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Manual de Matemática
181
A área de um triângulo qualquer pode ser definida por:�a b sen C a c sen B b c sen A
A ou A ou A2 2 2
⋅ ⋅ ⋅= = =� �
Exemplo:
Determine a área do triângulo ABC.
A
B C
c =
4 c
m
60º
a = 6 cm
Solução:
2
a c sen BA
23
6 42A
2A 6 3 cm
⋅=
⋅ ⋅=
=
�
Trigonometria na Circunferência
Arcos de Circunferência
Define-se arco de circunferência AB como cada parte em que a circunfe-rência fica dividida.
Indicação: AB
B
A
A ≡ B
A e B são extremidades A e B coincidem, determinandoe determinam dois arcos. um arco nulo e outro de uma volta.
Ângulo Central
É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência, e os ladossão raios dessa circunferência.
(
Manual de Matemática
182
B
A
0
r
r
Observe que a medida de um arco de circunferência é igual à medida doângulo central correspondente:
m( AB ) = m(A �O B)
Unidade de Medida de Arcos
Grau ( º )
Define-se grau como o arco unitário que corresponde1
a360
da circunfe-
rência. O comprimento de uma circunferência em graus é 360º.Submúltiplos do grau são: o minuto (‘) e o segundo (”), onde há a seguinte
correspondência.
1º = 60’ 1’= 60” 1º = 3600”Radiano (rad)
Radiano é um arco unitário, que corresponde à medida do raio da circunferência.A medida em radianos de uma circunferência completa equivale a 2π rad.
Grado (gr)
Cada arco unitário que corresponde a1
400 da circunferência definimos
como grado.Relação entre as unidades.
(
Manual de Matemática
183
Conversão de Unidades
A conversão de unidades pode ser por meio de uma regra de três simples.360º — 2π rad ou180º — π rad
Exemplos:
a) Expresse 120º em radianos.
Solução:
Usando a relação:
180º ——— π rad120º ——— x
180x = 120π120
x180
2x rad
3
π=
π=
b) Converta 3rad
4π em graus.
180º rad
x
π3
rad4
3x 180º
43
180º4x
x 135º
π
π⋅ π = ⋅
π⋅=
π=
Podemos converter radianos em graus usando uma regra prática.
Assim:
3 3 180ºrad 135º
4 4π ⋅= =
Manual de Matemática
184
Comprimento de um Arco
Considere a circunferência da figura. Definimos comprimento de um arco aseguinte relação:
rα = l
ou l = α . r
α é medido em radianos.l
O
A
B
r
α
Por exemplo, se o ângulo central A �O B, determine numa circunferência der = 4 cm um arco AB de medida l = 6 cm, então a medida de A �O B será
61,5 rad.
4α = ⇒ α =
Qual a medida do raio de uma circunferência cujo arco mede π rad e o seucomprimento, 4,15 cm?
l = α . r Lembrete: π rad = 3,144,15 = 3,14 r3,14 r = 4,15
4,15r
3,14=
r = 1, 32 cm
Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca:
1
2
3
4
56
7
8
9
10
1112
(
Manual de Matemática
185
Solução:
Relacionando:
minutos graus60 3015 α
60 3015
30 157,5 7º 30'
60
=α
⋅α = ⇒ α = ⇒ α =
θ =120º – α
θ = 120º – 7º 30’
θ= 112º 30’
Ciclo Trigonométrico
Considerando um plano cartesiano, representamos nele um círculo comcentro na origem dos eixos e raios 1.
Dividimos o ciclo trigonométrico em quatro arcos, obtendo quatroquadrantes.
+
–
2º quadrante 1º quadrante
4º quadrante3º quadrante
r =
1
A (1, 0)
y
x
Manual de Matemática
186
Dessa forma, obtemos as relações:Em graus: Em radianos:
90º
0 = 360º
270º
180º 0 = 2π
3π2
π
π2
Expressão Geral dos Arcos
• Quando medidos em graus, a expressão é obtida por:
α = α0 + 360º . k, sendo que k ∈ �α0 é denominada 1ª determinação positiva (0 ≤ α0 ≤ 360º)
k é o número de voltas.
• Quando medidos em radianos, a expressão geral dos arcos é obtida por:
α = α0 + 2kπ k ∈ �
Exemplos:
Determine a 1ª determinação positiva e dê a expressão geral dos arcos:
a) 1630º
Solução:
1630º 360º190º 4
numeros de voltas completas
1630º 190º 4 360º= + ⋅�
190º é a primeira determinação positiva.
número de voltas completas
Manual de Matemática
187
b) – 2360ºSolução:
2360º 360º200º 6
Para obter a 1ª determinação positiva, devemos fazer360º – 200º = 160º
A primeira determinação positiva é 160º e a expressão geral éα = 160º + k . 360º
c) 13
rad4π
Devemos dividir 13rad
4π por 2π.
1313 8 5 54 1
2 8 8 8 813 5 5 5
1 2 2 24 8 4 4
π
= = + = +ππ π π⎛ ⎞= + ⋅ π = π + ⇒ + π⎜ ⎟⎝ ⎠
54π
é a primeira determinação positiva e a expressão geral é
52k
4πα = + π .
Arcos Côngruos
São aqueles que possuem a mesma origem e a mesma extremidade, emque a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2π rad).
Exemplos:
a) 1840º e 40º são côngruos, pois 1840º – 40º = 1800º = 5 . 360º
b) são côngruos, pois21rad e rad
5 521 20
rad rad rad 4 rad 2 2 rad5 5 5
π π
π π π− = = π = ⋅ π
Manual de Matemática
188
Exercício ResolvidoDetermine em quais quadrantes estão os seguintes arcos:
a) 63ºPara verificarmos em que quadrante os arcos se encontram, devemos de-
terminar a 1ª determinação positiva.
