MAT5771 - Geometria Riemanniana - Prova Final4/7/2012

PROF. CLAUDIO GORODSKI

Questão 1 Seja"( : [a, b] -+ M uma geodésica em uma variedade Riemanniana M. Suponha quep = "((a) e q = "((b) não são pontos conjugados ao longo de "(. Mostre que dados U E TpM, v E TqMexiste um único campo de Jacobi J ao longo de "( tal que J(a) = u, J(b) = v. (1 ponto)

Questão 2 Seja M uma variedade Riemanniana compacta e sejam p, q dois pontos em M cujadistância realiza o diâmetro de M, a saber, d(p, q) = diam(M).

a. É verdade que q E Cut(p)? Por quê? (0,5 ponto)

b. É verdade que p e q são pontos c.Ç:mjugad~ao longo de uma geodésica? Por quê? (0,5 ponto)Q<~é\ '~fÀVf:.

Questão 3 Exiba um exemplo ou"prOYC ~ tal exemplo não existe:

a. Uma variedade Riemanniana compacta e simplesmente conexa com curvatura seccional não-positiva. (1 ponto)

b. Uma variedade Riemanniana completa M e um ponto p E M tal que o locus dos primeirospontos conjugados de p não coincide com cut-Iocus. (1 ponto)

c. Uma variedade Riemanniana compacta com curvatura de Ricci positiva e grupo fundamentalinfinito cíclico. (1 ponto)

Questão 4 Seja M uma variedade Riemanniana completa. Suponha que existe p E M tal queexpp : TpM -+ M tem posto máximo em todos os pontos. Mostre que esta aplicação é umrecobrimento. (1 ponto)

Questão 5 Mostre que a esfera unitária sn C Rn+l tem curvatura seccional constante igual a 1.(1 ponto)

Questão 6 Seja

G = { (8 ~ ~) : a, b,c E R}

o grupo de Heisenberg e considere sua álgebra de Lie

9 = { (8 8 ~) : x, y, z E R}

que é gerada pelos vetores

(O 1 O ) (O O O

) (X= O O O , y= O O 1 , z=O O O O O O

a. Mostre que [X, Y] = Z, [Z,X] = [Z,Y] = O. (0,5 ponto)Introduza uma métrica invariante à esquerda em G de modo que X, Y, Z seja um referencialortonormal.

O O 1O O OO O O ).

b. Calcule a conexão de Levi-Cività. (1 ponto)

c. Mostre que o tensor de Ricci tem auto-valores positivos e negativos. (1 ponto)

d. Mostre que a curvatura escalar é constante. (0,5 ponto)

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