MATEMÁTICA - novaconcursos.com.br · Interpretação Geométrica A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico

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Didatismo e Conhecimento 1

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS.

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y=2x+11,5 41,3 3,61,1 3,21,05 3,11,02 3,041,01 3,02

x y=2x+10,5 20,7 2,40,9 2,80,95 2,90,98 2,960,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y

3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.

Propriedades Operatórias

Limite da soma e diferença

Limite do produto

Limite do quociente

Limites Laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou seja:


MATEMÁTICATaxa de variação média

Consideremos a função y = f ( x ), vamos determinar a taxa de variação média no intervalo [ x1 ; x2 ] Calculamos y1 = f ( x1) e y2 = f ( x2). A taxa de variação média igual a razão (y2 - y1) / (x2 - x1)

Interpretação Geométrica

A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Vejamos:

Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se conhecermos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y - f(a) = m (x - a), onde m é o coeficiente angular da reta. Portanto, basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P?

Consideremos um outro ponto arbitrário sobre a curva, Q, cujas coordenadas são (a + ∆x, f(a+ ∆x)). A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva.

Analisemos agora a variação do coeficiente angular da reta secante fazendo Q se aproximar de P, ou seja, tomando ∆x cada vez menor.

Tudo indica que quando P está próximo de Q, o coeficiente angular msec da reta secante deve estar próximo do coeficiente angular m da reta r, ou seja, o coeficiente angular msec tem um limite m quando Q tende para P, que é o coeficiente angular da reta tangente r.

Indicando-se a abscissa do ponto Q por x = a + ∆x (∆x = x - a) e sabendo-se que a abscissa de P é expressa por a, então, se Q → P temos que ∆x → 0, o que é equivalente a x→ a. Assim:

( se este limite existe), é o coeficiente angular da reta tangente r. Porém,

Logo, m = f’(a), ou seja, a derivada de uma função em um ponto, de fato, fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função, neste ponto.

Derivada

A derivada da função f é a f ‘ definida por

Para todo x para o qual o limite exista.

Quando estamos interessados especificamente no valor de uma derivada f’ em x=a, às vezes escrevemos a equação acima na forma


MATEMÁTICANesse caso, diremos que a função é f é diferenciável em

x=a. O processo de determinação da derivada f’ é chamado diferenciação de f.

Outra notação:

Para derivada de funções:

Teorema 1: Derivada de uma constanteSe f(x)=c para todo x, então f’(x)=0

Teorema 2:Regra da Potência para n inteiro e positivoSe n é um inteiro positivo e f(x)=xn, então f’(x)=nxn-1

Exemplo:f(x)=x³+2x²+4x+6f’(x)=3x²+4x+4

Integral

Teorema: a antiderivada mais geralSe f’(x)=f(x) em todo ponto do intervalo aberto I, então toda

antiderivada G de f em I tem a forma

G(x)=F(x)+c

Algumas integrais:

Ou seja, a integral vai ser

2 CÁLCULO NUMÉRICO, PESQUISA DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES,

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO E DE DIFERENCIAÇÃO.

Máximos e Mínimos

A figura abaixo mostra o gráfico de uma função y = f (x), onde assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4.

Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os pontos x1 e x3 são pontos de máximo relativos (ou local), enquanto que f(x1) e f(x3) são valores máximos relativos. Os pontos x2 e x4 são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto que f(x2) e f(x4) são os valores mínimos relativos. Além disso, observamos que f é crescente para x < x1, x ∈ (x2, x3) e x > x4, e decrescente para x ∈ (x1, x2) e x ∈ (x3, x4).

- Teste da derivada de 2.ª ordem

A fim de verificar se um ponto, que anula a derivada primeira de uma função, representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja:

a) deriva-se a função;b) iguala-se a derivada primeira a zero;c) Seja a função duas vezes diferenciável no intervalo aberto I.

(i) se f(x) (segunda derivada) >0 para todo x em I(intervalo), então o gráfico de f possui concavidade para cima em I

(ii) se f(x) <0 para todo x em I, então o gráfico de f possui concavidade para baixo em I.


MATEMÁTICADERIVADAS

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x. a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

Derivada da potência

Soma / Subtração

Derivada do produto

Derivada da divisão

Referências

www.somatematica.com.br

www.brasilescola.com

A Integral Definida para Cálculo de Área

A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x.

Pois, o fi para um dado retângulo é constante.

Integral por Partes

Pelo produto de derivadas, como vimos anteriormente: , de uma forma mais fácil

A derivada do produto pode ser escrita 1ª vezes a derivada da segunda +segunda vezes derivada da primeira

Assim, para a integral:

Exemplo:

Voltando:

Integral por Substituição ou Mudança e Variável

Devemos mudar algumas variáveis para facilitar a integral

Exemplo:

Vamos chamar y=x² e dy=2xdx

Substituindo na integral


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3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS.

Equações DiferenciaisSe y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma

relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que en-volva x, y, y›, y››, ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apre-

senta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a in-cógnita da equação).

CLASSIFICAÇÃO• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): En-

volve derivadas de uma função de uma só variável independente.• • EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve

derivadas parciais de uma função de mais de uma variável inde-pendente.

• ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

y’ = 2x tem ordem 1 e grau 1y”+x2(y’)3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3y”’+x2y3 = x.tanx tem ordem 3 e grau 3

RESOLUÇÃOA solução de uma equação diferencial é uma função que não

contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral) Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por

exemplo, da condição y(-1) = 3 (condição inicial)

3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)

Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conve-niência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,

Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEMFORMA : y’’ + a1 y’ + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)

Ex: y =

Então y’ = e y›› =

Substituindo na equação dada: ou ( ) = 0

0 para todo x, logo devemos ter = 0,

que é uma equação do segundo grau na variável , chamada EQUA-ÇÃO CARACTERÍSTICA.

A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes 1 e 2.

• 1, 2 números reais e distintos C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1

+ C2

• 1 = 2 = (números reais e iguais) a solução geral da EDO é y = C1 + C2x

• 1 = a + bi, 2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) a solução geral é y = C1 + C2

Ex: y’’ - 2y’ - 15y = 0Equação característica: - 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1

= 5, 2= -3 Solução geral: y =


MATEMÁTICAEQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM NUma equação diferencial linear de ordem n é da forma:fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y’’ + f1(x)y’ + f0(x)y = k(x)onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x. CLASSIFICAÇÕES:Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes) de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATASSe P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y

e logo Px = Qx e a equação diferencial é exata. TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de

variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .

Ex:

Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

Pelo teorema:

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:

- 3x² y = x² ou = x² dx = + C

A multiplicação por dá a solução:

Fonte: http://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq2.php


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4 NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA.

Números complexos

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjun-to IC. Sendo que, por exemplo, onúmero real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu va-lor é ( 0, 1), onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).

Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i = Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi.

Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = dConjugado de um número complexo. ( )Se z = a + bi então = a – bi

Teoremas conseqüentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.

Assim temos, z = a + bi , = a – bi e z1 = c + di

Para calcularmos a razão entre z1 e z devemos:

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| =

Pela representação gráfica temos que

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigo-nométrica de um número complexo.

Exemplo: z = iremos representa-lo na forma trigo-nométrica.

Sendo que Onde Assim sua representação na forma trigonométrica é

.

Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/numeros-com-plexos/


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5 ÁLGEBRA LINEAR: ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA,

TRANSFORMAÇÕES LINEARES, MATRIZES E DETERMINANTES, PRODUTO ESCALAR E PRODUTO

VETORIAL.

Álgebra Linear

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA LI-NEAR

Resolver sistemas lineares não é o único propósito da álgebra linear.

Pelo professor Alexandre Stanford

RECIFE, 11 DE OUTUBRO DE 2002.ESPAÇOS VETORIAISAs soluções dos sistemas são vetores com n componentes

que podem ser representados no n-espaço euclidiano, representa-do por Rn.

Como a soma de dois vetores no Rn é ainda um vetor no Rn, como um vetor no Rn multiplicado por um escalar ainda é um vetor no Rn. Dizemos que Rn é FECHADO sobre adição de vetor e multiplicação por escalar.

Exemplo: A solução de é:Forma um conjunto fechado sobre as operações.

ESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)Uma coleção de n vetores é chamada de espaço vetorial se V

é fechado sobre a operação de adição e sobre a multiplicação por escalar.

Obs.: Todo espaço vetorial contém o vetor nulo e o vetor inverso de todo vetor.

Os espaços euclidianos são exemplos de espaços vetoriais.Todo plano no R3 contendo a origem é um espaço vetorial.

Como eles são um subconjunto do R3 é conveniente chamá-los de subespaços do R3.

SUBESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)Um espaço vetorial V é chamado subespaço de W se todo

vetor em V também pertence a W.Obs.: O menor subespaço de um espaço é uma coleção de

um único vetor, a origem. Esse subespaço é chamado de subespa-ço trivial de W. Os outros são chamados não-triviais.

Exemplo: subespaços do R3:1. O próprio R3.2. Planos contendo a origem.3. Retas contendo a origem.4. A origem.

INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOSA interseção de dois subespaços é um subespaço.PROVA:S = S1 ∩ S2

S tem pelo menos um vetor em comum, a origem. Essa é um subespaço.

COMBINAÇÃO LINEARUm vetor b é chamado de uma combinação linear dos veto-

res v1, v2, ... , vn se b pode ser expresso na forma:b = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn, onde os αi’s são escalares.Exemplo 1:

Determine se o vetor b = (-3,12,12) é uma combinação linear dos vetores v1 = (-1,3,1), v2 = (0,2,4) e v3 = (1,0,2).

ou seja:


MATEMÁTICAA pergunta é se o sistema tem solução. Ou seja:

α1 = 2, α2 = 3 e α3 = -1. Como |A| = 6, então o sistema tem uma única solução e a resposta é sim, é uma combinação linear.

Exemplo 2:

Como |A| = 0 e A é quadrada, o sistema não tem solução ou é indeterminado.

Incompatível.Isto é, o vetor (1,5) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (3,2) e (-6,-4).

GERADORGerador do espaço é um conjunto de vetores pelo qual pode-se gerar todos os elementos do espaço.Suponha que v1, v2, ..., vn são vetores em um espaço vetorial V. Diz-se que esses vetores geram V se V consiste de todas as combinações

lineares de v1, v2, ..., vn, isto é, se todo vetor v em V pode ser expresso na forma:v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn, onde os αi’s são escalares.Exemplo 1: Os vetores c1 = (1,0) e c2 = (0,1) geram o R2 desde que todo vetor b em R2 é uma combinação linear de c1 e c2: b = (b1,b2)

= b1 (1,0) + b2 (0,1) = b1c1 + b2c2.Exemplo 2: Quais os vetores geradores do espaço solução do sistema x1 + 2x2 – x3 = 0 ?Solução: x1 = -2x2 + x3, para x2 e x3 quaisquer. O vetor solução seria:(x1, x2, x3) = x2 (-2,1,0) + x3 (1,0,1) ou seja:(-2x2+x3, x2, x3) = (-2x2, x2, 0) + (x3, 0, x3) = x2 (-2,1,0) + x3 (1,0,1)Então os vetores (-2,1,0) e (1,0,1) são os geradores do espaço de soluções do sistema x1 + 2x2 – x3 = 0. Observe que todo solução pode

ser expressa pela combinação linear desses dois vetores.

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEARDiz-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente (L.D.) se é possível expressar um dos vetores, digamos vi, como uma

combinação linear dos outros.vi = α1v1 + α2v2 + ... + αi-1vi-1 + αi+1vi+1 + ... + αnvn, onde αi’s são escalares.O conjunto é linearmente independente (L.I.) se ele não é linearmente dependente.


MATEMÁTICADEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR (TÉCNICA)Os vetores x1, x2, ... , xn são L.D. se for possível encontrar uma combinação linear nula de tais vetores, onde pelo menos um dos coefi-

cientes é não-nulo.Os vetores são L.I. se a única solução para os coeficientes da combinação linear nula for zero, para todo αi.Exemplo: v1 = (-1,2,0,2), v2 = (5,0,1,1), v3 = (8,-6,1,-5) são o quê?α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0

Assim, para α3 arbitrário é possível encontrar valores para α1 e α2 tais que o sistema tenha solução. O sistema é indeterminado, tem infi-nitas soluções. Logo, os vetores são linearmente dependentes.

SISTEMAS HOMOGÊNEOSSão sistemas lineares cujos termos independentes são todos nulos.Um sistema homogêneo sempre tem pelo menos uma solução. A solução onde todas as variáveis são nulas é chamada de solução tri-

vial. Qualquer outra é chamada não-trivial. A solução trivial sempre é solução de um sistema homogêneo.Podemos dizer então que um conjunto de vetores é L.I. se a solução do sistema formado pela combinação linear nula admite como única

solução a solução trivial.

ESPAÇO NULO DE UMA MATRIZSeja uma matriz m x n. Então o subespaço do Rn consistindo de todas as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0 é chamado o

ESPAÇO NULO da matriz A, denotado por N(A).Exemplo 1: O espaço nulo da matriz A = [1 2 1] consiste de todas as soluções da equação x1 + 2x2 + x3 = 0. A solução geral pode ser

expressa assim:x1 = -2x2 – x3x = (-2x2 – x3, x2, x3) ⇒ x = x2 (-2,1,0) + x3 (-1,0,1), com x2 e x3 arbitrários.Assim, o espaço nulo de A consiste de todas as somas de múltiplos dos vetores (-2,1,0) e (-1,0,1).

Exemplo 2: Dada a matriz , determine N(A).

, ou seja, x1 = x3 e x2 = -x3x = (x3, -x3, x3) = x3 (1,-1,1), x3 arbitrário.


MATEMÁTICA

Exemplo 3: Dada a matriz , determine N(A).

,

x1 = 0 e x2 = 0. Solução: N(A) = {0}

Ou mais facilmente, como det(A) = -2 ≠ 0, o sistema é determinado e tem uma única solução. Como o sistema é homogêneo, essa so-lução só poderá ser a trivial. Logo, N(A) = {0}.

BASE E DIMENSÃO

BASEUm conjunto de vetores v1, v2, ... , vn em um espaço vetorial V é chamado de uma base para V se eles são linearmente independentes e

geram V.1. Uma base contém toda a informação necessária sobre V (ela gera V)2. Uma base não contém informação redundante sobre V (os vetores são independentes).Exemplo: {1, x, x2, ... , xn} é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau n – Pn.

Resultado 1:- Qualquer vetor pertencente a V pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores da base, e essa combinação é única.PROVA: A matriz do sistema linear formada pela combinação linear de qualquer vetor é formada pelos vetores da base. Como os veto-

res da base são L.I., o sistema só tem uma solução para cada vetor b.

BASE PADRÃO DO Rn (BASE CANÔNICA)É uma base que tem como coeficientes da combinação linear os valores dos componentes do vetor:

Resultado 2:- Seja V um espaço vetorial gerado por w1, w2, ... , wm. Se v1, v2, ... , vn são vetores independentes em V, então n ≤ m. Isto é, se V é gerado

por um conjunto de m vetores, então nenhum conjunto com mais que m vetores em V pode ser linearmente independente.PROVA: Se os wi’s geram V, eles contêm toda informação relevante sobre V, e qualquer vetor em V pode ser expresso como uma com-

binação linear dos wi’s (única ou não). Assim, qualquer vetor a mais introduz informação redundante e o conjunto torna-se L.D.Teorema: Quaisquer duas bases para um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.

DIMENSÃODiz-se que um espaço vetorial V tem dimensão n (ou que V é n-dimensional) se V tem uma base consistindo de n vetores. A dimensão

de V é denotada por dimV.Teorema: Suponha que V é um espaço vetorial de dimensão n. Então nenhum conjunto com mais de n vetores em V pode ser linear-

mente independente e V não pode ser gerado por um conjunto de vetores com menos de n vetores.“A dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independente em V e também o número mínimo de

vetores necessários para gerar V”.Teorema: Suponha que V é um espaço vetorial de dimensão n e v1, v2, ... , vn é um conjunto de n vetores em V.• Se os vetores são L.I., então formam uma base para V.• Se os vetores geram V, então formam uma base para V.Ou seja, n vetores L.I. em V n-dimensional automaticamente geram o espaço e n vetores que geram um espaço n-dimensional são L.I.


MATEMÁTICARANK DE UMA MATRIZ

Considere uma matriz m x n. Considere que suas linhas são vetores. O maior conjunto de vetores linearmente independentes desses vetores é chamado de Rank de A.

Exemplo 1: Qual é o Rank de ?

O espaço nulo de A, ou seja, Ax = 0, é gerado por:

O Rank de A é dado pelo número de linhas com elementos diferentes de zero. No caso, Rank(A) = 3.

Exemplo 2: Qual o Rank de ?

Reduzindo Ax = 0 tem-se:

Rank(A) = 3


MATEMÁTICAMUDANÇA DE BASEUm mesmo espaço vetorial pode ter várias bases.Exemplo:1: V =R e W = RF : R → R ou F(u) = αuu → αuComo F(u + v) = α(u + v) = αu + αv = F(u) + F(v) e F(ku) = α(ku) = kαu = kF(u). Então F é uma transformação linear.Exemplo 2: F(u) = u2 não é uma transformação linear, pois F(u + v) = (u + v)2 = u2 + 2vu + v2 = F(u) + 2vu + F(v) ≠ F(u) + F(v).

Exemplo 3: T(x,y) = (2x, 0, x + y), T : R2 → R3 ou em forma matricial .

Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)T(u + v) = T[(x1, y1) + (x2, y2)] = T[(x1 + x2), (y1, y2)] T(u + v) = [2(x1, x2), 0, (x1 + x2 + y1 + y2)] = [2x1 + 2x2, 0, x1+ y1 + x2 + y2] = (2x1,

0, x1 + y1) + (2x2, 0, x2 + y2) = T(u) + T(v).

T(ku) = T(kx1,ky1) = (2kx1, 0, kx1 + ky1) = k (2x1, 0, x1 + y1) = k T(u).Logo, T é linear.Exemplo 4: L : R2 → R, L(v) = L(x,y) = 2x + 4 é uma transformação linear?Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2)L(u + v) = L(u1 + v1, u2 + v2) = 2 (u1 + v1) + 4L(u + v) = 2u1 + 2v1 + 4 ≠ L(u) + L(v). Não é linear.Exemplo 5: Seja D : Pn → Pn, onde Pn é um polinômio e D é a aplicação derivada. Pelas propriedades das derivadas, sabe-se que:D(f + g) = D(f) + D(g) e D(kf) = k D(f). Então D é uma transformação linear.

Observações:1. Se T(0) ≠ 0, T não é linear.2. Quando em T : V → W, V = W, então a transformação linear é chamada de Operador Linear.3. Uma matriz Am x n sempre determina uma transformação linear T : Rn → Rm onde T(v) = Av.

IMAGEM E NÚCLEOIMAGEM

NÚCLEO

Propriedades:


MATEMÁTICA

Definição: Seja T : V → W uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores v tais que T(v) = 0 é chamado nú-cleo de T, sendo denotado por Ker(T), N(T) ou C(T).

Exemplo:F(x,y) = x + yC(T) = {(x,y) / x + y = 0} ou x = -y; v = (-1,1) gera o núcleo. O núcleo tem a dimensão de W, nesse caso.

ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOSQuando uma transformação linear T : V → W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, quando a transformação linear é

biunívoca.Em outras palavras, quando a correspondência biunívoca entre dois espaços vetoriais preserva as operações de adição e multiplicação

por escalar, T(v + w) = T(v) + T(w) e T(kv) = k T(v), diz-se que esses espaços são isomorfos.T : V → Wdim N(T) + dim Im(T) = dim VObs: Toda transformação linear pode ser representada por uma matriz.AUTOVALORES E AUTOVETORESÉ uma transformação especial T : V W.• T(v) = λvOnde, λ é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 0).Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:(II) T(v) = AvIgualando (I) e (II), tem-se:Av = λv ou Av – λv = 0 que resulta no sistema homogêneo:(III) (A – λI) v = 0Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).Os vetores v 0 para os quais existe um λ que resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de λ, que

conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,

det(A – λI) = 0 o que resulta em um polinômio de grau n em λ, conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio caracte-rístico são os autovalores da matriz A.

Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado.

Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor.

Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:T : R3 R3, T(x,y,z) = (3x – y + z, -x + 5y + z, x – y + 3z)

Solução:

Em forma matricial:


MATEMÁTICACálculo numérico:

Dividindo por (λ – 2):(λ – 2) (λ2 - 9λ + 18) = 0

Os autovalores são λ1 = 2, λ2 = 6 e λ3 = 3

Para achar os autovetores basta substituir cada um dos autovalores na equação (A – λI) v = 0:

Para λ1 = 2:

.

Escalonando:

Logo, v1 = (x,0,-x) = x (1,0,-1)

Assim, qualquer múltiplo do vetor (1,0,-1) é um autovetor que tem como autovalor associado λ1 = 2, v1 = (1,0,-1)

Para λ2 = 3:

Assim, v2 = (x,x,x) = x (1,1,1).v2 = (1,1,1) ou seus múltiplos.


MATEMÁTICAPara λ3 = 6:

v3 = (z,-2z,z) = z (1,-2,1)v3 = (1,-2,1) ou seus múltiplos.

Observações:1. Se λ é um autovalor de A, o conjunto Sλ de todos os vetores inclusive v nulo, associados a λ, é um subespaço vetorial

(próprio) de V.2. A matriz dos autovetores é chamada MATRIZ MODAL.

FORMAS LINEARES, BILINEARES E QUADRÁTICAS

FORMAS LINEARESSeja V um espaço vetorial real. Uma forma linear é uma transformação linear f: V R.Exemplo 1: função lucro, custo, etc.

Exemplo 2: f: R2 R, f(x,y) = x + y ou

FORMAS BILINEARESSeja V um espaço vetorial real. Uma forma bilinear é uma aplicação B: VxV R definida por :• Para todo w fixo, B(v,w) é uma forma linear em V, isto é,B(v1 + v2, w) = B(v1,w) + B(v2,w) e B(αv,w) = α B(v,w)• Para todo v fixo, B(v,w) é uma forma linear em W.Exemplo 1: p: R x R R, (x,y) p(x,y) = xyVerificando:p(x,y + z) = x(y + z) = xy + xz = p(x,y) + p(x,z)p(ax,y) = axy = a.p(x,y)Como a ordem dos fatores não altera o produto, p é uma forma bilinear.Exemplo 2: B[(x1,y1),(x2,y2)] = x1x2 – 2y1y2B[(x1,y1),(x2,y2) + (x3,y3)] = B[(x1,y1), (x2 + x3,y2 + y3)] = x1(x2 + x3) – 2y1(y2 + y3) = x1x2 – 2y1y2 + x1x3 – 2y1y3 = B[(x1,y1),(x2,y2)] +

B[(x1,y1) + (x3,y3)] e assim por diante.

