Matematica 4

85MATEMÁTICA | Educação a Distância

UNIDADE IV

LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS

EQUAÇÕES

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Professor Esp. Acácio Pedro da Silva Junior

Objetivos de Aprendizagem

• Entender o comportamento numérico em determinada situação por meio da análise de gráficos e tabe-las.

• Identificar as diferentes representações gráficas.

• Resolver equações e problemas que se relacionam de forma linear.

• Determinar o conjunto solução de uma equação de primeiro grau.

• Exercitar habilidades para a leitura, interpretação, montagem e resolução de problemas envolvendo duas incógnitas.

• Dominar os métodos para a resolução de sistemas de equações lineares.

• Resolver equações e problemas que se relacionam de forma quadrática.

• Exercitar a habilidade de resolver as equações de segundo grau pela equação de Bháskara.

• Resolver equações quadráticas incompletas.

• Exercitar habilidades para a leitura, interpretação, montagem e resolução de problemas envolvendo duas incógnitas relacionadas de forma quadrática.

Plano de Estudo

A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:

• Leitura de Gráfico de Linhas

• Leitura de Gráfico de Barras

• Leitura de Gráfico de Setores

• Relação entre Tabela e Gráfico

• Resolução de equações de Primeiro Grau

• Conjunto Solução

86 MATEMÁTICA| Educação a Distância

• Resolução de Problemas envolvendo Equações de Primeiro Grau

• Resolução de Sistemas de Equações Lineares

• Operações elementares

• Resolução de Problemas envolvendo Sistemas de Equações Lineares

• Resolução de equações de Segundo Grau (completas e incompletas)

• Resolução de Problemas envolvendo equações de Segundo Grau

• Resolução de Sistemas de Equações Quadráticas

• Resolução de Problemas envolvendo Sistemas de Equações Quadráticas


INTRODUÇÃO

Nesta quarta unidade, você estudará os temas mais usados na matemática: Leitura de Gráficos, Resolução de Equações e Sistemas de Equações. Trata-se de conteúdos recheados de aplicações cotidianas, análise de informações com problemas dos mais variados níveis de complexidade.

São problemas, métodos e técnicas que podem e serão usados para a geometria, álgebra, cálculo, física, química, biologia e todas as áreas que, de alguma forma, tratam de conceitos numéricos com a necessidade de encontrar o valor de uma ou mais incógnitas.

Não são conceitos novos, mas certamente são abordagens novas. As baterias de exercícios são extensas e cabe dispensar um pouco mais de tempo e dedicação.

Desde os primórdios, o homem busca responder “quantos” ou “quantas”. Este capítulo dá ferramentas para encontrar essas possíveis respostas.

“ Por quase um século antes de seu tempo, os filósofos escolásticos vinham discutindo a quantificação das ‘formas’ variáveis, um conceito de Aristóteles aproximadamente equivalente a qualidades [...] Oresme1 conhecia bem esse resultado, e ocorreu-lhe em algum momento antes de 1361 um pensamento brilhante – por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas [...] por isso ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante [...]”. (BOYER, Carl B., História da Matemática, p. 192).

7. LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS

Podemos perceber que a partir do século XIV, “um pensamento brilhante” surge no encantador cenário da matemática: “traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas”. Este pensamento conduziu boa parte da matemática para um patamar bem mais elevado. Alguns matemáticos ousam dizer até que Oresme foi o cocriador da Geometria Analítica. O fato é que sua ideia de representar o comportamento de uma grandeza de acordo com a variação de outra impulsionou parte da matemática para fora do campo abstrato, tornando a análise absolutamente visual.

7.1. Leitura de Gráfico de Linhas

O gráfico de linhas, em geral, é usado para representar quantidades de forma a poder compará-las quanto ao seu possível crescimento ou queda. Em geral, podemos representar o crescimento ou decrescimento no faturamento de uma empresa por meio de uma interpretação gráfica bem simples. Acompanhe o gráfico a seguir:

1 ORESME, Nicole (1323? -1382), sábio parisiense que se tornou Bispo de Lisieux.


Receita

01Jan 01Fev 01Mar 01Abr 01Mai

O gráfico mostra que, apesar de não sabermos os valores das recitas de cada mês, podemos compará-las por uma simples observação:Em 01 de Janeiro, o gráfico mostra que a receita foi a menor do período.

De 01 de Janeiro a 01 de Fevereiro, a receita aumentou (dizemos que o gráfico é crescente).

De 01 de Fevereiro a 01 de Março, a receita se manteve (dizemos que o gráfico é constante).

De 01 de Março a 01 de Abril, a receita diminuiu (dizemos que o gráfico é decrescente).

De 01 de Abril a 01 de Maio, a receita aumentou (dizemos que o gráfico é crescente).

Caso você tenha problemas ou dúvidas para determinar se certo comportamento é crescente, decrescente ou constante, basta imaginar que alguém está sobre a linha do gráfico, indo da esquerda para a direita: se a pessoa está subindo, o gráfico é crescente; se a pessoa está descendo, o gráfico é decrescente; se não está subindo nem descendo, é constante.

SubidaPlano

Descida

Crescente

Constante

Decrescente

7.2. Leitura de Gráfico de Barras

O gráfico de barras, em geral, é usado para relacionar “quantidades” a “qualidades” (um número também pode ser visto como uma qualidade – se 7,0 representa a nota que um alunos conseguiu em uma avaliação, esse número é uma característica, uma qualidade). Em geral, usamos esse tipo de gráfico quando precisamos determinar dados estatísticos como Média, Moda e Mediana, ou ainda, quando queremos comparar as “qualidades”. Acompanhe o gráfico a seguir onde aparece o resultado da pesquisa “Qual é a cor do seu carro?”:


Frequência

Prata Branca Preta Outra

Cor

29

27

24

20

Podemos ver que 29 pessoas disseram que seu carro tem cor Prata; 27 pessoas disseram ter carro de cor Preta; 20 pessoas disseram ter carro de cor Branca e 24 pessoas disseram ter carro de outra cor.

O gráfico nos dá mais informações: ao todo, foram 100 entrevistados (29 + 27 + 20 + 24). A cor predominante entre os carros é Prata, seguida da cor Preta. Não há forma de garantir que a cor Branca é a terceira mais votada (há 24 entrevistados que têm outra cor de carro: poderiam ser todos vermelhos – é improvável, mas pode acontecer).

