matem-shkola.ucoz.ua · УДК 512 ББК 22.14 Б12 БабенкоС.П. Усiурокиалгебри.9клас.—Х.:Вид.група«Основа», 2009.— 304с.—(Серiя

Харків Видавнича група «Основа»

2009

УДК 512ББК 22.14

Б12

Бабенко С. П.Усi уроки алгебри. 9 клас. — Х.: Вид. група «Основа»,

2009. — 304 с.— (Серiя «12�рiчна школа»).

ISBN 978�611�00�0259�2.

Докладнi розробки урокiв до вивчення алгебри в 9 класi запрограмою 12�рiчної школи.

Цiкавi методичнi рекомендацiї, рiзноманiтнi прийоми робо�ти iз завданнями, велика кiлькiсть усних вправ, широкий вибiрформ перевiрки знань, використання iгрових моментiв на уроцi,грамотне урахування вiкових особливостей — усе це вигiдновiдрiзняє посiбник вiд традицiйних планiв�конспектiв урокiв.

Посiбник для вчителя нового поколiння.УДК 512

ББК 22.14

Навчальне видання

Серiя «12�рiчна школа»

БАБЕНКО Свiтлана Павлiвна

Усi уроки алгебри. 9 клас

Навчально�методичний посiбник

Головний редактор І. С. МарковаРедактор Г. О. Новак

Комп’ютерна верстка О. В. Лєбєдєва

Пiдписано до друку 01.06.2009. Формат 60×90116. Папiр газетний.

Гарнiтура «Шкільна». Друк офсетний. Ум. друк. арк. 19,00. Зам. № 9�06/08�05.ТОВ «Видавнича група “Основа”».

Свiдоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 вiд 25.07.2007.Україна, 61001 Харкiв, вул. Плеханiвська, 66.

Тел. (057) 731�96�33. E�mail: [email protected]

Віддруковано з готових плівок ПП «Тріада+»Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 1870 від 16.07.2007.

Харків, вул. Киргизька, 19. Тел.: (057) 757�98�16, 757�98�15.

2 С. П. Бабенко

Б12

© Бабенко С. П., 2009

© ТОВ «Видавнича група “Основа”», 2009ISBN 978�611�00�0259�2

ВСТУП

Матерiали посiбника призначенi для вчителiв загальноосвiтнiх на�вчальних закладiв, якi викладають алгебру в 9 класi 12�рiчної школи.

Посiбник мiстить детальнi розробки урокiв. У наведених конспектахподаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис обладнання, яке не�обхiдне для проведення уроку.

Розробляючи плани урокiв, автор дбав про те, щоб систематично за�крiплювався матерiал, вивчений на попереднiх уроках. У розробках пе�редбачено рiзноматнiтнi форми органiзацiї роботи учнiв пiд час уроку,зокрема самостiйнi роботи навчаючого i контролюючого характеру, ма�тематичнi диктанти, фронтальне опитування, розв’язання задач за гото�вими кресленнями.

Змiстова частина конспектiв урокiв має заголовок «Хiд уроку». Тутвiдображено: етапи уроку; змiст навчального матерiалу, що виноситьсяна урок; система завдань, необхiдна для досягнення дидактичної мети;методи, форми i засоби, якi доцiльно використати на уроцi; домашнє за�вдання.

До окремих фрагментiв уроку подаються докладнi методичнi рекомен�дацiї. Бiльша частина завдань також супроводжується методичними ко�ментарями (у текстi вони позначаються ), якi допоможуть учителю вра�хувати особливостi розв’язування цих вправ.

Детальнi методичнi рекомендацiї, рiзноманiтнi прийоми роботи, ве�лика кiлькiсть усних вправ, широкий вибiр форм перевiрки знань, ура�хування вiкових особливостей учнiв — усе це вiдрiзняє пропонованийпосiбник вiд традицiйних планiв�конспектiв та дає можливiсть його ви�користання також учителями, якi працюють за рiзними пiдручникамиз алгебри для 9 класу.

Автор сподiвається, що вчителi не формально використовувати�муть рекомендацiї цього посiбника, а вiзьмуть їх за основу й склада�тимуть свої поурочнi плани, враховуючи особливостi кожного класу.

Усi уроки геометрiї. 9 клас 3

УРОКИ АЛГЕБРИ У 9 КЛАСІ(за програмою 12 рiчної школи)

ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯІ семестр — 32 години (2 години на тиждень),ІІ семестр — 38 годин (2 години на тиждень),усього — 70 годин

№уро�ку

Змiст навчального матерiалу(тема уроку)

Кiль�кiстьгодин

Датапро�

веден�ня

При�мiтки

Тема 1. Нерівності 16

1, 2 Числові нерівності. Доведення числовихнерівностей

2

3, 4 Основні властивості числових нерівнос�тей

2

5, 6 Почленне додавання і множеннянерівностей. Застосування числовихнерівностей для оцінювання значеннявиразу

2

7 Розв’язування задач 1

8 Числові нерівності. Основні властивостічислових нерівностей. Контрольна робо�та № 1

1

9 Нерівність з однією змінною. Система тасукупність нерівностей з однією змінною

1

10 Числові проміжки. Переріз і об’єднанняпроміжків

1

11, 12 Лінійна нерівність з однією змінною 2

13, 14 Розв’язування систем (сукупностей)лінійних нерівностей з однією змінною

2

15 Підсумковий урок з теми «Нерівності» 1

16 Контрольна робота № 2 1


№уро�ку



Датапро�

веден�ня

При�мiтки

Тема 2. Квадратична функція 22

17–19

Функції. Властивості функції: нуліфункції, проміжки знакосталості, зрос�тання і спадання функції

3

20,21

Найпростіші перетворення графіківфункцій

2

22,23

Функція y ax bx c= + +2 , її властивості та

графік

2

24,25

Квадратна нерівність. Розв’язуванняквадратних нерівностей

2

26 Підсумковий урок з теми «Функції.Властивості функції. Функціяy ax bx c= + +2 . Розв’язування

квадратних нерівностей»

1


28 Графік рівняння з двома змінними 1

29,30

Системи рівнянь з двома змінними.Графічний спосіб розв’язання системрівнянь з двома змінними

2

31–33

Розв’язування систем рівняньз двома змінними

3

34–36

Розв’язування текстових задачскладанням систем рівняньз двома змінними

3

37 Підсумковий урок з теми «Системирівнянь з двома змінними»

1


Тема 3. Елементи прикладноїматематики

10

39, 40 Математичне моделювання 2

41, 42 Відсоткові розрахунки. Формуласкладних відсотків

2

Усі уроки алгебри. 9 клас 5

№уро�ку



Датапро�

веден�ня

При�мiтки

43,44

Випадкова подія. Ймовірність випадко�вої події

2

45,46

Статистичні дані. Способи поданняданих

2

47 Підсумковий урок з теми«Елементи прикладної математики»

1


Тема 4. Числові послідовності 12

49 Числові послідовності. Властивості чис�лових послідовностей

1

50,51

Арифметична прогресія. Формула п�гочлена арифметичної прогресії

2

52,53

Сума перших п членів арифметичноїпрогресії

2

54 Геометрична прогресія 1

55 Геометрична прогресія. Формула п�гочлена геометричної прогресії

1

56,57

Сума перших п членів геометричної про�гресії

2

58 Нескінченна геометрична прогресія( q < 1) та її сума

1

59 Підсумковий урок з теми«Числові послідовності»

1


Тема 5. Повторення і систематизаціянавчального матеріалу

10

61 Числові нерівності 1

62 Розв’язування лінійних нерівностейта їх систем

1


№уро�ку



Датапро�

веден�ня

При�мiтки

63 Функції, властивості функції, власти�вості квадратичної функції

1

64 Розв’язування рівнянь та нерівностейз однією змінною

1

65 Розв’язування систем рівнянь з однієюзмінною

1

66 Числові послідовності 1

67 Розв’язування прикладних задач 1


69,70

Розв’язування задач 2


ТЕМА 1. НЕРIВНОСТI

І. Числовi нерiвностi та їх властивостi (8 год)

Урок № 1Числовi нерiвностi. Доведення числових нерiвностей

Мета: домогтися засвоєння учнями:означення, що виражає залежнiсть мiж вiдношеннями «бiльше»,«менше», «дорiвнює» й знаком рiзницi лiвої та правої частин не�рiвностi;поняття числової нерiвностi, уявлення про види числових нерiв�ностей;поняття «довести нерiвнiсть», змiсту алгоритму доведення не�рiвностей.Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивчених понять та алгоритмiв;застосовувати їх для розв’язування завдань на порiвняння число�вих i буквених виразiв та доведення нерiвностей у найпростiшихвипадках.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Числовi нерiвностi».

Хiд уроку

І. Органiзацiйний етап

Вступне слово вчителя про:особливостi вивчення алгебри в 9 класi;органiзацiю навчального процесу в 9 класi ( робимо акцент на не�обхiдностi пiдготовки до державної пiдсумкової атестацiї);будову пiдручника.

ІІ. Перевiрка домашнього завдання

Учитель перевiряє лiтнє домашнє завдання (якщо таке було задано).

ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку

Усвiдомленому сприйняттю учнями необхiдностi вивчення основ�ного питання уроку (означення, що виражає залежнiсть мiж вiдно�шеннями «бiльше», «менше», «дорiвнює» й знаком рiзницi лiвої таправої частин нерiвностi), пропонуємо учням завдання:

1) Який iз записiв: 25 > 17, 0,32 < 0,4, 0,5 = 1,4 – 0,9 зайвий? Чому?2) Який iз записiв: 25 > 17, 0,32 < 0,4, 0,5 < 1,4 – 0,9 зайвий? Чому?


Пiд час обговорення результатiв виконання завдання пiдводимоучнiв до висновку про те, що в 7 класi було вивчено питання провиди, властивостi й способи перетворення виразiв, якi не мiстятьдiлення на змiнну (цiлi вирази); у 8 класi вивчалися види, власти�востi й способи перетворень виразiв, якi мiстять дiлення на змiнну(дробовi вирази). Отже, в 9 класi виникає необхiднiсть узагальнитизнання про види виразiв та логiчний зв’язок мiж ними. Це i є основ�ною дидактичною метою вивчення роздiлу «Нерiвностi».

ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь

Виконання усних вправ1. Порiвняйте числа:

1) 7,8 i 7,08; 2) 121

3i 12

1

4; 3) –17,5 i –18,5.

2. Подайте у виглядi квадрата двочлена вираз:1) x x2 10 25+ + ; 2) m m2 6 9− + ; 3) z n zn2 2 2+ − .

3. Порiвняйте з нулем значення виразу:

1) 2 1− ; 2) a2 1+ ; 3) ( )− −a 12.

4. Який знак має добуток ab, часткаa

b, якщо:

1) a i b — числа одного знака; 2) a i b — числа рiзних знакiв?

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матерiалу1. Означення, що виражає залежнiсть мiж вiдношеннями «бiльше»,

«менше», «дорiвнює» й знаком рiзницi лiвої та правої частин не�рiвностi.

2. Види числових нерiвностей.3. Алгоритм доведення числових нерiвностей.4. Приклади доведення числових нерiвностей.

Конспект 1

Числовi нерiвностi

1. Означення

a b> , якщо a b− > 0; a b< , якщо a b− < 0; a b= , якщо a b= .

2. A B> , A B< — строгi нерiвностi;

A B≤ , A B≥ — нестрогi нерiвностi.

5 8< , a2 0≥ — правильнi нерiвностi;

( )a − ≤2 02

, 3 4> — неправильнi нерiвностi.


3. Щоб довести нерiвнiсть A B≤ , тобто довести, що вона є правильноюпри заданих умовах, треба:

1) скласти рiзницю лiвої та правої частин нерiвностi;

2) перетворити складену рiзницю так, щоб можна було визначити її знак;

3) зробити висновок.

4. Приклад. Довести нерiвнiсть ( ) ( )a a a− < −4 22.

Доведення. Розглянемо рiзницю

( ) ( )a a a a a a a− − − = − − + − = − <4 2 4 4 4 4 02 2 2 .

Отже, ( ) ( )a a a− < −4 22

при будь�якому a.

Вивчення матерiалу уроку починається з формулювання за�гального означення понять «бiльше», «менше» або «дорiв�нює», що є узагальненням правил порiвняння рiзних видiвдiйсних чисел, якi було вивчено протягом попереднiх рокiвнавчання в школi. Пiд час вивчення цього питання слiд звер�нути увагу учнiв на те, що сформульоване означення є унiвер�сальним, тобто може бути використане не тiльки для порiв�няння будь�якого виду чисел, але й для порiвняння виразiв.

Пiсля формулювання означення вчитель має систематизуватизнання учнiв щодо видiв нерiвностей за їх знаком та змiстом. Прицьому можна провести паралелi iз видами числових рiвностей. Пара�лель бажано проводити й пiд час вивчення властивостей числовихнерiвностей, тобто учнi мають усвiдомити: як рiвностi, так i нерiв�ностi являють собою записи певного виду, але за змiстом подiляють�ся на правильнi й неправильнi.

З розгляду видiв нерiвностей цiлком логiчно випливає питанняпро доведення того факту, що задана нерiвнiсть є правильною (абонеправильною). Таким чином, учитель формує уявлення учнiв прозмiст поняття «довести нерiвнiсть» i послiдовнiсть дiй у ходi дове�дення нерiвностi (алгоритм доведення нерiвностi), яка далi iлюстру�ється вiдповiдним прикладом на доведення числової нерiвностi.

VІ. Формування вмiнь

Виконання усних вправ1. Порiвняйте з нулем рiзницю лiвої та правої частин правильної не�

рiвностi: 1) a b< ; 2) m n> ; 3) p≤ 4; 4) 8 > y; 5) n ≤ −7.2. Порiвняйте a i b, якщо:

1) a b− = −5; 2) a b− = 37, ; 3) a b− = −2 1; 4) a b− = −π 4.


3. Спростiть вираз: 1) ( )5 2a + ; 2)( ) ( )10 2 10 4a a− − − ; 3) ( ) ( )b b b− − +1 12.

Виконання письмових вправ1. Порiвняйте числа x i y, якщо рiзниця x y− дорiвнює: 8; 0; –1,5.2. Позначте на координатнiй прямiй точки, що зображають числа p,

q i r, якщо p r< , r q< .

3. Порiвняйте числа: 1)3

5i

15

26; 2)

1

3i 0,4; 3) −11

13i −3

4.

4. Порiвняйте значення виразiв ( )5 2 2a a+ − i 3 4a − при a = −3; a = 0 1, .Доведiть, що при будь�якому значеннi a значення першого виразубiльше за вiдповiдне значення другого виразу.

5. Доведiть нерiвнiсть:1) ( )2 3 5 7 8a a a− + < + ; 2) ( )( )a a a a− + > + −4 5 302 ;

3) ( ) ( )b b b− > −5 102

; 4) ( ) ( )( )a a a a+ < + +7 3 4 .

6. Доведiть нерiвнiсть:1) a b ab2 2 2+ ≥ ; 2) a a2 9 6+ ≥ ;3) ( )m m n mn+ ≥ ; 4) ( )( )2 21 5 52y y y− > + − .

7. Нехай a > 0, b < 0. Порiвняйте з нулем вираз:

1) a b− ; 2) 2 3a b− ; 3) b a− ; 4) 7 9b a− ; 5)a

a b5 −; 6)

b

b a−.

З метою кращого засвоєння учнями змiсту матерiалу уроку ре�комендується пiд час виконання вправ неодноразово повторю�вати вiдповiднi означення (включаючи також i умову рiвностiчисел). Важливо сформувати в учнiв умiння виконувати по�рiвняння чисел через геометричнi уявлення в прямому i зво�ротному порядку (одне число бiльше за друге, якщо воно ле�жить на координатнiй прямiй праворуч, i навпаки, якщо числолежить праворуч на координатнiй прямiй, то бiльшим є воно).Пiд час формування вмiнь застосовувати алгоритм доведеннячислових нерiвностей, слiд вимагати вiд учнiв чiтких i по�слiдовних записiв у зошитах та докладних усних коментарiв.Оскiльки цей урок є першим у темi, то на ньому бажано вико�нувати вправи на доведення нерiвностей, якi передбачають от�римання певного числового значення рiзницi лiвої та правоїчастин нерiвностi. Бiльш складнi випадки, якi передбачаютьвидiлення повного квадрата, або iншi способи визначення зна�ка рiзницi лiвої та правої частин нерiвностi, розглядаємо на на�ступному або на цьому уроцi ( це залежить вiд рiвня навчальноїдiяльностi учнiв та сприйняття нового матерiалу).


VІІ. Пiдсумки уроку

Тестове завдання1. Яке з наведених тверджень правильне, якщо c d− = 2?

А) c d< ; Б) c d≥ ; В) c d= ; Г) c d> .2. Порiвняйте значення виразiв ( )a a b+ i ab.

А) ( )a a b ab+ > ; Б) ( )a a b ab+ ≥ ;В) ( )a a b ab+ < ; Г) Порiвняти неможливо.

VІІІ. Домашнє завдання

Вивчити означення понять, розглянутих на уроцi.Виконати вправи.

1. Порiвняйте числа m i n, якщо рiзниця m n− дорiвнює: 3; –3.2. Позначте на координатнiй прямiй точки, що зображають числа a,

b i c, якщо c b> , b a> .

3. Розмiстiть у порядку зростання числа:1

3;

4

11;

2

7.

4. Порiвняйте значення виразiв ( )6 2 4b b− + i 10 1b + при b = −0 1, ; b = 0.Доведiть, що при будь�якому значеннi b значення першого виразуменше вiд вiдповiдного значення другого виразу.

5. Доведiть нерiвнiсть:1) ( )12 8 4 8 0 5b b b+ > + − , ; 2) ( )( )2 13 3 2 5 42x x x x+ + < + + ;

3) ( )( )b b b− + > −3 3 142 ; 4) ( ) ( )( )a a a a+ < + +7 3 4 .

6. Доведiть нерiвнiсть:1) 4 42+ ≥b b; 2) ( )x x x+ > −2 2 3; 3) ( )a a b ab+ + >1 .

Повторити формули скороченого множення та означення й влас�тивостi степеня з парним та непарним натуральним показником.

Урок № 2Числовi нерiвностi. Доведення числових нерiвностей

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:класичних нерiвностей для суми взаємно обернених додатних чи�сел, середнього арифметичного двох невiд’ємних чисел (порiвнян�ня з їх середнiм геометричним) та доведення цих нерiвностей;способу застосування розглянутих нерiвностей пiд час доведенняiнших нерiвностей.Продовжити роботу з формування вмiнь:вiдтворювати змiст вивчених понять, алгоритмiв та застосовуватиїх для розв’язування завдань на порiвняння числових та буквенихвиразiв;


застосовувати набутi знання пiд час доведення нерiвностей у най�простiших випадках;доводити нерiвностi з використанням означення, подальшого пе�ретворення рiзницi лiвої та правої частин нерiвностi та видiленняквадрата двочлена.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Доведення нерiвностей».

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.


Ретельно перевiряється правильнiсть виконання вправ домаш�ньої роботи в учнiв, якi потребують додаткової педагогiчної уваги(зiбрати зошити на перевiрку).

Фронтальну перевiрку якостi виконання вправ домашньої роботиможна провести у формi завдання «Знайди помилку».

Знайди помилку1. Вiдомо, що c b> , b a> , тодi на коорди�

натнiй прямiй числа a, b, c розташованiтак, як показано на рисунку.

2. Порiвняємо вирази ( )6 2 4b b− + i 10 1b + .

Розглянемо рiзницю

( ) ( )6 2 4 10 1 6 12 4 10 1 11b b b b b b− + − + = − + − − = − .

Отже, ( )6 2 4 10 1b b b− + > + .


Створенню вiдповiдної мотивацiї на уроцi сприятиме виконанняучнями завдання.

Порiвняйте два вирази, якщо вiдомо, що рiзниця першого й дру�

гого виразiв дорiвнює: а)( )a b

ab

− 2

; б)( )a b−

2

2, якщо a > 0, b > 0.

Пiсля обговорення результатiв, отриманих у ходi виконання за�вдання, сумiсними зусиллями доходимо висновку: порiвняння ви�разiв шляхом визначення знака рiзницi двох виразiв та застосуванняозначення порiвняння чисел можна проводити навiть тодi, колирiзниця є буквеним виразом, що мiстить квадрат двочлена. Вивчен�ня цього питання i є основною дидактичною метою уроку. Завдання


xb a c

на урок логiчно випливають iз цiєї мети: сформулювати загальнеправило, а також навчитися застосовувати це правило для розв’язу�вання задач на доведення нерiвностей.


Виконання усних вправ1. Обчислiть значення виразу:

1) 12

7− ; 2)

1

32− ; 3)

−−

7 5

2 5

,

,; 4) –27:81; 5) –3,7–0,4; 6)

1

50 2− , ;

7) 61

3⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

; 8) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

2

2

; 9) 25:23; 10)5

125

5

.

2. Порiвняйте числа m i n, якщо:

1) m n− = −2; 2) n m− = −2; 3) m n− = −3 2; 4) m n= +2.

3. Подайте у виглядi квадрата вираз: 1) 4; 2) 4 2a ; 3) a, a ≥ 0; 4) 4a.4. Додатними чи вiд’ємними є числа a i b, якщо:

1) ab > 0; 2)a

b> 0; 3) ab < 0; 4) a b2 0> ?


План вивчення нового матерiалу

1. Доведення нерiвностia

b

b

a+ ≥ 2, a > 0, b > 0.

2. Доведення нерiвностia b

ab+ ≥2

, a ≥ 0, b ≥ 0.

3. Приклади застосування доведених нерiвностей.Чинна програма передбачає формування в учнiв умiнь дово�дити нерiвностi шляхом:

зведення її до правильної числової нерiвностi;порiвняння з нулем рiзницi частин нерiвностi з подальшим видi�ленням повного квадрата;застосування нерiвностi для двох взаємно обернених додатних чисел;застосування нерiвностi мiж середнiм арифметичним та геомет�ричним двох невiд’ємних чисел.Цi вмiння мають досить широке подальше практичне застосуван�

ня. Саме тому вже на цьому та другому уроках у роздiлi, присвячено�му вивченню способiв доведення нерiвностей, розглядаються такi пи�тання:

про доведення нерiвностей у випадку, якщо рiзниця лiвої та правоїчастин нерiвностi є буквеним виразом;


про застосування до доведення нерiвностей спiввiдношень мiж се�реднiм арифметичним та середнiм геометричним двох невiд’ємнихчисел та сумою двох взаємно обернених додатних чисел.Успiшному та свiдомому сприйняттю матерiалу уроку допоможе

виконання усних вправ на порiвняння з нулем буквеного виразу, наповторення формул скороченого множення, квадрата двочлена зок�рема. Пiсля виконання цих вправ цiлком логiчним є доведеннянерiвностi для суми двох додатних взаємно обернених чисел та длясереднього арифметичного й середнього геометричного двох невiд’єм�них чисел. Пiд час доведення цих нерiвностей звертаємо увагу учнiвна те, що порiвняння з нулем рiзницi лiвої та правої частин не�рiвностi стає можливим, якщо видiлити квадрат двочлена у здобуто�му буквеному виразi. Обов’язково треба пояснити учням, чому мовайде про видiлення повного квадрата (а не куба, наприклад). Такожзауважуємо, що зазначеним способом можна довести й iншi не�рiвностi. Для цього розглядаємо приклад, що iлюструє спосiб мiрку�вань пiд час доведення подiбних нерiвностей. Залежно вiд рiвнянавчальних досягнень учнiв класу нерiвнiсть мiж середнiм арифме�тичним та середнiм геометричним двох невiд’ємних чисел можнаузагальнити для скiнченної кiлькостi чисел. Можна також зазначи�ти, що така нерiвнiсть називається нерiвнiстю Кошi.

Пiд час доведення нестрогих нерiвностей обов’язково зазначаємо,що нестрогi нерiвностi вважаються доведеними, якщо наведено умо�ву, за якої досягається рiвнiсть.

Конспект 2

Доведення нерiвностей

1. Довести, що при додатних a i b правильна нерiвнiсть

a

b

b

a+ ≥ 2, (1)

тобто сума двох додатних взаємно обернених чисел не менша нiж 2.

Доведення. Складемо рiзницю лiвої та правої частин нерiвностi та пере�

творимо її:( )a

b

b

a

a ab b

ab

a b

ab+ − = − + =

−2

22 2 2

.

Оскiльки ( )a b− ≥20 i ab > 0 для будь�яких додатних a i b, то

( )a b

ab

−≥

2

0.

Отже, нерiвнiсть доведено.

Нерiвнiсть перетворюється на рiвнiсть за умови, що a b= .


2. Довести, що при невiд’ємних a i b правильна нерiвнiсть

a bab

+ ≥2

, (2)

тобто середнє арифметичне двох невiд’ємних чисел не менше вiд їх серед�нього геометричного.

Доведення. Складемо рiзницю лiвої та правої частин нерiвностi та пере�творимо її:

( )a bab

a ab b a b+ − = − + =−

2

2

2 2

2

.

Оскiльки ( )a b− ≥2

0, то( )a b−

≥

2

20. Отже, нерiвнiсть доведено.

Нерiвнiсть перетворюється на рiвнiсть за умови, що a b= .

Зауваження. Нерiвнiстьa b

ab+ ≥2

зручно застосовувати, якщо її записа�

но у виглядi a b ab+ ≥ 2 .

3*. Нерiвнiсть Кошi для трьох невiд’ємних чисел a, b i c:a b c

abc+ + ≥

33 .

4. Приклади застосування

1) Довести, що при невiд’ємних a i b правильна нерiвнiсть ab ab+ ≥1 2 .

Доведення. Оскiльки a ≥ 0 i b ≥ 0, то за нерiвнiстю 2 маємо:ab ab ab+ ≥ ⋅ =1 2 1 2 , що й треба було довести.

2) Довести нерiвнiстьa

a

2

2

3

22

++

> .

Доведення.a

a

a

a

a

a aa

a

2

2

2

2

2

2 2

2

2

3

2

2 1

2

2

2

1

22

1

2

++

= + ++

= ++

++

= + ++

.

Оскiльки a2 2+ i1

22a +є взаємно оберненими додатними виразами,

причому a2 2 1+ ≠ , то за нерiвнiстю 1 маємо: aa

2

22

1

22+ +

+> .

Отже, нерiвнiсть доведено.


Виконання усних вправ

1. Порiвняйте числа k i p, якщо: 1) k p− = −3; 2) k p= +2; 3) k p+ = +2 2.

2. Порiвняйте з нулем значення виразу:

1) m2 ; 2) m2 1+ ; 3) ( )m +12; 4) ( )m −1

2; 5) ( )− −m 1

2; 6) − −m2 1.


Виконання письмових вправ1. Доведiть, що при додатних a i b справджується нерiвнiсть

( )a ba b

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟≥1 1

4.

2. Що бiльше: a b3 3+ або ( )ab a b+ , якщо a i b — нерiвнi додатнi числа.

3. Доведiть нерiвнiсть:

1)c

c2 1

2

+ ≥ ; 2)a

а

4

2

12

+ ≥ ; 3) 91

6aa

+ ≥ при a > 0; 4)x

x

2

41

1

2+≤ .

4*. Доведiть нерiвнiсть:1) ( )( )( )a b c abc+ + + ≥4 1 4 32 при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0;

2) 10 6 2 2 02 2a a ab b− + + + > ; 3) a a a3 28 2 4+ ≥ + при a ≥ −2;

4)b

b2

25

24

+ ≥ + .

На цьому уроцi вiдповiдно до мети проводиться робота з фор�мування вмiнь доводити нерiвностi iз використанням озна�чення (див. алгоритм, складений на попередньому уроцi),а також формуються вмiння застосовувати нерiвностi для до�ведення нерiвностей. Оскiльки цей матерiал вимагає вiд учнiвдостатнього та високого рiвнiв знань та вмiнь, то є обов’язко�вим тiльки для учнiв вiдповiдного рiвня навчальних досяг�нень.


Тестове завдання1. Вiдомо, що a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1. Яка з наведених нерiвностей

є правильною? 1) a c> ; 2) a c< ; 3)a c

ac+ ≥2

; 4) aa

+ >12.

2. Вiдомо, що a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. Яка з наведених нерiвностейє правильною? 1) ab < 0; 2) cd < 0; 3) ad < 0; 4) cd2 0> .


Вивчити схему доведення нерiвностей, розглянутих на уроцi.Виконати вправи.


1) 9 3 32 2x xy y xy− + ≥ ; 2) ( ) ( )5 3 3 2 12− ≥ − +y y y ;

3) ( ) ( )8 3 10 5 82

b b b− < − ; 4) ( )a a+ > −1 4 12

.

2. Який знак має число x, якщо вiдомо, що:1) 8 3x x< ; 2) 7 4x x> ; 3) 2 3x x< − ; 4) − > −10 2x x?



1) ( )4 3 482

a a+ ≥ ; 2) ( ) ( )4 2 3 22

b b b+ < + − ;

3) ( )2 22 2 2a b c a b c+ + ≥ + ; 4)a a

a a

2

2

2

12

+ +

+ +≥ .

Повторити властивостi числових рiвностей (див. табл. 4. Алгебрав таблицях, Є. П. Нелiн).

Урок № 3Основнi властивостi числових нерiвностей

Мета: домогтися засвоєння учнями змiсту:основних властивостей числових нерiвностей та їх наслiдкiв;способу доведення властивостей числових нерiвностей.Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивчених властивостей та наслiдкiв з них, їхдоведення;застосовувати їх для виконання вправ на порiвняння буквених ви�разiв та доведення вiдповiдних нерiвностей.Тип уроку: засвоєння знань, формування первинних умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi числових не�

рiвностей».

Хiд уроку




Самостiйна роботаВарiант 1

1. Порiвняйте числа a i b, якщо вiдомо, що:

1) a b− < 0; 2) a b− = −0 2, ; 3) a b− = −2 3 3 2; 4) a b− = +3 5 6 2 .

2. Доведiть, що при будь�якому значеннi a справджується нерiвнiсть:1) 3 1 4 2( ) ( )a a a+ + < + ; 2) ( ) ( )( )3 6 3 6 4a a a a+ < + + ;

3) a a a2 1− + ≥ ; 4)a

a2 1

2

+ ≥ .

Варiант 21. Порiвняйте числа a i b, якщо вiдомо, що:

1) a b− > 0; 2) a b− = 34, ; 3) a b− = −2 7 5 2; 4) 2 5 3 3− = −a b.


2. Доведiть, що при будь�якому значеннi b справджується нерiвнiсть:

1) ( )( )7 1 7 1 49 2b b b+ − < ; 2) ( ) ( )( )4 1 2 7 2 9b b b b− > + − ;

3) b b b b2 250 15 1− ≤ − + ; 4)b

b2 1

1

2+≤ .


На цьому етапi уроку доречним буде слово вчителя про те, що:

вивчення будь�якого математичного поняття включає в себе ви�вчення означення, властивостей та ознак цього поняття (якщо такiiснують), а також питання про зв’язок поняття, що вивчається, iзвивченим ранiше матерiалом;

незважаючи на досить велику зовнiшню вiдмiннiсть, що iснує мiжрiвностями та нерiвностями, вони мають дуже багато спiльних влас�тивостей (доречно продемонструвати кiлька найпростiших прикла�дiв iз числовими рiвностями та вiдповiдними числовими нерiвнос�тями), але при цьому мають суттєвi вiдмiннi властивостi (навестикiлька прикладiв iз числовими рiвностями та нерiвностями).Цiлком логiчно сформулювати такi завдання на урок:

вивчення властивостей числових нерiвностей (через їх порiвнянняз вiдповiдними властивостями числових рiвностей);

доведення властивостей числових нерiвностей iз використаннямвивченого на попереднiх уроках означення;

опанування учнями прийомiв використання доведених властивос�тей для розв’язування задач на доведення нерiвностей.Як варiант роботи на цьому етапi уроку (за умови вiдповiдного

рiвня iнтелектуальної активностi учнiв) моделюємо проблемну ситу�ацiю (порiвняти числа), розв’язання якої неможливе без вивченнявластивостей числових нерiвностей. Отже, завданням уроку є усунен�ня протирiччя мiж тими знаннями, якими учнi володiють, та тимизнаннями, якi є необхiдними для розв’язання поставленого завдання.


Виконання усних вправ1. Порiвняйте числа x і y, якщо:

1) ( )x y− = −0 12

, ; 2) x y− = −3 4; 3) ( )x y c− = −12.

2. Запишiть вираз у виглядi многочлена:

1) ( )m −12; 2) ( )( )x x− +3 3 ; 3) ( )( )x x− +1 2 ;

4) ( )( )m m− +2 2 ; 5) ( )m m m m+2 .



План вивчення нового матерiалу1. Основнi властивостi числових нерiвностей.2. Наслiдки з властивостей числових нерiвностей.3. Приклади застосування властивостей числових нерiвностей та на�

слiдкiв з них.Умiння аргументовано мiркувати пiд час оцiнки значень ви�разiв є одним з найважливiших умiнь, що передбаченi чин�ною програмою з математики. Роботу з формування такихумiнь було розпочато на попереднiх двох уроках, проте на нихдля аргументацiї дiй учнiв були використанi лише означенняпорiвняння чисел та в окремих випадках опорнi нерiвностi.На цьому уроцi учнi мають отримати на озброєння бiльшрiзноманiтний перелiк способiв, якi представленi основнимивластивостями числових нерiвностей. Пiд час закрiпленнязнань про цi властивостi слiд звернути увагу учнiв на момен�ти, якi сприятимуть бiльш свiдомому засвоєнню навчальногоматерiалу, а саме:

доведення властивостей ґрунтується на означеннi порiвняння чи�сел (тобто проводиться через порiвняння з нулем рiзницi лiвої таправої частин деякої нерiвностi);змiст властивостей бажано викласти як математичною мовою(у виглядi серiї логiчно пов’язаних мiж собою нерiвностей), такi в словесний формi;властивiсть 4 (див. конспект 3) виконується в поданому виглядiтiльки у випадку, якщо числа додатнi;закрiплення змiсту кожної з доведених властивостей бажано про�вести на певному конкретному прикладi.Виходячи з вище зазначеного, засвоєння знань бажано провести

iз якомога широким залученням учнiв до роботи з доведення власти�востей числових нерiвностей.


Виконання усних вправ1. Порiвняйте x та y, якщо x< 3i 3> y.2. Вiдомо, що m n< . Якi з наведених нерiвностей є правильними?

1) m n+ < +3 3; 2) m n− < −1 1; 3) m n+ > +3 1;

4) 5 5m n< ; 5) − < −3 3m n; 6)m n

7 7< .

Вiдповiдь обґрунтуйте.


Конспект 3

Властивостi числових нерiвностей

1. Якщо a b> , то b a< .

2. Якщо a b> , b c> , то a c> .

3. Якщо a b> , то a c b c+ > + .

Наслiдок. a c b+ > i a b c> − .

4. 1) Якщо a b> i c > 0, то ac bc> ; 2) якщо a b> i c < 0, то ac bc< .

Наслiдок. Якщо a b> > 0, то1 1

a b< .

Приклади

Вiдомо, що a b< . Порiвняйте значення виразiв:

1) 3a i 3b; 2) −a i −b; 3)1

2+ a i

1

2+ b; 4) − +a

31 i − +b

31.

Розв’язання

1) Оскiльки a b , то за властивiстю 4 маємо: 3 3a b< ;

2) оскiльки a b −a b;

3) оскiльки a b< , то за властивiстю 3 маємо:1

2

1

2+ < +a b;

4) оскiльки a b< , то за властивiстю 4 маємо: − > −a b

3 3, а за властивiстю 3:

− + > − +a b

31

31.

Виконання письмових вправ1. Вiдомо, що a b< . Поставте замiсть * знак > або < так, щоб дiстати

правильну нерiвнiсть:

1) 5 5a b* ; 2) − −9 9a b* ; 3) − −a b* ; 4)1

2

1

2a b* ; 5)

a b

8 8* ; 6) − −a b

5 5* .

2. Вiдомо, що a b< . Використовуючи властивостi нерiвностей, за�пишiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо, якщо:1) до обох частин нерiвностi додамо число –2;2) обидвi частини нерiвностi помножимо на 3;3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –1;4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на 5.

3. Доведiть твердження:

1) якщо ac bc> i c > 0, то a b> ; 2) якщоa

c

b

c .

4. Порiвняйте числа a i d, якщо: 1) a b ; 2) b a− < 0 i d b− < 0.


5. Порiвняйте числаc

ai

c

b, якщо 0 < 0.

6. Розмiстiть у порядку зростання числа1

a,

1

b,

1

c, якщо всi вони до�

датнi й a b> , b c> .7*. Доведiть твердження:

1) якщо a b .

8*. Доведiть, що при y> 1 значення виразуy

y y y y

y

y

2

2 2

3

1

2 1 3

1

+−

−−

+ −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:

додатне.Набiр вправ, що наведено для закрiплення знань про власти�востi числових нерiвностей та формування вмiнь їх застосову�вати до порiвняння виразiв, є традицiйним. Також тради�цiйними залишаються й вимоги, яких мають дотримуватисьучнi пiд час виконання цих вправ. Такими обов’язковими ви�могами є:

чiтке та повне вiдтворення вiдповiдних властивостей числових не�рiвностей пiд час коментування учнями дiй у ході виконання за�пропонованих вправ;обов’язкове покрокове письмове обґрунтування дiй пiд час засто�сування властивостей числових нерiвностей.


Тестове завданняВiдомо, що a b> > 0. Яка з наведених нерiвностей є неправильною?

1) − < −5 5а b; 2) 3 3+ > +a b; 3)a b

3 3< ; 4)

1 1

a b< .


Вивчити змiст та доведення властивостей числових нерiвностей(див. конспект 3).

Виконати вправи.1. Вiдомо, що x y> . Використовуючи властивостi нерiвностей, запи�

шiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо, якщо:1) до обох частин нерiвностi додамо 9;2) вiд обох частин нерiвностi вiднiмемо число –3;3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –5;4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на –3.


2. Доведiть твердження:

1) якщо an bn> i n < 0, то a b< ; 2) якщоa

n

b

n 0, то a b< .

3. Порiвняйте числа m i k, якщо: 1) m n> i k n< ; 2) m n− > 0 i n k− > 0.

4. Порiвняйте числаc

ai

c

b, якщо 0 < <a b i c > 0.

Виконати вправу на повторення.Доведiть нерiвнiсть:

1) ( )x x+ ≥1 42

; 2) ( ) ( )4 2 3 22

x x x+ < + − ; 3) ( )a b a b2 2 2 2+ + ≥ + .

Урок № 4Основнi властивостi числових нерiвностей

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту поняття «оцiни�ти значення виразу». Продовжити роботу над засвоєнням знань прозмiст властивостей числових нерiвностей та їх наслiдкiв.

Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивчених властивостей числових нерiвностей,їх наслiдкiв та доведення цих тверджень;застосовувати властивостi числових нерiвностей для розв’язуван�ня задач на порiвняння буквених виразiв та доведення вiдповiднихнерiвностей;оцiнювати значення виразу iз використанням властивостей число�вих нерiвностей та поняття подвiйної нерiвностi.Тип уроку: доповнення знань, формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Оцiнювання виразiв».

Хiд уроку




Правильнiсть виконання вправ домашнього завдання перевiря�ємо за зразком.

Учнi з високим рiвнем навчальних досягнень виконують iндивi�дуальнi завдання.

Індивiдуальнi завданняКартка 1

1. Вiдомо, що a b> . Розташуйте в порядку зростання числа: a +8, b −4,a +3, a, b −1, b.


2. Вiдомо, що a b> > 0. Поставте замiсть * знак > або < так, щоб дiста�ти правильну нерiвнiсть:1) 12 10a b* ; 2) 6a b* ; 3) − −15 14a b* ; 4) − −3 2a b* .

3. Нехай a > 0 i b > 0. Чи правильно, що:1) якщо a b> , то a b2 2> ; 2) якщо a b2 2> , то a b> ?


1) ( )a a a+ + >10 2 10 ; 2) ( )a a+ ≥2 82

.

Картка 21. Вiдомо, що a b> . Розташуйте в порядку зростання числа: a +2, b −8,

a +11, a, b −6, b.2. Вiдомо, що a b> > 0. Поставте замiсть * знак > або < так, щоб дiста�

ти правильну нерiвнiсть:1) 8 6a b* ; 2) 12a b* ; 3) − −6 4a b* ; 4) − −11 3a b* .

3. Нехай a < 0 i b < 0. Чи правильно, що:1) якщо a b< , то a b2 2< ; 2) якщо a b2 2< , то a b< ?


1) ( )x x x+ + >4 6 4 ; 2) ( )a a+ ≥6 242

.

ІІІ. Формулювання мети i завдань урокуЗ метою усвiдомлення учнями необхiдностi вивчення нового ма�

терiалу уроку (використання властивостей числових нерiвностей дляоцiнювання значення виразу) можна запропонувати їм виконативiдповiдне завдання практичного змiсту.

Завдання. Вiдомо, що ширина прямокутної дiлянки землi дорiвнюєa м, а довжина — b м, причому 145 146, ,< <a i 20 4 20 5, ,< <b . Чи виста�чить дроту для огорожi цiєї дiлянки, якщо його довжина дорiвнює 71 м?

Виконання цього завдання вимагає вiд учнiв дiй, пов’язаних з оцiн�кою значення виразу iз використанням заданих подвiйних нерiвнос�тей та властивостей числових нерiвностей. Аналiзуючи змiст та мож�ливi шляхи розв’язання цiєї задачi, учнi мають дійти висновку проiснування певного виду практичних завдань, виконання яких вима�гає вiд них умiнь застосовувати властивостi числових нерiвностей.Таким чином, формулюється мета: сформувати уявлення про вид за�вдань (на оцiнку значення виразу) та засвоїти знання про загальнусхему дiй пiд час розв’язування таких задач.


Виконання усних вправ1. Порiвняйте числа a i b, якщо:

1) ( )a b− = −0 23

, ; 2) a b= − π; 3) a b c c− = − +2 2 1.


2. Вiдомо, що a > 4. Чи правильнi нерiвностi:1) a + >3 7; 2) a + >3 6; 3) 3 12a > ; 4) a > 0? Вiдповiдь обґрунтуйте.

3. Порiвняйте з нулем значення виразу:1) 2 2+m ; 2) − −2 2n ; 3) ( )2

2−n .

4. Вiдомо, що a b> . Порiвняйте вирази:

1) a +7 i b +7; 2) 7 2, a i 7 2, b; 3) −16 2, a i −16 2, b; 4) b −8 i a −8; 5) −a

5i −b

5.

V. Засвоєння знаньПлан вивчення нового матерiалу

1. Що означає «оцiнити значення виразу».2. Якi дiї та в якому порядку слiд виконати, щоб оцiнити значення

виразу? Приклад.Пiд час формування уявлення про змiст поняття «оцiнити зна�чення виразу» вчитель має звернути увагу учнiв на те, що навiдмiну вiд абстрактних ситуацiй, що розглядаються в матема�тичних задачах, у реальному життi ми, як правило, маємо спра�ву не з точними значеннями величин (якi дiстаємо за допомогоюобчислень), а з наближеними значеннями величин (якi одер�жуємо в результатi вимiрювань). Саме тому пiд час розв’язуван�ня практичних задач краще ставити питання не про обчисленнязначення виразiв, а про оцiнку значення виразiв, тобто про ви�значення границь (чисел), за якi не виходитиме наближене зна�чення певної величини. Таким чином, формулюється уявленняучнiв про змiст поняття «оцiнити значення виразу» i йоговiдмiннiсть вiд змiсту завдання «знайти значення виразу».

З метою кращого засвоєння учнями послiдовностi дiй пiд час роз�в’язування задач на оцiнку значення виразу, перед вивченням ма�терiалу уроку бажано виконати вправи на повторення змiсту власти�востей числових нерiвностей та способи мiркувань пiд час їхзастосування для порiвняння виразiв та доведення нерiвностей. Дляцього учням пропонуємо виконати уснi вправи (див. актуалiзацiя…).



1. Вiдомо, що 4 6< <a . Оцiнiть: 2a;a

2; a +1.

2. Вiдомо, що a > 3. Оцiнiть:1

a; −a.

3. Вiдомо, що − < <6 8x . Оцiнiть:

1) 3x; 2) −4x; 3)x

3; 4) x−1. Вiдповiдь обґрунтуйте.


Конспект 4

Оцiнювання виразiв

1. Якщо про деякий вираз ( величину) A вiдомо не його точне значення,а нерiвнiсть, яку задовольняє A:

b A c< < ,

де b i c — деякi дiйснi числа, то кажуть, що ми оцiнили значення виразу(величини) A.

2. Якщо необхiдно оцiнити значення виразу ( )P x (величини) зi змiнноюx, про яку вiдомо, що b x c< < (b c< ), то треба:

1) встановити правильну послiдовнiсть дiй, яку слiд виконати з x, щобутворився вираз ( )P x ;

2) до заданої нерiвностi b x c< < застосувати вiдповiднi властивостi число�вих нерiвностей (усi властивостi числових нерiвностей, якi були розгля�нутi для нерiвностей вигляду a b< , виконуються й для подвiйнихнерiвностей) у встановленому порядку.

3. Приклад. Оцiнити периметр правильного трикутника зi стороною a см,якщо 54 2 54 3, ,< <a .

Розв’язання. Периметр правильного трикутника зi стороною a обчис�люється за формулою: P a= 3 .

Помножимо на 3 всi частини заданої нерiвностi, запишемо результат:

54 2 54 3, ,< <a , 3 54 2 3 3 54 3⋅ < < ⋅, ,a , 162 6 3 162 9, ,< <a .

Отже, 162 6 162 9, ,< <P .

Виконання письмових вправ

1. Вiдомо, що 32 34, ,< <a . Оцiнiть значення виразу:

1) a +4; 2) 2a; 3) 3 2a − .

2. Вiдомо, що − ≤ <2 5x . Оцiнiть значення виразу:

1) 15 3, x− ; 2) −x; 3) 15 3, − x.

3. Вiдомо, що 0 5 2, < <c . Оцiнiть значення виразу:

1)1

c; 2)

3

c; 3) −2

c.

4. Оцiнiть периметр квадрата зi стороною b см, якщо 38 42, ,< ; 2) a a2 10 30 0− + > ;

3) x xy y2 2 0+ + ≥ ; 4) x xy y2 2 0− + ≥ .

2. Розв’яжiть рiвняння7 11

2

3 13

518

2 2x x− − + = .


Властивостi числових нерiвностей є пiдґрунтям для засвоєннязнань учнiв про способи розв’язування лiнiйних та не�лiнiйних нерiвностей iз однiєю змiнною. Тому на цьому уроцi,формуючи вмiння використовувати властивостi числових не�рiвностей для оцiнювання значення виразу, продовжуєтьсяробота iз застосування знань властивостей числових нерiвнос�тей та вмiнь їх застосовувати для порiвняння значень виразiвта доведення числових нерiвностей.


Тестове завдання

1. Оцiнiть значення c, якщо 41

20< <c

.

А) 4 20< <c ; Б) − < < −20 4c ; В) 0 05 0 25, ,< <c ; Г) 0 04 0 2, ,< <c .2. Оцiнiть довжину m середньої лiнiї трикутника з основою a см,

якщо 12 6 12 8, ,< <a .А) 10 6 10 8, ,< <m ; Б) 6 3 6 4, ,< <m ; В) 252 256, ,< <m ; Г) 12 6 12 8, ,< <m .


За конспектом вивчити змiст основних понять уроку.Виконати вправи.

1. Вiдомо, що 14 16, ,< <c . Оцiнiть значення виразу:1) c −1; 2) 3c; 3) 2 3c + .

2. Вiдомо, що 0 3< ≤y . Оцiнiть значення виразу:

1) −y; 2) − +2 1y ; 3)1

y.

3. Оцiнiть периметр рiвностороннього трикутника зi стороною a дм,якщо 17 19, ,< <a .

4. Розв’яжiть рiвняння14

9

2

3 92

2

32x x−+

−= .

Повторити властивостi числових рiвностей та їх застосування.Виконати вправу на повторення.Розв’яжiть систему рiвнянь:

1)( )

( )

1

34

1

42

x y

x y

− =

+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,

;

2)( )

( )2 4 3 2

2 5 2 5

− = −

+ = +

⎧⎨⎩

y x

x y y

,

, .


Урок № 5Почленне додавання i множення нерiвностей.Застосування властивостей числових нерiвностейдля оцiнювання значення виразу

Мета: сформувати в учнiв уявлення про почленне додавання тамноження нерiвностей; розглянути теореми про почленне додаванняi почленне множення числових нерiвностей та наслiдкiв з них.

Сформувати вмiння вiдтворювати названi властивостi числовихнерiвностей та використовувати цi властивостi для оцiнки значеннявиразiв, а також продовжити роботу з удосконалення вмiнь та нави�чок доведення нерiвностей, порiвняння виразiв iз використаннямозначення та властивостей числових нерiвностей.

Тип уроку: застосування знань, формування первинних умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Додавання i множення чис�

лових нерiвностей».

Хiд уроку

І. Органiзацiйний етапПеревiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.


Тестове завдання (з наступною перевiркою)Варiант 11) Порiвняйте з нулем рiзницю правої та лiвої частин нерiвностim n≤ :А) бiльша за 0; Б) менша вiд нуля;В) дорiвнює нулю; Г) менша або дорiвнює нулю.2) Вiдомо, що a b> . Якому з наведених чисел може дорiвнюватизначення виразу a b− ?А) –5; Б) 0; В) 0,3; Г) будь�якому.3) Вiдомо, що a b< . Яка з наведених нерiвностей є правильною?

А) − < −5 5a b; Б) 3 3+ > +a b; В)a b

3 3< ; Г) a b+ >2 .

4) Оцiнiть значення виразу −a, якщо − < <2 1a .А) − < − <2 1a ; Б) 1 2< − <a ; В) 2 1< − < −a ; Г) − < − <1 2a .5) Порiвняйте значення виразiв ( )2 3 5a a− + i 7 8a + при всiх допус�тимих значеннях змiнних.А) ( )2 3 5a a− + > 7 8a + ; Б) ( )2 3 5a a− + < 7 8a + ;В) ( )2 3 5a a− + ≤ 7 8a + ; Г) ( )2 3 5a a− + ≥ 7 8a + .6) Порiвняйте числа m i n, якщо m a> i n a< .А) m n> ; Б) m n< ; В) m n≤ ; Г) неможливо визначити.


Варiант 21) Порiвняйте з нулем рiзницю правої та лiвої частин нерiвностia c> .А) бiльша за 0; Б) менша вiд нуля;В) дорiвнює нулю; Г) бiльша або дорiвнює нулю.2) Вiдомо, що a b< . Якому з наведених чисел може дорiвнюватизначення виразу a b− ?А) –5; Б) 0; В) 0,3; Г) будь�якому.3) Вiдомо, що a b≥ . Яка з наведених нерiвностей є правильною?А) 3 3a b> ; Б) a b− ≥ −5 5; В) − < −0 4 0 4, ,a b; Г) 7 3a b≥ − ?

4) Оцiнiть значення виразу1

a, якщо 7 11< <a .

А)1

11

1 1

7< <

a; Б) − < < −1

11

1 1

7a; В)

1

7

1 1

11< <

a; Г) iнша вiдповiдь.

5) Порiвняйте значення виразiв 12 8a + i ( )4 8 0 5a a+ − , при всiх до�пустимих значеннях змiнних.А) 12 8a + < ( )4 8 0 5a a+ − , ; Б) 12 8a + > ( )4 8 0 5a a+ − , ;В) 12 8a + ≤ ( )4 8 0 5a a+ − , ; Г) 12 8a + ≥ ( )4 8 0 5a a+ − , .6) Порiвняйте числа m i n, якщо m d− > 0 i d n− > 0.А) m n> ; Б) m n< ; В) m n≤ ; Г) неможливо визначити.


З метою свiдомої участi учнiв у формулюваннi мети урокуможна запропонувати їм практичне завдання геометричногозмiсту (наприклад, на оцiнку периметра та площi прямокут�ника, довжини сумiжних сторiн якого подано у виглядi по�двiйних нерiвностей). Пiд час бесiди вчитель спрямовує дум�ку учнiв на той факт, що хоча завдання є схожим на тi, щобули розв’язанi на попередньому уроцi (див. урок № 4, оцiни�ти значення виразiв), проте, на вiдмiну вiд зазначених, неможуть бути розв’язанi тими самими засобами, оскiльки не�обхiдно оцiнити значення виразiв, що мiстять двi (а в пер�спективi й бiльше) змiннi. Таким чином, учнi усвiдомлюютьiснування протирiччя мiж знаннями, яких вони набули, танеобхiднiстю розв’язання певної задачi.

Результатом виконаної роботи є формулювання мети уроку —вивчити питання про такi властивостi нерiвностей, якi можуть бутизастосованi у випадках, подiбних до описаних у запропонованомуучням завданнi. Отже, треба чiтко сформулювати математичною мо�вою та у словесному виглядi, а потiм довести вiдповiднi властивостi


числових нерiвностей, навчитися їх використовувати в комплексiз вивченими ранiше властивостями числових нерiвностей для розв’я�зування типових задач.



1. Порiвняйте числа a i b, якщо:

1) ( )a b− = −0 34

, ; 2) ( )a b− = −0 33

, ; 3) a b= + −2 1;

4) a b= + +2 1; 5) a b x x− = − +2 2 1.

2. Вiдомо, що m n< . Яка з наведених нерiвностей є правильною:

1) 2 2m n> ; 2) m n− > −2 2; 3) − > −2 2m n; 4)1 1

m n< ?

3. Який iз наведених виразiв набуває тiльки додатних значень:

1) x x2 10 25+ + ; 2) x x2 2 2+ + ; 3) ( )x−62;

4) | |m −5 ; 5) | |m − +1 4; 6) x2 5+ ?



1. Теорема про почленне додавання числових нерiвностей (iз дове�денням).

2. Теорема про почленне множення числових нерiвностей (iз дове�денням).

3. Наслiдок iз теореми про почленне множення числових нерiвно�стей (iз доведенням).

4. Приклади застосування доведених властивостей.

Свiдомому сприйняттю нового матерiалу, запропонованого наурок, сприятиме виконання усних вправ iз вiдтвореннямозначення порiвняння чисел та вiдомих учням iз попереднiхурокiв властивостей числових нерiвностей.

Зазвичай учнi добре засвоюють змiст теорем про почленне дода�вання та множення числових нерiвностей, проте досвiд роботи свiд�чить про схильнiсть учнiв до певних хибних узагальнень. Тому з ме�тою попередження помилок пiд час застосування знань учителюбажано звернути увагу учнiв (за допомогою прикладiв та контрпри�кладiв) на деякi контрольнi моменти:

свiдоме застосування властивостей числових нерiвностей немож�ливе без умiння записувати цi властивостi як математичною мо�вою, так i в словесному виглядi;


теореми про почленне додавання та множення числових нерiвно�стей виконуються тiльки для нерiвностей однакових знакiв;теорема про почленне додавання числових нерiвностей вико�нується за певної умови (див. вище) для будь�яких чисел, а теоремапро почленне множення (в тому виглядi, як це подано в конспек�тi 5) — тiльки для додатних чисел;теореми про почленне вiднiмання та почленне дiлення числових не�рiвностей не вивчаються, тому у випадках, коли необхiдно оцiнитирiзницю або частку виразiв, цi вирази подаються у виглядi суми абодобутку вiдповiдно, й потiм за певних умов використовують власти�востi почленного додавання та множення числових нерiвностей.

Конспект 5Додавання та множення числових нерiвностей

1. Теорема. Якщо почленно додати правильнi нерiвностi однакового знака,залишивши їх спiльний знак, то дiстанемо правильну числову нерiвнiсть.

Якщо a b< i c d< , то a c b d+ < + .

Якщо a x b1 1< < i a y b2 2< < , то a a x y b b1 2 1 2+ < + < + .

2. Теорема. Якщо почленно помножити правильнi нерiвностi однаковогознака, в кожнiй частинi яких — додатнi числа, залишивши їх спiльнийзнак, то дiстанемо правильну нерiвнiсть.

Якщо 0 < <a b i 0 < <c d, то ac bd< .

Якщо a x b1 1< , a2 0> , то a a xy b b1 2 1 2< < .

3. Наслiдок. Якщо a b 0, n — натуральне число, то a bn n< .

4. ПрикладиВiдомо, що 11 14< <x i 1 2< <y . Оцiнiть: 1) x y+ ; 2) xy; 3) x y− ; 4)

x

y.


1) За теоремою про почленне додавання нерiвностей маємо: 12 16< + <x y .

2) За теоремою про почленне множення нерiвностей маємо: 11 28< <xy .

3) Запишемо x y− у виглядi суми: ( )x y+ − .

Оцiнимо −y: − > − > −1 2y або − < − < −2 1y . За теоремою про почленне дода�вання нерiвностей маємо: 9 13< − <x y .

4) Запишемо часткуx

yу виглядi добутку x

y⋅ 1

.

Оцiнимо1

y: 1 2 1

1 1

2< < ⇒ > >y

yабо

1

2

11< <

y.

За теоремою про почленне множення нерiвностей маємо: 5 5 14, < <x

y.



Виконання усних вправ1. Додайте та помножте почленно нерiвностi:

1) 5 4> i 7 2> ; 2) 5< a i 7 < b; 3) 1 2< <a i 3 4< 2, 2 3< <a до:

1) квадрата; 2) куба.3. Чи дiстанемо правильну нерiвнiсть того самого знака, якщо пiд�

несемо до квадрата обидвi частини нерiвностi:1) − <5 1; 2) a < 1?

Виконання письмових вправ1. Додайте почленно нерiвностi:

1) − > −7 9 i 9 4> ; 2) 13 2 5, , i 0 5 0 4, ,> .3. Пiднесiть до квадрата обидвi частини нерiвностi:

1) 9 7> ; 2) 0 9 12, ,< .4. Вiдомо, що 2 4< <a i − < < −5 2b . Оцiнiть значення виразу:

1) a b+ ; 2) a b− .5. Вiдомо, що 0 5 2, < <x i 2 3< <y . Оцiнiть значення виразу:

1) x y+ ; 2) x y− ; 3) xy.6. Вiдомо, що 0 5 5, < <a i 7 9< <b . Оцiнiть значення виразу:

1) a b+2 ; 2) 2ab; 3)a

b.

7. Оцiнiть периметр трикутника зi сторонами a дм, b дм, c дм, якщо2 2 1< <a , , 16 17, ,< − + .

9. Вiдомо, що a b> . Доведiть, що:1) a b+ > +5 3; 2) 1 2− < −a b.

Вправи, що пропонуються до виконання на цьому уроцi, маютьсприяти формуванню сталих навичок почленного додаванняi множення нерiвностей у простих випадках. Пiд час цьоговiдпрацьовується дуже важливий момент — перевiрка вiдпо�вiдностi запису нерiвностей умовi теорем та правильний записсуми й добутку лiвої та правої частин нерiвностей. Пiдготовчаробота проводиться пiд час виконання усних вправ. З метоюкращого засвоєння матерiалу слiд вимагати вiд учнiв вiдтво�рення вивчених теорем пiд час коментування дiй.


Пiсля успiшного опрацювання учнями теорем у простих випад�ках можна поступово переходити до бiльш складних випадкiв (наоцiнку рiзницi й частки двох виразiв та бiльш складних виразiв). Нацьому етапi роботи вчителевi треба уважно слiдкувати за тим, щоб уч�нi не припустилися типових помилок, намагаючись рiзницю та часткуоцiнювати за власними хибними правилами (про них див. вище).

Також на уроцi (якщо дозволяє час та рiвень засвоєння учнямизмiсту матерiалу) бажано придiлити увагу вправам на застосуваннявивчених теорем для доведення бiльш складних нерiвностей.


Тестове завдання1. Оцiнiть ab, якщо 14 15, ,< <a i 2 2 2 3, ,< <b .

А) 18 19, ,< <ab ; Б) 308 345, ,< <ab ;В) 36 38, ,< <ab ; Г) 306 385, ,< <ab .

2. Оцiнiть a b− , якщо 4 8< <a i 2 4< <b .А) 0 6< − <a b ; Б) 2 4< − <a b ;В) 0 4< − <a b ; Г) 4 6< − <a b .


Вивчити теореми про почленне додавання i множення числовихнерiвностей (з доведенням).

Виконати вправи.1. Додайте почленно нерiвностi:

1) − < −11 9 i − <3 7; 2) − <0 1 0 5, , i 11 18< .2. Перемножте почленно нерiвностi:

1) 0 25 0 1, ,> i 12 8> ; 2) 0 3 0 5, ,< i 11 18< .3. Вiдомо, що 4 5< <x i 8 10< <y . Оцiнiть значення виразу:

1) 2x y− ; 2) 0 5, xy; 3)y

x.

4. Оцiнiть периметр та площу прямокутника зi сторонами a см i b см,якщо 35 4, < <a , 2 2 2< 0.Виконати вправу на повторення.Доведiть нерiвнiсть:

1) ( )( ) ( )( )a a a a+ − > − +5 2 5 8 ; 2) ( ) ( )x x x+ < +10 52;

3) a a2 8 17 0+ + > ; 4) a b ab2 29 6+ ≥ .


Урок № 6Почленне додавання i множення нерiвностей.Застосування властивостей числових нерiвностей дляоцiнювання значення виразу та доведення нерiвностей

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:

властивостей числових нерiвностей та теорем про почленне дода�вання й множення нерiвностей;

наслiдкiв iз властивостей числових нерiвностей.

Формувати вмiння та навички:

вiдтворювати змiст вивчених понять;

застосовувати властивостi числових нерiвностей та теорем про по�членне додавання й множення для виконання вправ на порiвняннявиразiв, доведення нерiвностей, оцiнку значень виразiв.

Тип уроку: застосування знань, формування вмiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспекти 1—5.

Хiд уроку




Виконання письмових вправ перевiряємо тiльки в учнiв, якi по�требують додаткової педагогiчної уваги.

Тестовi завданняВарiант 1

1. Помноживши почленно нерiвностi a > 3 i b > 5, дiстанемо таку пра�вильну нерiвнiсть:

А) a > 15; Б) ab < 15; В) ab > 15; Г) iнша вiдповiдь.

2. Додавши почленно нерiвностi a > 3 i b > 5, дiстанемо таку правиль�ну нерiвнiсть:

А) a b+ > 15; Б) a b+ > 8; В) ab > 8; Г) iнша вiдповiдь.

3. Вiдомо, що 2 3< <a , − < < −5 1b . Оцiнiть значення виразу a b+ .

А) − < + <3 2a b ; Б) − < + < −10 3a b ;

В) − > > −10 3ab ; Г) iнша вiдповiдь.

4. Вiдомо, що 2 3< <a , 0 5 13, ,< >ab , ; В) 1 39< <ab , ; Г) iнша вiдповiдь.

5. Оцiнiть значення виразу a b− , якщо вiдомо, що 1 6< <a , 4 7< <b .

А) − < − < −3 1a b ; Б) − < − <6 2a b ; В) 5 13< − <a b ; Г) 4 42< − <a b .


6. Оцiнiть значення виразуn

m, якщо вiдомо, що 4 5< <n , 8 9< <m .

А)1

2

5

9< <n

m; Б) 18 2, < <n

m; В)

4

9

5

8< <n

m; Г) 0 5 2, < <n

m.

Варiант 21. Додавши почленно нерiвностi b > 7 i c > 3, дiстанемо таку правиль�

ну нерiвнiсть:А) b c+ > 21; Б) bc > 10; В) b c+ > 10; Г) iнша вiдповiдь.

2. Помноживши почленно нерiвностi b > 7 i c > 3, дiстанемо таку пра�вильну нерiвнiсть:А) bc > 21; Б) bc < 21; В) b c+ > 10; Г) iнша вiдповiдь.

3. Вiдомо, що − < <3 1b i − < <12 13, ,a . Оцiнiть значення виразу a b+ .А) − < + <18 2 6, ,a b ; Б) 36 13, ,< + <a b ;В) − < + <42 2 3, ,a b ; Г) iнша вiдповiдь.

4. Вiдомо, що 17 18, ,< <m i 2 2 2 3, ,< <n . Оцiнiть значення виразу mn.А) 374 414, ,< <mn ; Б) 2 9 31, ,< <mn ;В) 0 5 0 6, ,< <mn ; Г) iнша вiдповiдь.

5. Оцiнiть значення виразу a b− , якщо вiдомо, що 10 14< <a , 2 5< <b .А) 2 7< − <a b ; Б) − < − < −9 8a b ; В) 8 9< − <a b ; Г) 5 12< − <a b .

6. Оцiнiть значення виразуa

b, якщо вiдомо, що 7 8< <a i 9 10< <b .

А) 6 3 8, < <a

b; Б) 0 7

8

9, < <a

b; В)

1

8

10

63< <a

b; Г)

7

90 8< <a

b, .


Ймовiрно, що пiд час перевiрки виконання вправ тестового за�вдання учнi припустяться декiлькох типових помилок. У цьому разiмета уроку — застосування знань властивостей числових нерiвнос�тей до виконання вправ та удосконалення навичок їх застосування.Таке формулювання мети уроку є цiлком логiчним i спрямоване наусвiдомлення учнями необхiдностi виправлення помилок та прове�дення роботи щодо запобiгання подiбних помилок надалi. Якщо жбiльшiсть учнiв упораються iз запропонованими завданнями на«вiдмiнно», мотивацiя до роботи може бути створена вчителем за до�помогою завдання пiдвищеної складностi або завдання такого типу,яке не було розглянуто на попередньому уроцi (створюємо пробле�му). У будь�якому разi вчитель має налаштувати учнiв на не�обхiднiсть формування бiльш стiйких знань властивостей числовихнерiвностей та їх наслiдкiв, а також на роботу щодо формування на�вичок застосовувати цi властивостi до виконання вправ.



Виконання усних вправ1. Додайте почленно нерiвностi:

1) a > 2 i b > 3; 2) c < −2, d < 4.2. Перемножте почленно нерiвностi:

1) a > 1

2i b > 3; 2) c > 0 2, , d > 0 3, .

3. Оцiнiть a b+ , a b− , ab,1

a;

a

b, якщо 2 3< <a i 1 2< −2. Чи правильно, що:

1) a + >2 0; 2) якщо c > 4, то a c+ > 2; 3)1 1

2a< − ?

5. Скоротiть дрiб:

1)x x

x

4 2

2 1

−−

; 2)2

4 4 1

2

2

x x

x x

−− +

.

VІ. Удосконалення навичок

Виконання письмових вправ1. Доведiть нерiвнiсть:

1) ( )( )( )a b a c b c abc+ + + ≥ 8 , якщо a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0;

2) ( )( )( )p q p q pq+ + + ≥2 2 16 , якщо p≥ 0, q ≥ 0;

3) ( )( )a b ab ab+ + ≥4 8 , якщо a ≥ 0, b ≥ 0.


1) aa

+ ≥12, якщо a > 0; 2) ( )x

x2

21

1

12+ +

+≥ .

3. Доведiть нерiвнiсть a ba b

+ + + ≥1 14, якщо a > 0, b > 0.

4. Оцiнiть значення виразу:1) a b−2 , якщо − < < −3 2 5a , і 15 2, < <b ;

2)a

b5

3+ , якщо 1 12< <a , і 0 3 0 4, ,< при всiх дiйсних значеннях a i b.2. Доведiть, що ( )( ) ( )4 2 2 21 4− + < −b b b при всiх дiйсних значеннях b.3. Доведiть, що при a ≥ −1виконується нерiвнiсть a a a3 21+ ≥ + .


Вправи, що пропонуються до виконання на цьому уроцi, маютьсприяти формуванню сталих навичок використання теоремпро почленне додавання та множення нерiвностей, а такожiнших властивостей числових нерiвностей для оцiнювання зна�чень виразiв та для доведення бiльш складних нерiвностей.

Також пропонуємо учням вправи, що передбачають подальшевдосконалення навичок порiвняння виразiв та доведення нерiвно�стей iз використанням означення порiвняння чисел.



1. Вiдомо, що a b< . Якому з наведених чисел може дорiвнювати рiз�ниця a b− :

А) 5; Б) 0,5; В) –5; Г) 0?

2. Вiдомо, що x y> . Серед наведених укажiть правильнi нерiвностi:

А) x y− > −3 3; Б) − > −x y; В) 5 5x y< ; Г) 2 1 2 1x y+ > + .

3. Знаючи, що 1 2< <a i 2 3< <b , серед наведених виберiть правильнунерiвнiсть:

А) 3 5< <ab ; Б) 2 6< + <a b ; В)1

3

1

2< <a

b; Г) 1 32< <a .


Повторити означення та властивостi числових нерiвностей.

Виконати домашню самостiйну роботу.

Домашня самостiйна робота

Варiант 1

1. Дано: a b< . Порiвняйте:

1) a +5 i b +5; 2) b −11 i a −11; 3) 5 3− b i 5 3− a; 4) 2 0 5− , b i 3 0 5− , a.

2. Дано: 4 7< <a i 3 5< . Порiвняйте:

1) a −5 i b −5; 2) b +12 i a +12; 3) − −2 b i − −2 a; 4) 2 3− b i −3a.

2. Дано: 3 8< <x , 2 7< <y . Оцiнiть значення виразiв:

1) x y+ , xy; 2) y x− ,y

x; 3) 3 4x y− ,

6

7

x

y; 4)

0 6 0 1

0 8 0 3

, ,

, ,

x y

x y

−−

.


Урок № 7Розв’язування задач. Пiдсумковий урок

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання й спо�соби дiй, якi учнi опанували пiд час вивчення теми «Числовi не�рiвностi».

Тип уроку: систематизацiя та узагальнення знань i вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспекти 1–5.

Хiд уроку



Учитель збирає зошити учнiв iз виконаною домашньою самостiй�ною роботою на перевiрку. Учням роздаються зразки розв’язання за�вдань домашньої роботи для самостiйного опрацювання вдома.

ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку, мотивацiянавчальної дiяльностi

Основна дидактична мета уроку та завдання на урок цiлком ло�гiчно випливають з мiсця уроку в темi — оскiльки урок є останнiм,пiдсумковим, то першочерговим постає питання про повторення,узагальнення та систематизацiю знань та вмiнь, набутих учнямив ходi вивчення першого роздiлу теми «Нерiвностi». Таке формулю�вання мети створює вiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.

ІV. Повторення та систематизацiя знань

Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв, їх роботу вчитель можеорганiзувати рiзними способами: або як самостiйну роботуз теоретичним матерiалом (наприклад, за пiдручником або законспектом теоретичного матерiалу повторити змiст основнихпонять теми, або ж скласти схему, що вiдображає логiчнийзв’язок мiж основними поняттями теми, тощо), або тради�цiйно провести опитування (у формi iнтерактивної вправи) заосновними питаннями теми.

Контрольнi питання з теорiї1. Сформулюйте умови, за яких a b> , a b< , a b= .2. Як розмiщенi на координатнiй прямiй числа a i b, якщо a b≠ ?3. Якi нерiвностi називають строгими? нестрогими?4. Сформулюйте властивостi числових нерiвностей.5. Сформулюйте теорему про додавання нерiвностей.


6. Сформулюйте теорему про множення нерiвностей.7. Сформулюйте наслiдок iз теореми про множення числових не�

рiвностей.

V. Повторення та систематизацiя вмiнь

Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб учнi самi сформулювали тавипробували узагальнену схему дiй, якої вони мають дотри�муватися, розв’язуючи типовi завдання, подiбнi до яких бу�дуть винесенi на контроль.

