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7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
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Desenvolvendo Conceitos
Matemticos: Aritmtica
Hellete Martins Castilho Moreno
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-=
x
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C, MT
2011
LICENCIATURA PLENA EM CINCIAS NATURAIS E MATEMTICA - UAB - UFMT
DesenvolvenDo ConCeitos
MateMtiCos: aritMtiCa
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
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I FA. F C C, /
C UC, MT - CEP.: 78060-900
T.: (65) 3615-8737.../
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Autores
Heliete Martins Castilho Moreno
DesenvolvenDo ConCeitosMateMtiCos: aritMtiCa
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Corpo Editorial
DeniseVargas CarlosRinaldi IramaiaJorgeCabraldePaulo
MariaLuciaCavalliNeder
PjtGf:PauLo H. Z. Arruda / Eduardo H. Z. Arruda / Everton Botan R:Denise Vargas St():Neuza Maria Jorge Cabral / Felipe Fortes
C o P y R I g h T 2011 UAB
FICHA CATALOGRFICA
M, H M C.D C M: A./
H M C M. C: UFMT/UAB,2011.
1.M. 2.E M. I.T.
CDU 51
M843
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vii
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s u M r i o
iXUAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica |
. o Co n h e C i M e n t o M a t e M t i C o
2 . Co n C e i t o s a r i t M t i C o s
. a s o p e r a e s a r i t M t i C a s
. os nMeros raCionais no negativos: Fraes e D ziMas
. a M a t e M t i C a n a e D u C a o i n F a n t i l e n o s a n o s i n i C i a i sD o e n s i n o Fu n D a M e n t a l
r e F e r n C i a s B i B l i o g r F i C a s
11
17
45
53
90
10 0
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?.
E x A - XVIII, - - . A , , J Lk(1632-1704), J J R (1712-1778) I K (1724-1804).
C , Lk tabula rasa x .S , j x .A, Lk x , M, L L C. Lk - .
C R x XVIII, - j . R , R F (1789).E Do Contrato Social,
.
o Co n h e C i M e n t o M a t e M t i C o
U
u M a r e F l e X o h i s t r i C a
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C - K, x-
, XIX .
N x, XIX, - , , -. A , . A x XX F:
A Logicista: A : T x
. T x
. A Formalista: A
x1 . P -, , , , x2 , x .
A Intuicionista: A -
j j -, . O , . S B D, A , - .
O j -
T C M.N XIX, R (1872-1970) j x . A - j -, .
P-, x, . U J H (1865-1963)________________________1 O x j x , , , .
2 Ax: . Ex: O .
Sai ba maiSSobre: L ocke, r ouSSeaue kan t..//j_k.
..//.../_k.
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x, , . P , , , , - j x . C , H -
j , .P 1908, XX,
, .E .
N x . C H (1861-1943) 1910, x, 3 4, j, . D S (1984), 1931, K G - .
O 40 50, -, j , - .
A, - j.
A -
I Lk (1922-1974) : . O Lk P P , , - j, .
C j - , J P (1896-1980) .E , P -
F , x- , x, .
A . A N x - x. A. R. L (1903-1978) -________________________3 D: x x . Ex: .4 T: , , . A -
x . Ex: E , - .
marcaS HiStricaSda matemticamodernano braSiL
2..//x./DIA-
LOGO? 1=600&99=
Co n h e a M a i s s o B r e
Sai ba maiSSobre: aStrScriSeS2. ..///-2008//287-1-A-2__.
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, - S N C. E ,
...estuda o desempenho aritmtico e a soluo de problemas comrelao a leses cerebrais (1974-1977-1981) e constata a necessidade de
uma ativao permanente do tnus cerebral, atravs das conexes as-
cendentes e descendentes da ormao reticular, para que possam un-cionar eetivamente as unidades recebedora e eetora da inormao.
(FRAGA, 1988, p.17).
N B, x , - .
a B o r D a g e n s M e t o D o l g i C a s n oe n s i n o D e M a t e M t i C a
D , . C , x , , .
A -
, - . A, , .
S x , - , x . M - ?. S :
S L:Procuramos mostrar que existe algo mais srio e mais construtivo; umnovo ramo de pesquisa que os europeus (ranceses e alemes, segundo
as inormaes que possuo) denominam Didtica da Matemtica eque ns denominamos Educao Matemtica (1979, p. 5).
A - , .
B - -
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, , , . P , x, - E M (1979, .93 -117).
L
... a abordagem exclusivamente intelectual da Matemtica que im-plantamos nas nossas escolas , alm de um erro, uma aberraocontra o ser humano, porque nosso desempenho no depende tanto denosso sistema intelectual como parecemos crer mas muito mais do
sistema lmbico o que no queremos ver. (1984, p.53)
D , j , :1. D ;2. O x ( );3. D ,
;4. I , x,
;5. A , x, ;6. O , -
.
A L, 18 - , .
U . S :1. R , ;2. R ;3. A ;4. Fj (, , , ) , ,
;5. A, , , ;6. T ;7. D () ;8. G ;9. T ();10. T ();11. D ;12. I ;13. Cj (, , );14. A;15. I ( );16. R (, );17. C ;
18. R .
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I, , .
E 1985, E S F - : E, DA
P. S DA, O P E -, x , ,, (1993, . 8).
A 1978, P C UF P x , - . E 1983, Pj A P,
. O , .
D S L (F E UNICAMP),M A V B (UNESP R C/SP), C P S(U F P/C), N J M (USP/S P),E R N (U Mk), L R D (UNESP RC/SP), L M I , - B.
P-
G
F
I
F
P
Ex,,
j
P
I, (),
C:,
S
R , ,
E =
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, R P, M M-, E, H M, U C, P AME A M E
M C V R N S L, CECIMIG - C C M G UFMG - U F M G, M C J M.
P . A , - E I E F.
a na t u r e z a D o Co n h e C i M e n t o l g i C oMateMtiCo : iD e i a s B s i C a s Da te o r i aD e p i a g e t para o e n s i n o D e MateMtiCa
o s e s t g i o s D e D e s e n v o l v i M e n t o
A P
. O , P-, :
I - Estgio sensrio-motor ( 0 18-24 ): - - , , , , . A - -j , .
II - Estgio pr-operatrio ( 2 6-7 ): - , . E
, - , - . E : ) , , - ; ) , , , . E , , , , .
III - Estgio operatrio: - 6 - 7 ,
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. S, -, . Q , 11-12 , . E :
) operaes concretas, 7 11-12 ,
j x j;) operaes ormais, 11-12 , , j.