63º está no primeiro quadrante, pois 0º < 63º < 90º.
b) 1630º | 360º190º 4
190º está no 3º quadrante, pois 180º < 190º < 270º.
c) – 230º– 230º está na primeira volta negativa, então – 230º + 360º = 130º
130º está no 2º quadrante, pois 90º < 130º < 180º.
d) 4
rad3π
Devemos converter4
rad3π
em graus.
4 . 180º240º
3=
240º está no 3º quadrante, pois 180º < 240º < 270º.
Razões Trigonométricas na Circunferência
Função Seno
Marcamos um ponto B, no qualdeterminamos um arco AB , cujamedida é um número real a.O seno desse arco é defini-do como o valor da orde-nada do ponto B.
B
A0
a sen x =ON
sen
x
eixo dos senos
N
(
Manual de Matemática
189
Variação de sinal da função seno
+ +
– –
O seno será positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4ºquadrantes.
Domínio da função seno
O domínio da função seno é o conjunto dos números reais.
D = �
Imagem
Im = [– 1, 1] ou –1 ≤ sen x ≤ 1
Período
O valor do seno se repete a cada volta, sendo uma função periódica.
Seu período é 2π rad ou P = 2π
Valores importantes:
Manual de Matemática
190
Gráfico
y
1
0 π 2π
–1
xπ2
3π2
O MEIO AMBIENTE AGRADECE!!!O cálculo é fundamental em todos os aspectos da Matemática,
como, por exemplo, para que as funções trigonométricas sejamrealizadas.
Também é necessário o uso do cálculo para que haja uma relaçãoequilibrada entre o meio ambiente e o homem.
A vida pode ser melhorada se calcularmos precisamente asmudanças causadas na natureza.
É necessário pensar na sustentabilidade das atividades humanas, paraalcançarmos a melhoria da qualidade de vida para as atuais e futurasgerações.
Calcular a preservação do meio ambiente é uma forma de exercer acidadania. Qualquer ato incalculado dos seres humanos contra a naturezaterá reflexo na própria vida das pessoas.
O gráfico da função seno é chamado de senóide.
Exemplos:Construa o gráfico das seguintes funções, dando o domínio, a imagem e o
período.
Manual de Matemática
191
a) y = 3 sen xConstruindo a tabela, temos:
y
3
π 2π
–3
xπ2
3π2
0
Em que: D = �Im = [–3, 3]P = 2π
b) y = sen 2x
Manual de Matemática
192
y
1
π
–1
xπ4
π2
3π4
0Em que:D = �Im = [–1, 1]P = π
c) y sen x3π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
y
1
xπ6
–π3
2π3
7π6
5π3
0
Em que: D = �Im = [0, 1]P = π
Manual de Matemática
193
De uma maneira prática, o período é determinado por 2
Pkπ= , em que k é
coeficiente de x.
Exemplos:
Para y = 3 sen x, k = 1, portanto 2
P 21π= = π
Para y = sen 2x, k = 2, portanto 2
P2π= = π
Determine o domínio da função: y sen x3π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
Para que a função exista, temos:
sen x 03
0 x3
x x 03 3
x x3 3
4x
3
π⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟⎝ ⎠π≤ − ≤ π
π π− ≤ π − ≥
π π≤ π + ≥
π≤
Na reta real:
4π 3
4π 3
π 3
π 3
4D x / x
3 3π π⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭�
Manual de Matemática
194
Determine m para que exista sen x = 2m – 3.
Solução:
–1 ≤ sen x ≤ 1
–1 ≤ 2m – 3 ≤ 1
2 ≤ 2m ≤ 4
1 ≤ m ≤ 2 S = {m ∈ �/ 1 ≤ m ≤ 2}
Função Cosseno
É a abscissa da extremidade do ponto B no ciclo trigonométrico.
Variação de sinal da função cosseno
– +
– +
y
x
O cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3ºquadrantes.
Manual de Matemática
195
Domínio da função cosseno
O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais.
Imagem
Im = [– 1,1] ou –1 ≤ cos x ≤ 1.
Período
Como na função seno, o período da função cosseno é 2
Pkπ= .
Valores Notáveis
Gráfico
y
1
π 2π
–1
xπ2
3π2
0
Manual de Matemática
196
O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide.Representação dos valores notáveis no círculo trigonométrico:
2
3
6
4
3
2
3
45
6
7
65
44
3
5
3
7
4
11
6
3
2
33
22–
22
22
2––
2
22
x
y
1
2
11
222––
0=2π
Exemplos:1) y = 2 cos x
y
2
π 2π
–2
xπ2
3π2
0
Em que: D = �Im = [–2, 2]P = 2π
Manual de Matemática
197
2) Determine K para que satisfaça a igualdade cos x = 3k – 1
Solução:
1 3k 1 10 3k 2
20 k
32
S k / 0 k3
− ≤ − ≤≤ ≤
≤ ≤
⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭
�
Função Tangente
O eixo das tangentes é a reta t, paralela ao eixo y, traçada pelo ponto M.
P
x x
y t
T
M
tg x =MT
tg x
Relacionando: sen xtgx
cos x= .
Domínio da função tangente
D x / x k , k2π⎧ ⎫= ∈ ≠ + π ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭� �
Imagem
Im = ]–∞, +∞[ ou Im = �
Período
O período da função tangente é P = π
Manual de Matemática
198
Variação do sinal da função tangente
x
y
–
–
+
+
A tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e4º quadrantes.
