Mat450 2001242 Seminario 8 Resolucao Problemas

MAT450 - Seminrios de Resoluo de Problemas

maro de 2002

IME-USP Instituto de Matemtica e Estatstica da Universidade de So Paulo. So Paulo, quinta-feira, 08 de novembro de 2001. Disciplina: MAT450 Seminrios de Resoluo de Problemas. Professor: Antnio Luiz Pereira (Matemtica USP). Curso: 45023 Matemtica/Licenciatura. Alunos: AGNELO PIRES RAMOS. ANTONIO ANGELO MATEUS. JOO BATISTA DE OLIVEIRA MATIAS. THIAGO RODRIGO ALVES CARNEIRO.

Problemas matemticos: caracterizao, importncia e estratgias de resoluo.

ndiceProblemas matemticos: caracterizao, importncia e estratgias de resoluo. .......... 1ndice .................................................................................................................... 1 A idia de problema matemtico.................................................................................. 3 A importncia dos problemas para a Matemtica nos contextos de cincia e disciplina escolar .... 3 Enfim, o que um problema?.................................................................................... 3 Caracterizando um problema .................................................................................... 4 Problemas e exerccios: diferenas............................................................................. 4 O que um bom problema? ...................................................................................... 5Bons problemas para o desenvolvimento da matemtica .......................................................... 5 Bons problemas para o ensino de matemtica ...................................................................... 5

As heursticas de resoluo de problemas ...................................................................... 8 Sobre o termo heurstica ......................................................................................... 8 Um pouco de histria: os primeiros passos para uma heurstica de resoluo de problemas ........ 8Filsofos gregos .......................................................................................................... 8 As primeiras idias com Descartes .................................................................................... 9 Graham Wallas e a escola Gestaltista de psicologia ................................................................ 9 Skinner e a escola behavorista....................................................................................... 10

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Prof. Antnio Luiz Pereira


A heurstica de resoluo de problemas de George Polya .................................................10Biografia de Polya...................................................................................................... 10 Etapas de resoluo de problemas, segundo Polya................................................................ 11 A importncia de revisar a soluo .................................................................................. 12

Os princpios heursticos de Alan Schoenfeld ................................................................13 Nveis de capacidade de resoluo de problemas...........................................................14Introduo............................................................................................................... 14 Nveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas ......................................................... 14

Exemplificando as idias de Polya e Schoenfeld............................................................. 15 Introduo..........................................................................................................15 Exemplo da utilizao da concepo de Alan Schoenfeld .................................................15 Exemplo da aplicao da estratgia de George Polya......................................................15 Concluses............................................................................................................ 19 Bibliografia ........................................................................................................... 20 Artigos ..............................................................................................................20 Livros................................................................................................................20 Sites na Internet ..................................................................................................20 Sobre a capa .......................................................................................................21

Agnelo, Antonio Mateus, Joo Matias e Thiago Rodrigo

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A idia de problema matemtico

O que para alguns um problema para outros um exerccio e para alguns outros uma distrao. (Ditado popular)

A importncia dos problemas para a Matemtica nos contextos de cincia e disciplina escolarUm matemtico, ao descrever o seu trabalho, certamente no deixar de pronunciar duas palavras presentes no seu dia a dia: problema e prova. O problema o meio pelo qual a Matemtica se desenvolve, ou seja, o alimento da evoluo matemtica. Um problema tem seu grau de importncia relacionado quantidade de idias novas que ele traz matemtica e o quo ele capaz de impulsionar os diversos ramos da Matemtica sobretudo aqueles em que ele no est diretamente relacionado. A prova est indissoluvelmente ligada ao problema e a nica maneira de atestar ou no a soluo matemtica do mesmo. A prova representa o rigor, a solidez e a consistncia da teoria matemtica e nada mais do que uma seqncia de raciocnios dedutivos que parte de fatos de veracidade j conhecida como teoremas e axiomas e chega at o resultado em demonstrao, resolvendo o problema. No contexto de educao matemtica, um problema, ainda que simples, pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resoluo. Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e faz-lo a se interessar pela Matemtica, de modo que ao tentar resolv-los o aluno adquire criatividade e aprimora o raciocnio, alm de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemtico.

Enfim, o que um problema?Agora que falamos da importncia dos problemas Matemtica, podemos dar uma definio intuitiva de problema: um problema matemtico toda situao requerendo a descoberta de informaes matemticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolv-lo e/ou a inveno de uma demonstrao de um resultado matemtico dado1. Ainda, segundo Newell & Simon (1972), um problema uma situao na qual um indivduo deseja fazer algo, porm desconhece o caminho das aes necessrias para concretizar a sua ao2 ou segundo Chi e Glaser (1983) o problema uma situao na qual

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SILVEIRA, J. F. P. O que um problema matemtico? Site: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/resu1.html POGGIOLI, L. Estrategias de resolucin de problemas. Serie Ensehando a aprender. Caracas, Polar, 2001.

