Escola Superior de Educação de Santarém

A multiplicação e o ensino das tabuadas da multiplicação

Maria João Lagarto Maria de Lourdes Cangueiro

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A multiplicação e o ensino das tabuadas da multiplicação

…a multiplicação e divisão estão relacionadas com a adição e subtracção, mas no raciocínio multiplicativo existem novos significados para os números que devem ser apreendidos e novas espécies de relações representadas.

Matemática na educação básica

Muitos investigadores sugerem que sejam trabalhados, desde o 1.º ano, a par com os problemas aditivos e subtractivos, problemas multiplicativos e de divisão. Defendendo que uma forma de minimizar a dificuldade que os alunos sentem, especialmente, na aprendizagem da divisão é o facto de eles começarem, desde cedo, a resolver problemas relacionados com a divisão, e que os professores devem seleccionar problemas que sejam compreensíveis para as crianças e facilmente relacionáveis com o seu mundo real. São também neste sentido as recomendações feitas na Matemática na Educação Básica, onde muitas vezes se recomenda que os professores trabalhem as conexões entre as operações, as quais permitirão novas formas de «pensar».

Para se que se estabeleçam conexões entre as operações, estas não podem ser trabalhadas isoladamente mas em relação com outros conceitos, através de vários tipos de problemas com recurso a vários processos de resolução e simbologia.

Os professores devem, portanto, começar por trabalhar, logo no 1.º ano, problemas que envolvam o raciocínio multiplicativo. Problemas multiplicativos (de uma etapa) No raciocínio multiplicativo há sempre um invariante que não existe no raciocínio aditivo, por exemplo na situação “um triciclo tem 3 rodas, quantas rodas têm 6 triciclos”, há um invariante que é o número de rodas por triciclo.

A multiplicação serve para modelar diversos tipos de situações que diferem em termos do significado que as quantidades envolvidas na situação têm e na relação que se estabelece entre elas.

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1. Como a adição repetida de vários grupos iguais (sentido aditivo da multiplicação).

Corresponde à ideia de juntar conjuntos todos com o mesmo número de elementos. Portanto, neste tipo de situações as quantidades envolvidas são sempre quantidades discretas, ou seja, o número de elementos de um conjunto e o número de conjuntos considerados. Em muitas situações deste tipo existe uma palavra que implica o conjunto envolvido na situação, como «saco» ou «caixa», tal como nos exemplos seguintes.

• Durante o Halloween os meninos da sala do Marcos recolheram 6 sacos com doces. Cada saco tinha 9 doces. Quantos doces recolheram?

• Cada um dos 14 meninos da sala da professora Sara tem uma caixa de lápis de cor. Há 12 lápis em cada caixa. Quantos lápis de cor há na sala da professora Sara? (ver figura 1)

2. Como “relação” ou “preço”

Corresponde a um tipo de raciocínio em que há uma relação constante entre as quantidades envolvidas, tal como no caso anterior em que se falava do número de lápis por caixa e no exemplo seguinte em que se fala do preço por lápis; mas neste tipo de situações os números podem não corresponder a cardinais de conjuntos mas sim a valores contínuos, tal como o preço.

Fig. 1 – Adição repetida (grupos iguais)

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• O João comprou 6 lápis e cada um custou 40 cêntimos. Quanto é que ele pagou? (ver figura 2).

No exemplo seguinte as duas quantidades envolvidas na situação são variáveis contínuas – tempo e capacidade.

• Normalmente demoro 1 minuto a tomar banho de chuveiro e gasto 9 litros de água. Que quantidade de água gastaria se estivesse a tomar banho de chuveiro durante 5 minutos?

3. Como comparação multiplicativa.

Corresponde a um tipo de raciocínio multiplicativo em que está implícito um processo de replicação e não de junção, há uma comparação entre uma quantidade que é dada e outra que se pretende obter, como no exemplo seguinte, onde se estabelece uma comparação entre o número de golos marcados pelo Marco, 4 golos, e o número de golos marcados pelo Paulo.

• Num jogo de andebol o Paulo marcou três vezes mais golos do que o Marco. O Marco marcou 4 golos. Quantos golos marcou o Paulo?

• A Paula tem três vezes mais conchas que a Carla. A Carla tem 12 conchas. Quantas conchas tem a Paula? (ver figura 3)

Fig. 3 – Comparação multiplicativa

Fig. 2 - Preço

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Existem ainda outras duas situações que envolvem o raciocínio multiplicativo.