Наприклад, типовими завданнями першого роздiлу теми «Не�рiвностi» є завдання:

порiвняти заданi числа за вiдомим значенням рiзницi цих чисел,i навпаки;порiвняти вирази, використовуючи вiдомi спiввiдношення мiжзмiнними та властивостi числових нерiвностей, а також наслiдкиз цих властивостей;оцiнити значення виразiв, використовуючи вiдомi спiввiдношеннямiж змiнними та властивостi числових нерiвностей, а також на�слiдки з цих властивостей;довести нерiвностi, використовуючи означення порiвняння чиселта/або доведенi допомiжнi нерiвностi (для суми взаємно оберненихдодатних чисел та для середнього арифметичного й середнього гео�метричного двох невiд’ємних чисел).Пiсля складання списку основних видiв завдань учитель створює

робочi групи учнiв (за кiлькiстю видiв завдань), завдання кожноїз груп формулюється так: «Скласти алгоритм розв’язання завдан�ня…» (кожна з груп отримує iндивiдуальне завдання). На складанняалгоритму кожнiй з груп вiдводиться певний час, за який учасникигрупи мають: скласти алгоритм, записати його у виглядi послiдов�них крокiв, пiдготувати презентацiю своєї роботи. По закiнченнiвiдбувається презентацiя виконаної роботи кожною з груп. Пiсляпрезентацiї — обов’язкове випробування алгоритмiв: причому бажа�но, щоб групи обмiнялись алгоритмами й перевiрили їх застосуванняне на одному, а на кiлькох завданнях. Пiсля випробування — обо�в’язкова корекцiя та пiдбиття пiдсумкiв.

VІ. Пiдсумки уроку

Пiдсумком уроку узагальнення та систематизацiї знань i вмiньучнiв є, по�перше, складенi самими учнями узагальненi схеми дiйпiд час розв’язування типових завдань, по�друге, здiйснення учнями


необхiдної частини свiдомої розумової дiяльностi (рефлексiї), вiдоб�раження кожним учнем особистого сприйняття успiхiв та, найголо�внiше, — проблем, над якими слiд ще попрацювати.

VІІ. Домашнє завданняВивчити складенi на уроцi алгоритми.Використовуючи складенi алгоритми, виконати завдання домаш�

ньої контрольної роботи № 1.

Домашня контрольна робота № 11. Порiвняйте числа a i b, якщо:

1) a b− = −38, ; 2) a b= + 2

7.

2. Вiдомо, що a b> . Порiвняйте вирази:1) a +3 i b +3; 2) − +a 3 i − +b 3.

3. Знаючи, що 2 2 5 2 3, ,< < , оцiнiть значення виразу:

1) 3 5; 2) −2 5; 3)2

5.

4. Доведiть нерiвностi: 1) ( ) ( )( )c c c− − > − −4 3 6 22

;

2) ( )( )( )a b c abc+ + + ≥2 6 3 48 при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

5. Оцiнiть значення виразу: 1) 31

2x y− , якщо 8 11< <x , 12 14< <y .

6. Доведiть нерiвнiстьa c

b c

a

b

++

< , якщо a > 0, b > 0, c > 0, a b> .

Урок № 8Числовi нерiвностi. Основнi властивостi числовихнерiвностей

Тип уроку: контроль знань та вмiнь.Мета: перевiрити рiвень знань та вмiнь учнiв, набутих ними пiд

час вивчення роздiлу «Числовi нерiвностi та їх властивостi» теми 1.

Хiд уроку




Зiбрати зошити iз виконаною домашньою контрольною роботою (ро�боту перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).



Вчитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботиє демонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, а саме: показатизнання змiсту основних понять та алгоритмiв, вивчених у темi, а та�кож умiння застосовувати набутi знання до розв’язування задач.

ІV. Умова тематичної контрольної роботи № 1

Варiант 11. Порiвняйте числа m i n, якщо:

1) m n− = 0 5, , 2) m n− = −2 3; 3) m n c− = 2 ; 4) m n= +5.

2. Порiвняйте наведенi вирази, якщо x y< :1) 0 5, x i 0 5, y; 2) x−1 i y−1; 3) 3− x i 3− y.

3. Оцiнiть значення наведених виразiв, якщо 17 3 18, ,< < .

1) 3 3; 2) −2 3; 3)4

3.

4. Доведiть нерiвнiсть ( )( ) ( )a a a+ − < −5 9 22.

5. Оцiнiть значення виразу − +2 0 2a b, , якщо 10 11< <a , 5 15< 0, b > 0 i c > 0 виконується нерiвнiсть

( )( )( )a b c abc+ + + >4 1 4 32 .

Варiант 21. Порiвняйте числа x i y, якщо:

1) x y− = −0 75, , 2) x y− = −2 1; 3) ( )y x a− = − −12; 4) x y= +52, .

2. Порiвняйте наведенi вирази, якщо m n> :

1)1

3m i

1

3n; 2) − +2 m i − +2 n; 3) − −8 m i − −8 n.

3. Оцiнiть значення наведених виразiв, якщо 2 6 7 2 7, ,< < .

1) 4 7; 2) −3 7; 3)2

7.

4. Доведiть нерiвнiсть ( )( ) ( )b b b− + < −8 2 32.

5. Оцiнiть значення виразу 3 0 4m n− , , якщо − < <2 3m , 5 10< <n .6. Доведiть, що при m > 0, n > 0 i k > 0 виконується нерiвнiсть

( )( )( )m n k mnk+ + + >1 9 4 48 .

V. Пiдсумки уроку

Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдома


(домашнiй аналiз контрольної роботи) зразки правильних розв’язаньзавдань контрольної роботи (заготовлених учителем заздалегiдь).

VІ. Домашнє завдання

Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язан�нями).

Повторити:означення рiвняння та супутнiх понять;поняття лiнiйного рiвняння з однiєю змiнною та алгоритм йогорозв’язання;властивостi чисел на координатнiй прямiй.


ІІ. Лiнiйнi нерiвностi з однiєю змiнною.Системи нерiвностей з однiєю змiнною (8 год)

Урок № 9Нерiвнiсть з однiєю змiнною. Система та сукупнiстьнерiвностей з однiєю змiнною

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту понять:нерiвнiсть з однiєю змiнною, розв’язок нерiвностi з однiєю змiн�ною, що означає розв’язати нерiвнiсть з однiєю змiнною;система нерiвностей з однiєю змiнною, розв’язок системи нерiвно�стей з однiєю змiнною, що означає розв’язати систему нерiвностейз однiєю змiнною;сукупнiсть нерiвностей з однiєю змiнною, розв’язок сукупностi не�рiвностей з однiєю змiнною, що означає розв’язати сукупнiсть нерiв�ностей з однiєю змiнною.Сформувати в учнiв умiння вiдтворювати змiст вивчених понять

та використовувати їх пiд час розв’язування завдань.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Нерiвнiсть з однiєю змiнною».

Хiд уроку


Учитель повiдомляє учням результати виконання контрольноїроботи, надає учням iнформацiю про орiєнтовний змiст матерiалу,що пропонується до вивчення в другому роздiлi, з питаннями, що бу�дуть винесенi на контроль, налаштовує учнiв на роботу.


На початку уроку вчитель збирає на перевiрку зошити з викона�ним домашнiм завданням.


З метою свiдомого сприйняття учнями логiки викладення новогоматерiалу уроку вчитель може провести бесiду, пiд час якої порiвню�ються поняття числової рiвностi та числової нерiвностi, аналiзують�ся їх властивостi, пiсля чого розглядаються поняття рiвнянь з однiєюзмiнною та вiдповiдних понять для нерiвностi. Таким чином, учнiусвiдомлюють, що, як рiвностi (бувають числовими та рiвностями


з невiдомими — рiвняннями), нерiвностi умовно подiляють на чис�ловi та такi, що мiстять невiдомi числа, замiненi буквами, значенняяких треба знайти. Логiчно буде пiсля досить докладного вивченняозначення та властивостей числових нерiвностей перейти до вивчен�ня нерiвностей, що мiстять невiдомi числа. Розкриття змiсту понят�тя нерiвностi з однiєю змiнною, понять, що пов’язанi з нерiвностямиз однiєю змiнною, розгляд властивостей цих нерiвностей є узагальне�ною метою вивчення другого роздiлу. Завдання ж на урок полягаєу формуваннi в учнiв уявлення про змiст нового поняття «нерiвнiстьз однiєю змiнною» та змiст супутнiх понять.



1. Виконайте дiї:

1) 2400 м – 0,6 км; 2) 4 23 6: ;

3) –1,73 – 2,77; 4) ( )− +3 162

; 5)98

2.

2. Порiвняйте числа a i b, якщо:

1) a b− = −44, ; 2) ( )a b= + −52

;

3) b a x− = − −2 1;

4) ( )a b− = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −2 2 11

51

45

, .

3. Спростiть вираз:

1) ( )2 1x x− ; 2) ( )( )2 1 2x x− + ;

3) ( )( )2 1 1 2x x− + ; 4)a a

a

2 6

4;

5) ( ) ( )8 3 6x x+ − + ; 6) ( )x x+ −1 22

;

7) 5 0 63 2 6x y x y⋅ , .

4. Знайдiть корiнь рiвняння ( )2 3 1x x− = + .

5. Розв’яжiть рiвнянняx x

2 31− = .

6. Вiдомо, що m n< . Яка з наведених нерiвностей є правильною:

1) 2 2m n> ; 2) m n− > −2 2;

3) − > −2 2m n; 4) m n+ > +2 2?




1. Уявлення про нерiвнiсть з однiєю змiнною.2. Розв’язок нерiвностi з однiєю змiнною. Що означає розв’язати не�

рiвнiсть з однiєю змiнною.3. Система нерiвностей з однiєю змiнною, розв’язок системи не�

рiвностей з однiєю змiнною. Що означає розв’язати систему не�рiвностей з однiєю змiнною.

4. Сукупнiсть нерiвностей з однiєю змiнною, розв’язок сукупностiнерiвностей з однiєю змiнною. Що означає розв’язати сукупнiстьнерiвностей з однiєю змiнною.

Вивчення питання про способи розв’язання нерiвностей з од�нiєю змiнною в 9 класi традицiйно розпочиналося з вивченнязмiсту поняття нерiвностi з однiєю змiнною та супутнiх по�нять, як�от розв’язок нерiвностi з однiєю змiнною, що озна�чає розв’язати нерiвнiсть з однiєю змiнною. Але в умовах об�меженої кiлькостi навчальних годин, вiдведених програмоюдля вивчення другого роздiлу, враховуючи подiбнiсть мiжозначеннями ключових понять тем «Рiвняння з однiєюзмiнною» i «Нерiвнiсть з однiєю змiнною», автор вважаєдоцiльним (на вiдмiну вiд традицiйної послiдовностi викла�дення матерiалу) розглянути на цьому уроцi ще й змiст по�няття система (та сукупнiсть) нерiвностей з однiєю змiнноюта її розв’язки. Таким чином, можна не тiльки зекономитинавчальний час, але й пiдготувати учнiв до вивчення питан�ня про перерiз та об’єднання числових промiжкiв (яке будевивчатися на наступному уроцi). Формулюючи означеннярозв’язку нерiвностi з однiєю змiнною (системи нерiвнос�тей), слiд звернути увагу учнiв на аналогiю, що iснує мiж по�няттями «корiнь рiвняння» та «розв’язок нерiвностi». Роз�в’язок нерiвностi (або системи), як i корiнь рiвняння, — цечисло, яке перетворює нерiвнiсть (систему) на правильнучислову нерiвнiсть.

Пiд час формування уявлень учнiв про систему та сукупнiсть не�рiвностей слiд акцентувати увагу учнiв на тому, що розв’язання сис�теми передбачає пошук усiх спiльних розв’язкiв, а розв’язання су�купностi передбачає пошук таких розв’язкiв, якi є розв’язками хочаб однiєї з нерiвностей. Тому спосiб дiй пiд час перевiрки того, чи будеподане число розв’язком системи або навпаки — сукупностi не�рiвностей, суттєво вiдрiзняється.


Конспект 6Нерiвнiсть з однiєю змiнною

1. Поняття нерiвностi зi змiнною.

Якщо два вирази зi змiнними з’єднати одним зi знакiв: > (бiльше),< (менше), ≥ (бiльше або дорiвнює), ≤ (менше або дорiвнює), то дiстанемонерiвнiсть зi змiнною.

Приклади: 3 2 1x x− > + , x x2 4 3− ≤ , 3 5 7x y+ > .

Якщо з’єднати три вирази зi змiнними знаками >, <, ≤, ≥, то дiстанемоподвiйну нерiвнiсть.

Приклад: 1 4≤ <х .

2. Розв’язком нерiвностi називається значення змiнної, що перетворюєцю нерiвнiсть на правильну числову нерiвнiсть.

Приклади

1) Число 5 є розв’язком нерiвностi 3 2 1x x− > + , оскiльки при x = 5 ця не�рiвнiсть перетворюється на правильну числову нерiвнiсть 3 5 2 5 1⋅ − > + ,тобто 13 > 6.

2) Число 0 не є розв’язком нерiвностi 3 2 1x x− > + , оскiльки при x = 0 цянерiвнiсть перетворюється на числову нерiвнiсть 3 0 2 0 1⋅ − > + , тобто− >2 0, яка є неправильною.

Розв’язати нерiвнiсть означає знайти всi її розв’язки або довести, що їхнемає.

3. Якщо деяке значення змiнної є розв’язком двох або бiльше нерiвностей,то кажуть, що це значення змiнної є розв’язком системи нерiвностей.

Приклади

1) Число 3 є розв’язком системи нерiвностейx

x

>>

⎧⎨⎩

2

1

,

,оскiльки воно є роз�

в’язком кожної з нерiвностей.

2) Числа –1; 0; 2 не є розв’язками системиx

x

>>

⎧⎨⎩

2

1

,

,оскiльки x = −1 i x = 0

не є розв’язками жодної з нерiвностей, а x = 2 є розв’язком тiльки другоїнерiвностi системи.4. Якщо деяке значення змiнної є розв’язком хоча б однiєї з поданих не�рiвностей з однiєю змiнною, то кажуть, що це значення змiнної є роз�в’язком сукупностi нерiвностей.Приклади

1) Число 3 є розв’язком сукупностix

x

><

⎡

⎣⎢2

0

,

,оскiльки воно є розв’язком не�

рiвностi x > 2.

2) Число 1 не є розв’язком сукупностix

x

><

⎡

⎣⎢2

0

,

,оскiльки не є розв’язком

жодної з нерiвностей x > 2, x < 0.




1. Якi з чисел –2; −1

3; 0; 0,5; 4 є розв’язками:

1) нерiвностi 3 1 2x+ > ; 2) системи нерiвностейx

x

>>

⎧⎨⎩

3

2

,

;

3) сукупностi нерiвностейx

x

><

⎡

⎣⎢5

0

,

?

2. Назвiть усi натуральнi розв’язки нерiвностi:1) 2 5≤ ≤x ; 2) − ≤ <1 6x ; 3) 2 6< <x ; 4) − ≤ ≤ −7 1x .

Виконання письмових вправ1. Якi з чисел –4; 0,5 8; 10 є розв’язками нерiвностi ( )3 2 2 1x x− > + ?2. Яке найбiльше натуральне число є розв’язком нерiвностi:

1) 1 4≤ ≤x ; 2) − < ≤1 10x ; 3) x≤ 4; 4) x< 5?3. Якi з чисел –3; 0; 5; 11 є розв’язками системи нерiвностей

4 11 1

7 3 8

x

x

− >− ≤

⎧⎨⎩

,

?

4. Зобразiть на координатнiй прямiй множину чисел, якi задоволь�няють нерiвнiсть, i запишiть цю множину у виглядi нерiвностi,системи нерiвностей або сукупностi нерiвностей:1) | |x < 3; 2) | |x > 4; 3) | |x ≤ 35, ; 4) | |x > 15, .

Виконання вправ на повторення1. Розв’яжiть рiвняння ( ) ( )7 2 1 5 11 3 3 2x x x− − = + − .2. При яких значеннях a значення дробу дорiвнює нулю:

1)a

a

2 49

7

−+

; 2)| |a

a

−+

5

5?

3. Доведiть, що при a > 3значення виразуa

a

a

a a

−+

− +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

3

3

31

3вiд’ємне.

Вправи, що пропонуються для виконання на цьому уроцi, ма�ють сприяти заcвоєнню учнями змiсту основних понять урокута повторенню питань, що пов’язанi з числовими множинамита розташуванням чисел на координатнiй прямiй (цi вправибудуть пiдґрунтям для вивчення поняття «числовi промiжки;перерiз та об’єднання числових промiжкiв» на наступномууроцi).

Пiд час виконання вправ слiд постiйно вимагати вiд учнiв вiдтво�рення вивчених понять та дотримання ними правильної послiдовностi


дiй пiд час перевiрки того факту, що подане число є розв’язком не�рiвностi (системи, сукупностi нерiвностей) з однiєю змiнною:

пiдставити значення змiнної в нерiвнiсть (нерiвностi);виконавши обчислення, перевiрити, чи перетвориться нерiвнiсть(нерiвностi) на правильну (правильнi);зробити вiдповiдний висновок.


Тестове завдання1. Розв’язком нерiвностi 2 1 4x− < є число:

А) 8; Б) –3; В) 4,5; Г) 5.

2. Розв’язком системи нерiвностейx

x

><

⎧⎨⎩

2

5

,є число:

А) 2; Б) 5; В) 2,5; Г) 5,2.


Вивчити змiст понять, розглянутих на уроцi (див. конспект 6) тасхему дiй щодо використання цих понять до розв’язування задач.

Виконати вправи.1. Знайдiть якi�небудь три розв’язки нерiвностi − + <5 1 3x x.2. Яке найменше натуральне число є розв’язком нерiвностi:

1) − < ≤3 4x ; 2) 5 10< ≤x ; 3) x> 3; 4) x> 6?3. Зобразiть на координатнiй прямiй множину чисел, якi задоволь�

няють нерiвнiсть, i запишiть цю множину у виглядi нерiвностi:1) | |x > 1; 2) | |x < 2 5, ; 3) | |x ≤ 15, ; 4) | |x > 0 5, .Виконати вправи на повторення.

1. Оцiнiть довжину l середньої лiнiї трапецiї з основами a i b, якщо7 5 7 6, ,< <a і 42 43, ,< <b .

2. Розв’яжiть рiвняння:

1) | || |x− − =1 3 4; 2) | | | |x x+ + − =1 2 3.

Урок № 10Числовi промiжки. Перерiз i об’єднання промiжкiв

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту понять «число�вий промiжок», «перерiз» та «об’єднання числових промiжкiв»,а також домогтися усвiдомлення учнями iснування рiзних видiв чис�лових промiжкiв, що вiдповiдають рiзним видам нерiвностей.

Розпочати формування вмiнь:вiдтворювати змiст вивчених понять;


записувати числовi промiжки, що вiдповiдають рiзним видам не�рiвностей з однiєю змiнною;

знаходити перерiз числових промiжкiв для розв’язання системинерiвностей з однiєю змiнною;

знаходити об’єднання числових промiжкiв для розв’язання сукуп�ностi нерiвностей з однiєю змiнною.

Додатково: вивчити у зв’язку з цими питаннями способи розв’я�зання найпростiших нерiвностей з однiєю змiнною, що мiстятьзмiнну пiд знаком модуля.

Тип уроку: засвоєння знань, формування первинних умiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Числовi промiжки».

Хiд уроку




Форма проведення цього етапу уроку залежить вiд того, на якомурiвнi були сформованi знання й умiння учнiв на момент закiнченняпопереднього уроку. У випадку, якщо учнi на попередньому уроцiпоказали високий або достатнiй рiвень засвоєння знань та вмiнь,можна на етапi перевiрки домашнього завдання провести навчальнусамостiйну роботу iз завданнями, змiст яких вiдповiдає змiсту за�вдань домашньої роботи (по закiнченнi виконання роботи обов’язко�во проводиться само� або взаємоперевiрка та аналiз помилок iзвiдтворенням змiсту вiдповiдних понять). Якщо ж учнi мали на по�передньому уроцi певнi труднощi iз засвоєнням знань та вмiнь, то пе�ревiрку домашнього завдання можна провести у формi перевiрки зазразком або у форматi «Знайди помилку». У будь�якому разi пере�вiрка домашнього завдання передбачає вiдтворення змiсту основнихпонять, вивчених на попередньому уроцi.

ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку. Мотивацiянавчальної дiяльностi

Пiд час формулювання мети уроку та на етапi мотивацiї навчаль�ної дiяльностi треба вiдтворити поняття, що вивчалися на попередньо�му уроцi. Особливо важливою є робота з повторення поняття «щоозначає розв’язати нерiвнiсть з однiєю змiнною (або систему таких не�рiвностей, або їх сукупнiсть)» та форми запису множини розв’язкiв.Учителевi слiд спрямувати думку учнiв на усвiдомлення того, що, на


вiдмiну вiд рiвнянь з однiєю змiнною, розв’язком яких в основномує скiнченнi числовi множини (в окремих випадках множина всiхдiйсних чисел), нерiвностi з однiєю змiнною (у бiльшостi випадкiв) ма�ють розв’язком нескiнченнi числовi множини, якi є пiдмножинами мно�жини дiйсних чисел, а тому записати всi розв’язки, перерахувавши їх,неможливо. Таким чином, робиться висновок про iснування певногопротирiччя мiж вiдомими учням способами запису розв’язкiв та немож�ливiстю цими способами скористатися. Свiдоме сприйняття учнями цихтверджень приводить їх до розумiння того, що першочерговим є питанняпро вивчення нових способiв запису розв’язкiв нерiвностей, якi з одногобоку були б повними, а з iншого — лаконiчними. Це i є основною дидак�тичною метою уроку.



1. Обчислiть значення виразу: 1) ( )− ⋅ −0 6 0 3, , ; 2) ( )31 0 090

, ,+ ;

3) 3 2− a при a = −3; 4) x2 0 09+ , при a = −0 4, .


1) 491

75, a a⋅ ; 2) ( )9 5 3y y− + ; 3)

9

36

9

3

m

m; 4)

a a

a

2 6 9

3

− +−

.

3. Яке з чисел −1

2; 0; 1; 2 є розв’язком:

1) нерiвностi x2 1 3− > ; 2) системи нерiвностейx

x

><

⎧⎨⎩

0

2

,

;

3) сукупностi нерiвностейx

x

><

⎡

⎣⎢0 5

0

, ,

?


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про змiст поняття «числовий промiжок».2. Види числових промiжкiв (залежно вiд виду вiдповiдної нерiв�

ностi). Приклади.3. Перерiз числових промiжкiв. Як знайти розв’язок системи не�

рiвностей.4. Об’єднання числових промiжкiв. Як знайти розв’язок сукупностi

нерiвностей.Поняття числового промiжку є базовим i зазвичай форму�ється перед вивченням питання про способи розв’язання не�рiвностей. Зауважимо, що числовий промiжок традицiйно


трактується як певний вид запису розв’язкiв нерiвностей.Розв’язки нерiвностi — це, як правило, числова множина,яка фактично є вiдрiзком координатної (числової) прямої.Проте вивчення питання про види та способи запису числовихпромiжкiв традицiйно ведеться не вiд загального уявлення,а вiд конкретних прикладiв рiзних найпростiших нерiвностейз однiєю змiнною. Надалi цi конкретнi приклади узагальню�ються, i таким чином формується уявлення учнiв про рiзнiвиди числових промiжкiв, якi вiдповiдають рiзним видам не�рiвностей. Пiд час розгляду нерiвностей виду x a> та x a< учнiзнайомляться з поняттям ±∞ (нескiнченнiсть) як умовногоспособу позначення чисел, що розташованi праворуч/лiворучвiд усiх iнших чисел на координатнiй прямiй.

Також, вивчаючи види числових промiжкiв, учнi мають усвiдоми�ти, що мiж записом числових промiжкiв, що вiдповiдають строгим танестрогим нерiвностям, є вiдмiннiсть (рiзнi дужки) й iгнорувати цiєювiдмiннiстю не можна. Це означатиме, що розв’язки нерiвностi запи�санi неправильно. Оскiльки пiд час запису числових промiжкiв слiдвраховувати кiлька моментiв, то вже з самого початку вивчення цьогопитання слiд показати учням основнi кроки правильного виконанняцього запису, а саме: спочатку виконати зображення числової прямої,потiм зобразити на нiй числа, записанi в нерiвностi, пiсля чого позна�чити штрихом промiжок, що вiдповiдає нерiвностi, далi записати йогокiнцi (злiва направо), пiсля чого поставити в запису дужки (вiдпо�вiдно до того, який знак — сторогий чи нестрогий, має нерiвнiсть).

Пiсля вивчення питання про види числових промiжкiв вiдпо�вiдно до рiзних видiв нерiвностей з однiєю змiнною, формується уяв�лення про змiст поняття перерiзу та об’єднання числових промiжкiв.Оскiльки учнi незнайомi з основними поняттями теорiї множин,змiст цих понять доречно буде «прив’язати» до вивчених на поперед�ньому уроцi понять розв’язкiв системи та сукупностi нерiвностей.

Стисло змiст навчального матерiалу можна подати у виглядi кон�спекту 7.


Виконання усних вправ1. Назвiть промiжки, що зображенi на координатнiй прямiй:

1) 2)

3) 4)


–3 2 x x–3 5

2 xx1

Конспект 7Числовi промiжки

1. Уявлення про числовий промiжок

Множина всiх чисел, що задовольняють нерiвностi x a< або x a> , x a≥або x a≤ , a x b< < або a x b≤ ≤ , або a x b≤ < та a x b< ≤ , називають число�вим промiжком.

2. Види числових промiжкiв

Нерiвнiсть Зображення Позначення Словеснеформулювання

a x b≤ ≤ [ ]a b; Закритий промiжок(вiдрiзок) iз кiнця�ми a i b

a x b< < ( )a b; Вiдкритий про�мiжок (iнтервал) iзкiнцями a i b

a x b≤ <a x b< ≤

[ )a b;

( ]a b;

Напiввiдкритийпромiжок (пiвiнтер�вал) iз кiнцямиa i b

x a< ( )−∞;a Нескiнченний про�мiжок (промiнь)

x a≤ ( ]−∞;a

x a> ( )a;+∞

x a≥ [ )a;+∞

−∞ < < ∞x ( )−∞ +∞; або R Множина всiхдiйсних чисел,числова пряма

3. Перерiз числових промiжкiв

Числовий промiжок, який є спiльною частиною двох (або бiльше) число�вих промiжкiв, називається їх перерiзом.

Приклади

1) Перерiзом промiжкiв [ ]1 5; i [ ]3 7;

(див. рис.) є промiжок [ ]3 5; —

їх спiльна частина.

Записують: [ ] [ ] [ ]1 5 3 7 3 5; ; ;∩ = .


a b x

xa b

a b x

a b x

xa

a x

xa

xa

x

x1 3 5 7

2) Перерiзом промiжкiв [ ]0 4; i [ ]6 10;

є порожня множина.

Записують: [ ] [ ]0 4 6 10; ;∩ = ∅.

! Розв’язок системи нерiвностей — це перерiз розв’язкiв кожної з не�рiвностей системи.

4. Об’єднання числових промiжкiв

Числовий промiжок, який складається з чисел, що належать хоча б одно�му з поданих промiжкiв, називається об’єднанням цих промiжкiв.

Приклади

1) Об’єднанням промiжкiв [ ]1 5; i [ ]3 7;є промiжок [ ]1 7; (див. рис.).

Записують: [ ] [ ] [ ]1 5 3 7 1 7; ; ;∪ = .

2) Об’єднанням промiжкiв [ ]0 4; i [ ]6 10;є цi два промiжки (див. рис.).

! Щоб знайти розв’язок сукупностi нерiвностей з однiєю змiнною,необхiдно знайти об’єднання розв’язкiв усiх нерiвностей сукупностi.

2. Якi з чисел –3; –1; 0; 1,7; 4 належать промiжку:

1) [ ]−3 4; ; 2) ( )−3 4; ; 3) ( ]−3 5; ; 4) [ )− +∞3; ?

3. За рисунком знайдiть, чому дорiвнює:

1) [ ] [ ]1 5 3 4; ;∩ ; 2) [ ] [ ]1 5 3 4; ;∪ .


1. Зобразiть на координатнiй прямiй множину чисел, якi задоволь�няють нерiвнiсть, i запишiть цю множину у виглядi промiжку:

1) x≥ 3; 2) x> 4; 3) − ≤ <1 3x ; 4) 1 5< ≤x .

2. Знайдiть, якщо можна, натуральне число, що належить про�мiжку:

1) ( )−6 7; ; 2) ( )−∞;2 ; 3) ( )− −13 3; ; 4) ( ]−∞;6 .

3. Укажiть, якщо можна, найменше й найбiльше числа, що нале�жать промiжку:

1) [ )311; ; 2) ( ]7 19; ; 3) [ )− +∞2; ; 4) ( )−∞ −; 12 .

4. Використовуючи координатну пряму, знайдiть перерiз про�мiжкiв:

1)( )1 8; i( )5 10; ; 2)[ ]−4 4; i[ ]−6 6; ; 3)( )5;+∞ i( )7;+∞ ; 4)( )−∞;10 i( )−∞;6 .

5. Покажiть за допомогою штриховки на координатнiй прямiйоб’єднання промiжкiв:

1)[ ]−7 0; i[ ]−3 5; ; 2)( )−4 1; i( )10 12; ; 3)( )−∞;4 i( )10;+∞ ; 4)[ )3;+∞ i( )8;+∞ .


x0 4 6 10

x1 3 5 7

x0 4 6 10

x1 3 4 5

6. Розв’яжiть систему нерiвностей:

1)x

x

≥>

⎧⎨⎩

3

5

,

;2)

x

x

< −<

⎧⎨⎩

2

3

,

;3)

x

x

<≥ −

⎧⎨⎩

4

1

,

;4)

x

x

>< −

⎧⎨⎩

4

3

,

.

Вправи, запропонованi для виконання на урок, мають вiдповi�дати за змiстом прикладам, розв’язаним у пiдручнику тав конспектi 7.Пiд час виконання вправ на запис числових промiжкiв учнiмають дотримуватися послiдовностi дiй, викладеної вчителемпiд час засвоєння знань щодо видiв числових нерiвностей(див. методичний коментар). Тiльки в цьому випадку можнасподiватися на формування сталих умiнь виконувати пра�вильнi записи числових промiжкiв, що є розв’язками не�рiвностей та їх систем.


Тестове завданняЯкий iз наведених записiв

вiдповiдає рисунку?А) 1 2≤ ≤x ; Б) 4 5≤ <x ; В) [ ] [ )1 2 4 5; ;∩ ; Г) [ ] [ )1 2 4 5; ;∪ .


Вивчити змiст поняття «числовий промiжок», перерiз та об’єднаннячислових промiжкiв, а також iнформацiю про види числових промiжкiв.

Виконати вправи.1. Зобразiть на координатнiй прямiй множину чисел, якi задоволь�

няють нерiвнiсть, i запишiть цю множину у виглядi промiжку:1) x≤ −1; 2) x> 5; 3) 0 6≤ ≤x ; 4) − < <1 4x .

2. Запишiть усi цiлi числа, що належать промiжку:1) ( )−1 8; ; 2) [ )4 11; ; 3) ( ]−3 9; ; 4) ( )0 8; .

3. Розв’яжiть нерiвностi: 1) | |x > 1; 2) | |x < 2 5, ; 3) | |x ≤ 12, ; 4) | |x > 0 6, .4. За допомогою координатної прямої знайдiть перерiз та об’єднан�

ня числових промiжкiв:1) ( )− +∞3; i ( )4;+∞ ; 2) ( )−∞;2 i[ )0;+∞ ; 3) ( )−∞;6 i ( )−∞;8 ; 4)[ ]1 5; i[ ]0 8; .Виконати вправи на повторення.

1. Доведiть нерiвнiсть a a2 5 2+ > .

2. Спростiть вираз1+ −a x

xax

.

Повторити властивостi числових нерiвностей, лiнiйних рiвняньз однiєю змiнною; тотожнi перетворення цiлих виразiв.


x1 2 4 5

Урок № 11Лiнiйна нерiвнiсть з однiєю змiнною

Мета: домогтися засвоєння учнями змiсту:поняття лiнiйної нерiвностi з однiєю змiнною;рiвносильних нерiвностей, рiвносильних перетворень нерiвностiта способiв рiвносильних перетворень нерiвностей;схеми розв’язування лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною.Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивчених понять та алгоритмiв;виконувати дiї вiдповiдно до схеми розв’язування лiнiйних не�рiвностей з однiєю змiнною;виконувати найпростiшi рiвносильнi перетворення нерiвностей iз за�стосуванням властивостей числових нерiвностей та наслiдкiв з них.Тип уроку: засвоєння знань, формування первинних умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Рiвносильнi нерiвностi».

Хiд уроку




Оскiльки вправи домашнього завдання є вправами репродуктив�ного (в основному) характеру, то перевiрку домашнього завданняможна здiйснити частково (тiльки в учнiв, якi потребують додатко�вої педагогiчної уваги) або можна запропонувати учням перевiритивiдповiдi (правильнi вiдповiдi заздалегiдь записанi за дошкою аборозданi як картки для самостiйного опрацювання), або провестидiагностичну самостiйну роботу.

Варiант 1Зобразiть на координатнiй прямiй та запишiть промiжок:1) що задається нерiвнiстю x≥ −3;2) що задається нерiвнiстю 0 1 52, ,< ≤x ;3) що є перерiзом та об’єднанням промiжкiв [ ]6 10; i [ )7 3 8, ; ;4) що є перерiзом та об’єднанням промiжкiв ( ] [ )−∞ − ∪ +∞; ;3 3 тапромiжку, який вiдповiдає нерiвностi − < <45 7, x .Варiант 2Зобразiть на координатнiй прямiй та запишiть промiжок:1) що задається нерiвнiстю x≤ −3;2) що задається нерiвнiстю − ≤ ≤1 7 2x , ;3) що є перерiзом та об’єднанням промiжкiв [ ]−3 8; i [ )−7 8; ;


4) що є перерiзом та об’єднанням промiжкiв ( ] [ )−∞ − ∪ +∞; ;3 2 тапромiжку, який вiдповiдає нерiвностi − < <5 2 5x , .Самостiйну роботу по закiнченнi виконання слiд перевiрити.


З метою усвiдомлення учнями необхiдностi вивчення матерiалу,запропонованого на цьому уроцi, можна створити проблемну ситуа�цiю. Запропонуємо учням спочатку завдання на перевiрку того, чиє задане число розв’язком нерiвностi з однiєю змiнною, а потiм роз�в’язати ту саму нерiвнiсть (нагадавши попередньо, що розв’язати не�рiвнiсть означає знайти всi її розв’язки або довести, що їх немає).Усвiдомлення учнями неможливостi розв’язання конкретної задачiiз застосуванням тих знань та вмiнь, якими вони володiють, створюємотивацiю до вивчення питання про види та способи розв’язаннянайпростiших нерiвностей з однiєю змiнною. Таким чином, форму�люється дидактична мета уроку, а також видiляються завдання дляучнiв на цей урок.



1) 0 25 81, ⋅ ; 2) − −2 35 515, , ; 3) −7 5 15, : ; 4) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

21

3

2

.


1) ( )( )y y− +3 5 ; 2) ( )6 3 1b b− − ; 3) ( ) ( )− − + −9 8 6 5x x ; 4) ( )a a10 2 9⋅ .

3. Чи належить промiжку наведене число:1) [ ]− −7 4; : –10; –6,5; 2) ( )−4 2; : 3,5; –1; 1,2;3) ( ]−∞;3 : –1; 0; 3; 4) ( )− +∞25; : –3; –2,5; 0?


План вивчення нового матерiалу1. Поняття рiвносильних нерiвностей. Рiвносильнi перетворення не�

рiвностей.2. Поняття лiнiйної нерiвностi з однiєю змiнною.3. Схема розв’язання лiнiйної нерiвностi з однiєю змiнною.4. Як розв’язати нерiвнiсть з однiєю змiнною, що зводиться до лi�

нiйної. Приклади.Вiдповiдно до плану засвоєння знань учнiв на цьому уроцiрозпочинається з вивчення означення рiвносильних нерiвно�


стей з однiєю змiнною i продовжується вивченням основнихтеорем рiвносильностi (подаються без доведення та поясню�ються на прикладах). З метою свiдомого сприйняття учнямипоняття рiвносильних нерiвностей та рiвносильних перетво�рень нерiвностей можна запропонувати учням порiвнятивластивостi числових рiвностей та нерiвностей i вiдтворити яксхожi, так i вiдмiннi риси. Результатом такого порiвняннябуде усвiдомлення учнями наявностi аналогiї мiж способамирозв’язання рiвнянь (нерiвностей), яка полягає в тому, щостворюється ланцюжок рiвносильних рiвнянь (нерiвностей)вiд заданого до найпростiшого, який i є фактично розв’язкомцього рiвняння (нерiвностi).

Пiд час вивчення теореми про почленне дiлення або множенняобох частин нерiвностi на одне й те саме вiдмiнне вiд нуля число обо�в’язково слiд звернути увагу учнiв на вiдмiннiсть цiєї теореми вiданалогiчної для рiвнянь. Тобто знак нерiвностi, яку ми дiстаємо в ре�зультатi множення заданої на деяке число, залежить вiд знака цьогочисла.

Звернiмо увагу на те, що в рiзних джерелах означення лiнiйноїнерiвностi з однiєю змiнною наводиться по�рiзному. У традицiйнихпiдручниках останнiх рокiв лiнiйна нерiвнiсть з однiєю змiнною —це нерiвнiсть виду ax b> (ax b< , ax b≤ , ax b≥ ), а наприклад, у таблицяхз алгебри 7–11 (Є. П. Нелiна) це нерiвнiсть виду ax b+ > 0 (ax b+ < 0,ax b+ ≥ 0, ax b+ ≤ 0). Учням можна навести обидва означення й показа�ти, що вiдмiннiсть першого полягає тiльки в тому, що воно вже зве�дено до виду, аналогiчного виду лiнiйних рiвнянь з однiєю змiнною( )ax b= .

Порiвнюючи лiнiйнi нерiвностi з однiєю змiнною та лiнiйнi рiв�няння з однiєю змiнною, слiд зауважити, що з огляду на наявнувiдмiннiсть рiвносильної властивостi (див. множення або дiленняобох частин нерiвностi на одне й те саме вiд’ємне число), залежно вiдзнака нерiвностi, можна скласти не одну схему розв’язання лiнiйноїнерiвностi з однiєю змiнною (особливо у випадку, якщо число a до�рiвнює 0). Отже, акцент робимо не на механiчному заучуваннi схем,а на свiдомому розумiннi дiй, якi «прихованi» за цими схемами.

Проводячи паралель мiж розв’язанням лiнiйних рiвнянь та не�рiвностей з однiєю змiнною, слiд звернути увагу учнiв на те, щов окремих випадках пiд час розв’язування лiнiйних нерiвностейможна дiстати в розв’язку або числову пряму, або єдине число.


Завершальний етап вивчення нового матерiалу є практичною час�тиною (можна подати як вiдповiдь на запитання, поставлене напoчатку уроку) — на прикладi деякої нерiвностi з однiєю змiнноюскладається орiєнтовна схема дiй пiд час її розв’язування. Цей етапбажано провести iз залученням учнiв до бесiди. Пiд час цiєї бесiдидоречним i бажаним є проведення паралелi мiж розв’язаннямрiвняння з однiєю змiнною та вiдповiдної нерiвностi.

Розв’язування лiнiйного рiвнянняз однiєю змiнною

Розв’язування лiнiйної нерiвностiз однiєю змiнною

( ) ( )3 2 5 7 2 3x x x− + = − + ( ) ( )3 2 5 7 2 3x x x− + < − +

3 6 5 7 2 6x x x− + = − − 3 6 5 7 2 6x x x− + < − −

3 1 5 6x x− = − 3 1 5 6x x− < −

3 5 6 1x x− = − + 3 5 6 1x x− < − +

− = −2 5x − < −2 5x

x = 2 5, x > 2 5,

Конспект 8

Рiвносильнi нерiвностi

1. Поняття рiвносильних нерiвностей. Властивостi рiвносильнихнерiвностей

Означення. Двi нерiвностi називаються рiвносильними на деякiй мно�жинi, якщо на цiй множинi вони мають однi й тi самi розв’язки, тобтобудь�який розв’язок однiєї з нерiвностей є розв’язком другої нерiвностi,i навпаки.

Теореми (деякi) про рiвносильнiсть перетворень нерiвностей.

1) Якщо з однiєї частини нерiвностi перенести в iншу доданки з проти�лежним знаком, то дiстанемо нерiвнiсть, рiвносильну поданiй.

2) Якщо обидвi частини нерiвностi подiлити або помножити на одне й тесаме додатне (вiд’ємне) число, не змiнивши (змiнивши) знака нерiвностi,то дiстанемо нерiвнiсть, рiвносильну поданiй.

Приклади

Нерiвностi: x − >3 5 i x > 8; 2 6x > i x > 3; − >2 6x i x < −3 — рiвносильнi.

2. Означення. Лiнiйною нерiвнiстю з однiєю змiнною називається не�рiвнiсть виду ax b+ > 0 (< 0, ≤ 0, ≥ 0).

Наприклад, 2 3 0x − > , x − ≤1 0, 0 3 0x + < — лiнiйнi нерiвностi з однiєюзмiнною.


3. Схема розв’язання лiнiйної нерiвностi

ax b+ > 0, тодi

ax b> −

a > 0 a = 0 a < 0

xb

a> − x

b

a< −

0 ⋅ > −x b

b > 0 b ≤ 0

x R∈ Розв’язкiв немає

4. Приклад. Розв’язати нерiвнiсть ( ) ( )3 5 1 10 7 2 1 6x x− + > − − .


1. Виконаємо тотожнi перетворення обох частин нерiвностi. Дiстанемо не�рiвнiсть, рiвносильну поданiй:

15 3 10 7 2 12x x− + > − + ; 15 7 5 12x x+ > + .

2. Використавши теореми про рiвносильнiсть, запишемо рiвносильну не�рiвнiсть та розв’яжемо її за схемою:

15 7 5 12x x+ > + , 3 2x > − , x > −2

3.

Вiдповiдь. − +∞⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3; .


Виконання усних вправ1. Чи рiвносильнi нерiвностi:

1) 5 1 0x+ > i 5 1x> ; 2) 3 0x2 0x i x> 0?2. Обґрунтуйте рiвносильнiсть перетворень, якi виконанi пiд час

розв’язування нерiвностi:

− − >3 2 1x , − > +3 1 2x , − >3 3x , x< −1.

Виконання письмових вправ1. Розв’яжiть нерiвнiсть, зобразiть множину її розв’язкiв на координат�

нiй прямiй та запишiть цю множину у виглядi числового промiжку:1) x− >5 0; 2) x+ <6 0; 3) x− ≥44 0, ; 4) x+ ≤39 0, .

2. Розв’яжiть нерiвнiсть, зобразiть множину її розв’язкiв на координат�нiй прямiй та запишiть цю множину у виглядi числового промiжку:1) 2 7x< ; 2) 3 18x> − ; 3) 0 4 4, x≤ ; 4) − >9 6x ;5) − >18 54, ,x ; 6) − < −4 36x , ; 7) − > −x 9 4, ; 8) − ≤2 3 0, x .


x−2

3

3. Розв’яжiть нерiвнiсть, зобразiть множину її розв’язкiв на координат�нiй прямiй та запишiть цю множину у виглядi числового промiжку:1) 4 7 0x− ≤ ; 2) 3 5 19x− > ; 3) 4 8 2 3x x− ≤ + ; 4) 17 3 8− > −x x.

4. При яких значеннях x двочлен 2 1x− набуває додатних значень?5. При яких значеннях y двочлен 21 3− y набуває вiд’ємних значень?6. При яких значеннях c двочлен 5 3− c набуває значень, що бiльшi

за 80?7. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) ( )( )0 2 0 2 6 6 362, , ,x x x x− − + > ; 2)( ) ( )( )2 5 0 5 2 1 2 1 152

x x x x− − < − + −, ;

3) ( )( ) ( )12 1 3 1 1 6 22

x x x− + < + + ; 4) ( ) ( )( )4 1 2 3 8 12

y y y− > + − .

Виконання вправи на повторенняРозв’яжiть рiвняння:

1)x x2 4

4

3 2

2

− = +; 2)

7 2

20

4 1

5

3 6

4

x x x− = + − −.

Виконання вправ уроку слiд розпочати iз вправ, що сприяютьзасвоєнню учнями змiсту поняття «рiвносильнi нерiвностi» та«рiвносильнi перетворення нерiвностей». Пiд час виконанняцих вправ бажано вимагати вiд учнiв свiдомого коментуваннядiй з використанням вивченої термiнологiї.

Наступна група завдань (див. вище) має на метi сприяти засвоєн�ню схеми розв’язання лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною та фор�муванню сталих умiнь як розв’язувати лiнiйнi нерiвностi з однiєюзмiнною, так i виконувати рiвносильнi перетворення нерiвностейз однiєю змiнною.

Тiльки переконавшись у тому, що основнi навички розв’язуваннянайпростiших нерiвностей з однiєю змiнною в учнiв сформованi,можна переходити до бiльш складних прикладiв, якi сприяють вдо�сконаленню навичок виконання тотожних перетворень.

Щоб пiдготувати учнiв до сприйняття матерiалу наступного уроку(розв’язування нерiвностей, що мiстять дроби з числовими знаменни�ками), на цьому уроцi розв’язуємо рiвняння вiдповiдного виду.


Тестове завданняЯка з наведених нерiвностей рiвносильна нерiвностi

( )2 3 7x x x− + > − ?

А) 3 3 7x x− > + ; Б) 4 13x< ; В) 4 13x> ; Г) x< 13

4.



Вивчити змiст тверджень, розглянутих на уроцi (див. конспект 8).Виконати вправи.

1. Розв’яжiть нерiвнiсть, зобразiть множину її розв’язкiв на координат�нiй прямiй та запишiть цю множину у виглядi числового промiжку:1) x− >2 0; 2) x+ >36 0, ; 3) x− ≤14 0, ; 4) 5 15x> ; 5) − <2 5x ;6) 0 9 18, ,x> ; 7) − >2 4 0, x ; 8) 8 12 0x− ≤ ; 9) 3 11 5x+ > ;10) 9 7 6 1x x+ ≤ + ; 11) 3 13 7 3x x− > + .

2. Розв’яжiть нерiвнiсть:1) ( ) ( )7 2 20 4 3 9x x− + < − − ; 2) ( ) ( )2 3 3 2− − + ≤y y y;3) ( ) ( )z z z+ < + + −10 5 2 7 14 5 ; 4) ( ) ( )5 3 4 2 9y y y− + − − ≤ .

3. При яких значеннях a значення двочлена 2 1a − менше, нiж зна�чення двочлена 7 12− , a?

4. При яких значеннях p значення двочлена 15 1, p− бiльше, нiж зна�чення двочлена 1 11+ , p?

5. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) ( ) ( )4 1 3 12 432b b b b− − − < ; 2) ( )3 2 3 6 22y y y y− − − > − .

Виконати вправи на повторення.

1. Розв’яжiть рiвнянняx x x2 4

6 2

4

3

− − = −.

2. При яких значеннях змiнної має змiст вираз 2 4x− ?

Урок № 12Лiнiйна нерiвнiсть з однiєю змiнною

Мета: продовжити роботу над засвоєнням учнями:означення рiвносильних нерiвностей та властивостей рiвносиль�них нерiвностей;означення лiнiйної нерiвностi з однiєю змiнною та схеми її розв’я�зання залежно вiд рiзних значень коефiцiєнтiв.Доповнити знання учнiв уявленням про схему дiй пiд час розв’я�

зування нерiвностей з однiєю змiнною, що мiстять дроби iз числови�ми знаменниками.

Продовжити роботу щодо формування вмiнь:вiдтворювати змiст вивчених понять та алгоритмiв;застосовувати їх для розв’язування вправ, що передбачають роз�в’язання лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною.Тип уроку: застосування знань, формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Розв’язування лiнiйних не�

рiвностей».


Хiд уроку




Оскiльки вправи домашнього завдання є вправами репродуктив�ного (переважно) характеру, то перевiрку домашнього завданняможна здiйснити або частково (тiльки в учнiв, якi потребують додат�кової педагогiчної уваги), або запропонувши учням перевiрити вiд�повiдi (правильнi вiдповiдi заздалегiдь записанi за дошкою чи роз�данi як картки для самостiйного опрацювання).


Як i на попередньому уроцi, бажано створити проблемну ситуацiю.Спочатку запропонуємо учням вправу на повторення — розв’язаннярiвняння з однiєю змiнною вiдповiдного виду (див. домашнє завданняна повторення). Потiм перенесемо ситуацiю в новi умови, запропону�вавши учням розв’язати нерiвнiсть, яка вiдрiзняється вiд розв’язаногорiвняння тiльки знаком (замiсть знака рiвностi — знак нерiвностi). Та�ким чином, формулюється питання: чи можливо цю нерiвнiсть розв’я�зати такими методами (з урахуванням наявних вiдмiнностей у власти�востях рiвнянь та нерiвностях), якими ми розв’язували рiвняння?Пошук вiдповiдi на це запитання i є основною метою уроку.


Виконання усних вправ1. Знайдiть значення виразу:

1) 2 3x− при x = −3; 2) c c6 3: при c = 0 3, ;

3)1

2

1

3

1

2−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

: ; 4) ( )( )10 5 10 5− + .

2. Виконайте множення:

1)1

22⋅ ; 2)

1

24⋅ ; 3)

a

22⋅ ; 4)

a − ⋅1

22; 5)

3 2

22

a − ⋅ ; 6)3 1

26

a − ⋅ .

3. Розв’язком якої з наведених нерiвностей є промiжок ( )3;+∞ ?1) x+ >3 0; 2) − > −2 6x ; 3) x− <3 0; 4) − < −5 15x .


Складаючи схеми дiй розв’язання нерiвностей з однiєю змiн�ною, якi мiстять дробовi коефiцiєнти, учнi мають усвiдомити,


що попри вiдмiннiсть у властивостях числових рiвностей тачислових нерiвностей, схеми дiй у подiбних ситуацiях пiд часрозв’язування рiвнянь та нерiвностей першого степеняз однiєю змiнною дуже схожi. Додатково до питання проспосiб розв’язання нерiвностей з однiєю змiнною, що мiстятьдробовi коефiцiєнти, бажано розглянути свого роду проти�лежний випадок — коли для спрощення процесу розв’язуван�ня нерiвностi доцiльно попередньо виконати дiлення правої талiвої частин нерiвностi на НСК коефiцiєнтiв правої та лiвоїчастин нерiвностi (для усвiдомлення способу вiдповiдних дiйможна також запропонувати учням вiдповiдне рiвняння з од�нiєю змiнною). У будь�якому разi пiсля виконання записiврозв’язання прикладiв учитель має або сам, або залучивши доцього учнiв зробити висновок про те, що як i пiд час розв’язу�вання рiвнянь, так i пiд час розв’язування нерiвностей першерiвносильне перетворення, яке бажано виконати, — це мно�ження або дiлення обох частин на одне й те саме число з ме�тою спрощення виду поданої нерiвностi.

Конспект 9

Розв’язування лiнiйних нерiвностей

1. Приклад розв’язування нерiвностi з дробовими коефiцiєнтами при

змiнних3 1

6

2

91

t t− − ≤ .

Розв’язання. Помножимо обидвi частини нерiвностi на НСК(6; 9) = 18.Оскiльки множимо обидвi частини нерiвностi на додатне число, то знакнерiвностi не змiнюється.

( )3 3 1 2 2 18t t− − ⋅ ≤ , 9 3 4 18t t− − ≤ ,

5 21t ≤ , t ≤ 4 2, .

Вiдповiдь. ( ]−∞; ,4 2 .

2. Приклад розв’язування нерiвностi, коефiцiєнти якої мають спiльнекратне, вiдмiнне вiд 1

( ) ( )250 3 500 1 750x x− > + + .

Розв’язання. Подiлимо обидвi частини нерiвностi наНСД (500; 250; 750) = 250, при цьому знак нерiвностi не змiнюється.

( )x x− > + +3 2 1 3, x x− > + +3 2 2 3,

x x− > +3 2 5, x x− > +2 5 3, − >x 8, x < −8.

Вiдповiдь. ( )−∞ −; 8 .


t4,2

–8 t



1. На яке число треба помножити обидвi частини нерiвностi, щобдiстати нерiвнiсть iз цiлими коефiцiєнтами, рiвносильну поданiй:

1)x

23> ; 2)

x x

2

1

3> −

; 3)x x

2

1

45+ − < ; 4)

x x

2

1

4

1

3+ − > ?


1) 2 6x< − ; 2) − > −4 16x , ; 3) x+ >5 4; 4) − + ≤x 5 4;

5) 0 7x< ; 6) 0 7x< − ; 7) 0 7x> ; 8) 0 7x> − .

3. Вiдомо, що − < <9 6y . Оцiнiть значення виразу1

32y+ .



1) ( )1

703 1

9

70

11

70x x+ + < ; 2)

2 1

4

2 3

6

1

12

x x+ − − ≤ .

2. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть:

1) − ≤ + <1 3 4 5x ; 2) 0 2 5 7< − <x ; 3) 27 2

36< + ≤a

; 4) − < − <28

42

x.

3. При яких значеннях y:

1) значення дробу7 2

6

− yбiльше, нiж вiдповiдне значення дробу

3 7

12

y−;

2) значення двочлена 5 1y− бiльше, нiж вiдповiдне значення дробу3 1

4

y−?

4. При яких значеннях a сума дробiв2 1

4

a −i

a −1

3додатна?

5. При яких значеннях b рiзниця дробiв3 1

2

b −i

1 5

4

+ bвiд’ємна?


1. Доведiть, що якщо a b> , то:

1) a b+ > +5 3; 2) 1 2− < −a b.

2. Оцiнiть вираз:

1) a b+2 , якщо 0 1< <a i − < < −3 2b ;

2)1

2a b− , якщо 7 10< <a i 14 15< <b .


Мета вправ, запропонованих для виконання на уроцi:

засвоєння термiнологiї, яку учнi вивчили на попередньому уроцi;

подальше вдосконалення навичок рiвносильних перетворень не�рiвностей з однiєю змiнною, розв’язування лiнiйних нерiвностейз однiєю змiнною;

формування вмiнь виконувати дiї за схемою, складеною на попе�редньому етапi уроку.



Розв’язком нерiвностi4 3

4

3 2

2

x x− ≤ −є…

А) x< 11

8; Б) x< 8

9; В) x≤ 1

1

8; Г) порожня множина.


Повторити змiст понять, вивчених на попередньому уроцi, а та�кож вивчити схему дiй, складену на цьому уроцi.

Виконати вправи.


1) ( ) ( )90 12 180 6 270х x− + + < ; 2)1

30

1

15

7

60

− − + >x x.


1) − < + <1 7 2 4y ; 2) 03 2

65< + ≤y; 3) 4 8 3 10< − ≤x ; 4) 2

3

83≤ − <x.

3. При яких значеннях y: 1) значення дробу45 2

5

, − yменше, нiж

вiдповiднi значення дробу2 3

10

− y; 2) значення дробу

5 2

12

− yменше,

нiж вiдповiднi значення двочлена 1 6− y?


1. Використовуючи координатну пряму, знайдiть перерiз промiжкiв:

1) ( )2 7; i ( )−5 10; ; 2) [ ]−4 3; i [ ]−2 6; ;

3) ( )− +∞1; i ( )7;+∞ ; 4) ( )−∞ −; 4 i ( )−∞;6 .

2. Покажiть за допомогою штриховки на координатнiй прямiй об’єд�нання промiжкiв:

1) [ ]−9 1; i [ ]−3 5; ; 2) ( )−4 0; i ( )−1 2; ;

3) ( )−∞ −; 4 i ( )− +∞10; ; 4) [ )− +∞3; i ( )8;+∞ .


Урок № 13Розв’язування систем (та сукупностей) лiнiйнихнерiвностей з однiєю змiнною

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:поняття системи нерiвностей з однiєю змiнною (та поняття сукуп�ностi нерiвностей з однiєю змiнною);означення рiвносильних нерiвностей та властивостей рiвносиль�них нерiвностей;означення лiнiйної нерiвностi з однiєю змiнною та схеми її розв’я�зання залежно вiд рiзних значень коефiцiєнтiв.Доповнити знання учнiв уявленням про:схему дiй пiд час розв’язування систем нерiвностей з однiєю змiн�ною, що зводяться до лiнiйних;схему дiй пiд час розв’язування сукупностей нерiвностей з однiєюзмiнною, що зводяться до лiнiйних.Сформувати вмiння виконувати дiї вiдповiдно до вивчених схем

розв’язання систем та сукупностей нерiвностей з однiєю змiнною.Вдосконалювати вмiння:вiдтворювати змiст вивчених понять та алгоритмiв;застосовувати їх для розв’язування вправ, що передбачають роз�в’язання лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Розв’язування систем та су�

купностей нерiвностей».

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗ метою здiйснення поточного контролю засвоєння матерiалу по�

переднiх двох урокiв, пропонуємо учням виконати тестовi завдання.Варiант 1

1. Яка з наведених нерiвностей рiвносильна нерiвностi 5 1 0x+ > ?А) 5 1x> ; Б) 5 0x> ; В) 5 1x< − ; Г) 5 1x> − .

2. Запишiть числовий промiжок, що є розв’язком нерiвностi − ≤2 6x .А) ( )− ∞3; ; Б) [ )− ∞3; ; В) ( )−∞ −; 3 ; Г) ( ]−∞;3 .

3. Яка лiнiйна нерiвнiсть з однiєю змiнною серед наведених має роз�в’язком промiжок ( )− ∞3; ?

А) x− >3 0; Б) 2 6 0x+ > ; В)x− <1

21; Г) 3 5 11x x− < − .


4. Який промiжок є множиною розв’язкiв нерiвностi 1 2 3− >x ?А) ( ]−∞ −; 1 ; Б) ( )−∞ −; 1 ; В) ( ]−∞;1 ; Г) ( )−∞;1 .

5. Розв’язком якої з наведених нерiвностей є множина дiйсних чисел?А) 0 0x< ; Б) 0 0x> ; В) 0 3x≤ − ; Г) 0 3x≥ − .

6. При яких значеннях x визначено функцiю y x= −15 3, ?

А) x> 2; Б) х≥ 2; В) x> −2; Г) x≥ −2.Варiант 2

1. Яка з наведених нерiвностей рiвносильна нерiвностi − <2 5x ?А) x< −2 5, ; Б) x> −2 5, ; В) x< +5 2; Г) x> −5.

2. Запишiть числовий промiжок, що є розв’язком нерiвностi x− ≤ −5 3.А) ( )−∞;2 ; Б) ( )−∞ −; 2 ; В) ( ]−∞;2 ; Г) ( ]−∞ −; 8 .

3. Яка лiнiйна нерiвнiсть з однiєю змiнною серед наведених має роз�в’язком промiжок ( )−∞;7 ?

А) x− >7 0; Б) 2 14 0x− < ; В)x− ≤2

50; Г) 0 7x< .

4. Який промiжок є множиною розв’язкiв нерiвностi 3 5 13− <x ?А) ( )2;+∞ ; Б) ( )−∞;2 ; В) ( )−∞ −; 2 ; Г) ( )− ∞2; .

5. Розв’язком якої з наведених нерiвностей є множина дiйсних чисел?А) 2 0x> ; Б) 0 0x< ; В) 0 0x> ; Г) 0 1х≥ − .

6. При яких значеннях x визначено функцiю y x= +1

31?

А) x≥ 3; Б) x> 3; В) x> −3; Г) x≥ −3.Якiсть виконання завдань перевiряється вiдразу по виконаннi ро�

боти (для бiльшої ефективностi роботи залучаємо ТЗН).


Створити певним чином вiдповiднi умови для мотивацiї навчаль�ної дiяльностi учнiв вчитель може, як завжди, запропонувавши уч�ням розв’язати конкретне практичне завдання, яке приводить учнiвдо усвiдомлення необхiдностi вивчення способiв розв’язання як сис�тем, так i сукупностей нерiвностей з однiєю змiнною (це може бутизавдання розв’язати, наприклад, нерiвнiсть з модулем або практич�ну задачу, розв’язання якої зводиться до розв’язування системи абосукупностi нерiвностей). Проаналiзувавши запропоновану ситуацiю,учнi мають дiйти висновку, що практично часто ставиться питанняпро знаходження всiх спiльних розв’язкiв нерiвностей з однiєюзмiнною (розв’язання системи нерiвностей) або про вiдшукання всiхзначень змiнних, при яких хоча б одна з нерiвностей перетворювала�ся на правильну (розв’язання сукупностi нерiвностей); а тому метою


уроку є вивчення способiв розв’язання систем нерiвностей (а такожсукупностей нерiвностей) з однiєю змiнною.


Виконання усних вправ1. Спростiть вираз:

1) ( )0 2 3 2, m ; 2) ( )50 6 2

2− ; 3) b b b7 8 14⋅ : ;

4) ( ) ( )2 1 32x x x+ − − ; 5) ( ) ( )3 5 2a a+ − − ; 6)14

35

6

2

m

m.

2. Оцiнiть:1) периметр правильного трикутника зi стороною a см, якщо12 18, ,< <a ;

2) значення виразу1

21x+ , якщо − < <6 8x .


1) 2 4x> ; 2) − >x 3; 3) − ≤x 0; 4)1

35x≤ ; 5)

x

52< − ; 6) − >x

210.


План вивчення нового матерiалу1. Схема розв’язання систем нерiвностей з однiєю змiнною. Приклади.2. Схема розв’язання сукупностей нерiвностей з однiєю змiнною.

Приклади.

Конспект 10

Розв’язування систем та сукупностей нерiвностей

1. Схема розв’язання систем нерiвностей з однiєю змiнною

1) Шляхом виконання рiвносильних перетворень кожну нерiвнiсть систе�ми привести до виду лiнiйної нерiвностi з однiєю змiнною.

2) Знайти розв’язок кожної з нерiвностi.

3) Знайти перерiз промiжкiв, що є розв’язками нерiвностей системи.

4) Записати вiдповiдь.

Приклад. Розв’язати систему нерiвностей( ) ( )

( )2 1 3 2

6 3 17 5

x x x

x x

− − − <

− < − −⎧⎨⎩

,

.

Розв’язання.2 2 3 6

6 3 17 5

x x x

x x

− − + <− < − +

⎧⎨⎩

,

;

− + <− < −

⎧⎨⎩

x x

x x

4

6 3 22

,

;

− < −<

⎧⎨⎩

2 4

7 25

x

x

,

;

x

x

>

<

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

34

7

,

.

Вiдповiдь. 2 34

7;

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.


x23

4

7

2. Схема розв’язання сукупностей нерiвностей з однiєю змiнною

1) Шляхом виконання рiвносильних перетворень кожну нерiвнiсть сукуп�ностi звести до виду лiнiйної нерiвностi.

2) Знайти розв’язок кожної нерiвностi сукупностi.

3) Знайти об’єднання промiжкiв, якi є розв’язками кожної з нерiвностейсукупностi.

4) Записати вiдповiдь.

Приклад. Розв’язати сукупнiсть нерiвностей2 3 5

2 3 5

x

x

− >− < −

⎡

⎣⎢,

.

Розв’язання.2 3 5

2 3 5

x

x

− >− < −

⎡

⎣⎢,

;

2 8

2 2

x

x

>< −

⎡

⎣⎢,

;

x

x

>< −

⎡

⎣⎢4

1

,

.

Вiдповiдь. ( ) ( )−∞ − ∪ +∞; ;1 4 .

Якщо на попереднiх уроках в учнiв сформувалися чiткi уявлен�ня про змiст понять системи нерiвностей з однiєю змiнною, су�купностi нерiвностей з однiєю змiнною, перерiзу та об’єднаннячислових промiжкiв, розв’язку нерiвностi з однiєю змiнною,розв’язку системи та сукупностi нерiвностей з однiєю змiнною,а також сформувалися сталi навички розв’язання лiнiйних не�рiвностей з однiєю змiнною та рiвносильних перетворень не�рiвностей до виду лiнiйних, то пiд час вивчення матерiалу цьогоуроку учнi зазвичай не мають труднощiв. Тому перед вивчен�ням змiсту нового матерiалу уроку (див. план) доречно буде про�вести актуалiзацiю основних знань та вмiнь, яких учнi набулипротягом попереднiх урокiв (див. уснi вправи). Схеми, що про�понуються до опрацювання (див. план), є стандартними й по�внiстю вiдповiдають уявленням учнiв про змiст понять «щоозначає розв’язати систему нерiвностей з однiєю змiнною» та«що означає розв’язати сукупнiсть нерiвностей з однiєюзмiнною». Отже, можна запропонувати скласти цi схеми самимучням. Проте приклади на застосування складених схем дореч�но пiдiбрати таким чином, щоб учнi побачили якомога бiльшерiзних випадкiв розв’язкiв цих систем або сукупностей (напри�клад, коли одна з нерiвностей не має розв’язкiв або коли одназ нерiвностей має розв’язком усю числову пряму тощо). Також(якщо дозволяє час та рiвень активностi iнтелектуальної дiяль�ностi учнiв) на цьому уроцi можна розглянути «особливi» ви�падки систем лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною, якi можнарозв’язувати без допомоги числової прямої, за правилами


x–1 4

«бiльше бiльшого» (для систем нерiвностей виду x a> , x b> ) та«менше меншого» (для систем нерiвностей виду x a< , x b< ).Наприкiнцi бесiди про застосування вивчених схем бажано об�говорити питання про застосування розв’язання систем не�рiвностей з однiєю змiнною для розв’язування подвiйних не�рiвностей (особливо у випадках, якщо iншим способом, тобточерез застосування властивостей числових нерiвностей, це зро�бити буває досить проблематично).

VІ. Формування вмiнь та навичок


На рисунку позначено множини розв’язкiв двох нерiвностей. Чиправильно записанi:

а) розв’язки системи цих нерiвностей;

б) розв’язки сукупностi цих нерiвностей?

а) ( )4;+∞ ; б) ( )3;+∞ . а) розв’язкiв немає; б) ( ) ( )−∞ ∪ +∞; ;0 3 .

а) ( ]−4 1; ; б) ( )−∞ +∞; . а) ( ]−∞;6 ; б) ( ]−∞;4 .

Виконання письмових вправ1. Розв’яжiть систему нерiвностей:

1)4 6 7

9 10 5

x

x x

+ ≤− > −

⎧⎨⎩

,

;2)

11 2 14 3

4 9 1 2

, , ,

;

x x

x x

− > −− < −

⎧⎨⎩

3)21 5 8 2

3 7 7 1 4

− ≤ ++ ≤ +

⎧⎨⎩

x x

x x

,

, .

2. Розв’яжiть систему нерiвностей i вкажiть найбiльше цiле число,яке є її розв’язком:

1)3 4 19

6 11

− <≤

⎧⎨⎩

y

y

,

;2)

8 4 0

4 1 24

− ≤− ≤ −

⎧⎨⎩

x

x x

,

;3)

5 4 17

3 23 5

− << −

⎧⎨⎩

x

x

,

.


1)( ) ( )

( )5 3 4 2 6 2 7

11 17 1 2 11 14

− + − > −

− + < −

⎧⎨⎩

x x x

x x x

,

;2)

( ) ( )( )

9 2 7 2 2 1 18 0 9

10 6 5 2 15 1

x x x

x x x

+ − + > +

− − < +

⎧⎨⎩

, , , ,

, , .


1)y

y

y

− − <

− ≤

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 1

34

1

52

,

;

2)

4 1

34

23

1

xx

xx

− − ≤

− >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,

.


x3 4 x0 3

x–4 1 x4 6

5. Розв’яжiть сукупнiсть нерiвностей3 1 7

2 10

x

x

+ ≤>

⎡

⎣⎢,

.

Виконання вправи на повторенняПри яких значеннях змiнної має змiст вираз:

1) 4 6− a; 2)7 5

8

− a; 3) ( )− −3 1 5x ?

Вправи, якi слiд виконати на уроцi, мають бути спрямованi наформування навичок швидкого, послiдовного та безпомилко�вого виконання дiй:

розв’язання кожної нерiвностi системи (сукупностi);знаходження перерiзу (об’єднання) здобутих промiжкiв.Учителевi слiд нагадати учням, що координатну пряму учнi вико�

ристовують для зручностi пошуку розв’язкiв системи або сукупностiнерiвностей, тому рисунок має допомiжну роль; це означає, що важ�ливим у ньому є лише правильне зображення послiдовностi розташу�вання чисел на прямiй. Пiсля набуття певного досвiду з розв’язаннясистем нерiвностей деякi учнi усвiдомлюють, що досить часто розв’я�зок системи нерiвностей можна знаходити i без рисунка (див. окремiвипадки), тому вiд таких учнiв не слiд вимагати обов’язкового вико�нання рисункiв. З метою засвоєння всiх контрольних моментiв учите�лю бажано пiдiбрати вiдповiднi за змiстом тренувальнi вправи, якi вiнвикористовуватиме пiд час викладення нового матерiалу.


Тестове завданняЯка з наведених систем нерiвностей не має розв’язкiв?

А)x

x

><

⎧⎨⎩

2

3

,

;Б)

x

x

<<

⎧⎨⎩

2

3

,

;В)

x

x

<>

⎧⎨⎩

2

3

,

;Г)

x

x

>>

⎧⎨⎩

2

3

,

.


Вивчити алгоритми виконання дiй пiд час розв’язування систем(сукупностей) нерiвностей.

Виконати вправи.1. Розв’яжiть систему нерiвностей:

1)14 6 3 2

9 10 5

− > +− > −

⎧⎨⎩

x x

x x

,

;2)

8 5

10 14 2 13

x x

x x

+ ≤+ ≤ +

⎧⎨⎩

,

.

2. Знайдiть натуральнi розв’язки системи нерiвностей:

1)3 8 23

4 11 3

x

x

+ <+ >

⎧⎨⎩

,

;2)

20 4 12

7 9 30

− > −+ >

⎧⎨⎩

x

x

,

.


3. Розв’яжiть систему нерiвностей( )( )

11 32 0 5 2 8 3

45 3 15 13 0 8

− − < +

− − < +

⎧⎨⎩

, , , ,

, , , .

х x

x x x

4. Розв’яжiть систему нерiвностей

a a

a

− − − <

− >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3

3

2

21

42

0

,

.

Виконати вправу на повторення.

При яких значеннях a значення дробу| |a

a a

−

− +

2

3 22дорiвнює нулю?

Повторити означення та геометричний змiст модуля числа.

Урок № 14Розв’язування систем (сукупностей)лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною

Мета: продовжити роботу над засвоєнням учнями змiсту понять:нерiвнiсть з однiєю змiнною, розв’язок нерiвностi з однiєю змiн�ною, що означає розв’язати нерiвнiсть з однiєю змiнною;система нерiвностей з однiєю змiнною, розв’язок системи нерiвно�стей з однiєю змiнною;що означає розв’язати систему нерiвностей з однiєю змiнною;сукупнiсть нерiвностей з однiєю змiнною, розв’язок сукупностi не�рiвностей з однiєю змiнною, що означає розв’язати сукупнiсть не�рiвностей з однiєю змiнною.Працювати над засвоєнням учнями схем розв’язання лiнiйних

нерiвностей з однiєю змiнною, їх систем та сукупностей.Доповнити знання учнiв схемами розв’язання найпростiших не�

рiвностей з модулем (з використанням геометричного змiсту моду�ля), а також прикладами завдань на складання та розв’язування си�стем нерiвностей з однiєю змiнною (на знаходження ОДЗ виразу,зокрема).

Сформувати в учнiв умiння вiдтворювати змiст вивчених понятьта використовувати їх для розв’язування практичних завдань.

Тип уроку: вдосконалення вмiнь, застосування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Розв’язування нерiвностей

з модулем».

Хiд уроку




Вчитель перевiряє виконання домашнiх вправ у тих учнiв, якiпотребують додаткової педагогiчної уваги (зiбрати зошити для пере�вiрки та за необхiдностi роздати матерiали для проведення корек�цiйної роботи).

Учитель органiзує роботу у формi «Знайди помилку», запропону�вавши учням знайти у розв’язаннi вправ домашнього завдання «по�милки». Заздалегiдь готує записи розв’язання домашнiх вправ, на�вмисне допустивши в них помилки в контрольних моментах. Цейвид роботи можна провести як усно, так i у формi письмової само�стiйної роботи. В останньому випадку — результати виконання робо�ти слiд одразу ж перевiрити (наприклад, у парах) та скорегувати.Учнiв, якi впораються iз завданням без помилок, слiд заохотитивiдповiдними оцiнками.

ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку. Мотивацiянавчальної дiяльностi

Результати (тобто допущенi учнями помилки) виконання домаш�нього завдання та/або самостiйних вправ на початку уроку, а такожнаступне обговорення типових помилок дають можливiсть учнямусвiдомити необхiднiсть продовження роботи щодо вiдпрацюваннянавичок застосування вивчених на попереднiх трьох уроках алго�ритмiв. Окрiм того, на цьому етапi уроку будуть доречними словавчителя про те, що розв’язання систем та сукупностей нерiвностейз однiєю змiнною є засобом розв’язання деяких видiв нерiвностей;про деякi з таких нерiвностей мова буде йти на цьому уроцi.

Таким чином, удосконалення навичок розв’язування нерiвностейз однiєю змiнною, їх систем та сукупностей разом iз вивченням сфери їхпрактичного застосування становить основну дидактичну мету уроку.


Виконання усних вправ1. Яке з наведених чисел має найменший модуль?

1) 0; 2) –2; 3) 4; 4) –6.2. Знайдiть значення виразу:

1)a2 1

2

+при a = − 3; 2) ( )0 2 0 6

2, ,− ; 3) 18 2⋅ ; 4) ( )4 43 5 12: .


1)x

x

>>

⎧⎨⎩

2

5

,

;2)

x

x

≤>

⎧⎨⎩

3

2

,

;3)

x

x

≤≥

⎧⎨⎩

3

2

,

;4)

x

x

<>

⎧⎨⎩

3

6

,

;5)

x

x

<<

⎧⎨⎩

1

15

,

, ;6)

0 15

6

x

x

<>

⎧⎨⎩

,

.


V. Доповнення знань

План вивчення нового матерiалу1. Розв’язування нерiвностей виду | |x a< .

2. Розв’язування нерiвностей виду | |x a> .3. Приклади завдань на складання та розв’язання систем нерiвно�

стей з однiєю змiнною.Викладення питання про розв’язання найпростiших нерiвно�стей iз модулем ведеться традицiйно та ґрунтується на геомет�ричному змiстi модуля. Тому з метою кращого розумiнняучнями схем розв’язання цих нерiвностей перед їх вивченнямнеобхiдно провести вiдповiдну роботу з повторення знань тавмiнь щодо означення модуля числа, деяких властивостей мо�дуля, а також щодо розв’язання лiнiйних нерiвностей з од�нiєю змiнною та їх систем i сукупностей.

Також традицiйно розглядається питання про застосування сис�тем рiвнянь для розв’язування стандартної задачi на знаходженняОДЗ виразу, що мiстить змiнну пiд знаком арифметичного квадрат�ного кореня.

Конспект 11

Розв’язування нерiвностей з модулем

1. Нерiвнiсть виду | |x a<

| |x a<a ≤ 0 a > 0

∅ − < <a x a абоx a

x a

> −<

⎧⎨⎩

,

Приклад 1. Розв’язати нерiвнiсть | |2 3 5x − < .

Розв’язання. Виходячи з геометричного змiсту модуля, замiнимонерiвнiсть рiвносильною їй системою нерiвностей:

2 3 5

2 3 5

x

x

− <− > −

⎧⎨⎩

,

;

2 8

2 2

x

x

<> −

⎧⎨⎩

,

;

x

x

<> −

⎧⎨⎩

4

1

,

.

Вiдповiдь. ( )−1 4; .

Приклад 2. Розв’язати нерiвнiсть | |2 3 5x − < − .

Розв’язання. Оскiльки − <5 0, то нерiвнiсть не має розв’язкiв.

Вiдповiдь. Розв’язкiв немає.


x

–1 4

2. Нерiвнiсть виду | |x a>

| |x a>a < 0 a = 0 a > 0

x R∈ x ≠ 0x a

x a

>< −

⎡

⎣⎢,

Приклад 1. Розв’язати нерiвнiсть | |2 3 5x − > .

Розв’язання. Виходячи з геометричного змiсту модуля, замiнимо не�рiвнiсть рiвносильною сукупнiстю нерiвностей:

2 3 5

2 3 5

x

x

− >− < −

⎡

⎣⎢,

;

2 8

2 2

x

x

>< −

⎡

⎣⎢,

;

x

x

>< −

⎡

⎣⎢4

1

,

.

Вiдповiдь. ( ) ( )−∞ − ∪ +∞; ;1 4 .

Приклад 2. Розв’язати нерiвнiсть | |2 3 0x − > .

Розв’язання. Виходячи зi схеми, маємо: 2 3 0x − ≠ , звiдки x ≠ 1 5, .

Вiдповiдь. ( ) ( )−∞ ∪ +∞; , , ;1 5 1 5 .

VІ. Удосконалення вмiнь та навичок

Виконання усних вправ1. Яка з наведених нерiвностей не має розв’язкiв? Має розв’язком

усю числову пряму?1) | |x > 2; 2) | |x < −3; 3) | |x > 0; 4) | |x ≥ 0; 5) | |x > −3.

2. Розв’яжiть нерiвнiсть:1) − < <12 2 17x ; 2) − < − < −12 4x ; 3) − ≤ − ≤4 1 4x .

Виконання письмових вправ1. Знайдiть на координатнiй прямiй множину чисел, якi задоволь�

няють нерiвнiсть, i запишiть цю множину у виглядi промiжку абооб’єднання промiжкiв:1) | |x < 3; 2) | |x > 4; 3) | |x+ >1 10 5, ; 4) | |x− ≤3 47, .

2. Розв’яжiть нерiвнiсть:1) | |x− <3 18; 2) | |2 7 9x+ > ; 3) | | | |( )1 2 2 2 5− + < + +x x .

3. При яких значеннях аргументу значення функцiї yx= +6 1

5нале�

жить промiжку [ ]−3 1; .4. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) ( )( )x x− + >1 2 5 0; 2)1 2

4 20

−−

≤x

x.

5. Знайдiть область визначення функцiї y x x= + − −2 10 9 3 .


x

–1 4


1)

x

x

x

>>≥ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

8

7

4

,

,

;

2)

y

y

y

< −< −<

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

5

4

,

,

;

3)

m

m

m

>><

⎧⎨⎪

⎩⎪

9

10

12

,

,

;

4)

q

q

q

<<<

⎧⎨⎪

⎩⎪

6

5

1

,

,

.


1)

x

x

x

− <+ <

− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 8

2 5 13

3 1

,

,

;

2)

2 1 3

5 1 6 2

5 0

x x

x x

x

− < +− > −− <

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

,

.

Змiст вправ, винесених на урок, так само як i на попереднiхуроках, сприяє формуванню навичок безпомилкового вико�нання таких дiй:

рiвносильнi перетворення нерiвностей з однiєю змiнною;розв’язування лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною;розв’язування систем та сукупностей лiнiйних нерiвностей з од�нiєю змiнною;розв’язування нерiвностей виду | |x a< шляхом розв’язання систем

лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною;розв’язування нерiвностей виду | |x a> шляхом розв’язання сукуп�

ностей лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною.

Цього можна домогтися за рахунок виконання достатньо великоїкiлькостi вправ рiзного рiвня складностi. Для того щоб пожвавити цюодноманiтну роботу, вчитель може органiзувати її проведення в не�стандартному виглядi: наприклад, у формi математичної естафети,математичного бою або пiдготувати завдання на картках�пiдказках.


Самостiйна робота(можна запропонувати як домашню самостiйну роботу)

Варiант 11. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) x− >5 0; 2) 1 3 4− >x ; 3)4 3

4

3 2

2

x x− ≤ −.


1)x

x

> −<

⎧⎨⎩

3

6

,

;2)

( ) ( )( ) ( )

2 3 4 6 1 20

0 4 5 3 14 12

x x

x x

− > + −

− ≤ + +

⎧⎨⎩

,

, , , ;3)

6 7 4 3

3 16 8 4

x x

x x

− > −+ > −

⎧⎨⎩

,

.

3. Складiть та розв’яжiть систему нерiвностей для знаходження:

1) розв’язкiв подвiйної нерiвностi − < − <2 5 7x ;


2) розв’язкiв нерiвностi з модулем | |x− ≤1 42, ;

3) допустимих значень змiнної у виразi 2 31

9 2x

x+ −

−.

Варiант 2


1) x− <6 0 4, ; 2) 2 5 7− >x ; 3)6 4

6

3 2

3

x x− ≥ −.


1)x

x

≥ −>

⎧⎨⎩

3

6

,

;2)

4 3 6

5 1 6 11

x x

x x

− > ++ > −

⎧⎨⎩

,

;3)

( ) ( )( ) ( )

4 1 3 1

0 5 2 2 15 4

x x x

x x

− − + <

+ ≤ + −

⎧⎨⎩

,

, , .

3. Складiть та розв’яжiть систему нерiвностей для знаходження:

1) розв’язкiв подвiйної нерiвностi − < − <4 9 5x ;

2) розв’язкiв нерiвностi з модулем | |7 5 3x− ≤ ;

3) допустимих значень змiнної у виразi 4 51

11 2x

x+ +

−.


Вивчити схеми розв’язання нерiвностей виду | |x a< , | |x a> .



1) 8 4 10 1x x+ > + ; 2)2 3

41

x+ < − ; 3) 21

3 33

2

3< <x

; 4) | |x > −2; 6) | |3 4 5x− ≤ .


1)4 1 19

5 15

x

x

− <− < −

⎧⎨⎩

,

;2)

− ≤

≤ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

x

x

10

32

,

;3*)

3 14 4

5 1

4

1

23 2

x x

x xx

+ > −− − − ≥ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.

3. Знайдiть допустимi значення виразу− −2 4

3

x.

4. При яких значеннях a дрiб3 5

1

a

a

−−

є правильним?

5. Знайдiть найбiльший цiлий розв’язок нерiвностi

x xx

− − + ≤ −2

5

3 2

6

2

3.

Повторити змiст основних понять теми 2 та схем дiй, вивчениху цiй темi, а також скласти загальну схему, що вiдображує логiчнийзв’язок мiж питаннями теми.


Урок № 15Пiдсумковий урок з теми

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання i спосо�би дiй, якi опанували учнi пiд час вивчення теми «Нерiвностi».


Хiд уроку



З метою економiї часу ретельнiй перевiрцi пiдлягають лише впра�ви на застосування алгоритмiв, вивчених на попередньому уроцi таскладених учнями вдома.

Рiвень засвоєння учнями матерiалу попереднiх урокiв можна пе�ревiрити за допомогою тестової або самостiйної роботи.

Тестова роботаВарiант 1

1. Позначте тi з поданих чисел, якi є розв’язками нерiвностi x< −42, .А. –5. Б. –4,7. В. –4,6. Г. –4,1. Д. –4.

2. Укажiть найменше цiле число, що є розв’язком нерiвностi( )5 12 46 3 14y y− − > +, , , .

А. 0. Б. 1. В. 5.Г. 6. Д. Не можна визначити.3. При яких значеннях x ( )f x < 0, якщо ( )f x x= −1 2 ?

А.1

2;+∞⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

. Б. −∞⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

;1

2. В. −∞ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

;1

2. Г. − +∞⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

2; . Д. −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

2

1

2; .

4. Скiльки натуральних розв’язкiв має нерiвнiсть2

3

4

66

+ + − <x x?

А. 10. Б. 11. В. 12. Г. 13. Д. Безлiч.

5. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть − ≤ + ≤22 1

30

x. Позначте правиль�

ну вiдповiдь.А. ( )− −35 0 5, ; , . Б. [ ]−6 0; . В. ( )−6 0; . Г. [ ]− −35 0 5, ; , . Д. [ ]− −15 0 5, ; , .

6. Якi з нерiвностей є рiвносильними?

А. xx x

+ ++

> ++

11

58

1

5i x> 8; Б. x

x x+ +

+> +

+1

1

58

1

5i x+ >1 8.

В. xx x

+ ++

> ++

11

58

1

5i x+ >2 9.

Г. xx x

+ ++

> ++

11

58

1

5i ( )( ) ( )x x x+ + > +1 5 8 5 .


7. При яких значеннях b значення дробу4 3

2

− bменше, нiж вiдпо�

вiдне значення двочлена 12 +b?А. ( )−∞ −; 4 . Б. ( )−∞;4 . В. ( )− +∞4; . Г. ( )4;+∞ . Д. ( )− +∞2; .

8. Укажiть найбiльший цiлий розв’язок системи( )6 2 3 3

6 52

− > −

− <

⎧⎨⎪

⎩⎪

x x

xx

,

, .

А. 5. Б. 4. В. 3. Г. Не можна визначити. Д. 1.Варiант 2

1. Позначте тi з поданих чисел, якi є розв’язками нерiвностi x> −45, .А. –5. Б. –4,7. В. –4,6. Г. –4,1. Д. –4.

2. Укажiть найменше цiле число, що є розв’язком нерiвностi( )6 15 34 4 2 4y y− − > −, , , .

А. 4. Б. –5. В. 6. Г. 5. Д. Не можна визначити.3. При яких значеннях х ( )f x < 0, якщо ( )f x x= −4 2?

А. −∞ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

;1

2. Б. ( )−∞ −; 2 . В. ( )−∞;2 . Г. −∞⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

;1

2. Д. −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

2

1

2; .

4. Скiльки натуральних розв’язкiв має нерiвнiстьx x+ − − <2

4

1

82?

А. 10. Б. 11. В. 12. Г. 13. Д. Безлiч.

5. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть 05 1

44≤ − ≤y. Позначте правильну

вiдповiдь.А. ( )0 16; . Б. [ ]0 16; . В. ( )0 2 34, ; , . Г. [ ]0 2 34, ; , . Д. [ ]0 2 12, ; , .

6. Якi з нерiвностей є рiвносильними?

А. ( ) ( )137

41

137

42 1x x+ > + i ( ) ( )− + > − +137

41

137

42 1x x .

Б. ( ) ( )137

41

137

42 1x x+ > + i x x+ > +1 2 1.

В. ( ) ( )137

41

137

42 1x x+ > + i ( ) ( )137

41

4

1372 1x x+ > + .

Г. ( ) ( )137

41

137

42 1x x+ > + i x x+ < +1 2 1.

7. При яких значеннях b значення дробу2

4

−bбiльше, нiж вiдповiдне

значення дробу14

2

−b?

А. ( )−∞ −; 10 . Б. ( )−∞;10 . В. ( )26;+∞ . Г. ( )− +∞26; . Д. ( )18;+∞ .


8. Укажiть найбiльший цiлий розв’язок системи( )10 4 3 1

354

2

− < −

+ >

⎧⎨⎪

⎩⎪

x x

xx

,

, .

А. 2. Б. 4. В. 6. Г. 7. Д. Не можна визначити.


1. Знайдiть розв’язки системи нерiвностей i позначте їх на коорди�натнiй прямiй:

а)3 27 0

2 5 5

x

x

− <>

⎧⎨⎩

,

, ;б)

( )( )( )

x x x x

x x

+ − > + +

− − ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 4 1

2 3 3 5

2 ,

.

2. Знайдiть усi цiлi розв’язки системи нерівностей

x x

x x

− >

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2

2 33

5 2

,

.

3. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть − < − <11

41

x.

4. Розв’яжiть нерiвнiсть | |x+ >5 2.

5. Знайдiть область визначення функцiї yx

x= +

+1

3.

Варiант 21. Знайдiть розв’язки системи нерiвностей i позначте їх на коорди�

натнiй прямiй:

а)7 56 0

35 21

x

x

+ >− >

⎧⎨⎩

,

, ;б)

( )( )( )

x x x x

x x

− + > + −

− − − ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

5 6 2 3

7 4 2 10

2 ,

.

2. Знайдiть усi цiлi розв’язки системи нерівностей

x x

x x

− >

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

3

4 54

6 3

,

.

3. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть − < + <22

32

x.

4. Розв’яжiть нерiвнiсть | |2 0 5+ >x , .


x= −

−2

4.

ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку. Мотивацiянавчальної дiяльностiОсновна дидактична мета та завдання на урок цiлком логiчно

випливають з його мiсця в темi. Оскiльки урок останнiй, пiдсумко�


вий, то першочерговими є повторення, узагальнення та систематиза�цiя знань та вмiнь, набутi учнями пiд час вивчення теми 2. Таке фор�мулювання мети створює вiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.


Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв учитель може органiзува�ти роботу рiзними способами: або як самостiйну з теоретич�ним матерiалом (наприклад, за пiдручником або за конспек�том повторити змiст основних понять теми чи скласти схему,що вiдображає логiчний зв’язок мiж основними поняттямитеми, тощо), або традицiйно провести опитування (у формiiнтерактивної вправи) за основними питаннями теми.

Контрольнi питання до теми1. Наведiть приклади нерiвностей з однiєю змiнною.2. Що називається розв’язком нерiвностi з однiєю змiнною? Як пере�

вiрити, чи є подане число розв’язком нерiвностi з однiєю змiнною?3. Що означає розв’язати нерiвнiсть з однiєю змiнною?4. Наведiть приклади числових промiжкiв.5. Якi нерiвностi називаються рiвносильними?6. Сформулюйте властивостi рiвносильностi нерiвностей.7. Коли нерiвностi зi змiнною утворюють систему нерiвностей?8. Що називають розв’язком системи нерiвностей з однiєю змiнною?

Як перевiрити, чи є подане число розв’язком системи нерiвностейз однiєю змiнною?

9. Назвiть кроки розв’язування системи нерiвностей з однiєю змiн�ною.

10. Наведiть приклад сукупностi нерiвностей. Назвiть кроки розв’я�зування сукупностi нерiвностей.


Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб власне учнi сформулювалита випробували узагальнену схему дiй, якої вони мають до�тримуватися пiд час розв’язування типових завдань, подiбнiдо яких будуть винесенi на контроль.

Наприклад, типовими завданнями теми «Лiнiйнi нерiвностi з од�нiєю змiнною. Розв’язування систем (та сукупностей) лiнiйних не�рiвностей з однiєю змiнною» є такi завдання:

виконати зображення числового промiжку, що вiдповiдає не�рiвностi з однiєю змiнною;знайти перерiз або об’єднання числових промiжкiв;


розв’язати лiнiйнi нерiвностi з однiєю змiнною;

розв’язати систему та сукупнiсть лiнiйних нерiвностей з однiєюзмiнною;

розв’язати нерiвнiсть виду | |x a< за допомогою системи лiнiйних не�

рiвностей з однiєю змiнною;

розв’язати нерiвностi виду | |x a> за допомогою сукупностi лiнiйних

нерiвностей з однiєю змiнною;

знайти ОДЗ виразу, що мiстить змiнну пiд знаком арифметичногоквадратного кореня;

*розв’язати лiнiйну нерiвнiсть з однiєю змiнною з параметром.

Пiсля складання списку основних видiв завдань учитель об’єднуєучнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань), завдання кожноїз груп формулюється як «Скласти алгоритм розв’язання завдання…»(кожна з груп отримує iндивiдуальне завдання). На складання алго�ритму кожнiй групi вiдводиться певний час, за який учнi мають:скласти алгоритм, записати його у виглядi послiдовних крокiв,пiдготувати презентацiю своєї роботи. По закiнченнi вiдбуваєтьсяпрезентацiя виконаної роботи кожною групою. Пiсля презентацiї —обов’язкове випробування алгоритмiв: причому бажано, щоб групиобмiнялись алгоритмами й перевiрили їх застосування не на одному,а на кiлькох завданнях. Пiсля випробування — обов’язкова корекцiята пiдбиття пiдсумкiв.


Пiдсумком уроку узагальнення, систематизацiї знань i вмiньучнiв є, по�перше, складенi узагальненi схеми дiй пiд час розв’язу�вання типових завдань, по�друге — здiйснення учнями необхiдноїчастини свiдомої розумової дiяльностi (рефлексiї) вiдображеннякожним учнем власного сприйняття успiхiв та, найголовнiше, про�блем, над якими слiд ще попрацювати.

VІІ. Домашнє завдання

1. Вивчити складенi на уроцi алгоритми.

2. Використовуючи складенi алгоритми, виконати завдання домаш�ньої контрольної роботи.

Умова домашньої контрольної роботи

1. Запишiть числовi промiжки, що вiдповiдають наведеним не�рiвностям:

1) x> −0 75, ; 2) y≤ 32, ; 3) − < ≤3 4y .


2. Розв’яжiть нерiвнiсть:1) 0 3 2 5 17 15, , , ,x x+ > − − ; 2) ( )( )5 3 5 3 9 52− + > − +x x x x;

3)3 6

4 4

2

2

x x x+ − > +.

3. Знайдiть розв’язки системи нерiвностей:

1)− + > +

− < −⎧⎨⎩

2 3 4 1

20 3 10 8

x x

x x

,

;2)

( )3 1 5

12 10 1

y y

у y

+ < −

+ > −

⎧⎨⎩

,

;3)

x x

x

− − − <

− >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

2

3

32

13 1

20

,

.

4. Знайдiть область визначення функцiї:

1) yx= −12 2

7; 2) y

x

x= − +

+18 6

6

1

3 9.

5. Розв’яжiть нерiвнiсть6 5

25

x−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐≤ .

Урок № 16Тематична контрольна робота № 2

Тип уроку: контроль знань та вмiнь.

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗiбрати зошити iз виконаною домашньою контрольною роботою (ро�

боту перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).


Учитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботиє демонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, а саме: показатизнання змiсту основних понять та алгоритмiв, вивчених у темi, а та�кож умiння застосовувати набутi знання до розв’язування вправ.


Варiант 11. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1)3

8

3

4x≤ − ; 2) ( )7 4 6 3 2x x− > − .

2. Знайдiть розв’язки нерiвностi:

1) ( )( ) ( )( )x x x x+ − > + −3 6 4 5 ; 2)2 1

4

3

84

x x− − + < − .



1)8 32 0

3 15 0

x

x

− <− + >

⎧⎨⎩

,

;2)

6 5 13

28 4 20

x

x

− <+ >

⎧⎨⎩

,

;3)

5 7 8

2 1 3

x

x

− >+ <

⎧⎨⎩

,

.

4. Знайдiть цiлi розв’язки системи нерiвностей

( ) ( )( ) ( )( )

4 5 4 13 1 18

5 2 8 4

x x

x x x x

− > − +

+ − − + >

⎧⎨⎩

,

.

5. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть − ≤ − ≤65 2

32

x.

6. Знайдiть область визначення функцiї y xx

= + +−

4 161

6 3.

Варiант 2

1. Розв’яжiть нерiвнiсть: 1)2

714x> − ; 2) ( )3 8 4 2 3x x− > − .

2. Знайдiть розв’язки нерiвностi:

1) ( )( ) ( )( )x x x x+ − > + −2 5 3 4 ; 2)2 3

3

1

41

x x+ − + < − .


1)6 24 0

2 12 0

x

x

− >− + <

⎧⎨⎩

,

;2)

2 7 19

30 8 6

x

x

+ <− <

⎧⎨⎩

,

;3)

3 7 20

7 4 10

x

x

− >− ≤

⎧⎨⎩

,

.

4. Знайдiть цiлi розв’язки системи нерiвностей

( ) ( )( ) ( )( )

2 3 4 4 1 3

4 3 5 5

x x

x x x x

− > + −

− − + − > −

⎧⎨⎩

,

.

5. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть − ≤ − ≤34 5

21

x.

6. Знайдiть область визначення функцiї y xx

= − +−

3 91

40 5.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдо�ма (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’я�зань завдань контрольної роботи (заготовленi вчителем заздалегiдь).


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити означення функцiї та супутнiх понять (за довiдником

8 класу).


ТЕМА 2. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦIЯ (22 години)

І. Функцiя та її властивостi (11 год)

Урок № 17Функцiї. Властивостi функцiї: нулi, промiжкизнакосталостi, промiжки зростання та спадання

Мета: повторити та систематизувати знання, набутi учнями в 7 та8 класах, щодо означення, властивостей числових функцiй та при�кладiв елементарних числових функцiй i вигляду їх графiкiв.

Сформувати знання учнiв про спосiб задання функцiї формулою( )y f x= .

Повторити та систематизувати вмiння учнiв:

знаходити значення функцiї, що вiдповiдає заданому значенню ар�гументу;

за формулою знаходити значення аргументу, при якому значенняфункцiї дорiвнює поданому числу;

розв’язувати задачi на знаходження областi визначення, областiзначень функцiї;

працювати за графiком функцiї.

Сформувати оперативнi вмiння працювати з формулою ( )y f x= .

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Числова функцiя».

Хiд уроку


На цьому етапi уроку слiд надати учням iнформацiю про:

орiєнтовний план вивчення роздiлу;

кiлькiсть навчальних годин;

приблизний змiст матерiалу;

основнi вимоги до знань та вмiнь учнiв;

термiн проведення контрольної роботи;

орiєнтовний змiст завдань, що будуть винесенi на контроль.

Цю iнформацiю можна помiстити на стендi «Довiдково�iнформа�цiйний куточок» у кабiнетi математики та запропонувати учням длясамостiйного ознайомлення в позаурочний час.



Оскiльки домашнє завдання попереднього уроку полягало в само�стiйному виконаннi аналiзу контрольної роботи за розданими вчите�лем зразками розв’язань, то на цьому етапi уроку достатньо розгля�нути найскладнiшi моменти контрольної роботи. За необхiдностiвчитель може роздати учням iндивiдуальнi завдання на вiдпрацю�вання контрольних моментiв.


Учитель нагадує учням про те, що однiєю з основних змiстовихлiнiй курсу алгебри середньої школи є функцiональна лiнiя. Такожнагадує, що з деякими вiдомостями про функцiї (означення функцiї,означення областi визначення функцiї, областi значень функцiї,графiка функцiї тощо) учнi вже ознайомилися в 7 та 8 класах. Протевивченого недостатньо для того, щоб розв’язувати деякi практичнiзадачi (порiвняння значень функцiй без обчислення цих значеньтощо). Тому першочерговим постає питання про повторення основ�них означень та властивостей функцiї, а також про розгляд iншихвластивостей функцiй. Вивчення цих властивостей, формування пев�них оперативних умiнь застосовувати цi властивостi до розв’язуван�ня задач — основна дидактична мета цього та наступних урокiв.



1. Виконайте дiї та знайдiть значення виразiв:

1) ( )0 2 0 62

, ,− ; 2) 18 2⋅ ; 3) ( )4 43 5 12: ; 4)1

327

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.


1) 0 4 12 0, x− = ; 2) ( )( )x x− + =2 6 0; 3) 3 12 02x − = ; 4) x x2 5 6 0− + = .

3. Встановiть вiдповiднiсть мiж наведеними рисунками та формулами:

а) б) в) г)

1) y x= 2 ; 2) y x= ; 3) y x= ; 4) yx

= 1.


0

y

x x

y

0 0

y

xx

y

0

V. Систематизацiя та доповнення знань

План вивчення матерiалу1. Означення числової функцiї. Супутнi поняття. Задання функцiї

формулою ( )y f x= .2. Область визначення функцiї. Як знайти область визначення

функцiї, заданої формулою ( )y f x= .3. Область значень функцiї.4. Графiк функцiї.5. Основнi види елементарних функцiй, вивченi у 7 та 8 класах, їх

властивостi та графiки.Навчальний матерiал уроку складається в основному з понять,

засвоєних учнями в 7 та 8 класах (новим є лише спосiб задання функ�цiї формулою ( )y f x= ). Проте обсяг матерiалу досить великий, томуз метою рацiонального використання навчального часу на уроцi вчи�тель може органiзувати роботу учнiв з повторення та систематизацiїматерiалу. Учням можна запропонувати самостiйну роботу з текстомпiдручника або з текстом, що мiститься в конспектi 12. Докладнимипоясненнями вчителя можуть бути доповненi питання про заданняфункцiї формулою ( )y f x= та способи роботи з нею, питання про зна�ходження областi визначення функцiї, заданої формулою ( )y f x= .

Усi необхiднi пояснення учнi можуть знайти в конспектi 12.

Конспект 12

Числова функцiя1. Означення числової функцiї

Числовою функцiєю з областю визначення D називається вiдповiднiсть,за якiй кожному числу x з множини D ставиться у вiдповiднiсть єдинечисло y, яке позначається ( )y f x= .

x — аргумент (незалежна змiнна). y — функцiя (залежна змiнна).

2. Область визначення функцiї

Множина всiх значень, яких може набувати аргумент, називається облас�тю визначення функцiї.

Позначення: D, ( )D y .

Як знайти область визначення функцiї

№ Вид функцiї Обмеження Формулювання

1 ( )( )

yf x

g x=

( )g x ≠ 0 Знаменник дробу не дорiвнює нулю

2 ( )y f x= ( )f x ≥ 0 Пiд знаком квадратного кореня можезнаходитися тiльки невiд’ємне число


3. Область значень функцiї

Множина всiх значень, яких набуває функцiя, при всiх значеннях аргу�менту з областi визначення функцiї називається областю значень функцiї.

Позначення: E, ( )E y .

4. Графiк функцiї

Графiком функцiї ( )y f x= називається множина всiх точок площиниз координатами ( )( )x f x; , де перша координата x «пробiгає» всю областьвизначення функцiї f, а друга — вiдповiдне значення функцiї f у точцi x.

5. Основнi види елементарних функцiй та їх графiки

Лiнiйна функцiя Оберненапропорцiйнiсть

Квадратичнафункцiя

Квадратнийкорiнь

y kx b= +

D R= , E R=y x=

yx

= 1

( ) ( )D = −∞ ∪ +∞; ;0 0 .

( ) ( )E = −∞ ∪ +∞; ;0 0

y x= 2

D R= .

[ )E = +∞0;

y x=

[ )D = +∞0;

[ )E = +∞0;


Виконання усних вправ1. Функцiю задано формулою:

а) y x= −3 2; б) yx

= −15; в) y x= 2 .

Знайдiть:

1) ( )f 1 , ( )f −3 ; 2) ( )D y ; 3) ( )E y .

2. На рисунку зображено графiкфункцiї ( )y f x= .

1) Знайдiть: ( )f −3 , ( )f 0 , ( )f 1 , ( )f 2 ;

2) Яка область визначення та об�ласть значень функцiї?


0

y

x

x

y

0

x

y

0 x

y

0

y kx b= +

y x=

x

y

0

2

у

1х

–1 0 1

5


1) y x= +2 12 , 0 1≤ ≤x ; 2) yx

=−1

1; 3) y x= +2 5.


1. Функцiю задано формулою

( )f x x x= − +2 3 12 .

Знайдiть: ( )f 0 ; ( )f −3 ; ( )f 4 .

2. Знайдiть значення функцiї yx

x= +

−2

3при x = −1.

3. Функцiю задано формулою ( )f x x= −6 1. Знайдiть значення x, прияких:

1) ( )f x = 17; 2) ( )f x > −19.

4. Чи проходить графiк функцiї через задану точку:

1) y x= −4 5, ( )A 3 6; ; 2) y x x= −2 3 , ( )B 2 2;− ?


1) yx

=−

3

2 8; 2) y

x=

−4

362; 3) y x= −8; 4) y x= −2 .

6. Знайдiть абсциси точок перетину графiкiв функцiй, не будуючисамих графiкiв:

1) y x= 2 i y x= −5 4; 2) y x x= −2 i y x= − +9.

7. Знайдiть координати точки перетину графiка функцiї y x= − +3 9з вiссю абсцис; вiссю ординат.


1) yx x

=−

++

1

2 4

1

3; 2) y

x x=

− +1

5 62;

3) y x= − −2 8; 4) yx

=+

1

3; 5) y

x

x=

−1.

9. Побудуйте графiки функцiй yx

= −6i y x= −4 2 . Знайдiть координа�

ти точок перетину цих графiкiв.

10. При яких значеннях аргументу значення функцiї y x x= + −2 6 2 до�

рiвнює:

1) 5; 2) –11; 3) –15?

11. Пряма y kx b= + проходить через точки ( )M − −1 2; i ( )N 2 4; . Знай�дiть k i b.



Тестове завданняОбласть визначення якої з наведених функцiй складається з од�

ного числа?

А) yx

= 1; Б) y x= − 2 ;В) y x= +1; Г) | |y x= .


Вивчити змiст нових понять (див. конспект 12).Виконати вправи.

1. Функцiю задано формулою ( )f x x= −5 2 .

Знайдiть: ( )f −1 ; ( )f 1 ; ( )f 10 .2. Функцiю задано формулою ( )f x x= +3 2. Знайдiть значення x, при

яких:1) ( )f x = 11; 2) ( )f x < −14.

3. Чи проходить графiк функцiї через задану точку:1) y x= +2 8, ( )M 416; ; 2) y x x= −4 2 , ( )N 2 2; ?


1) yx

=−4

9 3; 2) y

x=

−5

642; 3) y x= −4 ; 4) y x= +2 8.

5. Знайдiть абсциси точок перетину графiкiв функцiй, не будуючисамих графiкiв y x= 2 i y x= −2 .

6. Знайдiть координати точки перетину графiка функцiї y x= +2 16з вiссю абсцис; вiссю ординат.Повторити розв’язання лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною.

Урок № 18Функцiї. Властивостi функцiї: нулi функцiї, промiжкизнакосталостi, зростання i спадання функцiї

Мета: повторити змiст поняття «нулi функцiї».Працювати над засвоєнням учнями змiсту понять:«промiжки, на яких функцiя зберiгає свiй знак» або «промiжкизнакосталостi функцiї»;«функцiя, що спадає на промiжку» та «функцiя, що зростає на про�мiжку».Сформувати вмiння вiдтворювати означення вивчених понять,

а також розв’язувати задачi на знаходження нулiв функцiї, дослi�дження функцiї на зростання, спадання на промiжку iз використан�ням вивченого на уроцi означення.


Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi числових фун�

кцiй».

Хiд уроку



З метою перевiрки правильностi виконання письмових вправ до�машньої роботи можна органiзувати або перевiрку за зразком (якщона попередньому уроцi в учнiв виникали труднощi iз виконаннямвправ), або провести роботу у форматi «Знайди помилку».

Засвоєння змiсту теоретичного матерiалу перевiряється пiд часбесiди або математичного диктанту, або виконання тестової роботи(приклади тестових завдань див. нижче).


1. Ключовим словом в означеннi числової функцiї є…А) залежнiсть; Б) область визначення; В) число x; Г) число y.

2. У рiвняннi ( )y f x= число y — це:А) аргумент; Б) область визначення;В) функцiя; Г) область значень функцiї.

3. Графiк функцiї ( )y f x= — це:А) точка; Б) лiнiя; В) ( )f x ;Г) множина всiх точок з координатами ( )( )x f x; .

Варiант 21. Числова функцiя задається:

А) рiвнянням ( )y f x= ; Б) областю визначення;В) аргументом; Г) графiком.

2. У рiвняннi ( )y f x= число x — це:А) аргумент; Б) область визначення;В) функцiя; Г) область значення функцiї.

3. Множина всiх точок з координатами ( )( )x f x; , де ( )y f x= задана

функцiя, — це:А) точка; Б) лiнiя; В) ( )f x ; Г) графiк функцiї ( )y f x= .


Учитель нагадує учням змiст бесiди, проведеної на етапi формулю�вання мети попереднього уроку. Звертає увагу на те, що, повторивши


основнi вiдомостi про функцiї та супутнi з ними поняття курсу 7 та 8класiв, на цьому та наступному уроцi учнi мають доповнити цi знанняiншими поняттями, пов’язаними з поняттям функцiї. Вивчення но�вих понять, що стосуються функцiї, та формування вмiнь їх застосо�вувати пiд час розв’язування задач — це i є основна мета уроку.



1) ( )376 0 12

, ,− − ; 2) 7 6+ a, якщо a = −2

3; 3) 5 6x+ при x = 6.

2. При якому значеннi змiнної вираз дорiвнює нулю:

1) 3 2x− ; 2) x x2 3 2− + ; 3)x−1

2; 4)

x

x

2 1

1

−+

?

3. Областю визначення якої з наведених функцiй є промiжок [ )2;+∞ :

1) yx

= 2; 2) y x= +2 1; 3) y x= +2; 4) y x= −2?

4. Порiвняйте a i b, якщо:

1) a b− = 0 2, ; 2) ( )a b− = −0 22

, ; 3) a b− = 0 27, .


План вивчення нового матерiалу1. Промiжки знакосталостi функцiї. Як знайти промiжки знакоста�

лостi функцiї, заданої графiчно. Як знайти промiжки знакоста�лостi функцiї, заданої формулою ( )y f x= (окремi випадки).

2. Означення функцiї, що зростає на промiжку.3. Означення функцiї, що спадає на промiжку.4. Як знайти промiжки зростання (спадання) функцiї за її графiком.5. Як знайти промiжки зростання (спадання) функцiї, заданої фор�

мулою ( )y f x= .Властивостi функцiї є матерiалом, який традицiйно вивчавсяв 9 класi пiсля теми «Нерiвностi», проте слiд враховувати, щозмiст навчального матерiалу цiєї теми в 9 класi 12�рiчної шко�ли суттєво змiнився. Серед властивостей функцiї, що вивча�ються в 9 класi чинної програми, не мiстять понять парної танепарної функцiї (це питання перенесено в 10 клас). Такожучителю слiд звернути увагу на те, що змiнилися програмовiвимоги до знань та вмiнь учнiв, а саме: серед вимог, що стосу�ються теми уроку, можна видiлити таку — «учень характери�зує функцiю за її графiком». Однак автор вважає, що з метою


формування повного уявлення та бiльш глибокого розумiннявластивостей функцiї, пiд час вивчення змiсту понять «про�мiжки знакосталостi функцiї», «функцiя, що зростає (спадає)на промiжку» слiд ознайомити учнiв зi способами знаходжен�ня промiжкiв знакосталостi функцiї та дослiдження функцiйна зростання (спадання) на заданому промiжку не тiльки заграфiком, але й аналiтично (iз використанням змiсту озна�чень названих понять).

Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�глядi конспекту 13.

Конспект 13

Властивостi числових функцiй

1. Промiжки знакосталостi функцiй

Пригадай! Нулем функцiї називається значення аргументу, при якомуфункцiя дорiвнює нулю.

Якщо ( )f x0 0= , то x0 — нуль функцiї.

Графiчно: нулi функцiї — це абсциситочок перетину графiка функцiїз вiссю Ox.

На графiку: x1 1= − , x2 4= , x3 6= —нулi функцiї.

Для всiх ( ) ( )x ∈ − ∪1 4 6 7; ; (див. рис.)

виконується умова: графiк лежитьвище вiд осi Ox, це означає, щона кожному з цих промiжкiв функцiянабуває додатних значень (y > 0).

Для [ ) ( )x ∈ − − ∪3 1 4 6; ; графiк лежить нижче вiд осi Ox, а отже, на кожно�му з цих промiжкiв функцiя набуває вiд’ємних значень (y < 0).

Промiжки (всi значення аргументу), на яких функцiя набуває значеньодного знака, називають промiжками знакосталостi функцiї.

Приклад. Знайти нулi та промiжки знакосталостi функцiї y x= +3 2.


1) y = 0, 3 2 0x + = , x = −2

3— нуль функцiї.

2) y > 0, якщо 3 2 0x + > , x > −2

3. Отже, y > 0 при x ∈ − +∞⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

3; .

3) y < 0, якщо 3 2 0x + < , x < −2

3. Отже, y < 0 при x ∈ −∞ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

;2

3.


y

–3 –1 0 1 4 6 7

2

x

–2

+ +––

2. Зростання (спадання) функцiї

Функцiю називають

зростаючою спадною

на деякому промiжку, якщо бiльшому значенню аргументу з цього про�мiжку вiдповiдає

бiльше значення функцiї менше значення функцiї

Функцiя ( )y f x= називається зрос�таючою на промiжку P, якщо дляx P1 ∈ , x P2 ∈

x x1 2< ⇔ ( ) ( )f x f x1 2<

Функцiя ( )y f x= називається спад�ною на промiжку P, якщо дляx P1 ∈ , x P2 ∈

x x1 2< ⇔ ( ) ( )f x f x1 2>

Як за графiком знайти промiжкизростання (спадання) функцiї?

При [ ]x ∈ − −5 3; i [ ]x ∈ 1 3; графiк

функцiї ( )y f x= «йде» вгору,

отже, ( )y f x= зростає;

при [ ]x ∈ −3 1; графiк функцiї ( )y f x=«йде» вниз, отже, ( )y f x= спадає.

Як за формулою знайти промiжкизростання (спадання) функцiї?

Приклад. Довести, що функцiя y x= −2 1 спадає на промiжку ( ]−∞;0 .

Доведення. Нехай x1 i x2 — довiльнi значення аргументу з промiжку

( ]−∞;0 , причому x x1 2< .

( )f x1 , ( )f x2 — вiдповiднi значення функцiї, тобто ( )f x x1 12 1= − ,

( )f x x2 22 1= − .

Розглянемо рiзницю

( ) ( ) ( )f x f x x x x x1 2 12

22

12

221 1− = − − − = − = ( )( )x x x x1 2 1 2− + .

Оскiльки x x1 2< , то x x1 2 0− < . За умовою ( ]x ∈ −∞;0 , тому

x1 0≤ , x2 0≤ i x x1 2 0+ < .

Отже, ( )( )x x x x1 2 1 2 0− + > , тобто ( ) ( )f x f x1 2 0− > , звiдки дiстанемо, що

( ) ( )f x f x1 2> , тобто функцiя y x= −2 1 на промiжку ( ]−∞;0 спадає.


Виконання усних вправНа рисунку зображено графiк функцiї ( )y f x= . Знайдiть значення

змiнної x, при яких:


y

–5 –3 –1 0 1 2 3

2

x

–2

( )y f x=

1) функцiя ( )y f x= задана;2) ( )f x = 0;3) ( )f x = 0;4) ( )f x < 0;5) функцiя ( )y f x= зростає;6) функцiя ( )y f x= спадає;7) функцiя ( )y f x= набуваєнайбiльшого значення;8) функцiя ( )y f x= набуваєнайменшого значення.

Виконання письмових вправ1. Знайдiть нулi функцiї:

1) y x= −2 4; 2) y x= −9 6 ; 3) ( )( )y x x= + −3 2 ; 4) y x x= − +2 6 9;

5) y x x= − −2 12; 6) yx

x= +

−4

1; 7) y

x

x= −

−

2 4

2: 8) y

x

x x= −

−1

2.

2. Побудуйте графiк функцiї, областю визначення якої є промiжок

[ ]−2 4; , так, щоб функцiя:1) зростала на промiжку [ ]−2 0; i спадала на промiжку [ ]0 4; ;

2) спадала на промiжку [ ]−2 1; , зростала на промiжку [ ]1 4; i маладва нулi: x = 0 i x = 3;3) була зростаючою i мала один нуль — число 2.

3. Доведiть, що функцiя y x= є зростаючою.



xx= +

−− +2

1 0 13 2

,.

2. Функцiю задано формулою ( )f x kx b= + . Знайдiть коефiцiєнти k i b,якщо ( )f 1 5= i ( )f 3 1= − . Чи належить точка ( )A 2 2; графiку цiєїфункцiї? Побудуйте графiк цiєї функцiї.

3. Доведiть тотожнiсть mmn

m n

n

mm−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=1 .

Вправи, що запропонованi для виконання на уроцi, сприяютьзасвоєнню учнями змiсту означень нуля функцiї, зростаючої(спадної) функцiї на промiжку та формують умiння виконува�ти дiї для знаходження нулiв функцiї, промiжкiв зростаннята спадання функцiї за графiком функцiї, а також за форму�лою ( )y f x= , що задає цю функцiю.

На цьому уроцi через систему усних i письмових вправ продов�жується робота з вiдпрацювання навичок учнiв:


y

–5 –3 –1 0 1 2 3

2

x

–2

5

9

знаходити область визначення функцiї;визначати, чи належить точка графiку функцiї;виконувати тотожнi перетворення рацiональних виразiв.


Тестовi завдання1. Функцiя ( )y f x= спадна, якщо:

А) x x2 1< ; Б) ( ) ( )f x f x2 1< ;В) при x x2 1> ( ) ( )f x f x2 1< ; Г) при x x2 1< ( ) ( )f x f x2 1< .

2. Функцiя ( )y f x= зростаюча, якщо:А) при x x2 1> ( ) ( )f x f x2 1> ; Б) y y2 1> ;В) при x x2 1> ( ) ( )f x f x2 1< ; Г) x x2 1> .

3. Укажiть промiжок спадання функцiї,графiк якої зображено на рисунку 1.А) [ ]− −5 3; ; Б) [ ]− −3 1; ;В) [ ]−2 1; ; Г) [ ]− −3 2; .


Вивчити змiст понять, розглянутих на уроцi (див. конспект 13).Виконати вправи.

1. На рисунку 1 зображено графiк функцiї ( )y f x= , де − ≤ ≤6 4x . Ука�жiть: 1) нулi функцiї; 2) промiжки, на яких функцiя набуває до�датних значень; вiд’ємних значень; 3) промiжки, на яких функ�цiя зростає; спадає.

2. Знайдiть нулi функцiї:

1) y x= +14 21 ; 2) y x x= + −2 10 11; 3) yx

x= +

−2 1

2; 4*) y

x

x= −

+

2 9

1.

3. Побудуйте графiк функцiї, областю визначення якої є промiжок

[ ]−1 6; , щоб функцiя:1) спадала на промiжку [ ]−1 4; , зростала на промiжку [ ]4 6; i малаодин нуль x = 1;2) була спадною i мала один нуль — число 3;3) була зростаючою i не мала нулiв.Виконати вправи на повторення.

1. Розв’яжiть систему нерiвностей( )

( )

1

32 3 0 5 3

162

36 1 0 6

− + >

− − <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x

x

, ,

, , .

2. Розв’яжiть нерiвнiсть | |3 4 5x+ > .


y

–3 –2 –1 0

2

x

–2

Рис. 1

Урок № 19Функцiї. Властивостi функцiї: нулi функцiї, промiжкизнакосталостi, зростання й спадання функцiї

Мета: продовжити роботу щодо засвоєння учнями означення:нулiв функцiї;промiжкiв знакосталостi;функцiї, що зростає або спадає на промiжку.Формувати вмiння знаходити зазначенi вище характеристики

функцiї за її графiком та формулою.За допомогою вивчених означень та сформованих умiнь дослiди�

ти вiдомi учням елементарнi функцiї на зростання або спадання,а також знайти промiжки знакосталостi.

Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 13.

Хiд уроку



Перевiрку виконання письмових вправ можна, як i на поперед�ньому уроцi, провести у формi само� або взаємоперевiрки за зразком.

Засвоєння теоретичного матерiалу попереднього уроку можна пе�ревiрити або пiд час фронтальної бесiди, або провiвши експрес�тест(див. нижче).

Експрес&тест1. Функцiя ( )y f x= зростаюча, якщо:

А) x x2 1> ; Б) y y2 1> ;

В) при x x2 1> ( ) ( )f x f x2 1< ;

Г) при x x2 1> ( ) ( )f x f x2 1> .

2. Функцiя ( )y f x= спадна, якщо:

А) x x2 1< ; Б) ( ) ( )f x f x2 1< ;

В) при x x2 1< ( ) ( )f x f x2 1< ;

Г) при x x2 1> ( ) ( )f x f x2 1< .

3. Якщо вiдомо, що ( )f 3 0= , то:А) x = 3 є нулем функцiї ( )y f x= ;Б) y = 3 є нулем функцiї ( )y f x= ;В) x = 0 це нуль функцiї ( )y f x= ;Г) функцiя ( )y f x= має нулi.


4. Для знаходження промiжкiв, на яких функцiя y f x= ( ) зберiгаєсвiй знак, необхiдно:А) розв’язати рiвняння f x( ) = 0; Б) знайти нулi функцiї;B) знайти розв’язки нерiвностей f x( ) > 0 та f x( ) < 0;Г) побудувати графiк цiєї функцiї.


Пiсля перевiрки виконання домашнього завдання та корекцiїможливих помилок учнi усвiдомлюють необхiднiсть подальшої робо�ти щодо закрiплення знань i вмiнь, якi були сформованi на поперед�ньому уроцi. Окрiм того, вчитель може звернути увагу учнiв на пи�тання про дослiдження вiдомих учням з курсу 7 i 8 класiв функцiйна зростання та спадання та iнших тепер уже вiдомих учням власти�востей. Таким чином, учитель видiляє два основнi напрямки роботиучнiв на уроцi, тобто формулює завдання на урок:

закрiпити знання та вмiння, набутi учнями на попередньому уроцi;за допомогою цих знань та вмiнь дослiдити елементарнi функцiї, вi�домi учням, та зафiксувати висновки у виглядi опорних тверджень.

ІV. Застосування знань

Математичний диктантНа рисунку зображено графiк функцiї ( )y f x= .

1. Областю визначення ( )y f x= функцiї є…2. Нулями функцiї ( )y f x= є числа…

3. Функцiя ( )y f x= набуває додатних значеньпри…

4. Функцiя ( )y f x= набуває вiд’ємних значень…

5. Функцiя ( )y f x= зростає при…

6. Функцiя ( )y f x= спадає при…

Пiд час перевiрки правильностi виконання учнями завданьматематичного диктанту вимагаємо аргументованих вiдповi�дей (тобто пояснень iз посиланням на вiдповiдне означення,а також точного вiдтворення цього означення).

V. Застосування вмiнь та навичок

Виконання письмових вправ1. Побудуйте графiк функцiї. Знайдiть її нулi. Укажiть промiжки,

на яких функцiя набуває додатних, вiд’ємних значень. Чи є фун�кцiя зростаючою; спадною?1) y x= 2 ; 2) y x= −3 3; 3) y x= − +0 5 1, .


5у

1х

–1 0 1 3

2. Доведiть, що функцiя y kx b= + при k > 0 зростаюча, а при k < 0спадна.

3. Доведiть, що функцiя yk

x= при k > 0 спадає на кожному промiжку

областi визначення функцiї, а при k < 0 зростає на кожному про�мiжку областi визначення функцiї.

4. Доведiть, що функцiя y x= 2 спадає на промiжку ( ]−∞;0 i зростає

на промiжку [ )0;+∞ .5. Знайдiть нулi функцiї:

1) y x x= − −2 2 12 ; 2) yx

x x=

+−

−3

1

1; 3) y

x x x=

− ++

−1

5 6

1

32.

6. Побудуйте графiк функцiї. Користуючись графiком, укажiть:1) промiжки, на яких функцiя додатна, вiд’ємна;2) промiжки, на яких функцiя зростає, спадає.

а) yx

= −2; б) y

x x

x x

x x

=

+ < −

− ≤ ≤− >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 1

1 1

2 1

2

, ,

, ,

, .

Результати дослiджень, проведених пiд час розв’язування за�

дач на виявлення властивостей функцiй y kx b= + , yk

x= , y x= 2 ,

слiд зафiксувати як опорнi факти та закрiпити їх, виконуючивправи усно та письмово.

Бажано також розв’язати задачi на повторення матерiалу попе�реднiх урокiв (знаходження областi визначення функцiї, заданоїформулою ( )y f x= ) та на вiдпрацювання навичок роботи з поняттямграфiка функцiї та оперативних умiнь роботи з формулою ( )y f x= .


Тестовi завдання1. Яка з наведених лiнiйних функцiй є спадною?

А) y x= −4 5; Б) y x= +4 5;

В) y x= 1

4; Г) y x= − +4 5.

2. Користуючись графiком функцiї, зображе�ним на рисунку, знайдiть промiжок зрос�тання функцiї.

А) [ )− +∞4; ; Б) [ )3;+∞ ;

В) [ )5;+∞ ; Г) [ )1;+∞ .


–1

у

1х

0 1 3 5


Вивчити змiст означень, розглянутих на попередньому уроцi, тавластивостi елементарних функцiй.


1. Побудуйте графiк функцiї. Знайдiть її нулi. Укажiть промiжки, наяких функцiя набуває додатних, вiд’ємних значень. Чи є функцiязростаючою; спадною?

1) y x= −0 5 1, ; 2) y x= − −2 2.


1) y x x= − + −2 4 1; 2) yx

x

x=

−−

−2

1 12.

3. Побудуйте графiк функцiї. Користуючись графiком, укажiть:

1) промiжки, на яких функцiя додатна, вiд’ємна;

2) промiжки, на яких функцiя зростає, спадає.

а) yx

= 4; б) y

x x

x

x x

=− − ≤ −− − < <− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 1

1 1 1

2 1

, ,

, ,

, .


Побудуйте графiк функцiї:

1) y x= 2 ; 2) y x= − +4; 3) y x= −1

2.

Повторити означення графiка функцiї.

Урок 20Найпростiшi перетворення графiкiв функцiй

Мета: сформувати в учнiв розумiння змiсту поняття «перетворен�ня графiка функцiї», а також факту, що певне перетворення форму�ли, що задає функцiю, спричиняє перетворення графiка, i навпаки.Сформувати знання учнiв про основнi види геометричних перетво�рень графiкiв функцiй (на iнтуїтивному рiвнi) та про формули функ�цiй, що задаються цими перетвореннями. Сформувати первиннiвмiння «читати» графiки функцiй (тобто за готовими графiками за�давати функцiю), а також виконувати побудову графiка функцiї, ви�конуючи перетворення, що заданi функцiєю.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Геометричнi перетворенняграфiкiв функцiй».


Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗ метою економiї часу на уроцi, у разi необхiдностi, вчитель може

запропонувати учням зразки розв’язань домашнiх задач. Найбiльшскладнi та важливi моменти розв’язань обговорюються колективно.

Для органiзацiї поточного контролю засвоєння знань та вмiньможна запропонувати виконати самостiйну роботу, перевiрка якоїздiйснюється вiдразу пiсля виконання. Учням, якi показали низькийта середнiй рiвнi засвоєння навчального матерiалу, пропонується вдо�ма виконати роботу над помилками.


1. Заповнiть таблицю.

x –1 ( )x ∈ −∞; ,1 5

y x= −6 9 3 0 y > 0


1) yx

x= +

+3

12; 2) y

x

x=

−2;

3) yx x

x=− +

− −1

6 83

2; 4) y x

x= + +

−3

1

1.

3. Порiвняйте значення ( )f 145, i ( )f 2 74, , якщо ( )f x x= .

4.* Знайдiть f3

7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, якщо ( )f x x x

x

x= − + − −

−2

2

4 416

4.

Варiант 21. Заповнiть таблицю.

x –1x ∈ −∞⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

;4

3

y x= −8 6 2 0 y < 0


1)| |

yx

x= −

+5

1; 2) y

x

x= +

+1

2;

3) yx x

x=− +

− −1

4 42

2; 4) y x

x= − +

+3

1

1.


3. Порiвняйте значення ( )f 2 87, i ( )f 2 74, , якщо ( )f xx

= 2.

4.* Знайдiть f5

9⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, якщо ( )f x x xx

x= − + − −

−2

2

8 169

3.


На цьому етапi уроку доречними будуть слова вчителя про те, щодослiдження функцiї за готовим графiком є бiльш простим, нiж заформулою. Розвиваючи цю думку, вчитель повiдомляє учням, щорозв’язання деяких задач передбачає побудову графiкiв функцiй, якiне є елементарними (вчитель наводить приклади таких функцiй).Отже, формулюється питання: чи iснують засоби (i якщо iснують, тояк ними користуватися), за допомогою яких можна побудуватиграфiк деякої функцiї, використовуючи вмiння будувати графiкиелементарних функцiй (лiнiйної, оберненої пропорцiйностi, квадра�тичної функцiї та функцiї y x= ). Зрозумiло, що пошук вiдповiдi на

поставлене питання i є основною дидактичною метою уроку.



1. Серед наведених функцiй укажiть:

а) пряму пропорцiйнiсть;

б) обернену пропорцiйнiсть;

в) лiнiйну функцiю, графiк якої утворює з вiссю абсцис гострий кут.

1) y x= +12 ; 2) y = 12; 3) yx

= 12; 4) y x= 12 .

2. Графiком якої з наведених функцiй є горизонтальна пряма:

1) y x= −8 7; 2) y x= 8 ; 3) y x= −8 ; 4) y = 8?

3. Областю визначення якої з наведених функцiй є промiжок ( )9;+∞ :

1) y x= +9; 2) yx

=+

9

9; 3) y x= −9; 4) y

x=

−9

9?


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про перетворення графiкiв функцiй.

2. Побудова графiкiв паралельним перенесенням уздовж осi ординат(абсцис).

3. Побудова графiкiв iз застосуванням симетрiї вiдносно осi абсцис.

4. Розтяг (стиск) графiка функцiї вздовж осi ординат.


Одразу слiд зауважити, що вивчення питання про геомет�ричнi перетворення графiкiв функцiй на цьому уроцi є доситьскладним через певну невiдповiднiсть програм вивчення гео�метрiї та алгебри у 9 класi. Ця невiдповiднiсть спостерiгаласяв попереднiй програмi й збереглася в програмi 12�рiчної шко�ли. Тому формування уявлення про геометричнi перетворен�ня графiкiв функцiй проводиться на iнтуїтивному рiвнi, i вчи�телевi не слiд акцентувати увагу на строгих означеннях видiвперетворень. Основна увага придiляється встановленню та за�своєнню учнями зв’язку мiж функцiєю та певним видом пере�творення графiка функцiї (цей зв’язок вiдображено в кон�спектi 14). Вивчення зв’язку мiж видом перетворення тафункцiєю проводиться через обчислення значень функцiйв окремих точках та спостереження за змiною значень функ�цiї в цих точках залежно вiд змiни виду функцiї. Результатицих «спостережень» мають вигляд таблицi (див. конспект 14).

Конспект 14

Елементарнi перетворення графiка функцiї ( )y f x=

№з/п

Формулазалежностi

Приклад Перетворення

1 ( )y f x= − Симетрiя вiдносно осiOx

2 ( )y f x= − Симетрiя вiдносно осiOy


у

х

0

y x= − 2

y x= 2

у

х0

y x=y x= −

№з/п



3 ( )| |y f x= Вище вiд осi Ox (i наосi) — без змiни, нижчевiд осi Ox — симетрiявiдносно осi Ox

4 | |( )y f x= Праворуч вiд осi Oy(i на осi) — без змiниi ця ж сама частина —симетрiя вiдносно осi Oy

5 | | ( )y f x= Вище вiд осi Ox (i наосi) — без змiни i ця жсама частина — симет�рiя вiдносно осi Ox

6 ( )y f x c= + Паралельне перенесеннявздовж осi Oy на c оди�ниць


у

х

0

у

х0

| |y x= −2 1

y x= −2 1

–1

1

–1

y x= −2 1

| |y x= −2 1

0

х

у

–1

y x= −2 1

| |y x= −2 1

0

х

у

y x= −2 1

y x= 2

y x= +2 2

–1

–2 2

№з/п



7 ( )y kf x= Той самий вигляд, щой у графiка ( )y f x= ,тiльки розтягнуто абостиснено вздовж осi Oy(при k > 1 розтягнуто,при 0 1< <k стиснено)

8 ( )y f x= α( )α > 0

Той самий вигляд, щой у графiка ( )y f x= ,тiльки розтягнуто абостиснено вздовж осi Ox(при α > 1 стиснено, при0 1< <α розтягнуто)


Виконання усних вправ1. Опишiть перетворення, якi слiд виконати з графiком функцiї

( )y g x= , якщо функцiї мають вигляд:

1) ( )y g x= +2; 2) ( )y g x= +2 ; 3) ( )y g x= −2;

4) ( )y g x= −2 ; 5) ( )y g x= − ; 6) ( )y g x= 2 .

2. На рисунку 1 зображено графiки функцiй ( )y f x= , ( )y f x a= + ,

( )y f x b= − , а на рисунку 2 — графiки функцiй ( )y f x= , ( )y f x a= − ,

( )y f x b= − . Знайдiть a i b.

Рис. 1 Рис. 2


у

х0

y x= 2

у

х0

y x= 2y x=

y x= 2 2

1

1

2

2 4

2

1

у

1х–1 0 1 –3 –1 0 1

х1

у

3

–2

( )y f x=

( )y f x a= +

( )y f x b= −

( )y f x=

( )y f x a= −( )y f x b= −

3. На одному з наведених рисункiв зображено графiк функцiї ( )y x= +22.

Укажiть цей рисунок.А) Б) В) Г)

4. На одному з наведених рисункiв зображено графiк функцiї y x= − .


5. На одному з наведених рисункiв зображено графiк функцiї yx

= 6.


6. Графiк функцiї y x= перенесли паралельно на 3 одиницi право�

руч уздовж осi абсцис i на 4 одиницi вгору вздовж осi ординат.Графiк якої функцiї дiстали?А) y x= − +3 4; Б) y x= − −3 4;

В) y x= + +3 4; Г) y x= + −3 4.

Виконання письмових вправ1. Побудуйте графiк функцiї:

1) y x= +2 1; 2) y x= −3; 3) ( )y x= −32; 4) ( )y x= +1

2.

2. Побудуйте графiк функцiї:

1) ( )y x= − +1 22

; 2) ( )y x= + −3 12

; 3) y x= − −2 1; 4) y x= + +4 4.


1) y x= −4 2 ; 2) ( )y x= − +22; 3) ( )y x= − + +3 4

2; 4) y x= − − +4 2.


0

y

x

x

y

0

0

y

x

x

y

0

2 2 x

y

0 –2

x

y

0 –2

x

y

0

x

y

0 x

y

0 x

y

0

0

y

x

0

y

x

6

6

6

6

4. Побудуйте графiк функцiї ( )y x= + −3 12

. Користуючись графiком,

знайдiть:1) область значень функцiї;2) усi значення x, при яких функцiя набуває вiд’ємних значень;3) промiжок, на якому функцiя спадає.

Формуванню сталих умiнь виконувати побудову графiкiвфункцiй шляхом перетворень графiкiв елементарних функцiймає передувати робота з повторення знань про види та особли�востi графiкiв елементарних функцiй (ця робота проводиласяпротягом останнiх чотирьох урокiв). Формування вмiнь вико�нувати побудову графiка функцiї шляхом геометричних пере�творень ведеться паралельно iз засвоєнням знань учнiв проформули, що вiдповiдають цим перетворенням. Тому пiд часвиконання як усних, так i письмових вправ на цьому та на�ступному уроках учителевi слiд вимагати, щоб учнi в першучергу аналiзували формули функцiї, а потiм уже вибираливiдповiдно до неї геометричне перетворення для побудовиграфiка функцiї. Такий пiдхiд, по�перше, сприяє швидшомузасвоєнню учнями змiсту навчального матерiалу уроку,а по�друге, допомагає попередити помилки, яких часто при�пускаються, особливо, якщо мова йде про паралельне перене�сення вздовж рiзних координатних осей.


Контрольнi запитання1. Розкажiть, за допомогою яких перетворень можна дiстати iз

графiка функцiї y x= 2 графiк функцiї:

1) y x= −2 1; 2) y x= +2 1; 3) ( )y x= +12;

4) ( )y x= −12; 5) ( )y x= + −1 1

2?

2. Розкажiть, за допомогою яких перетворень можна дiстати iзграфiка функцiї y x= графiк функцiї:

1) y x= +2; 2) y x= +2;

3) y x= − +1; 4) y x= − + −1 2?

Знайдiть область визначення кожної функцiї.


Засвоїти змiст вивчених на уроцi перетворень та вiдповiднихформул.




1) y x= +2; 2) y x= −2 5; 3) ( )y x= −12.


1) ( )y x= − −2 32

; 2) ( )y x= − −32;

3) ( )y x= − + +1 52

; 4) y x= + +1 1.

3. Побудуйте графiк функцiї ( )y x= − −2 42

. Користуючись графiком,

знайдiть:

1) область значень функцiї;

2) усi значення x, при яких функцiя набуває додатних значень;

3) промiжок, на якому функцiя зростає.



1) yx

=−5

162; 2) y

x

x= −

+4

16 2;

3)| |

yx

x=

+1; 4)

| |y

x

x=

−1.


1) y x x= − − +2 6; 2) y x= − −1 2; 3) | |y x= + −3 1.

Урок № 21Найпростiшi перетворення графiкiв функцiй

Мета: працювати над засвоєнням учнями знань про види геомет�ричних перетворень графiкiв функцiй i зв’язку мiж видом перетво�рення та видом формули, що задає функцiю.

Формувати вмiння та навички:

застосовувати схему мiркувань, що передують побудовi графiка де�якої функцiї шляхом геометричних перетворень графiка однiєїз елементарних функцiй;

виконувати послiдовнi перетворення графiкiв елементарних функ�цiй для побудови алгебраїчних функцiй вiдповiдно до складеноїсхеми дiй.

Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект 14.


Хiд уроку



Форма проведення цього етапу уроку може бути рiзною залежновiд того, як засвоїли учнi змiст навчального матерiалу на поперед�ньому уроцi. Наприклад, якщо учнi мали певнi труднощi з розумi�нням матерiалу та його застосуванням, то доречно провести ретельнуперевiрку виконання вправ за зразком. Якщо ж учнi добре зрозумiлизмiст навчального матерiалу та мають добре сформованi первиннiвмiння (тобто учнi набули вмiнь виконувати перетворення графiкiв,що прямо вiдповiдають вивченим видам перетворень), то можна пе�ревiрити домашнє завдання у формi гри «Знайди помилку» або про�вести самостiйну роботу на перевiрку розумiння теоретичногоматерiалу.

Самостiйна роботаЯкий вигляд має функцiя, графiк якої утворюється з графiка

функцiї ( )y g x= шляхом виконання:1) паралельного перенесення графiка ( )y g x= на 2 одиницi лiворуч;2) паралельного перенесення графiка ( )y g x= на 2 одиницi вниз;3) симетрiї графiка ( )y g x= вiдносно осi абсцис;4) розтягування графiка ( )y g x= у 2 рази вздовж осi ординат;5) стискування графiка ( )y g x= у 2 рази вздовж осi ординат?


Перевiрка виконання домашнього завдання та аналiз можливихпомилок самi по собi створюють мотивацiю учнiв до дiяльностi з усу�нення причини помилок (засвоєння та корекцiї знань), а також вiд�працювання вмiнь i формування навичок. Досягнення найкращихрезультатiв цiєї дiяльностi — закрiплення знань та вiдпрацюваннявмiнь учнiв виконувати перетворення графiкiв функцiй iз застосу�ванням вивчених схем. Це i є основною дидактичною метою уроку.



1. Як, користуючись графiком функцiї yx

= 2, побудувати графiк

функцiї:

1) yx

=−2

1; 2) y

x=

+2

3; 3) y

x= −2

1; 4) yx

= +23; 5) y

x=

−+2

32?


2. Вiдомо, що графiки двох функцiй ( )y f x= i ( )y g x= мають спiльнуточку ( )A a b; . Чому дорiвнює корiнь рiвняння ( ) ( )f x g x= ?

V. Формування вмiнь та навичок

Виконання письмових вправ1. Побудуйте графiк функцiї:

1) yx

= +42; 2) y

x=

−4

2.


1) y x= 2 ; 2) y x= 1

42 .

3. Побудуйте в однiй системi координат графiки функцiй y x= +1

та y x= − +2 2 5, . Скiльки коренiв має рiвняння x x+ = − +1 2 52 , ?

4. Розв’яжiть графiчно рiвняння:

1) ( )x x− =22

; 2)4

12

xx

−= − .

Додатковi вправи1. Побудуйте графiк функцiї:

1) | |y x= −2 1 ; 2) | || |y x= −2 ; 3) yx

x= −

+2

2; 4) y

x

x=

−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐

1.

2. Знайдiть усi значення a, при яких рiвняння 1 2− =x a має три ко�

ренi.Завдання на побудову графiкiв функцiй шляхом геометрич�них перетворень графiкiв елементарних функцiй є доситьскладними, оскiльки їх розв’язування передбачає вiльне во�лодiння:

знаннями про види елементарних функцiй та їх графiки, а такожпро способи побудови цих графiкiв;знаннями про види геометричних перетворень графiкiв елементар�них функцiй;вмiннями виконувати зазначенi вище геометричнi перетворення;вмiннями визначати послiдовнiсть перетворень за умови необхiд�ностi виконання декiлькох таких перетворень.Отже, рiвень складностi завдань учитель вибирає залежно вiд

рiвня знань i вмiнь учнiв, не занижуючи вимог, але водночас створю�ючи ситуацiю успiху. З метою повторення попереднього матерiалу(«Властивостi функцiй») перед написанням тематичної контрольноїроботи № 3 бажано учням запропонувати вправи на встановленняосновних властивостей функцiй за побудованими графiками.



Тестове завданняВарiант 1Дано функцiї:1. ( )y g x= +2. 2. ( )| |y g x= . 3. ( )y g x= − . 4. ( )y g x= 2 .

5. ( )y g x= 1

2. 6. ( )y g x= − . 7. ( )y g x= 2 . 8. y g x= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

2.

9. ( )y g x= −2. 10. ( )y g x= −2 . 11. ( )y g x= +2 . 12. | |( )y g x= .

Серед наведених функцiй виберiть такi, графiк яких утворюєтьсяз графiка функцiї ( )y g x= шляхом виконання:

1) паралельного перенесення графiка функцiї ( )y g x= на 2 оди�ницi лiворуч уздовж осi абсцис:А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.2) паралельного перенесення графiка функцiї ( )y g x= на 2 оди�ницi вниз уздовж осi ординат:А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.3) розтягування графiка функцiї ( )y g x= у 2 рази вздовж осi аб�сцис:А) 4; Б) 5; В) 7; Г) 8.4) стискування графiка функцiї ( )y g x= у 2 рази вздовж осi ординат:А) 5; Б) 4; В) 8; Г) 7.5) симетрiї графiка функцiї ( )y g x= вiдносно осi ординат:А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.6) симетрiї графiка функцiї ( )y g x= вiдносно осi абсцис:А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.Варiант 2Дано функцiї:1. ( )y g x= +3. 2. ( )| |y g x= .

3. ( )y g x= − . 4. ( )y g x= 3 .

5. ( )y g x= 1

3. 6. ( )y g x= − .

7. ( )y g x= 3 . 8. y g x= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

3.

9. ( )y g x= −3. 10. ( )y g x= −3 .

11. ( )y g x= +3 . 12. | |( )y g x= .

Серед наведених функцiй виберiть такi, графiки яких утво�рюється з графiка функцiї ( )y g x= шляхом виконання:


1) паралельного перенесення графiка функцiї ( )y g x= на 3 оди�ницi праворуч уздовж осi абсцис:

А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.

2) паралельного перенесення графiка функцiї ( )y g x= на 3 оди�ницi вгору вздовж осi ординат:

А) 1; Б) 9; В) 11; Г) 10.

3) стискування графiка функцiї ( )y g x= у 3 рази вздовж осi абсцис:

А) 4; Б) 5; В) 7; Г) 8.

4) розтягування графiка функцiї ( )y g x= у 3 рази вздовж осi ор�динат:

А) 4; Б) 5; В) 7; Г) 8.

5) симетрiї графiка функцiї ( )y g x= вiдносно осi абсцис:

А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.

6) симетрiї графiка функцiї ( )y g x= вiдносно осi ординат:

А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 12.


Повторити алгоритми побудови графiкiв функцiй шляхом гео�метричних перетворень (конспект 14).



1) yx

= −12; 2) y x= 1

2.


1) x x+ = −3 4 2 ; 2) ( )x x− = −1 12

; 3) 2 2− =x x.


1. Розкладiть на множники квадратний тричлен:

1) x x2 6 8− + ; 2) x x2 2 8+ − ;

3) x x2 8 15+ + ; 4) 2 5 22x x− + ;

5) 3 22x x− − ; 6) 3 6 32x x− + .

2. Видiлiть квадрат двочлена з квадратного тричлена:

1) x x2 2 2+ + ;

2) x x2 4 5− + ; 3) x x2 8+ .

Повторити означення квадратного тричлена, формули коренiвквадратного рiвняння, видiлення квадрата двочлена з квадратноготричлена.


Урок № 22Функцiя y ax bx c= + +2 , її властивостi та графiк

Мета: сформувати в учнiв уявлення про квадратичну функцiю;працювати над засвоєнням знань означення квадратичної функцiї,виду графiка та алгоритму побудови графiка квадратичної функцiї.

Сформувати первиннi вмiння:

розпiзнавати квадратичну функцiю серед iнших елементарнихфункцiй;

знаходити координати вершини та напрям вiток графiка квадра�тичної функцiї за її формулою;

виконувати побудову графiка квадратичної функцiї за вивченимиалгоритмами.

Повторити загальнi властивостi функцiй, а також схеми вико�нання основних видiв геометричних перетворень графiкiв функцiй.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Функцiя y ax bx c= + +2 , її

властивостi та графiк».