C , P x - j. O - () () . P , .
o p e r a e s l g i C a s e i n F r a l g i C a sM , P --
. A - j 5, . P x, j , j, .S descontnuos ou discretos osj j .
A j 6, -
j, .S contnuos j , - . P - -, x- , , -, .
A , x - j TANGRAM, .
S O,
A operaes lgico-matemticas : )- j , j ; ) - x - j; ) j, .
A operaes inralgicas, - , , , -
______________________5 Objetos discretos ou descontnuos , x, , , .6 Objetos contnuos ou analgicos , x, ,
, .
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-. A , : ) - j x -;) j -;)- j, j - ; ) j , , . ( 2005,
. 107-108).
A , - E, D L D C, . D , D (j ) A (-j ). S , , j, :
A j , - , ;
A j , .
P P, , , :
Classicar j , , ; - j (T, 2005).
Ex : . C j. C j . C x, j - pertence j . M j incluso j .
Seriar , j, - . I j
, . C x, j .Conservar , -
.
j j j. M x : -
j . P
Sai ba maiS Sobre: As caractersticas, ashabilidades e maneiras de conscincia de
cada um desses hemisfrios cerebrais.http://www.ced.ufsc.br/yoga/hemisferios.html
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P, ( ) : .
Q , - j 7 -, j , -
, . E , x:
kamii, 1995.
kamii, 1995, p. 24
oito
C K (1995), j . A j , x, , , , (8 j). I , , , , ., -, - . A, - j oito oitavo .
M, j , , um dois, dois trs , x, . A, j - .
_______________________
7 N: representao de um nmero, j , .
oito
kamii, 1995, p. 24
A - , -, , , x x .
O j , . P , ,
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, , (), -, , , . A : .
A P x
, x , - ( ) .
ti p o s D e C o n h e C i M e n t o sS P x
: , - .
O Conhecimento Fsico () , , j- x. E x. A j, . U x - , , .
O Conhecimento Social -. C x -:
cinco ve dois deux, ; - : , . .
O Conhecimento Lgico-matemtico () j. A - . S , ; , , , 8. C - j, . A - - x (K, 1995).
S W (1997), -
j . O - j.
O - : N : j-
; A , -
_______________________8 C , 27, . A x - , -
j - .
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, - -. S , , , , x.
, , j .
M a s o q u e i s s o t e M a v e r C o M o e n s i n o?A , , j . A , , , , , , , , , x , . J , , x-, - j. A , , , .
O, - - , , . S , - () .
S x , P I- 1963, ( )
-, . P 30 50 . U . A : , . D , , - . D . N , . A , :
C: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
A: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
N , : N , ?.
U quatro anos, , , : E - . O , . O : V ?.
C ,
, -
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. A - - j .
N , - . S , x
. Q , : S , j, , , ?. N , :
, , ;
: , - , .
O j ( ) x -, j mais, um, dois, trs quatro . O , , -, .
A x . C - . N , x-
,x , , .
A j -- . U . U 12 17 - 50 100. O .
a B s t r a oP , P,
. O , j -j , - - . (K, 2003).A , P, : x.
N A E , -
j , x
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. A j: j x, , x,, . A j ( , , , ), .
N A Rx ,
j, , j , x, , . O x . U x - A B. O x A B. A j . A, x, , K, 2003,
Os elementos A, B, C, D juntos, podem ser considerados como4, mas 4 no est em A, B, C, D.Se a criana no pudesse
estruturar os objetos colocando-os em relao, cada objetoseria para ela uma entidade separada.
U , diferena j ?C- - x -.
N x - .
E x ,
, -/j; /j ; , --; x.
at i v i D a D e
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Co n C e i t o s ar i t M t i C o s
A j - 9?N j,
. S ?
M - - .
N era da pedra lascada P, -
. N P , - , .M , P , : , , , , . P , , - 10.
O . A -- - : .
o r i g e n s h i s t r i C a s
_______________________9 N: a ideia de quantidade que nos vem mente quando contamos, ordenamos e medimos.10 Pictografa .
o nmero (1958) tribunaLde contaSdeLiSboa
o n M e r o
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O . C era da pedra polida N, x . C , , x.A ,
.Q , N , , , , j, , j .
O x , , .
P- !
D P, , , x -: .
M ?
Co n t a g e MA . T
. I
T D :Nmero, a linguagem da cincia:Um azendeiro estava disposto a matar um corvo que ez seu ninho na
torre de observao de sua manso. Por diversas vezes, tentou surpreendero pssaro, mas em vo: aproximao do homem, o corvo saa do ninho.De uma rvore distante, ele esperava atentamente at que o homem sasse
da torre e s ento voltava ao ninho. Um dia, o azendeiro tentou um ardil:dois homens entraram na torre, um fcou dentro, e o outro saiu e se aas-
tou. Mas o pssaro no oi enganado: manteve-se aastado at que o outrohomem sasse da torre. A experincia oi repetida nos dias subsequentes
com dois, trs e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, cincohomens oram utilizados como anteriormente, todos entraram na torre e
um permaneceu l dentro enquanto os outros quatro saam e se aastavam.Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e
cinco, voltou imediatamente ao ninho. (1970, p. 17).
i s t o s i g n i F i C a q u e o C o r v o s a B i a C o n t a r ?A , -
, . N - , -
, x G I Os nmeros: a
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histria de uma grande inveno, .C 20 () 21 (
) ? P , -!
pe r C e p o n u M r i C aT x. D . N !
O , . O ,
j, . D D & G, 1997, -, x , , . A . O .
A , , x, . M, x, x , . Ex , , ,.
O , -, j - . A, , B N, - .
O j - . I , j -:
A , x -
a Co n t a g e M p o r Co r r e s p o n D n C i a
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N : O j prevalente j A carteira aluno um-a-um (). A aluno carteira um-a-um.
po r q u ?N , : -
? um-a-um () um-a-vrios.I ,
, . A: aluno carteira . carteira aluno .
N biunvoca. A, colees
, equivalentes.
V : ?O um - a - um,
, (IFRAH, 1989, . 27).E -, , - . O . O
( ).
, j: . j . A , x j () (). D C (1984), L C , .
P, x, :
P .S , , -
, recprocas. U x - . U - completa.
C () ().
P .
A () C ().
I -, . Q :
aluno aluno?carteira carteira
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A, : j ? E ? C ?
a F i n a l , C o M o o s h o M e n s r e s o l v e r a M o p r o B l e M a D a n e C e s s i D a D eD a C o n t a g e M
P 1, 2, 3, 4,..., j .N , 1 ( ), um amais . , , j, x . A, noo de innito.