4. Como combinatória.

Corresponde a um tipo de raciocínio multiplicativo que envolve contar o número possível de combinações entre vários conjuntos, como na situação seguinte.

• Numa casa de gelados posso escolher um dos quatro sabores: limão, morango, chocolate ou nata. Também posso optar por um cone de bolacha ou de nougat. Quantos gelados diferentes de um só sabor posso escolher?

5. Como disposição rectangular

Corresponde a um tipo de situações que envolvem construir uma disposição rectangular, como nos exemplos seguintes.

• Um autocarro tem 12 filas. Cada fila tem 4 lugares. Quantos lugares há no autocarro?

• O meu quintal tem a forma de um rectângulo com 22 metros de largura e 33 metros de comprimento. Qual é a área do meu quintal?

Nos três primeiros tipos de raciocínio multiplicativo, um dos factores da multiplicação corresponde ao multiplicador (o número de grupos) e o outro factor ao número que estou a multiplicar – o multiplicando (o número de itens em cada grupo). Este tipo de problema designam-se por assimétricos, uma vez que o papel dos dois factores é absolutamente distinto e trocá-los resultaria num problema completamente diferente, embora com o mesmo resultado numérico, por exemplo, 3 CD’s custam 10 euros, cada um, é diferente de 10 CD’s custam 3 euros, cada um.

Nas duas últimas situações multiplicativas apresentadas, o papel dos factores pode ser alterado, não tem qualquer importância dentro do contexto da situação qual dos factores é o multiplicando, uma vez que um dos factores não depende do outro. Este tipo de problemas multiplicativos designa-se por problemas simétricos.

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Resolução de problemas verbais multiplicativos (de uma etapa)

A capacidade que as crianças têm de resolver os diferentes tipos de problemas multiplicativos depende do tipo de problemas. As crianças têm mais facilidade em resolver os problemas de adição repetida e de “preço”, do que os problemas de comparação multiplicativa. De acordo com vários autores, os problemas de combinatória são os mais difíceis para os alunos do 1.º ciclo e os problemas de comparação multiplicativa mais difíceis do que os de adição repetida ou os de “preço”.

Mulligan e Mitchelmore (1997) identificaram diversas estratégias intuitivas que as crianças, do 2.º e do 3.º ano de escolaridade, utilizam para resolver problemas multiplicativos. As estratégias, por estes, observadas não são muito diferentes das que as crianças utilizam em problemas aditivos e subtractivos:

• Contagem directa, através da modelação do problema. • Adição repetida, através de contagem ou cálculo aritmético. • Multiplicação como operação (tabuada).

A forma de modelar os problemas depende igualmente do tipo de problemas.

Para situações mais simples do tipo adição repetida, ou ”preço”, que possuem uma estrutura de agrupamento, os alunos podem modelar os problemas, com objectos ou desenhos, usando conjuntos de vários tipos (sacos, caixas, moedas, ...) consoante os contextos dos problemas. Tal como no problema seguinte.

• Quero pôr 3 bolachas em cada um dos 6 pratos. De quantas bolachas preciso?

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Os alunos poderão modelar este problema com bolachas e pratos de plástico ou desenhando, e contando o número de bolachas e, numa fase mais avançada, adicionando as 3 bolachas seis vezes.

Os problemas propostos devem ser significativos para as crianças, e nesse sentido Burns (1987) sugere, já que a multiplicação como adição repetida, modela essencialmente situações relativas a objectos agrupados, que as crianças façam uma listagem de objectos que apareçam em grupos de 2, 3, 4, até 12, e que elas ou o professor construam problemas a partir da lista elaborada pelos alunos. A seguir apresenta-se a lista, relativa aos números do 3 ao 6 elaborada por um dos alunos de Burns, do 3.º ano.

3 4 5 6

-Rodas do triciclo -Luzes do semáforo -Bolas de ténis numa caixa -Lados de um triângulo -Eva tem três letras

-Lados de um rectângulo e de um quadrado -Rodas de um carro -Pernas de um cão e de um gato -Pernas da cadeira

-Dedos das mãos -Olhos das aranhas

As situações que apresentam um contexto de estrutura rectangular podem começar por ser abordados visualmente, como no exemplo seguinte.

• Quantas bolachas coloquei no tabuleiro?