Хiд уроку



Проводимо перевiрку домашнього завдання, зiбравши зошитиучнiв (можна оцiнити як домашню самостiйну роботу). На уроцi ба�жано пояснити найскладнiшi моменти домашнього завдання. Зразкиправильних розв’язань можна надати учням для самостiйного опра�цювання.


Якщо учнi мають хоча б первинне уявлення про структурушкiльного курсу алгебри (цю iнформацiю вчитель мiг надати ранi�ше, на початку вивчення цього роздiлу), то вони знають, що функ�цiональна лiнiя є однiєю з п’яти основних змiстових лiнiй шкiльногокурсу алгебри. Тож вивчення способiв побудови графiкiв функцiйшляхом геометричних перетворень пов’язане з необхiднiстю розгля�ду iнших, крiм зазначених нижче, елементарних функцiй. Такожучнi мають усвiдомити той факт, що, вивчивши способи геометрич�них перетворень графiкiв функцiй, можна побудувати графiк будь�якої алгебраїчної функцiї, формула якої утворена з найпростiших


функцiй: y kx= , yk

x= , y x= 2 , y x= , y x= 3 . Отже, цiлком логiчно пiсля

вивчення способiв перетворень графiкiв елементарних функцiйдослідити iншi функцiї та їх графiки. Однiєю з таких функцiй є квад�ратична функцiя, графiк якої можна утворити з графiка функцiїy x= 2 шляхом виконання одного або кiлькох геометричних перетво�

рень. Цi слова вчителя визначають основну дидактичну мету уроку.



1. Чи є число: 1; 0; −1

2коренем квадратного тричлена:

1) 2 5 32x x− + ; 2) x2 1

4− ; 3) x x2 − ?

2. Розкладiть на множники многочлен:1) 2 182x − ; 2) 4 4 12x x+ + ; 3) 4 3 2x x− ; 4) x x2 5 6− + .

3. Опишiть перетворення, за допомогою яких можна утворити з гра�фiка функцiї y x= 2 графiк функцiї:

1) ( )y x= −12; 2) y x= −2 1; 3) y x= + +( )2 12 ; 4) y x= 2 2 ;

5) ( )y x= − +2 1 12

; 6) y x= − 2 ; 7) ( )y x= − + +1 12

.


План вивчення нового матерiалу1. Означення квадратичної функцiї.2. Графiк квадратичної функцiї.3. Алгоритм побудови графiка функцiї y ax bx c= + +2 .

На цьому уроцi починається копiтка робота з вивчення власти�востей квадратичної функцiї та формування сталих умiнь виконува�ти побудову графiка квадратичної функцiї за загальною схемою (див.Алгебра в таблицях, Є. П. Нелiн, таблиця 35, с. 48. Побудова ескiзуграфiка функцiї y ax bx c= + +2 ).

Традицiйно вивчення цього питання проводилось у два етапи:спочатку вивчалося питання про вид графiка та властивостi функцiїy ax= 2 , а далi досліджувалися властивостi та вид графiка функцiї

y ax bx c= + +2 . Вивчення питання про вид графiка та властивостi

квадратичної функцiї у 9 класi 12�рiчної школи доцiльно провестидедуктивним методом. Спочатку формулюємо загальне означенняквадратичної функцiї y ax bx c= + +2 , потiм доводимо, що її графiком


буде парабола певного виду (видiляємо повний квадрат двочленау виразi ax bx c2 + + ), пiсля чого формулюємо загальний алгоритм по�будови графiка квадратичної функцiї. Потiм розглядаємо окремi ви�падки квадратичної функцiї та робимо вiдповiднi поправки до за�гального алгоритму побудови їх графiкiв.

Пiд час формування знань учнiв щодо змiсту означення квадра�тичної функцiї слiд звернути увагу учнiв на той факт, що в означеннiвказано лише обмеження для старшого коефiцiєнта квадратноготричлена ax bx c2 + + , а це означає, що iншi коефiцiєнти, кожен окре�мо та разом, можуть набувати рiзних за знаком значень, а також до�рiвнювати 0 (слiд розглянути вiдповiднi приклади).

Вивчаючи питання про побудову графiка квадратичної функцiї,слiд нагадати учням, що графiк функцiї y x= 2 , з якого власне й почи�

нається побудова графiка квадратичної функцiї, будується за точка�ми (з урахуванням симетричностi параболи).

Конспект 15

Функцiя y ax bx c= + +2 , її властивостi та графiк

1. Означення квадратичної функцiї

Квадратичною функцiєю називається функцiя виду y ax bx c= + +2 , де

a ≠ 0.

Приклади y x x= + −3 2 12

y x x= +3 22

y x= −3 12

y x= 3 2

2. Графiк квадратичної функцiї

Графiком квадратичної функцiї y ax bx c= + +2 (a ≠ 0) завжди є парабола,

вiтки якої напрямленi вгору при a > 0 i вниз при a < 0.

Координати вершини параболи: xb

aB = −2

, ( )y y xD

aB B= = −4

, де D b ac= −2 4 .

Рiвняння осi симетрiї параболи: y xB= .

3. Алгоритм побудови графiка квадратичної функцiї y ax bx c= + +2

1) Обчислити координати вершини параболи.

2) Знайти координати точок перетину параболи з осями координат:

а) з вiссю абсцис: для цього розв’яжемо рiвняння ax bx c2 0+ + = .

Зауваження. Парабола може не перетинати осі абсцис.


⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

квадратичнi функцiї

б) з вiссю ординат: x = 0, y c= .

3) Позначити знайденi точки на координатнiй площинi i з’єднати їхплавною лiнiєю.

Зауваження 1. Для бiльшої точностi побудови параболи можна взяти до�датковi точки, координати яких записуємо в таблицю.

Не забуваємо, що парабола симетрична вiдносно прямої, яка паралельнаосi ординат i проходить через вершину параболи.

Зауваження 2. Графiки квадратичних функцiй y ax= 2, ( )y a x m n= − +2

i y ax n= +2 можна побудувати, виконавши вiдповiднi геометричнi пере�

творення графiка функцiї y x= 2.

VІ. Формування первинних умiнь

Виконання усних вправ1. Назвiть властивостi функцiї:

1) y x= 2 2 ; 2) y x= −2 2 .

2. На рисунку зображено параболу, якає графiком деякої квадратичної функцiїy ax bx c= + +2 . Укажiть:

1) знак коефiцiєнта a;2) координати вершини параболи;3) рiвняння осi симетрiї параболи;4) нулi квадратичної функцiї;5) промiжки, на яких функцiя набуває додатних значень;

6) промiжки, на яких функцiя набуває вiд’ємних значень;

7) промiжок, на якому функцiя зростає; спадає;

8) найменше значення функцiї i значення x, при якому функцiянабуває цього значення;

9) знак вiльного члена.



1) y x= 3 2 ; 2) y x= 1

32 ; 3) y x= −15 2, .

2. Знайдiть координати вершини параболи y x x= − +2 6 32 .


1) y x x= + −2 2 4; 2) y x x= − +2 4 ; 3) y x x= − +2 4 42 .

4. Графiк функцiї y ax= 2 проходить через точку ( )M 2 2;− . Побудуйте

графiк цiєї функцiї.


3

у

1х

–3 –1 0 1

5. Побудуйте графiк функцiї y x x= + +2 6 5. Користуючись графiком,

знайдiть: 1) область значень функцiї; 2) усi значення x, при якихфункцiя набуває вiд’ємних значень; 3) промiжок, на якому функ�цiя спадає.

Як уснi, так i письмовi вправи передбачають закрiпленнязнань учнiв про змiст вивчених на уроцi понять та формуван�ня вмiнь використовувати цi поняття та алгоритми побудовиграфiкiв квадратичних функцiй. Вправи на повторення (навизначення основних властивостей квадратичної функцiї запобудованим графiком) спрямованi, по�перше, на формуваннянавичок роботи з графiками, а по�друге, готують учнiв досприйняття матерiалу наступного уроку (узагальнення влас�тивостей квадратичної функцiї).


Тестовi завдання1. Яка з наведених функцiй не є квадратичною?

А) y x= −2 42 ; Б) y x x= +2 42 ; В) y x= +2 4; Г) y x= +4 2 2 .

2. Через яку з наведених точок проходить графiк функцiї y x= +2 2?

А) ( )A −2 0; ; Б) ( )B −2 2; ; В) ( )C −2 6; ; Г) ( )D 2 0; .3. Чому дорiвнює абсциса вершини параболи, що задається функ�

цiєю y x x= − +2 122 ?

А) 3; Б) 6; В) –6; Г) –3.

VІІІ. Домашнє завданняВивчити означення квадратичної функції, алгоритм побудови

графiка квадратичної функцiї (див. конспект 15).Виконати вправи.

1. Побудуйте графiк функцiї: 1) y x= 2 5 2, ; 2) y x= −1

42 ; 3) y x x= − +2 2 2;

4) y x x= − − −2 6 4; 5) y x x= − +2 82 .

2. Побудуйте графiк функцiї y x x= −4 2 . Користуючись графiком,

знайдiть:1) область значень функцiї;2) усi значення x, при яких функцiя набуває додатних значень;3) промiжок, на якому функцiя спадає.Повторити властивостi функцiї, формулу коренiв квадратного

рiвняння.Виконати вправу на повторення.Розв’яжiть рiвняння 3 2 1 6 92 2x x x x+ − = − − .


Урок № 23Функцiя y ax bx c= + +2 , її властивостi та графiк

Мета: закрiпити знання учнiв про означення, вид графiка та алго�ритм побудови графiка квадратичної функцiї. Дослiдити властивостiквадратичної функцiї та узагальнити цi спостереження, доповнившиними знання про властивостi квадратичної функцiї.

Вiдпрацювати вмiння:розпiзнавати квадратичну функцiю серед iнших елементарнихфункцiй;знаходити координати вершини та напрям вiток графiка квадра�тичної функцiї;виконувати побудову графiка квадратичної функцiї за вивченимиалгоритмами.Сформувати вмiння аналiтично дослiджувати властивостi квад�

ратичної функцiї загального виду. Повторити загальнi властивостiфункцiй, а також схеми виконання основних видiв геометричних пе�ретворень графiкiв функцiй.

Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi квадратичної

функцiї».

Хiд уроку



Одним зi способiв перевiрки рiвня засвоєння учнями знань тавмiнь є математичний диктант.

Математичний диктантВарiант 1

1. З графiка якої функцiї виду y ax= 2 можна дiстати паралельним

перенесенням графiк функцiї y x x= − + −3 5 42 ?

2. Укажiть координати вершини параболи y x x= − + −2 6 8.

3. Чи перетинає графiк функцiї y x x= − + −2 6 вiсь абсцис?

4. Вгору чи вниз напрямленi вiтки параболи

y x x= − + +1

32 52 ?

5. Побудуйте ескiз графiка функцiї y x x= − +2 6 8, позначивши вер�

шину параболи та будь�якi двi її точки.


Варiант 2

1. З графiка якої функцiї виду y ax= 2 можна дiстати паралельним

перенесенням графiк функцiї y x x= − + −2 3 22 ?

2. Укажiть координати вершини параболи y x x= − − −2 6 7.

3. Чи перетинає графiк функцiї y x x= − − +2 6 вiсь абсцис?

4. Вгору чи вниз напрямленi вiтки параболи

y x x= − + +2

33 62 ?

5. Побудуйте ескiз графiка функцiї y x x= − + −2 6 7, позначивши вер�

шину параболи та будь�якi двi її точки.

Якщо пiд час виконання вправ домашнього завдання учнi малитруднощi, тодi доцiльно провести перевiрку домашнього завдання зазразком.


З метою усвiдомлення учнями необхiдностi вивчення матерiалу,запропонованого на урок, учитель може провести роботу, що перед�бачає розв’язання учнями завдань на виконання таких розумовихдiй, як порiвняння (знаходження спiльного та вiдмiнного), узагаль�нення та формулювання гiпотези.

Наприклад, учитель пропонує учням:

Завдання № 1

Розгляньте графiки кiлькох квадратичних функцiй, вiтки якихнапрямленi вгору, та визначте промiжки зростання цих функцiй; по�рiвняйте результати. Що ви помiтили? Тепер визначте промiжкиспадання цих функцiй; порiвняйте результати. Що ви помiтили?Сформулюйте припущення.

Завдання № 2

Розгляньте графiки кiлькох квадратичних функцiй, вiтки якихнапрямленi вгору та визначте область визначення кожної з функ�цiй. Порiвняйте результати. Що ви помiтили? Сформулюйте припу�щення.

Пiсля проведеної роботи учнi мають сформулювати питання (про�блему) — чи не можна узагальнити у виглядi математичних твер�джень зв’язок мiж коефiцiєнтами в рiвняннi квадратичної функцiїта її властивостями? Пошук вiдповiдi на це запитання i становитьосновну дидактичну мету уроку.




1) ( )− +7 2 5 15, : , ; 2) 5 45⋅ ; 3) ( )6 64 3 10: ;

4) 0 6 0 4 12, : , − ; 5) 6 32 4⋅ ; 6)1

26

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

2. На рисунку зображено графiк функ�цiї ( )y f x= . Користуючись рисун�ком, укажiть:1) область визначення функцiї;2) ( )E f ;3) множину розв’язкiв нерiвностi( )f x > 0;

4) промiжок зростання функцiї.3. Яка з наведених функцiї є квадратичною?

1) y x= − +3 2; 2) y x x= − +4 3 23 ;

3) yx x

=− +

4

3 22; 4) y x x= − −2 4 32 .


План вивчення нового матерiалу1. Область визначення квадратичної функцiї; область значень квад�

ратичної функцiї.2. Промiжки зростання та промiжки спадання функцiї

y ax bx c= + +2 .

3. Промiжки знакосталостi функцiї y ax bx c= + +2 .

Узагальнення вiдомостей про основнi властивостi функцiїy ax bx c= + +2 (a ≠ 0) вiдбувається пiд час спостережень, якiучнi проводять на цьому та попереднiх уроках, визначаючивластивостi квадратичних функцiй за побудованими графiка�ми. Головна мета роботи (i на цьому слiд акцентувати увагуучнiв) — показати, що властивостi квадратичної функцiї (якi будь�якої функцiї) закладенi в самому рiвняннi функцiї,а отже, можуть бути виявленi аналiтично (визначенням знакапершого коефiцiєнта, координат вершини параболи, а такожзнаком дискримiнанта та коренями квадратного тричленаax bx c2 + + ); графiк функцiї лише наочно демонструє цi влас�тивостi.


3

у

1

х–5 –3 –1 0 1

( )y f x=

Конспект 16

Властивостi квадратичної функцiї y ax bx c= + +2

1. Область визна�чення ( )D y

x R∈ ( ( )D y R= )

2. Область значень( )E y

При a > 0 ( ) [ )E y yB= +∞; ;

При a < 0 ( ) ( ]E y yB= −∞;

3. Промiжки: зростання При a > 0 зростає на [ )xB;+∞ .

При a < 0 зростає на ( ]−∞;xB

спадання При a < 0 спадає на [ )xB;+∞ .

При a > 0 спадає на ( ]−∞;xB

4. Промiжки зна�косталостi

a > 0

a < 0


Виконання вправ1. Для кожної з наведених функцiй укажiть координати вершини

параболи, напрям вiток, рiвняння осi симетрiї:

1) y x= −2 1; 2) y x= − +2 52 ; 3) ( )y x= −22; 4) ( )y x= − + −3 1 4

2.

2. Укажiть промiжки зростання i спадання функцiї y ax bx c= + +2 ,

а також її область значень, якщо:1) a = 3; b = −6; 2) a = −3; b = −6.

Виконання письмових вправ1. Побудуйте графiк функцiї y x= −2 5 2, . Укажiть промiжки, на яких

функцiя зростає; спадає.2. Побудуйте графiк функцiї:

1) y x x= + −3 6 52 ; 2) y x x= − −1

3

2

3

2

32 ; 3) y x x= − − +2 2 52 .


хxBx1 хx2

х

xB

хx2

хx1

х+

–

+

+

–––

++ +

– –

3. Побудуйте графiк функцiї y x x= − +2 4 3. Користуючись графiком,

знайдiть:

1) область значень функцiї;

2) при яких значеннях x функцiя набуває додатних значень.

4. Знайдiть координати точок перетину прямої i параболи:

1) 3 4x y− = , y x= −2 62 ; 2) 2 7x y+ = − , y x x= − − +3 9 32 .


1) x xx

2 2 21− + = ; 2) − + + =x x x2 3 6 .

Додатковi вправи

1. Знайдiть усi значення a, при яких парабола y x x a= + +15 6 22, роз�

ташована над вiссю абсцис.

2. При яких значеннях параметрiв вершиною параболи y x bx c= + +2

є точка ( )A −4 2; ?

Уснi вправи сприяють засвоєнню учнями узагальнених влас�тивостей квадратичної функцiї та схем дiй пiд час аналiтично�го дослiдження її властивостей.

Пiд час виконання письмових вправ слiд вимагати вiд учнiвчiткого вiдтворення узагальнених властивостей функцiї та дiй вiдпо�вiдно до них. Наприклад, учнi мають вiдтворювати такi мiркування:щоб знайти область значень квадратичної функцiї, необхiдно визна�чити знак старшого коефiцiєнта та ординату вершини параболи заформулою; оскiльки старший коефiцiєнт додатний, то область зна�чень функцiї — це промiжок [ )yB ;+∞ .



Дано функцiю y x x= − + −2 4 3. Не виконуючи побудови, знайдiть

область її значень та промiжок зростання:

А) ( ]−∞;2 , [ )2;+∞ ; Б) ( ]−∞;1 , [ )2;+∞ ;

В) [ )1;+∞ , ( ]−∞;2 ; Г) [ )1;+∞ , [ )2;+∞ .


Повторити означення квадратичної функцiї, вид її графiка та ал�горитм його побудови.

Вивчити алгоритм аналiтичного дослiдження квадратичноїфункцiї.




1. Використовуючи вiдповiднi геометричнi перетворення графiкiвфункцiй, побудуйте графiк функцiї:

1) y x= +2 2; 2) ( )y x= +22; 3) ( )y x= − −2 1

2; 4) ( )y x= − − −2 1

2.

2. Побудуйте графiк функцiї y x x= + −2 2 3. Користуючись графiком,

знайдiть:1) ( )f −2 ;2) значення x, при якому значення функцiї дорiвнює 5;3) найбiльше та найменше значення функцiї та промiжок зро�стання функцiї;4) розв’язки нерiвностi x x2 2 3 0+ − > ;

5) розв’язки рiвняння x x x2 2 3 1+ − = − .

Варiант 21. Використовуючи вiдповiднi геометричнi перетворення графiкiв

функцiй, побудуйте графiк функцiї:

1) y x= −2 1; 2) ( )y x= −12; 3) ( )y x= + +1 2

2; 4) ( )y x= − + +1 2

2.

2. Побудуйте графiк функцiї y x x= − +2 6 5. Користуючись графiком,

знайдiть:1) ( )f 2 ;2) значення x, при якому значення функцiї дорiвнює 5;3) найбiльше та найменше значення функцiї та промiжок спадан�ня функцiї;4) розв’язки нерiвностi x x2 6 5 0− + > ;

5) розв’язки рiвняння x x x2 6 5 1− + = − .

Повторити означення нерiвностi з однiєю змiнною та супутнi по�няття; схеми розв’язання лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною.

Урок № 24Квадратна нерiвнiсть. Розв’язування квадратнихнерiвностей

Мета: сформувати в учнiв уявлення про квадратну нерiвнiсть; до�могтися розумiння та засвоєння учнями схеми розв’язування квад�ратних нерiвностей iз використанням побудови графiка квадратич�ної функцiї.

Сформувати первиннi вмiння:вирiзняти квадратнi нерiвностi серед iнших нерiвностей з однiєюзмiнною;


за готовими графiками квадратичної функцiї знаходити розв’язкивiдповiдних квадратних нерiвностей;виконувати послiдовнi дiї вiдповiдно до вивченої схеми для зна�ходження розв’язкiв квадратних нерiвностей рiзного виду.Тип уроку: засвоєння знань, формування первинних умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Квадратна нерiвнiсть».

Хiд уроку



Вчитель збирає зошити для перевiрки та оцiнювання якостi вико�нання домашньої самостiйної роботи. Учнями можна роздати зразкиправильних розв’язань для самостiйного аналiзу помилок (якщотакi є).


Вчитель повiдомляє учням, що, крiм чисто наукового iнтересу,квадратична функцiя та побудова її графiка мають практичне засто�сування: побудова графiка квадратичної функцiї є одним iз засобiврозв’язання нерiвностей вiдповiдного виду. Такi нерiвностi маютьназву квадратних нерiвностей (або нерiвностей другого степеня).

Мета уроку — вивчення означення квадратної нерiвностi, схемирозв’язання, а також формування вмiнь застосовувати означення тасхему для того, щоб вiдрiзняти квадратнi нерiвностi вiд iнших не�рiвностей з однiєю змiнною та знаходити розв’язки квадратних не�рiвностей.



1) 9 2x− при x = 3; 2)3

xпри x = 1

3;

3)3 15

5

⋅; 4) ( )− − ⋅132 2 18 0 6, , , .

2. На рисунку зображено графiк функцiїy x x= − + −2 4 3. Користуючись графiком,

укажiть:1) область значень функцiї, її найбiль�ше значення;


у

–3

х0 1 3

2) нулi функцiї;

3) при яких значеннях x функцiя додатна; вiд’ємна.

3. Вiдомо, що 1 3< <x . Яка з наведених нерiвностей є неправильною?

1) 3 2 5< + <x ; 2) 3 3 9< <x ; 3) − < − < −1

2 2

3

2

x; 4) 1

1 1

3> >

x.


План вивчення нового матерiалу1. Означення квадратної нерiвностi. Приклади квадратних не�

рiвностей iз рiзними коефiцiєнтами.

2. Схема розв’язання квадратних нерiвностей за допомогою побудо�ви графiка вiдповiдної квадратичної функцiї.

3. Рiзнi способи розташування графiка квадратичної функцiїy ax bx c= + +2 вiдносно осi абсцис залежно вiд знака старшого

коeфiцiєнта та знака дискримiнанта квадратного тричлена

ax bx c2 + + .

Вивчення питання про розв’язання квадратних нерiвностейрозпочинається iз формування уявлення про квадратну не�рiвнiсть. Оскiльки вмiння безпомилково визначати вид не�рiвностi є запорукою її правильного розв’язання, то необхiднодомогтися неформального розумiння та знання означенняквадратної нерiвностi. Розв’язування будь�якої нерiвностiрозпочинається з аналiзу її виду. Також слiд звернути увагуучнiв на те, що, як i квадратний тричлен, квадратна не�рiвнiсть може мати «скорочений» вигляд (див. приклади, на�веденi в конспектi 17). Цей момент є принциповим, оскiльки,як свiдчить досвiд, досить велика кiлькiсть учнiв, розв’язую�чи нерiвностi виду ax c2 0+ > , замiнюють її на нерiвнiсть

xc

a> ± − .

Отже, в учнiв необхiдно сформувати розумiння: незважаючина вид, усi квадратнi нерiвностi розв’язуються за певною схе�мою.

З метою кращого розумiння схеми розв’язання квадратної не�рiвностi та формування наочного образу її розв’язкiв, пiд час вивчен�ня нового матерiалу використовуємо графiк квадратичної функцiї,за допомогою якого можна знайти промiжки знакосталостi вiдпо�вiдної функцiї.


На етапi формування вмiнь розв’язувати квадратнi нерiвностi завивченою схемою слiд вимагати вiд учнiв чiткого виконання наступ�них дiй:

звести нерiвнiсть до виду квадратної (див. означення);знайти дiйснi коренi квадратного тричлена (якщо вони наявнi) тапобудувати ескiз графiка квадратичної функцiї;записати промiжок, на якому функцiя набуває знака, що вiдповi�дає заданiй квадратнiй нерiвностi (з урахуванням строгостi знаканерiвностi).Попередженням можливих труднощiв учнiв пiд час розв’язуван�

ня квадратних нерiвностей є робота з певного узагальнення випадкiввзаємного розташування графiка квадратичної функцiї вiдносно ко�ординатної осi абсцис залежно вiд знака старшого коефiцiєнта тазнака дискримiнанта вiдповiдного квадратного тричлена.

Конспект 17

Квадратнi нерiвностi

Означення. Нерiвнiсть вигляду ax bx c2 0+ + > (< 0, > 0, ≤ 0) називаєтьсяквадратною, якщо a ≠ 0.

Щоб розв’язати квадратну нерiвнiсть, достатньо знайти коренi квадрат�ного тричлена й побудувати ескiз його графiка (параболу). Як вiдповiдьзаписуються промiжки осi Ox, для яких точки параболи розмiщенi вищевiд осi Ox (для випадку > 0) i нижче вiд осi Ox (для випадку < 0).

(Якщо квадратний тричлен має два рiзних коренi x1 i x2, можна такожвикористати метод iнтервалiв — див. табл. 40.)

ax bx c2 0+ + > ( )D b ac= −2 4

a > 0 D > 0

( ) ( )x x x∈ −∞ ∪ +∞; ;1 2

a > 0 D = 0

( ) ( )x x x∈ −∞ ∪ +∞; ;0 0

a > 0 D < 0

x R∈ , ( )x ∈ −∞ +∞;

a < 0 D > 0

( )x x x∈ 1 2;

a < 0 D = 0

Розв’язкiв немає

a < 0 D < 0

Розв’язкiв немає


хx0

x1 хx2

ххx2

хx1

х0

у

0

у у

0 0

у

00

у x0

у


Виконання усних вправ1. На рисунку зображено графiк функцiї

y x x= − −2 2. Назвiть множини розв’я�

зкiв нерiвностей:1) x x2 2 0− − > ;2) x x2 2 0− − < ;3) x x2 2 0− − ≥ ;4) x x2 2 0− − ≤ .

2. На рисунку зображено графiк функцiїy x x= + +2 2 1. Назвiть множини роз�

в’язкiв нерiвностей:1) x x2 2 1 0+ + > ;2) x x2 2 1 0+ + < ;

3) x x2 2 1 0+ + ≥ ;

4) x x2 2 1 0+ + ≤ .



1) x x2 3 4 0+ − < ; 2) x x2 3 4 0+ − > ; 3) 2 3 02x x− < ;

4) − − + >x x2 2 3 0; 5) − + − <2 5 3 02x x ; 6) 2 8 02x − > .

2. Розв’яжiть нерiвностi:

1) x x2 6 8 0+ + > ; 2) x x2 5 14 0+ − ≤ ; 3) − + + ≥x x2 6 7 0.


1) x2 9≤ ; 2) x2 7> ; 3) 7 32x x≤ ;

4) − >5 102x x; 5) − < −3 752x ; 6) 0 6 182, x x< − .

4. Знайдiть множину розв’язкiв нерiвностi:

1) ( )( )3 1 2 6x x+ − < ; 2) ( ) ( )x x+ − > −3 16 1 22 2

;

3) ( ) ( )2 5 52

x x x− ≤ + ; 4)2 3

5

4

81

2x x+ − − ≤ − ;

5) ( ) ( ) ( )( )3 8 4 6 5 2 5 2 962 2

x x x x− − − + − + > .


Знайдiть найбiльше й найменше значення функцiї та промiжки їїзростання; спадання:

1) ( )f x x x= + −2 4 16; 2) ( )f x x x= − + +1

72 32 ;

3) ( )f x x x= − −20 12 0 4 2, ; 4) ( )f x x x= +3 72 .


3

у

х–1 0 1

–1 0 1х

1

у


Тестове завданняЯкi з наведених нерiвностей виконуються для будь�яких дiйсних

значень x?А) − + + <2 6 02x x ; Б) 2 7 02x x+ + > ; В) x2 0> ; Г) − − − <3 6 02x x .


Вивчити означення квадратної нерiвностi, схему її розв’язання(див. конспект 17).

Виконати вправи.1. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) x x2 6 0+ − < ; 2) x x2 5 14 0+ − ≥ ; 3) − + + ≤x x2 6 7 0.2. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) x2 4> ; 2) x2 1< ; 3) − > −2 22x ; 4) x x2 5≤ .3. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) ( ) ( )( )x x x x2 3 2 3 2 1+ ≤ + − ; 2) ( ) ( ) ( )3 1 1 4 42 2

x x x− − − > + ;

3)x x2 1

4

3

6

2

3

− − + ≤ − ; 4)x x x x2 3 2

6

3

9

8 9

36

1

4

− + + − < + − .

Повторити знаходження областi визначення функцiї, заданої рiв�нянням виду ( )y f x= ; означення системи нерiвностей, а також змiстпоняття дискримiнанта квадратного рiвняння.

Виконати вправу на повторення.Побудуйте графiк функцiї ( )f x x x= − −2 2 3. Користуючись графi�

ком, знайдiть:1) ( )f 2 , ( )f −15, , ( )f 2 5, ;2) значення x, при яких ( )f x = 5, ( )f x = −4, ( )f x = −1;3) нулi функцiї;4) найбiльше й найменше значення функцiї;5) область значень функцiї;6) розв’язки нерiвностi ( )f x < 0, ( )f x > 0.

Урок № 25Квадратна нерiвнiсть. Розв’язування квадратнихнерiвностей

Мета: продовжити роботу над засвоєнням учнями змiсту означенняквадратної нерiвностi та схеми розв’язання квадратних нерiвностей.Удосконалити вмiння розв’язувати квадратнi нерiвностi та нерiвностi,що зводяться до квадратних шляхом рiвносильних перетворень, а та�


кож сформувати вмiння розв’язувати системи квадратних нерiвно�стей та задачi дослiдницького характеру.

Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 17.

Хiд уроку



З метою перевiрки рiвня засвоєння учнями знань i первиннихумiнь розрiзняти квадратнi нерiвностi серед iнших нерiвностейз однiєю змiнною та застосовувати схему розв’язання квадратних не�рiвностей, можна провести тестову роботу, яку по закiнченнi слiдобов’язково перевiрити. У разi необхiдностi провести роботу з пере�вiрки домашнього завдання за зразком iз наступною корекцiєю.


1. Яке з наведених чисел є розв’язком не�рiвностi x2 4< ?А) –3; Б) 2; В) –1; Г) 5.

2. На рисунку зображено графiк функцiїy x x= + −3 2 2 . Користуючись графiком,

укажiть множину розв’язкiв нерiвностi3 2 02+ − >x x .

А) ( ) ( )−∞ − ∪ ∞; ;1 3 ; Б) ( )−1 3; ;

В) ( ] ( )−∞ − ∪ ∞; ;1 3 ; Г) [ ]−1 3; .

3. Для нерiвностi ax bx c2 0+ + > задано умови: a > 0, D > 0. Яке з наве�дених тверджень правильне?А) Нерiвнiсть не має розв’язкiв;Б) розв’язком нерiвностi є множина дiйсних чисел;

В) розв’язком нерiвностi є число − b

a2;

Г) розв’язком нерiвностi є об’єднання двох промiжкiв.4. Для нерiвностi ax bx c2 0+ + < задано умови: a < 0, D < 0. Яке з наве�

дених тверджень правильне?А) нерiвнiсть не має розв’язкiв;Б) розв’язком нерiвностi є множина дiйсних чисел;В) розв’язком нерiвностi є один промiжок;Г) розв’язком нерiвностi є об’єднання двох промiжкiв.


3

у

1х

–1 0 1

5. Розв’яжiть нерiвнiсть другого степеня x x2 3 2 0− + > :А) ( ) ( )−∞ ∪ ∞; ;1 2 ; Б) ( )1 2; ; В) ( ] [ )−∞ ∪ ∞; ;1 2 ; Г) [ ]1 2; .

6. Розв’язком якої з наведених нерiвностей є єдине число?А) x x2 2 1 0− + > ; Б) x x2 2 1 0− + < ; В) x x2 2 1 0− + ≥ ; Г) x x2 2 1 0− + ≤ .Варiант 2

1. Яке з наведених чисел є розв’язком нерiвностi x2 9> ?А) 0; Б) 3; В) –2; Г) –4.

2. На рисунку зображено графiк функцiї.Користуючись графiком, укажiть мно�жину розв’язкiв нерiвностi

− + − <x x2 4 3 0.

А) ( ) ( )−∞ ∪ ∞; ;1 3 ; Б) ( )1 3; ;

В) ( ] [ )−∞ ∪ ∞; ;1 3 ; Г) [ ]1 3; .

3. Для нерiвностi ax bx c2 0+ + > задано умо�ви: a < 0, D < 0. Яке з наведених твер�джень правильне?

А) Нерiвнiсть не має розв’язкiв;

Б) розв’язком нерiвностi є множина дiйсних чисел;

В) розв’язком нерiвностi є число − b

a2;

Г) розв’язком нерiвностi є об’єднання двох промiжкiв.

4. Для нерiвностi ax bx c2 0+ + < задано умови: a < 0, D > 0. Яке з наве�дених тверджень правильне?

А) Нерiвнiсть не має розв’язкiв;

Б) розв’язком нерiвностi є множина дiйсних чисел;

В) розв’язком нерiвностi є один промiжок;

Г) розв’язком нерiвностi є об’єднання двох промiжкiв.

5. Розв’яжiть нерiвнiсть другого степеня x x2 3 2 0− + ≤ .

А) ( ) ( )−∞ ∪ ∞; ;1 2 ; Б) ( )1 2; ; В) ( ] [ )−∞ ∪ ∞; ;1 2 ; Г) [ ]1 2; .

6. Розв’язком якої з наведених нерiвностей є єдине число?

А) − − − >x x2 2 1 0; Б) − − − <x x2 2 1 0;

В) − − − ≥x x2 2 1 0; Г) − − − ≤x x2 2 1 0.


Поштовхом до навчальної дiяльностi учнiв на уроцi можуть бутирезультати виконання тестового завдання та запропонована до увагиучнiв серiя задач, розв’язування яких вимагатиме вiд учнiв складан�ня, розв’язання квадратних нерiвностей та їх систем.


–3

у

1х

–1 0 1 3

Завдання 1Знайдiть область визначення функцiї:

1) y x x= + −2 2; 2) yx x

x=− −

+ −1

15 22 6 3

2.

Завдання 2Знайдiть усi значення параметра a, при яких рiвняння

x a x a2 21 0− + + =( )

має два рiзнi дiйснi коренi.Пiд час обговорення з учнями плану розв’язання запропонованих

завдань учнi мають дiйти висновку про те, що розв’язування бага�тьох дослiдницьких задач потребує вiд них умiння записувати та роз�в’язувати вiдповiднi квадратнi нерiвностi та їх системи. Таким чи�ном, формулюється мета уроку — продовжити засвоєння знань тавдосконалити вмiння розв’язувати квадратнi нерiвностi.


Виконання усних вправ1. Як розташований графiк функцiї y ax bx c= + +2 вiдносно осi аб�

сцис, якщо:1) D = 0; 2) D > 0; 3) D < 0 (D b ac= −2 4 )?

2. На рисунку зображено графiк функцiї y ax bx c= + +2 . Визначте

знак коефiцiєнта a, коефiцiєнта c, дискримiнанта D.1) 2) 3) 4)

V. Застосування знань

Фактично, на цьому уроцi новий матерiал не вивчається.Вiдбувається поєднання знань, набутих учнями на поперед�ньому уроцi, i знань, що стосуються областi визначенняфункцiї, систем нерiвностей з однiєю змiнною, умов iснуван�ня дiйсних коренiв квадратного рiвняння. Отже, робота нацьому етапi полягає в тому, щоб розглянути найтиповiшi при�клади завдань (див. етап «Формування…»), а також сформу�вати певнi стандартнi пiдходи до їх розв’язання.


y

0

3

x2

–1–2

x

4

0

y y0

4x y

0

2

x–2–4

VІ. Застосування вмiнь та навичок

Виконання усних вправ1. На рисунку зображено графiк функцiї

y x x= − +2 4 5. Назвiть множини роз�

в’язкiв нерiвностi:1) x x2 4 5 0− + > ;2) x x2 4 5 0− + < ;3) x x2 4 5 0− + ≥ ;4) x x2 4 5 0− + ≤ .

2. При яких значеннях змiнної x має змiст вираз:

1)1

2 1x−; 2)

1

32x +; 3) x+1; 4) −x?

3. Сформулюйте твердження для параметра a, яке гарантує для рiв�няння x ax2 4 0+ + = :

1) вiдсутнiсть дiйсних коренiв;

2) наявнiсть хоча б одного дiйсного кореня;

3) наявнiсть двох додатних коренiв.



1) y x x= − −12 4 2 ; 2) y x x= + +3 4 12 ; 3) y x x= − +2 5 7.


1)x x

x

2 2 24 0

14 2 0

− − >− >

⎧⎨⎩

,

;2)

2 3

2 8

2

2

x x

x x

+ ≤

< +

⎧⎨⎩

,

;3)

x x

x x

2

2

6

4 0

+ ≤

− ≥

⎧⎨⎩

,

.


1) yx x

x=− −

+ −1

15 22 6 3

2; 2) y

x x

x x= + − −

− −

1 12

12

2

2;

3)| |

yx

x x x=

− +−

−2

2 11 5

1

42; 4) y

x

x x

x

x x= −

+ −+ −

− −8

5 19 4

2

3 42 2.

4. Знайдiть усi значення a, при яких рiвняння:

1) ( )x a x x2 21 0− + + = має два рiзнi коренi;

2) ( )x a x a2 2 1 2 1 0+ + − − = не має коренiв;

3) ( )ax a x a2 1 1 0+ − + + = має хоча б один корiнь.

5. Знайдiть, при яких значеннях a нерiвнiсть − + − − ≤1

33 6 12 02 2x ax a

виконується при всiх дiйсних значеннях x.


y

0

5

x2

1


1) | |x x2 3 9− − < ; 2) | |x x2 5 6+ > .

Зауваження. Вище наведено список тих завдань, якi бажано роз�в’язати з учнями на уроцi, проте степiнь складностi цих завдань учи�тель визначає залежно вiд рiвня математичної пiдготовки учнiв.


Повторити загальнi схеми розв’язання типових завдань, що пе�редбачають розв’язування квадратних нерiвностей та їх систем.


Повторити означення квадратної нерiвностi, схему розв’язанняквадратних нерiвностей та спосiб її застосування до розв’язуваннятипових дослiдницьких задач.



1. Розв’яжiть:1) нерiвнiсть x x2 5 36 0− − < ;2) нерiвнiсть ( )( )3 1 2 6x x+ − ≤ ;3) нерiвнiсть − + − >6 13 5 02x x , запишiть усi цiлi розв’язки не�рiвностi;

4) систему нерiвностейx x

x x

2

2

6 40 0

3 18 0

+ − <

+ − >

⎧⎨⎩

,

.

2. Складiть та розв’яжiть нерiвнiсть другого степеня (або системунерiвностей) для визначення:1) множини значень параметра a, при яких рiвняння

x a x2 2 4 0+ + + =( )

не має дiйсних коренiв;2) множини значень параметра a, при яких рiвняння

( ) ( )a x a x a− − + − + =1 2 1 3 2 02

має два дiйснi нерiвнi коренi;

3) розв’язкiв нерiвностi | |x x2 3 1− − < ;

4) множини значень параметра a, при яких нерiвнiсть

x a x a a2 22 1 4 0+ − + − − >( )



Варiант 2

1. Розв’яжiть:

1) нерiвнiсть x x2 30 0+ − < ;

2) нерiвнiсть ( )( )2 1 3 4x x− + > ;

3) нерiвнiсть − + − ≥4 13 3 02x x , запишiть усi цiлi розв’язки не�рiвностi;

4) систему нерiвностейx x

x x

2

2

6 0

30 0

− − >

− − ≤

⎧⎨⎩

,

.

2. Складiть та розв’яжiть нерiвнiсть другого степеня (або системунерiвностей) для визначення:

1) множини значень параметра a, при яких рiвняння

x a x2 1 1 0+ + + =( )

не має дiйсних коренiв;

2) множини значень параметра a, при яких рiвняння

( ) ( )1 2 2 2 1 6 2 02− + + + − =a x a x a

має два дiйснi нерiвнi коренi;

3) розв’язкiв нерiвностi | |x x2 8 12− − < ;

4) множини значень параметра a, при яких нерiвнiсть

x a x a a2 22 1 2 1 0− + + − + >( )


Урок № 26Пiдсумковий урок з теми «Функцiї. Властивостi функцiї.Функцiя y ax bx c= + +2 . Розв’язування квадратнихнерiвностей»

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання i спосо�би дiй, якi опанували учнi пiд час вивчення теми «Функцiї. Власти�востi функцiї. Функцiя y ax bx c= + +2 . Розв’язування квадратних не�

рiвностей». З метою усунення причини найтиповiших помилок учнiвпровести роботу з корекцiї знань та вмiнь. Пiдготувати учнiв до ви�конання завдань контрольної роботи.

Тип уроку: систематизацiя та узагальнення знань i вмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспекти 12–17.


Хiд уроку




Вчитель збирає зошити учнiв iз виконаною домашньою само�стiйною роботою.


Основна дидактична мета уроку та завдання на урок цiлком ло�гiчно випливають iз мiсця уроку в темi. Оскiльки урок є останнiм,пiдсумковим, то першочерговим постає питання про повторення,узагальнення та систематизацiю знань та вмiнь, набутих учнямив ходi вивчення роздiлу 3. Таке формулювання мети створює вiдпо�вiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.


Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв, їх роботу вчитель можеорганiзувати рiзними способами: або як самостiйну роботуз теоретичним матерiалом (наприклад, за пiдручником або законспектом запропонувати учням повторити змiст основнихпонять теми або ж скласти схему, що вiдображає логiчнийзв’язок мiж основними поняттями теми); можна провестиопитування (у формi iнтерактивної вправи) за основними пи�таннями теми.

Контрольнi запитання до теми

1. Що називається функцiєю? Якi ви знаєте способи задання функцiї?

2. Що називається областю визначення та областю значень функцiї?

3. Що називається графiком функцiї?

4. Що називається нулями функцiї? Знайдiть нулi функцiї y x= −2 9.

Як знайти нулi функцiї, заданої графiчно?

5. Яка функцiя називається зростаючою; спадною на промiжку? На�ведiть приклади.

6. Як, користуючись графiком функцiї y x= , побудувати графiк

функцiї:

1) y x= − ; 2) y x= − ; 3) y x= +3;

4) y x= +3; 5) y x= − +3 1; 6) y x= − + −1 1?


7. Яка функцiя називається квадратичною? Що є графiком квадра�тичної функцiї та як його побудувати? Якi нерiвностi назива�ютьcя квадратними?

8. Як розв’язуються квадратнi нерiвностi? Пояснiть це на прикладiнерiвностi x x2 3 4 0+ − < .

V. Повторення та систематизацiя вмiньЗазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб учнi самi склали та випро�бували узагальнену схему дiй, якої вони мають дотримувати�ся, розв’язуючи типовi завдання, подiбнi до яких будутьвинесенi на контроль.

Наприклад, типовими завданнями теми «Функцiї. Властивостiфункцiї. Функцiя y ax bx c= + +2 . Розв’язування квадратних нерiвнос�

тей» є завдання:

1. За графiком функцiї виконати дослiдження її властивостей: знайтиобласть визначення, область значень функцiї, нулi функцiї, промiж�ки її знакосталостi та промiжки, на яких функцiя зростає або спадає.

2. Побудувати графiк квадратичної функцiї, заданої рiвнянням вiд�повiдного виду, та виконати елементарне дослiдження цiєї функ�цiї аналiтично та за побудованим графiком.

3. Розв’язати квадратну нерiвнiсть (систему нерiвностей), викорис�тавши побудову графiка вiдповiдної квадратичної функцiї.

Пiсля складання списку основних видiв завдань учитель створюєробочi групи учнiв (за кiлькiстю видiв завдань), i завдання кожноїз груп формулюється як «Скласти алгоритм розв’язання завдання…»(кожна з груп отримує iндивiдуальне завдання). На складання алго�ритму кожнiй групi вiдводиться певний час, за який учасники по�виннi: скласти алгоритм, записати його у виглядi послiдовнихкрокiв, пiдготувати презентацiю своєї роботи. По закiнченнi вiдбу�вається презентацiя виконаної роботи кожною з груп. Пiсля презен�тацiї — обов’язкове випробування алгоритмiв, причому бажано, щобгрупи обмiнялись алгоритмами й перевiрили їх застосування не наодному, а на кiлькох завданнях. Пiсля випробування — обов’язковакорекцiя та пiдбиття пiдсумкiв.

VІ. Пiдсумки урокуПiдсумком уроку узагальнення та систематизацiї знань i вмiнь є,

по�перше, складенi самими учнями узагальненi схеми дiй пiд часрозв’язування типових завдань, по�друге, здiйснення необхiдної час�тини свiдомої розумової дiяльностi учнiв (рефлексiї) вiдображення


кожним учнем особистого сприйняття власних успiхiв, та найголо�внiше — проблем, над якими слiд ще попрацювати.



Умова домашньої контрольної роботи № 31. Функцiю задано формулою ( )f x x= − +2 4. Знайдiть:

1) значення аргументу, при якому ( )f x = −12; 2) ( )f 0 , f1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, ( )f −3 .

2. Запишiть рiвняння параболи, що утворюється з параболи y x= 2

унаслiдок паралельного перенесення вздовж осi абсцис на 3 оди�ницi праворуч, а потiм уздовж осi ординат на 5 одиниць униз.

3. Побудуйте графiк функцiї y x x= − − −2 6 5. Користуючись граф�

iком, визначте:1) область значень функцiї;2) множину значень аргументу, при яких виконується умова y< 0;3) промiжок зростання функцiї;4) коренi рiвняння − − − =x x2 6 5 3.

4. Розв’яжiть нерiвнiсть:1) x x2 4 21 0+ − > ; 2) 4 4 1 02x x+ + ≤ ; 3) ( )x x x x− + > −12 6 81 6 .

5. Знайдiть область визначення функцiї ( )f xx

xx= − − −67

3 272 .

6. Знайдiть, при яких значеннях a рiвняння ( )x a x2 6 4 0− − + = не має

дiйсних коренiв.


Мета: перевiрити рiвень знань та вмiнь учнiв, набутих у ходi ви�вчення теми.


Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗiбрати зошити iз виконаною домашньою контрольною роботою (ро�

боту перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).



Учитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботиє демонстрацiя учнями навчальних досягнень, а саме: показати знан�ня змiсту основних понять та алгоритмiв, вивчених у темi, а такожумiння застосовувати набутi знання пiд час виконання вправ.

ІV. Тематична контрольна робота № 3

Умова тематичної контрольної роботи № 3

Варiант 1

1. Функцiю задано формулою ( )f x x x= +1

232 . Знайдiть:

1) ( )f 2 , ( )f −1 ;

2) значення x, при якому ( )f x = 35, .

2. Запишiть рiвняння параболи, яка утвориться з параболи y x= − 2

унаслiдок паралельного перенесення вздовж осi абсцис лiворуч на2 одиницi й вниз уздовж осi ординат на 4 одиницi.

3. Побудуйте графiк функцiї ( )f x x x= + −2 2 3. Користуючись графi�

ком функцiї, знайдiть:

1) ( )f −4 ;

2) коренi рiвняння ( )f x = 3;

3) нулi функцiї;

4) промiжки знакосталостi;

5) область значень функцiї.


1) x x2 7 30 0− − < ; 2) x x2 6 9 0− + ≤ ; 3) x2 25< .

5. Знайдiть область визначення функцiї ( )f x x xx

= − +−

48

22 .

6. Знайдiть, при яких значеннях a рiвняння ( )x a x2 5 1 0+ + + = має

два рiзнi дiйснi коренi.

Варiант 2

1. Функцiю задано формулою ( )f x x x= +1

322 . Знайдiть:

1) ( )f 3 , ( )f −1 ;

2) значення x, при якому ( )f x = −2 5, .

2. Запишiть рiвняння параболи, яка утвориться з параболи y x= 2 2

унаслiдок паралельного перенесення вздовж осi ординат на 3 оди�ницi вгору й уздовж осi абсцис на 2 одиницi праворуч.


3. Побудуйте графiк функцiї ( )f x x x= + −3 2 2 . Користуючись графi�

ком функцiї, знайдiть:1) ( )f 4 ;2) коренi рiвняння ( )f x = −2;3) нулi функцiї;4) промiжки знакосталостi;5) область значень функцiї.

4. Розв’яжiть нерiвнiсть:1) x x2 10 16 0− + > ; 2) x x2 10 25 0+ + ≤ ; 3) x2 16> .

5. Знайдiть область визначення функцiї ( )f x x xx

= − −− −

2 53

1.

6. Знайдiть, при яких значеннях a рiвняння ( )x a x2 1 1 0+ + + = не має

дiйсних коренiв.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдо�ма (домашнiй аналiз контрольної роботи) зразки правильних розв’я�зань завдань контрольної роботи (заготовленi вчителем заздалегiдь).


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити означення рiвняння з двома змiнними та супутнiх по�

нять, а також поняття графiка лiнiйного рiвняння з двома змiнними(за довiдником 7 класу).


ІI. Системи рiвнянь другого степеняз двома змiнними (11 год)

Урок № 28Графiк рiвняння з двома змiнними

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:означення графiка рiвняння з двома змiнними;схеми дiй пiд час побудови графiка рiвняння з двома змiнними.Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивченого означення та алгоритму;застосовувати їх для розв’язування завдань на побудову графiкiврiвнянь з двома змiнними.Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань, формування

вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Рiвняння з двома змiнними

та його графiк».

Хiд уроку


Вступне слово вчителя про змiст навчального матерiалу цього ро�здiлу; кiлькiсть навчальних годин; орiєнтовна дата проведення тема�тичної контрольної роботи та вимоги до знань та вмiнь учнiв.


Учитель перевiряє виконаний учнями аналiз тематичної кон�трольної роботи № 3.


На цьому етапi уроку доречними будуть слова вчителя про те, щоматерiал попереднього роздiлу «Функцiя, властивостi функцiї» мо�же бути використаний не тiльки для розв’язування нерiвностей(квадратних нерiвностей, зокрема, та завдань, що передбачають роз�в’язання квадратних нерiвностей), але й для розв’язування iншихзадач. Якщо звернутися до матерiалу, вивченого учнями на урокахгеометрiї («Рiвняння фiгури в декартових координатах»), то стаєзрозумiлим, що функцiї та їх графiки є одним iз засобiв знаходжен�ня множин точок, координати яких задовольняють певне рiвнянняз двома змiнними. Таку задачу учнi вже розв’язували на уроках ал�гебри в 7 класi пiд час вивчення теми «Графiк лiнiйного рiвнянняз двома змiнними». Отже, на цьому уроцi першочерговим є питання


про доповнення i систематизацiю знань щодо змiсту поняття «графiкрiвняння з двома змiнними» та вмiнь виконувати побудову графiкарiвняння з двома змiнними, розв’язувати найпростiшi завдання найого застосування.



1)1

3

1

4x y+ , якщо x = 24, y = −16; 2) 2 5

1

3x y− + , якщо x = 1

2, y = −3;

3) x y2 23+ , якщо x = −1, y = −1

3.

2. Зведiть вираз до многочлена стандартного вигляду, визначте йогостепiнь:1) ( ) ( )2 1 32x x x+ − − ; 2) ( ) ( )4 5 4 9b b+ − + ;

3) ( )8 4 3 2a a− + ; 4) ( )( )x x− +2 11 .3. Що являє собою графiк функцiї:

1) yx

= 5; 2) y x− =2 2; 3) y x= +3 1; 4) y = 3?

4. Чи справджується наведена рiвнiсть при x = 1, y = 0:1) x y+ = 1; 2) xy x+ =3 ; 3) ( )y x+ =2 0?


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про змiст поняття «рiвняння з двома змiнними» та су�

путнi поняття.2. Означення графiка рiвняння з двома змiнними. Степiнь рiвняння

з двома змiнними.3. Схема дiй пiд час побудови графiка рiвняння з двома змiнними.

Основна частина навчального матерiалу уроку складаєтьсяз вiдомостей, якi учням знайомi з курсiв алгебри 7 i 8 класiв.На цьому уроцi проводиться повторення, узагальнення та сис�тематизацiя навчального матерiалу.

Конспект 18

Рiвняння з двома змiнними та його графiк

1. Поняття про рiвняння з двома змiнними

Рiвнiсть, яка мiстить двi змiннi, значення яких треба знайти, нази�вається рiвнянням з двома змiнними.


Приклади

x y2 2 25+ = , x y2 0− = , 20 5 1x y− = , xy = 3, x y x y+ = 3 2 2 — рiвняння з двома

змiнними.

2. Супутнi поняття

1) Якщо рiвняння з двома змiнними має вигляд

( )P x y; = 0, (1)

де ( )P x y; — многочлен стандартного вигляду вiд двох змiнних x i y, тостепенем рiвняння (1) називається степiнь многочлена ( )P x y; .

Приклад

x y2 2 25 0+ − = — рiвняння другого степеня;

x y x y+ − =3 02 2 — рiвняння четвертого степеня.

2) Розв’язком рiвняння з двома змiнними називають упорядковану парузначень змiнних ( )x y; , при яких рiвняння перетворюється на правильнучислову рiвнiсть.

Приклад

Пара ( )1 0; є розв’язком рiвняння x y2 1+ = , оскiльки при x = 1 і y = 0

дiстанемо правильну числову рiвнiсть.

3) Розв’язати рiвняння з двома змiнними означає знайти всi його розв’яз�ки або довести, що їх немає.

3. Графiк рiвняння з двома змiнними

Графiком рiвняння з двома змiнними x i y називається множина точок( )x y; координатної площини, де ( )x y; — розв’язок цього рiвняння.

4. Основнi види рiвнянь з двома змiнними та їх графiки

ax by c+ + = 0 — рiвняння прямої;

xy k= (k ≠ 0) або yk

x= — рiвняння гiперболи;

( ) ( )x a y b R− + − =2 2 2 — рiвняння кола з центром ( )a b; i радiусом R;

y ax= 2, y ax bx c= + +2 — рiвняння параболи.

5. Алгоритм побудови графiка рiвняння з двома змiнними

1) За необхiдностi виконати рiвносильнi перетворення рiвняння так, щобзвести його до вигляду одного з вiдомих рiвнянь з двома змiнними.

2) Виконати побудову графiка вiдповiдно до способiв побудови графiкiвелементарних функцiй.

Зауваження. Пiд час побудови графiка рiвняння з двома змiннимиможна використовувати вiдомi геометричнi перетворення графiкiвфункцiй.



Виконання усних вправ1. Визначте степiнь рiвняння:

1) xy y− =2 5; 2) x y2 2− = ; 3) x y2 23 0+ = .

2. Чи є розв’язком рiвняння x y2 10+ = пара чисел:

1) x = 3, y = 1; 2) ( )−2 6; ?3. Що являє собою графiк рiвняння:

1) x y2 2 4+ = ; 2) x y2 0+ = ; 3) xy = −4;

4) ( ) ( )x y+ + − =5 3 362 2

; 5) ( ) ( )x y+ + − =5 3 02 2

?

Виконання письмових вправ1. Побудуйте графiк рiвняння:

1) 2 3 6x y− = ; 2) x y2 2 9+ = ; 3) 2 02x y+ = ; 4) y x x= −2 6 .

2. Побудуйте графiк рiвняння:

1) ( ) ( )x y− + + =1 2 42 2

; 2) ( )x y+ + =3 52 2 ;

3) x y x2 4 3 0+ + + = ; 4) x y x y2 2 2 6 10 0+ − + + = .


1) y x+ − =4 02 ; 2) | |x y− = 2; 3) | |y x− =2 0; 4)( ) ( )

y x

x y

−

− + −=

2

2 22 4

0.


1. Яка пара чисел є розв’язком системи рiвняньx y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

2

3 4 9

,

?

2. Знайдiть розв’язки системи нерiвностей

( ) ( )( )( ) ( )( )2 10 3 8

3 6 4 5

x x

x x x x

+ > −

+ − > + −

⎧⎨⎩

,

.


Тестове завданняЯке з наведених рiвнянь вiдповiдає графiку,

що зображений на рисунку?А) y x− + =2 1 0;

Б) y x− − =2 1 0;

В) ( )y x− + =1 02

;

Г) ( )y x− − =1 02

.


y

01

x1 2


Вивчити означення, що були розглянутi на уроцi.Виконати вправи.

1. Побудуйте графiк рiвняння:1) x y− =2 2; 2) x y2 2 4+ = .


1) y x+ − =2 4 0; 2) ( )x y2 22 4+ + = .

3. Побудуйте графiк рiвняння:1) xy = 6; 2) x x y y2 22 10 10 0− + + + = ; 3) x y x2 3 2 0− − + = .

Повторити способи розв’язання систем лiнiйних рiвнянь з двомазмiнними.

Виконати вправу на повторення.Розв’яжiть систему рiвнянь (найбiльш зручним способом):

1)4 7 1

2 7 11

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;2)

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

3 24

8

,

.

Урок № 29Системи рiвнянь з двома змiнними. Графiчний спосiброзв’язання систем рiвнянь з двома змiнними

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:поняття «що означає розв’язати систему рiвнянь з двома змiнними»;поняття розв’язку системи рiвнянь з двома змiнними;схеми дiй (алгоритму) для знаходження розв’язку системи рiвняньз двома змiнними графiчним способом.Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивчених понять та алгоритму;застосовувати їх для виконання вправ на побудову графiкiв рiв�нянь з двома змiнними та графiчне розв’язування систем рiвняньз двома змiнними.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Системи рiвнянь з двома

змiнними».

Хiд уроку



Учитель органiзовує роботу учнiв з перевiрки виконання вправдомашнього завдання за зразком. Особливу увагу звертаємо на впра�


ви на повторення, коментуючи дiї, що були виконанi учнями пiд часрозв’язування систем рiвнянь, проводимо не тiльки актуалiзацiюопорних знань, але й створюємо вiдповiдну мотивацiю навчальноїдiяльностi.


Учитель звертає увагу учнiв на те, що у 7�му класi було введенопоняття «лiнiйне рiвняння з двома змiнними», пiсля чого розгляну�то питання не тiльки про побудову графiка лiнiйного рiвняння з дво�ма змiнними, але й поняття системи лiнiйних рiвнянь з двомазмiнними та способи розв’язання таких систем. За логiкою побудовививчення теми «Лiнiйне рiвняння з двома змiнними» виникає про�блема — оскiльки ми знаємо про iснування нелiнiйних рiвнянь з дво�ма змiнними та їх графiки, то можна дослiдити iснування поняттясистеми нелiнiйних рiвнянь з двома змiнними та способи їх розв’я�зання. Отже, на цьому уроцi слiд розглянути питання про системинелiнiйних рiвнянь та спосiб їх розв’язання за допомогою графiкiврiвнянь з двома змiнними. Останнє твердження виражає основну ди�дактичну мету цього й наступного урокiв.



1. Обчислiть значення виразу:

1) (–6+1,2) : (–0,8); 2) (0,1 – 0,8)2; 3)1

36

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

;

4)3

8

1

416−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅ ; 5) ( )( ) ( )0 6 0 6

4 3 10, : , ; 6) ( )( )2 1 2 1− + .

2. Через яку з наведених точок проходить графiк рiвняння

4 5 20x y+ = ?

1) ( )A 0 4;− ; 2) ( )B 1 3; ;

3) ( )C 5 6; ; 4) ( )D 3 2; .

3. Укажiть якi�небудь два розв’язки рiвняння:

1) xy = 6; 2) ( )( )x y− + =3 2 0;

3) x y2 2 0− = ; 4) ( ) ( )x y2 2 21 2 0− + + = .

4. Пояснiть як розв’язати систему рiвнянь:

1)x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

3

1

,

;2)

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

2 5

3 7 17

,

.


5. На рисунку зображено прямi, заданiрiвняннями

x y+ = 2 , (1)

y x= , (2)

y x= +2. (3)

Скiльки розв’язкiв має система рiвнянь:

1)x y

x y

+ ==

⎧⎨⎩

2,

;2)

x y

y x

+ ==

⎧⎨⎩

2,

?

Знайдiть розв’язки, якщо такi є.


План вивчення нового матерiалу1. Поняття системи рiвнянь з двома змiнними та її розв’язку. Що

означає «розв’язати систему рiвнянь з двома змiнними».2. Як розв’язати систему рiвнянь з двома змiнними графiчним спо�

собом.Матерiал, що винесений для вивчення на урок, не є новим дляучнiв. Але, як показує досвiд, деякi учнi формально сприйма�ють поняття розв’язку системи рiвнянь та алгоритм їх графiчно�го способу розв’язання, тому бажано провести роботу над свiдо�мим засвоєнням цих понять i алгоритму. Розв’язування системрiвнянь за допомогою графiкiв рiвнянь з двома змiнними дозво�ляє наочно обґрунтувати кiлькiсть розв’язкiв системи рiвняньi готує учнiв до усвiдомленого розумiння методiв роботи з пара�метрами. Матерiал цього та наступного урокiв дає можливiстьповторити широке коло питань курсу алгебри дев’ятирiчноїшколи й деякi питання курсу геометрiї. Успiшному засвоєннюзнань сприятиме пiдготовча робота з повторення основних по�нять попереднього уроку та питань, розглянутих у 7 класi пiдчас вивчення систем лiнiйних рiвнянь з двома змiнними.



1. Чи є розв’язком системи рiвняньx y

xy

2 2 17

4

+ ==

⎧⎨⎩

,пара чисел:

1) x = −1, y = 4; 2) ( )14; ?

2. Вiдомо, що система рiвнянь( )( )

y P x

y Q x

=

=

⎧⎨⎩

,має три розв’язки. Скiльки

точок перетину мають графiки рiвнянь?


y

0

1

x1 2

(1)(2)

(3)

–2

Конспект 19

Системи рiвнянь з двома змiнними

1. Якщо необхiдно знайти спiльнi розв’язки двох (i бiльше) рiвняньз двома змiнними, то кажуть, що треба розв’язати систему рiвняньз двома змiнними.

Розв’язком системи рiвнянь називається впорядкована пара значеньзмiнних, таких, що задовольняють одразу всi рiвняння системи.

Розв’язати систему рiвнянь означає знайти всi її розв’язки або довести,що їх немає.

Якщо система не має розв’язкiв, то її називають несумiсною.

2. Графiчне розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними.

1) Виконуємо рiвносильнi перетворення системи так, щоб зручно було бу�дувати графiки рiвнянь, що входять у систему.

2) Будуємо графiки i знаходимо координати точок перетину побудованихлiнiй. Цi координати i є розв’язками заданої системи рiвнянь.

Виконання письмових вправ1. Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)x y

y x

+ =

=⎧⎨⎩

22

,

;2)

x y

x y

− =

+ =⎧⎨⎩

2

42 2

,

;3)

x y

y x

2 2

2

1

1

+ =

= +

⎧⎨⎩

,

.

2. Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)y x x

x y

− − =− = −

⎧⎨⎩

2 2 0

2

,

;2)

x y

x y

2

2 2

1 0

5

− = =

+ =

⎧⎨⎩

,

;3)

x y

x y

2 0

0

− =

− =

⎧⎨⎩

,

.

3. Використовуючи графiки рiвнянь, знайдiть кiлькiсть розв’язкiвсистеми рiвнянь:

1)y x x

x y

= − +

+ =

⎧⎨⎩

2

2 2

2 2

4

,

;2)

x y

xy

2 2 9

1

+ ==

⎧⎨⎩

,

;3)

xy

y x

= −

= −⎧⎨⎩

1

4 2

,

.


1)( )x y

xy

+ + =

=

⎧⎨⎩

1 0

2

2,

;2)

( )x y

x y

− + =

− =

⎧⎨⎩

2 25

1

2 2 ,

.

5. Зобразiть схематично графiки рiвнянь та визначте кiлькiсть роз�в’язкiв системи рiвнянь:

1)y x

y x

== −

⎧⎨⎩

,

;42)

y x

y x

= −

= −

⎧⎨⎩

2

2

5

6

,

;3)

x y

y x

2 2

2

4

2

+ =

= −

⎧⎨⎩

,

;4)

xy

y x

=

= +⎧⎨⎩

5

0 5 12

,

, .

Виконання письмових та усних вправ уроку дозволяєне тiльки сформувати вмiння розв’язувати системи рiвнянь


графiчним способом, але й дає можливiсть повторити великукiлькiсть питань, вивчених у 7–9 класах (графiки функцiй,перетворення виразiв, а також геометричнi перетворенняграфiкiв функцiй). Щоб це повторення було бiльш ефектив�ним, бажано постiйно вимагати вiд учнiв усних коментарiвусiх побудов.



Яку з наведених систем рiвнянь можна розв’язати за допомогоюрисунка?

А)( ) ( )y x

x y

= − +

− + + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2 2

3

3 1 9

,

;

Б)( ) ( )y x

x y

= − +

+ + + =

⎧⎨⎩

3

3 1 92 2

,

;

В)y x

x y

2 2 9

2

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

;

Г)( ) ( )y x

x y

= − +

− + + =

⎧⎨⎩

3

3 1 92 2

,

.


Вивчити змiст понять та алгоритмiв уроку (див. конспект 19).



1)2 0

2

x y

y x

− =

=⎧⎨⎩

,

;2)

x y

x y

2 2 9

3

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

;3)

x x y

x y

2 2 0

2

− − =+ =

⎧⎨⎩

,

;4)

y x

y x

= −

− =

⎧⎨⎩

2 1

0

2 ,

.



1. Розв’яжiть систему рiвнянь:

1)3 15

2 12

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;2)

7 3 17

4 3 5

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

,

.

2. Пряма y kx b= + проходить через точки ( )C − −3 11; i ( )D 15 2, ;− . За�пишiть рiвняння цiєї прямої.


y

0 x

Урок № 30Системи рiвнянь з двома змiнними. Графiчний спосiброзв’язання систем рiвнянь з двома змiнними

Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями:означення графiка рiвняння з двома змiнними;означення системи рiвнянь з двома змiнними;означення розв’язку системи рiвнянь з двома змiнними;алгоритмiв побудови графiка рiвняння з двома змiнними та гра�фiчного способу розв’язання системи рiвнянь з двома змiнними.Працювати над формуванням навичок виконувати побудову

графiка рiвняння з двома змiнними, а також знаходити розв’язкисистеми рiвнянь з двома змiнними графiчним способом.

Тип уроку: застосування знань, формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 18,19.

Хiд уроку




Правильнiсть виконання вправ домашнього завдання пере�вiряється пiд час проведення тестової роботи за змiстом типових за�вдань домашньої роботи.



xy

2 2 3

2

− == −

⎧⎨⎩

,?

А) ( )− −2 1; ; Б) ( )2 1; ; В) ( )−2 1; ; Г) ( )−1 2; .

2. Для якої з наведених системрiвнянь зображено рисунок дляграфiчного способу її розв’язан�ня?

А)x y

xy

2 2 3

4

+ ==

⎧⎨⎩

,

;; Б)

x y

xy

2 2 9

4

+ ==

⎧⎨⎩

,

;;

В)x y

xy

2 2 9

4

− ==

⎧⎨⎩

,

;; Г)

x y

xy

2 2 3

4

− ==

⎧⎨⎩

,

.


y

0 x3

3

3. Розв’яжiть систему рiвняньx y

x y

2 2 4

2

+ =− = −

⎧⎨⎩

,графiчним способом.

Варiант 2


xy

2 2 3

2

− ==

⎧⎨⎩

,

?

А) ( )12; ; Б) ( )−2 1; ; В) ( )2 1;− ; Г) ( )2 1; .2. Для якої з наведених систем рiвнянь зображено рисунок для гра�

фiчного способу її розв’язання?

А)x y

xy

2 0

1

− ==

⎧⎨⎩

,

;

Б)x y

x

y

2 0

1

− =

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

;

В)x y

xy

2 2 0

1

− ==

⎧⎨⎩

,

;

Г)x y

xy

2 0

1

+ ==

⎧⎨⎩

,

.

3. Розв’яжiть систему рiвняньxy

x y

=− =

⎧⎨⎩

4

0

,графiчним способом.


Проаналiзувавши результати виконання тестової роботи, вчительразом iз учнями формулює завдання на урок: працювати над подаль�шим засвоєнням набутих на попереднiх двох уроках знань та вдоско�налити вмiння, довiвши їх до рiвня навичок, розв’язувати гра�фiчним способом системи рiвнянь.

ІV. Вiдтворення опорних знань

Контрольнi запитання

1. Що називають розв’язком рiвняння з двома змiнними x i y?

2. Що називають графiком рiвняння з двома змiнними? Як побуду�вати графiк рiвняння з двома змiнними?

3. Що є графiком рiвняння:

1) y x= −2 1; 2) y x= +1; 3) ( ) ( )x y+ + − =1 1 12 2

; 4) xy = 1?

4. Що називають розв’язком системи рiвнянь з двома змiнними? Щоозначає розв’язати систему рiвнянь з двома змiнними?


y

0 x1

5. Опишiть дiї, якi слiд виконати для графiчного розв’язання систе�ми рiвнянь з двома змiнними?

VІ. Удосконалення вмiнь

Виконання письмових вправ1. Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)| |x y

x y

− =

+ =

⎧⎨⎩

0

22

,

;2)

( )( )x y

x y

2 2

2 2

3 9

3 9

+ − =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.

2. Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь| |x y

x y

− =

+ =

⎧⎨⎩

1

12 2

,

.

3. Зобразiть схематично графiки рiвнянь та визначте кiлькiсть роз�в’язкiв системи рiвнянь:

1)y x

y x

= −= +

⎧⎨⎩

,

;12)

y x

y x

= −

= −

⎧⎨⎩

3 1

1 4

2

2

,

;3)

x y

y x

2 2

2

25

5

+ =

= +

⎧⎨⎩

,

;

4)xy

y x

= −

= −⎧⎨⎩

8

4 0 3 2

,

, ;5)

( )x y

y x

2 2

2

2 16

2 2

+ − =

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

;6)

| |y x

y x x

= −

= + −

⎧⎨⎩

,

.2 4 1

4. Скiльки розв’язкiв має система рiвнянь залежно вiд значень па�раметра a?

1)x y

y a x

2 2 2+ == −

⎧⎨⎩

,

;2)

| |x y a

y x

2 2 2

3

+ =− =

⎧⎨⎩

,

.

Запропонований змiст завдань є орiєнтовним i вибiр рiвня їхскладностi залежить вiд засвоєння учнями матерiалу попе�реднього уроку. Незалежно вiд рiвня складностi завдань, го�ловна вимога до знань та вмiнь — точне вiдтворення учнямиозначень та алгоритмiв, якi використовуються ними пiд часрозв’язування завдань, та аргументацiя дiй. Якщо учнi класумають достатню математичну пiдготовку, то бажано розв’яза�ти завдання з параметрами.


На цьому етапi доречно узагальнити й систематизувати знання тавмiння, яких учнi набули протягом останнiх трьох урокiв.


Вивчити змiст теоретичного матерiалу урокiв № 28–30.Виконати домашню самостiйну роботу.


Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)y x x

y x

= − += −

⎧⎨⎩

2 2 3

3 1

,

;2)

x y

x y

2 6

6

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;

3)x y

xy

2 2 25

12

+ == −

⎧⎨⎩

,

;4)

x y

y x a

2 2 1+ == +

⎧⎨⎩

,залежно вiд параметра a.

Варiант 2Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)y x x

y x

= − += −

⎧⎨⎩

2 4 3

3

,

;2)

x y

x y

2 2

4

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;

3)x y

xy

2 2 25

12

+ ==

⎧⎨⎩

,

;4)

x y

y x a

2 2 4+ == −

⎧⎨⎩

,залежно вiд параметра a.


Розв’яжiть систему рiвнянь

7 1

4

2 3

3

3 5

25 3

3

5

23

x x x y

x y x yx y

− − + = −

− + + = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

способом додавання та способом пiдстановки.

Урок № 31Розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними

Мета: сформувати знання учнiв про:спосiб класифiкацiї систем рiвнянь з двома змiнними за степенемрiвнянь, що входять до їх складу;стандартний спосiб розв’язання систем рiвнянь з двома змiнними,в яких одне з рiвнянь є лiнiйним, а iншi — нелiнiйними.Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивченого на уроцi матерiалу;виконувати дiї вiдповiдно до алгоритму розв’язання систем рiв�нянь способом пiдстановки пiд час розв’язування систем рiвняньз двома змiнними, в яких одне з рiвнянь є лiнiйним, а iнше — не�лiнiйним.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь та навичок.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Розв’язування систем рiв�нянь з двома змiнними».

