UFJF DISCIPLINAS ESTUDOdaFORMA 20122 AULA10 … · O plano tangente à superfície em um ponto contém a geratriz que passa pelo dito ponto, mas não é tangente à superfície em

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Curso de Arquitetura e Urbanismo ● História da Arquitetura e do Urbanismo I ● professor: Frederico BraidaCurso de Arquitetura e Urbanismo ● Estudo da Forma ● professores: Frederico Braida e Juliane Figueiredo 2013/1

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AULA | 09

Superfícies geradas por retas não desenvolvíveis

Catedral de BrasíliaDisponível em: < http://2.bp.blogspot.com/-pc7QfvV_QGY/T5q2VCAFBXI/AAAAAAAACFg/Rd5AkT9CyY8/s1600/P2260696.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.

HiperbolóideDisponível em:

http://dc254.4shared.com/doc/rVUlK4Jb/preview.html>.

Acesso em: 10 jan. 2013.


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As superfícies não desenvolvíveis

Na aula anterior, estudamos as geodésicas. Embora elas se pareçam com as esferas, não podemos chamá-las de esferas, pois as geodésicas são passíveis de planificação.

Lembre-se de que é impossívelconstruir o desenvolvimento perfeito de uma superfície esférica , ou seja, sua planificação perfeita.

A superfície esférica é considerada não desenvolvível, ela é uma superfície curva de revolução gerada por uma linha curva.

Desenvolvimento pelo método dos meridianos.Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php>. Acesso em: 10 out. 2011.

Desenvolvimento pelo método dos paralelos.Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php>. Acesso em: 10 out. 2011.

Desenvolvimento pelo método dos paralelos.Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php>. Acesso em: 10 out. 2011.


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Superfícies desenvolvíveis X superfícies não desenv olvíveis

Uma linha reta pode gerar uma superfície curva. Um exemplo é o cone e o cilindro, porém essas duas superfícies são desenvolvíveis .

Mas existem superfícies que são curvas e geradas por retas e não podemos planificá-las, e por isto são chamadas superfícies regradas não desenvolvíveis . Um exemplo é o hiperbolóide de revolução de uma folha.

Cone e cilindro: superfícies desenvolvíveis.Disponível em: <http://www.gd.ufrgs.br/hypercal/Capitulo_4/Imagens/cone.gifp>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Hiperbolóide de revolução: superfície não desenvolvível.Disponível em: <http://www.gd.ufrgs.br/hypercal/Capitulo_4/Imagens/hiperboloide2.gif>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Algumas superfícies de revolução são consideradas superfícies não desenvolvíveis

Esfera Elipsóide Hiperbolóide Toro

Superfícies de revoluçãoDisponível em: <http://www.gd.ufrgs.br/hypercal/Capitulo_4/Html/princ_sup.htm>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Características das superfícies não desenvolvíveis

São características das superfícies chamadas regradas não desenvolvíveis:

1. Não podem ser desenvolvidas sobre um plano.

2. Duas geratrizes infinitamente próximas se cruzam.

3. O plano tangente à superfície em um ponto contém a geratriz que passa pelo dito ponto, mas não é tangente à superfície em outros pontos da geratriz citada. Superfície não desenvolvível.

Fonte: Barison (2007,p.1).


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Tipos de superfícies não desenvolvíveis

Os tipos de superfícies regradas não desenvolvíveis são classificados de acordo com a posição da geratriz , diretriz e do plano diretor .

Na geração do parabolóide hiperbólico ao lado, temos uma reta (geratriz ) que se move apoiada em duas retas(diretrizes ) reversas , isto é, que não pertencem ao mesmo plano.

Diretrizes e geratrizes.Fonte: Barison (2007,p.2).

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Exemplo de aplicação

Parabolóide hiperbólico.Fonte: Barison (2007,p.2). Pérgola em forma de parabolóide hiperbólico.

Disponível em: < http://api.ning.com/files/hLVYyypkiBxOfAxCIa*m9yNp*qrM1AOclj9J4B4jdUgNdF*1xYmtpjaZvVFmLgHyBYYOHfiS4UINhN5ajdWWvI8MXL7V1yH0/DSC03847.JPG>. Acesso em 12 fev. 2013.