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um indivduo atua com o propsito de alcanar uma meta utilizando para tal alguma estratgia em particular3. A partir das concepes de problemas acima, entendemos que existe um problema quando h um objetivo a ser alcanado e no sabemos como atingir esse objetivo. Em matematiqus, existe um problema quando h um resultado conhecido ou no a ser demonstrado utilizando a teoria matemtica. Um problema mais valioso medida que o resolvedor ou seja, quem est se propondo a encontrar uma soluo ao problema - tenha de inventar estratgias e criar idias. Quem resolve pode at saber o objetivo a ser atingido, mas ainda estar enfrentando um problema se ele ainda no dispe dos meios para atingir tal objetivo.

Caracterizando um problemaResnick4 apontou vrias caractersticas dos problemas as quais procuramos resumir abaixo: 1. Sem algoritmizao: o caminho da resoluo desconhecido, ao menos em boa parte. 2. Complexos: precisam de vrios pontos de vista. 3. Exigentes: a soluo s atingida aps intenso trabalho mental; embora o caminho possa ser curto, ele tende a ser difcil. 4. Necessitam de lucidez e pacincia: um problema comea com uma aparente desordem de idias e preciso adotar padres que permitiro construir o caminho at a soluo. 5. Nebulosos: nem sempre todas as informaes necessrias esto aparentes; por outro lado, pode existir conflito entre as condies estabelecidas pelo problema. 6. No h resposta nica: normalmente ocorre de existirem vrias maneiras de se resolver um dado problema; no entanto, pode acontecer de no existir uma melhor soluo ou at de no haver soluo ou seja, resolver um problema no o mesmo que achar a resposta.

Problemas e exerccios: diferenasPor muitas vezes o professor de Matemtica da Educao Bsica costuma pedir para o aluno resolver exerccios ou problemas - at os livros didticos induzem a utilizar esta palavra - para aprender um determinado tpico da matria. Ou seja, preciso diferenciar problema de exerccio, palavras estas muitas vezes utilizadas como equivalentes pelos professores de Matemtica. O exerccio uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade ou conhecimento matemtico j conhecido pelo resolvedor, como a aplicao de algum algoritmo ou frmula j conhecida. Ou seja, o exerccio envolve mera aplicao de resultados tericos enquanto o problema necessariamente envolve inveno e/ou criao significativa.

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POGGIOLI, L. Estrategias de resolucin de problemas. Serie Ensehando a aprender. Caracas, Polar, 2001. RESNIK, L. & COLLINS, Allan. Cognicin y Aprendizaje. En Anuario Psicologa. N 69, pp 189-197. Barcelona, Grafiques 92, S.A,

1996.


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Por exemplo, considere como resolvedor um aluno no final do Ensino Fundamental ( importante dizer o perfil do resolvedor, pois o que pode ser um problema para uma pessoa pode no ser para outra que tenha mais conhecimento ou que j tenha visto o problema antes):q

Exerccio: resolver a equao x2 - 3x + 1 = 0 (supe-se que tal aluno conhea a frmula de Bhaskara). Problema: provar a frmula de Bhaskara (supe-se que tal aluno nunca tenha visto tal demonstrao, mas conhea a frmula); aqui percebemos a importncia de definir o perfil do aluno, pois para o professor este no seria um problema uma vez que provavelmente ele j viu esta demonstrao. Problema (mais difcil): descobrir, provando, uma frmula para resolver toda e qualquer equao algbrica do segundo grau (supe-se que tal aluno no conhea a frmula de Bhaskara).

q

q

O que um bom problema?Como podemos imaginar, problemas existem muitos. E, certamente, dependendo do nosso propsito, alguns problemas so melhores do que outros. Bons problemas para o desenvolvimento da matemtica Caso o nosso interesse seja avaliar o quo bom e til um problema matemtico medida que ele aprimora a cincia matemtica, ento importante medir no s o poder desafiador do problema para os matemticos, mas tambm o quanto ele mexe com a Matemtica. Quando dizemos que um problema mexe com a matemtica, queremos dizer o quanto um problema pode fazer com que entendamos melhor a matemtica, o quanto ele contribui para o desenvolvimento dos vrios ramos da matemtica, os benefcios que ele traz para o resolvedor de problemas no sentido de amadurecer o resolvedor para a habilidade de resolver problemas e ainda a possibilidade de surgimento de novos problemas. Um timo problema matemtico , sem dvida alguma, o problema de Fermat: Sendo n = 3, 4, 5, ..., mostrar que no h nenhuma trinca de inteiros positivos x, y, z verificando a equao xn + yn = zn O enunciado deste problema , de fato, bastante simples. No entanto, sua demonstrao precisou de quase 400 anos e foi obtida pelo matemtico A. Wilkes em 1995. A grandeza do Problema de Fermat no est na dificuldade ou utilidade deste resultado (que praticamente inexistente) e sim no fato de que as tentativas de resolv-lo produziram idias e problemas que fertilizaram inmeros campos da Matemtica tais como a Teoria dos Nmeros e a Geometria Algbrica. Bons problemas para o ensino de matemtica O nosso interesse pode ser o de eleger bons problemas tendo como objetivo o processo ensino-aprendizagem de Matemtica. Neste sentido, importante que o problema:q q

tenha enunciado acessvel e de fcil compreenso; exercite o pensar matemtico do aluno;5 de 21 Problemas matemticos: caracterizao, importncia e estratgias de resoluo.

