Marília Brasil Xavier COORDENADOR GERAL DOS …ccse.uepa.br/downloads/material_2010/SEQUENCIAS E SERIES.pdf · SEQUÊNCIAS E SÉRIES 11 MONOTONICIDADE DE SEQÜÊNCIAS Teorema do

Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

F676s Fonseca, Rubens Vilhena

Sequências e séries / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.

24 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-67-3 1.Sequências (Matemática). 2. Séries (Matemática). I.

Universidade Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.521 CDD: 515.24

Índice para catálogo sistemático 1. Sequências (Matemática) 517.521

Belém - Pará - Brasil - 2011 -

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

5

Seqüência: esta palavra está relacionada com sucessão ordenada de coisas.

Seqüência infinita: sucessão interminável de números, chamados termos.

Exemplos:

1) 1,2,3,4,5,6,7......

2) 2,4,6,8,10,.....

3) 1, 1/2,1/3,1/4,1/5,.....

4) 1,-1,1,-1,1,-1,....

Cada seqüência tem um padrão definido dado pelo termo geral.

Exemplos:

1) 2, 4, 6, 8,.... onde cada número representa o dobro de sua posição. O número 2 está na

posição 1, portanto vale 2x1=2, o número 4 está na posição 2 e vale 2x2=4, e assim por

diante. O termo geral portanto é 2n.

2) 1, 1/2,1/3,1/4,1/5,..... onde o termo geral é 1/n

3) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,....n2

1,.......

4) ,........1

,.......,5

4,

4

3,

3

2,

2

1

n

n

5) ,.....12,....9,7,5,3,1 n

Desta forma, a seqüência pode ser representada por seu termo geral. Assim, para o exemplo

anterior:

1) n 1{2n}

2) 12

1

n

n

3) 11 nn

n

4) n 1{2n 1}


6

Observação:

A letra n é denominada índice da seqüência (outras letras podem

ser utilizadas).

Definição:

Um seqüência é uma função cujo domínio é um conjunto de números inteiros.

Assim, n n 1{a } equivale a uma notação alternativa da função: nf (n) a , n 1,2,3,4.....

Exemplo:

1) 1

1

nn pode ser escrito como: ....4,3,2,1,

1n

ny , cujo gráfico é:


7

2) Similarmente: 2

n 1{2(n 2)}

3) Para: n 1

n 1{( 1) }

Limite de uma seqüência:

O limite de uma seqüência existe quando, à medida em que n cresce, os valores da seqüência

também crescem ou diminuem em direção a um valor limite L. Em outras palavras, para

qualquer número positivo , há um ponto N na seqüência, após o qual todos os termos estão

entre as retas Ly e Ly .

Exemplo:

1) 1

1

1

nn

ou seja 01

1lim

1nn n


8

2) 12

11lim

1n

n

n

Definição:

Dizemos que uma seqüência n{a } converge para o limite L se dado 0 qualquer, existir

um número inteiro N, tal que n| a L | para Nn . Neste caso temos: Lan

nlim .

Uma seqüência diverge, quando não converge para algum limite finito.

Propriedades: As propriedades válidas para limites usuais, também valem para seqüências:

Suponha que as seqüências n n{a } e {b } convergem respectivamente para L1 e L2, e seja c

uma constante. Então:


9

n

n n 1n n

n n n n 1 2n n n

n n n n 1 2n n n

n n n n 1 2n n n

nnn 1

2n

n n 2n

lim c c

lim ca c lim a cL

lim (a b ) lim a lim b L L



lim aa Llim se L 0

b lim b L

Exemplo:

As seqüências a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre limite:

1) 112 nn

n

2

1

12lim

n

n

n

2) n

n 1

n( 1)

2n 1. O gráfico desta função é:

Visualmente verifica-se há dois limites distintos: um se refere aos termos de posição

ímpar (pontos acima do eixo x) e outro se refere a termos de posição par (abaixo do eixo


10

x). O simples fato de estes limites não serem iguais, já seria suficiente para determinar a

não convergência de série.