Хiд уроку



Зiбрати зошити учнiв iз виконаною домашньою самостiйною ро�ботою. У разi необхiдностi роздати учням зразки правильних розв’я�зань для самостiйного опрацювання вдома.


З метою усвiдомлення учнями необхiдностi вивчення нового ма�терiалу запропонуємо їм таке завдання.

Завдання. Розв’яжiть графiчно систему рiвняньx y

x y

2 2 1+ ==

⎧⎨⎩

,

.

Побудова вiдповiдних графiкiв є нескладною задачею для учнiв.Що ж стосується знаходження розв’язкiв цiєї системи рiвнянь, товиникає проблема — не можна встановити точне значення кожноїкоординати точок перетину графiкiв. Отже, треба шукати iншi шля�хи розв’язання систем рiвнянь, оскiльки графiчний спосiб має одинсуттєвий недолiк — неточнiсть. Актуальнiсть вивчення теми урокуприродно випливає з наведених стислих мiркувань. Необхiднiстьвивчення iнших способiв розв’язання систем рiвнянь обумовлена та�кож обмеженiстю використання графiчного способу — учнi вмiютьбудувати графiки деяких елементарних функцiй. А тому постає пи�тання про наявність iнших, бiльш точних та унiверсальних способiврозв’язання систем рiвнянь з двома змiнними та опанування їх. Та�ким чином, формулюється загальне завдання на наступнi три уроки.Мета цього уроку бiльш конкретна — вивчити питання про застосу�вання до розв’язування систем рiвнянь уже вiдомих учням способiвпiдстановки та додавання.


Виконання усних вправ1. Виконайте дiї:

1)4

100

7

1000+ ; 2) 36 0 49⋅ , ; 3) ( )( )5 2 5 2− + ;

4)48

3; 5) 78 : 76; 6) –2,4 : 0,8 + 1,6.



1) − ⋅35 24 2, x x ; 2)m m

m

2 3

3

−−

; 3)b b

b

5 7

6;

4) ( ) ( )x x x+ − −2 2 1 ; 5) ( )−3 2 3mn ; 6) ( )b b4 8 16: .


1) x x2 0+ = ; 2) x x2 100= ; 3)x

x

2 4

20

−+

= ; 4)x x

x x

2

2

12

5 60

+ −− +

= .

4. Визначте степiнь рiвняння:1) xy y+ =3 0; 2) x y2 0− = ; 3) x y x2 2 3+ = .


Змiст навчального матерiалу уроку складається з двох час�тин. Перша частина — це твердження про те, що системирiвнянь з двома змiнними, в яких одне з рiвнянь є рiвняннямпершого степеня, а друге рiвняння — нелiнiйне, можуть бутирозв’язанi способом пiдстановки. Змiст словосполучення «мо�жуть бути розв’язанi» необхiдно пояснити. Друга частина —демонстрацiя застосування способу пiдстановки на прикладiконкретної системи рiвнянь з двома змiнними. Як свiдчитьдосвiд, матерiал уроку добре засвоюється учнями, тому пiслярозв’язання системи рiвнянь способом пiдстановки слiд щераз сформулювати схему дiй у подiбних до розглянутої ситу�ацiях i починати роботу з формування вмiнь розв’язувати сис�теми рiвнянь способом пiдстановки.

Конспект 20

Розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними

1. Основнi способи розв’язання систем рiвнянь з двома змiнними:

1) спосiб пiдстановки;

2) спосiб алгебраїчного додавання;

3) замiна змiнних.

Якщо в системi рiвнянь з двома змiнними одне з рiвнянь є рiвняннямпершого степеня, то таку систему можна розв’язати способом пiдстанов�ки. Для цього треба:

1) виразити з рiвняння першого степеня одну змiнну через iншу;

2) пiдставити здобутий вираз у друге рiвняння системи замiсть вiдпо�вiдної змiнної;

3) розв’язати рiвняння;

4) знайти вiдповiдне значення другої змiнної.


Приклад. Розв’язати систему рiвнянь3 2

3 282 2

x y

x y

− =

+ =⎧⎨⎩

,

.


1) Оскiльки перше рiвняння системи — рiвняння першого степеня, то ви�разимо з нього y через х: y x= −3 2.

2) Пiдставимо в друге рiвняння замiсть y вираз 3 2x − , маємо:

( )3 3 2 282 2x x+ − = , 3 9 12 4 282 2x x x+ − + = , x x2 2 0− − = ,

звiдки x1 1= − , x2 2= .

3) За формулою y x= −3 2 знаходимо вiдповiднi значення змiнної y:

якщо x1 1= − , то y1 5= − ; якщо x2 2= , то y2 4= .

Вiдповiдь. ( )− −1 5; , ( )2 4; .


Виконання усних вправ1. Серед наведених систем рiвнянь знайдiть такi, якi зручно розв’я�

зувати способом пiдстановки:

1)x y

x y

+ =

+ =⎧⎨⎩

1

52 2

,

;2)

( )( )

xy x y

xy x y

+ + =

− + =

⎧⎨⎩

3

2 6

,

;3)

3 5

2

2

2

x y

y y

− =

+ =

⎧⎨⎩

,

.


1) ( )( )x y

x y

+ =− + =

⎧⎨⎩

0

1 1 0

,

;2) ( )

x y

y x y

− =− =

⎧⎨⎩

3 5

3 15

,

;3)

x y

xy

2 2 4

0

+ ==

⎧⎨⎩

,

.

Виконання письмових вправ1. Розв’яжiть систему рiвнянь:

1)y x

y x

= −

=⎧⎨⎩

3 22

,

;2)

x y

xy y

= ++ =

⎧⎨⎩

2 1

4

,

;3)

3 7

2

2 2x y

y x

+ ==

⎧⎨⎩

,

.


1)x y

x y y

+ + =

+ + =⎧⎨⎩

1 0

3 2 92

,

;2) ( )( )

2 1

1 2 3 22

x y

x y x xy

− =

− + + + =⎧⎨⎩

,

;

3)

x y

x y

+ =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4

5 31

,

;4)

2 5

4 12

x y

x

x y x

− =

++ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.



1)x y

y xy

= +

− =⎧⎨⎩

2

2 32

,

;2)

x y

xy

+ ==

⎧⎨⎩

7

12

,

;3)

y x

x xy y

+ =

+ − =⎧⎨⎩

4 6

3 32 2

,

;

4)x xy y

y x

2 16

3 14

− + =− =

⎧⎨⎩

,

;5)

2 3 3

3 4 182

x y

y x

+ =

− =⎧⎨⎩

,

;6) ( )( )

5 7

4 5 4

x y

x y

+ = −+ − = −

⎧⎨⎩

,

.

4. Не виконуючи побудови, знайдiть координати точок перетину:

1) прямої y x= −3 i параболи y x x= − +2 4 3;

2) прямої x y− + =2 2 0 i кола ( )x y2 21 5+ − = ;

3) прямої x y+ − =2 5 0 i кола ( ) ( )x y− + − =1 2 52 2

;

4) парабол y x x= − +2 3 12 i y x x= − + −2 1.

Виконання вправи на повторення

Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)xy

x y

=+ =

⎧⎨⎩

8

6

,

;2)

x y

xy

2 2 13

6

+ == −

⎧⎨⎩

,

.

Вправи, що запланованi для розв’язування на уроцi, мають наметi, по�перше, сформувати в учнiв умiння видiляти серед сис�тем рiвнянь системи, в яких є одне лiнiйне рiвняння, а другеможе бути нелiнiйним. По�друге, цi завдання сприяють фор�муванню сталих умiнь виконувати дiї вiдповiдно до алгорит�му i дають можливiсть вдосконалити графiчнi навички та на�вички роботи iз формулами, а також розвивають графiчнукультуру учнiв. Пiд час виконання запропонованих вправ ба�жано вимагати вiд учнiв обґрунтованих коментарiв.



Чи має система рiвнянь розв’язки?

1)x y

x y

2 2 3

3 10 17 5

+ = −+ =

⎧⎨⎩

,

, ;2)

y x

xy

== −

⎧⎨⎩

,

;23)

y

x y

=

+ =⎧⎨⎩

2

12 2

,

.


Вивчити змiст основних тверджень, розглянутих на уроцi (див.конспект 20, п 1).




1)y x

xy x

= +

=⎧⎨⎩

12

,

;2)

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

2 9

2 9

,

;3)

2 2

2 0

x y

xy y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

.


1)x y

x xy y

+ =

− =⎧⎨⎩

6

22 2

,

;2) ( )( )

x y

x y xy

− =+ − =

⎧⎨⎩

4 3

2 1 1 6

,

;3)

x y

x y

− =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

2 34

,

.


Скiльки розв’язкiв має система рiвнянь

| |x y a

y

2 2 2

5

+ ==

⎧⎨⎩

,

залежно вiд значень параметра a?Повторити схему розв’язання систем лiнiйних рiвнянь з двома

змiнними способом додавання, схему графiчного розв’язання системрiвнянь з двома змiнними (можливо системи з параметром).


Мета: сформувати в учнiв умiння розв’язувати системи не�лiнiйних рiвнянь з однiєю змiнною способами алгебраїчного додаван�ня, замiною змiнних, *почленного дiлення, а також *застосуваннямтеореми, оберненої до теореми Вiєта. Продовжити роботу з форму�вання вмiнь розв’язувати системи, в яких одне з рiвнянь є рiвняннямпершого степеня, способом пiдстановки.

Повторити способи розкладання многочленiв на множники таспособи розв’язання квадратних та дробово�рацiональних рiвнянь.

Тип уроку: формування вмiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект 20 (п.2).

Хiд уроку




З метою урiзноманiтнення форм роботи перевiрку домашнього за�вдання можна провести у виглядi гри «Знайди помилку».



Необхiднiсть вивчення питання про способи розв’язання не�лiнiйних систем рiвнянь стає очевидною, якщо запропонувати учнямвиконати два завдання.

Завдання 1. Опишiть дiї пiд час розв’язування системи рiвнянь,одне з яких є рiвнянням першого степеня.

Завдання 2. Повторiть тi самi дiї для розв’язування системи,в якiй обидва рiвняння не є лiнiйними.

Труднощi, якi обов’язково виникнуть пiд час спроби виконаннязапропонованих дiй (систему бажано пiдiбрати таким чином, щоб цiтруднощi були очевидними), вкажуть учням, що спосiб пiдстановкине є унiверсальним. А тому першочерговим є питання про оволодi�ння iншими, крiм способу пiдстановки, способами розв’язання сис�тем рiвнянь з двома змiнними. Ця думка виражає основну дидактич�ну мету уроку.




1) ( )( )x x− +7 9 ; 2) 0 41

43 5 2, a b ab⋅ ; 3) ( )x x− +2 4

2;

4)mn n

mn

− 2

; 5) ( )m m5 2 6⋅ ; 6) ( )0 5 5 2

, m ; 7) ( ) ( )6 5 6 5b b− + − .


1) 0 4 12 0, x− = ; 2) 3 12 02x − = ; 3) − =25

6

17

18x ; 4) 9 4 52x x− = .


y x

− =

− =⎧⎨⎩

2 0

3 02

,

?

1) (2;1); 2) (–4; –2); 3) (2;4); 4) (12; 6).

Якими способами можна розв’язати цю систему?


1)7 2 11

2 13

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;2)

3 13

0 2 3

y x

y x

+ = −− = −

⎧⎨⎩

,

, ;

3)3 15

2 12

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;4)

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

3 24

8

,

.



План вивчення нового матерiалу1. Розв’язування систем нелiнiйних рiвнянь з двома змiнними спо�

собом алгебраїчного додавання.2. Розв’язування систем нелiнiйних рiвнянь з двома змiнними за�

мiною змiнних.3*. Розв’язування систем нелiнiйних рiвнянь з двома змiнними спо�

собом почленного дiлення.4*. Розв’язування систем нелiнiйних рiвнянь з двома змiнними за�

стосуванням теореми, оберненої до теореми Вiєта.Матерiал цього уроку є основою для подальшого вивченняспособiв розв’язання систем тригонометричних, показнико�вих, логарифмiчних та iррацiональних рiвнянь. Як вiдомо,основними способами розв’язання зазначених систем є спосiбпiдстановки i спосiб замiни змiнних. Отже, вивчення способiвпiдстановки й замiни змiнних та оволодiння навичками їх ви�користання є обов’язковими для учнiв 9 класу. Проте оволодi�ння iншими способами розв’язання систем рiвнянь (наведенiв конспектi 20) суттєво розширює спектр засобiв, якi допомо�жуть майбутнiм випускникам бiльш рацiонально розв’язува�ти вiдповiднi задачi пiд час виконання завдань ДПА (див., на�приклад, розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними задопомогою теореми, оберненої до теореми Вiєта).

На цьому уроцi розв’язування систем нелiнiйних рiвнянь з двомазмiнними рiзними способами проводиться на конкретних прикладахi фактично спирається на тi знання про властивостi систем, якихучнi набули в 7 класi пiд час вивчення способiв розв’язання системлiнiйних рiвнянь з двома змiнними. Отже, з метою кращого розумi�ння учнями змiсту дiй бажано повторити основнi властивостi рiвно�сильних систем, алгоритм розв’язання систем лiнiйних рiвнянь спо�собом додавання, а також способи розв’язання основних видiврацiональних рiвнянь.

Зауважимо, що свiдомому опануванню учнями вивчених способiврозв’язання систем нелiнiйних рiвнянь з двома змiнними сприятимепояснення вчителя про те, що всi способи спрямованi на перехiд вiдзаданої системи нелiнiйних рiвнянь до системи рiвнянь, в яких хочаб одне з рiвнянь є лiнiйним.



Конспект 20 (продовження)

Розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними

2. Розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними, якщо обидва рiвнян>ня є нелiнiйними

Спосiб алгебраїчного додавання.

Приклад. Розв’язати систему рiвняньx y

xy

2 2 10

3

+ ==

⎧⎨⎩

,

.

Розв’язання. 1) Помножимо обидвi частини другого рiвняння на 2, дода�мо до першого та вiднiмемо вiд нього, дiстанемо:

x xy y

x xy y

2 2

2 2

2 16

2 4

+ + =

− + =⎧⎨⎩

,

;

( )( )

x y

x y

+ =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

16

4

,

;

x y

x y

x y

x y

+ =+ = −

⎡

⎣⎢

− =− = −

⎡

⎣⎢

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4

4

2

2

,

;

,

.

Систему здобутих сукупностей можна замiнити на сукупнiсть системрiвнянь:

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

+ =− = −

⎧⎨⎩

+ = −− =

⎧⎨⎩

+

4

2

4

2

4

2

,

;

,

;

,

;

= −− = −

⎧⎨⎩

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

4

2

,

.x y

Розв’язавши кожну iз систем, дiстанемо вiдповiдь.

Вiдповiдь. (1; 3), (3; 1), (–1; –3), (–3; –1).

Приклад. Розв’язати систему рiвнянь

xyx

y

xyx

y

− =

+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

32

14

,

.

Розв’язання. Зробимо замiну: xy u= ,x

yv= . Дiстанемо систему лiнiйних

рiвняньu v

u v

− =+ =

⎧⎨⎩

3

3 2 14

,

,розв’язком якої є u = 4, v = 1. Повернувшись до за�

мiни, маємо:

xy

x

y

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

4

1

,

;

xy

x y

==

⎧⎨⎩

4,

.Розв’язавши останню систему способом

пiдстановки, знайдемо: x1 2= , y1 2= , x2 2= − , y2 2= − .

Вiдповiдь. ( )2 2; ; ( )− −2 2; .

Приклад. Розв’язати систему рiвняньx xy

y xy

+ =− =

⎧⎨⎩

2 5

3 2 2

,

.

Розв’язання. Додамо до першого рiвняння системи друге рiвняння, дiста�немо: x y+ =3 7, звiдки x y= −7 3 . Пiдставивши замiсть x вираз 7 3− y удруге рiвняння системи, маємо:

( )3 2 7 3 2y y y− − = ; 3 14 6 2 02y y y− + − = ; 6 11 2 02y y− − = ;

y1

1

6= − , y2 2= . x1 7 3

1

67

1

2= − ⋅ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= , x2 7 3 2 1= − ⋅ = .

Вiдповiдь. 71

2

1

6;−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

, ( )1 2; .

V. Застосування вмiнь та навичок


1. Розв’яжiть систему рiвнянь способом додавання:

1)x y

x y

2 2

2 2

25

7

+ =

− =

⎧⎨⎩

,

;2)

2 11

1 12

x y

x y

− =

+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

;

3)x y xy

x y xy

+ + =+ − =

⎧⎨⎩

2 10

2 2

,

;

4)x x y

x x y

2

2

2 5

2 6

+ − =

+ − =

⎧⎨⎩

,

;5)

x y

xy

2 2 26

5

+ ==

⎧⎨⎩

,

;6)

xy x

y xy

+ =− =

⎧⎨⎩

2 5

3 6

,

.

2. Розв’яжiть систему рiвняння замiною змiнних:

1)xy

y

x

xyy

x

− =

− =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

1

23

6

,

;

2)

5

3 2

2

221

9

3 2

8

240

x y x y

x y x y

−+

+=

−+

==

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

.


x xy y

3 3

2 2

56

28

− =

+ + =

⎧⎨⎩

,способом почленного

дiлення.


Контрольне запитання

Розгляньте кожне з рiвнянь системи та визначте, яким способомможна розв’язати систему рiвнянь:

1)x y

y x

2 2 5

1

+ =− =

⎧⎨⎩

,

;2)

x y

xy

2 29 13

2

+ ==

⎧⎨⎩

,

;3)

x y

y x

2 2

2

8

2

+ =

− = −

⎧⎨⎩

,

.



За конспектом 20 повторити, якi способи дiй можна застосовува�ти пiд час розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними.

Виконати вправи.1. Розв’яжiть систему рiвнянь:

1)x y

x xy y

+ =

− =⎧⎨⎩

6

22 2

,

;2) ( )( )

x y

x y xy

− =+ − =

⎧⎨⎩

4 3

2 1 1 6

,

;3)

x y

x y

− =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

2 34

,

;4)

x xy

x xy

2

2

10

2

+ =

− = −

⎧⎨⎩

,

;

5)x y

x y y

+ =

− − = −

⎧⎨⎩

2

2

5

2 4

,

;6)

x xy y

x y

2 22 4

4 3 1

− + =+ =

⎧⎨⎩

,

;7) ( )

x y xy

xy x y

+ − =+ =

⎧⎨⎩

7

8

,

.

2. Розв’яжiть систему рiвнянь графiчним способом:

1)y x x

y x

= − += −

⎧⎨⎩

2 2 3

3 1;2)

( )x y

x y

+ + =

+ + =

⎧⎨⎩

2 10

2 9 0

2 2 ,

.

Повторити поняття графiка рiвняння з двома змiнними та схемудiй пiд час побудови графiка рiвняння з двома змiнними.


Мета: працювати над свiдомим засвоєнням учнями знань прорiзнi способи розв’язання систем рiвнянь з двома змiнними та випад�ки їх застосування.

Продовжити формування вмiння:за видом системи визначати оптимальний спосiб її розв’язання;описувати дiї вiдповiдно до обраного способу розв’язання системирiвнянь з двома змiнними;виконувати дiї вiдповiдно до рiзних способiв розв’язання системрiвнянь з двома змiнними рiзних видiв.Тип уроку: формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 20.

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗ метою свiдомої роботи учнiв на цьому етапi можна провести пе�

ревiрку виконання вправ домашнього завдання за зразком правиль�них розв’язань.



Оскiльки на попередньому уроцi учням було надано досить вели�кий об’єм навчального матерiалу, то основна мета уроку полягаєв подальшому його засвоєннi та формуванні сталих умiнь та навичокзастосовувати знання до розв’язування систем рiвнянь з двомазмiнними, а також вправ, що передбачають складання та розв’язан�ня систем рiвнянь з двома змiнними.



1. Обчислiть значення виразу:

1) ( )( )2 3 2 3− + ; 2) (74)5: 718;

3)a2

9при a = 3 2; 4) (–0,8+3,8)3.

2. Розкладiть на множники вираз:

1) a2 25− ; 2) b b3 5− ; 3) 9 12 42c c− + ; 4) x x2 5 6− + .

3. Чи має система рiвнянь розв’язки?

1)x y

y x

2 2

2 2

0

1

+ =

= +

⎧⎨⎩

,

;2)

( )y x

x y

=

+ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2 23 4

,

;3)

xy

x

==

⎧⎨⎩

2

0

,

.




1)x y

xy

+ ==

⎧⎨⎩

5

6

,

;2)

2 5

32

x y

x y

+ =

− =⎧⎨⎩

,

;3)

x y

x y

2 2 16

8

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;

4)x xy

xy y

2

2

10

15

+ =

+ =

⎧⎨⎩

,

;5)

x y

xy

2 2 5

2

+ ==

⎧⎨⎩

,

;6)

x

y

y

x

x y

+ =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

5

2

3

,

;

7)x xy y x y

x y

2 24 4 2 5

2 1

− + = −− =

⎧⎨⎩

,

;8)

x y x y

x y

2 2 2 2 11

5

+ + − =+ =

⎧⎨⎩

,

.

2. Розв’яжiть систему рiвнянь

( )x y

x y

x y

x y

x xy y

+−

−−+

=

− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

21

5 2 42 2

,

.


3*. Знайдiть усi значення a, при яких система рiвнянь має заданукiлькiсть розв’язкiв:

1)y x

x y a

+ =

− =⎧⎨⎩

2 3

3 2

,один розв’язок; 2)

x y

x y a

2 2 1+ =+ =

⎧⎨⎩

,два розв’язки;

3)| |y x

x y a

− =

+ =

⎧⎨⎩

02

,два розв’язки; 4)

x y

xy

2 2 4

1

+ ==

⎧⎨⎩

,чотири розв’язки.

Досягненню мети уроку сприятиме свiдоме виконання учня�ми дiй за такою схемою:

визначити степiнь рiвнянь системи та вид рiвнянь системи;вибрати спосiб розв’язання вiдповiдно до степеня рiвнянь системи.Якщо одне з рiвнянь є лiнiйним, то розв’язуємо систему способом

пiдстановки; якщо система має виглядx y a

xy b

+ ==

⎧⎨⎩

,, то використо�

вуємо теорему, обернену до теореми Вiєта, тощо.



Скiльки розв’язкiв має система рiвняньx y

y x

2 2

2

4

1

+ =

= +

⎧⎨⎩

,

?


Повторити матерiал, що мiститься в конспектi 20.Виконати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1Розв’язати систему рiвнянь рацiональним способом:

1)x y

y xy

= +

− =⎧⎨⎩

2

2 32

,

;2)

y x

x xy y

+ =

+ − =⎧⎨⎩

4 6

3 32 2

,

;

3)x y xy

x y

2 2 2 36

4

+ − =+ = −

⎧⎨⎩

,

;4)

x y

x xy y

3 3

2 2

7

7

+ =

− + =

⎧⎨⎩

,

.

Варiант 2Розв’язати систему рiвнянь рацiональним способом:

1)x y

y xy

= − +

+ =⎧⎨⎩

4

3 182

,

;2)

y x

x xy y

− =

− − + = −⎧⎨⎩

5 3

2 12 2

,

;

3)x y xy

x y

2 2 2 49

3

+ + =− =

⎧⎨⎩

,

;4)

x y

x xy y

3 3

2 2

26

13

− =

+ + =

⎧⎨⎩

,

.


Урок № 34Розв’язування текстових задач складанням системрiвнянь з двома змiнними

Мета: сформувати в учнiв уявлення про схему розв’язання задачскладанням систем рiвнянь з двома змiнними. Сформувати вмiннязастосовувати складену схему для розв’язування текстових задач.

Тип уроку: формування знань, умiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Схема розв’язання задачскладанням систем рiвнянь з двома змiнними».

Хiд уроку




Зiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.Тим учням, якi мали труднощi з виконанням вправ цiєї роботи, роз�дати правильнi розв’язання для самостiйного опрацювання вдома.


З метою створення позитивної мотивацiї навчальної дiяльностiучнiв i усвiдомленого сприйняття ними навчального матерiалу уро�ку, пропонуємо задачу, розв’язання якої за допомогою складання од�ного рiвняння з однiєю змiнною було б досить складним (наприклад,одна iз задач, запропонованих на ДПА з алгебри у 9 класi в один з по�переднiх рокiв).

Задача. З пункту A вийшов пiшохiд, а через 1 год 40 хв пiсля цьо�го в тому самому напрямку виїхав велосипедист, який наздогнавпiшохода на вiдстанi 12 км вiд пункту A. Знайдiть швидкостi пiшо�хода та велосипедиста, якщо за 2 год пiшохiд проходить на 1 км мен�ше, нiж велосипедист проїжджає за 1 год.

Здiйснивши нескладнi мiркування, учнi доходять висновку: роз�в’язання задачi вiдомим їм з 8 класу способом складання рiвнянняз однiєю змiнною є проблематичним.

Отже, постає питання про вiдшукання iншого способу розв’язан�ня цiєї та подiбних до неї задач. Формулюється мета уроку — вивчи�ти схему розв’язання задач складанням систем рiвнянь з двомазмiнними та сформувати вмiння застосовувати цю схему пiд час роз�в’язування практичних задач.



З метою успiшного сприйняття учнями змiсту навчального ма�терiалу уроку слiд активiзувати такi знання i вмiння:

розв’язання систем рiвнянь з двома змiнними;

розв’язання лiнiйних, квадратних та дробово�рацiональних рiв�нянь з однiєю змiнною;

складання виразiв зi змiнними за поданим описом, а також основ�них формул геометрiї та фiзики (формули периметрiв та площ пря�мокутникiв, прямокутних трикутникiв, формула прямолiнiйногорiвномiрного руху).


1)1

5

1

3m n+ , якщо m = 35, n = −18; 2) ( )0 5 0 45 4 18, : , .


1) x = 4; 2) x2 4= ; 3) x x2 4 4 0+ + = ;

4) 4 0x = ; 5) ( ) ( )3 5 2 1 5x x− = − + ; 6)x x

x

2

2

6 9

90

− +−

= .

3. Складiть вираз за умовою:1) одне число x, друге y, їх добуток — 40;2) одне число x, друге y, перше бiльше за друге на 4;3) сторони прямокутника дорiвнюють x см i y см, площа — 30 см2;4) сторони прямокутника дорiвнюють x см i y см, дiагональ —13 см;5) швидкiсть вантажного i легкового автомобiлiв x км/год i y км/годвiдповiдно. Автомобiлi рухалися назустрiч один одному впро�довж 2,5 год.


1)x y

xy

+ ==

⎧⎨⎩

1

0

,

;2)

x y

xy

+ ==

⎧⎨⎩

2

1

,

.


План вивчення нового матерiалу1. Загальна схема розв’язання задач складанням системи рiвнянь

з двома змiнними.2. Приклади розв’язання задач за складеною схемою.

Пiд час вивчення навчального матерiалу уроку слiд звернутиувагу учнiв на такi ключовi моменти:


1) загальний план розв’язання задач за допомогою рiвнянь, ви�вчених у 7 та 8 класах, «працює» i для випадку, коли за умовоюзадачi треба скласти не одне рiвняння, а два рiвняння з двомазмiнними;2) процес розв’язування задачi складанням системи рiвняньє свого роду замкненим циклом, тобто за розв’язанням рiвнянняобов’язково має йти iнтерпретацiя здобутих розв’язкiв вiдпо�вiдно до умови задачi;3) за змiстом задачi, що можна розв’язувати складанням системирiвнянь з двома змiнними, такi самi, як i задачi на складаннярiвняння з однiєю змiнною: задачi на прямолiнiйний рiвно�мiрний рух, задачi геометричного змiсту, задачi на сумiсну робо�ту тощо. Отже, теоретично, одну й ту саму задачу можна розв’я�зати як складанням одного рiвняння з однiєю змiнною, такi складанням системи рiвнянь з двома змiнними.

Конспект 21

Схема розв’язання задач складанням систем рiвнянь з двома змiнними

1. Прочитати умову задачi та видiлити двi величини, якi треба знайти(або через якi виражаються iншi невiдомi величини). Позначити цi вели�чини двома буквами.

2. Спираючись на умову задачi, скласти два рiвняння з позначеними бук�вами.

3. Розв’язати систему складених рiвнянь.

4. Адаптувати здобутi розв’язки вiдповiдно до умови задачi.

Приклад. Периметр прямокутної дiлянки дорiвнює 74 м. Якщо довжинузбiльшити на 3 м, а ширину зменшити на 2 м, то її площа зменшитьсяна 20 м2. Яка початкова площа дiлянки?

Розв’язання. Нехай ширина дiлянки дорiвнює x м, а довжина — y м,

площа дорiвнює xy м2, тодi периметр дiлянки дорiвнює ( )2 x y+ , що заумовою задачi дорiвнює 74 м. Звiдки ( )2 74x y+ = .

Пiсля змiн довжина дорiвнюватиме ( )y + 3 м, а ширина — ( )x −2 м. Пло�

ща цiєї дiлянки дорiвнюватиме ( )( )x y− +2 3 , що за умовою задачi на

20 м2 менше за площу початкової площi. Звiдки ( )( )x y xy− + = −2 3 20.

Отже, дiстанемо систему рiвнянь:( )( )( )2 74

3 2 20

x y

y x xy

+ =

+ − = −⎧⎨⎩

,

.

Розв’язавши здобуту систему рiвнянь, дiстанемо: x = 12, y = 25.

Початкова площа дiлянки xy = ⋅ =12 25 300 м2.

Вiдповiдь. 300 м2.



Виконання письмових вправ1. Знайдiть сторони прямокутника, периметр якого дорiвнює 30 см,

а площа — 56 см2.2. Знайдiть сторони прямокутника, периметр якого дорiвнює 28 дм,

а дiагональ — 10 дм.3. Сума двох чисел дорiвнює 11, а їхнiй добуток — 28. Знайдiть цi

числа.4. Площа прямокутника дорiвнює 300 см2. Якщо його довжину

збiльшити на 5 см, а ширину зменшити на 5 см, то площа до�рiвнюватиме 250 см2. Знайдiть початковi розмiри прямокутника.

5. Два велосипедисти виїхали одночасно з пунктiв A i B назустрiчодин одному. Через годину вони зустрiлись i, не зупиняючись,продовжили рухатися з попереднiми швидкостями. Один з нихприбув у пункт A на 27 хв ранiше, нiж другий — у пункт B.Знайдiть швидкiсть кожного велосипедиста, якщо вiдстань мiжпунктами дорiвнює 36 км.

6. Батько й син можуть пофарбувати паркан, працюючи разом, за4 год. За скiльки годин може пофарбувати паркан кожний з них,

працюючи окремо, якщо батьковi, для того щоб пофарбувати2

3паркану, потрiбно часу на 1 год бiльше, нiж потрібно синовi, щоб

пофарбувати1

4паркану?


Тестове завданняЯка з наведених систем рiвнянь вiдповiдає умовi задачi: «Сума

катетiв прямокутного трикутника дорiвнює 14 см. Якщо один з ка�тетiв збiльшити на 2 см, а другий зменшити на 2 см, то дiстанемопрямокутний трикутник з тiєю самою гiпотенузою. Знайти катетитрикутника»?

А) ( )( )x y

x y x y

+ =+ − = +

⎧⎨⎩

14

2 2

,

;Б)

( ) ( )x y

x y x y

− =

+ + − = +

⎧⎨⎩

14

2 22 2

,

;

В)( ) ( )x y

x y x y

+ =

+ + − = +

⎧⎨⎩

14

2 22 2 2 2

,

;Г) ( )( )

xy

x y xy

=+ − =

⎧⎨⎩

14

2 2

,

.



Вивчити схему розв’язання задач за допомогою складання системрiвнянь з двома змiнними.

Розв’язати задачi.

1. Добуток двох чисел дорiвнює 64. Знайдiть цi числа, якщо однез них на 12 бiльше вiд iншого.

2. Периметр прямокутника дорiвнює 26 см, а сума площ квадратiв,побудованих на двох сумiжних сторонах прямокутника, дорiвнює89 см2. Знайдiть сторони цього прямокутника.

3. З двох мiст, вiдстань мiж якими дорiвнює 300 км, вирушили од�ночасно назустрiч один одному легковий та вантажний автомобiлii зустрiлися через 2,5 год. Знайдiть швидкiсть кожного автомобi�ля, якщо вантажний витратив на весь шлях на 3 год 45 хв бiльше,нiж легковий автомобiль.

Розв’язати задачi на повторення.

1. Розчин мiстить 4 % солi. Скiльки грамiв солi мiститься в 350 грозчину?

2. Товар коштував 140 грн. Через деякий час його цiна збiльшиласьна 35 грн. На скiльки вiдсоткiв пiдвищилася цiна товару?

3. Цiну на товар знизили на 20 %, i вiн став коштувати 248 грн. Якабула початкова цiна товару?

4. Турист проплив на моторному човнi 25 км проти течiї рiчки, по�вернувся назад на плоту. Знайдiть швидкiсть течiї рiчки, якщо наплоту турист плив на 10 год бiльше, нiж на човні, а власнашвидкiсть човна дорiвнює 12 км/год.

Урок № 35Розв’язування текстових задач складанням системрiвнянь з двома змiнними

Мета: закрiпити знання учнiв про загальну схему розв’язання за�дач складанням системи рiвнянь з двома змiнними.

Продовжити роботу над формуванням умiння виконувати дiївiдповiдно до вивченої схеми розв’язання задач рiзного змiсту скла�данням систем рiвнянь.

Вiдпрацювати навички розв’язування систем рiвнянь з двомазмiнними рiзними способами, вивченими на попереднiх уроках.




Хiд уроку



Учитель проводить перевiрку домашнього завдання за зразком.


Оскiльки на попередньому уроцi було розглянуто найпростiшi за�дачi, що розв’язуються складанням системи рiвнянь з двома змiнни�ми, то на цьому уроцi бажано розпочати роботу з формування вмiньрозв’язувати бiльш складнi задачi, а також задачi iншого змiсту (на�приклад, задачi на прямолiнiйний рiвномiрний рух, сумiсну роботу,вiдсотковий склад речовини).

Отже, мета уроку полягає в тому, щоб:

закрiпити знання учнiв про загальну схему розв’язання задачскладанням системи рiвнянь з двома змiнними;

продовжити роботу над формуванням умiнь виконувати дiї вiдпо�вiдно до вивченої схеми;

сформувати навички розв’язування систем рiвнянь з двомазмiнними рiзними способами.



1. Знайдiть значення виразу:

1)1

26

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

; 2) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

21

3

2

; 3) 27 3⋅ ; 4) ( , , ) ,− − ⋅132 318 12;

5) ( )( )11 4 4 11− + ; 6) x xy y2 22− + при x = −1

3, y = 2

3.


1) ( )( )x x− +9 3 ; 2) ( ) ( )− − + − +7 2y y ; 3) ( )2 32

a b− ;

4) ( ) ( )− − + −9 8 6 5x x ; 5) 16 0 5 36b b− , .

3. Що являє собою графiк рiвняння:

1) x y2 2 6+ = ; 2) xy = 4; 3) x y2 2 0+ = ; 4) x y2 = ?

4. Виразiть одну змiнну через iншу з рiвняння:

1) 4 2 6x y− = ; 2) 3 1x y− = − ; 3) xy = 4;

4) x y2 6 0+ − = ; 5) x y xy+ + =2 4.




1. Площа прямокутника дорiвнює 4 200 см2. Якщо довжину прямо�кутника збiльшити на 50 см, а ширину зменшити на 25 см, тойого площа не змiниться. Знайдiть сторони прямокутника.

2. Басейн можна наповнювати водою за допомогою двох насосiв.Якщо перший насос працюватиме 5 год, а потiм другий — 7 год,

то наповниться11

20басейну. Пiсля цього, щоб наповнити басейн,

потрiбно ще 5 год спiльної роботи обох насосiв. За скiльки годинможе наповнити басейн кожний насос, працюючи окремо?

3. Якщо вiдкрити одночасно двi труби, то басейн наповниться за8 год. Якщо спочатку перша труба наповнить половину басейну,а потiм друга труба — половину, то весь басейн наповниться за18 год. За який час наповнить цей басейн кожна труба, працюючисамостiйно?

4. Катер за 42 хв пройшов озером i 11 км рiчкою, що впадає в озеро.Знайдiть швидкiсть катера у стоячiй водi, якщо вiн за 2 год про�ходить за течiєю рiчки на 10 км менше, нiж за 3 год проти течiї.

5. З двох мiст, вiдстань мiж якими дорiвнює 360 км, одночасно на�зустрiч один одному виїхали два потяги й зустрiлися через 4 год.Перший потяг проходить увесь шлях на 1 год 48 хв швидше, нiждругий. Яка швидкiсть кожного потяга?

6. За два столи й чотири стiльцi заплатили 2 200 грн. Пiсля того якстоли подешевшали на 10 %, а стiльцi — на 20 %, за один стiлi два стiльцi заплатили 960 грн. Якою була початкова цiна одногостiльця й одного стола?

Як було зазначено вище, серед задач, якi мають бути розв’я�занi на уроцi, є задачi, якi описують тi самi ситуацiї, що й напопередньому уроцi (геометричнi та арифметичнi задачi),хоча мають бiльш високий рiвень складностi. Проте вiдпо�вiдно до вимог програми з математики учнi мають оволодiтивмiннями складати системи рiвнянь з двома змiнними длярозв’язання задач на прямолiнiйний рiвномiрний рух, су�мiсну роботу та вiдсотковий склад речовин. Тому, крiм ариф�метичних та геометричних задач достатнього рiвня склад�ностi, на уроцi бажано розв’язати задачi цього типу. Можнацей урок присвятити розв’язанню задач на рух та сумiсну ро�боту, а наступний — задачам на вiдсотковий склад речовин.


Пiд час пiдготовки до розв’язування задач на прямолiнiйнийрiвномiрний рух слiд нагадати учням такi моменти:

закон прямолiнiйного рiвномiрного руху, який береться за основускладання рiвнянь, виражається вiдомою формулою s vt= ;

успiшному розв’язанню задач допоможе таблиця, яку доцiльноскладати пiд час аналiзу умови задачi.

Вид руху v (км/год) t (год) s(км)

1

2

Отже, ще раз звертаємо увагу учнiв на те, що способи дiй пiд часрозв’язування задач за допомогою одного рiвняння з однiєю змiнноюта складанням системи двох рiвнянь з двома змiнними суттєвовiдрiзняються тiльки на етапi позначення змiнних (змiнної).

Розв’язуючи задачi на сумiсну роботу, слiд нагадати учням проосновнi величини, якi розглядаються в таких задачах: продук�тивнiсть працi, час роботи та об’єм виконаного завдання, а такожспосiб мiркувань та вигляд таблицi.

1�й робiтник 2�й робiтник

Час на виконання всiєї роботи кожному

Частина роботи, виконана за одну годину

Час сумiсної роботи

Частина роботи, виконана за цей час

З метою кращого засвоєння знань та свiдомого виконання дiй пiдчас розв’язування всiх запропонованих задач бажано вимагати вiдучнiв коментарiв, що ґрунтуються на теоретичному матерiалi уроку.



Яка з наведених систем рiвнянь вiдповiдає умовi задачi?

Із станцiї A до станцiї B, вiдстань мiж якими дорiвнює 180 км, од�ночасно вирушили два потяги. Один з них прибув на станцiю B на3 год ранiше, нiж другий. Знайдiть швидкiсть руху кожного потяга,якщо другий проходить за 3 год на 30 км бiльше, нiж перший за одну


годину (x км/год — швидкiсть першого потяга, y км/год —швидкiсть другого потяга).

1)

3 30

180 1803

x y

x y

− =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

;2)

3 30

180 1803

y x

y x

− =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

;

3)

3 30

180 1803

x y

x y

+ =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

;4)

3 30

180 1803

x y

y x

+ =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.


Повторити схему розв’язання задач складанням системи рiвняньз двома змiнними.

Розв’язати задачi.1. З двох мiст, вiдстань мiж якими дорiвнює 560 км, одночасно на�

зустрiч один одному виїхали два автомобiлi й зустрiлись через3 год 44 хв. Перший автомобiль проїжджає весь шлях на 1 годдовше, нiж другий. Яка швидкiсть кожного автомобiля?

2. Стiл i стiлець коштували разом 650 грн. Пiсля того як стiл поде�шевшав на 20 %, а стiлець подорожчав на 20 %, вони стали кош�тувати разом 568 грн. Знайдiть початкову цiну стола й початковуцiну стiльця.

3. Двом працiвникам було доручено виготовити партiю однаковихдеталей. Пiсля того як перший працював 7 год i другий 4 год, ви�

явилося, що вони виготовили5

9усiх деталей. Попрацювавши раз�

ом ще 4 год, вони встановили, що їм залишилося виготовити1

18усiх деталей. За скiльки годин перший робiтник, працюючи окре�мо, може виготовити партiю деталей?Повторити алгоритми розв’язання найпростiших задач на вiдсотки.Розв’язати задачi на повторення.

1. Товар подешевшав на 20 %. На скiльки вiдсоткiв бiльше можнакупити товару на ту саму суму грошей?

2. Який вiдсоток цукру в розчинi, якщо в 400 г розчину мiститься18 г цукру?

3. Як змiниться звичайний дрiб, якщо чисельник збiльшити на100 %, а знаменник зменшити на 50 %?

4. Цiна товару становила 90 грн. Через деякий час вона зменшиласяна 9 грн. На скiльки вiдсоткiв вiдбулося зниження цiни?


Урок № 36Розв’язування текстових задач складанням системирiвнянь з двома змiнними

Мета: продовжити роботу над засвоєнням учнями загальної схе�ми розв’язання текстових задач складанням системи рiвнянь з двомазмiнними. Доповнити цi знання уявленнями про спосiб мiркуваньпiд час розв’язування задач на вiдсотковий склад речовин.

Працювати над формуванням навичок розв’язувати за загальноюсхемою текстовi задачi рiзного змiсту (арифметичнi, геометричнi, за�дачi на рух та сумiсну роботу, а також задачi на вiдсотковий складречовин).

Працювати над удосконаленням навичок розв’язувати системинелiнiйних рiвнянь з двома змiнними рiзними способами.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Схема розв’язання задач навiдсотковий склад речовин».

Хiд уроку



Перевiрку домашнього завдання можна провести у виглядi гри«Знайди помилку».

Або з метою усвiдомленої перевiрки правильностi розв’язань до�машнiх задач пропонуємо учням, використовуючи записи, виконанiвдома, заповнити таблицю.

№за�

дачi

Що по�значеноза x таy

Як виражають�ся iншi невiдомi

через x та y

Системи рiвнянь, щоскладенi вiдповiдно

до умови задачi

Шукане значен�ня невiдомої ве�

личини


Учитель повiдомляє учням, що вiдповiдно до програми з матема�тики вони мають навчитися розв’язувати задачi ще одного виду.Можна запропонувати приклад однiєї з таких задач зi збiрника за�вдань для ДПА з алгебри за 9 клас.


Задача. Змiшавши 20�вiдсотковий та 60�вiдсотковий розчиникислоти, дiстали 800 г розчину, що мiстить 30 % кислоти. Скiлькиграмiв кожного розчину змiшали?

Пiсля обговорення змiсту задачi та iдей щодо її розв’язання фор�мулюється завдання на урок: сформувати вмiння розв’язувати задачiподiбного змiсту складанням системи рiвнянь з двома змiнними.


Виконання усних вправ1. Обчислiть значення функцiї:

1) ( )f x x= +1

67 у точцi –12; 2) ( )f x

x

x= −

+2

2у точцi 4.

2. При якому значеннi змiнної має змiст вираз:

1)4

2 6

m

m −; 2) x+13; 3)

113

xx+ + ?

3. Складiть вираз, що вiдповiдає умовi:1) Маса яблук — x кг, маса цукру в них — 30 %. Скiльки кiлог�рамiв цукру в цих яблуках?2) Швидкiсть двох потягiв — x км/год i y км/год. Рухаючись на�зустрiч один одному, вони зустрiлися через 3 год.3) Катети прямокутного трикутника — x см i y см. Чому дорiвнюєквадрат гiпотенузи?4) Робiтник виконує завдання за x год, а учень — за y год. Разомвони працювали 2 год.


Спосiб мiркувань, покладений в основу розв’язання задач навiдсотковий склад речовини, ґрунтується на знаннях тавмiннях, набутих учнями пiд час вивчення теми «Вiдсотки»в 6 класi. Сам спосiб цих мiркувань спочатку демонструєтьсяна прикладi розв’язання конкретної текстової задачi. Пiсляцього формулюється орiєнтовна схема дiй пiд час розв’язуван�ня задач подiбного виду, яку краще за все записати у виглядiтаблицi (див. конспект 22). Кращому розумiнню виконаногопiд час розв’язування задачi способу мiркувань сприятимерозв’язання вправ на повторення.


Конспект 22

Схема розв’язання задач на вiдсотковий склад речовин

Нехай є два розчини з рiзним вiдсотковим вмiстом деякої речовини (a %,

b %). Тодi вмiст речовини в кожному розчинi дорiвнюєM a1

100i

M b2

100(оди�

ниць маси), M1 i M2 — вiдповiднi маси кожної сумiшi. Маса речовинив сумiшi, що утворилася в результатi змiшування цих розчинiв, є сумоюM a1

100+

M b2

100.

Маса Вiдсотковий умiстречовини

Маса речовини

1�й розчин M1 a M a1

100

2�й розчин M2 b M b2

100

Сумiш M M M1 2+ = c M a1

100+ M b2

100

( )=

+M M c1 2

100

Приклад. У першому бiдонi знаходиться молоко, масова частка жируякого становить 3 %, а в другому — вершки жирнiстю 18 %. Скiлькитреба взяти молока й скiльки вершкiв, щоб дiстати 10 кг молока з масо�вою часткою жиру 6 %?

Розв’язання. Нехай шуканi маси молока й вершкiв дорiвнюють x кгi y кг вiдповiдно. Складемо й заповнимо таблицю:

Маса (кг) Вiдсотковийумiст жиру

Маса жиру

Молоко x 3 0 03, x

Вершки y 18 0 18, y

Сумiш x y+ = 10 6 0 03 0 18 0 6, , ,x y+ =

Складемо та розв’яжемо систему рiвнянь:

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

10

0 03 0 18 0 6

,

, , , .

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

10

3 18 60

,

;

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

10

6 20

,

;

x

y

==

⎧⎨⎩

8

2

,

.

Вiдповiдь. Маса молока — 8 кг, маса вершкiв — 2 кг.


V. Формування вмiнь


1. Скiльки кiлограмiв 25�вiдсоткового й скiльки кiлограмiв 50�вiд�соткового сплавiв мiдi треба взяти, щоб отримати 20 кг 40�вiдсот�кового сплаву?

2. Пiсля того як змiшали 50�вiдсотковий i 20�вiдсотковий розчиникислоти отримали 900 г 30�вiдсоткового розчину. Скiльки грамiвкожного розчину змiшали?

3. Змiшали 30�вiдсотковий розчин соляної кислоти з 10�вiдсотко�вим й одержали 600 г 15�вiдсоткового розчину. Скiльки взялиграмiв кожного розчину?


Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)x y

x y

2 2

2

25

5

+ =

+ =

⎧⎨⎩

,

;2)

| |y x

y x x

+ − =

= + +

⎧⎨⎩

2 0

6 82

,

.



Яка з наведених систем рiвнянь вiдповiдає умовi задачi?

Коли змiшали x кг молока з 2 % часткою жиру й y кг молоказ 5 % часткою жиру, то дiстали 12 кг молока жирнiстю 4 %.

1)x y

x y

+ =+ = ⋅

⎧⎨⎩

12

0 2 0 5 0 04 12

,

, , , ;2)

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

12

0 2 0 5 0 04

,

, , , ;

3)x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

12

0 2 0 5 48

,

, , , ;4)

x y

x y

− =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

12

1

50

1

2012

,

.


Повторити матерiал роздiлу «Розв’язування систем рiвнянь дру�гого степеня з двома змiнними».


Умова домашньої самостiйної роботи

Варiант 1

1. Складiть систему рiвнянь за умовою задачi.

1) Сума двох чисел x та y дорiвнює 12, а їх добуток дорiвнює 35.Знайдiть цi числа.


2) Висота x прямокутника на 7 см бiльша за його основу y.Знайдiть сторони прямокутника, якщо його дiагональ дорiвнює13 см.3) Маса одного зi сплавiв цинку x кг, а другого — y кг. Яка масакожного iз цих сплавiв, якщо перший мiстить 9 % цинку, а дру�гий — 30 % i в результатi їх змiшування утворюється 300 кгсплаву, що мiстить 23 % цинку?4) Один комбайнер збирає врожай з дiлянки за x год, а другий —за y год. За одночасної роботи вони збирають врожай з цiєї ждiлянки за 3 год 45 хв. Скiльки часу знадобиться кожному длявиконання завдання, якщо перший працюючи окремо, виконуєце завдання на 4 год швидше, нiж другий?

2. Розв’яжiть задачу, склавши та розв’язавши систему рiвнянь.1) Одне з чисел на 7 бiльше вiд другого, їх добуток дорiвнює 12.Знайдiть цi числа.2) Периметр прямокутника дорiвнює 28 см, його площа — 45 см2.Знайдiть сторони прямокутника.3) Скiльки грамiв 4�вiдсокового й скiльки грамiв 10�вiдсотковогорозчинiв солi треба взяти, щоб одержати 180 грамiв 6�вiдсотково�го розчину солi?4) Одна з дорожнiх бригад може заасфальтувати деяку дiлянку доро�ги на 4 год швидше, нiж друга. За скiльки годин може заасфальтува�ти цю дiлянку кожна з бригад, працюючи окремо, якщо вiдомо, щоза 24 год сумiсної роботи вони заасфальтували 5 таких дiлянок?Варiант 2

1. Складiть систему рiвнянь за умовою задачi.1) Рiзниця двох чисел x та y дорiвнює 2, а їх добуток — 48.Знайдiть цi числа.2) Висота x прямокутника на 2 см менша за його основу y.Знайдiть сторони прямокутника, якщо його дiагональ дорiвнює10 см.3) Маса одного зi сплавiв мiдi x кг, а другого — y кг. Яка масакожного з цих сплавiв, якщо перший мiстить 20 % мiдi, а дру�гий — 50 % i в результатi їх змiшування утворюється 30 кг спла�ву, що мiстить 30 % мiдi?4) Один комбайнер збирає врожай з дiлянки за x год, а другий —за y год. За одночасної роботи вони збирають врожай з цiєї ждiлянки за 16 год. Скiльки часу знадобиться кожному для вико�нання завдання, якщо перший виконує це завдання на 24 год по�вiльнiше, нiж другий?


2. Розв’яжiть задачу, склавши та розв’язавши систему рiвнянь.1) Одне з чисел на 5 менше вiд другого, їх добуток дорiвнює 36.Знайти цi числа.2) Периметр прямокутної дiлянки дорiвнює 200 м; його площа —2400 м2. Знайдiть довжину та ширину дiлянки.3) Скiльки грамiв 3�вiдсоткового i скiльки грамiв 8�вiдсотковогорозчинiв солi треба взяти, щоб одержати 260 грамiв 5�вiдсотково�го розчину солi?4) З населених пунктiв A i B, вiдстань мiж якими 50 км, виїхалиодночасно два мотоциклiсти й зустрiлись через 30 хв. Знайдiтьшвидкiсть кожного з них, якщо вiдомо, що один з них прибув допункту A на 25 хв ранiше, нiж другий прибув до пункту B.

Урок № 37Пiдсумковий урок з теми«Системи рiвнянь з двома змiнними»

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання тавмiння учнiв щодо змiсту вивчених у роздiлi понять та схем розв’я�зання типових задач. Провести роботу з корекцiї знань та вмiньучнiв з метою усунення причин найтиповiших помилок. Пiдготуватиучнiв до виконання завдань контрольної роботи.

Тип уроку: систематизацiя, узагальнення знань та вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспекти 12–22.

Хiд уроку



Учитель збирає зошити для перевiрки та оцiнювання якостi ви�конання домашньої самостiйної роботи. Якщо необхiдно, за записа�ми правильних розв’язань обговорюємо найбiльш складнi моментидомашньої самостiйної роботи.


Основна дидактична мета та завдання на урок випливають з йогомiсця в темi — оскiльки урок є пiдсумковим, то виникає не�обхiднiсть повторення, узагальнення та систематизацiї знань i вмiнь,набутих учнями пiд час вивчення теми 2. Таке формулювання метистворює вiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.



Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв проведення цього етапувчитель може органiзувати рiзними способами: як самостiйнуроботу з теоретичним матерiалом (наприклад, за пiдручникомабо за конспектом повторити змiст основних понять теми), абопровести опитування (у формi iнтерактивної вправи) за основ�ними питаннями теми, або запропонувати учням виконатитестову роботу тощо.

Контрольнi запитання до теми1. Наведiть приклад рiвняння з двома змiнними.2. Що називають розв’язком рiвняння з двома змiнними x i y? На�

ведiть приклади.3. Що означає розв’язати рiвняння з двома змiнними?4. Дайте означення графiка рiвняння з двома змiнними?5. Як побудувати графiк рiвняння з двома змiнними?6. Що називають розв’язком системи рiвнянь з двома змiнними?7. Що означає розв’язати систему рiвнянь з двома змiнними?8. Як розв’язати систему рiвнянь з двома змiнними способом пiдста�

новки? У якому випадку цей спосiб застосовують найчастiше?9. Якi iншi способи можна застосовувати для розв’язування систем

рiвнянь з двома змiнними?10. Пояснiть, якi послiдовнi кроки слiд виконати пiд час розв’язуван�

ня задачi шляхом складання системи рiвнянь з двома змiнними.


Учитель об’єднує учнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв за�дач). Кожнiй групi пропонується систематизувати види задач,якi вони навчилися розв’язувати пiд час вивчення теми.

Наприклад, типовими завданнями теми «Системи рiвнянь друго�го степеня з двома змiнними» є завдання:

побудова графiкiв рiвняння з двома змiнними;розв’язування систем рiвнянь з двома змiнними графiчним способом;розв’язування систем рiвнянь способом пiдстановки;розв’язування систем нелiнiйних рiвнянь з двома змiнними абоспособом алгебраїчного додавання, або замiною змiнних;розв’язування задач на складання системи нелiнiйних рiвняньз двома змiнними.Пiсля складання списку основних видiв завдань учитель пропо�

нує кожнiй групi завдання: «Скласти алгоритм розв’язання завдан�ня…» (групи отримують iндивiдуальне завдання). На складання ал�


горитму вiдводиться певний час, за який учасники групи маютьскласти алгоритм, записати його у виглядi послiдовних крокiв,пiдготувати презентацiю своєї роботи. Пiсля закiнчення вiдбу�вається презентацiя виконаної роботи кожною групою, а далi — обо�в’язкове випробовування алгоритмiв. Бажано, щоб групи обмiнялисьалгоритмами й перевiрили їх застосування не на одному, а накiлькох завданнях. Пiсля випробування — обов’язкова корекцiя.

VІ. Пiдсумки урокуПiдсумком уроку узагальнення та систематизацiї знань i вмiнь

учнiв є, по�перше, складенi учнями узагальненi схеми дiй пiд час роз�в’язування типових завдань, по�друге — здiйснення учнями не�обхiдної частини свiдомої розумової дiяльностi — рефлексiї — вiдоб�раження кожним учнем сприйняття своїх успiхiв, та найголовнiше —проблем, над якими слiд ще попрацювати перед контрольною робо�тою.



Умова домашньої контрольної роботи № 4.


y x

2 14

2

− =− = −

⎧⎨⎩

,

.

2. Розв’яжiть графiчно систему рiвняньy x

y x

− =− =

⎧⎨⎩

2 0

2 0

,

.

3. Не виконуючи побудов, знайдiть координати точок перетинуграфiкiв рiвнянь 5 6x y− = i y x− =2 0.

4. Розв’яжiть задачу, склавши систему рiвнянь з двома змiнними.Щоб подолати шлях у 18 км, велосипедисту необхiдно витратити

на 1 год 48 хв менше, нiж пiшоходу. Швидкiсть велосипедиста на9 км/год бiльша за швидкiсть пiшохода. Знайдiть швидкiсть велоси�педиста й пiшохода.

5. Розв’яжiть систему рiвнянь

xyx

y

xyx

y

− =

+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

6

32

28

,

.

6. Знайдiть розв’язки системи рiвняньx y

x y

3 3 19

1

+ = −+ = −

⎧⎨⎩

,

.



Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями знань основних по�нять теми, якiсть сформованих умiнь розв’язувати системи рiвняньта задач.

Тип уроку: контроль та корекцiя знань, умiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою(роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичногобала).


Учитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�цiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знань змiсту основнихпонять та алгоритмiв, вивчених у темi, а також умiнь застосовуватинабутi знання пiд час розв’язування програмових задач.



Варiант 1


xy y

− =+ =

⎧⎨⎩

4 3

2 9

,

.

2. Розв’яжiть графiчно систему рiвняньy x x

x y

− + =− =

⎧⎨⎩

2 4 0

6

,

.

3. Не виконуючи побудов, знайдiть координати точок перетину гра�фiкiв рiвнянь y x x= − +2 2 3i y x= −3 1.

4. Розв’яжiть задачу, склавши систему рiвнянь з двома змiнними.

З двох селищ, вiдстань мiж якими дорiвнює 48 км, вирушили од�ночасно назустрiч один одному пiшохiд та велосипедист i зустрiлисячерез 3 год. Знайдiть швидкiсть кожного з них, якщо велосипедиствитратив на весь шлях на 8 год менше, нiж пiшохiд.


1)x xy y

x y

2 26 16

3 2

+ + =− = −

⎧⎨⎩

,

;2)

2 5 14

5 9

x xy

y xy

+ =− = −

⎧⎨⎩

,

.


Варiант 2

1. Розв’яжiть систему рiвнянь2 7

62

x y

x xy

+ =

− =⎧⎨⎩

,

.

2. Розв’яжiть графiчно систему рiвняньy x x

y x

+ − == −

⎧⎨⎩

2 2 0

3 2

,

.

3. Не виконуючи побудов, знайдiть координати точок перетинуграфiкiв рiвнянь x y− =5 3i x xy y2 22 1− − = − .

4. Розв’яжiть задачу, склавши систему рiвнянь з двома змiнними.Із станцiї A до станцiї B, вiдстань мiж якими дорiвнює 180 км,

вирушили одночасно два потяги. Один з них прибув на станцiю B на3 год ранiше вiд другого. Знайдiть швидкiсть руху кожного потяга,якщо другий проходить за 3 год на 30 км бiльше, нiж перший за однугодину.


1)x xy y

x y

2 24 25

2 3

− + =+ =

⎧⎨⎩

,

;2)

x

y

y

x

y x

− = −

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

8

3

4 3 13

,

.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей дозавдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних роз�в’язань завдань контрольної роботи (заготовлених учителем зазда�легiдь).


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язан�нями).

Повторити означення вiдсотка вiд числа та основнi види задач навiдсотки (6 клас).


ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ(10 год)

Урок № 39Математичне моделювання

Мета: сформувати в учнiв уявлення про поняття математичноїмоделi, прикладної задачi; сформувати вмiння будувати моделi при�кладних задач, а також вдосконалювати вмiння розв’язувати рiвнян�ня та системи рiвнянь рiзними способами.

Повторити ознаки подiльностi натуральних чисел.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Математичне моделювання».

Хiд уроку


Оскiльки на цьому уроцi розпочинається вивчення нової теми«Елементи прикладної математики», то учням необхiдно надатиiнформацiю про:

орiєнтовний план вивчення теми 3;

кiлькiсть навчальних годин;

приблизний змiст матерiалу, що вивчається;

вимоги до знань та вмiнь учнiв вiдповiдно до програми;

орiєнтовну дату проведення контрольної роботи та приблизнийзмiст її завдань.

Доречно також провести бесiду, пiд час якої нагадати учням пронеобхiднiсть пiдготовки до складання державної пiдсумкової атес�тацiї та подати стислий план повторення навчального матерiалу.


Учитель збирає зошити учнiв iз виконаним аналiзом тематичноїконтрольної роботи № 4.


З метою усвiдомлення необхiдностi вивчення основного питанняуроку (поняття математичної моделi та прикладної задачi), пропо�нуємо учням завдання.

Розв’яжiть задачу. Знайти, скiльки потрiбно взяти квадратнихплиток зi стороною 15 см, щоб застелити пiдлогу ванної кiмнати, ро�змiри якої 3,3 м та 2,8 м.


Пiсля обговорення з учнями можливого способу розв’язання за�дачi формується думка про те, що реальне життя часто вимагає вiдлюдей розв’язання проблем iз рiзних галузей, якi можна звести допевних математичних задач, описавши реальнi процеси мовою фор�мул, вiдношень та рiвнянь.

Таким чином, окреслюється коло завдань на цей урок: дати назвузазначеного вище поняття, а також розглянути способи його застосу�вання. Цей висновок i є основною дидактичною метою вивченнявсього роздiлу.



1. Яка з наведених пар чисел є розв’язком рiвняння 4 3 1x y− = ?

1) ( )2 3;− ; 2) ( )7 9; ; 3) ( )1 1; ; 4) ( )3 5; .

2. Маса ящика з яблуками дорiвнює 25 кг. Пiсля того як продали по�ловину яблук, маса решти яблук i ящика становила 13 кг. Скла�дiть систему рiвнянь для знаходження маси порожнього ящика.

3. Знайдiть коренi рiвняння:

1) y = 0 4, ; 2) 25 10 1 02x x− + = ; 3)x

x

−+

=1

10; 4)

1

30x = .


План вивчення нового матерiалу1. Поняття математичної моделi задачi.

2. Схема розв’язання задачi математичним моделюванням.

3. Приклад розв’язання прикладної задачi математичним моделю�ванням.

Вивчення нового матерiалу уроку починається iз формулюван�ня загального уявлення про змiст поняття «математична мо�дель». Пiд час вивчення цього питання звертаємо увагу учнiвна те, що математична модель може бути складена за умовоюзадачi з будь�якої галузi науки i технiки. Пiсля введення по�няття математичної моделi бажано навести якомога бiльшеприкладiв прикладних задач i навести їх математичнi моделi.Бажано, наводячи та розглядаючи приклади задач, залучатиучнiв до обговорення наведених математичних моделей. На�ступним кроком є формулювання загальної схеми розв’язаннязадач математичним моделюванням. Застосування складеноїсхеми також бажано проiлюструвати на кiлькох прикладах.На завершення вивчення нового матерiалу формулюється


поняття прикладної задачi, це поняття також iлюструєтьсяприкладами.

Вивчення нового матерiалу можна провести близько до текступiдручника у формi бесiди або органiзувати самостiйну роботу учнiвза запропонованим планом.

Стисло змiст навчального матерiалу можна подати у виглядi кон�спекту 23.

Конспект 23

Математичне моделювання

1. Математична модель — це опис реального об’єкту або процесу мовоюматематичних понять, вiдношень, формул, рiвнянь тощо.

Процес пошуку математичної моделi можна показати схемою.

2. Схема розв’язання задач математичним моделюванням

Щоб розв’язати задачу з будь�якої галузi, що явно не сформульованав математичних термiнах, треба:

1) сформулювати задачу мовою математики, тобто побудувати математич�ну модель;

2) розв’язати математичну задачу;

3) записати математичний розв’язок мовою, якою було сформульованопочаткову задачу.

Приклад. На пошиття 16 пальт i 15 костюмiв витрачено 85 м тканини.Якщо пальт пошити бiльше на 25 %, а костюмiв — на 20 %, то на їх по�шиття буде витрачено 104 м тканини. Скiльки тканини пiшло на пошит�тя одного пальта й одного костюма?


Прикладна задача

Скорочений запис

Вiдомi формули

Математична модель

Невiдомi формули

Рисунок, схема, таблиця

Логiчнi прийоми мислен�ня, встановлення залеж�

ностi мiж заданимий шуканими величинами

Розв’язання. Побудуємо математичну модель задачi.

Нехай на пошиття одного пальта витрачають x м тканини, а одного кос�тюма — y м. Тодi на пошиття 16 пальт i 15 костюмiв витратили( )16 15x y+ м тканини, що за умовою задачi дорiвнює 85 м. Дiсталирiвняння 16 15 85x y+ = .

Якщо пальт пошити бiльше на 25 %, тобто 16 + 16 0 25⋅ , = 20 пальт, то наїх пошиття пiде 20x м тканини, на пошиття 15 + 15 0 2⋅ , = 18 костюмiв —18y м. На цi вироби витратять ( )20 18x y+ м тканини, що за умовою за�дачi дорiвнює 104 м. Дiстали рiвняння 20 18 104x y+ = .

Математичною моделлю задачi є система рiвнянь:

16 15 85

20 18 104

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

.

Розв’язання математичної задачi.

16 15 85

20 18 104

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

;

16 15 85

10 9 52

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

;

48 45 255

50 45 260

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

;

x

y

==

⎧⎨⎩

2 5

3

, ,

.

Записуємо результат мовою вихiдної задачi.

На пошиття одного пальта треба 2,5 м тканини, на пошиття одного кос�тюма — 3 м.



Побудуйте математичну модель задачi.

1. У залi для глядачiв 400 мiсць. Усi ряди мiстять однакову кiль�кiсть мiсць. Скiльки рядiв у залi та скiльки мiсць має кожнийряд?

2. У залi для глядачiв 400 мiсць. Число рядiв на 9 менше вiд числамiсць у кожному рядi. Скiльки рядiв у залi та скiльки мiсць маєкожний ряд?

3. Учень купив кiлька зошитiв по 80 к, i витратив менше нiж 3 грн.Скiльки зошитiв вiн мiг купити?

4. Який iз прямокутникiв з периметром 80 м матиме найбiльшуплощу?


1. На пошиття костюма витратили 3,2 м тканини. Яку найбiльшукiлькiсть таких костюмiв можна пошити, маючи 60 м цiєї ж тка�нини?


2. Вiд квадратного листа жерстi вiдрiзали смугу завширшки 2,5 см.Знайдiть початковi розмiри листа, якщо площа його частини,утвореної пiсля вiдрiзання смуги, дорiвнює 4 400 см2.

3. Із пункту A до пункту B виїхав мотоциклiст зi швидкiстю 40 км/год.Через 1,5 год слiдом за ним виїхав вантажний автомобiль зi швид�кiстю 60 км/год. Через який час пiсля свого виїзду автомобiль на�здожене мотоциклiста?

4. Сторона квадратної шайби дорiвнює 60 мм. Якої довжини пови�нен бути лист сталi, щоб з нього можна було зробити 52 шайби?Ширина листа 300 мм.

5. Автомобiль, коли його швидкiсть дорiвнювала 36 км/год, починаврухатися iз вимкненою передачею (за iнерцiєю), причому кожнунаступну секунду вiн долав на 2 м менше, нiж за попередню. Якийшлях подолає автомобiль пiсля вимикання передачi до повноїзупинки?


1. В автопарку 20 % автобусiв бiлого кольору, а1

9автобусiв — жов�

того. Скiльки автобусiв в автопарку, якщо їх бiльше за 50, алеменше вiд 100?

2. Натуральнi числа a i b такi, що a — парне, а b— непарне. Значен�ня якого з наведених виразiв є натуральним числом?

1)a

b

++

1

1; 2)

b

a;

3)a

2; 4)

b

2.

3. Двоє спортсменiв бiгають навколо стадiону. Одному з них по�трiбно 4 хв, щоб пробiгти один круг, а другому — 6 хв. Вони стар�тували одночасно. Через скiльки хвилин спортсмени вперше пе�ретнуть разом лiнiю старту?

Пiд час розв’язування задач слiд вимагати вiд учнiв вiдтво�рення складеної схеми, а також працювати над свiдомим пе�реходом вiд умови прикладної задачi до її математичної мо�делi. Розв’язання математичних моделей прикладних задачє повторенням того матерiалу, який було опрацьованов попереднiй темi.Оскiльки на цьому уроцi розпочинається систематична роботаз повторення курсiв математики 5–6 класiв та алгебри 7–9, топропонуємо учням розв’язати задачi на подiльнiсть натураль�них чисел.



Контрольне запитанняПобудуйте математичну модель задачi.Бетонний блок має масу 350 кг. Скiльки таких блокiв може пере�

везти автомобiль вантажнiстю 5 т?


Вивчити теоретичний матерiал (див. конспект 23).Виконати вправи.

1. Бамбук — швидкоростуча рослина — за одну добу виростає на60 см, а кактус — на 2 см за рiк (365 дiб). У скiльки разiв бамбукросте швидше, нiж кактус?

2. Автомобiль долає шлях мiж двома мiстами за 2,2 год за швид�костi 60 км/год. На скiльки потрiбно збiльшити швидкiсть авто�мобiля, щоб вiн подолав цей шлях за 2 год?

3. Шматок сплаву мiдi й цинку загальною масою мiстить 45 % мiдi.Яку масу мiдi треба додати до цього шматка, щоб одержати сплав,який би мiстив 60 % мiдi?

4. У залi кiнотеатру на 864 мiсць є певна кiлькiсть рядiв. Пiд час ре�монту кiлькiсть мiсць у кожному рядi зменшили на 6 i поставилище 2 ряди. У залi стало 780 мiсць. Скiльки мiсць було в кожномурядi до ремонту?Повторити:означення натуральних чисел;означення дiльникiв та кратних числа, НСД i НСК числа;означення простих та складених чисел;ознаки подiльностi натуральних чисел.Виконати вправи на повторення.

1. Цифра десяткiв у деякому двоцифровому числi дорiвнює 4. Мiжцифрами цього числа вписали цифру 0. На скiльки здобуте три�цифрове число бiльше за двоцифрове?

2. Натуральнi числа a i b такi, що a— парне, b— непарне. Значенняякого з наведених виразiв є натуральним числом?

1)a

b

++

1

3; 2)

b

a;

3)a b+

2; 4)

a

b + 1.

3. У саду росте бiльше нiж 80, але менше нiж 100 дерев. Кожнетретє дерево — яблуня, а кожне восьме — груша. Скiльки деревросте в саду?


Урок № 40Математичне моделювання

Мета: працювати над засвоєнням учнями поняття математичноїмоделi задачi, загальної схеми розв’язання задач математичним мо�делюванням.

Продовжити роботу над формуванням умiнь:перекладати умову прикладної задачi на мову математики;розв’язувати математичнi задачi рiзного змiсту складанням рiв�няння з однiєю змiнною;розв’язувати задачi складанням систем рiвнянь з двома змiнними.Продовжувати формування навичок розв’язувати системи рiв�

нянь з двома змiнними рiзними способами.Узагальнити та систематизувати знання учнiв з теми «Рацiональ�

нi числа».Тип уроку: застосування знань, формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 23.

Хiд уроку



На цьому етапi уроку проводиться робота з перевiрки домашньо�го завдання за зразком.


Оскiльки на попередньому уроцi були розглянутi найпростiшi за�дачi, що розв’язуються математичним моделюванням, то на цьомууроцi продовжуємо роботу з формування вмiнь розв’язувати задачiскладанням математичних моделей, розглянувши задачi бiльш висо�кого рiвня складностi. Отже, мета уроку — працювати над подаль�шим засвоєнням знань учнiв про загальну схему розв’язання задачматематичним моделюванням, продовжити роботу з формуваннявмiнь виконувати дiї вiдповiдно до вивченої схеми.



1. Скоротiть дрiб4 8

4

a

a

+.

2. Знайдiть значення виразуa b+ 8 приa = −0 5, i b = 1

4.


3. Спростiть вираз ( )( ) ( )m m m− + − −3 3 32.

4. Виконайте вiднiмання:5 6

5

3 16

5

x

x

x

x

+−

− +−

.

5. Довжина прямокутника дорiвнює x см, а ширина — y см. Оцiнiтьзначення його периметра та площi, якщо 3 7< <x , 2 5< <y .

6. Знайдiть абсцису вершини параболи y x x= + −0 3 6 52, .

