Manual de Aulas Teoricas de Hidrologia

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE

FACULDADE DE AGRONOMIA E ENGENHARIA FLORESTAL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL

MANUAL DE HIDROLOGIA

Por: Professor Doutor Carmo Vaz

Introdução à Hidrologia 1-1

1 INTRODUÇÃO À HIDROLOGIA 1.1 IDEIAS GERAIS SOBRE A HIDROLOGIA 1.1.1 Objecto da hidrologia A Hidrologia trata da ocorrência, circulação e distribuição da água na Terra, das suas propriedades físicas e químicas, da sua interacção com o meio, de acordo com a definição apresentada em 1982 pela Organização Meteorológica Mundial e que é aceite de forma generalizada. Embora a Hidrologia abranja o conhecimento da água tanto nos continentes como na atmosfera e nos oceanos, o estudo dos ramos aéreo e oceânico é feito nas disciplinas específicas de Meteorologia e Oceanografia, ficando a Hidrologia propriamente dita dedicada ao ramo terrestre. A Hidrologia da Engenharia (Engineering Hydrology na terminologia inglesa corrente) é uma parte restrita da Hidrologia que inclui as áreas pertinentes ao planeamento, projecto e exploração de obras de engenharia visando o controlo e a utilização da água para satisfação das necessidades humanas. O seu enfoque é, por isso, o da aplicação da ciência na solução de problemas de engenharia. 1.1.2 A Hidrologia como disciplina do curso de Engenharia Civil A Hidrologia da Engenharia, apesar do seu carácter aplicado, apresenta diferenças muito significativas no seu tratamento em relação à maioria das restantes disciplinas do curso de Engenharia Civil. Se, a título de exemplo, quisermos confrontar a Hidrologia com as disciplinas da área de Estruturas (Resistência de Materiais, Teoria das Estruturas, Pontes), podemos constatar: a) o objecto de estudo das disciplinas de Estruturas engloba estruturas artificiais construídas

em grande medida com materiais fabricados pelo Homem, sendo bastante bem previsíveis os comportamentos quer dos materiais quer das estruturas. No caso da Hidrologia, o objecto de estudo é o ciclo hidrológico nas suas várias componentes, que são fenómenos da Natureza e, por conseguinte, processos essencialmente aleatórios.

b) as diferenças no objecto de estudo traduzem-se em grandes diferenças no controlo sobre o mesmo que é grande no caso das Estruturas e pequeno ou nulo no caso dos processos que integram o ciclo hidrológico.

c) no que se refere aos métodos de análise, as disciplinas de Estruturas utilizam uma teoria matemática formal, baseada em hipóteses próximas da realidade, e ainda recorrem à análise experimental relativamente pouco dispendiosa. No caso da Hidrologia, há (ainda) um peso grande de empirismo para enfrentar fenómenos demasiado complexos para serem analisados com métodos matemáticos relativamente simples. Verifica-se a necessidade duma grande acumulação de informações (dados hidrológicos). A experimentação é, em

Manual de Hidrologia


geral, muito dispendiosa. d) no que respeita aos processos de cálculo, ambas as áreas têm beneficiado imenso do acesso

a computadores cada vez mais potentes que, por sua vez, possibilitam o desenvolvimento e a utilização de programas de cálculo sempre mais sofisticados e o tratamento de quantidades crescentes de informação. No caso da Hidrologia, as ferramentas mais utilizadas são a análise estatística e os modelos de simulação hidrológica das componentes da fase terrestre do ciclo hidrológico, desde a precipitação até ao escoamento.

1.1.3 Objectivos da disciplina de Hidrologia Os objectivos do estudo da disciplina de Hidrologia correspondem às necessidades de: • aprofundar o conhecimento do ramo terrestre do ciclo hidrológico; • utilizar os conhecimentos adquiridos em aplicações práticas como, por exemplo, - no dimensionamento de obras hidráulicas (descarregadores de barragens, secções de

vazão de pontes, etc.); - no dimensionamento de sistemas de drenagem de regadios e áreas urbanas; - na determinação de necessidades de rega; - na gestão dos recursos hídricos; - na protecção do meio ambiente. Nas aplicações, a Hidrologia liga-se estreitamente às disciplinas antecedentes de Hidráulica Geral e às disciplinas subsequentes de Abastecimento de Água, Drenagem e Saneamento, Obras Hidráulicas. 1.1.4 Breve referência à História da Hidrologia Sugere-se a leitura do excelente livro de A.K. Biswas, "History of Hydrology", no qual o autor faz uma interessante recapitulação dos principais marcos no progresso da Hidrologia, desde a Antiguidade aos fins do século XIX. Os elementos que a seguir se apresentam foram extraídos desse livro e do "Handbook of Applied Hydrology" de Ven Te Chow. 1.1.4.1 A Hidrologia na Antiguidade Oriental (Egipto, Mesopotâmia, China)

A civilização egípcia floresceu à volta do Nilo. Para além das extensivas obras de irrigação do tempo dos Faraós, há a referir a barragem de Saad-El-Kafara, datada de cerca de 2800 a.c. e cujos encontros permaneceram até aos nossos dias. A importância dada à água, em particular às obras de irrigação e controle de cheias, na China Antiga era tão grande que, diz a lenda, um engenheiro que dirigiu grandes obras hidráulicas acabou por se tornar o imperador Yü, o Grande.



Se a Hidráulica, pelo impacto directo das obras, ocupava o primeiro plano, a necessidade de conhecimentos sobre a ocorrência e a distribuição da água tornava-se também muito importante. Sendo a irrigação no Nilo feita por inundação, a medição dos níveis nesse rio foi desde logo sendo feita, através dos "nilómetros" (cisternas com escalas graduadas ligadas ao rio por condutas subterrâneas). O nilómetro de Roda, próximo do Cairo, tem um registo contínuo de níveis de 641 d.c. a 1890 d.c., constituindo a mais longa série hidrológica do mundo. A Mesopotâmia (nome que significa "entre rios") era uma região fértil, atravessada pelos rios Tigres e Eufrates, ambos de regime muito irregular, obrigando a grandes cuidados com os diques de protecção contra cheias e obras de irrigação. Essa preocupação aparece bem explícita no famoso Código de Hamurabi, imperador da Babilónia (cerca de 1700 a.c.) 1.1.4.2 A Hidrologia na Antiguidade Clássica - Grécia e Roma

As primeiras tentativas de explicação da circulação da água (donde surgem os rios?) aparecem com os filósofos gregos. Platão apresenta o conceito dum mar subterrâneo (Tartarus) com inúmeras ligações à superfície, dando origem aos rios, lagos e mares. Aristóteles defendia que o frio transformava o ar em água e isso acontecia tanto nas altas montanhas como no interior da terra, sendo essa a origem dos rios. Note-se que os Gregos dispunham de observações limitadas de muitos fenómenos e da sua interligação o que de certa forma explica a sua incapacidade de descobrirem o conceito do ciclo hidrológico. Apesar disso, filósofos como Anáxagoras e Teófrasto apresentaram hipóteses próximas da concepção moderna do ciclo hidrológico, infelizmente caídas no esquecimento devido à influência dominante de Aristóteles. A civilização romana não foi tão fértil como a grega em pensadores, tendo no entanto produzido grandes obras de engenharia através da aplicação empírica da experiência adquirida. Apesar disso, Vitruvius apresenta no seu livro "De architectura libridecem" um conceito bastante claro do ciclo hidrológico, com a precipitação dando origem ao escoamento e a evaporação como fonte das nuvens. Há a referir ainda Hero de Alexandria que escreve que o caudal depende da área e da velocidade mas este conceito não se impôs até ao século XVI. 1.1.4.3 A Hidrologia na Idade Média

A Idade Média na Europa foi dominada ideologicamente pela Igreja que se opôs fortemente à pesquisa experimental, baseando-se nos dogmas e na escolástica, para evitar o aparecimento de heresias. Foi um período de cerca de 13 séculos de fraco desenvolvimento científico com o correspondente reflexo na Hidrologia. 1.1.4.4 A Hidrologia no Renascimento - Século XVI

O Renascimento corresponde ao desabrochar definitivo do pensamento científico e da experimentação. A partir do século XVI, a Hidrologia, com as ciências irmãs da Hidráulica e da Meteorologia não parou de se desenvolver.



Leonardo da Vinci, conhecido sobretudo como um pintor de génio, tinha nos seus cadernos de notas conceitos essencialmente correctos sobre o ciclo hidrológico, sobre o escoamento em superfície livre e sobre a distribuição de velocidades numa secção. Bernard Palissy, um cientista francês, apresentou a primeira formulação clara e completa do ciclo hidrológico, baseada em observações. Apresentou também ideias sobre o escoamento subterrâneo. 1.1.4.5 A Hidrologia nos Séculos XVII e XVIII

O século XVII é o século de Galileo, Kepler, Newton, Harvey, Descartes, Van Leeuwenhoek. No domínio da Hidrologia salientam-se os nomes de Perrault e Halley. Benedeto Castelli apresenta uma explicação clara da relação entre caudal, secção transversal e velocidade, sistematizando ideias anteriores de Hero e Leonardo da Vinci. Perrault, no seu livro "Da origem das fontes", demonstra brilhantemente que o escoamento no rio Sena (cabeceiras) podia ser totalmente explicado a partir da precipitação, apresentando um balanço hídrico rudimentar. Mariotte realizou experiências similares e outras respeitantes à medição de velocidades. Halley, muito conhecido pelos seus trabalhos de Astronomia, tomou como exemplo o mar Mediterrâneo e mostrou que a evaporação dos mares era amplamente suficiente para justificar os escoamentos dos rios. Os desenvolvimentos dos conceitos do ciclo hidrológico no século XVII e seguintes estão ligados às medições de precipitação, evaporação e caudal. É assim que começam a surgir os primeiros instrumentos hidrométricos modernos: udómetros, tinas de evaporação. O século XVIII testemunha o florescimento das medições hidrológicas e do desenvolvimento teórico. Podem referir-se como marcos fundamentais a medição de velocidade com o tubo de Pitot, a equação de Bernouilli (conservação de energia) e a fórmula de Chézy para o cálculo do caudal numa secção transversal dum escoamento. 1.1.4.6 A Hidrologia no Século XIX A ciência da Hidrologia avançou muito rapidamente durante o século XIX. Verificaram-se progressos importantes na medição de variáveis hidrológicas, nomeadamente com a introdução de udógrafos para registo contínuo da precipitação e de molinetes para a medição de velocidades em rios e canais. Nos países mais industrializados, iniciou-se a colheita sistemática de dados hidrológicos e a sua análise. Em termos de conceptualização teórica, os marcos mais significativos a registar são: - o estudo de perfis de velocidade em canais, por Darcy e Bazin; - a equação de Manning para o cálculo de caudais em escoamentos turbulentos



uniformes; - a fórmula racional para a determinação de caudais de cheia, por Thomas Mulvaney; - a teoria do escoamento em meio poroso por Darcy, Dupuit, Thiem e Forcheimer; - o diagrama de Rippl para cálculo de capacidades de albufeiras; - a fórmula de Hagen – Poiseuille para o escoamento laminar. 1.1.4.7 A Hidrologia na actualidade Os progressos alcançados na Hidrologia durante o século XX são numerosos e representam um avanço qualitativo na direcção dum conhecimento científico dos fenómenos. Ven Te Chow considerou três períodos para caracterizar o desenvolvimento da Hidrologia no século XX até à actualidade: - período do empirismo (1900-1930) com uma grande abundância de fórmulas

empíricas, criação de organismos para a recolha sistemática de dados hidrológicos, criação da Associação Internacional de Ciências Hidrológicas (nome actual);

- período da racionalização (1930-1950), caracterizados pelo aparecimento das teorias fundamentais da Hidrologia moderna, nomeadamente as teorias do hidrograma unitário, de Sherman; da infiltração, de Horton; do escoamento em meio poroso para poços em regime variável, de Theis; a análise estatística de fenómenos extremos, proposta por Gumbel; e do transporte de sedimentos, de Einstein;

- finalmente, um período de teorização (1950 - ), em que a Hidrologia faz cada vez mais uso de métodos matemáticos avançados e dos modernos conceitos de Mecânica de Fluidos e da Termodinâmica, em paralelo com uma utilização massiva de computadores como ferramenta básica de trabalho.

A moderna Hidrologia, e em particular a Hidrologia da Engenharia, faz uma integração que se procura sempre mais perfeita, entre as teorias dos processos hidrológicos e a informação disponível, em termos de registos de precipitação, caudais e de outras variáveis hidrológicas fundamentais. 1.2 RESERVAS HÍDRICAS NA TERRA A água é o liquido mais abundante na Terra. De facto, existe uma quantidade enorme, estimada em cerca de 1,600 x 106 km3. Aproximadamente 15 % desta água está quimicamente “presa” na crusta terrestre. A quantidade de água livre é cerca de 1,386 x 106 km3 (1,386 x 1015 m3). Poderia parecer que a quantidade de água na Terra fosse quase ilimitada. Contudo, esta imagem muda bastante se considerar a possibilidade de utilizar essa água. Para tal, pode-se analisar o Quadro 1.1, que mostra a importância das diferentes reservas hídricas. Quadro 1.1. Importância das diversas reservas hídricas (cf. UNESCO, 1978)

Volume (103 km3) Volume de água total (%)

Volume de água doce (%)



Oceanos e mares Lagos: doce salgados Pântanos Rios Humidade do solo Água subterrânea: doce salgada Gelo e neve Calotes polares Água na atmosfera Água biológica

1,338,000

91.0

85.4

11.5

2.1

16.5

10,530

12,870

340.6

24,023.5

12.9

1.1

96.5

0.007

0.006

0.0008

0.0002

0.0012

0.76

0.93

0.025

1.7

0.001

0.0001

-

0.26 -

0.03

0.006

0.05

30.1 -

1.0

68.6

0.04

0.003

TOTAL DE ÁGUA ÁGUA DOCE

1,385,985 35,029

100 2.5

100

Deste quadro ressalta imediatamente a pequeníssima fracção de água utilizável pelo Homem em relação à totalidade da água existente no planeta. Vê-se que cerca de 97.5 % é água salgada e 1.7 % corresponde às zonas polares. Além disso, uma boa parte da água subterrânea está situada a enormes profundidades o que torna o seu aproveitamento antieconómico nas condições actuais. A parcela correspondente às águas superficiais e ás águas subterrâneas pouco profundas, aquela que efectivamente pode ser utilizada com mais facilidade, é de facto bastante pequena, apenas cerca de 0.3 % da água que existe na Terra ! O tempo de residência é o valor que se obtêm dividindo o volume da reserva pelo volume médio do correspondente fluxo de renovação. Assim, o tempo de residência representa o tempo médio que uma gota de água permanece numa certa reserva de água antes de passar para uma



outra reserva. O quadro 1.2 apresenta valores do tempo de residência para as várias reservas hídricas. Quadro 1.2. Tempo de residência para as várias reservas hídricas

Volume (103 km3)

Tempo de residência (ordem de grandeza)

Oceanos e mares Lagos e albufeiras Pântanos Rios Humidade do solo Água subterrânea: Gelos e glaciares Atmosfera

1,338,000

176.4

11.5

2.1

16.5

23,400

24,364

12.9

≈4000 anos

≈10 anos

≈1-10 anos

≈2 semanas

≈2 semanas - 1 ano

≈2 semanas - 10,000 anos

≈10 - 1000 anos

≈10 dias Note-se que, enquanto para as águas superficiais, especialmente para os rios, esses tempos são curtos, para os oceanos, glaciares e águas subterrâneas profundas esses tempos contam-se por centenas ou milhares de anos. Note-se também que as reservas representam uma imagem estática, um "instantâneo" das disponibilidades de água e pouco tem a ver com a sua importância para o ciclo hidrológico (que representa uma imagem dinâmica) onde a contribuição dos rios ou da atmosfera, por exemplo, é muito superior ao seu volume total instantâneo. O tempo de residência também tem relevância no âmbito de poluição de recursos hídricos. Por exemplo, um rio com água poluída poderá, em princípio, ser limpo em relativamente pouco tempo (teoricamente, em apenas algumas semanas), quando as fontes poluentes deixam de existir. No caso dum lago grande, a sua limpeza já será um processo de muitos anos. 1.3 O CICLO HIDROLÓGICO 1.3.1 Conceito de ciclo hidrológico. Diagrama de Horton O conceito de ciclo hidrológico é extremamente útil para se iniciar o estudo da Hidrologia. O ciclo hidrológico pode ser descrito como um conjunto de arcos que representam os diversos caminhos através dos quais a água na natureza circula e se transforma, constituindo um sistema de enorme complexidade.



O ciclo hidrológico não tem início ou fim mas é habitual partir-se da evaporação da água dos oceanos e sua incorporação na atmosfera. Os processos que em seguida se desenrolam estão apresentados sob forma gráfica no diagrama de Horton, figura 1.1.

Figure 1.1 Diagrama de Horton

O vapor de água resultante da evaporação nos oceanos acumula-se na atmosfera e é transportado por massas de ar em movimento. Sob condições adequadas, o vapor condensa-se para formar nuvens que, por sua vez, podem dar origem a precipitação, quer sobre a terra quer sobre os oceanos. A precipitação que cai sobre a terra pode seguir caminhos diversos: - parte evapora-se durante a queda; - parte é interceptada por árvores, vegetação ou telhados de casas e volta a evaporar-se; - parte atinge a superfície do solo, infiltrando-se ou ficando retida em depressões

superficiais. A parte retida em depressões superficiais divide-se numa componente que se evapora e noutra que origina escorrimento superficial. A parte que se infiltra contribui, por um lado, para alimentar o processo de transpiração das plantas e de evaporação a partir do solo; por outro, por efeito da gravidade, vai alimentar as toalhas de água subterrânea. As águas subterrâneas contribuem para alimentar a vegetação, a evaporação a partir do solo e os escoamentos dos rios. Por efeito da gravidade, parte das águas subterrâneas vai ter directamente ao oceano.



O escorrimento superficial sobre o solo dá origem a linhas de água que se fundem em rios os quais, devido à gravidade, vão descarregar no oceano, alimentando no seu percurso lagos, pântanos e albufeiras. Em todo este processo, há continuamente evaporação da água da mesma forma que pode haver precipitação directamente sobre os rios e lagos. Também os rios contribuem muitas vezes para alimentar as toalhas de água subterrânea com que comunicam. Com a descarga da água no oceano por escoamento superficial ou escoamento subterrâneo fecha-se o ciclo hidrológico. O "motor" deste ciclo é a energia solar que, no processo de passagem de partículas de água para atmosfera por evaporação, lhes transmite a energia potencial necessária para o seu regresso ao oceano, actuadas pela gravidade a partir da precipitação. A figura 1.2 faz uma outra representação do ciclo hidrológico. Aí estão indicadas os três ramos normalmente considerados no ciclo hidrológico: o ramo oceânico, objecto da Oceanografia; o ramo aéreo ou atmosférico, objecto da Meteorologia; e o ramo terrestre, objecto da Hidrologia.

Figura 1.2 O Ciclo Hidrológico

A figura 1.3 é ainda uma representação descritiva do ciclo hidrológico mas na qual se faz já uma avaliação quantitativa das variáveis envolvidas. P, E, ET, I, G e Q representam respectivamente a precipitação, a evaporação, a evapotranspiração, a infiltração, o escoamento subterrâneo e o escoamento superficial. As percentagens estão expressas em termos da precipitação total anual média que se estima em cerca de 860 mm.



Figure 1.3 Representação quantitativa do Ciclo Hidrológico

1.3.2 Irregularidade espacial e temporal È preciso salientar que as quantidades de precipitação, evaporação, escoamento e outras variáveis hidrológicas apresentam enormes irregularidades quer na sua distribuição geográfica quer na sua distribuição temporal. O facto de poder haver grandes variações destas quantidades de ano para ano num mesmo local significa que a sua caracterização apenas é possível numa base estatística a partir de longas séries de valores observados. Em Moçambique, há dois organismos que desempenham um papel central na recolha e registo de dados relativos às variáveis hidrológicas. São eles: - O Instituto Nacional de Meteorologia de Moçambique (INAM) que colecta dados de

precipitação e evaporação, para além de outros relativos a variáveis climáticas (temperatura, humidade relativa, vento, radiação solar, etc.) que influem nas grandezas hidrológicas;

- a Direcção Nacional de Águas (DNA) que recolhe dados de precipitação, evaporação, água subterrânea e escoamento superficial.

Outros organismos como o Instituto Nacional de Investigação Agronómica (INIA) e algumas grandes empresas do sector agrícola possuem também informação hidrológica com interesse, sobretudo registos de precipitação, evaporação, evapotranspiração.



1.4 BALANÇO HÍDRICO Se se considerar uma certa região geográfica durante um determinado período de tempo, o movimento da água obedece ao princípio da conservação da massa traduzido pela equação da continuidade. Essa equação pode escrever-se como

dtds =O - I na sua forma contínua

ou como na sua forma discreta s = t O) - (I ∆∆ em que I representa a entrada de água no sistema por unidade de tempo, O é a saída de água do sistema também por unidade de tempo e ∆S é a variação do volume armazenado no interior do sistema. Designa-se por balanço hídrico a equação da continuidade aplicada a uma certa região e escrita em função das variáveis do ciclo hidrológico.

Figure 1.4 Representação conceptual do balanço hídrico

As regiões em que fazem estudos de balanços hídricos são definidas normalmente em função do objectivo que se pretende alcançar, podendo, no entanto, existir restrições de carácter político e administrativo à livre definição dessas regiões. A figura 1.4, uma versão mais abstracta do ciclo hidrológico duma região, é útil porque permite uma tradução fácil do balanço hídrico em termos matemáticos. Na figura 1.4, as variáveis têm o seguinte significado: P precipitação; Q1, Q2 escoamento superficial que entra e sai da região; G1, G2 escoamento subterrâneo que entra e sai da região; Ss, Sso, Saq volume armazenado à superfície, no solo e no aquífero (água subterrânea);



E evaporação a partir de águas superficiais e do solo; T transpiração das plantas; rso, raq água do solo e água subterrânea que reaparecem à superfície (ressurgência); I infiltração (no solo); R recarga (percolação para os aquíferos). Conforme a região que se considere, assim se podem estabelecer os correspondentes balanços hídricos. Por exemplo, se se considerar toda a região representada na figura 1.4, ter-se-á a seguinte equação: (P + Q1 + G1) - (Q2 + G2 + E + T) = ∆S em que ∆S representa a variação total do volume armazenado. Note-se que nesta equação não aparecem a infiltração, a recarga e a ressurgência que, por serem processos "interiores" à região em estudo, não afectam o respectivo balanço hídrico. Se agora se considerar apenas a superfície da terra, o balanço hídrico será: (P + Q1 + r) - (Q2 + E + T + I) = ∆Ss O balanço hídrico para um (único) aquífero será: (G1 + R) - (G2 + raq) = ∆Saq É um exercício relativamente simples estabelecer os balanços hídricos para outras regiões como, por exemplo, a camada superficial do solo ou do aquífero. Tenha-se em atenção que todas as variáveis que intervêm nas equações de balanços hídricos são expressas como volumes por unidade de tempo. A equação do balanço hídrico pode ser consideravelmente simplificada quando a região considerada é a bacia hidrográfica e quando se adoptem longos períodos de tempo (pelo menos um ano). Numa bacia hidrográfica, não há, em condições naturais, outra entrada de água além da precipitação e há uma única saída de água. Por outro lado, num longo período de tempo a variação do volume armazenado pode ser desprezada perante os valores acumulados das outras variáveis. Assim, a equação do balanço hídrico passa a ser nessas condições:

P - (Q2 + E + T) = 0 O maior obstáculo na resolução de problemas práticos com utilização do balanço hídrico reside principalmente na dificuldade de medir ou estimar adequadamente as variáveis intervenientes. Por exemplo, a precipitação é medida pontualmente fazendo-se depois a extrapolação para toda a área envolvida1. Os caudais em rios podem ser medidos com razoável precisão excepto durante

1 ver o capítulo sobre precipitação



as cheias. As maiores dificuldades surgem, no entanto, associadas à medição ou estimação dos valores de infiltração, recarga, escoamento subterrâneo, evaporação, transpiração e volumes armazenados no solo e em aquíferos. O balanço hídrico é uma ferramenta muito útil e que pode ser utilizada numa grande variedade de situações como, por exemplo: • determinação do valor duma variável hidrológica quando todas as restantes que entram no

balanço são conhecidas; • estimação do erro global cometido na medição ou estimação das variáveis hidrológicas,

quando todas as que entram no balanço hídrico são conhecidas; • operação de albufeiras; • avaliação das necessidades de rega. O balanço hídrico é também a componente central dos modelos de simulação hidrológica - modelos matemáticos em que se procura reproduzir as características principais do movimento de água numa região a partir do momento em que ela precipita. 1.5 ANO HIDROLÓGICO As variáveis hidrológicas, como a precipitação, o escoamento ou a evaporação, são claramente influenciadas por uma ciclicidade anual. Em Moçambique, isto é bem evidente nas duas mais importantes variáveis do ciclo hidrológico, a precipitação e o escoamento. Com efeito, tanto a precipitação como o escoamento atingem valores elevados nos meses de Dezembro a Março ao passo que no período de Junho a Setembro os seus valores são bastante baixos. Em muitas aplicações, interessa utilizar os valores acumulados anuais de precipitação e escoamento, por exemplo para balanços hídricos anuais. Nesses casos, não se pode adoptar como período de registo o ano civil (1 Janeiro - 31 Dezembro) pois isso corresponderia a repartir por dois anos uma mesma época de chuvas. Considera-se por isso um ano especial designado por ano hidrológico. Toma-se para início do ano hidrológico o fim da época de estiagem o que tem a vantagem de evitar a divisão duma mesma época de chuvas. Tem também vantagens para a efectivação de balanços hídricos anuais: P - (R + E + T) = ∆S pois no fim da época de estiagem pode aceitar-se que o armazenamento é sempre bastante pequeno pelo que ∆S é aproximadamente nulo. Procura-se, portanto, que os anos hidrológicos sejam (estatisticamente) independentes uns dos outros, o que obviamente não aconteceria se, por exemplo, se se usasse o ano civil. O procedimento adoptado para a definição do início do ano hidrológico procura, de facto,



minimizar a dependência estatística dos sucessivos anos hidrológicos. Ele consiste em formar séries anuais de escoamentos adoptando, alternativamente, diferentes meses para o seu início (Setembro, Outubro, Novembro, etc.) e determinar, para cada alternativa de início, o valor do coeficiente de autocorrelação. O mês que origine o mais baixo coeficiente de autocorrelação deve ser o adoptado para início do ano hidrológico. Em Moçambique, verifica-se que os escoamentos em dada região dão coeficientes de autocorrelação mais baixos tomando o ano hidrológico com início em 1 de Outubro ao passo que noutras regiões o mínimo coeficiente de autocorrelação corresponderia a um início em 1 de Novembro. Por razões de ordem organizativa, a Direcção Nacional de Águas adoptou como ano hidrológico o período que vai de 1de Outubro dum ano a 30 de Setembro do ano seguinte.



EXERCÍCIOS 1. Numa albufeira com uma área de 10 km2 verificaram-se durante um período de 5 dias os seguintes valores: - Caudal afluente = 15 m3/seg. - Caudal efluente = 3 m3/seg. - Nível da água no 1º dia = 25,0 m. - Nível da água no 6º dia = 25,4 m. - Precipitação = 0 mm. a) Calcule o volume da água perdida por evaporação na albufeira, durante estes 5 dias b) Calcule a altura média diária de evaporação da albufeira. 2. Considere um lago com uma saída natural. A área do lago é de 500 km2 e a da bacia drenante de 2800 km2. Durante um ano verificou-se que a precipitação na região foi de 600 mm. e a evaporação no lago de 800 mm, não se tendo verificado uma variação sensível do nível do lago. O caudal médio descarregado ao longo do ano foi de 9 m3/s. a) Calcule o caudal drenado da bacia para o lago. b) Calcule a evaporação na bacia drenante. 3. Em que condições é que a precipitação numa bacia não produz a) Nenhum escoamento superficial b) Nenhum escoamento subterrâneo c) Nenhum escoamento 4. Explique a presença e a ausência de água superficial e água subterrânea numa zona com dunas (p. ex. a ilha de Inhaca) e numa planície dum rio (p. ex. o rio Incomati). 5. Construiu-se uma barragem numa secção dum rio com uma bacia drenante de 1800 km2. A albufeira tem uma área inundada média de 35 km2 e uma capacidade de armazenamento de 600 milhões m3. O caudal médio (afluente) do rio é de 5,6 m3/s. A precipitação anual média ponderada sobre a bacia é de 700 mm. O enchimento da albufeira depois da sua construção levou 5 anos. Durante esse período o caudal médio descarregado pela albufeira foi de 0,5 m3/s. Logo depois da construção da barragem (durante e depois do enchimento da albufeira) começou-se a tirar, anualmente, 12 milhões de m3 de água da albufeira para o abastecimento duma vila e para um regadio. a) Calcule o caudal médio descarregado pela albufeira depois do seu enchimento (numa situação de equilíbrio o nível médio da albufeira mantêm-se constante).



b) Calcule as perdas anuais na albufeira por evaporação. 6. Na secção de saída (secção de referência) duma bacia hidrográfica de 1600 km2 foi construída uma barragem com uma albufeira com uma superfície de 35 km2 e uma capacidade de armazenamento de 600 milhões m3. A albufeira é alimentada por um rio que drena a bacia. O caudal médio no rio é de 4,5 m3/s. A precipitação anual média naquela zona é de 700 mm. O enchimento da albufeira depois da sua construção levou 5 anos. a) Calcule as perdas anuais na albufeira por evaporação (assuma que a superfície da albufeira é constante). b) Calcule a evapotranspiração anual (em mm) na bacia.


Caracterízação duma bacia hidrográfica 2-1

2 CARACTERIZAÇÃO DUMA BACIA HIDROGRÁFICA 2.1 BACIAS HIDROGRÁFICAS Uma bacia hidrográfica é uma região definida topográficamente, drenada por um curso de água ou um sistema interligado de cursos de água, tal que a única entrada de água na região seja a precipitação e todos os caudais efluentes sejam descarregados através de uma única saida (secção de referência da bacia). Quando o balanço hídrico é realizado na região correspondente a uma bacia hidrográfica, ele torna-se consideravelmente simplificado já que a única entrada de água corresponde à precipitação e a saída de água se faz numa única secção. Também para a gestão dos recursos hídricos a bacia hidrográfica constitui a unidade mais conveniente pois é a nível da bacia que se verificam as relações mais estreitas entre: • recursos hídricos a montante e a jusante; • recursos de água superficiais e de águas subterrâneas; • consumos a montante e disponibilidades a jusante, em termos de quantidade e qualidade; • modificações na ocupação do solo ou obras hidráulicas no rio e nas margens e modificações

morfológicas ou das características do escoamento a montante e a jusante, por vezes a distâncias de dezenas de quilómetros.

Tudo isto justifica o papel privilegiado desempenhado pelas bacias hidrográficas em estudos hidrológicos e de gestão de recursos hídricos. A figura 2.1 representa as principais bacias de Moçambique e a figura 2.2 a bacia do rio Malema, afluente do rio Lúrio. A bacia hidrográfica é limitada pela linha de separação das águas. Esta linha passa pelos pontos de máxima cota entre bacias, seguindo pelas linhas de cumeada, podendo no entanto existir pontos mais altos no interior da bacia. A linha de separação divide a região onde a precipitação caída vai dar origem a escoamento drenado através da secção de referência das regiões vizinhas, drenadas por outros cursos de água. A definição dos limites da bacia hidrográfica torna-se menos precisa quando se considera o escoamento subterrâneo. Assim, distingue-se por vezes a linha de separação topográfica ou superficial da linha de separação freática ou subterrânea. Na situação ilustrada pela figura 2.3, a precipitação que se infiltra acima da camada geológica impermeável acaba por se escoar numa bacia vizinha.



Figure 2.1 Principais bacias de Moçambique



Figure 2.2 Bacia do rio Malema



Figure 2.3 Limites duma bacia hidrográfica Nesta situação, a definição dos limites da bacia hidrográfica não se pode fazer sem ambiguidade visto que apenas uma parte da precipitação caída acima da camada geológica impermeável se infiltra enquanto outra parte se transforma em escoamento superficial na bacia. Por outro lado, os níveis freáticos variam ao longo do ano o que tem como consequência a variação da linha de separação freática. Por isso, normalmente e para efeitos práticos, despreza-se o efeito introduzido pelo escoamento subterrâneo, junto aos limites da bacia. A incorreção cometida é negligenciável com a excepção das bacias com muito pequena dimensão ou com características geológicas particulares. O comportamento hidrológico duma bacia hidrográfica é essencialmente uma função das características climáticas da região (precipitação, evaporação) e das características fisiográficas da bacia. As características fisiográficas podem ser agrupadas da seguinte maneira:

• características geométricas - área de drenagem; - perímetro; - índice de compacidade; - factor de forma.

• características do sistema de drenagem - constância do escoamento; - ordem; - densidade de drenagem.

• características do relevo - curva hipsométrica; - altitude média; - altura média; - perfil do rio; - inclinação média do leito; - declividade dos terrenos; - rectângulo equivalente;

- declive médio - índice de declive de Roche;



- curva hidrodinâmica; - coeficiente de massividade; - coeficiente orográfico.

• características de geologia, solos e vegetação 2.2 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 2.2.1 Área de drenagem A área de drenagem é a área da projecção horizonal da superfice da bacia hidrográfica, sendo normalmente determinada por planimetria ou por utilização de GIS (Sistema de Informação Geográfica), em cartas com escalas (no caso de Moçambique) entre 1:250,000 e 1:50,000. A área de drenagem tem uma importância enorme nos valores dos escoamentos, que se podem, duma maneira geral, considerar funções crescentes da área. A área da bacia do rio Malema (centro-norte de Moçambique) é de 2,600 km2. 2.2.2 Perímetro O perímetro da bacia é o perímetro da projecção horizontal da superfície da bacia hidrográfica. O perímetro da bacia do rio Malema é de 342 km. 2.2.3 Índice de compacidade

O índice de compacidade ou índice de Gravelius, Kc, é a relação entre o perímetro da bacia e o perímetro dum círculo de área igual à da bacia: Kc = P/(2πR), em que A = πR2 define o valor de R. Então:

A

P 0.282 = A2

P = Kc

ππ

Kc é sempre maior ou igual à unidade apenas se tendo Kc = 1 para uma bacia de forma circular. Kc é um valor adimensional que não depende da área mas da forma da bacia sendo tanto maior quanto mais essa forma se afaste da circular. Note-se que quanto maior fôr Kc menos compacta é a bacia. Apresentam-se na figura 2.4 algumas formas esquemáticas de bacias e os respectivas índices de compacidade. A título de exemplo, a bacia do rio Malema tem um valor de Kc = 1.89.




Figura 2.4 Índices de compacidade para várias formas de bacias Se imaginarmos uma precipitação instantânea e uniforme sobre a bacia, o escoamento a que ela dá origem surgirá concentrado na secção de saída ou mais distribuido ao longo do tempo conforme a forma da bacia seja próxima da circular ou irregular. Assim, em igualdade de outros factores, a tendência para grandes cheias será tanto mais acentuada quanto mais próximo da unidade for o valor de Kc. 2.2.4 Factor de forma O factor de forma, Kf, é a relação entre a largura média e o comprimento da bacia, definido como o comprimento, L, do seu curso de água mais longo. A largura média, l, é definida como a largura dum rectângulo com o mesmo comprimento e com a mesma área: l = A/L Kf = l/L = A/L2 Se se considerar as primeiras três bacias representadas na figura 2.4, os seus factores de forma são aproximadamente 0.25, 0.50 e 1. As bacias com factores de forma baixos são as que têm formas estreitas ou irregulares. Nestes casos, é menos provável a ocorrência de chuvas intensas cobrindo simultâneamente toda a sua extensão e, por outro lado, os escoamentos resultantes surgem na secção de saída mais distribuidos ao longo do tempo pelo que, em igualdade de outros factores, bacias com Kf baixos terão menos tendências para grandes cheias do que bacias com Kf elevados. O valor de Kf para a bacia do rio Malema é de 0.1 aproximadamente. 2.3 CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA DE DRENAGEM 2.3.1 Constância do escoamento


Os rios e seus afluentes podem classificar-se como perenes, intermitentes e efémeros, de acordo com o critério da constância do escoamento. Os rios perenes são os que, em condições naturais1, escoam água durante todo o ano quer por terem afluentes com diferentes regimes de alimentação quer por terem uma alimentação contínua de águas subterrâneas. É normalmente o caso dos rios mais importantes de Moçambique, como o Maputo, o Umbelúzi, o Incomáti e o Limpopo, na região sul. Os rios intermitentes são os que em geral têm água durante a época húmida e secam na estiagem. Durante a época húmida beneficiam da precipitação e dum nível freático alto enquanto que, durante a época seca, o lençol freático desce a um nível inferior ao do leito do rio, não permitindo fazer a sua alimentação. Podem referir-se como exemplo os rios Mazim’chopes e Govuro. Os rios efémeros apenas têm água durante e imediatamente a seguir aos períodos de precipitação, não recebendo escoamento subterrâneo. Podem citar-se como exemplo os rios Movene e Impamputo. 2.3.2 Ordem A ordem dos cursos de água é uma classificação que reflecte o grau de ramificação da rede hidrográfica da bacia. Pode ser feita a partir dum mapa em que estejam representados todos os canais naturais suficientemente bem definidos quer correspondam a cursos de água perenes, intermitentes ou efémeros. Um critério de ordenação que por vezes tem sido seguido é o de considerar como de ordem 1 os cursos de água que não são afluentes de qualquer outro; de ordem 2 os que são afluentes dos rios de ordem 1; de ordem n+1 os que são afluentes dos cursos de água de ordem n. Este critério é de aplicação simples e quase nada dependente do pormenor com que a rede hidrográfica está representada no mapa. No entanto, apresenta como significativas desvantagens o facto de poderem surgir como tendo a mesma ordem rios de dimensão totalmente distinta. Em Moçambique, tanto o Zambeze como o Infulene seriam rios de ordem 1 por este critério. Um critério mais seguido actualmente é o de Horton-Strahler: são considerados de ordem 1 as linhas de água iníciais, que não recebem quaisquer afluentes; a junção de duas linhas de água de ordem 1 origina uma linha de água de ordem 2; a junção de dois rios de ordem n gera um rio de ordem n+1. Assim, os troços terminais dos grandes rios têm números de ordem bastante altos.

A figura 2.5 ilustra a utilização destes dois critérios.

1 É necessário referir o rio “em condições naturais” por causa das grandes modificações de regime de escoamento introduzidas por tomas de água e por albufeiras de armazenamento.



Figure 2.5 Critérios de ordenação de cursos de água 2.3.3 Densidade de drenagem A densidade de drenagem, λ, é a relação entre o comprimento total dos cursos de água duma bacia, sejam eles perenes, intermitentes ou efémeros, e a área da bacia:

A

l=

ii

∑λ

λ é dado em km-1 e varia normalmente entre 0.5 e 3.5 km-1. A densidade de drenagem é também um indicador da tendência para a ocorrência de cheias numa bacia hidrográfica. Com efeito, numa bacia bem drenada o escoamento superficial é rapidamente canalizado para linhas de água bem definidas e pode surgir concentrado na secção de referência da bacia. Naquelas bacias mal drenadas (λ baixo), a precipitação vai originar sobretudo escoamento sub-superficial e subterrâneo que se processam com muito mais lentidão, não originando por isso picos de cheia elevados. 2.4 CARACTERÍSTICAS DO RELEVO 2.4.1 Curva hipsométrica A curva hipsométrica é a curva A(z) em que A é a área da bacia que se situa acima da altitude ou cota z referida ao nível do mar. A área pode ser expressa em km2 ou em percentagem da área total da bacia. A curva hipsométrica é obtida a partir da carta hipsométrica, carta onde a representação das altitudes é feita por curvas de nível ou por qualquer outro processo de representação gráfica. A figura 2.6 apresenta um exemplo de curva hipsométrica. A figura 2.7 apresenta a curva hipsométrica da bacia do rio Malema.



