Marília Brasil Xavier COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE …ccse.uepa.br/downloads/material_2010/CALCULO.pdf · Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando

Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

F676c Fonseca, Rubens Vilhena

Cálculo / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.

128 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-59-8 1.Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Universidade

Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.23 CDD: 515.33

Índice para catálogo sistemático 1. Cálculo: 517.23

BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2011 -

5 |

CCaappííttuulloo 11

LLIIMMIITTEESS

O cálculo diferencial e integral se baseia em um procedimento conhecido como limite. O

objetivo desse procedimento é avaliar o que acontece com uma função quando a variável

independente tende a um certo valor.

O limite de uma função pode ser avaliado das seguintes formas:

Graficamente, analisando o comportamento gráfico da função em um software matemático;

Numericamente, substituindo valores na função;

Analiticamente, a partir das técnicas algébricas de resolução.

REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA

A operação matemática chamada limite se representa da seguinte forma:

)x(flimpx

Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “limite de f(x) quando x tende a p”.

A expressão do limite encerra a seguinte pergunta:

Qual é o valor da função quando x tende a p ?

EXEMPLO

Leia o limite abaixo:

1xlim 2

1x

SOLUÇÃO

O limite deve ser lido da seguinte forma: “Limite de x2+1 quando x tende a 1”.

CAPÍTULO 1

LIMITES

6 |

ANÁLISE GRÁFICA

Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando o seu gráfico. Por

exemplo, considere a função dada no exemplo anterior:

1xy 2

O seu gráfico é dado por:

Pelo gráfico podemos perceber que, quando x tende a 1, y tende a 2. Então o limite é igual a:

21xlim 2

1x

ANÁLISE NUMÉRICA

Considerando o limite:

)x(flimpx

A análise numérica consiste em avaliar o valor da função quando x vai se aproximando de p.

Essa aproximação deve ser feita de duas maneiras:

Diminuindo o valor de x até chegar em p;

Aumentando o valor de x até chegar em p.

EXEMPLO

Fazer a análise numérica do limite:

1xlim 2

1x

0.5 1 1.5 2

2

3

4

5

x tende a 1

y tende a 2

1xy 2

CAPÍTULO 1

LIMITES

7 |

SOLUÇÃO

Para facilitar o entendimento, vamos construir a seguinte tabela:

x diminuindo até p=1 x aumentando até p=1

x y = x2+1 x y = x2+1

1,1 2,21 0,9 1,81

1,01 2,0201 0,99 1,9801

1,001 2,002001 0,999 1,998001

... ... ... ...

1 2 1 2

É muito importante saber que não estamos interessados no valor da função no ponto x=1,

mas o que acontece com a função quando x se aproxima cada vez mais de 1.

AVALIAÇÃO ANALÍTICA

A avaliação analítica de um limite é feita basicamente através de teoremas e de um pouco de

álgebra. A escolha de uma dentre as várias técnicas de solução depende de como a função se

comporta num determinado valor de x.

Existem dois comportamentos que podem ser esperados de uma função:

Continuidade;

Descontinuidade. Dizemos que uma função é contínua num ponto se não existe nenhum tipo de interrupção na

sua trajetória nesse local. Por outro lado, uma função descontínua apresenta interrupção na sua

trajetória em um ou mais pontos.

EXEMPLO

Imagine duas pessoas subindo um

pequeno morro. A pessoa que vem pela

esquerda, no ponto P, percebe que chegou a

uma altura de 2 metros. A outra pessoa que vem

pela direita, no mesmo ponto P, percebe que

chegou a uma altura de 5 metros.

Podemos então concluir que existe uma

descontinuidade (interrupção) no ponto P, pois o

morro apresentou um salto nesse ponto (de 2

metros para 5 metros).

CAPÍTULO 1

LIMITES

8 |

CONCEITO INFORMAL DE CONTINUIDADE

Observe os gráficos abaixo:

No primeiro gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita ou pela esquerda, a

função tende a f(p). Identificamos esse tipo de gráfico como sendo de uma função contínua.

No segundo gráfico, à medida que nos aproximamos de p pela direita e pela esquerda, a

função apresenta valores diferentes. Nesse caso, a função tem uma descontinuidade do tipo salto.

Existe ainda uma terceira situação em que a função tem uma descontinuidade do tipo

buraco, ou seja, a função não pode ser calculada em p embora o limite exista.

EXEMPLO

Encontrar o limite:

2x

4xlim

2

2x

SOLUÇÃO

Ao tentarmos substituir x=2 na função aparecerá zero no denominador. Isso aparentemente

nos levaria a pensar que o limite não tem solução. Analisando numericamente esse limite:

x 2x

4x)x(f

2

x 2x

4x)x(f

2

2,1 4,1 1,9 3,9

2,01 4,01 1,99 3,99

2,001 4,001 1,999 3,999

... ... ... ...

2 4 2 4

CAPÍTULO 1

LIMITES

9 |

Como podemos explicar que o limite quando x tende a 2 é igual a 4 e não seja possível

substituir x=2 na função ? vamos enxergar a situação no gráfico:

Chegamos à conclusão que encontrar um determinado limite não quer dizer simplesmente

calcular o valor da função num ponto. Nesse exemplo, a finalidade do limite é descobrir o

comportamento da função quando x tende a 2 e não quando x é igual a 2.

Fica mais fácil verificar que o limite é igual a 4 fazendo a fatoração do numerador:

2

x 2 x 2 x 2

x 4 (x 2) (x 2)lim lim lim(x 2) 2 2 4

x 2 x 2

Na verdade, o que fizemos foi encontrar uma função equivalente à original que fornecesse os

mesmos valores de y quando x tende a 2. Note que a bola aberta no gráfico significa que a função

original não é definida no ponto x=2.

O resultado desse limite fornece a localização do buraco na função.

Podemos resumir as três situações mostradas no seguinte quadro:

Quando a função é contínua

)p(f)x(flimpx

Quando a função não é contínua

)x(flimpx

não existe quando a função apresenta salto em p.

L)x(flimpx

quando a função não é definida em p.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2.5

3

3.5

4

4.5

5

CAPÍTULO 1

LIMITES

10 |

PROPRIEDADES DO LIMITE

O limite apresenta as propriedades listadas abaixo:

(a) )x(flimk)x(fklimpxpx

(b) x p x p x plim[f (x) g(x)] limf (x) limg(x)

(c) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimpxpxpx

(d) )x(glim

)x(flim

)x(g

)x(flim

px

px

px, desde que 0)x(glim

px

EXEMPLO

Calcular os limites:

1) 313xlim3x3lim 2

1x

2

1x

2) 523x2limx3lim)x2x3(lim1x

2

1x

2

1x

3) 8535limx3lim5x3lim x

1x

2

1x

x2

1x

4) 5

3

5lim

x3lim

5

x3lim

x

1x

2

1x

x

2

1x

5) )3x(lim

)9x(lim

3x

9xlim

3x

2

3x2

3x já que 0)3x(lim

3x e não atende à propriedade (d).

Nesse caso, podemos apenas fatorar o numerador para obter:

6)3x(lim)3x(

)3x()3x(lim

3x

9xlim

3x3x

2

3x

Para usar essas propriedades, é necessário que os limites existam::

)x(flimpx

e )x(glimpx

CAPÍTULO 1

LIMITES

11 |

LIMITES LATERAIS

A noção de limite lateral surge da necessidade de definirmos qual é o limite de uma função

quando a variável independente tende pela direita e pela esquerda do ponto considerado. Essa

noção é muito importante na caracterização de uma função que possui salto num ponto.

O limite da função f(x) quando x tende a p pela direita é representado da seguinte maneira:

)x(flimpx

Da mesma forma, o limite da função quando x tende a p pela esquerda é representado por:

)x(flimpx

Quando os limites laterais forem diferentes:

)x(flim)x(flim)x(flimpxpxpx

não existe

Nesse caso, a função f(x) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x=p.

EXEMPLO

Calcule os limites laterais em x=1 da seguinte função:

1 xse ,2x

1 xse ,x)x(f

2

SOLUÇÃO

212x2lim)x(flim1x1x

11xlim)x(flim 22

1x1x

Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, a função apresenta um salto em x=1 e

é considerada descontínua.

Podemos usar um artifício bem simples para calcular os limites laterais:

)x(flimpx

Nesse caso, substituímos x por p+h e fazemos h tender a zero.

CAPÍTULO 1

LIMITES

12 |

EXEMPLO

Calcular o limite:

3x2lim2x

SOLUÇÃO

Fazendo as devidas substituições:

73)h2(2lim3)hp(2lim3x2lim0h0h2x

)x(flimpx

Nesse caso, substituímos x por p-h e fazemos h tender a zero.

EXEMPLO

Calcular o limite:

3x2lim2x

SOLUÇÃO

Fazendo as devidas substituições:

73)h2(2lim3)hp(2lim3x2lim0h0h2x

O SÍMBOLO

Até uma certa fase dos nossos estudos em matemática, não tínhamos idéia do resultado da

seguinte divisão: 0

1

Vamos agora mostrar o que isso significa. Para isso, chamaremos o denominador dessa

fração de x e diminuiremos o seu valor até zero.

x x

1)x(f

1 1

0,1 10

0,01 100

0,001 1000

... ...

0

CAPÍTULO 1

LIMITES

13 |

Podemos perceber pela tabela que, diminuindo o valor de x cada vez mais, o valor da divisão

aumenta cada vez mais. Quando x é exatamente zero, então a divisão é exatamente o que definimos

como infinito.

Representaremos o infinito pelo símbolo:

Infinito =

A idéia de infinito é de um número tão grande quanto você possa imaginar. Na verdade, se

você imaginar qualquer número nesse momento, então o infinito ainda é maior do que você

imaginou.

O equivalente negativo do infinito é representado pelo símbolo e significa o menor

número negativo que você pode imaginar.

LIMITES NO INFINITO

Existem algumas situações em que necessitamos encontrar o limite de uma função quando a

variável independente tende ao infinito. Esses tipos de limite são expressos por:

)x(flimx

e )x(flimx

EXEMPLO

Calcular o limite:

x

1lim

x

SOLUÇÃO

Vamos fazer uma tabela para avaliar numericamente esse limite:

X x

1)x(f

1 1

10 0,1

1000 0,001

... ...

+ 0

Então:

0x

1lim

x

CAPÍTULO 1

LIMITES

14 |

Graficamente, podemos ver melhor o resultado desse limite:

À medida que x caminha na direção positiva, f(x) tende a zero. Por outro lado, o limite:

0x

1lim

x

À medida que x caminha na direção negativa, f(x) também tende a zero.

Os limites abaixo também resultam no mesmo valor:

0x

1lim...

x

1lim

x

1lim

x

1lim

x

1lim

nx4x3x2xx, para qualquer n>0.

Esses resultados são utilizados quando precisarmos calcular um limite do tipo:

)x(Q

)x(Plim

x, sendo P(x) e Q(x) dois polinômios.

A técnica se resume a dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x

existente nos polinômios P(x) e Q(x), aplicando em seguida o limite.

EXEMPLO

Calcular o limite:

2x2x4

1xx3x5lim

25

35

x

SOLUÇÃO

Dividindo o numerador e o denominador por x5:

CAPÍTULO 1

LIMITES

15 |

53

542

x25

35

x

x

2

x

24

x

1

x

1

x

35

lim2x2x4

1xx3x5lim

Aplicando as propriedades dos limites, teremos como resultado:

4

5

2x2x4

1xx3x5lim

25

35

x

LIMITES INFINITOS

Ao calcularmos os limites laterais de uma função, às vezes nos deparamos com um

crescimento (ou decrescimento) ilimitado. Um exemplo disso são os limites:

x

1lim

0x

e x

1lim

0x

O gráfico da função pode nos fornecer essa informação valiosa:

Aproximação pela direita Aproximação pela esquerda

À medida que x vai se aproximando pela direita de zero, a função tende a crescer

ilimitadamente. Já quando z se aproxima de zero pela esquerda, a função tende a decrescer

ilimitadamente. Isso faz com que os limites respectivamente sejam iguais a:

x

1lim

0x

e x

1lim

0x

Chegamos assim à conclusão que os limites não existem.

CAPÍTULO 1

LIMITES

16 |

APLICAÇÃO DE LIMITES INFINITOS

O conceito de limites infinitos tem aplicações interessantes dentro da Física. Por exemplo,

considere a famosa lei de Ohm:

IRV

Onde:

V é a tensão aplicada em Volts;

R é a resistência elétrica em (Ohms);

I é a corrente elétrica em Ampéres.

Rearranjando a lei de Ohm:

R

VI

Vamos agora analisar o significado do seguinte limite:

R

Vlim

0R

Sabemos que o resultado desse limite é + . Isso significa que, quando a resistência tende a

zero, a corrente elétrica tende ao infinito.

Se dois fios desencapados de um eletrodoméstico se tocarem, a resistência elétrica entre

esses dois fios será igual a zero e, portanto, a corrente tenderá ao infinito. Esse altíssimo valor de

corrente é muito perigoso, pois pode provocar incêndios de grandes proporções.

ASSÍNTOTAS VERTICAIS

Quando os limites são iguais a:

)x(flimpx

ou )x(flimpx

Estamos diante de uma informação importante: a assíntota vertical. A assíntota vertical é

uma reta imaginária que passa exatamente na descontinuidade da função.

CAPÍTULO 1

LIMITES

17 |

A equação da reta imaginária é então dada por:

px

EXEMPLO

Encontrar a assíntota vertical da função:

1x

1)x(f

SOLUÇÃO

A assíntota está localizada em x=1, já que os

limites são iguais a:

1x

1lim

1x

e 1x

1lim

1x

Portanto, a equação da reta vertical imaginária

é igual a:

1x

O gráfico da função pode ser conferido ao

lado.

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Quando os limites no infinito forem iguais a:

L)x(flimx

ou L)x(flimx

A função f(x) se aproxima de uma reta imaginária – a assíntota horizontal. A equação da reta

imaginária é dada então por:

Ly

EXEMPLO

Encontrar a assíntota horizontal da função:

x

1x2)x(f

CAPÍTULO 1

LIMITES

18 |

SOLUÇÃO

Tomando o limite:

2x

12lim

x

1x2lim

xx

Dessa forma, a equação da reta horizontal

imaginária é igual a:

2y

O gráfico da função pode ser conferido ao lado.

APLICAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Um exemplo de aplicação da assíntota horizontal é o carregamento da bateria do seu

aparelho celular.

Podemos expressar o percentual de carga P, em função do tempo, pela seguinte função:

)e1(100)t(P kt

Onde k é uma constante que depende da bateria usada no aparelho.

Ao calcularmos o limite:

)t(Plimt

Encontraremos a sua assíntota horizontal:

%100)e1(100)e1(100lim)t(Plim kt

tt

%100y

CAPÍTULO 1

LIMITES

19 |

Isso quer dizer que a carga completa (100% da

capacidade da bateria) ocorrerá teoricamente apenas

num tempo infinito após iniciar o carregamento. Por isso,

o fabricante recomenda no manual do aparelho uma

carga de 1 hora (em média) que corresponde a

aproximadamente 90% da sua capacidade máxima.

LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA

Algumas funções são compostas de duas ou mais funções elementares, como por exemplo:

)1xln(y 2

Podemos enxergar essa função da seguinte maneira:

ulny , sendo 1xu 2

Desejamos conhecer os limites de tais tipos de funções.

Considere o limite:

x plimf [g(x)]

Se fizermos:

)x(gu

Então:

au quando px

x p u alimf [g(x)] limf (u)

Isso só será válido se )u(flimau

existir.

EXEMPLO

Calcular o limite:

)1xln(lim 2

0x

SOLUÇÃO

CAPÍTULO 1

LIMITES

20 |

Fazendo:

1xu 2

Pela equação anterior, podemos concluir que:

1u quando 0x

Então:

01lnulnlim)1xln(lim1u

2

0x

TEOREMA DO CONFRONTO

O teorema do confronto é um dos teoremas mais úteis no cálculo de limites porque permite

encontrar um resultado baseado em comparações com outros limites conhecidos.

Vamos supor que num determinado intervalo:

)x(h)x(f)x(g

Se:

)x(hlimL)x(glimpxpx

Então:

L)x(flimpx

O teorema do confronto nos diz que se f(x) for maior ou igual a g(x) e menor ou igual a h(x)

num determinado intervalo e se as funções g(x) e h(x) tenderem a um mesmo limite, então f(x)

tenderá a esse limite também.

Graficamente, é mais fácil mostrar o significado desse importante teorema:

CAPÍTULO 1

LIMITES

21 |

LIMITES IMPORTANTES

Vamos discutir dois limites importantes, pois precisaremos dos seus resultados mais adiante

no capítulo de derivadas. Os dois limites são:

x

x x

11lim

x

)x(senlim

0x

Primeiramente, vamos mostrar numericamente que:

e...7182,2x

11lim

x

x

Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:

x

x

x

11

1 2

100 2,704813...

1.000 2,716923...

1.000.000 2,718280...

1.000.000.000 2,718281...

... ...

+ e

CAPÍTULO 1

LIMITES

22 |

Podemos notar que, à medida que x aumenta, a função dada tende a um valor constante que

chamaremos de e (número de Euler). Já vimos anteriormente que um limite desse tipo define uma

assíntota horizontal dada pela equação: ey

O gráfico da função e da sua assíntota é mostrado abaixo:

Observando atentamente o gráfico, também podemos afirmar que:

ex

11lim

x

x

Queremos agora mostrar que:

1x

)x(senlim

0x

Para avaliar esse limite, vamos montar a seguinte tabela:

x x

)x(sen

0,1 0,99833

0,01 0,99998

0,001 0,99999

... ...

0 1

O gráfico dessa função é dado por:

x + - x

CAPÍTULO 1

LIMITES

23 |

Poderíamos ter calculado o limite através do teorema do confronto. Para isso, devemos

saber que é verdadeira a desigualdade (veja a demonstração no apêndice 2):

)x(tgx)x(sen , para qualquer 0|x| .

Vamos dividir os três membros por sen(x):

)x(sen

)x(tg

)x(sen

x1

A tangente do ângulo x é dada pela seguinte relação trigonométrica:

)xcos(

)x(sen)x(tg

Substituindo na desigualdade, obteremos:

)xcos(

1

)x(sen

x1

Para qualquer 0x , podemos fazer:

)xcos(x

)x(sen1

Vamos calcular os limites das seguintes funções quando x tende a zero:

)xcos(lim11lim0x0x

Então, conforme o teorema do confronto:

1x

)x(senlim

0x

LIMITES IMPORTANTES E FUNÇÃO COMPOSTA

CAPÍTULO 1

LIMITES

24 |

Às vezes, os dois limites importantes mostrados anteriormente não estão na sua forma

padrão. Quando isso acontece, devemos usar o conceito de limite de função composta.

EXEMPLO

Calcular o limite:

x

)x5(senlim

0x

SOLUÇÃO

Primeiro, multiplicamos e dividimos a função por 5:

x5

)x5(sen5

x

)x5(sen

5

5)x(f

Agora, fazemos:

x5u


0u quando 0x

Portanto, o limite é igual a:

515u

)u(senlim5

u

)u(sen5lim

x

)x5(senlim

0u0u0x

EXEMPLO

Calcular o limite:

x

x x

21lim

SOLUÇÃO

Para transformar esse limite na forma padrão, devemos fazer:

u

1

x

2 u2x


u quando x

Isso faz com que o limite seja igual a:

CAPÍTULO 1

LIMITES

25 |

2

2u

u

u2

u

x

xe

u

11lim

u

11lim

x

21lim

CONCEITO RIGOROSO DE LIMITE

Os conceitos de limite mostrados até agora são informais. Matematicamente, precisamos de

uma definição mais precisa.

O limite:

)x(flimpx

É igual a L se, dado um número >0, existe um número >0 (dependendo de ) tal que:

L)x(f quando px

A definição afirma que, escolhendo qualquer positivo de forma que o limite L esteja entre

L+ e L- , existirá um valor positivo tal que p estará entre p+ e p- .

Em poucas palavras queremos dizer que, para pontos vizinhos de p, a função se aproxima do

seu limite L.

Essa definição de limite pode ser verificada através do seguinte gráfico:

EXEMPLO

Demonstre o limite abaixo:

CAPÍTULO 1

LIMITES

26 |

42x

4xlim

2

2x

SOLUÇÃO

Pela definição de limite:

4)x(f quando 2x

Substituindo a expressão de f(x):

42x

4x 2

Fatorando o numerador:

42x

)2x()2x(

O resultado é igual a:

4)2x(

2x

Se escolhermos então a função f(x) se aproximará de 4 quando x tender a 2.

Podemos explicar essa situação de uma maneira bem mas simples. Se escolhermos 1,0

então para valores de x entre 2,1 (=p+ ) e 1,9 (=p- ), o limite da função estará entre 4,1 (=L+ ) e 3,9

(=L- ) já que 1,0 .

LIMITES NO MATHEMATICA

O software Mathematica permite o cálculo de limites através de um comando muito simples:

Limit[expressão, x->a]

Note que o símbolo -> é um sinal de subtração seguido de um sinal de maior.

EXEMPLO

Calcular o limite abaixo no Mathematica:

CAPÍTULO 1

LIMITES

27 |

2x2x4

1xx3x5lim

25

35

x

O seguinte comando deve ser digitado e executado:

Limit[(5*x^5+3*x^3+x+1)/(4*x^5+2*x^2+2), x->Infinity]

O Mathematica fornece 5/4 como resultado.

Podemos também calcular os limites laterais da função através dos seguintes comandos:

Limit[expressão, x->a, Direction->1]

Limit[expressão, x->a, Direction->-1]

No primeiro caso, o comando calcula o limite lateral à esquerda de a na expressão. Já o

segundo caso, o comando calcula o limite lateral à direita de a na expressão.

EXERCÍCIOS

1 – Encontre os seguintes limites:

a) 3x

9xlim

2

3x

b) 1x2

1x4lim

2

2

1x

c) x

xxlim

2

0x

d) 1x

1xlim

1x

f) 1x

2x3xlim

2

1x

g) x

)x(tglim

0x

h) )x2(sen

xlim

0x

i) 1x

2x3x5lim

4

4

x

l)

x

x x

51lim

m)

x

x x5

11lim

n)

1x

x x

21lim

o) x

1

0xx21lim

CAPÍTULO 1

LIMITES

28 |

e) 2x

4x4xlim

2

2x j)

1xx3

3x2x5lim

2

2

x

2 – Calcule o limite:

h

)x(f)hx(flim

0h

Para cada um dos casos abaixo:

a) 2)x(f

b) x3)x(f

c) 2x3)x(f

d) 2x5)x(f

e) 2x3x5)x(f 2

29 |


DDEERRIIVVAADDAASS

A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo

diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.

Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes,

de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função.

É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do

coeficiente angular de uma reta usando limites.

CONCEITO DE DERIVADA

Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.

EXEMPLO

Considere a seguinte função:

2x)x(f

Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:

1x0 e 2x1

Os valores de y correspondentes a esses pontos são:

11)1(fy 20 e 42)2(fy 2

1

Então, a curva da função passa pelos pontos:

)1,1()y,x(P 00

)4,2()y,x(Q 11

Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:

31

3

12

14

xx

yy

x

ym

01

01

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

30 |

O denominador do coeficiente angular é igual a:

1xxx 01

Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:

Agora vamos fazer:

1,1x1

Então:

21,11,1)1,1(fy 21

Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:

)21,1 , 1,1()y,x(Q 11

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

1,21,0

21,0

11,1

121,1

xx

yy

x

ym

01

01

Sendo que:

1,011,1xxx 01

Novamente, vamos fazer:

01,1x1

Então:

0201,101,1)01,1(fy 21

As coordenadas do ponto Q são iguais a:

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

31 |

)0201,1 , 1,1()y,x(Q 11

O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

01,201,0

0201,0

101,1

10201,1

xx

yy

x

ym

01

01

Sendo que:

01,0101,1xxx 01

Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela:

x m

1 3

0,1 2,1

0,01 2,01

... ...

0 2

À medida que x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta

que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2.

A situação, quando x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:

Note que esse é um processo limite dado por:

x

ylimm

0x

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x).

Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado.

Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:

x

)x(f)xx(flim

0x

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

32 |

Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão.

Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q:

Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é

dado por:

x

)x(f)xx(f

x)xx(

)x(f)xx(f

xx

yy

x

ym

01

01

À medida que x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P:

No limite, quando x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente

angular dessa reta é então conhecido como derivada da função:

Derivada = x

)x(f)xx(flim

0x

Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente:

Derivada = h

)x(f)hx(flim

0h

A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x):

x 0

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

33 |

)x(f

Então:

x

)x(f)xx(flim)x(f

0x

Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos

calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido.

No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da

variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano).

Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou

seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto.

Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico:

Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em

x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1.

ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de

algumas funções.

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

34 |

5)x(f

5)xx(f (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5)

x

)x(f)xx(flim)x(f

0x

0x

55lim)x(f

0x

Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero.

x5)x(f

x5x5)xx(5)xx(f

x

)x(f)xx(flim)x(f

0x

x

x5x5x5lim)x(f

0x

55limx

x5lim)x(f

0x0x

Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular.

2x5)x(f

22222 x5xx10x5)xxx2x(5)xx(5)xx(f

x

)x(f)xx(flim)x(f

0x

x

x5x5xx10x5lim)x(f

222

0x

x

)x5x10(xlim

x

x5xx10lim)x(f

0x

2

0x

x10)x5x10(lim)x(f0x

)x2(5)x(f

Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo

valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.

3x5)x(f

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

35 |

)xxx3xx3x(5)xx(5)xx(f 32233

3223 x5xx15xx15x5)xx(f

x

)x(f)xx(flim)x(f

0x

x

x5x5xx15xx15x5lim)x(f

33223

0x

x

)x5xx15x15(xlim

x

x5xx15xx15lim)x(f

22

0x

322

0x

222

0xx15)x5xx15x15(lim)x(f

)x3(5)x(f 2

Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo

valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.

A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por:

nxk)x(f

1nxnk)x(f

EXEMPLO

Calcular a derivada da função:

5x10)x(f

SOLUÇÃO

Pela regra geral:

415 x50x510)x(f

Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por

exemplo:

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

36 |

2 x)x(f

Primeiramente, vamos modificar essa função:

2

1

2 1 xx)x(f

Aplicando a regra da derivada vista anteriormente:

1nxnk)x(f

2

2

12

11

2

1

x2

1

x

1

2

1x

2

1x

2

11)x(f

Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2

(índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x.

3 x)x(f


3

1

3 1 xx)x(f

Aplicando a regra da derivada:

1nxnk)x(f

3 2

3

23

21

3

1

x3

1

x

1

3

1x

3

1x

3

11)x(f

Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador, 3 (índice

da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2.

4 3x)x(f


4

3

4 3 xx)x(f


1nxnk)x(f

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

37 |

4 1

4

14

11

4

3

x4

3

x

1

4

3x

4

3x

4

31)x(f

Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro

da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1.

A regra geral para o caso de funções raiz é dada

por:

q pxk)x(f , com q>p

q pqxq

pk)x(f

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função:

5 2x5)x(f

SOLUÇÃO

Aplicando a regra para funções raiz:

5 35 25 x5

10

x5

25)x(f

x

1)x(f


1

1x

x

1)x(f


1nxnk)x(f

2

211

x

1x1x)1(1)x(f

Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x

elevado à potência 2 no denominador.

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

38 |

2x

1)x(f


2

2x

x

1)x(f


1nxnk)x(f

3

312

x

2x2x)2(1)x(f



3x

1)x(f


3

3x

x

1)x(f


1nxnk)x(f

4

413

x

3x3x)3(1)x(f



A regra geral esse tipo de função é dada por:

nx

1k)x(f

1nx

)n(k)x(f

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

39 |

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função:

4x

3)x(f

SOLUÇÃO

Aplicando a regra estabelecida:

514 x

12

x

)4(3)x(f

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE

Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar

a equação que define a reta tangente a f(x).

EXEMPLO

Encontrar a equação da reta tangente a 2x)x(f no ponto 3x 0 .

SOLUÇÃO

O coeficiente angular da reta tangente à função 2x)x(f é dada por:

x2)x(f

No ponto 3x 0 , o valor do coeficiente angular é igual a:

632)3(f)x(f 0

Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso,

quando 3x 0 :

93)3(f)x(fy 200

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

40 |

Então, a reta tangente passa pelo ponto P:

)9,3()y,x(P 00

Logo, a equação procurada é dada por:

)xx(m)yy( 00

)xx()x(f)yy( 000

)3x(6)9y(

9x6y

O resultado é mostrado no gráfico ao lado.

É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou

decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre

positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado,

quando x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente

nesse intervalo.

O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente:

DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES

Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir

mostra o resultado desse cálculo.

Função Derivada

)x(sen)x(f )xcos()x(f

)xcos()x(f )x(sen)x(f

)x(tg)x(f )x(sec)x(f 2

f(x)=x2

y=6x-9

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

41 |

xe)x(f xe)x(f

xa)x(f alna)x(f x

xln)x(f x

1)x(f

EXEMPLO

Provar que, se xe)x(f então xe)x(f .