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Os tipos de superfícies regradas não desenvolvíveis são classificados de acordo com a posição da geratriz , diretriz e do plano diretor .

Na imagem ao lado destacam-se, os planos diretores.

Planos diretores, diretrizes e geratrizes.Fonte: Barison (2007,p.2).

Parabolóide hiperbólicoDisponível em:

<http://www.ebiobambu.com.br/img/paraboloide.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides e Hiperbolóides

Parabolóides e hiperbolóides são superfícies não desenvolvíveis.

Vamos relembrar as diferenças entre uma parábola e uma hipérbole?

ParábolaDisponível em: <http://n.i.uol.com.br/licaodecasa/ensmedio/matematica/parabola-y-x.gif>. Acesso em: 10 jan. 2013.

HipérboleDisponível em: <http://n.i.uol.com.br/licaodecasa/ensmedio/matematica/hiperbole-y-x.gif>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Circunferência, elipse, parábola e hipérbole

Parábola , hipérbole e elipse são as chamadas curvas cônicas . Elas recebem esse nome porque resultam de cortes em um cone.

Circunferência, parábola, hipérbole e elipseFonte: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO. Geometria Descritiva II: apostila de apoio. P.7.


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Parabolóides

Existem dois tipos de parabolóides: elíptico e hiperbólico .

O parabolóide elíptico possui um formato semelhante a uma taça.

O parabolóide hiperbólico possui um formato semelhante a uma sela.

Parabolóide de revoluçãoDisponível em: <httphttp://http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/ParaboloidOfRevolution.png/220px-ParaboloidOfRevolution.png>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Parabolóide hiperbólico Disponível em: <httphttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/HyperbolicParaboloid.png/220px-HyperbolicParaboloid.png>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides

Observe o Planetário, projetado por Niemeyer, para o Parque do Ibirapuera.

Por fora é um parabolóide.

Vocês de lembram de outros projetos do Niemeyer que, aparentemente, também configuram-se como parabolóides?

Planetário do Parque IbirapueraDisponível em: <http://webventureuol.uol.com.br/destino/imagens/fotos/84885/planetario_do_i1367_g.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.

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Parabolóides

No Congresso Nacional têm-se duas parabolóides circulares.

Congresso NacionalDisponível em: < http://www.portalsuldabahia.com.br/wp-content/uploads/2012/11/Congresso.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides

A Oca, do Parque do Ibirapuera, assemelha-se a um parabolóide.

Oca, do Parque IbirapueraDisponível em: <http://theurbanearth.files.wordpress.com/2010/01/oca.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Oca, do Parque IbirapueraDisponível em: <http://blog.brasilturista.com.br/wp-content/uploads/2011/09/oca-parque-ibirapuera.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides

O Museu da República, em Brasília, parte de um parabolóide.

Museu da República, Brasília Disponível em: < http://www.criatives.com.br/wp-content/uploads/2012/12/Museu-da-Republica.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Museu da República, BrasíliaDisponível em: <http://blog.brasilturista.com.br/wp-content/uploads/2011/09/oca-parque-ibirapuera.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides

No restaurante Los Manantiales, de Félix Candelaas, também destacam-se os parabolóides.

Restaurante Los Manantiales / Félix Candela.Foto de Erik Eugenio Martínez Parachini. Disponível em: <http://adbr001cdn.archdaily.net/wp-content/uploads/2012/04/1334414994_1309876823_3126776895_08185eb9e6_b_erik_eugenio_mart__nez_parachini-530x397.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Estrutura do restaurante Los ManantialesDisponível em: < http://adbr001cdn.archdaily.net/wp-content/uploads/2012/04/1334414982_1309547575_800px_manantiales_diagrama-530x315.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides

Vamos assistir ao filme sobre esse projeto!!!

Paraboloide hiperbolico. Vídeo (3’47’’).

Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=GBknZJDTYRU>. Acesso em: 12 fev. 2013.