7.3. Leitura de Gráfico de Setores

Em geral, usamos gráficos de setores para representar termos percentuais. Nesse caso, é fácil comparar as grandezas (mesmo que não apareça a porcentagem relacionada à característica). Acompanhe o gráfico a seguir onde aparece o resultado da pesquisa “Qual é a área do conhecimento de sua preferência?”:

Humanas (33%)

Biológicas (28%)

Exatas (17%)

Outra (22%)

Podemos dizer que a maioria dos pesquisados prefere Ciências Humanas (33%), mas não podemos dizer que a menor parcela prefere Ciências Exatas, pois a parte correspondente à “Outra” pode ser composta por outras áreas com menor preferência.

Lembre-se que uma volta corresponde a 100% em relação às informações listadas e a 360º em relação ao ângulo central. Caso precise manipular algum desses valores, use proporcionalidade (uma regra de


três simples é suficiente para descobrir o ângulo central).

Agora você precisa praticar um pouco!

Vá com calma, observe bem cada um dos gráficos.

Só formule uma resposta depois de analisar bem o problema.

Deixe para ler as alternativas só depois que já tiver uma ideia, mesmo que superficial, sobre as respostas.

Exercícios

01. (Unifor-CE) No gráfico abaixo tem-se a evolução do PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro nos anos 80 e 90 do século XX, tomando como base o valor de 100 unidades, em 1979.

100

110

120

130

140

150

160

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98(Fonte: IBGE, Folha de S. Paulo)

A partir desse gráfico, é correto concluir que:a) Os valores do PIB foram crescentes no período de 1980 a 1989.

b) Os valores do PIB foram decrescentes no período de 1987 a 1992.

c) A diferença entre os valores do PIB dos anos 1989 e 1987 foi igual a dos anos 1992 e 1990.

d) Os valores do PIB são sempre crescentes.

e) O crescimento dos valores do PIB foi maior de 1983 a 1986 do que no período de 1986 a 1989.


02. (UFMT) Observe a figura.

-0,25

1,87

3,43

15 16 17 18 19

-1,02

-2,05

-1,40

Variação diária em relação ao dia anterior, em %AS BOLSAS DE VALORES NO MUNDO

(Maio)

Nova Iorque

São Paulo

Tóquio

Adaptado de: Revista Veja. 24/05/2000, p.134.

Admita que o gráfico representativo do desempenho da bolsa de Tóquio é uma função real f(t), da bolsa de Nova Iorque uma função real g(t) e da bolsa de São Paulo é uma função real h(t), com t ∈ [15, 19]. A partir dessas informações, julgue os itens.( ) h(t) ≥ g(t), qualquer que seja t pertencente ao intervalo considerado.

( ) A equação f(t) = h(t) admite uma raiz.

( ) A partir do ponto associado ao dia 16, a função g(t) é estritamente decrescente.

03. (UFMT) Os gráficos abaixo apresentam dados relativos ao transporte de carga no Brasil, segundo o Ministério dos Transportes. Observe-os com atenção e julgue as afirmações.

O Brasil optou pelas estradas

Hidrovias

Ferrovias Rodovias

Duto12%

4%

21%63%

O transporte de carga no país está concentrado nas rodovias.

Construir uma estrada é mais barato que fazer ferrovia (custo por quilômetro):


Ferrovia

Estrada

1,4 milhão de reais

600.000 reais

$

$

Transportar carga por trem é mais barato do que por caminhão.

Consome-se 1 litro de óleo diesel para levar 1 tonelada de carga por:25 quilômetros de rodovia

84 quilômetros de ferrovia

Fonte: Ministério dos Transportes. Veja, 4/8/99, p.44.( ) O ângulo do setor circular referente às rodovias mede 226,8º.

( ) Com o que é gasto para se construir 1 km de ferrovia, pode-se construir 7/3 km de rodovia.

( ) Para se transportar uma tonelada de carga em uma mesma distância, o transporte rodoviário conso-me 336% mais combustível que o transporte ferroviário.

04. (UFMT) Com base na figura abaixo, julgue os itens.

1985 1990 1995

14 000

18 000

24 000

Muitos doentes,poucos tratamento

No Brasil são 9 milhões de diabéticos.

Deles, 50% não sabem que estão doentes.

Dos que sabem, 23% se tratam.

Cresce o número de óbitos por causado diabetes


( ) A metade dos diabéticos no Brasil não sabe que está doente.

( ) Dos que sabem que estão doentes 1,035 milhões não se tratam.

( ) O número de óbitos por causa do diabetes, de 1985 para 1990, aumentou em 40%.

( ) O número de óbitos por causa do diabetes em 1995 foi 4/3 do número de óbitos em 1990.

05. (UFMS) Um grupo de alunos fez uma pesquisa sobre o tipo de sangue dos 540 alunos da escola. Os alunos, para resumirem os dados encontrados, construíram um gráfico de setores e, no lugar das porcentagens, eles indicaram os ângulos de alguns desses setores circulares, como mostra o gráfico. Pode-se afirmar que o número de alunos que tem o tipo de sangue B é:

Tipo O

Tipo AB

Tipo B

Tipo A

162º

36º

108º

?

a) 96 d) 124

b) 81 e) 162

c) 108

06. (U. F. Lavras - MG) Uma pesquisa eleitoral estudou a intenção de votos nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados na figura:

A B C Indecisos

Número de votos

162015001400

880

A opção incorreta é:a) O candidato B pode se considerar eleito.


b) O número de pessoas consultadas foi de 5400.

c) O candidato B possui 30% das intenções de voto.

d) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candi-dato A, o candidato C assume a liderança.

e) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleições.

07. (ENEM) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras abaixo:

100

80

60

40

20

0

TvA TvB TvC TvD Nenhum

Nº d

e re

sidêc

ias

O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de:a) 100 d) 200

b) 135 e) 220

c) 150

08. (ENEM) No gráfico abaixo, mostra-se como variou o valor do dólar, em relação ao real, entre o final de 2001 e o início de 2005. Por exemplo, em Janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40.

4.00

3.60

3.20

2.80

2.40

2.00

1.60

1.20Jan 2002 Jan 2003 Jan 2004 Jan 2005

Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado em relação ao dólar foi no: a) Final de 2001.b) Final de 2002.


c) Início de 2003.d) Final de 2004.e) Início de 2005.