SOLUÇÃO

Primeiramente, devemos calcular:

xxxx eee)xx(f

A derivada da função é dada pelo seguinte limite:

x

1elime

x

)1e(elim

x

)x(f)xx(flim)x(f

x

0x

xxx

0x0x

Para resolver esse limite, vamos fazer:

1eu x )u1ln(x


0u quando 0x

Substituindo no limite:

u

1

0u

u

10u0u

x

0x

)u1ln(lim

1

)u1ln(

1lim

)u1ln(

ulim

x

1elim

1eln

1

)u1(limln

1

x

1elim

u

1

0u

x

0x

Então:

xe)x(f

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

42 |

PROPRIEDADES DA DERIVADA

A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades:

(e) [k f (x)] k f (x)

(f) [f (x) g(x)] f (x) g (x)

(g) [f (x) g(x)] f (x) g(x) f (x) g (x)

(h) 2

f (x) f (x) g(x) f (x) g (x)

g(x) [g(x)], desde que g(x) 0

EXEMPLO

Calcular as derivadas:

1) 2x3)x(f , então x6)x2(3)x(3)x(f 2

2) )xcos(3)x(f , então )x(sen3])x(sen[3])x[cos(3)x(f

3) 23 x2x)x(f , então x4x3)x(2)x()x(f 223

4) )xcos(x)x(f 3 , então ])x[cos(x)xcos()x()x(f 33

)x(senx)xcos(x3)]x(sen[x)xcos(x3)x(f 3232

5) )xcos(

x)x(f

3

, então 2

33

)]x[cos(

])x[cos(x)xcos()x()x(f

)x(cos

)x(senx)xcos(x3

)x(cos

)]x(sen[x)xcos(x3)x(f

2

32

2

32

DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de

derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um.

A segunda derivada é expressa por:

])x(f[)x(f

Para obtermos a segunda derivada da função, basta derivarmos a primeira derivada.

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

43 |

EXEMPLO

Encontrar a segunda derivada da função:

3x)x(f

SOLUÇÃO

A primeira derivada é dada por:

2x3)x(f

Então, a segunda derivada é igual a:

x6)x2(3)x(f

Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte

forma:

])x(f[)x(f

])x(f[)x(f )iv(

])x(f[)x(f )iv()v(

])x(f[)x(f )1n()n(

Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então,

precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez.

EXEMPLO

Encontrar a quinta derivada da função:

10x)x(f

SOLUÇÃO


9x10])x(f[)x(f

A segunda derivada é igual a:

88 x90)x9(10])x(f[)x(f

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

44 |

A terceira derivada é igual a:

77 x720)x8(90])x(f[)x(f

A quarta derivada é igual a:

66)iv( x5040)x7(720])x(f[)x(f

Finalmente, a quinta derivada é igual a:

55)iv()v( x30240)x6(5040])x(f[)x(f

NOTAÇÃO PARA DERIVADAS

Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a

notação de uma função é feita de uma das seguintes formas:

f(x) ou y

EXEMPLO

A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo:

)x(f , y , y ou dx

dy

A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x.

A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo:

)x(f , y , y ou 2

2

dx

yd

A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas:

)x(f , y , y ou 3

3

dx

yd

E assim sucessivamente, até a n-ésima derivada:

)x(f )n( , )n(y ou n

n

dx

yd

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

45 |

REGRA DA CADEIA

A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos

conhecer a derivada de funções do tipo:

))x(g(fy

Nesse caso, vamos fazer:

)x(gu

Então a função inicial se torna:

)u(fy

A derivada de y em relação a x é dada por:

dx

du

du

dy

du

du

dx

dy

dx

dy

Essa expressão é conhecida como regra da cadeia.

Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples:

)x(u)u(ydx

dy

EXEMPLO

Encontrar a derivada de y em relação a x da função:

)xsen(y 2

SOLUÇÃO

Podemos notar que a função 2x)x(g está dentro da função seno. Devemos fazer então:

2xu

A função y se torna:

)usen(y

A derivada de y em relação a u é igual a:

)ucos()u(y

A derivada de u em relação a x é igual a:

x2)x(u

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

46 |

Então a derivada de y em relação a x é dada por:

)x(u)u(ydx

dy

x2)ucos(dx

dy

Substituindo u por x2 na equação anterior:

x2)xcos(dx

dy 2

EXEMPLO

Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:

223 )x2xx(y

SOLUÇÃO

Note que a função x2xx)x(g 23 está dentro da função quadrática. Devemos fazer:

x2xxu 23

A função y se torna então:

2uy

A derivada de y em relação a u é igual a:

u2)u(y

A derivada de u em relação a x é igual a:

2x2x3)x(u 2

Então a derivada de y em relação a x é dada por:

)x(u)u(ydx

dy

)2x2x3(u2dx

dy 2

Substituindo a expressão de u na equação anterior:

)2x2x3()x2xx(2dx

dy 223

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

47 |

Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula:

dx

df

df

df...

df

df

df

df

df

dy

dx

dy n

n

1n

3

2

2

1

1

Ou na forma mais simples:

)x(f)f(f...)f(f)f(f)f(ydx

dynn1n32211

EXEMPLO

Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:

))x(ln(seny 3

SOLUÇÃO

Para resolver o problema, devemos fazer:

32 xf

A função y se tornará então:

))f(ln(seny 2

Agora fazemos:

)fln(f 21

Isso torna a função y igual a:

)f(seny 1

Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x:

22 x3)x(f

Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2:

3

221

x

1

f

1)f(f

O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece:

))xcos(ln())fcos(ln()fcos()f(y 3211

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

48 |

A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia:

)x(f)f(f)f(ydx

dy2211

2

3

3 x3x

1))xcos(ln(

dx

dy

Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por:

x

))xcos(ln(3

dx

dy 3

APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA

No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função:

2x

2

1

e2

1)x(f

Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções.

Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia:

)x(g)g(u)u(fdx

dg

dg

du

du

df

dx

df

Primeiramente, devemos fazer:

x

g

A função f se tornará então:

2g2

1

e2

1f

Agora fazemos:

2g2

1u

Isso torna a função f igual a:

ue

2

1f

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

49 |

Começaremos calculando a derivada de g em relação a x:

1

)x(g

Lembre-se que o parâmetro que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em

seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g:

g)g(u

O cálculo da derivada de f em função de u fornece:

uuu e2

1)e(

du

d

2

1e

2

1

du

d)u(f

Note que o parâmetro 2

1 é constante, portanto, devemos derivar apenas a função

exponencial.

A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia:

)x(g)g(u)u(fdx

df

1

)g(e2

1

dx

df u

Substituindo os valores de u e g:

1x

e2

1

dx

df2

x

2

1

A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ?

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

50 |

DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA

Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada dx

dy:

dydx

dydy

dx

dy

Para encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra:

dy

dx

1

dx

dy

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função abaixo:

)x(arcseny

SOLUÇÃO

A função inversa de y é dada por:

x)y(sen

Derivando a expressão anterior:

)ycos(dy

dx

Então, a derivada de y em relação a x é igual a:

ycos

1

dx

dy

O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y

através da relação trigonométrica fundamental:

1ycosysen 22

ysen1ycos 22

22 x1ysen1ycos

Substituindo na expressão da derivada:

2x1

1

dx

dy

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

51 |

Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a 2x1

1.

EXEMPLO

Encontrar a derivada da função abaixo:

xlny

SOLUÇÃO

A função inversa de y é dada por:

xe y

Derivando a expressão anterior:

yedy

dx

Então, a derivada de y em relação a x é igual a:

ye

1

dx

dy

O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y

sabendo que:

xe y

Então:

x

1

dx

dy

Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a x

1.

Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas:

Função Derivada

)xcos(ar)x(f 2x1

1)x(f

)x(arctg)x(f 2x1

1)x(f

x)x(f x2

1)x(f

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

52 |

DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA

Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de

uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte

representação:

)x(fy

EXEMPLO

São funções explícitas:

2x5y 2

)xcos(y

Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas.

Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma:

0)y,x(f

A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de

funções explícitas.

EXEMPLO

Encontre a derivada da seguinte função implícita:

02xy 22

SOLUÇÃO

Tomando a derivada em relação a x nos dois membros:

)0(dx

d)2xy(

dx

d 22

Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:

)0(dx

d)2(

dx

d)x(

dx

d)y(

dx

d 22

Fazendo 2yu , podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia:

dx

dy

dy

du

dx

du

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

53 |

dx

dyy2)y(

dx

d 2

Chamando 2xu , podemos calcular a derivada do segundo termo:

x2dx

du

x2)x(dx

d 2

As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero

já que a derivada de uma constante é igual a zero.

Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:

0x2dx

dyy2

Isolando dx

dy no primeiro membro teremos:

y

x

y2

x2

dx

dy

EXEMPLO

Encontre a derivada da seguinte função implícita:

01xxy 2

SOLUÇÃO

Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:

)0(dx

d)1(

dx

d)x(

dx

d)xy(

dx

d 2

O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções:

ydx

dyx

dx

dxy

dx

dyx)xy(

dx

d

Chamando 2xu , podemos calcular a derivada do segundo termo:

x2dx

du

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

54 |

As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero

já que a derivada de uma constante é igual a zero.

Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:

0x2ydx

dyx

x

x2y

dx

dy

DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE

Em alguns casos, uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto. Isso

significa que a continuidade não garante que a função é derivável. Por outro lado, se uma função é

derivável num ponto podemos ter certeza que a função é contínua.

Funções que apresentam pontas ou cantos nos seus gráficos são contínuas mas não são

deriváveis.

EXEMPLO

As funções abaixo são contínuas mas não são deriváveis nas pontas ou cantos:

Gráfico com ponta Gráfico com canto

Quando uma função é contínua mas não é derivável, torna-se impossível traçar uma única

reta tangente nos pontos em que ocorrem os cantos e as pontas. Veja o gráfico:

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

55 |

Note que podemos traçar as retas r e s tangentes à função f(x) no ponto p. Na verdade,

existem infinitas retas que tangenciam a função no ponto p.

Provamos que uma função pode ser contínua mas não derivável através dos limites que

definem a continuidade e a derivada.

INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO

Analisando o sinal da primeira derivada, podemos ter uma idéia do comportamento de uma

determinada função. Observe o gráfico abaixo:

Para cada um dos pontos analisados, podemos observar que o coeficiente angular da reta

tangente à função tem um sinal diferente.

Na primeira reta à esquerda o coeficiente angular é negativo, logo, a reta tangente é

decrescente e a função também está decrescendo. Já na segunda reta à esquerda o coeficiente

angular é positivo, portanto, a reta tangente é crescente e a função está crescendo.

Lembramos que o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) é dado pela primeira

derivada de f(x), portanto, o seu sinal mostra onde a função cresce ou decresce.

EXEMPLO

Caracterizar a função abaixo em crescente ou decrescente em x=2.

x27xy 3

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

56 |

SOLUÇÃO


27x3y 2

No ponto x=2, a primeira derivada é igual a:

152723)2(y 2

Como a primeira derivada é negativa, então a função x27xy 3 é decrescente em x=2.

EXEMPLO

Partindo do exemplo anterior, caracterizar a função em crescente ou decrescente em x=4.

SOLUÇÃO

No ponto x=4, a primeira derivada é igual a:

212743)4(y 2

Como a primeira derivada é positiva, então a função x27xy 3 é crescente em x=4.

CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO

Assim como a primeira derivada, a segunda derivada também tem um significado especial. É

possível demonstrar que a segunda derivada indica a concavidade da função no ponto.

Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade está para cima;

Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade está para baixo.

EXEMPLO

Considere a função:

cbxaxy 2

SOLUÇÃO

A segunda derivada é dada por:

bax2y

a2y

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

57 |

O que podemos perceber é que, dependendo do sinal de a, a segunda derivada mostra se a

concavidade da função está para cima ou para baixo.

Como a segunda derivada é constante, então a função possui apenas uma concavidade.

EXEMPLO

Qual é a concavidade da função no ponto x=2 ?

1xx3y 3

SOLUÇÃO


1x9y 2

x18y

O ponto x=2 "enxerga" a função y com concavidade para cima porque:

36218)2(y é positivo.

EXEMPLO

No exemplo anterior, qual é a concavidade da função no ponto x=-1 ?

SOLUÇÃO

O ponto x=-1 "enxerga" a função y com concavidade para baixo já que:

18)1(18)1(y é negativo.

Em algumas funções, existe um valor de x em que a segunda derivada se anula. Esse ponto é

chamado ponto de inflexão. Nesse caso, o valor de x encontrado separa a função em duas

concavidades diferentes.

EXEMPLO

Encontrar, se houver, o ponto de inflexão da função:

1x12x2y 23

SOLUÇÃO


x24x6y 2

24x12y

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

58 |

Igualando a segunda derivada a zero:

0y

024x12

24x12

2x

O ponto x=2 separa a função em dois tipos de concavidade. Por exemplo, para qualquer x<2

o valor da segunda derivada é negativo, então a função tem concavidade para baixo. Já para x>2, o

valor da segunda derivada é positivo e a função tem concavidade para cima. Observe o gráfico:

Então 2x é ponto de inflexão.

PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO

Numa função do segundo grau, xv é chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo

da sua concavidade. Vamos agora formalizar um método para encontrar esse ponto para qualquer

tipo de função.

Sabemos que a primeira derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente a qualquer

função. Pois bem, em algumas funções, existe um valor de x em que a primeira derivada se anula.

Nesse ponto x estamos sobre o ponto de máximo ou de mínimo.

EXEMPLO

Imagine uma estrada com altos e baixos. Um automóvel está no ponto mais alto (máximo) ou

mais baixo (mínimo) quando o automóvel se encontra alinhado na horizontal.

Concavidade para cima

Concavidade para baixo

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

59 |

Quando o automóvel está alinhado na horizontal, o coeficiente angular da reta tangente à

estrada é igual a zero (reta com inclinação nula).

Conhecendo a concavidade da função, saberemos se x é um ponto de máximo ou de mínimo.

Essa informação é dada pelo sinal da segunda derivada.

Graficamente, isso significa:

EXEMPLO

Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:

6x5xy 2

SOLUÇÃO

Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:

5x2y

2y

Igualando a primeira derivada a zero:

0y

05x2

2

5x

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

60 |

Esse ponto é chamado de mínimo já que a função, analisando o sinal da segunda derivada,

tem concavidade para cima. Compare com os cálculos que você já tinha aprendido no capítulo de

funções!

EXEMPLO

Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função:

2x27xy 3

SOLUÇÃO

Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima:

27x3y 2

x6y

Igualando a primeira derivada a zero:

0y

027x3 2

27x3 2

3x

Substituindo x=+3 na segunda derivada:

18)3(6)3(y

A função tem concavidade para cima e +3 é o ponto de mínimo.

Agora, substituindo x=-3 na segunda derivada:

18)3(6)3(y

A função tem concavidade para baixo e -3 é o ponto de máximo.

Através do gráfico da função, podemos localizar esses dois pontos:

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

61 |

Pontos de máximo e mínimo podem ser locais ou globais. Um ponto x=p é

chamado de máximo local se não existir um valor da função maior que f(p) na vizinhança

de p.

Por outro lado, um ponto x=p é chamado de mínimo local se não existir um valor

da função menor que f(p) na vizinhança de p.