Figure 2.6 Curva hipsométrica

Figure 2.7 Curva hipsométrica do rio Malema



2.4.2 Altitude média

A altitude média da bacia, Z, é dada pela expressão:

A

daz = Z

total

A

0

total

⋅∫

O integral dá a área limitada pela curva z(A) e pelos eixos coordenados, podendo ser fácilmente calculado por uma fórmula de integração numérica a partir da curva hipsométrica. Um processo mais expedito é o de assimilar o integral a um somatório:

Az =da z ii1=i0

∑∫ ⋅nAtotal

em que Ai é a área da bacia entre as curvas de nível i e (i+1) e zi a média das altitudes dessas duas curvas de nível. A altitude média é uma característica com grande influência em variáveis hidrometeorológicas como a precipitação e a temperatura. Em Moçambique, as zonas de maior altitude (Gurué, Milange, Angónia, Lichinga) são as regiões de maiores precipitações anuais médias e mais baixas temperaturas mínimas. 2.4.3 Altura média A altura média, H, é dada pela expressão:

A

dah = H

total

0

⋅∫Atotal

em que h é a cota acima da secção de referência ou de estudo, em vez de z que é a altitude ou cota referida ao nível do mar. Assim, se estivermos a tomar como secção de referência a foz no oceano, as alturas h coincidem com as altitudes z; se a secção de referência fôr, por exemplo, a secção de confluência do afluente com o rio principal, então para esse afluente ter-se-á: h = z - zconf ou h = z - z100 já que toda a bacia (100%) do afluente se situa acima de zconf. Daqui se tira imediatamente que



H = Z - z100 A altura média da bacia dá-nos uma ideia se a bacia é muito ou pouco acidentada. Normalmente, as bacias com maiores alturas médias apresentam quedas mais importantes que podem por vezes ser aproveitadas para a produção de energia hidroeléctrica. 2.4.4 Perfil do rio

O perfil do rio é a representação gráfica da função z(L) em que z é a cota duma dada secção do rio e L a respectiva distância à foz. A figura 2.8 apresenta a título de exemplo o perfil do rio Malema e dos seus afluentes Namparro, Mutivasse, Nataleia e Lalace. Note-se que a marcação de distâncias para os afluentes em sentido contrário ao rio principal, a partir da confluência, torna o gráfico mais legível do que seria se todas as distâncias fossem marcadas no mesmo sentido. O perfil dum rio dá uma noção imediato das zonas de quedas importantes, grandes extensões quase planas e mais facilmente inundáveis, etc. 2.4.5 Inclinação média do leito A inclinação média do leito obtem-se dividindo a diferença entre as cotas máxima e mínima do leito pelo comprimento do rio. É também possível determinar de modo análogo a inclinação média dum troço do rio. A partir da figura 2.8, pode-se calcular que a inclinação média de todo o leito do rio Malema é de 0.00859 mas que o troço de 135 km de jusante tem uma inclinação de apenas 0.00278. 2.4.6 Declividade dos terrenos Quanto maior a declividade dos terrenos maior será a velocidade com que se dá o escorrimento superfícial e, consequentemente, menor será o tempo que a água leva a atingir o sistema de drenagem, facilitando o aparecimento de maiores pontas de cheias. Para tal contribui também o facto de maior declividade corresponder a uma menor infiltração de água no solo. Por outro lado, as maiores velocidades agravam o problema da erosão do solo. A declividade dos terrenos duma bacia é normalmente obtida por amostragem: • marcam-se, por exemplo a partir duma quadrícula aposta ao mapa da bacia, um número

elevado de pontos no interior da bacia; • para cada ponto determina-se a declividade a partir das duas curvas de nível entre as quais o

ponto se situa; • fica-se assim com uma distribuição estatística das declividades o que permite igualmente

obter a declividade média da bacia.



Figure 2.8 Perfis do rio Malema e afluentes



Um outro método para determinar a declividade média dos terrenos é o método do Alvord. Suponha-se a bacia representada numa carta com curvas de nível espaçadas de D (por exemplo, D = 20 metros). A figura 2.9 representa as curvas de nível às cotas n-D, n, n+D.

Figure 2.9 Método de Alvord.

Considere-se a curva de nível à cota n. A faixa de terreno entre as curvas de nível à cota n-D/2 e n+D/2 está representada a tracejado na figura. Se se designar por dn a largura média dessa faixa, a declividade média dos terrenos nessa faixa será dada por in = D/dn. Se o comprimento da curva de nível à cota n for Ln, então:

ALD =

L dL D = i

n

n

nn

nn

em que An é área da faixa a tracejado. Este raciocínio é aplicável a qualquer faixa de terreno correspondente a uma curva de nível da carta. Portanto, pode-se definir a declividade média dos terrenos da bacia como a média ponderada das declividades médias de todas as faixas que compõem a bacia.

AL D =

A LD =

Ai A = I

n

n

n

nn

∑∑

∑∑

em que L é o comprimento total das curvas de nível de equidistância D existentes na bacia e A é a área da bacia. Esta método é, assim, bastante prático pois, conhecido D, basta determinar A com um planímetro (ou GIS) e medir L com um curvímetro (ou GIS). Note-se que, sendo I um valor adimensional, se deve exprimir tanto L como D em km e A em km2.



2.4.7 Rectângulo equivalente

O rectângulo equivalente é o rectângulo com área e perímetro iguais aos da bacia, isto é: 2(Le+le) = P Le * le = A Pode-se ressolver as duas equações para obter Le e le:

A - 16P +

4P = L

2

e Só é válida para AP 162 ≥

A - 16P -

4P = l

2

e

A bacia do rio Malema tem A = 2,600 km2 e P = 342 km, donde se tira para o rectângulo equivalente: Le = 154 km; le = 17 km.

Figure 2.10 Rectângulo equivalente do rio Malema A figura 2.10 faz a representação do rectângulo equivalente para a bacia do rio Malema. Nele marcaram-se as várias curvas de nível espaçadas de formas a representarem as correspondentes áreas. Por exemplo, a área entre as curvas de nível de 700 e 800 m é de 20 x 17 = 340 km2 . As áreas são obtidas a partir da curva hipsométrica. 2.4.8 Índice de declive médio O índice de declive médio, Ii, entre as curvas de nível de cotas Zi e Zi-1 é dado pela relação:

X

Z-Z = Ii

1-iii 2,

em que Xi é a distância entre as duas curvas de nível no rectângulo equivalente. Por exemplo, no caso da bacia do rio Malema, o índice de declive médio entre as cotas 1,300 e 1,400 m é:



0.0159 = 6,300

1,300-1,400 = I

enquanto que ele é apenas de 0,0024 entre as cotas 600 e 700 m. 2.4.9 Índice de declive de Roche O índice de declive de Roche, Ip, é o índice de declive médio para toda a bacia. No exemplo do rio Malema, o rectângulo equivalente permite calcular

0.00932 = 154,000

465-1,900 = I p

2.4.10 Índice de declive global O índice de Roche é muito afectado se a bacia tiver pequenas áreas de grande altitude. Afim de representar mais fielmente as características médias da bacia, o índice de declive global, Ig, exclui as áreas correspondentes aos 5% mais altos e aos 5% mais baixos da bacia:

L

Z-Z = Ie

955g

Para a bacia do Malema, obtem-se:

0.00558. = 154,000

540-1,400 = I g

Como é evidente, Ig é sempre inferior a Ip. Os valores de Z5 e Z95 são obtidos a partir da curva hipsométrica. 2.4.11 Curva hidrodinâmica A curva hidrodinâmica representa, a menos dum factor constante, as possibilidades energéticas da bacia. Se se considerar um volume de água V caindo duma altura h, a energia potencial que lhe corresponde é En = ρgVh Joules (com as unidades do Sistema Internacional), ou En = 2,722 Vh KWh (com V em Mm3 e h em m). Considere-se agora o caso dum rio sem afluentes onde estão identificadas diversas secções



(figura 2.11) e marquem-se os pontos (Vi, hi).

Vdh 2,722 = Enh

∫max

Figure 2.11 Curva hidrodinâmica h é a cota da secção e V o volume anual médio que nela se escoa. A área delimitada pela curva V(h) multiplicada pelo factor 2,722 dá a energia potencial total correspondente ao escoamento do rio, designando-se por potencial fluvial bruto.

3 0

Considere-se agora o caso dum rio com afluentes como se representa na figura 2.12. O processo de representação da curva V(h) pode ser repetido para o rio principal e para os afluentes, à semelhança do caso anterior, permitindo determinar o potencial fluvial bruto de cada afluente e da totalidade da bacia.

Figura 2.12 Curva Hidrodinâmica para um rio principal e os afluentes

A determinação do potencial fluvial bruto implica o conhecimento dos volumes escoados nas diversas secções. Quando tal não acontece e se dispõe apenas de cartas topográficas com a indicação da rede de drenagem, pode utilizar-se a curva hidrodinâmica para uma primeira ideia do potencial energético da bacia. A curva hidrodinâmica baseia-se na hipótese da proporcionalidade entre áreas drenadas e volumes escoados:

K, =... = AV =

AV =

AV

3

3

2

2

1

1

hipótese válida em primeira aproximação desde que toda a área tenha características climáticas, geológicas e de solos homogéneas. Então:



dhAK 2,722 = dhV2,722 = Enh

0

h

0

⋅⋅ ∫∫maxmax


Portanto, se se traçar uma curva semelhante às das figuras 2.11 e 2.12 mas em que os volumes escoados são substituidos pelas correspondentes áreas de drenagem, teremos a curva hidrodinâmica. Para se obter o valor do potencial energético multiplica-se a área delimitada pela curva hidrodinâmica pelo factor (2,722 * K). O valor de K pode ser estimado por uma das seguintes vias: • se numa secção (de preferência, a jusante) se conhecer o valor do volume anual médio V e

sendo A a respectiva área drenante, virá K = V/A, com K em m se V em Mm3 e A em km2. • se não houver quaisquer dados de escoamento na bacia, utilizar o valor de K calculado para

uma bacia vizinha com características similares. As figuras 2.13 e 2.14 apresentam as curvas hidrodinâmica e do potencial fluvial bruto da bacia do Malema. As curvas diferem entre si porque a bacia não tem características homogéneas de precipitação e, por isso, os escoamentos não são proporcionais às áreas. 2.4.12 Coeficiente de massividade O coeficiente de massividade é o quociente entre a altura média da bacia, em metros, e a sua área, em km2. O coeficiente de massividade da bacia do rio Malema é de 340/2,600 = 0.13. Este coeficiente toma valores elevados para pequenas bacias com grandes desníveis e valores baixos para grandes bacias de relevo pouco acentuado. No entanto, os respectivos valores podem ser os mesmos para bacias muito diferentes. Por exemplo, uma bacia pequena com relevo pouco acentuado e uma bacia grande com grandes desníveis podem ter valores muito próximos de coeficiente de massividade. 2.4.13 Coeficiente orográfico O coeficiente orográfico é o produto da altura média pelo coeficiente de massividade. O coeficiente orográfico permite fazer a distinção de situações em relação às quais o coeficiente de massividade dá indicações dúbias. Admite-se que a fronteira entre relevo pouco acentuado e relevo acentuado é marcado pelo valor do coeficiente oregráfico igual a 6. O coeficiente orográfico da bacia do rio Malema é de 44.


Figura 2.13 Curva hidrodinâmica do rio Malema e alguns afluentes



Figura 2.14 Curvas do potencial fluvial bruto da bacia do rio MalemaCARACTERÍSTICAS DE GEOLOGIA, SOLOS E VEGETAÇÃO A geologia duma bacia hidrográfica e o tipo de solos dela resultante têm uma grande influência no movimento da água na bacia, em particulação no que toca ao escoamento, superfical e subterrâneo. A geologia define a existência de formações permeáveis e impermeáveis e de aquíferos bem como a forma como os aquíferos são alimentados e contribuem para alimentar o escoamento dos rios. A geologia condiciona a localização do nível freático que tem grande importância para o fenómeno da evapotranspiração. Os rios que comunicam com importantes lençóis freáticos são normalmente rios perenes, com caudais significativos mesmo durante as estiagens. O tipo de solos e das camadas geológicas superficiais condicionam fortemente a permeabilidade dos terrenos e, consequentemente, a infiltração, fenómeno que está na base da recarga dos aquíferos. Terrenos pouco permeáveis dão origem a que toda a precipitação se transforme rápidamente em escoamento superficial, gerando por isso cheias mais intensas e de menor duração. A geologia e os solos duma bacia são também importantes factores condicionantes da erosão superficial. As formações mais recentes (do Holoceno e Pleistoceno) assim como formações calcáreas e graníticas muito alteradas são as mais fácilmente erodíveis. A erosão superficial nos terrenos da bacia hidrográfica constitui a fonte do caudal sólido que tem de ser transportado pelo rio. A cobertura vegetal também tem bastante importância para os fenómenos hidrológicos. Duma maneira geral, terrenos com florestas e matas têm maiores infiltrações e menores velocidade de escoamento superficial do que terrenos nus ou cultivados. Isso ajuda a diminuir a erosão superficial dos terrenos e origina cheias mais prolongadas e menos intensas. Por outro lado, o tipo de vegetação influencia fortemente o fenómeno de evapotranspiração. A geologia, os solos e a vegetação têm importância não apenas em grandes bacias hidrográficas mas mesmo em pequenas bacias urbanas, como é evidenciado pelos grandes problemas de erosão que se verificam em algumas das principais cidades de Moçambique como Maputo, Nampula, Nacala e Pemba.


Revisão de conceitos de probabilidades e estatística 3-1

3 REVISÃO DE CONCEITOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

3.1 DEFINIÇÕES Uma variável aleatória χ é um variável que toma valores não resultantes de processos e leis físicas ou relações matemáticas bem determinadas, sendo por isso atribuídos à sorte (acaso). Por exemplo: o número de pontos no lançamento dum dado. Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. É discreta se só pode tomar valores descontínuos, por exemplo, o número de dias de chuva num ano. A variável aleatória diz-se contínua quando, num determinado intervalo de valores, limitado ou não, puder tomar qualquer valor desse intervalo, por exemplo, a precipitação anual. A população Ω é o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por uma variável aleatória. Designa-se por amostra a parte observada da população. Um acontecimento Ai é qualquer subconjunto da população. A frequência (ou frequência relativa) dum acontecimento Ai é definida por f = n/N em que n é o número de vezes em que o acontecimento Ai ocorre e N o tamanho da amostra. Por exemplo, se há um registo de 10 anos de precipitação e se considera o acontecimento de Pano > 1200 mm, pode acontecer que tal acontecimento ocorra 2 vezes na amostra, então f = 2/10 = 0.2. A probabilidade P dum acontecimento Ai é P(Ai) = limN→∞f A moderna teoria das probabilidades baseia-se numa axiomática desenvolvida por Kolmogorov da qual se deduzem as seguintes consequências: P(Ai) ≥ 0; P(Ω) = 1; P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B); P(A ∩ B) = P(A | B) x P(B) = P(B|A) x P(A); Se P(A ∩ B) = P(A) x P(B), os acontecimentos são independentes. 3.2 FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO, DURAÇÃO E DENSIDADE DE PROBABILIDADE Considere-se uma amostra de N valores duma variável aleatória e classifique-se essa amostra por ordem crescente: x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xN A probabilidade de que a variável aleatória χ assuma um valor não superior a xi é


P (χ ≤xi) = i/N = F(xi)


F(xi) é a função de distribuição empírica (FDE). Se se classificar a amostra por ordem decrescente: x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xN A probabilidade de que a variável aleatória χ assuma um valor não inferior a xi é P (χ ≥xi) = i/N = G(xi) G (xi) é a função de duração. Note-se que P(χ ≤xi) + P (χ ≥xi) = P (χ ≤xi) + P(χ >xi) + P(χ =xi) = 1 + P (χ = xi) = F(xi) + G(xi) Para variáveis aleatórias contínuas, P (χ =xi) = 0 ⇒ F(x) + G(x) = 1 Para variáveis aleatórias discretas, F(x) + G(x) = 1 + P(χ =xi) Para uma variável aleatória contínua, define-se a função densidade de probabilidade f(x):

dxdF(x) = f(x)

)22

(Pr)( dxxdxxobxf +≤≤−= χ

Há definições paralelas para as variáveis aleatórias discretas.

Figure 3.1 Funções de distribuição, duração e densidade de probabilidade A figura 3.1 ilustra as relações entre F(x), G(x) e f(x) para uma variável aleatória contínua. Pode verificar-se teoricamente que o estimador i/N para a probabilidade do acontecimento (χ ≤ xi) é um estimador com viez, i.e., quando a dimensão da amostra cresce indefinidamente o valor do estimador não tende para o valor correcto da probabilidade. Assim, é preferível utilizar para as funções de distribuição e de duração.



F (xi) = Prob (x ≤xi) = i/N+1 G (xi) = Prob (x ≥xi) = i/N+1 3.3 PERÍODO DE RETORNO E RISCO HIDROLÓGICO Considere-se uma série de 50 valores, por exemplo de precipitação anual, ordenados por ordem crescente. O valor de ordem i = 41 é igualado ou excedido 10 vezes na série correspondendo-lhe uma probabilidade de não excedência F = 0.804. O intervalo médio entre ocorrências sucessivas do acontecimento (χ ≥x41) seria então de cerca de 5 anos. Este intervalo médio entre ocorrências sucessivas dum acontecimento é designado por período de retorno T. O período de retorno do acontecimento (χ ≥xi) relaciona-se com a probabilidade de excedência, G(xi), ou de não excedência, F(xi), pelas expressões: T(xi) = 1 / G(xi) = 1 / 1-F(xi) Assim, no exemplo anteriormente referido, ter-se-ia F(x41) = P(χ ≤x41) = 0.804 G(x41) = P(χ ≥x41) = 0.196 T(x41) = 1 / 0.196 ≈ 5 anos Importa deixar bem claro que o conceito de período de retorno não está associado a qualquer ideia de repetição cíclica e regular do acontecimento. Se, por exemplo, um acontecimento tem um período de retorno de 10 anos, isso não quer dizer que tal acontecimento ocorre regularmente de 10 em 10 anos: ele pode ocorrer em dois anos consecutivos assim como pode não ocorrer durante trinta anos. Se, porém, dispusermos duma série suficientemente longa, então o intervalo médio entre ocorrências consecutivas do acontecimento seria de 10 anos. Considere-se agora o acontecimento (χ ≥x) com uma probabilidade de ocorrência G(x) relativamente baixa. A probabilidade de não ocorrência do acontecimento em 2 anos sucessivos será [F(x)]2 e a de não ocorrência em N anos sucessivos será [F(x)]N. Então, a probabilidade de que o acontecimento ocorra pelo menos uma vez em N anos sucessivos será dada por 1-[F(x)]N. Essa probabilidade designa-se por risco hidrológico R(x, N), conceito com bastante interesse prático como se pode ver pelos exemplos seguintes. 1º Exemplo) Uma barragem levará 6 anos a ser construída. A sua construção far-se-á com a protecção de ensecadeiras e desvio do rio através de galerias (como se fez, por exemplo, com a barragem de Cahora-Bassa). Se adoptar como caudal de dimensionamento das galerias o correspondente a uma cheia com o período de retorno T = 20 anos, qual é a probabilidade das ensecadeiras serem galgadas durante a construção?



A probabilidade de galgamento durante a construção corresponde à situação de insuficiência das galerias de desvio para passagem o caudal afluente. A probabilidade pedida é, pois, o risco hidrológico do acontecimento (Qafl > Q20) para N = 6:

R = 1 - F(x)6 = 1 - [1 - G(x)]6 = 1 - [1 - 1/T(x)]6 Como T = 20, R = 0.265. A probabilidade de galgamento durante a construção é de 0.265, ou seja, aproximadamente 1 possibilidade em 4. 2º Exemplo) Se no exemplo anterior se pretender que a probabilidade de galgamento das ensecadeiras durante a construção (i.e., o risco hidrológico) não exceda 10%, qual deverá ser o caudal de dimensionamento das galerias? R = 0.10 = 1 - [1 - 1/T(x)]6 ⇒ T = 57.4 ≈ 60 anos. As galerias deveriam ser dimensionadas para um caudal com um período de retorno de cerca de 60 anos. 3.4 PARÂMETROS ESTATÍSTICOS DA POPULAÇÃO E DA AMOSTRA 3.4.1 Introdução Na Estatística, a população ou a amostra com que se está a lidar são representadas por um número relativamente pequeno de parâmetros estatísticos. Trata-se de uma forma sintética de apresentar as principais características da população ou da amostra, em relação às quais interessa definir: - a tendência central; - a dispensão; - a assimetria; - os quantis. 3.4.2 Momentos da população e da amostra Define-se momento de ordem r em relação à origem como


para a população dxxfx = r-

+r )(' ⋅∫

∞

∞

µ


N

i

rir x

N= m ∑

=1

' 1 para a amostra

A média da população, µ, ou da amostra, x , são os momentos de ordem 1 em relação à origem: '

1µµ = '

1mx = Define-se momento centrado de ordem r como o momento de ordem r tomando a média como origem:

para a população dxf(x) )-(x = r-

+r ⋅∫

∞

∞

µµ

N

)x-x( = m

ri

N

1=ir

∑ para a amostra

3.4.3 Tendência central Os parâmetros que caracterizam a tendência central indicam à volta de que valor se distribuem os valores da população ou da amostra. Os parâmetros mais utilizados são a média µ ou x e a mediana , xm . A média da população e da amostra são dadas respectivamente por

dx f(x) x = +

-∫∞

∞

µ

A mediana é o valor que divide a população ou a amostra em duas

partes de igual probabilidade acumulada. Para uma população, a mediana é definida tal que:

∑=

N

iix

N= x

1

1

0.5 = dx f(x)=dx f(x)-

∫∫∞

∞ µ

µ

Para uma amostra a mediana, xm é definida tal que (amostra ordenada)



- se N ímpar, m = int(N/2) + 1 por exº: N=25 ⇒ m=13

- se N par:

)x+(x21=x NNm

12

2 +

por exemplo, se N=24, xm = (x12 + x13)/2 3.4.4 Dispersão Os parâmetros que caracterizam a dispersão indicam se os elementos da população ou da amostra estão muito ou pouco concentrados em torno da média. Os parâmetros mais utilizados são: - Variância σ2, s2; - Desvio padrão σ, s; - Coeficiente de variação ηv, cv. A variância é o momento centrado da 2ª ordem:

f(x)dx )-(x = 2-

+

2 µσ ∫∞

∞

1-N

)x-x( =

1-NN *

N

)x-x( = s

2i

N

1=i

2i

N

1=i2∑∑

N/N-1 é um factor de correcção do viez. Diz-se que um estimador dum parâmetro apresenta viez quando o seu valor não tende para o valor correspondente da população quando a dimensão da amostra cresce indefinidamente. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Note-se que o desvio padrão é expresso nas mesmas unidades que a média e que os elementos da amostra ou da população. O coeficiente de variação é a relação entre o desvio padrão e a média:

xs=c = vv µ

ση

É um parâmetro adimensional. A figura 3.2 apresenta duas séries com as mesmas médias mas com diferentes desvios padrão.



Figure 3.2 Distribuições do mesmo tipo, com s mesmas média e variâncias diferentes

3.4.5 Assimetria As populações e as amostras (e as distribuições que as caracterizam) podem ser simétricas (assimetria nula) ou assimétricas (assimetria positiva ou negativa). A figura 3.3 apresenta três distribuições com assimetria nula, negativa e positiva.

Figure 3.3 Distribuições com diferentes assimetrias Quando a assimetria é nula, a média e a mediana coincidem; quando a assimetria é positiva, a média é superior à mediana e, quando é negativa, a média é inferior à mediana. A média é muito mais influenciada pelos valores extremos que a mediana. O parâmetro que caracteriza a assimetria é o coeficiente de assimetria, γ ou g, que é o momento centrado de 3ª ordem transformado em parâmetro adimensional pela divisão por σ3.

σ

µγ 3

3+

-

dx f(x) )-(x = ∫∞

∞

2)-1)(N-(NN *

s

)x-x( =

2)-1)(N-(NN *

s N

)x-x( = g 3

3i

N

1=i2

3

3i

N

1=i∑∑



N2/(N-1)(N-2) é o factor de correcção do viez. 3.4.6 Quantis O quantil da ordem p é o valor ξp ou xp definido por:

p = dx f(x) = p

-p ∫

∞

ξ

ξ

Numa amostra ordenada o quantil xp é o valor de ordem j = N * p. 0 ≤ p ≤ 1 A mediana é o quantil de ordem 0.5. 3.5 AJUSTAMENTO DUMA AMOSTRA A UMA DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA 3.5.1 Metodologia A partir duma dada amostra é possível definir a sua função de distribuição empírica. A FDE é, no entanto, afectada pela dimensão limitada da amostra e, por outro lado, não permite extrapolar para períodos de retorno superiores à duração da amostra. Por essa razão, faz-se o ajustamento da amostra a uma função de distribuição teórica (ou lei de probabilidades ou simplesmente distribuição), procurando-se de entre as várias que têm sido propostas aquela que melhor se adapte à FDE. A sequência de cálculo que se adopta para a extrapolação de valores com altos períodos de retorno, necessários para o dimensionamento de obras hidráulicas, é então a seguinte:

- selecção de uma de entre as distribuições teóricas; - especificação ou ajustamento da distribuição; - avaliação do ajustamento; - utilização da distribuição para a previsão de valores (extrapolação).

As distribuições teóricas mais utilizadas em Hidrologia são a Normal (ou de Gauss), a Log-Normal de 2 parâmetros (Lei de Galton), a Log-Normal de 3 parâmetros, a de Gumbel, a Gama, a Pearson tipo III e a Log-Pearson tipo III. Neste capítulo apenas se estudará a distribuição Normal, estudando-se algumas das restantes no capítulo dedicado às cheias.


A especificação ou ajustamento da distribuição consiste na estimação dos respectivos parâmetros a partir da informação contida na amostra. Existem diversos métodos para fazer o


ajustamento sendo os mais correntes o método dos momentos, o método da máxima verosimilhança e o método dos mínimos quadrados. Embora nem sempre seja o mais eficiente, ir-se-á estudar apenas o método dos momentos que é o de mais simples aplicação. A estimação pelo método dos momentos consiste em seleccionar os valores dos m parâmetros da distribuição por forma a que os primeiros m momentos da distribuição sejam iguais aos correspondentes momentos da amostra. 3.5.2 Distribuição Normal ou de Gauss A distribuição Normal é a lei de probabilidades que melhor tem sido estudada do ponto de vista teórico. Tem um enorme campo de aplicação não apenas em Hidrologia mas em muitas outras áreas de Engenharia como a caracterização de solicitações em estruturas ou o controle de qualidade dos materiais. A função densidade é:

e 2a1 = f(x) a2

)b--(x2

2

π

A função de distribuição é:

dxdF(x) = f(x) dx f(x) = F(x)

x

-∫∞

A distribuição é simétrica, não sendo integrável analíticamente. F(x) é obtida por integração numérica e dada em tabelas. A distribuição tem 2 parâmetros: a, b. Os momentos da distribuição são obtidos em função dos parâmetros:

- média µ = b; - variância σ2 = a2; - coeficiente de assimetria γ = 0.

Por tal razão, é frequente escrever a expressão de f(x) substituindo a, b, por σ e µ:

e 2

1 = f(x) 2)--(x

2

2

σµ

πσ

Demonstra-se que a distribuição Normal goza da propriedade de invariância linear: Se x é uma variável aleatória com distribuição Normal, média µx e desvio padrão σx, então y = c1x + c2 é também uma variável aleatória normal, com média µy = c1µx + c2 e desvio padrão σy= c1σx.



As tabelas da distribuição Normal são construídas para uma variável z, variável normal reduzida, definida por z = (x – µx)/σx Com esta definição e atendendo à propriedade da invariância linear da distribuição Normal, é imediato que µz = 0 e σz = 1. Diz-se então que z é uma variável N(0,1). A tabela 3.1, reproduzida de Lencastre e Franco (1984), dá os valores de F(z) para z de 0.00 a 3.49 em intervalos de 0.01. Atendendo à simetria da distribuição, a tabela permite obter valores de F(z) para –3.49 ≤ z ≤ 0.



Lei Normal ou de Gauss Função de distribuição (µ=0; σ= 1) Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389

1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.8831.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767

2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9642 0.9846 0.985 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9892.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.9993.1 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

Tabela 3.1 – Função de distribuição Normal ou de Gauss — Para volores negativos de z, utilizar o complemento aritmético para 1 dos volores de F (z) correspondentes ao volor positivo: F(-z)= 1 – F (z) Ex.: F (- 1) = 1 - F(1) = 1 -0,8413=0,1587 — Para valores de F (z) < 0,5, calcular 1 - F [z], ler o valor de z e afectar esse valor de sinal negative. Ex.: F |z]= 0,0668; 1 - F (z] = 0,9332; z=-l,5


Esta tabela pode ser utilizada para qualquer distribuição Normal mesmo que não tenha µ=0 e σ=1, bastando para isso fazer a transformação (x-µx)/σx. Da tabela tira-se que as probabilidades de x estar entre µ+σ e µ-σ; µ+2σ e µ-2σ; µ+3σ e µ-3σ são respectivamente de 68.3%, 95.4% e 99.7%. As probabilidades de 90%, 95% e 99% correspondem aos intervalos µ ± 1.645σ, µ ± 1.96σ, µ ± 2.575σ.


Existem métodos analíticos para testar se o ajustamento duma série à Distribuição Normal (ou a outra distribuição teórica) é aceitável. Estes métodos, como o teste do qui-quadrado e o de Kolmogorov-Smirnov, serão vistos no capítulo dedicado à estatística de cheias. Um processo também muito utilizado para verificar se o ajustamento é aceitável é a utilização de papel de probabilidade, papel com os eixos construidos de tal maneira que, se uma série se ajusta bem à distribuição representada nesse papel, os seus pontos alinham-se aproximadamente segundo uma recta. Os pontos têm coordenadas (F(xi), Yi) em que F(xi) é o probabilidade de não excedência do valor i da série ordenada em ordem crescente ("plotting position") e Yi o valor i da série. Existem muitas expressões para o cálculo da "plotting position": - Califórnia i/N; - Hazen (2i-1)/2N; - Weibull i/(N+1); - Chegadayev (i-0.3)/(N+0.4); - Blom (i-0.375)/(N+0.25); - Tukey (3i-1)/(3N+1). A fórmula mais eficiente e a mais utilizada é a de Weibull. 3.6 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEARES 3.6.1 Correlação e regressão linear simples A correlação e regressão lineares constituem uma das ferramentas mais utilizadas em Hidrologia, essencialmente para: - preencher falhas numa série de registos; - estender uma série hidrológica a partir de outras mais longas. A figura 3.4 representa genéricamente o domínio das variáveis aleatórias x e y com funções de distribuição de probabilidade respectivamente f(x) e g(y).

Figure 3.4 Correlação entre duas variáveis aleatórias



Ter-se-á então:

f(x)dx = P(x) = )2dx+x x

2dx-P(x ≤≤

g(y)d(y) = P(y)

dyf(x)g(x)dx = y)P(x, = )2dy+y y

2dy-y

2dx+x x

2dx-P(x ≤≤∩≤≤ se os

acontecimentos forem independentes. Se os acontecimentos não forem independentes, diz-se que há entre as varáveis uma dependência estocástica. Quando essa dependência é linear, ela é medida pelo coeficiente de correlação linear ρxy:

σσ

µµρ

yx

yx

x

y

xy

dxdy f(x)g(y) )-)(y-(x =

∫∫ para a população;

s s 1)-(N

yxN - yx =

s s 1)-(N

)y-y)(x-x( = r

yx

ii

N

1=i

yx

ii

N

1=ixy

∑∑ para a amostra.

Demonstra-se que rxy, ρxy ≤ 1. Quando o coeficiente de correlação iguala a unidade, a correlação é perfeita e os pontos (x,y) alinham-se segundo uma recta. Quando a apresentação dos pontos (x,y) sugere uma "nuvem" (figura 3.5), o coeficiente de correlação aproxima-se de zero.

Figure 3.5 Coeficiente de correlação O coeficiente de correlação exprime o grau de associção, mais ou menos elevado, entre duas



variáveis aleatórias. Quando a correlação é elevada, pode estabelecer-se uma regressão linear duma variável (dependente) sobre a outra (independente), isto é, tentar explicar a variação da variável dependente como uma função linear da variação da variável independente. Por exemplo, pode tentar-se estabelecer uma regressão linear do escoamento anual numa bacia em função da precipitação ponderada sobre a bacia.

Figure 3.6 Regressão linear A expressão da regressão linear é y = ax + b em que a,b são os coeficientes da regressão (figura 3.6), determinados pelo método dos mínimos quadrados. Como se sabe, o método dos mínimos quadrados determina os coeficientes por forma a minimizar a soma dos quadrados dos desvios. Designando por y a estimativa de y fornecida pela regressão linear, ter-se-á: Z = Σi (yi –y i)2 = Σi [yi – (axi + b)]2 = Σi [yi

2 – 2 axiyi – 2 byi + (axi + b)2] = Σi [yi

2 – 2 axiyi – 2 byi + a2xi2 + 2axib + b2]

Escolhe-se a e b para ter o Zmínimo Zmin. ⇒ δZ/δa = 0 e δZ/δb = 0.

1007 δZ/δa = - 2 Σi xiyi + 2 Σi axi2 + 2 Σi b xi = 0;

e δZ/δb = - 2 Σi yi + 2 Σi axi + 2 Σi b = 0, chegando-se às equações normais.

xN - x

yxN - yx =a

2i2

N

1=i

ii

N

1=i

∑

∑

xa - y = b



É fácil de ver que a = rxy sy/sx. Chama-se erro padrão da estimativa, se, ao desvio padrão dos resíduos -y=e yiii ˆ Como 0.=e ,y=y Pode verificar-se a seguinte relação entre sy e se: se

2 = sy2 (1-rxy

2) Esta relação evidencia como a variância residual varia com o coeficiente de correlação. Quando a correlação é perfeita, r=1, os pontos alinham-se todos segundo uma recta e a variância residual ou variância não explicada pela regressão é nula. À medida que r diminui, se

2 vai tendendo para sy

2, ie, a regressão “explica” cada vez menos a variância de y. Na expressão de se

2 é conveniente introduzir um factor de correcção do viez: se

2 = (1-r2) sy2 (N-1)/(N-2).

A variância explicada pela regressão é rs=s 2

y2

y2

ˆ

Se, por exemplo, r = 0.80, a regressão explica 64% da variância total de y. O coeficiente de determinação, cd, dá a percentagem da variância total que é explicada pela regressão. Então cd = r2. Importa notar que, normalmente, a regressão de y sobre x não coincide com a regressão de x sobre y. Isso só acontece se sy = sx. Por outro lado, interessa ter uma regra prática que indique quando é que vale a pena utilizar regressão linear, ou seja, qual o limite inferior para o coeficiente de correlação. Chow (1964) sugere que se pode usar regressão linear quando r > 0.60, o que corresponde a explicar cerca de 1/3 da variância de y através da regressão. Talvez seja preferível, no entanto, adoptar como limite inferior para r um valor um pouco mais alto como 0.70 (cerca de metade da variância de y explicada pela regressão) ou 0.80 (variância explicada é cerca de 2/3 da variância total). Para além disso, importa sempre ver se há uma base física para o estabelecimento da regressão afim de evitar as correlações espúrias (fruto do acaso, do tamanho limitado da amostra ou da transformação de variáveis). Exemplo: Considerem-se as séries de precipitações anuais nos postos udométricos P621 e P705, ambos situados na bacia do rio Monapo. Pretende-se estender as duas séries.



Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P621 (mm) 1162 1069 957 1058 1108 1155 805 936 921 732

P705 (mm) - - - - - - - - - 600

Ano 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

P621 (mm) 858 1094 1027 1139 1047 972 1212 1354 876 -

P705 (mm) 923 1087 1166 1064 1298 931 1121 1249 697 976

Ano 21 22 23 24 25 26 27 28

P621 (mm) - - - - - - - -

P705 (mm) 1316 766 1129 1187 794 1125 890 880

A série P621 tem 19 valores e a P705 também tem 19 valores, sendo o período comum de 10 anos. Pretende-se estender a série P705 para os primeiros nove anos por regressão sobre P621 e estender esta para os últimos nove anos por regressão sobre P705. Tomando o período de 10 anos comuns (anos 10 –19), obtem-se :

variável x (P621): x = 1031 mm; sx = 183 mm. variável y (P705): x = 1014 mm; sy = 227 mm. 0.64 = c ; 0.80 =r d

Então a regrassão irá explicar 64% de sy

2 A regressão linear de y sobre x dá a seguinte equação: y = 1.01x – 28, donde se podem obter os valores de y (≡ P705) para os primeiros 9 anos: 1146 / 1052 / 939 / 1041 / 1091 / 1139 / 785 / 917 / 902. A variância residual é se

2 = sy2 (1-r2) = 18,550 ⇒ se = 136.

Para estender agora a série P621 para os últimos 9 anos, estabelece-se uma outra regressão linear:

x = cy + d, mantendo-se x ≡ P621 e y ≡ P705. O coeficiente de correlação é óbviamente o mesmo. Obtém-se x = 0.65y + 372 (note-se o afastamento entre as duas rectas de regressão na figura 8.7).



Os valores de P621 para os últimos 9 anos serão: 1007 / 1228 / 870 / 1106 / 1144 / 888 / 1104 / 951 / 944 A variância residual é se

2 = 1832(1- 0.82) = 12,056 ⇒ se = 110.

Figure 3.7 Exemplo de regressão linear simples Um aspecto importante a notar quando se utiliza regressão linear para estimar um número grande de valores em falta é que a variância da série estendida se reduz em relação à série original, devido ao facto da regressão não entrar com a variância residual (os valores estimados situam-se sobre a recta de regressão e não à volta dela). Por exemplo, para a série P705 o desvio padrão da série original (19 valores) é 205 enquanto a série estendida é 180. A média praticamente não varia (de 1010 para 1008). Assim as características estatísticas da série mudam, o que não é desejável. Para obviar a esse inconveniente, pode-se modificar a expressão da regressão linear para: z r-1 s+ b + ax =z s+ b + ax =y 2

ye A nova parcela é uma componente aleatória, obtida por multiplicação do erro padrão da estimativa por uma variável aleatória z ≡ N(0,1). É possível obter sucessivos valores de z recorrendo a uma tabela de números aleatórios ou utilizando rotinas de computador (gerador de numeros aleatórios). Esta parcela adicional faz com que a variância de y se mantenha (coloca os pontos fora da recta de regressão).



Não é possível nestas notas introdutórias aprofundar este tema que é, no entanto, extremamente importante por ser a base dos chamados modelos autoregressivos de geração sintética. 3.6.2 Transformação de variáveis Considere-se o exemplo representado na figura 3.8. O coeficiente de correlação anteriormente definido é uma medida da associação linear entre x e y. Se se fizesse a sua determinação para o exemplo da figura 3.8, obter-se-ia um valor baixo embora o gráfico evidencie que x e y estão fortemente associados.

Figure 3.8 Correlação e regressão não lineares Em situações como esta, uma transformação das variáveis x e y permite mudar uma associação não linear para uma associação linear a que se podem aplicar as técnicas de correlação e regressão lineares descritas no tópico anterior. A transformação mais correntemente utilizada em Hidrologia é a logarítmica que pressupõe que x e y estariam ligados por uma relação do tipo:

y = axb, que, logaritmizada, origina: ln(y) = ln(a) + b ln(x), ou seja, uma relação linear entre os logarítmos de x e y. Pode dar-se como exemplo a equação da curva de recessão dum rio alimentado por um aquífero, Qt = Qo e -αt. 3.6.3 Correlação e regressão lineares múltiplas Quando se considera a associação apenas entre duas variáveis, x e y, a correlação e regressão linear dizem-se simples. É possível, no entanto, generalizar o conceito para a associação entre uma variável dependente, y, e m variáveis independentes x1, x2, x3, ......., xm.



A expressão da regressão linear múltipla é:

y = c0 + c1x1 + c2x2 + .... + cmxm. Se o número de valores da amostra for N, m deve ser bastante inferior a N, não devendo como regra prática exceder N/5. Pode-se então escrever: y1 = c0 + c1x1

1 + c2x21 + .... + cmxm

1 y2 = c0 + c1x1

2 + c2x22 + .... + cmxm

2 ................. etc. yN = c0 + c1x1

N + c2x2N + .... + cmxm

N Assim temos N equações com m+1 incógnitas (N > m+1), nomeamente c0, c1, c2, ...., cm. Determinam-se os coeficientes c0, c1, c2, ...., cm de tal maneira que a soma dos quadrados dos desvios entre y e a estimativa de y seja minimizada (método dos mínimos quadrados). Da mesma maneira que no caso da regressão linear simples, minimiza-se o valor de Σi (yi -y i)2 = Σi [yi - (c0 + c1x1

i + c2x2i + .... + cmxm

i)]2. Assume-se que f(x1,x2,....,xm) = c0 + c1x1 + c2x2 + .... + cmxm. Assim deve-se minimizar o valor de z = Σi [yi - f(x1

i,x2i,....,xm

i)]2. A minimização de z implica que as derivadas parciais de z em ordem aos ci se anulem. Obtem-se assim m+1 equações lineares com m+1 incógnitas, as equações normais da regressão linear múltipla. A sua resolução permite calcular os valores dos coeficientes da regressão. As medidas de correlação linear múltipla mais utilizadas são o erro padrão dos resíduos, o coeficiente de correlação múltipla, o coeficiente de determinação e os coeficientes de correlação parciais. Erro padrão dos resíduos O erro padrão dos resíduos calcula-se da mesma forma que para a regressão linear simples: 0 = e ,y- y = e iii ˆ

∑=−⋅−

− N

iie e

mNNN = s

1

22

)()1(1

em que (N-1)/(N-m) é um factor de correcção do viez. se

2 dá a variançia residual ou não explicada.


Coeficiente de correlação múltipla


O coeficiente de correlação múltipla, R, é definido como

ss = R

y

y

Verifica-se imediatamente que se

2 = (1-R2) sy2.

Coeficiente de determinação O coeficiente de determinação, Cd = R2 dá a variância explicada em percentagem da variância total de y. Coeficientes de correlação parciais Os coeficientes de correlação parciais ri medem o grau de associação de y com cada uma das variáveis xi e determinam a parte da variância de y explicada por cada xi. Para calcular um dado ri, começa-se por se determinar o coeficiente de correlação múltipla, R-i, obtido sem incluir xi na regressão. Então:

R-1R-R = r

i-2i-22

i2

R2 - R-i

2 dá o acréscimo da variância explicada originado pela inclusão de xi na regressão. Quanto maior for, maior será ri e mais importante a inclusão de xi na regressão. A obtenção dos coeficientes de correlação parciais é trabalhosa mas bastante útil pois permite excluir da regressão variáveis que não ajudam a aumentar a variância explicada.



