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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

GEOMETRIA ANALÍTICA

•Coordenadas de pontos no plano cartesiano.

•Distâncias entre pontos.

Sejam e dois pontos no plano cartesiano. A distância

entre e é dada pela expressão .

•Equação da circunferência.

Por definição, um ponto está na circunferência de centro

e raio se, e somente se, , ou seja, .

Desenvolvendo essa equação, percebe-se que uma circunferência sempre tem

uma equação do tipo Isso sugere o seguinte exemplo:

determine o centro e o raio da circunferência de equação

.

•Exemplos: determine a expressão de uma função que representa a parte

superior da circunferência E para a parte inferior?

•Retas no plano cartesiano: retas horizontais (paralelas ao eixo ) possuem equação do tipo

.

Retas verticais (paralelas do eixo ) possuem equação do tipo .

De modo geral, uma reta não vertical possui equação do tipo . O

número é o coeficiente angular e o número é o coeficiente linear.

Dados os pontos e , com , a reta que passa por

e tem equação . Dessa equação observa-se

que o coeficiente angular é igual a tangente do ângulo que a

reta faz com o semi-eixo positivo .

Retas paralelas: duas retas de equações e são

paralelas se elas possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, se .

Retas perpendiculares: demonstrar que duas retas de equações

e são perpendiculares se .

2

Exemplo: determine a equação da reta que passa pelos pontos

e . Agora determine a reta que passa pelo ponto e que é perpendicular a essa que você acabou de encontrar.

Exemplo: determine de modo que a distância entre os pontos

e seja igual a 5. Interprete geometricamente esse problema.

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

•Num triângulo retângulo como o da figura abaixo, define-se o seno, o cosseno e a tangente do ângulo do seguinte modo:

.

•Comentar que essa definição depende apenas do ângulo e não do

triângulo e listar as identidades:

.

•Exemplos:

30o 45o 60o

seno

cosseno

tangente 1

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

•O círculo trigonométrico e arcos orientados.

Num plano cartesiano, considere a circunferência de centro na origem e raio igual a uma unidade de medida. Essa circunferência é chamada de círculo

trigonométrico. O ponto será a origem dos arcos orientados que serão construídos sobre essa circunferência.

Seja um número real entre 0 e . Imagine um ponto móvel deslocando-se no sentido anti-horário sobre o círculo trigonométrico, iniciando seu percurso no ponto , e percorrendo uma distância igual a

unidades de comprimento. Ao final desse percurso ele pára num ponto do círculo trigonométrico. A trajetória descrita por é o arco orientado

de medida . Nesse caso, dizemos o ângulo central , que subtende o

arco , tem medida radianos.

Relembrar a relação entre graus e radianos: .

O seno, o cosseno e a tangente de :

Continuando com entre 0 e , sejam e as

extremidades do arco orientado de medida radianos. Definimos e representamos o seno, o cosseno e a tangente de da seguinte maneira:

, e , se e

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Desse modo, pontos sobre o círculo trigonométrico podem ser escritos na

forma .

Exemplos:

0

seno 0 1 0 -1 0

cosseno 1 0 -1 0 1

tangente 0 0 0

•As funções trigonométricas reais:

Seja um número real qualquer. Existem únicos e tais que

. Definimos o , e como sendo,

respectivamente, o seno, o cosseno e a tangente de radianos. No caso da

tangente, devemos ter , .

Os gráficos das funções: , e estão

representados a seguir.

3

4

Observação: cada uma dessas funções é periódica, de período . Isso significa que para todo real:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

•Para todo número real valem as igualdades:

•Cosseno da soma: vamos mostrar que para quaisquer números reais e

é válida a identidade

Para isso, considere os pontos e sobre o

círculo trigonométrico. Observe que o raio faz ângulo com o eixo

positivo. Agora, faça uma rotação no triângulo de modo que ele fique na

posição do triângulo (observe as figuras a seguir).

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Pela definição das funções seno e cosseno, vemos que as coordenadas dos pontos e são: e . Uma vez que os

segmentos e possuem o mesmo comprimento, pela fórmula da

distância entre dois pontos, vemos que implica:

Desenvolvendo essa igualdade e simplificando obtemos a identidade desejada.

•Outras identidades trigonométricas semelhantes:

Arco duplo e arco metade: para todo número real

Lei dos cossenos:em qualquer triângulo como o da

figura, temos:

6

1

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

FUNÇÃO EXPONENCIAL: DEFINIÇÃO

No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação , para

quaisquer real e .

Se , por definição coloca-se , e assim por diante. Ou

seja, para todo define-se como o produto de fatores iguais ao

número . Nesta definição não podemos incorporar o caso , pois para

calcularmos utilizamos um produto, e para isto é necessário a existência de

dois ou mais fatores. Entretanto, por analogia aos casos e ,

parece ser natural definirmos . Entretanto existe uma outra explicação para essa definição. A potenciação que acabamos de definir possui a seguinte propriedade:

(*)

para quaisquer . Assim, para definirmos coerentemente,

devemos escolher o valor de de modo que a igualdade (*) também seja

verdadeira para o caso em que ou sejam iguais a 1. Se este é o nosso

desejo, em particular, devemos ter: . Logo .