MATRIZ DE UMA FORMA BILINEARSejam V um espaço vetorial e B: VxV R uma forma bilinear. Dada uma base de V, A = (v1, v2, ... , vn), associa-se a B uma matriz

chamada MATRIZ DA FORMA BILINEAR NA BASE A, a matriz:


MATEMÁTICASe x = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn e y = y1v1 + y2v2 + ... + ynvn a forma bilinear pode ser escrita como:

Exemplo: B(x,y) = -x1y1 + 2y1x2 + 5x2y2. Seja a base C = {(1,0),(0,1)}

Exemplo 2: B: R3 x R3 R, B(x,y) = -2x1y1 + 4x2y1 + 2x2y2 + 2x3y3 na base canônica.

FORMA BILINEAR SIMÉTRICA

Teorema: B é simétrica se e somente se é uma matriz simétrica.

FORMAS QUADRÁTICAS

Seja V um espaço vetorial real e B: VxV R uma forma bilinear simétrica. A função Q: V R definida por Q(v) = B(v,v) é chamada “forma quadrática” associada a B.

Exemplo: Q(x) = x12 – 10x1x2 + x2

2, Q: R2 R.

Exemplo: Q: R3 R, Q(x) = 3x12 + 2x1x2 + 4x2

2 + 5x2x3


MATEMÁTICACLASSIFICAÇÃO DAS FORMAS QUADRÁTICAS DEFINIDAS E SEMIDEFINIDAS

Definição: Seja Q: Rp R uma forma quadrática. Diz que:

Exemplo 1: Q: R2 R, Q(x1,x2) = (x1,x2)2

Q(x1,x2) = x12 + 2x1x2 + x2

2 é positiva semidefinida, pois Q(x1,x2) > 0 se x1 ≠ -x2 e Q(x1,x2) = 0 se x1 = -x2.Exemplo 2: Q(x1,x2) = x1

2 + x22 é positiva definida

Q(x) > 0, para todo x ≠ 0.Exemplo 3: Q(x1,x2) = x1

2 – x22 é indefinida, pois, Q(0,1) = -1 < 0 e Q(1,0) = 1 > 0.

Pode-se classificar as formas quadráticas pelos autovalores da matriz associada.

CLASSIFICAÇÃO POR AUTOVALORES

Seja Q uma forma quadrática e a matriz associada a Q, e sejam λ1, λ2, ... , λn os n autovalores de , então:

Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAxbYAK/conceitos-fundamentais-algebra-linear?part=5


MATEMÁTICA

6 ÁLGEBRA.

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

(uma visão geral)

Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart Estranha e intrigante é a origem da palavra “álgebra”. Ela não

se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra “aritmética”, que deriva do grego arithmos («número»). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes translitera-da al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-mu-qabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemáti-co árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequên-cia citado, abreviadamente, como Al-jabr.

Uma tradução literal do título completo do livro é a “ciência

da restauração (ou reunião) e redução”, mas matematicamente se-ria melhor “ciência da transposição e cancelamento”- ou, confor-me Boher, “a transposição de termos subtraídos para o outro mem-bro da equação” e “o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação”. Assim, dada a equação:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3

al-jabr fornecex2 + 7x + 4 = 4 + 5x3

e al-muqabalah fornecex2 + 7x = 5x3

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente “a ciência das equações”.

Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a pa-lavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:

(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e mé-todos de resolvê-las.

(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas mate-máticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.

De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto crono-lógica como conceitual.

Equações algébricas e notação A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C.

a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gra-dual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coe-ficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução “geral” das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).

O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), osincopado (no qual eram usa-das abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de sím-bolos. Por exemplo, os americanos escrevem “3.1416” como apro-ximação de Pi, e muitos europeus escrevem “3,1416”. Em alguns países europeus, o símbolo “÷” significa “menos”. Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilus-trar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilô-nica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesi-mal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspon-dentes em notação moderna. Eis o exemplo:

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por lar-

gura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área. x+y=kxy=P } ... (A)

[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.

[4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16]. k/2

16 x 16 = 256 (k/2)2

256 - 252 = 4 (k/2)2 - P = t2 } ... (B)

A raiz quadrada de 4 é 2.

16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.16 - 2 = 14 largura (k/2) - t = y.[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura.18 x 14 = 252 área

((k/2)+t) ((k/2)-t)= (k2/4) - t2 = P = xy.

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a resposta é testada.

A “receita” acima é usada repetidamente em problemas seme-lhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões.

Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles conce-biam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fa-zendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.


MATEMÁTICAEntão o produtoxy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)2 - t2 = Plevava-os à relação (B):(k/2)2 - P = t2

Em segundo lugar, o problema acima tem significado históri-co porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Eu-clides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, tam-bém usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações “diofantinas”. Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.

Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Kho-warizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.

Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, in-clusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.

Álgebra no Egito A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Ba-

bilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egíp-cios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome um tanto abstruso de “regra da falsa posição”. A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.

O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de so-fisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilô-nios de resolução de equações.

Álgebra geométrica grega A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e

por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresenta-do na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Ele-mentos, livro II, proposição 4:

Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o qua-drado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas par-tes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém. [Isto é, (a+b)2= a2 + 2ab + b2.]

Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Eucli-des, a2 era realmente um quadrado.

Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de re-solução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma ver-

são simplificada):Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo

dessa linha um retângulo com uma dada área[xy = P], admitin-do que o retângulo “fique aquém” em AB por uma quantidade “preenchida” por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de

Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do pro-blema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

Bissecte AB em M: k/2Construa o quadrado MBCD: (k/2)2

Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:

t2 = (k/2)2 - P

Então é claro que y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.


MATEMÁTICAÉ de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão ba-

bilônicos tenham sido «refeitos» desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formu-lação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de con-tornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o “escândalo lógico” dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é in-comensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).

Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser ex-presso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representa-do como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que

aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.

A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação ro-mana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. De-vido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia so-breviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de ideias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.

Álgebra na EuropaA álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci

e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.

A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:

1. facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;

2. invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunica-ções, baseada em ampla distribuição;

3. ressurgimento da economia, sustentando a atividade in-telectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o inter-câmbio de ideias tanto quanto de bens.

Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/algebra.php.

7 TEORIA DOS NÚMEROS.

Teoria dos números.

A teoria dos números é o estudo dos números naturais ou inteiros positivos 1, 2, 3, 4,... e suas propriedades. O matemático Leopold Kronecker certa vez observou que, ao se tratar de mate-mática, Deus criou os números naturais e o resto é obra da huma-nidade. Contudo, os inteiros positivos representam, sem sombra de dúvida, a primeira criação matemática humana, e é difícil imaginar a humanidade destituída da habilidade de contar.

Embora os números naturais constituam, em um certo sentido, o sistema matemático mais elementar, o estudo de suas proprieda-des tem exercido grande fascínio na mente humana desde as mais remotas épocas da antiguidade, desafiando inúmeras gerações de matemáticos e leigos, que apreciam os seus enunciados simples e intrigantes, cujas demonstrações estão além de qualquer simplici-dade.

Dentre os tesouros do antigo Egito se encontra o papiro Rhind descrevendo a matemática praticada no Egito há aproximadamente 2000 anos a.C.. Registros históricos mostram que os sumérios de-senvolveram algum tipo de aritmética pois, por volta de 3500 a.C., possuíam um calendário e, por volta de 2500 a.C., desenvolveram um sistema numérico utilizando o número 60 como base. Os ba-bilônios seguiram essa tradição e se tornaram exímios calculistas; tábuas de barro da Babilônia, datando de 2000 a.C., foram encon-tradas com elaboradas tabelas matemáticas. Ao final do terceiro milênio a.C. tábuas cuneiformes da Mesopotâmia mostravam que a Aritmética já era bastante sofisticada.

Os números foram utilizados nas transações comerciais por mais de 2000 anos até que se pensasse em estudá-los de forma sistemática. A primeira abordagem científica ao estudo dos núme-ros inteiros, isto é, a verdadeira origem da teoria dos números, é geralmente atribuída aos gregos. Por volta de 600 a.C. Pitágoras e seus discípulos fizeram vários estudos interessantes. Eles foram os primeiros a classificar os inteiros de várias maneiras: números pares, ímpares, primos, etc..

Na verdade não são exatamente os números naturais que exercem fascínio estético, místico e prático, mas as relações que eles estabelecem entre si. É dentro dessas relações profundas e su-tis que se encontra a beleza, encanto e fascínio que os números exercem através das gerações.

A teoria dos números é a área da matemática cujo obje-tivo é descobrir e estabelecer as relações profundas e sutis que números de tipos diferentes guardam entre si. Por exemplo, considere os quadrados dos números naturais 1, 4, 9, 16, 25,... . Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente ob-teremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais famoso é: , mas existem outros exemplos:

, , e muitos outros. As ternas deste tipo, (3, 4, 5), (5, 12, 13), (20, 21, 29), são denomina-das ternas pitagóricas. Por outro lado não é um quadrado. Portanto seguem questões como “Existem infinitas ter-nas pitagóricas?” e “ Se a resposta for positiva, poderemos en-contrar uma fórmula que as descrevam em sua totalidade?”. Esses são alguns dos tipos de questões que a teoria dos números in-vestiga.


MATEMÁTICA A teoria dos números é povoada por uma variedade enorme

de objetos: números primos, quadrados, ímpares e perfeitos; con-juntos dos números racionais, algébricos, e transcendentes, algu-mas funções analíticas bastante específicas tais como séries de Dirichlet e formas modulares; equações tais como a de Fermat e de Pell, curvas elípticas, códigos, alguns objetos geométricos tais como reticulados, feixes sobre Z e muitos outros que encontrare-mos em nossa jornada através da teoria dos números.

Fonte:http://www.somatematica.com.br/coluna/gise-le/25052001.php

8 GEOMETRIA.

A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa ideia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.

Reta, semirreta e segmento de reta

Definições.

a) Segmentos congruentes.Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.

b) Ponto médio de um segmento.Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao

segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.

c) Mediatriz de um segmento.É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

Ângulo

Definições.

a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem.

b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida.

c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

Perímetro: entendendo o que é perímetro.

Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento.

Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?

A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:

P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1P = 26 – 1P = 25

Colocaríamos 25m de rodapé.A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.

Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície

(gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma

malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:


MATEMÁTICA

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Retângulo É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes

e iguais a 90º.

No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm² Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h

Quadrado É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os

ângulos internos a congruentes (90º).

Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .A= ²


MATEMÁTICATrapézio É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um

trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.

Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases.

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula:

A = b . h (b = base e h = altura). 2 Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais

importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:

Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).

Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF:

A∆1 = B . h 2

Cálculo da área do ∆CFD:

A∆2 = b . h 2

Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:

AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h 2 2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi- 2 dência, pois é um termo comum aos dois fatores.

AT = h (B + b) 2

Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h (B + b) 2

h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio


MATEMÁTICALosango

É o quadrilátero que tem os lados congruentes.

Em todo losango as diagonais são:

a) perpendiculares entre si;

b) bissetrizes dos ângulos internos.

A área do losango é definida pela seguinte fórmula:

.2

d DS = Onde D é a diagonal maior e d é a menor.

Triângulo

Figura geométrica plana com três lados.

Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados:- triângulo equilátero.- triângulo isósceles.- triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos:- triângulo retângulo.- triângulo obtusângulo.- triângulo acutângulo.

Propriedades dos triângulos

1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.

Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.


MATEMÁTICAÁrea do triangulo

Segmentos proporcionais

Teorema de Tales.

Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.

Semelhança de triângulos

Definição.Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois

congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.