EXERCÍCIOS 1) Calcule a média e o desvio padrão das seguintes séries de precipitações anuais (em 2

zonas diferentas). Série 1: 805 903 875 867 912 849 815 882 Série 2: 1014 1209 480 720 545 512 984 1444 Comente os resultados. 2) Reactores nucleares, grandes barragens, diques altos, etc. devem ser projectados de tal maneira que a probabilidade da sua danificação / galgamento seja da ordem de 1 vez em 10,000 anos (período de retorno de 10,000 anos). a) Calcule o risco de danos num reactor nuclear assim dimensionado nos primeiros 50 anos do seu funcionamento. b) Repita o cálculo para um período de retorno de 1000 anos. 3) Qual é o risco que um acontecimento com período de retorno de N anos ocorra (pelo menos uma vez) em N anos. 4) O valor da precipitação anual numa zona pode ser caracterizada pela distribuição Normal. A precipitação anual média é de 723 mm. O desvio padrão é de 212 mm. a) Calcule a probabilidade duma precipitação anual maior que 1000 mm. b) Calcule a probabilidade duma precipitação anual menor que 300 mm. c) Determine a precipitação com probabilidade de excedência de 1 e 10 %. d) Determine a precipitação com probabilidade de não-excedência de 1 e 10 %. e) Determine a precipitação com probabilidade de não-excedência de 50 %. f) Determine a precipitação com período de retorno de 30 anos. 5) Dada a seguinte série de 23 valores de precipitação anual num posto udométrico, expressa em mm, a) Ajuste a distribuição Normal à série dada. Trace o gráfico em papel de probabilidade. b) Calcule a precipitação anual correspondente aos períodos de retorno de 10 e 50 anos. c) Determine os períodos de retorno teóricos a que correspondem as precipitações anuais de 1000 mm e 2015 mm (maior valor da série). Série: 1803 1295 1118 1626 1120 1116 1473 1194 1016 1372 2015 1662 1549 1448

1753 1914 1422 1346 1092 1489 1397 1245 1219


4 PRECIPITAÇÃO 4.1 ALGUNS ELEMENTOS SOBRE A CIRCULAÇÃO ATMOSFÉRICA Dos muitos processos meteorológicos ocorrendo contínuamento na atmosfera, a precipitação e a evaporação, aqueles em que a atmosfera interactua com a água superficial, são da maior importância para a Hidrologia. Muita da água que precipita deriva da evaporação nos oceanos e do transporte a longa distância pela circulação atmosférica. As duas forças motrizes fundamentais da circulação atmosférica resultam da rotação da Terra e da transferência de energia entre o Equador e os Polos. A Terra recebe permanentemente calor do sol através da radiação solar e emite calor por re-radiação ("back radiation") para o espaço. Estes processos estão balanceados em média ao valor de 210 W/m2. O aquecimento da Terra é, no entanto, desigual: enquanto que, no Equador, a radiação solar é quase perpendicular à superfície e tem um valor médio de cerca de 270 W/m2, na região polar, ela atinge a superfície segundo um ângulo oblíquo e tem um valor médio de apenas cerca de 90 W/m2. A radiação emitida é uma função da temperatura absoluta da superfície, a qual varia pouco entre o Equador e os Polos (mais cerca de 20% no Equador). Portanto, a radiação emitida pela Terra é bastante mais uniforme do que a radiação recebida, provocando assim um desequilíbrio. O equilíbrio é reposto essencialmente através da circulação atmosférica que transfere energia do Equador para os Polos (valor médio de cerca de 4 * 109 MW).

Figura 4.1 Circulação numa terra imóvel

Se a Terra fosse uma esfera imóvel, a circul ção atmosférica corresponderia à figura 4.1. a

Junto do Equador haveria uma ascensão de massas de ar que viajariam na parte superior da atmosfera em direcção aos Polos, arrefecendo e descendo para as camadas inferiores e

voltando para o Equador (a chamada “ circulação de Hadley”). A rotação da Terra no sentido Oeste – Leste modifica este modelo simplificado de

e se considerar um anel de ar à volta do Equador, quando ele se move em direcção a um

a realidade e de acordo com os conhecimentos actuais, a circulação atmosférica é

igura 4.2 Circulação atmosféica

dor, dirige-se para o Polo pela camada perior da atmosfera, arrefece e desce para a superfície próximo da latitude 30º. Junto da

superfície divide-se em dois ramos, um seguindo em direcção ao Polo e o outro retornando

circulação. SPolo o seu raio diminui. Para manter o momento angular, a velocidade do ar em relação à superfície da Terra aumenta, criando um vento com o sentido de Oeste para Leste. Passa-se o oposto com um anel de ar que se move dum Polo para o Equador. Estes efeitos são o resultado da chamada “ força de Coriolis”. Ncaracterizada por três células em cada hemisfério : célula tropical, célula intermédia e célula polar, figura 4.2.

F Na célula tropical, o ar aquecido sobe no Equasu

ao Equador. Na célula polar, o ar ascende próximo da latitude 60º, dirigindo-se para o Polo pela camada superior da atmosfera. Depois arrefece, desce e regressa, próximo da superfície, à latitude 60º. A célula intermédia é o resultado da fracção das outras duas. Próximo da superfície, o ar dirige-se para o Polo, originando ventos de Oeste.

ação especial adicional a circulação atmosférica.

o padrão de circulação das três células. Quando há uma grande scilação, as trocas de ar entre células vizinhas são mais frequentes e completas,

cerca de 16 km de altura no Equador para cerca de 8 m nos Polos), junto à ionosfera (que separa a troposfera da estratosfera) há variações muito

tenso na baixa atmosfera, com um máximo na vizinhança e 1 km de altitude, sendo práticamente desprezável acima de 6 km de altitude. Para a

que em média, há:

divergência nas regiões subtropicais.

A distribuição irregular das superfícies dos oceanos e dos continentes, com as correspondentes diferenças de propriedades térmicas, cria uma varin A mudança anual do Equador térmico devido á rotação da Terra à volta do Sol causa uma correspondente oscilação nopossívelmente resultando numa sequência de anos muitos húmidos. Quando a oscilação é pequena, podem-se gerar centros estáveis de altas pressões próximos das latitudes 30º, originando extensos períodos secos. É preciso notar também que, enquanto na troposfera a temperatura decresce regularmente com a altitude (a troposfera varia dekbruscas de pressão e temperatura que produzem fortes correntes de ar, designadas como " jet streams", com velocidades entre 15 e 50 m/s, que se mantêm em movimento durante milhares de quilómetros e têm uma importante influência no movimento das massas de ar. A circulação atmosférica é extremamente complexa pelo que só é possível apresentar uma caracterização bastante genérica. O estudo do transporte do vapor de água pela circulação atmosférica às várias altitudes mostra que o seu fluxo é mais indanálise do fluxo de vapor de água, a Meteorologia utiliza os conceitos matemáticos de divergência dum campo de vectores: quando há divergência do fluxo numa dada região, isto significa que aí existe uma fonte de humidade, isto é, em média a evaporação excede a precipitação; quando há convergência, há um sumidouro de humidade, ou seja, em média a precipitação excede a evaporação. Determinando os valores médios da divergência e da convergência ao longo de várias latitudes (ver figura 4.3), verifica-se • convergência na zona equatorial, em que há grande precipitação; • convergência nas latitudes médias e elevadas; •

Figura 4.3 Distribuição mundial das zonas de convergência e divergência Portanto, as fontes primárias e mais impo antes da humidade para toda a atmosfera encontra oração orre contínuamente. A humidade fornecida é transportada pela circulação atmosférica para

e atingir muitas centenas ou mesmo milhares de uilómetros de distância.

des aproximadas de 30º Norte e Sul, como o Sara, o Arizona, a enínsula da Arábia, o Kalahari e o interior da Austrália.

BIQUE

oçambique estende-se aproximadamente entre os paralelos 10°5' S e 27° S, e entre os na zona subtropical do

emisfério Sul.

s baixas pressões da zona intertropical; - as células anti-ciclónicas do Índico e do Atlântico Sul;

o

O esquema da al pode ser melhor compreendido através das figuras 4 e 4 osférica média, reduzida ao

rtm-se nas regiões subtropicais, principalmente sobre os oceanos, onde a evap

cas regiões de convergência onde precipita. Assim, a teoria de formação da precipitação a partir da evaporação local não é correcta. O transporte pela circulação atmosférica podq Exercício: Explique pelos mecanismos da circulação atmosférica a presença de desertos extensos às latitup 4.2 CIRCULAÇÃO ATMOSFÉRICA SOBRE MOÇAM Mmeridianos 30° E e 41° E, situando-se na zona intertropical e h Os principais factores que condicionam a circulação atmosférica sobre Moçambique são:

- a

- a depressão de origem térmica que se forma na estação quente sobreplanalto continental africano;

- os ciclones tropicais no Canal de Moçambique.

circulação atmosférica region 4. .5 que esquematizam as cartas da pressão atm

nível médio do mar, nos meses de Janeiro (estação quente) e Julho (estação fria).

E = massa de ar equatorial; Tmu = massa de ar tropical marítimo;

mbar) em Janeiro

no sul do Equador, devido ao forte aquecimento da massa continental, passam a predominar na região as baixas pressões. A zona intertro r massas de r equatorial e tropical marítimos e limitada a norte e a sul por camadas de ar tropical

Figura 4.4 Carta da pressão atmosférica média (mbar) em Janeiro A = anti-ciclone; B = baixas pressões; Tc = massa de ar continental.

Figura 4.4 – Carta da pressão atmosférica média (

Em Janeiro, época do a em que o sol está para

pical de baixas pressões é uma zona de convergência, alimentada poa

continental. As camadas de transição nos limites da zona de convergência são designadas por frentes intertropicais, norte e sul (FITN e FITS). A partir de Setembro/Outubro, a FITS move-se para sul alcançando em Janeiro/Fevereiro a posição sul extrema, cerca dos paralelos 19°-20° S, até ao norte das províncias de Manica e Sofala. Também nesta época do ano, os anticiclones do Índico e do Atlântico movem-se ara sul, fixando-se cerca de 38 °S, e a depressão térmica estabelece-se sobre o planalto

urante a época do ano em que o sol está para norte do Equador, a massa do continente

e a partir de Abril e o nticiclone do Índico migra para norte, fixando-se em cerca de 30° S. Gera-se ainda uma

r

pcontinental africano. A parte de Moçambique a norte do paralelo 20° S fica sob a acção de massas de ar equatorial, E, e a sul, de massas de ar tropical marítimo instável, Tmu. Dafricano situada ao sul arrefece, o que provoca o avanço e o predomínio dos sistemas de altas pressões. A FITS passa a estar bastante a norte de Moçambiquacélula anti-ciclónica sobre a África Austral (deserto do Kalaari). Assim, a parte de Moçambique a norte do paralelo 20° S fica sob a acção de massas de ar tropical marítimo, Tmu. A sul desse paralelo, a influência é principalmente de massas de ar tropical continental, Tc, constituídas por ar quente e seco. Figura 4.5 Carta atmosférica média (mbar) em Julho 4.3 O PROCESSO FÍSICO DA PRECIPITAÇÃO

.3.1 Mecanismos de formação da precipitação

n são necessárias quatro condições pararoduzir as quantidades de precipitação que se verificam:

- um mecanismo que produza o arrefecimento do ar;

das gotas; - um mecanismo para produzir a acumulação de humidade suficiente para

. Alguns destes o arrefecimento e aconden ão. ) Mecanismo para produzir o arrefecimento do ar

mo conhecido para produzir um arrefecimento suficiente para correspondes precipitações observadas é a redução da pressão quando o ar sobe desde a superfície do

4 O co hecimento actual da Meteorologia diz-nos que p

- um mecanismo que origine a condensação; - um mecanismo para produzir o crescimento

justificar as intensidades de precipitação observadas

mecanismos estão inter-relacionados, por exemplo saç

a O único mecanisà

solo até às camadas superiores da atmosfera. O arrefecimento diminui a quantidade de vapor e água que pode estar contido num certo volume de ar, originando formação de gotas de

or condensação faz-se à volta de pequenas partículas de diversas bstâncias, designadas como núcleos de condensação. Estas partículas têm diâmetros

do, portanto, muito mais pequenas que partículas de oeira. Os núcleos de condensação consistem habitualmente de produtos de combustão, sais,

rescimento das microgotas.

coalescência e ondensação de vapor de água sobre os cristais de gelo.

esigna-se por coalescência um processo em que as microgotas se aglomeram para dar

microturbulência, mas todas elas o consideradas muito fracas para terem uma influência significativa no crescimento. A

cristais de gelo. Os cristais de gelo desempenham o papel fundamental para o início o crescimento das gotas enquanto que depois é o choque entre partículas que justifica a

forma de vapor, gotas ou cristais de gelo) contida na tmosfera num dado instante é muito reduzida. Se toda ela fosse condensada e distribuída

m apenas cerca de 25 mm de altura. Para stificar as quantidades de precipitação que constantemente se observam é, por isso,

dágua por condensação. b) Mecanismo para a condensação A formação de gotas psunormalmente entre 0.1 e 10 µm senpdióxido de carbono, iodeto de prata, cloreto de sódio, trióxido de enxofre. Além de gotas, formam-se também minúsculos cristais de golo. A condensação origina microgotas cujo diâmetro não excede 200 µm, conforme se determinou teóricamente. Este diâmetro é muito inferior ao das gotas de chuva, razão pela qual se estudam os mecanismos que permitem o c c) Mecanismos para o crescimento das gotas Existem dois mecanismos fundamentais para o crescimento das microgotas: c Dorigem a gotas maiores. Essa junção pode ter causas diversas como a atracção electrostática, atracção hidromecânica, indução magnética, colisões desãcausa mais importante é a diferença de velocidades entre gotas pequenas e grandes o que origina choques e a absorção das gotas pequenas pelas maiores que assim continuam a crescer. A importância da existência de cristais de gelo resulta da diferença na tensão de saturação do vapor entre o gelo e a água. Isso leva à vaporização de microgotas e á sua condensação sobre os dcontinuação do crescimento e o início da precipitação. A diferença entre as tensões de saturação do vapor em gotas de água a diferentes temperaturas tem um efeito similar ao da condensação sobre cristais de gelo. d) Mecanismo para a acumulação de humidade A quantidade total de água (sob a auniformemente sobre a Terra, daria uma camada cojunecessário que numa dada região onde se iniciou a precipitação, haja um afluxo de massas de ar húmido que alimentam a continuação desse precipitação. Este processo é denominado

de convergência. As grandes precipitações só ocorrem em zonas de baixas pressões sobre as quais convergem ventos que transportam humidade de vastas regiões adjacentes. 4.3.2 Precipitação artificial Embora grande número de civilizações e culturas conheçam de longa data "o homem que

zia chover", datam do século passado os esforços mais sérios e sistemáticos para provocar recipitação. No presente estado de conhecimentos, a

recipitação artificial é originada lançando sobre as nuvens cristais de gelo seco ou iodeto de

plicação em longa scala terá no ciclo hidrológico à escala regional e mundial. No entanto, em fins da decada

ressões.

xiste muito difundida a ideia de que áreas onde há grande evaporação têm grande recipitação. Esta ideia é errada pois, embora a evaporação sobre os continentes

eles ocorre, a precipitação não tem penas essa fonte mas fundamentalmente a humidade transportada pelos ventos que

e acordo com a forma a precipitação ocorre, definem-se vários tipos de precipitação. Em oçambique, verificam-se quatro tipos de precipitação:

- convectiva;

faartificialmente a ocorrência de ppprato que actuam como núcleos de condensação e crescimento das gotas. Os resultados até agora obtidos não evidenciam significativos sucessos mesmo porque se torna difícil distinguir um eventual aumento de 10 - 15% da precipitação da variabilidade natural da mesma. Também não se conhecem que efeitos é que a sua aede 70 a precipitação artificial já era usada nos Estados Unidos em cerca de 7% do território. Por outro lado, é preciso notar que a precipitação artificial procura estimular os mecanismos da condensação e do crescimento das gotas mas não tem qualquer efeito no mecanismo de acumulação de humidade, já que não é possível criar artificialmente um centro de baixasp Embora o maior interesse da precipitação artificial seja para as regiões áridas, ela tem sido utilizada em outras regiões para dissipar nuvens, evitando a queda de granizo ou geada. 4.3.3 Efeito da evaporação local na precipitação Epcorresponda a cerca de 2/3 da precipitação que sobreaconvergem para as zonas de baixas pressões. A humidade que se evapora em dado local é normalmente transportada a milhares de quilómetros de distância antes de precipitar, como se verificou em estudos feitos nos Estados Unidos. 4.4 TIPOS DE PRECIPITAÇÃO DM

- orográfica; - frontal; - ciclónica.

4.4.1 A preci tiva é causada pela subida duma massa de ar quente, menos enso, para as camadas superiores da atmosfera, mais frias, onde arrefece, condensa o vapor

a um fenómeno de instabilidade provocado por um quecimento desigual da superfície do solo (ver a figura 4.6).

Normalmente, origin e acompanhadas e trovoada.

4.4.2 Precipitaçã

ua subida com o consequente arrefecimento e condensação (ver a figura 4.7). precipitação em Moçambique é muito influenciada pelas características do relevo. A

o acentuado de forma que as massas de ar arítimo vão originar precipitação nas regiões montanhosas de África do Sul, Suazilândia e

Precipitação convectiva

pitação de origem convecdde água e precipita. Está associadaa

Figura 4.6 Precipitação convectiva

a chuvadas intensas e de curta duração, frequentementd

o de origem orográfica A existência duma montanha constitui uma barreira à deslocação da massa de ar húmido, obrigando à sAregião ao sul do rio Save tem relevo poucmZimbabwe.

Figura 4.7 Precipitação orográfica

rte, o relevo é acentuado e torna-se evidente a coude e de precipitação, veja-se as figuras 4.14 e 4.1nto tem uma precipitação bastante superior à outra

Nas regiões Centro e No rrelação entre os valores elevados de altit 5. É de notar que a vertente exposta ao ve vertente.

.4.3 Precipitação de origem frontal

regiões entro e Sul de Moçambique são frequentemente afectadas pelas frentes frias: massas de ar

o polar deslocam-se e encontram sobre o continente assas de ar quente, forçando-as a subir. O movimento ascensional induz o arrefecimento

4 Diz-se que há uma frente quando uma massa de ar frio contacta uma massa de ar mais quente, sendo a superfície de contacto mais ou menos bem definida (figura 4.8). AsCfrio pr venientes das regiões temperada e mda massa de ar quente com posterior condensação e precipitação. A frente fria pode originar precipitações intensas e prolongadas sobretudo junto à superfície frontal, podendo a região coberta pela precipitação estender-se de 50 a 100 km a partir dessa superfície.

Figura 4.8 Frente fria

o de origem ciclónica

4.4.4 Precipitaçã

O Oceano Índico a nordeste de M numerosos ciclones. Os ciclones o sistemas de baixa pressão acompanhados de ventos com velocidades superiores a 120

m/h e dotados de movimento turbilhonar. Estes ciclones deslocam-se para sudoeste bsorvendo no seu percurso grandes quantidades de humidade. Ao atingirem o continente,

r nando precipitação numa faixa de 150 a 300 km dissipando-se à medida que progridem para o interior.

Nampula.

precipitação é caracterizada pela altura e pela intensidade.

u área é igual ao volume da precipitação sobre essa rea a dividir pelo valor da área. É normalmente expressa em mm ou em l/m2.

adagascar é origem de

sãkacompo tam-se como uma frente quente origie As chuvas intensas e os ventos fortes dão aos ciclones tropicais características muito destrutivas. Moçambique, apesar de relativamente protegido pela barreira que Madagáscar constitui, tem sofrido graves prejuízos com os ciclones, casos do Claude (1966) e Domoína (1984), que afectaram a região Sul, Felícia (1978) que assolou a Zambézia e Sofala e Nadia (1996) que provocou grandes destruições na província de 4.5 MEDIÇÃO DA PRECIPITAÇÃO 4.5.1 Aspectos gerais A A alt ra de precipitação sobre uma dadaá 1 mm = 1 l/m2 = 10 m3/ha

A intensidade da precipitação é definida como a quantidade de precipitação ocorrida por unidade de tempo:

h =i ∂ t∂

p

A intensidade é normalmente expressa em mm/hora. A intensidade não é medida

futuro a medição directa da intensidade. A medição da altura de recipitação faz-se em intervalos discretos de tempo, através dos udómetros ou

pluviómetros, ou em registo contínuo, através de udógrafos ou pluviógrafos.

(veja-se a figura .9) têm as seguintes características:

o solo: 1.50 m.

tura de precipitação é dada por:

directamente mas obtida a partir do conhecimento da altura, função h(t). Eventualmente, o radar permitirá no

4.5.2 Udómetros Para se garantir a consistência a nível nacional e regional dos valores medidos, os instrumentos de medição são padronizados quer em relação às suas dimensões quer em relação à sua localização no terreno. Os udómetros utilizados em Moçambique 4

- diâmetro da boca: ≈ 16 cm; - superfície receptora: 200 cm2; - altura da boca acima d

A precipitação é recolhida no depósito, sendo o volume medido numa proveta graduada. A al

Are

Vol = hc

Se o volume for medido em ml. (1 ml. = 1 cm3) e a área de recepção igual a 200 cm2, a altura em mm. será: h = 0.05 Vol.

valor medido é registado diáriamente em impresso próprio por um agente (leitor). O ao fim desse tempo recolhido e

is para análise (detecção de anomalias), rocessamento e arquivo. As medições são feitas sempre à mesma hora, no caso de oçam da ma ã.

tambor ou num sistema de rolos a uma velocidade onstante regulada por um mecanismo de relojoaria. Há diversos tipos de udógrafos

Figura 4.9 Udómetro

Oimpresso abrange normalmente o período de 1 mês sendo enviado para os serviços regionais ou centrapM bique às 9 horas nh 4.5.3 Udógrafos Os udógrafos são instrumentos que permitem conhecer a variação da precipitação em função do tempo utilizando um sistema de registo contínuo. Obtem-se assim numa folha de papel um gráfico h(t). O papel roda numc

conforme o mecanismo que quantifica a precipitação. O gráfico resultante chama-se dograma ou pluviograma.

tical à qual está associada um braço orizontal munido duma caneta que vai registando no papel o nível

água proveniente do sifão é recolhida num depósito que serve para

u 4.5.3.1 Udógrafo de sifão A figura 4.10 representa um udógrafo de sifão. A água é recolhida num depósito munido duma boia e dum sifão. A boia é solidária com uma haste verhatingido pela água. Quando a caneta atinge a altura máxima, ocorre automaticamente a descarga pelo sifão e a caneta volta à posição zero. O percurso total da caneta entre o zero e o máximo corresponde habitualmente a 10 mm de chuva. Acontrolar a quantidade total de água registada no período de observação. A figura 4.11 representa um exemplo dum udograma.

Figura 11 Udograma Deste udograma é possível obter, por exemplo, a intensidade média da p3 e as 6 horas do dia 1/2 como sendo:

= )1.6+(10 = h-h = i 36 6.3− mm/h 2.7 3t6-3 ∆

e que a intensidade máxima instantânea foi de cerca de 4.2 mm/h por v

.5.3.2 Udógrafo basculante

dia 1/2. 4

Figura 10 Udógrafo de Sifão

recipitação entre as

olta das 4 horas do

Are

figura 4.12 representa um udógrafo basculante. A água recolhida vai enchendo o ceptáculo A e quando este tem uma certa quantidade de água (por exemplo equivalente a

.5 mm) bascula bruscamente em torno do eixo, começando o enchimento do receptáculo B.

o ara pequenas gotas e, portanto, para chuvisco. Quanto mais alto estiver o udómetro maior rá o efeito do vento pelo que se deve evitar instalar o equipamento nos telhados dos

to.

olo, com árvores ou sebes para quebrarem o vento esde que não estejam tão próximas que interceptem a precipitação. Para tal, esses

2De cada vez que há uma mudança é marcado um traço vertical no gráfico.

Figura 12 Udógrafo baculante 4.5.4 Localização dos udómetros A principal fonte de erro na medição da precipitação é o vento. A aceleração vertical paracima imposta ao ar junto dum udómetro transmite uma aceleração semelhante à precipitação, reduzindo a quantidade que entra no udómetro. Este efeito é mais significativpseedifícios ou em zonas muito batidas pelo ven A melhor localização é ao nível do sdobstáculos devem estar a uma distância do udómetro superior a metade da sua altura (ver a figura 4.13).

Figura 13 Localização de udómetros 4.5.5 Utilização de radar Um radar transmite um impulso de energia electromagnética sob a forma dum feixe emitido por uma antena móvel. Essa onda que viaja com a velocidade da luz é parcialmente reflectida pelas nuvens ou pelas partículas que precipitam e volta ao radar, sendo captada pela mesma antena. A energia retornada é o alvo, a quantidade de energia retornada é a potência de retorno e a sua visualização no ecran do radar é o eco. A intensidade do eco é uma indicação da grandeza da potência de retorno que, por sua vez, mede a reflectividade do radar nos hidrometeoros. Essa reflectividade depende da distribuição dos tamanhos das partículas, do número de partículas por unidade de volume e da forma das partículas. No entanto, geralmente a reflectividade é tanto maior quanto mais intensa for a precipitação. O intervalo de tempo entre a emissão do impulso e o eco mede a distância a que se encontra o alvo, enquanto que a direcção do alvo corresponde à orientação da antena na altura da emissão. Assim, rodando a antena torna-se possível definir a extensão superficial duma chuvada. Teóricamente, é possível converter (por calibração) as potências de retorno em intensidades de precipitação que podem ser, então, integradas ao longo de tempo dando as alturas de precipitação em 1 hora, 3 horas, etc. em cada local. O radar apresenta, portanto, um enorme potencial para utilização em Hidrologia. Na prática, existem dificuldades ainda não superadas, a principal das quais tem a ver com o facto da relação entre potência de retorno e intensidade de precipitação não ser biunívoca. Assim, a utilização dos valores do radar exige a prévia calibração a partir dos valores registados em udógrafos ou udómetros para a mesma chuvada. Possivelmente obter-se-á um progresso significativo quando se ligar o radar a uma rede de udógrafos por um sistema de telemetria.

4.5.6 Rede udométrica A densidade de udómetros e udógrafos numa região deve depender essencialmente da maior ou menor variabilidade espacial da precipitação nessa região e da utilização mais ou menos intensiva que se queira fazer da água. Há sempre que balancear por um lado a informação adicional obtida com mais postos udómetricos e o valor dessa informação adicional e, por outro, os custos de instalação, manutenção e operação desses postos. Os erros derivados duma rede pouco densa são mais importantes para uma dada chuvada intensa do que para os valores mensais ou anuais. Em 1974, a WMO (Organização Meteorológica Mundial) recomendou as seguintes densidades mínimas para fins hidrológicos gerais:

- para regiões de clima temperado ou mediterrânico e zonas tropicais em áreas com relevo pouco acentuado: 600 - 900 km2/estação;

- idem, mas em áreas montanhosas: 100 - 250 km2/estação; - pequenas ilhas montanhosas com precipitação irregular: 25 km2/estação; - zonas áridas e polares: 1,500 - 10,000 km2/estação.

Segundo um relatório da Direcção Nacional de Águas (DNA) de 1984, a rede udométrica de Moçambique era constituída por 487 postos, sendo 263 da DNA, 118 do Serviço Meteorológico (SMM) e 106 de outras entidades, sobretudo de empresas agrícolas. Deste total, apenas cerca de 30 estavam equipados com udógrafos. A densidade média era de 1,600 km2/estação, com variações entre 300 km2/estação e 10,000 km2/estação. A província de Maputo tinha a densidade mais elevada e a do Niassa a mais baixa. Infelizmente estes dados foram muito alterados pela guerra que reduziu significativamente a rede em operação, estando a recuperação da rede a ser feita muito lentamente. O mesmo relatório da DNA fornecia os seguintes dados sobre a extensão dos registos, considerando apenas as estações da DNA (quadro 4.1): Quadro 4.1. Rede udométrica da DNA em 1984.

Nº de anos de registo Nº de estações

> 30 21 - 30 11 - 20 ≤ 10

97 82 58 26 263

Alguma informação adicional sobre as redes udométrica e hidrométrica vem contida em Ataíde (1974):

Quadro 4.2 Evolução da rede udométrica em Moçambique.

Ano: 1950 1955 1960 1965 1970 1984 1)

Nº de estações: 202 389 694 733 787 487

Km2/ estação: 3,860 2,005 1,124 1,064 991 1,602 1) Dados da DNA. Apenas 41 estações das 787 de 1970 estavam equipadas com udógrafos. Tomando 1970 como ano de referência, o número de anos de funcionamento era o seguinte: Quadro 4.3 Rede udométrica em 1970

Nº de anos de registo Nº de estações

> 30 21 - 30 11 - 20 ≤ 10

111 43 299 334 787

4.5.7 A precipitação em Moçambique Faltam em Moçambique os estudos de caracterização da precipitação que ocorre no País e nas suas diversas regiões. Os estudos globais existentes são demasiado incipientes e datam do início da década de 70. Existem estudos dispersos referentes a vários bacias que se torna necessário integrar e homogeneizar. Com base nos dados registados pela rede hidrométrica, foi possível determinar as precipitações médias nos vários postos e, a partir daí, traçar a carta de isoietas da precipitação anual média em Moçambique (figura 4.14), apresentada num estudo de Gonçalves (1974). A precipitação ponderada anual média sobre Moçambique é de cerca de 950 mm, ou seja de 740 biliões de metros cúbicos. A análise da carta de isoietas permite evidenciar os três factores que influenciam mais fortemente a ocorrência da precipitação em Moçambique: o relevo, a distância ao litoral e a latitude. A latitude influencia a precipitação pois a região Norte tem um regime de chuvas diferente do das regiões Centro e Sul. Nestas, a precipitação tem origem principalmente a partir de frentes frias e ciclones ao passo que na região Norte é o movimento (para sul, na época das chuvas) da zona de convergência intertropical, criando centros de baixas pressões, que é o factor principal a ter em conta. O relevo tem enorme influência na distribuição da precipitação em Moçambique: as maiores precipitações anuais médias registam-se exactamente nas zonas de maior altitude (Alta Zambézia, interior da província de Manica, planaltos da Angónia, Marávia e Lichinga; ver a figura 4.15).

A distância ao litoral é importante na medida em que as massas de ar húmido marítimo vão perdendo humidade à medida que progridem para o interior. Este efeito é muito sensível na região Sul do Save (interior das províncias de Gaza e Inhambane) e no sul da província de Tete. A figura 4.16 ilustra a variabilidade temporal das precipitações através do registo das precipitações anuais em Chokwé entre 1923/1924 e 1981/1982. A precipitação anual média é de 638 mm. e o coeficiente de variação da precipitação anual é de 0.28. Os índices de humidade extremos no período considerado foram de 1.9 em 1949/1950 e de 0.47 em 1939/1940 e 1951/1952. A figura 4.17 ilustra a distribuição ao longo do ano das precipitações mensais média nos postos P154 (Gurué) e P783 (Malema) evidenciado o semestre húmido e o semestre seco. Na figura apresentam-se também os coeficientes pluviométricos mensais.

Figura 14 Isoetas de precipitação anual média em Moçambique

Figura 15 Carta hipsométrica de Moçambique

Figura 16 Variabilidade temporal da precipitação anual em

Chockwé

Figura 17 Precipitações mensais médias em Gurué e Malema

Precipitação 4-1

4.6 DETERMINAÇÃO DA PRECIPITAÇÃO SOBRE UMA REGIÃO A precipitação registada num udómetro é um valor pontual do ponto de vista geográfico. Há diversos métodos que permitem, a partir dos valores registados nos postos udométricos, determinar a precipitação sobre uma região, nomeadamente o método da média aritmética, o método de Thiessen e o método das isoietas. 4.6.1 Método da média aritmética O método da média aritmética consiste em igualar a precipitação sobre a região à média aritmética dos valores registados nos vários postos existentes na região e próximos dela. É um método muito grosseiro que apenas deve ser usado se os postos se distribuirem uniformemente na região e o valor de cada um não se afastar muito do valor médio. 4.6.2 Método de Thiessen A partir duma carta onde está delimitada a bacia ou a região cuja precipitação se pretende calcular e marcados os postos udométricos (dentro da região e à volta), executam-se os seguintes passos:

i) Liga-se cada posto com todos aqueles que lhe ficam próximos, definindo segmentos de recta;

ii) Traçam-se mediatrizes desses segmentos. Essas mediatrizes, juntamente com os limites da região definem polígonos à volta dos vários postos - são os polígonos de Thiessen;

iii) Medem-se as áreas dos polígonos e a área total da região; iv) Calculam-se os coeficientes de Thiessen para os vários postos:

AA = total

iic

v) Calcula-se a precipitação na região através de:

Pc = P iii∑ O polígono respeitante a um dado posto é o lugar geométrico dos pontos da região que estão mais próximos desse posto do que de qualquer outro. O método atribui a todos os pontos dum polígono uma precipitação igual à registada no respectivo posto o que equivale a admitir que a variação da precipitação entre dois postos contíguos é linear. Note-se que mesmos postos fora da região podem ter um polígono dentro dela. A figura 4.18 esclarece o traçado dos polígono e o cálculo de P.


Precipitação 4-2

Figura 1 Polígonos de Thiessen

.6.3 Método das isoietas

método das isoietas é, como o método de Thiessen, um método de base gráfica. Para se

- consideram-se estações próximas 2 a 2; a precipitação varia linearmente;

s de

- nindo por curvas pontos com o mesmo valor de

esignando por Ai a sub-área da região localizada entre as isoietas Pi e Pi+1, a precipitação

4 Ocalcular a precipitação na região, é necessário começar por traçar as isoietas (linhas de igual precipitação). Para tal, pode utilizar-se o seguinte procedimento (ver também a figura 4.19):

- admite-se que entre 2 estações próximas - determinam-se assim pontos de ocorrência de determinados valore

precipitação P1, P2, etc.; as isoietas traçam-se uprecipitação.

Dponderada na região é dada por:

A)/2P+P(A = P

total

1+iiii∑


Precipitação 4-3

No traçado das isoietas, um hidrologista experiente pode ir além do procedimento atrás indicado,

Figura 2 Traçado das Isoietas

figura 4.20 apresenta a carta de isoietas na região sul do país, abrangendo as bacias do

.6.4 Comparação entre o método de Thiessen e o método das isoietas

principal vantagem do método de Thiessen sobre o método das isoietas é que os polígonos de

afeiçoando-as de maneira a entrar em conta com o relevo e a distância ao litoral.

AMaputo, Tembe, Umbelúzi e Incomati (incluindo as áreas na África do Sul e Suazilândia) do dia 29/01/84 quando ocorreram as chuvadas mais intensas do ciclone Domoína. 4 AThiessen não dependem dos valores da precipitação registados nos postos e, portanto, o cálculo da precipitação ponderada na região faz-se sempre com os mesmos coeficientes. Apenas é necessário recalcular os polígonos se algum dos postos não tiver registos para a precipitação ponderada que se pretende calcular.


Precipitação 4-4

As isoietas dependem dos valores das precipitações. Isso torna o método muito trabalhoso para aplicação rotineira, razão pela qual se reserva a aplicação do método das isoietas ao cálculo de precipitações ponderadas para precipitações médias (anuais, semestrais, mensais), precipitações com determinada probabilidade de excedência (p.exº 80%) ou para chuvadas extremas.


Precipitação 4-5

Figura 3 Isoietas na região sul do País no dia 29/1/84 (Ciclone Domoina) Uma outra desvantagem do método das isoietas relativamente ao método de Thiessem é a dose de subjectividade com que as isoietas são traçadas. Por outro lado, isso permite a um hidrologista experiente traçar as isoietas entrando em linha de conta com a influência do relevo, distância à costa e exposição aos ventos húmidos, o que constitui uma vantagem sobre o método de Thiessen. O método das isoietas apresenta sobre o método de Thiessen as seguintes vantagens:

- desde que as isoietas sejam traçadas por um hidrologista experiente, o metódo conduz a um valor da precipitação ponderada mais rigoroso do que o obtido pelo método de Thiessen;

- a carta de isoietas dá uma imagem visual da distribuição espacial da precipitação. Normalmente, as isoietas serão traçadas para situações particulares como, por exemplo, os valores anuais ou semestrais médios ou para uma chuvada particularmente intensa. Para os cálculos de rotina, será utilizado o método de Thiessen. 4.6.5 Cálculo da precipitação ponderada em computador A utilização do computador permite eliminar a parte mais trabalhosa dos dois métodos, facilitando a sua utilização. No método das isoietas, poder-se-á utilizar os programas que fazem o traçado de isolinhas (Z = constante) a partir do conhecimento de valores Z(x,y) num número discreto de pontos como se faz já com o traçado de curvas de nível a partir do conhecimento dum número de pontos contatos. Para o método de Thiessen existem já diversos programas operacionais que fazem o traçado dos polígonos e calculam os coeficientes Thiessen a partir das coordenadas dos postos udométricos e dos pontos que definem a fronteira da região, coordenadas essas que se obtêm facilmente se se dispuser duma mesa digitalizadora. Um programa disponível na Faculdade de Engenharia da UEM calcula os coeficientes de Thiessen sem fazer o traçado dos polígonos. A partir duma malha rectangular de pontos sobreposta à região, determina-se:

- o número total de pontos no interior da região, valor proporcional à área total da região (N);


Precipitação 4-6

- o número de pontos ni atribuídos ao posto i, na base de que estão mais próximos desse posto do que de qualquer outro. Evidentemente, Σi ni = N;

- os coeficientes são dados por ci = ni/N. 4.6.6 Influência da dimensão da área na precipitação ponderada A experiência indica que, numa dada região, precipitações muito intensas não se verificam simultâneamente em todos os pontos. Quando numa região apenas se dispõe de medições num posto udométrico, a precipitação ponderada deve corresponder a multiplicar a precipitação pontual por um factor de redução inferior a 1. Óbviamente, esse factor será tanto mais pequeno quanto maior fôr a área em consideração e mais curta a duração da chuvada. Estudos feitos nos Estados Unidos pelo US Weather Bureau permitiram a elaboração do gráfico apresentado na figura 4.21. Este gráfico é apresentado apenas para efeitos ilustrativos e não deve ser utilizado para cálculos em Moçambique, para cujas condiçoes não foi aferido.

igura 4 Factor de redução da precipitação pontual

.7 VALORES CARACTERÍSTICOS DAS PRECIPITAÇÕES

eterminados valores calculados a partir dos registos de precipitação permitem fazer uma

F 4 Dcaracterização sumária da precipitação.


Precipitação 4-7

- Precipitação anual médio Pano: é a média aritmética dos valores da precipitação

- dade do ano ano = Pano/Pano: indica se o ano foi húmido ou seco.

- semestre seco e no

- al média Pi no mês i: média dos valores registados da

- ia fictícia Pf = Pano/12: seria o valor da precipitação

- luviométrico do mês i, Cpi = Pi/Pf: indica se trata dum mês

- s, Imês = Pi/Pi: indica se o mês foi húmido ou seco.

.8 CONSISTÊNCIA DUMA SÉRIE DE REGISTOS

ão é invulgar que uma série de registos de precipitação acuse, na sua análise, inconsistência,

uando isso acontece, é necessário rectificar a série, tornando-a consistente. O método mais

método da dupla massa consiste no seguinte:

- escolhe-se um certo número de estações (normalmente, cerca de 10)

- édias dos valores dessas estações para o período correspondente

- o em abcissas os valores acumulados das médias das

e neste gráfico os pontos se alinharem ao longo duma recta não se detecta inconsistência. Se,

então pode suspeitar-se de haver inconsistência na série em estudo.

anual. Índice de humi

- Ano médio: ano fictício tal que o valor que uma determinada grandezahidrológica apresenta numa época qualquer do calendário no ano médio é igual à média aritmética dos valores assumidos pela grandeza na mesma época dos diferentes anos do período considerado. Por exemplo, em ano médio as precipitações mensais são as precipitações mensais médias. Cartas de isoietas em ano médio (precipitação anual, nosemestre húmido). Precipitação mensprecipitação no mês i, Pi. Precipitação mensal médmensal média se a precipitação anual média se distribuisse uniformemente ao longo do ano. Coeficiente phúmido ou dum mês seco. Índice de humidade do mê

4 Ni.e., uma subsérie contendo os anos terminais regista características (como a média e o desvio padrão) muito distintas da subsérie dos anos iniciais. Isso pode ter origem, por exemplo, na mudança de localização do udómetro, na construção duma habitação demasiado próxima ou na substituição do aparelho de medida. Qutilizado para a detecção de inconsistência é o método da dupla massa o qual permite que se faça posteriormente a correcção da série. O

geográficamente próximas de estação de cuja série de registos se pretende testar a consistência; calculam-se as mà estação em estudo; marca-se num gráficestações e em ordenadas os valores acumulados da estação em estudo.

Sno entanto, se verificar uma situação como a da figura 4.22 em que, a partir dum dado ano, há uma clara mudança de inclinação que se mantém (verificada pelo menos nos últimos 5 anos),


Precipitação 4-8

Nesse caso, é preciso verificar o que aconteceu com a estação, se houve uma mudança do local u outra causa que possa ser a origem da inconsistência.

igura 5 Teste de consitência duma série pelo método da dupla assa

ria muita cautela na utilização do método da dupla massa. Em primeiro lugar, é preciso ue o desvio se mantenha durante uma série de anos (cinco ou mais); depois, é preciso que as

e forma a torná-la consistente: ega-se nos valores da subsérie anterior à mudança de declive e multiplica-se os seus valores

o da dupla massa só deve ser aplicado para durações ficientemente longas, ou seja, para séries de precipitação semestral ou anual.

.9 PREENCHIMENTO DE FALHAS

ção para uma dada estação têm faltas de 1 ou mais dias , por vezes, até de períodos mais longos. Para não se perder totalmente a continuidade dos

registos, utilizam-se métodos para estimar os valores em falta, permitindo assim reconstituir os

o

Fm É necessáqestações de apoio tenham todas séries de registos consistentes. É igualmente necessário encontrar a causa física que possa ter originado a inconsistência. Quando estas condições se verificam, pode rectificar-se a série dppela relação das tangentes. No exemplo da figura 4.22, ter-se-ia de multiplicar os valores anteriores a 1981 por 0.84/1.40 = 0.60. Finalmente há que referir que o métodsu 4 Frequentamente, os registos de precipitae


Precipitação 4-9

totais mensais, semestrais e anuais. Os mais utilizados são o método da razão normal, o método do US National Weather Service e o método da regressão linear múltipla. 4.9.1 Método da razão normal Escolhem-se 3 estações muito próximas da estação com registos em falta e distribuidas

rm do essas estações por A,B,C, a estação em estudo por X, a recipitação anual média por P e a precipitação no período em falta por P, a estimativa do valor

regula ente à volta dela. Designanpem falta faz-se pela expressão:

)]PP(+)

PP(+)

PP[(

3P = P C

B

B

A

Axx

C

.9.2 Método do US National Weather Service

onsidera-se o espaço à volta da

uadrantes pelo traçado de eixos N-S e

róxima de X. Então valor na estação X será dado pela

4 Cestação X dividido em quatro

Figure 6 Método do US NWS

qE-O (figura 4.23). Toma-se em cada quadrante a estação que estiver mais poexpressão:

∑=

4

2i

ii

X

dlP

P∑=

4

12

1

i i

i

i

dl

=

Se um ou mais quadrantes não contiverem nenhuma estação, como pode acontecer se a estação X se localizar na costa, o somatório estende-se apenas aos restantes quadrantes.

s métodos atrás referidos, embora bastante práticos, só são válidos quando a densidade das preferível utilizar o método da regressão linear

últipla.