2

1

12lim

n

n

n (posições par)

2

1

12lim

n

n

n (posições ímpar)

Propriedade: Uma seqüência converge para um limite L se e somente se as seqüências

de termos de posição par e impar convergem ambas para L.


11

MONOTONICIDADE DE SEQÜÊNCIAS

Teorema do confronto: Sejam n{a } , n{b } e n{c } seqüências tais que nbn cba , para

todos os valores de n acima de um índice N. Se as seqüências n{a } e n{c } tiverem um limite

comum L quando n , então n{b } terá o limite L quando n .

Teorema: Se 0lim nn

a então 0lim nn

a .

Observação:

As seqüências podem ser definidas recursivamente através de

fórmulas de recursão.

Ex. Algorítimo para o cálculo de p :

,.....4,3,2,1,2

2

1,1 10 n

yyyy

n

nn

Terminologia: Uma seqüência é dita :

Estritamente crescente se 1 2 3 4a a a a .....

Estritamente decrescente se 1 2 3 4a a a a .....

Crescente se 1 2 3 4a a a a .....

Decrescente se 1 2 3 4a a a a .....

Se uma seqüência for estritamente crescente ou decrescente ela á dita estritamente

monótona.

Se uma seqüência for crescente ou decrescente ela é dita monótona.

Teste de monotonicidade:

1o. Método: Diferença entre termos sucessivos:

Estritamente crescente se n 1 na a 0

Estritamente decrescente se n 1 na a 0

Crescente se n 1 na a 0

Decrescente se n 1 na a 0

2o. Método: Razão entre dois termos sucessivos:

Estritamente crescente se n 1 na / a 1

Estritamente decrescente se n 1 na /a 1

Crescente se n 1 na / a 1

Decrescente se n 1 na / a 1


12

Observação

1) Algumas seqüências possuem um comportamento errático no início,

apresentando uma propriedade a partir de um certo termo.

2) Normalmente a convergência ou divergência de uma seqüência não

depende do comportamento de seus termos iniciais mas de seu

comportamento a partir de um certo termo.

3) Se uma seqüência for crescente a partir de um certo termo então:

a. Ela é limitada por uma cota superior de valor M ( na M ) e a

seqüência converge para L M .

b. Ela é ilimitada e nnlima .

4) A mesma observação é válida para seqüências decrescentes.

SÉRIES INFINITAS

Observe o número:

10.33333333.... 0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003 0,000003 ........

3

3 3 3 3 3 3.......

10 100 1000 10000 100000 1000000

Pode-se afirmar que 1/3 pode ser escrito como um soma de uma série

infinita de termos.

Tomemos a seqüência de somas:

5

4324

323

22

1

S

10

3

10

3

10

3

10

3S

10

3

10

3

10

3S

10

3

10

3S

10

3S

A seqüência S1, S2, S3, S4,.... é uma sucessão de aproximações da “soma” da série infinita

cujo valor é 1/3. Quanto mais avançarmos na série, melhor será esta aproximação. Tomando

um termo geral da série acima:


13

nnS10

3.....

10

3

10

3

10

332

Assim, podemos concluir que um limite para esta soma é:

nnn

nS

10

3.....

10

3

10

3

10

3limlim

32

Para determinar este limite, temos que manipular a expressão de Sn. Multiplicando-se ambos

os lados da expressão de Sn por 1/10 e subtraindo esta nova expressão da expressão para o Sn

original tem-se:

nnS10

11

3

1

Tomando-se o limite tem-se que a soma é dada por 1/3 como esperado.

Definições:

1) Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma:

1

4321 ..............k

kk uuuuuu , onde u1, u2, u3, etc, são os termos da série.

2) O número Sn é chamado n-ésima soma parcial e a seqüência n n 1{S } é chamda seqüência

das somas parciais.

3) Se a seqüência n n 1{S } convergir para um limite S, dizemos que a série converge para S,

ou seja: 1k

kuS .