Valores Notáveis
Gráfico
Manual de Matemática
199
O gráfico da função tangente é chamado tangentóide.Representação dos valores notáveis no ciclo trigonométrico:
2
3
6
4
33
45
6
7
65
4
5
3
7
4
11
6
4
3
x
y
3
3–
3–
3
3
3
–1
1
Exemplos:1) Determine os domínios das funções:a) y = tg 2x
A condição que devemos impor para obter o domínio é x k2π≠ + π , então:
π≠ + π
π π≠ +
π π⎧ ⎫= ∈ ≠ +⎨ ⎬⎩ ⎭
2x k2
kx
4 2k
Logo: D x / x4 2
�
Manual de Matemática
200
b) y tg 3x3
3x k3 2
3x k2 3
3x k6
kx
18 3
π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠π π+ ≠ + π
π π≠ − + π
π≠ + π
π π≠ +
Logo:K
D x / x18 3π π⎧ ⎫= ∈ ≠ +⎨ ⎬
⎩ ⎭�
2) Determine o período da função y = tg4x.
Solução:
As funções da forma y = tg kx têm período Pkπ= .
Assim temos:
k 4 P4π= ⇒ =
Cotangente de um Ângulo
Podemos relacionar cateto adjacente
cotg xcateto oposto
=
No ciclo trigonométrico, o eixo das cotangentes é o eixo paralelo ao eixodas abscissas e perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto A.
A
T
x
y
x
Manual de Matemática
201
Variação do sinal da função cotangente
No 1º e 3º quadrantes, a cotg x tem sinal positivo.No 2º e 4º quadrantes, a cotg x tem sinal negativo.
x
y
–
–
+
+
Valores notáveis
Podemos definir cotangente sendo o inverso da tangente, 1
cotg xtg x
=
ou cos x
cotg xsen x
= sendo sen x ≠ 0.
D={x ��� / x ≠ π+kπ}
Im = � P = πExemplo:Dê o valor de:
a)
2cos 45º 2cotg 45º 1sen 45º 2
2
= = =
b) 0
00
3cos 30 32cotg 30
1sen 30 22
= = = 2⋅ 3=
c) cotg 0º = não é definida
Manual de Matemática
202
Função Secante
Definimos secante de x como a abscissa OA do ponto A.
y
x0
x
x
A eixo dos cossenos
Variação do sinal da função secanteA variação de sinal é a mesma da função cosseno.No 1º e 4º quadrantes, a secante tem sinal positivo.No 2º e 3º quadrantes, a secante tem sinal negativo.
– +
– +x
y
Valores notáveis
sec x
A função secante é o inverso do cosseno: 1
sec xcos x
= e x k2π≠ + π ,
com k ∈ �.
Im = {y ∈ � / y ≥ 1 ou y ≤ –1} P= 2π
Manual de Matemática
203
Exemplo:
Determine:
a) 1 1sec 60º 2
1cos 60º2
= = =
b) 1 1sec 90º
cos 90º 0= = a função não se define para x = 90º ou x = 270º
Função Cossecante
Definimos cossecante de x como a ordenada OB do ponto B.
eixo�dos�senos
B
Bx
O
Variação do sinal da função cossecante
A variação do sinal é a mesma da função seno.No 1º e 2º quadrantes, a cossecante tem sinal positivo.No 3º e 4º quadrantes, a cossecante tem sinal negativo.
+
–
+
–x
y
Manual de Matemática
204
Valores notáveis
A função cossecante é o inverso da função seno: cossen 1
xsen x
= , em
que x ≠ kπ , com k ∈ �.
Im = {y ∈ � / y ≥ 1 ou y ≤ –1} P= 2π
Exemplo:
Determine cossec 60º.
1 1 2 3 2 3cossec 60º
sen 60º 33 3 32
= = = ⋅ =
Relações Trigonométricas
Relação Fundamental
Considerando o ciclo trigonométrico, temos:
eixo do cosseno
eixo do seno
1
cos x
sen
x
x
Manual de Matemática
205
Aplicando o teorema de Pitágoras:
1
cos x
sen x
sen2x + cos2x = 1
Então:
sen2 x + cos2 x = 1
Outras Relações Fundamentais
sen xtg x
cos x
cos x 1cotg x ou cotg x
sen x tg x
1sec x
cos x
1cossec x
sen x
=
= =
=
=
Relações Trigonométricas Derivadas
sec2 x = 1 + tg2 x
1 + cotg2 x = cossec2 x ou cossec2 x = 1 + cotg2 x
Exemplos:
1) Determine o valor da expressão:
sec cos cotg6 3π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ π ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Manual de Matemática
206
Solução:Temos:
1 1 2 3 2 3sec
6 33 3 3cos6 2
π = = = ⋅ =π
cos 1
1 1 3 3cotg
3 33 3tg3
π = −
π = = ⋅ =π
Substituindo na expressão:3 3 6 2
2 ( 1)3 3 9 3
− −⋅ ⋅ − = =
2) Sabendo que 1
sen x2
= e que 0 x2π< < , calcule as demais funções
trigonométricas.
Solução:Aplicando a relação fundamental:
2 2
22
2
2
sen x cos x 1
1cos x 1
2
1cos x 1
43
cos x4
3cosx
2
+ =
⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
=
= ±
Como cos x ∈ ao 1º quadrante, ele será positivo.1
sen x 12tg xcos x 23
2
= = = 2⋅ 1 3 333 3 3
= ⋅ =
Manual de Matemática
207
3cos x 32cotg x
1sen x 22
= = = 2⋅ 3
1 2 3 2 3sec x
33 3 32
1cossec x 2
12
=
= = ⋅ =
= =
3) Para que valores de y temos, simultaneamente, sen x = y e cos x = y + 1?
Solução:
Substituindo os valores na relação fundamental:
sen2 x + cos2 x = 1y2 + (y+1)2 = 1
y2 + y2 + 2y + 1 = 12y2 + 2y = 0
y (2y + 2) = 0y = 0 ou 2y + 2 = 0
2y = –2y = –1
Portanto, y = 0 ou y = –1
4) Calcule sen x e cos x sabendo que: 3 sen x + cos x = –1.