Um ponto p é chamado máximo global se não existir um valor da função maior que f(p) para

qualquer valor de x dentro do domínio da função. Um ponto p é chamado mínimo global se não

existir um valor da função menor que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função.

APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO

Mostramos anteriormente que a curva de Gauss:

2x

2

1

e2

1)x(f

Tem derivada igual a:

1x

e2

1

dx

df2

x

2

1

Vamos encontrar onde se localiza o seu ponto de máximo. Primeiramente, devemos igualar a derivada a zero:

0dx

df

01x

e2

12

x

2

1

Alguns termos presentes na equação acima nunca serão iguais a zero, como por exemplo:

2

1 e

1, já que é sempre maior que zero;

2x

2

1

e , pois a função exponencial nunca se anula.

A única possibilidade da derivada se tornar nula acontecerá quando:

0x

Então:

x

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

62 |

Esse resultado nos conduz à seguinte interpretação: a ocorrência que possui a maior possibilidade de acontecimento é a média das ocorrências. Isso significa que, se pesquisarmos as alturas dos alunos de uma escola, será mais provável encontrarmos alunos com a altura média. Para o ponto de máximo, a função f(x) é igual a:

2

1e

2

1)(f

2

2

1

Note que a dispersão das ocorrências, dada por , faz com que a curva de Gauss fique mais

concentrada em torno da média (mais comprimida) ou mais dispersa (mais achatada).

REGRAS DE L’HÔPITAL

As regras de L’Hôpital são usadas nos cálculos de limites dos tipos:

0

0

)x(g

)x(flim

px ou

)x(g

)x(flim

px

Esses limites podem ser resolvidos fazendo:

)x(g

)x(flim

)x(g

)x(flim

pxpx

EXEMPLO

Encontrar o limite:

2x

6x5xlim

2

2x

SOLUÇÃO

O limite dado é do tipo:

0

0

)x(g

)x(flim

px

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

63 |

Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador:

6x5x)x(f 2 5x2)x(f

2x)x(g 1)x(g

Então o limite é dado por:

11

5x2lim

2x

6x5xlim

2x

2

2x

Note que:

13xlim2x

)2x()3x(lim

2x

6x5xlim

2x2x

2

2x

EXEMPLO

Encontrar o limite:

2x

6x5xlim

2

2

x

SOLUÇÃO

O limite dado é do tipo:

)x(g

)x(flim

px

Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador:

6x5x)x(f 2 5x2)x(f

2x)x(g 2 x2)x(g

Então o limite é dado por:

x2

51lim

x2

5x2lim

2x

6x5xlim

xx2

2

x

Aplicando a propriedade do limite da soma (ou subtração) de funções:

1x

1lim

2

51

2x

6x5xlim

x2

2

x

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

64 |

Tente aplicar a técnica de dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x

para encontrar o resultado do limite e verifique que o resultado é o mesmo.

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Vamos escolher algumas aplicações bem simples. A primeira aplicação consiste em analisar o

Movimento Uniformemente Variado (MUV) do ponto de vista da derivada.

Considere a função horária do espaço no MUV:

2

attvs)t(s

2

00

A primeira derivada dessa função em relação a t é dada por:

atv)t(vdt

ds0

A equação acima nos mostra que a taxa de variação do espaço com o tempo é igual à

velocidade instantânea.

Definição: "Velocidade é a taxa de variação do espaço com o tempo". A velocidade

pode ser encontrada derivando a função horária do espaço em relação ao tempo.

Ao calcularmos a derivada da velocidade encontraremos:

adt

dv

A equação acima nos mostra que a taxa de variação da velocidade com o tempo é igual à

aceleração instantânea que, nesse caso, é constante.

Note que a aceleração pode ser obtida derivando uma vez a velocidade ou derivando duas

vezes o espaço:

2

2

dt

sda

dt

dv

Definição: "Aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo". A aceleração

pode ser encontrada derivando a função horária da velocidade em relação ao tempo.

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

65 |

EXEMPLO

Partindo da seguinte equação horária do espaço:

2t3t32)t(s , sendo s=[m], t=[s], v=[m/s] e a=[m/s2]

Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.

SOLUÇÃO

A velocidade instantânea é dada pela primeira derivada do espaço em relação ao tempo:

t63dt

ds)t(v

Se quisermos calcular a velocidade do móvel no tempo t=2s, devemos fazer:

15263)2(v m/s

Em Economia, precisamos encontrar o número de quantidades produzidas de um produto

que maximiza o lucro.

EXEMPLO

Considere a seguinte função de produção:

12q10q)q(Lucro 2 , sendo Lucro=[em $10.000] e q=[em 1.000 unidades]

Encontre o número de unidades que devem ser produzidas para obtermos lucro máximo.

SOLUÇÃO


10q2)q(oLucr


2)q(oLucr

Para o lucro ser máximo, então a primeira derivada deve ser nula e a segunda ser negativa:

0)q(oLucr

010q2

10q2

5q

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

66 |

Como q deve ser expressa em 1.000 unidades, então 5.000 unidades devem ser produzidas

para que o lucro seja máximo.

O valor do lucro máximo é obtido substituindo q=5 na equação:

12q10q)q(Lucro 2

37125105)5(Lucro 2

Como o lucro deve ser dado em $10.000, então o lucro máximo é igual a $370.000.

A última aplicação está relacionada à área de otimização (utilização ótima de recursos).

EXEMPLO

Um papelão quadrado com 120 cm de lado deve ser transformado em uma caixa sem tampa

que permita o maior volume possível. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será

retirado nos quatro cantos do papelão.

Formato para corte e dobradura do papelão

Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado

(120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por:

x14400x480x4)x2120(x)x(V 232

A sua primeira derivada é igual a:

14400x960x12)x(V 2

Igualando a zero:

014400x960x12 2

01200x80x 2

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

67 |

Essa equação possui as seguintes raízes:

60x e 20x

Se 60x cm, o papelão será cortado ao meio e não conseguiremos montar uma caixa. Se

usarmos 20x cm, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm. O volume máximo

será:

2)x2120(x)x(V

000.128)202120(20)20(V 2 cm3

SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X

As séries de potências são polinômios com infinitos termos que servem para descrever uma

função f(x) de forma aproximada. Essa abordagem se revela muito interessante no tratamento

computacional aproximado de funções.

Uma função qualquer, que tenha derivadas contínuas até a ordem n, pode ser colocada sob a

forma de série de potências de x:

nn

1n1n

44

33

2210 xaxa...xaxaxaxaa)x(f

É imediato saber que 0a)0(f .

Ao calcularmos a primeira derivada de f(x), encontramos:

1nn

34

23

121 xan...xa4xa3xa2a)x(f

Com 1a)0(f .

Ao calcularmos a segunda derivada de f(x), encontramos:

2nn

24

132 xa)1n(n...xa34xa23a12)x(f

Com 22 a!2a12)0(f .

Ao calcularmos a terceira derivada de f(x), encontramos:

3nn

143 xa)2n()1n(n...xa234a123)x(f

Com 33 a!3a123)0(f .

Ao fazermos esse processo sucessivamente, encontraremos:

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

68 |

Para a derivada n-1:

1n1n

)1n( xa23...)1n(na123...)2n()1n()x(f

Com 1n1n)1n( a)!1n(a123...)2n()1n()0(f

Para a derivada n:

n)n( a123...)2n()1n(n)x(f

Com nn)n( a!na123...)2n()1n(n)0(f

Substituindo cada uma das constantes a0, a1, a2, a3,..., an-1, an na série de potências:

n

)n(1n

)1n(32 x

!n

)0(fx

)!1n(

)0(f...x

!3

)0(fx

!2

)0(fx)0(f)0(f)x(f

Esta série de potências é conhecida como série de MacLaurin e é válida para valores de x

próximos de zero (ponto de referência da série).

EXEMPLO

Colocar xe)x(f em série de potências de x.

SOLUÇÃO

Sabemos que todas as derivadas de f(x) são iguais:

x)n()1n( e)x(f)x(f...)x(f)x(f)x(f)x(f

Então:

1)0(f)0(f...)0(f)0(f)0(f)0(f )n()1n(

A série de potências de f(x) é dada por:

n

)n(1n

)1n(32 x

!n

)0(fx

)!1n(

)0(f...x

!3

)0(fx

!2

)0(fx)0(f)0(f)x(f

!n

x

)!1n(

x...

!3

x

!2

xx1e

n1n32x

EXEMPLO

Calcular 5,0e através da série de potências de x com dois, três e quatro termos. Comparar o

resultado com o valor fornecido pela calculadora.

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

69 |

SOLUÇÃO

O valor fornecido pela calculadora é igual a:

648721271,1e 5,0

Com dois termos:

x1)x(f

5,15,01)5,0(f

Com três termos:

!2

xx1)x(f

2

625,1!2

)5,0(5,01)5,0(f

2

Com quatro termos:

!3

x

!2

xx1)x(f

32

...64583,1!3

)5,0(

!2

)5,0(5,01)5,0(f

32

Note que o resultado se aproxima cada vez mais do valor de 5,0e fornecido pela calculadora.

APLICAÇÕES DE SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X

Uma das aplicações de séries de potência é a simplificação do modelo matemático do

funcionamento do diodo. No capítulo 1, mostramos que o funcionamento do diodo pode ser

modelado pela seguinte equação:

T

d

nV

v

DD eIi

Onde:

iD é a corrente total (contínua mais alternada) sobre o diodo;

ID é a corrente contínua sobre diodo;

vd é a tensão alternada sobre o diodo;

VT é a tensão térmica ( 25mV);

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

70 |

n é uma constante que vale 1 para diodos em circuitos integrados e vale 2 para diodos em circuitos discretos.

A aproximação da função exponencial é feita através da série de potências:

!k

x...

!3

x

!2

xx1e

k32x

Fazendo a transformação de variáveis:

T

d

nV

vx

n

T

d

3

T

d

2

T

d

T

dnV

v

nV

v

!k

1...

nV

v

!3

1

nV

v

!2

1

nV

v1e T

d

Para Td nVv , podemos desprezar os termos com potência maior que 2:

T

dnV

v

nV

v1e T

d

Então, o modelo do diodo é dado por:

T

dDD

nV

v1Ii

d

T

DDD v

nV

IIi

Fazendo:

D

Td

I

nVr

O modelo do diodo se torna:

d

dDD

r

vIi

O elemento rd é chamado resistência dinâmica do diodo.

Note que o modelo do diodo foi consideravelmente simplificado de uma função exponencial

para uma função do 1o grau.

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

71 |

O modelo de pequenos sinais só é válido se a tensão de sinal vd for muito menor que a

tensão térmica VT ( Td nVv ). Na prática, o modelo de pequenos sinais pode ser justificado para

tensões alternadas de até 10mV.

DERIVADAS NO MATHEMATICA

Derivadas podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos:

Aspas simples ( ' ): esse comando calcula a primeira derivada da função.

EXEMPLO

Sin'[x]

Cos'[x]

Log'[x]

ArcTan'[x]

D[função, {variável a ser derivada,ordem da derivada}]

EXEMPLO

D[x^3,{x,2}] - Calcula a terceira derivada da função em relação a x.

D[Cos[x],{x,5}] - Calcula a quinta derivada da função em relação a x.

D[Log[x],x] - Calcula a primeira derivada da função em relação a x.

72 |


IINNTTEEGGRRAALL

A integral é uma operação baseada em limites cuja aplicação principal é o cálculo de áreas e

volumes. Na Física, por exemplo, o trabalho realizado por uma força F que desloca um corpo de uma

distância x é calculado por uma integral, ou seja, o trabalho realizado pode ser encontrado através de

um cálculo de área.

Ao longo deste capítulo, vamos mostrar que existe uma relação próxima entre a derivada e a

integral de uma função. Portanto, um bom conhecimento de derivadas é pré-requisito para o estudo

de cálculo integral.

CONCEITO DE INTEGRAL

Antes de formalizar a definição de integral, vamos começar com um exemplo numérico.

EXEMPLO

Encontrar a área sob a função f(x) no intervalo 0 x 1 sabendo-se que:

x)x(f

SOLUÇÃO

Primeiramente, vamos mostrar graficamente a situação:

Podemos perceber que a figura formada é um

triângulo, portanto, o valor exato dessa área é igual a:

2

1

2

11

2

alturabaseA unidades de área.

Ou melhor:

16

8A unidades de área.

Em seguida, tentaremos encontrar essa área por

aproximações sucessivas usando apenas retângulos.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

73 |

Vamos dividir o intervalo em duas partes iguais assumindo que a área do triângulo é dada

aproximadamente pela soma das áreas dos dois retângulos. Visualmente fica mais fácil perceber o

nosso objetivo:

A área total da figura é dada por:

2211 alturabasealturabaseA

2

2

2

1

2

11

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1A

4


Ou melhor:

16


A nossa aproximação sugere que a área do triângulo é aproximadamente o valor calculado.

Note que, em relação à área exata do triângulo, esse valor ainda é impreciso.

Vamos agora dividir o intervalo em quatro partes iguais assumindo que a área do triângulo é

dada aproximadamente pela soma das áreas dos quatro retângulos formados. O gráfico da situação

ilustra melhor o problema:

A área total da figura é dada por:

14

1

4

3

4

1

2

1

4

1

4

1

4

1A

14

3

2

1

4

1

4

1A

4

4

4

3

4

2

4

1

4

1A

16


Perceba que um número maior de retângulos aumentou a precisão da nossa aproximação do

valor exato da área do triângulo. Usando o mesmo artifício, se dividirmos o intervalo em oito partes

iguais, a área total será igual a 9/16. Isso indica que, se continuarmos a incluir cada vez mais

retângulos a tendência natural é que a área total da figura seja exatamente igual à área do triângulo.

Chamando de x a base de cada retângulo, podemos montar uma tabela com os valores da

base e da área calculada:

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

74 |

x A

5,02

1

16

12

25,04

1

16

10

125,08

1

16

9

... ...

0

16

8

Note que o cálculo da área exata da função é um processo limite dado por:

n

1i

i0x

x)x(flimA

Onde o símbolo n

1i

i x)x(f significa a soma das áreas de todos os n retângulos envolvidos

na aproximação. O limite dado pela equação anterior é chamado integral da função f(x) no intervalo

0 x 1. Representamos a integral estudada através da notação:

1

0

dx)x(fA

O símbolo é lido da seguinte maneira: “Integral de f(x) de 0 até 1”.

A maneira que calculamos a integral é conhecida como método da exaustão e se baseia em

encontrar a área sob uma função aumentando exaustivamente o número de retângulos, somando-se

então as suas áreas. Por ser muito cansativo, o método da exaustão serve apenas para ilustrar a idéia

fundamental da integral.

A INTEGRAL E A DERIVADA

Isaac Newton e Gottfried Leibniz pesquisando independentemente chegaram à conclusão de

que existe uma relação próxima entre a derivada e a integral.