09. No gráfico “Percentage of chart which looks like Pac-man” (Porcentagem dos gráficos que parecem com o Pac-man), suponha que a parte correspondente a “Does not look like Pac-man” (Não parecem o Pac-man) tenha um ângulo aproximado de 60º e que a parte correspondente a “Looks like Pac-man” (Parece o Pac-man) tenha um ângulo aproximado de 300º.

Com base nestas informações, encontre os valores para cada uma destas partes em termos percentuais.

10. (UFSE – Adaptado) Segundo dados do IBGE (1999), o Brasil vem reduzindo nos últimos anos, o índice de mortalidade infantil. Na tabela abaixo, temos o número de óbitos de crianças entre zero e um ano de idade, para cada mil nascidas vivas (na Região Nordeste nos anos indicados).

Taxa de mortalidade infantil Região Nordeste

Ano 1950 1970 1991 1998

Taxa 184,33 150,07 68,59 54,47

Das figuras a seguir, a que MELHOR representa esses dados é:


200

100

1950 1970 1991 1998

Taxa de mortalidade infantil

ano

a)

200

100

1998


ano199119701950

200

100

1998


ano199119701950

200

100

1998


ano199119701950

a)

b)

c)

d)

200

100

1998


ano199119701950

e)

a)

b)

c)

d)

e)


11. (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico a seguir.

Sem filhos 1 filho 2 filhos 3 filhos

10

8

6

4

2

0

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é de:a) 1/3

b) 1/4

c) 7/15

d) 7/23

e) 7/25

12. (ENEM) Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes: a primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1º lugar, B em 2º lugar, C em 3º lugar e assim por diante.

Ordenação Nº de votantes

A B C 10

A C B 04

B A C 02

B C A 07

C A B 03

C B A 07

Total de Votantes 33


Considere o sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 1º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar. O candidato que acumular mais pontos é eleito. Nesse caso:a) A é eleito com 66 pontos.

b) A é eleito com 68 pontos.

c) B é eleito com 68 pontos.

d) B é eleito com 70 pontos.

e) C é eleito com 68 pontos.

13. (ENEM) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã.

11

:00

10

:50

10

:40

10

:30

10

:20

10

:10

10

:00

9:5

00

9:4

0

9:3

0

9:2

0

9:1

0

9:0

0

8:5

0

8:4

0

8:3

0

8:2

0

8:1

0

8:0

0

7:5

0

7:4

0

7:3

0

7:2

0

7:1

0

7:0

0

6:5

0

6:4

0

6:3

0

6:2

0

6:1

0

6:0

0

1201101009080706050403020100

Horário de saída

Tem

po do p

ercu

rso (

min

uto

s)

De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até às 10h30min ao ponto final dessa linha deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até às:”a. 9h20min.

b. 9h30min.

c. 9h00min.

d. 8h30min.

e. 8h50min.


14. (ENEM) A eficiência do fogão de cozinha pode ser analisada em relação ao tipo de energia que ele utiliza. O gráfico abaixo mostra a eficiência de diferentes tipos de fogão.

Fogões a lenha

Fogões a carvão

Fogões a querosene

Fogões agás

Fogões elétricos

70605040302010 0

Eficiência do fogão (%)

Pode-se verificar que a eficiência dos fogões aumenta:a) À medida que diminui o custo dos combustíveis.

b) À medida que passam a empregar combustíveis renováveis.

c) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a lenha por fogão a gás.

d) Cerca de duas vezes, quando se substitui fogão a gás por fogão elétrico.

e) Quando são utilizados combustíveis sólidos.

15. (ENEM) Um dos aspectos utilizados para avaliar a posição ocupada pela mulher na sociedade é a sua participação no mercado de trabalho. O gráfico mostra a evolução da presença de homens e mulheres no mercado de trabalho entre os anos de 1940 e 2000.

%

100

80

60

40

20

0

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Homens

Mulheres

Da leitura do gráfico, pode-se afirmar que a participação percentual do trabalho feminino no Brasil:a) Teve valor máximo em 1950, o que não ocorreu com a participação masculina.

b) Apresentou, tanto quanto a masculina, menor crescimento nas três últimas décadas.

c) Apresentou o mesmo crescimento que a participação masculina no período de 1960 a 1980.

100MATEMÁTICA| Educação a Distância

d) Teve valor mínimo em 1940, enquanto que a participação masculina teve o menor valor em 1950.

e) Apresentou-se crescente desde 1950 e, se mantida a tendência, alcançará, em curto prazo, a partici-pação masculina.

8. EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Em geral, todos os conceitos vinculados à matemática estão intimamente ligados às equações. A busca por um número desconhecido justifica o estudo das equações. Este capítulo tratará mais de “como resolver” e “onde se aplica”. As explicações acerca da origem serão deixadas de lado.

8.1. Equações de Primeiro Grau

Em primeiro plano, vamos definir “Equação” como toda sentença matemática expressa por uma igualdade. O que estiver à esquerda da igualdade será chamado de Primeiro Membro e o que está à direita da igualdade é o Segundo Membro.

Ao resolver uma equação, buscamos determinar o valor da variável (simbolizado por uma letra), de forma que a equação seja verdadeira.

Exemplos:I. Para resolver a equação “x + 3 = 7”, buscamos um número “x” que, somado a 3, resulte em 7. A res-

posta natural para essa equação é “x = 4” (observe que 4 = 7 – 3).

II. Para resolver a equação “5x = 30”, buscamos um número “x” que, multiplicado por 5, resulte em 30. A resposta natural para essa equação é “x = 6” (observe que 6 = 30 ÷ 5).

III. Para resolver a equação “x – 2 = 14”, buscamos um número “x” que, ao subtrairmos 2, resulte em 14. A resposta natural para essa equação é “x = 16” (observe que 16 = 14 + 2).

IV. Para resolver a equação “x/5 = 30”, buscamos um número “x” que, dividido por 5, resulte em 30. A resposta natural para essa equação é “x = 150” (observe que 150 = 30 x 5).

Note que:

No exemplo I, a equação tinha a adição de 3 unidades no primeiro membro e a resposta foi conseguida subtraindo 3 unidades do segundo membro.

No exemplo II, a equação tinha uma multiplicação por 5 no primeiro membro e a resposta foi conseguida dividindo o segundo membro por 5.

No exemplo III, a equação tinha a subtração de 2 unidades no primeiro membro e a resposta foi conseguida somando 2 unidades ao segundo membro.

No exemplo IV, a equação tinha uma divisão por 5 no primeiro membro e a resposta foi conseguida multiplicando o segundo membro por 5.