Prof. Antnio Luiz Pereiraq q


exija criatividade na resoluo; possa servir de trampolim para a introduo ou consolidao de importantes idias e/ou conceitos matemticos; e, sobretudo, no seja muito fcil ou muito difcil e sim natural e interessante.

q

O professor pode passar ao aluno a idia de que resolver um problema pode ser comparado a vencer um jogo. Para ambos necessrio entender o objetivo, conhecer as regras e saber selecionar as estratgias que devem ser tomadas. importante diferenciar esta noo de bom problema para o ensino de matemtica com os desafios ao final dos captulos de alguns livros didticos ou dos rodaps de palavras cruzadas, revistas e almanaques, pois estes desafios ou charadas ou ainda quebra-cabeas tem por objetivo oferecer entretenimento e normalmente no exigem raciocnio dedutivo e levam obsesso por respostas corretas. O ensino de Matemtica torna-se muito mais interessante medida que se utiliza de bons problemas ao invs de se basear apenas em exerccios que remetem a reproduo de frmulas e se distanciam da realidade do aluno. Os problemas matemticos para o ensino de matemtica podem ser divididos em quatro tipos:q q q

Problemas de sondagem: para a introduo natural e intuitiva de um novo conceito; Problemas de aprendizagem: para reforar e familiarizar o aluno com um novo conceito; Problemas de anlise: para a descoberta de novos resultados derivados de conceitos j aprendidos e mais fceis que os problemas de sondagem; e Problemas de reviso e aprofundamento: para revisar os tpicos j vistos e aprofundar alguns conceitos. Construa um tringulo cujos lados meam 3cm, 4cm e 5cm. (a) Existe algum tringulo diferente do que voc construiu cujos lados tambm meam 3cm, 4cm e 5cm? Por qu? (b) Qual a medida do maior ngulo do tringulo que voc construiu? (c) Construindo trs quadrados (um sobre cada lado do tringulo que voc traou), que relao voc pode estabelecer entre a rea do maior e as reas dos dois menores? (d) O menos ngulo do tringulo construdo se ope a qual dos lados? E o maior?

q

Exemplo 1. Problema de sondagem.

Comentrios acerca do exemplo 1. Observe que o aluno basicamente s precisa saber o que um tringulo para comear a pensar neste problema. Resolvido o problema, sem o auxlio do professor, o aluno ganha um acrscimo de conhecimento matemtico (por exemplo, propriedades para tringulos retngulos como o Teorema de Pitgoras e propriedades para tringulos quaisquer como o fato do menor ngulo se opor ao menor lado e o maior ngulo se opor ao maior lado). Exemplo 2. Problema de aprendizagem. O mapa do tesouro: "Andem 20 passos a leste, a partir do velho carvalho, depois 15 passos a norte e 18 passos a oeste. Caminhem 9 passos a norte e outros 5 passos a leste e a encontraro meu tesouro".


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Nas condies do mapa, quantos passos em linha reta devemos andar, partindo do velho carvalho para chegarmos ao tesouro? Comentrios do problema 2. Este problema faz com que o aluno utilize conceitos de geometria de forma intuitiva relacionando com o seu dia a dia; note que no h a reproduo de frmulas matemticas, pois o problema exige a intuio e a criatividade do aluno e, a priori, no dada sugesto de caminho de resoluo. Exemplo 3. Problema de anlise. Existe um tringulo retngulo cujos lados sejam trs nmeros inteiros e consecutivos? Em caso afirmativo, determine a medida dos lados deste tringulo. Comentrios do problema 3. Este um problema de investigao, que remete o aluno a curiosidade e a descoberta. Para tal, o aluno precisa criar uma estratgia utilizando alguns conceitos j aprendidos e acaba por fixar estes conceitos e aprofundar o seu conhecimento. Exemplo 4. Problemas de reviso e aprofundamento. Ache a rea de um tringulo issceles em funo da medida de um dos seus lados congruentes e da altura do tringulo. Comentrios do problema 4. Ao mesmo tempo em que o problema leva a reviso dos conhecimentos relacionados a relaes mtricas em tringulos, ele possibilita a descoberta de um resultado novo.