Definição mais “popular”.Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a

ampliação do outro. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a

proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.

Exercícios

1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos parale-logramos?

2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?

3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medi-das da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?

4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?

5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR, pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:

a)5 b)6 c)7 d)8

6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:

Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:a) as dimensões do cartão;b) o comprimento do vinco AC


MATEMÁTICA7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6.

A medida de AE é:

a)6/5 b)7/4 c)9/5 d)3/2 e)5/4

8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta va-lem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB

a)3b)4c)5d)6e)7

9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 pe-ças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala tem 36m², determine:

a) a área de cada peça, em m².b) o perímetro de cada peça, em metros.

10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é:

a)6b)4c)3d)2e) 3

Respostas

1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1

2. Segundo o enunciado temos:l=5mm

Substituindo na fórmula:

² 3 5² 3 6,25 3 10,84 4

lS S S= ⇒ = = ⇒ =

3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:h=10b=20

Substituindo na fórmula:

. 20.10 100 ² 2 ²üüü= = = =

4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que en-volve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

d1=10d2=15

Utilizando na fórmula temos:

1. 2 10.15 75 ²2 2

d dS cm= ⇒ =

5. 4 6 36 69 6

PRPR

= ⇒ = =

6. 9 ² 144 1216

) 12( );2 24( )

) 9² ² 81 144 15

x x xx

a x altura x comprimento

b AC x

= ⇒ = ⇒ =

= =

= + = + =

7.

8.


MATEMÁTICA9.

10.

9 GEOMETRIA DIFERENCIAL.

HistóriaA Geometria Diferencial, originada da junção do Cálculo com

a Geometria, nasceu, de certo modo, como uma ciência aplica-da, principalmente em questões originadas da cartografia, de onde herdou parte de sua terminologia inicial. Posteriormente passou a ser de grande utilidade na Astronomia e na Engenharia. Embora o Cálculo fosse suficiente para o entendimento e a aplicação das leis de Newton, não o foi para a Teoria da Relatividade que nasceu sobre os alicerces do conhecimento estabelecido pela Geometria Diferencial. A interação entre a Geometria Diferencial e a Análise tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. No espírito da Geometria Analítica de Descartes, questões profundas de Análise têm sido resolvidas através da Geometria e vice-versa. Todo um capítulo, extremamente atual e de grande potencial para aplicações, das equações diferenciais parciais não-lineares, foi de-senvolvido sob a inspiração de questões geométricas. A computa-ção gráfica esta começando a demonstrar que a Geometria Dife-rencial estará proximamente presente e acessível para um público bem mais amplo, quer na área científica, quer na área empresarial, fornecendo a interface gráfica adequada à apresentação de resulta-dos, ao desenvolvimento de novas tecnologias e ao planejamento de novos produtos.

Intrínseco versus extrínsecoInicialmente e até a metade do século XIX, a geometria di-

ferencial era vista de uma maneria extrínseca: curvas, superfícies eram consideradas dentro de um espaço euclidiano de dimensão maior (um plano em um espaço tridimensional, por exemplo). Co-meçando com o trabalho de Riemann, a maneira intrínseca de se tratar a geometria foi desenvolvida, na qual não se pode ‘sair’ do objeto geométrico.

A forma intrínseca é mais flexível, por exemplo na relativi-dade onde o espaço-tempo não podem ser naturalmente tratados extrinsecamente. É mais difícil de se definir curvatura do ponto de vista intrínseco, e outras estruturas como conexão, então há um preço a ser pago.

Essas duas maneiras diferentes de tratamento podem ser con-ciliadas, por exemplo a geometria extrínseca pode ser considerada como uma estrutura adicional à intrínseca.

Fonte: http://www.ensinoeinformacao.com/#!geometria-dife-rencial/c17gk

10 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA.

Probabilidade

Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:

Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.

Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S).

Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.

Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:

- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6}

C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois


MATEMÁTICAPropriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 -

P(A).

Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

União de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

A

BS

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Eventos Mutuamente Exclusivos

A

BS

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A

B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Eventos Exaustivos

Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

Probabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).

Veja:

Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)


MATEMÁTICAIntersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes

o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A.

- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k

QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

(A) (B) (C) (D) (E)

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

(A) (B) (C) (D) (E)

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%

06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:

(A) 42%(B) 45%(C) 46%(D) 48%(E) 50%


MATEMÁTICA08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B

são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:

(A) 0,5(B) 5/7(C) 0,6(D) 7/15(E) 0,7

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

(A) (B) (C) (D) (E)

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

(A) 1 (B) (C) (D) (E)

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.

Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =

04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que

a1 = 10an = 500r = 10

Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n =

41 e p(A B) = 41/500

Por fim, p(A.B) =

06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1,

V2, V3 as vermelhas.Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(A B) = P(A) + P(B) =

07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os

seguintes eventos:(A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

Assim, temos:P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30P (A B) = 0,28 + 0,18P (A B) = 0,46P (A B) = 46%

08. Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e

como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.


MATEMÁTICA09. Representando por a

probabilidade pedida, temos: =

=

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:

I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.

II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.

A probabilidade de isso ocorrer é:

ESTATÍSTICA.

A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de decisão em diversos campos: científico, econômico, social, político…

Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para to-madas de decisão, há que proceder a um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens.

Existem indícios que há 300 mil anos a.C. já se faziam censos na China, Babilônia e no Egito. Censos estes que se destinavam à taxação de impostos.

Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso quotidiano, precisamos tomar deci-sões, muitas vezes decisões rápidas.

Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através da análise dos dados que possuímos.

Em Estatística, um resultado é significante, portanto, tem significância estatística, se for improvável que tenha ocorrido por acaso (que em estatística e probabilidade é tratado pelo conceito de chance), caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira, mas não sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. A expressão teste de significância foi cunhada por Ronald Fisher.

Mais concretamente, no teste de hipóteses com base em fre-quência estatística, a significância de um teste é a probabilidade máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma decisão conhecida como erro de tipo I). O nível de signi-ficância de um resultado é também chamado de α e não deve ser confundido com o valor p (p-value).

Por exemplo, podemos escolher um nível de significância de, digamos, 5%, e calcular um valor crítico de um parâmetro (por exemplo a média) de modo que a probabilidade de ela exceder esse valor, dada a verdade da hipótese nulo, ser 5%. Se o valor estatístico calculado (ou seja, o nível de 5% de significância an-teriormente escolhido) exceder o valor crítico, então é significante “ao nível de 5%”.

Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é me-nor, o valor é menos provavelmente um extremo em relação ao valor crítico. Deste modo, um resultado que é “significante ao nível de 1%” é mais significante do que um resultado que é significante “ao nível de 5%”. No entanto, um teste ao nível de 1% é mais suscep-tível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e por isso terá menos poder estatístico.

Ao divisar um teste de hipóteses, o técnico deverá tentar maxi-mizar o poder de uma dada significância, mas ultimamente tem de reconhecer que o melhor resultado que se pode obter é um compro-misso entre significância e poder, em outras palavras, entre os erros de tipo I e tipo II.

É importante ressaltar que os valores p Fisherianos são filoso-ficamente diferentes dos erros de tipo I de Neyman-Pearson. Esta confusão é infelizmente propagada por muitos livros de estatística.

Divisão da Estatística:

- Estatística Descritiva: Média (Aritmética, Geométrica, Har-mônica, Ponderada) - Mediana - Moda - Variância - Desvio padrão - Coeficiente de variação.

- Inferência Estatística: Testes de hipóteses - Significância - Potência - Hipótese nula/Hipótese alternativa - Erro de tipo I - Erro de tipo II - Teste T - Teste Z - Distribuição t de Student - Normaliza-ção - Valor p - Análise de variância.

- Estatística Não-Paramétrica: Teste Binomial - Teste Qui-quadrado (uma amostra, duas amostras independentes, k amostras independentes) - Teste Kolmogorov-Smirnov (uma amostra, duas amostras independentes) - Teste de McNemar - Teste dos Sinais - Teste de Wilcoxon - Teste de Walsh - Teste Exata de Fisher - Teste Q de Cochran - Teste de Kruskal-Wallis - Teste de Friedman.

- Análise da Sobrevivência: Função de sobrevivência - Kaplan-Meier - Teste log-rank - Taxa de falha - Proportional hazards models.

- Amostragem: Amostragem aleatória simples (com reposição, sem reposição) - Amostragem estratificada - Amostragem por con-glomerados - Amostragem sistemática - estimador razão - estimador regressão.

- Distribuição de Probabilidade: Normal - De Pareto - De Pois-son - De Bernoulli - Hipergeométrica - Binomial - Binomial negati-va - Gama - Beta - t de Student - F-Snedecor.

- Correlação: Variável de confusão - Coeficiente de correlação de Pearson - Coeficiente de correlação de postos de Spearman - Coe-ficiente de correlação tau de Kendall).

Regressão: Regressão linear - Regressão não-linear - Regressão logística - Método dos mínimos quadrados - Modelos Lineares Ge-neralizados - Modelos para Dados Longitudinais.

- Análise Multivariada: Distribuição normal multivariada - Componentes principais - Análise fatorial - Análise discriminante - Análise de “Cluster” (Análise de agrupamento) - Análise de Cor-respondência.

- Séries Temporais: Modelos para séries temporais - Tendência e sazonalidade - Modelos de suavização exponencial - ARIMA - Modelos sazonais.


MATEMÁTICAPanorama Geral:

Variáveis: São características que são medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa. Diferem em muitos aspectos, principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na forma como podem ser medidas.

Pesquisa “Correlacional” X Pesquisa “Experimental”: A

maioria das pesquisas empíricas pertencem claramente a uma des-sas duas categorias gerais: em uma pesquisa correlacional (Levan-tamento) o pesquisador não influencia (ou tenta não influenciar) nenhuma variável, mas apenas as mede e procura por relações (correlações) entre elas, como pressão sangüínea e nível de coles-terol. Em uma pesquisa experimental (Experimento) o pesquisador manipula algumas variáveis e então mede os efeitos desta manipu-lação em outras variáveis; por exemplo, aumentar artificialmente a pressão sangüínea e registrar o nível de colesterol. A análise dos dados em uma pesquisa experimental também calcula “correla-ções” entre variáveis, especificamente entre aquelas manipuladas e as que foram afetadas pela manipulação. Entretanto, os dados ex-perimentais podem demonstrar conclusivamente relações causais (causa e efeito) entre variáveis. Por exemplo, se o pesquisador des-cobrir que sempre que muda a variável A então a variável B tam-bém muda, então ele poderá concluir que A “influencia” B. Dados de uma pesquisa correlacional podem ser apenas “interpretados” em termos causais com base em outras teorias (não estatísticas) que o pesquisador conheça, mas não podem ser conclusivamente provar causalidade.

Variáveis dependentes e variáveis independentes: Variá-

veis independentes são aquelas que são manipuladas enquanto que variáveis dependentes são apenas medidas ou registradas. Esta distinção confunde muitas pessoas que dizem que “todas variáveis dependem de alguma coisa”. Entretanto, uma vez que se esteja acostumado a esta distinção ela se torna indispensável. Os termos variável dependente e independente aplicam-se principalmente à pesquisa experimental, onde algumas variáveis são manipuladas, e, neste sentido, são “independentes” dos padrões de reação ini-cial, intenções e características dos sujeitos da pesquisa (unidades experimentais).Espera-se que outras variáveis sejam “dependen-tes” da manipulação ou das condições experimentais. Ou seja, elas dependem “do que os sujeitos farão” em resposta. Contrariando um pouco a natureza da distinção, esses termos também são usa-dos em estudos em que não se manipulam variáveis independen-tes, literalmente falando, mas apenas se designam sujeitos a “gru-pos experimentais” baseados em propriedades pré-existentes dos próprios sujeitos. Por exemplo, se em uma pesquisa compara-se a contagem de células brancas (White Cell Count em inglês, WCC) de homens e mulheres, sexo pode ser chamada de variável inde-pendente e WCC de variável dependente.