Solução:Montando o sistema, temos:
sen2 x + cos2 x = 13 sen x + cos x = –1
Isolando cos x:cos x = – 1 – 3 sen x
Manual de Matemática
208
Substituindo na relação fundamental:sen2 x + (–1 – 3 sen x)2 = 1
sen2 x + 1 + 6 sen x + 9 sen2 x = 110 sen2 x + 6 sen x = 0
sen x (10 sen x + 6) = 0sen x = 0 ou 10 sen x + 6 =0
− −= =6 3sen x sen x
10 5Como cos x = –1 – 3 sen x:
3cos x 1 3
5−⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
ou cos x = –1 . –3
9cos x 1
5= − + cos x = –1
4cos x
5=
Identidades TrigonométricasPor meio das funções trigonométricas, podemos demonstrar as identidades
trigonométricas tornando-as verdadeiras.Para provar que uma identidade trigonométrica é verdadeira, procuramos
trabalhar com um membro até chegarmos ao outro membro.
Exemplos:Prove a existência das identidades trigonométricas:a) (1 – sen2 x) . (1 + cotg2 x) = cotg2 x
Solução:Substituindo (1 – sen2 x) por cos2 x e 1 + cotg2 x por cossec2 x, temos:
2 2 2
2 22
22
2
cos x (cossec x) cotg x
1cos x cotg x
sen x
cos xcotg x
sen x
⋅ =
⋅ =
=
Manual de Matemática
209
b) tg x + cotg x = sec x . cossec xSolução:
2 2
sen x cos x 1 1cos x sen x cos x sen x
sen x cos x 1sen x cos x sen x cos x
+ = ⋅
+ =⋅ ⋅
Como sen2 x + cos2 x = 11 1
sen x cos x sen x cos x=
⋅ ⋅Portanto, a igualdade é verdadeira.
c) tg x . sen x + cos x = sec xSolução:
2
2 2
sen xsen x cos x sec x
cos x
sen xcos x sec x
cos x
sen x cos xsec x
cos x
1sec x
cos x
⋅ + =
+ =
+ =
=
Redução do 2º Quadrante ao 1º Quadrante
Se dois ângulos a + b = π, eles são chamados ângulos suplementares.Nesse caso faremos a redução do 2º quadrante para o 1º quadrante, pois
são arcos suplementares.Então:
sen (πππππ – x) = sen xcos (πππππ – x) = – cos x
tg (πππππ – x) = – tg xcotg x = – cotg (πππππ – x)sec x = – sec (πππππ – x)
cossec x = cossec (πππππ – x)
Manual de Matemática
210
Redução do 3º Quadrante para o 1º Quadrante
sen (πππππ + x) = – sen xcos (πππππ + x) = – cos x
tg (πππππ + x) = tg xcotg x = cotg (x – πππππ)sec x = – sec (x – πππππ)
cossec x = – cossec (x – πππππ)
Redução do 4º Quadrante para o 1º Quadrante
sen (2πππππ – x) = – sen xcos (2πππππ – x) = cos xtg (2πππππ – x) = – tg x
cotg x = – cotg (2π π π π π – x)sec x = sec (2π π π π π – x)
cossec x = – cossec (2πππππ – x)
Arcos Complementares
Se a b2π+ = , são chamados arcos complementares em que x e x
2π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
são complementares.
Temos:
sen x cos x cos x sen x2 2
tg x cotg x2
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
Exemplos:
1) Calcule o valor da expressão, reduzindo ao 1º quadrante:
Solução:
1sen 150º sen(180º 150º) sen 30º
2= − = =
Manual de Matemática
211
2) Reduza do 2º quadrante para o 1º quadrante sec (πππππ – x)Solução:
( ) 1 1sec x sec x
cos ( x) cos xπ − = = = −
π − −
3) Reduza 330º para um arco do 1º quadrante.Solução:
Fazemos 360º – 330º = 30º. Assim, temos:sen 330º = –sen 30º cotg 330º = –cotg 30ºcos 330º = cos 30º sec 330º = sec 30ºtg 330º = –tg 30º cossec 330º = –cossec 30º
4) Simplifique a expressão:
y cos x cotg x sen(2 x)2 2π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅ π −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solução:
( )
cos x sen x2
cotg x tg x2
sen 2 x sen x
π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠π − = −
Substituindo na expressão, temos:y = sen x . tg x . (– sen x)y = – sen2 x . tg x
Transformações Trigonométricas
Adição e Subtração de Arcos
Dados dois arcos a e b, aplique as seguintes identidades:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos asen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos acos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
Manual de Matemática
212
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
++ =− ⋅
−− =+ ⋅
tg a tg btg(a b)
1 tg a tg b
tg a tg btg(a b)
1 tg a tg b⋅ −+ =+
⋅ +− =−
cotg a cotg b 1cotg(a b)
cotg a cotg b
cotg a cotg b 1cotg(a b)
cotg b cotg a
Exemplos:
1) Calcule:
a) sen 75º
sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
1 2 2 3sen (30º 45º)
2 2 2 2
2 6sen (30º 45º)
4 4
2 6sen (30º 45º)
4
+ = ⋅ + ⋅
+ = +
++ =
b) cos 15º
cos (45º – 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º
2 3 2 1cos (45º 30º)
2 2 2 2
6 2cos (45º 30º)
4 4
6 2cos (45º 30º)
4
− = ⋅ + ⋅
− = +
+− =
Manual de Matemática
213
c)
( )( )
( ) ( )
2
22
2 2
tg4 3
tg tg4 3tg
4 3 1 tg tg4 3
1 3tg
4 3 1 1 3
1 31 3 1 3tg
4 3 1 3 1 3 1 3
1 3 1 3
2 2
π π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠π π+π π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ π π⎝ ⎠ − ⋅
π π +⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ − ⋅⎝ ⎠
+π π + +⎛ ⎞+ = ⋅ =⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ −
+ − +=
−
2) Sabendo que 4
sen x , 0 x5 2
π= < < , calcule cos x4π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Solução:
Aplicando a relação fundamental:2 2
22
2
2
sen x cos x 1
4cos x 1
5
16cos x 1
259
cos x253
cosx5
+ =
⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
=
=
cos x cos x cos sen x sen4 4 4π π π⎛ ⎞+ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
Manual de Matemática
214
3 2 4 2cos x
4 5 2 5 2
3 2 4 2cos x
4 10 10
2cos x
4 10
π⎛ ⎞+ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Arco DuploAs fórmulas do arco duplo decorrem das fórmulas de adição de arcos.
