7/24/2019 Mat Efi Caderno Bimestral II Resolucao Problemas Campo Aditivo

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FORMAO DE PROFESSORES

Caderno Bimestral II

Matemtica

Ensino Fundamental I

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O programa Ao Educaoda Fundao Vale tem como objetivo contribuir

para o desenvolvimento humano nos territrios onde atua, apoiando os municpios

em aes que contribuam para fomentar a justia social e promover a incluso

no mercado de trabalho da forma mais equnime possvel.

DIRETORA FUNDAO VALE

Isis Pagy

GERENTE GERAL DE EDUCAO FUNDAO VALE

Joaquim Antnio Gonalves

EQUIPE DE EDUCAO FUNDAO VALE

Andreia Prestes

Anna Cludia Eutrpio B. dAndrea

Cludia Costa

Llian Neves

APOIO EDITORIAL

Departamento de Comunicao Corporativa Vale

PARCEIRO

Comunidade Educativa CEDAC

PROJETO GRFICO E DIAGRAMAO

Crama Design

Inventum Design

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A resoluo de problemasdo campo aditivo

Professor(a)

Neste segundo bimestre, vamos aprofundar o trabalho com a resoluo de problemas que foi iniciadono bimestre anterior, focando os problemas do campo aditivo. Teremos a oportunidade de trocar ex-perincias, discutindo as dificuldades e os avanos que vivenciamos no trabalho com os problemas naperspectiva colocada pelo Caderno Bimestral I.

Vamos conhecer uma classificao que se baseia nos vrios significados que as operaes de adio ede subtrao podem assumir. A ideia incorporar a diversidade existente na prtica com o ensino dasoperaes de adio e subtrao ao longo dos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Nossa tarefa prtica ser a de planejar o trabalho com problemas do campo aditivo. Tambm vamos co-letar, organizar e analisar os procedimentos das crianas para resolv-los, com a finalidade de refletir so-

bre como podemos intervir para favorecer as aprendizagens dos alunos.

Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competncias docentesneste bimestre:

Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formao do grupo.

Apropriar-se do recurso resoluo de problemas, reconhecendo-o como ponto

de partida da aprendizagem matemtica.

Reconhecer a importncia da interao entre pares na elaborao do conhecimento,

promovendo as condies para que essa interao ocorra nas aulas. Ampliar o repertrio de possibilidades do ensino das operaes do campo aditivo.

Coletar, organizar, analisar e interpretar informaes sobre procedimentos dos alunos.

Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se

em compartilhar a prtica e produzir coletivamente.

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Neste encontro, voc participar de situaes nas quais abordaremosos seguintes contedos:

Operaes do campo aditivo: ideias da adio e subtrao.

Identificao e classificao de problemas do campo aditivo.

Potencialidade da interao entre pares no trabalho com a resoluo de problemas.

Acompanhamento das aprendizagens dos alunos relativas aos problemas do campo aditivo.

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Encontro PresencialDurao: 4h

Para comeo de conversaDurao: 30min

Pensar sobre a prtica e compartilhar resultados

Comearemos este encontro retomando suas impresses a respeito da atividade de Aplicao Prticaproposta no bimestre anterior. Vamos centrar nossa ateno na dinmica da atividade, nas interaes eno envolvimento dos alunos. O objetivo dessa atividade promover uma troca a respeito dos fatoresque mais influenciaram os sucessos e as dificuldades naquela experincia vivida por todos do grupo.

Para isso, retome o seu Registro da atividade: resoluo de problemas. Depois de rel-lo, prepare-se pa-ra trocar experincias com seus colegas.

1.Discuta com o grupo como foi aquela experincia. Nessa conversa, procure refletir e identificar:

Quais foram os ganhos para os alunos?

Quais foram os ganhos para voc, na perspectiva do seu processo de formao?

Que dificuldades os alunos encontraram?

Que dificuldades voc encontrou?

2.Leia com seus colegas, de forma compartilhada, os depoimentos de seis professores a respeito deuma prtica similar que vocs realizaram. Durante a leitura, procure semelhanas entre o que re-latado e o que voc vivenciou na realizao daquela atividade.

Depoimento 1

Eu propus o problema para que os alunos resolvessem sozinhos. Depois, pedi que discutis-sem seus resultados em duplas ou trios. Da primeira vez, o resultado foi muito pobre, pois elesno se engajaram em discutir, eles queriam acertar, alguns copiavam do colega que havia ter-minado e pronto. Precisei deixar muito claro, na discusso coletiva, que no estvamos inte-

ressados somente nas respostas certas, mas nos diferentes procedimentos. Na segunda vezque trabalhei com problemas dessa maneira, percebi que eles j comearam a conversar maisentre si, trocar ideias, comparar o que haviam feito.

Depoimento 2

Quando chamei alguns alunos para mostrar na lousa como haviam resolvido o problema, sur-giram formas de chegar ao resultado que eu nem supunha que eles utilizassem. E, ainda porcima, outras crianas diziam que tinham feito da mesma maneira! Foi uma surpresa para mim,descobri muito a respeito dos procedimentos de resoluo que eles usam.

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Depoimento 3

Eu propus um problema sobre rea que extra do livro didtico. No houve muita troca entreos alunos, eles queriam apenas corrigir as respostas. Na hora de discutir coletivamente os pro-cedimentos de resoluo, como no teve muita diversidade, tambm no houve muita dis-cusso. Pensando a respeito, percebi que aquele problema era inadequado, j que no trazianenhum desafio novo, eles j tinham ferramentas para resolv-lo. Foi apenas um treino, umexerccio. preciso selecionar problemas desafiantes, em que as ferramentas ainda no estodisponveis. Para mim, isso um desafio grande, pois o livro que eu adoto no tem essa abor-dagem, os problemas servem mais como aplicao do que j foi ensinado.

Depoimento 4

Eu acho que alguns alunos descobriram que a forma de eles pensarem pode estar certa, mesmoquando diferente da dos outros alunos ou da convencional. Viram que o que eles pensam eacham tem valor, pois validamos na lousa aquele procedimento como um entre tantos outros.Eles ficaram mais confiantes em si mesmos, e era isso mesmo o que eu queria que acontecesse.

Depoimento 5

Tive dificuldades quando um aluno foi mostrar na lousa para a turma como resolveu o proble-ma. Ele se deu conta de que havia cometido um erro e ficou inseguro, com medo de ser ridi-cularizado pelos colegas. Por isso, no conseguiu pensar sobre seu erro.

Para evitar esse tipo de situao, j que sabemos da importncia de formar nossos alunos so-

bre o respeito e a tica, percebi que temos de discutir com a classe como ajudar o amigo semconstrang-lo. Percebi que ns temos de criar um hbito de trabalhar com o erro, no valori-zar o acerto e pronto, mas comear a tirar proveito dos erros, dar valor aos procedimentos decada um e extrair concluses. Isso leva tempo!

Depoimento 6

No incio, quando propus um problema que eles ainda no sabiam como resolver, foi difcil.Algumas crianas nem comearam! Eu acho que elas estavam acostumadas de outro jeito.Mas, depois, pedi que se agrupassem e mostrassem uns aos outros como pensaram. Tambmpedi que escolhessem uma das solues nos grupos. Quando fomos discutir as solues comtoda a turma, aos poucos as crianas foram falando, entrando no jogo! Todos queriam expli-

car seus porqus! Foi muito rico.

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3.Com quais dos depoimentos lidos voc mais se identificou, em relao quela situao especfica?Selecione ao menos dois depoimentos que tenham relao com a sua vivncia.

4. Depois de verificar as situaes que foram mais frequentes para o grupo, conversem sobre osprovveis fatores que as determinaram, sejam elas favorveis ou no, respondendo a duas perguntas:

a. Quais foram os fatores que mais contriburam para as vivncias positivas?

b. Quais foram os fatores que mais contriburam para as dinmicas difceis ou desfavorveis? O quevocs poderiam colocar em prtica para mudar isso?

Para pensarPara promover um clima favorvel aprendizagem, fundamental que voc conhea

os seus alunos, a realidade em que esto inseridos e a relao que tm com a escola

e o conhecimento. Aprender desafiador! E as atividades matemticas podem imprimir

um clima favorvel e afetivo a essa relao.

Atividade de contextualizaoDurao: 30min

1.Organize-se com seus colegas em grupos para ler a seguinte proposta:

Ana, professora do segundo ano, props alguns problemas aos seus alunos. Como sempre faz, ela osorientou a registrar como fizeram para chegar ao resultado (seus procedimentos de resoluo).

Depois da atividade, ao analisar os procedimentos utilizados pelos alunos, ela verificou que, para ummesmo problema, alguns alunos usavam procedimentos de adio, enquanto outros utilizavam pro-cedimentos ligados ideia de subtrao. Outro fato que ela verificou foi que a maioria dos alunosmostrava maior dificuldade em alguns problemas, mesmo que os nmeros envolvidos no fossemmaiores que nos outros problemas.

Ela ficou intrigada a respeito desses fatos. Gostaria de entender os porqus dos procedimentos dife-rentes e das dificuldades.