Níveis de Mensuração: As variáveis diferem em “quão bem”

elas podem ser medidas, isto é, em quanta informação seu nível de mensuração pode prover. Há obviamente algum erro em cada medida, o que determina o “montante de informação” que se pode obter, mas basicamente o fator que determina a quantidade de in-formação que uma variável pode prover é o seu tipo de nível de mensuração. Sob este prisma as variáveis são classificadas como nominais, ordinais e intervalares.

- Variáveis nominais permitem apenas classificação qualita-tiva. Ou seja, elas podem ser medidas apenas em termos de quais itens pertencem a diferentes categorias, mas não se pode quanti-ficar nem mesmo ordenar tais categorias. Por exemplo, pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles “tem mais” da qualidade representada pela variável. Exemplos típicos de va-riáveis nominais são sexo, raça, cidade, etc.

- Variáveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em termos de qual tem menos e qual tem mais da qualidade represen-tada pela variável, mas ainda não permitem que se diga “o quanto mais”. Um exemplo típico de uma variável ordinal é o status só-cio-econômico das famílias residentes em uma localidade: sabe-se que média-alta é mais “alta” do que média, mas não se pode dizer, por exemplo, que é 18% mais alta. A própria distinção en-tre mensuração nominal, ordinal e intervalar representa um bom exemplo de uma variável ordinal: pode-se dizer que uma medida nominal provê menos informação do que uma medida ordinal, mas não se pode dizer “quanto menos” ou como esta diferença se compara à diferença entre mensuração ordinal e intervalar.

- Variáveis intervalares permitem não apenas ordenar em pos-tos os itens que estão sendo medidos, mas também quantificar e comparar o tamanho das diferenças entre eles. Por exemplo, temperatura, medida em graus Celsius constitui uma variável in-tervalar. Pode-se dizer que a temperatura de 40C é maior do que 30C e que um aumento de 20C para 40C é duas vezes maior do que um aumento de 30C para 40C.

Relações entre variáveis: Duas ou mais variáveis quaisquer

estão relacionadas se em uma amostra de observações os valores dessas variáveis são distribuídos de forma consistente. Em outras palavras, as variáveis estão relacionadas se seus valores corres-pondem sistematicamente uns aos outros para aquela amostra de observações. Por exemplo, sexo e WCC seriam relacionados se a maioria dos homens tivesse alta WCC e a maioria das mulheres baixa WCC, ou vice-versa; altura é relacionada ao peso porque tipicamente indivíduos altos são mais pesados do que indivíduos baixos; Q.I. está relacionado ao número de erros em um teste se pessoas com Q.I.’s mais altos cometem menos erros.

Importância das relações entre variáveis: Geralmente o

objetivo principal de toda pesquisa ou análise científica é encon-trar relações entre variáveis. A filosofia da ciência ensina que não há outro meio de representar “significado” exceto em termos de relações entre quantidades ou qualidades, e ambos os casos envol-vem relações entre variáveis. Assim, o avanço da ciência sempre tem que envolver a descoberta de novas relações entre variáveis. Em pesquisas correlacionais a medida destas relações é feita de forma bastante direta, bem como nas pesquisas experimentais. Por exemplo, o experimento já mencionado de comparar WCC em homens e mulheres pode ser descrito como procura de uma correlação entre 2 variáveis: sexo e WCC. A Estatística nada mais faz do que auxiliar na avaliação de relações entre variáveis.

Aspectos básicos da relação entre variáveis: As duas pro-

priedades formais mais elementares de qualquer relação entre va-riáveis são a magnitude (“tamanho”) e a confiabilidade da relação.


MATEMÁTICA- Magnitude é muito mais fácil de entender e medir do que a

confiabilidade. Por exemplo, se cada homem em nossa amostra tem um WCC maior do que o de qualquer mulher da amostra, poderia-se dizer que a magnitude da relação entre as duas variáveis (sexo e WCC) é muito alta em nossa amostra. Em outras palavras, poderia-se prever uma baseada na outra (ao menos na amostra em questão).

- Confiabilidade é um conceito muito menos intuitivo, mas extremamente importante. Relaciona-se à “representatividade” do resultado encontrado em uma amostra específica de toda a popu-lação. Em outras palavras, diz quão provável será encontrar uma relação similar se o experimento fosse feito com outras amostras retiradas da mesma população, lembrando que o maior interesse está na população. O interesse na amostra reside na informação que ela pode prover sobre a população. Se o estudo atender certos critérios específicos (que serão mencionados posteriormente) então a confia-bilidade de uma relação observada entre variáveis na amostra pode ser estimada quantitativamente e representada usando uma medida padrão (chamada tecnicamente de nível-p ou nível de significância estatística).

Significância Estatística (nível-p): A significância estatísti-ca de um resultado é uma medida estimada do grau em que este resultado é “verdadeiro” (no sentido de que seja realmente o que ocorre na população, ou seja no sentido de “representatividade da população”). Mais tecnicamente, o valor do nível-p representa um índice decrescente da confiabilidade de um resultado. Quanto mais alto o nível-p, menos se pode acreditar que a relação observada entre as variáveis na amostra é um indicador confiável da relação entre as respectivas variáveis na população. Especificamente, o nível-p representa a probabilidade de erro envolvida em aceitar o resultado observado como válido, isto é, como “representativo da população”. Por exemplo, um nível-p de 0,05 (1/20) indica que há 5% de proba-bilidade de que a relação entre as variáveis, encontrada na amostra, seja um “acaso feliz”. Em outras palavras, assumindo que não haja relação entre aquelas variáveis na população, e o experimento de in-teresse seja repetido várias vezes, poderia-se esperar que em aproxi-madamente 20 realizações do experimento haveria apenas uma em que a relação entre as variáveis em questão seria igual ou mais forte do que a que foi observada naquela amostra anterior. Em muitas áreas de pesquisa, o nível-p de 0,05 é costumeiramente tratado como um “limite aceitável” de erro.

Como determinar que um resultado é “realmente” signifi-cante: Não há meio de evitar arbitrariedade na decisão final de qual nível de significância será tratado como realmente “significante”. Ou seja, a seleção de um nível de significância acima do qual os resultados serão rejeitados como inválidos é arbitrária. Na prática, a decisão final depende usualmente de: se o resultado foi previsto a priori ou apenas a posteriori no curso de muitas análises e com-parações efetuadas no conjunto de dados; no total de evidências consistentes do conjunto de dados; e nas “tradições” existentes na área particular de pesquisa. Tipicamente, em muitas ciências resul-tados que atingem nível-p 0,05 são considerados estatisticamente significantes, mas este nível ainda envolve uma probabilidade de erro razoável (5%). Resultados com um nível-p 0,01 são comumente considerados estatisticamente significantes, e com nível-p 0,005 ou nível-p 0,001 são freqüentemente chamados “altamente” significan-tes. Estas classificações, porém, são convenções arbitrárias e apenas informalmente baseadas em experiência geral de pesquisa. Uma conseqüência óbvia é que um resultado considerado significante a 0,05, por exemplo, pode não sê-lo a 0,01.

Significância estatística e o número de análises realizadas: Desnecessário dizer quanto mais análises sejam realizadas em um conjunto de dados, mais os resultados atingirão “por acaso” o nível de significância convencionado. Por exemplo, ao calcular corre-lações entre dez variáveis (45 diferentes coeficientes de correla-ção), seria razoável esperar encontrar por acaso que cerca de dois (um em cada 20) coeficientes de correlação são significantes ao nível-p 0,05, mesmo que os valores das variáveis sejam totalmente aleatórios, e aquelas variáveis não se correlacionem na população. Alguns métodos estatísticos que envolvem muitas comparações, e portanto uma boa chance para tais erros, incluem alguma “cor-reção” ou ajuste para o número total de comparações. Entretanto, muitos métodos estatísticos (especialmente análises exploratórias simples de dados) não oferecem nenhum remédio direto para este problema. Cabe então ao pesquisador avaliar cuidadosamente a confiabilidade de descobertas não esperadas.

Força X Confiabilidade de uma relação entre variáveis: Foi dito anteriormente que força (magnitude) e confiabilidade são dois aspectos diferentes dos relacionamentos entre variáveis. Con-tudo, eles não são totalmente independentes. Em geral, em uma amostra de um certo tamanho quanto maior a magnitude da relação entre variáveis, mais confiável a relação.

Assumindo que não há relação entre as variáveis na popula-ção, o resultado mais provável deveria ser também não encontrar relação entre as mesmas variáveis na amostra da pesquisa. Assim, quanto mais forte a relação encontrada na amostra menos provável é a não existência da relação correspondente na população. En-tão a magnitude e a significância de uma relação aparentam estar fortemente relacionadas, e seria possível calcular a significância a partir da magnitude e vice-versa. Entretanto, isso é válido apenas se o tamanho da amostra é mantido constante, porque uma relação de certa força poderia ser tanto altamente significante ou não sig-nificante de todo dependendo do tamanho da amostra.

Por que a significância de uma relação entre variáveis de-pende do tamanho da amostra: Se há muito poucas observações então há também poucas possibilidades de combinação dos valo-res das variáveis, e então a probabilidade de obter por acaso uma combinação desses valores que indique uma forte relação é relati-vamente alta. Considere-se o seguinte exemplo:

Há interesse em duas variáveis (sexo: homem, mulher; WCC: alta, baixa) e há apenas quatro sujeitos na amostra (2 homens e 2 mulheres). A probabilidade de se encontrar, puramente por aca-so, uma relação de 100% entre as duas variáveis pode ser tão alta quanto 1/8. Explicando, há uma chance em oito de que os dois homens tenham alta WCC e que as duas mulheres tenham baixa WCC, ou vice-versa, mesmo que tal relação não exista na popula-ção. Agora considere-se a probabilidade de obter tal resultado por acaso se a amostra consistisse de 100 sujeitos: a probabilidade de obter aquele resultado por acaso seria praticamente zero.

Observando um exemplo mais geral. Imagine-se uma popu-lação teórica em que a média de WCC em homens e mulheres é exatamente a mesma. Supondo um experimento em que se reti-ram pares de amostras (homens e mulheres) de um certo tamanho da população e calcula-se a diferença entre a média de WCC em cada par de amostras (supor ainda que o experimento será repetido várias vezes). Na maioria dos experimento os resultados das dife-renças serão próximos de zero. Contudo, de vez em quando, um par de amostra apresentará uma diferença entre homens e mulhe-


MATEMÁTICAres consideravelmente diferente de zero. Com que freqüência isso acontece? Quanto menor a amostra em cada experimento maior a probabilidade de obter esses resultados errôneos, que, neste caso, indicariam a existência de uma relação entre sexo e WCC obtida de uma população em que tal relação não existe. Observe-se mais um exemplo (“razão meninos para meninas”, Nisbett et al., 1987):

Há dois hospitais: no primeiro nascem 120 bebês a cada dia e no outro apenas 12. Em média a razão de meninos para meninas nascidos a cada dia em cada hospital é de 50/50. Contudo, certo dia, em um dos hospitais nasceram duas vezes mais meninas do que meninos. Em que hospital isso provavelmente aconteceu? A resposta é óbvia para um estatístico, mas não tão óbvia para os leigos: é muito mais provável que tal fato tenha ocorrido no hos-pital menor. A razão para isso é que a probabilidade de um desvio aleatório da média da população aumenta com a diminuição do tamanho da amostra (e diminui com o aumento do tamanho da amostra).