M
. A - : x
. A j , .
C , , , , - . C .
F , - dgito, 11 1 9, digitus . A , 10: . Vj, , .
A .
C a r D i n a l i D a D e e o r D i n a l i D a D eA cardinalidade - . E - , , - . A ordinalidade x , .E - j - nmero ordinal. E
_______________________
11 A: smbolo numrico .
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O x : .
P , x x , C D (1998, . 51), :
E ; M ; E j ; C
j - .
at i v i D a D e
, , x , . Ex:
1. Q , . N , -. Q 30 ,
30, , .2. Q : 3.785,
: , j , , . E, Q Q.
razespara assinar!
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12
3
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s i s t e M a s D e n u M e r a oC ,
: - ?
I-, , S N. M -, j x , ,, , . D I (1989, . 323), O j .
o s i s t e M a D e n u M e r a o i n D o a r B i C o
N , , j , . A - - E IX. S , I, j P. A , j, - . A
, .A .
A - -K, - , M M-K
- - A, A,A, A , A. O . V :
SoutiLizadoSdezdiferenteSSmboLoScHamadoSde
aLgariSmoS.
0
12
34
5 78
9
6
Sc. IX (indiano)
Sc. VI (indiano)
Sc. X (rabe oriental)
Sc. XI (rabe oriental)
Sc. XIII (rabe oriental)
Sc. XV (rabe oriental)
Sc. XIV (rabe ocidental)
Sc. X (europeu)
Sc. XII (europeu)
Sc. XIII (europeu)
Sc. XV (europeu)
um dois trs quatro cinco seis sete oito nove zero
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N j, . Q , ,
?
P , - - 10. A, 10 base do sistema. M . Abase dez :
V 5 O, .
A malink A S G, ybu ioruba N, banda C, tanan O, esquims G, aino Sk, maias astecas A C - .
A - , . A x -: (12 ) , .
A x sumrios babilnios. N , , x 360.
A base de um sistema de numerao, x:S 5, , -
5 5, j:
Ba s e D o s i s t e M a
Vj 2 5 4 . E, 4 1 2, 2 . A, , 5, : 24base5.
Vj 3. O - 3 :
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Vj :1
3 ;1 2 ;2 1 .
A, 3 : 112base 3.D , .
1- C 4, j 10. S 4 j 4 j x, j x?
2- C 1, - 2314 .Q ?
at i v i D a D e
M, , - ?Como Aristteles observou h muito tempo, o uso hoje diundido
do sistema decimal apenas o resultado do acidente anatmico deque quase todos ns nascemos com dez dedos nas mos e dez nos ps
(BOYER, 1974, p. 3).
A , , x , .
Saiba mais sobreoutras bases denumerao.://.-./-.
Refita, analise e anote suas ideias sobre as questes: Q x ? P ?
at i v i D a D e
L 52 71 O : -, G I, G, 1989 .
D : ://k../k?=Kj7YPL-LAYC&=PA52&=-BR&=__&=4#=&&=
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34 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
p r i n C p i o D a po s i o
O x , - . A , , , . - .
V ? A .Em um sistema numrico que tem o princpio posicional, a posio que o sm-
bolo ocupa no numeral que determina seu valor. P x:N 437, 4 400 3, 30.N 3.333, 3 , j,
.
3 . 3 3 3
3000 300 30 3
O , 2 .
A -, . M -
, . A , x , . Vj 38.
Q ?E III .C., -
x . O , . N .
O x ausncia do zero. O , x, VIII .C. E IV .C. VI .C., . P 628, , , .
O : . N -, . N , x, 837, 8
8x10, 3 3x10 7 7x100
. I :
o z e r o
p r i n C p i o M u l t i p l i C a t i v o
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 35
A - : 12 . A, 837 = 800 + 30 + 7.
_______________________12 O valor relativo . A,
837, valor relativo 8 800; valor relativo 3 30; valor relativo 7 7 .
837 = 800 + 30 + 7 = 8x100 + 3x10 + 7 = 8x10 + 3x10 + 7x100, Ex D .
P x ( ) 5 3:
24base5= 2x5 + 4x50=2x5 + 4x1 = 10 + 4 = 14
112base 3= 1x3 + 1x3 + 2x30
= 1x9 + 1x3 + 2x1 = 9 + 3 + 2 = 14 .
U- , : S 5 , 248 . Q ?
at i v i D a D e
F -, : , x.
o r D e n s e C l a s s e sO , .
A (U), (D) (C). C . A, 25.376 . A , 376, , 25, , 025.
P , x:
cLaSSedoSquatriLHeS
cLaSSedoStriLHeS
cLaSSedoSbiLHeS
cLaSSedoSmiLHeS
cLaSSedoSmiLHareS
cLaSSedaSunidadeS
C D U C D U C D U C D U C D U C D U 2 0 7 6 1 2 5 3 7 6 8 0 0 6 0
A 2.076.125.376 80.060 : D , ,
p r i n C p i o a D i t i v o
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36 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
at i v i D a D e
Analise e responda:1- N a, dezenas de milhar?2- N b, unidades de milhar?3- R c = 23.587.028, :) Q unidades ? ) Q dezenas de milhar ?) Q centenas ? ) Q unidades de milho ?
a p r o X i M a e s
ordemaarredondar
numeraL numeraLarredondado
tipodeaproximao
D 149.598.023 149.598.020 P C 149.598.023 149.598.000 P U M 149.598.023 149.598.000 P D M 149.598.023 149.600.000 P xC M 149.598.023 149.600.000 P xU M 149.598.023 150.000.000 P xD M 149.598.023 150.000.000 P xC M 149.598.023 100.000.000 P
O .
N , B, x, - x. E x .
E , ( -). P- x x:
porfaLta: Q 1, 2, 3 4, -
- .porexceSSo: Q - 5, 6, 7, 8 9, - 1 - .
Ex: A T 149.598.023 k (G Bk,1996). S x:
E 1904 1913 B 1.006.617 . D
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x :) ) ) ) .
A -
, , , - , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, .
Em uma s palavra, os algarismos constituem hoje a nica e verdadeiralinguagem universal. Aqueles que consideram os algarismos como algo de
inumano deveriam pensar nisto (IFRAH, 1 989, p.323).
A .
o s i s t e M a D e n u M e r a o e g p C i o
P 3000 .C., .O :
Sistema Egpcio Sistema Indoarbico1
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
100
104
101
105
102
106
103
A -- 163, 164 165 G I13, Os Nmeros: histria deuma grande inveno.
