ESCOLA FEDERAL DE ENGENHARIA DE ITAJUBÁ

INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE PRODUÇÃO

PROJETO OTIMIZADO DE MANCAIS RADIAIS HIDROSTÁTICOS

Everton Cesar Vasconcelos

Orientador: Paulo Fernandes SilvaCo-orientador: Alexandre Ferreira de PinhoEscola Federal de Engenharia de Itajubá, Departamento de ProduçãoCx. P. 50 – 37500-000 – Itajubá, MG, Brasil – psilva@iem.efei.br

Resumo. Este trabalho tem como principal objetivo apresentar um modelo teórico para oprojeto e análise de mancais radiais hidrostáticos, propondo-se uma solução otimizada como objetivo de se obter uma mínima perda de potência por atrito. O dimensionamento domancal radial hidrostático foi realizado utilizando-se da ferramenta SOLVER, pertencente aosoftware Microsoft Excel 7, o qual possibilita a otimização de problemas de engenharia.

Palavras-chave: Mancais Hidrostáticos, Otimização, Mínima Perda de Potência

1. INTRODUÇÃO

Para a especificação de mancais de máquinas ferramentas ultra precisas, deve-seobservar-se os seguintes parâmetros: rigidez, precisão de giro, amortecimento, elevação detemperatura, confiabilidade e durabilidade. Estes parâmetros apresentados acima apresentamgrande influência na obtenção de uma alta eficiência no processo de usinagem. O controleapurado destes parâmetros permite a obtenção de uma acuracidade dimensional e de umaqualidade superficial da peça usinada.

São conhecidos três tipos de mancais que apresentam uma rigidez aceitável para o objetodeste trabalho: Mancais de Rolamento; Mancais Hidrodinâmicos e Mancais Hidrostáticos.

Os mancais de rolamento estão disponíveis comercialmente e são facilmente montadospodendo-se ajustá-los em qualquer tipo de máquina. Entretanto, os rolamentos nãoapresentam movimentos sincronizados com a árvore da máquina-ferramenta e o desgaste eas irregularidades provocam um comportamento não uniforme da árvore.

Nos mancais hidrodinâmicos, o movimento relativo entre as superfícies metálicas gera apressão hidrodinâmica que ira suportar a carga aplicada ao mancal. Uma desvantagemsempre presente é o fato da rigidez e da localização do eixo (excentricidade) seremdependentes da velocidade. Outra desvantagem verificada é o contato metal-metal durante apartida e a parada, o qual provoca um desgaste excessivo no mancal.

O principal objetivo deste trabalho é apresentar um modelo teórico para o projetootimizado de mancais radiais hidrostático e determinar as suas dimensões ótimas utilizando-seda ferramenta Solver, pertencente ao software Microsoft Excel 7, o qual possibilita aotimização de problemas de engenharia.

2. VANTAGENS E DESVANTAGENS DO USO DE MANCAIS HIDRÓSTATICOS

2.1 Vantagens do Uso de Mancais Hidrostáticos

Alta capacidade de carga para qualquer rotação. A capacidade de carga é diretamenteproporcional a pressão de alimentação e/ou área efetiva do mancal.

Baixo atrito na partida e na parada. Este baixo atrito é verificado devido as superfíciesestarem sempre separadas pelo filme de óleo.

Altos valores para a rigidez. A rigidez pode atingir valores extremamente altos,aumentando a pressão de alimentação, a área efetiva ou reduzindo a folga do mancal. Alémdisso, a rigidez é máxima a uma excentricidade zero, o que é uma vantagem para a máquina.

Baixas temperaturas de operação. As temperaturas de operação são relativamentebaixas, portanto, os problemas de expansão térmica são minimizados.

Sem ocorrência de trepidação. Não ocorre trepidação a baixas velocidades ou seja nãoocorre “Stick-Slip”.

Boa propriedade de amortecimento. A viscosidade do óleo e a própria geometria domancal podem proporcionar uma boa estabilidade dinâmica ao mancal.

2.2 Desvantagens do Uso de Mancais Hidrostáticos

Alto custo de fabricação. Pois, quando deseja-se uma alta rigidez, as folgas do mancaldevem ser pequenas afim de evitar vazão excessiva.

Necessidade de alto consumo de potência. Apesar de a perda de potência por atrito serrelativamente baixa, o gasto de potência é alto devido à necessidade de um sistema debombeamento de óleo a altas pressões.