Por que pequenas relações podem ser provadas como significantes apenas por grandes amostras: Os exemplos dos parágrafos anteriores indicam que se um relacionamento entre as variáveis em questão (na população) é pequeno, então não há meio de identificar tal relação em um estudo a não ser que a amostra seja correspondentemente grande. Mesmo que a amostra seja de fato “perfeitamente representativa” da população o efeito não será esta-tisticamente significante se a amostra for pequena. Analogamente, se a relação em questão é muito grande na população então poderá ser constatada como altamente significante mesmo em um estudo baseado em uma pequena amostra. Mais um exemplo:

Se uma moeda é ligeiramente viciada, de tal forma que quan-do lançada é ligeiramente mais provável que ocorram caras do que coroas (por exemplo uma proporção 60% para 40%). Então dez lançamentos não seriam suficientes para convencer alguém de que a moeda é viciada, mesmo que o resultado obtido (6 caras e 4 co-roas) seja perfeitamente representativo do viesamento da moeda. Entretanto, dez lançamentos não são suficientes para provar nada? Não, se o efeito em questão for grande o bastante, os dez lança-mentos serão suficientes. Por exemplo, imagine-se que a moeda seja tão viciada que não importe como venha a ser lançada o resul-tado será cara. Se tal moeda fosse lançada dez vezes, e cada lança-mento produzisse caras, muitas pessoas considerariam isso prova suficiente de que há “algo errado” com a moeda. Em outras pala-vras, seria considerada prova convincente de que a população teó-rica de um número infinito de lançamentos desta moeda teria mais caras do que coroas. Assim, se a relação é grande, então poderá ser considerada significante mesmo em uma pequena amostra.

Pode uma “relação inexistente” ser um resultado signifi-cante: Quanto menor a relação entre as variáveis maior o tama-nho de amostra necessário para prová-la significante. Por exem-plo, imagine-se quantos lançamentos seriam necessários para provar que uma moeda é viciada se seu viesamento for de apenas 0,000001 %! Então, o tamanho mínimo de amostra necessário cresce na mesma proporção em que a magnitude do efeito a ser demonstrado decresce. Quando a magnitude do efeito aproxima-se de zero, o tamanho de amostra necessário para prová-lo aproxima-se do infinito. Isso quer dizer que, se quase não há relação entre duas variáveis o tamanho da amostra precisa quase ser igual ao tamanho da população, que teoricamente é considerado infinita-

mente grande. A significância estatística representa a probabilida-de de que um resultado similar seja obtido se toda a população fosse testada. Assim, qualquer coisa que fosse encontrada após testar toda a população seria, por definição, significante ao mais alto nível possível, e isso também inclui todos os resultados de “relação inexistente”.

Como medir a magnitude (força) das relações entre variá-veis: Há muitas medidas da magnitude do relacionamento entre variáveis que foram desenvolvidas por estatísticos: a escolha de uma medida específica em dadas circunstâncias depende do núme-ro de variáveis envolvidas, níveis de mensuração usados, natureza das relações, etc. Quase todas, porém, seguem um princípio geral: elas procuram avaliar a relação comparando-a de alguma forma com a “máxima relação imaginável” entre aquelas variáveis espe-cíficas. Tecnicamente, um modo comum de realizar tais avaliações é observar quão diferenciados são os valores das variáveis, e então calcular qual parte desta “diferença global disponível” seria detec-tada na ocasião se aquela diferença fosse “comum” (fosse apenas devida à relação entre as variáveis) nas duas (ou mais) variáveis em questão. Falando menos tecnicamente, compara-se “o que é comum naquelas variáveis” com “o que potencialmente poderia haver em comum se as variáveis fossem perfeitamente relaciona-das”. Outro exemplo:

Em uma amostra o índice médio de WCC é igual a 100 em homens e 102 em mulheres. Assim, poderia-se dizer que, em mé-dia, o desvio de cada valor da média de ambos (101) contém uma componente devida ao sexo do sujeito, e o tamanho desta com-ponente é 1. Este valor, em certo sentido, representa uma medida da relação entre sexo e WCC. Contudo, este valor é uma medida muito pobre, porque não diz quão relativamente grande é aquela componente em relação à “diferença global” dos valores de WCC. Há duas possibilidades extremas: S

- Se todos os valore de WCC de homens são exatamente iguais a 100 e os das mulheres iguais a 102 então todos os desvios da mé-dia conjunta na amostra seriam inteiramente causados pelo sexo. Poderia-se dizer que nesta amostra sexo é perfeitamente correla-cionado a WCC, ou seja, 100% das diferenças observadas entre os sujeitos relativas a suas WCC’s devem-se a seu sexo.

- Se todos os valores de WCC estão em um intervalo de 0 a 1000, a mesma diferença (de 2) entre a WCC média de homens e mulheres encontrada no estudo seria uma parte tão pequena na diferença global dos valores que muito provavelmente seria con-siderada desprezível. Por exemplo, um sujeito a mais que fosse considerado poderia mudar, ou mesmo reverter, a direção da dife-rença. Portanto, toda boa medida das relações entre variáveis tem que levar em conta a diferenciação global dos valores individuais na amostra e avaliar a relação em termos (relativos) de quanto des-ta diferenciação se deve à relação em questão.

“Formato geral” de muitos testes estatísticos: Como o ob-jetivo principal de muitos testes estatísticos é avaliar relações entre variáveis, muitos desses testes seguem o princípio exposto no item anterior. Tecnicamente, eles representam uma razão de alguma medida da diferenciação comum nas variáveis em análise (devido à sua relação) pela diferenciação global daquelas variáveis. Por exemplo, teria-se uma razão da parte da diferenciação global dos valores de WCC que podem se dever ao sexo pela diferenciação global dos valores de WCC. Esta razão é usualmente chamada de


MATEMÁTICArazão da variação explicada pela variação total. Em estatística o termo variação explicada não implica necessariamente que tal va-riação é “compreendida conceitualmente”. O termo é usado apenas para denotar a variação comum às variáveis em questão, ou seja, a parte da variação de uma variável que é “explicada” pelos valores específicos da outra variável e vice-versa.

Como é calculado o nível de significância estatístico: As-suma-se que já tenha sido calculada uma medida da relação en-tre duas variáveis (como explicado acima). A próxima questão é “quão significante é esta relação”? Por exemplo, 40% da variação global ser explicada pela relação entre duas variáveis é suficiente para considerar a relação significante? “Depende”. Especificamen-te, a significância depende principalmente do tamanho da amos-tra. Como já foi explicado, em amostras muito grandes mesmo relações muito pequenas entre variáveis serão significantes, en-quanto que em amostras muito pequenas mesmo relações muito grandes não poderão ser consideradas confiáveis (significantes). Assim, para determinar o nível de significância estatística torna-se necessária uma função que represente o relacionamento entre “magnitude” e “significância” das relações entre duas variáveis, dependendo do tamanho da amostra. Tal função diria exatamente “quão provável é obter uma relação de dada magnitude (ou maior) de uma amostra de dado tamanho, assumindo que não há tal re-lação entre aquelas variáveis na população”. Em outras palavras, aquela função forneceria o nível de significância (nível-p), e isso permitiria conhecer a probabilidade de erro envolvida em rejei-tar a idéia de que a relação em questão não existe na população. Esta hipótese “alternativa” (de que não há relação na população) é usualmente chamada de hipótese nula. Seria ideal se a função de probabilidade fosse linear, e por exemplo, apenas tivesse diferen-tes inclinações para diferentes tamanhos de amostra. Infelizmente, a função é mais complexa, e não é sempre exatamente a mesma. Entretanto, em muitos casos, sua forma é conhecida e isso pode ser usado para determinar os níveis de significância para os resultados obtidos em amostras de certo tamanho. Muitas daquelas funções são relacionadas a um tipo geral de função que é chamada de nor-mal (ou gaussiana).

Por que a distribuição normal é importante: A “distribui-ção normal” é importante porque em muitos casos ela se apro-xima bem da função introduzida no item anterior. A distribuição de muitas estatísticas de teste é normal ou segue alguma forma que pode ser derivada da distribuição normal. Neste sentido, fi-losoficamente, a distribuição normal representa uma das elemen-tares “verdades acerca da natureza geral da realidade”, verificada empiricamente, e seu status pode ser comparado a uma das leis fundamentais das ciências naturais. A forma exata da distribuição normal (a característica “curva do sino”) é definida por uma fun-ção que tem apenas dois parâmetros: média e desvio padrão.

Uma propriedade característica da distribuição normal é que 68% de todas as suas observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média, um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores, e 99% das observações caem dentro de um inter-valo de 3 desvios padrões da média. Em outras palavras, em uma distribuição normal as observações que tem um valor padronizado de menos do que -2 ou mais do que +2 tem uma freqüência rela-tiva de 5% ou menos (valor padronizado significa que um valor é expresso em termos de sua diferença em relação à média, dividida pelo desvio padrão).

Ilustração de como a distribuição normal é usada em ra-ciocínio estatístico (indução): Retomando o exemplo já discuti-do, onde pares de amostras de homens e mulheres foram retirados de uma população em que o valor médio de WCC em homens e mulheres era exatamente o mesmo. Embora o resultado mais provável para tais experimentos (um par de amostras por experi-mento) é que a diferença entre a WCC média em homens e mu-lheres em cada par seja próxima de zero, de vez em quando um par de amostras apresentará uma diferença substancialmente dife-rente de zero. Quão freqüentemente isso ocorre? Se o tamanho da amostra é grande o bastante, os resultados de tais repetições são “normalmente distribuídos”, e assim, conhecendo a forma da cur-va normal pode-se calcular precisamente a probabilidade de obter “por acaso” resultados representando vários níveis de desvio da hipotética média populacional 0 (zero). Se tal probabilidade cal-culada é tão pequena que satisfaz ao critério previamente aceito de significância estatística, então pode-se concluir que o resultado obtido produz uma melhor aproximação do que está acontecendo na população do que a “hipótese nula”. Lembrando ainda que a hipótese nula foi considerada apenas por “razões técnicas” como uma referência contra a qual o resultado empírico (dos experi-mentos) foi avaliado.

Todos os testes estatísticos são normalmente distribuídos: Não todos, mas muitos são ou baseados na distribuição normal di-retamente ou em distribuições a ela relacionadas, e que podem ser derivadas da normal, como as distribuições t, F ou Chi-quadrado (Qui-quadrado). Tipicamente, estes testes requerem que as variá-veis analisadas sejam normalmente distribuídas na população, ou seja, que elas atendam à “suposição de normalidade”. Muitas va-riáveis observadas realmente são normalmente distribuídas, o que é outra razão por que a distribuição normal representa uma “ca-racterística geral” da realidade empírica. O problema pode surgir quando se tenta usar um teste baseado na distribuição normal para analisar dados de variáveis que não são normalmente distribuídas. Em tais casos há duas opções. Primeiramente, pode-se usar algum teste “não paramétrico” alternativo (ou teste “livre de distribui-ção”); mas isso é freqüentemente inconveniente porque tais testes são tipicamente menos poderosos e menos flexíveis em termos dos tipos de conclusões que eles podem proporcionar. Alternati-vamente, em muitos casos ainda se pode usar um teste baseado na distribuição normal se apenas houver certeza de que o tamanho das amostras é suficientemente grande. Esta última opção é basea-da em um princípio extremamente importante que é largamente responsável pela popularidade dos testes baseados na distribuição normal. Nominalmente, quanto mais o tamanho da amostra au-mente, mais a forma da distribuição amostral (a distribuição de uma estatística da amostra) da média aproxima-se da forma da normal, mesmo que a distribuição da variável em questão não seja normal. Este princípio é chamado de Teorema Central do Limite.