7. Фiрма продалаm автомобiлiв по n грн кожний i отримала чистогоприбутку p грн. За якою цiною фiрма купувала один автомобiльу виробника?


Математичний диктантПобудуйте математичну модель задачi.

1. Дiагональ прямокутника дорiвнює 17 см, а його периметр —46 см. Знайдiть сторони прямокутника.

2. Два робiтники, працюючи разом, виконали роботу за 6 год. Пер�ший робiтник цю роботу може виконати за 10 год. Скiльки годинпотрiбно другому робiтнику, щоб виконати цю роботу?

3. Моторний човен за течiєю рiчки проплив 120 км за 4 год, а протитечiї — 90 км за 5 год. Знайдiть швидкiсть течiї рiчки.

4. Мати у 5 разiв старша за дочку, а дочка на 24 роки молодша, нiжмати. Скiльки рокiв дочцi?

5. З двох мiст назустрiч один одному виїхали два потяги: один зiшвидкiстю 48,4 км/год, а другий — 56,8 км/год. Зустрiлися воничерез 2,5 год. Яка вiдстань мiж мiстами?Пiсля написання математичного диктанту перевiряємо з обов’яз�

ковим коментуванням складенi математичнi моделi до задач.

Виконання письмових вправ1. З першої дiлянки зiбрали 2 880 ц пшеницi, а з другої, площа якої

на 12 га менша, — 2 160 ц. Знайдiть площу кожної дiлянки, якщовiдомо, що на першiй дiлянцi з кожного гектара зiбрали пшеницiна 4 ц бiльше, нiж iз другої.

2. Рис мiстить 81 % бiлкiв, жирiв та вуглеводiв. Бiлкiв мiстить на5 % бiльше, а вуглеводiв — на 74 % бiльше, нiж жирiв. Скiлькиграмiв бiлкiв, жирiв та вуглеводiв окремо мiститься у 400 г рису?

3. Із пунктiв A i B, вiдстань мiж якими дорiвнює 240 км, вирушилиодночасно два автомобiлi. Якщо автомобiлi рухатимуться назу�стрiч один одному, то зустрiнуться через 2 год. Якщо ж вони їха�тимуть в одному напрямку, то автомобiль, який виїхав iз пункту


B, наздожене автомобiль, який виїхав iз пункту A, через 12 год.Знайдiть швидкiсть кожного автомобiля.

4. Два трактори рiзної потужностi, працюючи разом, можуть зорати

поле за 4 год. Якщо спочатку один трактор виоре2

3поля, а далi

другий — решту, то все поле буде зоране за 8 год. За скiльки го�дин може зорати поле кожний трактор, працюючи окремо?

VІ. Повторення та узагальнення знань та вмiнь

Для того щоб швидко перевiрити обчислювальнi навички учнiв таурiзноманiтнити форми роботи на уроцi, можна провести блiц�опитування за наведеними нижче завданнями. Пiсля виконанняучнями завдання (3–5 хв) вiдразу можна здiйснити перевiрку.

Картки для блiцопитування

Варiант 1

Встановiть вiдповiднiсть мiж виразом та його значенням

1 ( ) ( )− + −6 1 8 0 6, : , А 2,35

2 1

2

1

3

1

2−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

:Б 3

3 ( )0 1 0 82

, ,− В 1

3

4 ( )− +0 1 2 342

, , Г 7

5 ( )2 3 0 071

3

0, , :+ Д 0,49

Варiант 2


1 ( ) ( )− + −5 1 4 1 2, : , А –0,1

2 1

2

1

6

1

3−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

:Б 3

3 ( )0 3 0 52

, ,− В –1,4

4 − +2 4 0 8 1 6, : , , Г 0,04

5 0 6 0 4 12, : , − Д 1


Варiант 3


1 ( ) ( )− + −6 1 2 0 8, : , А 2

2 1

2

1

4

1

8−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

:Б –4

3 ( )0 2 0 62

, ,− В 4

4 ( )− + −4 16 0 42

, , Г 6

5 ( )3 1 0 091

4

0, , :+ Д 0,16

Варiант 4


1 ( )− +1 2 0 4 0 4, , : , А 2

2 3

8

1

416−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ Б 16

3 ( )− +0 6 2 64

, , В –0,4

4 ( )1 8 5 4 0 6, , : ,+ − Г –2

5 0 8 0 4 22, : , − Д –7,2

VІІ. Пiдсумки урокуПiдсумком цього й попереднього урокiв є усвiдомлення учнями

того, що математичне моделювання — узагальнення всiх способiврозв’язання текстових задач, якi учнi опанували протягом вивченняматематики в попереднiх класах.

VІІІ. Домашнє завданняПовторити схему розв’язання задач складанням математичної

моделi.Розв’язати задачi.

1. З мiста A до мiста B, вiдстань мiж якими дорiвнює 320 км, виїхавлегковий автомобiль. Через двi години пiсля цього з мiста B домiста A виїхав вантажний автомобiль, який зустрiвся з легковимчерез 2 год пiсля свого виїзду. Легковий автомобiль долаєвiдстань мiж мiстами A i B на 2 год 40 хв швидше, нiж вантаж�ний. Знайдiть швидкiсть кожного автомобiля.


2. Однiй друкарцi на друкування рукопису потрiбно на 10 год бiльше,нiж другiй. Коли перша друкарка пропрацювала 12 год, а потiм їїзамiнила друга, яка пропрацювала 9 год, то було надруковано60 % рукопису. За скiльки годин може надрукувати цей рукопискожна друкарка, працюючи окремо?

Повторити алгоритми розв’язання найпростiших задач на вiдсотки.


1. Цiна товару становила 160 грн. Через деякий час вона знизиласяна 4 грн. На скiльки вiдсоткiв змiнилася початкова цiна?

2. Сплав мiстить 12 % цинку. Скiльки кiлограмiв цинку мiститьсплав, маса якого дорiвнює 80 кг?

3. Число b становить 40 % вiд числа a, а число c — 40 % вiд числа b.Скiльки вiдсоткiв вiд числа a становить число c?

4. У Михайлика й Петра було разом 10 горiхiв, а в Петра й Марiй�ки — 12 горiхiв, а в Михайла й Марiйки — 14 горiхiв. Скiлькигорiхiв було в Михайла, Петра й Марiйки разом?

5. Обчислiть: ( ) ( ) ( ) ( )− + − + − + + −1 1 1 11 2 3 100… .

Урок № 41Вiдсотковi розрахунки. Формула складних вiдсоткiв


означення складних вiдсоткiв;

формули складних вiдсоткiв.

Систематизувати знання учнiв про вiдсоток та формули, за допо�могою яких розв’язуються найпростiшi задачi на вiдсотки.

Сформувати вмiння:

вiдтворювати змiст вивчених понять та алгоритмiв;

застосовувати знання пiд час виконання вправ, що передбачаютьрозв’язання основних задач на вiдсотки;

застосовувати формулу складних (банкiвських) вiдсоткiв.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Вiдсотки».

Хiд уроку





Учитель збирає зошити учнiв на перевiрку, домашню роботуоцiнює як домашню самостiйну роботу.


Учитель нагадує учням, що серед прикладних задач, якi можутьбути розв’язанi методом математичного моделювання, значне мiсцепосiдають задачi на вiдсотки, та наводить приклади таких задач (їхможна взяти зi збiрника для ДПА з алгебри у 9 класi). Замiсть прове�дення бесiди на цьому етапi можна запропонувати учням розв’язатиприкладну задачу на вiдсотковi розрахунки. Розв’язавши цю задачу,учнi доходять того ж самого висновку самостiйно. Отже, мета уро�ку — повторити, систематизувати знання про означення вiдсотка таспособи розв’язання основних задач на вiдсотковi розрахунки, до�повнити їх знаннями про банкiвськi вiдсотки, а також сформувативмiння застосовувати формулу складних вiдсоткiв пiд час розв’язу�вання задач.


1. Знайдiть:

1) 50 % вiд 124; 2) 10 % вiд 0,03; 3) 25 % вiд 1,64; 4) 20 % вiд1

5.

2. Знайдiть число:1) 50 % якого дорiвнює a;2) 25 % якого дорiвнює 0,51;

3) 10 % якого дорiвнює1

20;

4) 15 % якого дорiвнює 105.3. Знайдiть вiдсоткове вiдношення чисел:

1) 12,5 i 25; 2) 64 i 16; 3) 1,2 i 4,8; 4) a i b.

V. Систематизацiя знань, засвоєння нових знань

План вивчення матерiалу1. Означення вiдсотка вiд числа. Як записати вiдсотки у виглядi

дробу? Як записати дрiб у виглядi вiдсоткiв?2. Формули розв’язання основних задач на вiдсотки.3. Банкiвськi вiдсотки:

1) формула простих вiдсоткiв;2) формула складних вiдсоткiв.Вивчення матерiалу уроку починається з повторення та система�

тизацiї знань учнiв, яких вони набули в попереднiх класах: означення


вiдсотка вiд числа, а також способiв подання вiдсоткiв у виглядi дробу(десяткового й звичайного) та навпаки — запис дробу у вiдсотках.Умiння виконувати цi перетворення є основними, якi використову�ються пiд час розв’язування основних задач на вiдсотки. Потiм дореч�но повторити з учнями вiдомi їм види основних задач на вiдсотки таспособи їх розв’язання, бажано також узагальнити цi способи, запи�савши їх у виглядi формул (див. конспект 24).

Повторивши та узагальнивши матерiал, можна вводити поняттябанкiвських вiдсоткiв (простих та складних) i вивести формулидля їх обчислення. Оскiльки програма з математики не передба�чає формування вмiння доводити формули для обчисленнябанкiвських вiдсоткiв, тому вчитель виводить цi формули на при�кладi розв’язання вiдповiдних задач.

Конспект 24

Проценти (вiдсотки)

Означення. Процентом називається сота частина цiлого (яке береться заодиницю)

1 % вiд числа a a= 1

100

Основнi задачi на проценти

1. Знаходження процента вiд числа

p% вiд числа

apa=

100

Приклад. Знайти 7 % вiд числа 300.

Розв’язання.7

100300 21⋅ =

2. Знаходження числа за заданим значенням його процента

Якщо p% вiд якогосьчисла дорiвнює b, товсе число дорiвнює

bp b

p:100

100= ⋅.

Приклад. Знайти число, 30 % якого дорiвнює 24.

Розв’язання. Шукане число x є розв’язком

рiвняння30

10024⋅ =x , звiдки x = =24

30

10080: .

3. Знаходження процентного вiдношення двох чисел

Число a складаєa

b⋅100% вiд числа b

Приклад. Скiльки процентiв складає число 26 вiдчисла 65?

Розв’язання. Шукане число процентiв x задоволь�

няє рiвнянняx

10065 26⋅ = , звiдки

x = ⋅ =26

65100 40 (%).


4. Складнi проценти

Поняття складного процента. Якщо задане число щороку (щомiсяця,щодня тощо) збiльшується на p% без вилучення приросту (тобто прирiстза рiк додається до початкової величини i процент за наступний рiк об�числюється з нарощеної величини), то в цьому випадку говорять про

складнi проценти (аналогiчно, якщо щороку «зменшується на p%»)

Обчислення складних процентiв

Стежити за змiною заданого числа пiд час обчислювання складних про�центiв зручно за допомогою таких таблиць, увiвши коефiцiєнт збiльшен�

ня (зменшення) k

1�й рiк 2�й рiк 3�й рiк … n�й рiк

Щорiчне збiльшення на p% kp= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1100

Було a ka k a2 …

Збiль�шило�ся нарiк

pa

100⋅ p

ka100

⋅ pk a

1002⋅ …

Стало ap

a+ ⋅ =100

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1100

pa

= ka

kap

ka+ ⋅ =100

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1100

pka

= k a2

k ap

k a2 2

100+ ⋅ =

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1100

2pk a

= k a3

… k an

Щорiчне зменшення на p% kp= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1100

Було a ka k a2 …

Змен�шило�ся нарiк

pa

100⋅ p

ka100

⋅ pk a

1002⋅ …

Стало ap

a− ⋅ =100

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1100

pa

= ka

kap

ka− ⋅ =100

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1100

pka

= k a2

k ap

k a2 2

100− ⋅ =

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1100

2pk a

= k a3

… k an



На цьому етапi учням можна запропонувати виконати самостiйнуроботу або тестовi завдання.

Самостiйна робота

Знаходження вiдсоткiввiд числа

Знаходження числаза його вiдсотком

Знаходженнявiдсоткового вiдношен-

ня двох чисел

Варiант 1

Розчин мiстить 4 %солi. Скiльки грамiвсолi мiстить 350 г роз�чину?

Руда мiстить 8 % оло�ва. Скiльки кiлограмiвруди треба взяти, щоботримати 96 кг олова?

Скiльки вiдсоткiв годи�ни становлять 24 хв?

Варiант 2

Скiльки кiлограмiв солiмiститься у 12 кг8�вiдсоткового розчи�ну?

Сплав мiстить 21 %срiбла. Скiльки грамiвсплаву треба взяти,щоб вiн мiстив 63 гсрiбла?

Товар коштував 140 грн.Через деякий час йогоцiна збiльшилася на35 грн. На скiлькивiдсоткiв пiдвищиласяцiна товару?


1. Скiльки кiлограмiв солi мiститься в 30 кг 5 % розчину?А) 2; Б) 1,5; В) 3; Г) 2,5.

2. 30 % деякого числа дорiвнюють 18. Знайдiть це число.А) 90; Б) 48; В) 30; Г) 60.

3. Скiльки вiдсоткiв складає число 25 вiд числа 125?А) 10; Б) 15; В) 20; Г) 25.

4. На скiльки вiдсоткiв збiльшиться периметр квадрата, якщо йогопериметр збiльшити на 20 %?А) На 20 %; Б) на 40 %; В) на 80 %; Г) на 144 %.

5. У школi 50 % учнiв вiдвiдують спортивнi секцiї, з них 30 % спiва�ють у хорi. Який вiдсоток учнiв школи одночасно вiдвiдує спор�тивнi секцiї i спiває в хорi?А) 15 %; Б) 20 %; В) 25 %; Г) 80 %.Варiант 2

1. Скiльки кiлограмiв солi мiститься в 12 кг 8 % розчину?А) 0,72; Б) 7,2; В) 0,96; Г) 9,6.


2. Знайдiть число, якщо вiдомо, що 40 % його дорiвнюють 80.А) 400; Б) 300; В) 200; Г) 100.

3. Скiльки вiдсоткiв складає число 5 вiд числа 20?А) 400; Б) 25; В) 50; Г) 40.

4. На скiльки вiдсоткiв збiльшиться довжина кола, якщо його радi�ус збiльшити на 25 %?А) На 50%; Б) на 25 %;В) на 12,5 %; Г) на 100 %.

5. Цiну деякого товару знизили спочатку на 20 %, а потiм одержануцiну знизили ще на 10 %. На скiльки вiдсоткiв знизили всього по�чаткову цiну товару?А) На 30 %; Б) на 15 ;В) на 28 %; Г) на 24 %.

Виконання письмових вправ1. Із молока виходить 23 % вершкiв за масою. Скiльки кiлограмiв

вершкiв можна дiстати iз 250 кг молока?2. Із 800 г сирого м’яса одержали 520 г вареного. Скiльки вiдсоткiв

маси втратило сире м’ясо пiд час варiння?3. Скiльки грамiв солi потрiбно взяти, щоб приготувати 15�вiдсотко�

вий розчин, маючи 340 г води?4. Вкладник поклав на рахунок до банку 2 000 грн пiд 11 % рiчних.

На скiльки бiльше вiд внесеної суми вiн зможе одержати грошейчерез 3 роки?

5. Вкладник поклав на рахунок до банку 10 700 грн. Частину гро�шей вiн поклав пiд 8 % рiчних, а решту — пiд 6 % рiчних. Черезрiк сума грошей, покладених пiд 8 % рiчних, дорiвнювала сумiгрошей, покладених пiд 6 % рiчних. Яку суму поклав вкладникпiд 8 % рiчних?

6. Щоб одержати 100 л 48�вiдсоткового розчину азотної кислоти,змiшали 40�вiдсотковий розчин цiєї кислоти iз 60�вiдсотковимрозчином. Скiльки лiтрiв кожного з розчинiв використали?

З метою кращого засвоєння учнями змiсту матерiалу уроку тасвiдомого розумiння поняття вiдсотка, рекомендується пiдчас виконання вiдповiдних вправ неодноразово повторюватиозначення та формули. Важливо сформувати навички нефор�мального виконання вправ на вiдсотки. Розв’язування задачiповинно розпочинатися з аналiзу її умови та встановленнявиду задачi, пiсля чого виконувати дiї вiдповiдно до запи�саних формул.



Тестове завдання1. Умiст цукру в яблуках 9,6 %. Скiльки кiлограмiв цукру мiстить

75 кг цих яблук?А) 6,4; Б) 64; В) 7,2; Г) 72.

2. Температура повiтря становила 30 °С. За добу вона знизилася на6 °С. На скiльки вiдсоткiв знизилася температура повiтря?А) На 16 %; Б) на 20 %; В) на 24 %; Г) на 18 %.


Повторити означення вiдсоткiв, вивчити формули розв’язаннязадач на вiдсотки та формулу складних вiдсоткiв (див. конспект 24).

Розв’язати задачi.1. Магнiтний залiзняк мiстить 70 % залiза за масою. Скiльки тонн

залiза мiстять 11,7 т магнiтного залiзняку?2. Урожай цукрових бурякiв зiбрано iз 45 % дiлянки. З якої площi

не зiбрано врожай, якщо площа всiєї дiлянки 72 га?3. Скiльки грамiв води потрiбно взяти, щоб приготувати 30�вiдсот�

ковий розчин, маючи 360 г солi?4. Вкладник поклав на рахунок до банку 1 000 грн пiд 10 % рiчних.

Яку суму вiн матиме на рахунку через 3 роки?5. Вкладник поклав на рахунок до банку 3 000 грн. Частину грошей

вiн поклав пiд 8 % рiчних, а решту — пiд 7 % рiчних. Через рiкприбуток вiд суми грошей, покладених пiд 8 % рiчних, виявивсяна 60 грн бiльшим за прибуток вiд суми, покладеної пiд 7 %рiчних. Скiльки грошей поклав вкладник пiд 8 % рiчних?

6. Бронза — сплав, що мiстить 85 % мiдi i 15 % олова. Скiльки мiдiй олова потрiбно взяти, щоб дiстати 240 кг бронзи?Повторити розв’язання задач на складання математичних моде�

лей реальних процесiв.

Урок № 42Вiдсотковi розрахунки. Формула складних вiдсоткiв

Мета: працювати над подальшим засвоєнням знань учнiв проосновнi задачi на вiдсотки.

Продовжити роботу над формуванням умiнь та навичок застосо�вувати вивченi формули до розв’язання задач на вiдсотковi розра�хунки.

Повторити вiдомостi з теми «Множина дiйсних чисел».Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.



Хiд уроку




На цьому етапi можна провести роботу з перевiрки домашньогозавдання за зразком або перевiрити засвоєння основних знань тавмiнь попереднього уроку, запропонувавши учням виконати тестовiвправи.

Варiант 11. Скiльки вiдсоткiв години становлять 42 хв?

А) 24 %; Б) 42 %; В) 70 %; Г) 170 %.2. Умiст цукру в яблуках складає 9,6 %. Скiльки кiлограмiв цукру

мiститься у 25 кг таких яблук?А) 24 кг; Б) 2,4 кг; В) 38,4 кг; Г) 3,84 кг.

3. Цiну на товар знизили на 10 %, i вiн став коштувати 432 грн.Якою була початкова цiна товару?А) 4320 грн; Б) 480 грн; В) 442 грн; Г) 475,2 грн.

4. Вкладник поклав на рахунок до банку 20 000 грн пiд 10 %рiчних. Скiльки гривень буде в нього на рахунку через 2 роки?А) 20 100 грн; Б) 21 000 грн; В) 24 200 грн; Г) 22 000 грн.Варiант 2

1. Скiльки вiдсоткiв години становлять 48 хв?А) 80 %; Б) 48 %; В) 8 %; Г) 84 %.

2. У сплавi мiдi з оловом 40 % становить мiдь. Скiльки кiлограмiвмiдi мiстить шматок такого сплаву масою 8 кг?А) 50 кг; Б) 5 кг; В) 3,2 кг; Г) 32 кг.

3. Цiну на товар пiдвищили на 10 %, i вiн став коштувати 495 грн.Якою була початкова цiна товару?А) 4950 грн; Б) 544,5 грн; В) 45 грн; Г) 450 грн.

4. Вкладник поклав на рахунок до банку 10 000 грн пiд 20 %рiчних. Скiльки гривень буде в нього на рахунку через 2 роки?А) 10400 грн; Б) 40 000 грн; В) 14 000 грн; Г) 14 400 грн.


Оскiльки на попередньому уроцi було розглянуто найпростiшi за�дачi на вiдсотки, то на цьому уроцi логiчно продовжити роботу з фор�мування вмiнь розв’язувати задачi на вiдсотковi розрахунки бiльш


високого рiвня складностi. Отже, основна мета уроку — подальшесвiдоме засвоєння знань про розв’язання задач на вiдсотки та форму�вання сталих умiнь i навичок виконувати дiї вiдповiдно до типу задачi.



1) ( )− ⋅ − −0 7 0 4 0 3, , , ; 2)b2 1

2

−при b = − 5; 3)

150

6; 4) (26)4:28.

2. Складiть математичну модель i розв’яжiть її за умовою задачi.Басейн можна заповнити за 3 год, а спустити воду через зливний

отвiр — за 5 год. Скiльки часу знадобиться для наповнення басейну,якщо не закривати зливний отвiр?

Виконання тестових завдань на повторенняВарiант 1

1. Яке з наведених чисел є рацiональним?А) π; Б) 36, ; В) 5; Г) 0 01, .

2. Яку цифру треба поставити замiсть зiрочки, щоб число 257* булократне 6?А) 0; Б) 4; В) 6; Г) 8.

3. Яке з наведених чисел не можна записати у виглядi скiнченногодесяткового дробу?

А)1

2; Б)

1

4; В)

1

6; Г)

1

16.

4. У ящику лежить певна кiлькiсть яблук. Виявилося, що їх можнарозкласти в 5 однакових рядiв, або у 8 однакових рядiв, або у 12однакових рядiв. Яка найменша кiлькiсть яблук може бутив ящику?А) 480; Б) 240; В) 120; Г) 60.

5. Знайдiть рiзницю 12 год 16 хв i 9 год 42 хв.А) 3 год 34 хв; Б) 3 год 58 хв; В) 2 год 34 хв; Г) 2 год 58 хв.

6. Округлiть число 8,484 з точнiстю до сотих.А) 8,38; Б) 8,49; В) 8,5; Г) 8,4.Варiант 2

1. Яке з наведених чисел не є натуральним?А) 0; Б) 1; В) 4; Г) 0 01, .

2. Яку цифру треба приписати лiворуч i праворуч до числа 25, щоботримане число було кратним 6?А) 6; Б) 5; В) 4; Г) 1.


3. Яке з наведених чисел не можна записати у виглядi скiнченногодесяткового дробу?

А)11

16; Б)

24

600; В)

5

12; Г)

18

125.

4. У кожному букетi має бути 2 червонi й 3 бiлi троянди. Яку най�бiльшу кiлькiсть таких букетiв можна скласти з 40 червонихi 50 бiлих троянд?А) 18; Б) 17; В) 16; Г) 15.

5. Знайдiть рiзницю 35 хв 17 с i 15 хв 35 с.А) 20 хв 18 с; Б) 20 хв 42 с; В) 19 хв 42 с; Г) 19 хв 18 с.

6. Округлiть число 5,238 з точнiстю до сотих.А) 5,24; Б) 5,23; В) 5,2; Г) 5,3.


Виконання письмових вправ1. Яку мiнiмальну суму грошей потрiбно покласти на рахунок до

банку пiд 10 % рiчних, щоб через 3 роки одержати бiльше нiж50 000 грн?

2. Пiдприємець узяв кредит у банку в розмiрi 30 000 грн пiд деякийвiдсоток рiчних. Через рiк вiн повернув до банку 43 200 грн. Пiдякий вiдсоток рiчних брав кредит пiдприємець?

3. Цiну товару знизили на 10 %, а потiм нову цiну пiдвищили на5 %. На скiльки вiдсоткiв змiнилася початкова цiна пiсля двохпереоцiнок?

4. З удосконаленням технологiї продуктивнiсть працi на пiдприєм�ствi збiльшилася на 20 %. Скiльки вiдсоткiв вiд нової становилапопередня продуктивнiсть?

5. Сплав золота зi срiблом, що мiстить 5 кг срiбла, сплавили iз 15 кгсрiбла. Вiдсотковi вмiсти золота в початковому та одержаномусплавi вiдрiзняються на 30 %. Знайдiть масу початкового сплаву.

6. Скiльки грамiв 4�вiдсоткового i скiльки грамiв 10�вiдсотковогорозчинiв солi треба взяти, щоб одержати 180 г 6�вiдсотковогорозчину?

7. Вкладник поклав до банку на два рiзнi рахунки 1 200 грн. За пер�шим рахунком банк виплачує 6 % рiчних, а за другим — 8 %рiчних. Через рiк клiєнт отримав 80 грн вiдсоткових грошей.Скiльки гривень вiн поклав на кожен рахунок?

Як було зазначено, серед задач, якi мають бути розв’язанi науроцi, є задачi, що описують знайомi учням ситуацiї, хоча ма�ють бiльш високий рiвень складностi. З метою кращого


засвоєння знань та свiдомого виконання дiй пiд час розв’язу�вання задач бажано вимагати вiд учнiв коментарiв, що спира�ються на означення вiдсотка та формул вiдсоткових розра�хункiв. Слiд також зазначити, що складання таблицi доумови задачi значно полегшує її розв’язання. Розглянемотаблицю до задачi 6.

Розчини % Маса розчину Маса солi

I 4 x 0 04, x

II 10 180 − x ( )0 1 180, − x

III 6 180 10,8

Зрозумiло, що за цiєю таблицею неважко скласти рiвняння дорозв’язання задачi.

Таблиця до задачi 7, незважаючи на iнший змiст цiєї задачi,є аналогiчною до наведеної вище таблицi. Отже, доцiльно розв’язатизадачi на сплави (розчини) та банкiвськi внески одна за одною.

Вклади % Рахунок Рiчнi

1�й рахунок 6 x 0 06, x

2�й рахунок 8 1200 − x ( )0 08 1200, − x

1200 80


Контрольне запитанняЦiну деякого товару спочатку знизили на 10 %, потiм — ще на

25 %, а через деякий час пiдвищили на 20 %. Як змiнилася початко�ва цiна товару?


Повторити формули вiдсоткових розрахункiв.Розв’язати задачi домашньої самостiйної роботи.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1

1. В автопарку було 200 машин, 115 з яких є вантажiвки. Скiлькивiдсоткiв усiх машин автопарку є вантажними?

2. Вкладник поклав на рахунок до банку 10 000 грн пiд 14 % рiч�них. Скiльки грошей буде на його рахунку через 2 роки?


3. Вартiсть деякого товару спочатку пiдвищили на 20 %, а потiмзнизили на 20 %. На скiльки вiдсоткiв i як змiнилася початковацiна товару?

4. Скiльки грамiв 5�вiдсоткового i скiльки грамiв 8�вiдсотковогорозчинiв солi треба взяти, щоб одержати 200 г 7�вiдсотковогорозчину?

Варiант 21. В автопарку було 300 машин, 105 з яких є легковими. Скiльки

вiдсоткiв усiх машин автопарку є легковими?

2. Вкладник поклав до банку 4 000 грн пiд 15 % рiчних. Скiлькигрошей буде на його рахунку через 2 роки?

3. Вартiсть деякого товару спочатку пiдвищили на 25 %, а потiмзнизили на 26 %. На скiльки вiдсоткiв i як змiнилася початковацiна товару?

4. Маємо два сплави мiдi й цинку. Перший сплав мiстить 9 %, а дру�гий — 30 % цинку. Скiльки треба взяти кiлограмiв першогой скiльки кiлограмiв другого сплаву, щоб одержати сплав масою300 кг, що мiстить 23 % цинку?

Повторити означення рацiонального виразу, рацiонального дробута його основну властивiсть.

Урок № 43Випадкова подiя. Ймовiрнiсть випадкової подiї


поняття випадкової подiї, вiрогiдної подiї, неможливої подiї;

означення ймовiрностi випадкової подiї;

формули для обчислення ймовiрностi простої випадкової подiї.


визначати вид подiї (випадкова, вiрогiдна, неможлива);

визначати за формулою ймовiрнiсть простої подiї;

розв’язувати задачi, що передбачають обчислення ймовiрностi заформулою.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Імовiрнiсть випадкової подiї».

Хiд уроку





Учитель збирає зошити з виконаною домашньою самостiйною ро�ботою на перевiрку. Для учнiв, якi потребують додаткової педаго�гiчної уваги, заздалегiдь готуються записи розв’язань задач само�стiйної роботи, якi роздаються для самостiйного опрацювання вдома.Найбiльш складнi моменти розв’язань задач можна прокоментувати.


Учитель нагадує учням, що основна мета вивчення роздiлу «Еле�менти прикладної математики» — це оволодiння найпростiшими спо�собами розв’язання прикладних задач, а також оволодiння способамиоцiнювання та подачi iнформацiї про реальнi фiзичнi, хiмiчнi, со�цiальнi процеси. У цьому контекстi стає зрозумiлою логiка вивченняроздiлу 3. Пiсля розгляду загального способу розв’язання прикладнихзадач вивчається питання про окремi їх види. Якщо розглядати при�кладнi задачi з точки зору способу опису реальних процесiв, то задачiможна подiлити на групи. Задачi на вiдсотки описують змiну вели�чин, задачi на ймовiрнiсть вивчають можливiсть того, вiдбудетьсяабо не вiдбудеться певний процес. Існують задачi, мета розв’язанняяких — обробка та подача iнформацiї про результати дослiдженняпроцесiв, що вiдбуваються в навколишньому середовищi. Цi твер�дження є основними тезами бесiди з учнями, пiд час якої форму�люється мета уроку. Отже, на уроцi необхiдно повторити та система�тизувати знання про ймовiрнiсть випадкової подiї, доповнити їхвiдомостями про способи обчислення ймовiрностi випадкової подiї.


Виконання усних вправ1. Із послiдовностi чисел –9; –7; –6; 2; 3; 5 вибрали два числа й за�

мiнили їх добутком. Якого найбiльшого значення може набутицей добуток?

2. Насос перекачав до басейну 48 м3 води, що становить 60 % об’ємубасейну. Який об’єм має басейн?

3. Цiна товару пiдвищилася з 600 грн до 624 грн. На скiлькивiдсоткiв вiдбулося пiдвищення цiни товару?


План вивчення нового матерiалу1. Подiя, випадкова подiя, вiрогiдна подiя, неможлива подiя.2. Класичне означення ймовiрностi випадкової подiї. Формула об�

числення ймовiрностi випадкової подiї.


Вивчення матерiалу уроку починається з формування уявлен�ня учнiв про змiст таких понять: подiя, випадкова подiя, вiро�гiдна подiя, неможлива подiя. Оскiльки чинною програмоюне передбачено введення строгих математичних означень, томожна обмежитися формуванням уявлень про подiї та їх видина побутовому рiвнi. Учнi мають усвiдомити, що являють со�бою такi види подiй, i навчитися наводити приклади такихвидiв подiй.

Класичне означення ймовiрностi та формула обчислення ймо�

вiрностi простих випадкових подiй ( )P Am

n= , деm— кiлькiсть спри�

ятливих подiй, n — кiлькiсть всiх випадкiв, формулюється на iнтуї�тивному рiвнi, без строгих означень та доведень i ґрунтується нажиттєвому досвiдi учнiв. Проте на деякi математичнi властивостiцього вiдношення слiд звернути увагу учнiв. Імовiрнiсть вира�жається невiд’ємним числом у межах вiд 0 до 1; iмовiрнiсть немож�ливої подiї дорiвнює 0; ймовiрнiсть вiрогiдної подiї дорiвнює 1.

Конспект 25

Імовiрнiсть випадкової подiї

1. Класифiкацiя подiй

Усi подiї (тобто явища, про якi можна сказати, що вони вiдбудуться абоне вiдбуваються, або не вiдбудуться) подiляються на:

1) вiрогiднi (достовiрнi) — подiї, якi обов’язково вiдбудуться за певних умов;

2) неможливi — подiї, якi не вiдбудуться за жодних умов;

3) випадковi — подiї, якi можуть вiдбутися або не вiдбутися за певних умов.

2. Імовiрнiсть подiї

Імовiрнiстю подiї A називають вiдношення числа сприятливих для цiєїподiї результатiв випробувань до числа всiх випробовувань.

( )P Am

n= ,

де n — кiлькiсть усiх випробувань, m — кiлькiсть сприятливих умов.

3. Властивостi

Якщо A — вiрогiдна подiя, то ( )P A = 1.

Якщо A — неможлива подiя, то ( )P A = 0.

Якщо A — випадкова подiя, то ( )0 1< <P A .

Загалом, для будь�якої подiї A: ( )0 1≤ ≤P A .



Виконання усних вправ1. Визначте вид подiї:

Подiя A — «Сьогоднi о 23 годинi сонце буде за горизонтом».Подiя B — «У серпнi занять у школi не буде».Подiя C — «Учень накреслив чотирикутник, сума внутрiшнiх

кутiв якого дорiвнює 270°».Подiя D — «Сьогоднi о 22 годинi сонце буде в зенiтi».Подiя E — «Учень описав навколо чотирикутника коло».Подiя F — «Учень описав навколо трикутника коло».

2. Знайдiть iмовiрнiсть таких подiй:1) пiсля середи настане четвер;2) лiту передує весна;3) у результатi пiдкидання грального кубика випаде число, щоменше за 3;4) у результатi пiдкидання грального кубика випаде число, щобiльше за 7.

3. Футбольна команда проводить у середньому 40 iгор за сезон i з нихвиграє 32. Обчислiть iмовiрнiсть того, що ця команда переможев матчi?

4. Імовiрнiсть того, що сьогоднi пiде дощ, дорiвнює2

3. Яка ймовiр�

нiсть того, що дощу сьогоднi не буде?

Виконання письмових вправ1. Знайдiть iмовiрнiсть того, що в результатi пiдкидання грального

кубика випаде парне число очок.2. В урнi мiститься 10 однакових за розмiром кульок: 6 жовтих i 4 си�

нiх. Кульки перемiшали. Знайдiть iмовiрнiсть того, що навманнявибрана кулька буде:1) синього кольору;2) жовтого кольору;3) чорного кольору;4) будь�якого кольору.

3. В урнi знаходяться пронумерованi 100 жетонiв (вiд 1 до 100). Якаймовiрнiсть того, що номер навмання взятого з урни жетона немiстить цифри 2?

4. Учень задумав двозначне число. Яка ймовiрнiсть того, що ученьзадумав двоцифрове число, яке записується рiзними цифрами?



1. Доведiть, що вираз ( )( ) ( )( )x x x x x+ − + − − −4 4 16 10 12 2 набуває

додатних значень при всiх значеннях x. Якого найменшого зна�чення набуває цей вираз i при якому значеннi x?


1)9 6 1

9 1

2

2

x x

x

+ +−

; 2)7 28

162

x

x

+−

.

З метою усвiдомленого засвоєння учнями змiсту теоретичнихвiдомостей рекомендується пiд час виконання вправ неодно�разово й неформально вiдтворювати означення нових понять.

Важливо сформувати вмiння виконувати дiї, що передбаченi за�стосуванням формули ймовiрностi:

визначення кiлькостi всiх можливих випадкiв;визначення кiлькостi сприятливих випадкiв;знаходження вiдношення кiлькостi сприятливих випадкiв докiлькостi всiх можливих випадкiв.Пiд час пiдрахунку кiлькостi сприятливих та можливих випадкiв

можна використовувати як правила перебору варiантiв, так i почат�ковi вiдомостi з комбiнаторики, якщо учнi такими володiють.


Контрольне запитанняВ ящику мiстяться кульки: 3 — синього кольору, 2 — бiлого та

5 — червоного. Яка ймовiрнiсть того, що навмання витягнута кулькабуде бiлого кольору?


Вивчити означення понять, розглянутих на уроцi.Розв’язати задачi.

1. В урнi 5 червоних, 9 синiх i 6 жовтих кульок. Яка ймовiрнiстьтого, що навмання взята кулька буде жовтою?

2. Яка ймовiрнiсть того, що в результатi одного пiдкидання грально�го кубика випаде число, що дiлиться на 3?

3. На шкiльному вечорi присутнi 25 учнiв 9�А класу, 23 учнi 9�Б кла�су i 22 учнi 9�В класу. Яка ймовiрнiсть того, що учень, з яким визаговорите, навчається в 9�А класi?

4. Визначте вид подiї:Подiя A — «Учень побудував трикутник, сума кутiв якого до�

рiвнює 185°».


Подiя B — «Учень вписав у рiвностороннiй трикутник коло,центр якого знаходиться в точцi перетину медiан».

Подiя C — «Учень описав навколо трикутника коло з центрому точцi перетину висот».

ПодiяD— «Із ящика, в якому є 90 стандартних деталей, навман�ня витягнули стандартну деталь».


1. Доведiть, що вираз ( )( ) ( )( )x x x x x+ − + − − −3 3 9 6 12 2 набуває до�

датних значень при всiх значеннях x. Якого найменшого значен�ня набуває цей вираз i при якому значеннi x?


1)25 1

25 10 1

2

2

x

x x

−− +

; 2)3 12

162

a

a

−−

.

Повторити дiї над рацiональними дробами.

Урок № 44Випадкова подiя. Ймовiрнiсть випадкової подiї

Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями змiступонять про подiю, випадкову подiю, неможливу подiю, вiрогiднуподiю, ймовiрнiсть випадкової подiї та формули її обчислення.

Формувати вмiння класифiкувати подiї, застосовувати формулуобчислення ймовiрностi випадкової подiї пiд час розв’язуваннявiдповiдних задач.

Продовжити роботу з формування навичок виконувати вiдсотковiрозрахунки.

Повторити дiї над рацiональними дробами.



Хiд уроку




Перевiрку правильностi виконання домашнiх вправ можна вико�нати за зразком.

Інший варiант проведення цього етапу — виконання тестової ро�боти з наступною перевiркою та обговоренням результатiв.



1. Яка з наведених подiй є випадковою?А) Довжина гiпотенузи прямокутного трикутника з катетами3 см i 4 см;Б) виграш 5 грн у лотерею;В) довжина кола радiуса 3 см;Г) настання осенi пiсля лiта.

2. Яка з наведених подiй є неможливою?А) Настання понедiлка пiсля недiлi;Б) випадiння снiгу взимку;В) виймання з ящика з червоними кульками бiлої кульки;Г) виграш 100 грн у лотерею.

3. Яка з наведених подiй є вiрогiдною?А) Випадання двох шiсток на двох гральних кубиках у результатiїх пiдкидання;Б) випадання герба за одноразового пiдкидання монети;В) настання недiлi одразу пiсля понедiлка;Г) настання зими пiсля осенi.

4. Яка ймовiрнiсть того, що в результатi одного пiдкидання грально�го кубика випаде число очок, що дорiвнює парному числу?

А)1

2; Б) 3; В) 2; Г)

1

6.

5. Кидають двi однаковi монети. Яка ймовiрнiсть того, що випадутьдва герби?

А) 1; Б) 0; В)1

2; Г)

1

4.

6. У коробцi лежать кульки рiзних кольорiв: 12 — бiлого, 7 — чор�ного i 1 — зеленого. З цього ящика навмання беруть одну кульку.Яка ймовiрнiсть того, що ця кулька бiлого кольору?

А) 12; Б)1

12; В)

12

19; Г)

3

5.

Варiант 21. Яка з наведених подiй є випадковою?

А) Випадання герба за одноразового пiдкидання монети;Б) настання лiта пiсля весни;В) довжина катета прямокутного трикутника, гiпотенуза якогодорiвнює 10 см, а iнший катет — 6 см;Г) площа прямокутника зi сторонами 7 см i 8 см.


2. Яка з наведених подiй є неможливою?А) Випадання герба за одноразового пiдкидання монети;Б) випадання двох шiсток на двох гральних кубиках у результатiїх пiдкидання;В) випадiння снiгу восени;Г) виймання з ящика з чорними кульками чорного паралелепi�педа.

3. Яка з наведених подiй є вiрогiдною?А) Випадiння дощу восени;Б) настання осенi пiсля зими;В) виграш 1млн грн у лотерею;Г) випадання числа вiд 1 до 6 у результатi пiдкидання гральногокубика.

4. Яка ймовiрнiсть того, що за одного пiдкидання грального кубикавипаде число очок, що бiльше нiж 3?

А) 4; Б)1

2; В) 3; Г) 1.

5. Кидають двi однаковi монети. Яка ймовiрнiсть того, що випадутьгерб i цифра?

А) 1; Б) 0; В)1

2; Г)

1

4.

6. У коробцi лежать кульки рiзного кольору: 12 — бiлого, 7 — чор�ного i 1 — зеленого. З цього ящика навмання беруть одну кульку.Яка ймовiрнiсть того, що ця кулька чорного кольору?

А)7

20; Б) 7; В)

7

19; Г)

1

7.


Оскiльки на попередньому уроцi було розглянуто досить великийобсяг навчального матерiалу, то основна мета уроку полягає в по�дальшому його засвоєннi та формуванню сталих умiнь та навичок ви�користовувати набутi знання для розв’язування задач на обчисленняймовiрностi випадкових подiй. На цьому уроцi бажано розв’язатибiльш складнi задачi на обчислення ймовiрностi.

ІV. Вiдтворення опорних знань

Виконання тестових завдань на повторенняВарiант 1

1. Який iз наведених виразiв є одночленом?

А) 2a b− ; Б) ab; В)a

b; Г) a b2 2+ .


2. Обчислiть значення виразу1

3

1

4x y+ , якщо x = 24, y = −16.

А) 4; Б) 6; В) 12; Г) 2.3. Який iз наведених виразiв має змiст при будь�якому значеннi x?

А)x

x

+−

4

4; Б)

x

x

−+

4

4; В)

x

x

+−4

42; Г)

x

x

++4

42.

4. Скоротiть дрiб9

6

6

18

n

n.

А)3

2

3n; Б)

3

2

2n; В)

3

2 3n; Г)

3

2 12n.


2 6

2a a

a

−−

.

А)a

2; Б) −a

2; В) 3; Г) �3.

6. Виконайте вiднiмання:5 6

5

3 16

5

x

x

x

x

+−

− +−

.

А) –2; Б)2 22

5

x

x

+−

; В) 2; Г)2 10

5

x

x

+−

.

Варiант 21. Який iз наведених виразiв є одночленом?

А) m n2 2 ; Б) m n2 2− ; В)m

n; Г) m n+ 2 .

2. Обчислiть значення виразу 0 2, x y+ , якщо x = −15, , y = 1.А) 4; Б) 6; В) 12; Г) 2.

3. При якому значеннi змiнної не має змiсту вираз7

3 18x−?

А) 7; Б) –7; В) 6; Г) –6.


28

8

4

a

a.

А)3

2

4a; Б)

3

2

2a; В)

3

2 2a; Г)

3

2 4a.


4 8

a

a +.

А)a

a + 8; Б)

a

a4 2+; В)

a

a + 2; Г)

a

a2 4+.

6. Виконайте вiднiмання:a a

a

a

a

2 5

6

36 5

6

−+

− −+

.

А) a + 6; Б)a

a

−+

6

6; В) a − 6; Г) 1.



1. У парку росло 350 дерев, з яких 48 % складали берези. Скiлькиберiз росло в парку?

2. Визначте вид подiї (вiрогiдна, неможлива, випадкова), оцiнiть їхiмовiрнiсть:

1) у результатi пiдкидання монети випаде герб;

2) у результатi одного пiдкидання грального кубика випаде 7 очок;

3) пiсля ночi настане вечiр.

3. У шаховому турнiрi брало участь 10 гравцiв, кожен з яких зiграводну партiю з кожним з решти гравцiв. Скiльки всього партiйбуло зiграно?

4. У лотереї 100 квиткiв, iз них 5 виграшних. Яка ймовiрнiсть про�грашу?

5. На екзаменi — 24 бiлети. Хлопчик не вивчив питання одного бiле�та й дуже боїться його витягнути. Яка ймовiрнiсть, що хлопчикудiстанеться «нещасливий» бiлет?



1. Якi з наведених подiй є випадковими:

1) випадання герба за одного пiдкидання монети;

2) площа прямокутника зi сторонами 6 см i 8 см;

3) випадання двох шiсток на двох гральних кубиках за їх пiдки�дання;

4) виймання кульки чорного кольору з ящика, в якому 7 кульокбiлого кольору i 8 — чорного?

2. Якi подiї можуть вiдбутися внаслiдок таких випробовувань:

1) пiдкидання грального кубика;

2) виймання кульки з ящика, в якому лежать кульки бiлогой чорного кольорiв?

3. З класу, в якому навчається 24 учнi, викликають одну особу. Якаймовiрнiсть, що це хлопець, якщо в класi 9 хлопцiв?

4. Із 28 футболiстiв, якi присутнi на тренувальних зборах, 20 їдутьна чемпiонат свiту. Яка ймовiрнiсть, що навмання обраний фут�болiст не їде на чемпiонат свiту?

5. У кошику лежать котушки з нитками червоного, синього й зеле�ного кольорiв. Червоних ниток — 40 %, синiх — 25 %, зелених —35 %. Яка ймовiрнiсть, що взята навмання котушка буде iз зеле�ними або червоними нитками?


6. У кошику лежать котушки з нитками чотирьох кольорiв: черво�них ниток — 35 %, синiх — 30 %, жовтих — 25 %, зелених —10 %. Яка ймовiрнiсть, що навмання взята котушка буде iз черво�ними або жовтими нитками?

7. Дитина грається п’ятьма кубиками з лiтерами О, П, Р, С, Т. Якаймовiрнiсть, що в результатi випадкового розмiщення лiтер дити�на утворить слово СПОРТ?

8. Дитина грається шiстьма кубиками з лiтерами Б, З, Р, И, У, Т.Яка ймовiрнiсть, що в результатi випадкового розмiщення лiтердитина утворить слово ТРИЗУБ?


Доведiть, що при всiх допустимих значеннях змiнної вираз

a

a

a

a a a

+−

− −+

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

3

3

3

3

36

9

6

32:

не залежить вiд значення a.

Змiст вправ та мета їх виконання такi самi, як i на поперед�ньому уроцi (якщо дозволяють успiхи учнiв, пiдвищуєтьсярiвень складностi задач за рахунок задач на застосування най�простiших формул комбiнаторики): вiдпрацьовуємо змiст по�нять про випадковi, вiрогiднi, неможливi подiї, а також змiсткласичної формули обчислення ймовiрностi. За наявностiчасу бажано виконати вправу на повторення з обов’язковимкоментуванням основних етапiв розв’язання.



У кошику лежать 6 пирiжкiв з м’ясом, 8 — з повидлом та 5 —з вишнями. Яка ймовiрнiсть, що навмання взятий пирiжок буде:

1) з вишнями;

2) не з м’ясом.


Повторити матерiал, що мiститься в конспектi 25.



1. З класу, в якому навчається 28 учнiв, 16 брали участь у спартакi�адi. Яка ймовiрнiсть, що навмання обраний учень брав участьу спартакiадi?


2. Учень записав двоцифрове число. Яка ймовiрнiсть, що це числодiлиться на 5?

3. Із лiтер розрiзної абетки складено слово ТРОФЕЙ. Потiм лiтерислова перемiшали й навмання беруть лiтери одну за одною. Якаймовiрнiсть, що буде складено початкове слово?


Доведiть, що при всiх допустимих значеннях змiнної значення

виразу( )b

b

b

b b

b

b b2 2

2

9 6 9

3

2

3

3−−

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅−

++

не залежить вiд значення b.

Урок № 45Статистичнi данi. Способи подання даних

Мета: працювати над усвiдомленим розумiнням змiсту понять:

вибiркова сукупнiсть або вибiрка;

статистичний ряд, об’єм вибiрки;

частота вибiрки, вiдносна частота вибiрки;

полiгон частот та гiстограма.

Сформувати в учнiв уявлення про предмет вивчення математич�ної статистики.

Працювати над формуванням умiнь:

наводити приклади подання статистичних даних у виглядi таб�лиць та графiкiв (гiстограм); описувати поняття частоти;

розв’язувати задачi, що передбачають подання статистичних да�них у виглядi таблиць та графiкiв.

Виконати вправи на тотожнi перетворення рацiональних виразiв.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Першi вiдомостi про статис�тику».

Хiд уроку




Учитель перевiряє якiсть виконання домашньої самостiйної робо�ти, зiбравши зошити учнiв на перевiрку. Записи правильних розв’я�зань вправ самостiйної роботи пропонуються учням для самостiйногоопрацювання вдома.



На цьому етапi можна провести невеличкий екскурс в iсторiю ви�никнення математичної статистики як окремого роздiлу прикладноїматематики.

Пiсля бесiди вчитель пiдводить учнiв до усвiдомлення не�обхiдностi вивчення найпростiших способiв подання та обробкиiнформацiї, здобутої пiд час розв’язування прикладних задач, тобтофактично формулюється мета цього та наступного урокiв.


Виконання усних вправ1. Розкладiть на множники вираз:

1) 12 12 32x x− + ; 2) 4 24 362a a+ + ; 3) 4 2a a− ; 4) x3 8− ; 5) x x3 9− .2. Розв’яжiть рiвняння:

1) x x2 27 0+ = ; 2) x3 0= ; 3) x− =1 0;

4) x+ =1 2; 5) x x2 2 0+ − = ; 6) 5 2 2 2x x− = .Яке з них є квадратним?

3. Розвяжiть задачi.1) На скiльки вiдсоткiв збiльшиться площа квадрата, якщо йогосторону збiльшити на 10 %?2) Скiльки кiлограмiв солi мiститься у 12 кг 8�вiдсоткового роз�чину?3) Вкладник поклав до банку 4 000 грн пiд 8 % рiчних. Скiлькигрошей буде на його рахунку через рiк?

4. Виконайте дiї:

1)3

43

2n

nn

−− ; 2)

2

9

32xy y x

y

− ⋅ ; 3) ( )c

cc

+−

+2

22: .


План вивчення нового матерiалу1. Предмет вивчення математичної статистики.2. Основнi поняття математичної статистики: статистичнi данi; ви�

бiркова сукупнiсть (вибiрка) i генеральна сукупнiсть, об’єм ви�бiрки, частота вибiрки, вiдносна частота.

3. Поняття зведення статистичних даних.4. Рiзнi способи зведення статистичних даних. Статистичний ряд.

Варiацiйний ряд.5. Табличне подання статистичних даних: статистична таблиця роз�

подiлу вибiрки. Графiчне зображення статистичних даних: по�лiгон частот, гiстограма.


6. Розв’язування задач.Вивчення матерiалу уроку починається з формування загаль�ного уявлення учнiв про предмет математичної статистики якроздiлу прикладної математики. Пiсля цього формуютьсязнання про змiст основних понять математичної статистикий розглядаються питання про рiзнi способи подання статис�тичних даних, вводиться вiдповiдна термiнологiя. Зазначимо,що пiд час вивчення нового матерiалу не слiд переобтяжуватиучнiв завеликою кiлькiстю нових термiнiв та вимагати точно�го вiдтворення означень. Чинна програма передбачає, що учнiмають лише описувати деякi з понять та наводити приклади,якi iлюструють їх змiст. Отже, виклад теоретичного матерiа�лу цього й наступного урокiв бажано супроводжувати якнай�бiльшою можливою кiлькiстю прикладiв з подання та оброб�ки статистичних даних iз рiзних галузей науки i технiки.

Приклад. Економiст пiдприємства, аналiзуючи розряди працiв�никiв одного з цехiв, вибрав документи 20 робiтникiв i виписав з нихпослiдовнiсть чисел, що вказують на тарифнi розряди (квалiфiкацiю)робiтникiв:

4, 4, 3, 2, 5, 2, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 5, 4, 6, 3, 4, 5.Цi статистичнi данi пiдлягають обробцi.1) Об’єм вибiрки — 20;2) статистичний ряд:

2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6;3) варiанти: x1 2= , x2 3= , x3 4= , x4 5= , x5 6= ;4) варiацiйний ряд: 2, 3, 4, 5, 6;5) частоти: n1 3= , n2 5= , n3 6= , n4 5= , n5 1= ;6) вiдноснi частоти:

робiтникiв другого розряду —3

20= 15 %,

робiтникiв третього розряду —5

20= 25 %;

робiтникiв четвертого розряду —6

20= 30 %;

робiтникiв п’ятого розряду — 25 %;робiтникiв шостого розряду — 5 %;7) статистична таблиця розподiлу вибiрки:

Тарифний розряд, xi 2 3 4 5 6

Кiлькiсть робiтникiв, ni 3 5 6 5 1


8) полiгон частот:

Конспект 26

Першi вiдомостi про статистику

1. Предмет вивчення математичної статистики (МС)

МС — роздiл математики, який присвячений вивченню питання про ме�тоди збору, обробки, систематизацiї рiзних статистичних даних та їх ви�користання для наукових i практичних висновкiв.

2. Основнi поняття МС

1) Статистичнi данi — сукупнiсть чисел, якi дають кiлькiсну характерис�тику ознак об’єктiв та явищ, що дослiджуються.

2) Вибiркова сукупнiсть (вибiрка) — вiдiбрана для дослiдження су�купнiсть об’єктiв.

3) Генеральна вибiрка — сукупнiсть усiх об’єктiв, над якими проводятьспостереження.

4) Об’єм сукупностi — кiлькiсть об’єктiв сукупностi.

5) Якщо пiд час дослiдження деякої ознаки сукупностi дiстали кiлькарiзних значень цiєї ознаки, причому цих значень задана ознака набувалакiлька разiв, то числа, якi показують, скiльки разiв повторювалося кож�не значення ознаки сукупностi, називають частотами.

6) Вiдносна частота — вiдношення частоти до об’єму вибiрки.

3. Зведення статистичних даних — другий (пiсля збирання) етап статис�тичного дослiдження. На цьому етапi впорядковують та узагальнюютьстатистичнi данi, одержуючи статистичний ряд, в якому значення ознакикожної з груп називають варiантами ( )xn , а послiдовнiсть усiх варiант —варiацiйним рядом.

На етапi зведення статистичних даних можна складати не статистичнийряд, а статистичну таблицю розподiлу вибiрки.

Якщо на осi абсцис прямокутної системи координат позначити варiанти,а на осi ординат — вiдповiднi їм частоти, то дiстанемо точки ( )x yn n; , послi�довно з’єднавши якi, матимемо ламану, яку називають полiгоном частот.

Якщо аналогiчно побудувати стовпчасту дiаграму для статистичногоряду, заданого у виглядi послiдовностi iнтервалiв, то таке зображеннястатистичних даних називається гiстограмою.


2

n

1

х0 1 2 3 4 5 6

3456


Виконання усних вправ1. Виконайте зведення вибiрки:

1) 12, 10, 7, 8, 10, 7, 8, 6, 9, 8, 8, 10, 9, 7 — оцiнок за контрольнуроботу;2) 37, 35, 38, 37, 35, 38, 38, 39, 35 — розмiрiв взуття опитанихжiнок.

2. Для зведених вибiрок знайдiть:1) варiанти; 2) їх частоти.

Виконання письмових вправ1. З метою визначення попиту на жiноче взуття в одному з населених

пунктiв провели опитування, результати якого поданi в таблицi.

Кiлькiсть жiнок 20 28 30 16 4 1 1

Розмiр взуття 35 36 37 38 39 40 41

Кiлькiсть взуття у %

Заповнiть таблицю. Визначте вид спостереження i об’єм вибiрковоїсукупностi.

2. У змаганнях з бiгу на 100 м взяли участь 20 учнiв, якi показалитакi результати (у секундах):

15,4; 16,8; 15,9; 16,7; 16,0; 15,9; 16,0; 15,9; 16,1; 16,3; 15,4;

15,9; 15,8; 16,0; 16,2; 16,4; 15,8; 15,8; 15,9; 15,8.

Складiть варiацiйний ряд, зробiть статистичне зведення цих да�них. Визначте вiдносну частоту результатiв, розподiливши їх на4 групи.

3. У вiддiлi кадрiв заводу пiдготували перелiк деяких даних пропрацiвникiв експериментального цеху ( див. таблицю).

Порядковий номерпрацiвника

Професiя Освiта

1 Механiк Середня технiчна

2 Слюсар�складальник Середня технiчна

3 Інженер�механiк Вища

4 Слюсар Середня

5 Слюсар�кресляр Середня


Порядковий номерпрацiвника

Професiя Освiта

6 Слюсар�складальник Середня технiчна

7 Механiк Вища

8 Слюсар�кресляр Середня

9 Інженер�механiк Вища

10 Слюсар�складальник Середня

Зробiть статистичне зведення цих даних, побудувавши ряди роз�подiлу:

1) за професiєю; 2) за рiвнем освiти.Зробiть стислi висновки.

4. Побудуйте полiгон частот для заданого статистичного розподiлувибiрки:

Розмiр взуття, xi 38 39 40 41 42 43 44

Кiлькiсть пар, ni 2 6 18 16 10 5 3


Спростiть вираз2 3

4 4

1

2

2

42 2

2

3

x

x x

x

x x

x

x x

−− +

− −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

: .


Контрольне запитанняЗа заданим полiгоном частот збе�

рiть iнформацiю про:1) об’єм вибiрки;2) варiанти;3) частоти.Складiть статистичну таблицю роз�

подiлу вибiрки.


Вивчити означення понять, розглянутих на уроцi, навести власнiприклади до вивчених понять та записати їх у зошиту.


1. У змаганнях з пiдтягування на перекладинi взяли участь 25 шко�лярiв, якi показали такi результати: 15, 9, 8, 10, 11, 12, 14, 15,


2

n

1

х0 1 2 3 4 5 6

3456

14, 8, 12, 11, 14, 15, 12, 9, 12, 14, 15, 10, 11, 14, 12, 10, 10.Складiть таблицю статистичного розподiлу i знайдiть вiдноснучастоту кожної варiанти.

2. Протягом тижня було продано 25 чоловiчих сорочок таких роз�мiрiв: 39, 41, 42, 41, 40, 44, 41, 41, 42, 40, 41, 42, 43, 39, 40, 40,40, 40, 41, 42, 40, 41, 43, 41, 41. Складiть варiацiйний ряд,зробiть статистичний розподiл цих даних. Побудуйте полiгон час�тот статистичного розподiлу вибiрки.

3. За даними про врожайнiсть пшеницi на рiзних дiлянках посiвноїплощi побудуйте гiстограму.

Врожайнiсть, ц/га [ )20 25− [ )25 30− [ )30 35− [ )35 40− [ )40 45− [ )45 50−

Площа дiлянки 5 10 15 20 15 5

Повторити поняття середнього арифметичного заданих чисел.Виконати вправи на повторення.

1. Середнє арифметичне трьох чисел дорiвнює a. Чому дорiвнює се�реднє арифметичне цих чисел i числа 2a?

2. Спростiть виразa

a

a

a a

a

a

a

a

2 3

2

2

25 10 25 5 25+−

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟: .

Урок № 46Характеристики варiацiйних рядiв. Середнi величини.Мода, медiана вибiрки

Мета: працювати над засвоєнням змiсту понять про середнє зна�чення, моду вибiрки, медiану вибiрки. Закрiпити знання учнiв прозмiст понять, вивчених на попередньому уроцi.

Працювати над формуванням умiнь:пояснювати змiст вивчених понять;наводити приклади, що iлюструють новi поняття;розв’язувати задачi, що передбачають знаходження середнiх зна�

чень величин, моди й медiани вибiрки.Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Середнi значення. Мода

й медiана варiацiйних рядiв».

Хiд уроку




Можна органiзувати роботу учнiв iз взаємоперевiрки домашньогозавдання за зразком.


Учитель повiдомляє учням про те, що варiацiйнi ряди, крiм час�тоти та вiдносної частоти, характеризуються iншими параметрами.Метою уроку є вивчення цих характеристик, їх змiсту та способiв об�числення.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань

Контрольнi запитання1. Що вивчає математична статистика? Наведiть приклад статис�

тичних даних.2. Що називають генеральною сукупнiстю?3. Що таке вибiркова сукупнiсть?4. Що називають статистичним рядом? Наведiть приклад.5. Пояснiть, що таке статистична таблиця.6. Що називають варiантами? Наведiть приклад.7. Що таке варiацiйний ряд? Наведiть приклад.8. Що називають частотами? Наведiть приклад.9. Що називають вiдносною частотою? Наведiть приклад.

10. Що таке полiгон частот? Як вiн будується?11. Що таке гiстограма?

З метою з’ясування рiвня сформованостi навичок спрощення ра�цiональних виразiв можна запропонувати учням виконати само�стiйну роботу.


Спростiть виразa

a

a

a

a

a

−+

− +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

8

8

8

8

16

64 2: .

Варiант 2

Спростiть виразb

b

b

b

b

b

+−

+ −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

5

5

5

5

4 100

25

2

2: .


План вивчення нового матерiалу1. Середнi значення. Обчислення середнього арифметичного вели�

чини.2. Мода вибiрки.


3. Медiана вибiрки.

4. Розв’язування задач.

Вивчення матерiалу уроку починається з формування загаль�ного уявлення учнiв про iснування рiзних видiв характеристикварiацiйних рядiв. Потiм послiдовно формуються знання прозмiст понять середнього арифметичного та зваженого середньо�го арифметичного значення, моду та медiану вибiрки. Заува�жимо, що вiдповiдно до програмових вимог учнi мають лишеописувати поняття середнього значення, а також розв’язуватизадачi на знаходження середнiх значень та моди й медiани ви�бiрки. Отже, пiсля формулювання означень нових понять при�дiляємо увагу засвоєнню їх змiсту та складанню схеми дiй пiдчас розв’язування задач на знаходження середнiх значень,моди та медiани вибiрки. З метою кращого розумiння змiстунових понять розв’язуємо якомога бiльше задач на обробкустатистичних даних iз рiзних галузей науки й технiки.

Конспект 27

Середнi значення. Мода й медiана варiацiйних рядiв

1. Середнi значення

1) Якщо варiанти мають однаковi значення, то середнє значення ознаки,що дослiджується, обчислюється за формулою:

xx x x x

nn= + + + +1 2 3 …

(тобто як середнє арифметичне значень xi ), де xi — значення ознаки, n —число одиниць сукупностi, x — середнє арифметичне значення xi ознаки.

2) Якщо варiанти xi ознаки мають рiзнi частоти ni , то середнє значенняознаки x, обчислюється за формулою:

xx n x n x n

n n nk k

kc.a. = + + +

+ + +1 1 2 2

1 2

……

,

де xi — варiанти, ni — частоти, xс а. . — середнє арифметичне зважене.

2. Мода — це значення ознаки, яка найчастiше повторюється у вибiрцi,що дослiджується.

Медiана (у статистицi) — варiанта, яка розмiщена посерединi варiацiйно�го ряду (у випадку непарної кiлькостi варiант) або є середнiм арифметич�ним двох середнiх членiв (якщо кiлькiсть варiант парна).

Приклади задач

1. У шкiльнiй збiрнiй командi з бiгу 9 учнiв — 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15 рокiв вiдповiдно. Який середнiй вiк учасникiв команди?


Розв’язання. Зведемо данi в статистичну таблицю:

Вiк 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Кiлькiсть учнiв 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Оскiльки частота однакова, то маємо:

x = + + + + + + + + = =7 8 9 10 11 12 13 14 15

9

99

911.

Вiдповiдь. 11 рокiв.2. У командi з баскетболу 10 учнiв рiзного вiку, серед яких 3 учнi —

14 рокiв, 5 учнiв — 15 рокiв i 2 учнi — 16 рокiв. Який середнiйвiк гравцiв шкiльної команди з баскетболу?Розв’язання. Зведемо данi в статистичну таблицю:

Вiк гравцiв 14 15 16

Кiлькiсть гравцiв 3 5 2

Оскiльки частоти рiзнi, то дiстанемо:

xc.a. = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ≈14 3 15 5 16 2

10

149

10149, .

Вiдповiдь. ≈ 149, рокiв.

3. Розподiл взуття, що продали, подано в таблицi за розмiрами:

Розмiр чоловiчого взуття 37 38 39 40 41 42 43 44

Кiлькiсть проданих пар 2 7 8 19 28 25 10 1

Знайдiть моду й медiану цiєї вибiрки.Розв’язання. Оскiльки частота 28 — найбiльша для варiанти 41,

то варiанта 41 є модою.Оскiльки в таблицi є 8 варiант: 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, то

медiаною є середнє арифметичне варiант 40 i 41, тобто40 41

240 5

+ = , .


Виконання усних вправ1. За якою формулою слiд знайти середнє значення ознаки x, пода�

ної в таблицi?

1) x 35 40 45

n 1 1 1


2) x 35 40 45

n 2 1 4

2. Знайдiть моду та медiану вибiрки, заданої у виглядi:

1) статистичного ряду: 2, 2, 2, 4, 5, 5, 7, 9;

2) статистичної таблицi:

x 37 38 39 40 41

n 3 7 23 32 54


1. Пiд час вiдгодiвлi 10 бичкiв протягом п’яти днiв зареєстрованотакi прирости маси тварин (у кiлограмах): 3,0; 2,8; 2,5; 2,6; 2,7;2,9; 2,6; 2,7; 3,0; 2,6. Знайдiть середнiй денний прирiст масиоднiєї тварини.

2. Знайдiть середнє арифметичне на основi даних, наведених у таб�лицi.

Порядковий номеркрамницi

1 2 3 4 5 6 7 8

Площа крамницi, м2 50 60 90 80 70 60 50 40

3. На основi даних, наведених у таблицi, знайдiть середню врожай�нiсть одного гектара пшеницi.

Валовий урожай, т 32 76 101 84 25

Площа, га 10 25 33 24 8

4. Для визначення попиту на чоловiче взуття в одному з населенихпунктiв провели опитування, результати якого наведенi в таблицi.

Розмiр взуття 37 38 3 9 40 41 42 43 44

Кiлькiсть чоловiкiв 3 7 23 32 54 50 22 6 3

Кiлькiсть взуття в %

Заповнiть таблицю. Визначте моду розмiру взуття. Побудуйте по�лiгон частот.


5. Протягом квiтня ранкова температура повiтря була такою (заЦельсiєм): 7, 5, 6, 4, 3, 4, 5, 6, 2, 4, 6, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 4, 8, 5, 4, 5, 6,6, 3, 4, 5, 6, 8, 7. Складiть статистичний ряд iз 30 чисел i статис�тичну таблицю розподiлу вибiрки. Знайдiть середню температуруза цими даними. Побудуйте полiгон. Знайдiть моду та медiану ге�неральної сукупностi значень температури повiтря у квiтнi.


Контрольне запитанняСеред наведених понять — одне зайве. Знайдiть його.Полiгон; варiанта; частота; медiана; бiсектриса; мода; середнє

арифметичне, зважене середнє арифметичне.


Вивчити означення понять, розглянутих на уроцi, навести власнiприклади до вивчених понять та записати їх у зошит.


Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1Знайдiть центральнi тенденцiї, складiть частотну таблицю ви�

бiрки та побудуйте вiдповiдний полiгон частот:1) для вибiрки: 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7, 9;2) для вибiрки: 1, 5, 7, 3, 7, 1, 7, 8, 3, 2;3) якщо в таблицi подано вiдомостi про вiк 20 дiтей, якi прийшлина сеанс до кiнотеатру:

12 14 15 12 16

13 14 16 15 14

14 15 15 16 14

12 13 15 16 14

4) для статистичного дослiдження успiшностi складання учнями9 класiв ДПА з алгебри, якщо вони отримали такi бали: 7, 7, 9,12, 4, 5, 11, 11, 12, 9, 9, 9, 10, 10, 7, 9, 9, 8, 4, 5, 8, 8, 8, 9, 10, 11,7, 6, 9, 5, 5, 12, 9, 10, 10, 7, 9, 12, 4, 5, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 6, 9, 8,10, 7, 9, 12, 4, 9, 8, 10, 10, 12, 11, 12, 9, 10, 7, 7, 4, 7.Варiант 2Знайдiть центральнi тенденцiї, складiть частотну таблицю ви�

бiрки та побудуйте вiдповiдний полiгон частот:


1) для вибiрки: 1, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7;2) для вибiрки: 11, 15, 17, 16, 16, 13, 15, 14, 13, 15, 12;3) якщо в таблицi подано вiдомостi про помилки пiд час тестуван�ня 25 дiтей:

2 1 2 2 0

3 4 0 1 5

0 1 2 2 4

4 3 0 2 2

3 3 3 1 2

4) для статистичного дослiдження успiшностi складання учнями9 класiв ДПА з алгебри, якщо вони отримали такi бали: 6, 7, 9,12, 4, 5, 12, 9, 9, 8, 10, 10, 7, 9, 9, 8, 4, 5, 6, 8, 8, 9, 10, 5, 7, 6, 9, 5,5, 7, 9, 10, 10, 7, 9, 12, 4, 5, 8, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 6, 10, 7, 9, 11, 4, 9,8, 10, 10, 12, 11, 12, 9, 10, 7, 7, 4, 3.Повторити основнi поняття теми 4 (див конспекти 27), поняття

середнього арифметичного поданих чисел.

Урок № 47Пiдсумковий урок з теми«Елементи прикладної математики»

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня, яких учнi набули пiд час вивчення теми «Елементи прикладноїматематики».

З метою усунення причини найтиповiших помилок провести ро�боту з корекцiї знань та вмiнь.Пiдготувати учнiв до виконання завдань контрольної роботи.


Хiд уроку



Учитель збирає зошити учнiв з виконаною самостiйною роботоюна перевiрку. Учням роздаються записи правильних розв’язань длясамостiйного опрацювання.



Метою уроку є повторення, систематизацiя й узагальнення знаньучнiв з теми «Елементи прикладної математики».


Зауважимо, уроки узагальнення та систематизацiї передбача�ють формування в учнiв уявлення про структуру теми, щовивчалася. З метою систематизацiї знань пропонуємо учнямза конспектом або пiдручником повторити теоретичнийматерiал, а потiм проводимо опитування.

Контрольнi запитання до теми1. Що таке математична статистика?2. Що називають генеральною сукупнiстю?3. Що таке вибiркова сукупнiсть?4. Що таке статистичний ряд?5. Що таке статистична таблиця?6. Що називають варiантами?7. Що таке варiацiйний ряд?8. Що називають частотами?9. Що називають вiдносною частотою?

10. Що таке полiгон?11. Що таке гiстограма?12. Запишiть формулу для знаходження простого середнього арифме�

тичного.13. Запишiть формулу для знаходження середнього арифметичного

зваженого.14. Що таке мода?15. Що таке медiана?


Мета цього етапу — сформувати в учнiв цiлiсне уявлення просистему задач, яких вони навчилися розв’язувати, тавiдповiднi алгоритми. Залежно вiд рiвня математичної пiдго�товки учнiв учитель наводить перелiк типових задач з цiєїтеми та нагадує схеми дiї пiд час їх розв’язування або пропо�нує учням узагальнити та систематизувати завдання, якi вонивиконували в цiй темi.

Типовi завдання теми «Елементи прикладної математики»:основнi задачi на вiдсотки;


задачi на застосування формули складних вiдсоткiв;задачi на обчислення ймовiрностi випадкової подiї;знаходження для заданої вибiрки середнiх значень, моди, медiани,побудова гiстограми.Пiсля перелiку основних видiв завдань, знову ж таки залежно вiд

рiвня класу, або органiзовуємо самостiйну роботу учнiв по групах,або розв’язуємо типовi задачi з повним поясненням.


Пiдсумком уроку цього типу є узагальнення, систематизацiязнань та вмiнь учнiв, формування чiткого уявлення про структурутеми, типовi задачi та схеми їх розв’язання.


Повторити основнi поняття та алгоритми розв’язання типових за�дач за темою.

Виконати завдання домашньої контрольної роботи № 5.

Умова домашньої контрольної роботи1. Токар отримав замовлення на виготовлення 25 деталей, а вигото�

вив 30 деталей. На скiльки вiдсоткiв токар перевиконав замов�лення?