A necessidade de uma quantidade maior de equipamentos acessórios tais como: filtros,reguladores, tubulações, válvulas, reservatório e uma bomba hidráulica que aumenta emmuito o custo de montagem e manutenção;

A necessidade de um sistema de alimentação “Stand-By”. Pois uma falha no sistema dealimentação significa uma falha no mancal.

Complexidade de projeto. O projeto de mancais hidrostáticos é complicado e não existemmancais hidrostáticos padronizados disponíveis no mercado.

3. PRINCÍPIO DE OPERAÇÃO

O princípio de operação de um mancal hidrostático qualquer pode ser explicado comreferência ao mancal hidrostático plano com colchões hidrostáticos opostos. Basicamente,são dois os tipos de mancais hidrostáticos; os com restrição compensadora (tipo tubo capilar etipo orifício) e os com compensação própria (inerente a geometria do mancal).

A Fig. 1 mostra esquematicamente um mancal hidrostático com restrição compensadorado tipo tubo capilar. Onde pode-se observar que o óleo lubrificante é admitido na bolsa do

colchões hidrostáticos através de um restritor com resistência de entrada, Rei , o qual impõeuma resistência finita ao fluxo de lubrificante. Durante a passagem do lubrificante através dorestritor a pressão de alimentação, Pa, sofre uma redução culminando com uma determinadapressão no interior da bolsa, Pp. O lubrificante é finalmente forçado para fora do mancalatravés das soleiras do colchão hidrostático, o qual oferece uma resistência de saída, Reo, aqual impõe também uma resistência finita ao fluxo de lubrificante. Nesta passagem, a pressãointerna da bolsa sofre uma diminuição até atingir a pressão ambiente.

O princípio de compensação de pressão nas bolsas de um mancal hidrostático pode serexplicado através da Fig. 1. Observe que quando um mancal hidrostático é colocado emoperação o elemento central (eixo) esta apoiado sobre as soleiras do colchão hidrostáticoinferior, isto faz com a resistência de saída do lubrificante no colchão hidrostático seja maiorque no colchão superior, produzindo assim uma diferença de pressão entre os colchõesinferior e a superior. Esta diferença de pressão resulta em uma força que empurra o elementocentral (eixo) para uma posição de central. Se durante a operação a carga aplicada ao mancalsofrer alguma variação, as resistências de saída através da soleira dos colchões hidrostáticostambém iram variar, resultando em uma diferença de pressão, a qual tem a função de restaurara posição concêntrica do elemento central (eixo).

Figura 1 – Mancal Hidrostático com restrição compensadora do tipo tubo capilar

4. MODELAMENTO TEÓRICO DE UM MANCAL RADIAL HIDROSTÁTICO

A seguir é apresentado de uma forma resumida, o modelamento teórico do projeto demancais radiais hidrostáticos; usando as relações que melhor se aplicam ao caso. Umtratamento teórico mais detalhado do projeto e aplicação de mancais radiais hidrostáticospode ser encontrado nas referências (Chen, 1985, Rowe, 1983, Silva 2000, Slocum, 1992,Stansfield, 1970)

4.1 Modelo Físico

Pode-se observar na Fig. 2 que o mancal radial hidrostático a ser projetado possui quatrocolchões hidrostáticos idênticos e simetricamente distribuídos, intercalados por rasgos de

Figura 2 - Mancal hidrostático radial

drenagem ao longo de toda a direção axial e que os seus principais parâmetros geométricossão: Rj - raio do eixo do mancal radial; Lj - largura axial do mancal radial; hj -folga radialdo mancal; hpj - profundidade da bolsa; φ p -comprimento angular da bolsa; φ s -comprimentoangular da soleira; φ r - comprimento angular do rasgo axial.

Optou-se por quatro colchões hidrostáticos porque, é o número de colchões queaparentemente apresenta um melhor balanço entre as dificuldades de fabricação euniformidade da capacidade de carga e da rigidez na direção radial.

Conforme Slocum (1992) , os rasgos axiais tem o objetivo de diminuir a vazão entre oscolchões hidrostáticos diminuindo consequentemente o efeito hidrodinâmico, o qual tende adeslocar o eixo para uma posição excêntrica, prejudicando a rigidez e a precisão de giro daárvore da máquina-ferramenta.