Eis os registros de alguns procedimentos de resoluo. Em alguns deles, a professora anotou as falase justificativas dos alunos.

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Problema 1.

Elisa tinha 12 balas, mas chupou 7. Quantas balas restaram?

Marineide Paola

Problema 2.

Eu tinha algumas figurinhas. Joguei com meu amigo e ganhei 5. Por isso, fiquei com 11 figuri-nhas. Quantas eu tinha antes de jogar?

Luza Felipe

Das 11 , tiro essas que eu ganhei 5 mais 6 d 11

Problema 3.

Marcos e seu primo, juntos, tm 13 bonequinhos de heris. Se Marcos tem 8, quantos bonequi-nhos tem o seu primo?

Jos Lus Cristiane

Oito. (Apontando) 9, 10, 11, 12, 13 Tirando os 8 do Marcos, ficam os do primo

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Problema 4.

Flora tem 5 anos e sua irm Helena tem 3 a mais. Quantos anos a Helena tem?

Beatriz Joo

Estes aqui so os que a Helena tem a mais

2.Analise com seu grupo os procedimentos utilizados pelos alunos para resolver os problemas.

Quais procedimentos podem ser associados ideia de adio? E de subtrao?

Um mesmo problema foi resolvido tanto por procedimentos ligados ideia de adioquanto de subtrao?

Todas as resolues foram consideradas corretas pela professora. O que voc acha a respeito?Tambm agiria assim? Por qu?

Qual (ou quais) problema(s) parece(m) ser mais desafiante(s)? Por qu?

3.Coletivamente, comparem as respostas do seu grupo com as dos demais grupos.

A prtica em questoDurao: 2h40min

Momento 1 Os problemas do campo aditivo

1.Organize-se com seus colegas de grupo para ler de forma compartilhada o texto a seguir.

No trabalho proposto no bimestre anterior, enfatizamos a importncia de assegurar que osalunos busquem suas estratgias de resoluo de problemas nas aulas de matemtica.

Na atividade de contextualizao deste caderno, constatamos que, ao resolver problemas deadio e de subtrao, as crianas alcanam seus resultados a partir de diferentes procedi-mentos, ora de adio, ora de subtrao. Vimos que isso acontece mesmo naqueles proble-mas que ns, tradicionalmente, consideramos de adio ou de subtrao. Tambm verifica-mos que os problemas so mais ou menos complexos graas s ideias que eles envolvem, eno somente por apresentarem nmeros grandes ou pequenos.

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Essas questes foram objeto de interesse do pesquisador francs Grard Vergnaud.

A partir de suas pesquisas, ele props que os problemas que tradicionalmente conhecamoscomo problemas de adio e problemas de subtrao fossem reunidos em um s grupo de-nominado problemas do campo aditivo. Prope que esses problemas sejam classificados deuma nova forma: a partir das ideias que eles envolvem e no mais por uma s operao.

Assim, os problemas do campo aditivoso aqueles que envolvem ideias de adio e de sub-trao. Eles so considerados pertencentes a uma mesma famlia, a um mesmo campo conceitual.

Veremos que no campo dos problemas aditivos existem tipos de problemas mais complexosque outros, mas as dificuldades no se devem ao fato de eles serem de adio ou de subtrao,ou de envolverem nmeros grandes ou pequenos (embora este seja um fator importante a serconsiderado). Veremos que h outros fatores que tornam os problemas mais ou menos comple-

xos e desafiantes para os alunos: as ideias envolvidas (juntar, transformar, comparar), a prpriaforma como o problema proposto (seu enunciado) e o que pedido nele (a incgnita).

Essa abordagem traz novas reflexes e indicaes a respeito do ensino das operaes funda-mentais. Tradicionalmente, o ensino da adio tem sido proposto antes do ensino da subtrao,porque a adio considerada uma operao mais fcil. Quando trabalhamos na abordagemdo campo aditivo, abandonamos essa separao e essa ordem no ensino das operaes1. Pas-samos a considerar a importncia de trabalhar com uma grande variedade de problemas docampo aditivo durante todo o Ensino Fundamental 1, explorando a diversidade de ideias exis-tente, com o intuito de ampliar progressivamente os conhecimentos das crianas a respeitodas operaes de adio e de subtrao.

Para saber mais

Grard Vergnaud um psiclogo francs que valoriza os caminhos que o aluno percorre parasolucionar um problema. Discpulo de Jean Piaget (1896-1980) e Lev Vygotsky (1896-1934),Vergnaud sugere que diversas reas do conhecimento sejam ensinadas sob a perspectiva doscampos conceituais, a apreenso progressiva de conceitos por meio de um conjunto variadode problemas, contedos, situaes, estruturas e relaes. Em matemtica, desenvolveu a te-oria dos campos conceituais (aditivo e multiplicativo).

Para saber mais sobre o trabalho desse pesquisador, leia as entrevistas em:

Revista Nova Escola- Edio Especial no14, ano 2007, ou no link http://revistaescola.abril.

com.br/matematica/fundamentos/somar-subtrair-operacoes-irmas-500497.shtml Revista Nova Escola, no215, ano 2008, ou no link http://revistaescola.abril.com.br/matematica/

fundamentos/todos-perdem-quando-nao-usamos-pesquisa-pratica-427238.shtml

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1 Os Parmetros Curriculares Nacionais de Matemtica, a Prova Brasil e o Saeb incorporaram essas propostas didticas ao tratardas operaes.

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2.Vamos nos deter agora a estudar os tipos de problemas do campo aditivo. A proposta aqui quevoc, junto com seus colegas, realize duas aes, tal como proposto na formao em lngua portu-

guesa, quando tambm estudaram um texto de fundamentao terica:

a. Leiam o texto Problemas aditivos, a respeito da classificao de problemas.

b. Grifem no texto as ideias que interessam a este estudo. Dessa forma, vocs estaro trabalhandotambm uma importante competncia para a profisso docente, que a de estudar textos tericos.

Problemas aditivos

Apresentaremos uma classificao de problemas a partir das caractersticas dos enunciadose das ideias das operaes, a saber:

Problemas em que algo mudou, uma quantidade aumentou ou diminuiu, enfim, ocorreu umatransformao positiva ou negativa (ideia de acrescentar, da adio, ou de tirar, da subtrao)

Esta classe de problemas inclui aqueles nos quais encontramos um estado inicial, uma transfor-mao que opera sobre ele e que conduz a um estado final. Por exemplo: Pedro tinha 17 figurinhasem seu lbum. Ganhou algumas de seus colegas e agora tem 29. Quantas figurinhas Pedro ganhou?

Dentro desta estrutura, a transformao pode ser positiva ou negativa: Tinha 17 figurinhase ganhou 12... (ideia de acrescentar) ou Tinha 17 figurinhas e perdeu 12... (ideia de tirar).

possvel tambm variar o lugar da incgnita, do termo desconhecido. Ela pode estar noestado final (Tinha 17 figurinhas e ganhei 12, com quantas fiquei?), na transformao (Ti-

nha 17 figurinhas, ganhei algumas, fiquei com 29, quantas ganhei?)ou no estado inicial (Ti-nha algumas figurinhas, ganhei 12 e fiquei com 29, quantas tinha inicialmente?).

Dentro desta categoria, os problemas de transformao positiva ou negativa cujas per-guntas se referem ao estado final so os que, em geral, apresentam menor grau de dificul-dade em sua resoluo, porque basta aplicar a transformao que se prope ao estado ini-cial. A procura pelo estado inicial muito mais complexa para as crianas.

Problemas em que duas ou mais medidas se combinam para formar outra medida (ideia dejuntar da adio e de separar da subtrao)

Por exemplo: No pomar de Pedro h 17 ps de laranja-lima e 12 limoeiros. Quantas rvores

frutferas h no pomar de Pedro? (ideia de juntar).

Neste caso, no ocorrem transformaes, nem acontecem mudanas numa sequncia tempo-ral: 17 e 12 so medidas das duas colees, e 29 o resultado de uma composio de medidas.

A partir dessa situao, podemos encontrar dois tipos de problemas: um mais simples,quando preciso encontrar o total, como no exemplo acima, e outro mais complexo,quando preciso encontrar uma das medidas: Pedro tem 29 rvores frutferas em seu po-mar. Algumasso ps de laranja-lima e 12 so limoeiros. Quantos ps de laranja-lima h no

pomar de Pedro?(ideia de separar ou completar).

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Problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparao)

Este tipo de problema envolve uma relao esttica entre ambas as medidas, uma compa-rao entre elas. No existem transformaes. Por exemplo: Pedro tem 17 figurinhas e Carlostem 23. Quantas figurinhas Carlos tem a mais que Pedro?

Nota-se que a quantidade de figurinhas de cada menino no se altera.