P , , . I -
_______________________
13 O - G Bk.
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38 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | |
13 1899 20067
E 1792 1750 .C. . A j x II C, M-. E :
U () , .
U ( ) , - .
O 1 59
, .O j
. E , M.
A 60, . P x, 3 : T 1 . Vj 73( ), - 13 1 :
o s i s t e M a D e n u M e r a o Ba B i l n i C o
59
30
25
Eemplos de nmerosBabilnicos
(1x60 + 13 = 73)1x602
131
(1x60 + 13 = 73)3x602
151
T () . Vj 195:
, , - , , . Vj x:
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(3x602 + 12x60 + 22 = 11.542)3x602
3 12x602
221
2x60 22 142 3.682= =+ 1x602 1x60 22++
0x60 12 3612=+ +1x602 12 72=+1x60
T ( ) . Vj 11.542:
A - 60, .
Vj , x, 142 3.682:
E , . A x :
A 3.612 72:Q !
o s i s t e M a D e n u M e r a o Ch i n s
D , :
1. Sistema Primitivo: II .C. III .C., - , - . E ( ). A :
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O :
10 9080706050403020
E . Ex:
17 72 253 1.999
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40 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
E :) 1.930) 308) 85
O , VIII. C. O 1.405.536 1247(B, 1974, . 145):
0
O :
x
2. Sistema atual: , C J. S 13 :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1.000 10.000
A : E- , x ,
; Q ,
- .Ex:
48
305
1.3451.480
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 41
Observao: C , - :
2.640
20.064
264.000
2
2
2
4
4
4
6
6
6
A : O - ? Ex -
.
o s i s t e M a D e n u M e r a o M a i aO :
S M
S M
S IA
S IA
1 4 72 5 83 6 9 10
11 12 15 1913 16 1914 17 20
A 359 20 5 x. C 20 , , . Vj x:
A 360, 360 , 20, 18. Ex:
1 x 20+7
272 x 20
+13
536 x 20
+5
12 x 20+16
17 x 20+0
125 256 256
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o s i s t e M a D e n u M e r a o r o M a n o
1 x 360+
1 x 20+
19
1 x 360+
2 x 20+
0
1 x 360+0+
0
399 360 400
5 - 144 000 = 20 x 184 7 200 = 20 x 183 360 = 20 x 182 201
A ordens :
A , - . O . N -.
O j:
I V X L MC D
1 5 10 50 1000100 500
S j , , . O : todo sinal colocado esquerda de um algarismo de valor superior dele abatido.
C- . A . Ex:
I
1
II
2
III
3
IV
4
V
5
XII
12
13 14 15 40 43 99 424 945
XI
11
X
10
IX
9
VIII
XIII XIV XV XL XLIII XCIX CDXXIV CMXLV8
VII
7
VI
6
P 4.000 100.000, - - . Ex:
V: ; LXXIII: .IX: ;
P 100.000 500.000.000, - -
100.000. Ex:
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O 1 500.000.000. Ex:
VIII : (8 x 100.000 = 800.000).
XLV : (45 x 100.000 = 4.500.000).
CD : (400 x 100.000 = 40.000.000).
MDCCLXIII : (1.763 x 100.000 = 176.300.000).
MMMDLII DXXV : 3.552 x 100.000 + 89 x 1.000 + 525 = 355.289.525LXXXIX
A . E , ,
.
1. F S N , - :) Q ?
) E ?) Q ?) Q ?) Q ?
2. N , ?Ex.
at i v i D a D e
A , x .
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a s o p e r a e s a r i t M t i C a s
A
a s o p e r a e s Fu n D a M e n t a i s
x j - j .
C x , - Cj N N-, N = {0, 1, 2, 3,...}, . A , .
A Arit-
mtica, aritmos nmero.
VocjpenSounoqueSignifica operao?
D M C (2002), j . D , - . A,
- .
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A O A F : , , , j : , . P- . A -
. E :
grauS operaeS diretaS operaeS inVerSaS
1 A S2 M D
3 PR
L
a a D i o
Conceito: Sj a b . D adio a b - , c, :
J , ; A .Representaes: N a + b = c
+
Nomenclatura dos termos:
+ =
+
Observao: A : , - parcelas.
i D e i a s B s i C a s
Juntar quantidades anlogas. P x:
. Q ? Juntar quantidades que devem ser classicadas numa categoria mais geral.
P x: x ? Acrescentar uma quantidade outra j existente. P x:
. S , ?
Somar valores negativos. P x: S . G- R$ 2,00 R$ 5,00 . Q ?
C . A
x -
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 47
C j aj - j b j.
P .Representaes: N ax b = c
Conceito: Sj a b , (a b). Dsubtrao a b, , c, :
R b a, ; Q , x, c b
a. C a b, .
Representaes: N a - b = c
a s u B t r a o
a M u l t i p l i C a o
-
x
Nomenclatura dos termos:
.A : .
- =
-
i D e i a s B s i C a s
Retirar ou ideia subtrativa. P x: J J. C ?
Completar ou ideia aditiva. P x: N . E j . Q ?
Comparar. P x: B B . Q B B?
A x , .
Conceito: Sj a b . D multiplicao a b, , c, :
S b,a , + + + +... + , ;a
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48 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
Nomenclatura dos termos:
x =
x
Observao: A : , - atores.
i D e i a s B s i C a s
Adio de parcelas iguais. P x: U 5. E 3 . Q ?
Ideia combinatria. P x: U -
. Q - ?
Produto cruzado. P x: Q 5 6 ?
O , .
A : .
a D i v i s o
Conceito: Sj a b , b 0. D diviso a b c, :
D a, b j , ; Q b a.M x, j, a, b
j . A resto da diviso.Observao: A
, . A . Px: 12 3. P :
12 - 3 = 9, 9 - 3 = 6, 6 - 3 = 3, 3 - 3 = 0. F 4 , 12 3 = 4.
Representaes: N
+=
+=
. :
Nomenclatura dos termos:
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a po t e n C i a o
: D ; d -, q r . P : D = dx q + r. S = 0, exata.
i D e i a s B s i C a s
Distribuir. P x: V . Q ?
Agrupar. P x: Q x 96 ?
N x .A, , x x -
, , j .
E 1 5 -.
1. A 12 , .
2. E , -
.
at i v i D a D e
A . P x: 2 x2 x 2 = 8. A :23 = 8.
D , : b = an, a
n . A, b = an
, a -base n - expoente.
Exemplos:
32 = 3 x 3 = 9 (-3)2= (-3) x (-3) = 9
23 = 2 x 2 x 2 = 8 (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8
(-4)2 = (-4) x (-4) = 1642 = 4 x 4 = 16
A : .