2. Дано вибiрку: 1, 8, 3, 5, 2, 3, 1, 2, 7, 8, 8, 5, 5, 8. Виконайте зве�дення цiєї вибiрки й запишiть вiдповiдний статистичний ряд.Знайдiть варiанти, частоти, вiдноснi частоти, моду, медiану й се�реднє значення. Складiть статистичну таблицю та побудуйте по�лiгон частот.

3. Свiжi гриби мiстять 90 % води, а сухi — 12 %. Скiльки сушенихгрибiв можна одержати з 22 кг свiжих?

4. Учень узяв один екзаменацiйний бiлет iз 35�ти, якi лежали настолi. Знайдiть iмовiрнiсть того, що номер узятого бiлета дiлитьсяна 3.

5. Скiльки 5�вiдсоткового й скiльки 10�вiдсоткового розчинiв солiтреба взяти, щоб дiстати 250 г 8�вiдсоткового розчину солi?

6. Вкладник поклав до банку 1200 грн на два рiзнi рахунки. За пер�шим з них банк сплачує 6 % рiчних, за другим — 8 % рiчних. Че�рез рiк вкладник одержав 80 грн вiдсоткових грошей. Скiлькигрошей поклав вкладник на кожний рахунок?


Урок № 48Тематична контрольна робота №5

Мета: перевiрити рiвень знань та вмiнь учнiв, набутих ними пiдчас вивчення теми «Елементи прикладної математики».


Хiд уроку



Зiбрати зошити iз виконаною домашньою контрольною роботою.Роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала.




Варiант 11. Скiльки цинку мiститься у 24 кг 35�вiдсоткового сплаву?

2. Дано 30 чисел, з них число 2 зустрiчається 3 рази, число 5 —5 разiв, число 6 зустрiчається 7 разiв, число 8 — 6 разiв, число10 — 9 разiв. Складiть статистичну таблицю, варiацiйний ряд.Побудуйте полiгон частот. Знайдiть середнє значення вибiрки, їїмоду та медiану.

3. Вкладник поклав до банку 4000 грн пiд 7 % рiчних. Скiльки вiд�соткових грошей одержить вкладник через 3 роки?

4. Яка ймовiрнiсть того, що навмання вибране двоцифрове число недiлиться на 5?

5. Було два сплави: один з них мiстить 40 % цинку, а другий —30 % цинку. Скiльки кiлограмiв кожного сплаву треба взяти, щободержати 180 кг сплаву, що мiстить 34 % цинку?

6. Цiна деякого товару спочатку пiдвищилась на 20 %, а потiм зни�зилась на 10 %. Як i на скiльки вiдсоткiв змiнилася цiна товарувнаслiдок цих двох переоцiнок? На скiльки вiдсоткiв треба змiни�ти нову цiну, щоб одержати початкову?

Варiант 21. Скiльки кiлограмiв мiдi мiститься у 16 кг 45�вiдсоткового сплаву?

2. Дано 25 чисел, з них число 3 зустрiчається 4 рази, число 5 —2 рази, число 8 — 9 разiв, число 10 — 3 рази, число 11 — 4 рази,число 12 — 3 рази. Складiть статистичну таблицю, варiацiйний


ряд. Побудуйте полiгон частот та обчислiть середнє значення.Знайдiть моду й медiану вибiрки.

3. Вкладник поклав до банку 6000 грн пiд 8 % рiчних. Скiлькивiдсоткових грошей одержить вкладник через 3 роки?

4. Яка ймовiрнiсть того, що навмання вибране двоцифрове число недiлиться на 3?

5. Було два розчини солi, один з них мiстить 10 % солi, а другий —15 %. Скiльки грамiв кожного з цих розчинiв слiд узяти, щобдiстати в результатi їх змiшування 150 г розчину, що мiстить12 % солi?

6. Цiна деякого товару спочатку знизилась на 20 %, а потiм пiдви�щилась на 30 %. Як i на скiльки вiдсоткiв змiнилася цiна товарувнаслiдок цих двох переоцiнок? На скiльки вiдсоткiв треба змiни�ти нову цiну, щоб одержати початкову?


Як варiант проведення цього етапу можна запропонувати (пiслявиконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильнихрозв’язань завдань контрольної роботи (заготовлених учителемзаздалегiдь).


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити означення й властивостi степеня з натуральним показ�

ником, означення числової функцiї (за довiдником 7 класу).


ТЕМА 4. ЧИСЛОВI ПОСЛIДОВНОСТI (12 год)

Урок № 49Числовi послiдовностi. Властивостiчислових послiдовностей

Мета: працювати над засвоєнням учнями:

змiсту поняття числова послiдовнiсть,n�й член числової послiдов�ностi, формула n�го члена;

перелiку способiв задання числової послiдовностi.


вiдтворювати вивченi означення;

знаходити члени послiдовностi iз заданими номерами, якщо по�слiдовностi заданi рiзними способами.

Повторити:

означення числової функцiї, а також супутнi поняття;

властивостi числових нерiвностей.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Числовi послiдовностi».

Хiд уроку




На уроцi розбираються найскладнiшi питання контрольної робо�ти, якi учнi не змогли опрацювати вдома.


На цьому етапi вчитель може навести якомога бiльше прикладiвчислових послiдовностей, з якими учнi стикаються в повсякденномужиттi, а також пiд час вивчення основ наук. Наведенi прикладисприяють формуванню в учнiв свiдомого розумiння того, що предме�том вивчення математики є не тiльки вирази, рiвняння, нерiвностiтощо. Математика вивчає також результати спостережень за реаль�ними фiзичними, хiмiчними процесами, клiматичними явищами,якi виражаються у виглядi рядiв чисел, кожне з яких стоїть у цьомузаписi на строго визначеному мiсцi. Пiдсумком бесiди є формулюван�ня задачi — вивчити питання про такi «ряди» чисел, їх види, а та�кож з’ясувати можливостi подальшого використання цих понять.


Таким чином, формулюється в загальному виглядi основна дидак�тична мета вивчення теми цього уроку.

IV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь


1) yx

=−

12

32 8; 2) y

x

x= −

−2

92.

2. Знайдiть значення функцiї в заданiй точцi x0 :

1) y x= +2 6, x0 3= − ; 2) y x= +1

67, x0 12= − .


1) − + >3 26 23x ; 2)2 3

41

x+ < − ; 3) | |x > −2; 4) 21

3 33

2

3< <x .

4. Продовжте послiдовнiсть так, щоб збереглася закономiрнiсть їїутворення:1) 1; 2; 3; 4;… 2) 1; 4; 9; 16;…3) 2; 4; 6; 8;… 4) 1; 3; 6; 10;…


План вивчення нового матерiалу1. Означення числової послiдовностi. Поняття члена послiдовностi.2. Види числових послiдовностей залежно вiд:

1) кiлькостi її членiв;2) вiд тенденцiї членiв (зростаюча, спадна, така, що не є зростаю�чою або спадною).

3. Способи задання числових послiдовностей:1) перелiком її членiв;2) описом її членiв;3) таблицею;4) формулою n�го члена;5) рекурентний.

Оскiльки вiдомостi, що розглядатимуться на цьому уроцiє допомiжними для подальшого вивчення деяких видiв по�слiдовностей та їх властивостей, то учнiв ознайомлюємотiльки з тими фактами, якi необхiднi для засвоєння знаньпро арифметичну та геометричну прогресiї. Вивчаючи теоре�тичний матерiал цього уроку, учнi мають усвiдомити, щочислова послiдовнiсть — це функцiя, що задана на множинiнатуральних чисел. Отже, числова послiдовнiсть є особли�вим випадком числової функцiї, а тому, володiючи знаннямипро функцiю, способи її задання та властивостi, нескладно


вивчати й послiдовностi. Незважаючи на те що теоретичнийматерiал цього уроку є нескладним для вивчення, як показуєдосвiд, деякi учнi його сприймають формально.

З метою свiдомого розумiння змiсту понять: «послiдовнiсть», «членпослiдовностi», «номер члена послiдовностi», «формула n�го члена по�слiдовностi», «рекурентна формула», пропонуємо учням виконатидостатню кiлькiсть усних вправ. Пiд час виконання цих вправ вима�гаємо вiд учнiв обов’язкового пояснення.

Конспект 28

Числовi послiдовностi

1. Послiдовнiсть — функцiя, яка задана на множинi всiх натуральнихчисел або на множинi перших n натуральних чисел.

Числа, якi утворюють послiдовнiсть, називаються членами послiдовностi.

Позначення

( )an — послiдовнiсть, a1, a2, a3, …, an — члени послiдовностi.

Приклади

1) 2; 4; 6; 8;… — нескiнченна послiдовнiсть парних натуральних чисел;

2) 1;1

2;

1

3;

1

4... — нескiнченна послiдовнiсть чисел, обернених до нату�

ральних;

3) 0; 1; 2; 3; …; 9 — скiнченна послiдовнiсть цифр.

2. Числова послiдовнiсть визначена, якщо визначений закон, за якимкожному натуральному n ставиться у вiдповiднiсть дiйсне число an абозаданi всi її члени.

Способи задання послiдовностi

1) перелiк усiх її членiв;

2) описом;

3) формулою n�го члена (формула показує, як виражається кожний членпослiдовностi через його номер);

4) рекурентною формулою (формула показує, як виражається наступнийчлен через попереднiй).

Приклади

1) 1; 2; 3; 4; 5; 6 — послiдовнiсть задана перелiком усiх її членiв;

2) послiдовнiсть двозначних непарних натуральних чисел — заданаописом;

3) ( )an , a nn = , n N∈ — послiдовнiсть задана формулою;

4) ( )an , a an n= +−1 2, a1 1= , n N∈ — послiдовнiсть задана рекурентно.


3. Види числових послiдовностей

1) скiнченнi та нескiнченнi;

2) зростаючi (a an n< +1) та спаднi (a an n> +1).

Приклади

1) 1; 4; 9; 16; … — зростаюча нескiнченна послiдовнiсть;

2) 1; 0; –1; –2; … — спадна нескiнченна послiдовнiсть.


Виконання усних вправ1. У скiнченнiй послiдовностi ( )xn : 3; 0; –3; –6; –9; –12 назвiть пер�

ший, третiй та шостий члени.2. Послiдовнiсть ( )an задана формулою n�го члена: a nn = −3 1. Знай�

дiтьa1 ,a4 ,a10 .3. Знайдiть найменше натуральне число, що задовольняє нерiвностi:

1) 7 56n > ; 2) 10 80n > .4. Знайдiть натуральнi розв’язки нерiвностi:

1) 3 15n > ; 2) − >3 16n ; 3) 2 10< ≤n .

Виконання письмових вправ1. Дано послiдовнiсть ( )cn . Знайдiть:

1) член послiдовностi, наступний за c15 , ck ;2) член послiдовностi, попереднiй до c8 , ck ;3) члени послiдовностi, що розмiщенi мiж c3 i c7 ; ck i ck+3 .

2. Запишiть першi шiсть членiв послiдовностi натуральних чисел,кратних 4. Який номер має член послiдовностi, що дорiвнює 16?

3. Запишiть першi п’ять членiв послiдовностi натуральних чисел, якi:1) дiляться на 5;2) у результатi дiлення на 5 дають остачу 3;3) у результатi дiлення на 5 дають остачу 2.

4. Послiдовнiсть ( )an задана формулою a nn = −5 12 . Знайдiть:a4 ;a10 .

5. Послiдовнiсть ( )bn задана формулою b nn = +3 5.1) Знайдiть першi чотири члени цiєї послiдовностi; двадцятийчлен;2) укажiть номер члена послiдовностi, який дорiвнює 20.Залежно вiд рiвня математичної пiдготовки учнiв можна викона�ти вправи, аналогiчнi за змiстом вище наведеним, але бiльшскладнi.

1. Запишiть послiдовнiсть, задану формулою:

1) ( )ann= −1 , 1 7≤ ≤n ; 2) b n nn = −2 5 , 1 3≤ ≤n ; 3) cn

n= −32 3 , 1 4≤ ≤n .


2. Послiдовнiсть задана формулою x nn = +5 3 2 . Знайдiть номер члена

послiдовностi, який дорiвнює 305, 680.

3. Послiдовнiсть задана формулою y n nn = − −2 5 12 . Чи є членом цiєї

послiдовностi число 1; число 11?

4. Запишiть першi члени послiдовностi, якщо:

1) a1 3= − , a an n+ = +1 2 1;

2) c1 2= , c2

1

2= − , c c cn n n+ += ⋅ −2 1 5.


1. Доведiть, що x y x y2 2 8 10 42 0+ + − + > при всiх дiйсних значеннях

x i y.


4

3

5

2

10

x x x− − − > −.

Усi вправи, якi заплановано розв’язати на уроцi, мають бутиспрямованi на засвоєння вивченої термiнологiї, а також наформування вмiнь працювати з формулою n�го члена числовоїпослiдовностi. Цю формулу можна використовувати як дляобчислення члена числової послiдовностi iз заданим номером,так i для розв’язування оберненої задачi для заданого числа,що є членом числової послiдовностi ( наприклад, для знахо�дження його номера). Також слiд придiлити увагу формуван�ню вмiнь працювати з рекурентними формулами, специфiкаяких полягає в тому, що для обчислення члена послiдовностi,що стоїть на певному мiсцi, слiд у формулу пiдставлятине його номер, а попереднiй (попереднi члени). Пiд час вико�нання всiх вправ на обчислення звертаємо увагу на вiдпра�цювання обчислювальних навичок учнiв.


Тестовi завдання

1. Послiдовнiсть задана формулою c nn = −3 4. Знайдiть c6 .

А) 6; Б) 14; В) 22; Г) iнша вiдповiдь.

2. Яка з наведених послiдовностей є спадною?

А)1

2; − 2

3;

3

4; − 4

5;…

Б) 0,01; 0,0011; 0,000111; 0,00001111;

В) 0,1; 0,101; 0,10101; 0,1010101;

Г) 10; 8; 12; 6; 14; 4; 16;…



Вивчити означення понять, розглянутих на уроцi (конспект № 28).


1. Послiдовнiсть задана формулою c nn = −2 7.

1) Знайдiть першi три члени послiдовностi; п’ятнадцятий член.

2) Який номер має член послiдовностi, що дорiвнює 193?

2. Послiдовнiсть задана формулою x x nn = − +2 7 1. Чи є членом цiєї

послiдовностi число –11; число 3?

3. Запишiть першi п’ять членiв послiдовностi. Якщо:

1) b1 5= , b bn n+ = −1 2 ;

2) x1 1= , x2 2= , x x xn n n+ += + +2 1 1.



1) yx

=−1

18 6; 2) y x x= + −2 2.


9

3 3

4

8

6

x x x− − + > −.

3. Доведiть, що 5 4 2 2 02 2a a ab b+ − + + ≥ при всiх дiйсних значеннях ai b.

Урок № 50Арифметична прогресiя. Формула n@го членаарифметичної прогресiї

Мета: працювати над засвоєнням учнями означення арифметич�ної прогресiї, вiдповiдної термiнологiї (рiзниця арифметичної про�гресiї), її рекурентної формули та основних властивостей (включаю�чи характеристичну властивiсть).


вiдтворювати змiст вивчених понять;

використовувати вивченi поняття для розв’язування задач, що пе�редбачають розпiзнавання арифметичної прогресiї серед iншихчислових послiдовностей, використання рекурентної формулиарифметичної прогресiї, а також використання її властивостей.

Повторити властивостi числових нерiвностей, удосконалювативмiння розв’язувати лiнiйнi та квадратнi нерiвностi.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Арифметична прогресiя».


Хiд уроку




З метою перевiрки рiвня засвоєння понять попереднього уроку,пропонуємо учням виконати тестовi завдання.


1. Послiдовнiсть задана формулою a nn = −2 72 . Знайдiтьa3 .

А) –1; Б) 11; В) –5; Г) iнша вiдповiдь.2. Дано послiдовнiсть x1 ; x2 ;…; xn ;… Назвiть наступний за x3 , попе�

реднiй до xn члени цiєї послiдовностi:А) x4 , xn+1 ; Б) x4 , xn−1 ; В) x4 , x5 ; Г) таких членiв немає.

3. Розгляньте послiдовнiсть натуральних чисел. Яке з наведенихтверджень не справджується для цiєї послiдовностi?А) Послiдовнiсть є нескiнченною;Б) послiдовнiсть є зростаючою;В) послiдовнiсть є спадною;Г) послiдовнiсть не є обмеженою.

4. Напишiть п’ять перших членiв послiдовностi, заданої рекурен�тною формулою a1 2= ;a an n+ = −1 2 .А) 2; –4; 8; –16; 32;Б) 2; –4; –8; –16; –32;В) 2; –2; 2; –2; 2;Г) їх записати неможливо.

5. Дано першi члени деякої послiдовностi: 1; 4; 9; 16;… Запишiтьформулуn�го члена цiєї послiдовностi.А) a nn = 2 ; Б) a an n= +−1 3; В) a nn = + 2; Г) a nn = 2 .

6. Скiльки додатних членiв мiстить послiдовнiсть, що задана форму�лоюa nn = − +3 374?А) 124; Б)125; В) 374; Г) 375.Варiант 2

1. Послiдовнiсть задана формулою b nn = −2 3. Знайдiть b4 .

А) 4; Б) 1; В) 13; Г) iнша вiдповiдь.2. Дано послiдовнiсть y1 ; y2 ; …; ym ; … Назвiть попереднiй до y4 та на�

ступний за ym члени цiєї послiдовностi.А) y3 , y m2 ; Б) y3 , ym +1 ; В) y1 , ym −1 ; Г) таких членiв немає.


3. Розгляньте послiдовнiсть парних натуральних чисел. Яке з наве�дених тверджень не справджується для цiєї послiдовностi?А) Послiдовнiсть є зростаючою;Б) послiдовнiсть є нескiнченною;В) послiдовнiсть є обмеженою;Г) послiдовнiсть не є спадною.

4. Напишiть п’ять перших членiв послiдовностi, заданої рекурен�тною формулою a1 1= − ;a2 1= ,a a an n n+ += +2 1 .А) –1; 1; 0; 1; 2;Б) –1; 1; 0; 1; 1;В) 0; 1; 1; 2; 3;Г) їх записати неможливо.

5. Дано першi члени деякої послiдовностi: 2; 4; 6; 8;… Запишiть фор�мулуn�го члена цiєї послiдовностi.А) a nn = + 2; Б) a an n+ = +1 2; В) a an n+ =1 2 ; Г) a nn = 2 .

6. Скiльки вiд’ємних членiв мiстить послiдовнiсть, що задана фор�мулоюa nn = −5 276 ?А) 55; Б) 56; В) 54; Г) 276.Пiсля виконання запропонованих вправ проводиться перевiрка

та корекцiя.


З метою усвiдомлення учнями того, що, як правило, числовi по�слiдовностi будуються за певними законами, можна запропонуватиучням виконати вправу на порiвняння або логiчну вправу на виклю�чення зайвого.

Пiсля виконання таких вправ учнi усвiдомлюють, що серед не�скiнченної кiлькостi рiзних за видами (законами побудови) числовихпослiдовностей можна видiлити послiдовностi, в яких наступнийчлен, дорiвнює попередньому члену, доданому до одного й того само�го числа. Отже, виникає необхiднiсть вивчити означення, дати назвута дослiдити властивостi таких послiдовностей та їх застосування —це i є основна дидактична мета уроку.


Виконання усних вправ1. Наведiть приклад числової послiдовностi:

1) нескiнченної; 2) скiнченної.2. Наведiть приклад послiдовностi, що задана формулою n�го члена.

Назвiть який�небудь член цiєї послiдовностi.


3. Наведiть приклад числової послiдовностi, що задана рекурентноюформулою.

4. Послiдовнiсть задана формулою x nn = + 5. Укажiть три першi чле�ни цiєї послiдовностi.

5. Назвiть кiлька перших членiв послiдовностi:1) квадратiв натуральних чисел; 2) кубiв натуральних чисел.

6. Порiвняйте числаa i b, якщоa b− = −46, .7. Розв’яжiть нерiвнiсть 12 3 9− >m .

8. Чи є число 1 розв’язком нерiвностi ( ) ( )x x− − >1 7 02

?


План вивчення нового матерiалу1. Означення арифметичної прогресiї. Рiзниця арифметичної про�

гресiї.2. Рекурентна формула арифметичної прогресiї.3. Властивостi арифметичної прогресiї:

1) характеристична властивiсть арифметичної прогресiї;2) сума членiв скiнченної арифметичної прогресiї, рiвновiддале�них вiд її кiнцiв;3) *теорема про задання арифметичної прогресiї формулою

a kn bn = + ,

де k i b — деякi числа.Вивчення матерiалу уроку починається з формулювання озна�чення арифметичної прогресiї (учнi пiдготовленi до його сприй�няття на попередньому етапi уроку). У формулюваннi означен�ня вчителю слiд пояснити учням змiст словосполучення«починаючи з другого», а також те, що число, яке додається докожного члена, починаючи з другого, є сталим для заданоїарифметичної прогресiї, при цьому воно може бути яким завгод�но (додатним або вiд’ємним; цiлим або дробовим; воно може до�рiвнювати навiть 0; це бажано проiлюструвати великоюкiлькiсть прикладiв). Пiсля цього формується уявлення про по�няття рiзницi арифметичної прогресiї та записується вiдповiднаформула. З метою кращого запам’ятовування учнями назви«рiзниця», пояснюємо учням, звiдки вона виникла. Далiтрадицiйно записується рекурентна формула арифметичноїпрогресiї, яка випливає з означення арифметичної прогресiї.

Для розв’язування багатьох прикладних задач важливими є влас�тивостi арифметичної прогресiї, зокрема характеристична властивiсть


(хоча за чинною програмою її вивчення не є обов’язковим). Також необов’язкова, але цiкава в застосуваннi, теорема про задання арифме�тичної прогресiї формулою a kn bn = + , де k i b — деякi числа. Тому,якщо дозволяє рiвень математичної пiдготовки класу, можна запро�понувати учням як додатковий матерiал усi зазначенi властивостiарифметичної прогресiї.

Конспект 29Арифметична прогресiя

1. Означення. Арифметичною прогресiєю називається числова по�слiдовнiсть, кожний член якої, починаючи з другого, дорiвнює поперед�ньому члену, до якого додають одне й те саме число.

Це постiйне для заданої послiдовностi число d називається рiзницеюарифметичної прогресiї.

Приклади

2, 5, 7, 11, 14 — зростаюча арифметична прогресiя (d = >3 0).

18, 13, 8, 3, –2 — спадна арифметична прогресiя (d = − <5 0).


a1, a2, a3, …, an−1, an, an +1 — арифметична прогресiя.

d a a a a a an n= − = − = = − −2 1 3 2 1… — рiзниця прогресiї.

Характеристична властивiсть

a1, a2, a3, …, an−1, an, an +1 — арифметична прогресiя ⇒ aa a

nn n= +− +1 1

2.

Будь�який член арифметичної прогресiї, починаючи з другого, дорiвнюєсередньому арифметичному попереднього й наступного членiв, i навпаки;якщо виконується зазначена властивiсть, то послiдовнiсть є арифметич�ною прогресiєю.

2. Рекурентна формула арифметичної прогресiї

a a dn n+ = +1 за означенням.

3. Сума членiв скiнченної арифметичної прогресiї, якi рiвновiддаленi вiдїї крайнiх членiв, однаковi й дорiвнюють сумi крайнiх членiв.

a an1 +

a an1 +

a1; a2; a3; a4; … an− 3; an−2; an−1; an

a an1 +

a an1 +

4. Теорема. Будь�яка арифметична прогресiя може бути задана формулоювиду a kn bn = + , де k i b — деякi числа, i навпаки, послiдовнiсть (an), за�дана формулою a kn bn = + , де k i b — деякi числа, є арифметичною про�гресiєю.



Виконання усних вправ1. Чи є арифметичною прогресiєю послiдовнiсть:

1) 1; 2; 3; 4;… — послiдовнiсть натуральних чисел;2) 2; 4; 6; 8; … — послiдовнiсть парних натуральних чисел;3) 1; 4; 9; 16; … — послiдовнiсть квадратiв натуральних чисел;4) –1; –2; –3; –4; …— послiдовнiсть цiлих вiд’ємних чисел?

2. Укажiть перший член i рiзницю арифметичної прогресiї:1) 2; 7; 12;…; 2) 0,7; 1; 1,3;…; 3) 6; 5,5; 5;…; 4) –9; –7; –5; …

3. Знайдiть першi чотири члени арифметичної прогресiї ( )an , в якiй:1) a1 5= , d = 2; 2) a1 7= , d = −2.

4. Знайдiть четвертий член арифметичної прогресiї:1) 7; 11; 15;…; 2) 13; 10; 7;…

5. Знайдiть рiзницю i перший член арифметичної прогресiї:1) a1 ; 4; 7; …; 2) a1 ; 5; 3; …

Виконання письмових вправ1. Запишiть послiдовнiсть натуральних чисел, кратних 6. Чи є ця

послiдовнiсть арифметичною прогресiєю?2. Знайдiть рiзницю, третiй та четвертий члени арифметичної про�

гресiї ( )an , в якiй:1) a1 5= , a2 8= ; 2) a1 2= − , a2 5= − ;3) a1 0 78= , , a2 0 78= , ; 4) a1 9 1= − , , a2 8 1= − , .

3. Знайдiть рiзницю та п’ятий член арифметичної прогресiї:1) 1,4; 1,7; 2; …; 2) –3; –2,8; –2,6;…

4. Знайдiть другий член арифметичної прогресiї:1) –5; a2 ; –13;…; 2) 5; a2 ; 4 5− ;…

5. Четвертий член арифметичної прогресiї дорiвнює –15. Чому до�рiвнює сума третього i п’ятого членiв цiєї прогресiї?

6. Мiж числами –5 i –11 вставте число так, щоб цi три числа утворю�вали арифметичну прогресiю.

7. Перший i четвертий члени арифметичної прогресiї вiдповiдно до�рiвнюють 3,8 i 7,5. Знайдiть суму перших чотирьох членiв цiєїпрогресiї.

8. При яких значеннях m числа 2, 2 30m − i m − 8 є трьома послiдов�ними членами арифметичної прогресiї?

Виконання вправ на повторення1. Розв’яжiть нерiвнiсть:

1) ( ) ( )2 3 3 2 2− + − ≤ −x x ; 2)2 1

6

2

3

8

21

x x xx

− + − − + < − .



1) ( )( )2 1 1 92x x x− + > + ; 2) ( )( )3 8 3 8 6 40x x x− + ≤ − .

Пiд час розв’язування задач, крiм засвоєння термiнологiї таформул, що виражають властивостi, проводиться вiдпрацю�вання таких ключових моментiв:

як перевiрити, чи є задана послiдовнiсть арифметичною прогре�сiєю (за означенням, або за характеристичною властивiстю, або затеоремою);

як знайти рiзницю арифметичної прогресiї;

як знайти наступний член арифметичної прогресiї за вiдомим їїчленом.



1. Яка з наведених послiдовностей є арифметичною прогресiєю?

А) 1; 2; 4; 8;…; Б) 8; 10; 13; 17;…; В) 2; 4; 6; 8;…; Г) 8; –8; 8; 8;…

2. В арифметичнiй прогресiї рiзниця дорiвнює 3. Знайдiть c8 , якщоc9 1= .

А) 4; Б)1

3; В) –2; Г) iнша вiдповiдь.


Вивчити означення понять, розглянутих на уроцi (конспект 29).


1. Знайдiть першi чотири члени арифметичної прогресiї ( )an , в якiй:

1) a1 10= , d = 5; 2) a1 45= , , d = −0 5, .

2. Знайдiть рiзницю та четвертий член арифметичної прогресiї:

1) 10,5; 13; 15,5;…; 2) 2 5+ ; 2 3+ ; 2 1+ ;…

3. Знайдiть другий i четвертий члени арифметичної прогресiї:

1) 1; c2 ; 0,9; c4 ;…; 2) − 2; a2 ; 3 2; a4 ;…


1. Розв’яжiть нерiвнiсть15

43 2

− > −xx .

2. Розв’яжiть квадратну нерiвнiсть ( ) ( )( )x x x− + − + ≤1 2 1 12

.

Повторити схему розв’язування задач складанням математичноїмоделi, властивостi функцiї.


Урок № 51Арифметична прогресiя. Формула n@го членаарифметичної прогресiї

Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями означеньарифметичної прогресiї та її супутнiх понять, основних властивостей.

Розглянути формулу n�го члена арифметичної прогресiї.

Формувати вмiння:

розпiзнавати арифметичну прогресiю серед числових послiдов�ностей;

знаходити рiзницю та першi члени арифметичної прогресiї;

використовувати властивостi арифметичної прогресiї пiд час вико�нання вправ.

Сформувати вмiння записувати формулу n�го члена арифметич�ної прогресiї, а також розв’язувати рiзнi за змiстом задачi на вико�ристання цiєї формули.

Повторити властивостi функцiї.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Формулаn�го члена арифме�тичної прогресiї».

Хiд уроку




Залежно вiд рiвня класу перевiрку домашнього завдання можнапровести за зразком з обов’язковим коментуванням основних етапiврозв’язання задач або запропонувати учням виконати тестову робо�ту. Пiсля її виконання проводимо перевiрку правильностi виконаннятестової роботи з обговоренням результатiв її виконання.

Тестова робота

1. Яка з наведених послiдовностей є арифметичною прогресiєю?

А) 1; 3; 5; 8; Б) 10; 7; 4; 1; В) 2; 6; 11; 15; Г) 4; –5; 6;–7.

2. Перший член арифметичної прогресiї дорiвнює –3, а рiзниця 2.Чому дорiвнює другий член цiєї прогресiї?

А) 7; Б) 9; В) –1; Г) 5.

3. Знайдiть рiзницю арифметичної прогресiї ( )an , якщоa2 3= ,a3 3= − .

А) –2; Б) –6; В) 2; Г) 6.


4. Чому дорiвнює рiзниця арифметичної прогресiї ( )an , якщо a2 4= ,a4 28= ?А) –12; Б) 12; В) 4; Г) 24.Пiд час перевiрки виконання цiєї роботи повторюється змiст по�

нять та їх означення, що вивчалися на попередньому уроцi. Повто�рюємо також схеми застосування цих понять до розв’язування типо�вих задач.


З метою усвiдомлення необхiдностi вивчення формули n�го членаарифметичної прогресiї та подальшого її застосування, можна учнямзапропонувати для виконання завдання.

Завдання. За вiдомим першим членом та рiзницею арифметичноїпрогресiї знайти її деякий член (номер якого є достатньо великим).

Усвiдомивши нерацiональнiсть розв’язування задачi за допомо�гою рекурентної формули, учнi ставлять питання: «А чи не iснує спо�собу знаходження будь�якого члена арифметичної прогресiї без не�обхiдностi визначення її попереднiх членiв?»

Пошук вiдповiдi на це запитання — основна мета уроку.


Фронтальне опитування1. Яка послiдовнiсть називається арифметичною прогресiєю? На�

ведiть приклад.2. Яка з наведених формул може задавати арифметичну прогресiю?

1) a an n= +−1 3; 2) a nn = +3 2; 3) a nn = 3 ; 4) a nn = 3 .

3. В арифметичнiй прогресiї ( )xn вiдомо x9 i x10 . Як знайти x1 ?


План вивчення нового матерiалу1. Формулаn�го члена арифметичної прогресiї.2. Приклади застосування виведеної формули.

Єдиний новий момент, який додається до вивченого на попе�редньому уроцi означення та властивостей арифметичної про�гресiї, — це формула п�го члена арифметичної прогресiї, якавиводиться через означення й надалi буде основою для виве�дення формули суми n перших членiв арифметичної про�гресiї. Як процес отримання цiєї формули, так i способи засто�сування її для розв’язування задач, а також ситуацiї, в якихця формула «працює», не змiнились порiвняно з попереднiми


роками. Приблизний змiст навчального матерiалу вмiщенов конспектi 30.

Конспект 30

Формула n-го члена арифметичної прогресiї

1. Якщо ( )an — арифметична прогресiя, то:

a a d2 1= +a a d a d3 2 1 2= + = + ( )a a d nn = + −1 1 — формула n�го члена

a a d a d d a d4 3 1 12 3= + = + + = + арифметичної прогресiї.

…………………….

2. Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Знайти дев’ятий член арифметичної прогресiї ( )an : 5; 4,2; 3,4;…

Розв’язання. Маємо: a1 5= . Знайдемо рiзницю прогресiї: d = − = −4 2 5 0 8, , .

Тодi ( )a a d9 1 8 5 8 0 8 1 4= + = + ⋅ − = −, , .

Вiдповiдь. –1,4.

Приклад 2. Знайти перший член арифметичної прогресiї ( )an , в якiйd = −2, a8 93= .

Розв’язання. Використавши формулу n�го члена арифметичної прогресiїдля n = 8, дiстанемо: ( )93 7 21= + ⋅ −a . Звiдси a1 93 14 107= + = .

Вiдповiдь. 107.

Приклад 3. Чи є число 181 членом арифметичної прогресiї, в якiй a1 3= ,d = 5?

Розв’язання. Число 181 буде членом прогресiї, якщо iснує таке натураль�не число n — порядковий номер члена прогресiї, що an = 181. Оскiльки

( )a a n dn = + −1 1 , то ( )181 3 1 5= + − ⋅n . Розв’яжемо здобуте рiвняння:181 3 5 5= + −n ; 183 5= n; n = 36 6, . Число 36,6 не є натуральним, тому число181 не є членом арифметичної прогресiї.

Приклад 4. Знайти перший член i рiзницю арифметичної прогресiї ( )an ,якщо сума другого й п’ятого її членiв дорiвнює 20, а рiзниця дев’ятогой третього членiв дорiвнює 18.

Розв’язання. За умовою маємо: a a2 5 20+ = , a a9 3 18− = . Записавши a2, a5,

a9 i a3 за формулою n�го члена арифметичної прогресiї, дiстанемо систему

рiвнянь:a d a d

a d a d1 1

1 1

4 20

8 2 18

+ + + =+ − − =

⎧⎨⎩

,

.

Звiдки2 5 20

6 181a d

d

+ ==

⎧⎨⎩

,

;

2 15 20

31a d

d

+ ==

⎧⎨⎩

,

;a1 2 5= , , d = 3.

Вiдповiдь. 2,5; 3.



Виконання письмових вправ1. Запишiть формулу n�го члена арифметичної прогресiї ( )an та

знайдiтьa11 , якщо:

1) a1 11= , d = 1

2;

2) a1 3= − , d = −4.2. Знайдiть перший член арифметичної прогресiї, якщо її рiзниця

i дев’ятий член вiдповiдно дорiвнюють:1) 0,5; 3;2) 0,2; –2.

3. Знайдiть порядковий номер члена an арифметичної прогресiї,якщо:1) a1 3= , d = −5, an = −37;2) a1 7= − , d = 2, an = 81.

4. Чи є членом арифметичної прогресiї –2; –5; –8;… число –84; чис�ло –152?

5. Куля котиться похилим жолобом. За першу секунду вона прой�шла 0,2 м, а за кожну наступну — на 0,1 м бiльше, нiж за попе�редню. Який шлях пройшла куля за дев’яту секунду?

6. Знайдiть перший член i рiзницю арифметичної прогресiї, якщо їїчетвертий i дев’ятий члени вiдповiдно дорiвнюють 16 i 41.

7. Знайдiть рiзницю i п’ятнадцятий члени арифметичної прогресiї,якщо її третiй член дорiвнює 9, а сума п’ятого i дев’ятого членiвдорiвнює 2.

8. Мiж числами 8 i 62 вставте чотири числа так, щоб вони разом iззаданими числами утворювали арифметичну прогресiю.

Виконання вправ на повторення1. Знайдiть область значень функцiї:

1) ( )f x x= + 1;

2) ( ) ( )f x x= − +7 22

;

3) ( )f x x= − −6 2;

4) ( )f x x= −4 2 .

2. Якi абсциси мають точки перетину графiкiв функцiй

y x= 2 i y x= −6 8?

Змiст вправ i мета розв’язання цих вправ, — подальше за�своєння знань означення арифметичної прогресiї та формули


її n�го члена. Пiд час виконання пропонованих вправ форму�ються оперативнi вмiння застосовувати вивченi формулив рiзних ситуацiях. Якщо дозволяє математична пiдготовкаучнiв, то можна пiдвищити рiвень складностi вправ за ра�хунок задач на застосування властивостей арифметичноїпрогресiї.


Контрольне запитанняЧому дорiвнює рiзниця арифметичної прогресiї ( )an , якщо a7 2= ,

a9 8= ?


Вивчити змiст нового матерiалу (конспекти 29, 30).Виконати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1

1. Знайдiть чотири перших члени арифметичної прогресiї ( )an , як�щоa1 12= , ,d = −0 1, .

2. Знайдiть рiзницю й сотий член арифметичної прогресiї ( )an : 2,7;3,1; 3,5…

3. Мiж числами –4 i 5 вставте п’ять чисел таких, щоб вони разом iззаданими числами утворювали арифметичну прогресiю.

4. Задано арифметичну прогресiю: 2; 1,8; 1,6… Знайдiть її най�бiльший вiд’ємний член.Варiант 2

1. Знайдiть чотири перших члени арифметичної прогресiї ( )an ,якщоa1 12= − , ,d = 0 3, .

2. Знайдiть рiзницю й сотий член арифметичної прогресiї ( )an : 5,4;4,8; 4,2…

3. Мiж числами –3 i 11 вставте шiсть чисел таких, щоб вони разом iззаданими числами утворювали арифметичну прогресiю.

4. Задано арифметичну прогресiю: –3,6; –3,3; –3… Знайдiть її най�менший додатний член.Виконати вправи на повторення.

1. Якi абсциси мають точки перетину графiкiв функцiй

y x x= −6 2 i y x x= −2 2 ?

2. Знайдiть область значень функцiї:1) ( ) | |f x x= + 1;

2) ( ) ( )f x x= − +3 22.


Урок № 52Сума перших nчленiв арифметичної прогресiї

Мета: домогтися засвоєння учнями:формули суми перших n членiв арифметичної прогресiї через її

перший та n�й члени;формули суми перших n членiв арифметичної прогресiї через її

перший член та рiзницю.Сформувати вмiння записувати вивченi формули вiдповiдно до

умови задач, а також використовувати їх для розв’язування задач,що передбачають обчислення суми перших n членiв арифметичноїпрогресiї.

Повторити властивостi квадратичної функцiї.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Формули суми перших n

членiв арифметичної прогресiї».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити з виконаною домашньою самостiйною ро�ботою. Найбiльш складнi завдання розбираються. У разi необхiд�ностi записи правильних розв’язань роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.


Свiдомому сприйняттю учнями необхiдностi вивчення питанняпро формулу суми перших n членiв арифметичної прогресiї сприяти�ме розгляд широко вiдомої задачi на обчислення суми перших ста на�туральних чисел. Пiд час обговорення умови задачi учнi усвiдомлю�ють, що умову задачi можна сформулювати таким чином: «Знайтисуму перших 100 членiв арифметичної прогресiї». Розглянувши при�клади iнших задач цього виду, формулюється узагальнена умова за�дачi: «Знайти суму перших кiлькох членiв арифметичної прогресiї».Отже, виникає необхiднiсть вивести формулу для обчислення сумиперших n членiв арифметичної прогресiї та сформувати вмiння її за�стосовувати пiд час розв’язування задач — це i є основна мета уроку.




1) a b+ 8 при a = −0 5, , b = 1

4; 2) a a2 6 9− + при a = 4;

3)a b

n+ ⋅2

, при a = −3; b = 3; n = 10000.

2. Яка з наведених послiдовностей є арифметичною прогресiєю:

1) 2; 6; 18; 36; 2) 80; 40; 20; 5; 3) 40; 35; 30; 25; 4) 1;1

2; 0; − 1

2?

3. Знайдiтьa5 , якщо:1) a nn = −3 1; 2) a an n= +−1 3; 3) a a an n n= +− −1 2 , a1 1= , a2 1= .


План вивчення нового матерiалу1. Формула суми першихn членiв арифметичної прогресiї через пер�

ший таn�й члени.2. Формула суми перших n членiв арифметичної прогресiї через її

перший член та рiзницю.3. Приклади розв’язування задач.

Конспект 31

Формули суми перших n членiв арифметичної прогресiї1. Формули суми перших n членiв арифметичної прогресiї

Sa a

nnn= + ⋅1

2(1)

( )S

a d nnn =

+ −⋅

2 1

21 (2)

2. Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Знайти суму перших дев’яти членiв арифметичної прогресiї( )an : 3; 7; 11;…

Розв’язання. 1,й спосiб. Маємо: a1 3= , d a a= − = − =2 1 7 3 4.

Знайдемо a9: a9 3 8 4 35= + ⋅ = . За формулою (1) знаходимо:

S9

3 35

29 171= + ⋅ = .

2,й спосiб. Оскiльки a1 3= , d = 4, то за формулою (2), знаходимо:

S9

2 3 8 4

29 171= ⋅ + ⋅ ⋅ = .



Приклад 2. Знайти суму непарних натуральних чисел, що не перевищу�ють 71.

Розв’язання. Непарнi натуральнi числа утворюють арифметичну прогресiю1; 3; 5;…, в якiй a1 1= , d = 2, ( )a n nn = + − ⋅ = −1 1 2 2 1. Знайдемо, який по�рядковий номер має член 71 цiєї прогресiї: 71 2 1= −n , n = 36. Отже, по�трiбно шукати суму перших тридцяти шести членiв прогресiї. Знаходимо:

S36

1 71

236 1296= + ⋅ = .


Вивчення матерiалу уроку починається з виведення формулисуми першихn членiв арифметичної прогресiї через її першийта n�й члени. Пiд час виведення цiєї формули використо�вується властивiсть суми кожної пари членiв скiнченноїарифметичної прогресiї, рiвновiддалених вiд її кiнцiв, та до�сить простi мiркування про кiлькiсть пар чисел, що мiстятьсяв рядi n чисел. Формулу (2) дiстаємо, пiдставивши у формулу(1) формулу n�го члена арифметичної прогресiї. Пiсля вивчен�ня обох формул слiд звернути увагу учнiв на те, що вибiр фор�мули для розв’язання конкретної задачi зумовлений її умо�вою задачi.


Виконання усних вправ1. Задано скiнченну послiдовнiсть ( )an : 2; –1; 5; –2; 9; –3; 15; –4.

Знайдiть суму:1) перших двох її членiв; 2) перших п’яти її членiв;3) усiх її членiв.

2. В арифметичнiй прогресiї ( )an знайдiть:

1) пропущенi числа в запису Sa a

301

2=

+⋅… …;

2) пропущенi числа в запису Sa d

… =+

⋅2

2121 ...

;

3) S30 , якщо a1 5= , a30 15= ;

4) S100 , якщо a1 20= − , a100 20= .

Виконання письмових вправ1. Знайдiть суму перших одинадцяти членiв арифметичної прогресiї

( )an , якщо:

1) a1 22= ; a11 2= − ; 2) a1 5= ; a11 15= .


2. Знайдiть суму перших n членiв арифметичної прогресiї ( )an ,якщо:1) a1 8= , d = 4, n = 5;2) a1 0 1= − , , d = −0 1, , n = 9.

3. Знайдiть суму перших десяти членiв арифметичної прогресiї:1) 3; 9; 15;…; 2) –2,3; –2,5; –2,7;…

4. Знайдiть суму перших п’ятдесяти натуральних чисел.5. Знайдiть суму непарних натуральних чисел, не бiльших вiд 81.6. Знайдiть суму натуральних чисел, кратних 7 i не бiльших вiд 145.7. Скiльки потрiбно взяти перших членiв арифметичної прогресiї

16; 14; …, щоб їхня сума дорiвнювала –434?

Виконання вправ на повторення1. Чому дорiвнює перший вiд’ємний член арифметичної прогресiї

72; 70,5;…?2. Чому дорiвнює абсциса вершини параболи y x x= − +2 122 ?

3. У якiй координатнiй чвертi знаходиться вершина параболи

( )y x= − −4 32

?

Пiд час розв’язування задач продовжується засвоєння знаньформул та розпiзнавання ситуацiй, в яких виправдане засто�сування тiєї чи iншої формули. Також формуються вмiннязнаходити за формулами невiдомi величини залежно вiд умо�ви задачi. Крiм цього, продовжується подальше засвоєнняключових моментiв, над якими розпочалася робота на попе�реднiх уроках: як перевiрити, чи є задана послiдовнiсть ариф�метичною прогресiєю (за означенням, або за характеристич�ною властивiстю, або за теоремою); як знайти рiзницюарифметичної прогресiї тощо.


Тестовi завдання1. Чому дорiвнює сума перших восьми членiв арифметичної про�

гресiї ( )dn , якщоd1 8= , а рiзниця дорiвнює –1?А) 34; Б) 10; В) 36; Г) 31.

2. Знайдiть суму перших п’яти членiв арифметичної прогресiї ( )cn ,якщо c1 6= , c5 12= .А) 45; Б) 40; В) 2; Г) 0.


Вивчити формули (конспект 31).


Розв’язати вправи, подiбнi за змiстом та за рiвнем складностi довправ, виконаних на уроцi.

1. Знайдiть суму перших дев’яти членiв арифметичної прогресiї:

1) 1; 5; 9;…; 2) –1; –2; –3;…

2. Сума перших дев’яти членiв арифметичної прогресiї дорiвнює 126,дев’ятий член дорiвнює 54. Знайдiть перший член цiєї прогресiї.

3. Знайдiть суму парних натуральних чисел, не бiльших вiд 100.

4. Знайдiть суму непарних натуральних чисел вiд 24 до 120.

5. Знайдiть рiзницю арифметичної прогресiї( )an , якщоa6 0= , S12 8= − .


Запишiть властивостi функцiї y x x= − + −2 4 3.

Повторити означення числової послiдовностi, формули, що булививченi в темi «Арифметична прогресiя» та властивостi натурально�го ряду чисел (зокрема, скiльки натуральних чисел мiститься в нату�ральному рядi з n по m чисел включно).

Урок № 53Сума перших nчленiв арифметичної прогресiї

Мета: працювати над подальшим засвоєнням знань учнiв про фор�мули обчислення суми перших n членiв арифметичної прогресiї, а та�кож про її означення та властивостi, вивченi на попереднiх уроках.Сформувати уявлення про спосiб розв’язання задач на знаходженнясуми послiдовних членiв арифметичної прогресiї зm�го по k�й включ�но (m k< ).

Формувати вмiння та навички записувати вивченi формуливiдповiдно до умови задачi, а також застосовувати їх як у стандарт�них ситуацiях (iз використанням поняття суми перших n членiварифметичної прогресiї), так i в нестандартних ситуацiях (для обчис�лення суми послiдовних членiв арифметичної прогресiї зm�го по k�йвключно, m k< .)

Повторити алгоритм дослiдження квадратичної функцiї та по�будови її графiка.

Тип уроку: доповнення знань, застосування знань, умiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Обчислення суми членiварифметичної прогресiї з m по k включно».

Хiд уроку





На цьому етапi уроку можна провести роботу з перевiрки вико�нання вправ домашнього завдання «За зразком».

Інший варiант проведення цього етапу — написання математич�ного диктанту з наступною перевiркою та обговоренням результатiвйого виконання.

Математичний диктантВарiант 1 [2]

1. В арифметичнiй прогресiї перший член 4 [6], другий член 6 [2].Знайдiть рiзницюd.

2. В арифметичнiй прогресiї перший член 6 [4], другий член 2 [6].Знайдiть третiй член.

3. Знайдiть десятий [восьмий] член арифметичної прогресiї, якщо їїперший член дорiвнює 1, а рiзницяd дорiвнює 4 [5].

4. Знайдiть суму перших п’яти членiв арифметичної прогресiї,якщо її перший член 6 [–20], а п’ятий член дорiвнює –6 [20].

5. Знайдiть суму перших п’яти членiв арифметичної прогресiї,якщо її перший член дорiвнює –20 [6], а рiзниця дорiвнює 10 [3].

6*. Знайдiть суму перших 100 натуральних чисел. [Знайдiть сумунайбiльших 100 цiлих вiд’ємних чисел].Пiд час перевiрки виконання цiєї роботи повторюється змiст

основних понять попереднього уроку, а також схеми застосуваннявивчених понять до розв’язування типових задач.


Основна мета уроку формулюється пiсля виконання роботи на попе�редньому етапi з урахуванням її результатiв. Якщо учнi припустилисявеликої кiлькостi помилок, то працюємо над подальшим засвоєннямзнань та вмiнь. Якщо результати виконання роботи задовiльнi, то ак�цент робимо на вдосконаленнi знань та вмiнь, а також на формуваннiнавичок застосовувати набутi знання в нестандартних ситуацiях.



1) ( )0 3 0 52

, ,− ; 2)6 3

2

⋅;

3) ( ) ( )0 7 32 0 5, , : ,− − ; 4)1

2

1

6

1

3−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

: .


2. В арифметичнiй прогресiї ( )cn c1 5= , d — рiзниця. Пояснiть змiсттаких рiвностей:

1) cc c

31 2

2=

+; 2) c d5 5 4= + ; 3) S

d7

2 5 6

27= ⋅ + ⋅ .

3. Скiльки натуральних чисел стоїть в натуральному рядi:1) перед числом 3; 2) перед числом 1;3) перед числом m; 4) мiж числами 3 i 10;5) вiд числа 3 до 10?Для спрощення мiркувань див. рисунок.


Конспект 32

Як знайти суму членiв арифметичної прогресiї з m по k включно (m k< )

a a a a a am

S

m k

S

S

m m k

1 2 3 1

1

, , ,..., , ,...,−

− −� ��

k

� ��

Варiант 1. S S S S S Sk m m k m k k m= + ⇒ = −− − − −1 1.

Варiант 2. Оскiльки послiдовнi члени будь�якої арифметичної прогресiї( )an утворюють арифметичну прогресiю ( )a n′ ( )d d′ = , то розглянемо

a am′ =1 , a ak m k′ = ⇒− +1 ( )S Sa a

k mk m k mk

− − += ′ = ′ + ⋅ − +11

21 .

Приклад. Знайти суму перших натуральних чисел вiд 24 до 120 включно.

Розв’язання. 1 спосiб. У послiдовностi парних чисел ( )an :

2, 4, 6, …, 24, …120 a1 2= , d = 2; a12 24= , a60 120= .

Отже, знайдемо:

S S Sa d a d

12 60 60 111 12 59

260

2 10

211− = − = + ⋅ − + ⋅ =

= + ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =4 118

260

4 20

211 61 60 12 11 3660 132 3528.

2 спосiб. У послiдовностi парних чисел вiд 2n до 120 a1 24= , d = 2,

an = 120. Знайдемо n: ( )120 24 2 1= + −n ; ( )2 1 96n − = , n − =1 48, n = 49.

Отже, a49 120= . Знайдемо суму:

Sa a

491 49

249= + ⋅ ; S49

24 120

249 72 49 3528= + ⋅ = ⋅ = .


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m n

Нове, що додається до вивчених на попередньому уроцi фор�мул суми перших n членiв арифметичної прогресiї та способiвїх застосування до розв’язування задач, — це спосiб застосу�вання вивчених формул пiд час розв’язування задач на обчис�лення суми послiдовних членiв арифметичної прогресiї з n�гопоm�й включно (n m< ).

Формування уявлення про один зi способiв розв’язання таких за�дач ґрунтується на означеннi числової послiдовностi як функцiї, за�даної на множинi натуральних чисел, а також на вiдомих учнямз 5 класу властивостях натурального ряду. Другий спосiб ґрун�тується на властивостi власне арифметичної прогресiї: послiдовнiчлени арифметичної прогресiї, починаючи з будь�якого її члена,утворюють арифметичну прогресiю (цю властивiсть можна було роз�глянути на попередньому уроцi пiд час вивчення властивостей ариф�метичної прогресiї).


Виконання письмових вправ1. Знайдiть суму членiв арифметичної прогресiї з дев’ятого по два�

дцятий включно, якщо перший член прогресiї дорiвнює 5, а рiз�ниця — (–2).

2. Знайдiть суму натуральних трицифрових чисел, кратних 4.3. Знайдiть суму перших двадцяти натуральних двоцифрових чи�

сел, якi вiд дiлення на 3 дають остачу 1.4. Знайдiть перший член i рiзницю арифметичної прогресiї, якщо

сума перших п’яти її членiв дорiвнює 10, а сума перших двана�дцяти — (–102).

5. Знайдiть рiзницю арифметичної прогресiї, перший член якої до�рiвнює 100, а сума перших шести її членiв у 5 разiв бiльша, нiжсума наступних шести членiв.

6. Розв’яжiть рiвняння:1) 5+9+13+…+ 4 1n + = 324;2) 4+10+16+…+ x = 310.

7. Яку найменшу кiлькiсть послiдовних натуральних чисел, почи�наючи з 6, треба додати, щоб дiстати суму, бiльшу нiж 216?

Виконання вправи на повторенняПобудуйте графiк функцiї y x x= + −8 2 2 . Користуючись графiком,

знайдiть:1) множину значень заданої функцiї;2) при яких значеннях x функцiя набуває додатних значень.


Вибiр рiвня складностi задач, що винесенi на урок, залежитьвiд математичної пiдготовки учнiв класу.

На виконання вправи на повторення можна залишити 5–7 хв i невимагати вiд учнiв «красивого» графiка. Мета виконання цього за�вдання — повторити алгоритми дослiдження квадратичної функцiїi побудови її графiка.


Контрольне запитанняЧому дорiвнює сума перших десяти членiв арифметичної прогре�

сiї, перший член якої дорiвнює –11, а рiзниця дорiвнює 4?

VІІ. Домашнє завданняВивчити змiст матерiалу конспектiв 31, 32.Виконати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1Знайдiть суму:1) перших шiстнадцяти членiв арифметичної прогресiї, якщо їїперший та шiстнадцятий члени вiдповiдно дорiвнюють 3 та –5;2) перших шiстнадцяти членiв арифметичної прогресiї, якщо їїперший член дорiвнює 6, а рiзниця дорiвнює 3;3) перших сорока семи членiв арифметичної прогресiї, яку заданоформулою загального члена a nn = −3 1;4) членiв арифметичної прогресiї з 6�го по 23�й включно, якщоперший її член дорiвнює 28, а п’ятий дорiвнює 16.Варiант 2Знайдiть суму:1) перших вiсiмнадцяти членiв арифметичної прогресiї, якщо їїперший та вiсiмнадцятий члени вiдповiдно дорiвнюють 3,8 та –5;2) перших вiсiмнадцяти членiв арифметичної прогресiї, якщо їїперший член дорiвнює 2,4 а рiзниця дорiвнює –0,3;3) перших тридцяти восьми членiв арифметичної прогресiї, якузадано формулою загального члена a nn = − +2 1;4) членiв арифметичної прогресiї з 7�го по 26�й включно, якщодругий її член дорiвнює 37, а шостий дорiвнює 29.Виконати вправу на повторення.Побудуйте графiк функцiї y x x= − + −2 6 5. Користуючись графi�

ком, знайдiть:1) промiжок, на якому функцiя спадає;2) при яких значеннях x функцiя набуває вiд’ємних значень.


Урок № 54Геометрична прогресiя

Мета: сформувати в учнiв уявлення про ще один вид числової по�слiдовностi — геометричної прогресiї.

Домогтися засвоєння учнями означення геометричної прогресiї,вiдповiдної термiнологiї (знаменник геометричної прогресiї), її реку�рентної формули та основних властивостей (включаючи характерис�тичну властивiсть).

Сформувати вмiння:вiдтворювати змiст вивчених понять;розпiзнавати геометричну прогресiю серед iнших числових по�слiдовностей;використовувати рекурентну формулу геометричної прогресiї;використовувати для розв’язування задач властивостi геометрич�ної прогресiї.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Геометрична прогресiя».

Хiд уроку




Вчитель збирає зошити учнiв на перевiрку.


З метою пiдготовки учнiв до свiдомого сприйняття матерiалу уро�ку, можна запропонувати їм виконати вправу на порiвняння або ло�гiчну вправу на виключення зайвого.

Логiчна вправаСеред наведених послiдовностей виберiть «зайву»:1) 1; 2; 3; 4;… 2) 2; 4; 6; 8;…3) 2; 4; 8; 16;… 4) 3; 7; 11; 15;…Проаналiзуйте, в чому полягає вiдмiннiсть цiєї послiдовностi вiд

iнших.Пiсля виконання такої вправи учнi усвiдомлюють, що серед не�

скiнченної кiлькостi рiзних за видами числових послiдовностей,крiм арифметичної прогресiї, iснують послiдовностi, в яких кожнийнаступний член дорiвнює попередньому члену, помноженому на одней те саме число. Пiсля такого висновку формулюється мета — вивчи�


ти означення, дати назву та дослiдити властивостi таких послiдов�ностей та їх застосування.


Виконання усних вправ1. Наведiть приклад числової послiдовностi:

1) скiнченної; 2) нескiнченної; 3) зростаючої; 4) спадної.2. Наведiть приклад послiдовностi, заданої формулою n�го члена.

Назвiть який�небудь член цiєї послiдовностi.3. Наведiть приклад послiдовностi, заданої рекурентною формулою.4. Наведiть приклад числової послiдовностi, яка є арифметичною

прогресiєю. Доведiть, що наведена послiдовнiсть є арифметичноюпрогресiєю.

5. Як записати для арифметичної прогресiї (xn ) iз рiзницеюm:1) рекурентну формулу;2) характеристичну властивiсть;3) формулу n�го члена;4) формулу суми її перших n членiв?


План вивчення нового матерiалу1. Означення геометричної прогресiї. Знаменник геометричної

прогресiї.2. Рекурентна формула геометричної прогресiї.3. Властивостi геометричної прогресiї:

1) характеристична властивiсть;2) добутки двох членiв скiнченної геометричної прогресiї, рiвно�вiддалених вiд її кiнцiв, рiвнi.

Конспект 33

Геометрична прогресiя

Означення. Геометричною прогресiєю називається числова послiдовнiсть,перший член якої вiдмiнний вiд нуля, а кожний член, починаючи з дру�гого, дорiвнює попередньому члену, помноженому на одне й те ж самечисло, що не дорiвнює нулю.

Це постiйне для заданої послiдовностi число q називається знаменникомгеометричної прогресiї.

Приклади 2, 6, 18, 54, 62,… (q = 3);

16, –2,1

2, −1

8,

1

32,… q = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

4— геометричнi прогресiї



b1, b2, b3,…, bn−1, bn, bn +1 — геометрична прогресiя.

qb

b

b

b

b

bn

n

= = = =−

2

1

3

2 1

… — знаменник прогресiї.

Характеристичнi властивостi

b1, b2, …, bn−1, bn, bn +1 — геометрична прогресiя ⇒ = ⋅− +b b bn n n2

1 1.

Квадрат будь�якого члена геометричної прогресiї (починаючи з другогочлена) дорiвнює добутку попереднього й наступного членiв, i навпаки;якщо виконується зазначена властивiсть, то послiдовнiсть буде геомет�ричною прогресiєю.

Добуток будь�яких двох членiв скiнченної геометричної прогресiї( )b b bn1 2, ,..., , рiвновiддалених вiд її кiнцiв, дорiвнює добутку крайнiхчленiв (тобто є величиною сталою для заданої геометричної прогресiї).

Приклад. ( )bn — геометрична прогресiя, q — знаменник.

b q1 ⋅ b q12⋅ b qn : 2 b qn :

b1; b2

↑; b3

↑; b4; … bn− 3; bn−

↑2; bn−

↑1; bn

b bn1 ⋅b bn1 ⋅b bn1 ⋅

Роботу над засвоєнням знань учнями проводимо за аналогiєюз вивченням арифметичної прогресiї. Вивчення нового матерi�алу починається з формулювання означення геометричноїпрогресiї, в якому слiд пояснити учням такi моменти:

як розумiти словосполучення «починаючи з другого»;

число, на яке помножують кожний член, починаючи з другого,є сталим для заданої геометричної прогресiї, при цьому воно можебути яким завгодно (додатним, вiд’ємним; цiлим або дробовим);воно не може, на вiдмiну вiд рiзницi арифметичної прогресiї,дорiвнювати 0. Це твердження бажано проiлюструвати великоюкiлькiстю прикладiв.

Пiсля цього формується уявлення про знаменник геометричноїпрогресiї та записується вiдповiдна формула. Далi наводиться реку�рентна формула геометричної прогресiї, яка безпосередньо випливаєз означення геометричної прогресiї.

Для розв’язання багатьох прикладних задач важливими є власти�востi геометричної прогресiї, зокрема характеристична властвiсть


(хoча за чинною програмою вивчення цiєї властивостi не є обов’язко�вим. Також не є обов’язковою, проте цiкавою для застосування влас�тивiсть членiв скiнченної геометричної прогресiї, рiвновiддаленихвiд її крайнiх членiв. Отже, якщо дозволяє рiвень математичної пiд�готовки учнiв, можна запропонувати в якостi додаткового матерiалувсi названi властивостi геометричної прогресiї (див. конспект 33).


Виконання усних вправ1. Чи є послiдовнiсть ( )xn геометричною прогресiєю?

1) 3; 3; 3; 3; 3; 2) 2; 0; 0; 0; 0; 3) 3; 6; 12; 24; 48.2. Вiдомо, що числа a1 , a2 , a3 ;… утворюють геометричну прогресiю.

Чи є геометричною прогресiєю послiдовнiсть 3 1a , 3 2a ; 3 3a ,…? Якщотак, то знайдiть її знаменник.

3. ( )bn — геометрична прогресiя, b1 3= , q = 2. Знайдiть першi 3 членицiєї прогресiї.

4. ( )cn — геометрична прогресiя, c100 4= , c102 9= . Як знайти c101 ?

Виконання письмових вправ1. Запишiть першi чотири члени геометричної прогресiї ( )bn , в якiй:

1) b1

1

2= , q = 2; 2) b1

81

25= , q = − 1

3.

2. Знайдiть знаменник, третiй та четвертий члени геометричної про�гресiї ( )bn , в якiй:1) b1 5= , b2 10= ; 2) b1 3= , b2 0 3= − , .

3. Знайдiть знаменник та четвертий член геометричної прогресiї:1) 3; 9; 27;…; 2) –64; 16; –4;…

4. Знайдiть другий член геометричної прогресiї:1) –36; b2 ; –9;…; 2) 0,7; b2 ; 0,063;…

5. Чому дорiвнює добуток шостого й восьмого членiв геометричноїпрогресiї, якщо її сьомий член дорiвнює: 1) –8; 2) 1,8?

6. Чи є послiдовними членами геометричної прогресiї значення:

1) α; 2) sinα, де α π=6

; α π=4

; α π=3

?

7. Знайдiть невiдомi члени скiнченної геометричної прогресiї:

1) 1; b2 ; 49; b4 ; 2) 8; x; 2; y;1

2; 3) b1 ;

3

2; b3 ;

3

8; b5 .

8. Послiдовнiсть (bn ) задано формулою загального члена bnn= ⋅ −4 3 1 .

Чи є ця послiдовнiсть геометричною прогресiєю?9. Знайдiть перший член i знаменник геометричної прогресiї (bn ), якщо:

1) b b6 44= i b b2 5 108+ = ; 2) b b2 5 56+ = i b b b3 4 5 14− + = .



Тестовi завдання1. Чому дорiвнює перший член геометричної прогресiї (bn ), якщоb2 54= , а знаменник q = 6?А) 48; Б) –1; В) 2; Г) 1.

2. Яка з наведених послiдовностей є геометричною прогресiєю?А) 2; 5; 8; 11; Б) 2; 6; 18; 36; В) 2; –4; 8; –16; Г) 2; 4; 12; 48.


Вивчити означення та властивостi геометричної прогресiї, роз�глянутi на уроцi (конспект 33).

Виконати вправи.1. Знайдiть знаменник та четвертий член геометричної прогресiї:

1) 2; –6; 18;… 2) 4; 2; 1;…2. Знайдiть п’ятий член геометричної прогресiї ( )bn , якщо:

1) b4 3= , b6 75= ; 2) b4 8= − , b6 18= − .3. Чи є послiдовними членами геометричної прогресiї числа:

1) 312 ; 314 ; 316 ; 2)5

2; 1;

2 5

5?

4. Мiж числами 1 i 3 вставте число так, щоб вони разом утворювалигеометричну прогресiю.

5. Третiй член геометричної прогресiї дорiвнює 2. Знайдiть добутокперших п’яти членiв цiєї прогресiї.

6. Одна сторона прямокутника утричi бiльша, а друга на 4 см меншавiд сторони квадрата. Знайдiть площу квадрата, якщо вона на10 см2 бiльша вiд площi прямокутника.Повторити схему розв’язання задач складанням математичної

моделi.

Урок № 55Геометрична прогресiя. Формула n @го членагеометричної прогресiї

Мета: формувати усвiдомлене розумiння змiсту означення та су�путнiх понять геометричної прогресiї, її основних властивостей.

Доповнити набутi знання вiдомостями про формулуn�го члена ге�ометричної прогресiї.

Формувати вмiння та навички:розпiзнавати геометричну прогресiю серед iнших числових по�слiдовностей;


знаходити знаменник геометричної прогресiї, першi кiлька членiвгеометричної прогресiї; використовувати властивостi геометрич�ної прогресiї пiд час виконання вправ.Сформувати вмiння записувати формулу n�го члена геометричної

прогресiї, а також розв’язувати рiзнi за змiстом задачi на викорис�тання цiєї формули.

Тип уроку: доповнення знань, застосування знань, умiнь та на�вичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Формула n�го члена геомет�ричної прогресiї».

Хiд уроку




Проводимо перевiрку правильностi виконання вправ домашньогозавдання «За зразком».

Інший варiант проведення цього етапу уроку — виконання тесто�вої роботи з наступною перевiркою та обговоренням результатiв.

Тестова робота1. Яка з наведених послiдовностей є геометричною прогресiєю?

А) 2;6; 18; 54; Б) 80; 40; 20; 5; В) 4; 8; 32; 64; Г) 2; –10; 50; 250.2. Знайдiть знаменник геометричної прогресiї ( )bn , якщо

b5

7

15= , b6

1

3= .

А)3

7; Б)

5

7; В)

7

5; Г)

7

3.

3. Дев’ятий член геометричної прогресiї дорiвнює 12, а знамен�ник — 3. Знайти десятий член геометричної прогресiї.А) 15; Б) 36; В) 39; Г) 108.Пiд час перевiрки виконання цiєї роботи повторюється змiст

основних понять попереднього уроку, а також схеми застосуваннявивчених на цьому уроцi понять до розв’язування типових задач.


Органiзовуємо колективний пошук розв’язання проблеми: як най�бiльш рацiональним способом знайти значенняn�го члена геометрич�ної прогресiї, якщо вiдомi її перший член та знаменник.


Усвiдомивши нерацiональнiсть розв’язання задачi через застосу�вання рекурентної формули, учнi доходять питання: чи не iснує спо�собу обчислення довiльного члена геометричної прогресiї без не�обхiдностi знаходити попереднi кiлька її членiв? Пошук вiдповiдi наце запитання — основна мета уроку.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань учнiв

Виконання усних вправ1. Чи є геометричною прогресiєю послiдовнiсть:

1) 5; 25; 125; 625;… — послiдовнiсть натуральних степенiв числа 5;2) –3; 9; –27; 81;… — послiдовнiсть натуральних степенiв числа –3;3) 1; 8; 27; 64;… — послiдовнiсть кубiв натуральних чисел?

2. Укажiть перший член i знаменник геометричної прогресiї:

1) 1; –5; 25;…; 2) 9; 3; 1;…; 3) –6; –6; –6;… 4) 7;7

2;

7

4;…

3. Знайдiть першi три члени геометричної прогресiї ( )bn , в якiй:1) b1 3= , q = 2; 2) b1 5= , q = −2.

4. Знайдiть четвертий член геометричної прогресiї:1) 2; 6; 18;…; 2) –9; –3; –1;…

5. Знайдiть знаменник i перший член геометричної прогресiї:1) b1 ; 4; 16;…; 2) b1 ; 6; 3;…


План вивчення нового матерiалу1. Формулаn�го члена геометричної прогресiї.2. Приклади застосування виведеної формули.

Єдиний новий момент, який додається до вивченого на попе�редньому уроцi означення та властивостей геометричної про�гресiї — це формула n�го члена геометричної прогресiї, якавиводиться через означення. Ця формула надалi буде основоюдля виведення формули суми перших n членiв геометричноїпрогресiї. Зазначимо, що спосiб мiркувань, за допомогоюяких здобувається формула, є традицiйним так само, якi основнi типи задач на її застосування.


Виконання письмових вправ1. Знайдiть четвертий член геометричної прогресiї ( )bn , у якiй:

1) b1 6= , q = 2; 2) b1 2= − , q = 0 1, ; 3) b1

1

3= , q = −3; 4) b1 64= − , q = 1

2.


Конспект 34Формула n-го члена геометричної прогресiї

1. Якщо ( )bn — геометрична прогресiя зi знаменником q ≠ 0,то b b qn

n= ⋅ −1

1 — формула n�го члена.

bb

qnn1 1

= − , qb

bn n− =1

1

.

2. Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Знайти шостий член геометричної прогресiї ( )bn :1

5; 1; 5;…

Розв’язання. Маємо: b1

1

5= ; q = =5 1 5: . Тодi b b q6 1

5 5 41

55 5 625= ⋅ = ⋅ = = .


Приклад 2. Знайти перший член геометричної прогресiї ( )bn , якщо b7 32= ,q = −2.

Розв’язання. Використавши формулу b b qnn= −

11 для n = 7, одержимо:

( )32 21

6= ⋅ −b ; 32 641= ⋅b , b1 0 5= , .

Вiдповiдь. 0,5.

Приклад 3. Знайти знаменник геометричної прогресiї ( )bn , у якiй b7 12= − ,b9 108= − .

Розв’язання. Використавши формулу n�го члена геометричної прогресiї,одержимо: b b q9 1

8 108= = − , b b q7 16 12= = − .

Звiдси:b q

b q1

8

16

108

12= −

−, q2 9= ; q = −3 або q = 3.

Вiдповiдь. –3 або 3.

2. Знайдiть шостий член геометричної прогресiї:

1) –32; 16; –8;… 2)1

2; 1; 2;…

3. Знайдiть перший член геометричної прогресiї ( )bn , у якiй:

1) b6 243= , q = 3; 2) b5

5

32= − , q = 1

2.

4. Заповнiть таблицю, якщо ( )bn — геометрична прогресiя.

b1 q n bn

3 3 3

0,6 3 5,4

–2 9 256


5. Знайдiть знаменник геометричної прогресiї ( )bn , у якiй:

1) b5 32= , b3 8= ; 2) b6 27= − , b8 243= − .

6. Знайдiть перший член геометричної прогресiї, якщо її четвертийi шостий члени вiдповiдно дорiвнюють 9 i 81.

7. Мiж числами 256 i 1 вставте три таких числа, щоб вони разом iзподаними числами складали геометричну прогресiю.

8. Число 324 є членом геометричної прогресiї 4; 12; 36;… Знайдiтьномер цього члена.



Яка з наведених формул зайва? Чому?

1) x x dn n= ⋅−1 , d ≠ 0; 2) z z zn n n2

1 1= ⋅+ − ;

3) c c nmm= ⋅ −

11 , n ≠ 0; 4) ( )b b q nn = + −1 1 .


Вивчити змiст матерiалу за конспектами 34,35.



Варiант 1

1. Знайдiть 4 перших члени геометричної прогресiї ( )bn , якщоb1 2= − , q = −3.

2. Знайдiть знаменник i п’ятий член геометричної прогресiї:1

256

1

128

1

64; ; ;...− .

3. Мiж числами 16 i 81 вставте три таких числа, щоб разом iз зада�ними числами вони утворювали геометричну прогресiю.

4. Знайдiть перший член i знаменник геометричної прогресiї ( )bn ,якщо b b10 89= , b b3 6 168+ = , q > 0.

Варiант 2

1. Знайдiть 4 перших члени геометричної прогресiї ( )bn , якщо b1 25= ,q = −0 2, .