4) A série diverge se n n 1{S } diverge, e uma série divergente não tem soma.

Séries Geométricas: São aquelas em que cada termo é obtido multiplicando-se o anteriror

por uma constante r fixa, conhecida como razão.

Forma geral: ..........2

0

k

k

k arararaar .

Observação:

Algumas vezes é conveniente iniciar a série por um índice diferente de

1, o que não modifica em nada a série.

Uma série geométrica diverge se 1r e converge se 1r .


14

A soma de uma série convergente, tomando-se os n primeiros termos da série é:

n

k

k

n arararaarS ....2

0

.

Multiplicando ambos os lados por r e subtraindo a expressão resultante da expressão de Sn

anterior, tem-se:

n

n

a 1 rS

1 r.

Se 1r , temos 0lim n

nr .

Então: n

nn n

a 1 r alim S lim

1 r 1 r.

Desta forma,

k

n

aS limar se r 1

1 r.

Série Harmônica: 1

....4

1

3

1

2

11

1

k k

Esta série surge em conexão com os sons harmônicos produzidos pela vibração de uma corda

musical. Diferentemente do que a nossa intuição possa nos dizer, esta série diverge, conforme

prova a literatura.

Testes de Convergência:

Para seqüências: Achar o termo geral e calcular o limite.

Para séries: achar o termo geral da seqüência das somas parciais e encontrar o limite.

Normalmente, este termo geral é muito difícil de ser obtido. Para isto, diversos testes de

convergência/divergência foram obtidos.

Teste da divergência:

Para a série 1k

ku , toma-se o termo geral da série, uk, e calcula-se o limite para k .

a) Se 0lim kx

u , então a série 1k

ku diverge.

b) Se 0lim kx

u , então a série 1k

ku converge ou diverge.

c) Se a série 1k

ku converge, então 0lim kx

u .


15

Propriedades Algébricas:

a) Se ku e kv são séries convergentes, então k k(u v ) e k k(u v ) são séries

convergentes e as somas destas séries estão relacionadas por:

k k k k(u v ) u v e k k k k(u v ) u v .

b) Se c é uma constante não nula, então ambas as séries ku e kv convergem ou

divergem. No caso da convergência, vale: kk uccu

c) A convergência ou divergência não é afetada pela retirada de um número finito de termos

de uma série,

...

...

21

321

1

NNN

Nk

k

k

k

uuuu

uuuu

ou ambas convergem ou ambas divergem.

Note que a divergência não é afetada, mas o valor da soma sim!!!!

Teste da integral: Para uma função f (x) contínua, decrescente e com valores positivos

para todo ax , a série n a

f (n) será convergente se a integral imprópria a

f (x)dx existir e

será divergente se a

f (x)dx .

Séries Hiper-Harmônicas ou p-Séries: São séries do tipo

1

.....1

...3

1

2

11

1

kpppp kk

. Estas convergem se 1p e divergem se 10 p .

Demonstração: use o teste da integral!

Teste da Comparação

Sejam 1k

ka e 1k

kb ,

1) Se a série maior convergir, então a série menor converge.

2) Se a série menor divergir, então a série maior diverge.

Dicas para a aplicação deste teste

1) Termos constantes no denominador podem geralmente ser eliminados

sem afetar a divergência ou convergência da série.

2) Geralmente pode-se descartar os termos de menor grau em um polinômio

do numerador e/ou denominador, deixando apenas o termo dominante.


16

Teste da Comparação com Limites

Sejam ka e kb séries de temos positivos e seja: k

kk

b

alim .

Se for finito e maior que 0, então ambas as séries convergem.

Teste da Razão

Nos testes anteriores, era necessário encontrar uma série apropriada e estudar a sua

convergência. Isto algumas vezes não é fácil de se obter.

O próximo teste é bastante versátil, uma vez que funciona apenas com os termos da série

dada.