8.1.1. Métodos para a resolução de uma Equação de Primeiro Grau

Ao mudarmos um termo (ou um fator) da equação para o outro membro (passar de um membro para outro, trocar de lado na equação), devemos fazer uso da operação inversa, ou seja:

• operação inversa da adição é a subtração, e a operação inversa da subtração é a adição;

• a operação inversa da multiplicação é a divisão, e a operação inversa da divisão é a multiplicação.

Alguns chamam esse método de “Método Rápido”.

Cuidado com os vícios! Não existe “trocar de lado e mudar o sinal”, existe “trocar de lado e mudar a operação”.

Nem sempre as equações serão imediatas. É aconselhável que você entenda que a igualdade (sinal de igual) funciona como uma balança: tudo que você fizer de um lado da equação, deve fazer no outro para compensá-la. Alguns conhecem esse método por “Método Longo”.

Exemplo:

No caso da equação “5x − 4 = 21” devemos evidenciar o valor de “x”, para isso, o termo 4 e o fator 5 devem “sair” do primeiro membro:

Pelo “Método Longo”:

5x – 4 = 215x – 4 + 4 = 21 + 4 Somamos 4 aos dois lados da equação.5x = 25(5x) ÷ 5 = (25) ÷ 5 Dividimos os dois lados da equação por 5.x = 5

Pelo “Método Rápido”:

5x – 4 = 215x = 21 + 4 Mudamos o 4 para o segundo membro e trocamos a operação.5x = 25x = 25 ÷ 5 Mudamos o 5 para o segundo membro e trocamos a operação.x = 5

Note que os métodos têm o mesmo número de passos. Por que seriam “Método Longo” e “Método


Rápido”? É que no “Método Rápido”, depois de treinar um pouco, você poderá omitir as linhas dois e quatro apresentando os resultados de forma imediata.

Pelo “Método Rápido”, com a omissão de alguns passos:

5x – 4 = 21 O 4 passa para o segundo membro somando.5x = 25 O 5 passa para o segundo membro dividindo.x = 5

Agora abordaremos um exemplo um pouco mais complexo e também resolveremos pelos dois métodos.

Resolvendo a equação:

− 2

3=

+ 1

6+ 3 − 7

2

c c c

Pelo “Método Longo”:

− 2

3=

+ 1

6+

3 − 7

2

c cc

6. − 2

3=

6. + 1

6+

6. 3 − 7

2

c c c( ) ( ) ( )

2. − 2 =

1. + 1 + 3. 3 − 7c c c( )( )

2 − 4 = + 1 + 9 − 21

2 − 4 =

10 − 20

2 − 4

+ 4 =

10 − 20 + 4

2 = 10 − 16 2 − 10 =

10 − 16 − 10

−8 = −16

−8 ÷ −8 = −16 ÷ −8

= 2

( ) ( ) ( ) ( )

c

c

c

c c c c

c c

c c

cc

c c c

Multiplicaremos todos os termos da equação por 6 com o objetivo de eliminar os denominadores.

Simplificando.

Aplicando a Propriedade Distributiva.

Arrumando.

Deixando os termos sem x no segundo membro.

Deixando os termos com x no mesmo membro.

Dividindo por – 8.

Pelo “Método Rápido”:

Tirando o MMC.

Aplicando a distributiva e escolhendo não dividir os dois lados da equação por 6.


Arrumando.

Dividindo por – 8.

8.1.1.1. Conjunto-Solução

O valor encontrado para “x” é a solução do problema e, em geral, os problemas pedem para que seja evidenciada a resposta por meio da apresentação do “Conjunto – Solução” simbolizado por S.

Assim S = {5} é o Conjunto-Solução da equação “5x – 4 = 21”.

Nem toda equação terá uma solução explícita. Há casos em que o problema não admite solução (dizemos que S = Ø ou S = { }) e em outros qualquer número satisfaz (dizemos que S = R).

8.1.2. Equação Impossível

Chamamos de Impossíveis as equações que não admitem solução, ou seja, aquelas para as quais não existe valor de “x” que torne a equação verdadeira:

Exemplo:2x – 20 = 2 (x – 1)

2x – 20 = 2x – 2

2x – 2x = – 2 + 20

0 = 18 S = { }

Note que “0 = 18” é um absurdo, é impossível.

8.1.3. Equação Identidade

Chamamos de Identidade a equação que independe do valor de x, ou seja, aquelas para as quais não há como definir valor para “x”, qualquer valor satisfaz à equação:

Exemplo:2x – 20 = 2 (x – 10)

2x – 20 = 2x – 20

2x – 2x = – 20 + 20

0 = 0 S = R

Note que “0 = 0” é uma tautologia (é sempre verdade), é possível, mas não há como determinar valor para “x”. A equação admite infinitas soluções, é uma identidade e sua solução é indeterminada.


Exercícios

A prática leva à perfeição. Divirta-se!

01. x + 1 = 7 02. x – 1 = 7

03. x + 2 = 20 04. x – 2 = 20

05. x + 3 = 1 06. x – 3 = 1

07. x + 4 = 2 08. x – 4 = 2

09. x – 6 = −1 10. x + 6 = −1

11. x – 5 = −20 12. x + 5 = −20

13. 2 x = 12 14. 12 x = 12

15. 3 x = 1 16. 5 x = −10

17. 5 x = 10 18. 20 x = −5

19. 20 x = 20 20. 22 x = −1

21. 21 – x = 16 22. 3 + x = −1

23. 3 – x = −1 24. 12 – x = 3

25. 12 – x = −3 26. 6 – x = 0

27. −6 – x = 0 28. 15 – x = −22

29. −4 – x = −2 30. −2 – x = 1

31. −3 + x = −20 32. −3 – x = −20

33. −12 – x = 3 34. −15 – x = −22

35. 2 x + 3 = 9 36. 2 x – 3 = 9

37. 5 x – 4 = 26 38. 5 x + 4 = 29

39. 4 – 5 x = 29 40. 8 – 3 x = −7

41. 8 + 3 x = −7 42. 3 x – 8 = 7

43. 15 x + 3 = 15 44. 7 x – 1 = 11


45. 8 x + 4 = 64 46. 3 x – 12 = 22

47. 2 x – 16 = 21 48. 7 x + 11 = 13

49. 11 – 7 x = 13 50. 1 – 2 x = −4

51. 4 a + 5 = 25 52. 3 b + 5 b – 2 = 3 b + 8

53. −6c – 2 c = 24 – 2 c 54. 2 (d – 2). = 10

55. 3 (e + 2) = 2 (3e – 2) 56. 3. (x – 5) = 2 x + 1

57. −2(4 + y) + 2(−y – 5) = 8 58. 7. (a – 6) = 7. (−6 + a)

59. 2h − (1/4) = h + (1/2) – 5 60. 2

3x = 21

61. 6

4x = 18 62. 4

3x = 18

63. 4

8x = −4 64. 133x = 13

65. 3

2x = 124 66. 42x− = −8

67. 2x + 1 = 6 68.