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50 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
a r a D i C i a o
a l o g a r i t M a o
C x, -radiciao , j, b = an , n ndicedo radical,b radicando a raiz.
bn
b an =
Exemplos:S 9 = 2, , j, a = 3, 9 = 3 x 3 = 32, a = -3,
9 = (-3)x(-3) = (-3)2;S 8 = 3, , j, a = 2, 8 = 2 x 2 x 2 = 23.S -8 = 3, , j, a = -2, -8 = (-2)x(-2)x(-2) = (-2)3.
a92 =
a83 =
a83 - =
C , x - , j, b = an, , , b
logaritmando, a base n logaritmo.
log ba logn ba=
Resumindo: E b = an, :( x);( ).
logn b
a b
a
n
=
=)
C :
C , j .
2, 4 2pois42= =
_____, 8 _____pois83 = =
2, 8 ( 2)pois833- = - - = -
_____, 243 _____pois2435 = =
_____, 243 ( 3)pois24355- = - = -
8 3, 8 2log pois ( )23= =
25 _____, 25 5log pois ( )5 = =
243 _____, _____ ___log pois ( )3 = =
at i v i D a D e
a e X p a n s o D o s Co n j u n t o s n u M r i C o s
N Cj N N, j , -
? V
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 51
C , -
, :
C j (2 3, x, ), - nmeros quebrados - j : Cj N R N ( ) -
M, x -, j, x x j .
P x, = 1,4142135... x a b = = 1,4142135... . E I I+.
D , j j , x I-.
C Cj N N (2-5, x, ) Cj N N x- Cj N I,
:Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Ex- Cj N
R N j :
. Vj:
S , Cj echa-do j propriedadede echamento.
Um conjunto A echado em relao operao * se, e somente se, quaisquer
paraquaiSquerdoiSnmeroSnaturaiS, aSomadeLeSumnmeronaturaL?
, , * .a b A a b A! !
O j N ? P ?O j N ? P ?
O j N ? P ?
, , , .b
aonde a b com b 0Q N !!=+ $ .
, , ,b
aonde a b com b 0Q Z !!= $ .
2
2
?25-
.i 1= -
,a b N!b
a
b
a
, x .
V , - Cj N R, - R Cj R I.
E agora? Q
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52 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
A, ( ) 5.i25 25 1 25 1# #- = - = - =
C- j: Cj N Cx, C. D , j :
: j N Cx;, ,a bi com a bC R!= +" ,
R Q I,=
..., , , , , , , , ...3 2 1 0 1 2 3Z= - - -" ,
: Cj N R ( );
: Cj N R;, , ,b
aonde a b com b 0Q Z !!= $ .
: Cj N I;: Cj N N., , , , , ...0 1 2 3 4N = " ,
____ ; ____ ; 0 ____ ; 8 ____ ; 0 ____ ; ____ ;3
12N Q Z Q Q Q I Q
____ ; ____ ; 0, 5 ____ ; ____ ; ____ ;3
1243
4 8Z R Z R R 3- -
____ ; ____ ; ____ ; 2 ____iR Z Q R R C R
C j : , :N Z Q R C1 1 1 1D e m o
Nmeros Compleos
NmerosReais
NmerosInteiros
NmerosNaturais
NmerosRacionais
NmerosIrracionais
at i v i D a D eS :1.
elemento conjunto;2. con-
junto conjunto, :
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 53
o s a l g o r i t M o s 14
_____________________14 A j - .
15 Ex , , T S.
S I (1989) C15 (1095 1269) -
, , , , , .
O XIII, - L P, Fi-bonacci, ,
. C , F- , Liber Abaci (T ) x , - . A , -- E. E ,
, - . A XVIII, - , .
E j , , , . S R F, , . N j, , j !
O , - , : ?
E x .O . S , , -
graVuraemmadeiraqueornaa margarita pHiLoSopHicade gregoriuS reiSH (freiburg, 1503):a aritmtica (Simbo-
LizadapeLamuLHerdepaocentro) parecedecidirodeba-te
que
ope
abaciStaS
e
aLgoriStaS
;eLa
oLHa
na
direo
docaLcuLadorqueuSaoSaLgariSmoSarbicoS (comoSquaiSSuaroupaeStenfeitada) SimboLizandoaSSimotriun-
fodocLcuLomodernona europaocidentaL.(ifraH, 1989, p 319)
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54 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
. V .26 789 ? E MDC 36 48? C , j E S! N , , - - . A x
.N ,
, x, , . O x x j .
, , , x: , , , ,
, 2 .
C j , , - ( ) x , x .
S M (1996), x j :
Fator de presso estrutural: -
, , , , , .
Fator de presso histrico: .
Fator de presso social: x . Este o padro adotado pela maioria eesperado por quase todos, mesmo aqueles que tm o discurso e a refexo sobreaprendizagem
com compreenso(MENDONA, 1996, . 72).
I - , x , ( ). D ! C , x : !
J , x .A , j - . P , .
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 55
o a l g o r i t M o D a a D i C o
S j -: 32 + 46; 127 + 35; 276 + 25.
1 passo: colocar uma parcela embaixo da outra, ordem embaixo de ordem.
34
26+
D U D U213
75+
C D UC722
65+
2 passo: juntar as unidades.
D DU UC C
213
75+
722
65+
D
34
26+
U
8 12 11
1 1
12 = 10 + 2
12 = 1D + 2U
11 = 10 + 1
11 = 1D + 1U
A
.
3 passo: juntar as dezenas.
D DU UC C
21
13
75+
722
65+
D
34
26+
U
87 2 1
1 11
6 03
D DU UC C
213
75+
722
65+
D
34
26+
U
87 2 1
1 11
6 1010 = 10 + 010D= 10x10=1C + 0U
A .
4 passo: juntar as centenas.
S , -- . A, .
2
2
7 000
0 43
***
*1
885
7
1
2
1
1 11
2
22
00
64
4
3
33
3
**
**
*1
5 7
1 04
15
26
01
7
* * * *4
235 0
T , , x. O , , .
at i v i D a D e
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56 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
o a l g o r i t M o D a s u B t r a o
S j -: 356 - 115; 346 - 239; 4.035 - 259.
1 passo: colocar o subtraendo embaixo do minuendo, ordem embaixo de or-dem.
334
26
D U
9-
C
-
D U53
1 165
C
54
2 9
D UCM30 5
-
2 passo: subtrair as unidades.
-
D U
531 1
1
65
C
7
334
26
D U
9-
C
3+1 10
6
2+1 10
54
2 9
D UCM
30 5-
3 passo: subtrair as dezenas.
0 7
334
26
D U
9-
C
4-
D U
531 1
1
65
C
67
3+1 9+1
10
10
54
2 9
D UCM
30 5-
0 7
333
216
D U
9-
C
12 4-
D U53
1 11
65
C
3 6775
32 9
D UCM129 15
-
4 passo: subtrair as centenas.
Resolva o problema:O 5 () 16 :China: 1.345.750.973ndia: 1.198.003.272Estados Unidos: 314.658.780Indonsia: 229.964.723Brasil: 193.733.7951. Q B I?2. A E U I
B I?3. Q C, E U?
at i v i D a D e
_________________________
16 D ://..//-., 06 . 2011.
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 57
o a l g o r i t M o D a M u l t i p l i C a o
C E XIII, x- . O gelosia grade -. Vj, x, 25 13
:1 passo: P - - , 25 13
, , ;2 passo:T- ;3 passo: F- -
;4 passo: P - . (
).5 passo: A .
O resultado obtido oi 325.O j,
. Vj :
0
3
2 5
5
1
1
3
52
5
6
2
0
001
1) 6 x 15
P :
6 x 15 = 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 90, :
156
6 x 56 x 10
+
x
306090
6
10
60 30
5
Sai ba maiS Sobre: outraS maneiraSintereSSanteSdeefetuarmuLtipLicaeS.
://...//31../.
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58/90
58 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
2) 13 x 25
75 = 15 + 60250 = 50 + 200
2
22
1 3
3+
x
705
5
55
x (3 x 5).
x (3 x 20).
x (10 x 20).
x (10 x 5).
13
20 5
60 15
50200
60 + 15 = 75
200 + 50 = 75
at i v i D a D e1. N A 3 B 4 . O
.Q ?
2. N x, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 36 - , , j216 .
) )
))
216
216
216216
216216216
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
59/90
UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 59
o a l g o r i t M o D a D i v i s o
Vj : 90 15'
986 5'
90 15 6' =
. P .A!
159015
1575
1560
1545
1530
1515
0
-
-
-
-
-
- (1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
159030
3060
3030
0
-
-
- (2)
(2)
(2)
C 15 90, 6, 15 6 90, ,
P , - 15 , x:
O -, j, , , :
1590900
- (6) (6 x 15 = 90, 15 ).
Observao: P , Pro-cesso Longo Processo Curto. O P C - , - :
F :
1590900
- (6) F : seis vezes quinze 90,subtrado de 90 d zero.
1)C
C
6
6
55
5
54
0 0
0
1
11
-
-
-
7 333
8 9
9
9
D
D
U
U
N , . N, . C x , . A :
1 passo: A 8 5 , -? S ?. C 1C, 5 5C
500U, 869. S 3C, 6D 9U.
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
60/90
60 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
2 passo: T- 3C 30D, j x - 36 5 .
3 passo: A 36 5 , -? S ? C 7D, 5 35D 350U 369. S 1D 9U.
4 passo: T- 1D 10U, j x - 19 5 .5 passo: A 19 5 , -
? S ? C 3U, 5 15U 19. S 4U.
A, 869 = 5x 173 + 4.O : O zero no ltimo algarismo do quociente.
DmUm Um sobram Um
C C e sobram C
D D e sobram D
U U e sobram as U
6 23 063 23 2 17
170 23 7 9
94 23 4 2
22 23 0 22
'
'
'
'
'
=
=
=
=
=
Um
C C sobra C
C C e sobram D
U U e sobram a U
7 23 0
70 23 3 1
11 23 0 11
117 23 5 2
'
'
'
'
=
=
=
=
P : 63.042 = 23x 2.740 + 22.
P : 7.017 = 5x 305 + 2.
O zero no meio do numeral que representa o quociente.
CD
D
U
U C
6 6
6
2
4
4 4
4
4 0 00
0
0
00
0
0
011 1
-
-
-
77
3
2
2
2
2
2
2
2
99
D
D
U
U
3
CD U
U C6
2
1
15
1
9 01
0
0
00
0
5
0
-
-
-
07
7
7
1
3
7
2
11
D
D
U
U
3
0 5'0 5'
3 4'
U , , . A :
1. Q 2. Q
? Q ?? Q ?
3. C:
4. Q 40 745 ?
23' 10' 3'3.450
at i v i D a D e
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 61
o s n M e r o s r a C i o n a i s n o
n e g a t i v o s: Fr a e s e D z i M a s
Ca s Fr a e s: Co n C e i t o , e q u i v a l n C i a e o p e r a e s
j , j , ,
b
aonde a b e bQ 0!e M=+ $ .. N , , numerador
x , denominador.
D L V (2003), P / , 0 : T a b . P x:
A j :6 18 6/18; 2 6 2/6; 1 3 1/3; :
.
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62 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
C a b. P x: S 3 5 , 3/5 .
C :0 11/2 3/21/4 1/3 2/3
P x : M 2 12 2/12.
P , x: U 3x = 2, j , j - , : x = 2/3.
C
D ( ) .
eq u i v a l n C i a
E 2 (), : , um meio.
E, 4 (), - : , dois quartos.
E, 6 (x), - : , trs sextos.
1/2
2/4
4/8
5/10
6/12
E, 8 (), : , quatro oitavos.
E, 10 (), - 5: , cinco dcimos.
3/6
E, 12 (12 ), - : , seis doze avos17.
_________________________17 A , () .
10. D ( )
P , , ,
. I , , , , ,21
42
63
84
105
126
. D, , , , , , ,21
42
63
84
105
126 equivalentes, j,
. P :2
1
4
2
6
3
8
4
10
5
12
6= = = = = .
I , -
, j: 0, 521
42
63
84
105
126
= = = = = = .
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
63/90
UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 63
J :) 1/2 4/8 .) 2/5 6/15 .) 2/3 8/12 .) 2/4 6/12 .
A j - ( ):
at i v i D a D e
1. C:5
2
10
4
15
6
20
8= = = =
3
2
6
4
9
6
12
8= = = = .
2. D
:
.
2
1
8
4
5
2
15
6
3
2
12
8
4
2
12
6
Os resultados das multiplicaes so iguais. T-
:
A b
ad
c )00( bea cbda =
P , j
?
B .
C j j -, , , . O j Classe de Equivalncia . Ex:
1) O C E 3
2 : , , , , ,32
32
64
96
128
1510f=` j
2) O C E 4
3 : , , , , ,43
86
129
1612
2015
2418f=` j
O x .
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
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64 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
Fr a e s i r r e D u t v e i s
D , , , -. A . F , - .