-se a expressão da regressão linear múltipla:

4.9.3 Método da regressão linear múltipla Oestações é elevada. Quando isso não acontece, ém Consideram-se n estações geograficamente próximas da estação X com valores em falta e estabelece PX = co + c1P1 + c2P2 + ...... + cnPn


Precipitação 4-10

Determinam-se os coeficientes de correlação parcial e eliminam-se da regressão as estações em inferiores a 0.50). A expressão final da regressão

ermite então obter o valor de PX. Normalmente é difícil obter uma boa regressão para períodos

.10 PRECIPITAÇÕES INTENSAS DE CURTA DURAÇÃO

.10.1 Introdução

dimensionamento de obras hidráulica como sistemas de drenagem urbana e agrícola, diques heias e descarregadores de barragens é feito para caudais com pequena

robabilidade de serem ultrapassados, i.e, caudais com uma baixa frequência, i.e, para grandes

lectores pluviais) a algumas horas (obras urbanas ou m rios com pequenas bacias hidrográficas) ou mesmo alguns dias (obras em rios com grandes

da chuvada e a frequência (ou o período retorno).

.10.2 Curvas de possibilidade udométrica

ma das relações mais utilizadas envolvendo a altura, a duração e o período de retorno é:

m que h é a altura de precipitação, t é a duração, T o período de retorno e a, n e m são arâmetros. Estas r ões são designadas por curvas de altura - duração - frequência (ver a gura 4.24).

ue se designa como curva de possibilidade udométrica.

que esses coeficientes são baixos (p.ex, pinferiores a 15 dias ou um mês. 4 4 Ode protecção contra cpperíodos de retorno. O período de retorno que se toma é tanto maior quanto fôr a importância da obra e os prejuízos decorrentes da sua destruição ou danificação. A estimação dos caudais de dimensionamento é frequentemente feita a partir de valores da precipitação com dada duração, em função do período de retorno adoptado. A duração a considerar para a precipitação varia consoante o objecto do estudo, podendo ir desde poucos minutos em obras urbanas (coebacias hidrográficas). Procura-se então obter relações entre as seguintes grandezas: a altura de precipitação (ou a intensidade), a duração 4 U mn Tta = h ..

p elaç

e

fi Para um dado período de retorno, obtem-se a relação ta = h n.

q


Precipitação 4-11

Chama-se a atenção que estas relações não são dimensionalmente homogéneas. Por isso, há que especificar as unidades em que se expressam h e t. Em termos de intensidade, ter-se-á

1−nta n = dh =i dt

C dade de

omo se sabe, a intensi screce com a duração da chuvada o que implica que o parâmetro n tenha um valor inferior a 1. A figura 4.24 representa a variação de h e i com t.

requência

Figura 7 Curvas de altura-duração-frequência e intensidade-duração-

f De salientar que i é a intensidade da precipitação no instante t. A intensidade média no período entre 0 e t será

plicando logaritmos à expressão da curva de possibilidade udométrica obtem-se:

i = h/t = atn-1 = i/n A ln(h) = ln (a) + n ln (t)

ue é a equação duma recta no espaço logarítmico. Curiosamente, e reforçando a ideia de que as trica constituem uma expressão adequada para as precipitações

tensas, o registo das máximas precipitações registadas no mundo para diferentes durações (ver

qcurvas de possibilidade udoméino quadro 4.4) adapta-se perfeitamente a uma recta num gráfico com eixos logarítmico como se pode ver na figura 4.25, retirada de LINSLEY et al. (1977). Estes máximos mundiais (a que se poderia associar empiricamente o período de retorno de 150 anos, considerando o tempo de existência de registos fiáveis) correspondem à seguinte relação:

48.0t 417 = h


Precipitação 4-12

com h em mm e t em horas.

Figura 8 Alturas máximas de precipitação registadas no Mundo para váriadurações

s


Precipitação 4-13

Quadro 4.4 Precipitações máximas mundiais.

Duração Altura (mm)

Local Data

1 min. 8 15 20 42 130 165 4.5 h. 9 12 18.5 24 2 dias 3 4 5 6 7 8 15 31 2 meses 3 4 5 6 11 12 2 anos

38 126 198 206 305 483 559 782 1087 1340 1689 1870 2500 3240 3721 3854 4055 4110 4130 4798 9300 12767 16369 18738 20412 22454 22990 26461 40768

Barot, Guadalupe Füssen, Bavaria Plumb Point, Jamaica Curtea-de-Arges,Roménia Holt, Mo. Rockport, W. Va. D´Hanis, Texas, USA Smethport, Pa Belouve, Ilhas Reunião " " Cilãos, I. Reunião " " Cherrapunji, India Cilãos, I. Reunião " " " Cherrapunji, India " " " " " " " " "

26/11/70 25/05/20 12/05/16 07/07/1889 22/06/47 18/07/1889 31/05/35 18/07/42 28/02/64 28/02/64 28-29/02/64 15-16/03/52 15-17/03/52 15-18/03/52 12-15/09/74 13-18/03/52 13-19/03/52 12-19/03/52 11-19/03/52 24/06-8/07/31 07/1861 06-07/1861 05-07/1861 04-07/1861 04-08/1861 04-09/1861 01-11/1861 8/1860-7/1861 1860-1861

4.10.3 Derivação de curvas de possibilidade udométrica O processo mais directo para se obter curvas de possibilidade udométrica para diversos períodos de retorno é o seguinte. Suponha-se que se dispõe duma série de registos de precipitação com uma duração de N anos. Indo buscar a essa série os maiores valores de precipitação registados para diferentes durações (15 m, 30 m, 1h, 6 h, etc.) fica-se com um conjunto de pares de valores (hi,ti) ligados a um período de retorno T = N já que esses valores são igualados ou excedidos uma vez em N anos.


Precipitação 4-14

Os parâmetros a, n da correspondente curva de possibilidade udométrica podem ser obtidos implantando os pontos (hi,ti) num gráfico com eixos log-log ou através duma regressão linear simples de ln h sobre ln t. Se agora se repetir o processo indo buscar à série de registos os segundos maiores valores para as diversas durações, pode construir-se a curva de possibilidade udométrica para o período de retorno T = N/2 já que os referidos valores de h são igualados ou excedidos 2 vezes em N anos. De forma similar se obteriam as de possibilidade udométrica para T = N/3, N/4, N/5, .... as quais poderiam ser todas representadas num mesmo gráfico como se exemplifica na figura 4.26. Um gráfico deste tipo permite fácilmente obter por interpolação a altura de precipitação que corresponde a uma determinada duração para certo período de retorno T, T ≤ N. Chama-se a atenção que todas estas curvas têm de ter o mesmo valor de n. Quando se pretende extrapolar para períodos de retorno superiores a N, pode adoptar-se um dos seguintes procedimentos: a) Com o conjunto de ternos de valores (h,t,T), ajustar à expressão h = atnTm, calculando os

parâmetros a,n,m por regressão linear múltipla dos logaritmos:

Figura 9 Determinação dos parâmetros de curvas de possibilidade udométrica

log(h) = log (a) + n log (t) + m log T; b) para a duração que se pretende estudar, obter os pares de valores (h,T). Isto é equivalente

a atribuir a cada valor de h uma probabilidade empírica de não excedência F = 1 - 1/T . A partir daí, é possível ajustar a distribuição empírica a uma distribuição teórica que permite extrapolar para valores altos de T. A distribuição normal adapta-se mal ao estudo de precipitações intensas sendo, por isso, preferível utilizar uma distribuição de extremos, como por exemplo Log-Normal ou Gumbel.


Precipitação 4-15

Quando não se dispõe dum registo de pluviógrafo, a análise de precipitações intensas fica limitada a durações não inferiores a 1 dia pois este é o intervalo com que se fazem as leituras. No entanto, se se conseguir um bom ajustamento duma curva de possibilidade udométrica h = atn (t ≥ 1 dia), pode-se extrapolar para durações inferiores a 1 dia, determinando o valor de h para t = 12 horas ou mesmo para t = 6 horas, não se devendo utilizar a curva para durações muito pequenas onde a extrapolação já não seria válida. 4.10.4 Precipitações intensas ponderadas sobre uma região O estudo de precipitações intensas através das curvas de possibilidade udométrica é geralmente feito para estações udométricas tomadas isoladamente. O problema torna-se mais complicado quando se pretende fazer o estudo de precipitações intensas sobre uma região pois isso exige um método de ponderação como o dos coeficientes de Thiessen. Suponha-se que se dispõe nos vários postos udométricos da região de séries simultâneas de N anos de registos e que se pretende obter para a região a curva de possibilidade udométrica para T = N. A forma correcta para se obter a curva seria: 1a) obter o pluviograma ponderado, multiplicando cada pluviograma dum dado posto pelo respectivo coeficiente de Thiessen e, posteriormente, somando-os; 1b) no caso (vulgar) de não se dispôr de pluviogramas, obter a série de N anos de precipitações diárias ponderadas na região, multiplicando cada série de registos diários de um dado posto pelo respectivo coeficiente de Thiessen e, posteriormente, somando-os; 2) obter as curvas de possibilidade udométrica para a região por análise do pluviograma ponderado (obtido em 1a) ou da série de precipitações diárias ponderadas (obtida em 1b). A menos que os pluviogramas (por digitalização) e as séries de dados diários existam numa base de dados em computador, o processo referido é extremamente trabalhoso. Utiliza-se, por isso, frequentemente um processo mais expedito que consiste em obter a curva de possibilidade udométrica para a região para um dado período de retorno por ponderação das curvas de possibilidade udométrica dos diversos postos para o mesmo período de retorno. Assim, a altura de precipitação para cada duração seria obtida multiplicando a altura em cada posto para essa duração (dada pela respectiva CPU) pelo correspondente coeficiente de Thiessen e somando os valores assim obtidos. A CPU para a região seria ajustada aos pares (h,t) assim obtidos. Este processo expedito é, em geral, pessimista, i.e., fornece valores excessivos de precipitação visto pressupor a ocorrência simultânea dos valores máximos da precipitação em todos os postos o que normalmente não se verifica. O método dará valores tanto mais pessimistas quanto menor fôr a correlação entre as precipitações nos postos udométricos.


Precipitação 4-16

EXERCÍCIOS 1. VALORES CARACTERÍSTICOS DA PRECIPITAÇÃO Calcule e interprete valores característicos da precipitação, usando uma série de precipitações mensais de 5 anos hidrológicos (tabela). a) Calcule a precipitação anual média, Pano. b) Calcule a índice de humidade, Iano, dos anos hidrológicos '78/'79, '80/'81 e '81/'82. O que

significam estes valores ? c) Calcule a precipitação mensal média do mês de Janeiro e Julho, respectivamente PJaneiro e

PJulho. d) Calcule a precipitação mensal média fictícia, Pf. e) Calcule o coeficiente pluviométrico do mês de Janeiro e Julho, respectivamente cp,Janeiro e

cp,Julho. O que significam estes valores ? f) Calcule a índice de humidade do mês de Janeiro dos anos hidrológicos '77/'78, '78/'79 e

'79/'80, respectivamente IJaneiro 77/78, IJaneiro 78/79 e IJaneiro 79/80. Calcule também a índice de humidade do mês de Julho dos anos hidrológicos '77/'78 e '81/'82, respectivamente IJulho

77/78 e IJulho 81/82. O que significam estes valores? N.B. Na realidade usa-se sempre uma série mais longa do que 5 anos para calcular valores característicos. TABELA. PRECIPITAÇÕES MENSAIS DE 5 ANOS HIDROLóGICOS (estação 9801000-P 8 Maputo) Ano hidrológico Mês: '77/'78 '78/'79 '79/'80 '80/'81 '81/'82 Out. 43 61 57 50 115 Nov. 17 89 56 99 189 Dez. 78 87 87 43 56 Jan. 304 129 48 230 27 Fev. 120 24 62 205 22 Mar. 211 153 75 98 60 Abr. 36 37 115 10 194 Mai 41 8 29 159 19 Jun. 1 16 0 12 3 Jul 61 8 8 7 3 Ago. 11 22 32 22 14 Set. 10 14 97 78 12


Precipitação 4-17

2. PRECIPITAÇÃO PONDERADA NUMA REGIAO Calcule pelo método de Thiessen as precipitações ponderadas na região apresentada na figura. São dados - os valores da precipitação média anual de 11 postos udómetricos A-L; - os valores da precipitação do mês de Junho de 1980 para 10 postos (A-J). O posto L não tem dados desde 1970 enquanto os postos A-J têm séries praticamente completas até hoje. a) Construa os polígonos de Thiessen, só para os postos udómetricos em funcionamento. b) Calcule a precipitação na área para o mês de Junho de 1980, usando o método de

Thiessen. Compare o resultado com o método da média aritmétrica. Explique. c) Pretende-se calcular as precipitações mensais da área para o período 1975-1992 a partir

dos dados dos postos udómetricos A-J. Que método seria preferível usar: o método de Thiessen, o método das isoietas, ou seria indiferente? Justifique a sua resposta.

Posto Precipitação (mm) Posto Precipitação (mm) média anual Junho de 1980 média anual Junho de 1980 A 908 45 F 885 45 B 1021 42 G 933 50 C 870 40 H 927 40 D 1140 60 I 1217 50 E 855 40 J 1020 40 L 948 -


Precipitação 4-18

Área esquematizada com postos udométricos.


Precipitação 4-19

3. PREENCHIMENTO DE FALHAS Utilizando os dados da pergunta 2, a) Estime a precipitação do posto L para o mês de Junho de 1980, usando os dados de

postos vizinhos (tome em conta as distâncias mútuas). b) Estime a precipitação do posto L pelo método da razão normal. c) Comente os resultados.


Precipitação 4-20

4. CURVAS DE POSSIBILIDADE UDOMÉTRICA Analize precipitações intensas de curta duração, usando uma série de valores diários da precipitação no 1º ano hidrológico (tabela 2) e os valores críticos anuais da precipitação dos 19 anos seguintes (tabela 1). a) Complete a tabela 1 para o primeiro ano hidrológico da série (1ª linha). b) Obtenha as curvas de possibilidade udométrica para períodos de retorno de 5, 10 e 20

anos e durações até 7 dias (em papel log-log). Apresente também as tabelas que lhe permitiram obter estas curvas.

c) Determine as alturas de chuvas de 12 horas, 1 dia e 2 dias com períodos de retorno de 5 e

10 anos (6 valores). TABELA 1. VALORES CRÍTICOS ANUAIS DA PRECIPITAÇÃO. Duração: Ano: 1 dia 2 dias 3 dias 4 dias 5 dias 6 dias 7 dias 1 ... ... ... ... ... ... ... 2 114 160 210 313 335 376 389 3 123 123 144 161 181 189 189 4 25 36 37 37 37 42 43 5 111 111 143 145 147 181 182 6 282 401 484 550 596 661 692 7 98 169 250 250 265 268 270 8 160 170 201 201 233 256 265 9 48 80 89 89 110 114 115 10 139 145 150 201 275 285 301 11 128 164 221 221 260 299 305 12 76 76 85 89 89 106 112 13 101 141 159 203 203 251 280 14 33 39 40 40 40 47 48 15 60 98 131 143 180 195 204 16 204 221 221 230 245 245 245 17 91 156 203 203 220 247 267 18 121 144 156 212 252 252 252 19 115 148 176 176 204 223 237 20 135 269 339 394 427 452 507


Precipitação 4-21

TABELA 2. PRECIPITAÇÃO NO ANO HIDROLÓGICO Nº 1. Mês: Dia: Out. Nov. Dez. Jan. Fev. Mar. Abr. Mai Jun. Jul. Ago. Set. 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 71 34 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 13 15 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 25 0 0 8 0 0 0 6 0 0 7 0 18 18 9 0 21 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 3 0 3 0 0 0 4 0 0 9 0 0 1 62 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 17 0 83 0 0 0 9 0 0 0 28 11 0 0 0 31 0 0 0 11 0 0 0 12 12 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 12 13 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 14 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 15 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 8 0 0 0 0 0 4 0 0 0 17 0 0 0 13 0 0 0 0 3 0 0 0 18 0 0 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 8 0 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 12 139 42 4 19 0 0 0 0 0 0 0 21 21 4 44 0 6 17 0 0 0 0 0 0 22 1 0 20 0 2 0 0 6 0 0 0 0 23 7 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 24 2 0 45 5 0 0 2 0 0 10 0 0 25 6 0 15 5 0 0 0 0 0 0 0 5 26 12 0 0 9 0 0 0 0 0 0 12 0 27 4 0 0 13 0 0 0 0 0 0 15 0 28 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 3 4 29 0 0 4 0 - 0 0 0 0 0 0 1 30 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 31 0 - 0 0 - 0 - 0 - 0 0 -


Evaporação e evapotranspiração 5-1

5 EVAPORAÇÃO E EVAPOTRANSPIRAÇÃO 5.1 CONCEITOS BÁSICOS 5.1.1 Evaporação a partir duma superfície líquida Em qualquer superfície líquida, há um incessante movimento de moléculas de água que passa da fase líquida para a fase gasosa e vice-versa, sendo a primeira forma a dominante em condições atmosféricas normais. Há, portanto, simultâneamente evaporação (líquido → vapor) e condensação de água (vapor ← líquido). Do ponto de vista prático e correspondendo àquilo que de facto se pode medir, o que nos interessa é o excedente da evaporação sobre a condensação. Assim, chamaremos evaporação ao excedente da transformação líquido → vapor em relação à situação oposta. 5.1.2 Evaporação a partir do solo nu A evaporação que se verifica a partir do solo nu depende de um certo número de factores entre os quais os mais importantes são o estado de humidade do solo, o tipo de solo e a localização da toalha freática. Se o solo se encontra saturado, a evaporação que lhe corresponde é próxima da evaporação a partir duma superfície líquida, sugerindo-se multiplicar esta última por 0.9 para se obter a evaporação a partir do solo. À medida que o solo vai perdendo a humidade, a água remanescente vai sendo retida com intensidade crescente por forças de capilaridade e adsorção, dependendo do tipo de solo. A evaporação torna-se geralmente desprezável depois de se terem evaporado os primeiros 10-15 mm. Se a toalha freática estiver suficientemente alta para que a água possa atingir a superfície do solo por capilaridade, a evaporação a partir do solo é elevada e semelhante à situação do solo saturado. 5.1.3 Transpiração Transpiração é a água perdida pelas plantas através dos estomas (poros) das folhas por evaporação para a atmosfera. Esta água é substituida pela que a planta vai buscar ao solo através das raízes. Numa região em que o solo está revestido de vegetação, é praticamente impossível analisar em separado a transpiração das plantas e a evaporação a partir do solo, linhas de água e lagoas. Os dois processos tomados em conjunto designam-se por evapotranspiração. 5.1.4 Importância do fenómeno da evaporação Pode-se ficar com uma ideia da importância destes fenómenos considerando o exemplo da albufeira dos Pequenos Libombos, construida, como se sabe, para reforçar o abastecimento de água à cidade de Maputo.



Considerando que a albufeira tem uma superfície inundada com uma área média de cerca de 30 km2 e que a evaporação anual na albufeira é de cerca de 1700 mm, então o volume evaporado anualmente em média é de Vevap. = 30 * 106 * 1.7 = 51*106 m3 O abastecimento de água de Maputo é de aproximadamente 150,000 m3/dia, ou seja, cerca de 55 * 106 m3/ano. Portanto o volume evaporado na albufeira equivale a quase 1 ano de abastecimento a Maputo. Do ponto de vista para a utilização da água para o homem, a evaporação constitui uma perda que interessa minimizar. Várias vias tem vindo a ser consideradas para este efeito:

- utilizar reservatórios cobertos (só possível em pequenos reservatórios); - utilizar reservatórios subterrâneos (é necessário que existam condições naturais

para o efeito); - construir reservatórios com área superficial mínima (na escolha dum local para

uma barragem, é preferível optar pelo que apresenta a menor superfície para um dado volume de armazenamento);

- utilizar produtos químicos especiais na superfície da água. Certos compostos orgânicos como o hexadecanol e o octodecanol formam películas monomoleculares à superfície da água que inibem a evaporação. Estudos indicaram ser possível reduzir a evaporação a pouco mais de 1/3 da evaporação natural. No entanto, a aplicação destes produtos em grandes lagos é consideravelmente menos eficiente devido ao vento e às ondas que quebram a camada monomolecular e a arrastam para as margens. Estudos realizados nos EUA e Austrália indicam que se pode obter reduções de ordem de 30% na evaporação para pequenos lagos (<5 km2) e da ordem de 10% para lagos com cerca de 10 km2 (Dunne e Leopold, 1978). É duvidoso que o processo tenha qualquer rendimento para lagos de maior dimensão;

- utilizar cortinas de árvores como quebra-ventos (para pequenos reservatórios). 5.1.5 O processo físico da evaporação. Lei de Dalton Considere-se o recepiente fechado representado na figura 5.1 e que contém uma certa quantidade de água a uma dada temperatura. A situação é estável o que se manifesta pelo nível constante da água. Isto significa que o número de moléculas de água que passa para a fase de vapor é, em média ao longo de um intervalo de tempo curto, igual ao número de moléculas que passa da fase de vapor para a fase líquida. Diz-se então que o ar está saturado e não pode conter mais vapor de água.




Admitamos agora que no recipiente da figura 5.1 se fez inicialmente o vácuo e depois se introduziu uma certa quantidade de água. Verifica-se que a água começa imediatamente a vaporizar. Isto deve-se ao facto de que a força estabilizante das moléculas no seio do líquido, que é a atracção molecular, é insuficiente para contrariar a forca de repulsão devido a energia cinética das moléculas. Como é sabido, as moléculas de vapor de água dispõem de maior energia cinética do que as moléculas de água no estado líquido. Por outro lado, na fase inicial da vaporização, há muito poucas moléculas gazosas e a pressão de vapor de água é baixa. Figura 5.1 – Processo físico da evaporação

Figure 5-1 - Processo físico da evaporação

À medida que a vaporização da água se vai processando, aumenta a pressão de vapor, aumentam as colisões entre moléculas gasosas e algumas destas, ficando com energia cinética reduzida, voltam ao estado líquido. A certa altura atinge-se a estabilidade: a evaporação cessa e a pressão do vapor mantem-se constante. A pressão do vapor não saturado designa-se por e. Designa-se por tensão do vapor saturado ew a pressão do vapor quando o espaço já não comporta mais vapor de água. ew aumenta com a temperatura como é fácil de constatar experimentalmente. Com efeito, se no recipiente fechado onde a evaporação cessou se produzir um aquecimento, a evaporação reinicia-se e a pressão do vapor aumenta. Isto deve-se ao facto do aumento da temperatura conduzir a uma aumento da energia cinética das moléculas da água. A tabela 5.1, adaptada de FAO 1977, dá os valores da tensão do vapor em função da temperatura do ar, com pressão atmosférica normal. Tabela 5.1. Tensão do vapor saturado em função da temperatura do ar T (°C) ew (mbar) T (°C) ew (mbar) T (°C) ew (mbar) 0 6.1 14 16.1 28 37.8 1 6.6 15 17.0 29 40.1 2 7.1 16 18.2 30 42.4 3 7.6 17 19.4 31 44.9 4 8.1 18 20.6 32 47.6 5 8.7 19 22.0 33 50.3 6 9.3 20 23.4 34 53.2 7 10.0 21 24.9 35 56.2 8 10.7 22 26.4 36 59.4 9 11.5 23 28.1 37 62.8 10 12.3 24 29.8 38 66.3 11 13.1 25 31.7 39 69.9 12 14.0 26 33.6 40 73.8


13 15.0 27 35.7 A diferença (ew - e) chama-se défice de saturação. A tensão ew iguala à pressão atmosférica no ponto de ebulição. Os principais factores que afectam a evaporação são: a) a radiação solar, que é a principal fonte da energia necessária para a vaporização das moléculas de água. Por sua vez, a radiação solar é uma função da latitude, dia do ano, hora do dia e nebulosidade. Outras fontes de energia podem dar um importante contributo local para a evaporação, por exemplo a entrada num lago de água quente proveniente da refrigeração duma central térmica. b) as temperaturas do ar e da água, a pressão atmosférica e a humidade. Todos estes factores influenciam o défice de saturação. Ora a evaporação é obviamente uma função crescente do défice de saturação. c) o vento. Numa situação sem vento, o vapor de água concentrado numa camada da atmosfera muito próxima da superfície livre da água, camada que se designa por camada evaporante, atinge o estado de saturação e a evaporação cessa. Para que a evaporação continue, é necessário que essa camada já saturada seja removida e substituida por ar não saturado. Esse é o papel desempenhado pelo vento. A Lei de Dalton, apresentada em princípios do século XIX, diz que a evaporação E varia linearmente com o défice de saturação do ar [ew(Th) - e(Ts)]: E = a [ ew(Th) – e(Ts) ] em que a é uma constante, e é a tensão do vapor não saturado (mbar), ew é a tensão do vapor saturado (mbar), Th é a temperatura média da camada evaporante, chamada temperatura húmida (oC) e Ts é a temperatura do ar ambiente, chamada temperatura seca (oC). 5.1.6 Humidade relativa A medição directa da tensão do vapor e não é fácil pelo que ela é obtida por via indirecta através de medição nas estações meteorológicas da humidade relativa U, definida por: U = e/ew Para se compreender o processo da medição de U, há que recorrer à Lei de Dalton, E = a [ew(Th) - e(Ts)] Por cada grama de água evaporado, é necessário um número l de calorias, em que l é o calor latente de vaporização = 590 cal./g. O calor retirado ao líquido pela evaporação seria então: Qe = ρlE



em que Qe é o calor gasto na evaporação (cal/cm2), ρ é a densidade da água, l é o calor latente de vaporização (cal/g) e E é a evaporação (cm). A temperatura da camada superficial da água vai baixando até que se atinge o equilíbrio entre a quantidade de calor Qe que o líquido gasta na evaporação e a quantidade de calor Qh que o meio ambiente comunica ao líquido. Qh é directamente proporcional à diferença entre a temperatura do ar, Ts, e a temperatura da camada evaporante, Th: Qh = b (Ts-Th) Como E é proporcional a Qe e Qe = Qh, ter-se-á: E = cQh = c'(Ts-Th) Por comparação com a Lei de Dalton, obtem-se [ew(Th) - e(Ts)] = A (Ts-Th) Como a tabela 5.1 fornece valores de ew para a pressão atmosférica normal, p = 1000 mbar, a expressão acima foi modificada para outros valores de p:

[ew(Th) - e(Ts)] = 1000p

A (Ts-Th)

⇒ e(Ts) = ew(Th) - 1000p

A (Ts-Th)

U = e/ew = e(Ts)/ew(Ts)

)]T-TA(1000

p - )T(e[ )T(e

1 = U hshwsw

⇒ (Fórmula do psicrómetro)

Assim, para se determinar U, usa-se um aparelho designado por psicrómetro (figura 5.2) que é composto por dois termómetros: o termómetro seco, que mede a temperatura do ar ambiente, Ts, e o termómetro húmido que mede a temperatura da camada evaporante, Th. O termómetro húmido tem o depósito de mercúrio envolvido por um pano que se mantém constantemente húmido por ligação com um depósito de água. Obtidos Ts e Th, p é lido num barómetro e ew(Th) e ew(Ts) são obtidos através da tabela 5.1.




O factor A chama-se constante do psicrómetro e depende do tipo e da colocação do aparelho: • psicrómetro de ventilação natural: colocado

num abrigo meteorológico, a ventilação do termómetro húmido é a ventilação natural do abrigo. Toma-se A = 0.79 mbar/°C;

• psicrómetro de funda: o termometro húmido dispõe dum cordão com comprimento de 0.5 m. Antes de medir Th, o operador movimenta-o à velocidade de 2 rotações/segundo. Nessas condições, toma-se A = 0.66 mbar/°C;

• psicrómetro de ventilação forçada: um ventilador faz passar o ar sobre o termómetro húmido à velocidade de 6 m/s. A = 0.67 mbar/°C.

Em Moçambique usam-se psicrómetros de ventilação natural.

Figure 5-3 - Psicrómetro

Figura 5.2 – Psicrómetro Note-se que foi considerada apenas a troca convectiva do calor, Qh, entre o meio ambiente e o psicrómetro. Como adiante se verá, verifica-se sempre também troca de calor por radiação. Pode-se evitar a recepção de radiação da atmosfera (de ondas curtas) colocando o psicrómetro num abrigo. Para evitar a emissão de radiação (de ondas longas) pelo próprio psicrómetro, seria necessário utilizar um tipo de psicrómetro com 'cortina polida'. A maioria dos psicrómetros em Moçambique não tem uma tal protecção, razão pela qual se deve contar com um erro de medição de cerca de 5% para valores normais de humidade. 5.2 DETERMINAÇÃO DA EVAPORAÇÃO EM SUPERFÍCIES LÍQUIDAS 5.2.1 Introdução Para a determinação da evaporação em superfícies líquidas existem vários métodos, dos quais os mais importantes são: • método de balanço hídrico; • método do balanço energético; • método da transferência da massa; • método de Penman; • medição directa. Estes métodos são abordados nos pontos seguintes deste capítulo.


5.2.2 Método do balanço hídrico Este método pode ser utilizado em lagos e albufeiras. A equação do balanço hídrico em termos de volumes de água escreve-se: E = I + P - O - ∆S - G, em que E é o volume evaporado, I o volume afluente ao lago, P o volume de precipitação, O o volume que sai do lago (efluente), ∆S a variação do volume armazenado e G o volume correspondente à infiltração e escoamento subterrâneo. Desde que todos os termos do 2º membro da igualdade se possam medir com precisão, o método fornece bons resultados. Normalmente, o termo mais difícil de obter é G (infiltração e escoamento subterrâneo). Sempre que se estime que G possa tomar valores da mesma ordem de grandeza que a evaporação, o método do balanço hídrico não deve ser utilizado pois o erro relativo com que a evaporação é estimada é grande. Surgem também, por vezes, problemas de ordem prática: nas albufeiras de Cahora- Bassa, Massingir e Corumana, o regolfo das albufeiras chega à fronteira pelo que uma estação de medição do volume afluente I teria de ser instalada já num país vizinho com todas as dificuldades que isso implica. Assim, nessas albufeiras a evaporação é estimada por outros métodos e o balanço hídrico é utilizado para calcular o volume afluente. 5.2.3 Método do balanço energético 5.2.3.1 Equação do balanço energético Assim como o balanço hídrico exprime a equação da continuidade aplicada ao volume de água contido num domínio, o balanço energético exprime a equação da continuidade aplicada à quantidade de energia num domínio como um lago ou uma albufeira. O balanço energético avalia os seguintes fluxos de energia: • radiação solar • energia armazenada • troca de energia entre a água e a atmosfera • troca de energia entre a água e a terra • energia gasta na evaporação. Considere-se então a figura 5.3 e as seguintes grandezas expressas em cal/cm2: Qs, Qsr, Qlw, Qh, Qe, Qv e ∆Q. A equação do balanço energético para a água para um dado intervalo de tempo escreve-se:



Qs - Qsr - Qlw - Qh - Qe + Qv = ∆Q

Figure 5-5 - Balanço energético

5.2.3.2 Radiação solar incidente Qs é a radiação solar incidente ou radiação global. A quantidade de energia solar que atinge o topo da atmosfera terrestre chama-se constante solar e designa-se por I0. A tabela 5.2 dá os valores de I0 em função da latitude e do mês (Dunne e Leopold, 1978). Qs é uma fracção de I0 que, após atravessar a atmosfera, incide sobre a superfície da água e é composta na sua quase totalidade por radiações com comprimentos de onda entre 0.3 e 3 µm. Tabela 5.2 Radiação solar média recebida num plano horizontal no limite superior da

atmosfera, I0 (cal/cm2/dia). Latitude Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. 70°N - 65 255 540 800 1000 870 670 400 140 5 - 60°N 75 205 400 655 860 975 925 750 500 275 110 55 50°N 200 350 540 750 910 985 950 820 620 430 155 175 40°N 355 490 650 820 880 985 960 870 740 550 395 325 30°N 500 620 750 870 945 975 955 900 795 670 540 365 20°N 640 725 820 895 930 930 930 900 850 760 660 610 10°N 755 820 870 895 885 870 870 885 880 830 770 730 0 855 885 895 870 820 790 795 840 880 885 860 840 10°S 930 930 885 810 730 685 705 770 845 900 920 930 20°S 985 940 855 740 630 570 595 680 790 900 965 990 30°S 1015 930 800 640 505 445 465 575 725 870 985 1030 40°S 1020 895 715 525 375 305 335 450 630 810 960 1045 50°S 1000 835 620 400 240 175 200 315 505 735 950 1040



Qs pode ser medido directamente através de instrumentos como o pirheliómetro ou o piranómetro (ver descrição e funcionamento em Lencastre e Franco, 1984). No entanto, são poucos frequentes as estações meteorológicas em que essa medição é feita. Faz-se então a determinação de Qs a partir de fórmulas obtidas a partir dos dados de medições directas de Qs. Duas das fórmulas mais utilizadas são as fórmulas de Angström e de Black. A fórmula de Angström é:

Qs = I0 (a + b Nn

)

em que n é o número de horas de insolação no período considerado, N é o número máximo possível de horas de insolação nesse período e a,b são parâmetros de ajustamento local. n é medido diariamente através dum heliógrafo (figura 5.4). Este aparelho é constituido por uma esfera de vidro óptico que concentra os raios solares sobre uma banda de papel fotosensível. Quando o sol brilha, a temperatura no foco é suficiente para carbonizar o papel o que não acontece com tempo nublado. O comprimento total de papel carbonizado indica o número de horas de sol nesse dia. O Instituto Nacional de Meteorologia (INAM) dispõe dum grande número de estações equipadas com heliógrafo. A partir dos registos de n é possível, por exemplo, obter valores médios da insolação em dados períodos do ano. Figura 5.4 – Heliógrafo

O número máximo possível de horas de insolação num certo intervalo de tempo, N, é função da latitude e da época do ano. A tabela 5.3 dá os valores mensais de N. A n/N chama-se insolação relativa. Considera-se que o seu valor é elevado se for superior a 0.8 (céu limpo); é baixo se for inferior a 0.6 (céu pouco nublado). Tabela 5.3 Duração da insolação mensal máximo possível (horas) Latitude Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. 50°N 265 280 366 415 480 490 495 450 380 330 274 252 40°N 303 300 370 400 445 450 455 425 375 345 300 290 30°N 324 314 370 388 425 420 430 410 370 353 320 316



20°N 341 324 370 378 407 400 410 400 366 360 335 338 10°N 360 327 370 370 390 380 390 385 366 366 352 356 0 375 340 375 363 375 363 375 375 363 375 363 375 10°S 388 350 378 355 363 346 360 364 360 380 378 396 20°S 410 360 378 350 346 328 340 344 360 388 393 414 30°S 430 370 380 342 330 306 328 345 360 404 410 435 40°S 466 380 385 334 310 280 302 330 360 415 432 463 50°S 490 403 387 320 276 242 266 315 356 427 465 508 A tabela 5.4 dá alguns valores dos parâmetros a e b apresentados por diversos autores. Para Moçambique recomenda-se usar os parâmetros segundo Glover et al (1958). Tabela 5.4 Valores das constantes empíricas a, b da fórmula de Angström Local a b Fonte Mundo 0.23 0.48 Black et al. (1954) Mundo 0.29 cos(latit.) 0.52 Glover et al.(1958) Camberra 0.25 0.54 Penman (1948) África Ocid. 0.12-0.26 *) 0.39-0.50*) Davies (1966) *) varia com o mês A fórmula de Black é: Qs = I0 (0.803 -0.340C - 0.458C2) em que C representa a nebulosidade média, expressa em décimos. A tabela 5.5 relaciona C, em décimos, com n/N. Tabela 5.5 Relação entre a nebulosidade e a insolação relativa _______________________________________________________________ C 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 n/N 0.95 0.85 0.80 0.75 0.65 0.55 0.50 0.40 0.30 0.15 0.00 5.2.3.3 Radiação solar reflectida Qsr é a radiação solar reflectida. É uma fracção pequena da radiação solar incidente. A parte que é reflectida depende da superfície sobre a qual a radiação incide. Essa característica de reflectividade duma superfície chama-se albedo, a. Qsr é dada por Qsr = a Qs Normalmente, considera-se para a água um valor entre 0.05 e 0.10, sendo o valor mais usual 0.06.



5.2.3.4 Radiação de ondas longas Qlw é a radiação de ondas longas ("long wave radiation"). Esta é a forma pela qual a Terra irradia para a atmosfera o calor acumulado. Parte desta radiação é absorvida pela atmosfera (pelo vapor de água, nuvens e dióxido de carbono) e enviada novamente para a Terra. Como é muito difícil medir esta radiação, tem-se procurado desenvolver expressões que a relacionem com variáveis medidas à superfície da Terra, das quais a mais influente é a temperatura. Uma dessas expressões é a equação de Brunt: Qlw = σ [Ts

4 - (c+d√e2)T24] (1 -aC),

em que σ = constante de Stefan-Boltzmann = 1.17*10-7 cal/cm2 K4 dia; Ts = temperatura da superfície da terra (K); T2 = temperatura do ar a 2 metros do solo (K); e2 = tensão do vapor a 2 metros do solo (mbar); C = nebulosidade, em décimos; a = constante dependente do tipo de nuvens: 0.25 para nuvens altas, 0.6 para nuvens médias, 0.9 para nuvens baixas; c, d = coeficientes empíricos que variam conforme o local (ver tabela 5.6). Tabela 5.6 Valores das constantes da equação de Brunt Local Suécia Áustria Argélia Califórnia Inglaterra França Índia c 0.43 0.47 0.48 0.50 0.53 0.60 0.62 d 0.082 0.061 0.058 0.032 0.065 0.042 0.029 Se não se dispuser de dados para o tipo de nuvens, pode-se tomar a = 0.8 ou, em alternativa, substituir o factor (1 - aC) por (0.1 + 0.9 n/N) em que n/N é a insolação relativa. Para c e d podem tomar-se os valores médios de 0.53 e 0.052 respectivamente. Uma outra equação empírica é a de Chang: Qlw = σ T2

4 (0.56 - 0.08√e2) (1 - aC) Também aqui se pode substituir (1 - aC) por (0.1 + 0.9 n/N). Segundo Dunne e Leopold (1978), os erros destas equações excedem frequentemente ± 25% em valores diários mas reduzem-se a ± 15-20% para valores mensais. 5.2.3.5 Radiação útil



A radiação útil, Qn, é a radiação efectivamente disponível para a evaporação. É a radiação global subtraída da radiação reflectida e da radiação de onda longa: Qn = Qs - Qsr - Qlw = Qs(1 - a) - Qlw A radiação útil pode ser medida directamente utilizando um radiómetro mas esse equipamento apenas existe num número restrito de estações meteorológicas. 5.2.3.6 Coeficiente de Bowen Viu-se já que a evaporação, ao provocar um abaixamento da temperatura, origina trocas de calor entre a superfície evaporante e a atmosfera. A relação entre a quantidade de calor transferida por trocas turbulentes com a atmosfera, Qh, e a quantidade de calor gasta na evaporação, Qe, é dada pelo coeficiente de Bowen, R. A energia gasta na evaporação, Qe, é igual ao produto da massa evaporada pelo calor latente da vaporização (l = 590 cal./g). Qe pode ser expresso por unidade de área. Qe = ρ l E cal/cm2 (com E = altura da água evaporada, em cm). Porque Qh = b(Th-Ts) Qe = ρ l E = a'[ew(Th) - e(Ts)]

)Te(-)T(eT-T

1000pA =

QQ = R

shw

sh

e

h

Note-se que numa situação de equilíbrio, quando não há radiação, seria Qh = -Qe e R = -1, como se viu ao deduzir a fórmula do psicrómetro. A definição e as grandezas das variáveis que intervêm no cálculo de R são as mesmas da referida fórmula do psicrómetro. 5.2.3.7 Energia aduzida A energia aduzida, Qv, representa a quantidade de calor transportada pelas massas de água que entram ou saem do lago. Qv é calculado a partir da massa m e da temperatura T do caudal afluente (ou efluente) em relação a uma temperatura arbitrada de referência (normalmente 0 °C). Como o calor específico da água, c, é, para as temperaturas normais, igual a 1 cal./g./°C, a energia aduzida será: Qv = c ρ Vaf (T - T0) = ρ Vaf (T -T0) cal em que Vaf é o volume da água que entra (se sai, toma-se V negativo), T a temperatura dessa água e T0 a temperatura de referência. Dividindo Qv pela área do lago, obtem-se o seu valor em cal/cm2.