Desta igualdade, também surge a definição natural de .

O caso é análogo (ainda estamos supondo ). Para definir esse número é interessante que ele também obedeça a propriedade (*). Desta propriedade, em

particular devemos ter: . Esta última igualdade implica que

. Portanto as igualdade e são definidas de maneira a garantir que a i gua ldade (*) se ja ve rdade i ra para todos os va lo res de

.

A respeito da potenciação, pode-se também perguntar sobre a definição do número

para e . Esse número também é definido de modo a

garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para quaisquer inteiros e positivos ou negativos. Para isto ser verdade, em particular devemos ter

. Daqui segue que para todo inteiro positivo n.

Antes de continuar, devemos responder o que acontece nestas definições se tentamos colocar . Ora, para inteiro positivo, não existe problema algum

. Por outro lado, se então não está definido pois deveríamos ter

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que não existe. Mas ainda, também não está definido pois, por

exemplo, neste caso existe o seguinte problema: , e a divisão

por zero não existe.

Até o momento temos uma definição para para todo expoente inteiro. Agora

queremos definir para expoentes racionais. Esta definição também será dada de modo a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para todos os expoentes

e racionais. Vejamos: se então: .

Portanto é um número positivo que elevado a potência resulta o número

. Daqui segue que .

Neste caso, o número , para racional diferente de zero e não-inteiro, está

definido apenas para . Caso contrário teremos, no conjunto dos números

reais, impossibilidades como por exemplo: . Por esse motivo, a

função exponencial está definida apenas para bases .

Observação: a definição de para irracional é dada por limites: se é

uma seqüência de números racionais convergindo para , definimos como o

limite da seqüência .

Propriedades: para quaisquer números reais e , e todo , temos:

(1)

(2) ,

(3)

(4)

FUNÇÃO EXPONENCIAL: GRÁFICOS

•Se o gráfico da função tem o aspecto da figura abaixo. Nesse

caso, essa função possui as seguintes propriedades:

a função é crescente.

3

.

•Se o gráfico da função tem o aspecto da figura abaixo. Nesse

caso, essa função possui as seguintes propriedades:

a função é decrescente.

.

O NÚMERO DE NAPIER: e

Dentre as várias bases para a função exponencial, existe uma que é mais adequada para o cálculo diferencial e integral. Essa base é o número neperiano , que pode ser interpretado da seguinte maneira.

Vamos analisar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função exponencial

( ) no ponto . As figuras a seguir sugerem que essa inclinação

varia continuamente com o número e que ela aumenta conforme aumentamos o valor de . Nessas figuras estão representados os gráficos das funções

exponenciais de bases , , e além das retas tangentes a

esses gráficos no ponto e o coeficiente angular de cada uma dessas

retas.

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Esse raciocínio sugere que deve existir um valor de tal que o coeficiente angular

da reta tangente ao gráfico da função exponencial no ponto seja

exatamente igual a 1. Esse número realmente existe: ele é o número de Napier, representado pela letra . Pode-se mostrar que esse número é irracional e vale

aproximadamente .

Na figura abaixo temos o gráfico da função exponencial de base além de sua reta

tangente no ponto .

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FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Seja e . Uma vez que a função exponencial é crescente ou

decrescente vemos que para qualquer número existe um, e somente um,

número real tal que . Tal número é o logaritmo de na base . Ele é

representado por . Isso define a função logarítmica de base :

Como vimos, tal função é caracterizada pela equivalência:

.

Propriedades operacionais do logaritmo:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) .

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O LOGARITMO NATURAL OU NEPERIANO

Dentre todas as funções logarítmicas, a de base (o número de Napier) é a mais importante para o cálculo diferencial e integral. Nesse caso, essa função

logarítmica é chamada de “o logaritmo natural” e é denotada por .

Uma vez que a função é a inversa da função , vemos que os

gráficos dessas duas funções são simétricos em relação a reta . No plano cartesiano da figura a seguir, estão representados os gráficos dessas duas funções, além da reta .

Exemplo: Um objeto à 80o C foi colocado em um ambiente cuja temperatura é mantida constante em 24o C. Sabe-se que, ao passar do tempo, a temperatura do objeto decresce e tende a temperatura do meio ambiente. Além disso, sabe-se que a temperatura do objeto no instante de tempo é dada pela expressão

, sendo e constantes que dependem do meio e do objeto.

Entretanto, passados 30 minutos, verificou-se que a temperatura do objeto é de 50o C. Determine em que instante a temperatura do objeto será igual a 30o C.

Observação: chamar a atenção dos alunos para o fato da primeira lista de exercícios conter algumas aplicações importantes de exponencial e logaritmo, tais como: desintegração radioativa e lei de resfriamento de Newton.

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITES

Para motivar a idéia de limites de funções, vamos definir o conceito de reta tangente ao

gráfico de uma função no ponto .

