6 Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011Determinação da velocidade do som no ar através do eco

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Este trabalho apresenta um experimento sim-ples e de fácil reprodução de determinação davelocidade do som no ar através do eco. Tubosde diferentes comprimentos são utilizados epara análise e coleta de dados utilizamos umprograma freeware de análise sonora. Os resul-tados obtidos conduziram a precisões e exati-dões inferiores a 1%, o que viabiliza sua implan-tação, em qualquer escola, como um bomrecurso didático na compreensão de fenômenoscorrelacionados a acústica.

Os estudantes dos cursos técnicosde radioterapia e/ou dos cursosdestinados a profissionais na área

de saúde, em geral encontram muitadificuldaede na compreensão dos conceitosfísicos correlacionados à formação deimagens médicas. De um lado pelaausência de conhecimentos prévios emdecorrência da pouca base adquirida nestaárea de conhecimento, de outro pelaausência de recursos didáticos disponíveisque lhes possibilitem uma maior interaçãocom a física envolvida na produção destasimagens.

O diagnóstico por imagem é bastanteamplo e envolve diferentes tipos de inte-rações e técnicas de tratamento e análise,tais como interação de radiações ionizan-tes com a matéria como as produzidas natomografia computadorizada; interaçãocom radiações na região de radiofrequên-cia em aparelhos de ressonância magnéticanuclear e interação de ondas ultra-sônicasem exames de ultra-sonografia. O experi-

mento proposto neste artigo permitetratar conceitualmente a produção deimagens ultra-sônicas e possibilita deter-minar de maneira simples a velocidade dosom no ar.

Resumo teórico

Características gerais

Em uma primeira análise podemosdizer que uma onda é um movimentooscilatório de uma dada grandeza físicaque se propaga no espaço e no tempo. Seesta onda necessitar de um meio para sepropagar, diz-se que é uma onda mecâni-ca, como por exemplo um pulso que sepropaga em uma corda. A Fig. 1 mostraa tela do simulador “Ondas em corda” doProject at the University of Colorado(Phet) [1], que representa uma onda trans-versal se propagando em uma corda.Temos, neste caso, um exemplo de ondatransversal em que a geração da onda sedá como o resultado da oscilação para

Marisa Almeida Cavalcante*,Renata Peçanha eVinicius Freitas LeiteGrupo de Pesquisa em Ensino de Física,Departamento de Física, PontifíciaUniversidade Católica de São Paulo,São Paulo, SP, Brasil*E-mail: marisac@pucsp.br

Figura 1 - Simulador em Java do sítio PhET - Project at the University of Colorado,onde se pode alterar amplitude, frequência da oscilação, amortecimento e tensão dacorda.

7Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011 Determinação da velocidade do som no ar através do eco

cima e para baixo da extremidade esquerdado fio em um movimento harmônicosimples de amplitude A e com frequênciaf dada por

,(1)

onde λ representa o comprimento de ondae v a velocidade de propagação.

Podemos dizer que, para um movi-mento ondulatório, um efeito local podeestar associado a uma causa distante, ehá uma defasagem de tempo entre causae o efeito que depende das propriedadesdo meio e encontra sua expressão na velo-cidade da onda [2]. Assim se ψ(x, t) repre-senta a grandeza fisica que se propaga aolongo do eixo x com uma dada velocidadev, devemos ter que

. (2)

Para ondas transversais em fio homo-gêneo, submetido a uma força tensora Te tendo densidade linear μ, como o exem-plo do simulador da Fig. 1, a velocidadede propagação é dada pela relação

. (3)

No entanto, podemos gerar ummovimento ondulatório com propagaçãona mesma direção de oscilação e neste casotemos as chamadas ondas longitudinais.