5.2.3.8 Variação da energia armazenada ∆Q é a variação da energia armazenada no lago. Este valor é calculado em função da variação do volume e da temperatura da água: ∆Q = Qt+1 - Qt = c ρ [Vt+1 (Tt+1-T0) - Vt (Tt-T0)] cal Dividindo pela superfície do lago, obtem-se ∆Q expresso em cal/cm2. 5.2.3.9 Cálculo do balanço energético Como o que nos interessa é calcular E (altura de evaporação), pode-se reescrever a equação do balanço energético: Qs - Qsr - Qlw - Qh - Qe + Qv = ∆Q ⇒ Qe + Qh = Qs - Qsr - Qlw + Qv - ∆Q ⇒ Qe(1+R) = Qs - Qsr - Qlw + Qv - ∆Q

R+1Q-Q+Q = Q vn

e∆

Porque Qe = ρlE:

R)+l(1Q-Q+Q = E vn

ρ∆

O método do balanço energético aplicado a períodos de um mês com medição cuidadosa das várias grandezas pode conduzir a estimativas da evaporação com uma precisão de 5 a 10%. Trata-se, porém, dum processo muito dispendioso. Quando se utilizam equações empíricas, com períodos mensais, o erro andará na ordem de 10-20% o que é aceitável para aplicações práticas. 5.2.4 Método da transferência de massa O vento é um dos factores que exerce grande influência na evaporação. Então, por generalização da lei de Dalton, pode escrever-se: E = C f(u) [ew(Th)-e(Ts)] em que C é uma constante a determinar localmente, f(u) é uma função da velocidade do vento. C e f(u) têm de ser calibrados através dum outro método (balanço hídrico ou balanço energético). Dunne e Leopold (1978) apresentam um método simples para essa calibração em pequenos lagos e reservatórios, admitindo que: f(u) = u2,



em que u2 é a velocidade do vento a 2 m de superfície. Fazendo medições de u2, Th e Ts e das variações de nível do lago apenas devido à evaporação (i.e. subtraindo os efeitos dos escoamentos afluente e efluente), o gráfico de ∆h (cm/dia) versus u2[ew (Th)-e(Ts)] dá aproximadamente uma recta cujo declive é C. Com u2 em m/s, ew e e em mbar, Viessman et al. (1977) sugerem que C pode ser calculado por:

C = 0.0146/A0.05, em que A é a área da superfície líquida (km2). 5.2.5 Método de Penman Penman apresentou em 1948 um método de cálculo da evaporação combinando as aproximações do balanço energético e da transferência da massa. Devido às hipóteses restritivas que o método introduz, ele só deve ser aplicado a reservatórios e lagos poucos profundos. Penman desenvolveu o método para um lago tal que seja aceitável dizer que: ∆Q - Qv = 0 Se não houvesse energia aduzida, conviria tomar intervalos de tempo relativemente curtos (7 - 10 dias), para que ∆Q ≈ 0. Se houvesse energia aduzida, significaria que ∆Q = Qv, pois mudanças na energia acumulada no lago devem-se apenas ao calor aduzido pelas massas de água que entram ou saem do lago. Assim, a água evaporada é substituida pela mesma quantidade de água à mesma temperatura (ou por outra combinação volume-temperatura que apresente a adução da mesma quantidade de calor). A equação do balanço energético fica, nessas condições, simplificada Qn = Qh + Qe = Qe (1 + R) (cal/cm2), em que Qn = Qs - Qsr - Qlw. Dividindo por ρl (cal/cm3), virá em altura de água (em cm): N = E (1 + R), em que N = Qn/ρl Esta equação traduz o facto óbvio de que, não havendo variações na energia armazenada, a radiação útil é distribuida pela radiação necessária para a evaporação e pela radiação transferida para a atmosfera por trocas turbulentas. Penman considerou:



T-T

)T(e-)T(e dTde =

sh

swhw

s

w ≈∆

sendo ∆ a inclinação da curva de tensão do vapor à temperatura Ts. Já se sabe que (para uma pressão atmosférica de 1000 mbar):

)Te(-)T(eT-TA =

EH =

QQ = R

shw

sh

e

h

))Te(-)T(e)Te(-)T(e-(1A =

)Te(-)T(e)T(e-)T(eA =

EH = R

shw

ssw

shw

swhw

∆∆⇒

com E = C f(u) [ew(Th)-e(Ts)] . Se Th = Ts ⇒ ew(Th) = ew(Ts). Neste caso verifica-se evaporação isotérmica Ea. Então Ea é a evaporação hipotética que ocorreria se a temperatura da água fosse igual à do ar. Pela lei da transferência da massa seria: Ea = C f(u) [ew(Ts)-e(Ts)] O valor de C f(u) pode calcular-se com várias fórmulas empíricas. Penman propôs: Ea = 0.35 (0.5 + 0.54 u2) [ew(Ts) - e(Ts)], em que Ea = evaporação isotérmica (mm./dia.); u2 = velocidade do vento à altura de 2 metros do solo (m./s.); ew(Ts) e e(Ts) em mm Hg. ou Ea = (0.13 + 0.14 u2) [ew(Ts) - e(Ts)] com ew(Ts) e e(Ts) em mbar. Thornthwaite e Holzman desenvolveram uma fórmula mais sofisticada, com uma base física, analizando o processo de transporte turbulento:

])

zz([

uP

= f(u) C2

0

z2

a

ln

κερ

em que ρa = densidade do ar (g./cm3);



ε = ratio entre os pesos moleculares do vapor de água e do ar (= 0.622); κ = constante de Von Kármán (= 0.41); uz = velocidade do vento à altura z (m./s.); z0 = rugosidade da superfície (para água cerca de 0.05 cm, se não há vento). Da termodinámica e da meteorologia sabe-se que:

)cmg( 10*0.3484 = )

mkg(

TP*0.3484 =

RTP = 3

3-3aρ

com P em mbar e T em K. Substituindo a última equação na fórmula de Thornthwaite - Holzman, obtem-se a fórmula de Van Bavel:

)]Te(-)T(e[)]

zz([

uT

3.64 = E ssw

o

2z

sa

ln

em que Ea = evaporação isotérmica (cm/dia); Ts = temperatura do ar (K); uz = velocidade de vento (km/dia) medida a uma altura z acima do solo

(normalmente 2 m.); zo = rugosidade da superfície (m.); ew = tensão do vapor saturado (mbar); e = tensão do vapor (mbar). Então:

)Te(-)T(e)Te(-)T(e =

EE

shw

sswa

)EE-(1A =

EH a

∆

Substituindo H por N - E, pode reescrever-se a fórmula:

1+

A

E+A

N = E

a

∆

∆

que é a fórmula de Penman para P = 1,000 mbar.



A∆

é o parâmetro adimensional de Penman, dado na tabela 5.7.

Tabela 5.7 Parâmetro adimensional de Penman. T (°C) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ∆/A 0.67 0.90 1.23 1.61 2.14 2.77 3.57 4.57 5.70 7.10 8.77 A fórmula de Penman é válida para P = 1,000 mbar. Para P ≠ 1,000 basta substituir na fórmula A

por A' = A 1000P

. A∆

é calculado para uma temperatura T= 2T+ sT h .

De todos os métodos analíticos, o método de Penman é aquele que oferece o melhor compromisso entre uma base teórica suficientemente sólida e a facilidade de aplicação prática. O método deve ser usado para períodos da ordem de 7-10 dias e nunca em períodos superiores a 1 mês (para que ∆Q ≈ 0). 5.3 MEDIÇÃO DIRECTA DA EVAPORAÇÃO Para além dos métodos analíticos referidos nos pontos anteriores, a evaporação pode ser medida directamente. Os instrumentos mais usados para esse efeito são o evaporímetro ou atmómetro e a tina evaporimétrica. 5.3.1 Medição com evaporímetro O evaporímetro é um instrumento que mede a evaporação latente, i.e., o poder evaporante da atmosfera. A evaporação latente é definido como a evaporação máxima duma superfície saturada, plana, horizontal e negra, exposta às condições meteorológicas (energia solar, vento, temperatura, humidade relativa) naturais do meio onde se pretende estudar a evaporação. O evaporímetro não mede, portanto, directamente a evaporação da superfície líquida embora esta esteja certamente relacionada com a evaporação latente.




Figure 5-8 - Evaporímetro

A figura 5.5 representa dois tipos de evaporímetros frequentemente usados: "Black Bellani" e o "Piche". O "Black Bellani" segue a definição dada para a evaporação latente. Tem uma placa de porcelana porosa e negra, com 7.5 cm de diâmetro, permanente humidecida através do seu contacto com um recipiente que é alimentado por um reservatório graduado. É possível ler diariamente no reservatório a altura da água evaporada através da placa porosa. O evaporímetro "Piche" utiliza um disco de papel poroso (papel de filtro) em lugar da placa negra. O disco está preso por uma mola a um tubo graduado com água que mantem o disco permanentemente humidecido. A perda de água evaporada através do disco pode ser lida diariamente no tubo graduado. Em Moçambique, apenas se tem utilizado o evaporímetro "Piche". 5.3.2 Medição com tina evaporimétrica A tina evaporimétrica permite medir directamente a evaporação duma superfície líquida, simulando (embora com algumas limitações importantes que adiante se verão) a situaçáo real. A tina é um reservatório aberto, cheio de água e exposto às condições atmosféricas. Existem vários padrões de tina, sendo os mais conhecidos: • a tina de classe A do US Weather Bureau, EUA; • a tina GGI-3000 da União Soviética; • a tina Symons, utilizada na RAS; • a tina Colorado, utilizada nos EUA; • a tina flutuante, utilizada pelo United States Geological Survey (USGS), EUA.



De todas elas, a mais frequentemente utilizada nos países ocidentais é a tina de classe A que é também a utilizada em Moçambique.

Figure 5-10 - Tina evaporimétrica

A tina GGI-3000 é uma tina enterrada no solo, tem uma forma composta cilídrico-cónica, com uma área à superfície de 3,000 cm2 (D = 61.8 cm.) e uma altura da parte cilídrica de 0.60 m. A tina Symons é também uma tina enterrada, cilíndrica, com 1.83 m. (6 pés) de diâmetro e 0.61 m. de profundidade. Figura 5.6 – Tina evaporimétrica Também a tina Colorada é uma tina enterrada, de secção quadrada, com 0.914 m. de lado (3 pés) e 0.457 m. de profundidade. A tina flutuante do USGS tem dimensões iguais às da tina Colorado. A tina de classe A do USWB está representada na figura 5.6. Trata-se de um tanque circular, construido em chapa de aço galvanizado, assente sobre um estrado de madeira, com as dimensões constantes da figura. O nível da água na tina deve ser sempre mantido a uma distância de 5 a 7.5 cm do bordo superior da tina. Cada tipo de tina apresenta determinadas desvantagens:

- Tinas enterradas - as tinas enterradas (com a boca aproximadamente ao nível da superfície do

terreno) recolhem muito lixo; - quaisquer perdas de água (devido a um furo na chapa) não se detectam facilmente; - as trocas de calor através das paredes da tina dependem do solo circundante e das

suas condições de humidade. b) Tinas flutuantes

- a tina flutuante pode receber ou perder água devido à ondulação; - a sua operação é difícil.

c) Tinas acima do solo

- a tina acima do solo indica uma evaporação que é muito influenciada pela radiação solar recebida através das paredes e pelas trocas de calor através delas.

No entanto, a experiência indica ser preferível a utilização de tinas colocadas acima do solo, como a tina de classe A do USWB.


A medição da evaporação numa tina é feita normalmente uma vez por dia, sendo o processo de medição o seguinte:

- instala-se na tina uma escala graduada à qual fica ligado um estilete móvel. O zero da escala corresponde à posição em que a ponta do estilete toca na superfície da água;

- após o período em que se registou a evaporação (um dia), a superfície da água terá baixado. Esse abaixamento é medido deslocando o estilete até a ponta tocar novamente na superfície da água e lendo o deslocamento na escala graduada. Essa altura é a altura da evaporação;

- caso nessa altura se tenha registado precipitação, é preciso somar à altura determinada anteriormente o valor da precipitação. Note-se que, neste caso, pode acontecer que a superfície da água esteja acima e não abaixo do nível de referência.

Como se disse anteriormente, a evaporação medida numa tina evaporimétrica simula melhor a realidade da evaporação a partir duma superfície líquida do que a medição num evaporímetro como o “Piche”, sendo por isso preferível utilizar dados de tina, sempre que possível. Como principais dificuldades à utilização da tina podem apontar-se:

- o problema do seu transporte para os lugares mais distantes; - os problemas de manutenção (pintura metálica para protecção contra a ferrugem); - o problema de evitar que pássaros e outros animais utilizem a tina como

bebedouro, assim falseando os resultados das medições. Em relação a este último aspecto, usa-se por vezes uma rede metálica a cobrir a tina. Esta solução traz, porém, o inconveniente de alterar o valor da radiação recebida pela tina. A evaporação medida na tina pode, no entanto, diferir significativamente da evaporação numa superfície líquida dum lago ou duma albufeira sujeita às mesmas condições climáticas. Há um conjunto de factores que explicam essa diferença:

- a radiação que a tina recebe pela superfície lateral e pelo fundo é uma proporção muito mais elevada da radiação recebida pela superfície líquida do que no caso dum lago;

- a evaporação numa superfície líquida cria o chamado “efeito de oásis” (efeito local de diminuição da temperatura e aumento da humidade relativa). Se a camada saturada que se forma é removida pelo vento, o processo de evaporação recomeça. A remoção da camada saturada acontece muito mais facilmente na tina do que num lago em virtude da pequena dimensão da superfície da tina;

- os bordos da tina criam uma turbulência adicional, aumentando o efeito do vento na remoção da camada saturada;



- devido ao pequeno volume de água que a tina contem, a temperatura da água na tina é homogénea, não existindo a estratificação térmica característica dos lagos e albufeiras.

Todos estes factores induzem a que a evaporação na tina seja bastante superior à evaporação que se verifica no lago. Por este motivo, a evaporação medida na tina deve ser multiplicada por um coeficiente de redução para se obter a evaporação num lago ou albufeira. Este coeficiente é chamado de “coeficiente de tina” e é inferior à unidade. Pode-se aferir o valor do coeficiente da tina (que varia conforme o local e a época do ano) se se dispuser de algum outro método preciso para a determinação da evaporação como, por exemplo, o método do balanço energético. Lencastre e Franco (1984) referem os seguintes valores do coeficiente da tina utilizados em Portugal:

- Outubro, Novembro: 0.7; - Dezembro a Março: 0.6; - Abril, Maio: 0.7; - Junho a Setembro: 0.8.

Ainda não foi feita (1996) nenhuma aferição em Moçambique. Sugere-se por isso a adopção do valor médio de 0.7para o coeficiente da tina, valor comummente adoptado para a tina de classe “A” em zonas onde tal coeficiente não foi determinado. 5.3.3 Rede evaporimétrica Segundo dados de Loureiro (1984), existiam em Moçambique 132 estações dispondo de tina evaporimétrica ou evaporimetro “Piche” ou ambos, com a seguinte distribuição: Total >20 anos 10-20 anos <10 anos Tina de classe “A” 14 4 7 3 Evaporimetro “Piche” 82 43 31 8 Tina + evaporimétro 36 10 21 5 122 estações pertenciam ao INAM e 10 à DNA. Tomadas em conjunto, elas conduziam a uma densidade de 5,900 Km2/estação, o que se pode considerar uma densidade bastante baixa. Devido ao pequeno número de estações dotados de tina (50), há todo o interesse de tentar correlacionar os dados de tina com os de evaporimetro para se poder estimar a evaporação de superfícies líquidas a partir da evaporação latente medida pelo evaporimétro. A correlação teria de ser estabelecida usando as estações comuns (dispondo de tina + evaporimetro). Tal estudo foi realizado por Carvalho e Loureiro (1974) mas usando poucas estações (9) e dispondo de poucos anos de dados comuns (4 a 6). Obtiveram-se coeficientes de correlação iguais ou superiores a 0.7 em 7 dos 9 casos. Interessa, portanto, retomar e estender o estudo realizado.



5.4 O PROCESSO FÍSICO DA TRANSPIRAÇÃO Os seres vivos transpiram, ie, perdem água por evaporação a partir de poros microscópicos situados na pele ou nas folhas. A transpiração é um processo quantitativamente importante quando se considera a abundância geral da vegetação. O sistema de raízes duma planta absorve água do solo, a maior parte da qual não é utilizada pela planta, perdendo-se para a atmosfera através dos poros nas folhas. A transpiração é, portanto, afectada pelos mesmos factores que influenciam a evaporação (radiação solar, temperatura, vento, humidade relativa). No entanto, para além destes factores, a transpiração depende também de:

- características da planta (sistema de raízes, tipo de folhas, etc); - densidade das plantas; - teor de humidade do solo.

No que respeita ao teor da humidade do solo, verifica-se que a transpiração duma planta vai decrescendo com o teor de humidade do solo a partir da situação de capacidade de campo e cessa quase totalmente quando se atinge o ponto de emurchecimento. A capacidade de campo é o teor de humidade dum solo inicialmente saturado após ter cessado a percolação, correspondendo à quantidade de água que fica retido no solo contra a acção da gravidade. O ponto de emurchecimento é o teor de humidade mínimo para o qual as plantas ainda conseguem ir buscar água no solo, correspondendo a tensões de sucção da ordem de 15 atmosferas. Quando o teor de humidade é inferior, as plantas já não conseguem exercer a sucção necessária e murcham. 5.5 EVAPOTRANSPIRAÇÃO 5.5.1 Aspectos gerais É quase impossível medir a componente da transpiração a não ser em condições restritas de laboratório. Por isso, procura-se estimar conjuntamente a água perdida para a atmosfera por transpiração das plantas e por evaporação do solo e superfícies líquidas circundantes, fenómeno que se designa por evapotranspiração. Distingue-se a evapotranspiração potencial e a evapotranspiração efectiva ou actual.



A evapotranspiração potencial é a evapotranspiração que se registaria se não houvesse carência de água. Neste caso a transpiração das plantas atinge o seu valor máximo. A evapotranspiração potencial então depende de:

- factores climáticos (radiação solar, temperatura, vento, humidade relativa, pressão atmosférica);

- características da planta (sistema de raízes, tipo de folhas, estádio de crescimento, etc);

- densidade das plantas. Sempre que o teor de humidade do solo se encontra abaixo da capacidade de campo, a evapotranspiração que se verifica é inferior à evapotranspiração potencial. Designa-se por evapotranspiração efectiva aquela que se regista nas condições actuais de humidade do solo. Depende então, além dos factores que influenciam a evapotranspiração potencial, também da humidade do solo. A evapotranspiração efectiva, ETe, é sempre inferior à evapotranspiração potencial, ETp, podendo considerar-se a seguinte formulação genérica:

)n-nn-n( f ET = ET

0r

0wpe

em que nw, n0 e nr, são respectivamente o teor da humidade do solo, o ponto de emurchecimento e a capacida de campo. 5.5.2 Determinação da evapotranspiração potencial Tal como para a evaporação, também se usam métodos analíticos e medições para determinar a evapotranspiração potencial. No entanto, devido a maior complexidade do fénomeno da evapotranspiração, verifica-se um maior recurso a métodos semi-empíricos. Os métodos abordados nos próximos parágrafos são:

- método do balanço energético; - método de Penman; - medição directa com lisímetros ou medição indirecta com tina evaporimétrica; - métodos semi-empíricos, como o método de Thornthwaite e de Blaney-Criddle.

5.5.2.1 Método do balanço energético

O método do balanço energético referido em 5.2.3 pode também ser utilizado para a determinação da evapotranspiração potencial. A equação do balanço energético para uma superfície revestida de vegetação e para um dado intervalo de tempo escreve-se: Qs – Qsr – Qlw – Qh – Qet + Qv = ∆Q



em que Qs = radiação solar incidente; Qsr = radiação solar reflectida; Qsr = aQs em que a é o albedo; Qlw = radiação de ondas longas; Qh = calor transferido por trocas turbulentas; Qet = energia gasta na evapotranspiração; Qv = energia aduzida ao solo e plantas; é habitualmente desprezável; ∆Q = variação da energia armazenada no solo e vegetação; pode-se considerar

nula para períodos de tempo não inferiores a 1 dia. Desprezando Qv e ∆Q, a equação do balanço energético torna-se: Qn = Qs – Qsr – Qlw = Qh + Qet = Qet (1+R), em que R é o coeficiente de Bowen. Dividindo por ρl, obtemos ETp = N/(1+R), com ETp = Qet/ρl e N = Qn/ρl. Tabela 5.8 Valores médios diários de albedo para diversos tipos de cobertura do solo Tipos de superfície Albedo Local Água 0.05-0.10 Vários Solo nu (humedecido) 0.11 Europa Ocidental Solo nu (seco) 0.18 Europa Ocidental Floresta de abetos 0.05-0.08 Europa Ocidental Pinhal 0.10-0.12 Europa Ocidental Bambus 0.12 Quénia Floresta de resinosas 0.14 Quénia Floresta tropical de folhosas 0.18 Quénia Ananás 0.05-0.08 Havai Cana de açucar 0.05-0.18 Havai Chá 0.16 Quénia Batata 0.15-0.27 Europa Ocidental Centeio e trigo 0.10.0.25 Europa Ocidental Milho 0.12-0.24 América do Norte Beterraba sacarina 0.14-0.25 Europa Ocidental Ervas de pequeno porte 0.14-0.25 Vários Algodão 0.17-0.25 Vários Luzerna 0.19-0.25 Vários Couve Lombarda 0.19-0.28 Europa Ocidental Culturas hortícolas diversas 0.25 América do Norte No caso das culturas, as variações dos valores do albedo resultam da variação do poder reflectivo durante o período vegetativo das culturas.



5.5.2.2 Método de Penman Também o método de Penman pode ser aplicado para a estimação da evapotranspiração potencial. Partindo da equação do balanço energético referida no parágrafo anterior, chega-se a

1+

A

E+A

N = ET

a

p ∆

∆

em que N, ∆/A e Ea têm o significado já anteriormente definido. Para o cálculo do valor da evaporação isotérmica Ea pode-se utilizar a fórmula de Van Bavel:

)T(eU)-(1 )]

zz([

uT

3.64 = E sw

o

2z

sa

ln

em que Ea = evapotranspiração isotérmica (cm/dia); Ts = temperatura do ar (K); uz = velocidade de vento (km/dia) medida a uma altura z acima da vegetação.

Normalmente, a medição faz-se 2 m acima do solo; zo = rugosidade da superfície. Toma-se zo ≈ 0.1 da altura da vegetação; U = humidade relativa (adimensional); ew = tensão do vapor saturado (mbar). 5.5.3 Medição da evapotranspiração 5.5.3.1 Medição com evapotranspirómetros ou lisímetros Os evapotranspirómetros ou lisímetros são tanques com fundo semi-permeável, enterrados no chão e contendo solo e vegetação nas mesmas condições que o terreno circundante. Para minorar o efeito da fronteira e evitar restringir o crescimento das plantas, o tanque deve ser tão grande e profundo quanto possível, sendo normal que os lisímetros possuam capacidades que podem ir desde cerca de 1 m3 até cerca de 150 m3. A figura 5.7 representa diversos tipos de lisímetros.



Figure 5-12 - Tipos de lisímetros O lisímetro do tipo a) determina a evapotranspiração a partir da equação de balanço hídrico: Evapotranspiração = (Precipitação + Irrigação) - Drenagem Nesta equação não se tem em conta a variação do armazenamento de água no solo pelo que estes lisímetros devem ser usados quanto esta variação for pequena. Os lisímetros dos tipos b) e c) medem a variação do peso registado o que equivale a uma variação do volume de água armazenada no solo, entrando seguidamente com a equação do balanço hídrico: Evapotranspiração = (Precipitação + Irrigação) - Drenagem + Variação do armazenamento Através da irrigação, o solo é mantido em condições próxima da saturação, pelo que o valor determinado corresponde a evapotranspiração potencial. Os lisímetros são instrumentos pouco práticos e apenas são utilizados normalmente em grandes explorações agrícolas e centros de investigação. 5.5.3.2 Medição com tina evaporimétrica Embora a tina meça a evaporação duma superfície líquida, é possível usar os seus valores para estimar a evapotranspiração potencial multiplicando-os por determinados factores de correcção. A tabela 5.9 (adaptada a partir de FAO, 1977) apresenta esses factores de correcção em função da colocação da tina no terreno, humidade relativa e velocidade média diária do vento. Os coeficientes apresentados variam de 0.35 a 0.85.



Tabela 5.9 Coeficiente de tina evaporimétrica classe "A" para diferentes coberturas do solo, diferentes valores de humidade média relativa e velocidade média do vento.

Tina evaporimétriva Caso A: Tina num terreno com Caso B: Tina num terreno classe "A" uma cultura verde de pequeno porte inculto e seco *) Humidade média Baixa Média Elevada Baixa Média Elevada relativa (%) < 40 40-70 > 70 < 40 40-70 > 70 Velocidade média Extensão da cultura Extensão do terreno diária do vento a barlavento da inculto a barlavento (km/dia) tina (m) da tina (m) 1 0.55 0.65 0.75 1 0.7 0.8 0.85 Fraco (<175) 10 0.65 0.75 0.85 10 0.6 0.7 0.8 100 0.7 0.8 0.85 100 0.55 0.65 0.75 1000 0.75 0.85 0.85 1000 0.5 0.6 0.7 1 0.5 0.6 0.65 1 0.65 0.75 0.8 Moderado 10 0.6 0.7 0.75 10 0.55 0.65 0.7 (175-425) 100 0.65 0.75 0.8 100 0.5 0.6 0.65 1000 0.7 0.8 0.8 1000 0.45 0.55 0.6 1 0.45 0.5 0.6 1 0.6 0.65 0.7 Forte (425-700) 10 0.55 0.6 0.65 10 0.5 0.55 0.65 100 0.6 0.65 0.7 100 0.45 0.5 0.6 1000 0.65 0.7 0.75 1000 0.4 0.45 0.55 1 0.4 0.45 0.5 1 0.5 0.6 0.65 Muito forte 10 0.45 0.55 0.6 10 0.45 0.5 0.55 (>700) 100 0.5 0.6 0.65 100 0.4 0.45 0.5 1000 0.55 0.6 0.65 1000 0.35 0.4 0.45 *) Para áreas extensas de terrenos incultos, o coeficiente de tina deve ser reduzido em

20% em condições de temperaturas elevadas e ventos fortes, e da 5 a 10% em condições de valores moderados de velocidade de vento, temperatura e humidade.

5.5.3.3 Método de Thornthwaite O método de Thornthwaite é um método semi-empírico que foi derivado por correlação entre temperaturas do ar e evapotranspiração potencial a partir dum grande número de medições das mesmas. O procedimento é o seguinte: a) determina-se o índice de calor mensal ji de cada mês:

)5T( = i

1.5

ij em que Ti é a temperatura média mensal do mês i (°C);

b) determina-se o índice de calor anual:



J j = i

12

1=1∑

c) determina-se a evapotranspiração potencial no Equador, ETp,0 (cm/mês):

]J

10T[ 1.6 = a

p,0ET

em que T é a temperatura média do mês (°C); e a = 0.49 + (17900J - 77.1 J2 + 0.675 J3) * 10-6. d) determina-se a evapotranspiração potencial no local de latitude φ através de: ETp,φ = K ETp,0, em que K é função da latitude e da época do ano, conforme se apresenta na tabela 5.10. Tabela 5.10 Factor de correcção da duração mensal de insolação, K (fórmula de

Thornthwaite). Latitude Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. 60°N 0.54 0.67 0.97 1.19 1.33 1.56 1.55 1.33 1.07 0.84 0.58 0.48 50°N 0.71 0.84 0.98 1.14 1.28 1.36 1.33 1.21 1.06 0.90 0.76 0.68 40°N 0.80 0.89 0.99 1.10 1.20 1.25 1.23 1.15 1.04 0.93 0.83 0.78 30°N 0.87 0.93 1.00 1.07 1.14 1.17 1.16 1.11 1.03 0.96 0.89 0.85 20°N 0.92 0.96 1.00 1.05 1.09 1.11 1.10 1.07 1.02 0.98 0.93 0.91 10°N 0.97 0.98 1.00 1.03 1.05 1.06 1.05 1.04 1.02 0.99 0.97 0.96 0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 10°S 1.05 1.04 1.02 0.99 0.97 0.96 0.97 0.98 1.00 1.03 1.05 1.06 20°S 1.10 1.07 1.02 0.98 0.93 0.91 0.92 0.96 1.00 1.05 1.09 1.11 30°S 1.16 1.11 1.03 0.96 0.89 0.85 0.87 0.93 1.00 1.07 1.14 1.17 40°S 1.23 1.15 1.04 0.93 0.83 0.78 0.80 0.89 0.99 1.10 1.20 1.25 50°S 1.33 1.19 1.05 0.89 0.75 0.68 0.70 0.82 0.97 1.13 1.27 1.36 5.5.3.4 Método de Blaney - Criddle O método de Blaney - Criddle foi desenvolvido para a região ocidental dos Estados Unidos e depois foi sendo aplicada a outras regiões áridas no mundo, registando-se resultados favoráveis. O método determina a evapotranspiração potencial num dado mês através da fórmula ETp = C [p (0.46 T + 8)] + d, em que



ETp = evapotranspiração potencial (mm/dia); T = temperatura média diária do mês considerado (°C); p = valor médio diário de horas de insolação (% do número anual de horas,

ver a tabela 5.11); C, d = factores que introduzem a influência das condições locais de humidade

relativa, horas de insolação e vento. Tabela 5.11 Valor médio diário (em percentagem, p, do número total anual de horas de

insolação) para diferentes latitudes. Norte Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Latitude Sul *) Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. 60° 0.15 0.20 0.26 0.32 0.38 0.41 0.40 0.34 0.28 0.22 0.17 0.13 58° 0.16 0.21 0.26 0.32 0.37 0.40 0.39 0.34 0.28 0.23 0.18 0.15 56° 0.17 0.21 0.26 0.32 0.36 0.39 0.38 0.33 0.28 0.23 0.18 0.16 54° 0.18 0.22 0.26 0.31 0.36 0.38 0.37 0.33 0.28 0.23 0.19 0.17 52° 0.19 0.22 0.27 0.31 0.35 0.37 0.36 0.33 0.28 0.24 0.20 0.17 50° 0.19 0.23 0.27 0.31 0.34 0.36 0.35 0.32 0.28 0.24 0.20 0.18 48° 0.20 0.23 0.27 0.31 0.34 0.36 0.35 0.32 0.28 0.24 0.21 0.19 46° 0.20 0.23 0.27 0.30 0.34 0.35 0.34 0.32 0.28 0.24 0.21 0.20 44° 0.21 0.24 0.27 0.30 0.33 0.35 0.34 0.31 0.28 0.25 0.22 0.20 42° 0.21 0.24 0.27 0.30 0.33 0.34 0.33 0.31 0.28 0.25 0.22 0.21 40° 0.22 0.24 0.27 0.30 0.32 0.34 0.33 0.31 0.28 0.25 0.22 0.21 35° 0.23 0.25 0.27 0.29 0.31 0.32 0.32 0.30 0.28 0.25 0.23 0.22 30° 0.24 0.25 0.27 0.29 0.31 0.32 0.31 0.30 0.28 0.26 0.24 0.23 25° 0.24 0.26 0.27 0.29 0.30 0.31 0.31 0.29 0.28 0.26 0.25 0.24 20° 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.30 0.29 0.28 0.26 0.25 0.25 15° 0.26 0.26 0.27 0.28 0.29 0.29 0.29 0.28 0.28 0.27 0.26 0.25 10° 0.26 0.27 0.27 0.28 0.28 0.29 0.29 0.28 0.28 0.27 0.26 0.26 5° 0.27 0.27 0.27 0.28 0.28 0.28 0.28 0.28 0.28 0.27 0.27 0.27 0° 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 *) Latitude de hemisfério Sul: desfasar de 6 meses, como indicado. A figura 5.8 permite obter directamente o valor de ETp a partir do conhecimento de p (0.46 T + 8). Quer o método de Thornthwaite quer o método de Blaney - Criddle foram derivados para condições específicas que, quando não verificadas, podem originar erros grosseiros.



Figure 5-15 - Ábaco de cálculo para o método de Blaney-Criddle



5.6 DETERMINAÇÃO DA EVAPOTRANSPIRAÇÃO EFECTIVA 5.6.1 Método de Thornthwaite-Mather O cálculo da evapotranspiração efectiva torna-se muito complexo devido à interacção de condições meteorológicas com as condições do solo e as características da vegetação. Recorre-se por isso a métodos simplificados, sendo um dos mais utilizados o método de Thornthwaite - Mather. Em casos especiais ainda pode-se aplicar o método do balanço hídrico ou o método do balanço energético. No que diz respeito ao método de balanço energético, pode-se referir que foram recentemente desenvolvidos métodos para determinar a evapotranspiração efectiva a partir de imagens de satélite. Trata-se porém dum método bastante dispendioso por necessitar dum grande número de imagens. O método de Thornthwaite - Mather pode ser aplicado para estimar a evapotranspiração efectiva em áreas onde o nível da água subterrânea é profundo. O método baseia-se na equação do balanço hídrico aplicado à camada superficial do solo: P - ETe - Q - R = ∆Ss + ∆Sso, em que P = precipitação; ETe = evapotranspiração efectiva; Q = escoamento superficial; R = recarga da água subterrânea; ∆Ss = variação do armazenamento superficial; ∆Sso = variação do armazenamento no solo. O método parte da seguinte hipótese: só há escoamento superficial e/ou recarga da água subterrânea e/ou variação do armazenamento superficial quando o teor de humidade do solo atingiu a capacidade de campo e a evapotranspiração efectiva igualou a evapotranspiração potencial. A fracção da humidade do solo utilizável pelas plantas designa-se por nu = nw - n0, em que nw e n0 são respectivamente o teor da humidade do solo e o teor de humidade no ponto de emurchecimento. nu é um valor adimensional (fracção). Se se multiplicar pela profundidade do solo atingida pelas raízes, esse valor passa a se expresso em altura de água, Nu. A evapotranspiração efectiva é dada em cada peródo de tempo por ETe = ETp se P ≥ ETp



ETe = P - ∆Sso se P < ETp (Obs: note-se que ∆Sso < 0) Quando P ≥ ETp diz-se que há superavit hídrico SH: SH = P - ETp - ∆Sso Esta equação significa que a precipitação garante a evapotranspiração potencial e o aumento do armazenamento no solo; o excedente constitui o SH, que resulta em escoamento superficial e/ou recarga da água subterrânea e/ou armazenamento superficial. ∆Sso = P - ETp (ou seja, SH = 0) até Sso = Nr (Nr é a capacidade de campo, expressa em altura, sendo o limite superior de Sso). A tabela 5.12 apresenta alguns valores característicos da capacidade de campo, nr, e o ponto de emurchecimento, n0, para vários solos. Tabela 5.12 Valores característicos da capacidade de campo e do ponto de

emurchecimento Solo: Capacidade de campo (%) Ponto de emurchecimento (%) Argila 45 30 Argila siltosa 40 25 Areia siltosa 28 18 Areia fina 15 8 Areia 8 4 Quando P < ETp diz-se que há défice hídrico DH: DH = ETp - P + ∆Sso (∆Sso < 0) Neste caso não há escoamento nem recarga da água subterrânea. Numa sucessão de i períodos com défice hídrico, ∆Sso é calculado do seguinte modo:

0<L(i) (j)]ET-[P(j) = L(i) p

i

1=j∑

L(i) representa o valor da excedência acumulada da evapotranspiração potencial sobre a precipitação num período com défice hidrico.

e N = (i)S NL(i)

uso u

1)-(iS - e N = (i)S soNL(i)

uso u∆ A aplicação sequencial ao longo do tempo do método de Thornthwaite - Mather (também chamado de método do balanço sequencial) permite assim calcular a evapotranspiração efectiva.



As figuras 5.9 e 5.10, extraídas de Gonçalves (1974), representam a evapotranspiração potencial calculada pelo método de Thornthwaite e a evapotranspiração efectiva calculada pelo método de Thornthwaite – Mather, para valores climáticos anuais médios de Moçambique. Para este último caso, o autor adoptou os valores de Nr = 75 mm para solos arenosos, Nr = 100 mm para solos areno-argilosos e Nr = 150 mm para solos argilosos. A comparação das duas figuras mostra que a ETe se aproxima de ETp em zonas de precipitação elevada, afastando-se bastante dela e assemelhando-se aos valores de precipitação em zonas de baixa precipitação como o interior da Província de Gaza e o sul da Província de Tete.



Figure 5-16 - Evapotrans;piração potencial calculada em Moçambique



Figure 5-17 - Evapotranspiraçao efectiva, calculada pelo método de Thornthwaite-Mather



EXERCÍCIOS 1. As temperaturas lidas num psicrómetro foram Ts = 35 °C e Th = 31 °C. P = 1000 mbar.

Calcule U. 2. Calcule o valor médio da radiação global em Maputo em Maio, sabendo que n/N = 0.70 e

C = 0.35 3. Calcule a radiação de ondas longas em Maputo em Maio sabendo que:

- a temperatura média do ar é de 20 °C; - a humidade relativa média é de 0.75; - a temperatura média da superfície da terra é de 24 °C.

4. Enumere todos os instrumentos necessários para determinar a evaporação com o método

de Penman. 5. Calcule a evaporação média dum pequeno reservatório em Maputo, durante o mês de

Maio, sabendo que a velocidade do vento a 2 m de solo é de 12 km/hora. Utilize os dados dos exemplos 2 e 3.

6. Calcule a evapotranspiração potencial para uma cultura hortícola em Maio de Maputo.

Utilize vários métodos e compare os resultados. - altura da vegetação = 25 cm;

- albedo = 0.25; - latitude (Maputo) = 26°S; - n/N = 0.4; - humidade relativa = 0.75; - u2 = 10 km/h.; - temperatura de Outubro a Setembro (°C): 23/24/25/26/26/25/24/21/19/19/20/22.

7. Um solo tem uma capacidade de campo de 25 % e um ponto de emurchecimento de 15

%, enquanto a zona de raízes tem uma profundidade de 100 cm. Num dado ano, verificaram-se os seguintes valores mensais da precipitação e evapotranspiração potencial:

Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set P(mm) 87 105 142 232 195 136 76 66 38 18 13 46 ETp (mm) 96 135 146 160 142 91 62 29 18 22 34 68 a) Estime os valores mensais da evapotranspiração efectiva. b) Qual é o mês mais crítico para as plantas ? c) Qual é o mês mais crítico para o sistema de drenagem ?


Infiltração 6-1

6 INFILTRAÇÃO 6.1 O PROCESSO FÍSICO DA INFILTRAÇÃO Define-se infiltração como sendo o movimento de água para dentro do solo por efeito da gravidade e da acção capilar. O movimento de água já no interior do solo designa-se por percolação. Quando ocorre uma chuvada, parte ou totalidade da água penetra no solo. A equação do balanço hídrico na superfície do terreno é: P - I - Q = ∆S em que ∆S é a variação do armazenamento à superfície do terreno. A equação pode ser escrita como: Q = P - I - ∆S, a 6.1 so de infiltração Figur – O proces

Figura 6.1 Infiltração

o que significa que apenas ocorre escoamento superficial quando P > I + ∆S, ou seja, quando a precipitação excede a infiltração e se encheram as depressões superficiais. Como a capacidade de armazenamento à superfície do terreno é normalmente bastante pequena, pode-se aceitar que ocorre escoamento superficial quando a precipitação excede a infiltração. Define-se capacidade de infiltração como sendo a máxima intensidade de precipitação que o solo pode absorver sem que se inicie o escoamento superficial. Exprime-se em mm/h. A capacidade de infiltração dum solo varia com o tempo, decrescendo durante a chuvada. A água que atinge o solo penetra nele através do poros devido à acção da gravidade. A entrada da água faz-se mais facilmente pelos poros de maiores dimensões onde a resistência ao escoamento é mais pequena. Por outro lado as forças de capilaridade provocam o movimento da água verticalmente, para baixo ou para cima, ou horizontalmente sendo a sua acção tanto mais importante quanto menor for o diamêtro dos poros. Assim, a acção da capilaridade permite retirar água dos poros maiores para os mais pequenos. A infiltração envolve, portanto, três processos interdependentes: entrada da água no solo, armazenamento no solo e percolação. Note-se que, como o movimento da água no interior do solo (percolação) é bastante lento, a capacidade de infiltração fica bastante reduzida quando o solo se aproxima da saturação na camada logo abaixo da superfície.


Infiltração 6-2

6.2 FACTORES QUE INFLUENCIAM A CAPACIDADE DE INFILTRAÇÃO A capacidade de infiltração tem normalmente um valor alto no início da chuvada e decresce substancialmente à medida que a precipitação vai ocorrendo em virtude da progressiva saturação do solo. Se a chuvada for prolongada, a capacidade de infiltração tende para um valor constante que corresponde à velocidade de percolação da água no solo, valor esse bastante baixo. A figura 6.2 representa a evolução da infiltração e do escoamento superficial durante uma chuvada longa de intensidade constante.

Figura 6.2 – Evolução da infiltração durante uma chuvada .

Há uma série de factores que influenciam a capacidade de infiltração dum solo ao longo duma chuvada. Os princípios são os seguintes: 0) textura do solo – se um solo tem uma textura grosseira, como os solos arenosos, os poros

são grandes pelo que a entrada da água no solo é fácil e a velocidade de percolação é grande, significando uma elevada capacidade de infiltração. Pelo contrário, num solo de textura fina, como uma argila, os poros são muito pequenos e dificultam a entrada da água e o movimento da água no interior do solo.