2. Знайдiть знаменник i п’ятий член геометричної прогресiї: –72;12; –2…

3. Мiж числами 64 i 27 вставте два таких числа, щоб разом iз зада�ними числами вони утворювали геометричну прогресiю.

4. Знайдiть перший член i знаменник геометричної прогресiї ( )bn ,якщо b b10 825= , b b2 4 520+ = − , q > 0.


Урок № 56Сума перших nчленiв геометричної прогресiї

Мета: працювати над засвоєнням учнями формул для обчисленнясуми перших n членiв геометричної прогресiї.

Продовжити роботу над засвоєнням вивчених означень, власти�востей та формул для геометричної прогресiї.

Сформувати вмiння записувати формулу суми перших n членiвгеометричної прогресiї вiдповiдно до умови задачi та використовува�ти цi записи для розв’язування задач.

Повторити графiки елементарних функцiй, перетворення графiкiв.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Сума перших n членiв гео�метричної прогресiї».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити на перевiрку та оцiнює виконану роботу.З метою здiйснення зворотного зв’язку учням роздаються аркушiз правильними розв’язаннями. Учнi опрацьовують цi записи само�стiйно вдома та фiксують можливi запитання. На наступному уроцiвчитель вiдповiдає на запитання учнiв.


Оскiльки арифметична та геометрична прогресiї — числовi по�слiдовностi, вони мають багато спiльного. Отже, вивчення формул тавластивостей цих прогресiй проводиться за однiєю й тiєю самою схе�мою. Вивчення формул суми першихn членiв геометричної прогресiїдоцiльно розпочати з вiдомої задачi про винахiдника шахiв. Вико�ристання фактiв з iсторiї математики, прикладiв класичних задачсприяє формуванню в учнiв iнтересу до вивчення предмета.

Пiсля складання математичної моделi задачi учнi усвiдомлюютьнаявність проблеми швидкого обчислення такої суми (маємо моти�вацiю навчальної дiяльностi), а тому можемо сформулювати метууроку — вивести формулу (формули) для обчислення суми перших nчленiв геометричної прогресiї, вивчити питання про сферу її застосу�вання.



Виконання усних вправ1. Знайдiть значення виразу 5 2 1⋅ +n , якщоn = 2;n = 3;n = 5.2. Назвiть перший, третiй i п’ятий члени послiдовностi, яку задано

формулою n�го члена: xnn= ⋅ −81 31 . Чи є ця послiдовнiсть геомет�

ричною прогресiєю? Чому дорiвнює знаменник цiєї прогресiї?3. Розв’яжiть рiвняння:

1) b2 3= ; 2) x3 27= ; 3) q 6 64= .


План вивчення нового матерiалу1. Формула для обчислення суми першихn членiв геометричної про�

гресiї черезn�й член.2. Формула для обчислення суми першихn членiв геометричної про�

гресiї через перший член i знаменник геометричної прогресiї.3. Приклади розв’язування задач на застосування вивчених формул.

Конспект 35

Формули суми перших n членiв геометричної прогресiї

1. Якщо ( )bn — геометрична прогресiя зi знаменником q ≠ 0, Sn — сума їїперших n членiв, то:

1) Sb q

q

b b q

qnn

q

n

q

= −−

= −−

> <

1

1 11

1

1��

;

2)( ) ( )

Sb q

q

b q

qn

n

q

n

q

=−

−=

−−

> <

1

1

1

1

1

1

1

1� �� .

2. Приклади розв’язування вправ

Приклад 1. Знайти суму перших восьми членiв геометричної прогресiї( )bn : 3; –6; 12;…

Розв’язання. Маємо: b1 3= ; q = − = −6

32, тодi за формулою

( )S

b q

qn

n

=−−

1 1

1

знаходимо( )( )

S8

83 1 2

1 2255=

⋅ − −

+= − .

Вiдповiдь. –255.


Приклад 2. Знайти перший член геометричної прогресiї ( )bn , якщо чет�вертий її член утричi бiльший вiд третього, а сума перших п’яти членiвдорiвнює –12,1.

Розв’язання. Оскiльки b b4 33= , то q = 3. За умовою S5 12 1= − , , тому

( )− =

−−

12 11 3

1 3

15

,b

, − =12 1 121 1, b , b1 0 1= − , .

Вiдповiдь. –0,1.

Виведення формул для обчислення суми перших n членiв гео�метричної прогресiї проводиться за традицiйною схемою: спо�

чатку виводиться формула Sb b q

qn

n=−−

1

1, а потiм, застосувавши

до цiєї формули формулу n�го члена геометричної прогресiї,

дiстають формулу( )

Sb q

qn

n

=−

−1 1

1(q ≠ 1). Потiм розв’язуються

найтиповiшi задачi на застосування цих формул.



1. Знайдiть суму перших n членiв геометричної прогресiї ( )bn ,в якiй:

1) b1 1= − , q = −5, n = 5;

2) b1 64= − , q = − 1

2, n = 8.

2. Знайдiть суму перших шести членiв арифметичної прогресiї:

1) 2; –1;1

2;…

2) 0,2; 0,6; 1,8;…

3. Знайдiть перший член геометричної прогресiї зi знаменником − 1

2,

якщо сума перших восьми членiв дорiвнює 121

64.

4. Знайдiть суму членiв геометричної прогресiї ( )bn від третього довосьмого включно, якщо:

1) b1 2= , q = 3; 2) b1 16= − , q = 0 5, .

5. Геометричну прогресiю ( )bn задано формулою bnn= ⋅ +5 2 1 .

Знайдiть суму перших семи її членiв.



Тестове завдання1. Графiком якої з наведених функцiй є гiпербола?

А) yx

= 1

5; Б) y x= 5 ;

В) y x= + 5; Г) y x= +2 5.

2. Графiком якої з наведених функцiй є пряма, що проходить черезпочаток координат?

А) y x= −9 4; Б) yx

= 9;

В) y x= 9 ; Г) y x= − 9.3. Графiком якої з наведених функцiй є парабола?

А) y x= −3 4; Б) y x= −3 42 ;

В) yx

= 3; Г) y

x=3

.

Виконання запропонованих вправ сприятиме засвоєнню фор�мул для обчислення суми перших n членiв геометричної про�гресiї, формуванню оперативних умiнь щодо їх застосуванняв стандартних ситуацiях як у прямому, так i в зворотномунапрямках.

Метою виконання пропонованих тестових завдань є повторення,систематизацiя знань учнiв щодо графiкiв функцiй. Пiд час пере�вiрки завдань бажано навести графiки шуканих функцiй i за нимипровести фронтальне опитування за такими запитаннями.

Контрольнi запитання до тестових завдань1. Знайдiть промiжки знакосталостi та промiжки монотонностi

функцiї yx

= 1

5. Якi ще властивостi цiєї функцiї ви можете

назвати?

2. Чи проходить графiк функцiї y x= 9 через точку A1

91;−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

?

3. Якою — зростаючою чи спадною — є функцiя y x= 9 ?4. Запишiть рiвняння прямої, що паралельна графiку функцiї y x= 9

i проходить через точку B1

32;⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

.

5. Знайдiть координати вершини параболи y x= −3 42 .

6. Знайдiть область значень функцiї y x= −3 42 .

7. Знайдiть промiжки зростання, спадання функцiї y x= −3 42 .



Контрольне запитанняЧому дорiвнює сума перших шести членiв геометричної прогресiї

( )cn , якщо c1 3= , q = 2?


Вивчити формули для обчислення суми перших n членiв геомет�ричної прогресiї (конспект 35).

Виконати вправи (подiбнi за змiстом та за рiвнем складностi довправ, виконаних на уроцi).1. Знайдiть суму перших n членiв геометричної прогресiї ( )bn ,

в якiй:1) b1 4= − , q = 3, n = 4;2) b1 1= , q = −2, n = 6.

2. Знайдiть суму перших п’яти членiв геометричної прогресiї:1) 3; –6; 12;… 2) 0,2; 0,6; 1,8;…

3. Знайдiть перший член геометричної прогресiї, в якiй

q = 1

2, S7 254= .

Повторити властивостi та графiки функцiй.Виконати вправи на повторення.

1. При яких значеннях b i c вершина параболи y x bx c= + +4 2 знахо�

диться в точцi ( )A 32; ?

2. Побудуйте графiк функцiї yx

x x= −

−6 3

22.

3. На заводi для виготовлення одного електродвигуна типу A витра�чається 2 кг мiдi й 1 кг свинцю, а на виготовлення одного елек�тродвигуна типу B — 3 кг мiдi й 2 кг свинцю. Скiльки електро�двигунiв кожного типу було виготовлено на заводi, якщо вiдомо,що всього використали 130 кг мiдi й 80 кг свинцю?

Урок № 57Сума перших nчленiв геометричної прогресiї

Мета: працювати над подальшим засвоєнням учнями поняттягеометричної прогресiї, її основних властивостей.

Доповнити знання формулою n�го члена геометричної прогресiї.Формувати навички:розпiзнавати геометричну прогресiю серед числових послiдовно�стей;


обчислювати знаменник геометричної прогресiї, першi члени гео�метричної прогресiї;використовувати властивостi геометричної прогресiї пiд час роз�в’язування задач.Сформувати вмiння записувати формулу n�го члена геометричної

прогресiї, а також розв’язувати рiзнi за змiстом задачi на викори�стання цiєї формули.Тип уроку: доповнення знань, застосування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 35.

Хiд уроку




Оскiльки вправи домашнього завдання за змiстом, способом роз�в’язання, а також рiвнем складностi вiдповiдають вправам, що буливиконанi на попередньому уроцi, то ретельнiй перевiрцi пiдлягаютьроботи учнiв, що потребують додаткової педагогiчної уваги.

Фронтально учнi можуть виконати тестове завдання, пiд час яко�го вони мають продемонструвати знання основних питань теми «Гео�метрична прогресiя».

Тестова робота1. Яка з наведених послiдовностей є геометричною прогресiєю?

А) 2; 6; 18; 54;… Б) 80; 40; 20; 5;…В) 4; 8; 32; 64;… Г) 2; –10; 50; 250;…

2. Знайдiть знаменник геометричної прогресiї ( )bn , якщо

b5

7

15= , b6

1

3= .

А)3

7; Б)

5

7; В)

7

5; Г)

7

3.

3. Восьмий член геометричної прогресiї дорiвнює 12, а знаменникдорiвнює 3. Знайдiть десятий член геометричної прогресiї.А) 15; Б) 36; В) 39; Г) 108.

4. Чому дорiвнює шостий член геометричної прогресiї, перший член

якої дорiвнює4

7, а знаменник дорiвнює –1?

А) − 4

7; Б)

4

7; В) −4

3

7; Г) 6

4

7.


5. Чому дорiвнює сума перших чотирьох членiв геометричної про�гресiї ( )bn , якщо b1 5= , q = −2?А) 70; Б) 85; В) –25; Г) –85.

6. Знайдiть суму перших десяти членiв геометричної прогресiї, дру�гий член якої дорiвнює 4, а знаменник дорiвнює –1.А) –4; Б) 0; В) 4; Г) 8.


Можливi помилки пiд час виконання тестової роботи мають пере�конати учнiв у необхiдностi подальшого опрацювання матерiалу таформування сталих умiнь використовувати цi знання як в стандар�тних, так i в нестандартних ситуацiях. Це твердження виражаєосновну мету уроку.


Виконання усних вправ1. Виконайте дiї:

1) ( )8 4 3 2a a− + ; 2) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 4

7

3p

q;

3) 9 16 36y y y− − ; 4) ( )( )y y− +4 8 .


1)( )

2 2

2 2

3 5

2 3 3

⋅

⋅−; 2)

x

x

n

n

−1

; 3) 3 31n n+ − .

3. Знайдiть промiжки зростання i спадання функцiї y x x= −2 2 .

4. Знаючи першi два члени геометричної прогресiї: 0,3; 0,9;…, знай�дiть:1) знаменник цiєї прогресiї;2) третiй та четвертий члени прогресiї.Запишiть формулу n�го члена цiєї прогресiї та формулу для об�

числення суми перших шести її членiв.

VІ. Формування навичок

Виконання письмових вправ1. Доведiть, що послiдовнiсть, яку задано формулою xn

n= ⋅2 3 , є гео�метричною прогресiєю, i знайдiть суму перших шести її членiв.

2. Рiзниця п’ятого й третього членiв геометричної прогресiї до�рiвнює 36, а рiзниця третього й першого дорiвнює 9. Знайдiтьсуму перших восьми членiв цiєї прогресiї.


3. Знайдiть суму перших семи членiв геометричної прогресiї ( )bn ,якщо b b1 5 17+ = , b b2 6 189+ = .

4. Знайдiть восьмий член геометричної прогресiї ( )bn , в якiй b1 3= ,bn = 96, Sn = 189.

5. Знайдiть перший член, знаменник i кiлькiсть членiв геометрич�ної прогресiї (yn ), якщо y y7 5 648− = , y y6 5 162+ = − , Sn = −1640.

Виконання вправ на повторення1. Побудуйте графiк функцiї:

1) yx x

x

x x

x= + +

+− +2 26 9

3

5;

2) y x x= − +4 22 1.

2. Побудуйте графiк рiвняння( ) ( )

y x

x y

−

+ + −=

2

2 21 1

0.


Учнi узагальнюють основнi типи задач на застосування формулдля обчислення суми перших n членiв геометричної прогресiї.


Повторити змiст матерiалу за конспектами 33–35.Виконати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1Знайдiть суму:1) перших п’яти членiв геометричної прогресiї ( )bn , якщо

b1 8= , q = 1

2;

2) перших шести членiв геометричної прогресiї ( )bn :1

54;

1

18;

1

6;…

3) перших семи членiв геометричної прогресiї ( )bn , якщо вона за�дана формулою загального члена bn

n= ⋅ +3 2 1 ;

4) перших п’яти членiв геометричної прогресiї ( )bn , якщо сумадругого й третього її членiв дорiвнює –12, а рiзниця четвертогой другого членiв дорiвнює 48.Варiант 2Знайдiть суму:1) перших п’яти членiв геометричної прогресiї ( )bn , якщо

b1 625= , q = 0 2, ;


2) перших шести членiв геометричної прогресiї ( )bn :

18; 24; 32;…

3) перших п’яти членiв геометричної прогресiї ( )bn , якщо вона за�дана формулою загального члена bn

n= ⋅ −5 2 1 ;

4) перших п’яти членiв геометричної прогресiї ( )bn , якщо рiзницятретього й другого її членiв дорiвнює 6, а рiзниця четвертогой другого членiв дорiвнює 30.

Урок № 58Нескiнченна геометрична прогресiя | |( )q <1 та її сума

Мета: працювати над засвоєнням учнями означення нескiнченноспадної геометричної прогресiї; формули суми цiєї прогресiї.

Закрiпити знання учнiв про змiст основних понять, пов’язаних iзпоняттями геометричної та арифметичної прогресiй.

Cформувати вмiння:наводити приклади нескiнченних геометричних прогресiй з | |q < 1;

записувати формулу для знаходження суми таких геометричнихпрогресiй;за формулою знаходити суму нескiнченно спадної геометричноїпрогресiї;розв’язувати задачi, що передбачають обчислення таких сум (зок�рема, запис перiодичного десяткового дробу у виглядi звичайногодробу).Удосконалити вмiння розв’язувати задачi на застосування вивче�

них властивостей арифметичної та геометричної прогресiй.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Нескiнченна геометрична

прогресiя».

Хiд уроку




Перевiрка виконання домашньої самостiйної роботи вiдбуваєтьсяза традицiйною схемою: вчитель збирає зошити на перевiрку, а уч�ням роздаються зразки правильних розв’язань для самостiйногоопрацювання вдома (якщо в цьому є необхiднiсть).



З метою усвiдомлення iснування проблеми, що розв’язується задопомогою формули суми нескiнченно спадної геометричної прогресiї,можна запропонувати учням виконати завдання. Серед завдань маютьбути вправи на порiвняння (серед кiлькох прикладiв геометричнихпрогресiй видiляються такi, що будуть предметом подальшої розмовина уроцi), а також вправи, що можуть привести учнiв до розумiння«особливостей» геометричних прогресiй iз знаменником | |q < 1. Пiслятакої розумової роботи учнiв учитель лише узагальнює висловленiдумки та формулює основну дидактичну мету уроку:

засвоїти означення нескiнченно спадної геометричної прогресiї,засвоїти формулу суми цiєї прогресiї;сформувати вмiння наводити приклади нескiнченних геометрич�них прогресiй;записувати формулу для знаходження суми нескiнченних спаднихгеометричних прогресiй;за формулою знаходити суму вiдповiдної геометричної прогресiї;розв’язувати задачi, що передбачають обчислення суми нескiнчен�ної спадної геометричної прогресiї.


Виконання усних вправ1. Чи є наведенi послiдовностi геометричними прогресiями:

1) 16; 8; 4; 2; 2) 3; 4; 6; 9;

3)1

4;

1

3;

1

2; 1; 4) 18; 14; 10; 6?

2. Знайдiть четвертий член геометричної прогресiї (bn ), в якiй

b1

1

27= , q = −3.

3. Запишiть числа у виглядi суми розрядних одиниць:

324; 32,4; 0,1782; 0,(8), 1,5(43).


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про геометричну прогресiю зi знаменником | |q < 1.2. Формула суми геометричної прогресiї зi знаменником | |q < 1.3. Приклади розв’язування задач на застосування формули суми ге�

ометричної прогресiї зi знаменником | |q < 1.Вивчення матерiалу уроку будується на наочно�iнтуїтивнихуявленнях учнiв про границю послiдовностi подiбно до того,


як це було зроблено в курсi геометрiї пiд час виведення фор�мул довжини кола, площ прямокутника та круга. Важливозазначити, що ця формула отримана для суми всiх членiв цiєїпрогресiї, а тому вiдрiзняється вiд формули суми перших nчленiв геометричної прогресiї.

Також слiд зазначити, що формула Sb

q=

−1

1дозволяє розв’язати

низку практичних задач, зокрема записувати нескiнченнi десятковiперiодичнi дроби у виглядi звичайних дробiв (див. конспект 36).

Конспект 36Нескiнченна геометрична прогресiя

1. Означення. Нескiнченна геометрична прогресiя, знаменник якої | |q < 1,

називається нескiнченно спадною геометричною прогресiєю.

Приклади

1;1

2;

1

4;

1

8;

1

16;… (q = 1

2)

–2;2

3; −2

9;

2

27; − 2

81;… (q = −1

3)

2. Формула для обчислення суми нескiнченної спадно геометричної про�гресiї

Sb

q=

−1

1.

3. Перетворення перiодичного десяткового дробу на звичайний

Приклад

( )0 6 0 66666

10

6

100

6

1000

6

10

11

10

2

3, , ...= = + + + =

−=…

(як сума нескiнченно спадної геометричної прогресiї з першим членом

b1

6

10= i знаменником q = 1

10).


Виконання письмових вправ1. Знайдiть суму нескiнченної геометричної прогресiї ( )bn , в якiй:

1) b1 7= , q = − 1

2; 2) b1 100= − , q = 1

50.

2. Знайдiть суму нескiнченної геометричної прогресiї:

1) 3; 1;1

3;… 2) –10; –4; − 8

5;…


3. Знайдiть перший член нескiнченної геометричної прогресiї,в якiй:

1) q = 3

5; S = 50; 2) q = − 1

2, S = 28.

4. Знайдiть знаменник q (| |q < 1) геометричної прогресiї ( )bn , якщоb1 80= , S = 100.

5. Знайдiть суму нескiнченної геометричної прогресiї:

1) 3 7; 7;…. 2) 2 3+ ; − +2 3

2;…

6. Знайдiть суму, якщо доданки є членами нескiнченної геометрич�ної прогресiї:

1)1

2+

1

22+

1

23+….; 2) x x x x2 4 6 8− + − +… (| |x < 1).

7. Запишiть у виглядi звичайного дробу числа:

1) 1,(3); 2) 3,(12); 3) 0,(25); 4) 1, 2(3); 5) 0,1(13).

Пiд час виконання вправ, крiм засвоєння термiнологiї та фор�мули суми нескiнченної спадно геометричної прогресiї, про�водиться вiдпрацювання таких ключових моментiв:

формула Sb

q=

−1

1застосовується тiльки для нескiнченних геомет�

ричних прогресiй та для обчислення суми всiх її членiв;

формула Sb

q=

−1

1є спiввiдношенням, що пов’язує три величини:

перший член, знаменник та суму всiх членiв нескiнченної геомет�ричної прогресiї, а тому може бути застосована як для обчисленнясуми, так i для знаходження двох iнших названих вище величин.



Суму якої з наведених послiдовностей можна обчислити за фор�

мулою Sb

q=

−1

1?

1) 2; 4; 8;…2) 2; 4; 6; 8;…. 3) –3; 1; − 1

3;

1

9;… 4) 25; 5; 1;

1

5;…


Вивчити змiст матерiалу уроку (конспект 36).




Варiант 1

1. Яка з наведених послiдовностей є нескiнченно спадною геомет�ричною прогресiєю?

А) 1; –1; 1; –1;… Б) 1; 3; 9; 27;…

В) 27; 9; 3;… Г) 6; 5; 4; 3;…

2. Обчислiть суму нескiнченно спадної геометричної прогресiї, пер�

ший член якої дорiвнює 12, а знаменник дорiвнює − 1

2.

А) 16; Б) 8; В) 9; Г) 18.

3. Чому дорiвнює перший член нескiнченно спадної геометричної

прогресiї, сума якої 9, а знаменник1

3?

А) 6; Б) �6; В)1

6; Г) − 1

6.

4. Чому дорiвнює другий член нескiнченно спадної геометричної

прогресiї, сума якої 9, а знаменник − 1

3?

А) –6; Б) 6; В) –4; Г) 4.

5. Запишiть у виглядi звичайного дробу перiодичний дрiб 0,( )7 .

А)7

10; Б)

7

9; В)

7

90; Г)

77

100.

6. Запишiть у виглядi мiшаного числа перiодичний дрiб ( )1 24, .

А) 1,24; Б)8

33; В)

24

99; Г) 1

8

33.

Варiант 2

1. Яка з наведених послiдовностей є нескiнченно спадною геомет�ричною прогресiєю?

А) –1; –2; –4; –8;… Б) 8; 6; 4; 2;...

В) –4; 2; –1;… Г) 2; –2; 4; –4;...

2. Обчислiть суму нескiнченно спадної геометричної прогресiї, пер�

ший член якої дорiвнює 60, а знаменник дорiвнює − 1

4.

А) 48; Б) 45; В) 75; Г) 80.

3. Чому дорiвнює перший член нескiнченно спадної геометричної

прогресiї, сума якої 16, а знаменник1

2?

А) 32; Б) 12; В) 4; Г) 8.


4. Чому дорiвнює другий член нескiнченно спадної геометричної

прогресiї, сума якої 12, а знаменник − 1

4?

А) –3; Б) −33

4; В) –48; Г) 48.

5. Запишiть у виглядi звичайного дробу перiодичний дрiб ( )0 6, .

А)2

3; Б)

6

10; В)

6

100; Г)

66

100.

6. Запишiть у виглядi мiшаного числа перiодичний дрiб ( )2 45, .

А) 2,45; Б) 245

100; В) 2

5

11; Г)

45

99.

Повторити означення основних понять та основнi формули, ви�вченi в темi № 4.

Урок № 59Пiдсумковий урок iз теми «Числовi послiдовностi»

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання та вмiн�ня учнiв щодо змiсту вивчених у роздiлi понять (числова послi�довнiсть, арифметична та геометрична прогресiї) та формул (формулазагального члена, формула суми перших членiв та характеристичнавластивiсть арифметичної та геометричної прогресiй), а також спо�собiв їх застосування пiд час розв’язування задач, передбачених про�грамою з математики.

Провести корекцiйну роботу з метою усунення причини найти�повiших помилок учнiв. Пiдготувати учнiв до виконання завданьконтрольної роботи.Тип уроку: систематизацiя, узагальнення знань та вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспекти 29–36.

Хiд уроку




Учитель збирає зошити учнiв iз виконаною домашньою самостiй�ною роботою на перевiрку.


Оскiльки урок є останнiм, пiдсумковим, то першочерговим є пи�тання про повторення, узагальнення та систематизацiю знань та


вмiнь, набутих учнями пiд час вивчення теми № 4. Таке формулю�вання мети створює вiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.


Контрольнi запитання1. Наведiть приклади числових послiдовностей:

1) нескiнченних; 2) скiнченних; 3) спадних; 4) зростаючих.2. Яку послiдовнiсть називають арифметичною прогресiєю? Наве�

дiть приклади арифметичних прогресiй.3. Як знайти рiзницю арифметичної прогресiї?4. Сформулюйте властивостi арифметичних прогресiй.5. Як записати формулуn�го члена арифметичної прогресiї?6. За якими формулами обчислюється сума перших n членiв ариф�

метичної прогресiї?7. Що називають геометричною прогресiєю? Наведiть приклади гео�

метричних прогресiй.8. Як знайти знаменник геометричної прогресiї?9. Сформулюйте властивостi геометричних прогресiй.10. Як записати формулуn�го члена геометричної прогресiї?11. За якими формулами можна обчислити суму першихn членiв гео�

метричної прогресiї?12. За якою формулою обчислюється сума нескiнченно спадної гео�

метричної прогресiї?


Мета проведення цього й попереднього етапiв — формуванняв учнiв уявлення про структуру теми «Числовi послiдовно�стi», чiткого розумiння логiки її вивчення та системи типовихзавдань.

Типовими завданнями теми «Числовi послiдовностi. Арифметич�на та геометрична прогресiї» є завдання:

знаходженняn �го члена, суму першихn членiв арифметичної про�гресiї;знаходженняn �го члена, суму першихn членiв геометричної про�гресiї;знаходження суми нескiнченної геометричної прогресiї зi знамен�ником | |q < 1;мiж заданими двома числами вставити кiлька таких чисел, щобвони разом утворили арифметичну (геометричну прогресiю);знаходження всiх додатних (вiд’ємних) членiв арифметичної про�гресiї;


знаходження членiв арифметичної (геометричної) прогресiї, якщовiдома сума (рiзниця) несусiднiх її членiв, узятих попарно.Пiсля формування списку основних видiв завдань учитель

об’єднує учнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань). Завданнякожної групи формулюється так: «Скласти алгоритм розв’язання за�вдання…» (кожна група отримує iндивiдуальне завдання). На скла�дання алгоритму кожнiй групi вiдводиться певний час, за який учас�ники групи мають: скласти алгоритм, записати його у виглядiпослiдовних крокiв, пiдготувати презентацiю своєї роботи. По за�кiнченнi вiдбувається презентацiя виконаної роботи кожною з груп.Пiсля презентацiї — обов’язкове випробування алгоритмiв: причомубажано, щоб групи обмiнялись алгоритмами й перевiрили їх застосу�вання не на одному, а на кiлькох завданнях. Пiсля випробування —обов’язкова корекцiя та пiдбиття пiдсумкiв.



Вивчити складенi на уроцi алгоритми.Виконати завдання домашньої контрольної роботи № 6.

Умова домашньої контрольної роботи1. Знайдiть сьомий член i суму перших десяти членiв арифметичної

прогресiї (an ), якщоa1 5= ,d = 3.2. Знайдiть шостий член i суму перших п’яти членiв геометричної

прогресiї (xn ), якщо x1 2= , q = 1

2.

3. Знайдiть суму нескiнченно спадної геометричної прогресiї:

2; − 1

2;

1

8;…

4. Мiж числами 5 i –16 вставте шiсть чисел так, щоб вони iз задани�ми утворювали арифметичну прогресiю.

5. Знайдiть перший член, знаменник i суму перших п’яти членiвгеометричної прогресiї, якщо рiзниця її третього й першого чле�нiв дорiвнює 6, а сума другого й першого членiв дорiвнює –2.

6. Знайдiть суму невiд’ємних членiв числової послiдовностi:

2,5; 2,1; 1,7;…

7. Запишiть число 3,8(3) у виглядi мiшаного числа.



Мета: перевiрити рiвень знань та вмiнь учнiв, набутих ними пiдчас вивчення теми «Числовi послiдовностi».Тип уроку: контроль знань та вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити iз виконаною домашньою контрольною роботою(роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичногобала).


Учитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�цiя учнями своїх навчальних досягнень. Отже, учнi повиннi показа�ти знання змiсту основних понять та алгоритмiв, вивчених у темi,а також умiння застосовувати набутi знання пiд час виконання вправ.


Варiант 11. Знайдiть десятий член i суму перших 18�ти членiв арифметичної

прогресiї (an ), якщоa1 38= , ,d = −14, .2. Знайдiть четвертий член i суму перших п’яти членiв геометрич�

ної прогресiї ( )bn , якщо b1 625= , q = − 1

5.


10; 2 5; 2;…

4. Знайдiть номер члена арифметичної прогресiї (an ), який дорiвнює7,3, якщоa1 10 3= , ,a2 9 8= , .

5. Мiж числами 2, 5 i 20 вставте два таких числа, щоб вони разом iззаданими утворювали геометричну прогресiю.

6. Знайдiть суму всiх натуральних чисел, якi бiльшi нiж 100 таменшi нiж 200 i кратнi 7.

7. Запишiть число 5,1(6) у виглядi нескоротного звичайного дробу.Варiант 2

1. Знайдiть п’ятнадцятий член i суму перших 20�ти членiв арифме�тичної прогресiї (an ), якщоa1 42= − , ,d = 0 6, .


2. Знайдiть п’ятий член i суму перших чотирьох членiв геометрич�

ної прогресiї ( )bn , якщо b1

1

216= , q = −6.


21; 3 7; 3;…

4. Знайдiть номер члена арифметичної прогресiї (an ), який дорiвнює10,9, якщоa1 8 5= , ,d = 0 3, .

5. Мiж числами 2 i –54 вставте два таких числа, щоб вони разом iззаданими утворювали геометричну прогресiю.

6. Знайдiть суму всiх натуральних чисел, якi бiльшi нiж 50 таменшi нiж 180 i кратнi 6.

7. Запишiть число 2,3(2) у виглядi нескоротного звичайного дробу.


Як варiант проведення цього етапу можна запропонувати (пiслявиконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до завдань,виконаних учнями. Можна роздати учням для опрацювання вдома(домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’язаньзавдань контрольної роботи, заготовлених учителем заздалегiдь.


Виконати аналiз контрольної роботи за копiями розв’язань.Повторити означення i властивостi числових нерiвностей, а та�

кож способи розв’язання лiнiйних нерiвностей з однiєю змiнною.


ПОВТОРЕННЯ I СИСТЕМАТИЗАЦIЯНАВЧАЛЬНОГО МАТЕРIАЛУ (10 год)

Основна мета: повторити, систематизувати та узагальнити знан�ня учнiв про:

основнi види виразiв, вивчених у 7–9 класах, та види їх перетворень;види рiвнянь та нерiвностей, вивчених у 7–9 класах, способи їхрозв’язання;види задач та способи їх розв’язання;види функцiй, вивчених у 7–9 класах, та їх властивостi.Повторити, систематизувати та узагальнити набутi пiд час ви�

вчення зазначеного матерiалу вмiння.

ОРIЄНТОВНЕ ПЛАНУВАННЯ ПОВТОРЕННЯ МАТЕРIАЛУ

Урок № 61

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня учнiв стосовно числових i лiнiйних нерiвностей.

Тестовi завдання1. Яку подвiйну нерiвність задовольняє множина чисел, що нале�

жать промiжку, зображеному на рисунку?

А) − ≤ ≤3 5x ; Б) − < ≤3 5x ;В) − ≤ <3 5x ; Г) − < <3 5x .

2. Вiдомо, що x y> . Яка з наведених нерiвностей правильна?А) 3 3x y< ; Б) x y− < −5 5;

В) − < −x y; Г)x y

2 2< .

3. Який iз промiжкiв є розв’язком нерiвностi 3 2 8x x+ ≥ − ?А) ( )−∞ −; 5 ; Б) ( ]−∞ −; 5 ;В) ( )− +∞5; ; Г) [ )− +∞5; .

4. Оцiнiть довжину сторони a см правильного трикутника, якщойого периметр Pсм i 0 15 0 18, ,< <P .А) 0 3 0 6, ,< <a ; Б) 0 5 12, ,< <a ;В) 0 5 0 6, ,< <a ; Г) 0 15 0 18, ,< <a .

5. Знайдiть середнє арифметичне всiх цiлих чисел, що належатьпромiжку ( ]−3 5; .

А) 1,5; Б) 11

3; В) 1; Г) 1

1

8.


–3 5 x

6. Яке з наведених тверджень не є правильним?А) Якщо почленно додати правильнi нерiвностi одного знака, тодiстанемо правильну нерiвнiсть;Б) якщо з однiєї частини нерiвностi перенести в iншу доданокз протилежним знаком, то дiстанемо нерiвнiсть, рiвносильну за�данiй;В) число a бiльше за число b, якщо рiзниця a b− є додатним чис�лом;Г) якщо обидвi частини нерiвностi помножити або подiлити наодне й те саме число, то знак нерiвностi не змiниться.

Письмовi вправи

1. При яких значеннях змiнної значення дробу12 5

3

− xбiльше, нiж

вiдповiдне значення дробу4 5

2

x+?

2. Оцiнiть значення виразуa

b5

3+ , якщо 1 12< <a , , 0 3 0 4, ,< +5 3 3 172 .

4. Розв’яжiть нерiвнiсть:1) | |x− <3 15; 2) | | | |( )1 2 2 2 5− + < + +x x .

5. Видiляючи iз тричлена квадрат двочлена, доведiть нерiвнiстьx xy y2 2 0− + ≥ .

6. Доведiть нерiвнiсть ( )2 22 2 2a b c a b c+ + ≥ + .

Урок № 62

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня учнiв стосовно лiнiйних нерiвностей та їх систем.

Тестовi завдання1. У виглядi якої з систем нерiвностей можна записати подвiйну не�

рiвнiсть 3 12≤ <x ?

А)x

x

≤>

⎧⎨⎩

3

12

,

;Б)

x

x

≤<

⎧⎨⎩

3

12

,

;В)

x

x

≥>

⎧⎨⎩

3

12

,

;Г)

x

x

≥<

⎧⎨⎩

3

12

,

.

2. Яка iз сукупностей маєрозв’язком промiжки, щозображенi на рисунку?

А)x

x

>> −

⎡

⎣⎢

3

3

,

;Б)

x

x

> −<

⎡

⎣⎢

3

3

,

;В)

x

x

>< −

⎡

⎣⎢

3

3

,

;Г)

x

x

> −<

⎡

⎣⎢

3

3

,

.


–3 3 х

3. Яка з наведених систем нерiвностей має єдиний розв’язок?

А)x

x

≥≥

⎧⎨⎩

2

3

,

;Б)

x

x

≥≤ −

⎧⎨⎩

3

3

,

;В)

x

x

≥≤

⎧⎨⎩

2

3

,

;Г)

x

x

≤ −≥ −

⎧⎨⎩

3

3

,

.

4. На координатнiй прямiй зображено розв’язок двох нерiвностей.Який iз промiжкiв є розв’язком системи цих нерiвностей?

А) ( )2 5; ; Б) [ ]2 5; ; В) ( )−∞ +∞; ; Г) ( ] [ )−∞ ∪ +∞; ;2 5 .

5. Який промiжок є розв’язком системи нерiвностейx

x

≥ −< −

⎧⎨⎩

7

3

,

?

А) [ )− −7 3; ; Б) ( ]− −7 3; ; В) ( )− +∞3; ; Г) [ )− +∞7; .6. Яке з наведених тверджень є правильним?

А) Розв’язком системи нерiвностей з однiєю змiнною є тi значен�ня, при яких правильна хоча б одна нерiвнiсть цiєї системи;Б) система нерiвностей з однiєю змiнною не може мати єдиногорозв’язку;В) якщо обидвi частини нерiвностi помножити або подiлити наодне й те саме число, то знак нерiвностi не змiниться;

Г) якщо в системi нерiвностейx a

x b

><

⎧⎨⎩

,a b> , то система не має роз�

в’язкiв.

Письмовi вправи1. Знайдiть множину невiд’ємних чисел, якi задовольняють систему

нерiвностей

9

9

2 1

30

14

90

+ − − <

− + <

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

y y

y

,

.

2. Розв’яжiть подвiйну нерiвнiсть − < + ≤13 2

53

y.

3. Розв’яжiть систему нерiвностей( )

( )2 1 5 4 3

0 6 5 14 6 1

2 2x x x

x x x

− + > +

− + < −

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

, , .

4. Знайдiть область визначення функцiї y x x= + − −2 10 9 3 .

5. Розв’яжiть нерiвнiсть | |2 7 9x+ ≥ .

6. При яких значеннях аргументу значення функцiї yx= +6 1

5нале�

жать промiжку [ ]−3 1; ?


2 5 х

7. Довжина прямокутної дiлянки дорiвнює 12 м. Якщо ширину цiєїдiлянки збiльшити на 1, 5 м, то площа стане бiльшою нiж 90 м2.Якщо ж ширину дiлянки зменшити на 0, 5 м, то площа стане мен�шою нiж 72 м2. Якою може бути ширина дiлянки?


1. Розв’яжiть нерiвнiсть − ≤ − ≤0 8 0 4 3 2 8, , ,x .

2. Розв’яжiть систему нерiвностей3 14 4

5 1

4

1

23 2

x x

x xx

+ > −− − − ≥ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.

3. Доведiть, що при всiх дiйсних значеннях b виконується нерiвнiсть

( )( ) ( )b b b− + < −8 2 32.

Варiант 2

1. Розв’яжiть нерiвнiсть 27 2

35< − ≤x .

2. Розв’яжiть систему нерiвностей( ) ( )( )x x x

x x

− < + − −

− + + <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

4 1 3 5

2

4

4

86

2,

.

3. Доведiть, що при всiх дiйсних значенняхa виконується нерiвнiсть

( )( ) ( )a a a+ − > −4 8 4 2 19 .

Варiант 3

1. Розв’яжiть нерiвнiсть − ≤ − ≤2 51 3

215, ,

x.

2. Розв’яжiть систему нерiвностей( )x x x

x x

+ ≤ + +

+ − + ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

11 12 221

6 1

6

5 4

40

2 2 ,

.


( )( ) ( )4 2 2 21 4− + < −b b b .

Варiант 4

1. Розв’яжiть нерiвнiсть 0 33 4

32, ≤ − <x .

2. Розв’яжiть систему нерiвностей2 9 6 3

1

3

2

62

x x

xx x

− ≤ +

− + − − <

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.


( )( ) ( )b b b− + < −8 2 32.


Урок № 63

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня учнiв стосовно функцiй, властивостей функцiй, а також власти�востей квадратичної функцiї.

Уснi вправиІ. Знаходження значення функції в точціЗнайдіть значення функції в заданій точці x0 .

1) y x= +2 6, x0 3= − ; 2) y x= −9 2, x0 3= ;

3) ( )f xx

= 3, x0

1

3= ; 4) y x= −2 3, x0 3= − ;

5) ( )f x x= +1

67, x0 12= − ; 6) ( )f x x= −5 3 , x0

1

3= .

ІІ. Знаходження області визначення функції1. При яких значеннях змінної xневизначена функція?

1) yx

x x= +

−1

42; 2) y

x=

−8

362; 3) y

x

x= −

+1

4; 4) y

x

x= −

+1

2 6.

2. При яких значеннях xвизначена функція:

1) yx

=−

12

32 4; 2) ( )f x

x

x= −

−2

3; 3) ( )f x

x

x= −

+

2

2

4

4; 4) ( )f x

х

х= −

−2

92.

3. Знайдіть область визначення функції:

1) y x= + 3; 2) yx

=−

1

2; 3) y x= +2 3; 4) y x= −9 3 .

4. Область визначення якої з наведених функцій складається з од�нієї точки?

А) yx

= 1; Б) y x= − 2 ; В) y x= ; Г) | |y x= .

ІІІ. Знаходження області значень функції1. На рисунку зображено графік

функції, визначеної на проміжку

[ ]−5 4; . Користуючись рисунком,укажіть область значень функції.

2. Знайдіть область значень функції.

1) ( )f x x= + 1; 2) ( ) ( )f x x= − +7 22

;

3) ( )f x x= − −6 2; 4) ( )f x x= −4 2 .

IV. Монотонність функції1. Яка з наведених функцій є спадною на множині дійсних чисел?

А) y x= 3 ; Б) yx

= 3; В) y x= −3 ; Г) y x= 3 .


4

21

–2

–5 –1 0 1 3

y

x

2. На рисунку зображено графік функції,визначеної на проміжку [ ]−6 6; .Користуючись рисунком, установітьпроміжки зростання функції.V. Лінійна функція

1. Яку з наведених прямих перетинаєпряма y x= − +3 7?А) y x= −3 ; Б) y x= +3 7;В) y x= − +3 6; Г) y x= − −3 7.

2. Графіком якої з наведених функцій є горизонтальна пряма?А) y x= −8 7; Б) y x= 8 ; В) y x= −8 ; Г) y = 8.

3. Яка з лінійних функцій є зростаючою?

А) y x= −4 6 ; Б) y x= − +0 3 7, ; В) y x= −0 2 12, ; Г) y x= − 2

7.

4. Яка з поданих функцій є спадною?

А) y x= +5 3 ; Б) y x= −5 3 ; В) y x= −0 3 5, ; Г) y x= 5

9.

5. Через яку з точок проходить графік рівняння 5 3 15x y− = ?А) ( )A 0 5; ; Б) ( )B 3 0; ; В) ( )C 4 1; ; Г) ( )D 2 2; .

6. Яку з наведених прямих не перетинаєпряма y x= − +4 5?А) y x= +4 5; Б) y x= −4 5;В) y x= 4 ; Г) y x= − −4 5.

7. Графік якої функціїзображено на рисунку?

А) y x= 2 ; Б) y x= 1

2;

В) y x= −2 ; Г) y x= − 1

2.

VI. Квадратична функція1. Вершина якої з парабол належить осі ординат?

А) y x= −2 4; Б) y x x= − −2 5 4; В) y x x= − +2 4 4; Г) y x x= +2 5 .

2. Чому дорівнює абсциса вершини параболи y x x= − +2 122 ?

3. У якій координатній чверті знаходиться вершина параболи

( )y x= − −4 32

?

4. Через яку з даних точок проходить графік функції y x= −2 12 ?

А) ( )A − −3 19; ; Б) ( )B −3 11; ; В) ( )C −3 17; ; Г) ( )D − −3 17; .


x

y

–5 –3 –1 0 1 3 5

54

1

–5

–4 4

1

0 1

y

x

5. На рисунку зображено графікфункції y x x= − + −2 4 3.

Користуючись рисунком, укажіть:1) множину розв’язківнерівності − + − ≥x x2 4 3 0;2) проміжки спадання,зростання функції.VII. Графіки елементарних функцій. Перетворення графіків

1. Графік якої функціїзображено на рисунку?

А) y x= 1

5;

Б) y x= 5 ;В) y x= + 5;Г) y x= − − 5.

2. Графіком якої з поданих функцій є гіпербола?

А) y x= +2 7; Б) yx

= 7; В) y x= +2 7; Г) y

x=7

.

3. Графіком якої з наведених функцій є пряма, що проходить черезпочаток координат?

А) y x= −9 4; Б) yx

= 9; В) y x= 9 ; Г) y x= − 9.

4. Графіком якої функції є парабола?

А) y x= −3 4; Б) y x= −3 42 ; В) yx

= 3; Г) y

x=3

.

5. Графік якої функції зображенона рисунку?

А) ( )y x= − 22; Б) ( )y x= + 2

2;

В) y x= −2 2; Г) y x= +2 2.

6. Знайдіть координати точки перетинуграфіка функції y x= − +5 20 з віссю абсцис?

Письмовi вправи1. Функцiю задано формулою ( )f x x= −2 42 .

1) Знайдiть: ( )f −2 , ( )f 0 , ( )f 2 .2) Знайдiть значення аргументу, яким вiдповiдає значення функ�цiї: –2; 5.3) При яких значеннях x значення функцiї вдвiчi бiльше вiд зна�чення аргументу?


5

1

–5 0

y

x

1

–3

0 1 2 3

y

x

x

y

–2 0

1

4


1) yx x

=− −

1

4 122; 2) y x

x= − +

+9 3

1

2 6.


1) ( )y x= + −2 22

; 2) yx

=−

+1

12; 3) y x= − − +3 2.

4. Побудуйте графiк функцiї y x x= − − +2 2 3. Користуючись графi�

ком, знайдiть:1) область значень функцiї;2) усi значення x, при яких функцiя набуває додатних значень;3) промiжок, на якому функцiя зростає; спадає.

5. Розв’яжiть графiчно рiвняння6

12 62

xx x

−= − + .

6*. Установiть кiлькiсть коренiв рiвняння | || |2 1x x a− = − залежно вiд

значень параметраa.7*. Знайдiть усi значення параметра, при кожному з яких нерiвнiсть

виконується для всiх значень x:1) x x a2 2 0+ + > ; 2) ( )mx m x m2 1 1 0+ − + − < .

Урок № 64

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня учнiв, що стосуються рiвнянь, нерiвностей з однiєю змiнною таспособiв їх розв’язання.

Уснi вправи1. Розв’яжіть рівняння:

1) 13 4 5x x+ = ; 2) 10 3 3x x− = ; 3) − =25

6

17

18x ; 4)

1

73 4x− = ;

5) 6 3 2 16− = +x x ; 6) 3 12 02x − = ; 7) x2 6= ; 8) ( ) ( )( )x x x x− = + −4 2 2 ;

9) x x2 7 0− = ; 10) 5 15 02x x− = ; 11)x

x

2 4

20

−−

= ; 12)x

x

2 9

30

−+

= .

2. При яких значеннях b рівняння x bx b2 2 0+ + = має хоча б одинкорінь?

3. При яких значеннях b рівняння 3 12 02x bx− + = має один корінь?

4. При якому значенніa рівняння 0 ⋅ =x aмає корені?

5. При якому значенніa не має коренів рівняння ( )a x− =4 2?


6. Розв’яжіть рівняння: 1) | |x = 1; 2) x = 1; 3) | |x = 0; 4) x = −1.

7. Число 5 є коренем рівняння 2 5 02x x n− + = . Знайдіть другий ко�рінь рівняння і значенняn.

8. Один iз коренів рівняння x bx2 24 0+ − = дорівнює –2. Знайдітьдругий корінь рівняння і значення b.

9. Розв’яжіть систему рівнянь:

1)7 2 11

2 13

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;2)

3 13

0 2 3

y x

y x

+ = −− = −

⎧⎨⎩

,

, ;3)

4 7 1

2 7 11

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;

4)x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

2

3 4 9

,

;5)

3 15

2 12

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;6)

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

3 24

8

,

.

10. Відомо, що 1 3< <x . Оцініть вираз 3 1x− .

11. Довжина прямокутника дорівнює x см, а ширина — y см. Оцінітьзначення P і S його периметра і площі відповідно, якщо 3 7< <x ,2 5< <y .

12. Розв’яжіть нерівність:1) 8 4 10 1x x+ ≥ + ; 2) 3 4 5 4x x− > + ; 3) 9 2 15 1m m− > + ;

4) 7 2 12 10x x+ ≤ + ; 5) − + ≥3 26 23x ; 6) 21

3 33

2

3< <x ;

7)2 3

41

x+ < − ; 8) | |x > −2; 9) x2 4 0− ≥ ; 10) x x2 > .

13. Розв’яжіть систему нерівностей:

1)4 1 19

5 15

x

x

− <− < −

⎧⎨⎩

,

;2)

8 32 0

3 15 0

x

x

− ≤− + ≥

⎧⎨⎩

,

;3)

5 15 0

2 6

x

x

− >− ≤ −

⎧⎨⎩

,

;4)

− ≥ −+ <

⎧⎨⎩

6 24

5 7

x

x

,

;

5)5 35 0

2 16 0

x

x

− ≤− + >

⎧⎨⎩

,

;6)

2 40 30

4 16

x

x

+ >− < −

⎧⎨⎩

,

;7)

− ≥

≥ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

x

x

3

42

,

;8)

− ≤

≤ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

x

x

10

32

,

.

14. Розв’язком якої з нерівностей є множина дійсних чисел?

А) ( )x− ≥4 02

; Б) ( )x− <4 02

; В) ( )x− >4 02

; Г) ( )x− ≤4 02

.

15. Укажіть найбільший цілий розв’язок нерівності 12

7 72

1

7< <x .

16. Яка з наведених нерівностей обов’язково виконується, якщо a b>і c < 0?

А) a b c> + ; Б) a c b+ > ; В) ac b> ; Г) a bc> .


17. Відомо, щоa < 0, b > 0. Яка з наведених нерівностей можлива?

А) a b2 2> ; Б)b

a> 1; В) a b− > 0; Г) a b3 4 0> .

18. Розв’язками якої з наведених нерівностей є всі дійсні числа?А) 0 3x> ; Б) 0 0x> ; В) 0 3x> − ; Г) 3 0x>Тестовi завданняВаріант 1

1. Розв’яжіть рівняння 0 4 12 0, x− = .А) 3; Б) –3; В) 30; Г) –30.

2. Укажіть серед поданих рівнянь квадратне.А) x3 0= ; Б) 2 1 0x+ = ; В) 2 1 0x− = ; Г) x x2 1 0+ − = .

3. Скільки коренів має рівняння 4 12 9 02x x− + = ?А) Два корені; Б) один корінь;В) безліч коренів; Г) жодного кореня.

4. Розв’яжіть рівняння x x2 7 0+ = .А) 0; 7; Б) 0; –7; В) 0; Г) –7.

5. Чому дорівнює сума коренів рівняння x x2 7 1 0− + = ?А) –7; Б) 1; В) –1; Г) 7.

6. Яка з наведених пар чисел є розв’язком рівняння 7 4 2x y− = ?А) ( )0 2; ; Б) ( )3 5; ; В) ( )1 1; ; Г) ( )2 3; .

7. Порівняйте числаa і b, якщоa b− = −46, .А) a b> ; Б) a b< ; В) a b= ; Г) a b≥ .

8. Відомо, що c d< . Яке з наведених тверджень хибне?А) 3 3c d> ; Б) − > −5 5c d; В) c d+ < +8 8; Г) c d− < −6 6.

9. Оцініть площу S прямокутника зі сторонами a см і b см, якщо3 8< <a і 2 35< 1 7 02

?

А) 2; Б) 1; В) 7; Г) 8.12. Яка з поданих систем нерівностей не має розв’язків?

А)x

x

><

⎧⎨⎩

2

3

,

;Б)

x

x

<<

⎧⎨⎩

2

3

,

;В)

x

x

<>

⎧⎨⎩

2

3

,

;Г)

x

x

>>

⎧⎨⎩

2

3

,

Варіант 2

1. Чому дорівнює корінь рівнянняx

15

3

5= ?

А) 5; Б) 25; В) 9; Г) 30.


2. Коренем якого з наведених рівнянь є число 3?

А) 18 6x = ; Б) x− =5 0; В) x x+ = −13 7 ; Г) 3 1 10x− = .

3. Яке з поданих рівнянь має два корені?

А) x2 16 0− = ; Б) x− =16 0; В) x2 16 0+ = ; Г) x+ =16 0.

4. Розв’яжіть рівняння x x2 100= .

А) 100; Б) 0; В) 10; –10; Г) 0; 100.

5. Чому дорівнює добуток коренів рівняння x x2 10 3 0− + = ?

А) 10; Б) 3; В) –10; Г) —3.

6. Яка з наведених пар чисел є розв’язком рівняння 5 3 4x y+ = ?

А) ( )2 1; ; Б) ( )1 0; ; В) ( )−1 2; ; Г) ( )2 2;− .

7. Порівняйте числа −a і b, якщо числаa і b— додатні.

А) − >a b; Б) − =a b; В) − <a b; Г) − ≥a b.8. Відомо, щоa b> . Яка з нерівностей хибна?

А) − > −0 4 0 4, ,a b; Б) 0 4 0 4, ,a b> ; В) a b+ > +0 4 0 4, , ; Г) a b− > −0 4 0 4, , .

9. Оцініть периметр Pквадрата зі стороною x см, якщо 12 15, ,< <x .

А) 48 6, < −5 15x .

А) x> −3; Б) x> 3; В) x< 3; Г) x< −3.

11. Яка з даних нерівностей виконується при всіх дійсних значен�нях x?

А) x2 0> ; Б) − ≤x2 0; В) x x> − ; Г) x+ >1 0.

12. Яка з наведених систем нерівностей не має розв’язків?

А)x

x

>≥ −

⎧⎨⎩

3

2

,

;Б)

x

x

>≤ −

⎧⎨⎩

3

2

,

;В)

x

x

<≤ −

⎧⎨⎩

3

2

,

;Г)

x

x

>≥ −

⎧⎨⎩

3

2

,

Письмовi вправи

1. Число 3 є коренем рiвняння 4 2 02x x m− + = . Знайдiть другийкорiнь рiвняння та значенняm.

2. Складiть квадратне рiвняння, коренi якого на 2 меншi вiд вiдпо�вiдних коренiв рiвняння x x2 10 3 0+ − = .

3. Вiдомо, що x1 i x2 — коренi рiвняння x x2 6 14 0+ − = . Знайдiть зна�

чення виразу 3 3 41 2 1 2x x x x+ − .

4. Розв’яжiть рiвнянняx

x

x

x

x

x

+−

+ −+

= +−

2

4 1

2

4 1

6 3

16 12.


1) x2 25≤ ; 2) x x2 7 0− < .

6. Розв’яжiть нерiвнiсть ( )( ) ( )x x x− + > +3 3 2 3 .


7. Розв’яжiть нерiвнiсть ( ) ( )1

124

1

164

1

24 482x x

x− − − < − − .

8. Розв’яжiть систему нерiвностейx x

x x

2

2

2 3

2 8 0

− ≥

− − <

⎧⎨⎩

,

.

Урок № 65

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня учнiв, що стосуються видiв та способiв розв’язання систем рiв�нянь з однiєю змiнною.


1. Яка з пар є розв’язком системи рiвняньx y

x y

+ =

− =⎧⎨⎩

3

32 2

,?

А) (3; 0); Б) (2; 1); В) (1; 2); Г) (0; 3).2. Графiчне розв’язання якої

з наведеної системи рiвняньзображено на рисунку?

А)x y

y x

2 2

2

4+ =

=

⎧⎨⎩

,

;Б)

yx

y x

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

3

,

;

В)y x

y x

=

=

⎧⎨⎩

,

;3Г)

y x

yx

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.1

3. Скiльки розв’язкiв має системарiвнянь, якщо графiки цихрiвнянь зображенi на рисунку?А) Один; Б) два;В) три; Г) розв’язкiв немає.

4. Скiльки розв’язкiв має система рiвнянь

x y

y x

2 2

2

4

1

+ =

= +

⎧⎨⎩

,

?

А) Один; Б) два; В) три; Г) п’ять.

5. Розв’яжiть систему рiвняньx x

yx

2

2

2 1 0

1

− + =

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

.

А) ( )1 1;− ; Б) (1; 1); В) (1; 1), ( )1 1;− ; Г) розв’язкiв немає.

6. При яких значенняхn системаy nx

y x

= += −

⎧⎨⎩

3

3 1

,не має розв’язкiв?

А) n = 3; Б) n > 3; В) n < 3; Г) таких значень не iснує.


x

y

0 1

1

x

y

0

Письмовi вправи1. Розв’яжiть графiчно систему рiвнянь:

1)y x

y x

= −

− =

⎧⎨⎩

2 1

0

2 ,

;2)*

| |x y

x y

− =

+ =

⎧⎨⎩

1

12 2

,

.


1)3 2 4

4 3 2

2 2x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

,

;2) ( )( )

x y

x y x xy

− =

− + = +⎧⎨⎩

2 3

2 2 22

,

;3)

x y

x y

+ =

+−

−=

⎧⎨⎪

⎩⎪

3

4

2

1

21

,

.


1)x xy

y xy

2

2

10

15

+ =

+ =

⎧⎨⎩

,

;2)

x y

xy x y

2 2 5

1 0

+ =− − + =

⎧⎨⎩

,

.

4*. Знайдiть усi значення параметра, при кожному з яких система

рiвнянь4 4 24

2 0

2 2x y

y x m

− =− + =

⎧⎨⎩

,має лише один розв’язок.

5. Із пунктiв A i B, вiдстань мiж якими дорiвнює 150 км, назустрiчодин одному одночасно виїхали мотоциклiст i велосипедист. Че�рез двi години вони зустрiлися i, не зупиняючись, продовжилирух. Мотоциклiст прибув у пункт B на три години ранiше, нiж ве�лосипедист у пункт A. Знайдiть швидкiсть велосипедиста.

Урок № 66

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня учнiв, що стосуються означень, видiв, властивостей числових по�слiдовностей та способiв розв’язання вiдповiдних задач.


Варіант 1 Варіант 2

1. Серед поданих послідовностейукажіть арифметичну прогресію.

А) 5; 8; 13; 18; Б) 45; 40; 33; 27;

В) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; Г) 7; 9; 12; 14.

1. Яка з даних послідовностейє арифметичною прогресією?

А) 2; 6; 10; 15; Б) 14; 17; 20; 23;

В) –7; 5; –3; 1; Г) 12; 9; 6; 4.

2. Знайдіть різницю арифметичноїпрогресії ( )an , якщо

a1 2 3= , ; a2 3 2= , .

А) 0,9; Б) –0,9; В) 9; Г) –9.

2. Чому дорівнює різниця арифме�тичної прогресії ( )an , якщо

a1 2= − , a2 3= ?

А) 1; Б) –1; В) 5; Г) –5.


Варіант 1 Варіант 2

3. Знайдіть сьомий член арифме�тичної прогресії, перший член якоїдорівнює 8, а різниця дорівнює 0,5.

А) 11; Б) 10; В) 10,5; Г) 9,5.

3. Знайдіть десятий член арифме�тичної прогресії, перший член якоїa1 11= , а різниця d = −5.

А) –34; Б) –39; В) –29; Г) —44.

4. Обчисліть суму десяти першихчленів арифметичної прогресії, пер�ший член якої a1 11= − , а різницяd = 4.

А) 55; Б) 60; В) 65; Г) 70.

4. Чому дорівнює сума шести пер�ших членів арифметичної прогресії( )an , якщо a1 20= і a6 15= ?

А) 85; Б) 95; В) 105; Г) 115.

5. Яка з наведених послідовностейє геометричною прогресією?

А) 2; 6; 18; 36; Б) 80; 40; 20; 5;

В) 4; 8; 16; 32; Г) 2;–10; 50; 250.

5. Укажіть серед наведенихпослідовностей геометричну про�гресію.

А) 6; 18; 54; 162; Б) 1; 2; 3; 5;

В) 3; 8; 13; 18; Г) 21; 19; 17; 15.

6. Знайдіть знаменник геометрич�

ної прогресії ( )bn , якщо b6

14

15= ;

b7

2

3= .

А)3

7; Б)

5

7; В)

7

5; Г)

7

3.

6. Знайдіть знаменник геометрич�

ної прогресії ( )bn , якщо b1

2

9= − ,

b2

1

12= .

А) −3

8; Б)

3

8; В) 2

2

3; Г) −2

2

3.

7. Знайдіть четвертий член геомет�ричної прогресії, перший член якої

b1

1

27= , а знаменник q = −3.

А) –1; Б) 1; В) 3; Г) –3.

7. Чому дорівнює четвертий членгеометричної прогресії, якщоперший член b1 6= , а знаменникq = −2?

А) –48; Б) 48; В) 24; Г) –24.

8. Чому дорівнює сума перших чо�тирьох членів геометричної про�гресії, перший член якої b1 5= ,а знаменник q = 2?

А) 70; Б) 85; В) 80; Г) 75.

8. Чому дорівнює сума чотирьохперших членів геометричної про�гресії, перший член якої b1 0 8= , ,а знаменник q = 3?

А) 10,4; Б) –10,4; В) 32; Г) 3,2.

9. Чому дорівнює сума нескінченноїгеометричної прогресії, перший

член якої b1 18= , а знаменник q = 2

3?

А) 6; Б) 36; В) 54; Г) 58.

9. Обчисліть суму нескінченної гео�метричної прогресії, перший член

якої b1 12= , знаменник q = 1

4.

А) 15; Б) 16; В) 9; Г) 18.


Уснi вправи

№Питання теоретичного

матеріалуВправа

1 Означення арифметичноїпрогресії

Яка з наведених послідовностейє арифметичною прогресією?

А) 2; –6; 12; –24; Б) 3; 7; 11; 15;В) 2; 4; 8; 16; Г) 2; 4; 2; 4

2 Означення різниці арифметич�ної прогресії.

d a an n= − −1

Знайдіть різницю арифметичноїпрогресії, якщо a3 2= ; a4 4= −

3 Формула n�го члена арифме�тичної прогресії.

( )a a d nn = + −1 1

Перший член арифметичної про�гресії a1 9= , а різниця d = −1. Чомудорівнює сьомий член прогресії?

4 Формули суми n першихчленів арифметичної прогресії.

Sa a

nnn= + ⋅1

2(1)

( )S

a d nnn =

+ −⋅

2 1

21 (2)

1. Чому дорівнює сума семи пер�ших членів арифметичної прогресії( )an , якщо a1 8= і a7 17= ?

2. ÷ = −a1 16, d = 6. a12 −?

5 Означення геометричної про�гресії

Укажіть серед наведених послідов�ностей геометричну прогресію

А) 4; 8; 12; 16; Б) 10; 20; 30; 40;

В) 5; 6; 8; 11; Г) 7; 14; 28; 56

6 Означення знаменника геомет�ричної прогресії.

qb

bn

n

=−1

Чому дорівнює знаменник геомет�ричної прогресії ( )bn , якщо b7 24= ;b8 4= ?

7 Формула n�го члена геометрич�ної прогресії.

b b qnn= −

11

Чому дорівнює п’ятий член геомет�ричної прогресії, якщо її перший

член b1 405= , а знаменник q = −1

3?

8 Формула суми n перших членівгеометричної прогресії.

( )S

b q

qn

n

=−

−1 1

1

Чому дорівнює сума чотирьох пер�ших членів геометричної прогресії,якщо її перший член b1 2= , а зна�менник q = −3?


Письмовi вправи1. Знайдiть порядковi номери членiв послiдовностi a n nn = −2 5 , для

яких виконується нерiвнiстьan + ≤6 0.2. Знайдiть рiзницю арифметичної прогресiї ( )an , якщо a4 10= ,a21 24= − .

3. Знайдiть суму перших десяти членiв арифметичної прогресiї ( )an ,в якiйa3 6= ,a8 26= .

4. Знайдiть суму членiв арифметичної прогресiї 7; 21; 35;… з дев’я�того до двадцять першого включно.

5. Знайдiть суму всiх:1) непарних натуральних чисел, якi не перевищують 125;2) двоцифрових чисел, якi в результатi дiлення на 7 дають остачу 1.

6. Знайдiть знаменник геометричної прогресiї ( )bn , якщо

b3

9

25= , b5

81

625= .

7. Знайдiть суму перших восьми членiв геометричної прогресiї ( )bn ,

якщо b8

1

64= − , q = − 1

2.

8. Перший член i сума нескiнченної геометричної прогресiї зi зна�менником | |q < 1 вiдповiдно дорiвнюють 16 i 9, 6. Запишiть першiтри члени цiєї прогресiї.

9. Запишiть у виглядi звичайного дробу число:1) 0,(8); 2) 0,(12); 3) 1,3(2).

Урок № 67

Мета: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вмiн�ня учнiв стосовно основних понять роздiлу «Прикладна математика»та про види задач.

Тестовi завдання1. У школi 50 % учнiв вiдвiдують спортивнi секцiї, з них 30 % спi�

ває в хорi. Який вiдсоток учнiв школи одночасно вiдвiдують спор�тивнi секцiї i спiває в хорi?А) 15; Б) 20; В) 25; Г) 80.

2. Цiну на товар знизили на 20 %, i вiн став коштувати 248 грн. Якобула початкова цiна товару?А) 360 грн; Б) 1080 грн; В) 1240; Г) 310 грн.

3. Який вiдсотковий умiст солi в розчинi, якщо 400 г розчинумiстять 36 г солi?А) 9 %; Б) 10 %; В) 8 %; Г) 12 %.


4. Поклавши до банку 1100 грн, через рiк клiєнт отримав вiдсотковихгрошей у розмiрi 88 грн. Скiльки вiдсоткiв рiчних сплачує цей банк?А) 8 %; Б) 6 %; В) 10 %; Г) 12 %.

5. Яка ймовiрнiсть того, що внаслiдок одного кидання грального ку�бика випаде число очок, що не менше 3?

А) 4; Б)1

2; В) 1; Г)

2

3.

6. Задано вибiрку: 1; 7; 5; 7; 3; 7; 1; 8; 3. Назвiть її моду та медiану.

А) 7; 5; Б) 1; 5; В) 7; 3; Г) 6; 42

3.

Письмовi вправиПобудуйте математичну модель задачi. Розв’яжiть задачу.

1. Вiйськова колона пiд час походу рухається зi швидкiстю 5 км/год,розтягнувшись дорогою на 400 м. Командир, який перебуває у хво�стi колони, посилає мотоциклiста з пакетом у голову колони. Мо�тоциклiст, виконавши доручення, вiдразу повертається. Знайдiть,через який промiжок часу пiсля одержання пакету мотоциклiстповернеться до командира, якщо його швидкiсть 25 км/год.

2. Яку суму необхiдно покласти до банку пiд 14 % рiчних, щоб нарахунку було 6 498 грн?

3. Цiна деякого товару спочатку збiльшилася на 10 % , а потiм змен�шилася на 10 %. На скiльки вiдсоткiв змiнилася початкова цiнатовару?

4.Морська вода мiстить 5 % солi. Скiльки прiсної води потрiбно доли�ти до 30 кг морської, щоб концентрацiя солi зменшилася на 70 %?

5. У 24 легкових автомобiлiв зробили замiри витрати бензину на100 км i склали таблицю:

8 10 7,5 9 8 8,5

9 8,5 9 10 7,5 9

7,5 9 10 7,5 8,5 8

9 8 7,5 8,5 10 7,5

Складiть частотну таблицю i побудуйте вiдповiдну гiстограму.Визначте частоту й вiдносну частоту кожного її значення.6. Є 35 чисел, iз них число 8 зустрiчається 17 разiв, число 13 — 4 рази

й число 18 — 14 разiв. Знайдiть середнє арифметичне цих чисел.7. Знайдiть центральнi тенденцiї вибiрки:

1) 7; 9; 9; 12; 15; 16; 21; 22; 24; 2) 2,3; 2,8; 3,2; 3,8; 4,1; 4,3; 5,4.


Урок № 68Тематична контрольна робота № 7з теми «Повторення i систематизацiя навчальногоматерiалу за курс алгебри 9 класу»


Варiант 1

1. Розв’яжiть нерiвнiсть ( )( ) ( )2 1 3 2 6 4 48y y y y− + − − < .


y x

2 2 25

7

+ =− =

⎧⎨⎩

,

.


( )( ) ( )x x x x

xx

+ − − + ≤

+ − ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

6 1 3 17

2

45

,

.

4. Є два сплави мiдi й цинку. Перший сплав мiстить 9 %, а другий —30 % цинку. Скiльки треба взяти кiлограмiв першого сплавуй скiльки кiлограмiв другого, щоб одержати сплав масою 300 кг,що мiстить 23 % цинку?

5. Побудуйте графiк функцiї y x x= − −2 4 5. Користуючись графiком,

знайдiть:

1) найменше значення функцiї;

2) множину розв’язкiв нерiвностi x x2 4 5 0− − > ;

3) промiжок, на якому функцiя y x x= − −2 4 5 зростає.

6. Мiж числами 3 i 48 вставте три числа таких, щоб разом iз задани�ми вони утворювали геометричну прогресiю.

Варiант 2

1. Розв’яжiть нерiвнiсть ( )( ) ( )x x x− + < + +2 4 1 1 32

.

2. Розв’яжiть систему рiвнянь5 64

4

2xy x

y x

− = −+ =

⎧⎨⎩

,

.


( )( ) ( )( )x x x x

x

+ − − − + >

− ≥ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 4 5 5 11

3 4

52

,

.

4. Є два водно�сольових розчини. Перший розчин мiстить 25 %,а другий — 40 % цинку. Скiльки треба взяти кiлограмiв першого


розчину i скiльки кiлограмiв другого, щоб одержати розчин ма�сою 50 кг, що мiстить 34 % солi?

5. Побудуйте графiк функцiї y x x= − + −2 6 8. Користуючись графiком,

знайдiть:1) найбiльше значення функцiї та область її значень;2) множину розв’язкiв нерiвностi − + − >x x2 6 8 0;3) промiжок, на якому функцiя y x x= − + −2 6 8 зростає.

6. Мiж числами 5 i 1280 вставте три числа таких, щоб разом iз зада�ними вони утворювали геометричну прогресiю.

Уроки № 69, 70

Мета: провести корекцiю за результатами виконання пiдсумковоїконтрольної роботи, а також розв’язати задачi за курс алгебри7–9 класу.

Методику проведення урокiв повторення, систематизацiї таузагальнення знань та вмiнь учнiв описано вище (див. пiдсум�ковi уроки з вивчених тем). За бажання вчитель може урiзно�манiтнити форму проведення цих урокiв, застосувавши не�стандартнi форми роботи (уроки�вiкторини, рiзного видуматематичнi змагання: естафети, брейн�ринги тощо). Змiстнавчального матерiалу вчитель пiдбирає вiдповiдно до рiвнянавчальних досягнень учнiв, але незалежно вiд цього рiвнябажано все ж таки запропонувати для розв’язування цiкавiзадачi рiзних рiвнiв складностi. На уроках повторення слiдпридiляти увагу уснiй роботi учнiв, а також бажано мати засiбпроведення дiагностики роботи учнiв. Тому нижче пропону�ються матерiали для пiдготовки до проведення урокiв повто�рення, систематизацiї у виглядi набору усних вправ, цiкавихнестандартних завдань та тестових завдань для пiдсумковоїдiагностики.


ЛІТЕРАТУРА

1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5–12класи. — К.: Перун, 2005.

2. Бевз Г. П. Алгебра: Підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. зал. — К.:Освіта, 2003. — 191 с.

3. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Пробний підручник для9 класу / За редакцією З. І. Слєпкань. — Тернопіль: Підручники і посібни�ки, 2003. — 240 с.

4. Алгебра:Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Не�шков, С. Б. Суворова. Под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение,1989. — 239 с.

5. МерзлякА. Г., ПолонськийВ. Б., РабіновичЮ.М., ЯкірМ. С. Збірник задачі завдань для тематичного оцінювання з алгебри для 9 класу. — Х.:Гімназія, 2004. — 156 с.

6. ГалицкийМ. Л. и др. Сборник задач по алгебре 8–9 классов. Учеб. пособиедля учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / М. Л. Галиц�кий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. — 3�е изд. — М., 1997. — 271 с.

7. Лукавецкий В. И., МаланюкМ. П., Литвиненко Г. Н. Задания по алгебредля 8 класса: Учеб.�метод. пособие. — К.: Рад. школа, 1983. — 88 с.

8. Бабенко С. П.Алгебра. 8 клас. Експрес�контроль. — Х.: Видавництво «Ра�нок», 2008. — 96 с.

9. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Мальований Ю. І. Алгебра: Підручникдля 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. — Тернопіль: Навчаль�на книга — Богдан, 2002. — 200 с.

10. Істер О. С. Дидактичні матеріали з алгебри. 11 клас: Вправи Самостійніроботи. Тематичні контрольні роботи. Завдання для корекції знань. —Кам’янець�Подільський: Абетка, 2004. — 175 с.

11. НелінЄ.П.Алгебра в таблицях: Навч. посібник для учнів 7–11�х класів. —Х.: Світ дитинства, 2002. — 116 с.

12. СтароваО.О.,Маркова І. С.Готуємось до державної підсумкової атестації,зовнішнього незалежного оцінювання з математики. — Х.: Вид. група«Основа», 2008. — 256 с. — (Серія «Підготовка до ЗНО»).

Documents

matem-shkola.ucoz.ua · УДК 512 ББК 22.14 Б12 БабенкоС.П. Усiурокиалгебри.9клас.—Х.:Вид.група«Основа», 2009.— 304с.—(Серiя