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As heursticas de resoluo de problemas

Sobre o termo heursticaAntes de entrarmos na exposio e anlise das diversas heursticas de resoluo de problemas muito importante termos uma idia clara sobre o significado da palavra heurstica. Para tal, recorremos ao dicionrio Houaiss5 que noz traduz heurstica em vrios contextos:q q

Contexto cientfico: a cincia que tem por objetivo a descoberta dos fatos; Contexto de problematizao: a arte de inventar, de fazer descobertas ou mtodo de investigao baseado na aproximao progressiva de um dado problema; e Contexto pedaggico: mtodo educacional que consiste em fazer descobrir pelo aluno o que se lhe quer ensinar.

q

Percebemos, portanto, que falar em heurstica de resoluo de problemas falar sobre mtodos e regras que conduzem descoberta, inovao, investigao e resoluo de problemas6. Podemos tambm observar que heurstica pode referir-se tanto ao contexto cientfico quanto ao contexto educacional; para ns, ambos os contextos so pertinentes, pois ao mesmo tempo em que queremos avaliar a importncia da resoluo dos problemas na evoluo da matemtica descoberta de novos resultados, criao de novos, problemas, ..., etc. - tambm queremos ressaltar a importncia dos problemas no processo ensino-aprendizagem.

Um pouco de histria: os primeiros passos para uma heurstica de resoluo de problemasVrios pensadores e pesquisadores estudaram ou tm estudado e pesquisado a respeito da atividade de resolver problemas. Filsofos gregos Inicialmente, a atividade de resolver problemas recai na questo filosfica de pensar sobre o pensamento; neste sentido, os filsofos gregos como Scrates e Plato trazem algumas contribuies. Para Scrates, o indivduo j detm o conhecimento a ser usado para resolver o problema e, portanto, a atividade de resolver problemas no passa de mera recordao; para exemplificar seu mtodo, certa vez Scrates fez um escravo demonstrar o Teorema de Pitgoras apenas lhe fazendo algumas perguntas. Podemos notar, portanto, que o fato de Scrates fazer perguntas j era um encaminhamento na soluo do problema, o que ao nosso ver j tira em grande parte o mrito do escravo na resoluo pois ele contou com a ajuda das perguntas elaboradas por Scrates.5 6

HOUAISS, Antonio et al. Dicionrio Houaiss da Lngua Portuguesa. Rio de Janeiro, Objetiva, 2001, 1 ed., p. 1524. FERREIRA, Aurlio Buarque de Holanda. Novo Aurlio O dicionrio da lngua portuguesa. Rio de Janeiro, Nova Fronteira,

2000, 3 edio.


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As primeiras idias com Descartes As primeiras idias um pouco mais positivas e razoveis no sentido da heurstica de resoluo de problemas vem com filsofo e matemtico francs Descartes (1596 - 1650). Para o nosso propsito, o importante em Descartes so suas idias sobre pensamento produtivo que tinham um papel importante no seu ambicioso projeto de construo de um mtodo geral de resoluo de problemas. Descartes chegou a escrever dois volumes (o segundo incompleto) dentre trs planejados - do Rules for the Direction of the Mind, onde procurava expor em detalhes como, segundo seu mtodo, seria possvel resolver qualquer problema. Em resumo, Descartes v o processo de resoluo de problemas em trs fases:q q q

Reduzir todo problema algbrico a um problema contendo apenas equao(es); Reduzir todo problema matemtico a um problema algbrico; e Reduzir qualquer problema a um problema matemtico.

Podemos notar que Descartes objetiva reduzir todo problema que existe no mundo a um problema matemtico; mais que isso, a idia de Descartes era completar o projeto de resolver problemas citado acima e ainda usufruir de seus benefcios. Fica evidente, ao menos em nossa concepo, o carter irrealista do projeto de Descartes, a comear pela idia de reduzir todo problema a um problema matemtico (o que, convenhamos, nem sempre possvel). No entanto, Descartes apresenta algumas idias de valor e relevncia relacionadas ao ensino e que podem ser aplicadas a resoluo de problemas como, por exemplo:q

Regra IV: necessrio mtodo para descobrir as leis da natureza, ressaltando a importncia da sistematizao. Regra III: as nicas coisas que devemos aceitar so aquelas que ou podemos ver com clareza ou podemos deduzir com certeza, relevando a importncia da argumentao ao invs do uso da autoridade.q

q

Regra VII: Se chegarmos a um ponto onde no conseguimos entender o que est acontecendo, devemos fazer uma pausa e no prosseguir em um trabalho intil, mostrando que importante mantermos controle sobre o que estamos fazendo sob pena de se perder em um trabalho infrutfero.

importante citar Descartes em detalhes, pois algumas de suas sugestes para o ensino e a resoluo de problemas antecipam idias de George Polya. Graham Wallas e a escola Gestaltista de psicologiaGraham Wallas (1858 - 1932) psiclogo e cientista poltico ingls.

Aps Descartes, encontramos idias originais acerca de resoluo de problemas na escola Gestaltista de psicologia com o psiclogo e cientista poltico ingls Graham Wallas (1858 - 1932)7.