A constatação deles foi marcante: “A derivada e a integral são operações inversas”. Isso quer

dizer que a integral de )x(f é a função )x(f que originou essa derivada. O esquema abaixo ajuda a

esclarecer a relação entre a derivada e a integral:

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

75 |

Vamos mostrar como obter a integral a partir da derivada. Considere a função dada pelo

seguinte gráfico:

Podemos perceber pelas figuras anteriores que a área sob a função depende do ponto

extremo x, logo vamos representá-la por A(x). Se deslocarmos o ponto x para um valor x+ x então a

área agora será dada por A(x+ x).

Partindo desse raciocínio, desejamos descobrir qual é a área entre x e x+ x. Conforme o

gráfico, essa área é dada pela diferença entre as áreas A(x+ x) e A(x):

Matematicamente, a área que nos interessa é aproximadamente igual à área do retângulo:

x)x(f)x(A)xx(A

)x(fx

)x(A)xx(A

Tomando o limite dos dois lados:

)x(flimx

)x(A)xx(Alim

0x0x

A(x)

Área que nos

interessa

A(x+ x)

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

76 |

O que resulta em:

)x(fdx

)x(dA

Sabendo-se que:

dx)x(f)x(A

Ao substituirmos A(x) na expressão anterior teremos:

)x(fdx)x(fdx

d

Essa expressão mostra que se integrarmos a função f(x) e em seguida derivarmos o resultado

da integração obteremos mesma função f(x). Isso significa que a integral e a derivada são operações

que se cancelam quando aplicadas simultaneamente.

Trocando a ordem das operações na última equação:

)x(fdxdx

)x(df

dx)x(f)x(f

Essa expressão mostra que a integral de f´(x) é a função f(x), ou seja, a integral de f´(x) é a

função que originou essa derivada.

PRIMITIVA

A integral de f(x) é freqüentemente chamada de primitiva ou de integral indefinida e é

representada por F(x).

Conforme foi provado, ao derivarmos F(x) obteremos f(x), ou seja:

dx)x(f)x(F

)x(fdx

)x(dF

Nosso objetivo daqui para frente será encontrar a expressão de F(x) cuja derivada é igual à

função f(x) dada no problema – Esse é o fundamento do método conhecido como antidiferenciação.

Para que o processo de antidiferenciação tenha valor é necessário que tenhamos um bom

conhecimento de derivadas.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

77 |

EXEMPLO

Calcular a integral de:

x2)x(f

SOLUÇÃO

A integral de f(x) é a função cuja derivada é igual a 2x, logo:

Cxdxx2)x(F 2

A princípio, você poderia pensar que 2x é a única função cuja derivada é x2 , mas isso não é

verdade. Por exemplo, as derivadas de 1x 2 , 10x 2 ou 100x 2 também são iguais a x2 .

Portanto, devemos sempre colocar a constante C ao final da integral já que:

)x(fx2)Cx(dx

d

dx

)x(dF 2

O valor de C representa todos os valores possíveis da constante que acompanha 2x e a sua

determinação depende de alguma condição dada no problema.

A primitiva de f(x) é então dada por:

Cx)x(F 2

PRIMITIVAS MAIS COMUNS

O processo de integração pelo método da antidiferenciação depende da capacidade de

imaginarmos a função F(x) cuja derivada é dada por f(x) que é conhecida. Isso nem sempre é tarefa

fácil, portanto, começaremos a exercitar essa capacidade estabelecendo regras gerais para algumas

primitivas mais comuns.

Função nula:

A primitiva da função nula é igual à função C)x(F , já que a derivada de uma constante é

igual a zero.

EXEMPLO

Encontrar a primitiva da função:

0)x(f

SOLUÇÃO

A primitiva F(x) é a função que, derivada uma vez, fornece f(x), então:

C)x(F

Já que:

)x(f0)x(F

Não importa qual seja o valor da constante C, a derivada será sempre igual a zero.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

78 |

Como você pode perceber, a função nula está presente em qualquer função.

Dessa forma, será obrigatório aparecer a constante C em qualquer primitiva.

Note nos casos a seguir que sempre acrescentaremos a constante C apenas no

resultado final, evitando envolvê-la nos cálculos intermediários.

Função potência de x (para n positivo):


nx)x(f

A sua primitiva é dada por:

C1n

x)x(F

1n

Note que:

nx)x(F

Então podemos concluir que:

C1n

xdxx)x(F

1nn

EXEMPLO


5x)x(f

SOLUÇÃO

Conforme a regra de integração:

C15

xdxx)x(F

155

O resultado final é igual a:

C6

x)x(F

6

Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x).

Função raiz de x:


CAPÍTULO 3

INTEGRAL

79 |

q px)x(f

A sua primitiva se enquadra na integral de potência de x e é dada por:

qp

1q

p

xqp

q

1q

p

x)x(F

q qp xx

qp

q)x(F

Finalmente, acrescentando a constante C no final:

Cxxqp

q)x(F

q p

Então podemos concluir que:

Cxxqp

qdxxdxx)x(F

q pq

p

q p

EXEMPLO


3 2x)x(f

SOLUÇÃO


Cxx5

3dxxdxx)x(F

3 23

2

3 2

Confirme se a derivada de F(x) é igual a f(x).

Função potência negativa de x (para n diferente de 1):


n

nx

x

1)x(f

A sua primitiva também se enquadra na integral de potência de x e é dada por:

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

80 |

1n

x)x(F

1n

Colocando o sinal negativo em evidência no denominador e no expoente, teremos:

)1n(x)1n(

1)x(F

Cx

1

)1n(

1)x(F

1n

Note que não é possível aplicar essa fórmula quando n é igual a 1 já que o denominador se

tornaria igual a zero.

EXEMPLO


2x

1)x(f

SOLUÇÃO


Cx

1C

x

1

12

1dxxdx

x

1)x(F

12

2

2

PRIMITIVAS DE OUTRAS FUNÇÕES

Usando a técnica de antidiferenciação, podemos encontrar as primitivas de outras funções

que não sejam potências de x. Na tabela abaixo mostramos algumas primitivas:

Função Primitiva

x

1)x(f Cxln)x(F

xe)x(f Ce)x(F x

xa)x(f Caln

a)x(F

x

)x(sen)x(f C)xcos()x(F

)xcos()x(f C)x(sen)x(F

Existem livros que contém as integrais de vários tipos de função tabeladas e organizadas para

consulta rápida. Com a evolução dos softwares matemáticos, os livros com as tabelas de primitivas

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

81 |

tornaram-se obsoletos já que, com o comando apropriado, você poderá obter com facilidade

praticamente qualquer primitiva.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA

A integral indefinida de uma função apresenta as seguintes propriedades:

(i) dx)x(fkdx)x(fk

(j) [f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx

(k) dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f (integral por partes)

Vamos provar a propriedade (c), chamada integral por partes. Primeiro, vamos lembrar da

derivada do produto de duas funções f(x) e g(x):

)x(g)x(f)x(g)x(f])x(g)x(f[

Integrando ambos os lados da igualdade:

dx)]x(g)x(f)x(g)x(f[dx])x(g)x(f[

Aplicando a propriedade (b) ao lado direito da igualdade:

dx)x(g)x(fdx)x(g)x(fdx])x(g)x(f[

Lembrando que a integral e a derivada são operações inversas:

)x(g)x(fdx])x(g)x(f[

Logo:

dx)x(g)x(fdx)x(g)x(f)x(g)x(f

dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f

EXEMPLO

Calcular as integrais:

a) dxx5 2

b) dx]xx[ 32

c) dxex x

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

82 |

SOLUÇÃO

a) Aplicando a propriedade (a):

Cx3

5dxx5dxx5 322

Note que acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la nos

cálculos intermediários.

b) Aplicando a propriedade (b):

C4

x

3

xdxxdxxdx]xx[

433232

Aqui também acrescentamos a constante C apenas no resultado final, evitando envolvê-la

nos cálculos intermediários.

c) Primeiro, devemos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral:

dxex x

Vamos então escolher:

x)x(f , cuja derivada é 1)x(f .

xe)x(g , cuja primitiva é xe)x(g .

O resultado da integral é dado por:


C)1x(eeexdxe1exdxex xxxxxx

A escolha das funções f(x) e g´(x) foi proposital. Note que, escolhendo x)x(f , fica mais

fácil calcular a integral presente no segundo termo do lado direito da propriedade (c).

Uma boa prática consiste em escolher para f(x) a função cuja derivada se torna uma

constante ou que torne a integral do primeiro membro igual à integral do segundo membro.

EXEMPLO

Calcular a integral:

dx)xcos(ex

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

83 |

SOLUÇÃO

Vamos identificar as funções f(x) e g´(x) dentro da integral:

xe)x(f , cuja derivada é xe)x(f .

)xcos()x(g , cuja primitiva é )x(sen)x(g .

O resultado da integral é dado por:


dx)x(senee)x(sendx)xcos(e xxx

A integral que aparece circulada também deve ser calculada por partes:

dx)]xcos([ee)xcos(dx)x(sene xxx

dx)xcos(ee)xcos(dx)x(sene xxx

Substituindo na integral circulada:

]dx)xcos(ee)xcos([e)x(sendx)xcos(e xxxx

dx)xcos(ee)xcos(e)x(sendx)xcos(e xxxx

Note que existem duas integrais iguais. Nesse caso, passamos a integral do segundo membro

somando à integral existente no primeiro membro:

xxx e)xcos(e)x(sendx)xcos(e2

Finalmente:

2

e)xcos(e)x(sendx)xcos(e

xxx

C)]xcos()x(sen[e2

1dx)xcos(e xx

Nesse exemplo, pudemos constatar que a escolha das funções f(x) e g´(x) depende de um

pouco de visão e da experiência de quem está calculando a integral.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

84 |

OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Existe uma técnica adequada a cada tipo de função a ser integrada. Vamos estudar algumas

dessas técnicas.

Funções trigonométricas: Para esse tipo de função devem ser usadas relações trigonométricas que transformem

produtos ou potências em somas de funções.

EXEMPLO


dx)x(cos2

SOLUÇÃO

Para resolver esse problema, devemos encontrar uma relação trigonométrica que transforme

a função elevada à potência dois em uma soma de funções. Podemos começar usando a fórmula do

cosseno da soma:

)b(sen)a(sen)bcos()acos()bacos(

)x(sen)x(sen)xcos()xcos()xxcos(

)x(sen)x(cos)x2cos( 22

Conforme a relação trigonométrica fundamental:

)x(cos1)x(sen 22

Substituindo na fórmula anterior:

1)x(cos2)x2cos( 2

Portanto:

2

1)x2cos(

2

1)x(cos 2

A partir das relações trigonométricas, podemos substituir a função mais complicada de ser

integrada por duas funções mais simples de operar:

dx2

1)x2cos(

2

1dx)x(cos2

Aplicando as propriedades das integrais:

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

85 |

dx2

1dx)x2cos(

2

1dx)x(cos 2

Sabemos que:

)x2(sen4

1

2

)x2(sen

2

1dx)x2cos(

2

1

x2

1dx

2

1

Finalmente, após acrescentar a constante C:

Cx2

1)x2(sen

4

1dx)x(cos 2

Existem outros tipos de integrais cuja solução também depende do conhecimento das

relações trigonométricas:

dx)bxcos()axcos(

dx)bx(sen)ax(sen

dx)bx(sen)axcos(

Para resolver essas integrais necessitamos das seguintes relações:



)acos()b(sen)bcos()a(sen)ba(sen

)acos()b(sen)bcos()a(sen)ba(sen

Por exemplo, ao somarmos as fórmulas do cosseno da soma e da diferença teremos:

)]bacos()ba[cos(2

1)bcos()acos(

Então:

)]bxaxcos()bxax[cos(2

1)bxcos()axcos(

Devemos substituir a expressão acima na integral e calcular o resultado.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

86 |

EXEMPLO


dx)x3cos()x5cos(

SOLUÇÃO

Primeiro, encontramos a relação trigonométrica que define a multiplicação de dois cossenos:

)]bxaxcos()bxax[cos(2

1)bxcos()axcos(

)]x2cos()x8[cos(2

1)x3cos()x5cos(

Substituindo na integral:

dx)]x2cos()x8[cos(2

1dx)x3cos()x5cos(

Aplicando as propriedades da integral:

dx)x2cos(2

1dx)x8cos(

2

1dx)x3cos()x5cos(

Onde:

8

)x8(sendx)x8cos(

2

)x2(sendx)x2cos(


C)x2(sen4

1)x8(sen

16

1dx)x3cos()x5cos(

EXEMPLO


dx)x3(sen)x5(sen

SOLUÇÃO

Ao subtrairmos as fórmulas do cosseno da diferença e da soma teremos:

)]bacos()ba[cos(2

1)b(sen)a(sen

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

87 |

Portanto:

)]x3x5cos()x3x5[cos(2

1)x3(sen)x5(sen

)]x8cos()x2[cos(2

1)x3(sen)x5(sen


dx)]x8cos()x2[cos(2

1dx)x3(sen)x5(sen


dx)x8cos(2

1dx)x2cos(

2

1dx)x3(sen)x5(sen

Onde:

2

)x2(sendx)x2cos(

8

)x8(sendx)x8cos(


C)x8(sen16

1)x2(sen

4

1dx)x3(sen)x5(sen

Mudança de variável:

Essa técnica consiste em transformar um problema aparentemente complicado em um

problema mais simples apenas pela mudança de variável da integral. A mesma abordagem já foi

utilizada quando estudamos a regra da cadeia nos problemas de derivada.

A técnica de mudança de variável consiste em trocar a integral do tipo:

dx)x(g))x(g(f

Por:

du)u(f

Chamando:

)x(gu

dx)x(gdu

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

88 |

EXEMPLO


dxe x2

SOLUÇÃO

Quando olhamos para dentro da integral, percebemos que é possível chamar:

x2u

2

dudxdx2du

Isso tornará a integral igual a:

due2

1

2

due uu

Cujo resultado final é dado por:

Ce2

1dxe ux2

Voltando com o valor de u:

Ce2

1dxe x2x2

EXEMPLO


dx)x5cos(

SOLUÇÃO

Primeiro devemos chamar:

x5u

5

dudxdx5du

Isso tornará a integral igual a:

du)ucos(5

1

5

du)ucos(

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

89 |

Cujo resultado final é dado por:

C)u(sen5

1dx)x5cos(

Voltando com o valor de u:

C)x5(sen5

1dx)x5cos(

EXEMPLO


dx)x(senx2 2

SOLUÇÃO


2xu

dxx2du

Note que o valor da derivada de u aparece explicitamente dentro da integral. Essa mudança

de variável faz com que:

C)ucos(du)u(sendx)x(senx2 2

Finalmente, voltando com o valor de u no resultado:

C)xcos(dx)x(senx2 22

EXEMPLO


dx2x3

1

SOLUÇÃO

Primeiramente, chamaremos:

2x3u

3

dudxdx3du

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

90 |


duu

1

3

1

3

du

u

1dx

2x3

1

Cujo resultado é igual a:

Culn3

1dx

2x3

1

Voltando com o valor de u, teremos:

C2x3ln3

1dx

2x3

1

INTEGRAL DEFINIDA (TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO)

A integral indefinida ou primitiva é uma função que fornece a área genérica sob f(x). Isso

significa que precisamos definir dois extremos, o limite inferior “a” e o limite superior “b”, para que

possamos calcular o valor numérico da área entre esses dois pontos. O que acabamos de descrever é

o que se conhece como integral definida.

