M2(R)) é subespaço vetorial

do espaço vetorial das matrizes reais de ordem 2, M2(R).

( ) Se X e Y são subespaços vetoriais de um espaço vetorial E eE=XeY, então dim(X+ Y)= dimX+ dimY.

( ) Se B= { vi, v2, · · · , Vn} é uma base de um espaço vetorial V. Então, todo

conjunto de V com n vetores será linearmente dependente.

( ) Sejam a e ß bases de um mesmo espaço vetorial. Se a = ß então a

matriz mudança de base da base a para a base ß é a matriz identidade.

(A) V-F-V-V

(B) F-V-V-V

(C) V-V-F-F

(D) F-V-F-V

(E) V-V-F-V

59. Considere a função g : C -> C , onde C é o conjunto dos números complexos,

2x4-5x3-6 3x2-1 2definida por g (x) = det(B) onde B = 2x2 - 6x - 2 0 -1

,pode-se

3x-9 x 0

afirmar que:

(A) g (x) é uma função polinomial do 6° grau.

dgts 5 4 3 2(B) --(x)=2x -5x -5x + 15x -7x-9

dx

(C) g(0)= 5

2d g g ,

(D) 2 \0) = -7

dx

d g(E)

3 0 = 120

dx

60. Considere a transformação linear T : R3 -> R3, definida por

T (x, y, z) = (x + 2y - z, x + y, 2x + 5y - 4z) então a matriz de T em relação

a base canônica do R3 é igual a:

1 2 1(A) 1 -l 0

2 -5 -4

1 2 -l

(B) I 1 02 5 -4

1 -2 -l

(C) -l 1 02 -5 -4

1 2 -l

(D) 0 l 1-4 5 2

-1 2 -1

(E) 1 0 1-2 5 -4

61. Considere a função real g(x)= aeacos(cx), onde a, b, ceR são constantes

reais positivas e 0 s x < x. O ponto de coordenadas (0,1) pertence ao gráfico da

função g que tem um extremo quando x = x e um ponto de inflexão quando

x = 0,5x . Então é verdade que:

(A) lim g(2x) = 0x->0*

(B) g é decrescente.

(C) a + b + c é número inteiro.(D) g tem mais de uma raiz real.

(E) a + b + c é número irracional.

l se x> 0

62. Considere a função real de variável real definida por S(x) = 0 se x = 0 .

-1 se x< 0

Pode-se afirmar que:

(A) lim 3x+ S x2-1-1) -4

x40 /

(B) S x2 -1 -1 é contínua em 0.

(C) lim x2+ 5+ S x2-1-1 = 0

(D) S x2 -1 -1 é derivável em O.

(E) QS x2-1-1 = 3

63. Seja f : R2 -+ IR definida por f(x, y) = a(x)ß(y) onde a e ß são funções

diferenciáveis de uma única variável. Sabe-se que em qualquer ponto (x, y) tem-

se -(x, y)= -(x, y) e também que f(0,0)= 2 e f(-l,2)= 4. Então éox oy

verdade que:

(A) lim f(x, x)= 0X->+OD

(B) a função f é harmônica.

(C) f tem mínimo no ponto (0,0).

(D) as curvas de nível de f são retas.

(E) grad f(x, y)= k(1,2), k constante.

64. Suponha que uma particula guiada pelo calor está localizada no ponto (2, -l) de

uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (x, y) é

2 2T(x, y)= 100-5x -y . Em cada ponto de sua trajetória, a partícula tem

velocidade dirigida na direção do aumento máximo da temperatura. Então, aequação para a trajetória dessa partícula é:

(A) y4+ h-1

(B) ye - 62 = 0

(C) y5 -5x2

(D) y5+ 0,5x= 0

(E) y3+ 0,5x2= 1

( ) 2 265. Considere a função real de variáveis reais 0 x, y, z = xy + x + y + 7 então o

gradiente de o vale:

(A) grad¢ = y2+ x,2xy+ 2,0

(B) grad¢ = y2+ 2x,2xy+ 1,0

(C) grad¢ = y2+ x,2xy+ 2,2x

(D) grado= 0,2xy+ 1, y2+ 2x

(E) grad@ = 2xy+ 1,0, y2+ 2x

66. Sobre funções reais de variáveis reais e função vetorial, analise as afirmativasabaixo e, a seguir, assinale a alternativa correta.