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Neste tipo de situações é natural que as crianças comecem por contar as bolachas que estão no tabuleiro., ainda antes de se aperceberem que poderão determinar, mais rapidamente, o número de bolachas, adicionando o número de bolachas em cada fila 6 + 6 +6 + 6 ou 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

Introdução simbólica da multiplicação

Tal como no caso da adição e da subtracção, só depois de os alunos resolverem vários problemas multiplicativos é que deve ser introduzida a sua simbologia. Quando os alunos resolvem diversos problemas multiplicativos, sem que tenha sido introduzido o símbolo da multiplicação é natural que muitos deles usem a adição repetida como forma de representar o que fizeram para resolver o problema. Só quando um grande número de alunos usar a adição repetida é que deve ser introduzido o símbolo da multiplicação e que o professor deve explicar o que significam os dois factores (Van de Walle, 2004).

Convenciona-se, mais por uma questão de linguagem, que ao escrevermos 4 × 8 estamos a indicar quatro grupos de oito objectos e não oito grupos de quatro, uma vez que dizemos 4 vezes 8 «objectos». Mas, tal convenção não é rígida, até porque a multiplicação é comutativa. O que é importante é que o aluno compreenda o que é que cada um dos factores da expressão significa. Também quando se coloca a operação «em pé», o factor debaixo representa, normalmente, o número de conjuntos, mas também aqui a distinção não é muito importante, e só faz mesmo sentido quando os problemas são assimétricos.

Ensino e Aprendizagem das tabuadas da multiplicação A aprendizagem da tabuada da multiplicação tem levantado bastante polémica. Há os defensores acérrimos do ensino da tabuada, como forma de desenvolver a memória, mas também há quem defenda a tabuada como estratégia de

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resolução de problemas. A questão é que a tabuada da multiplicação é parte integrante do programa, por isso, mais do que defendê-la ou a atacá-la, é necessário pensar como a ensinar!

Os professores, normalmente, levam os alunos a memorizar as tabuadas separadamente. Os alunos começam normalmente pelas tabuadas do dois, do dez e do cinco. As tabuadas da multiplicação por 2, 3, 4, 5 e 10, fazem parte do programa do 2.º ano enquanto que as da multiplicação por 6, 7, 8 e 9, do programa do 3.º ano. No entanto, podemo-nos questionar se faz sentido que as crianças as trabalhem separadamente. Além disso, no que respeita ao seu conteúdo, a tabuada é estritamente aprendida por ordem numérica, desde o “vezes um” (ou, por vezes, desde o “vezes zero”) até ao “vezes dez” e o que a maior parte dos professores tenta fazer é com que os alunos a memorizem, repetindo-a vezes sem conta!

Na melhor das hipóteses, o resultado final deste método de ensino poderá traduzir-se na aprendizagem, de facto, das tabuadas mais relevantes, e mais fáceis de memorizar, como as tabuadas da multiplicação por 2, por 5 e por 10. Vejamos o exemplo seguinte da falta de compreensão que um aluno revelada tabuada utilizando este processo de memorização.

A Rita já memorizou, por completo, as tabuadas da multiplicação por 1 até à multiplicação por 6. “Quanto é 3 x 7, Rita?” Rita: “Não sei. Ainda não demos a tabuada do sete.” “Mas consegues resolver 3 x 7?” Rita: “Sim. Como 7 + 7 e depois outros 7, que é 7 mais 14, que dá. 21.” “E podias ter usado a tabuada do 3, em vez da do 7?” “Não sei.” A partir deste exemplo, relatado no projecto TAL (Van den Heuvel-Panhuizen, 2001), parece ser óbvio que este método não se revela muito produtivo para a maioria dos alunos, principalmente, porque não lhes permite explorar algumas relações numéricas úteis e já memorizadas, tais como deduzir o resultado de 3 x 7 a partir do resultado de 7 x 3.

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O desenvolvimento de relações numéricas

O que se pretende é que os alunos aprendam progressivamente algumas das relações numéricas implícitas na multiplicação que vão aprendendo para que mais tarde estes modelos de apoio possam desaparecer por completo e, os alunos, passem a utilizar apenas o raciocínio e o cálculo a nível numérico, utilizando os produtos já conhecidos das tabuadas.

1. Propriedade comutativa

Algumas tabuadas são fáceis de memorizar; a tabuada do 2, por exemplo, não constitui grande problema. Mesmo que não se pratique a contagem de dois em dois, os alunos que tenham praticado os dobros sabem que, por exemplo, 8 + 8 = 16, e portanto, recordarão facilmente que 8 x 2 = 16.