sen 2a = 2 . sen a cos acos 2a = cos2 a – sen2 a oucos 2a = 2cos2 a – 1 ou
cos 2a = 1 – 2 sen2 a
Exemplos:
1) Determine sen 2a, cos 2a e tg 2a , sabendo que 3
cos a4
= e 0 a2π< < .
Solução:2 2
22
2
2
sen a cos a 1
3sen a 1
4
9sen a 1
167
sen a16
7sen a
4
+ =
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
=
=223 7
cos 2a4 4
⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7 3sen 2a 2
4 4= ⋅ ⋅
6 7 3 7sen 2a
16 8= =
⋅=− 2
2 tg atg 2a
1 tg a
Manual de Matemática
215
9 7cos 2a
16 16= − 6 7 3 7
sen 2a16 8
= =
2
7 72 73 4tg 2a tg a
3 471 43
⋅= = =
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
4⋅ 73 3
2 7 2 73 3tg 2a tg 2a
7 21
9 9
2tg 2a
=
= ⇒ =−
= 73
9⋅2
3 7=
2) Simplifique a expressão:y = sen2 a + cos 2a
Solução:y = sen2 a + (cos2 a – sen2 a)y = sen2 a + cos2 a – sen2 ay = cos2 a
Arco MetadeA partir das funções trigonométricas do arco que mede a, podemos calcular
sena2
, cosa2
e tga2
.−= ±
+= ±
−= ±+
a 1 cos asen
2 2
a 1 cos acos
2 2
a 1 cos atg
2 1 cos a
Manual de Matemática
216
Exemplos:
1) Dado 1
cos a , 0 a2 2
π= < < , calcule sena2
, cosa2
e tga2
.
Solução:
1 11 1a a2 2sen cos
2 2 2 2
1 3a a2 2sen cos2 2 2 2
a 1 1 a 3 3sen cos
2 4 2 2 4 2
− += =
= =
= = = =
11a 2tg
12 12
1a 12tg
32 32
a 1 3 3tg
2 33 3
−=
+
= ⇒
= ⋅ =
2) Dado cos 2
45º2
= , calcule sen 22º30’.
Solução:
45º 1 cos 45ºsen
2 2
21
2sen 22º30'2
−=
−=
Manual de Matemática
217
2 22 2 12sen 22º30'
2 2 2
2 2 2 2sen 22º30'
4 2
−−= ⇒ ⋅
− −= =
Transformação em ProdutoSendo p ∈ � e q ∈ �, podemos obter:
+ −+ =
− +− =
+ −+ =
+ −− = −
p q p qsen p sen q 2 sen cos
2 2p q p q
sen p sen q 2 sen cos2 2
p q p qcos p cos q 2 cos cos
2 2p q p q
cos p cos q 2 sen sen2 2
Exemplos:
1) Transforme em produto cos 70º + cos 20º.
Solução:
70º 20º 70º 20º70º 20ºcos cos 2 cos cos
2 290º 50º
70º 20ºcos cos 2 cos cos2 2
70º 20º 45º 25ºcos cos 2 cos cos
cos70º cos20º 2
+ −⋅+ =
⋅+ =
⋅ ⋅+ =
+ = 22
⋅ cos25º
cos70º cos20º 2 cos25º
⋅
+ = ⋅
Manual de Matemática
218
2) Fatore a expressão:sen 4x – sen 2x
Solução:
4x 2x 4x 2xsen 4x sen 2x 2sen cos
2 22x 6x
sen 4x sen 2x 2 sen cos2 2
− +− = ⋅
− = ⋅
sen 4x – sen 2x = 2 sen x . cos 3x
3) (FGV) A expressão sen 4x sen 2xcos 4x cos 2x
+− equivale a:
a) cotg x c) – cotg x e) n.d.a.b) tg x d) – tg x
Solução:
4x 2x 4x 2xsen 4x sen 2x 2 sen cos
2 26x 2x
sen 4x sen 2x 2 sen cos2 2
sen 4x sen 2x 2 sen 3x cos x
+ −+ = ⋅ ⋅
+ = ⋅ ⋅
+ = ⋅ ⋅
4x 2x 4x 2xcos 4x cos 2x 2 sen sen
2 26x 2x
cos 4x cos 2x 2 sen sen2 2
cos 4x cos 2x 2 sen 3x sen x
+ −− = − ⋅ ⋅
− = − ⋅ ⋅
− = − ⋅ ⋅Substituindo, temos:
2 sen 3xsen 4x sen 2xcos 4x cos 2x
+ =−
cos x
2 sen 3x
⋅−
cos xcotg x
sen xsen x−= = −
⋅
Resposta: c
Manual de Matemática
219
Equações TrigonométricasToda equação que apresenta uma função trigonométrica com arco des-
conhecido é chamada de equação trigonométrica.Exemplos:
a) 1
cos x2
= c) tg x 14π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠
b) sen x = sen 45º
1º Tiposen x = a ou cos x = a ou tg x = a
Exemplos:
a)2
sen x2
=
sen x = sen 45ºx = 45º
Como f(x) = sen x é positivo no primeiro e segundo quadrantes, temos:
3π4
π4
y
45º
x
Logo, a equação tem solução igual a:
3x / x 2k ou x 2k
4 4π π⎧ ⎫∈ = + π = + π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
Expressão geral:sen x = sen aS = {x = a + 2kπ ou x = (π – a) + 2kπ}
Manual de Matemática
220
b)1
cos x2
=
Solução:cos x = cos 60º
x = 60º
S x / x 2k3π⎧ ⎫= ∈ = ± + π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
Expressão geral:cos x = cos aS = {x = ± a + 2kπ}
c) tg x 3
2tg x tg
32
x ou3
5tg x tg
35
x3
= −π=
π=
π=
π=
A tangente é negativano 2º e 4º quadrantes.