Seja ku uma série de termos positivos e suponha que k

kk

u

u 1lim

Se 1 , a série converge

Se 1, a série diverge

Se 1 , a série converge ou diverge

Teste da Raiz

Seja ku uma série de termos positivos e para kkk ulim

Se 1 , a série converge

Se 1 ou , a série diverge

Se 1 , a série pode convergir ou divergir


17

SÉRIES ALTERNADAS

Possuem termos positivos e negativos.

Teste da Série Alternada

Uma série alternada da forma 1

)1(k

k

k a converge se as duas condições forem satisfeitas:

a) a1 > a2 > a3 ... > ak > ...

b) 0lim kk a

Exemplo

1

1)1(

n

n

n

nan

1

1

11

nan

Note que esta é uma série harmônica alternada que, ao contrário da série harmônica simples,

converge!

A soma de séries alternadas chama atenção especial, já que estamos adicionando um termo

positivo e um negativo sucessivamente à série.

Para uma série que satisfaça as condições acima, onde S é a soma da série, então:

a) S está entre duas somas parciais sucessivas, isto é:

Sn < S < Sn+1 ou Sn+1 < S < Sn

b) Se S for aproximada por Sn, então o erro absoluto |S - Sn| < an+1 e o sinal de S – Sn é igual

ao do coeficiente de an+1.

Convergência Absoluta

Definição: A série ku converge absolutamente se a série de valores absolutos || ku

converge, e diverge absolutamente se a série de valores absolutos diverge.

Observação:

Se a série 1

||k

ku converge, então a série 1k

ku também converge.

Este resultado é útil na solução de problemas do tipo:


18

22

1cos

kk

k

Série hiper-harmônica p>1 converge

Converge

Exemplo

Mostre que a série 2

k 1

cos k

k converge.

O sinal desta série varia irregularmente. Assim vamos tratar a convergência de: 1

2

cos

k k

k

mas

12

cos

k k

k converge!

Observação:

Os testes da razão e da raiz podem ser usados para o teste da

convergência absoluta de uma série.

SÉRIES DE POTÊNCIAS

Até o momento: séries cujos termos são números.

Agora: séries cujos termos são funções.

Séries de Potências em x

...3

3

2

210

0

xcxcxccxck

k

k

Exemplo

...62

1!

32

0

xxx

n

x

n

n

Quando x é substituído por um número, a série numérica resultante pode convergir ou

divergir.

Note que em x=0 a série sempre converge pra c0.

O conjunto de valores nos quais a série converge é chamado intervalo de convergência, que,

como pode ser provado, é centrado em zero.


19

Para cada série de potências em x, exatamente uma das seguintes alternativas é verdadeira:

a) A série converge somente em x=0 (raio de convergência 0).

b) A série converge absolutamente (e portanto converge) para todos os valores reais de x

(raio de convergência ).

c) A série converge absolutamente (e portanto converge) para todo x em algum intervalo

aberto finito (-R,R). e diverge se x <-R ou x >R. Nos pontos x = R ou x =-R, a série

pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da

série particular (raio de convergência R).

O procedimento usual para se determinar o raio de convergência é aplicar o teste da razão

para convergência absoluta.

Série de potências em (x - x0)

Se x0 for uma constante e se x for substituído por (x – x0) então a série de potências tem a

forma:

...)(...)()()( 0

2

02

0

0100

k

k

k

k

k xxcxxcxxccxxc

O intervalo de convergência é obtido de forma semelhante, substituindo x – x0 em x, ou seja,

exatamente uma das alternativas é correta:

a) A série converge apenas para x = x0;

b) A série converge absolutamente para todos os valores reais de x;

c) A série converge absolutamente para todo x em algum intervalo finito (x0 – R, x0

+ R) e diverge se x < x0 + R ou x > x0 + R. Nos pontos x = x0 - R e x = x0 + R a série

pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da

série particular.

SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN

Polinômios de MacLaurin:Veremos como aproximar funções por polinômios.