A área em cinza no gráfico abaixo é a integral definida de f(x) no intervalo de “a” até “b”:

Representamos a integral definida da seguinte forma:

b

a

dx)x(f

Segundo o teorema fundamental do cálculo, essa integral pode ser calculada por:

)a(F)b(Fdx)x(f

b

a

Alguns autores costumam a representar o cálculo da integral definida pela notação:

)a(F)b(F)x(Fdx)x(fb

a

b

a

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

91 |

Nesse momento, é importante perceber que a constante C que aparece na

primitiva deve desaparecer quando subtraímos F(b) de F(a).

EXEMPLO

Calcular a área da função:

2x)x(f

Do ponto x=1 até o ponto x=2.

SOLUÇÃO

O objetivo do problema consiste em encontrar a integral definida:

2

1

2 dxx

Nosso primeiro passo será encontrar a primitiva da função:

C3

x)x(F

3

Logo após, vamos aplicar o limite inferior e o superior na primitiva:

C3

8C

3

2)2(F)b(F

3

C3

1C

3

1)1(F)a(F

3

Por fim, vamos subtrair esses valores:

3

7C

3

1C

3

8)a(F)b(F

Perceba que a constante é desnecessária no cálculo, pois sempre será eliminada na

subtração. A partir de agora vamos desconsiderar a constante que aparece na primitiva quando

estivermos calculando uma integral definida.

A integral definida é então dada por:

3

7dxx

2

1

2

O valor encontrado corresponde à área sob a função 2x)x(f do ponto x=1 até o ponto

x=2.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

92 |

Algumas vezes a integral definida fornece um valor negativo, isso significa que a área está

abaixo do eixo x. Contudo, o valor da área continua sendo positivo, já que não existe área negativa.

EXEMPLO

Calcular a integral da função:

)x(sen)x(f

Do ponto x= até o ponto x=2 .

SOLUÇÃO


2

dx)x(sen

O resultado é a primitiva:

)xcos()x(F

Note que desconsideramos a constante C por simplicidade. Logo após, vamos aplicar o limite

inferior e o superior na primitiva:

1)2cos()2(F)b(F

1)1()cos()(F)a(F

Finalmente, vamos subtrair esses dois valores:

211)a(F)b(F

2dx)x(sen

2

O valor negativo significa que a área está abaixo do eixo x. Nesse caso, o valor da área é igual

a 2. A área cinza no gráfico abaixo corresponde à integral da função seno do ponto x= até o ponto

x=2 :

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

93 |

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

A integral definida de uma função apresenta as seguintes propriedades:

a) b

a

b

a

dx)x(fkdx)x(fk

b) b b b

a a a

[f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx

c) b

c

c

a

b

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(f para c entre a e b.

d) a

b

b

a

dx)x(fdx)x(f

Vamos demonstrar a propriedade (d). Sabendo-se que:

a b

b a

f (x) dx F(a) F(b) [F(b) F(a)] f (x) dx

Portanto:

a

b

b

a

dx)x(fdx)x(f

EXEMPLO

Calcular a integral da função:

2x)x(f

Do ponto x=0 até o ponto x=2.

SOLUÇÃO


2

0

2 dxx

Conforme a propriedade (c), fazendo c=1, podemos separar essa integral em duas outras:

2

1

21

0

22

0

2 dxxdxxdxx

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

94 |

Onde:

3

1

3

0

3

1

3

xdxx

331

0

31

0

2

3

7

3

1

3

2

3

xdxx

332

1

32

1

2

O resultado é então dado por:

3

8

3

7

3

1dxx

2

0

2

MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DEFINIDA

Quando mudamos a variável dentro da integral, o limite inferior e superior também devem

mudar conforme a mudança de variável realizada.

EXEMPLO

Calcular a integral definida:

0

2 dx)x(senx2

SOLUÇÃO


2xu

dxx2du

Conforme a variável u, os limites devem mudar para:

Quando 0x , 0u .

Quando x , u .

Essa mudança de variável faz com que a integral se torne:

211)]0cos([)]cos([)ucos(du)u(sendx)x(senx20

00

2

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

95 |

EXEMPLO

Calcular a integral definida:

2

1

2 dx)1x(

SOLUÇÃO


1xu

dx1du

Usando a expressão da variável u, os limites devem mudar para:

Quando 1x , 0u .

Quando 2x , 1u .

A mudança de variável faz com que a integral se torne:

3

1

3

uduudx)1x(

1

0

31

0

22

1

2

O CÁLCULO DE ÁREAS USANDO A INTEGRAL

O cálculo de áreas através da integral definida pode nos levar a conclusões erradas se

imaginarmos que o resultado sempre será a área total sob a função entre o limite inferior e o

superior.

EXEMPLO

Calcular a integral da função abaixo no intervalo 0 x 2 :

)x(sen)x(f

SOLUÇÃO

O problema requer o cálculo da seguinte integral definida:

2

0

dx)x(sen

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

96 |

O resultado é a primitiva:

)xcos()x(F

Aplicando o limite inferior e o superior na primitiva:

1)2cos()2(F)b(F

1)0cos()0(F)a(F

Finalmente, vamos subtrair esses dois valores:

0)1(1)a(F)b(F

Então:

0dx)x(sen

2

0

Se interpretarmos que essa é a área da função seno no intervalo de 0 a 2 então estaremos

afirmando que o seu valor é igual a zero. Observando o gráfico da função, podemos constatar que a

área não é realmente igual a zero:

Vamos analisar o problema aplicando a propriedade (c) da integral definida:

2

0

2

0

dx)x(sendx)x(sendx)x(sen

As duas integrais definidas são iguais a:

2dx)x(sen

0

e 2dx)x(sen

2

O resultado positivo na primeira integral significa que a área está acima do eixo x e tem valor

igual a 2. O resultado negativo da segunda integral significa que a área está abaixo do eixo x e

A área entre 0 a 2 é a soma

dessas duas áreas cinza.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

97 |

também tem valor igual a 2. Matematicamente, o que está acontecendo nesse caso é que as áreas

estão se cancelando por causa do sinal que indica se estão acima ou abaixo do eixo x.

Na realidade, o sinal que aparece no resultado da integral definida deve ser desconsiderado

no cálculo da área. Dessa forma, a área sob a função seno no intervalo de 0 a 2 é igual a 4.

Sob uma forma mais geral, a área da função num intervalo dado pode ser calculada pela

seguinte integral definida:

b

a

dx)x(fA

O módulo da função f(x) faz com que a integral definida tenha sempre valor positivo já que as

áreas sempre estarão acima do eixo x:

Função f(x) Módulo da função f(x)

A INTEGRAL E O CÁLCULO DE VOLUMES

Além de áreas, podemos calcular volumes de sólidos de revolução através da integral. Os

chamados sólidos de revolução são aqueles cuja rotação de uma figura plana em torno de um eixo

produz um sólido tridimensional. O exemplo mais simples de um sólido de revolução é o cilindro:

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

98 |

O cilindro pode ser construído a partir da rotação de um retângulo em relação a um dos seus

lados. O seu volume é dado pela seguinte fórmula:

hrhAV 2base

Onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.

O cálculo de volumes por integral baseia-se na aproximação do volume de um sólido de

revolução qualquer pela somatória dos volumes de cilindros. Por exemplo, considere a função

ax)x(f cujo gráfico no intervalo 0 x h é mostrado abaixo:

Ao girarmos o retângulo cinza em relação ao eixo x, o volume do cilindro formado será:

x)]x(f[hrV 22cilindro

A somatória de todos os volumes dos n cilindros entre 0 e h é dada por:

n

1i

2i x)]x(f[

Tomando o limite dessa soma quando 0x teremos o volume exato da figura

correspondente à rotação do triângulo cinza em torno do eixo x:

n

1i

2i

0xx)]x(f[limV

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

99 |

Conforme a figura, a revolução do triângulo em relação ao eixo x produz um cone:

O raio da base desse cone é dado por:

ha)h(fr

Dessa relação concluímos que:

h

ra

Sabemos que o volume dado pelo limite anterior representa a seguinte integral definida:

h

0

2 dx)]x(f[V

Fazendo ax)x(f , a integral se torna:

3

ha

3

xadxxadx)ax(V

32

h

0

32

h

0

22h

0

2

Substituindo o valor de a no resultado final da integral, teremos o volume do cone:

hr3

1

3

h

h

rV 2

32

Essa é a famosa equação para o cálculo do volume de um cone que aprendemos no curso

inicial de geometria plana e espacial.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

100 |

EXEMPLO

A equação de meia circunferência de raio r é dada por:

22 xr)x(f

O gráfico dessa função é mostrado abaixo:

Encontrar o volume do sólido de revolução dessa função em torno do eixo x.

SOLUÇÃO

Conforme o gráfico, a revolução da função f(x) em torno do eixo x produzirá uma esfera. O

volume dessa figura geométrica é calculado pela seguinte integral:

r

r

2 dx)]x(f[V

Substituindo o valor da função na integral:

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

101 |

r

r

222 dxxrV

r

r

22 dx)xr(V


r

r

2r

r

2 dxxdx1rV

r

r

3r

r

2

3

xxrV

3

)r(

3

r)]r(r[rV

332

33

3 r3

4

3

r2r2V

Essa é a equação para o cálculo do volume de uma esfera que aprendemos no curso de

geometria plana e espacial.

APLICAÇÕES DO CONCEITO DE INTEGRAL

No capítulo de derivadas, encontramos as seguintes relações entre a posição s(t), a

velocidade v(t) e a aceleração de um objeto se movimentando em MUV:

dt

ds)t(v

dt

dv)t(a

Essas equações significam que basta conhecermos a expressão da posição do móvel em

função do tempo para calcularmos a sua velocidade e aceleração através da derivada.

Por outro lado, se conhecermos a expressão da aceleração do móvel em função do tempo

então também podemos calcular a sua velocidade e posição através das integrais:

dt)t(a)t(v

dt)t(v)t(s

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

102 |

No MUV, por exemplo, a aceleração do móvel é constante, ou seja:

a)t(a

Dessa forma, a velocidade do móvel é dada por:

Ctadta)t(v

Quando 0t s, o valor de v(0) é chamado velocidade inicial e é representado por v0:

C0av)0(v 0

Cv0

Portanto:

tav)t(v 0

Sendo a velocidade instantânea dada pela expressão acima, então a posição do móvel é dada

pelo seguinte cálculo:

C2

tatvdt)tav(dt)t(v)t(s

2

00

Quando 0t s, o valor de s(0) é chamado posição inicial e é representado por s0:

C2

0a0vs)0(s

2

00

Cs0

Dessa forma, temos que:

2

tatvs)t(s

2

00

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

103 |

INTEGRAIS NO MATHEMATICA

Integrais podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos:

Integrate[função, variável de integração]: esse comando calcula a integral indefinida da função dada dentro dos colchetes em relação à variável de integração.

EXEMPLO

Integrate[Sin[x],x]

Integrate[a^2,a]

Integrate[Exp[z]*Sin[z],z]

Integrate[função, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a integral definida dada por:

máx

mín

dx)x(f , se a variável de integração for x.

EXEMPLO

Integrate[Sin[x],{x,-Pi,Pi}]

Integrate[a^2,{a,0,1}]

Integrate[Exp[z]*Sin[z],{z,0,1}]

Integrate[Abs[função], {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula a área total sob a função dada pela integral:

máx

mín

dx)x(f , se a variável de integração for x.

EXEMPLO

Integrate[Abs[Sin[x]],{x,0,Pi}]

Integrate[Abs[a^3],{a,-1,1}]

Essa integral torna positivas as partes negativas da função f(x), evitando o

cancelamento das áreas por causa do sinal.

CAPÍTULO 3

INTEGRAL

104 |

Integrate[Pi*função^2, {variável de integração, mín, máx}]: esse comando calcula o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x, dado pela integral:

máx

mín

2 dx)]x(f[ , se a variável de integração for x.

EXEMPLO

Integrate[Pi*(a*x)^2,{x,0,h}]

Integrate[Pi*(Sqrt[r^2-x^2])^2,{x,-r,r}]

105 |


FFUUNNÇÇÕÕEESS DDEE MMAAIISS DDEE UUMMAA VVAARRIIÁÁVVEELL

INTRODUÇÃO

Nesta aula, você irá estudar função de duas variáveis, suas propriedades e representação através de curvas de nível. Antes de iniciarmos nosso estudo é importante que você saiba que várias aplicações de funções de duas e três variáveis estão relacionadas com a computação gráfica e engenharias e dependem do uso de computadores.

UM PROBLEMA

Você sabia que há muitas fórmulas familiares nas quais uma variável depende de duas ou

mais variáveis. Por exemplo, a área A de um retângulo depende do comprimento da base b e da

altura pela fórmula hbA . . O gráfico da função que representa a área de um papel é uma função

de duas variáveis que são as dimensões ( b largura e h altura) do papel. Um exemplo está na Figura 01.

(a) (b)

Figura 01 – (a) Retângulo cuja base mede b e cuja altura mede h . (b) Representação gráfica da área do retângulo em função da base e da altura.

Para facilitar, você pode pensar uma função f de duas ou mais variáveis como um programa

de computador que recebe duas ou mais entradas, opera sobre estas entradas e produz uma saída. Pensando desta forma você neste trabalho estudará apenas em funções cujas entradas e saídas sejam números reais.

b

h

CAPÍTULO 4

FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL

106 |

ESPAÇO NUMERICO N-DIMENSIONAL

Antes de iniciar o estudo de funções de duas variáveis é importante que você conheça espaço numérico n-dimensional, que é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de número reais, e

é denotado por nR . Outra coisa importante você saiba, é que cada n-uplas ordenada

),...,,( ,321 nxxxx é denominado um ponto no espaço numérico n-dimensional.


Agora, você conhece o espaço n-dimensional, então vamos definir neste espaço uma função

de mais de uma variável, para isto, sabia que uma função f de n variáveis, é um conjunto de pares

ordenados da forma ),( wP no qual dois pares ordenados diferentes não têm o mesmo primeiro

elemento em comum.

Observe que ),( wP é um par ordenado! Saiba então, que neste par ordenado P [

),...,,( 21 nxxxP ] é um ponto no espaço numérico n-dimensional e w é chamado a imagem da

função. Outra coisa importante que você deve saber, é que o conjunto de todos os valores possíveis de P é chamado de domínio da função e o conjunto de todos os valores possíveis de w é chamado de imagem da função. Logo o valor específico de w , no ponto P , é representado pelo símbolo

)(Pf ou ),...,,( 21 nxxxf .