Então seja um ponto sobre o gráfico da função . Agora considere

um outro ponto sobre o gráfico dessa função. A reta que passa pelos

pontos e é chamada de reta secante ao gráfico de (veja ilustração na figura abaixo).

Observe que, intuitivamente , quando mantemos o ponto fixo e aproximamos de

, parece que a reta secante tende a uma certa posição, que é a da reta tangente

ao gráfico de no ponto . Desse modo, ao fazermos tender ao número vemos

que o coeficiente angular da reta secante tende ao coeficiente

angular da reta tangente ao gráfico de no ponto . Assim, se existir o limite da

expressão quando tende ao número , representamos esse limite

por e dizemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto é aquela que

passa por e tem coeficiente angular . Portanto essa reta tem equação

.

Dessa motivação vem a necessidade de entender o significado da expressão:

“o limite de uma função quando tende a um número previamente fixado”.

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LIMITES DE FUNÇÕES: DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

• Definição de limite: dizemos que uma função tem limite quando

tende a um número se, dado existir tal que para

todo tal que . Se esse é o caso escrevemos .

• Definir limites laterais: a direita e a esquerda .

• Exploração do conceito de limite através de gráficos. Exemplo: em cada um dos

gráficos abaixo identificar, caso estejam definidos, , ,

e .

Aproveitar os exemplos acima para interpretar geometricamente o conceito de função contínua. A definição formal desse conceito será apresentada na próxima aula.

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PROPRIEDADES DOS LIMITES

(1)Se existe o estão o valor desse limite é único.

(2)Para quaisquer números e , .

(3)Para qualquer número , .

(4)Para as propriedades de (a) a (h) abaixo, suponhamos que existam e

.

a) . b)

c) . d)

e) . f) , f > 0 e p real.

g) h)

• Conseqüência da propriedade (h): se é uma função limitada, isto é,

para alguma constante e todo de seu domínio e se , então

.

• Exemplos. Caso exista, calcule cada um dos seguintes limites:

a) . b) .

c) . d) .

e) e) .

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

LIMITES NO INFINITO:assíntotas horizontais

• Dizemos que uma função tem limite quando tende a mais infinito se

dado existir tal que para todo . Se esse é o

caso escrevemos .

• Analogamente dizemos que uma função tem limite quando tende a

menos infinito se dado existir tal que para todo

. Se esse é o caso escrevemos .

Obs: em qualquer um dos casos acima, diz-se que a reta é uma assíntota

horizontal ao gráfico de .

Exemplos: (a) . (b) .

(c) . (d) .

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LIMITES INFINITOS:assíntotas verticais

• Dizemos que uma função tem limite infinito quando tende a um

número se para qualquer existir tal que para todo

com . Se esse é o caso escrevemos .

• Analogamente dizemos que uma função tem limite menos infinito quando

tende a um número se para qualquer existir tal que

para todo com . Se esse é o caso escrevemos .

Obs: em qualquer um dos dois casos acima, diz-se que a reta é uma assíntota

vertical ao gráfico de .

• Observar que podemos definir limites laterais infinitos. Exemplos:

e

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CONTINUIDADE

• Dizemos que uma função é contínua no ponto se:

(1) estiver definida em , ou seja, existe ;

(2) existir ;

(3) .

• Também dizemos que uma função é contínua em um intervalo aberto se ela for contínua em todos os pontos desse intervalo. Comentar como isso deve ser interpretado no caso de intervalos fechados .

• Apresentar gráficos de funções contínuas e descontínuas para enriquecer o

entendimento desse conceito.

Exemplo 1: verifique se a função definida a seguir é contínua em .

Exemplo 2: determine constantes e para que a função definida a seguir seja

contínua em .

Propriedades das funções contínuas

(1) Suponhamos que as funções e são contínuas em um intervalo . Então cada

uma das funções listadas no quadro a seguir também é contínua em .

a) isto é, b) , isto é,

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c) , isto é, d) , isto é,

e) , isto é, f) , isto é, ,

e real.

(2) Cada uma das funções listadas a seguir é contínua em todos os pontos do seu domínio: as funções polinomiais, as funções racionais, o seno, o cosseno, a exponencial e o logaritmo.

TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO

Teorema: Seja uma função contínua no intervalo fechado . Se é

um número entre e então existe entre e tal que .

Observação: esse teorema implica o seguinte fato: se é uma função contínua

em um intervalo , e se e possuem sinais diferentes, então existe

entre e tal que .

Exemplo: aplicar o resultado da observação anterior para obter uma aproximação, com

três casas decimais, para uma raiz da equação .

Observação: o próximo tópico poderá ser tratado nas aulas sobre máximos e mínimos e problemas de otimização (aulas teóricas 12 e 13).

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MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS

• O máximo absoluto de uma função em um intervalo é o maior valor possível

de quando variamos em . Analogamente, o mínimo absoluto de uma

função em um intervalo é o menor valor de quando variamos em

.

Teorema: Toda função contínua em um intervalo fechado possui máximo e mínimo absolutos.