20

Porém, se a curvatura for muito pronunciada nesta região, esta aproximação será rapidamente

deteriorada à medida que se afasta de x0. Um polinômio de grau dois seria muito mais

recomendável, especialmente se for garantido que a derivada primeira e segunda do

polinômio coincidam com as da função no ponto x0. Assim, a função f (x) e o polinômio p(x)

teriam a mesma derivada e concavidade no ponto x0.

2

210)( xcxccxp onde:

)0()0( fp )0()0( 0 fcp

)0(')0(' fp )0(')0(' 1 fcp

)0(")0(" fp )0("2)0(" 2 fcp 2

)0("2

fc

Assim 2

2

)0(")0(')0()( x

fxffxp

Exemplo

Encontre as aproximações linear e quadrática locais de ex em x = 0.

1)0( 0ef 1)0(' 0ef 1)0(" 0ef

linear: xxp 1)(

quadrática: 2

21)(

xxxp

Podemos extender este procedimento para um polinômio de grau n, de forma que as n

primeiras derivadas coincidam com as derivadas de f (x) em x0.

Se x0 = 0:

n

nxcxcxccxp ...)( 2

210


21

)0()0( pf , )0(')0(' pf , ..., )0()0( )()( nn pf

n

n

n

n

n

n

n

n

cnnnxp

xcnnnxccxp

xcnnxccxp

xncxcxccxp

)1)...(2)(1()(

)2)(1(...23423)('''

)1(...232)("

...32)('

)(

3

43

2

32

12

321

!

)0(!)1)...(2)(1()0()0(

!3

)0('''

23

)0('''23)0(''')0('''

2

)0(''2)0('')0(''

)0(')0(')0('

)0()0()0(

)()()(

33

22

11

00

n

fccncnnnpf

ffccpf

fccpf

fccpf

fccpf

n

nnn

nn

Assim:

nn

n xn

fx

fx

fffxp

!

)0(...

!3

)0('''

!2

)0('')0(')0()(

)(32

n-ésimo polinômio de MacLaurin, que na realidade representa uma série de potências

Polinômios de Taylor

Se a aproximação for feita em um ponto x0 qualquer (para a série de MacLaurin a

aproximação era na origem), temos o polinômio:

n

n xxcxxcxxccxp )(...)()()( 0

2

02010

onde !

)(

!2

)('')(')( 0

)(

020100

n

xfc

xfcxfcxfc

n

n

Assim, n

n

n xxn

fxx

xfxxxfxfxp )(

!

)0(...)(

!2

)(''))((')()( 0

)(2

00

000

polinômio de Taylor em toro de x = x0, se f (x) tiver n derivadas


22

Convergência da Série de Taylor

Pn (x) n-ésimo polinômio de Taylor em torno de x0, cujo valor e as n-ésimas primeiras

derivadas coincidem com aquelas de f em x0.

Assim é razoável esperar que, à medida em que n cresce, os valores do polinômio de Taylor

devem convergir para o valor de f (x) em torno de x0, ou seja:

)()(!

)(0

0

0 xfxxk

xf Ln

k

k

quando n

Mas Pn (x) corresponde à n-ésima soma parcial da série de Taylor para f e a séria de Taylor

converge para f (x) que é a sua soma.

A questão que surge é: há um intervalo em torno de x0 para o qual a série converge para f (x),

pra x pertencente a este intervalo?

Isso é óbvio para o ponto x0, dadas as condições com que Pn (x) foi criado.

n

k

kk

n xxk

xfxfxR

0

)(!

)()()(

n-ésimo resto para f em torno de x = xo

Ou seja: )()(!

)()(

0

00 xRxx

k

xfxf n

n

k

kk

fórmula de Taylor com resto

A igualdade ok

kk xxxfxf ))(()( 00 é verdadeira em um ponto x se, e somente se,

0)(lim xRnn

.

A estimativa deste resto não é trivial e não será abordada neste curso.