E Frao Irredutvel. Ex: T 24/18 -
: .18
24
18 2
24 2
9
12
9 3
12 3
3
4
'
'
'
'= = = = A ; e
1824
912
34
.
a D i o e s u B t r a o D e Fr a e s
A j. A, 5
1
5
2+ , j-
j j. O, j ( ), ? E j () , . Vj :
+ =
Q j ( ), . Vj :
?21
32 =+
T os teros os meios , -, , , . P , :
o B s e r v a e s :T 1.O -
.
; ; ; ;414
351
350
1
00
5
00
123
0= = = = =
2/5 1/5 1/5 + 2/5 = 3/5
2/3
4/6
1/2
3/6
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 65
A . A + , .
D , :5
3
5
4 . Vj -
:
- =
Q ( ), j, , -
. Vj : ?2
1
3
2=
T os teros os meios , -, , , . P , :
A :
6
1
6
3
6
4
2
1
3
2== .
M ? :
Sj a,b, c d , 0de0b .Vj -
:
C , x .
M u l t i p l i C a o D e Fr a e s
V 57 . P
. Vj x,4
3
2
1 (
4
3)
A () -
:6
7
6
3
6
4
2
1
3
2=+=+ .
M ? :3
2
2
1
6
4
6
3
6
7&+ + =
3+4
x 6
3
2
2
1
6
4
6
3
6
1&- - =
3+4
x 6
4/5
4/6 3/6
2/3 1/2
3/5 4/5 - 3/5 = 1/5
b
a
d
c
bd
ad bc
b
a
d
c
bd
ad bc+ =
+- =
-
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66 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
R4
3:
E , 4
3:
de21
43
83= : ,
8
3, ,
8
3
4
3
2
1= .
F 4
1
3
2 ( ).
R4
1:
E , . P ,
.
de3
2
4
1
12
2= : dois teros um quarto,
12
2 , , x3
2
4
1
12
2= .
S , - :
Para multiplicar duas raes, multiplicamos numerador por numerador paraobter o novo numerador e denominador por denominador para obter o novo deno-
minador.E ? Vj:
Sj a,b, c d , 0de0b . Vj
:db
ca
d
c
b
a
=
D i v i s o D e Fr a e sO ba : Q b
a?N , . Vj x:
Exemplo 1. ?6
1
2
1=
A : Q sextos meio?.
C 6
1e
2
1:
x x2
1
4
3
8
3
3
2
4
1
12
2= =
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67/90
UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 67
P- 3sextos( ) meio ( ), ,
1
33
6
1
2
1== .
Exemplo 2. ?21
61 =
A : Q meios um sexto?. T , :
O meio um sexto? C ? Q ?
V x:
O pedao verde )3
1( )
2
1( .
C , tera parte meio uma vez x,
:6
2
3
1
2
1
6
1== .
Exemplo 3. ?2
13 = A : meios 3 inteiros?
1/2
1/6
1/6
1/2
1/6
1/2
1 1 1
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
P cada inteiro 2 meios, 3 inteiros 6
meios, :1
66
2
1
1
3
2
13 === .
Exemplo 4. ?5
4
3
2= A : Q quatro quintos dois ter-
os?2/3
4/5
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68 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
A : O quatro quintos dois teros? C ? Q ( ) ?
P quatro quintos dois teros, , , j, -:
A 3
2
15
10= partepe-
dao quatro quintos, 10/12. A, 3
2
5
4
12
10
6
5' = = .
O , , -:
3
2
15
10=
5
4
15
12=
3 3 62
1
6
1
1
3
2
6
6
1
2
1
3
1
6
2
2
1
1
3
2
1
1
6
3
2
5
4
12
10
6
5' ' ' ' '= = = = = = = = = =
6 6 6 1 10 122 2
Sj a,b, c d , 0de0b . Vj -
: cbda
d
c
b
a
=
) R :3
5;
9
3;
2
4,
5
3
) O :5
1
8
3.
) R:7
2
5
3+ ;
9
3
3
1 ; 5
5
2 ;
8
5
3
2 ; 3
5
2 ;
3
55 ;
3
2
5
4
at i v i D a D e
A .
a s D z i M a s: Co n C e i t o e o p e r a e s
C j , ( )
b
a
, a b b . E
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UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 69
: DZIMAS.N , parte inteira
parte no inteira. A, 25,378 25 378 . A , .
Vj DZIMAS LIMITADAS ou FINITAS ( )
) , ; , ; , ; ,
) , ; , ; , ; ,
) , ; , ; , ; ,
a
b
c
21
105 0 5
41
10025 0 25
81
1000125 0 125
161
10000625 0 0625
51
102 0 2
251
1004 0 4
1251
10008 0 008
6251
1000016 0 0016
201
1005 0 05
401
100025 0 025
2501
10004 0 004
801
10000125 0 0125
= = = = = = = =
= = = = = = = =
= = = = = = = =
) , ; , ; , ; ,
) , ; , ; , ; ,
) 0, 05 ; 0, 025 ; 0, 004 ; 0, 0125
a
b
c
0 5105
21 0 25
10025
41 0 125
1000125
81 0 0625
10000625
161
0 2102
51 0 4
1004
251 0 008
10008
1251 0 0016
1000016
6251
1005
201
100025
401
10004
2501
10000125
801
= = = = = = = =
= = = = = = = =
= = = = = = = =
C 2 1? V
? B , . N 4
1
100
25= , 2 , 1 4 25.
Analise os atores dos denominadores das 1as raes:E ) : ___________E ) : ___________E ) : ___________
CONCLUSO: U dzima nita 2, 5 2 5, j,
10 (10, 102
, 103
, 104
, ...).P 0bcom,b
a , , -
k
k, 0k , k x b = 10,
. E , - ,- -. T , . S .
V , .
S j , j - :
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
70/90
70 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
l e i t u r a D a s D z i M a s l i M i t a D a s Como ler 0,7?O, j 0,7 = 7/10. E -
. Como ler 2,27?
C 2,7 = 227/100, , 2,27 = 2 + 0,27 = 2 + 27/100 .
A :
dcimos
centsimos
milsimos milionsimos
10
3100
3
.1 000
3
.10 000
3
.100 000
3
. .1 000 000
3
. .10 000 000
3
. .100 000 000
3
0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003 0,000003 0,0000003 0,00000003
a l g o r i t M o s D a s o p e r a e s
A -
j , .
a D i o e s u B t r a oC 5,23 + 2,34? E 85,57 - 10,24?