Restaurante Los Manantiales / Félix Candela.Foto de Erik Eugenio Martínez Parachini. Disponível em: <http://adbr001cdn.archdaily.net/wp-content/uploads/2012/04/1334414994_1309876823_3126776895_08185eb9e6_b_erik_eugenio_mart__nez_parachini-530x397.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides

Pavilhão do Rio Grande do Sul para a Feira Internacional do IV Centenário de São Paulo, em 1954, de Jaime Luna dos Santos. Ele tem a forma de um parabolóide hiperbólico.

Pavilhão do Rio Grande do Sul.Disponível em: <http://4.bp.blogspot.com/_wu_EEgl9xSA/RbjxmcYknXI/AAAAAAAAACg/QtCNsWvrKcQ/s320/Pq+Ibirapuera+-+Pavilh%C3%A3o+do+Rio+Grande+do+Sul.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.

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Parabolóides

Cobertura da piscina do Departamento de Educação Física, projeto de Ícaro de Castro Mello, entre 1951 e 1953. Ela também tem a forma de um parabolóide hiperbólico.

Corbertura de piscina em Água Branca, SP.Disponível em: <http://www.selt.sp.gov.br/baby/images/foto_historia.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides

Em estruturas tensionadas, recorrentemente destacam-se os parabolóides.

ParabolóidesDisponível em: <http://3.bp.blogspot.com/-F5MEmk7FNN4/T0oeFlYe-_I/AAAAAAAAA4M/IaOtGp359HA/s1600/membrana+3.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Parabolóides hiperbólicos

Sobre triângulos

A superfície parabolóide hiperbólico de cobertura do losango AGBH, pode ser usada para cobertura do triângulo ABG, sendo que uma parte da superfície avança exteriormente à projeção horizontal do triângulo.

Parabolóide hiperbólicoFonte: Barison (2007,p.5).

Parabolóide hiperbólico Fonte: Barison (2007,p.5).


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Parabolóide hiperbólico Disponível em: < http://api.ning.com/files/gjZ2vD-bQDK0wQWuQ60J3JKiHRO1*J98eHekaQft5S3akklz84ea7Yud2xxnuoI*2dAMofZzz2ieZqa9hOEJBvxqvJAwTv9u/paraboloide.JPG >. Acesso em: 10 jan. 2013.

Parabolóide hiperbólicoFonte: Barison (2007,p.5).


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Parabolóide hiperbólico.Disponível em: <http://www.ebiobambu.com.br/img/PARABOLOIDE01.jpg >. Acesso em: 10 jan. 2013.

Parabolóide hiperbólico.Disponível em: < http://www.ebiobambu.com.br/img/DSC05293.jpg >. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Sobre quadrados

A associação de quatro parabolóides hiperbólicos permite a cobertura de uma superfície quadrada.

Hiperbolóide-parabólico Fonte: Barison (2007,p.7).

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Sobre triângulos e quadrados

Hiperbolóide-parabólico Fonte: Engel (2003,p.261).


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Parabolóide hiperbólica Disponível em: < http://api.ning.com/files/gjZ2vD-bQDK0wQWuQ60J3JKiHRO1*J98eHekaQft5S3akklz84ea7Yud2xxnuoI*2dAMofZzz2ieZqa9hOEJBvxqvJAwTv9u/paraboloide.JPG >. Acesso em: 10 jan. 2013.

Parabolóide hiperbólicoDisponível em: < http://mcfariasr.files.wordpress.com/2010/03/paraboloide.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013..

Com dobraduras é possível construir uma forma que se aproxima a uma parabolóide hiperbólico.

Parabolóides hiperbólicos de papel


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Parabolóides hiperbólicos de papel

Parabolóide hiperbólico Disponível em: <http://kuniga.files.wordpress.com/2010/02/imgp2014.jpg>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Conjugando-se os parabolóides hiperbólicos, forma-se a figura ao lado.

Vamos construí-la?


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Hiperbolóides

Existem dois tipos de hiperbolóides: de uma folha e de duas folhas .