Partamos do princípio que os alunos sabem de cor que 8 x 2 =16 é, então, necessário levar os alunos a estabelecer relações numéricas, e a compreender que 2 x 8 é igualmente 16, em vez de passar para a tabuada do três e assim sucessivamente.

Para o conseguir, uma das estratégia poderá ser os alunos resolverem problemas de adição repetida em que o número de conjuntos é o 2 e problemas em que o número de elementos do conjunto seja o 2, de forma a compreenderem que o resultado é o mesmo, tais como os exemplos seguinte.

• Duas aranhas quantas pernas têm? • Oito meninos quantas pernas têm?

Mais explícito, e eficiente, do que isso será os alunos resolverem problemas assimétricos como os de estrutura rectangular em que é indiferente a ordem dos factores, tal como o seguinte.

• Quantas.”quadradinhos” de chocolate há na tablete?

Neste caso tanto faz pensar que se tem 2 filas com 8 quadradinhos de chocolate cada (2 x 8) ou 8 filas (ou colunas) com 2 quadradinhos de chocolate

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(8 x 2), o que torna ainda mais evidente a propriedade comutativa da multiplicação. 2. Duplicações sucessivas

A tabuada da multiplicação por 2 pode servir como ponto de partida para a tabuada do 4 e do 8. Uma vez que 4 = 2 × 2 e 8 = 2 × 2 × 2, a tabuada do 4, obtém-se duplicando o produto do número por 2 ou seja, por exemplo,

4 × 7 = 2 × (2 × 7) = 2 × 14 = 28,

enquanto que a tabuada do 8 se obtém duplicando o produto do número por 4 (que é 2 x 2); assim, teremos 8 × 7 = 2 × 2 × (2 × 7) = 2 × (2 × 14) = 2 × 28 = 56. Ao dobrar este rectângulo obtém-se outro rectângulo que representa 2 x (2 x 7) ou 2 x 14 Ao dobrar este rectângulo obtém-se outro rectângulo que representa 2 x 2 x (2 x 7) ou 2 x 2 x 14 ou 2 x 28 O dobro de 2 x 14 2 x 2 x (2 x 7) ou 2 x (2 x 14) ou 2 x 28 = 56

2 2 x 7 = 14

7

14

O dobro de 2 x 7 2 x 14 = 28

2

28

2

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Este método, denominado por método das duplicações sucessivas foi utilizado no antigo Egipto. Era ainda utilizado na Idade Média, antes da introdução do sistema indo-árabe de notação. É ainda hoje utilizado nalgumas zonas da Rússia, para efectuar multiplicações.

Para levar os alunos a desenvolver esta estratégia multiplicativa, podem-se utilizar diversos contextos, mais ou menos reais, como é o caso das caixas de frutas, onde é pedido às crianças que determinem o número de maçãs, de limões e de ameixas.

(van Galen et al.,1995)

Embora nestas tarefas as crianças possam contar uma a uma as peças de frutas, a própria disposição das caixas, a pares, poderá levar os alunos, naturalmente, a duplicar o número de frutos de uma das caixas.

Deverão ser propostas outras tarefas nas quais as crianças não possam fazer essa contagem directa, como é o caso do contexto das cortinas, onde nem todos os objectos a contar estão disponíveis.

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(van Galen et al,1995)

Neste caso, nalgumas janelas uma das cortinas ou metade das cortinas não está corrida o que pode estimular, tal como refere Santos et al., o aparecimento da estratégia da duplicação, para contar os enfeites da cortina quando ela está corrida. Uma estratégia possível de contagem para os enfeites da cortina com os losangos poderá ser os alunos contarem as 4 filas de 3 losangos cada e duplicarem, surgindo assim a visualização e compreensão do que, em representação, seria 4 x 6 = 2 x (4 x 3) = 4 x 3 + 4 x 3, e a ideia implícita de que 4 x 6 pode ser calculado adicionando 4 x 3 com 4 x 3, ou duplicando 4 x 3.

3. Propriedade distributiva

As crianças podem deduzir sucessivamente os resultados da tabuada da multiplicação por 5 com o apoio de situações com uma estrutura rectangular, como nos exemplos seguintes, onde se pretende descobrir quantos mosaicos tem cada um dos pátios da figura.