Tambm neste caso possvel variar o lugar onde est a pergunta. possvel formular umenunciado em que a pergunta recaia sobre a relao entre as medidas, como no nosso exem-plo, mas tambm possvel formular enunciados em que a pergunta incida sobre uma das co-lees. Por exemplo: Pedro tem 17 figurinhas. Carlos tem 6 a mais que Pedro. Quantas figurinhasCarlos tem?.As variaes tambm podem ocorrer na maneira como se formula a relao entreas medidas: mais queoumenos que, quantos a mais,quantos a menos, qual a diferena.

Este tipo de problema de uma complexidade maior que os dois precedentes, porqueno simples a associao de uma operao com a ideia de comparao. A compreensoda situao enunciada representa um obstculo para as crianas, pois a relao com a sub-trao no evidente inicialmente. Alm disso, os termos mais queou quantos a maispodem-se configurar como pistas falsas da operao a ser utilizada, levando os estudantesa realizarem uma adio ao invs da subtrao.

Problemas que envolvem a composio de duas ou mais transformaes que do lugara outra transformao

So problemas do tipo: Pedro perdeu 8 figurinhas na primeira partida de um jogo e, na segun-

da, perdeu outras 4. Quantas figurinhas Pedro perdeu no jogo?ou Pedro perdeu 7 figurinhas naprimeira partida de um jogo e ganhou 5 na segunda partida, terminando o jogo com 16 figuri-nhas. Com quantas figurinhas Pedro iniciou o jogo?

Tambm neste grupo, os problemas podem variar de acordo com as transformaes, po-sitivas ou negativas. As duas podem ser do mesmo tipo ou de tipos diferentes. O segundocaso torna o problema bem mais complexo. possvel ainda variar o lugar da pergunta,que pode recair sobre a transformao composta, como no primeiro exemplo citado ante-riormente, ou tambm pode pedir para que se encontre uma das transformaes elemen-tares. Por exemplo: Na primeira partida, Pedro perdeu 8 figurinhas e, na segunda, perdeu maisalgumas. No total Pedro perdeu 13 figurinhas. Quantas ele perdeu na segunda partida?

Outros exemplos de questes que exploram a composio de transformaes so os seguintes:

Joo est juntando dinheiro para comprar uma televiso e um fogo. Ele j possui R$ 976,00.Resolveu comprar o fogo, que custou R$ 599,00. Quanto ainda precisa juntar para compraruma televiso que custa R$ 750,00?

Jlia estava brincando com seus amigos de bolinhas de gude. Jlia tinha vrias bolinhas, mas,na primeira partida, perdeu 5 bolinhas. Na segunda, ganhou 8 bolinhas. E na terceira partida,

perdeu 4 bolinhas, ficando com 21 bolinhas. Quantas bolinhas Jlia tinha no incio do jogo?

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necessrio, ento, explorar toda essa diversidade de tipos de problemas em sala de aula, paraque os estudantes se familiarizem com os diferentes tipos, podendo relacionar problemas j

conhecidos e discutidos durante as aulas com os novos problemas que tero de enfrentar.

[...]

importante destacar que os nomes das diferentes categorias ou subclasses de problemas soinstrumentos de trabalho para o professor para selecionar, comparar, analisar e propor diferen-tes problemas para os estudantes , mas essa classificao no deve ser apresentada s crianas.

Matemtica: orientaes para o professor.Saeb/Prova Brasil 4 srie/5 ano, Ensino Fundamental. pp. 98-100.

3.A seguir, temos uma lista de problemas do campo aditivo. Leia os problemas com seus colegas, pro-

curando identificar quais so as ideias contidas em cada um: combinar, transformar e comparar. Parafazer essa tarefa, retome as ideias apresentadas no texto lido.

Lista de problemas1. Camila tem 6 anos e Andr tem 11. Quantos anos Andr tem a mais que Camila?

2. Guilherme foi ao supermercado com algum dinheiro na carteira. Gastou com suas compras R$ 15,00e voltou para casa com R$ 24,00. Quanto Guilherme tinha na carteira antes de fazer a comprano supermercado?

3. Paulo tem 5 livros que esto guardados no seu armrio e 7 que esto em cima de sua mesa.Quantos livros ele tem?

4. Pedro tinha no seu cofrinho R$ 86,00. Ganhou de seus avs R$ 15,00, e tambm colocou no co-

frinho. Quanto ele j tem guardado?

5. No minizoo da minha cidade h 36 animais. Se j vi 15 animais, quantos esto faltando para eu ver?

6. Dona Bete deu um pacote com 12 balas a cada um dos netos: Fbio, Valria e Marcelo.

a. A Valria comeu 8 balas do pacote. Quantas restam?

b. O Fbio comeu 6 balas, deu algumas para seu amigo e ainda restam 4. Quantas ele deu ao amigo?

c. O Marcelo comeu 2 na mesma hora, outras 5 no cinema e mais 3 em casa. Quantas balas eleainda tem?

7. Depois de ganhar de aniversrio 26 adesivos, a coleo de Camila passou a ter 80 adesivos. Quantosela tinha antes de seu aniversrio?

8. Eu e meu irmo fomos praia e apanhamos conchinhas. Eu peguei 7 conchinhas. Se ele pegou 6a mais que eu, quantas ele apanhou?

9. Mariana, Gabriel e Laura estavam jogando.

a. A pea da Mariana estava na casa 8. Ela jogou o dado e avanou para a casa 13. Quantos pon-tos ela tirou no dado?

b. A pea do Gabriel estava na casa 15. Nessa casa, havia uma penalidade: depois de lanar o dado, eleteria que recuar em vez de avanar. Ele jogou o dado e voltou para a casa 9. Quanto ele tirou no dado?

c. Laura tambm sofreu penalidade e teve de recuar 5 casas, at a casa 10. Em que casa a peada Laura estava?

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4.Utilizando a proposta de classificao apresentada no texto que foi lido, organize os problemas doitem anterior neste quadro :

Quadro de classificao dos problemas do campo aditivo

Classificao Esquema

Quais problemas fazemparte desse grupo?Identifique-os pelanumerao usadana lista de problemas

Problemas em que duasou mais medidas se combinampara formar outra medida

O valor desconhecido (a incgnita) o resultado da combinao

A

B

?

{

Problemas em que duasou mais medidas se combinampara formar outra medida

O valor desconhecido (a incgnita) uma das medidas

A

?

C{

Problemas de transformao positiva

O valor desconhecido(a incgnita) o estado final

A ?+B

Problemas de transformao positiva

O valor desconhecido(a incgnita) o estado inicial

? C+B

Problemas de transformao positiva

O valor desconhecido(a incgnita) a transformao

A C?

Problemas de transformao negativa

O valor desconhecido(a incgnita) o estado final

A ?-B

Problemas de transformao negativa

O valor desconhecido(a incgnita) o estado inicial

? C-B

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Problemas de transformao negativa

O valor desconhecido(a incgnita) a transformao

A C?

Problemas que relacionam duasmedidas (ideia de comparao)

O valor desconhecido(a incgnita) uma das medidas A

?

B

Problemas que relacionam duasmedidas (ideia de comparao)

O valor desconhecido (a incgnita) a relao entre as medidas A

C

?

Duas transformaes se compempara dar lugar a outra transformao

O valor desconhecido (a incgnita) varia:pode ser um dos estados (inicial ou final)ou uma das transformaes A EC

B D

Observao: no mbito do estudo deste Caderno Bimestralno esto includos os problemas de es-

tados relativos (a exemplo dos Parmetros Curriculares Nacionais). Entretanto, para os professores do4 e 5 anos, sugerimos a leitura das pginas 21 e 22 do livro As operaes matemticas no ensino fun-damental I, indicado na seo Sugestes de Leituras Complementares.

5.Para verificar as respostas e dvidas, consultem o gabarito comentado desse quadro presente no fimdesta publicao.

Momento 2 Como o trabalho com o campo aditivoest sendo realizado em sua sala de aula?

Nesta etapa, continuaremos pensando sobre a complexidade envolvida no trabalho com o campo adi-tivo na sala de aula.

1.Individualmente, a partir do que foi discutido no momento anterior, responda s questes abaixo:

Como voc trabalha com os problemas do campo aditivo em sua sala de aula? J tinha se dado con-ta da diversidade de problemas que fazem parte desse campo? Como esses diferentes tipos apare-cem em sua prtica?

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2.Coletivamente, socializem suas anotaes e busquem identificar o que, para o grupo:

est assegurado em relao ao trabalho com o campo aditivo;

ainda no aparece no trabalho realizado em sala de aula;

quais so as maiores dificuldades por parte de vocs, professores, e de seus alunos.

3. importante destacar que o planejamento do trabalho com os diferentes tipos de problemas docampo aditivo deve ocorrer ao longo de todo o Ensino Fundamental. Leiam as orientaes dosPar-metros Curriculares Nacionais:

A construo dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descobertade diferentes procedimentos de soluo. Assim, o estudo da adio e da subtrao

deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos nmerose com o desenvolvimento dos procedimentos de clculo, em funo das dificuldadeslgicas, especficas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de soluo de queos alunos dispem.

Parmetros Curriculares Nacionais(1 a 4 srie) Matemtica. Braslia: MEC/SEF, 1998. pp. 105.