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Fonte: site http://www.lse.ac.uk/lsehistory/wallas.htm

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Para Wallas as quatro fases de resoluo de problemas so: 1. Saturao: voc trabalha no problema at ter feito tudo o que podia com ele. 2. Incubao: voc tira o problema do seu consciente e deixa o subconsciente tomar conta dele. Ou seja, voc dorme sobre ele. Esta parte fcil. 3. Inspirao: a resposta chega subitamente, sem que voc esteja pensando no problema. 4. Verificao: voc checa a soluo apenas para ter certeza de sua correo. A viso Gestaltista de Wallas fornece uma viso interessante da soluo de um problema e representa um passo importante como contraposio s idias de Descartes. No entanto, por apelar a noes vaga ligada ao funcionamento da mente, ela acaba no tendo grande valia como uma estratgia de resoluo de problemas. Skinner e a escola behavorista Uma mudana radical de posio em relao s idias de Descartes ou de Wallas encontrada na escola behavorista com o psiclogo americano B. F. Skinner (1904 1990)8. Ele prope, de fato, a completa excluso do conceito de mente da teoria do conhecimento. De acordo com Skinner as noes de mente e mentalismo so, na melhor das hipteses, construes inteis. A proposta de Skinner consiste ento em: 1. Determinar as aes produtivas. 2. Refor-las. Apesar da relevncia das idias de Skinner para, digamos, treinamentos de ratos e pombos, elas se revelaram, no mnimo, insuficientes para o ensino em nveis mais elevados.B. F. Skinner (1904 1990), psiclogo americano.

A heurstica de resoluo de problemas de George PolyaResolver problemas uma habilidade prtica, como nadar, esquiar ou tocar piano: voc pode aprend-la por meio de imitao e prtica. (...) se voc quer aprender a nadar voc tem de ir gua e se voc quer se tornar um bom resolvedor de problemas, tem que resolver problemas.9 Biografia de PolyaGeorge Polya (1897 1985), filsofo e matemtico hngaro.8 9

George Polya (1897 1985) foi um dos matemticos mais importantes do sculo XX. Nascido na Hungria, ele passou a maior parte

Fonte: site http://www.pbs.org/wgbh/aso/databank/entries/bhskin.html POLYA, George. Mathematical Discovery: on Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving. 2 vols. John Wiley,

1962-65, p. ix.


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do seu tempo pesquisando na universidade de Stanford nos Estados Unidos devido situao poltica da Europa na poca da Segunda Guerra Mundial. Pesquisou em vrios ramos da matemtica, como probabilidade e equaes diferenciais parciais; sua maior contribuio, no entanto, est relacionada heurstica de resoluo de problemas matemticos com vrias publicaes relacionadas ao assunto, em especial How To Solve It que vendeu mais de um milho de cpias - em 1957. Polya um dos matemticos do nosso sculo que considera a Matemtica uma cincia observacional na qual a observao e a analogia desempenham um papel fundamental; afirma tambm a semelhana do processo criativo na Matemtica e nas cincias naturais. Polya foi o primeiro matemtico a apresentar uma heurstica de resoluo de problemas especfica para a matemtica. Por isso, Polya representa uma referncia no assunto, uma vez que suas idias representam uma grande inovao em relao s idias de resoluo de problemas existentes at ento (vide Descartes, Wallas, Skinner). Muitas de suas idias so razoveis at os dias atuais, servindo de alicerce para trabalhos de outros pesquisadores contemporneos a Polya na rea nesta rea como Schoenfeld e Thompson. Etapas de resoluo de problemas, segundo Polya Procurando organizar um pouco o processo de resoluo de problemas, Polya o dividiu em quatro etapas. importante ressaltar que Polya nunca pretendeu que a sua diviso correspondesse a uma seqncia de etapas a serem percorridas uma depois da outra sem que nunca seja conveniente ou necessrio voltar atrs ou que a sua diviso funcionasse como uma poo mgica para resolver problemas matemticos. As quatro etapas de resoluo de problemas segundo Polya so: 1 etapa: compreenso do problema O primeiro passo entender o problema. importante fazer perguntas. Qual a incgnita? Quais so os dados? Quais so as condies? possvel satisfazer as condies? Elas so suficientes ou no para determinar a incgnita? Existem condies redundantes ou contraditrias? Construir figuras para esquematizar a situao proposta no exerccio pode ser muito til, sobretudo introduzindo-se notao adequada. Sempre que possvel, procurar separar as condies em partes. 2 etapa: construo de uma estratgia de resoluo Encontrar conexes entre os dados e a incgnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares caso uma conexo no seja encontrada em tempo razovel. importante fazer perguntas. Voc j encontrou este problema ou um parecido? Voc conhece um problema semelhante? Voc conhece teoremas ou frmulas que possam ajudar? Olhe para a incgnita e tente achar um problema familiar e que tenha uma incgnita semelhante.