Como se conhece as consequências de violar a suposição de normalidade: Embora muitas das declarações feitas anterior-mente possam ser provadas matematicamente, algumas não têm provas teóricas e podem demonstradas apenas empiricamente via experimentos Monte Carlo (simulações usando geração aleatória de números). Nestes experimentos grandes números de amostras são geradas por um computador seguindo especificações pré-de-


MATEMÁTICAsignadas e os resultados de tais amostras são analisados usando uma grande variedade de testes. Este é o modo empírico de ava-liar o tipo e magnitude dos erros ou viesamentos a que se expõe o pesquisador quando certas suposições teóricas dos testes usados não são verificadas nos dados sob análise. Especificamente, os es-tudos de Monte Carlo foram usados extensivamente com testes baseados na distribuição normal para determinar quão sensíveis eles eram à violações da suposição de que as variáveis analisadas tinham distribuição normal na população. A conclusão geral destes estudos é que as conseqüências de tais violações são menos seve-ras do que se tinha pensado a princípio. Embora estas conclusões não devam desencorajar ninguém de se preocupar com a suposição de normalidade, elas aumentaram a popularidade geral dos testes estatísticos dependentes da distribuição normal em todas as áreas de pesquisa.

Objeto da Estatística: Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da po-pulação, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são mui-tas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemá-tica envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevan-te para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatorie-dade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizan-do-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.

Exemplo: Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes dispo-níveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.

Noção Geral de Média

Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os elementos de A.

Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos de A relativa a essa operação.

Média Aritmética

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética.

Cálculo da média aritmética

Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:

n parcelase, portanto,

x = x1;x2;x3;...;xnn

Conclusão

A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus elementos, dividida por n.

Exemplo

Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.

Resolução

Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:

x = 3+ 4 + 6 + 9 +1315

↔ x = 355

↔ x = 7

A média aritmética é 7.

Média Aritmética Ponderada

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.

Cálculo da média aritmética ponderada

Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição:

P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,

x = P1.x1;P2.x2;P3.x3;...PnxnP1 + P2 + P3 + ...+ Pn


MATEMÁTICAObserve que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então:

x = x1;x2;x3;...;xnn

que é a média aritmética simples.

Conclusão

A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.

Exemplo

Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente.

Resolução

Se x for a média aritmética ponderada, então:

x = 2.35 + 3.20 + 5.102 + 3+ 5

↔ x = 70 + 60 + 5010

↔ x = 18010

↔ x = 18

A média aritmética ponderada é 18.

Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética, deve ser entendida como média aritmética.

Exercícios

1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.

2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.

3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?

4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?

5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguin-tes casos:

a) 15; 48; 36b) 80; 71; 95; 100c) 59; 84; 37; 62; 10d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?

7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respecti-vos pesos 5 , 3 e 2.

8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será a idade média dessa turma?

9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada:

Profissionais → Quantidade → SalárioServentes → 20 profissionais → R$ 320,00Técnicos → 10 profissionais → R$ 840,00Engenheiros → 5 profissionais → R$ 1.600,00

10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respec-tivos pesos 10, 5 e 20.

Respostas

1) Resposta “5”.Solução:M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.

2) Resposta “6”.Solução: M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5

e 10 ) = 6.3) Resposta “10”.Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos

números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números, portanto:

M .A = 11+ 7 +13+ 94

= 404

= 10

Logo, a média aritmética é 10.

4) Resposta “164”. Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao di-

minuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média.

Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.

Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pa-res, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:

2 + 4 + 6 + x4

= 44

Solucionando-a temos:

Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.


MATEMÁTICA5) Solução:a) (15 + 48 + 36)/3 =99/3 = 33

b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=346/4 = 86,5c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5== 252/5= 50,4

d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=45/9 == 5

6) Resposta “22”.Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos

cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes pro-dutos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:

10.1+14.2 +18.3+ 30.51+ 2 + 3+ 5

= 10 + 28 + 54 +15011

= 24211

= 22

Logo, a média aritmética ponderada é 22.

7) Resposta “4,9”.Solução:

MP = 3.5 + 6.3+ 8.25 + 3+ 2

= 15 +18 +1610

= 4910

= 4,9

8) Resposta “ ±14,93 ”Solução:

MP = 14.10 +15.12 +16.810 +12 + 8

= 140 +180 +12830

= 44830

= ±14,93

9) Resposta “ ≅ R$651,43 ”Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética

ponderada, onde as quantidades de profissionais serão os pesos. E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto:

MP = 320.20 + 840.10 +1600.520 +10 + 5

= 22.80035

≅ R$651,43

10) Resposta “11,42”.Solução:

MP = 5.10 +10.5 +15.2010 + 5 + 20

= 50 + 50 + 30035

= 40035

= 11,42

Média Geométrica

Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valo-res e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.

Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio geométrico deste conjunto, multiplicamos os elemen-tos e obtemos o produto 216.

Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.

Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 ele-mentos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.

Neste exemplo teríamos a seguinte solução:

4.6.93 ⇒ 2163 ⇒ 6

Utilidades da Média Geométrica

Progressão Geométrica

Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:

an = an−1.an+1Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma

PG.: 7, 21 e 63.Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos

7 e 63.

Vejamos:

7.63⇒ 441⇒ 21

Variações Percentuais em Sequência

Outra utilização para este tipo de média é quando estamos tra-balhando com variações percentuais em sequência.

Exemplo

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta ca-tegoria?

Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais.

A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores:

1,2.1,12.1,073 ⇒ 1,438083 ⇒1,128741

Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento.

Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.


MATEMÁTICADigamos que o salário desta categoria de operários seja

de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos:

Salário Inicial

+ % Informado

Salário final

Salário inicial

+ % médio

Salário final

R$ 1.000,00

20%R$

1.200,00R$

1.000,0012, 8417

R$ 1.128,74

R$ 1.200,00

12%R$

1.334,00R$

1.287,7412, 8417

R$ 1.274,06

R$ 1.334,00

7%R$

1.438,00R$

1.274,0612, 8417

R$ 1.438,08

Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica.

Cálculo da Média GeométricaEm uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é

aii=1

n

∏⎛⎝⎜⎞⎠⎟

1/n

= (a1.a2...an )1/n = a1.a2...ann

A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor inter-mediário às duas.

A média geométrica é também a média aritmética harmôni-ca no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas:

an+1 =an + hn2

,a1= x + y2

E

hn+1 =2

1an

+ 1hn

,h1 =2

1x+ 1y

então an e hn convergem para a média geométrica de x e y.

Cálculo da Media Geométrica TriangularBom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos

quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividi-mos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos triângulos.

ExemploA média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é

dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação Prática

Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta

É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica

A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Exercícios

1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8.

2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4.

3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respec-tivamente, iguais a 4 e 9.

4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a média aumente 2 uni-dades ?

5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?


MATEMÁTICA6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples

e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais são estes dois números?

7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes três números?

8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9.

9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81

10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234.

Respostas

1) Resposta “4”.Solução:

M .G.(2e8) = 2 × 82 = 16 = 4⇒M .G.(2e8) = 4

2) Resposta “2”.Solução:

M .G.(1,2e4) = 1× 2 × 43 = 83 = 2⇒M .G.(1,2e4) = 2

Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, utilizado para a média geométrica entre dois números.

3) Resposta “6”.Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos:

g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6.

4) Resposta “278

”

Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, pode-mos escrever:

M .G.= x.y.z3 ⇒ 4 = x.y.z3 ⇒ x.y.z = 64

Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será:

4 + 2 = x.y.z.m3 ⇒ 6 = x.y.z.m3 ⇒ x.y.z.m = 216e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → m = 216

64= 278

5) Resposta “8”. Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este

exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tra-tam de cinco números:

2.4.8.16.325 ⇒ 327685 ⇒ 8

Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações?

Repare que todos os números são potência de 2, podemos en-tão escrever:

2.4.8.16.325 ⇒ 2.22.23.24.255

Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos:

2.22.23.24.255 ⇒ 2155

Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resol-vendo a potência resultante:

2155 ⇒ 231 ⇒ 23 ⇒ 8

Logo, a média geométrica deste conjunto é 8.6) Resposta “16, 25”.Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média

aritmética deles pode ser expressa como:

a + b2

= 20,5

Já média geométrica pode ser expressa como:

a.b = 20

Vamos isolar a na primeira equação:

a + b2

= 20,5⇒ a + b = 20,5.2⇒ a = 41− b

Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é ne-cessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b:

a.b = 20⇒ (41− b).b = 20⇒ 41b − b2( )2 = 202⇒ 41b − b2 = 400⇒−b2 + 41b − 400 = 0Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:

-b2 + 41b - 400 = 0

Solucionando a mesma temos:

−b2 + 41b − 400 = 0⇒ b = −41± 412 − 4.(−1).(−400)2.(−1)

⇒b1 =

−41+ 81−2

⇒ b1 =−41+ 9−2

⇒ b1 =−32−2

⇒ b1 = 16

b2 =−41− 81

−2⇒ b2 =

−41+ 9−2

⇒ b2 =−50−2

⇒ b2 = 25

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos con-ferir.


MATEMÁTICASabemos que a = 41 - b, portanto atribuindo a b um de seus

possíveis valores, iremos encontrar o valor de a.

Para b = 16 temos:

a = 41 - b ⇒ 41 - 16 ⇒ a = 25

Para b = 25 temos:

a = 41 - b ⇒ a = 41 - 25 ⇒ a = 16

Logo, os dois números são 16, 25.

7) Resposta “12”.Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números,

a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação:

P = 6

Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, ire-mos obter o valor numérico do produto destes dois números:

P = 6⇒ ( P)2= 62 ⇒ P = 36

Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada:

M = 36.483 ⇒M = (22.32 ).(24.3)3 ⇒M = 26.333

⇒M = 22.3⇒M = 4.3⇒M = 12

Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.

Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12.

8) Resposta “6”.Solução: G = 4.92 = 6

9) Resposta “9”.Solução: G = 3.3.9.814 = 9

10) Resposta “6”.Solução:G = 1.1.1.32.243= 65

Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como depois dele. Para se medir a mediana, os valores devem estar por ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser ímpar, existe um e só um valor central que é a mediana. Se o nú-mero de dados é par, toma-se a média aritmética dos dois valores centrais para a mediana.

É uma medida de localização do centro da distribuição dos da-dos, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amos-tra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divi-de ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

A mediana, m, é uma medida de localização do centro da dis-tribuição dos dados, definida do seguinte modo:

Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:

- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.- Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos

médios.

Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; então uma expressão para o cálculo da mediana será:

Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. Consideremos o seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas: 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra anterior são respectivamente.

=10.75 e =11

Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma de 18. Neste caso a mediana continuaria a ser igual a 11, enquanto que a média subiria para 11.75.

Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn: “n” então uma expressão para o cálculo da mediana será:

Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.

- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coin-cidem.

- A mediana não é tão sensível, como a média, às observa-ções que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as obser-vações.


MATEMÁTICAA média ao contrário da mediana, é uma medida muito in-

fluenciada por valores “muito grandes” ou “muito pequenos”, mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.

A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos da-dos:

- for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da me-diana.

- for enviesada para a direita (alguns valores grandes como “outliers”), a média tende a ser maior que a mediana.