Observe que em particular se 1n e se )(xP , logo f é uma função de uma variável que

você já conhece em que )()( xfPf . Da mesma forma, se 2n e se ),( yxP , denotamos de

função de duas variáveis representado por )(Pf ou ),( yxf .

Observe que se 3n e ),,( zyxP temos a função de três variáveis dada por )(Pf ou

),,( zyxf . De forma geral a função f de n variáveis pode ser definida pela equação

),...,,( 21 nxxxfw , em que nxxx ,...,, 21 são chamadas de variáveis independentes, e w é

chamado a variável dependente.

FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS

Como já vimos a função de duas variável é um caso particular de função de n-variáveis, Vamos aprofundar nossos conhecimentos entendendo melhor a definição de função de duas

variáveis, para isto, seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Se a cada par ),( yx

em D corresponde um único número real ),( yxf , dizemos que f é uma função de x e y . O

conjunto D é o domínio de f e a coleção dos valores ),( yxf é a imagem de f .

Observe que no caso de ),( yxfz , x e y são chamados de variáveis independente,

enquanto z é a variável dependente (Exemplo Figura 02).

CAPÍTULO 4


107 |

Figura 02 – Gráfico da função 22),( yxyxf . Neste exemplo, o domínio da função é todo o

plano xy . Você observou quanto a computação gráfica facilita a visualização de superfícies.

PROPRIEDADES

Observe que podemos combinar funções de duas variáveis da mesma forma que funções de uma só variável

(i) ),(),(),)(( yxgyxfyxgf

(ii) ),(),(),)(( yxgyxfyxfg

(iii) ),(

),(),)((

yxg

yxfyx

g

f, onde 0),( yxg

(iv) A função composta está definida apenas no caso em que h é uma função de duas variáveis e g

depende apenas de uma variável. )),((),)(( yxhgyxhg , para todo ),( yx no domínio de h , tal

que ),( yxh pertence ao domínio de g .

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS

Como vimos a função de duas variáveis tem propriedades semelhantes as da função de uma variável, estudaremos agora, o gráfico de uma função de duas variáveis que é o conjunto de todos os

pontos ),,( zyx tais que ),( yxfz com ),( yx no domínio de f . Sabia que o gráfico pode ser

interpretado como uma superfície no espaço, e que cada ),( yx em D corresponde um ponto

),,( zyx na superfície.

CAPÍTULO 4


108 |

Figura 03 – Gráfico da função 2216 yxz . Neste exemplo, o domínio da função é todo o

plano xy .

CURVAS DE NÍVEL

Estamos todos familiarizados com os mapas topográficos (ou de contornos) nos quais as paisagens tridimensionais, tal como as extensões de uma montanha, são representadas por linhas de contorno bidimensional ou curvo de elevação constante.

A forma mais comum de visualizar funções de duas variáveis é através de curvas de nível, ao

longo das quais ),( yxf é constante. Como ilustra a Figura 04 as curvas de nível são obtida através

da interseção de um plano paralelo ao plano yx com a superfície ),( yxf e são projetadas sobre o

plano yx .

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

-2

-1

0

1

22.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

xy

z

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2-1

01

20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

xy

z

Plano 5.1z

Curva de nível

5.1z

Superfície

22 yxz

CAPÍTULO 4


109 |

Figura 04 – Gráfico da função 22 yxz juntamente com o plano 5.1z e sua respectiva curva

de nível. Para que você compreenda melhor a geração do mapa de curvas de nível. ilustramos na Figura

05 a representação geométrica de uma função de duas variáveis por curvas de nível no plano yx .

Estas curvas são obtidas pela projeção das interseções da superfície ),( yxfz com o plano kz

(a)

(b)

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

-2

-1

0

1

20

1

2

3

4

xy

z

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

-2

-1

0

1

20.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

xy

z

CAPÍTULO 4


110 |

(c)

(d)

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2

-2

-1

0

1

20

1

2

3

4

xy

z

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

y

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

CAPÍTULO 4


111 |

(e)

Figura 05 – (a) Gráfico da função 22 yxz . (b) Curvas de nível obtidas com a interseção com o

plano paralelo ao plano yx . (c) Gráfico da função 22 yxz juntamente com as curvas

projetadas no plano yx . (d) Mapa de contorno da função 22 yxz . (e) Mapa de contorno da

função 22 yxz .

Para um melhor aprofundamento dos conhecimentos adquiridos resolva os exercícios a seguir

fazendo os gráficos com auxilio de um software gratuito. .

ATIVIDADE

1) Seja 1),( 2yxyxf , determine

a) )1,2(f

b) )0,0(f

c) )3,1(f

2) Seja 3),( xyxyxf

, determine

a) ),( 2ttf

b) )4,2( 2 yyf

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

CAPÍTULO 4


112 |

3) Calcule a função dada para cada ponto indicado

a) y

xyxf ),( em )5,30(

b) yxeyxf ),( em )0,5(

4) Descreva a região R no plano yx que corresponde ao domínio da função.

a) 2216),( yxyxf

b) )1ln(),( 22 yxyxf

c) 2

1),(

yxyxf

d) yxeyxf /),(

113 |


DDEERRIIVVAADDAASS PPAARRCCIIAAIISS

OBJETIVO: Reconhecer e calcular derivadas parciais;

Interpretar geometricamente as derivadas parciais;

Calcular a diferencial total de funções de duas e três variáveis; INTRODUÇÃO

Nesta unidade veremos que a derivada parcial é uma eficiente ferramenta para avaliação de função de duas e três variáveis. É importante lembrar que, embora muitas das idéias básicas que desenvolvemos para funções de uma variável persistirão de uma maneira natural, as funções de várias variáveis são intrisicamente mais complicadas do que as funções de uma variável, logo precisaremos desenvolver novas ferramentas e novas idéias para tratar essas funções..

DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS

Saiba que nas aplicações das funções de duas variáveis, as vezes é necessário determinar como uma função se comporta diante da variação de uma de suas variáveis independentes, e que o comportamento em questão pode ser estudado considerando-se uma variável de cada vez.

Você deve conhecer o conceito de derivada parcial, para isto, seja ),( yxfz , então, as

derivadas parciais de primeira ordem da função ),( yxf em relação a x e y são as funções xf e

yf , definidas pelas equações abaixo

x

yxfyxxfyxf

xx

),(),(lim),(

0 e

y

yxfyyxfyxf

yy

),(),(lim),(

0

se os limites existirem. As derivadas parciais de primeira ordem são denotados por

x

zyxfyxf

xx ),(),( e

y

zyxfyxf

yy ),(),(

As derivadas parciais calculadas no ponto ),( ba são representadas por

),(

),(

bafx

zx

ba

e ),(

),(

bafy

zy

ba

No exemplo seguinte você perceberá com se utiliza a definição para calcular a derivada parcial de uma função de duas variáveis. Exemplo

(1) Dada 22 23),( yxyxyxf encontre ),( yxfDx e ),( yxfDy.

yxyxfDx 26),( e yxyxfDy 22),(

Você observou que o resultado da derivada parcial também é uma função. Veremos a seguir o calculo de uma derivada parcial no ponto.

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

114 |

DERIVADA PARCIAL NO PONTO ),( 00 yx

Você já conhece a definição de derivada parcial, agora veremos como avaliá-la no ponto. Para

isto, tomemos ),( 00 yx que é um ponto particular no domínio de f , então:

x

yxfyxxfyxfD

xx

),(),(lim),( 0000

000

y

yxfyyxfyxfD

yy

),(),(lim),( 0000

000

se os limites existirem. Elas também podem ser escritas por

0

000

),(),(lim),(

0 xx

yxfyxfyxfD

xxx

e 0

000

),(),(lim),(

0 yy

yxfyxfyxfD

yyy

se os limites existirem. Esta definição pode ser claramente vista no exemplo a seguir. EXEMPLO

1) Dada 22 23),( yxyxyxf encontre )2,3(fDx e )2,3(fDy

.

SOLUÇÃO

yxyxfDx 26),( 144182*23*6)2,3(fDx

yxyxfDy 22),( 2462*23*2)2,3(fDy

Você percebeu no exemplo que a definição apresentada anteriormente, é uma avaliação numérica da derivada no ponto.

DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS

Devemos compreender que o conceito de derivadas parcial pode ser estendido naturalmente

à funções de três ou mais variáveis. Se ),,( zyxfw , tem-se três derivadas parciais a considerar,

cada uma delas é obtida mantendo constante duas das variáveis. Isto é, para definir a derivada parcial de w em relação a x , mantém-se y e z constante e escreve-se a expressão abaixo

x

zyxfzyxxfzyxf

x

w

xx

),,(),,(lim),,(

0

Logo, para definir a derivada parcial de w em relação a y , mantém-se x e z constantes

y

zyxfzyyxfzyxf

y

w

yy

),,(),,(lim),,(

0

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

115 |

Da mesma forma para definir a derivada parcial de w em relação a z , mantém-se x e y constante

z

zyxfzzyxfzyxf

z

w

zz

),,(),,(lim),,(

0

Para melhor explicitar a afirmação supracitada, segue o exemplo abaixo. EXEMPLO

a) Dada xzyzxyzyxf 2),,( , calcule x

f,

y

f e

z

f.

zyx

f 2f

x zy

xyzz

f2

Para alicerçar os conceitos apresentados neste tópico é de suma importância que você faça os

exercícios a seguir.

EXERCÍCIO

1) Calcule as derivadas parciais com relação a x e a y

a) 532),( yxyxf

b) 73),( 22 yxyxf

c) xyyxf ),(

d) y

xyxf ),(

2) Determine x

f,

y

f e

z

f.

a) zyx

xyzyxf ),,(

b) yzxyyxzyxf 23),,( 22

c) 222 94),,( zyxzyxf

d) zyxzyxf ),,(

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Saiba que a interpretação geométrica de derivadas parciais de uma função de duas variáveis é

análogas aquelas de funções de uma variável. Logo, o gráfico de uma função f de duas variáveis é

uma superfície tendo por equação ),( yxfz . Se y é considerado constante, então ),( 0yxfz

é a equação do traço desta superfície no plano 0yy . Então, ),( 00 yxfDx é a declividade da reta

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

116 |

tangente à curva pelas equações 0yy e ),( yxfz no ponto )),(,,( 00000 yxfyxP no plano

0yy . De modo análogo ),( 00 yxfDx é a declividade da reta tangente à curva pelas equações

tendo equações 0xx e ),( yxfz no ponto )),(,,( 00000 yxfyxP no plano 0xx .

Figura 17 – Ilustração gráfica da interpretação geométrica da derivada parcial. (Stewart, 2003 página 899)

DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTAS

Você observou que, as derivadas parciais x

f e

y

f são funções de x e y , logo essas

funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isto origina quatro possíveis derivadas parciais de

segunda ordem de f que são denotadas de acordo com a seqüência em que as derivadas são

calculadas.

1) Para a derivada segunda em relação ao x xxf

x

f

x

f

x 2

2

2) Da mesma forma a derivada segunda em relação ao y yyf

y

f

y

f

y 2

2

3) E a derivada segunda primeiro em relação a x e, depois, em relação a y

xyf

xy

f

x

f

y

2

4) E a derivada segunda primeiro em relação a y e, depois, em relação a x

yxf

yx

f

y

f

x

2

Assim as derivadas de ordem mais altas são derivadas parciais de derivadas parciais, que serão melhor explicitadas no exemplo a seguir. EXEMPLO

Determine xyf , xxf e yxf onde 222 94),,( xyzxyyxzyxf

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

117 |

22 942 yzyyxx

f 22 98 xzxyxy

f

22

982 zyxfyx

fxy 2

2

982 zyxfxy

fxy

yfxx

fxx 2

2

3.7 TEOREMA

Observe bem o exemplo acima, ele representa bem o seguinte teorema. Seja ),( yxf uma

função tal que f , xf , yf , xyf e yxf são contínuas em uma região aberta R . Então

yx

f

xy

f 22

para todo ),( yx em R .

Para um melhor aprofundamento dos conhecimentos adquiridos resolva os exercícios a seguir.

EXERCÍCIO

1) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem 2

2

x

z,

2

2

y

z,

xy

z2

e yx

z2

a) 22 32 yxyxz b) 4224 3 yyxxz

c) 2

2 yxez d) 532 yxz

e) 73 22 yxz f) zyxzyxf ),,(

DIFERENCIAL TOTAL

Nossa tarefa agora, é compreender a diferencial total de )(xf , para isto, definimos de

diferencial de )(xfy como sendo dxxfdy )(' . Para funções de duas variáveis ),( yxfz

usaremos terminologia semelhante. Chamaremos de x e y de incrementos de x e y e o

incremento em z é dado por

),(),( yxfyyxxfz

Observe q ue se ),( yxfz e x e y são incrementos de x e y então, as

diferenciais das variáveis independentes x e y são:

xdx e ydy

e a diferencial total da variável independente z é

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

118 |

dyyxfdxyxfdyy

zdx

x

zdz yx ),(),(

Saiba que a definição acima pode ser estendida para funções de três ou mais variáveis. Por exemplo,

se ),,( zyxfw , então xdx , ydy e zdz são as diferenciais das variáveis

independentes x e y e a diferencial total de w é

dzzyxfdyzyxfdxzyxfdzz

wdy

y

wdx

x

wdw zyx ),,(),,(),,(

Para melhor entendimento, analise os exemplos seguintes. Primeiramente calcularemos a

diferencial total de uma função de duas variáveis. EXEMPLO

(1) Calcule a diferencial total dz para yxexz y 35 .

SOLUÇÃO

dyyxfdxyxfdz yx ),(),(

como yxeyxf yx

215),( e 35),( xxeyxf yy então

dyxxedxyxedz yy )5()15( 32

No exemplo 2 você observará o calculo da diferencial total de uma função de duas variáveis.

(2) Calcule a diferencial total dw para 222 zyxw .

SOLUÇÃO

dzzyxfdyzyxfdxzyxfdw zyx ),,(),,(),,(

Como

xzyxf x 2),,( , yzyxf y 2),,( e zzyxf z 2),,( então dzzdyydxxdw 222

Este exercício facilitará o entendimento do próximo tópico.

DIFERENCIABILIDADE

Lembre-se que uma função de uma variável f é chamada de diferenciável em 0x se houver

uma derivada em 0x isto é, se o limite x

xfxxfxf

x

)()(lim)(' 00

00

existir. A função

diferenciável f em um ponto 0x possui duas propriedades importantes: )(xf é contínua em 0x e

o gráfico de )(xfy tem uma reta tangente não vertical em 0x .

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

119 |

Seguindo o mesmo princípio para função de duas variáveis temos que se ),( yxfz é

diferenciável em ),( 00 yx se z puder ser expresso na forma:

yxyyxfxyxfz yx 210000 ),(),(

onde 1 e 2 tendem a zero quando )0,0(),( yx .