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Caso voc encontre um problema relacionado ao seu e que voc sabe resolver, tente aproveit-lo. Voc pode usar seu resultado ou mtodo? necessrio introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos? Voc consegue enunciar o problema de uma outra maneira? Caso voc no consiga resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido! Voc consegue imaginar um caso particular mais acessvel? E um caso mais geral e/ou mais acessvel? Voc consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condies do problema e observe o que ocorre com a incgnita: como ela varia agora? Voc consegue obter alguma coisa desde os dados? Voc consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incgnita? Voc consegue alterar a incgnita ou os lados, ou ambos, de modo que a nova incgnita e os novos dados fiquem mais prximos? No se esquea de levar em conta todos os dados e todas as condies. 3 etapa: executando a estratgia Freqentemente, esta a etapa mais fcil do processo de resoluo de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tende a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal. Outros elaboram estratgias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execuo (e, deste modo, acabam sendo obrigados a voltar para a etapa anterior e elaborar uma nova estratgia). Ao executar a estratgia, verifique cada passo. Voc consegue mostrar que cada um deles est correto? 4 etapa: revisando a soluo Voc deve examinar a soluo obtida, verificando os resultados e os argumentos utilizados. Voc pode obter a soluo de algum outro modo? Qual a essncia do problema e do mtodo de resoluo aplicado? Em particular, voc consegue usar o resultado ou o mtodo em algum outro problema? Qual a utilidade deste resultado? A importncia de revisar a soluo Conforme vimos anteriormente, Polya dividiu o processo de resoluo de problemas matemticos em quatro etapas: entendimento do problema, inveno de estratgia de resoluo, execuo e reviso. A reviso da soluo a etapa mais importante segundo Polya, pois esta etapa propicia uma depurao e uma abstrao da soluo do problema:q

Depurao: o objetivo verificar a argumentao usada, procurando simplific-la; pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e s agora acessveis ao resolvedor. H uma crtica generalizada aos matemticos pesquisadores por publicarem demonstraes muito artificiais ou abstratas e que certamente no representam a maneira como o resultado em demonstrao foi descoberto. Contudo, inegvel que a reviso de depurao muito proveitosa.Agnelo, Antonio Mateus, Joo Matias e Thiago Rodrigo 12 de 21

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Abstrao: agora, o objetivo refletir no processo de resoluo procurando descobrir a essncia do problema e do mtodo de resoluo empregado; tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se- resolver outros problemas mais gerais ou de aparncia bastante diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do poder de fogo do resolvedor. Feito por um matemtico talentoso, esse trabalho de abstrao representa a possibilidade de fertilizao da Matemtica.

Observamos que na Educao Bsica existem ao menos caricaturas das trs primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca etapa da reviso. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma invivel de trabalhar face falta de tempo, dificuldade de testar, frustrao dos alunos, etc.

Os princpios heursticos de Alan SchoenfeldAlan Schoenfeld, atualmente professor na rea de desenvolvimento cognitivo do departamento de Matemtica da University de Califrnia at Berkeley, um importante pesquisador na rea de educao e desenvolvimento cognitivo relacionado Matemtica. Ele j foi presidente da American Educational Research Association (AERA) Associao de Pesquisas Educacionais dos EUA - e membro da National Academy of Education isto , a Academia Nacional de Educao dos EUA. De acordo com Alan Schoenfeld (1985), a compreenso e o ensino da matemtica devem ser abordados como um domnio de resoluo de problemas. Em seu livro Mathematical Problem Solving (1985), ele afirma que quatro categorias de conhecimento ou habilidades so necessrias para algum ser bemsucedido na matemtica: 1. Recursos: conhecimento de procedimentos e questes da matemtica. 2. Heursticas: estratgias e tcnicas para resoluo de problemas, tais como trabalhar o que foi ensinado, ou desenhar figuras. 3. Controle: decises sobre quando e quais recursos usar. 4. Convices: uma viso matemtica do mundo, que determina como algum aborda um problema. A teoria de Schoenfeld sustentada por uma vasta anlise de protocolo de alunos solucionando problemas. A estrutura terica est baseada em outros trabalhos da psicologia cognitiva, particularmente o trabalho de Newell & Simon. Schoenfeld (1987) d mais nfase importncia da metacognio e aos componentes culturais envolvidos no aprendizado da matemtica (isto , sistemas de convices) do que na sua formulao original. Percebemos, por Schoenfeld, que o conhecimento de heurstica de resoluo de problemas uma habilidade importante para um bom matemtico, de forma que no basta apenas ser um bom conhecedor da teoria matemtica para ser um bom resolvedor de problemas.Alan Schoenfeld, matemtico americano e pesquisador em desenvolvimento cognitivo.