Para compreender este tipo de movi-mento ondulatório vamos considerar aFig. 2, relativa a um aplicativo em Javado curso em física do Prof. Angel FrancoGarcia [3], que representa uma propaga-ção longitudinal. Podemos ver tanto afunção senoidal que representa o desloca-mento do pistão ao longo do eixo hori-zontal e das demais partículas no interiordo tubo, como também o deslocamentodas partículas ao longo do tubo (eixo x)da posição destas partículas ao longo dotubo.

Fica fácil observar na Fig. 2 que ocomprimento de onda representa a distân-

cia entre os pontos de mesma fase. Quantomenor esta distância para uma mesmafrequência de oscilação, mais rapidamenteuma onda se propaga. Também é igual-mente fácil perceber que o movimento de“vai e vem” do pistão gera zonas de rare-fação e compressão destas partículas.Considerando y(x, t) a função que repre-senta o deslocamento das partículas nointerior do tubo da Fig. 2, podemos dizerque a pressão P é representada pela função

P(x, t) = PM sen (kx - wt - π/2), (4)

onde

PM = ρ.w.v.ym, (5)

com a função deslocamento dada por

y(x, t) = ym sen (kx - wt), (6)

onde ym corresponde ao deslocamento má-ximo das partículas (ou amplitude emrelação à posição de equilíbrio), k é o nú-mero de onda, dado por 2π/λ, w é a fre-quência angular, dada por 2π/T, ρ é a den-sidade do gás e v é a velocidade de pro-pagação da onda no meio.

Note que a onda de pressão (Eq. (4))está defasada de π/2, em relação à ondade deslocamento (Eq. (6)). Ou seja, quandoem um ponto (x) do tubo da Fig. 2 o des-locamento das partículas em relação àposição de equilíbrio, for máximo/nulo,o “excesso” de pressão naquele ponto, emrelação ao valor normal, será nulo/máximo. Isso, na prática, corresponde auma rarefação/compressão das partículasdo gás. Assim, o movimento de compres-são e rarefação provoca a movimentaçãodas moléculas presentes. Esse movimentoorganizado produz ondas longitudinaisque chamamos de ondas sonoras.

Velocidade de propagação deondas sonoras

A velocidade com a qual uma ondasonora percorre um meio, quando a va-riação da pressão não é muito grande, édada por

, (7)

onde ρ é a densidade do meio e Brepresenta o módulo de elasticidadedo meio e é dado por

,(8)

que corresponde à razão davariação de pressão pela variaçãorelativa no volume para um gásconfinado no interior de um tubocomo na Fig. 2. Como a propa-

gação do som se dá muito rapidamente,podemos considerar que o mecanismodesta propagação é adiabático [4], ou seja,não há trocas de calor entre as partículasque vibram e o ambiente. Desta forma po-demos dizer que

PVγ = constante, (9)

onde γ = Cp/CV, sendo Cp a capacidade calo-rífica do gás a pressão constante e CV acapacidade calorífica a volume constan-te.

Assim teremos que

. (10)

Levando a Eq. (10) na Eq. (9), teremos

B = -γP. (11)

Considerando um gás ideal, onde P = nRT/V, teremos na Eq. (7) para a velocidade dosom

. (12)

Para o ar, g é da ordem de 1,402;M0 = massa molecular para o ar, 29,0 ×10-3 kg /mol; R = constante universal dogases, 8,31 J /mol K e T = temperaturaabsoluta. Substituindo-se estes valores,teremos para a velocidade do som o valorda ordem de 330 m/s, para 0 °C.

A Eq. (12) mostra que a velocidadedo som, em qualquer gás, é diretamenteproporcional à raiz quadrada da tempe-ratura absoluta. Assim, se conhecermosa velocidade do som à temperatura T1,poderemos determinar a sua velocidade auma outra temperatura T2 através daequação (T1 e T2 em graus Kelvin)

. (13)

Se expressarmos a temperatura do gásem graus Celsius, obtemos a seguinte rela-ção para a velocidade do som no ar [5]

v = 330,4 + 0,59 T (m/s) (14)

Intensidade sonora

Considerando a Eq. (4) relativa à pro-pagação da “onda de pressão”, a intensi-dade sonora pode ser calculada pela relação

, (15)

onde PM corresponde à amplitude máximade pressão, ρ é densidade do meio e v avelocidade de propagação do som.

Como exemplo de ordem de grandeza,considere os seguintes dados: densidadedo ar da ordem de 1,2 g/cm3, velocidade

Figura 2 - Simulador em Java para ondas longi-tudinais. A função senoidal representa o desloca-mento do pistão e de todas as partículas no inte-rior do tubo.

8 Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011Determinação da velocidade do som no ar através do eco

do som da ordem de 330 m/s e o menorsom audível, cuja potência é da ordem de0,0002 dinas/cm2. Substituindo-se osvalores na Eq. (14) teremos

I0 = 10-12 W/m2.

Por outro lado, a máxima intensidadesonora que o ouvido humano pode su-portar é da ordem de 1,0 W/m2, ou seja,1012 vezes maior I0. Como este intervalo édemasiadamente grande, utilizamos umabase logarítmica para indicar intensidadesonora, que é denominada decibel (dB). Aintensidade relativa Ir do som é, portanto,

, (16)

onde I0 corresponde a 10-12 W/m2. Assim,para uma intensidade máxima suportávelde 1,0 W/m2, teremos Ir = 120 dB.

Ondas sonoras e sua percepçãopelo ouvido humano

O movimento de compressão e rare-fação do ar provoca a movimentação desuas moléculas. Esse movimento organi-zado produz ondas longitudinais; assim,a energia usada para movimentação e pro-dução do som é transmitida pelo ar, demolécula para molécula, de maneira queo som atinge o nosso ouvido. A Fig. 3mostra um esquema morfofisiológico doouvido humano.

Em nosso ouvido, essas ondas atin-gem uma membrana chamada tímpano,que vibra com a mesma frequência das

ondas, transmitindo ao cérebro, atravésde impulsos elétricos, a sensação sonora.A percepção sonora está relacionada tantocom a intensidade do som quanto comsua frequência. Em geral, percebemos sonsacima de 0 dB com tolerância máxima até120 dB. Por outro lado, o ouvido humanoé sensibilizado em uma faixa de frequênciacompreendida entre 20 Hz e 20 kHz.

A curva da Fig. 4 [7] mostra o limiarda audição para diversas frequências.Observe que a região de máxima sensibi-lidade está compreendida entre 1000 e5000 Hz. Para realizar um teste online desensibilidade auditiva em função da fre-quência, recomendamos o vínculo dispo-nível na Ref. [8]. Neste teste percebe-se quesons graves são aqueles que apresentambaixa frequência, e sons agudos, alta fre-quência.

Frequências abaixo de 20 Hz são clas-sificadas como infra-som. O som decor-rente de infra-som é extremamente gravee, apesar de não serem ouvidas, suas vi-brações podem ser percebidas e até mesmoproduzir efeitos sobre as pessoas. Comoexemplos destas fontes sonoras temos osvulcões, avalanches e terremotos. A detec-ção destas ondas se dá através de sismó-grafos e pode, portanto, “prever” catás-trofes naturais. Alguns animais tambémutilizam este tipo de som para se comuni-carem, como, por exemplo, os elefantes[9]. Já para frequência acima do limitesuperior de audição (20 kHz) temos o ul-tra-som. O seu uso em baixa intensidade

possibilita transmitir energia através deum meio e obter informações, como, porexemplo, ensaios não-destrutivos de ma-teriais, medidas de propriedades elásticasdos materiais e diagnósticos médicos [10].As aplicações de alta intensidade têm comoobjetivo produzir alteração do meio atra-vés do qual a onda se propaga. A terapiamédica, atomização de líquidos, rupturade células biológicas, solda e homogenei-zação de materiais são alguns exemplosde aplicações com ultra-som. O uso doultra-som de baixa intensidade em medi-cina, para diagnóstico, se baseia na refle-xão das ondas ultra-sônicas. Convémnotar que o diagnóstico com ultra-som émais seguro do que a radiação ionizantecomo os raios-X, e por isso é preferívelem exames pré-natais. As vantagens dodiagnóstico com o ultra-som são sua se-gurança, sua conveniência por ser não-invasivo, além de sua capacidade emdetectar fenômenos não perceptíveis pelosraios-X.

Impedância acústica e a formaçãode imagens ultra-sônicas

O princípio básico de produção deimagem em equipamentos de ultra-sono-grafia é a produção de ecos. O princípiopulso-eco refere-se à emissão de um pulsocurto de ultra-som que atravessa os teci-dos [10]. Ao encontrar algum obstáculo,parte deste pulso será refletido e parte serátransmitida. O equipamento guarda otempo gasto entre a emissão do pulso e arecepção do eco, transformando-o emdistância percorrida e representando-o emuma tela. A calibração destes aparelhos

Figura 3 - Esquema morfofisiológico das principais estruturas doouvido [6].

Figura 4 - Curva de limiar de audição para diferentesfrequências.

9Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011 Determinação da velocidade do som no ar através do eco

utiliza um valor constante de velocidadedo som igual a 1540 m/s, que correspon-de à velocidade média de transmissão dosom através dos constituintes do corpohumano, uma vez que suas velocidadessão muito semelhantes, exceto a do ar(pulmão e intestino) e dos ossos.

No processo de interação som-tecido,uma grandeza que merece destaque é aimpedância acústica e sua consequenteatenuação. A impedância acústica de ummeio está relacionada com a resistênciaou dificuldade do meio à passagem dosom. Corresponde ao produto da densi-dade do material pela velocidade do somno mesmo. Quando o feixe sonoro atra-vessa uma interface entre dois meios coma mesma impedância acústica, não háreflexão e a onda é toda transmitida aosegundo meio. É a diferença de impedânciaacústica entre dois tecidos que define aquantidade de reflexão na interface, pro-movendo sua identificação na imagem.

A Tabela 1 [11] mostra diferentes osdiferentes valores de velocidade e de impe-dância acústica para alguns tecidos.

Por exemplo, um nódulo no fígado serámais facilmente identificado se sua im-pedância acústica for bastante diferentedo parênquima hepático ao redor, aocontrário, quanto mais próxima suaimpedância acústica do parênquimahepático normal, mais dificuldade tere-mos em identificá-lo, porque poucareflexão sonora ocorrerá. Resumindo,quanto maior a diferença de impedân-cia entre duas estruturas, maior será aintensidade de reflexão e mais facilmen-te podemos diferenciá-las na ima-gem [10].

Experimento realizado

O experimento consiste em utilizarum tubo fechado em uma de suas extre-midades de comprimento conhecido e pro-duzir um som em uma das extremidades.Um microfone colocado na extremidadeaberta do tubo registrará o som emitido eapós um determinado intervalo de temporegistrará o sinal decorrente do eco, pro-duzido pela reflexão deste sinal na extre-midade fechada do tubo. Para o registro eanálise deste sinal utilizamos um progra-ma de versão freeware de análise de som(Audacity), cuja versão 1.26 está dispo-nível no vínculo da Ref. [12]. Este progra-ma permite observar a evolução tempo-ral do sinal com resoluções na faixa de26 μs, mais do que suficientes para o expe-rimento proposto. Utilizamos tubos de196,50 cm; 393,38 cm e 589,19 cm, de-signados por tubo 1, 2 e 3, respectiva-mente. Para a produção do sinal sonoro

utilizamos uma chave de contato tipo telé-grafo, que permite a produção de umpulso de duração bastante pequena (me-nor que o tempo que se deseja determinar,≅ 10 ms). Para fechar a extremidade dostubos utilizamos um disco de PVC.

Cada tubo foi posicionado de modoque sua extremidade aberta ficasse emcontato com a chave, pela qual o sinalsonoro foi emitido, e com o microfonecapturamos tanto a emissão do sinalquanto a sua reflexão do som, comomostra a Fig. 5. Esse procedimento foi rea-lizado para os três tubos.

A gravação foi feita através do soft-ware Audacity, e a Fig. 6 mostra o testede som realizado antes da obtenção dosdados.

O programa também possui um edi-tor de “envelope de amplitude”, espectro-grama e uma janela para análise de fre-quências e áudio em geral. Assim, atravésdele foi possível reconhecer o sinalemitido, o eco, e suas propriedades: am-plitude, frequência e sua evolução com otempo.

Resultados

Verificamos inicialmente a forma depulso sonoro emitido pela chave tipo “telé-grafo” na ausência dos tubos, gerando osinal da Fig. 7. Este procedimento é neces-sário para observarmos o tempo total de“duração” deste sinal, que deve ser menordo que intervalo de tempo que desejamos

determinar (para o menor tubo,196,50 cm de comprimento que é ordemde 10 ms). A Fig. 7 mostra que a duraçãodeste sinal é pelo menos metade do valordo tempo que se deseja medir. Vale lembrarque, enquanto o eixo horizontal indica otempo em segundos, o vertical indica umagrandeza proporcional à amplitude dosom.

Posteriormente foram feitas as medi-das dos intervalos de tempo decorridosentre o sinal produzido e a detecção doeco para cada um dos tubos. É fácilperceber, nas Figs. 8, 9 e 10, que o efeitodo eco é evidenciado pelo aumento nosintervalos de tempo entre os dois sinais,uma vez que o sinal correspondente aoeco demora mais a aparecer para os tubosde maiores comprimentos.

Tabela 1 - Transmissão do ultra-som em alguns tecidos.

Material ρ (kg/m3) V (m/s) Z (kg/m2s)

Ar 1,29 331 (em CNTP) 426

Água 1000 1480 1,48 × 106

Cérebro 1020 1530 1,56 × 106

Músculo 1040 1580 1,64 × 106

Gordura 920 1450 1,33 × 106

Osso 1900 4040 7,67 × 106

Figura 5 - Os tubos foram sempre manti-dos na horizontal para facilitar a emissãoe gravação do sinal sonoro.

Figura 6 - Exemplo de um som qualquer para análise no Audacity.

10 Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011Determinação da velocidade do som no ar através do eco

Consideramos contribuição da incerteza tipo A para a medidade tempo bem como a correção de Studart [13] para grau deconfiança em 90%. Já para a incerteza na medida do comprimentoconsidera-se a incerteza da trena utilizada graduada em mm, ouseja, 0,5 mm. A Tabela 2 representa os dados obtidos.

Tabela 2 - Medidas experimentais nos tubos.

Intervalo entre sinal e captura do sinal do eco (ms)

Tubo 1 11,3 11,4

11,4 11,4

11,3 11,3

11,4 11,4

Tubo 2 22,8 22,8

22,7 22,7

22,6 22,8

22,7 22,8

Tubo 3 34,0 34,1

34,0 33,9

34,0 34,0

34,1

Com os valores fornecidos, foi calculado o valor da velocidadelevando em conta as medidas em cada tubo, gerando uma velocidadepara cada um deles, indicados na Tabela 3.

Tabela 3 - Velocidade no som.

Velocidade (m/s)

Tubo 1 346 (1)

Tubo 2 346,0 (0,9)

Tubo 3 346,4 (0,5)

Dos valores obtidos, comparando com velocidade da Eq. (14)para valor da temperatura medida de 27 (0,5) °C, que nos forneceum valor de 346,3 (0,3) m/s, verifica-se uma total compatibilidadenos resultados.

Disponibilizamos os arquivos sonoros para os tubos 1, 2 e 3,bem como o arquivo obtido na ausência dos tubos no blog dadisciplina Física Aplicada à Biologia e Medicina do curso de FísicaMédica da PUC/SP [14].

Considerações finais

O experimento proporciona de forma simples e de fácil repro-dução a determinação da velocidade do som no ar, com uma boamargem de precisão e exatidão, principalmente se levarmos emconta a simplicidade do aparato experimental. A possibilidade deutilização de um programa freeware de análise de som é tambémbastante interessante e viabiliza sua aplicação em qualquer insti-tuição de ensino. Outro fator de relevância é que permite-se aoestudante visualizar o fenômeno de reflexão sonora, tão importantepara a compreensão das imagens de ultra-sonografia. Estudosadicionais estão sendo realizados para verificarmos a dependênciada amplitude do sinal em função de diferentes parâmetros, taiscomo comprimento do tubo e material que constitui a sua extre-midade e que dá origem à reflexão. Tal estudo permitirá melhorcompreender a impedância acústica, bem como a atenuação dosinal, parâmetros importantes no processo de formação deimagens.

Figura 7 - Exemplo do sinal sonoro sem nenhum tubo.

Figura 8 - Sinal sonoro propagado e refletido dentro do tubo 1.

Figura 9 - Exemplo de sinal sonoro com o tubo 2.

Figura 10 - Exemplo de sinal sonoro com o tubo 3.

11Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011 Determinação da velocidade do som no ar através do eco

Referências

[1] Sítio do simulador “Onda em corda” doprojeto Phet da University of Coloradohttp://phet.colorado.edu/en/simula-tion/wave-on-a-string, acesso em 17/6/2011.

[2] A.P. French, Vibrações e Ondas (Editora daUnB, Brasília, 2001).

[3] Sítio do prof. Angel Franco Garcia, si-mulação “Ondas longitudinais”, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html,acesso em 17/6/2011.

[4] Relatório para a determinação da velo-cidade do som no ar da Universidade deMaringá, disponível em http://w w w. e b a h . c o m . b r / c o n t e n t /ABAAABQLUAJ/relatorio-velocidade-som, acesso em 17/11/2011).

[5] M.A. Cavalcante e C.F.C. Tavolaro, Física

na Escola 4(1), 29 (2003).[6] Retirado de http://www. prof2000.pt/users/

eta/Ruido.htm, acesso em 18/6/2011.[7] Sítio “Ações integradas sobre o sentido da

audição”, Projeto Ciência Viva, Ministérioda Educação, Porto, Portugal. http://telecom.inescn.pt/research/audio/cienciaviva/, acesso em 18/7/2011.

[8] Teste percepção sonora online http://w w w. p h y s . u n s w. e d u . a u / ~ j w /hearing.html, acesso em 17/6/2011.

[9] Sítio relativo a um seminário realizado pelosalunos da Escola Superior de Educaçãodo Instituto Politécnico de Coimbra http://esec.pt/~pcarvalho/, acesso em 18/6/2011.

[10] Apostila ultra-sonografia do Departa-mento de Radiologia da Faculdade de Me-dicina da USP/SP. Disponível em http://www.hcnet.usp.br/inrad/departamento/graduacao/aula/apostilafisicausg.pdf,

acesso em 18/6/2011.[11] E. Okuno, I.L. Caldas e C. Chow, Física

para Ciências Biológicas e Biomédicas(Harper & Row do Brasil, São Paulo,1982).

[12] Sítio em que se pode baixar a versão 1.2.6do programa Audacity: http://xviiisnefnovastecnologias.blogspot.com/2009/01/sof tware-de-ana l i s e -sonora.html, acesso em 18/6/21011.

[13] Acesso à tabela de correção de Studart,http://labempucsp.blogspot.com/2011/03/tabela-de-student.html,acesso em 18/6/2011.

[14] Blog da disciplina de Física Aplicada aBiologia e Medicina do curso de FísicaMédica da PUC/SP - vínvulo para acessodo arquivo de dados: http://fambpucsp.blogspot.com/2011/01/arquivos-de-dados-para-experimento-de.html, acesso em 18/6/2011.

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