2x
3 3tg x 35
x 23 3
π π⎧ = π − =⎪⎪= − ⎨ π π⎪ = π − =⎪⎩
Representando no ciclo trigonométrico, as duas soluções podem ser expressas:
2π3
y
60º
60º
120º ou
x
5π3
300º ou
–π3
–π3
π3
y
60º
–60º x
–π3
x k3π= − + π
Manual de Matemática
221
Logo:
S x / x , k3π⎧ ⎫= ∈ = − π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
Expressão geral:tg x = tg aS = {x = a + kπ}
Equações Redutíveis ao 2º GrauExemplo:Resolva a equação sen2 x + cos x – 1 = 0Solução:Partindo da relação fundamental:sen2 x + cos2 x = 1 ou sen2 x = 1 – cos2 x
Substituindo na equação dada:sen2 x + cos x – 1 = 0
(1 – cos2 x) + cos x – 1 = 01 – cos2 x + cos x – 1 = 0
cos2 x – cos x = 0cos x (cos x –1) = 0
cos x = 0 ou cos x – 1 = 0cos x = 1
cos x 0 k2
oucos x 1 x 2k
π= ⇒ + π⎧⎪⎨⎪ = ⇒ = π⎩
Solução S x / x k ou x 2k2π⎧ ⎫= ∈ = + π = π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
Equações Redutíveis a um Sistema de EquaçõesDada a equação sen x + cos x = 1.
Sabemos que sen2 x + cos2 x = 1. Podemos formar o seguinte sistema:
2 2
sen x cos x 1
sen x cos x 1
+ =⎧⎪⎨
+ =⎪⎩
(equação dada)
(relação fundamental)
Manual de Matemática
222
Isolando sen x = 1 – cos x na 1ª equação e substituindo na 2ª equação:sen2 x + cos2 x = 1
(1 – cos x)2 + cos2 x = 11 – 2cos x + cos2 x + cos2 x = 1
2cos2 x – 2cos x = 0cos x(2 cos x – 2) = 0
cos x = 0 ou 2cos x – 2 = 02 cos x = 2
cos x = 1Então, para:cos x = 0 ⇒ sen x = 1cos x = 1 ⇒ sen x = 0
S x / x 2k ou x 2k2π⎧ ⎫= ∈ = + π = π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
Equação Transformada em ProdutoPara resolvermos esse tipo de equação nos baseamos na transformação de
uma adição ou subtração de funções trigonométricas em um produto.
Exemplo:Resolva a equação:
cos 3x + cos 7x – cos 5x = 0
Transformando cos 3x + cos 7x em produto, temos:
3x 7x 7x 3xcos 3x cos7x 2 cos cos
2 2+ −+ = ⋅
cos 7x + cos 3x = 2 cos 5x . cos 2x
Substituindo na equação:2 cos 5x . cos 2x – cos 5x = 0
Colocando cos 5x em evidência:cos 5x(2 cos 2x – 1) = 0cos 5x = 0 ou 2 cos 2x – 1 = 05x = k� 2 cos 2x = 1
k 1x cos 2x
5 2π= =
Manual de Matemática
223
5cos 2x cos ou cos 2x cos
3 35
2x 2x3 3
5x x
6 6k 5
S x / x ou x 2k ou x 2k5 6 6
π π= =
π π= =
π π= =
π π π⎧ ⎫= ∈ = = + π = + π⎨ ⎬⎩ ⎭
�
Inequações TrigonométricasInequações trigonométricas relacionam funções trigonométricas por meio
de uma desigualdade.Exemplos:Resolva as inequações:
a)2
sen x2
x ou2 4sen x
2 3x
4
≥
π⎧ =⎪⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩
y
x
3π4
π4√2
2
3S x / x
4 4π π⎧ ⎫= ∈ < <⎨ ⎬
⎩ ⎭�
b)1
cos x2
x ou1 3cos x2 5
x3
>
π⎧ =⎪⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩
y
x
1
2
5π3
π3
5S x / 0 x ou x 2 , k
3 3π π⎧ ⎫= ∈ ≤ < < ≤ π ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭� �
Manual de Matemática
224
c)3
cos x2
5x ou
3 6cos x2 7
x6
−>
π⎧ =⎪− ⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩
y
x
7π6
5π6
–√3
2
5 7S x / 0 x ou x 2
6 6π π⎧ ⎫= ∈ ≤ < < ≤ π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
d) tg x 1
x ou4tg x5
x4
≥
π⎧ =⎪⎪= ⎨ π⎪ =⎪⎩
y
x
tπ4
π2
5π4
3π2
5 3S x / x ou x
4 2 4 2π π π π⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭�
EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Calcule sen x, cos x e tg x em cada um dos triângulos abaixo:
a) x
1
2√ 3√
c) x
1 1
b) x
15
12
9
Manual de Matemática
225
2) Um avião está a 300 m de altura quando vê a cabeceira da pista sobum ângulo com declive de 30º. A que distância o avião está da cabeceirada pista?
3) A que altura de uma parede uma escada de 12 m se apóia, se a escadae a parede formam um ângulo de 30º?
4) Calcule Â, dados os lados de um triângulo qualquer a = 8, b = 8 ec 8 3= .
5) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a = 3 cm, b = 2 cm eC� = 45º.
6) (FGV-SP) A área do triângulo da figura é:a) 18b) 9c) 10d) 36e) 40 12
6
30º
7) Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 5 e B = 60º. Determine o lado AC .
8) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 6 e 8 mede120º. Calcule a maior diagonal.
9) (FAAP-SP) A seguir está representado um esquema de uma sala de cine-ma, com piso horizontal. Qual deve ser a medida de AT para que um espectadorsentado a 15 m da tela, com os olhos 1,2 m acima do piso, veja o ponto mais altoda tela, T, a 30º da horizontal?
Dados : 2 1,41 e 3 1,73= =
A 15 m
30º
1,2
m
T
B
Manual de Matemática
226
10) Considerando o triângulo da figura, calcule AB .
45º
4B C
A
3 2√
11) Calcule x nos triângulos retângulos a seguir:
a) b)
24
x
30º 60º
30º
45x
12) (UNICAMP-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada ebombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A casa está a80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixad’água – bomba e caixa d’água – casa é 60º. Se a idéia é bombear água domesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamentoserão necessários?
13) Converta em radianos:a) 90º c) 300º e) 330ºb) 120º d) 210º f) 2º
14) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio:a) 12h 15min b) 16h 40min
15) Converta em graus:
a) rad10π
c) 4
rad3π
e) 5
rad6π
b) 7
rad4π
d) 5
rad4π
f) rad8π
Manual de Matemática
227
16) Determine em radianos a medida de um arco de circunferência cujocomprimento mede 30 m e o diâmetro dessa circunferência, 20 m.
17) (FUVEST) Um arco de circunferência mede 300º e seu comprimento é2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros?
a) 157 c) 382 e) 764b) 284 d) 628
18) Considerando a figura, preencha a tabela abaixo com valores de r e l(dados em cm) e α (em graus ou radianos).
r
l0 α
l
19) As rodas de um automóvel tem 80 cm de diâmetro. Determine o númerode voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 16,328 km.
Adote π = 3,14
20) Numa circunferência de raio 15 cm, um arco mede 240º. Qual é o com-primento desse arco?
21) Determine o quadrante onde estão situadas as extremidades dos se-guintes arcos:
a) 250º b) 12
rad5
− πc) –400º d)
11rad
4− π
22) Identifique em cada caso se os arcos são côngruos:
a) 1640º e 920º c) 5 19
rad e rad6 6π π
b) 16 4
rad e rad3 3π π
Manual de Matemática
228
23) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dosarcos:
a) – 3.190º b) 11
2π
c) 13
4π
24) Determine k para que exista o arco que satisfaz as seguintes igualdades:
a) sen x = 3k – 4 c) 2k 3
sen x4+=
b) cos x = k2 + 2k + 1
25) Determine a imagem e o período que representa cada uma das fun-ções:
a) x
y cos2
= b) y = – 2 + cos 2x c) y = 2sen x
26) Determine o domínio das funções:
a) y tg 2x2π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
b) f(x) sen x=
27) Indique o valor de:
a) 5
sen2π
c) tg2π
e) sec 135º
b) tg 2π d) cossec 60º f) 13
sec6π
28) Simplifique as expressões:
a) 3
y 2 sen cos2π= ⋅ + π c)
3 tg cos3 4ysen
3
π π+= π
b) 3 cos 2 sen
2y4 cos 0
π⋅ π − ⋅=
Manual de Matemática
229
29) Calcule:
a) cos x, sabendo que x2π < < π e tg x= 1
b) sec x, sabendo que 1
sen x e x3 2
π= < < π
c) cotg x, sabendo que 13
cossec x e x5 2
π= < < π
d) sen x, sabendo que cotg x = 1 e 3
x2ππ < <
30) Calcule y:2 cosx 1
y , sendo xsec 3x cos 2x 3
+ π= =+
31) Simplifique as seguintes expressões:
a) ( )
( ) ( )
sen x sen x2
sen x cos 2 x
π⎛ ⎞− ⋅ π +⎜ ⎟⎝ ⎠π − ⋅ π −
b) ( ) 11cos 3 x sen x
2π⎛ ⎞π − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
c) ( ) ( ) ( )
( )sen x tg x cos 4 x
cos x tg 3 x2
π − ⋅ π + ⋅ π −π⎛ ⎞− ⋅ π −⎜ ⎟⎝ ⎠
32) (MACK-SP) Se x2π= , então:
xsenx 2cotg cos 2x
2x
tg cossec x sec 4x2
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
é igual a:
a) – 2 b) 0 c) 12
d) 2 e) 4
33) Sabendo que 3
cos x3
−= , com x2π < < π , calcule as demais fun-
ções trigonométricas.
Manual de Matemática
230
34) Dado sec x = 2 e 0 x2π< < , calcule:
a) cos x b) sen x c) tg x d) cotg x e) cossec x
35) Sendo sen x m 2 e cos x m 3= − + = − + , determine o valorde m.
36) Calcule o valor de x que verifica, simultaneamente, as igualdades
sen a = x + 2 e 2cos a x 1= − + .
37) Aplicando as fórmulas de adição e subtração de arcos, calcule o valor de:
a) sen 105º b) sen 15º c) tg 15º d) tg 75º e) cos2 3π π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
38) Sendo 4
cos5
α = , 12
sen13
β = e α e β do 1º quadrante, calcule:
a) sen (α + β) b) cos (α – β)
39) Sabendo que 2
tg a3
= e 4
sen b5
= com b2π < < π , calcule
tg (a + b).
40) Sabendo que −= 4
sen x5
e x ∈ 3º quadrante, calcule:
a) cos 2x b) sen 2x
41) (FEI-SP) Se 1
sen x cos x5
− = , calcule sen 2x.