- for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como “outliers”), a média tende a ser inferior à mediana.

Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando uma linha vertical por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais.

Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível aos dados.

- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coin-cidem.

- A mediana não é tão sensível, como a média, às observa-ções que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as obser-vações.

Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas me-didas de localização é preferível, dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas.

Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determi-nada empresa, distribuem-se de acordo com a seguinte tabela de frequências:

Salário (em euros) 75 100 145 200 400 1700Frequência absoluta 23 58 50 20 7 2Frequência acumulada 23 81 131 151 158 160

Calcular a média e a mediana e comentar os resultados ob-tidos.

Resolução: = = (75.23+100.58+...+400.7+1700.2)/160 = 156,10

Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80 e 81 = 100 euros.

Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e uma mediana de 100, é reflexo do fato de existirem alguns, embora poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Repare-se que, numa perspectiva social, a mediana é uma característica mais importante do que a média. Na realidade 50% dos traba-lhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de 156,10 € não transmita essa ideia.

Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição dos dados é simétrica ou aproximadamente simétrica, as medidas de localização do centro da amostra (média e mediana) coincidem ou são muito semelhantes. O mesmo não se passa quando a distri-buição dos dados é assimétrica, fato que se prende com a pouca resistência da média.

Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral:

Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é o de maior efetivo e, portanto, de maior frequência. Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequên-cia se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a in-formação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana.

Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal.

Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).


MATEMÁTICA

Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como vimos anteriormente é a medida de localização, tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50% são maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)% dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Qp.

Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da amostra ordenada. Um processo de obter os quartis é utilizando a Função Distribuição Empírica.

Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana, temos uma expressão análoga para o cálculo dos quartis:

Qp =

onde representamos por [a], o maior inteiro contido em a.Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o

nome de 1º quartil e 3º quartil. Exemplo: Tendo-se decidido regis-trar os pesos dos alunos de uma determinada turma prática do 10º ano, obtiveram-se os seguintes valores (em kg):

52 56 62 54 52 51 60 61 56 55 56 54 57 67 61 49

a) Determine os quantis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis.b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado “nor-

mal”, isto é nem demasiado magro, nem demasiado gordo?

Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16, temos:

49 51 52 52 54 54 55 56 56 56 57 60 61 61 62 67

a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52 16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56 16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53 16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5

b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco “for-te”, pois naquela turma só 25% dos alunos é que têm peso maior ou igual a 60.5 kg.

Escalas – Tabelas – Gráficos

Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados de várias formas:

Diagramas de Barras

Diagramas Circulares

Histogramas

Pictogramas

1ª (10)2ª (8)3ª (4)4ª (5)5ª (4)

= 1 unidade


MATEMÁTICATabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os va-

lores da variável e suas respectivas contagens, as quais são deno-minadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de freqüência consiste em listar os valores possíveis da variável, numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos do número de suas ocorrências. A frequência do valor i será repre-sentada por ni, a frequência total por n e a freqüência relativa por fi = ni/n.

Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qua-litativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido incluirmos também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, ob-tidas pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado.

No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem as-sumir infinitos valores diferentes, é inviável construir a tabela de frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para resolver este problema, determinamos classes ou faixas de valores e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no caso da variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes faixas: 30 |— 40 kg, 40 |— 50 kg, 50 |— 60, 60 |— 70, e assim por diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para esta-belecer as faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas com mesma amplitude.

Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser con-venientes para representar valores nas extremidades da tabela. Exemplo:

Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, re-presentamos os valores da variável no eixo das abscissas e suas as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável desenhamos uma barra com altura corresponden-do à sua freqüência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é interes-sante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas dis-cretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados. Exemplo:

Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares corres-pondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplican-do-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. Exemplo:


MATEMÁTICAHistograma: O histograma consiste em retângulos contíguos

com base nas faixas de valores da variável e com área igual à fre-quência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, con-sequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. Exemplo:

Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar observações medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendên-cia ou periodicidade. Exemplo:

Polígono de Frequência:Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos

médios das classes. Exemplo:

Gráfico de Ogiva:Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utili-

za uma poligonal ascendente utilizando os pontos extremos.

11 ANÁLISE DE ALGORITMOS.

A análise de algoritmos estuda a correção e o desempenho de algoritmos. Em outras palavras, a análise de algoritmos procura respostas para perguntas do seguinte tipo: Este algoritmo resolve o meu problema? Quanto tempo o algoritmo consome para processar uma ‘entrada’ de tamanho n?. (A resposta à segunda pergunta é necessariamente um tanto grosseira, algo como o consumo de tempo é proporcional a n² log n no pior caso.)

Além disso, a análise de algoritmos estuda certos paradigmas (como divisão-e-conquista, programação dinâmica, gula, busca local, aproximação, etc.) que se mostraram úteis na criação de algoritmos para vários problemas computacionais.

Fonte: http://www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmos/

12 NOÇÕES DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.

A programação linear, no campo da programação matemática, é uma área da pesquisa operacional com vasta aplicação em apoio à decisão. O termo “programação”, tanto linear quanto matemática, não tem a ver diretamente com programação de computadores, ou linguagem de programação. Este termo tem origem em suas aplicações, originalmente desenvolvido para resolver problemas industriais. Assim, o termo “programação” da programação linear está relacionado ao planejamento de recursos escassos visando atender as condições operacionais. Estas, por sua vez, são representadas por equações e funções lineares.

A aplicação da programação linear em apoio à decisão ocorre na condição que se decide para atingir um objetivo. Este, por sua vez, é resultante da alocação ótima dos recursos. Por isso caracterizamos a programação linear como uma técnica de otimização. No problema de otimização em siderurgia, por


MATEMÁTICAexemplo, buscamos determinar a alocação ótima dos recursos de produção de forma a atender as limitações de capacidades de cada usina e maximizar o lucro resultante. Tanto a função de maximizar o lucro quanto as restrições de capacidade de cada planta são representados por funções lineares. Neste exemplo, o tomador de decisão pode escolher diversas combinações de alocação de seus produtos, no entanto apenas uma combinação é a mais lucrativa. Esta e a combinação ótima que maximiza o lucro, uma função linear, do problema de programação linear.

Programação linear: equações e funções são lineares

Embora originalmente o tempo “programação” de programação linear não tem a ver diretamente com programação de computadores, os problemas reais não podem ser resolvidos manualmente, dada a dimensão de problemas reais. Com a evolução da tecnologia de hardware e software, os algoritmos de programação linear são implementados em uma linguagem computacional para viabilizar a resolução de problemas reais em menor tempo. A programação linear, dessa forma, teve seu desenvolvimento junto com o desenvolvimento dos computadores, a partir da década de quarenta.

A programação linear é uma das técnicas mais usadas dentre outras grandes áreas da pesquisa operacional, como simulação, teoria de filas, programação dinâmica, teoria dos jogos. O problema de programação linear foi inventado pelo matemático Russo L. Kantorovich em 1939. L. Kantorovich e T. Koopmans ganharam o prêmio Nobel por suas contribuições à teoria de alocação ótima de recursos. No entanto, o algoritmo mais utilizado para resolver problemas de programação linear é o simplex e suas variações (primal simplex, dual simplex, simplex revisado) formalizado por George Dantzig em 1947 enquanto trabalhava no projeto de computação científica de otimização SCOOP (Scientific Computation of Optimal Programs) na RAND (Research and Development) Corporation para a Força Aérea Americana.

Diversas áreas utilizam a programação linear para apoio a decisão. Dentre as áreas de aplicação estão: (i) planejamento logístico de frotas e rotas, (ii) planejamento da produção de longo, médio e curto prazo, (iii) decisão em escolha de mix de produtos em manufatura, (iv) estratégias operacionais em mineração, siderurgia, petroquímicas, agricultura, (v) decisão de localização de facilidade ou instalação de fábricas ou centros de distribuição, (vi) decisão em finanças na escolha da melhor carteira de investimentos, entre outros.

Fonte: http://www.marcogandra.com.br/2012/08/o-que-e-programacao-linear.html

13 ANÁLISE COMBINATÓRIA.

Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

- Princípio fundamental da contagem- Fatorial- Arranjos simples- Permutação simples- Combinação- Permutação com elementos repetidos

Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n

Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:


MATEMÁTICA

Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk

Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem.

Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.

ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento.

ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos elementos.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos

são iguais, pois indicam a mesma reta.

Conclusão: Os agrupamentos...

1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos. ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam.

2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos.

ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial.

Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos.

Cálculos do número de arranjos simples:

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

n → possibilidades na escolha do 1º elemento.n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um

deles já foi usado.n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois

deles já foi usado..n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois

l-1 deles já foi usado.


MATEMÁTICANo Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total

de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1) (é o produto de k fatores)

Multiplicando e dividindo por (n – k)!

Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!

Podemos também escrever

Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Cálculo do número de permutação simples:

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:

Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n!

Portanto: Pn = n!

Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.

Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd

Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas:

Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.

abc abd acd bcdacbbacbcacabcba

Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

abc abd acd bcdacb adb adc bdcbac bad cad cbdbca bda cda cdbcab dab dac dbccba dba dca dcb

4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos

Logo: C4,3 . P3 = A4,3

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:

a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.

b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.

Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou

n,kn,k

k

AC =

PLembrando que:

Também pode ser escrito assim:

Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk

Permutações com elementos repetidos

Considerando: α elementos iguais a a,β elementos iguais a b,γ elementos iguais a c, …,λ elementos iguais a l,

Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.


MATEMÁTICASimbolicamente representado por Pn

α, β, γ, …, λ o número de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k

QUESTÕES

01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?

02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem realizados é:

(A)182(B) 91(C)169(D)196(E)160

03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é:

(A) 78.125(B) 7.200(C) 15.000(D) 6.420(E) 50

04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e Ã como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a

(A) 720(B) 1.680(C) 2.420(D) 3.360(E) 4.320

05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é

(A) PROVA.(B) VAPOR.(C) RAPOV.(D) ROVAP.(E) RAOPV.

06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é:

(A) 66(B) 72(C) 90(D) 120(E) 124

07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?

(A) 80(B) 96(C) 240(D) 640(E) 1.280

08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados?

(A) 06(B) 10(C) 12(D) 15(E) 20

09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é

(A) 10(B) 15(C) 20(D) 25(E) 30

10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule:

a) quantos são no total;b) quantos não possuem o algarismo 2;c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;d) quantos têm os algarismos distintos;e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.


MATEMÁTICAResoluções

01.

02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182.

03.

Algarismos

Letras

As três letras poderão ser escolhidas de 5 . 5 . 5 =125 maneiras.Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 =

120 maneiras.O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 .

120 = 15.000.

04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi

II) O número de cartões esperados por João era

Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680

05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos:

P4 = 24 que começam por AP4 = 24 que começam por OP4 = 24 que começam por P

A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV.

06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é

07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240

08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e

outros 3.II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o

enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os 3 restantes.

III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é

IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é

V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6

09.

10. a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464

Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural .

Exemplo: B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota:

Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são

iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos

a partir da seguinte regra prática de fácil memorização: Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividi-

mos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficien-te do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:

5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.


MATEMÁTICAObserve que os expoentes da variável a decrescem de n até 0

e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:

(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.

Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo ante-rior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

Observações:1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no

desenvolvimento De (a + b)n são iguais .4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por

Tp+1 =np

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.an−p .bp

onde

np

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Cn.p =

n!p!(n − p)!

é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combi-nações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.

Este número é também conhecido como Número Combina-tório.

ANOTAÇÕES

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MATEMÁTICA

ANOTAÇÕES

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MATEMÁTICA - novaconcursos.com.br · Interpretação Geométrica A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico