MATEMÁTICA - AULAS 1, 2, 3, 4 e 5

ETAPA PRÉ-VESTIBULAR

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Prof. MARCONIO NÓBREGA

MARANHÃO PROFISSIONALETAPA PRÉ-VESTIBULAR

ETAPA PRÉ-VESTIBULAR TUTORAS: NEILDE E ELCITÂNIA

COORDENADOR REGIONAL: WALTER ALENCAR 2

walteralencar.blogspot.com.br

1) A administração do prédio de uma prefeitura decidiu numerar todas as portas do prédio, começando com 1 e, de 1 em 1, até a última porta. O pintor que fez o serviço cobrou R$ 0,50 por cada algarismo pintado e, no final do serviço recebeu o total de R$ 193,50. Nessa situação, o número de portas que o prédio da prefeitura tinha é igual a:a) 166b) 165c) 164d) 163e) 162

3COORDENADOR REGIONAL: WALTER ALENCAR



2) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de mesas e cadeiras que devem ser alugadas para as festas de fim de ano. Considerando que: uma mesa quadrada acomoda apenas 4 pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo, acomodam-se 6 pessoas; juntando três dessas mesas, acomodam-se apenas 8 pessoas e, assim, sucessivamente, como é mostrado na figura abaixo.

Nas mesmas condições, juntando 16 dessas mesas, o número de pessoas que poderão ser acomodadas éa) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e)40




3) Na sequência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

Mantendo esse padrão, o número de células brancas na 10ª figura seráa) 401 b) 652 c) 441 d) 321 e) 405




4) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?a) 38 000b) 40 500c) 41 000d) 42 000e) 48 000

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COORDENADOR REGIONAL: WALTER ALENCAR


5) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura: Supondo que o guri conseguiu formar 20 “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía:

a) mais de 300 bolitas. b) pelo menos 230 bolitas. c) menos de 220 bolitas.d) exatamente 300 bolitas.e) exatamente 81 bolitas.

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6) As figuras 1, 2 e 3 descrevem uma sequência denominada números pentagonais. Assim, a sequência numérica correspondente é igual a 1, 5, 12 .... Seguindo esse padrão, a 50ª figura representa o número:

a) 148 b) 197 c)2.500 d) 2.550 e) 3.725

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CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE• Divisibilidade por 2: Quando terminado em 0 ou 2 ou 4

ou 6 ou 8, isto é quando for par.

Exemplo: 28 é divisível por 2, pois termina em 8, que é um número par

• Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um número divisível por 3.

Exemplo: 27, pois 2 + 7 = 9, e este é divisível por 3.




• Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4, quando terminar em dois zeros, ou quando o número formado, pelos dois últimos algarismos, da direita for divisível por 4.

Exemplo: 1300, é divisível por 4, pois termina em dois zeros. 624, é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.




• Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.

Exemplo: 320 é divisível por 5, pois é terminado em 0. 765, é divisível por 5, pois é terminado em 5.

• Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6, quando for divisível por, 2 e 3, ao mesmo tempo.

Exemplo: 642, pois é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.




• Divisibilidade por 7: Um processo prático e fácil para a determinação da divisibilidade de um número qualquer por 7 é:

Primeiro passo: Separa-se o algarismo das unidades simples, e dobra-se o valor absoluto do mesmo. Logo:

1617 7 2 x 7 = 14Segundo passo: Subtrai-se o número assim obtido, do número que ficou a esquerda após a separação do algarismo das unidades simples.




Logo:

Terceiro passo: Procede-se analogamente como nos passos anteriormente analisados, até se obter um número múltiplo de 7. Logo:

Donde: 1617 é divisível por 7.

147

14

7.161

0014

1472 7 . 14

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• Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8, quando terminar em 3 zeros, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos, da direita, for divisível por 8.

• Exemplo: 3000, é divisível por 8, pois é terminado em três zeros.

1672, é divisível por 8, pois 672 é divisível por 8.

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• Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9, quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 9.

Exemplo: 648 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 8 = 18 que é divisível por 9

• Divisibilidade por 10, 100, 1000, ...: Um número divisível por 10, 100, 1000, quando terminar em 0, 00, 000, ... respectivamente.




• Divisibilidade por 11: um número é divisível por 11, quando a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e par forem iguais, ou quando a diferença entre a maior soma e a menor for um número divisível por 11.

Exemplo: 1892, é divisível por 11, pois 2 + 8 = 10, e 9 + 1 = 10, e 10 – 10 = 0 8371, é divisível por 11, pois 1 + 3 = 4, e 7 + 8 = 15, e 15 – 4 = 11

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1) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).

Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,a) 0 e 9. b) 1 e 4. c) 1 e 7. d) 9 e 1. e) 0 e 1. 17COORDENADOR REGIONAL: WALTER ALENCAR



2) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contéma) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos.c) 112 ladrilhos. d)148 ladrilhos.e) 114 ladrilhos.




3) Um posto de gasolina tem três tanques de combustíveis. Um deles tem 300 ℓ de gasolina e será completado à razão de 42 ℓ/min. O segundo tem 540 ℓ de álcool e será completado à razão de 30 ℓ/min. O terceiro, inicialmente com 400 ℓ, de óleo diesel, será preenchido à razão de 37 ℓ/min. Se os três tanques começarem a ser completados no mesmo instante, após t minutos, possuirão a mesma quantidade de combustível. Então, t satisfará à condição:

a) t = 12 b) 12 < t < 18 c) 18 ≤ t < 22d) 22 ≤ t < 24 e) t ≥ 24




4) Com os algarismos distintos e não nulos a, b e c, formam-se os dois números de dois dígitos ab e ba cuja soma é o número de três dígitos cac. O produto dos algarismos a, b e c é a) 84. b) 60. c) 40. d) 18. e) 22.




• MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM• Definição: dados dois números inteiros a e b não

nulos, define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide a e b, simultaneamente.

• O M.D.C. de dois números será indicado por M.D.C. (a, b).

• Logo, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: M.D.C .(6,10) = 2.




• Exemplo:• Determinar o M.D.C. dos inteiros 6 e 10.• D(6) = {1, 2, 3, 6}.• D(10) = {1, 2, 5, 10}.• Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2, ou

seja D(6)D(10) = {1, 2}.




• M.M.C. - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM• Definição: dados dois números inteiros a e b não

nulos, define-se o mínimo múltiplo comum – M.M.C., indicado por M.M.C. (a,b) , como sendo o menor inteiro positivo, múltiplo comum de a e b.




• Exemplo:Determinar o M.M.C. dos inteiros 10 e 14.M(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...}• M(14) = {14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140,

...}

• Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos: M.M.C. (10,14) = 70.




5) Três ciclistas A, B e C treinam em uma pista. Eles partem de um ponto P da pista e completam uma volta na pista ao passarem novamente pelo mesmo ponto P. O ciclista A gasta 30 seg , o ciclista B, 45 seg, e o ciclista C, 40 seg, para dar uma volta completa na pista. Após quanto tempo, os três ciclistas passam juntos, no ponto P, pela terceira vez consecutiva?a) 18 min.b) 25 min. c) 30 min. d) 15 min.e) 20 min.

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6) Um terreno retangular que tem 144 m de comprimento e 112 m de largura é cercado de árvores, que estão plantadas a igual distância uma das outras. Havendo a maior distância possível entre duas árvores consecutivas, qual o número de árvores existentes, se plantarmos uma árvore em cada canto?a) 12b) 24c) 36d) 32e) 28

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7) Um posto de gasolina tem três tanques de combustíveis. Um deles tem 300 ℓ de gasolina e será completado à razão de 42 ℓ/min. O segundo tem 540 ℓ de álcool e será completado à razão de 30 ℓ/min. O terceiro, inicialmente com 400 ℓ, de óleo diesel, será preenchido à razão de 37 ℓ/min. Se os três tanques começarem a ser completados no mesmo instante, após t minutos, possuirão a mesma quantidade de combustível. Então, t satisfará à condição:a) t = 12b) 12 < t < 18c) 18 ≤ t < 22d) 22 ≤ t < 24e) t ≥ 24

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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)O conjunto dos números racionais (Q) é formado por todos os números que podem ser escritos em forma de fração, com denominador não-nulo.

Q = {x|x = p/q, p ϵ Z e q ϵ Z*}

Observe que N Z Q, pois todo número inteiro é equivalente a uma fração de denominador um.

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Representação Decimal dos Números Racionais. Caso 1: (DECIMAIS EXATAS) a) 0,25 = 25/ 100b) 1,326 = 1326/1000 Caso 2: (DECIMAIS PERIÓDICOS OU DÍZIMAS PERIÓDICAS)a) 0,666... = 6/9 = 2/3b) 0,17878... = 177/990




Obtenção da fração geratriz a/bI) Dízima Periódica Simples




Obtenção da fração geratriz a/bII) Dízima Periódica Composta




1) Uma comunidade ouviu falar de globalização e mercado de trabalho e mostrou interesse pelo assunto. Foi formada uma comissão de N elementos para prestar esclarecimentos à população dessa comunidade. Os trabalhos da comissão foram assim distribuídos: dos elementos da comissão deveriam buscar informações junto à Internet; 0,75 dos elementos organizariam as informações; 0,05 dos elementos se encarregariam da confecção de apostilas e o restante, que eram 9 elementos, faria exposições à comunidade. O valor de N é:a) 900.b) 109.c) 100.d) 90.e) 19.

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2) Sobre um curso de treinamento para funcionários de uma empresa, que teve a duração de três meses, sabe-se que:• 1/5 dos que participaram, desistiram ao longo do primeiro mês do

curso; ao longo do segundo mês desistiram 1/8 dos remanescentes do mês anterior. Considerando que no terceiro mês não houve desistentes, então, se 21 pessoas concluíram o curso, a quantidade inicial de participantes era um número

a) maior que 32.b) compreendido entre 22 e 29.c) menor que 25.d) divisível por 7.e) par.

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1) Dona Maricota passava o tempo observando os passarinhos voando em torno de seu pé de romã, plantado no jardim de sua casa. Ela observou que quando há um passarinho em cada galho, um dos passarinhos fica sem galho, e quando ficam dois passarinhos em cada galho, um dos galhos fica sem passarinho. Seja G o número de galhos no pé de romã e seja P o número de passarinhos, então o valor de , é:a) 49b) 36c) 64d) 81e) 25

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2) Uma pessoa quer distribuir, entre seus amigos, um determinado número de convites. Se der 2 convites a cada amigo, sobrarão 25 convites; entretanto, se pretender dar 3 convites a cada amigo, faltarão 15 convites. Caso essa pessoa pretenda dar 4 convites a cada amigo, ela precisará ter mais:a) 45 convites.b) 55 convites.c) 40 convites.d) 80 convites.e) 70 convites.

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3) De quatro caixas contendo bolas, tiramos das bolas da primeira caixa e adicionamos à segunda caixa e, em seguida, tiramos das bolas da segunda caixa e adicionamos à terceira caixa e, repetindo o processo, tiramos das bolas da terceira caixa e adicionamos à quarta caixa. Após a adição das bolas na quarta caixa, verificamos que o número de bolas que ficaram em cada uma das caixas é 124. Podemos afirmar corretamente que inicialmente o número de bolas contido na quarta caixa eraa) 155. b) 143. c) 120. d) 93. e) 95.

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4) Uma empresa de grande porte na área de siderurgia pretende se instalar na ilha de São Luís e prepara o projeto para constituição do seu capital acionário. Todos os sócios participarão igualmente da formação desse capital. O cronograma da obra prevê, inicialmente, a duplicação do sistema de abastecimento de água da ilha de São Luís e a urbanização da área onde será implantado o parque industrial. O orçamento dessas obras iniciais consumirá 0,111... do montante do capital acionário previsto para a implantação do projeto e será bancado por um dos sócios como antecipação do seu montante no capital da empresa. Quantos sócios terá a futura empresa?