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(van Galen et al.,1995)

No primeiro empedrado as crianças podem contar um a um os tijolos, ou num nível mais avançado podem contar por filas, adicionando o número de tijolos em cada fila (5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 x 5 = 25). Pode-se pedir, então; às crianças que determinem o número de tijolos do 2.º empedrado. As crianças poderão realizar esta tarefa utilizando várias estratégias. Podem completar o quadriculado e contar ou adicionar o número de tijolos em cada coluna (5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 6 x 5), ou em cada fila (6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 5 x 6), ou relacionar com o número de tijolos que tinham obtido no anterior, e compreenderem que para descobrir o número de tijolos do 2.º empedrado lhes basta adicionar uma coluna com 5 tijolos e que, portanto, o número tijolos deste é: 5 x 5 + 5 = 6 x 5 = 30. As crianças podem fazer o mesmo tipo de raciocínio para o caso do 3.º empedrado. Neste caso podem aperceber-se de que lhes basta adicionar duas colunas com 5 tijolos cada e, portanto, terão no total

1º

2º 3º

4º

5

5

1

5 x 5 1x5 (6 x 5 = 5 x 5 + 1 x 5)

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5 x 5 + 5 + 5 = 25 + 10 = 35, e poderão compreender que 5 x 5 + 5 + 5 = 5 x 5 + 2 x 5. Para o caso do último empedrado, as crianças poderão se aperceber que podem determinar o seu número tirando uma coluna ao primeiro e, portanto, este tem 5 x 5 – 5 = 25 – 5 = 20 tijolos, e poderão compreender a seguinte relação implícita neste cálculo: 5 x 5 – 5 = 5 x 4.

4. A utilização de tabuadas de referência e de estratégias de cálculo

Como já foi referido a tabuada da multiplicação por 2 é fácil de memorizar.

A tabuada da multiplicação por 10 também é simples de as crianças memorizarem.

A tabuada da multiplicação por 5 também não parece ser muito difícil para as crianças memorizarem, uma vez que facilmente descobrem que os múltiplos de 5 terminam, alternadamente em 0 e em 5.

Quando os alunos compreendem, mesmo que informalmente, as potencialidades da utilização da propriedade distributiva, o que poderá ser feito

5

5

2

(7 x 5 = 5 x 5 + 2 x 5)

2 x

5

5 x 5

(4 x 5 = 5 x 5 - 1 x 5)

4

5

1

5

4 x 5

1x

5

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através de tarefas semelhantes à tarefa do pátio, da propriedade comutativa e da estratégia das duplicações, poderão estabelecer relações entre os resultados das tabuadas mais simples com os mais complexos e desenvolver estratégias para os calcular.

Por exemplo, na tabuada do 6 os alunos podem aperceber-se que: 6 x 7 = 6 x 5 + 6 x 2 = 30 + 12 = 42, ou que 6 x 7 = 6 x 6 + 6 = 36 + 6 = 42, ou que 6 x 7 = 2 x 3 x 7 = 2 x 21 = 42…

Explicar oralmente (verbalizar) a estratégia que foi escolhida para chegar ao resultado e, se possível, por que foi escolhida contribui eficazmente para a compreensão das tabuadas.

Seguidamente, é apresentado um exemplo de como a tabuada do 8 pode ser construída e reproduzida, utilizando diferentes estratégias A tabuada da multiplicação do 8 1 x 8 conhecido 2 x 8 conhecido (através da adição de 8 + 8, do 1.º ano)

ou calculado através de 8 x 2 3 x 8 calculado através de 2 x 8 + 8 (“mais uma vez oito”) ou através de 8 x 3 4 x 8 o dobro de 2 x 8, ou 5 x 8 – 8 (“menos uma vez oito”) 5 x 8 metade de 10 x 8 = 80 ou através de 8 x 5 6 x 8 através de 5 x 8 + 8 (“mais uma vez oito”),

ou pela duplicação (2x 3 x 8) 7 x 8 através de 5 x 8 + 2 x 8 ou de 6 x 8 + 8 (“mais uma vez oito”) 8 x 8 de várias formas; rapidamente se torna conhecido 9 x 8 10 x 8 – 8 (“menos uma vez oito”) 10 x 8 conhecido 12 x 8 a investigar Muitos dos exemplos acima citados podem ser resolvidos através da utilização de outras tabuadas, com recurso à propriedade comutativa: 3 x 8 através de 8 x 3, caso este produto seja já conhecido; 4 x 8 através de 8 x 4 e por aí fora.