Um hiperbolóide de uma folha pode ser obtido girando-se uma hipérbole ao redor de seu eixo transversal.

Um hiperbolóide de duas folhas pode ser obtido através da rotação de uma hipérbole ao redor de seu eixo focal.

hiperbolóide de duas folhas Disponível em:

<httphttp://http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/ParaboloidOfRevolution.png/220px-

ParaboloidOfRevolution.png>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Hiperbolóide de uma folha Disponível em: <httphttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/HyperbolicParaboloid.png/220px-HyperbolicParaboloid.png>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Hiperbolóides

O hiperbolóide de revolução pode ser gerado pela revolução de uma hipérbole em torno de um eixo (geratriz e eixo no mesmo plano).

O hiperbolóide de revolução também pode ser gerado pela revolução de uma reta em torno do eixo de rotação, sendo que esta reta deve ser reversa ao eixo, portanto com geratriz e eixo em planos diferentes.

As superfícies geradas pelas duas maneiras são exatamente iguais, porém o uso de geratrizes retas sempre facilita o processo de geração.

Hiperbolóide de uma folha Disponível em: <http://www.gd.ufrgs.br/hypercal/Capitulo_4/Imagens/hiperboloide1.gif>. Acesso em: 10 jan. 2013.

Hiperbolóide de uma folha Disponível em: <http://www.gd.ufrgs.br/hypercal/Capitulo_4/Imagens/hiperboloide2.gif>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Hiperbolóides

hiperbolóide de revolução de uma folha só

.gerada por uma reta (diretriz), que gira

em torno de um eixo vertical reverso à mesma, isto é, a reta AB pertence a um plano diferente daquele que contém o eixo.

hiperbolóide de revolução : superfície regrada não desenvolvívelFonte: Barison (2007,p.4).

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Construção do hiperbolóide de revolução de uma folha só

hiperbolóide de revoluçãoFonte: Barison (2007,p.9).

hiperbolóide de revoluçãoFonte: Barison (2007,p.10).


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Hiperbolóides

A Catedral de Brasília configura-se como um hiperbolóide.

Catedral de BrasíliaDisponível em: < http://2.bp.blogspot.com/-pc7QfvV_QGY/T5q2VCAFBXI/AAAAAAAACFg/Rd5AkT9CyY8/s1600/P2260696.jpg >. Acesso em: 10 jan. 2013.

HiperbolóideDisponível em: http://dc254.4shared.com/doc/rVUlK4Jb/preview.html>. Acesso em: 10 jan. 2013.


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Cilindróide

gerado por uma reta que se desloca paralelamente a um plano diretor, apoiando-se sempre sobre duas curvas (diretrizes).

Cilindróide: superfície regrada não desenvolvívelFonte: Barison (2007,p.3).


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Conóide

gerado por uma reta que se desloca paralelamente a um plano diretor e se apóia em duas diretrizes: uma reta e uma curva que não pertencem ao mesmo plano.

O conóide se diz reto quando a diretriz reta é perpendicular ao plano diretor.

Conóide : superfície regrada não desenvolvívelFonte: Barison (2007,p.3).

Conóide reto: superfície regrada não desenvolvível

Fonte: Barison (2007,p.3).


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Conclusão

Para conclusão desta aula teórica, vamos assistir ao filme sobre diversos projetos que lançam mão de parabolóides e de hiperbolóides.

Paraboloide hiperbolico. Vídeo (16’54’’). Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=GBknZJDTYRU>. Acesso em: 12 fev. 2013.


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Referências bibliográficas

BARISON, Maria Bernardete. Superfícies regradas não desenvolvíveis,Geométrica, vol.2, n.17a, 2007. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_17t.php>. Acesso em 05 fev. 2012.

ENGEL, Heino. Sistemas estruturais . 3. ed. Barcelona: Gustavo Gili, 2003.

VídeosParábolas e Hipérboles. Vídeo. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=mjCj0dMLMXM&feature=endscreen>. Acesso em: 12 fev. 2013.

Paraboloide hiperbolico. Vídeo. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=GBknZJDTYRU>. Acesso em: 12 fev. 2013.

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