a) 7 c) 10 e) 12b) 9 d) 11

COORDENADOR REGIONAL: WALTER ALENCAR 37COORDENADOR REGIONAL: WALTER ALENCAR



5) Carlos e Pedro são alunos muito aplicados em matemática. Certo dia, Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a seguinte questão: Determine o algarismo das unidades do número . Pedro resolveu o problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o resultado a que Pedro chegou?a) 4b) 2c) 5d) 6e) 1

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6) 0 1994º algarismo, após a virgula, na representação decimal de 12/37 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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7) Qual o algarismo que ocupa a casa das unidades na potência ?a) 3 b) 9 c) 7 d) 1 e) 5




8) Inicialmente 5 cartas foram embaralhadas na figura abaixo. Em cada embaralhamento, a primeira carta passa ser a segunda, a segunda passa ser a quarta, a terceira passa ser a primeira, a quarta passa ser a quinta e a quinta passa ser a terceira.

Qual será a primeira carta após 2012 embaralhamentos?

a) b) c) d) e)




RAZÃODenomina-se razão de dois números, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo.Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita “razão de a para b” e representada como:

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PROPORÇÃO:É a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões.

PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO:

Dada a proporção , temos:

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS:GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui.




GRANDEZAS PROPORCIONAIS:GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:Duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra aumenta.




DIVISÃO PROPORCIONAL:EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:Exemplo: Dividir o número 720 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5.

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DIVISÃO PROPORCIONAL:EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:Exemplo: Dividir o número 360 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12.




DIVISÃO PROPORCIONAL:DIVISÃO COMPOSTA MISTAChamamos de divisão composta mista à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais aos valores de uma sucessão dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra sucessão dada.Exemplo: Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente.




1) O conceito de simetria surgiu na Grécia antiga, como uma tentativa de explicar a beleza por bases racionais. Os gregos não eram dados a muita subjetividade − eles gostavam de achar que havia lógica por trás de tudo. Por isso, conceberam a ideia de proporção áurea, uma relação matemática segundo a qual a divisão da medida da maior parte pela menor parte de um segmento (dividido em duas partes) é igual à divisão do segmento inteiro pela parte maior. E procuravam essa proporção mágica em tudo, inclusive em seres humanos.

Revista Superinteressante, nov. 2003 (adaptado).

Considere um segmento de reta AB, dividido em duas partes, a e b, com b < a. De acordo com a descrição acima, a proporção áurea se verificaria para a igualdade:a) b) c) d) e)




2) A UEMA recebeu do Governo Federal recursos financeiros no valor de R$ 170.000,00 para serem divididos proporcionalmente ao número dos alunos dos campi de Bacabal, Balsas e São Luís, conforme indicado na tabela a seguir:

O valor recebido pelo Campus de Balsas foia) R$ 37.400,00 b) R$ 44.200,00c) R$ 88.400,00 d) R$ 42.500,00e) R$ 52.000,00

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3) Duas caixas são ambas, cubos perfeitamente regulares, isto é, cada uma tem seis lados que são, por sua vez, quadrados perfeitos. Cada lado da primeira caixa tem exatamente 3 m2 de área, e cada lado da segunda caixa tem exatamente 9 m2 de área. A razão entre o volume da primeira caixa e o volume da segunda caixa é, portanto, igual a:a) 3 . 31/2

b) 3 . 3-1/2 m3

c) 9 . 3-1/2

d) 31/2 . 9-1 m3

e) 31/2 . 9-1




4) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de 7.680.000 litros, são proporcionais, respectivamente, aos números 10, 6 e 2; nessas condições, a medida da largura desse depósito é de:a) 8 mb) 12 mc) 40 md) 16 me) 24 m

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5) Uma firma vence uma concorrência para a construção de uma escola em uma comunidade. O encarregado pela realização da obra tem os seguintes dados: 15 pessoas, trabalhando 8 horas por dia, levariam 20 dias para realizarem a tarefa. Pensando no desgaste físico dos trabalhadores, o encarregado resolve contratar mais 5 trabalhadores e diminuir a jornada de trabalho para 6 horas por dia. O número de dias para a realização da obra, supondo que os trabalhadores têm a mesma capacidade, é:a) 24.b) 20.c) 18.d) 15.e) 12.

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