Momento 3 Planejamento passo a passo

1.No desenvolvimento das atividades que voc realizou at este momento, pde compreender a di-versidade de problemas que fazem parte do campo aditivo. Agora vamos pensar na prtica de sala

de aula. Para isso, planejaremos uma situao de trabalho com problemas desse campo do tipotransformao positiva, considerando as incgnitas nos diferentes lugares. Para tanto, tenha emmos o livro didtico adotado por sua escola.

No contexto do estudo deste bimestre, em que a proposta realizar um levantamento diagnsticoa respeito de como seus alunos resolvem os problemas de transformao positiva do campo aditivo,introduzimos mais um contedo de reflexo: o acompanhamento das aprendizagens dos alunos.Esse contedo estar presente em outros bimestres tambm. Ao fim desta etapa de planejamento,discutiremos a importncia dos registros para auxiliar o acompanhamento.

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Quadro de etapas a serem asseguradas para o planejamento da atividade

de resoluo de problemas do campo aditivoEtapas Orientaes

Selecionar, conhecer e preparar a situao

Eleja trs problemas para trabalhar com seus alunos.Voc pode escolher os problemas do livro didticoadotado ou da lista de problemas usada no Momento 1,mas, nesse caso, pode ser necessrio adequar a ordem degrandeza dos nmeros para a srie com a qual trabalha. importante que todos os problemas selecionadossejam de transformao positiva, e que cada um tenhaa incgnita em lugares diferentes: um no estado inicial,um na transformao e um terceiro no estado final.

Como se trata de um levantamento diagnstico,

voc precisar recolher as produes dos alunos.Ento, pense em como o problema ser apresentadopara eles. Qual suporte ser utilizado pelos alunos naresoluo (caderno, folha xerografada, livro didtico...)?

Competncias e habilidades discentesa serem desenvolvidas

Descritor 19 resolver problemas com nmerosnaturais, envolvendo diferentes significados da adioou subtrao: juntar, alterao do estado inicial (positivaou negativa), comparao e mais de uma transformao(positiva ou negativa).

Obs.: para os fins deste estudo, vamos trabalhar comas transformaes positivas considerando as incgnitasno estado inicial, final e na transformao.

Inclua outras competncias envolvidas na resoluode problemas usando o quadro (*) que se encontrano fim do item 2.

Organizar as etapas de trabalho com os alunos notempo e no espao da sala de aula

Como sero organizadas as etapas desse trabalho?Os trs problemas sero propostos juntos ou serodivididos por aulas?

Como os alunos estaro organizados em cada etapa?Para planejar esse item, retome o que foi discutidono caderno do bimestre anterior sobre interao entrepares. Destacamos que somente a etapa inicial deresoluo precisa ser individual para que voc possaregistrar as resolues dos alunos, mas as seguintespodem ser em grupos ou coletiva.

O papel do professor

Procure antecipar qual ser seu papel em cada etapade trabalho, como ir intervir com os alunos quetiverem mais dificuldade (s tenha em mente que, porse tratar de um levantamento diagnstico, importanteregistrar as dificuldades que os alunos apresentarem).

Conversar com os alunos

Como ir orientar seus alunos para a realizao dessatarefa? O que poder ser ou no antecipado parao aluno? Por exemplo, deixar claro que devem escolhera estratgia para a resoluo de cada problema, masno antecipar a operao que devero usar.

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Desenvolvimento do momento coletivoaps a resoluo dos problemas

Depois de ter preenchido a pauta de observao,aps a primeira etapa individual, como ser realizadaa socializao das resolues dos problemas? Voc faruma socializao aps a resoluo de cada um dosproblemas ou depois da realizao dos trs?

Como far em relao s diferentes estratgias queprovavelmente iro aparecer? Vai pedir que os alunoscontem como fizeram ou voc ir expor as estratgiasdos alunos? Usar o registro na lousa como apoio?

Avaliar a atividade

Organize-se para preencher a pauta deacompanhamento das aprendizagens. Ela serimportante para voc conhecer as estratgias,os saberes e as dificuldades dos seus alunos.

Para pensar

Durante a etapa de socializao, importante ficar atento participao de seus alunos

para acolher, respeitar e considerar seus comentrios, dando voz a todos, principalmente

queles que pouco participam.

2.Em pequenos grupos (organizados pelo ano escolar em que atuam), utilizem o roteiro de planeja-mento que segue e planejem a atividade de resoluo de problemas do campo aditivo do tipo trans-formao positiva. Usem como referncia o quadro de planejamento anterior.

Roteiro para planejamento da atividade de levantamento diagnstico de resoluode problemas do campo aditivo transformao positiva

Situaes-problema:

1-

2-

3-

Fonte:

Etapas:Planejamento:descrever os procedimentos a seremfeitos, o material que ser utilizado e o tempo previstopara a atividade (ou cada parte da atividade).

Selecionar, conhecer e preparara situao-problema

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Competncias e habilidades

discentes a serem desenvolvidas

Organizar as etapas de trabalho com alunosno tempo e no espao da sala de aula

O papel do professor

Conversar com os alunos

Desenvolvimento do momento coletivoaps a resoluo da situao-problema

* Para definir as competncias discentes que sero trabalhadas, voc pode se basear tambm noquadro que segue:

Competncias dos alunos envolvidasna interao entre pares

Competncias dos alunos envolvidasna resoluo de problemas

Trabalhar coletivamente supe uma sriede aprendizagens, como:

perceber que, alm de buscar a soluopara uma situao proposta, devem cooperarpara resolv-la e chegar a um consenso;

saber explicitar o prprio pensamento e tentarcompreender o pensamento do outro;

discutir as dvidas, assumir que as soluesdos outros fazem sentido e persistir na tentativade construir suas prprias ideias;

incorporar solues alternativas, reestruturare ampliar a compreenso acerca dos conceitosenvolvidos nas situaes e, desse modo, aprender.

Resolver um problema pressupe que o aluno: elabore um ou vrios procedimentos de resoluo

(como, por exemplo, realizar simulaes, fazertentativas, formular hipteses);

compare seus resultadoscom os de outros alunos;

valide seus procedimentos.

Parmetros Curriculares Nacionais (1 a 4 srie) Matemtica. Braslia: MEC/SEF, 1998. p. 41 e p. 44.

3.Neste estudo, apresentamos um modelo de pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alu-nos (essa pauta encontra-se presente na seo Aplicao Prtica desta publicao e no Portal deAprendizagem). Junto com seu grupo, analise como esse instrumento foi organizado, o que h emcada campo e antecipe seu preenchimento tirando dvidas com os colegas. O preenchimento des-sa pauta ser feito no momento de Aplicao Prtica; a proposta agora apenas a discusso e anlisedesse documento.

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Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos

Contedo: PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO TRANSFORMAO POSITIVA

Data:

Nomedos

alunos

Problema 1 Problema 2 Problema 3

Acertoutudo

Utilizouestratgiaadequada,mas errou

algumclculo

Noacertou

Acertoutudo

Utilizouestratgiaadequada,mas errou

algumclculo

Noacertou

Acertoutudo

Utilizouestratgiaadequada,mas errou

algumclculo

Noacertou

Possibilidades interdisciplinares:a pauta de acompanhamento um instrumentoimportante para o professor em qualquer campo disciplinar, na medida em que

permite orientar a prtica de forma fundamentada nas reais necessidades dos alunos.Quando o professor realiza esse acompanhamento de forma sistemtica, almde conhecer as demandas da classe, ele se apropria de informaes a respeitodos processos individuais de seus alunos. Essas informaes so indispensveispara avaliar as crianas e pensar nas melhores estratgias para potencializarsuas aprendizagens.

3.Leiam a contribuio dos Parmetros Curriculares Nacionais.

Mudanas na definio de objetivos para o Ensino Fundamental, na maneira de conceber aaprendizagem, na interpretao e na abordagem dos contedos matemticos implicamrepensar sobre as finalidades da avaliao, sobre o que e como se avalia, num trabalho queinclui uma variedade de situaes de aprendizagem, como a resoluo de problemas, otrabalho com jogos, o uso de recursos tecnolgicos, entre outros.

Alguns professores tm procurado elaborar instrumentos para registrar observaes so-bre os alunos. (...)

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Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliao, sejam eles provas, trabalhos, posturaem sala, constituem indcios de competncias e, como tal, devem ser considerados. A tarefa do

avaliador constitui um permanente exerccio de interpretao de sinais, de indcios, a partir dosquais manifesta juzos de valor que lhe permitem reorganizar a atividade pedaggica.

Parmetros Curriculares Nacionais - (1 a 4 srie) Matemtica. Braslia: MEC/SEF, 1998. p. 58 e p. 59.

E depois...

Nesta formao presencial, propusemos que voc planejasse, desenvolvesse e avaliasse uma atividadecom problemas envolvendo transformao positiva.

Sugerimos que voc desenvolva com sua turma atividades similares com problemas que envolvam osoutros sentidos da adio e da subtrao: combinao, transformao negativa, comparao e com-posio de mais de uma transformao.

Enfim, a sugesto explorar os problemas do campo aditivo ao longo de todo o ano, ampliando cadavez mais a compreenso dos alunos sobre a adio e subtrao.

Avaliao do encontroDurao: 10min

Este um momento para voc avaliar como foi este Encontro Presencial.Voc ter acesso a uma avaliao avulsa. Preencha com bastante ateno e empenho, pois o objetivo melhorar cada vez mais esse programa de formao para voc.

Preparao para o prximo encontro

Para o prximo Encontro Presencial, voc vai precisar:

Do livro didtico de matemtica adotado pela sua escola.

De alguns registros (diferentes entre si) de resolues de problemas feitos pelos seus alunos.

Do registro que voc fez sobre a atividade de Aplicao Prtica

(que foi planejada no 2 encontro e desenvolvida em sua sala de aula). Do texto e seu registro da atividade de Reflexo sobre a Prtica.

Do Caderno de Metodologia.

Deste Caderno Bimestral II.

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Sugestes de leituras complementares

BROITMAN, Claudia. Mudam os problemas, mudam os procedimentos de resoluo. In: BROITMAN,Claudia (trad. Rodrigo Vilela). As operaes matemticas no ensino fundamental I: contribuies para otrabalho em sala de aula. So Paulo: tica, 2011. (Ns da educao).

BROITMAN, Claudia. Somar no sempre juntar, subtrair nem sempre tirar. In: BROITMAN, Claudia(trad. Rodrigo Vilela).As operaes matemticas no ensino fundamental I: contribuies para o trabalhoem sala de aula. So Paulo: tica, 2011. (Ns da educao).

VERGNAUD, Grard.A criana, a matemtica e a realidade Problemas do ensino da matemtica na es-cola elementar. Curitiba: UFPR, 2009.

PENAS, Fernanda. Suma y resta, in CASTRO, Adriana et al. Ensear matemtica em la escuela primaria.Buenos Aires: Tinta Fresca, 2011.

Aplicao PrticaDurao: 4h

A proposta aqui que voc desenvolva com seus alunos a atividade de levantamento diagnstico deresoluo de problemas do campo aditivo que foi planejada. Para isso, siga os passos a seguir:

Releia o planejamento e procure esclarecer eventuais dvidas com seus colegas de escola.

Lembre-se das competncias discentes que trabalhar na atividade e tambm dos encaminhamentos

que planejou. Se planejou usar como suporte para apresentao da atividade algum material, como cartaz ou folha

xerografada, preciso j ter em mos esse material no momento da aplicao da atividade.

Realize a atividade em sua sala de aula, levando em considerao os aspectos discutidos no Encon-tro Presencial sobre o trabalho com o campo aditivo. Considere tambm os princpios de trabalhodiscutidos no bimestre anterior sobre o papel da resoluo de problemas e da interao entre paresnas aulas de matemtica.

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Registrando a prtica

1.Depois do desenvolvimento da atividade em sua sala de aula, preencha a pauta de acompanhamen-to das aprendizagens dos alunos (para isso voc precisar ter em mos as produes de seus alunos).

Use como modelo a pauta a seguir, que j foi analisada por voc no Encontro Presencial. Se preferir,voc pode imprimir uma verso desta pauta no Portal de Aprendizagem.

Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos

Contedo: PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO TRANSFORMAO POSITIVA

Data:

Nomedos

alunos

Problema 1 Problema 2 Problema 3

Acertoutudo

Utilizouestratgiaadequada,mas errou

algumclculo

Noacertou

Acertoutudo

Utilizouestratgiaadequada,mas errou

algumclculo

Noacertou

Acertoutudo

Utilizouestratgiaadequada,mas errou

algumclculo

Noacertou

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2.Agora faa o registro reflexivo da atividade utilizando o modelo a seguir:

Registro da atividade problemas do campo aditivo (transformao positiva)

Municpio:

Escola:

Professor:

Ano/Srie:

Quantidade de alunos presentes no(s) dia(s) da atividade:

Tempo utilizado para realizao da atividade:

1. Quais foram os problemas propostos? Preencha a tabela abaixo, anotando o problema utilizado em cada caso:

Classificao do problema Problema

Problema 1Envolve uma transformaopositiva, com a incgnita noestado inicial.

Problema 2Envolve uma transformaopositiva, com a incgnita natransformao.

Problema 3Envolve uma transformaopositiva, com a incgnita noestado final.

2. Comente como os alunos participaram de cada etapa (concentrao, envolvimento etc.).

Por que voc acha que eles agiram dessa maneira?

Quantos alunos acertaram? Quantos alunos erraram?

Problema 1

Problema 2

Problema 3

3. Houve algum (ou alguns) problema(s) que todos acertaram? Qual (ou quais)?

4. Na sua avaliao, em qual dos problemas os alunos tiveram mais dificuldade? Por que isso ocorreu?

5. Analise as estratgias de resoluo usadas pelos alunos nos trs problemas propostos.Registre na tabela a estratgia mais frequente em cada caso.

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Releia e revise o texto das suas respostas antes de coloc-lo no Portal de Aprendizagem (esses docu-mentos tambm estaro disponveis no Portal de Aprendizagem).

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Atividade VirtualDurao: 4h

Para ampliar sua reflexo sobre os problemas do campo aditivo, analise o estudo de caso que est noPortal de Aprendizagem. Reflita e registre suas concluses participando do Frum de Discusses.

Primeiro, uma retomada importante

1.Na atividade de Aplicao Prtica deste Caderno Bimestral, uma de suas tarefas era identificar quais ti-pos de problemas de transformao positiva os alunos de sua turma j conseguem realizar. Alm dis-so, voc procurou identificar como os alunos resolveram esses problemas. Esse levantamento per-mite que voc planeje novas situaes e atividades com problemas do campo aditivo que contem-plem as reais necessidades de seu grupo. Ou seja, se a maioria dos alunos j consegue resolver pro-

blemas em que a incgnita est no estado final (A + B = ?), sinal de que essa situao no muitocomplexa para eles. Por isso, situaes desse tipo no podem mais ser consideradas como problemas,mas como exerccios. Uma de suas metas de trabalho seria, ento, planejar situaes que envolvamas outras ideias do campo aditivo e que sejam desafiadoras para os alunos.

Para que voc pudesse ter um panorama, uma fotografia dos conhecimentos de sua turma em relaoa essa categoria de problemas, introduzimos uma reflexo sobre a importncia do acompanhamen-to das aprendizagens dos alunos. E propusemos um instrumento de verificao e anlise.

possvel que em sua turma voc tenha encontrado muitos tipos de procedimentos diferentes en-tre si. Que intervenes voc, professor, pode fazer a esse respeito, para favorecer a aprendizagemdos alunos? Esse o tema deste Encontro Virtual.

Agora, a nova proposta

2.O objetivo da Atividade Virtual ampliar a discusso sobre os problemas do campo aditivo e retomaro importante contedo tratado no Caderno Bimestral I a interao entre pares , pois acreditamosque tais interaes so frteis para o aprendizado de todos. Por isso, escolhemos colocar em debatea potencialidade das discusses em grupos e coletivas no trabalho com a resoluo de problemasdesse campo. Participe do frum refletindo e dando sua opinio.

Estudo de caso de mais ou de menos?

Apresentamos fragmentos de uma aula que aconteceu no incio do ano em uma turma de 2oano do Ensino Fundamental. Leia as trs partes destacadas e, em seguida, analise as reflexesde duas professoras sobre a aula, respondendo s propostas que sero feitas ao final.

Primeira parte

A professora Cristina escreveu a situao-problema na lousa e estipulou um tempo para quepensassem na resoluo individualmente.

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Luiz ganhou 15 figurinhas da sua tia. Depois de colar todas elas em seu lbum, verificou que ficou comum total de 35. Quantas figurinhas havia no lbum antes de Luiz colar as que ganhou da sua tia?

Em seguida, ela organizou grupos de quatro crianas e entregou uma nica cpia da situa-o-problema para cada grupo. Pediu que conversassem sobre como poderiam resolver eque registrassem seus procedimentos. Tambm informou que, depois de chegarem a umacordo sobre a resoluo, deveriam apresentar o resultado ao grupo todo. Ela ficou circulan-do entre os grupos, observando as discusses e ajudando a resolver pequenos conflitos.

Segunda parte

A professora Cristina pede que cada grupo apresente sua resoluo aos demais colegas daturma, divide a lousa em sete partes (que a quantidade de grupos) e observa as explicaes.

Grupo 1:A gente pensou que ele colou 35, mas a tia dele s deu 15 figurinhas, ento a gente pre-cisava descobrir quantas ele tinha antes. Deu 20 antes, porque 20 mais 15 d 35. de mais.

20 + 15 = 35 (Joo explica: 20 + 10 a gente j sabia que dava 30; e 30 + 5 35.)

Grupo 2:A gente concorda que de mais, porque ele ganhou, ento de mais mesmo. S queo nosso deu 50. Olha:

15 + 35 =

10 + 30 = 40

5 + 5 = 10

Grupo 3:A gente acha que de tirar, porque tem que tirar o 15 que a tia dele deu pra ficar o que ele ti-nha antes dela dar as outras. A, 35 tirando o 15 d 20, porque 30 tira 10 20 e 5 tira 5 zero. S 20 mesmo.