21+x = 6

69. 2x − 1 = 6 70.

21−x = 6

71. 3x + 2 = 12 72.

32+x = 12

73. 2x = 1 74.

11x = −4

75. 7x = 22 76.

3x = −7

77. 2f + f = 6 78.

5)3(2 +x =

27 +

3x

79. 1 + 3y = 10 + y 80. 2m – 7 = −

25m + 14

81. 52

21

53

−=− yy 82. 3

243

31

23 yy

−=−

73. 2x = 1 74. 11

x = −4

75. 7x = 22 76. 3

x = −7

77. 2f + f = 6 78. 5

)3(2 +x = 27 + 3

x

79. 1 + 3y = 10 + y 80. 2m – 7 = − 2

5m + 14

81. 52

21

53 −=− yy 82. 3

243

31

23 yy −=−

83. 58

21

10512 +=−+ xx 84. 2

124

313 −=+− xx

85. 21

85

102 −=−+− xx

86. 312

31

42 −−+−=− xxx

87. 3324

21 −−=−− xx

88. 441

32 =+−− xx

89. 43

32

21 −=−+− xxx

90. 5512

43 =−−− xx

91. )2(34

21

321 +=

−− xx

92. 43123

15 −=

−+ xxx

93. 80173

81

1022 10

3485 xxx =

−−

−

94. 21

108

41

52 =

+−+ xx

95.

−−=−−

245

3134

93 xxx

96. )2(34

21

321 +=

−

− xx


73. 2x = 1 74. 11

x = −4

75. 7x = 22 76. 3

x = −7

77. 2f + f = 6 78. 5

)3(2 +x = 27 + 3

x

79. 1 + 3y = 10 + y 80. 2m – 7 = − 2

5m + 14

81. 52

21

53 −=− yy 82. 3

243

31

23 yy −=−

83. 58

21

10512 +=−+ xx 84. 2

124

313 −=+− xx

85. 21

85

102 −=−+− xx

86. 312

31

42 −−+−=− xxx

87. 3324

21 −−=−− xx

88. 441

32 =+−− xx

89. 43

32

21 −=−+− xxx

90. 5512

43 =−−− xx

91. )2(34

21

321 +=

−− xx

92. 43123

15 −=

−+ xxx

93. 80173

81

1022 10

3485 xxx =

−−

−

94. 21

108

41

52 =

+−+ xx

95.

−−=−−

245

3134

93 xxx

96. )2(34

21

321 +=

−

− xx

97.

−

−=−−

243

32

493 xxxx

98. 808

1

10

22

5

34

8

5 xxx =÷

ø

öçè

æ--÷

ø

öçè

æ-

8.2. Problemas envolvendo Equações do Primeiro Grau

Ao resolver qualquer tipo de problema, é importante que você LEIA o problema quantas vezes for necessário, ANOTE as informações dadas pelo exercício, EQUACIONE as informações, RESOLVA a equação montada e VERIFIQUE se a resposta é coerente ao problema.

8.2.1. Termos e Expressões usadas em problemas

Na maioria das vezes, o problema não nos garante a clareza quanto às operações envolvidas. Alguns termos usados devem ser interpretados enquanto expressão algébrica. Outros subentendem sinais, operações ou o sinal de igual. Acompanhe algum destes:

Se você gosta de usar x para todo o problema, vai se realizar na tabela a seguir onde usaremos “x” para representar qualquer número desconhecido:


Expressão por extenso Expressão Algébrica

O dobro de um número 2x

O triplo de um número 3x

O quádruplo de um número 4x

O quíntuplo de um número 5x

O sêxtuplo de um número 6x

A metade de um número x/2

A terça parte de um número x/3

A quarta parte de um número x/4

A quinta parte de um número x/5

A sexta parte de um número x/6

O inverso de um número 1/x

O oposto de um número -x

A diferença de dois números x-y

A soma de dois números x+y

O produto entre dois números x.y

O quociente entre dois números x/y

O consecutivo entre dois números x+1

8.2.2. Resolução de Problemas

Como já vimos a resolução de equações de forma exaustiva, trabalharemos apenas a montagem dos problemas.

Exemplos:

I. Reparta 169 em quatro parcelas de modo que a segunda seja o triplo da primeira, que a terceira ainda tenha 4 unidades a mais que a segunda e que a quarta seja metade da primeira.

Chamaremos a primeira parcela de x; a segunda parcela será 3x, a terceira parcela será 3x + 4 e a quarta parcela será x/2.

Ao todo, as quatro parcelas devem representar o número 169:

x + 3x + 3x + 4 + x/2 =169

Resolva e encontre as 4 parcelas (na ordem) 22, 66, 70 e 11.


II. A soma de dois números é 77. O maior supera o menor em 7 unidades. Quais os números?

Chamaremos o menor de x. Como o maior supera o menor em 7 unidades, será x + 7. Assim:

x + x + 7 = 77

Resolva e encontre os dois números 35 e 42.

Exercícios

01.Escreva uma expressão algébrica para cada frase a seguir. (Se possível, simplifique).a) O dobro de um número mais uma unidade.

b) A metade de um número.

c) O sucessor de um número.

d) O antecessor de um número.

e) Um número par.

f) Um número ímpar.

g) Um número mais um quinto.

h) Um número mais um quinto dele.

i) O quádruplo de um número.

j) O triplo de um número.

k) A terça parte de um número.

l) Três quintos de um número mais dois quintos dele.

m) O quádruplo de um número mais o triplo deste mesmo número.

n) O sucessor de um número par.

o) O antecessor do quádruplo de um número.

p) A metade do quádruplo de um número.

q) Um número somado com a metade de seu antecessor.

r) Um número somado com ele mesmo.

s) O dobro de um número.

t) Um número multiplicado por ele mesmo.

u) Um número elevado ao quadrado.

v) O perímetro de um triângulo equilátero de lado x.

w) O perímetro de um quadrado de lado p.

x) O dobro de um número somado com seis.


y) O dobro da soma de um número com seis.

z) O dobro de seis somado com um número.