O quadro 6.1 apresenta valores mínimos (constantes) da capacidade de infiltração, f, para vários tipos de solos e após longos períodos de humedecimento (solos cultivados), cf. Ven Te Chow (1964);


Infiltração 6-3

Quadro 6.1 Capacidade de infiltração para vários tipos de solos (cultivados)

Grupo de solos

Características do solo fmin (mm/h)

A

B

C

D

Areias profundas, loesses profundos, solos agregados com matéria orgânica

Loesses pouco profundos e solos franco-arenosos

Solos francos-argilosos, franco-arenosos pouco

profundos, solos com baixo teor em matéria orgânica, solos com elevado teor de argila

Solos com grande percentagem de matérias

expansíveis, argilas plásticas pesadas, alguns solos salinos

8-12

4-8

1-4

0-1

b) duração da chuvada - se uma chuvada durar bastante tempo, a capacidade de infiltração vai-se reduzindo devido à progressiva saturação da camada superficial do solo; c) retenção superficial - a retenção da água em pequenas depressões à superfície do terreno retarda o início do escoamento superficial e, deste forma, aumenta a infiltração (embora não influencie directamente a capacidade de infiltração); d) humidade do solo no início da chuva - quanto mais húmido está o solo no início da chuvada menor é a capacidade de infiltração e a infiltração. Se o solo estiver muito seco, não só o efeito do armazenamento da água na camada superficial do solo é mais importante mas também o humedecimento inicial provoca um forte efeito de capilaridade que reforça a acção da gravidade para facilitar a infiltração; e) compactação devido à chuva - o impacto das gotas de água em solos de textura fina destroi os agregados estruturais de partículas e origina uma crosta superficial em que as partículas finas preenchem os poros maiores, reduzindo substancialmente a capacidade de infiltração; f) compactação devido ao tráfego - o tráfego pode ser de veículos, homens ou animais (como em estradas de terra, campos de jogos, pastos muito utilizados). A consequência é uma grande redução da capacidade de infiltração; g) cobertura vegetal - tem um efeito importante no aumento da infiltração. Primeiro, porque amortece o impacto das gotas de chuva; segundo, porque favorece a actividade de escavação do solo pelos insectos que se movem ao longo das raízes da plantas; terceiro, porque retarda o início do escoamento superficial, funcionando como uma retenção. Nem todos os tipos de cobertura vegetal são igualmente eficientes: a substituição de áreas de floresta por áreas de culturas normalmente reduz bastante a capacidade de infiltração;


Infiltração 6-4

h) urbanização - introduz largas zonas impermeáveis (estradas de asfalto, passeios de cimento, coberturas de edifícios), onde a capacidade de infiltração é nula. A mesma precipitação origina maior volume de escoamento superficial (menor infiltração) e maior caudal de pico (porque o escoamento encontra menor resistência e converge mais depressa na secção de saída) como se ilustra na figura 6.3.

Figura 6..3 – Impacto da urbanização na infiltração e no escoamento superficial

6.3 MEDIÇÃO DA CAPACIDADE DE INFILTRAÇÃO A capacidade de infiltração pode ser medida com infiltrómetros que são tubos abertos nas extremidades, com 10 a 30 cm de diâmetro, que se enterram entre 5 e 50 cm no solo. Coloca-se água no tubo com uma altura de 1 a 2 cm que se mantêm a nível constante, através da ligação a um reservatório graduado. A água necessária para manter o nível constante define a capacidade de infiltração. Os valores obtidos são pouco rigoroso sendo 2 a 10 vezes superiores aos que se verificam durante uma precipitação nas mesmas condições do solo. No caso de pequenas bacias hidrográficas, pode-se estimar a capacidade de infiltração durante uma chuvada medindo a precipitação (ponderada) sobre a bacia e medindo o caudal correspondente. O volume de precipitação não escoado corresponde à infiltração. A capacidade de infiltração (média) durante a chuvada será o volume de infiltração dividido pela área da bacia e pela duração da chuvada.


Infiltração 6-5

6.4 CÁLCULO DA INFILTRAÇÃO Diversas fórmulas têm sido propostas para a determinação da infiltração, como as fórmulas de Horton e Philip. 6.4.1 Fórmula de Horton A fórmula de Horton descreve o decréscimo da capacidade de infiltração com o tempo pela expressão:

f = fc + (f0-fc)e-kt, em que f0 = valor inicial da capacidade de infiltração, para t=0; fc = valor mínimo da capacidade de infiltração; k = constante característica do solo; t = tempo desde o início da chuvada. Embora simples, a fórmula de Horton não é de fácil aplicação devido à dificuldade de se conhecerem os valores de f0 e k. O quadro 6.2 apresenta alguns valores da capacidade de infiltração ao fim de 1 hora de chuva. Quadro 6.2 Valores da capacidade de infiltração.

Características do solo Infiltração f1 (mm/h)

Solos arenosos Solos francos e siltosos Solos argilosos e franco-argilosos

Elevada Média Baixa

12.5 - 25.0 2.5 - 12.5 0.25 - 2.5

O volume infiltrado desde o início da chuvada obtem-se por integração:

1)-e(k

f-f - tf = fdt = F kt-c0c

t

0∫

6.4.2 Fórmula de Philip A fórmula de Philip escreve-se como:

A + tS21 = f 2

1-

A fórmula parece ajustar-se melhor às observações do que a fórmula de Horton, sem no entanto resolver a dificuldade principal que é a determinação dos parâmetros que nelas intervêm.


Infiltração 6-6

Quer a fórmula de Horton quer a de Philip são válidas apenas enquanto a intensidade de precipitação excede a capacidade de infiltração. Quando isso não acontece, a capacidade de infiltração deixa de decrescer e aumenta novamente porque a percolação da água no solo faz com que este deixe de estar saturado. 6.5 CÁLCULO DA PRECIPITAÇÃO ÚTIL PELO MÉTODO DO ÍNDICE Φ Designa-se por precipitação útil aquela parcela da precipitação que origina escoamento superficial sendo a parte restante da precipitação aquela que se infiltra. Um método pouco rigoroso mas prático e por isso muitas vezes utilizado é o do índice-φ. Este método assume que a infiltração se processa a uma taxa constante durante toda a chuvada, hipótese que se torna mais válida para chuvadas longas ou chuvadas em que o solo já se encontre muito húmido. Para se determinar o índice-φ para uma dada chuvada, determina-se a altura total de infiltração (por diferença entre a altura total de precipitação e a altura correspondente ao volume total escoado). Em seguido divide-se o diagrama da intensidade da precipitação (hietograma) em duas partes (por uma linha horizontal), de tal maneira que a parte do hietograma acima da linha corresponde à altura do escoamento superficial e a parte abaixo da linha corresponde à altura total da infiltração (ver a figura 6.4). A linha horizontal representa uma intensidade φ, que é, portanto, a intensidade média (constante) de infiltração. Figura 6.4 – Determinação do índice-φ

Figura 6.4 Determinação do indice-φ.

Calculando o índice-φ para várias chuvadas, pode-se obter um valor médio. Esse valor médio pode ser usado para o problema inverso: dada uma precipitação, saber qual a precipitação útil. Para tal, basta subtrair ao hietograma o valor constante do índice-φ. 6.6 PERCOLAÇÃO E DRENAGEM A partir da água infiltrada, a humidade no solo vai aumentando. À medida que o solo se torna mais húmido, aumenta a sua capacidade para propagar a humidade até que consegue propagá-la Manual de Hidrologia

Infiltração 6-7

à mesma velocidade com que ela entra no solo. Quando se atinge esta situação, o teor de humidade da camada superficial mantem-se constante e esse teor vai-se propagando para baixo, pondo sucessivas camadas com um teor de humidade tal que a condutividade hidráulica (será definida mais tarde) iguala a capacidade de infiltração. Podem ser consideradas as seguintes zonas (ver a figura 6.5): - zona de saturação, à superfície, com solo saturado. A espessura desta zona é pequena (≈ 1 cm); - zona de transição, com grande variação do teor de humidade. A espessura desta zona é pequena (≈ 5 cm); - zona de transmissão, não saturada, em crescimento constante. O teor de humidade varia pouco; - zona de humedecimento. O teor da humidade aumenta com o avanço da infiltração. Essa zona é separada do solo seco pelo frente de humedecimento.

Figura 6.5 Propagação da humidade no solo.

Figura 6.5 – Propagação da humidade no solo Quando a infiltração cessa, o solo começa a drenar e reduz a velocidade de percolação que tende para zero à medida que o teor de humidade se aproxima da capacidade de campo. Nas camadas em que se atingiu a capacidade de campo, cessa o escoamento de água para baixo. A água que entretanto percolou e drenou vai atingir uma zona inferior saturada, que constitui uma reserva de água subterrânea ou aquífero. Esta quantidade de água percolada representa a recarga do aquífero. A figura 6.6, retirada de Dunne e Leopold (1978), mostra a evoluçao do teor de humidade do solo a partir do momento de cessação da chuva e consequentemente da infiltração.


Infiltração 6-8


Figura 6.6 Evolução do teor de humidade após a cessação da chuva.

A medição do teor de humidade dum solo pode fazer-se por diversos processos: • por secagem: recolhem-se várias amostras de solo; cada amostra é pesada, secada e

novamente pesada; a diferença de pesos corresponde ao volume de água contida no solo; • através duma sonda de neutrões: a sonda emite neutrões rápidos; parte deles colide com os

átomos de hidrogénio de água e são retardados; um aparelho mede a percentagem de neutrões lentos que será tanto maior quanto maior a humidade do solo;

• através do tensiómetro: o tensiómetro é um bolbo de porcelana porosa, cheio de água, ligado a um manómetro; colocando o bolbo em contacto com o solo não saturado, a água passa do bolbo para o solo, reduzindo a pressão medida no manómetro.

Pode-se estimar a capacidade de absorção do solo para uma dada chuvada. Conhecendo o teor de humidade do solo ou admitindo que este está à capacidade de campo, o volume de poros vazios por unidade de área (expresso em altura) é igual ao produto da profundidade do solo não saturado pela diferença entre a porosidade e a capacidade de campo. Este volume representa a capacidade de absorção do solo. O mesmo princípio pode ser aplicado para o estudo da absorção pelo solo de efluentes de fossas sépticas.

Infiltração 6-9

Exercício Numa área de 250 hectares foram registadas 3 chuvadas (as alturas foram medidas em mm). Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Chuvada 1 2 6 7 10 5 4 4 2 0 Chuvada 2 4 9 15 12 5 0 0 0 0 Chuvada 3 3 8 11 4 12 3 0 0 0 O volume total do escoamento superficial resultante destes chuvadas foi respectivamente de 35,000; 57,500; e 46,250 m3. Calcule o valor médio do índice φ.


Escoamento Superficial 8-1

8 ESCOAMENTO SUPERFICIAL

8.1 O PROCESSO FÍSICO DO ESCOAMENTO SUPERFICIAL Designa-se por escoamento superficial o escoamento que ocorre sobre a superfície do terreno ou na camada do solo superficial. Este escoamento tem inicialmente características laminares (pequena altura de água sobre uma grande superfície de terreno) tendendo depois a concentrar-se em linhas de água cada vez mais bem definidas e com percursos estáveis. Como já se viu anteriormente, quando ocorre precipitação esta começa por infiltrar-se no solo. À medida que a precipitação prossegue, a capacidade de infiltração do solo vai diminuindo exponencialmente até que passa a ser inferior à intensidade da precipitação. A água que não se infiltra começa por preencher as pequenas depressões do terreno (armazenamento em depressões, “depression storage”) donde irá mais tarde evaporar ou infiltrar-se. Quando esta capacidade de armazenamento se esgota, começa a formar-se uma lâmina de água com alguns milímetros de altura que, por acção da gravidade, começa a escoar-se com velocidades relativamente baixas (10 a 500 m/hora). Este escoamento designa-se por escoamento superficial laminar (“overland flow”). À medida que ele se vai concentrando (em linhas de água, ribeiros, rios), deixa de ter características laminares e passa a ser um escoamento unidimensional, com maiores velocidade e alturas de água. À medida que a precipitação prossegue, ela transforma-se quase totalmente em escoamento superficial laminar em virtude do estado de saturação do solo. Aumenta a espessura da lâmina de água que funciona como um armazenamento que mantém o escoamento superficial por um curto período de tempo após a cessação da precipitação (inclui-se aqui também o efeito do armazenamento na própria rede hidrográfica) – armazenamento superficial, “surface detention”. Para além, do escoamento superficial laminar e do armazenamento superficial, também contribuem para o escoamento superficial em linhas de água duas outras componentes: o escoamento sub-superficial ou hipodérmico; e o escoamento subterrâneo. O escoamento sub-superficial surge em áreas de solo permeável mas com declive apreciável que faz com que a água infiltrada percole através do solo em direcção paralela à superfície; ou em áreas permeáveis que têm subjacente um estrato impermeável a pequena profundidade. Tratando-se de escoamento através do solo, a velocidade é mais baixa do que a do escoamento superficial laminar. Finalmente, a água infiltrada que atinge o nível freático constitui a recarga do aquífero, elevando o nível freático ou a carga piezométrica. Se o aquífero é interceptado por uma linha de água, ele escoa para essa linha de água um caudal superior ao anterior à recarga. As figuras 8.1 a 8.4 ilustram estes conceitos. Na figura 8.1, i(t) é a intensidade de precipitação e f(t) é a capacidade de infiltração que vai decrescendo com o tempo, tendendo para um valor constante. Nem toda a precipitação que excede a capacidade de infiltração origina escoamento superficial: a área a sombreado escuro corresponde a precipitação que preenche o armazenamento em depressões. A parte a tracejado corresponde à precipitação útil que origina o escoamento superficial.





Em termos da utilização da água superficial, o maior interesse reside nos caudais que se escoam nas linhas de água permanentes, embora o escoamento superficial laminar tenha também importância para diversos problemas (simulação hidrológica, rega por gravidade, erosões).

8.2 MEDIÇÃO DE CAUDAL O escoamento superficial exprime-se como um caudal ou um volume. O caudal é normalmente expresso em m3/s (ou em l/s para caudais muito pequenos). O volume de escoamento num dado período de tempo T é dado por V = ∫T Q dt O volume expressa-se normalmente em m3, utilizando-se 103 m3 ou 106 m3 quando se trata de grandes volumes escoados. Designa-se por caudal específico o caudal por unidade de área de bacia de drenagem da secção onde o caudal é observado. Existem diversos processos para a medição do caudal numa dada secção dum rio ou dum canal. Os que se utilizam em Moçambique são o método da secção – velocidade e o método estrutural. Para além destes, podem referir-se ainda o método da diluição e o método de ultra-sons.

8.2.1 Método da secção-velocidade O método consiste em determinar a área da secção da vazão e as velocidades num certo número de pontos dessa secção de vazão de forma a poder fazer-se uma aproximação numérica do integral que define o caudal que atravessa a secção Q = ∫A v dA Este é o método normalmente mais utilizado, não apenas em Moçambique mas em todo o Mundo. Na prática, o método da secção-velocidade consiste na execução dos seguintes passos (veja-se a figura 8.5):

a) mede-se a largura superficial L da secção transversal b) divide-se essa largura L em n faixas iguais de largura l = L/n , sendo nmin ≅ 15-20 e

lmax ≅ 10-20 m, procurando-se que o caudal em cada faixa não seja superior a 10% do caudal total Q

c) faz-se o levantamento da secção medindo as alturas de água h1, h2, .... hn-1 (ho = hn = 0)

d) determina-se a velocidade média em cada uma das verticais 1 a n-1 pelo processo que será explicado mais adiante



e) obtém-se o caudal qi em cada faixa multiplicando a área da faixa pela velocidade média vi na respectiva vertical

f) o caudal total é dado por Q = ∑ qi

Utilizam-se diversas expressões para a aproximação numérica do integral Q = ∫A vdA. 1ª) qi – caudal que passa entre as verticais i -1 e i

([ ]iiiiiiiii vhvhvhvhlq 1111 )26 −−−− +++=

i = 1, n ho = hn = vo = vn = 0

∑=

=n

iqiQ

1

Esta formula é considerada a mais precisa para o cálculo do caudal mas é pouco utilizada. 2ª.) A seguinte fórmula dá normalmente resultados com boa precisão

( )11 24 −− ++= iiiii hhhvlq

∑=i

iqQ

i = 1, n-1 ho = hn = 0 As duas seguintes fórmulas dão aproximações menos rigorosas:



3ª.) Formula de HERSCHY qi = l vi hi

ii

qQ ∑=

i = 1, n-1 4ª.) Fórmula de LENCASTRE

)2

()2

( 11 −− ++= iiii

ihhvv

lq

ii

qQ ∑=

i = 1, n ho = hn = vo = vn = 0

Normalmente, as diferenças nos resultados são muito pequenas pelo que se podem usar as fórmulas mais simples.

8.2.2 Medição de velocidade Para a utilização das fórmulas anteriormente referidas há que se fazer a determinação da velocidade média em cada vertical. Com efeito, a distribuição de velocidades numa secção transversal está longe de ser uniforme – em termos genéricos pode dizer-se que a velocidade pontual cresce com o afastamento em relação ao leito e às margens, como se pode ver na figura 8.6.

Embora se pudesse esperar que a velocidade pontual máxima se registasse num ponto da superfície livre da água, medições rigorosas têm mostrado que ela se regista um pouco abaixo da superfície livre, por causa da tensão tangencial criada pela resistência do ar ao escoamento.



Assim, em cada vertical existe um perfil de velocidades como o da figura 8.7, em que a velocidade cresce desde 0 junto ao leito até um valor máximo próximo da superfície. O aumento da velocidade é rápido junto ao leito e lento junto à superfície. Teóricamente, para se obter a velocidade média em cada vertical teria de se traçar o perfil de velocidades a partir da determinação das velocidades pontuais num certo número de pontos; e obter o valor médio v. Como, no entanto, a determinação de cada velocidade pontual é um processo trabalhoso e moroso, procurou-se minimizar esse trabalho, fazendo medições de velocidade apenas em 1 ou 2 pontos em cada vertical. Para isso, admite-se que o perfil de velocidades segue uma lei parabólica, hipótese que tem uma base teórica e uma boa correspondência com os dados de observação. y = b v2 yav = maxmax hav =

vhahhvÁrea max23

maxmaxmax 32

32

===

max21

max 32

32 vahv ==

Pode-se determinar o valor de y0 tal que vyv =)( 0

maxmax0max0 44.094

32 hhyhaya ==⇒= Figura 8.7 – Perfil de velocidades

Se se medir a velocidade a uma profundidade de (1-0.44) hmax = 0.56 hmax ≅ o.6 hmax, o valor obtido é igual à velocidade média . Por vezes, opta-se por obter a velocidade média a partir das medições das velocidades em 2 pontos, a profundidade 0.2 hmax e 0.8 hmax. Com efeito,

maxmaxmax 894.08.0)2.0( hahahv ==

maxmaxmax 447.02.08.0( hahahv == A média das duas velocidades é praticamente igual à velocidade média.



A medição da velocidade pontual é feita com um aparelho chamado molinete. O molinete é um instrumento provido duma hélice ou duma roda de copos cuja rotação é proporcional à velocidade do escoamento, figura 8.8.

Para medir a velocidade num certo ponto da secção transversal, basta colocar o molinete nesse ponto e medir o número de rotações efectuado em certo tempo. Convém que o intervalo do tempo não seja muito curto, nunca inferior a 1 minuto. A velocidade é dada por: v = a + b.n em que v – velocidade pontual, m/s n – nº de rotações medido, rpm

a,b – parâmetros cujos valores são fornecidos pelo fabricante ou resultados do processo de calibração.

Os parâmetros a, b devem ser periodicamente aferidos (p.ex, uma vez por ano) visto que o próprio funcionamento em condições normalmente turbulentas de escoamento altera os seus valores. Essa aferição exige uma estrutura de calibração onde se segue um processo inverso do da medição: a velocidade é conhecida e os parâmetros a e b não são. Para isso, é preciso dispôr dum bom canal de calibração de molinetes. Neste canal move-se um carro cuja velocidade é rigorosamente controlada por equipamento electrónico. O molinete a calibrar está solidário com o carro. A água no canal está parada pelo que a velocidade medida pelo molinete é a velocidade do movimento do carro. O carro pode deslocar-se a uma velocidade pré-fixada (normalmente entre 0.1 e 10 m/s). Fixando uma certa velocidade, regista-se o número n de rpm dado pelo molinete; repete-se o processo para vários valores de velocidade. Finalmente os parâmetros a e b são obtidos a partir da recta de regressão linear simples de v sobre n.



Um outro processo para medição da velocidade é a utilização de flutuadores. Como o próprio nome indica, flutuador é qualquer objecto que flutua e que se desloca com a corrente. Este processo de medição é pouco rigoroso e só se utiliza: • para medições expeditas quando o rigor não é muito importante • quando não se disponha dum molinete • quando não haja condições para medir com molinete (p.exº durante uma cheia)

O flutuador mede a velocidade na superfície livre (y = hmax). Embora teoricamente se tenha estabelecido que

supmax 32

32 vvv ≅=

toma-se na prática sup75.0 vv = visto vsup ser na realidade inferior a vmax devido à tensão tangencial criada pela resistência do ar. Para se fazer uma medição com flutuador, escolhem-se duas secções num troço recto do rio ou canal e a uma distância L entre si; lança-se o flutuador a montante da primeira secção e mede-se o tempo t que ele leva a percorrer a distância L. Ter-se-á então

tLve

tLv 75.0sup ==

−

A medição de velocidades pode fazer-se • a vau: este processo é bastante prático quando o escoamento se processa com pequenas

alturas e baixas velocidades, não devendo ser utilizado se a altura do escoamento for superior a 1 metro

• de barco: este processo torna-se bastante mais moroso pela necessidade de posicionar o barco na posição correcta para cada medição de velocidade pontual

• a partir de um teleférico: para secções largas e sujeitas a cheias de rios importantes pode ser vantajosa a instalação dum teleférico do qual se suspende o molinete. Este processo é expedito, preciso e funciona durante as cheias (o que não acontece com os dois métodos anteriores) mas o investimento inicial necessário é alto.

• A partir duma ponte: as pontes são secções privilegiadas de medição, podendo esta ser feita com rapidez e rigor mesmo durante cheias.

Durante as cheias o escoamento é fortemente turbulento pelo que convém medir a velocidade em vários pontos em cada vertical de forma a que os perfis de velocidades fiquem bem definidos.



8.2.3 Método estrutural para a medição de caudal O método estrutural para a medição de caudal toma esse nome porque assenta na utilização duma estrutura hidráulica, como o descarregador duma barragem ou um canal Parshall, em que há uma relação fixa entre altura e caudal, obtida teoricamente ou por modelo reduzido em laboratório (p. exº o LEM obteve essa relação para o descarregador situado em Goba através de ensaios em modelo reduzido). Além do canal Parshall e dos descarregadores de barragens e açudes (descarregadores de soleira espessa) também se utilizam por vezes descarregadores de soleira delgada, os quais são construídos especificamente para a medição de caudais. Constituem condições para a utilização do método estrutural:

- que se disponha duma estrutura permanente e estável - que a estrutura não modifique senão localmente as condições de escoamento - que a estrutura tenha altura suficiente para não ser afectada pelas condições do

escoamento a jusante - que a estrutura tenha uma forma adequada para permitir que as medições se façam

com boa precisão. Na figura 8.9, o descarregador triangular permite melhor precisão que o rectangular na medição de caudais pequenos.

Como se disse atrás, o método estrutural utiliza a relação biunívoca entre caudal e altura do escoamento através da estrutura para obter o caudal a partir duma simples medição da altura: h → Q = f (h). A relação Q = f (h) pode ser estabelecida teoricamente para as estruturas com formas estudadas e por via laboratorial, utilizando modelos reduzidos, nos outros casos. Por exemplo, para um descarregador onde o escoamento se processa sem afogamento tem-se:

2/32 hgBQ µ= em que µ é o coeficiente de vazão, B o comprimento equivalente do descarregador e h a altura de água acima da soleira lida a alguma distância (para montante) do descarregador. Nos casos mais correntes, µ varia entre 0.40 e e 0.55 o que faz com que µ√2g esteja entre 1.8 e 2.5. No caso dum canal Parshall, ter-se-ia



Q = (µ + η B) h ξ O método estrutural apresenta algumas limitações:

- devido ao seu custo, só se instalam estruturas destinadas especificamente à medição em secções relativamente apertadas o que exclui os troços terminais dos rios onde as secções são habitualmente muito largas;

- os custos de instalação são elevados (construção da estrutura) em comparação com o método da secção-velocidade, embora os custos de operação sejam mais baixos;

- frequentemente, a relação Q = f (h) deixa de ser válida durante as cheias (afogamento do descarregador).

De qualquer forma, sempre que uma estrutura esteja disponível (como é o caso dos descarregadores das barragens) ela deve ser aproveitada para a medição de caudais. Em Moçambique, para além da utilização dos descarregadores das grandes barragens (Pequenos Libombos, Corumana, Massingir, Cahora Bassa), foram montados descarregadores para medição de caudais (p. exº em Goba e Movene) e canais Parshall (p. exº no rio Bobole, próximo de Marracuene).

8.2.4 Método da diluição para a medição de caudal O método da diluição tem uma utilização restrita e não tem sido aplicado em Moçambique. Ele consiste na injecção dum caudal constante q duma solução muito concentrada dum determinado produto químico (inexistente ou com pequena concentração na água em condições naturais) numa secção a montante e na medição da concentração desse produto a jusante, após se completar o processo de difusão. O cálculo do caudal Q é feito considerando que a concentração inicial do produto químico era ci, a concentração final medida a jusante era cf e co era a concentração natural do produto na água. Então, a equação da continuidade aplicada ao produto permite escrever.

of

fifoi cc

ccqQcQqcQcq

−

−=→+=+ )(

Isto implica que ci deve ser bastante alto para que cf seja claramente superior a co. Os traçadores mais utilizados são o dicromado de potássio que é vermelho (a intensidade do vermelho é proporcional à concentração); o cloreto de sódio; e elementos radioactivos (luminóforos – as amostras de água recolhidas a montante e a jusante e sujeitas emitiem radiação luminosa proporcional à concentração). O método da diluição apresenta sérias limitações: - ci tem de ser elevado o que implica bastantes custos (instalação de injecção, material)



- tem de se manter a injecção durante bastante tempo para garantir o estabelecimento de regime permanente

- os traçadores utilizados apresentam impactos ambientais negativos (cor, radiação) e são caros. Tal não é o caso do cloreto de sódio mas este tem a desvantagem de existir em concentrações relativamente elevadas na água, dando resultados pouco precisos.

É possível aplicar o método sem se ter regime permanente mas tal obriga a aceitar hipóteses sobre o processo de difusão, introduzindo uma fonte adicional de erro no cálculo do caudal.

8.2.5 Método dos ultra-sons para medição de caudal O método dos ultra-sons permite determinar a velocidade (média) a uma dada profundidade y. Fazendo essa determinação para diversos valores de y, o caudal é obtido somando os caudais parciais obtidos através dos produtos das velocidades pelas respectivas áreas de influência. Este método está ainda numa fase que se pode considerar experimental e a sua utilização presente está limitada a canais artificiais com fundo horizontal, secção simétrica não erodível e sem vegetação e num alinhamento rectilíneo. Tem custos elevados de investimento e de O&M. A velocidade da água a uma certa profundidade y é determinada a partir dos tempos de propagação de impulsos sonoros através da água emitidos e recebidos por emissores e reflectores de som colocados nas paredes do canal, figura 8.10.

Figura 8.10 – Medição de caudal com ultra-sons

Quando há escoamento, a velocidade de propagação do som na água no sentido de 1 para 2 difere da velocidade no sentido de 2 para 1. Designando por c a velocidade de propagação do som na água parada, chega-se às seguintes expressões em função da composição de velocidades:

−=→

−=

+=

2121

11cos2coscos ttLV

VcLt

VcLt

θθθ



Este método nunca foi utilizado em Moçambique.

8.3 CURVA DE VAZÃO O conhecimento das disponibilidades de recursos hídricos superficiais exige a determinação diária do caudal que atravessa uma dada secção transversal dum rio. Em períodos em que o caudal pode variar bastante ao longo dum dia, como acontece durante as cheias, torna-se necessário dispôr de mais do que um registo diário do caudal, frequentemente requerendo-se 3, 4 ou mesmo 6 medições diárias. Com a excepção do método estrutural (que, como se viu, está limitado às situações pouco frequentes em que se dispõe duma estrutura descarregadora), os restantes métodos de medição de caudal (secção-velocidade, diluição) exigem pessoal especializado a nível médio (hidrometrista) e cada medição demora horas. Não é portanto viável medir diariamente caudais nas muitas secções dos rios do país em que tal seria necessário. Procura-se então estabelecer em cada secção de interesse uma relação entre o caudal Q que passa na secção e a altura do escoamento h, relação que é, em certas condições, biunívoca. Designa-se por curva de vazão a função Q (h) que permite obter o caudal a partir da correspondente altura do escoamento. Note-se que a utilização do método estrutural exige o estabelecimento da relação Q = Q (h). Uma vez definida a curva de vazão, o problema da medição de caudal transforma-se num problema bastante mais simples que é o da medição do nível da água do rio - medição que pode ser feita por uma pessoa bastante menos qualificada que um hidrometrista. Mede-se então diariamente (ou várias vezes por dia durante as cheias) o nível no rio, obtendo-se a altura do escoamento; a função Q (h) determina os correspondentes valores de caudal.

8.3.1 Estabelecimento duma curva de vazão O estabelecimento da curva de vazão numa dada secção dum rio é feito a partir duma série de medições de caudal, feitas ao longo dum ano hidrológico. As medições devem ser executadas em períodos onde se verifiquem diferentes alturas do escoamento, desde alturas muito reduzidas em época de estiagem até alturas elevadas durante cheias, cobrindo assim uma grande gama de caudais. Ao conjunto de pares (Q, h) resultante dessas medições ajusta-se uma expressão geral do tipo

Q = a (h – ho)b em que a, b – parâmetros de ajustamento

ho – leitura da escala hidrométrica que corresponde a caudal nulo, chamado zero da escala

Esta função Q (h) de tipo exponencial corresponde bastante bem às observações de campo.



Os parâmetros a e b são obtidos com relativa facilidade por meio de regressão linear trabalhando no espaço logarítmico. ln Q = ln a + b ln (h-h0) que é a equação duma recta em espaço logarítmico.

Caso a secção de medição e o troço do rio imediatamente a montante e a jusante sejam estáveis (não sofrendo processos de erosão e deposição de sedimentos) a mesma curva de vazão pode manter-se válida para vários anos hidrológicos. No entanto, é preciso que se façam medições de caudal em cada ano hidrológico que permitam verificar se a curva de vazão ainda continua a ser válida. Não é demais salientar a importância de se medirem caudais tão altos quanto possível e da necessidade de rigor na execução das medições. A utilização da curva de vazão para o cálculo de caudais a partir da medição de alturas de escoamento não levanta nenhumas dificuldades quando essas alturas (e portanto os correspondentes caudais) não excedem os máximos valores das medições utilizadas para derivar a curva de vazão; no entanto, a extrapolação da curva de vazão para além dos valores medidos (que é necessária nas situações de cheias) colocam algumas dificuldades.

8.3.2 Extrapolação da curva de vazão para caudais altos (cheias) É muito difícil medir caudais durante cheias: a medição é perigosa por causa da grande altura e velocidade do escoamento, além de dificuldades agravadas de acesso à secção de medição. A curva de vazão estabelecida para uma determinada gama de caudais não deve ser extrapolada para um caudal muito superior ao máximo caudal medido, por um lado porque podem verificar-se mudanças bruscas na forma da secção, figura 8.12; por outro, porque haver grandes modificações na rugosidade do leito, sobretudo quando o escoamento ultravaza o leito menor, figura 8.13.



Diversas vias têm sido propostas para estender a curva de vazão para caudais e alturas superiores aos máximos medidos. Apresentam-se de seguida algumas dessas vias. 1º Processo) Para o domínio da curva de vazão em que há medições de caudal, determinam-se as funções U(h) e R (h). A conjunção destas duas curvas permite determinar a função U(R), representada aproximadamente por uma recta em papel log-log. Verifica-se que esta relação U (R) em papel log-log se mantém aproximadamente linear para caudais altos. Então, conhecido o nível h da cheia, pode-se determinar o correspondente raio hidráulico R, e daí U = U (R) e Q = UA. Infelizmente, a relação U (R) não se mantém linear no espaço logarítmico quando a secção inclui a planície de inundação. 2º Processo) Consiste essencialmente em utilizar a fórmula de Manning- Strickler Q = Ks A R2/3 J1/2 Neste processo aceita-se como aproximação suficiente que J = Jo. No caso de haver inundação das margens, a secção é dividida em partes, obtendo-se uma rugosidade equivalente neq. O valor de Ks é calibrado para os mais altos valores de Q medidos. 3º Processo) Consiste em estimar o caudal duma cheia real a partir das marcas deixadas pela cheia em árvores, casas, etc. Tomam-se 2 secções distanciadas de pelo menos 75 vezes a profundidade média do escoamento. A capacidade de vazão (“conveyance”) duma secção é dada por

32

321 ARKAR

nK s==

utilizando-se neq em vez de n quando há inundação das margens. O caudal da cheia é obtido pela seguinte expressão



)1(12

2

1

222

22

1

2

212

rAA

gAK

LKK

hhKQ

−

−+

−=

sendo L a distância entre secções, r = 0 ou 0.5 conforme se tenha uma contracção ou uma expansão do escoamento e hi, Ai, Ki são a altura do escoamento, a área e a capacidade de vazão da secção i 4º Processo) Método de RIGGS – proposto em 1970, trata-se duma fórmula semi-empírica obtida por regressão linear múltipla a partir de dados de inúmeras cheias em todo o Mundo. O caudal é calculado através de.

log Q = 0.191 + 1.33 log A + 0.05 log Jw – 0.056 (log Jw)2 com Q – m3/s; A – m2; Jw – inclinação da superfície da água. Assim, conhecido o nível atingido por uma cheia, é fácil obter A e Jw e daí o caudal máximo da cheia.

8.3.3 Medição de alturas hidrométricas Com o estabelecimento da curva de vazão, o problema da medição regular (diária ou mais frequente) do caudal fica reduzido ao da medição em períodos correspondentes da altura do escoamento ou altura hidrométrica. A medição da altura hidrométrica num rio ou curso de água é feita habitualmente com recurso a escalas. As escalas são réguas graduadas que se colocam por troços verticais, figura 8.14, de forma a permitir uma fácil leitura do nível da água no rio, donde se obtém a altura do escoamento (por subtracção do “zero” da escala). Por vezes, a escala é colocada inclinada sobre a margem, alterando-se a graduação de forma a fazer-se uma leitura directa considerando essa inclinação.

Instalada a escala e determinado o seu “zero”, o leitor faz uma leitura diária a uma hora fixa e, em período de cheias, várias leituras por dia.



Para se obter um registo contínuo de caudais, sobretudo durante as cheias, pode-se instalar em secção de rios importantes um limnígrafo, aparelho que faz um registo contínuo de níveis, figura 8.15

Com o avanço da tecnologia e principalmente da electrónica digital, têm sido propostos aparelhos registadores de nível, de funcionamento contínuo, baseados em medição da pressão. Tais aparelhos estão mergulhados no fundo do leito e ligados por um cabo eléctrico a um registador digital. A este registador está associado um barómetro para medição da pressão atmosférica. Tem-se estão pleito = γh + patm → h = (pleito - patm) /γ O registador digital armazena os valores de h (que ele próprio calcula) em intervalos de tempo fixo, p. ex. 5 minutos. Os registos, sendo digitais, podem depois ser transferidos directamente para computador, evitando o processo de transcrição que é sempre fonte de erros.

8.4 ESCOLHA DUMA ESTAÇÃO HIDROMÉTRICA Designa-se por estação hidrométrica a instalação numa dada secção dum rio para se proceder à medição de alturas do escoamento e caudais e onde, em princípio, ficará estabelecida uma curva de vazão.



A escolha duma secção para implantar uma estação hidrométrica deve ser bastante criteriosa. Em condições ideais, tal secção deve obedecer cumulativamente às seguintes condições:

a – deve situar-se na parte média dum troço rectilíneo do rio, com um comprimento mínimo de 3 vezes a largura da secção e inclinação constante;

b – ser estável (sem erosão nem sedimentação acentuada); c – não ser afectada por regolfo, marés, confluências; d – não ter vegetação; e – o escoamento deve processar-se num leito bem definido; f – o local deve ser sempre acessível, mesmo com mau tempo e durante cheias; g – deve haver possibilidade de recrutar localmente um observador/leitor.

Como é óbvio, estas características raramente se conjugam na totalidade. Por exemplo, é frequente haver vegetação nos taludes da secção e o acesso nem sempre ser fácil (sobretudo se se pensar nas áreas rurais de Moçambique).

8.5 ESTIMATIVA DE ESCOAMENTOS QUANDO NÃO HÁ MEDIÇÕES DE CAUDAL É frequente a situação em que, sendo necessário conhecer os escoamentos numa determinada secção dum rio, não existem medições de caudal ou elas são muito escassas. Podem adoptar-se diversos processos para estimar esses escoamentos, de acordo com a informação disponível. O problema coloca-se igualmente para preenchimento de falhas em séries de registos de escoamento.

8.5.1 Método da proporcionalidade das áreas Por vezes, não se dispõe de dados de escoamento numa dada secção dum rio (onde, por exemplo, se quer construir uma pequena barragem ou localizar uma toma de água) mas eles existem numa outra secção do rio, não muito afastada, a montante ou jusante. Nessas condições, poderá admitir-se que o caudal específico (caudal por unidade de área, Q/A) é o mesmo nas duas secções.

22

11

2

2

1

1 QAAQ

AQ

AQ

=→=

Esta relação mostra-se válida quando as duas secções têm as mesmas características fisiográficas e de precipitação. Se, por exemplo, a precipitação ponderada sobre as bacias das secções 1 e 2 é bastante diferente, deverá modificar-se a expressão acima para entrar em conta com esta variação:

22

1

2

11

22

2

11

1 QPP

AAQ

PAQ

PAQ

=→=



Note-se que esta última expressão corresponde a considerar que o coeficiente de escoamento é o mesmo nas duas bacias drenantes, entendendo-se como coeficiente de escoamento a relação entre o volume precipitado e o volume escoado.

8.5.2 Escoamento afluentes a albufeiras Os escoamentos afluentes a albufeiras são normalmente obtidos através do balanço hídrico da albufeira. Em Moçambique, isso é feito nas barragens de Cahora Bassa, Chicamba, Pequenos Libombos, Corumana e Massingir. Netas duas últimas, é mesmo o processo mais expedito visto que os regolfos das albufeiras atingem a fronteira com a África do Sul. A equação geral do balanço hídrico em albufeiras é: St+1 = St + I∆t - O∆t + P∆t - E∆t em que St – volume armazenado no instante t ∆t - intervalo de tempo entre t e t + 1 I – escoamento afluente durante ∆t O – descarga da barragem durante ∆t P – volume precipitado na albufeira durante ∆t E – volume evaporado da albufeira durante ∆t Nas albufeiras existem registos (diários) dos volumes armazenados (normalmente, registam-se alturas de água na albufeira e transformam-se em volumes através da curva de volumes armazenados); descargas (descargas de fundo, toma de água, circuito para central hidroeléctrica, descarregador de cheias); precipitação e evaporação. A única incógnita da equação do balanço hídrico é então, o escoamento afluente.

8.5.3 Estimativa de escoamentos utilizando a fórmula de Turc A formula de Turc é uma formula semi-empírica que poderá ser utilizada caso não se disponha de nenhumas medições de caudal na bacia em estudo. A formula escreve-se: DE = P – R em que DE é o défice de escoamento, P a precipitação ponderada sobre a bacia drenante e R o escoamento superficial na secção de referência da bacia, sendo todas as variáveis expressas como alturas anuais, em mm. Turc apresentou a seguinte expressão para o cálculo de DE:

2

2

9.0LP

PDE

+

=



em que L é o poder evaporante da atmosfera. Ainda segundo Turc:

L = 300 + 25T + 0.05 T3 onde T é a temperatura média anual na bacia, em oC. Assim, a partir dos valores anuais de T e P, pode-se calcular facilmente L e DE e daí obter a série de valores anuais de escoamento R. Para se obter de forma expedita a série de escoamentos mensais a partir da série de escoamentos anuais R, pode-se utilizar o seguinte processo: • escolher uma bacia próxima (bacia B) com características fisiográficas e climáticas

similares e onde haja registos de escoamentos no período em causa da bacia em estudo (bacia A);

• determinar na bacia B para cada ano a percentagem do escoamento anual que ocorre em cada mês;

• utilizar essas mesmas percentagens na bacia A.

8.5.4 Método do balanço hídrico sequencial Em pequenas bacias hidrográficas, com relevo pouco acentuado e solos permeáveis com grande capacidade de infiltração, pode-se utilizar-se o método do balanço hídrico sequencial, proposto por Thornthwaite e Mather. A equação do balanço hídrico num dado intervalo de tempo escreve-se:

P – ETe - ∆Ss = R + ∆S + G + ∆Sg onde P é a precipitação, ETe é a evapotranspiração efectiva, ∆Ss é a variação da quantidade de água armazenada no solo, R é o escoamento superficial, ∆S é a variação da quantidade de água armazenada à superfície, G é o escoamento subterrâneo e ∆Sg é a variação da quantidade de água do armazenamento subterrâneo. Após um episódio de precipitação suficiente para saturar o solo, este começa a drenar. Depois dum período de tempo suficientemente longo, a drenagem cessa e uma certa quantidade de água permanece na camada superior do solo, sendo a acção da gravidade contrariada pelos efeitos de capilaridade e absorção. Designa-se por capacidade de campo, nr, a relação adimensional entre o volume de água vr que fica retido contra a acção da gravidade e o volume total do solo vt.

t

rr v

vn =



Nas condições de capacidade de campo, a tensão da água no solo é relativamente baixa, da ordem de 0.1 a 0.3 atmosferas. À medida que a quantidade de água armazenada diminui, a tensão aumenta. Quando a tensão atinge o valor de aproximadamente 15 atmosferas, as plantas já não conseguem criar sucção suficiente para retirar água do solo, atingindo-se o ponto de emurchecimento, a partir do qual as plantas morrem. O ponto de emurchecimento é caracterizado pelo parâmetro adimendional no que é a relação entre o volume de água ainda existente no solo e o volume total de solo.

t

oo v

vn =

A capacidade útil de armazenamento de água no solo é então definida pelo parâmetro adimensional nu = nr - no . Se se multiplicar nu pela expessuara da camada de solo, o valor vem expresso como uma altura. O método do balanço hídrico sequencial pressupõe o conhecimento dos valores de precipitação P, da evapotranspiração potencial ETp e da capacidade útil nu, sendo normalente aplicado numa base diária ou mensal. O método considera que, em cada intervalo de tempo, se pode registar um superavit hídrico, SH, ou um défice hídrico, DH. Haverá superavit hídrico se, nesse período, se tiver P ≥ ETp. SH = P – (ETp + ∆Ss ), sendo ∆Ss ≥ o Haverá défice hídrico num período se p< ETp . DH = ETp - ETe = ETp - (P - ∆Ss) sendo, neste caso, ∆Ss negativo. Durante períodos com superavit hídrico (períodos húmidos), ∆Ss = P - ETp até que Ss iguale nu, correspondendo ao limite superior da capacidade de armazenamento no solo. Nos períodos com défice hídrico (períodos secos), o solo vai perdendo água por evapotranspiração. O método de Thornthwaite-Mather apresenta as seguintes equações:

unL

us enS =

[ ] 0)()()(1

<−= ∑=

LjETjPiLi

jp

)1()(

−−=∆ iSenS sn

iL

usu



sendo i para o período em estudo e j os períodos secos anteriores. O escoamento superficial R é determinado admitindo que o escoamento subterrâneo G é nulo e a seguinte formula empírica: Ri = 0.5 [ SHi + ( S + Sg)i-1 ] O balanço hídrico sequencial deve começar a ser aplicado no fim do período de estiagem quando se pode admitir que os armazenamentos de água são nulos. O método tem como base a hipótese de que o “input” precipitação irá, em primeiro lugar, satisfazer o consumo de evapotranspiração e o armazenamento de água no solo. Isso só é válido quando se tem precipitações cuja intensidade não excede a capacidade de infiltração nos solos, o que nem sempre acontece nos climas tropicais.