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O modelo rectangular reflecte diversas relações numéricas subjacentes à multiplicação e por este motivo, de acordo com o projecto TAL (Van den Heuvel-Panhuizen, 2001) deveria começar-se com situações deste tipo de contexto, em detrimento de outro tipo de problemas.

(van Galen et al,1995)

Regularidades nas tabuadas

Procurar regularidades nas tabuadas, é um bom exemplo de uma investigação matemática, e por outro lado, poderá levar os alunos a formularem conjecturas interessantes que os podem ajudar na própria memorização das tabuadas da multiplicação, ou pelo menos, na detecção de erros ao dizerem as tabuadas. Por exemplo, a criança poderá descobrir que ao multiplicar qualquer número por um número par, obtém, sempre, um número par, e que ao multiplicar dois números ímpares obtém, sempre, um número ímpar.

Tarefa aula

I) Escreve os 20 primeiros múltiplos de 5, já sabes que o algarismo das unidades termina sempre, alternadamente, em 0 e 5. Tente agora descobrir algum tipo de regularidades para o algarismo das dezenas.

II) Constrói a tabuada do 9. O que encontra de curioso nesta tabuada. Formula algumas conjecturas.

III) Escolhe os múltiplos de um dos seguintes números: 4, 6, 7, 8, 11 ou 12.

Investiga as regularidades dos múltiplos do número que escolheste, e escreve as tuas descobertas.

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Automatização das tabuadas

Este tipo de estratégias de ensino da tabuada promovem a sua compreensão, os alunos podem deduzir resultados a partir de outros mais simples, mas não desenvolvem nem a memorização, nem a rapidez de cálculo. Para Kamii e Anderson (2003), os alunos devem compreender a multiplicação mas também desenvolver a rapidez de cálculo e, para isso, propõem que em vez de os alunos responderem a diversas questões repetitivas de manuais escolares, desenvolvam a memorização da tabuada através de jogos. Sintetizando

O que foi exposto prende-se com a compreensão e construção das tabuadas da multiplicação. As tarefas apresentadas mobilizam, essencialmente, o sentido do número, da multiplicação e das suas propriedades através do raciocínio. No entanto a aprendizagem das tabuadas da multiplicação exige outra actividade – a automatização. Podemos visualizar um rectângulo de 3 por 4 e ver, rapidamente, que 3 x 4 = 12, mas não podemos visualizar com rapidez um rectângulo de 7 por 8. Teríamos que saber, por exemplo, que 7 x 7 = 49 e que 49 + 7 = 56. No entanto a eficiência de cálculo não se compadece com a “demora” desta actividade, exige saber automaticamente que 7 x 8 = 56. Não há bom cálculo, mental ou escrito, nem boas estimativas sem esse automatismo. A automatização das tabuadas é uma actividade que mobiliza a sua compreensão através da memória. Memorizar as tabuadas após terem sido compreendidas é uma actividade que conduz à sua automatização e interiorização e, consequentemente, à sua aprendizagem.

Jogo – Bingo da multiplicação

Material: um cartão para cada um dos alunos. Regras O professor lê, lentamente e em voz alta, alguns problemas de multiplicação: 6 x 8, 4 x 5, 9 x 3, 7 x 6, 8 x 8, .... Se a solução se encontrar no cartão, o aluno risca o número em causa. Quem conseguir assinalar todos os números contidos no cartão, grita “Bingo!” e é o primeiro a fazê- -lo que vence.

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Referências bibliográficas Burns, M. (1987). A Collection of Math Lessons. White Plains, New York Kamii, C., e Anderson, C. (2003). Multiplication games: How we made and used them.

Teaching Children Mathematics, 10(3), 135-141. Mulligan, J., e Mitchelmore, M. (1997). Young children’s intuitive models of multiplication and

division. Journal for Research in Mathematics Education, 28(3), 309-330. Santos, E., Menino, H., Rocha, I., Botas, P. e Lucas, T. (2005). Estratégias de multiplicação –

uma experiência curricular de desenvolvimento do sentido do número. Educação e Matemática, 85, 3-6.

Van den Heuvel-Panhuizen (Ed.), M. (2001). Children learn mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute, Utrecht University/SLO.

Van de Walle, J. (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally.Boston: Allyn and Bacon.

Van Galen, F.; Gravemeijer, K.; Kraemer, J. M.; Meeuwisse, T.; Vermeulen, W. (Eds.) (1995). Rekenen en Wiskunde. Utrecht, The Netherlands: Uitgeverij Bekadidact