02. Traduza as expressões a seguir para linguagem matemática, resolva-as e encontre o valor do número desconhecido em cada item:a) O dobro de um número menos quatro é igual a trinta.

b) O triplo de um número somado com nove é igual a doze.

c) O triplo da soma de um número com nove é igual a doze.

d) Quinze menos o triplo de um número é igual a doze.

e) Seis unidades somadas à metade de um número resulta em 30.

f) Somando 8 ao dobro de um número, obtemos 20. Qual é esse número?

03. O quádruplo do número de meninos da turma menos 6 é igual a 26. Quantos são os meninos?

04. A terça parte da medida do raio de uma circunferência menos 3 unidades é igual a 10 m. Qual a medida do raio dessa circunferência?

05. Um número menos 6 é igual a 3/4 do mesmo número. Qual é esse número?

06. Como dividir o número 84 em duas partes de modo que o maior seja o triplo do menor?

07. A soma das áreas de dois terrenos é 420 m2. A área de um é o dobro da área do outro. Qual é a área de cada terreno?

08. A soma de três números consecutivos é 105. Calcule esses números.

09. As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros e consecutivos. Determine a medida de cada lado, sabendo que seu perímetro é 36 cm.

10. Reparta 281 em duas parcelas de forma que a diferença entre elas seja 31.

11. A soma de três números é 150. O segundo é o triplo do primeiro e o terceiro tem 10 unidades a mais do que o segundo. Quais são esses números?

12. A soma de dois números pares e consecutivos é 126. Quais são esses números?

13. Um retângulo tem 36m de perímetro. O comprimento é 2 metros maior que a largura. Quais são as medidas desse retângulo?

8.3. Sistemas de Equações Lineares

Chamamos de Sistema de Equações Lineares a toda sentença matemática formada por duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Nesse contexto, buscaremos os valores das duas incógnitas para compor


o nosso conjunto-solução, que será formado por um par ordenado da forma (x, y).

Há algumas formas de resolver o mesmo sistema:

8.3.1. Método da Substituição

É o processo de resolução mais utilizado. Não é o processo mais fácil para resolver, mas, sem sombra de dúvidas, é o mais fácil de lembrar:

Basta ISOLAR uma das incógnitas numa das equações à sua escolha e, depois, SUBSTITUIR na outra equação.

Exemplo:

Isolamos uma incógnita em uma equação à nossa escolha:

x - y - 13 → x - 13 = y

Substituímos na outra equação:

x + 2y - 16 → (13 + y + 2y - 16)

Resolvendo encontramos y = 1.

Substituindo em x = 13 + y temos x = 14. Assim: S = {(14, 1)}.

8.3.2. Método da Adição

É o processo de resolução mais simples, mas exige que a estrutura esteja previamente preparada com dois números opostos do mesmo lado da equação.

Basta SOMAR o primeiro membro de uma ao primeiro membro da outra e o segundo membro da primeira ao segundo membro da segunda.

Exemplo:

Somando o primeiro termo ao primeiro termo e somando o segundo termo ao segundo termo, temos:

x + 2y + x - 2y = 16+12

2x = 28 → x = 14


Substituindo em x + 2y = 16 temos y = 1. Assim: S = {(14, 1)}.

8.3.3. Método do Escalonamento (Operações Elementares)

É o processo de resolução mais abrangente, independe da forma como o sistema está montado, independente dos números envolvidos, é só efetuar uma ou duas multiplicações e somar:

8.3.3.1 Operações Elementares

São Operações Elementares:I. Multiplicar ou Dividir uma linha toda por um número não nulo.

II. Somar duas ou mais linhas.

III. Usar os dois itens anteriores em conjunto: Multiplicar e depois Somar.

Exemplo:

Tente resolver o sistema a seguir por um dos métodos anteriores:

Se você optou pelo método da substituição, encontrou frações um pouco chatas de resolver; se você optou pelo método da adição, não conseguiu fazer nenhuma letra sumir para resolver. Tente assim:

I. Escolha uma letra para desaparecer. (Eu escolhi o y).

II. Multiplique a linha de cima pelo coeficiente do termo de baixo e vice-versa, trocando o sinal de um deles.

→

III. Aplique o método da Adição:

7x = 21 → x = 3

IV. Substitua em qualquer equação:

5.3 + 2y = 19 → y = 2

Assim, S = {(3, 2)}.

8.4. Problemas envolvendo Sistemas de Equações Lineares

Na resolução de problemas que envolvam sistemas de equações, devemos seguir as mesmas diretrizes postas para resolver problemas envolvendo equações de primeiro grau: LER, ANOTAR, EQUACIONAR,


RESOLVER e VERIFICAR.

O VERIFICAR é importante, pois, se estamos falando em número de pessoas, por exemplo, uma resposta não inteira não satisfaz o problema. Se estivéssemos falando em medidas, um número negativo não satisfaria o problema. Pare, analise e julgue a coerência antes de responder.

Exemplo:

A soma das idades de pai e filho é igual a 95 anos e o pai é 31 anos mais velho que o filho. Quais são as idades de pai e filho?

Use P para a idade do Pai e F para a idade do filho.

Use o método da substituição e encontre o pai com 63 anos e o filho com 32 anos.P + F = 95

F + 31 + F = 952F = 64F = 32

Como P = F + 31 → P = 31 + 32 → P = 63

Exercícios01. Em uma lanchonete pagam-se R$5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3

pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$3,60. Qual é o preço do refrigerante?

02. Uma omelete feita com 2 ovos e 30 gramas de queijo contém 280 calorias. Uma omelete feita com 3 ovos e 10 gramas de queijo contém também 280 calorias. Quantas calorias possui um ovo?

03. Num quintal, entre cachorros e galinhas há setenta animais. Cada cachorro cuida de uma galinha e outros dez cachorros não cuidam de nada. Quantas galinhas há ao todo?

04. Resolva pelo método que preferir:

a)

=+

=+

3623

5835

rp

rp b)

=−

=+

34

20

nm

nm

c)

=−

=+

123

102

yx

yx d)

−=−

=+

14

1032

yx

yx

e)

−=−

=−

14

1032

yx

yx f)

=−

=+

3623

5835

rp

rp


05. A soma de dois números é 84 e a diferença entre eles é igual a 12. Qual é o maior deles?

06. Numa fazenda, há 120 animais entre patos e gatos. O fazendeiro contou os pés desses animais e constatou que totalizavam 320 pés. Quantos patos haviam na fazenda?