8.6 PREENCHIMENTO DE FALHAS E EXTENSÃO DE SÉRIES DE ESCOAMENTO Com bastante frequência, os registos de escoamento numa dada secção apresentam falhas. Existem diversos métodos para se preencherem falhas, apresentando-se alguns de fácil aplicação.

8.6.1 Regressão linear a partir de precipitações anuais Nas bacias hidrográficas, a correlação entre a série de precipitações ponderadas anuais Pi e a série dos escoamentos anuais virgens (i.e., não afectados por abstracções de água ou por albufeiras de regularização) Ri é normalmente elevada. Pode então estabelecer-se a equação de regressão de Ri sobre Pi para os anos em que não há falhas: R = a + b P em que a, b são os parâmetros da regressão. A equação pode depois ser utilizada para determinar os escoamentos anuais nos anos com falhas a partir das precipitações anuais nesses anos. Com os escoamentos anuais, pode-se fazer a estimação dos escoamentos mensais nos meses com falhas, utilizando-se, por exemplo, para esses meses as percentagens do escoamento anual correspondentes a um ano médio. Como as séries de precipitação são, geralmente, mais extensas que as séries de escoamento, o mesmo método pode ser usado para fazer a extensão das séries de escoamento. No entanto, nesse caso a equação deve ser acrescida duma componente aleatória para que se mantenha a variância da série de escoamentos.



8.6.2 Regressão linear a partir de outra série de escoamentos Caso noutra bacia hidrográfica, com características fisiográficas e climáticas similares, se disponha duma série de escoamentos sem falhas e maos longa, pode-se também fazer o preenchimento de falhas e a extensão da série de escoamentos na bacia em estudo por regressão linear a partir da série de escoamento da outra bacia. RA = a + b RB É necessário começar por verificar se o coeficiente de correlação entre as duas séries é suficientemente alto para a regressão produzir resultados com significado.

8.7 VALORES CARACTERÍSTICOS DE CAUDAL E ESCOAMENTO

8.7.1 Séries cronológicas de caudais e escoamento Cada estação hidrométrica produz uma série cronológica de caudais, calculados por um dos processos indicados anteriormente. A representação gráfica duma série cronológica de caudais designa-se por hidrograma. Poderá haver um valor diário, vários valores por dia ou um registo contínuo de limnigrafo. Uma primeira série que se estabelece é a do caudal médio diário ou, simplesmente, caudal diário. É uma série com 365 N valores, sendo N o número de anos com medições. A média dos caudais diários dum mês dá o caudal médio mensal ou, apenas, caudal mensal, definindo-se assim a correspondente série cronológica, com 12N valores. A média dos caudais diários dum ano hidrológico dá o caudal médio anual ou, só, caudal anual, permitindo obter a respectiva série cronológica, com N valores. Para além destas três séries cronológicas de caudais, há duas outras com interesse para as aplicações de Hidrologia: • caudal máximo anual • caudal mínimo anual ambas com N valores. A partir dos registos de caudais, obtêm-se as séries cronológicas de escoamentos diários, mensais e anuais. O escoamento diário é o volume correspondente ao caudal diário a escoar-se durante 24 horas; o escoamento mensal é a soma dos escoamentos diários desse mês; e o escoamento anual é a soma dos escoamentos mensais desse ano hidrológico. As séries cronológicas de caudais e escoamentos ilustram bem a variabilidade natural dos rios, reflectindo a influência do clima (regime de precipitação, evaporação e evapotranspiração) e das características fisiográficas da bacia drenante (área, froma, relevo, geologia, solos, vegetação).



Rios de bacias com grandes áreas ou com aquíferos importantes apresentam normalmente um regime de escoamento mais regular que rios de bacias pequenas e não alimentados por água subterrânea. A figura 8.16 apresenta hidrogramas de escoamentos mensais de algumas estações hidrométricas na bacia do rio Malema onde são bem visíveis as influências do regime de precipitações (época húmida, época seca) e de características das bacias (altitude). Neste exemplo, a altitude é um factor mais importante que a área da bacia visto que a precipitação é, sobretudo, de origem orográfica: nas cabeceiras, zona de altitude elevada, a precipitação anual média é de cerca de 2,000 mm ao passo que na bacia intermédia e no Baixo Malema ela ronda os 900 mm.

8.7.2 Curva de duração Para além das séries cronológicas, um bom processo de caracterizar o regime de escoamento dum rio é o de traçar a curva de duração dos caudais diários. Dispondo-se duma série cronológica de N anos, ou seja, 365 N valores de caudais diários, a curva de duração obtém-se pelo seguinte processo: • a série de caudais diários é ordenada por ordem decrescente, sendo Q1 o valor máximo

registado e Q365N o valor mínimo; • para um caudal Qi o número médio de dias por ano em que esse caudal é igualado ou

excedido é i/N Coutagne propôs uma expressão genérica para as curvas de duração:

sendo n um parâmetro de ajustamento e t o número médio de dias por ano em que Qt é igualado ou excedido.

nt

tnQQQQ )365

365()1()( 365365−

+−+=

A figura 8.17 representa a curva de duração dos caudais médios diários do rio Mondego em Coimbra em 1970-71 (extraído de Lencastre e Franco 1984), apresentando a forma característica das curvas de duração que é uma exponencial negativa. Sobrepôs-se a curva teórica de Coutagne.







Figura 8.17 – Curva de duração de caudais diários do rio Mondego em Coimbra

8.7.3 Valores característicos Dispondo das séries cronológicas e da curva de duração, é possível fazer análises estatísticas que permitam determinar certos valores característicos que sintetizem os valores médios e a variabilidade dos caudais e escoamentos. Os valores característicos habitualmente mais requeridos são:

a) caudais diários médios (365 valores) b) caudais mensais médios (12) c) caudal anual médio (1) d) escoamentos diários médios (365) e) escoamentos mensais médios (12) f) escoamento anual médio (1) g) desvios padrão de b, c, e, f h) caudal característico máximo = Q10 (da curva de duração) i) caudal característico mediano = Q182.5 (idem) j) caudal característico mínimo = Q355 (idem)



Atendendo à forma da curva de duração, o caudal anual médio é sempre superior ao caudal característico mediano, sendo essa diferença tanto maior quanto mais irregular for o regime de escoamento do rio.

8.8 HIDROGRAMA DO ESCOAMENTO SUPERFICIAL

8.8.1 Componentes O caudal que se regista numa dada secção dum rio resulta de 4 componentes correspondentes aos processos que, a partir da precipitação, conduzem a água até ao rio. Essas componentes são: • escoamento directo – resulta da precipitação útil sobre a bacia, cessa algum tempo após o

fim da precipitação: • escoamento de base – resulta da alimentação do rio por água subterrânea, pode continuar

por longos períodos em que não há precipitação; • escoamento intermédio ou sub-superficial – resultante da água que se escoa na camada

superficial do solo, cessa com pouco atraso em relação ao escoamento directo; • escoamento resultante da precipitação sobre a rede hidrográfica – cessa rapidamente após

o fim da precipitação. Na generalidade dos casos de bacias de média e grande dimensão, o escoamento intermédio tem pouca importância. O mesmo acontece com a última componente se a bacia drenante não tiver áreas importantes de lagos e pântanos. Assim, em primeira análise, pode-se considerar que um hidrograma de caudais diários resulta da sobreposição do escoamento directo com o escoamento de base. Em períodos sem precipitação, em que o aquífero interceptado pelo rio não está a receber recarga, o nível (em aquíferos freáticos) ou a carga (em aquíferos confinados) vão decrescendo e, consequentemente, diminui o caudal com que o aquífero alimenta o rio. Este efeito é traduzido por uma exponencial negativa do tipo t

t eQQ α−= 0

em que Qt é o caudal no instante t, Qo é o caudal no início do período considerado e α um coeficiente característico do aquífero e da sua interacção com o rio. Esta equação é designada como curva de esgotamento. Aplicando logaritmos, esta equação escreve-se:

ln Qt = ln Qo - αt

ou seja, representa uma recta. Desta forma, se se traçar o hidrograma dos caudais em papel semi-logarítmico, aqueles períodos em que apenas existe escoamento de base aparecem no gráfico como troços rectos de inclinação - α , paralelas entre si.



8.8.2 Separação das componentes do hidrograma A separação das componentes principais dum hidrograma (escoamento directo e escoamento de base) tem interesse, sobretudo, para o estudo de cheias, como se verá no capítulo dedicado a esse tópico. A figura 8.18 ilustra um processo relativamente expedito para se fazer essa separação das componentes.

O processo consiste em representar o hidrograma em papel semi-logarítmico o que permite definir as curvas de esgotamento antes e após o escoamento directo. Estendendo para trás a segunda curva de esgotamento (até ao ponto de inflexão da curva) e ligando à primeira curva de esgotamento obtém-se o hidrograma do escoamento de base. Como o ponto de inflexão está próximo da cessação do escoamento directo, não se comete um grande erro se se ligar as duas curvas de esgotamento. Conhecido o hidrograma do escoamento de base e desenhando-o no espaço normal, o hidrograma do escoamento directo é obtido por diferença.

8.8.3 Forma do hidrograma



O hidrograma resultante da precipitação numa bacia tem uma forma bastante característica, representada na figura 8.19. É um hidrograma assimétrico, com assimetria positiva.

O troço AB do hidrograma é designado como curva de crescimento, desde o ponto A, que marca o início da subida do hidrograma, até o ponto B, que corresponde ao caudal de pico ou caudal de ponta. O troço BD chama-se curva de decrescimento, sendo o ponto D o que marca o fim do escoamento directo(c, ponto de inflexão) e do escoamento resultante da precipitação sobre a rede hidrogáfica. A partir de D, tem-se apenas escoamento de base, pelo que o troço DE representa a curva de esgotamento. tr é a duração da precipitação útil. tl é o tempo de reposta (“time lag”), tempo que decorre entre o centro de gravidade da precipitação útil e o pico do hidrograma. tc é o tempo de concentração, tempo necessário para que a gota de água caída na secção cinematicamente mais distante chegue à secção de saída. È uma característica importante da bacia para o estudo de cheias. te é o tempo de esvaziamento, normalmente pequeno, corresponde ao escoamnto do volume armazenado na rede hidrográfica. tp é o tempo para o pico, corresponde à curva de crescimento. td é o tempo de decrescimento, corresponde à respectiva curva. tb é o tempo base do hidrograma. Da figura, tira-se imediatamente que

ecrdpb

lr

p

tttttt

tt

t

++=+=

+=2



Diversos factores influenciam a forma do hidrograma, sobretudo as características da precipitação e da bacia drenante. A precipitação influi obviamente no caudal de ponta e também na curva de crescimento, através da sua intensidade e duração, distribuição na bacia e direcção da propagação da chuva. Entre as características da bacia, têm particular importância a área, a forma da bacia, a rede hidrográfica, o declive dos terrenos e das linhas de água, os armazenamentos naturais e artificiais, a geologia, os solos e a cobertura superficial. Os hidrogramas dos escoamentos podem sofrer modificações profundas por acção do Homem, sobretudo através das abstracções de água, das albufeiras de regularização e da alteração da cobertura superficial. As abstracções de água para utilizações diversas afectam principalmente os caudais de estiagem e alteram, portanto, as curvas de esgotamento. As albufeiras de regularização alteram profundamente o regime de escoamento natural, principalmente aumentando os caudais de estiagem e alterando-os para valores que procuram atender às utilizações a jusante. As alterações da cobertura superficial podem representar impactos muito significativos na bacia. Merecem referência especial a floresta plantada, o abate das florestas naturais e a urbanização. A floresta plantada significa que, numa grande área da bacia, um certo coberto vegetal foi substituído por outro. A floresta plantada vai dar origem a: • maior intercepção da precipitação • maior infiltração da água precipitada, maior recarga de aquíferos • maior evapotranspiração, visto que habitualmente a floresta plantada é composta por

espécies de crescimento rápido como o eucalipto Consequentemente, o escoamento directo diminui, reduzindo-se assim o caudal de ponta das cheias de pequena e média dimensão. A irregularidade do escoamento diminui. Por outro lado, a floresta faz com que a velocidade do escoamento laminar seja baixa, diminuindo o seu potencial de erosão. O abate das florestas naturais, que se vem processando a ritmos elevados em quase todos os países do Terceiro Mundo (e Moçambique não é excepção), seja para utilização como combustível doméstico seja para abertura de novas áreas agrícolas, tem os resultados opostos: menor infiltração, menor recarga de aquíferos, maiores caudais de ponta nas pequenas e médias cheias e, principalmente, maior facilidade de erosão. A urbanização pode também ter um impacto forte quando abrange uma percentagem significativa da área da bacia. A urbanização traduz-se pela transformação da cobertura natural (vegetal), que permitia a infiltração e oferecia grande resistência ao escoamento laminar (diminuindo-lhe a velocidade), por áreas impermeáveis, em que toda a precipitação se transforma em escoamento directo, aumentando desta forma o caudal de ponta e o volume da



cheia, diminuindo o tempo de resposta e criando um grande potencial de erosão sempre que o escoamento encontre zonas menos resistentes à erosão. Estes efeitos – aumento do caudal de ponta, erosão – estão a tornar-se bem visíveis em algumas das principais cidades de Moçambique como Maputo, Nampula, Nacala e Pemba.



EXERCÍCIOS Exemplo 1) Numa secção transversal dum rio, fez-se o seu levantamento e mediram-se as velocidade médias nas respectivas verticais, conforme se apresenta na tabela seguinte x(m) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 h(m) 0 0.3 0.7 1.0 1.4 2.1 2.4 3.0 1.6 1.5 1.4 0.6 0 v(m/s) 0.1 0.3 0.6 0.8 1.1 1.2 1.5 1.0 1.0 0.9 0.4

a) desenhe a secção transversal b) calcule o caudal na secção, utilizando as 4 formulas propostas. Admitindo que a 1ª

aproximação dá a resposta correcta, determine os erros relativos das outras 3 fórmulas. Exemplo 2) Admita que o perfil de velocidade numa vertical se ajusta a uma parábola do 3º grau. Indique a que profundidade a velocidade pontual iguala a velocidade média. Exemplo 3) A concentração natural de cloreto de sódio num rio era de 50mg/l. Supondo que o máximo caudal injectável duma solução concentrada de cloreto de sódio era de 25 l/s, que cf devia ser pelo menos igual a 2 co e que se pretendia medir caudais na ordem de 0.5 – 2 m3/s, qual seria a concentração da solução a injectar? Exemplo 4) Numa secção cujo zero da escala é ho 0 0.115 m, obtiveram-se ao longo dum ano hidrológico os seguintes resultados de medições de caudal. h (m) 0.272 0.303 0.334 0.393 0.402 0.463 0.548 0.580 Q(m3/s) 2.463 2.923 3.841 5.410 5.883 7.376 11.321 11.825 h (m) 0.626 0.739 0.796 1.041 1.526 2.010 3.265 3.340 Q(m3/s) 14.102 19.790 21.204 36.242 67.327 110.783 227.60 236.60 Obtenha uma expressão analítica para a curva de vazão. Exemplo 5) Determine o caudal médio que entrou na barragem da Corumana num período de 24 horas em que se registaram os seguintes dados:

• área da albufeira – 12 km2 • níveis no início e no fim do período – 105.2 m e 105.6 m • precipitação – nula • evaporação medida em tina classe A (USWB) – 6 mm • descarga da barragem – 14 m3/s durante 16 horas

Exemplo 6) Utilizando a fórmula de Turc, estime os escoamentos anuais na bacia do rio Infulene, na região de Maputo, nos anos 1981/82 a 1984/85. As temperaturas anuais médias e as precipitações anuais para os anos em causa podem ser obtidas no INAM.



Exemplo 7) Calcule os escoamentos mensais num dado ano numa pequena bacia hidrográfica, utilizando o método do balanço hídrico sequencial (Thornthwaite – Mather), com os seguintes dados: nu = 100 mm P (Out-Set): 87/105/142/132/95/132/76/79/38/13/18/48 mm ETp (Out-Set): 62/29/18/22/34/68/96/135/146/169/142/91 mm Exemplo 8) Numa pequena bacia hidrográfica, dispõe-se das seguintes séries de valores anuais de precipitação ponderada e de escoamentos. Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (mm) 1,162 1,069 957 1,058 1,108 1,155 805 936 921 732 R (mm) - - - - - - - - 223 150 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 858 1,094 1,027 1,139 1,298 972 1,212 1,354 876 965 234 272 291 240 197 217 - 312 205 182 a) utilizando os anos comuns, calcule o coeficiente de correlação e estabeleça a regressão

linear dos escoamentos sobre as precipitações. b) utilize a regressão linear para preencher a falha da série de escoamentos (ano 17) c) utilize a regressão linear para estender a série de escoamentos para os anos 1-8 d) calcule as médias e os desvios padrão da série de escoamentos antes e depois de estendê-

la. Comente os resultados. Exemplo 9) Obtenha na DNA a série de caudais diários da estação E 400 (Namparro). Determine a curva de duração e os correspondentes caudais característicos máximo, mediano e mínimo. Exemplo 10) Compare qualitativamente os hidrogramas que se obteriam numa bacia hidrográfica se uma chuva forte progredisse de montante para jusante ou de jusante para montante.


Cheias 9-1

9 CHEIAS 9.1 INTRODUÇÃO Do ponto de vista da Hidrologia, considera-se que há uma cheia sempre que o caudal dum rio extravasa o leito menor, onde corre normalmente, e inunda áreas mais ou menos extensas. As cheias são uma das calamidades naturais que maiores prejuízos materiais e perda de vidas humanas têm provocado em diversas regiões do Mundo. Moçambique tem sofrido bastante com este fenómeno, ilustrado nos anos mais recentes com as grandes cheias dos rios Zambeze (1978), Limpopo (1977, 1981, 1996), Incomati (1976, 1984, 1985, 1996), Umbelúzi (1984, 1996) e Maputo (1984). Naturalmente, tem-se dedicado grande atenção quer ao estudo do próprio fenómeno quer às medidas que permitam minimizar os seus impactos negativos. Existe uma variedade de medidas destinadas a esse fim as quais são habitualmente agrupadas em medidas estruturais e medidas não estruturais. Entre as primeiras incluem-se: • as albufeiras que permitem encaixar uma parte do volume da cheia afluente, diminuindo os

caudais máximos para jusante; • os diques de protecção de áreas inundáveis; • a regularização fluvial, tendente a permitir que a um mesmo nível de água corresponda um

maior caudal escoado; • a utilização de zonas de encaixe de cheias, áreas para onde parte do escoamento é dirigida e

cuja inundação não provoca danos materiais apreciáveis, reduzindo assim os caudais para jusante.

Entre as medidas não estruturais podem citar-se: • os sistemas de aviso cheias; • o ordenamento físico das bacias hidrográficas, em particular o controle da ocupação dos

leitos de cheias, da cobertura vegetal e da conservação das linhas de drenagem. Quer para o dimensionamento de obras hidráulicas de protecção contra cheias (caso de diques e barragens) quer para o planeamento de medidas não estruturais torna-se necessário analisar a distribuição de frequências dos caudais de cheias para se poder determinar um caudal de dimensionamento. Definida essa distribuição de frequências, cada valor de caudal fica associado a uma certa probabilidade de não excedência e, portanto, a um risco de que a estrutura dimensionada com esse valor se revele insuficiente para cumprir a finalidade a que se destinava. Há por isso, que adoptar valores bastante altos de probabilidades de não excedência que se considerem socialmente aceitáveis. No entanto, quanto mais alto a probabilidade de não excedência, maior será o valor do caudal e, portanto, mais cara será e estrutura. Torna-se, assim necessário estabelecer um compromisso entre o desejo dum nível mais alto de segurança e o dum custo dentro de limites aceitáveis.


Cheias 9-2

Os valores de probabilidade de não excedência normalmente adoptados são função da possibilidade de haver ou não perda de vidas humanas e da importância dos prejuízos materiais. Podendo haver risco para vidas humanas, é corrente adoptarem-se valores de probabilidade de não excedência de 0.99 (em média, uma excedência em 100 anos, ou seja, um período de retorno T = 100 anos) e superiores enquanto que, se isso não acontece, podem adoptar-se conforme os casos valores que vão desde 0.80 (período de retorno T = 5 anos) a 0.98 (período de retorno T = 50 anos). No caso de grandes barragens situadas a montante de zonas povoadas tomam-se geralmente valores de 0.999 a 0.9999 (períodos de retorno T = 1,000 anos e T = 10,000 anos, respectivamente) para definir os caudais de dimensionamento dos descarregadores de cheias. A necessidade dum nível de segurança muito alto é particularmente sentida no caso de barragens de terra onde um descarregador de cheias que se revelasse insuficiente para passar o caudal afluente provocaria o galgamente da barragem com a sua consequente destruição, originando, devido à água em armazenamento, uma cheia de proporções muito superiores à cheia original. 9.2 MÉTODOS DE CÁLCULO Para o estudo hidrológico das cheias, é necessário determinar o caudal de pico da cheia, que é o valor utilizado para o dimensionamento de muitas obras hidráulicas. Existem, no entanto, situações em que não é suficiente conhecer apenas o caudal de pico mas também o hidrograma da cheia, por exemplo, no estudo de propagação de cheias em albufeiras ou em rios. Diversos métodos de cálculo são utilizados para fazer essa determinação. Far-se-á aqui a apresentação dos seguintes: • fórmulas empíricas • fórmulas cinemáticas • métodos estatísticos • método do hidrograma unitário Não cabe no âmbito deste manual a apresentação de modelos mais complexos baseados na simulação em computador das várias componentes do ciclo hidrológico – precipitação, infiltração, evaporação e evapotranspiração, recarga de aquíferos, escoamento superficial e escoamento de base. 9.3 FÓRMULAS EMPÍRICAS Diversas fórmulas empíricas foram apresentadas para a estimação de caudais de cheias. Essas fórmulas foram derivadas com base em experiências de determinadas regiões do globo pelo que a sua aplicação a outras regiões deve ser feita com muita cautela. 9.3.1 Fórmulas de Pagliaro, Whistler e Iskowski


Cheias 9-3

Duas dessas fórmulas são as de Pagliaro e de Whistler. A fórmula de Pagliaro escreve-se

+=

AAQp 90

2900 com Qp em m3/s e A em km2

A fórmula é válida para bacias com áreas inferiores a 1,000 km2. A fórmula de Whistler escreve-se

++=

AAQp 259

1538054.0

e é válida para bacias com áreas entre 1,000 e 12,000 km2. Estas duas fórmulas associam o caudal de pico apenas à área da bacia. A fórmula de Iskowski inclui, para além da área da bacia, também a precipitação anual média sobre a bacia. KmPAQp =

sendo P a precipitação anual expressa em m, A em km2, m um parâmetro função da área e K um parâmetro função das características da bacia. A tabela 9.1, reproduzida de Lencastre e Franco 1984, apresenta os valores do parâmetro K a ser utilizado na fórmula.

Quanto aos valores de m, eles podem ser estimados a partir da tabela seguinte. A(km2) 100 200 600 1000 2000 3000 4000 5000 10000

M 7.40 6.87 5.60 4.70 3.78 3.45 3.25 3.13 3.02 Manual de Hidrologia

Cheias 9-4

9.3.2 Fórmula de Francou-Rodier Uma das fórmulas mais utilizadas na África Austral e, particularmente na África do Sul, é a fórmula de Francou-Rodier, apresentada por estes investigadores em 1967 e baseada em mais de 1,000 caudais de pico registados por todo o mundo. A fórmula dá uma envolvente desses máximos, correspondendo portanto a períodos de retorno muito elevados (T=10,000 anos). A fórmula escreve-se

K

pAQ

1.01

86

1010

−

=

em que Qp é expresso em m3/s, A em km2 e K é um coeficiente regional que varia entre 0 e 6. Estudos realizados na África do Sul (Kovacs 1989) sugerem valores de K entre 2.8 e 5.6, podendo esses valores ser utilizados igualmente para o Sul e Centro de Moçambique, figura 9.1. Por outro lado, o valor proposto para as sub-bacias da bacia do Zambeze é de cerca de 3. A fórmula de Francou-Rodier dá melhores resultados para bacias com áreas entre 300 e 10,000 km2, não devendo ser utilizada para bacias com menos de 100 km2.


Cheias 9-5


Cheias 9-6

9.4 FÓRMULAS CINEMÁTICAS 9.4.1 Determinação do tempo de concentração As fórmulas cinemáticas entram em consideração com o processo do movimento da água na bacia. Um dos parâmetros fundamentais para caracterizar esse processo é o tempo de concentração, tc. Diversos processos têm sido propostos para se fazer a determinação de tc. 9.4.1.1 Método do Soil Conservation Service O método proposto pelo SCS consiste em determinar o tempo total do escoamento da água precipitada, considerando a fase do escoamento laminar e a do escoamento unidimensional em linhas de água. A velocidade do escoamento laminar pode ser obtida por consulta dum gráfico preparado pelo SCS, em que as variáveis são o declive do terreno e o tipo de cobertura vegetal ou revestimento. A velocidade no escoamento unidimensional pode ser determinada usando a fórmula de Manning-Strickler. Trata-se dum processo bastante trabalhoso e que exige bastante informação para que da sua aplicação se obtenham melhores resultados do que com outros processos de cálculo. 9.4.1.2 Fórmula de Giandotti A fórmula de Giandotti escreve-se

H

LAtc8.0

5.14 +=

em que tc vem expresso em horas, A em km2, L é o comprimento da principal linha de água da bacia em km, e H é a altura média da bacia em m. A fórmula de Giandotti só deve ser usada para bacias com áreas superiores a 500 km2. 9.4.1.3 Fórmula de Kirpich A fórmula de Kirpich escreve-se

385.0

155.1

95.0hLtc ∆

=

com tc em horas, L em km, e ∆h (diferença de cotas entre as extremidades do rio principal) em m. 9.4.2 Fórmula Racional Contrariamente a muitas outras fórmulas utilizadas, a fórmula Racional é dimensionalmente homogénea, escrevendo-se


Cheias 9-7

Qp = c i A em que Qp é o caudal de pico, c é um coeficiente, i é a intensidade média de precipitação com duração igual ao tempo de concentração e período de retorno desejado, e A é a área da bacia. A fórmula Racional dá bons resultados para pequenas bacias onde é admissível que a precipitação intensa atinja simultaneamente toda a bacia. Na África do Sul, a fórmula Racional é aplicada a uma gama muito extensa, desde pequenas bacias urbanas até bacias com áreas de 5,000 km2, considerado o limite superior de aplicação deste método. O coeficiente c é uma função de diversos factores. O DWAF da África do Sul considera os seguintes aspectos na determinação do valor de c: a) para áreas urbanas - em áreas relvadas

- arenosas, declive < 2% 0.05 – 0.10 - arenosas, declive > 7% 0.15 – 0.20 - solos pesados, declive < 2% 0.13 – 0.17 - solos pesados, declive > 7% 0.25 – 0.35

- em áreas residenciais com moradias 0.30 – 0.50 - em áreas residenciais com prédios 0.50 – 0.70 - em áreas industriais 0.50 – 0.90 - em áreas de comércio concentrado 0.70 – 0.95 - em áreas de comércio disperso 0.50 – 0.70 - em ruas e avenidas 0.70 – 0.95 b) para bacias em áreas não urbanizadas (rurais)

Precipitação anual média (mm) Componente Categoria <600 600 – 900 >900

<3% 0.01 0.03 0.05 3 – 10% 0.06 0.08 0.11 10 – 30% 0.12 0.16 0.20 30 – 50% 0.22 0.26 0.30

Declive dos terrenos

cy

>50% 0.26 0.30 0.34 muito permeável 0.03 0.04 0.05

permeável 0.06 0.08 0.10 pouco permeável 0.12 0.15 0.20

Permeabilidade dos solos

cp

impermeável 0.21 0.26 0.30 floresta, mata densa 0.03 0.04 0.05

área cultivada 0.07 0.11 0.15 pastos 0.17 0.21 0.25

Coberto vegetal cv

solo nu 0.26 0.28 0.30 Manual de Hidrologia

Cheias 9-8

O DWAF recomenda que, em zonas de floresta, se considere o solo como muito permeável. O valor de c é a soma de cy, cp, e cv. c) efeito do período de retorno Quanto maior for o período de retorno considerado, tanto maior tenderá a ser o valor de c, devido à saturação dos solos e à maior velocidade do escoamento. Para tomar esse efeito em conta, o DWAF propõe ajustar o valor de c para áreas rurais multiplicando o coeficiente por um factor fT inferior à unidade.

Período de retorno (anos) fT

2 0.50 5 0.55 10 0.60 20 0.67 50 0.83 100 1.00

Para áreas urbanas, considera-se que o valor de c para períodos de retorno iguais ou superiores a 50 anos é igual a 1. Quando uma bacia inclua áreas urbanas e rurais, o DWAF diz que o valor de c se obtém ponderando os valores de curb e de crur tomando como pesos as respectivas áreas relativas. 9.4.3 Fórmula de Giandotti A fórmula de Giandotti é muito utilizada, sendo até por vezes incluída em regulamentos de países diversos. A fórmula escreve-se

c

p tAhQ λ

=

em que Qp é dado em m3/s, A em km2, h é a altura de precipitação em mm correspondente a uma duração igual à do tempo de concentração e para um período de retorno T, tc é o tempo de concentração em horas, e λ é um parâmetro função da área da bacia.

Área da bacia km2 300-500 500-1,000 1,000-8,000 8,000-20,000 λ 0.277 0.197 0.100 0.076

9.4.4 Método do Soil Conservation Service O SCS propôs a seguinte fórmula


Cheias 9-9

p

up t

KAhQ 277.0=

com Qp em m3/s, A em km2, hu (precipitação útil) em mm, tp (tempo para o pico) em horas. K é um factor de ponta que assume os valores de 0.5 para bacias muito planas, 0.75 para bacias com declive médio e 1 para bacias com declive forte. A altura útil, hu, é calculada pela seguinte expressão

( )

0

20

4hhhhhu +

−=

em que h0 corresponde às perdas iniciais (por infiltração e armazenamento superficial) antes de se iniciar o escoamento superficial laminar. Para o cálculo de h0, o SCS apresenta a seguinte fórmula

8.5050800 −=

Nh

N é o chamado número do escoamento. O valor de N a ser utilizado em cada caso pode ser obtido a partir da tabela 9.2 extraída de Lencastre e Franco 1984. N depende das características da bacia e também do estado de humedecimento do solo anteriormente à chuvada. Quando h for inferior a h0, a precipitação útil hu é nula. O cálculo do tempo para o pico, tp, é feito da seguinte maneira: crp ttt 6.05.0 +=

thhttr /

0−=

em que tr é a duração da chuvada útil.


Cheias 9-10


Cheias 9-11

9.5 MÉTODOS ESTATÍSTICOS 9.5.1 Metodologia Um dos processos mais utilizados para o cálculo de caudais de dimensionamento associados a uma certa probabilidade de não excedência é a aplicação de modelos de distribuição de extremos a séries de caudais instantâneos máximos anuais. Normalmente, as séries disponíveis, obtidas a partir de registos de observação, têm durações bastante inferiores aos períodos de retorno pretendidos, não permitindo uma estimação directa do valor do caudal pretendido. Por exemplo, em Moçambique é difícil arranjar séries com mais de 35 anos. A sequência de cálculo que se adopta é então a seguinte: - selecção dum modelo de distribuição de extremos de entre as distribuições teóricas; - especificação do modelo a partir da amostra; - avaliação do modelo; - utilização do modelo para a previsão de caudais de cheia. Estes passos de cálculo irão ser vistos mais em pormenor na sequência do presente capítulo. 9.5.2 Testes de aleatoriedade Na análise admite-se que a série de caudais instantâneos máximos anuais constitui uma amostra aleatória, isto é, que os elementos da série são independentes e têm a mesma distribuição de probabilidades. Com efeito, geralmente os factores naturais que determinam a ocorrência dos caudais instantâneos máximos anuais podem ser considerados independentes, nos diferentes anos hidrológicos. No entanto, esta situação pode ser alterada quer devido a modificações nas condições físicas das bacias hidrográficas (p.ex. pelo desenvolvimento de actividades humanas como a urbanização, agricultura intensiva, deflorestação, etc.) quer devido a modificações relacionadas com o sistema de medição dos caudais (p.ex. mudança do equipamento ou do local da medição) ou outras. A aleatoriedade das séries de registos não pode ser provada mas a hipótese de aleatoriedade pode ser rejeitada se a série mostrar desvios sistemáticos tais como: - persistência no tempo: os elementos da série não são independentes; - os elementos da série não tem todos a mesma distribuição; - efeito de tendência: os elementos da série parecem ir aumentando (ou diminuindo) com o

tempo. Para analisar a aleatoriedade duma série utilizam-se diversos testes estatísticos dos quais se irão referir apenas os seguintes:


Cheias 9-12

- testes do coeficiente de autocorrelação; - teste de Wald-Wolfowitz; - teste da ordenação. 9.5.2.1 Teste do coeficiente de autocorrelação O teste do coeficiente de autocorrelação procura identificar a existência de persistência no tempo, i.e., se o valor xi+1 da série X é independente do valor de xi. A persistência pode ser detectada através do coeficiente de autocorrelação de ordem 1, r1, dado pela seguinte equação:

1-NN*

)x-x(

)x-x)(x-x( = r

2i

N

1=i

1+ii

N

1=i1

∑

∑

Passando de r1, para a variável transformada Z:

)r-(1)r+(1

21 = Z

1

1ln

A distribuição da varável Z é aproximadamente Normal com média nula e variância 1/N. Se Z tiver um valor elevado, tal significa que existe uma autocorrelação linear significativa na série X. A hipótese de independência no tempo pode ser rejeitada para um nível de confiança de 95% se Z> 1,96 / √N. 9.5.2.2 Teste de Wald-Wolfowitz O teste de Wald-Wolfowitz verifica-se os elementos da série X têm todos a mesma distribuição, constituindo um teste geral de homogeneidade da série. Considere-se a série Y obtida por ordenação da série X e considere-se a série X dividida em duas subsérie X1 e X2, em que X1 contem a primeira metade da série X, e X2 a segunda metade. Considere-se agora a série Z definida da seguinte maneira (i = 1, 2, ....., N): zi = 1 se yi é um elemento de X1 zi = 2 se yi é um elemento de X2 A estatística do teste é R = número de vezes em que zi+1=/ zi. Se a série X for homogénea, os sucessivos elementos de Y estarão bem repartidos pelas subséries X1 e X2 e o valor de R será médio. Se a série X não for homogénea, os elementos sucessivos de Y aparecerão concentrados numa das subséries X1 ou X2 (dando um valor de R baixo) ou com uma dispersão excessiva pelas duas subséries (dando um valor de R alto). O quadro que se apresenta corresponde a um nível de confiança de 95% e dá os valores limite de R em função do número de valores N da série X.


Cheias 9-13

N 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Rinf. 6 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 Rsup. 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 24 Sempre que o valor de R não steja entre os limites definidos neste quadro pode rejeitar-se a hipótese de homogeneidade da série X com um nível de confiança de 95%. 9.5.2.3 Teste de ordenação O teste da ordenação procura detectar a presença dum efeito de tendência na série X. Considere-se a série ordenada Y e defina-se o índice de posicionamento Ki da variável xi na série Y como sendo o número de elementos de X não superiores a xi. Se se verificar a presença duma correlação significativa entre o índice de posicionamento Ki e o índice cronológico i isso indica a existência dum efeito de tendência na série X. A estatística de teste é o coeficiente de correlação de Spearman:

N)N(

)i K( 6 - 1 = R 3

2i

N

1=iT −

−∑

Um valor alto de RT indica a existência dum efeito de tendência. Para o teste, utiliza-se uma transformação de RT:

21

212

−−

TT R

N R = Z

Z segue uma distribuição de Student com N-2 graus de liberdade. O quadro seguinte dá valores limite superiores para Z para diversos valores de N, considerando um nível de confiança de 95%. N-2 10 15 20 25 30 Zsup. 2.228 2.131 2.086 2.060 2.042 Quando a hipótese de aleatoriedade fôr rejeitada em mais do que um dos testes pode-se considerar que a série não é aleatória ao nível de confiança de 95% e não pode ser utilizada para se fazer o ajustamento a uma distribuição de extremos. No entanto, pode ser possível através duma análise mais profunda da série determinar as causas da não aleatoriedade e, a partir daí, transformar por meio duma modificação adequada a série dada numa outra, aleatória. Poderá então utilizar-se a série transformada para se fazer o ajustamento a uma distribuição de extremos. 9.5.3 Distribuições teóricas Manual de Hidrologia

Cheias 9-14

Os modelos teóricas de distribuições de extremos a que se procura ajustar as série de caudais máximos anuais devem, por um lado, ser compatíveis com as condicões físicas que determinam as cheias e, por outro lado, reproduzir as caracteristicas genéricas das funcões de distribuição empíricas dessas séries. As características mais importantes a considerar são, do ponto de vista físico, a continuidade e o limite inferior não negativo; do ponto de vista das funções de distribuição empíricas das séries, a assimetria positiva e a unicidade da moda. De entre o grande número de modelos de distribuições de probabilidades teóricas, alguns são habitualmente mais utilizados para ajustamento às série de caudais de cheias, satisfazendo na generalidade as características referidas no parágrafo anterior: c) distribuições derivadas a partir da distribuição Normal; d) distribuição de Gumbel; e) distribuições baseadas na função Gama. A distribuição Normal ou de Gauss é a distribuição mais conhecida e estudada em Estatística. Apresenta, no entanto, dificuldades para a utilização em estudos de cheias devido a não ter limite inferior e, mais importante do ponto de vista prático, ter assimetria nula. Para resolver estas dificuldades, utilizam-se distribuicões derivadas a partir da distribuição Normal: - distribuição Log-Normal de 2 parâmetros (Lei de Galton), que corresponde a ajustar uma

distribuição Normal aos logaritmos dos valores da série; - distribuição Log-Normal de 3 parâmetros, semelhante à anterior mas introduzindo um

terceiro parâmetro correspondente ao limite inferior da série. A distribuição de Gumbel é um caso particular da distribuição de Fisher – Tippett generalizada (trata-se da distribuição de extremos de Fisher – Tippett tipo 1). A distribuição de Gumbel tem sido muito utilizada até devido à sua relativa simplicidade matemática. As distribuições baseadas na função Gama são assimétricas e mostram grande flexibilidade no ajustamento às séries de caudais máximos anuais. As mais utilizadas são: - distribuição Gama de 2 parâmetros; - distribuição de Pearson tipo 3, obtida da anterior por introdução dum terceiro parâmetro,

sendo um parâmetro de localização; - distribuição Log-Pearson tipo 3 – corresponde a ajustar a distribuição de Pearson tipo 3 aos

logaritmos dos caudais. Embora tenham sido apresentados muitos argumentos teóricos em favor de cada uma destas distribuições, todos se baseiam em premissas que são violadas nas aplicacões. Assim, tem-se adoptado uma atitude mais pragmática de aceitar todas estas distribuições como modelos possíveis, fazer a especificação do modelo e posteriormente a sua avaliação estatística. 9.5.4 Especificação de modelos 9.5.4.1 Métodos para a especificação de modelos Manual de Hidrologia

Cheias 9-15

A especificação ou ajustamento do modelo de distribuição de extremos consiste na estimação dos respectivos parâmetros a partir da informação contida na série de caudais instantâneos máximos anuais. Os métodos mais correntes para a estimação dos parâmetros são - o método dos momentos; - o método da máxima verosimilhança; - o método dos mínimos quadrados. f) Método dos momentos A estimação pelo método dos momentos é a mais simples de se fazer e consiste em seleccionar os valores dos m parâmetros da distribuição por forma a que os primeiros m momentos da distribuição (ou suas transformações) sejam iguais aos correspondentes momentos ou transformações da amostra. Normalmente, pretende-se que a média a e variância (e o coeficiente de assimetria, no caso de distribuições com 3 parâmetros) da distribuição e da amostra sejam iguais. g) Método da máxima verosimilhança O método da máxima verosimilhança consiste em estimar os parâmetros da distribuição por forma a maximizar a função de verosimilhança L(θx), definida por:

)|xf( = x)|L( i

N

1=i

θθ ∏ em que f(xθ) é a função de densidade da probabilidade de x com parâmetros θ. Com efeito, a probabilidade de se obter um valor no intervalo [xi-dx/2; xi+dx/2] é proporcional a f (xiθ) e a probabilidade conjunto de se obterem n valores xi, x2,... xn é proporcional ao produto:

)|xf( i

N

1=i

θ∏ que é a função de verosimilhança. A estimação dos parâmetros faz-se tomando derivadas parciais da função de verosimilhança ou da sua transformação logarítmica em relação a cada um dos parâmetros e igualando a zero o que dá um número de equações igual ao número de parâmetros. h) Método dos mínimos quadrados O método dos mínimos quadrados consiste em estimar os parâmetros da distribuição por forma a minimizar a soma S dos quadrados dos desvios entre as probabilidades empíricas, Yi, e as probabilidades teóricas indicadas pelo modelo F(xiθ):

]) |xF(-Y[=S 2ii

N

1=i

θ∑ A estimação dos parâmetros faz-se tomando derivadas parciais de S em relação a cada um dos parâmetros e igualando a zero.