No exemplo seguinte, você encontrará a diferencial de uma função em todos os pontos do plano. EXEMPLO

(1) Mostre que a função yxyxf 3),( 2 é diferenciável em todos os pontos no plano.

),(),( yxfyyxxfz

)3()(3)2( 222 yxyyxxxxz

yxxyxxz 0)(3)(2

yxyyxfxyxfz yx 21),()(),(

Assim a diferenciabilidade é um conceito importante para verificar se a função tem derivadas nos pontos. Os teoremas a seguir utilizam o conceito de diferenciabilidade para a verificação da derivada parcial no ponto.

TEOREMA 1

Devemos saber que se f tiver derivadas parciais de primeira ordem em cada ponto de

alguma região circular em ),( 00 yx e se estas derivadas parciais forem contínuas em ),( 00 yx

então f é diferenciável em ),( 00 yx .

TEOREMA 2

Devemos saber também que se f é diferenciável em ),( 00 yx , então f é contínua em

),( 00 yx .

3.13 REGRA DA CADEIA Lembremos que a regra da cadeia para uma função de uma variável nos dá uma regra para

diferenciar uma função composta. Se )(xfy e )(tgx , onde f e g são funções diferenciais,

então y é diretamente uma função diferenciável de t e

td

xd

xd

yd

td

yd.

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

120 |

Para funções de mais de uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas fornecendo regra de diferenciação de uma função composta. Para isto leia atentamente os casos a seguir: 1º Caso: Regra da Cadeia para uma Variável Independente

Seja ),( yxfw , em que f é uma função diferenciável de x e y . Se )(tgx e )(thy ,

em que g e h são funções diferenciáveis em t e

td

yd

yd

wd

td

xd

xd

wd

td

wd

O exemplo seguinte explicita muito bem a situação do 1º caso.

EXEMPLO

(1) Seja 22 yyxw , onde tx sen e

tey . Encontre td

wd quando 0t .

A solução do exemplo acima pode ser dada da seguinte forma: SOLUÇÃO

td

yd

yd

wd

td

xd

xd

wd

td

wd

teyxtxytd

wd)2(cos)2( 2

quando 0t temos que 0x e 1y , então

220td

wd

No segundo caso, você encontrará a seguinte regra: 2º Caso: Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes

Seja ),( yxfw , onde f é uma função diferenciável de x e y . Se ),( tsgx e ),( tshy

são tais que as derivadas parciais de primeira ordem

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w e

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

Para melhor entendimento do 2º caso, sugerimos o seguinte exemplo e sua solução.

EXEMPLO

(1) Determine s

w e

t

w para xyw 2 , onde 22 tsx e tsy .

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

121 |

SOLUÇÃO

xsyxsys

y

y

w

s

x

x

w

s

w241*22*2

xytxtyt

y

y

w

t

x

x

w

t

w241*22*2

3º Caso: Regra da Cadeia para Diferenciação Implícita

Se a equação 0),( yxf define y implicitamente como uma função diferenciável de x ,

então

),(

),(

yxF

yxF

xd

yd

y

x , 0),( yxFy

Se a equação 0),,( zyxF define z implicitamente como uma função diferenciável de x e

y , então

),,(

),,(

zyxF

zyxF

x

y

z

x e ),,(

),,(

zyxF

zyxF

x

y

z

y, 0),,( zyxFz

EXEMPLO

(1) Encontre xd

yd dado que 045 223 xyyy

SOLUÇÃO

Definindo 45),( 223 xyyyyxF

xyxFx 2),( e 523),( 2 yyyxFy

)523(

)2(

2 yy

x

xd

yd 523

2

2 yy

x

xd

yd

EXERCÍCIO

1) Encontre td

wd usando a regra da cadeia apropriada

CAPÍTULO 5

DERIVADAS PARCIAIS

122 |

a) 22 yxw , tex e tey

b) 22 yxw , tx sen e ty cos

2) Encontre s

w e

t

w usando a regra da cadeia apropriada

a) 22 yxw , tsx e tsy

b) yxw 52 , 22 tsx e 22 tsy

3) Encontre td

wd usando a regra da cadeia apropriada

a) xyw , tx sen2 e ty cos

b) yzxzxyw , 1tx , 12ty e tz

123 |


IINNTTEEGGRRAAIISS MMÚÚLLTTIIPPLLAASS

1. INTEGRAL DEFINIDA

1.1 - Integral de Riemann

A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos. A integral de Riemann (ou definida) de uma função f(x) num intervalo [a, b], é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f(x), ou seja:

onde:

kc coordenada entre 1kx e kx

f(ck) ordenada de kc (altura do retângulo)

1kkk xxx (base do retângulo)

A área do ésimok retângulo é dada por k k xA f (c ) x Somando todas as áreas dos

retângulos sob a curva f(x), tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a

curva. Quanto menor for kx , melhor é a aproximação.

Assim:

n

1k

kk0||x||

x)c(flimk

= área sob a curva f(x) = A

.

Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a

curva.

............................. ......................

Y

X

k k[c , f (c )]

n n[c , f (c )]

kc

nc

kA

k

1nn xx

1kk xx

CAPÍTULO 6

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

124 |

Definição: Integral definida de Riemann: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b], então se o limite

n

1k

kk0||x||

x)c(flimk

existe, a função f(x) é integrável em [a, b] no sentido de Riemann, e é definida por

b

a

n

1k

kk0||x||

dx)x(fx)c(flimk

,

onde a integral definida de f(x), no intervalo [a, b], dará uma nova função g(x) calculada no intervalo

[a,b], o que é escrito na forma b

ag(x) , ou seja, b

ag(x) g(b) g(a) , assim:

)a(g)b(gdx)x(f

b

a

Exercício: Determinar a área delimitada pela parábola 01642 yx e o eixo X .

44

44

16

4

160164

2222 xxx

yyx

12

6416

12

6416

124

44

4

4

34

4

2 xxdx

xA

3

64

3

3296

3

3232A

Observação: Seja f(x) uma função integrável em [a, b] no sentido de Riemann, então a integral definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico de f(x), entre x = a e x = b.

y A1 x = a

f(x)

A2

x = b

x

(A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas)

Y

X

1

1

0

y f (x)

CAPÍTULO 6


125 |

Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas acima do eixo das abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão precedidas de sinal negativo, ou

seja, 21

b

a

AAdx)x(f .

EXEMPLO

Exemplo: Resolver a Integral definida da função 31f (x) x

3 entre [-1, 2].

4 4 4223

1 1

1 1 x 1 2 ( 1) 1 16 1 1 15 5x dx

3 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4

Definições:

a) Se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então f(x) é Riemann - integrável em [a, b].

b) Se f(x) é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [a, b], então f(x) é Riemann – integrável em [a, b].

c) Se f(x) é uma função qualquer e a é um valor pertencente ao domínio D de f(x), define-se:

a

a

f (x)dx 0

d) Se ba e f(x) é Riemann - integrável em [a, b], então define-se:

a

b

b

a

dx)x(fdx)x(f

1

f (x)

1 0

2

Y

X

CAPÍTULO 6


126 |

2 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS

2.1 - Integrais Duplas

Supondo-se que a função de duas ou mais variáveis independentes seja uma função de duas

variáveis, diz-se que "z" é uma função de y,x , e escreve-se )y,x(fz , quando a correspondência

entre "z" e o conjunto é tal que para cada grupo )y,x( ii o valor de "z" i fique univocamente

definido.

1a Observação: Uma função "" z pode ser explícita, isto é, ),( yxfz ; Exemplo: 22 yxz

ou 22 yxz ; ou a função "" z pode ser implícita, isto é, 0),( yxf . Exemplo:

0222 yxz , onde a função implicitamente inclui as duas funções anteriores.

2a Observação: Se os valores "" iz da função puderem ser obtidos por certo número de operações ,

praticadas sobre as variáveis i i(x ,y ) , então i i iz f (x , y ) será a representação analítica da função.

Exemplo: 22 yxz , assim "" z é função do conjunto (x, y) e f(x, y) = x2+y2 é sua representação

analítica.

Definição de domínio para duas variáveis independentes – Seja o domínio "D" um subconjunto do

espaço bidimensional real de "R" 2 e )y,x(f uma lei que associa a cada ponto "P" i um e somente

um valor real "" iz , onde )y,x(P iii iD e )y,x(fz R onde o conjunto de todos os valores que

"z" possa assumir representa a imagem "I" e )y,x(f é expressão analítica de calculo da imagem,

da função "z" , como mostra a Figura 3.

Z

Y

Z

X

Representação gráfica de uma função ),( yxfz

),( yxfz

0x

0y

0z

),,( 000 zyx

D

D

CAPÍTULO 6


127 |

A definição de integral dupla f (x, y)dxdy comporta uma interpretação geométrica

análoga à definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume (ou cubatura) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área dA , ou seja, dxdy , com a finalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim,

pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas.

Representação gráfica de uma função

),( yxfs

2

0 1 0 1D {(x,y) / (x x x ) (y x y )}1xx

1yy

Z

X

Y

0yy

1zz

0zz

s f (x, y)

0xx

D

Representação gráfica do domínio ""D , da imagem "" I e da

superfície ""S de uma função ),( yxfz

Z

Y

Z

X

S

D

D

I

D

CAPÍTULO 6


128 |

Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata área da base vezes a

altura é tal que para cada área elementar iii dydxdA o valor de "z" i fica univocamente

definido. Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes V das colunas infinitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, com mostram as Figuras 2 e 3.

Z

Y

Z

X

Decomposição em paralelepípedos de uma função ),( yxfs

dxdydA

Z

Y

Z

X

Representação gráfica de uma função

),( yxfs

dxdydA

CAPÍTULO 6


129 |

Se f(x, y) < 0 os volumes V são negativos e obtém-se V como integral. Assim, uma

definição precisa de Integral Dupla pode ser colocada na forma: Supondo que o domínio D de uma função pode ser colocada no interior de um retângulo definido pela base bxa e pela altura dyc no plano XY , e a base bxa for dividido em

n intervalos, isto é, n

ab, a altura dyc também for dividido em m intervalos, isto é,

m

cd.

Então, esta decomposição do retângulo bxa , dyc em mn sub-retângulos é denominado

de partição regular, e cada sub-retângulo é uma célula desta partição, onde cada uma possui uma

área ijji Ayx , donde,n

1i

m

1j

ijAD . Note-se que quanto maiores forem n e m menor

será cada. Assim, para cada ponto toma-se o valor médio das coordenadas, isto é,

j * *ii j

yx, (x , y )

2 2 e obter-se-á uma área infinitesimal A e

i jV f(x , y ) A . O volume

total aproximado será dado pela soma de todos os V , isto é, i jV f (x , y ). A .

Desta forma a soma de Riemann corresponde à partição estendida, quando n e

0Am é o volume V total dado pela soma,

n m

i j i ji, j

i 1 j 1D

V f (x , y )dA im f (x , y ) A ,

denominada integral dupla de f(x, j) sobre o domínio D, onde

d b

i j i j i jc a

D

f (x , y )dA f (x , y )dx dy .

EXEMPLO

Se 2D {(x,y) / 1 x 1, 2 y 2} calcular o volume correspondente à função

2f (x) 1 x por integral dupla.

SOLUÇÃO

Se 21 xz , então 122 zx e 0z , logo a integral dupla D

dAx21

representará o volume do sólido S que está abaixo do cilindro circular 122 zx e acima do

retângulo definido por D . O volume de S é a área de um semicírculo com raio uma vez o comprimento do cilindro, ou seja,

2 2

D

1V 1 x dA (1) 4 2 u.v.

2

CAPÍTULO 6


130 |

pois,

1

1

21

1

22

2

1

1

2

2

22 14111 dxxdxxydydxxdAxVD

1 0

2 2 2

1 0V 4 1 x dx 4 1 cos (u) sen(u) du 4 sen (u) sen(u) du

2

00

u sen(u)cos(u) 4V 4 sen (u) du 4 ( 0) 2 u.v.

2 2 2

EXEMPLO

Calcular as integrais 2

1

3

0

2

1 ydydxxI e 3

0

2

1

2

2 ydxdyxI

SOLUÇÃO

a)

32

2 3 2 2 22 2 2 2 2 2

11 0 1 1 1

0

y 1 9I x ydydx x dx x (3 0 )dx x dx

2 2 2

2

3 3 3

1

1

9 x 9 2 1 9 3 21I (8 1) (7)

2 3 2 3 3 6 2 2

b)

23

3 2 3 3 3 32 3 3

20 1 0 0 0 0

1

x 1 1 7I x ydxdy ydy (2 1 ) ydy (8 1) ydy ydy

3 3 3 3

2

21

2

9

3

7

2

0

2

3

3

7

23

7

3

7 223

0

23

02

yydyI .

Assim, se f (x, y) for contínua no domínio 2D {(x,y) / a x b, c y d} , então

b d d b

a c c aD

f x , y dA f (x , y)dy dx f (x , y)dx dy .

Esse resultado (Teorema de Fubini) é válido ao supor-se que a função f(x, y) seja limitado em

D , podendo ser descontínua num número finito de curvas lisas, e se a integral iterada existir.

EXEMPLO

Se 2D {(x,y) / 0 x 2,1 y 2} calcular a integral dupla 2

D

I (x 3y ) dA e

demonstre o teorema de Fubini para esta integral dupla.

CAPÍTULO 6


131 |

SOLUÇÃO

a)

23

2 2 2 22 3 3

0 1 0 0

1

3yI (x 3y )dydx xy dx (x(2) (2) ) (x(1) (1) ) dx

3

2

2 22 2

0 0

0

x 2I [2(x 4) (x 1)]dx (x 7)dx 7x 7(2) 0 (2 14) 12

2 2

2

D

(x 3y )dA 12

b)

22 2

2 2 2 22 2 2

1 0 1 1

0

x 2I (x 3y )dxdy 3y x dx 3y (2) 0 dy

2 2

23

2 22 2 3

1 1

1

3yI [(2 2y )] dy 2 (1 3y )dx 2 y 2[(2 2 ) 0] 2(2 8) 12

3

2

D

(x 3y )dA 12 .

EXEMPLO

Calcule 2 3

Q

12xy z dV , onde Q é a caixa retangular limitada por: -1 x 2, 0 y 3, 0 z 2.

SOLUÇÃO

D = {(x,y) | -1 x 2, 0 y 3}

2

2 3 2 3

Q D 0

22 4 2

0D D

32 3 2 3

2

-1 0 -1 0

22 2

-1 -1

12xy z dV= 12xy z dz dA

= 3xy z dA= 48xy dA

y=48 xy dydx=48 x dx

3

x=16 27xdx=432

2

=216 4-1 =648

CAPÍTULO 6


133 |

Documents

Marília Brasil Xavier COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE …ccse.uepa.br/downloads/material_2010/CALCULO.pdf · Esse tipo de análise permite afirmar o valor de um limite apenas olhando