35 15 = 20

Ana Paula, que do grupo 1 diz: Como pode ser de tirar se ele ganhou figurinhas da tia dele? Nod pra ser de tirar!

Viviane, que do grupo 3 responde: que a gente se lembrou do problema que a gente fez outro diae podia ser de tirar tambm. Aqui precisava tirar pra achar quanto ele tinha antes.

Grupos 4 e 5 repetem o resultado 50, assim como o grupo 2.

Grupo 6:O que foi difcil foi achar quanto que ele tinha antes da tia dele dar as 15 figurinhas, porque sdepois que ele ficou com 35. Ento a gente foi acrescentando do 15 at chegar no 35, um por um. Deu 20.

15 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 35

20

40 + 10 = 50

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Lusa, que deste mesmo grupo: Mas a gente acha que de mais porque ele ganhou e no perdeu.E o grupo da Pietra (que do grupo 3) falou que de tirar. Cada grupo fez como conseguiu fazer!

Grupo 7:Bom, deu 20 tambm. A gente t concordando que de tirar porque se ele ganhou 15no dava pra saber quantas ele tinha antes de colar no lbum. Mas foi o Lucas que deu essa dica

pra gente. A, eu resolvi dar a dica de colocar as 35 figurinhas e tirar as 15 que ele ganhou. O que so-brou foi o que ele j tinha antes da tia dele dar as figurinhas. A ficou bem fcil tirar.

/////////////////////////////////// 20

Terceira parte

A professora toma a palavra e comea a direcionar a discusso:

Professora Cristina:Primeiro, vamos pensar nos resultados que os grupos expuseram na lousa,certo? Alguns acham que o resultado 20 e outros acham que 50. Vamos verificar juntos. Pode-mos ter esses dois resultados como certos?

Lucas:Eu acho que 50 no pode ser, muito.

Professora Cristina:Mas por que muito?

Lucas:Porque ele s colou 35 e 50 mais que 35. No problema no fala que ele colou 50 figurinhas,o mximo que ele colou foi 35.

Srgio: mesmo, nunca pode ser mais que 35! 35 j o mximo que ele colou.

Professora Cristina:Quer dizer ento que ele ficou com 35 figurinhas no fim de tudo? Ento, eletinha menos de 35 antes de ganhar?

Vrios alunos:, !

Professora Cristina:Ento, ns conseguimos chegar a uma concluso, no foi? No possvelsomar os nmeros que aparecem no problema, apenas. O 35 significa o total de figurinhas que oLuiz colou em seu lbum e 15 foram as figurinhas que ele ganhou. Qual era o maior desafio, ento?

Ana Paula: Era descobrir quantas figurinhas ele tinha antes da tia dele dar as outras figurinhas pa-ra ele, pra juntar com as que ele ganhou dela e ficar 35 no total pra colar.

Professora Cristina: E por que alguns grupos acham que o problema pode ser resolvido com

uma subtrao?

Viviane:Porque quando a gente TIROU AQUI (falou dando nfase s palavras) foi pra achar quan-to ele tinha antes de ganhar. A gente tirou o que ele ganhou pra saber quanto ele tinha antes de ga-nhar. Ento de menos, de subtrair, mesmo que ele ganhou figurinhas. de menos s pra descobrirquantas ele j tinha. D pra ser de menos, sim.

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Professora Cristina: Isso mesmo! Mas outros grupos tambm chegaram ao mesmo resultadoSOMANDO (ressaltou essa palavra). possvel descobrir quantas figurinhas j havia partindo do 15

que ele ganhou e somar at completar o 35, no ? Como eles fizeram aqui (indica a resoluo dogrupo 6 na lousa).Ento, a gente pode chegar concluso de que, no caso deste problema, foi pos-svel resolver com a soma ou com a subtrao e de diferentes maneiras. Deu certo de jeitos diferen-tes, no foi de um jeito s, mas o resultado mesmo o 20!

Comunidade Educativa CEDAC

Para refletir, registrar e postar no Portal de Aprendizagem

Duas professoras analisaram os mesmos fragmentos desta aula e se posicionaram de diferentes ma-

neiras diante de algumas questes. Leia os registros dessas professoras e identifique a justificativaque voc tambm daria pergunta.

1. Frum parte 1

Por que a professora Cristina pede que os alunos, inicialmente, pensem a respeito do proble-ma individualmente?

Frum parte 1

Municpio:

Escola:Professor:

Ano/srie:

Professora Elizabeth Professora Maria do Carmo

Ela pede para que pensem sozinhos porque muito tradicional e no valoriza o trabalho emgrupos. Acho que no precisava dessa parte,poderia ir diretamente para os grupos. O nossotempo j bem curto e no podemos ficar tantotempo por conta de um nico problema.

Tirando essa parte, seria mais rpido.

Ela pede que cada um faa uma reflexo individual porque importante que cada criana tenha um tempo com oproblema para pensar em como pode resolv-lo. nessemomento que a criana vai acionar o que sabe e poderpensar em como resolver, em quais estratgias utilizar.

Acho que no precisa ser um tempo longo, poisprecisamos controlar e dividir o tempo muito bem pra noficar cansativo e no perdermos tempo de estudo com ascrianas. Precisamos considerar as outras partes da aula,que tambm so muito importantes.

Sua reflexo

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2. Frum parte 2

Por que a professora Cristina no faz nenhuma interveno na segunda parte da aula?

Frum parte 2

Municpio:

Escola:

Professor:

Ano/srie:

Professora Elizabeth Professora Maria do Carmo

Claro que isso foi intencional. Ela queriasaber o que as crianas realmente pensavam.Se ela falasse alguma coisa, poderia influenciarnas respostas.

Porque ela queria favorecer o intercmbio entre asprprias crianas sobre o resultado alcanado. Pensoque ela organizou a situao para fazer as intervenesapenas no momento seguinte.

Sua reflexo

3. Frum parte 3

Podemos considerar que essa situao foi realmente um problema para os alunosporque ela rene algumas condies necessrias, que indicamos a seguir:

ter sentido no campo do conhecimento da criana, para que ela possaimaginar uma estratgia para resolv-lo, mesmo que no seja a correta,nem a mais econmica;

que o problema envolva um desafio: a estratgia conhecida no pode sersuficiente ou eficiente para resolv-lo;

que seja suficientemente aberto para dar espao ao surgimento de diferentesestratgias de resoluo vlidas, para que seja possvel confront-las e extrairconcluses a partir delas.

Matemtica: orientaes para o professor.Saeb/Prova Brasil. p. 97.

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Alguns alunos erraram o problema e outros tiveram dificuldade para entender que ele poderia ser re-solvido tanto por meio da adio quanto pela subtrao. Isso esperado para essa srie? A quantidade

de acertos no deveria ter sido maior, j que os nmeros envolvidos no problema no eram to altos?Qual o motivo das dificuldades?

Frum parte 3

Municpio:

Escola:

Professor:

Ano/srie:

Professora Elizabeth Professora Maria do Carmo

Eu nem achei que os alunos foram mal, no. Talvez osmeus alunos nem tivessem conseguido resolver dasdiferentes maneiras que essa turma apresentou.Primeiramente, eu at achei os nmeros baixos, mas,depois que eu percebi que a dificuldade estava no queera pedido pelo problema que a incgnita no estavano estado final, mas sim no estado inicial, vi que esseera o maior desafio para os alunos.

Eu no costumo trabalhar com esses problemas maisdifceis com minhas crianas. Agora comeo a perceberque importante trabalhar tambm com esse tipo. Pelo

exemplo dessa turma, eu reparo que as crianas podemconseguir resolver, sim. No meu caso, eu ainda teriaque iniciar o trabalho, pois nunca tentei. No meu livrodidtico no tem esse tipo de problema; se tiver algum,eu pulei, pois nem me lembro.

Porque para mim tambm novidade essa histriade poder resolver tanto pela adio quanto pelasubtrao, ento acho que esperado, sim, quealunos to pequenos ainda sintam dificuldade pararesolver. Mas estou sentindo que o importante planejar situaes-problema desse tipo tambmpra eles aprenderem mais.

Eu penso que era realmente para ser uma atividadedesafiadora e foi por isso que a professora organizoua aula dessa maneira (primeiro a reflexo individual,depois o trabalho em grupos, depois a apresentaodos grupos e a argumentao sobre as resolues e,por fim, as suas intervenes para fechar a atividade).Para mim, esse um tipo de problema mais difcil,e ns no estamos acostumados a trabalhar com ele.Portanto, as crianas tambm no esto to acostuma-das a pensar sobre eles. um problema que apresentaa incgnita no estado inicial, ou seja, preciso encontrar

o primeiro nmero e no o resultado final (? + B = C)e isso muda completamente a maneira de pensar.