A :1 passo: x , x
: , ,, ,
5 2 3 8 5 5 7
2 3 4 1 0 2 4+ -
, ,
2 , 3 4 1 0 , 2 4
, ,
5 2 3 8 5 5 7
7 5 7 7 5 3 3
+ -
, ,
, 4 , 1 3
, ,
0
3 5 7 2 7 2 8 4
2 1 0 6
3 3 5 9 4 2 3 1 5 4
0 0+ -
2 passo: , x .
Vj : 35,7 + 2,106 27,284 - 4,13
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
71/90
UAB| Cincias Naturais e Matemtica | Desenvolvendo Conceitos Matemticos: Aritmtica | 71
P x ?N 1 , ? E 3 -
? E ?
M u l t i p l i C a o
Vj 2,35 x 1,2; 8,4 x 1,5 820 x 0,5.1 passo: A .
, ,
, , ,
2 3 5 8 4 8 2 0
1 2 1 5 0 5
4 7 0 4 2 0 4 1 0 0
2 3 5 0 8 4 0
2 8 2 0 1 2 6 0
x x x
2 passo: C .A .
2,35 x 1,2 = 2,820 8,4 x 1,5 = 12,60 820 x 0,5 = 410
S , x 2, j, x .
D i v i s oA x ,
j, . S j ,
x 0,1 (); S j ,
x 0,01 (); S j , -
x 0,001 (); .Vj : 4,058,0 , x 0,01 (
).1 passo: C :
2 passo: D ( ).
3 passo: C j x 0,01 (=0,01), 2 ()
.
0, 5 8 0, 4 0
5 8 4 04 0 1,1 8
7/23/2019 Matemtica 1 e 2 vReduzida
72/90
72 | Cincias Naturais e Matemtica | UAB
5 8 0 0 4 04 0 1, 4 51 8 01 6 0
2 0 0
2 0 00
O ?
Vj DZIMAS ILIMITADAS DZI-MAS PERIDICAS ( ). A . N Dzima Peridi-ca Simples, . O - PERODO.
N Dzima Peridica Composta, ( ANTEPERO-
DO) ( PERODO).E , -
:
0,3333... = 0,3; 0,535353... = 0,53; 25,34787878... = 25,3478; 7,1238888... = 7,128
O (...) .
25, 34 78 78 78... = 25,3478
E , - :
Resolva:) 1,66 + 1,066 + 1,666
) 7,71 - 5,208) 168,7 x 0,01) 0,74 x 1,8
) 12,85 1,4
COMPOSTASPERIDICAS
SIMPLESPERIDICAS
ILIMITADAS
LIMITADAS
DZIMAS
parteinteira
anteperodo
perodo
D , , - -, ?
C :1) ...,6660=d C (1) (0) , -
- , 101+0
100
- -
1. P x, j , : 1/3; 1/6; 2/5.
2. C .
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, :
2) ...,3535352=dC (2) (0) , -
- 102 + 0 100 - -
, :
3) ...,4533338=dC (1) (2) , -
, 101 + 2 = 103 102 - -- , :
4) ...,1245353530d =C (2) (3) , -
, 105 = 2 + 3 103 - - , :
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0,666...
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d d d10 696
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. , ...100. . .
.
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d
d d d100 000 12453 535353
1 000 124 535353000 1 000 12 329
99 00012 329
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...333,845100
...333,84531000===
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(1992, DA, 1993), - . S , , -, j . A : .
O - ,
. A !
C , -, , , - - , !
O
a M a t e M t i C a n a e D u C a oi n F a n t i l e n o s a n o s i n i C i a i sD o e n s i n o Fu n D a M e n t a l
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, x () (j ). A, - , P: ,- .
S- j x-, j - , . C, , (), .
N , j- - , . S j ? C !
C & S (1988), , j , - .I , j, j j j x , , x . A, j , , x j .
S C (1973), x - , , j , .
O E M , j, , - . O, ?
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. U , , x, M D18 - , , x -.
A , ____________________18 O M D M M . I, M D M C D, , Lk L, M, ,
.
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. O, , , j . A , , , , , , ., , x. E I
x, -. N 1 5 :
... a ormao de capacidades intelectuais, na estruturao do pensamento,na agilizao do raciocnio dedutivo do aluno, na sua aplicao a
problemas, situaes da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho eno apoio construo de conhecimentos em outras reas de conhecimento.
(PCNs: matemtica, 2001, p. 29).
C j , -
j, x. P , E F, - , - , .
a e D u C a o i n F a n t i l
A : - .A , - .
O XVIII XIX - , - . S , , x, . A , , , .
F (1782-1852) j ,
- , , . A : , , , , j, , , .
O x - XX, M M (1870-1952) j j j- . N
, j, , , ,
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, , , , . O .
O - J D (1859-1952) , - , , . A -
, x, .M M D (1871-1932), D,
P (1746-1827) F j j .
P J P (1896-1980) . S . P P, , x x: , , , j . P j , , , , .
N , , , , , , , - , C C S:
A maternal , ;
A , , ,
, . A ,
.
, j . G, , , , .
E a matemtica, como ca neste cenrio? E R C N E I (RCNEI) 2002, ?S
, j RCNEI x . P x - j :
O , - , , , , , .;
O , x, -
, ;
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O , - x, , - , , ;
A , ;
O - (RCNEI, 2002, . 1, .).N ,
-. S , , , . A,
Aprender matemtica um processo contnuo de abstrao no qualas crianas atribuem signifcados e estabelecem relaes com base nas
observaes, experincias e aes que azem, desde cedo, sobre elementos doseu ambiente sico e sociocultural;
A construo de competncias matemticas pela criana ocorresimultaneamente ao desenvolvimento de inmeras outras de naturezas
dierentes e igualmente importantes, tais como: comunicar-se oralmente,desenhar, ler, escrever, movimentar-se, cantar etc.
(RCNEI, 2002, vol.3, p. 217).
P , RCNEI19 x j x -. A j
j. D , , x? A- , , , , j , x .
, j -. P, , j . - j ,
, x, . U O Cesto de Tesouros20. A j , - j .
C x - ; , j , , .
____________________19 ://...////3.
20 GOLDSCHMIED, 2006, pp. 113; http://www.youtube.com/watch?v=_aavCuKmMvc
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a e D u C a o i n F a n t i lN B,
30 () . T ,
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, . E , , . A .
A , - . A, , , x .
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: N O; E F; G M; T I, j j ; , ; j ; j
.Q j ,
, , 65, 66, 80, 81 82 PCN, 3.
P E I I E F- j, , , - x . A, :
E j . T x- x - .
pa r a r e F l e t i r e Fa z e r
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