I. Uma função vetorial 7 = f (t), definida em um intervalo I, é contínua em

to eI, se lim f(t = f fto).t ->10

22xy 2 ' ' I

* O'0)II. A função f (x, y) = x + y é continua em (0,0).

0, (x, y)= (0,0)

III. A função h(x, y)= In(x2y2 + 4 não é contínua em R2

IV. Sejam as funções f(x, y)= x2y+ 1n(xy2 = t2 t e

h(t = f(x(t), yft então = 5t +4.

dt t

(A) Somente III está correta.

(B) Somente IV está correta.(C) Somente I e II estão corretas.(D) Somente I e IV estão corretas.

(E) Somente II e III estão corretas.

67. Seja C = { z = x + yi ; x, y E R e i = . Assinale a alternativa correta.

+® 1(A) E é divergente.

n=in+ i

(B) z e C; e- < 1 c z e C; Re(z2) > 1 .

(C) A soma das raízes de z' + 1 = 0 é 1.

(D) f(z) = zi é analítica em C.

(E) E (n + 1)z" converge para z > 1.

68. Sobre funções de uma variável complexa, analise as afirmativas abaixo e, aseguir, assinale a alternativa correta.

I. Seja f : U -+ C uma função analítica. Seja z E U tal que f (z, ) = 0 e

f não é identicamente nula numa vizinhança de z, . Então z, é um ponto

isolado de f (0).II. Sejam f, g : U -> C duas funções analíticas em U , onde U é aberto e

conexo. Se f e g coincidem num subconjunto A de U com ponto de

acumulação em U então f a g em U .

III. Se f é holomorfa no aberto UcC e sua derivada f': U-+ C é

contínua, então f não é localmente lipschitziana em U .

IV. Sejam f, g : U -> C duas funções analíticas em U, onde U é aberto e

conexo. Se f · g - O então f a 0 ou g = 0 .

V. Uma função holomorfa num aberto U c C, é lipschitziana em qualquersubconjunto convexo X de U , onde a sua derivada seja limitada.

(A) Somente V está correta.(B) Somente I e III estão corretas.(C) Somente II, III e IV estão corretas.(D) Somente II, IV e V estão corretas.

(E) Somente I, II, IV e V estão corretas.

69. Sejam A(-a,0) e B(a,0) dois pontos distintos do plano onde a é a metade da

distância entre A e B. Considerando o sistema de coordenadas polares (r,0),

r > 0 e O s 9 s 27r , o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que2

PA · PB = a tem equação dada por:

(A) r2 = a2 cos0

(B) r2 = 2acos0

(C) r = a cos(20)

(D) r = 2a cos(20)

(E) r2 = 2a2 cos(20)

70. Assinale a alternativa correta.

+-o n !(A) A série --;¯

é divergente.n= 1 y;

+oo 61)" e"(B) A série E é convergente.

n=1 n

(C) A série E arc cotg(n) é convergente.n= 1

+- 1 i(D) A série E converge para - .

n= 1 (2n -1)(2n + 1) 2

(E) A série 1)n - "O + 1 n

é converge absolutamente.

71. A solução da equação diferencial2

d

2 y (t) + 4 y (t) + 13y (t) = 2t + 3e-2r cos(3t)

, para y (0) = 0 ,dt dt

d- y (0) = -1 é:dt

(-3r)

() 179 s, y 8 _3r) 169 e sen 7t t 13t

(A) y t = ----- e sen 7t +-e cos t - - + +-

507 169 8 2 2(-2t)

() 179 (_s, y 8 (-3i) 8 e sen 5t t 13t

(B) y t = --e sen 5t +-e cas t --+ +-

507 169 169 2 2(-21)

179 8 8 e sen 3t t 13t(C) y(t =

--e(¯ sen t)+ --e(¯"cos t)--+ +-

507 169 169 2 2(-2t)

() 179 (-2r) 8 (-2< ) 8 e sen 3t t 2t

(D) y t = --e sen 3t +-e cos 3t --+ +-

507 169 169 2 13(-St)

() 179 _9, y 8 (_, y 8 e sen 2t t 13t

(E) y t = ---e sen 9t + -e cos t --- +-

507 169 169 2 2

72. Suponha f(t) uma função real de variável real a solução geral da equação

diferencial y(4) -

3y(3) - 6y" + 28y' )

- 24y = 0 onde y = f(t) e

y(n) _ (n)(t) é a n -ésima derivada da função f em relação a t .