07. Três latas de massa de tomate mais uma lata de atum custam R$ 6,00. Duas latas de massa de tomate mais duas latas de atum custam R$ 6,80. Quanto custa a lata de massa de tomate?

08. A soma de dois números é 188 e a diferença entre o maior deles e o menor é 38. Calcule esses dois números.

09. Marlene confecciona tapetes artesanais de dois modelos, redondo e retangular. Num certo mês, ela confeccionou 60 tapetes e teve um lucro líquido de R$ 500,00. Sabendo que cada tapete retangular foi vendido por R$ 12,00, que cada tapete redondo foi vendido por R$ 10,00 e que Marlene gastou R$ 160,00 em materiais, quantos tapetes de cada modelo ela confeccionou nesse mês?

10. A diferença entre dois números é 5. O menor deles é 3/5 do maior. Quais são esses números?

11. Um professor aplicou uma prova em um sistema bastante curioso: a prova, contendo 40 questões, atribui ao aluno 5 pontos para cada questão certa e tira do aluno 2 pontos para cada questão errada. Uma aluna que fez 109 pontos acertou quantas questões?

12. No zoológico há cisnes e girafas num total de 96 cabeças e 242 pés. Quantas são as girafas?

13. Um comerciante comprou dois tipos de produtos. Cada produto tipo I custa 10 dólares, e cada produto do tipo II custa 15 dólares. Se uma compra de 35 itens custou 400 dólares, quantos produtos de cada tipo foram comprados?

14. A soma de dois números é 106 e a diferença entre eles é 100. Determine o maior deles.

15. Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos?

16. A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?

17. A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?

18. O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira?

19. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. Qual é o peso do copo vazio?


20. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

21. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

22. Em uma companhia aérea, a lista de preços é a seguinte: Primeira Classe: R$ 500,00 e Classe Turística: R$ 180,00. Em um voo viajaram 200 pessoas, e a companhia faturou R$ 45.600,00. Quantos passageiros viajaram de primeira classe? E de turística?

23. Um menino foi à quitanda para comprar chicletes e balas. Ele tinha somente 7 anos de idade e não sabia ler. Na porta da quitanda existia um anúncio: 1 bala e 1 chiclete = 20 centavos; 3 balas e 2 chicletes = 49 centavos. O menininho pediu para o homem da quitanda 9 balas e 1 chiclete. O homem lhe cobrou 100 centavos pela compra. Será que o homem está dando o preço certo? O menino deveria dar quanto de dinheiro?

24. Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

25. A idade de um pai é o triplo da idade de um filho. Qual é a idade de cada um sabendo que a diferença entre elas é de 32 anos?

26. Numa fábrica trabalham 360 pessoas. Sabendo-se que o número de mulheres é metade do número de homens, qual é o número de homens e mulheres?

27. Numa garagem, entre carros e motos, há 23 veículos. O número total de rodas é 74. Supondo que cada moto possa transportar duas pessoas e cada carro, 5 pessoas, qual o número de pessoas que esses veículos podem transportar?

28. Num pátio, existem automóveis e motos. O número total de rodas é 130, e o número de motocicletas é o triplo do número de automóveis. Sabendo que cada automóvel pode transportar 5 pessoas e que cada motocicleta pode transportar até duas pessoas, quantas pessoas podem ser transportadas por esses veículos?

29. Paguei uma conta de R$ 6.000,00 com 24 cédulas de R$ 500,00 e R$ 200,00. Quantas cédulas de cada valor usei?

30. Num terreno, há coelhos e pintos; ao todo 25 cabeças e 70 pernas. Quantos são os coelhos e quantos são os pintos?

31. Comprei 50 vidros de tinta por certa quantia. Se cada vidro tivesse custado R$ 0,50 menos, poderia ter levado mais 10 vidros. Quanto me custou cada vidro?

32. A soma das idades de pai e filho é 45 anos. Há 5 anos, a idade do pai era 4 vezes a do filho. Quais


as idades atuais?

33. DESAFIO! Um rapaz conheceu uma moça há 18 anos quan do ela ainda era menina. Naquela época, sua idade era o dobro da dela. Casaram-se uns anos depois. Daqui a 9 anos, quando o marido tiver cinco quartos de idade da mulher, pretendem comemorar uma importante data de aniversário de casamento. Quantos anos cada um tem atualmente e quantos terão por ocasião da festa, se tudo correr como planejam?

8.5. Equação do Segundo Grau

Uma equação Quadrática, ou de Segundo Grau, é uma expressão polinomial de grau 2 e pode ser representada por “ax2 + bx + c = 0” com os coeficientes reais “a”, “b” e “c”, a ≠ 0. Na expressão, “ax2 + bx + c = 0” é o coeficiente que acompanha o termo quadrático, “b” é o coeficiente do termo linear e “c” é o termo independente.

A resolução de uma equação de segundo grau se faz por meio da equação de Bháskara:

Onde Δ = b2 - 4ac(Δ é a letra grega “Delta”)

Equivalentemente, podemos escrever:

O Discriminante Δ é extremamente importante: seu sinal nos diz quantas são as respostas de determinada equação:

• se Δ é positivo, a equação admite duas soluções no conjunto dos números reais;

• se Δ é zero, a equação admite apenas uma solução no conjunto dos números reais;

• se Δ é negativo, a equação não admite nenhuma solução no conjunto dos números reais.

Exemplos:

I. Para resolver a equação 5x2 - 30x + 25 = 0, temos que determinar valores para “a”, “b” e “c”.

Comparando a “ax2 + bx + c = 0” determinamos que a = 5, b = 30 e c = -30, assim:


ou

S = {1, 5}

Note que o conjunto-solução não é um par ordenado. Os dois valores são possíveis valores para x.

II. Para resolver a equação 5x2 - 10x + 5 = 0 , determinamos que a = 5, b = -10 e c = 5:

S = {1}

III. Para resolver a equação 5x2 - 10x + 6 = 0, determinamos que a = 5, b = -10 e c = 6:


S = { } ou S = Ø

Não definimos raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais.

8.5.1. Equações do Segundo Grau Incompletas

Equações incompletas são aquelas para as quais os valores de “b” e “c” são zero, podendo acontecer simultaneamente ou não.

8.5.1.1. Caso em que a ≠ 0, b = 0 e c≠ 0

Esse é o caso mais fácil. Basta resolver como uma equação de primeiro grau até que o termo quadrático esteja sozinho. Depois disso, basta tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação.