Para se aproximar o valor de uma função f em torno de x usando uma série de Taylor, duas

questões devem ser respondidas:

1. Em torno de quais pontos a série de Taylor deve ser expandida?

2. Quantos termos na série devem ser usados para alcançar a precisão desejada?

y

x

21)(

2

2

xxxP

ex


23

Resposta:

1. Em pontos x0 próximos de x, nos quais as derivadas de f possam ser facilmente

calculadas.

2. Depende de cada caso.

Funções Exponenciais

Pode-se provar que a série de MacLaurin converge para e

x, para todo x, isto é:

...!

...!3!2

1!

32

0 k

xxxx

k

xe

k

k

kx

para x

Funções Logarítmicas

A série de MacLaurin:

...432

)1ln(432 xxx

xx )11( x

Convergência muito lenta pouco uso prático.

Mas se substituirmos x por –x:

432)1ln(

432 xxxxx

e substituirmos as funções

...753

21

1ln)1ln()1ln(

753 xxxx

x

xxx )11( x

Série Binomial

Se m for um número real, então a série de MacLaurin para (1+x)

m é chamada de série

binomial e é dada por:

...!

)1)...(1(...

!3

)2)(1(

!2

)1(1 32 mx

m

kmmmx

mmmx

mmmx

Se m é inteiro não negativo, todas as derivadas (m+1)-ésimas são nulas e portanto a série se

reduz à expansão binomial familiar:

mm xxmm

mxx ...!2

)1(1)1( 2 x


24

Porém, pode-se provar que esta série binomial converge para (1+x)m se |x| < 1. O u em

notação sigma:

1 !

)1)...(1(1)1(

k

mm xk

kmmmx se |x| < 1

Diferenciação e Integração de uma Série de Potências

Diferenciação de uma Série de Potências

Se k

k

k xxcxf )()( 0

0

(x0 – R < x < x0 + R)

a função é diferenciável no intervalo de convergência e a série:

k

k 0

k 0

d[c (x x ) ]

dx converge para f no mesmo intervalo, ou seja,

k

k 0

k 0

df '(x) [c (x x ) ]

dx (x0 – R < x < x0 + R)

o mesmo pode ser extendido para f f , f , etc.

Conclusão: Se uma função f puder ser representada por uma série de potências em (x - x0)

com raio de convergência diferente de zero, R, então f tem derivadas de todas as ordens

sobre o intervalo (x0 – R, x0 + R).

Exemplo

xxxxxxx

xxxx

dx

dx

dx

d

xxxxx

cos...!6!4!2

1...!7

7

!5

5

!3

31

...!7!5!3

][sen

...!7!5!3

sen

642642

753

753

Integração de uma Série de Potências

Se k

k

k xxcxf )()( 0

0

(x0 – R < x < x0 + R)

k

k 0

k 0

f (x)dx [ c (x x ) ] + C (x0 – R < x < x0 + R)


25

ou dxxxcdxxfk

k

k

0

0 )()( onde e são pontos do intervalo (x0 – R, x0 + R).

Exemplo

Cxxx

x

dxxxx

xdx

...)!6.(7)!4.(5)!2.(3

...!6!4!2

1cos

753

642

CxCxxx

x sen...!7!5!3

753

Observação:

Se uma função f estiver representada por uma série de potências em (x

– x0) em algum intervalo aberto contendo x0, então aquela série de

potências é a série de Taylor para f em torno de x – x0.

Dica:

Como obter a série de Taylor para tan-1

x?

Das tabelas de intergrais temos que:

Cxdxx

1

2tan

1

1

Da tabela 2.9.1 temos: ...11

1 642

2xxx

x

3 5 71 2 4 6

3 5 71

x x xtan x C [1 x x x ...] dx x ...

3 5 7

x x xtan x x ... C

3 5 7

Sabendo-se que 000tan 1 C

...753

tan753

1 xxxxx (-1 < x < 1)

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Marília Brasil Xavier COORDENADOR GERAL DOS …ccse.uepa.br/downloads/material_2010/SEQUENCIAS E SERIES.pdf · SEQUÊNCIAS E SÉRIES 11 MONOTONICIDADE DE SEQÜÊNCIAS Teorema do