Considerando todas as constantes arbitrárias da solução geral f(t) não nulas,

tem-se:

(A) lim f(t) = +00

(B) limf(t)= 0t->0

(C) lim f(t)= 0

(D) limf(t)= +ot->0

(E) lim f (t) = 0

73. A área do triângulo de vértices A (2, 3, 1), B (2, -2, 0) e C (1, 2, -3) é igual a:

2O(A) unidades de área.

3

(B) unidades de área.2

(C) unidades de área.3

(D) unidades de área.

5

(E) unidades de área.

74. Sobre sequências e séries numéricas, analise as afirmativas abaixo e, a seguir,assinale a alternativa correta:

I. Se (a ) é uma sequência de números reais, convergente em R , então

existe a e R , com a > 0 , de tal sorte que a < a , para todo n 2 1.

II. Seja n

1a,uma série de termos positivos em R . Se b. é uma série

convergente em R tal que a s b ,para todo n 2 1, então

n 1a,

é

divergente em R .

III. Seja (a ) uma sequência crescente de números reais. Se essa sequência é

limitada e se a = sup (a | n 2 1), então lim a > a.

IV. Se uma série È a, converge em R , então lim a, > 0 .

(A) Somente I está correta.

(B) Somente I e II estão corretas.

(C) Somente II e IV estão corretas.

(D) Somente I, III e IV estão corretas.

(E) Somente II, Ill e IV estão corretas.

75. Um capital foi aplicado por um ano e meio, resultando o montante no triplo dovalor aplicado. Qual foi a taxa de juros anual do rendimento utilizando aconvenção linear?

(A) 0,2% ao ano.

(B) 1% ao ano.

(C) 1,8% ao ano.

(D) 2,5% ao ano.

(E) 3,0% ao ano.

76. Considere na figura o circulo que contém os pontos B(4,2), C(0,10) e D(0,2),

a reta r é tangente ao círculo em B e s é uma reta. A área da região interna aocírculo limitada entre o eixo y e a reta s vale:

1

(A) 8+ 20arcsen -5

(B) 10+ 8arcsen -3

(C) 10+ 8arcsen -5

(D) 8+ 20arcsen -3

(E) 8+ l0arcsen -5

77. As retas r e s são tangentes a C: x + 2 = (y + 1)2 nos pontos de abcissa -1 . A

área da região plana limitada entre r , s e C vale:

2(A) - unidades de área.

3

4(B) - unidades de área.

3

(C) 1,5 unidades de área.

5(D) - unidades de área.

2

(E) 3,5 unidades de área.

x= l+ 2t

78. A distância do ponto P (1, 2, -1) à reta s : y = 5 - t é igual a:

z= -2+ 3t

4O(A)

7

(B)91

2(C)

7

(D) -

91

60(E)

91

79. Um terreno é colocado à venda por R$180.000,00 a vista ou em 10 prestaçõesbimestrais, sendo a primeira prestação paga na data da assinatura do contrato.Determine o valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrandouma taxa de 34% ao ano pelo financiamento.

(A) R$22.200,00

(B) R$25.700,00

(C) R$28.350,00

(D) R$29.620,00

(E) R$30.220,00

80. Sobre séries numéricas é correto afirmar que:

+- 1 e(A) E-= -

n=0 n ! 52

(B) E = -1+ en=o(n+ 1)!

2+-n

(C) E-= 5en=0 n !

+-n+ l(D) E = 4e

n=0 g i

+-n2+ 1(E) E = 8e

n=0 n!

FINAL DA PROVA