Exemplos:

I. Para resolver a equação 5x2 - 45 = 0 :5𝑥𝑥 − 45 = 0 :

𝟓𝟓 𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟎𝟎

𝟓𝟓 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝒙𝒙 =

=

𝟗𝟗

𝒙𝒙 ± √𝟗𝟗

𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 ou 𝒙𝒙 − 𝟑𝟑

S = { −3, +3}

2

2

2

2

= =

S = { −3, +3}

II. Para resolver a equação x2 + 25 = 0 :

S = { }

8.5.1.2. Caso em que a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0

Esse caso é o único em que podemos garantir a existência de uma raiz real: x = 0 sempre será raiz.

Para esse caso, precisamos evidenciar o fator “x” e resolver uma equação de primeiro grau.

Exemplo:

Para resolver a equação :


Já que todos os termos têm x, o evidenciaremos.

Multiplicação resultando em zero: ao menos um dos fatores será zero.

Resolvendo a equação simples (ignore os parênteses).

→ S = {0, 9}

8.5.1.3. Caso em que a ≠ 0, b = 0 e c = 0

Esse caso só serve para constar. Não tem aplicação, não tem resolução e o conjunto-solução é imediato: S = {0}.

S = {0}

Exercícios

01. A seguir, há uma relação de equações de segundo grau, que será usada de forma recorrente:a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 + 5x + 6 = 0

c) x2 – x - 6 = 0 d) x2 + x - 6 = 0

e) x2 + 7x + 12 = 0 f) x2 + 2x + 1 = 0

g) x2 – 2x + 1 = 0 h) x2 + 6x + 9 = 0

i) x2 – 6x + 9 = 0 j) x2 – 3x = 0

k) x2 + 3x = 0 l) x2 – 9 = 0

m) x2 + 16 = 0 n) 3x2 – 33x + 90 = 0

o) 5x2 + 15x + 10 = 0 p) 7x2 + 28x + 28 = 0

q) 4x2 - 5x + 2 = 0 r) 12x2 – 300 = 0

s) 12x2 – 300x = 0 t) 12x2 + 300 = 0

u) 12x2 + 300x = 0 v) x2 – 6x + 3 = 0

w) x2 + 6x + 3 = 0 x) x2 + 6x - 3 = 0

y) x2 – 6x - 3 = 0 z) 2x2 – 2x - 1 = 0


02. Complete as lacunas na tabela abaixo de acordo com o que se pede:

ax² + bx + c = 0 a b c Sinal do Número de raízes reais

3x² + 7x + 4 = 0

x² − 6x + 5 = 0

5x² + x = 0

−11x² - 3 = 0

2 -1 7

5 1/3 22

-1 0 0

3 0 1

3 1 0

03. Resolva as equações abaixo, explicitando as suas raízes:a) 8x2 − 2x − 1 = 0 b) 3x2 − 8x + 10 = 0

c) −x2 − 2x + 3 = 0 d) x2 – 2x = 0

e) 8x2 – 32 = 0 f) (x + 2)2 + (x – 2)2 = 106

04. Quais são os números que satisfazem a expressão “Um número elevado ao quadrado é igual ao seu dobro”?

8.6. Sistemas de Equações do Segundo Grau – Problemas

O tópico dispensa maiores apresentações: sabemos o que são Sistemas de Equações e sabemos o que são Equações de Segundo Grau. Sistemas de Equações de Segundo Grau são sistemas de equações que, em algum momento, passarão por uma equação de segundo grau.

8.6.1. Problemas envolvendo Equações e Sistemas de Equações do Segundo Grau

Vale lembrar que para a resolução de quaisquer problemas devemos: LER, ANOTAR, EQUACIONAR, RESOLVER e VERIFICAR.

Exemplos:

I. A diferença entre o quadrado de um número natural e o próprio número é 30. Qual é esse número?


Usando x para representar o número natural desconhecido, temos:

ou

S = {6}

Note que o enunciado dizia que o número é natural, a resposta x = – 5 não satisfaz.

II. A soma de dois números é 8, e o produto entre eles é 12. Quais são esses números?

Usando x e y como números, podemos escrever:

Usando o método da substituição, podemos escrever “ ” e substituir na segunda equação:

Resolvendo, encontramos x = 2 ou x = 6.

Para x = 2, teremos y = 6.

Para x = 6, teremos y = 2.


E o conjunto-solução é composto por dois pares ordenados: S = {(2, 6); (6, 2)}.

Exercícios01. A soma do quadrado de um número real com o seu triplo é igual a 54. Qual é o número?

02. A diferença entre um número e seu inverso é igual a 63/8. Encontre esses números.

03. O quíntuplo de um número menos o seu quadrado é igual a 6. Encontre esse número.

04. A soma de um número e seu quadrado é igual ao sêxtuplo desse número diminuído de 4 unidades. Encontre esse número.

05. Encontre dois números consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja igual a 41.

06. Encontre os dois números consecutivos tais que a soma de seus inversos seja igual a 3/2.

07. O quadrado da idade de Renato menos o triplo dela é igual ao quíntuplo de sua idade mais 20. Qual a idade de Renato?

08. Encontre as dimensões de um retângulo, sabendo que o mesmo tem perímetro igual a 38 metros e área igual a 84 metros quadrados.

09. A soma dos quadrados de dois números naturais é igual a 80, e a diferença entre os quadrados desses números é igual a 48. Encontre esses números.

10. Decomponha o número 15 em duas parcelas cujo produto seja 50.

ATIVIDADE DE AUTOESTUDOI. Em que situações do cotidiano podemos encontrar gráfi cos como objetos de informação? Você con-

segue colher as informações dos gráfi cos?

II. Como anda a sua habilidade em resolver equações? Percebeu que o termo “passa pro outro lado” e troca o sinal não vale para as equações?

III. Suas difi culdades ao resolver problemas estão na matemática ou na interpretação?

Acesse <http://www.somatematica.com.br/efund.php> e tente outra forma de entender a teoria. O site trata al-guns conceitos de maneira mais tradicional, vale a pena dar uma olhadinha!


IMENES, Luiz Márcio; e LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática Paratodos: – 4 Volumes. 2. ed. São Paulo: Sci-pione, 2006. Aconselho que você utilize os exemplares destinados à 7ª série (8º ano) e à 8ª série (9º ano) para ampliar seus conhecimentos.

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