Como as folgas no mancal radial hidrostático são bem menores que o raio deste, pode-sedesprezar os efeitos de curvatura e realizar o equacionamento como se fosse um mancalhidrostático plano. A Fig. 3 mostra o mancal radial hidrostático desenvolvido sob sua direçãocircunferencial.

Asj

Apj

Figura 3 - Mancal radial hidrostático desenvolvido.

dm

Onde: pjcj Rl φ= -comprimento circunferencial da bolsa; sjs Rl φ= - largura da

soleira; rjra Rl φ= - largura do rasgo axial

4.2 Desenvolvimento Teórico

O fluido de trabalho, normalmente um óleo, é admitido através de um dispositivo externochamado restritor, o qual garante a pressão no interior da bolsa. O presente trabalho optou porum restritor do tipo capilar por ser este um método mais simples de restrição. De uma formageral, o restritor capilar nada mais é do que um simples tubo capilar linear de secçãotransversal circular, o qual oferece uma resistência à entrada do fluido. Sendo o fluxo laminare totalmente desenvolvido e fazendo-se uma analogia com a lei de Ohm's, obtém-se:

p

pai Q

PPRe

−= (1)

Onde: iRe -resistência de entrada do fluido através do capilar; aP -pressão de

alimentação; pP - pressão no interior da bolsa; pQ - vazão para a bolsa através do tubo capilar.

A vazão através do tubo capilar é dada pela equação de Hagen-Poiseuille;

( )ct

cpap l

dPPQ

µπ

128

4−= . (2)

Onde:d c - diâmetro do tubo capilar; l c t - comprimento do tubo capilar. Esta equação é aplicada em tubos que possuem um valor alto para a relação, lct/dc (daordem de 100), de modo que os efeitos de entrada e saída sejam desprezíveis.

Da mesma forma, a resistência à passagem do fluido através da soleira do colchãohidrostático é definida através de uma analogia com a lei de Ohm's, a qual resulta na seguinteequação:

sj

rpo Q

PPRe

−= . (3)

Onde: Reo - resistência de saída do fluido através da soleira; Pr- pressão de retorno(ambiente); Qsj - vazão através da soleira do colchão hidrostático

A vazão através da soleira do colchão hidrostático do mancal pode ser definida por:

( )s

rpjmsj l

PPhdQ

µ12

3 −= . (4)

Onde o perímetro do contorno médio da soleira, dm ( veja Fig. 2), é definido através daseguinte equação, veja Slocum;

( ) ( )sjcjsjcjm lLllLld 242 2 −+−+= . (5)

Substituindo-se a eq. (4) para uma única soleira do mancal hidrostático e para Pr=0,em (7), obtém-se:

3

12

jm

so

hd

lRe

µ= . (6)

Conforme Slocum (1992), a vazão através da soleira de um colchão hidrostático deve serde no mínimo duas vezes maior que a vazão devido ao movimento relativo das superfícies domancal. Com base nesta consideração obtém-se;

js

pjmax Rl

Phw

µ12

2

= . (7)

Onde, wmax, é a velocidade de rotação do eixo a partir da qual os efeitos hidrodinâmicosnão são mais desprezíveis.

Como a rotação do eixo é um parâmetro prefixado durante o projeto do mancal, pode-seestabelecer através da eq. (7) a seguinte condição:

whP

lR

jp

sj

12

12

≤µ

. (8)

A pressão no interior da bolsa é determinada admitindo-se a condição de regimepermanente, onde a vazão para o interior do mancal através do tubo capilar, Qp , é igual avazão para fora do mancal através da soleira, Qs . Assim, das eqs. (1), (3) e sendo que Pr = 0,obtém-se:

o

p

i

pa

Re

P

Re

PP=

−. (9)

Definindo-se o parâmetro adimensional, β=Rei/Reo e rescrevendo-se a eq. (9), obtém-se;

β+=

1a

pP

P . (10)

A capacidade de carga, W, de um colchão hidrostático é dado pela equação a seguir;

+

==β1

aepe

pAPAW (11)

Onde, a área efetiva, Ae, é um valor representativo e está entre o valor da áreas projetadaspelas fronteiras interna e externa da soleira. Isto ocorre porque a distribuição de pressãopossui um valor constante no interior da bolsa e na soleira esta decresce linearmente de Pp aPr. A área efetiva de um colchão hidrostático pode ser calculada pela equação a seguir:

( ) ( )

−++−=

22

3

42 2 p

ssjssjje sinllLllLRAφ

(12)

Conhecida a expressão da capacidade de carga, pode-se então determinar a rigidez domancal, a qual é dada pela taxa de variação da capacidade de carga com relação a variação dafolga radial, h j , ou seja:

SdW

dh j

= − (13)

O sinal negativo na equação (13) denota que um aumento na carga aplicada no mancalproduz um decréscimo na folga e vice-versa.