Ento, mesmo que alguns alunos tenham errado oproblema (aqueles que responderam 50) e outros nemtenham entendido muito bem o porqu de se resolverpela adio ou pela subtrao, TODOS tiveram derefletir muito para resolv-lo e tiveram oportunidadede pensar sobre esse tipo de resoluo. a continuida-de do trabalho com problemas da mesma categoriaque vai possibilitar o avano de todos.

Sua reflexo

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4.Frum parte 4

Frum parte 4

Municpio:

Escola:

Professor:

Ano/srie:

Voc acredita que realizar essa Atividade Virtual ajudou voc a pensar sobre sua prtica? Justifique e compartilhesua resposta.

Reflexo sobre a prticaDurao: 4h

Estamos terminando o estudo do material do 2 bimestre. No caderno anterior, comeamos a refletirsobre a importncia dos problemas nas aulas de matemtica e o papel das interaes entre pares naconstruo dos conhecimentos envolvidos nessas situaes. Continuando e ampliando esse estudo,neste caderno, focamos os problemas que fazem parte do campo aditivo. J deu para perceber o tantode coisas que temos de considerar ao planejarmos nossas aulas, no mesmo?

Agora, sua tarefa ler o texto Problemas complexos, mas no impossveis.Esse texto traz relatos de pro-fessoras sobre como encaminharam algumas situaes desafiadoras para seus alunos com os proble-mas do campo aditivo e como esse trabalho ajudou seus alunos a avanarem nas estratgias de reso-luo de problemas e na compreenso das ideias envolvendo a adio e a subtrao.

Para pensar

Quando consideramos vlidos os procedimentos dos alunos para resolver um problema,

estamos confirmando que sua lgica de pensamento correta, contribuindo para que

construam uma relao positiva com o conhecimento matemtico.

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Problemas complexos, mas no impossveis

Ao colocar a incgnita em lugares diferentes, os enunciados ficam mais complexos, o que

obriga a turma a trabalhar dentro dos conceitos de campo aditivo.

Danielle Amaral Ambrsio entrou na sala do 3 ano da Escola Castanheiras, em Santana deParnaba, municpio da Grande So Paulo, com suas colegas Adriana Mercs e Laura Bugni.Com ela, uma balana porttil para pesar as professoras convidadas. Os alunos se amontoa-ram para observar o ponteiro: quanto pesava Adriana? Minutos depois, todos anotaram oenunciado que estava no quadro: Adriana pesa 68 quilos. Juntas, ela e Laura pesam 125 qui-los. Quanto pesa Laura?

Em problemas de composio como esse, a professora se preocupa em variar o lugar da in-cgnita para tornar o enunciado mais complexo e, com isso, exigir que a turma raciocine den-tro dos princpios do campo aditivo. Em vez de propor Adriana pesa 68 quilos e Laura pesa 57,quanto pesam as duas juntas?, Danielle apresentou os valores parcial inicial e final, deixandoa busca da outra parte da composio para as crianas.

Quem ainda no entendeu o que o problema solicita logo pergunta: para fazer conta demais ou de menos? Outras dvidas surgiram:

Como posso calcular o peso da professora Laura se o problema no diz nada sobre ela?

De 125 posso tirar 68. Mas como tiro 8 de 5? (referncia s unidades.)

Num primeiro momento, a tendncia de algumas crianas somar os nmeros apresentadosantes de notar que no o valor final a resposta solicitada.

quando Danielle retoma o texto e ajuda na anlise das informaes. No caso da balana, aprofessora ressaltou que o peso da Laura sozinho no poderia ser maior do que o das duas

juntas. Alguns alunos decompem o 125 e retiram dele os 68 por vrios caminhos. Outros uti-lizam direto o algoritmo da subtrao. Um deles optou por conservar o 68 e completar compauzinhos at chegar ao 125, o que pediu uma interveno dela no fim do raciocnio: Serque no h uma maneira mais econmica de realizar a conta?

Depois dos clculos individuais, a professora analisou as vrias resolues, anotou as dvidas eorganizou a classe em quartetos. Nesses pequenos grupos, os estudantes expuseram suas estra-

tgias e conheceram as dos colegas. Coube a Danielle expor outros procedimentos possveis ainda que no tenham aparecido durante a atividade e discuti-los. Dessa forma, a turma aumen-tou o repertrio de solues e todos os caminhos foram registrados no quadro e nos cadernos.

Hora de avanar

Quando as crianas j esto familiarizadas com problemas envolvendo nmeros baixos usando com destreza os dedos ou o clculo mental para resolv-los , Danielle comea a di-ficultar, aumentando gradualmente os valores e sempre mudando a incgnita de lugar. Coma primeira estratgia, ela faz a turma sentir necessidade de voltar a registrar o raciocnio no pa-

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pel para chegar resposta. J com a segunda que tambm demanda anotaes , a criana levada a pensar na adio por outro vis e a construir o significado da operao.

Para ajudar na transio dos trabalhos com os nmeros baixos para os altos, Renata Praxe-des, tambm da Castanheiras, props turma de 1 ano colecionar tampinhas. Conforme aspeas eram trazidas pelos pequenos, a contagem ia ficando mais complexa. Primeiro elesverificavam a quantidade, apontando os objetos do pote de um em um e acrescentando osrecm-chegados. Depois de alguns dias, a professora quis saber como eles poderiam continu-ar a somar sem ter de partir sempre do comeo: J temos 56 tampinhas. Como fazemos paracontinuar o registro? Um dos alunos sugeriu: Vamos contar a partir do 56! Assim fica mais f-cil saber quanto a gente tem no final. Esse processo, chamado de sobrecontagem, ajuda a en-tender os problemas de transformao.

Algumas crianas ainda no tinham percebido que conservar a quantidade j obtida e a par-tir dela acrescentar novos elementos facilita o processo, recorda Renata. Em uma das situa-es, a turma chegou a 146 tampinhas mas faltava contar muitas que estavam na mochilade uma colega. Sugeri que meninos e meninas formassem dois grupos e dividissem as novastampinhas para contar. Os meninos foram de um em um e chegaram a 107. As meninas sepa-raram em montinhos e foram somando de pouco em pouco.

A soma desses valores parciais deu 88. Se imaginarmos que os meninos tm mais ou menos100 e as meninas 88, quanto temos ao todo?, perguntou a professora. As crianas responde-ram 188 em coro. Para o valor final, faltava apenas acrescentar o 7 (dos 107) e, em seguida, as146 que j estavam no pote. Total: 341. Assim, fazendo sobrecontagem e trabalhando dia apsdia problemas de transformao positiva, a turma acabou juntando 2.000 tampinhas. Para

manter o controle preciso do acervo, os alunos preencheram uma tabela na qual registravama quantidade arrecadada e a que chegava a cada dia.

Outro desafio levou a garotada a ter contato com a transformao negativa: confeccionar umabandeira com as tampinhas, um processo em que as crianas subtraam as peas da coleo. To-dos aprenderam as operaes antes de conhecer a conta armada, explica Cntia Fondora Simo,coordenadora pedaggica dos primeiros anos do Ensino Fundamental da Escola Castanheiras.

Guilherme Santinho Jacobik, que trabalha h 12 anos com formao de professores de Edu-cao Infantil para a rede pblica, tambm optou por ensinar o raciocnio antes do algoritmoaps conhecer a teoria dos campos conceituais. Hoje ele no ensina conta armada para tur-mas dos primeiros anos do Ensino Fundamental: Valorizo o caminho que o aluno optou e o

clculo mental. Ns, adultos, fazemos isso naturalmente, comeando pela maior grandeza nu-mrica. J as crianas precisam aprender essas estratgias, que so as mais usadas no dia a dia.

As anotaes so fundamentais para entender no s o caminho adotado pelo estudantemas, principalmente, quais so suas dificuldades. Quando comecei a dar aulas, no me preo-cupava em ensinar diferentes caminhos. Ia direto tcnica operatria. Com isso, deixava deensinar contedos essenciais, como a decomposio numrica, o valor posicional de uso so-cial e o uso de registros diversos. Tudo isso importante para mostrar como se d a comuni-cao matemtica e a linguagem prpria da disciplina, admite Guilherme.

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Pensei com a cabea

A turma de 4 ano de Glads Mari da Silva de Oliveira, da EM Mewton Borges dos Reis, em Curi-tiba, j est acostumada com a perspectiva dos campos aditivos e reclama quando o desafio muito fcil. Para complicar um pouco, ela elabora enunciados com composio de trans-formao. Numa atividade, Glads levou para a escola encartes de supermercados da regio.Divididas em pequenos grupos, as crianas analisaram as promoes para resolver o seguinteenunciado: Precisamos realizar um almoo, mas s temos 50 reais. Vamos fazer o cardpio edescobrir o que possvel comprar? Os alunos pesquisaram os preos e discutiram a melhormaneira de gastar o dinheiro. Peo tambm que eles comprem mercadorias saudveis, masque no as repitam na lista, adianta Glads.

Um grupo selecionou primeiro os produtos que queria e, num clculo prvio, ultrapassou ooramento. Pensem no que podem tirar, sugeriu a professora. Mesmo sem o macarro, aconta no fechou. Decidiram tirar a carne, a mercadoria mais cara, e recolocar a massa.