42) Se 2
sen x e x2 2
π= < < π , calcule:
a) sen 2x b) cos 2x c) cotg 2x
43) Se cos 3
a3
= , calcule:
a) a
sen2
b) a
cos2
c) a
tg2
Manual de Matemática
231
44) (FUVEST) Calcular y = (sen 22º30’+ cos 22º30’)2
45) (UC-PR) Sabendo que 1 5
cos 36º4
+= , então cos 72º vale:
a) 1 5
2+
c) 5 12−
e) 1 5
4−
b) 5 14−
d) 1 5
2−
46) Transforme em produto:a) sen 80º – sen 40º c) cos 2x . cos 3x
b) sen 40º + sen 70º d) sen 10º sen 50ºcos 10º cos 50º
++
47) (MACK) Fatore sen 68º + cos 38º.
48) Resolva as equações:
a) 2
sen 2x2
= e) tg 2x 3 0− =
b) 2
cos x2
−= f) sen x 3 cos x 3+ =
c) cos 2x 02π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
g) cos2 x – 5 cos x + 6 = 0
d) sen 2x 14π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
h) 2 sen2 x – 5 sen x + 2 = 0
49) Resolva as inequações trigonométricas:
a) sen x ≤ 1 d) 2 sen x ≥ – 1
b) 1
cos x2−≤ e) 2sen2 x + sen x – 1 > 0
c) tg > – 1 f) tg2 x – tg x > 0
Manual de Matemática
232
Respostas
1) a) b) c)=
=
=
6sen x
3
3cos x
3
tg x 2
=
=
=
3sen x
54
cos x5
3tg x
4
=
=
=
2sen x
2
2cos x
2tg x 1
2) 600 m 3) 10,38 m 4) 30º
5) 3 2
2cm2 6) a 7) 19
8) 2 37 9) 9,86 m 10) 10
11) a) 16
b) x 30 3=12) 70 m
13) a) π
rad2
c) π5
rad3
e) π11
rad6
b) π2
rad3
d) π7
rad6
f) π
rad90
14) a) 82º 30’ b) 100º
15) a) 18º c) 240º e) 150º b) 315º d) 225º f) 22º 30’
16) 3 rad 17) 382 (c) 18)
r
2
3
1,04 30º
219,1 172
843 281º
l α
�
4
661,2 13822�
3
Manual de Matemática
233
19) 6.500 20) 62,8 cm
21) a) 3º quadrante c) 4º quadrante
b) 4º quadrante d) 3º quadrante
22) a) sim b) sim c) não
23) a) 50º e x = 50º + k . 360º
b) 32π
e x = 3
2k2π + π
c) 54π
e x = 5
2k4π + π
24) a) 5
S k /1 k3
⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭
� c) 7 1
S k / k2 2−⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭�
b) S = {k ∈ �/ –2 ≤ k ≤ 0}
25) a) Im(y) = [–1, 1] P = 4π
b) Im(y) = [–3, –1] P = π
c) Im(y) = [–2, 2] P = 2π
26) a) k
D x / x , k2 2π π⎧ ⎫= ∈ ≠ + ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭� �
b) D = {x ∈ �/ 2kπ ≤ x ≤ π +2kπ, k ∈ �}
27) a) 1 c) não é definida e) 2−
b) 0 d) 2 3
3f)
2 33
28) a) –3 b) − 54
c) 18 6
3+
29) a)2
cos x2
−= b) 3 88
−c)
125
−d)
22
−
30)2
3−
31) a) –1 b) –2 cos x c) – cos x
Manual de Matemática
234
32) d
33) sen 6 2
x , tg x 2, cotg x , sec x 3,3 2
−= = − = = −
cossec 6
x2
=
34) a) 12
c) 3 e) 2 3
3
b) 3
2d)
33
35) 2 36) x = –1
37) a) 6 2
4+
b) 6 2
4−
c) 2 3−
d) 2 3+ e) 3
2−
38) a) 6365
b) 5665
39)2
17−
40) a) 7
25−
b) 2425
41)2425
42) a) –1 b) 0 c) 0
43) a) 3 3
6−± b)
3 36
+± c) ( )2 3± −
44)2 2
2+
45) b
46) a) 2 sen 20º . cos 60º c) cos 5x cos x
2+
b) 2 sen 55º cos 15º d) 3
3
Manual de Matemática
235
47) cos 8º
48) a) 3
S x k , ou x k , k8 8π π⎧ ⎫= = + π = + π ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭�
b) 3
S x 2k , k4π⎧ ⎫= = ± + π ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭�
c) k
S x2π⎧ ⎫= =⎨ ⎬
⎩ ⎭
d) 3
S x / x k , com k8π⎧ ⎫= ∈ = + π ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭� �
e) k
S x , com k6 2π π⎧ ⎫= = + ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭�
f) S x k 2 ou x k 2 , com k3π⎧ ⎫= = ⋅ π = + ⋅ π ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭�
g) S = ∅
h) 5
S x 2k ou x 2k6 6π π⎧ ⎫= = + π = + π⎨ ⎬
⎩ ⎭49) a) S = {x ∈ �/ 0 ≤ x ≤ 2π}
b) 2 4
S x / 2k x 2k3 3π π⎧ ⎫= ∈ + π ≤ ≤ + π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
c) S x / k x k4 2
−π π⎧ ⎫= ∈ + π < < + π⎨ ⎬⎩ ⎭
�
d) 7 11
S x / 0 x ou x 26 6π π⎧ ⎫= ∈ ≤ < ≤ ≤ π⎨ ⎬
⎩ ⎭�
e) 5
S x / x6 6π π⎧ ⎫= ∈ < <⎨ ⎬
⎩ ⎭�
f) 5
S x / x ou x 24 4π π⎧ ⎫= ∈ < <π < < π⎨ ⎬
⎩ ⎭