Cheias 9-16

Embora geralmente a estimação pelo método da máxima verosimilhança seja a mais eficiente, a derivação dos estimadores é morosa e frequentemente torna-se necessário recorrer a processos iterativos para a sua determinação. O método dos momentos conduz a bons resultados quando a amostra tem uma grande dimensão mas em pequenas amostras os erros de amostragem originam estimadores de fraca qualidade, particularmente para distribuições de mais de 2 parâmetros. Feitas estas reservas, ir-se-á utilizar no que se segue apenas o método dos momentos para a estimação dos parâmetros. 9.5.4.2 Distribuição Log-Normal de 2 parâmetros (LN2) Diz-se que uma variável se ajusta a uma distribuição Log-Normal de 2 parâmetros ou Lei de Galton quando é possível ajustar uma distribuição Normal à transformação logarímica dessa variável. A distribuição Normal tem a seguinte expressão:

∞∞∫∞

+<z<-dz e21 = F(z) 2

z-z

-

2

π

em que z é a variável normal reduzida, com média nula e variância unitária. Definida desta maneira, a distribuição Normal é padronizada e não tem parâmetros. Se x é uma variável normal com média µx e desvio padrão σx, a função de distribuição terá 2 parâmetros (µx e σx):

∞∞∫∞

+<x<- dxe2

1 = F(x) )-x

(21-

x

x

-x

x2

σµ

πσ

que se poderia ter obtido da distribuição de z pela transformação de padronização:

σ

µx

x- x =z

A função de distribuição Normal não pode ser integrada analíticamente, razão porque se utilizam aproximações numéricas (alternativa bastante conveniente para o cálculo em computador) ou tabelas de valores da distribuição padronizada como a que se reproduziu no capítulo 3 deste manual. Se x ajustar a uma distribuição LN2 isso significa que y = ln(x) se ajusta a uma distribuição Normal. O domínio da variável x será 0 < x < +∞, ie, x é sempre positivo. Por outro lado, a distribuição LN2 tem assimetria positiva. A função de distribuição LN2 é:


Cheias 9-17

∞∫ +<x<0- dxe2x

1 = F(x) )-(x)

(21-

y

x

0y

y2

σ

µ

πσ

ln

tendo como parâmetros µy e σy:

2 - )( = y

2

xyσµµ ln

]) + (1[ = 21

x2

x2

yµσσ ln

Obtidos os parâmetros estatísticos da amostra, µx e σx, obtêm-se os parâmetros da transformada logarítmica y, µy e σy, com os quais se trabalha facilmente no espaço normal utilizando a variável normal reduzida z. Tendo apenas 2 parâmetros a distribuição LN2 permite o ajustamento a uma variável com dadas média e variância e com assimetria positiva mas não permite garantir que a assimetria da distribuição iguale a assimetria da variável. O coeficiente de assimetria da distribuição LN2 é obtido em função do coeficiente de variáção de x, cv: γ = Cv

3 + 3 Cv 9.5.4.3 Distribuição Log-Normal de 3 parâmetros (LN3) Diz-se que uma variável se ajusta a uma distribuição Log-Normal de 3 parâmetros quando é possível ajustar uma distribuição Normal à variável transformado y:

y = ln (x – x0) A distribuição LN3 permite normalmente uma maior flexibilidade no ajustamento graças à introdução do parâmetro adicional x0. O dominio da variável x será x0< x < +∞. O ajustamento à distribuição LN3 apenas é possível quando x tem assimetria positiva. A função de distribuição LN3 é:

∞∫ +<x<x dxe2)x-(x

1 = F(x) 0)

-)x-(x(

21-

y0

x

x

2

y

y0

0

σ

µ

πσ

ln

Sendo os três parâmetros x0, µy e σy calculados através de:

2)4 + ( + - =G

212

xx γγ

G

G - 1 = C31

32

])C + (1[ = 21

2y lnσ


Cheias 9-18

2 - )

C( =

2yx

yσσµ ln

C - = x x

x0σµ

Os 3 parâmetros permitem garantir a igualdade da média, variância e coeficiente de assimetria da amostra e da distribuição. Obtidos os parâmetros estatísticos da amostra, µx, σx e γx, obtêm-se os parâmetros da distribuição LN3, x0, µy, σy, a partir dos quais se trabalha fácilmente no espaço Normal utilizando a variável normal reduzida z. Com efeito, neste caso

σ

µ

σ

µ

y

y0

y

y - )x-(x =

-y =z

ln

Se, por exemplo, se pretender obter o valor de x correspondente a determinado período de retorno T, basta calcular: F = 1 – 1/T z = z(F) y = z σy + µy x = ey + x0 Se, ao invés, se quiser determinar o período de retorno T que corresponde a certo caudal x, basta seguir o caminho inverso:

y = ln(x-x0) z = (y-µy)/σy F = F(z) T = 1/(1-F) Óbviamente, os mesmos procedimentos aplicam-se à distribuição LN2. 9.5.4.4 Distribuição de Gumbel A distribuição de Gumbel tem a seguinte expressão: ∞∞−− <x<- e = F(x) -e xxa )0(

sendo, portanto, uma distribuição com apenas 2 parâmetros. Os parâmetros a e x0 podem ser estimados pelo método dos momentos pelas seguinte expressões: a = π/(√6*σx) = 1,2825/σx


Cheias 9-19

x0 = µx – 0,57721/a = µx – 0,4500σx O ajustamente iguala a média e a variância da distribuição às da amostra mas não permite impôr um dado valor do coeficiente de assimetria. Este é constante para o caso da distribuição de Gumbel: γ = 1,29857 Para se determinar o caudal correspondente a um deteminado período de retorno T basta inverter a expressão da função de distribuição de Gumbel:

x+a

(F)][-- = X 0lnln

O calculo da probabilidade de não excedência, F(x), (ou do correspondente período de retorno T) para um dado valor de caudal x faz-se substituindo o valor de x na expressão da função de distribuição. 9.5.4.5 Distribuição Gama de 2 parâmetros A distribuição Gama de 2 parâmetros (G2) tem a seguinte expressão:

∞Γ∫ < x < 0 dx

)( || e x = F(x) 1-

x-1-x

0 βαα βα

β

sendo α e β os seus parâmetros e Γ(β) a função gama definida por:

dtet = )( t1-

0

−

∞

∫Γ ββ

a qual é dada em tabelas ou pode ser obtida por um método de aproximação numérica. Os parâmetros da distribuição G2 são estimados pelo método dos momentos igualando a média e a variância da distribuição às da amostra, chegando-se às seguintes expressões:

µ

σαx

x2

=

αµ

σµβ x

x2

x2

= =

O coeficiente de assimetria da distribuição não pode ser ajustado ao da amostra, tomando um valor sempre positivo.

β

γ 2 =

A complexidade da expressão matemática da função de distribuição G2 leva a utilizar-se uma Manual de Hidrologia

Cheias 9-20

transformação para passar duma variável gama para uma variável normal, trabalhando depois no espaço normal. Essa transformação é a transformação de Wilson-Hilferty:

) 91z+

91-(1 = x 3

ββαβ

em que x é a variável gama e z a variável normal reduzida de igual probabilidade. Note-se que a transformação de Wilson-Hilferty só se mantem válida para γ ≤ 3, devendo usar-se a transformação de Kirby para valores de γ superiores a 3. Desta forma, para se calcular o caudal x correspondente a um determinado período de retorno T e probabilidade de não excedência F(x), basta determinar: - z = z(F) na tabela da distribuição Normal; - substituir z na expressão da transformação de Wilson-Hilferty. O problema oposto de determinar a probabilidade ou o período de retorno correspondente a um caudal x exige a inversão da transformação de Wilson-Hilferty:

β

βαβ

91

91 + 1 - )x(

=z 31

donde se obtem imediatamente F = F(z). 9.5.4.6 Distribuição de Pearson tipo 3 A distribuição de Pearson tipo 3 pode obter-se a partir da distribuição G2, através da introdução dum parâmetro adicional de localização, x0:

∞Γ∫ < x < x dx

)( || e )x-(x = F(x) 01-

x-x-1-0

x

0

0

βαα β

αβ

Os três parâmetros da distribuição são então α, β e x0. A sua estimação pelo método dos momentos faz-se igualando a média, a variância e o coeficiente de assimetria da distribuição aos correspondente valores da amostra, através das seguintes expressões:

2 = xxγσα

γ

βx

24 =

γσµ

x

xx0

2 - = x


Cheias 9-21

Também para a distribuição de Pearson tipo 3 se torna mais simples trabalhar no espaço normal através da transformação de Wilson-Hilferty (ou, no caso de γ > 3, através da transformação de Kirby). A transformação de Wilson-Hilferty é neste caso:

x + ) 91z+

91-(1 = x 0

3

ββαβ

em que x é a variável Pearson tipo 3 com parâmetros α, ß e x0, e z é a variável normal reduzida de igual probabilidade. Assim, calculados os parâmetros, a determinação do caudal x que corresponde a um certo período de retorno T e probabilidade de não excedência F(x) torna-se bastante simples: - obtem-se z = z(F) na tabela da distribuição Normal; - substitui-se z na expressão da transformação de Wilson-Hilferty. Para o problema oposto, a inversão da transformação conduz a

β

βαβ

91

91 + 1 - )x-x(

=z 31

0

e é imédiato obter F = F(z) na tabela da distribuição Normal. 9.5.4.7 Distribuição Log-Pearson tipo 3 Um variável x ajusta-se a uma distribuição Log-Pearson tipo 3 se a sua transformada logarítmica se ajusta a uma distribuição de Pearson tipo 3. Assim, basta fazer: y = ln(x) e proceder ao ajustamento de y à distribuição de Pearson tipo 3. 9.5.5 Avaliação dos modelos 9.5.5.1 Metodologia de avaliação dos modelos Depois de se ter seleccionado um modelo de distribuição de extremos para o ajustamento a uma dada série histórica é feito a especificação do modelo através da estimação dos seus parâmetros, é necessário avaliar o modelo, i.e., verificar se ele se ajusta bem à série dada. Os testes de ajustamento mais utilizados são: - gráficos, com base em papel de probabilidade;


Cheias 9-22

- métodos analíticos, entre os quais os testes do qui-quadrado (χ2) e de Kolmogorov-Smirnov. Os testes apoiam a tomada da decisão sobre se a hipótese de que determinada função de distribuição se ajusta à amostra deve ser aceite ou rejeitada. Nessa decisão pode cometer-se um de dois tipos de erros: - rejeitar a hipótese de ajustamento quando ela é correcta e deveria ter sido aceite; erro do tipo

I; - aceitar a hipótese quando ela é errada e deveria ter sido rejeitada; erro do tipo II. Em geral, não é possível minimizar simultâneamente os dois tipos de erros e, no estudo do ajustamento de distribuições de extremos, pretende-se minimizar a probabilidade de ocorrência do erro do tipo I. Para tal, exige-se que a rejeição da hipótese de ajustamento se faça com um nível de confiança n = 1-α elevado, normalmente n = 0,95. α é o nível de significância. 9.5.5.2 Ajustamento gráfico e papel de probabilidade É possível para funções monótonas duma variável, como é o caso das funções de distribuição de probabilidades, adoptar um sistema de eixos coordenados tal que a função apareça nessa sistema de eixos como uma recta. Veja-se, por exemplo, o caso da função y = x2 que é uma parábola do 2º grau. Se no entanto, a função for implantada num sistema de eixos log-log ela aparece como uma recta. A função também aparece como uma recta se o eixo dos xx for linear e, no eixo dos yy, valores de y forem marcados a distância √y. Torna-se assim possível desenhar os chamados papeis de probabilidade: papeis onde estão implantadas quadrículas correspondentes a sistema de eixos tais que a representação neles de deteminadas funções de distribuição aparece como uma recta. São especificalmente utilizados papeis de probabilidade para as seguintes distribuições: - Normal; - Log-Normal; - Gumbel; - Log-Gumbel. Se uma variável aleatória x segue a distribuição Normal, então a implantação dos pontos com coordenadas (Pi ,xi) aparecerá no papel de probabilidade Normal com um alinhamento praticamente rectilíneo. Pi é a probabilidade de não excedência do valor xi da amostra, em que os xi são ordenados por ordem crescente. O cálculo do valor de Pi, probabilidade empírica, pode ser feito por várias fórmulas (“plotting position”) sendo a fórmula de Weibull uma das mais correntes. Pi = i / N+1 em que N é a dimensão da amostra. Manual de Hidrologia

Cheias 9-23

Caso a implantação dos pontos origine uma configuração rectilínea, pode-se fazer o traçado duma recta que minimize as distâncias (ou os seus quadrados) aos pontos e utilizar essa recta para obter o caudal que corresponde a um certo período de retorno e vice-versa. Se a configuração dos pontos não é rectilínea isso constitui um indicativo que a distribuição Normal não é um modelo que se ajusta bem à série em estudo. O papel de probabilidade Log-Normal apenas difere do papel de probabilidade Normal por o eixo dos caudais ser logarítmico e não linear. Se a implantação dos pontos neste papel resultar aproximadamente num alinhamento rectilíneo será provável que a amostra se ajusta bem a uma distribuição LN2. Tal como no caso anterior, pode-se traçar a recta que “passa” pelos pontos e utilizá-la para calcular o caudal para um certo período de retorno ou para resolver o problema inverso. O papel de probabilidade Log-Normal pode ainda ser utilizado para testar o ajustamento a uma distribuição LN3. Surge, no entanto, neste caso uma dificuldade: no eixo das ordenadas devem ser marcados os valores de (x-x0) o que obriga ao cálculo analítico de x0 ou a traçarem-se gráficos com diversos valores de x0 a ver se algum se configura como uma recta. O papel de probabilidade Gumbel usa um eixo (das ordenadas) linear para os caudais e o outro eixo (das abcissas) com escala duplamente logarítmica para as probabilidades. Se o eixo dos caudais for logarítmico em vez de linear, o papel permitirá testar o ajustamento a uma distribuição Log-Gumbel, distribuição em que é a amostra logarítmizada que se ajusta a uma distribuição Gumbel. A grande variedade de formas possíveis com as distribuições baseadas na função Gama não permite que haja um papel de probabilidade para estas distribuições embora seja possível construir um papel de probabilidade específico para uma amostra com um dado valor do coeficiente de assimetria. O ajustamento gráfico apresenta em relação aos testes analíticos a grande desvantagem de introduzir uma certa dose de subjectividade e ser por isso menos rigoroso. 9.5.5.3 Teste do qui-quadrado (χ2) O teste do qui-quadrado consiste em dividir o dimínio da função de distribuição em M intervalos e comparar o número de elementos da amostra contidos em cada intervalo, Oj, com a esperança matemática expressa pelo modelo do número de elementos correspondentes a cada intervalo, Ej. Assim, define-se a estatística χ2:

E

)E - O( = j

2jj

M

1=j

2 ∑χ

Os intervalos não têm de ser iguais embora haja vantagem em que o sejam. Quando os intervalos são iguais, Ej é constante para qualquer j, Ej = N/M.


Cheias 9-24

j

M

1=j

2 ONMN = 2∑+−χ

Os valores de Oj são obtidos calculando os valores limites de x que correspondem aos limites dos intervalos em termos de probabilidades, i/M, e contabilizando os elementos da amostra contidos em cada intervalo. A estatística χ2 tem aproximadamente uma distribuição χ2 com um número de graus de liberdade v=M-np-1 em np é o número de parâmetros da distribuição estimados a partir da amostra. O teste do qui-quadrado diz que se deve rejeitar a hipótese do ajustamento com um nível de confiança n = 1-α se χ2 > χ1-α

2 em que χ1-α2 é o quantil 1-α da distritbuição χ2 com v graus de liberdade.

O número de intervalos M aconselhável é função da dimensão da amostra N. Apresentam-se duas propostas frequentemente adoptadas para os valores de M: N 15-20 21-25 26-30 31-40 M 5 6 7 8 N 15-25 26-30 31-35 36-40 M 5 6 7 8 O quadro seguinte apresenta valores da distribuição χ2 para 1-α = 0.95 em função do número de graus de liberdade: v 1 2 3 4 5 6 χ0,95

2 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 12.592 9.5.5.4 Teste de Kolmogorov-Smirnov O teste de Kolmogorov-Smirnov consiste em determinar a estatística D que é a maior “distância” entre a função de distribuição teórica e a função de distribuição empírica. Considere-se que a série X é ordenada por ordem crescente (x1 < x2 < ... < xN) e que probabilidade empírica de não excedência do valor xi é dada pela “plotting position” de Weibull: Pi = i / N+1 A função de distribuição empírica é uma função em escada e por isso a “distância” entre ela e a função de distribuição teórica deve ser medida à esquerda e à direita de cada ponto. A expressão para o cálculo de D é:

|])xF( - 1+N

i| ; |)xF( - 1+N

1-i[| = D iii max

em que F(xi) é o valor da função de distribuição teórica. Manual de Hidrologia

Cheias 9-25

D = max [Di] i = 1, 2, ..., N

O teste pode formular-se da seguinte maneira: a hipótese de que a distribuição teórica se ajusta à série em estudo é rejeitada com nível de confiança 1-α se D > D1-α, em que D1-α é o valor crítico, máximo aceitável para esse nível de confiança. Para o caso das distribuições Normal e Log-Normal com os parâmetros estimados pelo método dos momentos, o valor crítico para um nível de confiança de 95% é dado por

N0.85 + 0.01 - N

1.094 = D0.95

No caso da distribuição de Gumbel com os parâmetros estimados pelo método dos momentos, o valor crítico para o nível de confiança 1-α = 0.95 é dado por

N0.85 + 0.01 - N

0.935 = D0.95

Para as distribuições baseadas na função Gama não é possível definir com rigor o valor crítico mas apenas um limite superior desse valor crítico. Esse limite superior é dado por:

N0.11 + 0.12 + N

1.358 = Ds,0.95

Os valores de Ds, 0.95 devem ser reduzidos entre 20% e 35% para se ter uma melhor estimativa dos valores críticos. 9.5.6 Utilização do modelo para previsão dos caudais de cheia Se um modelo de distribuição de extremos não é rejeitado nem pelo teste do χ2 nem pelo teste de Kolmogorov-Smirnov então ele pode ser utilizado para a previsão de caudais de cheia. Se tratar do problema de dimensionar uma obra hidráulica, será necessário definir os períodos de retorno e, a partir daí, seguir os procedimentos de cálculo apresentados nos capítulos dedicados a cada uma das distribuição teóricas. Uma questão que pode surgir é quando se experimenta ajustar diversas distribuições teóricas a uma dada série e mais do que uma dessas distribuição não é rejeitada por nenhum dos testes de ajustamento. Nessas condições, torna-se necessário discriminar entre as distribuições não rejeitadas para escolher aquela que proporcina o melhor ajustamento. Um dos processos para se


Cheias 9-26

fazer esta escolha é a utilização dos chamados “índices de adaptabilidade” de que a seguir se apresenta um exemplo:

])x(F-1+N

i[ = IA 2ij

N

1=ij ∑

em que a série X está ordenada por ordem crescente, Fj é a j-ésima distribuição não rejeitada pelos testes de ajustamento e IAj o correspondente valor índice de adaptabilidade. Como é evidente, deve ser escolhida a distribuição que apresenta o menor valor do índice do adaptabilidade. 9.6 MÉTODO DO HIDROGRAMA UNITÁRIO 9.6.1 Introdução O método do hidrograma unitário foi proposto por SHERMAN nos Estados Unidos em 1932 e tornou-se a partir de então um dos métodos mais utilizados para a obtenção do hidrograma de escoamento directo resultante de precipitação intensa, aplicando-se fundamentalmente ao estudo de cheias. A principal razão da grande popularidade do método reside na sua simplicidade matemática resultante do processo de convolução linear com que se faz a transformação da precipitação em escoamento. No entanto, as hipóteses em que o método se baseia impõem algumas limitações sérias na sua aplicação como adiante se verá. No estudo de cheias, principalmente quando estão envolvidos aspectos como a propagação de ondas de cheia em rios ou a sua passagem em descarregadores de barragens, o método do hidrograma unitário apresenta uma significativa vantagem em relação a outros métodos usados como a análise estatística ou as fórmulas cinemáticas. O método do hidrograma unitário não só dá o caudal de pico mas dá também todo o hidrograma da cheia, enquanto que os outros métodos citados se limitam a dar o caudal de pico. Nos pontos seguintes far-se-á o estudo dos conceitos principais do hidrograma unitário e suas aplicações; formas de obtenção do hidrograma unitário a partir de registos hidrometeorológicos; derivação do hidrograma unitário na ausência de registos de escoamentos e a precipitação de projecto a ser considerada. 9.6.2 Revisão de alguns conceitos Para o estudo da teoria do hidrograma unitário, há que ter presente alguns conceitos como os de precipitação útil e escoamento directo. Manual de Hidrologia

Cheias 9-27

Sabe-se que, da precipitação que atinge a superfície do solo: - uma parte fica retida em depressões superficiais e volta para a atmosfera por evaporação; - uma parte infiltra-se e fica retida na camada superficial do solo, sendo devolvida à atmosfera

pela acção conjunta do solo e da vegetação pelo processo designado por evapotranspiração; - uma parte infiltra-se para zonas profundas do subsolo onde vai reforçar as reservas da água

subterrânea; - por fim, uma parte escorre à superfície do terreno (escoamento laminar) ou imediatamente

abaixo da superfície (escoamento sub-superficial ou hipodérmico), acabando por se concentrar em linhas de água.

Este tipo de escoamento superficial que resulta imediatamente a partir da precipitação é chamado escoamento directo enquanto que o escoamento superficial alimentado por aquíferos constitui o escoamento de base. A componente da precipitação que origina o escoamento directo designa-se por precipitação útil. Já se viu anteriormente como um hidrograma de escoamento total pode ser decomposto nas suas componentes de escoamento directo e escoamento de base. Na teoria do hidrograma unitário apenas se estabelecem relações entre a precipitação útil e o escoamento directo. Assim, utilizando o hidrograma unitário pode-se obter um hidrograma de escoamento directo ao qual depois se tem de adicionar o escoamento de base para obter o escoamento total. No estudo de cheias é frequente a componente do escoamento de base ser relativamente pequena em comparação com o pico do escoamento directo, podendo nessas condições o escoamento de base ser negligenciado. A duração do escoamento directo é designada por tempo base, tb. O tempo base é a soma do tempo de crescimento, tp (desde o início do escoamento directo até ao pico do hidrograma) e do tempo de decrescimento, td (desde o pico até ao fim do hidrograma). O tempo base é também igual à soma de três outros tempos: - o tempo de precipitação, tr (duração da precipitação útil); - o tempo de concentração, tc (tempo necessário para que a gota de água caída no ponto da

bacia hidraulicamente mais distante da secção de saída chegue a essa secção; é uma característica constante de cada bacia);

- o tempo de esvaziamento, te (duração do escoamento armazenado na rede hidrográfica desde a cessação da precipitação até ao fim do escoamento directo).

9.6.3 Definição e postulados Para uma dada bacia hidrográfica, define-se hidrograma unitário para uma chuvada útil com duração tr e uma altura de precipitação unitária (normalmente 1 cm) como sendo o hidrograma de escoamento directo resultante dessa chuvada útil. O hidrograma unitário está portanto associado a uma certa duração da chuvada útil.


Cheias 9-28

O hidrograma tem uma forma bem definida, normalmente traduzida por ordenadas/caudais em intervalos de tempo iguais. O hidrograma unitário é caracterizado também pelo caudal de pico e pelo tempo base. A teoria do hidrograma unitário baseia-se em dois postulados fundamentais: o da proporcionalidade e o da sobreposição. O postulado da proporcionalidade significa que as ordenadas/caudais do hidrograma de escoamento directo resultantes duma chuvada útil com a duração tr e altura h são iguais às ordenadas de hidrograma unitário para a mesma duração multiplicadas por h. O postulado da sobreposição significa que as ordenadas/caudais do hidrograma de escoamento directo resultantes de diversas chuvadas úteis são obtidas pela soma das ordenadas dos hidrogramas correspondentes a cada uma das chuvadas. Estes dois postulados implicam uma relação de linearidade entre a precipitação útil e o escoamento directo. Esta relação não é inteiramente válida sobretudo para bacias hidrográficas muito grandes. Não se aconselha por isso a utilização do hidrograma unitário em bacias que excedem os 1,000 km2. Uma das maiores dificuldades práticas é a determinação da precipitação útil a partir da precipitação total. Todas as aplicações do método do hidrograma unitário derivam directamente a partir da definição e dos postulados. 9.6.4 Transformação de hidrogramas unitários No campo das aplicações, interessa frequentemente transformar o hidrograma unitário de que se dispõe e que corresponde a uma dada duração tr da chuvada útil num outro hidrograma unitário que corresponda a uma chuvada útil com duração αtr. O problema resolve-se com facilidade para valores de α inteiros mais o processo é um pouco mais complexo para α não inteiro, situação que tem bastante interesse prático sobretudo para α < 1. Vejamos em primeiro lugar como, dado Hutr, se pode obter Huntr. Se virmos que o Hutr corresponde a uma chuvada com a duração de tr horas, para obtermos o Huntr vamos considerar n chuvadas consecutivas de tr horas e cada uma delas com uma altura de precipitação de 1 cm. O hidrograma resultante obtem-se facilmente aplicando o princípio da sobreposição. O hidrograma resultante ainda não é Huntr pois embora corresponda a uma chuvada com duração de ntr horas, a altura da precipitação que o origina é n cm e não 1 cm como implica a definição de hidrograma unitário. Para obter o Huntr basta então aplicar o princípio da proporcionalidade e multiplicar todas as ordenadas do hidrograma resultante por 1/n. Como se disse atrás, a obtenção dum hidrograma unitário para uma chuvada com duração αtr com α < 1 é mais complicada. Para esse efeito usa-se o método da curva em S. A curva em S é o hidrograma resultante duma precipitação com intensidade constante i = 1/tr e duração infinita. O hidrograma tem de facto a forma característica dum S. Manual de Hidrologia

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Como se dispõe do Hutr, pode-se considerar uma sucessão de chuvadas com duração tr e altura unitária (donde i = 1/tr) e obter o hidrograma resultante pela sobreposição de sucessivos Hutr desfasados de tr (figura 9.2).

O valor máximo da curva em S corresponde à situação de ter toda a bacia a contribuir em simultâneo para o escoamento directo: Q = i * Abacia. A partir da curva em S de intensidade 1/tr é simples obter o hidrograma unitário para a duração αtr: - consideram-se duas curvas em S, idênticas mas desfasadas de t1 = αtr. Esta situação equivale

a considerar que a segunda curva em S foi originada por uma chuvada que se iniciou t1 após a primeira (figura 9.3);

- subtrai-se a 2ª curva em S da primeira, obtendo-se assim um hidrograma que resulta duma chuvada com duração t1 e altura t1 * 1/tr. Não é ainda o hidrograma unitário visto que h=t1/tr≠1;

- o HUt1 é obtido dividindo as ordenadas do hidrograma anterior por t1/tr = α. Note-se que este processo não deve ser utilizado para α muito pequeno (α < 0.25) porque, como o HUtr é dado de forma discreta, a curva em S tem de ser afeiçoada: quanto mais pequeno fôr t1, maior será o erro derivado desse afeiçoamento. Note-se que embora um hidrograma seja uma função contínua de tempo ele é dado de forma discreta em intervalos de tempo iguais à duração da chuvada.


Cheias 9-30


Figura 9.3 – Obtenção do hidrograma para uma duração t1 a partir da curva em S 9.6.5 Obtenção do hidrograma unitário Para se obter um hidrograma unitário para uma dada bacia é necessário dispôr de informação diversa como os registos de precipitação e escoamento, características da bacia e conhecimento do estado de humidade do solo antecedendo a precipitação. Deve procurar obter-se registos simultâneos de precipitação e escoamento de chuvadas relativamente intensas, isoladas e com distribuação aproximadamente uniforme sobre toda a bacia. Considere-se então uma chuvada com duração, por exemplo, de 6 horas sobre uma dada bacia e que originou um pico de escoamento. Admitamos, para começar, que a intensidade da precipitação era constante ao longo das 6 horas. Então os passos a dar para obter HU6 seriam os seguintes: - no hidrograma do escoamento total fazer a separação do escoamento directo e do escoamento

de base; - determinar o volume do escoamento directo e, a partir daí, a altura da precipitação útil que

lhe corresponde; - dividir o hidrograma do escoamento directo pela altura útil. Por vezes, a informação hidrográfica disponível não inclui chuvadas isoladas mas sequências de chuvadas com intensidade variável, originando um hidrograma complexo. Nesses casos, pode-se tentar determinar um hidrograma unitário utilizando o método da convolução discreta. Admitamos que a precipitação e o hidrograma de escoamento de que se dispõe correspondem já à precipitação útil e ao escoamento directo. O método consiste no seguinte:

Cheias 9-31

- divide-se a chuvada em n intervalos ∆t, com intensidade constante em cada intervalo → h1, h2,... hn;

- divide-se o hidrograma em (m-1) intervalos ∆t, definindo as ordenadas Q1, Q2, ..., Qm; - designam-se as ordenadas do hidrograma unitário HU∆t por u1, u2,...É fácil de ver que o

HU∆t terá (m-n+1) ordenadas. - a aplicação dos postulados da proporcionalidade e da sobreposição origina um sistema de m

equações lineares a (m-n+1) incógnitas, permitindo obter as ordenadas do HU∆t (apesar do sistema de equações ser sobredeterminado, como adiante se verá).

As equações são as seguintes: h1u1 = Q1 h1u2 + h2u1 = Q2 h1u3 + h2u2 + h3u1 = Q3 ..... h1um + h2um-1 + h3um-2 + ..... + hnum-n+1 = Qm

Ou então: m) 1,..., =(j Q = uh j1+i-ji

n

1=i∑

O sistema é sobredeterminado porque tem m equações e (m-n+1) incógnitas, logo (n-1) equações em excesso. Assim, as últimas (n-1) equações confirmam os valores já obtidos ou conduzem a um sistema impossível, sem solução. Pode-se tentar desenhar o hidrograma e depois corrigi-lo à mão para eliminar os erros. De facto, o que acontece é que, como as medições bem como as transformações para se obter a precipitação útil e o escoamento directo não são exactas, há um erro em cada equação que se vai transmitindo e acumulando de equação para equação. Uma das vias para tentar resolver o problema é escrever as equações incluindo os erros e utilizando o método dos mínimos quadrados, como se segue. As equações escrever-se-iam então como

m) 1,..., =(j Q = euh ji1+i-ji

n

1=i

+∑ Então cada erro é dado em função de uj, podendo escrever-se:

m) 1,..., =(j uh Q = en

iijiji ∑

=+−−

11

Pode-se agora determinar os uj de tal forma que minimizem

. z = e i2

m

1=i∑


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Para tal, terá de se verificar 0 = uz

j∂∂

(j = 1, ..., m-n+1). Obtem-se agora um sistema de (m-n+1)

equações 0 = uz

j∂∂

a (m-n+1) incógnitas uj, donde o sistema é determinado.

1)+n-m ...., 1, =(j uee 2 =

u

e =

uz

j

ii

m

1=ij

i2

m

1=i

j ∂∂

∂

∂

∂∂ ∑

∑

Existem métodos mais sofisticados para se obter um melhor hidrograma unitário, nomeadamente evitando o aparecimento de ordenadas negativas e formas incorrectas. 9.6.6 Hidrogramas unitários sintéticos Pode acontecer que em determinadas bacias hidrográficas não exista informação hidrometeorológica suficiente para derivar o hidrograma unitário, sobretudo por falta de medições de escoamentos. Para essas situações, foram sugeridos hidrogramas unitários sintéticos, definidos a partir de características físicas da bacia. Hidrogramas unitários sintéticos foram propostos por diversos autores como Snyder e Clarke. Em seguida apresentam-se os hidrogramas sintéticos propostos pelo Soil Conservation Service (SCS) e por Mockus. 9.6.6.1 Hidrograma unitário sintético do SCS O HUtr do SCS, proposto em 1972, é definido da seguinte maneira:

horas) em t ,t ,t( t + 2t = t lrpl

rp

i 1900

)1 + S(0.03937 l 649.8 = t 0.5

0.70.8

l

50.8 - N

5080 = h ,h5 = S 00

t

A 0.208 = qp

p

em que l = comprimento do rio principal (km); i = declive médio da bacia (%); S = retenção potencial (mm); h0 = perdas iniciais por infiltração e armazamento (mm); N = número do escoamento ('curve number') do SCS; A = área da bacia (km2); qp = caudal de pico correspondente a uma precipitação útil de 1 mm (m3/s).


Cheias 9-33

O SCS definiu um hidrograma adimensional )ttf( =

qq

pp que se apresenta na tabela seguinte.

t/tp 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 q/qp 0.0 0.015 0.075 0.16 0.28 0.43 0.60 0.77 0.89 0.97 t/tp 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 q/qp 1.0 0.98 0.92 0.84 0.75 0.66 0.56 0.42 0.32 0.24 t/tp 2.4 2.6 2.8 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 q/qp 0.18 0.13 0.098 0.075 0.036 0.018 0.009 0.004

Este HUtr corresponde a uma altura de precipitação útil de 1 mm. Para ser transformado num hidrograma unitário não adimensional é necessário calcular tp e qp pelas fórmulas anteriores, obtendo-se depois o HU como q = f(t). 9.6.6.2 Hidrograma unitário sintético de Mockus O HU sintéticos de Mockus, proposto em 1957, tem a forma simplificada dum triângulo (figura 9.4) que, apesar da sua esquematização, conduz frequentemente a bons resultados. Também corresponde a uma altura de 1 mm.

tb = 2.67 tp tp, qp calculados da mesma maneira que para o hidrograma unitário sintético do Soil Conservation Service. 9.6.7 Hietograma de projecto Sendo já conhecido o hidrograma unitário HUtr, quando se pretende estudar uma cheia de projecto é necessário conhecer a precipitação que lhe dá origem, o hietograma de projecto. Uma questão que se coloca é a relação entre o período de retorno da precipitação e o período de retorno do escoamento. Devido ao efeito de armazenamento da bacia, o período de retorno da


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cheia é inferior ao da precipitação, efeito tanto menos sensível quanto maior for o período de retorno. O National Environmental Research Counsil, do Reino Unido, indicava em 1975 a seguinte relação: Tcheia = 0.6 Tchuva, para Tchuva < 50 anos. Para períodos de retorno iguais ou superiores a 100 anos, os dois períodos do retorno são aproximadamente iguais. Para definir o hietograma de projecto para um dado período de retorno pode-se utilizar a metodologia proposta pelo Corps of Engineers em 1975: - obtem-se a curva de possibilidade udométrica para o período de retorno pretendido, h = atn; - considera-se uma chuvada com duração total igual ao tempo de concentração da bacia; - divide-se a duração total em m períodos de tr horas cada; - calcula-se um hietograma decrescente composto por m chuvadas de tr horas cada, da seguinte

forma: h1 = a trn h2 = a (2tr)n - h1 h3 = a (3tr)n - (h1 + h2) .....

h - )mt(a = h i

1-m

1=ir

nm ∑

- a partir deste hietograma decrescente, constroi-se o hietograma equilibrado: o maior valor

de h na posição central, o segundo maior à esquerda, o terceiro maior à direita, a quarto maior à esquerda e assim sucessivamente (figura 9.5).

Um problema complicado que se coloca no cálculo do hietograma de projecto é a transformação da precipitação total em precipitação util. Um método que se pode utilizar é o do Soil Conservation Service que considera a curva de infiltração (exponencial decrescente) aproximada Manual de Hidrologia

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por uma perda inicial h0 e uma perda constante a seguir. Os valores de h0 e de hu são calculados de acordo com a metodologia apresentada no ponto 9.4.4 . Um outro método, mais prático mas exigindo dados para o seu cálculo, é o método do índice-Φ (ver também o capítulo 5). Se para várias chuvadas se obtiver o hidrograma do escoamento directo, pode-se calcular para cada uma delas a precipitação útil e daí a perda por infiltração e armazenamento. Calculando o valor médio da perda para as várias chuvadas (que é o índice-Φ), admite-se que esse valor médio será a perda em qualquer chuvada. O índice-Φ corresponde, portanto, a uma intensidade constante que se subtrai à intensidade da precipitação total para se obter a intensidade da precipitação útil.


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EXERCÍCIOS 1. Dada uma bacia com uma área de 2,000 km2, determinar o caudal de pico para um período de retorno de 100 anos. A curva de possibilidade udométrica é dada por h = 8 t0.4 T0.2 . Tome um coeficiente c = 0.45 para a fórmula Racional; o nº de escoamento é 85; o comprimento do rio principal é de 80 km e a altura média é 250 m. Utilize as fórmulas de Giandotti e Racional e o método do SCS. 2. Determine os caudais de cheia do rio Pungoé para certos períodos de retorno e calcule riscos hidrológicos, usando vários modelos estatísticos. É dada uma série de caudais instantâneos máximos anuais do rio Pungoé (estação E65) de 25 anos. O coeficiente de assimetria da série foi calculado, sendo 1.956. a) Ajuste à série as distribuições Normal, Log-Normal de 2 e 3 parâmetros e Gumbel. b) Determine os caudais de cheia correspondentes a períodos de retorno de 100 e 1000

anos. Compare os resultados das várias distribuições. c) Calcule o período de retorno para um caudal de 5000 m3/s. Compare os resultados das

várias distribuições. d) Qual é o risco hidrológico dum caudal de 5000 m3/s. acontecer nos próximos 100 anos?

Caudais instantaneos máximos anuais da estação e65 no rio Pungoé (m3/s) Ano Caudal Ano Caudal Ano Caudal 1953 450 1961 2724 1969 637 1954 672 1962 700 1970 510 1955 824 1963 553 1971 1626 1956 896 1964 485 1972 218 1957 699 1965 723 1973 851 1958 948 1966 1609 1974 1104 1959 483 1967 195 1975 2924 1960 789 1968 930 1976 853 1977 1219 3. Numa dada bacia hidrográfica, o hidrograma unitário para uma chuvada útil com a duração de 6 horas (HU6) é definido pelas seguintes ordenadas (em m3/s) dadas em intervalos de 6 horas [Nota: As ordenadas de qualquer HU em princípio devem ser dadas com intervalos de tempos iguais ao da chuvada útil para o qual o HU é definido]

t (h) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 HU6 (m3/s) 0 7.5 38.

5 32 25 19 12 5 0

a) Obtenha o hidrograma do escoamento directo resultante duma precipitação útil com a

duração de 6 horas e intensidade de 10 mm/h.


Cheias 9-37

b) Na mesma bacia do exemplo anterior, registaram-se em sucessivos períodos de 6 horas

as seguintes precipitações úteis: 40 mm; 70 mm; 0 mm; 30 mm. Determine o hidrograma do escoamento directo resultante.

c) Na mesma bacia dos exemplos anteriores, registaram-se sucessivamente as seguintes precipitações: • durante 6 horas com intensidade média de 12 mm/h; • durante 12 horas com intensidade média de 5 mm/h. Determine o hidrograma do escoamento directo resultante.

d) Sendo dado o HU6 do exemplo 1, obtenha o HU12 para a mesma bacia hidrográfica. e) Resolva a alínea c) trabalhando com os hidrogramas unitários HU6 e HU12. f) Utilizando os HU6 e HU12 dos exemplos anteriores, determine a área da bacia

hidrográfica. g) A partir do HU6 dado obtenha o HU3 pelo método da curva em S.

4. Numa bacia com uma área de 300 km2 registou-se durante 6 horas uma chuvada com uma intensidade de 6 mm/h. Os caudais medidos de 6 em 6 horas desde o início da precipitação foram, em m3/s, 18 / 36 / 105 / 93 / 81 / 69 / 57 / 45 / 36 / 33 / 30 / 27 / 25 / 23 / 22 / 20. Obtenha o HU6. 5. Uma precipitação (útil) definida por três chuvadas de 6 horas cada, com altura de 6 cm, 1 cm e 12 cm, originaram o seguinte hidrograma de escoamento directo (ordenadas de 6 em 6 horas):

t (h) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 Qd (m3/s)

0 47 230 290 610 500 375 250 145 60 0

Determine o HU6 pelo método da convolução discreta. 6. Determine o hietograma de projecto para ser usado com um HU6 numa bacia com tempo de concentração de 24 horas. A curva de possibilidade udométrica é h = 1.75 t0.4 (com h em cm, t em horas) para um período de retorno de 50 anos. Admita que se trata já de precipitação útil. 7. Calcule o hidrograma de cheia (escoamento directo) de projecto numa bacia em que o tempo de concentração é de 24 horas. A curva de possibilidade udométrica para um período de retorno de 100 anos é h = 8 t0.4 (com h em cm, t em horas). Considere o HU 6 do exercício 5. Compare o hidrograma obtido com o hietograma de projecto do Corps of Engineers com o hidrograma resultante de ter a precipitação total de 24 horas distribuida uniformamente ao longo desse periodo.


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