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Nveis de capacidade de resoluo de problemasIntroduo Mesmo que uma pessoa tenha extenso conhecimento de um certo assunto matemtico, estando a includos um extenso conhecimento de algoritmos e at mesmo de heursticas, isso no bastante para garantir que ela tenha uma capacidade mnima de resolver problemas sobre esse assunto. Em Matemtica, diferentemente do que ocorre em muitas disciplinas, muito mais importantes que erudio e treinamento so:q

Uma intuio cultivada, capaz de fazer ressonar as informaes dadas no problema com conhecimentos e experincias do resolvedor. Uma profundidade intelectual do resolvedor que seja capaz de relacionar itens conceitualmente e/ou proceduralmente muito distantes entre si.

q

Em outras palavras: para uma dada pessoa, alm de muito da sua capacidade de resolver problemas ser determinada geneticamente, a realizao plena de seu potencial passa por uma orientao adequada e experiente. Nveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas M. G. Kantowski (1980), a partir de longas observaes, dividiu o continuum das capacidades pessoais de resoluo de problemas matemticos em quatro estgios. Novamente, a dotao gentica e a qualidade da orientao didtica determinaro quo longe uma dada pessoa conseguir ir nesse continuum. Ampliando os estgios de Kantowski para cinco, e usando nossa terminologia, teremos como estgios ou nveis de capacitao do resolvedor:q

Inerte: a pessoa tem nenhum ou quase nenhum entendimento do que seja resolver um problema matemtico; em particular, no capaz de atinar por onde comear. O mximo que se consegue fazer nesse estgio reproduzir procedimentos de resoluo muito simples e que foram exaustivamente explicados e exemplificados. Ou seja: uma pessoa nesse estgio est restrita ao mundo dos exerccios e necessrio que esses sejam bastante exemplificados. Imitador: com pouca explicao e exemplificao, torna-se capaz de fazer exerccios, mas ainda no capaz de resolver verdadeiros problemas; capaz de participar produtivamente em grupos que estejam discutindo a resoluo de problemas de tipo novo, contudo incapaz de trabalhar sozinho. Capaz: atingiu a capacidade de resolver problemas, mas esses devem ser variantes relativamente simples de problemas que aprendeu ou j resolveu. Avanado: alm de demonstrar uma capacidade superior de resoluo, atravs da velocidade de resoluo, da variedade e da maior complexidade dos problemas que capaz de enfrentar, a pessoa comea a ser capaz de conceber processos de resoluo diferentes dos que tinha aprendido. Artista: a pessoa no s atingiu uma proficincia superior de inventar novos processos de resoluo como se preocupa em explorar caminhos alternativos, buscando resolues mais elegantes ou poderosas.

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Exemplificando as idias de Polya e SchoenfeldIntroduoApresentamos vrias idias relacionadas resoluo de problemas matemticos. importante exemplificar problemas para que possamos ter uma noo da aplicao dessas idias e percebermos que, de fato, o conhecimento da heurstica de Polya e da concepo de Schoenfeld pode nos ajudar bastante a melhorar o nosso nvel de resoluo de problemas. Procuraremos exemplificar qualitativamente, com poucos exemplos, mas de forma a extrair o mximo possvel pertinente ao problema; ou seja, os exemplos sero abordados segundo a heurstica de Polya (seguindo a estratgia passo a passo) ou segundo a concepo de Schoenfeld. Nosso objetivo aqui , portanto, complementar a teoria j apresentada at ento para facilitar a compreenso do leitor.

Exemplo da utilizao da concepo de Alan SchoenfeldSchoenfeld utiliza em seu livro Mathematical Problem Solving (1985) um problema para ilustrar a sua teoria: Dadas duas linhas retas em interseo e um ponto P marcado em uma delas, mostrar como construir um crculo que tangente a ambas as linhas e tem o ponto P como seu ponto de tangncia em relao s duas linhas. Exemplos de conhecimento de recurso incluem o procedimento para desenhar uma linha perpendicular de ponto P at o centro do crculo e o significado desta ao. Uma heurstica importante para solucionar este problema construir um diagrama do problema. Uma estratgia de controle envolveria a deciso para construir um crculo e segmentos de linha usando um compasso e um transferidor. Uma convico que poderia ser relevante para este problema que as solues devem ser empricas (isto , construdas) em vez de derivadas de outros resultados tericos.

Exemplo da aplicao da estratgia de George PolyaVamos ilustrar a estratgia de resoluo de problemas proposta por Polya em seu livro How To Solve It atravs dos exemplos abaixo. Um gato est sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma distncia de 8m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha15 de 21 Problemas matemticos: caracterizao, importncia e estratgias de resoluo.



reta at o muro) comigo pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento que o rato tinha andado at ento. Qual a distncia que cada um percorreu? 1 etapa: compreenso do problema Para entendermos um problema devemos estar em condies de identificar as partes principais do problema, ou seja, a incgnita, os dados, a condicionante. Caso haja uma figura relacionada ao problema, importante desenh-la e adotar uma notao adequada. QUAL A INCGNITA ? A distncia que cada um percorreu; denotaremos a mesma por d. QUAIS SO OS DADOS? Altura do muro: 4m. Distncia do rato base do muro: 8m. A trajetria percorrida pelo gato uma linha reta diagonal. O muro perpendicular ao cho. TRAANDO UMA FIGURA PARA ESQUEMATIZAR O PROBLEMA:

2 etapa: estabelecimento de um plano Consideramos que temos um plano quando, ao menos em linhas gerais, sabemos quais so os clculos, construes, etc., que devemos efetuar para encontrar a soluo do problema considerado (G. Polya, A arte de resolver problemas) Vamos encontrar a conexo entre os dados e a incgnita do problema, reduzindo-a a figuras geomtricas com propriedades conhecidas. Neste caso, visualizamos trs tringulos (BGE, BGR e EGR), sendo os dois primeiros retngulos e o ltimo issceles. O plano resolv-lo atravs do tringulo retngulo menor (BGE, retngulo em GBE) aplicando o Teorema de Pitgoras, pois conhecemos a distncia BG = 4m e as distncias BE e GE em funo de d, isto , BE = 8 d e a distncia GE = d. 3 etapa: execuo do plano Nesta etapa devemos observar se possvel executar o plano. Observemos a figura construda novamente:


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d 2 = (8 - d) 2 + 4 2 d 2 = 64 - 16d + d 2 + 16 16d = 80 d=5 4 etapa: reviso da soluo Nesta etapa, examinamos a soluo obtida. POSSVEL VERIFICAR O RESULTADO?

De fato, basta substituir d = 5 na figura acima e teremos a seguinte situao:

Deste modo, chegamos a resposta de que a distncia percorrida tanto pelo gato quanto pelo rato 5m. POSSVEL VERIFICAR O ARGUMENTO ?

O argumento utilizado foi o Teorema de Pitgoras, cujo uso era vlido pelo fato do tringulo BGE ser retngulo em B. POSSVEL UTILIZAR O RESULTADO OU O MTODO EM ALGUM OUTRO PROBLEMA?

Notamos que todo tringulo retngulo de catetos 3 e 4 possui hipotenusa 5 (o famoso tringulo retngulo 3, 4 e 5, o nico de lados sendo inteiros consecutivos). O Teorema de Pitgoras extremamente til e empregado na resoluo de muitos problemas. POSSVEL CHEGAR AO RESULTADO POR CAMINHO DIFERENTE?

Uma idia poderia ser olhar para o tringulo issceles EGR e utilizar a lei dos co-senos. No garantimos que, de fato, haja uma soluo por este caminho, mas ao menos parece ser um caminho interessante!17 de 21 Problemas matemticos: caracterizao, importncia e estratgias de resoluo.




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ConclusesA resoluo de problemas a essncia do desenvolvimento da Matemtica tem um papel extremamente importante no ensino da Matemtica em todos os nveis. Compreender as idias contidas neste texto poder ajudar bastante o leitor a ter uma viso mais apurada da matemtica, do ensino e desenvolvimento desta cincia e, porque no, do mundo no qual estamos inseridos. As etapas de resoluo de problemas propostas por Polya no se constituem em uma poo mgica para resolver todo e qualquer problema matemtico, mas podem ajudar bastante quem quer se tornar um bom resolvedor de problemas ou ainda, quem j o e pretende se aperfeioar nesta tarefa. As idias de Polya ajudam o resolvedor no sentido de organizar as idias do mesmo e, da nossa perspectiva, quando temos idias organizadas a soluo de um problema se torna uma tarefa comumente mais simples em comparao a uma situao onde as idias no esto organizadas. A viso de um bom matemtico dado por Schoenfeld trouxe uma valorizao do matemtico: no adianta ser um bom terico, mas preciso tambm ser um bom resolvedor de problemas e isto inclui saber organizar as suas idias e ter criatividade para fazer novas descobertas. Sem o desejo de querermos ser pretensiosos, concordamos que o estudo da heurstica de resoluo de problemas - embora esta seja especfica da cincia matemtica - um dos assuntos que mais indaga a origem da criatividade do pensamento humano que constitui um dos elementos fundamentais do desenvolvimento da matemtica como cincia que auxilia a resoluo de vrios dos problemas humanos. Portanto, um matemtico conhecedor de heursticas de resoluo de problemas possui um diferencial a seu favor, pois provavelmente ter uma viso mais completa da matemtica e ter mais facilidade para lidar com os problemas que aparecem em suas pesquisas, alm de saber organizar melhor o seu raciocnio e isto pode ser estendido para todas as pessoas, no se restringindo aos matemticos. Um professor conhecedor de heurstica de resoluo de problemas que, ao nosso ver, no se restringe matemtica - dispe de um importante recurso para desenvolver a sua metodologia e com isso facilitar e aprimorar o processo ensino-aprendizagem, tornando os alunos mais criativos e encorajados a realizar novas descobertas o que importante em todos os campos do conhecimento.

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Livrosq

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Sobre a capaA capa deste trabalho uma homenagem a George Polya10 (foto maior) e Alan Schoenfeld11 (em destaque, no canto inferior direito), considerados os dois maiores pesquisadores em heurstica de resoluo de problemas matemticos.

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A foto de Polya cortesia do site http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Polya.html A foto de Schoenfeld cortesia do site http://www-gse.berkeley.edu/Faculty/aschoenfeld/

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Documents

Mat450 2001242 Seminario 8 Resolucao Problemas