Sabe-se que a rigidez líquida de um par de colchões hidrostáticos opostos é a somanumérica da rigidez dos colchões individuais. Levando-se em conta essa consideração eutilizando-se das eqs. (11) e (13); obtém-se expressão da rigidez:

( )SA P

he a

j

=+

6

12

ββ

. (14)

Mantendo-se a folga radial, hj , constante, a rigidez torna-se função somente de β, eatingirá um valor máximo quando o mesmo tender a 1, ou seja;

S Lim SA P

hjmaxe a

j

= =→β 1

3

2. (15)

Como a rigidez máxima, Sjmax , é um parâmetro prefixado durante o projeto, pode-seestabelecer através da equação (15) a seguinte condição:

maxjj

aejS

h

PA

3

2= . (16)

Na condição de rigidez máxima o parâmetro adimensional β tende a 1, ou seja, asresistências de entrada e saída são iguais, resultando na expressão para o calculo do diâmetroe do comprimento do restritor do tubo capilar:

l

d

l

d hct

c

s

m j4 3

3

64=

π. (17)

A perda de potência devido o bombeamento, Hp j , em um mancal radial hidrostático está

relacionada com a potência gasta para bombear o óleo para os colchões hidrostáticos e esta édada por:

apj PQHp = (18)

Da Lei da continuidade têm-se que; Q Qp sj= , e da Eq. (3) e (18) resultam em:

o

paj Re

PPHp = . (19)

Substituindo-se a equação (10) em (19) e lembrando que o mancal radial hidrostáticopossui quatro colchões, a perda de potência total no bombeamento resulta em:

( ) o

aj Re

PHpt

β+=

1

4 2

(20)

A perda de potência por atrito viscoso, Hfj, é dada por:

jjj wRFaHf = . (21)

A força de atrito fluido, Fa j , devido o movimento relativo entre a superfície do eixo e a

superfície do mancal, a qual é composta pelas áreas das soleiras, Asj , e das bolsas, A pj , é

deduzida através da Lei de Newton para escoamento viscoso:

+=

pj

pj

j

sjjj h

A

h

AwRFa µ (22)

Substituindo-se a eq. (22) em (21), obtém-se:

+=

pj

pj

j

sjjj h

A

h

ARwHf 22µ . (23)

As áreas das soleiras e das bolsas, mostradas na Fig. 3, são calculadas conforme asequações a seguir:

( ) sscjsjsj llllLA 288 −+= ; (24)

( ) sjrjjpj AlRLA −−= 22 π . (25)

Conforme Shinke e Hornung (1965) a eq. (23) subestima a perda de potência por atrito,por não considerar os efeitos da recirculação no interior das bolsas. Por isso recomenda-se queo segundo termo da equação seja multiplicado pelo fator quatro e também , que aprofundidade da bolsa seja especificada de forma que proporcione uma pequena variação depressão em seu interior, evite um escoamento turbulento e facilite a sua manufatura, ou seja,que esta seja especificada entre os seguintes limites: 20hj<hpj<178hj. O presente trabalhoadotou como conveniente a relação, hpj=60hj, assim, a eq. (23) resulta em:

+= pjsj

j

jj AA

h

RwHf

60

422µ

. (26)

Portanto, a perda de potência total no mancal radial hidrostático é a soma da potênciagasta no bombeamento e da perda de potência por atrito, ou seja:

jjj HfHpH += (27)

ou

( )kHpH jj += 1 . (28)

A elevação de temperatura, ∆Tj , no mancal radial hidrostático pode ser obtida fazendo-se

um balanço de energia no mancal, resultando em:

CpQ

HT

p

jj ρ

∆ = (29)

ou( )Cp

kPT a

j ρ∆

+=

1. (30)

Finalmente, para garantir que o escoamento através das soleiras do mancal écompletamente desenvolvido e laminar, deve-se calcular o número de Reynolds, o qual é dadopela seguinte expressão:

µρω jj hR

Re = . (31)

4.3 Especificação dos Parâmetros Independentes

Como se pode-se observar durante o desenvolvimento teórico, os mancais hidrostáticospossuem um grande número de parâmetros independentes, os quais são previamenteespecificados pelo projetista. Estes parâmetros influenciam no comportamento operacional domancal, o qual deverá satisfazer uma dada necessidade. Os parâmetros independentes deprojeto de um mancal radial hidrostático são constituídos de sete parâmetros geométricos edois parâmetros físicos. Sendo estes parâmetros independentes especificados em função docomportamento desejado para os seguintes parâmetros resultantes: rigidez radial, S; perda depotência total Hpj; vazão através da soleira, Qsj.

A especificação destes parâmetros geométricos e físicos de um mancal radial hidrostáticoserá discutida a seguir:

Número de colchões hidrostático ( N j ): O número mínimo de colchões hidrostático para

suportar uma carga radial é três colchões. Mas, quando se usa três colchões hidrostático arigidez do mancal, com relação as cargas radiais, varia consideravelmente com a direção dacarga radial. Por outro lado, um mancal hidrostático com um grande número de colchões éobviamente de fabricação mais difícil e acarreta um grande aumento na perda de potência poratrito nas soleiras. Analisando-se estas considerações conclui-se que o emprego de quatrocolchões hidrostático igualmente espaçados apresenta o melhor balanço entre as dificuldadesde fabricação e a uniformidade da rigidez do mancal em todas as direções.

Raio do mancal(Rj): Pode-se observar através da eq. (26) que a perda de potência poratrito aumenta com o quadrado do raio do mancal. Portanto, o raio de um mancal hidrostáticonão deve ser maior que o compatível com a rigidez adequada à aplicação.

Largura axial do mancal (Lj): A largura axial é determinada em função do raio domancal. Para uma mesma rigidez desejada, um mancal curto é preferível já que a perda de

potência por atrito diminui com a relação, Lj/Rj. Para uma capacidade de carga particular, ummancal longo é preferível pois, a vazão axial de óleo diminui com o aumento da relação, Lj/Rj.

Largura axial da soleira e comprimento circunferencial da soleira (ls): Devem sersuficiente para evitar uma vazão excessiva, pois um aumento de vazão causa um decréscimona rigidez do mancal . Porém, não deve ser muito grande, pois isto diminui a capacidade decarga e aumenta a perda de potência por atrito do mancal.

Folga radial das soleiras do mancal (hj): Para especificar a folga radial das soleiras,deve-se levar em consideração vários fatores. No caso específico de uma árvore de umamáquina-ferramenta ultra precisa a rigidez é um fator muito importante, e esta é inversamenteproporcional à folga. Porém, pequenos valores de folga aumentam as dificuldades defabricação e exigem maiores cuidados com as deformações térmicas. Desprezando-se a perdade potência por atrito no interior do colchão hidrostático, a folga pode ser determinadaotimizando-se a perda de potência, e o seu valor ótimo ocorre quando a perda de potência poratrito for três vezes maior que a perda de potência por vazamento. É importante observar queesse critério foi usado no presente trabalho durante o processo de otimização.

Profundidade da bolsa (hpj): Para que a pressão seja igualmente distribuída e oescoamento não seja turbulento no interior da bolsa, a profundidade desta deve estar dentrodos seguintes limites, 20hj<hpj<178hj. Conforme, Shinkle e Horniug (1965), o critério deTaylor estabelece que a profundidade da bolsa pode ser determinada através da equação aseguir:

pj

jpjj h

RwhR 1,412 =

µρπ . (32)

Pressão do Óleo de Alimentação (Pa):A pressão do óleo de alimentação deve ser a maisalta possível. Pois, para uma mesma área do mancal, um aumento na pressão de alimentaçãoaumenta a rigidez do mancal e para uma mesma rigidez ou capacidade de carga desejada, umaumento na pressão de alimentação requer um mancal menor, o que é preferível. Porém, deve-se levar em consideração que a elevação de temperatura é proporcional a pressão dealimentação, conforme pode ser visto através das eqs. (18) e (28).

Viscosidade do Óleo (µµµµ): A perda de potência total é dada pela perda por vazamento, aqual é inversamente proporcional à viscosidade mais a perda por atrito, a qual é proporcionalà viscosidade. O valor ótimo da viscosidade do óleo pode ser determinado otimizando-se aperda de potência total com relação a viscosidade.

5 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO

Neste problema de otimização foi utilizado a ferramenta SOLVER, pertencente aosoftware Microsoft Excel 7. A escolha desde software foi baseada na sua capacidade deresolução de problemas não lineares, já que este trabalho apresenta um problema destanatureza. Para a resolução deste modelo foi adotado como função objetivo, o cálculo damínima perda de potência. A equação (27) será minimizada determinado-se assim todos osparâmetros de operação do mancal hidrostático (independentes e dependentes).

A tabela 1 apresenta as variáveis de decisão, as quais envolvem os seguintes parâmetrosgeométrico e físicos do mancal: Pa- Pressão de Alimentação; hj- Folga Radial das soleiras do

Mancal; hpj- Profundidade da bolsa; ls- Largura Axial da Soleira; lra- Largura do Rasgo Axial;os limites das variáveis de decisão foram definidos com base em critérios de projeto,fabricação e custos. Os outros parâmetros independentes são fixados pelo projetista com baseem condições de operação de usinagem (rigidez e rotação) e propriedades físicas do óleolubrificantes (viscosidade, calor específico e densidade).

Tabela1 – Restrições geradas e Resultados

Observe que antes de executar a otimização as colunas de escolha da tabela 1 devem estarzeradas e que após o processo de otimização as variáveis de decisão assumem os valoresestabelecidos pelo processo de otimização, estes valores estão mostrados na tabela 1 tanto emunidades do sistema internacional como em outras unidades usuais.

A tabela 2 apresenta algumas restrições impostas pelo projetista em função da aplicaçãodo mancal hidrostático, as quais estão relacionadas com a profundidade da bolsa, a condiçãode escoamento laminar, a vazão da bomba hidráulica, a relação entre as perdas por atrito ebombeamento e a elevação de temperatura.

Tabela 2 – Restrições

A tabela 3 apresenta os valores dos parâmetros dependentes em unidades do sistemainternacional, obtidos pelo processo de otimização em função da mínima perda potência eatendendo também as restrições estabelecidas na tabela 2.

Outra observação importante esta relacionada a mensagem emitida pelo solver, ou seja,"o SOVER encontrou uma solução e todas as restrições foram atendidas".

Tabela 3 – Parâmetros Resultantes e Mínima Perda de Potência

6 CONCLUSÃO

O modelamento teórico do mancal radial hidrostático apresentado foi obtido com suportetécnico das referências (Chen,1985, Rowe, 1983, Silva 2000, Slocum, 1992, Stansfield,1970).

As respostas obtidas no processo de otimização obedeceram as condições defuncionamento idealizadas no inicio do projeto, ou seja, mínima perda de potência e máximarigidez fixada pelo projetista. Com relação as variáveis de decisão, os seus limites foramestabelecidos em função de critérios de projeto, aplicação e custos. Ao se comparar os resultados obtidos para os parâmetros dependentes e independentescom os obtidos por Chen (1985), observa-se que os resultados gerados pelo processo deotimização estão dentro de uma faixa aceitável para a concepção de um mancal radialhidrostático.

O processo de otimização foi realizado utilizando-se a ferramenta SOLVER do MicrosoftExcel 7. Optou-se por está ferramenta após uma analise da formulação demostrada nomodelamento teórico, onde constatou-se que o problema apresenta características não

lineares. A não linearidade do problema limitou a utilização de outros softwares, pois osdisponíveis para a utilização no projeto não possuíam característica de resolução paraproblemas não lineares. Outro aspecto que levou a escolha do SOLVER foi a suadisponibilidade e a sua boa interface entre programador e software, com relação a outrossoftwares de otimização capazes de resolver problemas não lineares.

REFERÊNCIAS

Chen, C. J. , 1985, Laminar Flow Motor Drive Machine Tool Spindle, Doctor Thesis,Stanford University, California, USA, pp. 70-101

Rowe, W. B. , 1983, Hydrostatic and Hybrid Bearing Design, Butter Worths and Co.Shinkle, J. N., and Horniug, K. G., 1965, Frictional Characteristics of Liquid Hydrostatic

Journal Bearings, Journal of Basic Engineering ASME, pp. 163-169.Silva, P. S., 2000, Notas de Aula, Tribologia, Pós-Graduação Mecânica- EFEI, pp. 1-33.Slocum, A. H. , 1992, Precision Machine Design, Prentice Hall, New Jersey, USA, Second

Edition.Stansfield, F. M., 1970, Hydrostatic Bearings For Machine Tools, The Machine Publishing

Co. ltd , London, England