Outra equipe escolheu frango e props uma seleo to enxuta que sobraram 4,60 reais. Novadvida: quantos refrigerantes possvel comprar com o que sobrou se cada refrigerante custa1,20 real? Um dos alunos subtraiu o valor de uma garrafa e percebeu que ainda sobravam 3,40reais. A professora quis saber se o troco ainda dava para mais. Registro de uma criana:

1,20 + 1,20 = 2,40

2,40 + 1,20 = 3,60

Ela tentou mais uma adio para ter certeza de que o valor superior a 4,60 reais. Resultado:trs refrigerantes. A calculadora foi usada para fazer a conferncia. Depois da compra, cadagrupo exps seu cardpio e o valor gasto.

Sempre peo que eles expliquem como pensaram, afirma Glads. Num primeiro momento, omais comum o aluno escrever pensei com a cabea. Com o tempo, ele consegue se ex-pressar muito bem e passa a usar os termos apropriados, diz a professora.

www.novaescola.org.br, maio de 2007

Depois da leitura desse texto, continue a pensar no seu trabalho em sala da aula, considerando tudo oque foi discutido at este momento, tanto no Encontro Presencial como na Atividade Virtual:

a. O texto faz referncias a situaes que propiciam que os alunos avancem em suas aprendizagens.

Identifique no texto quais so elas.

Situaes semelhantes a essas aparecem no seu trabalho em sala de aula?Procure relatar como voc faz isso.

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b. Considerando a diversidade dos problemas do campo aditivo, procure fazer uma avaliao sobre co-mo esses problemas esto sendo contemplados no seu trabalho com os alunos.

c. Releia a proposta realizada no incio do Encontro Presencial deste bimestre, intitulada Para comeode conversa. Retome o depoimento com o qual voc mais se identificou. luz de tudo o que estu-dou neste bimestre, procure explicar melhor os porqus, tanto dos bons resultados como das situa-es mais complicadas que teve que gerenciar em sala de aula.

Autoavaliao

Terminamos mais uma etapa de nossa formao. Aps a realizao das atividades e reflexes que fize-ram parte deste Caderno Bimestral, propomos que voc faa uma autoavaliao. Como j comentado

no caderno anterior, trata-se de um conjunto de competncias especficas que, juntas, constituiroaquelas competncias mais amplas, cujo desenvolvimento o propsito deste processo formativo.Sendo assim, os critrios de avaliao so os mesmos utilizados no caderno do 1 bimestre. Leia cadaitem da coluna esquerda e, aps refletir, marque com X a coluna que corresponde sua avaliao.

Competncias e habilidadespara o trabalho docente

Plenamentedesenvolvida/

ampliada

Parcialmentedesenvolvida/

ampliada

No foidesenvolvida/

ampliada

Envolver-se em atividades formativas naperspectiva do aprimoramento da prticapedaggica e do atendimento de objetivose metas estabelecidos.

Trabalhar em equipe, interagindo comos colegas e colaborando com a formaodo grupo.

Identificar a adequao das diferentes formasde organizao do grupo (trabalho individual,em pequenos grupos e coletivo) e considerarsuas potencialidades para a aprendizagem.

Refletir sobre a importncia da interaoentre pares nas aulas de matemtica.

Demonstrar compreenso do recurso resoluo de problemas como caminho paraa elaborao do conhecimento matemtico.

Realizar leitura profissional, explorandoas potencialidades do texto e relacionandoa teoria com a prtica docente.

Identificar os principais elementos queconstituem um problema, diferenciando-ode exerccio.

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Planejar atividades que possam seconstituir em situaes-problema ajustadass possibilidades dos alunos, de formaa favorecer as aprendizagens de contedose desenvolvimento de competncias discentes.

Utilizar o livro didtico integrado a atividadesplanejadas com objetivos claros.

Agora reflita...

- Houve avano em relao s competncias e habilidades que no encontro anterior ainda no haviam sido plena-mente desenvolvidas ou ampliadas por voc?

- H ainda alguma competncia e/ou habilidade na qual houve pouco ou nenhum avano em relao ao primeiro caderno?O que acha que precisa acontecer para desenvolver plenamente essas competncias e habilidades?

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Durante este bimestre, novas competncias foram colocadas em jogo, ampliando nosso quadro de avaliao.

Competncias e habilidadespara o trabalho docente

Plenamentedesenvolvida/

ampliada

Parcialmentedesenvolvida/

ampliada

No foidesenvolvida/

ampliada

Reconhecer a variedade de situaes-problemarelacionadas ao campo aditivo.

Coletar e organizar informaes sobreos procedimentos dos alunos.

Analisar e interpretar informaes sobreos procedimentos dos alunos.

No prximo caderno a proposta ser avanar nos estudos sobre a resoluo de problemas,

j que o contedo estruturante deste programa e formao, levando em considerao os

resultados j identificados por vocs, professores, no trabalho com seus alunos. O foco ser dado

ao campo multiplicativo que prope o estudo da multiplicao e da diviso conjuntamente.

A partir de quando possvel abordar a multiplicao e a diviso na escola?

Elas j podem aparecer nos primeiros anos do Ensino Fundamental? Problemas envolvendo

ambas as situaes devem ser explorados em um trabalho continuado que percorra toda a

escolaridade? Por que trat-los como etapas diferentes se a ligao entre eles to estreita?

Aguardem!

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Gabarito comentado

Quadro de classificao dos problemas do campo aditivo

Classificao Esquema

Quais problemas fazem partedesse grupo? Identifique-ospela numerao usada na listade problemas

Problemas em que duas ou maismedidas se combinam para formaroutra medida

O valor desconhecido (a incgnita) o resultado da combinao

A

B

?{

Problema 3

O nmero de livros do armrioe da mesa so duas medidas quese juntam para formar uma novamedida (o total).

Problemas em que duas ou maismedidas se combinam para formaroutra medida

O valor desconhecido (a incgnita) uma das medidas

A

?

C{

Problema 5

O nmero de animais que eu vi (15)e os que eu no vi (incgnita) soduas medidas que se combinampara formar o total de animais (36).

Problemas de transformao positiva

O valor desconhecido(a incgnita) o estado final

A ?+B

Problema 4

O valor que havia no cofrinho, os86 reais, so o estado inicial de umatransformao positiva (acrescentar15 reais). A incgnita o valor totalno cofrinho (estado final).

Problemas de transformao positivaO valor desconhecido(a incgnita) o estado inicial

? C+B

Problema 7A coleo sofreu uma transforma-o positiva (recebeu 26 adesivos).O estado final conhecido:80 adesivos.

A incgnita a quantidade deadesivos que Camila tinha inicial-mente, ou seja, o estado inicial.

Problemas de transformao positiva

O valor desconhecido(a incgnita) a transformao

A C?

Problema 9.a

Sabemos os valores do estadoinicial (casa de partida) e do estadofinal da transformao (casa de

chegada). A incgnita a transfor-mao sofrida, ou seja, o nmerode casas que a pea avanou.

Problemas de transformao negativa

O valor desconhecido(a incgnita) o estado final A ?-B

Problema 6.a

As balas recebidas (estado inicial)sofrem uma transformao negativa(chupou 8 balas). O valor desconhe-cido (balas restantes) o estadofinal da transformao.

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Problemas de transformao negativa

O valor desconhecido(a incgnita) o estado inicial

? C-B

Problemas 2 e 9.c

O valor desconhecido o estado ini-cial (dinheiro que havia na carteiraou casa em que a pea estava).So dados: a transformaonegativa (valor que foi gastoe nmero de casas que recuou)e o estado final (o dinheiro restanteou a casa em que a pea chegou).

Problemas de transformao negativa

O valor desconhecido(a incgnita) a transformao

A C?

Problema 9.b

A casa em que ele est (15) o estado inicial, a incgnita estna transformao (saber os pontosque ele tirou no dado para voltaras casas). O estado final a casa

em que ele parou (9).

Problemas que relacionam duas me-didas (ideia de comparao)

O valor desconhecido(a incgnita) uma das medidas

A

?

B

Problema 8

As duas medidas (nmero deconchinhas de cada um) estosendo comparadas pela relao ter6 a mais. A incgnita a uma dasmedidas (nmero de conchinhasdo irmo).

Problemas que relacionam duas me-didas (ideia de comparao)

O valor desconhecido (a incgnita) a relao entre as medidas

A

C

?

Problema 1

As idades de Camila e Andrconstituem duas medidas.A relao de comparao (ter x a

mais) a incgnita do problema.

Duas transformaes se compempara dar lugar a outra transformao

O valor desconhecido (a incgnita)varia: pode ser um dos estados (inicialou final) ou uma das transformaes A EC

B DProblemas 6.b e 6.c

Nos dois problemas, o estado inicial(12 balas) sofre duas transformaesnegativas. No problema 6.b, umadas transformaes tem valordesconhecido. No problema 6.c,o valor desconhecido o resultado.

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Anotaes

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