O Telecurso 2000Telecurso 2000 uma proposta de educao a distncia para dar atendimento, prioritariamente prioritariamente, a jovens e adultos que desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade at o nvel de 2 Grau, bem como adquirir competncias bsicas para o exerccio de uma profisso. No Telecurso 2000, o participante tem a oportunidade de adquirir conhecimentos gerais correspondentes ao ensino de 3 8 sries do 1 Grau, s trs sries do 2 Grau e, ainda, conhecimentos especficos relativos aos Cursos Profissionalizantes. Constitui-se, tambm, numa possibilidade de reciclagem para os professores e num reforo aprendizagem dos participantes de modo geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de educao.

O

Quais so as disciplinasNo Telecurso 2000, as disciplinas curriculares apresentam esta estrutura:1 FASE 2 FASE 3 FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 1GRAU

-

LNGUA PORTUGUESA, MATEMTICA E HISTRIA LNGUA PORTUGUESA, MATEMTICA E CINCIAS INGLS, MATEMTICA, CINCIAS E GEOGRAFIA

2

GRAU

LNGUA PORTUGUESA, MATEMTICA, FSICA E BIOLOGIA LNGUA PORTUGUESA, MATEMTICA, FSICA E QUMICA QUMICA, HISTRIA, INGLS E GEOGRAFIA CURSOS PROFISSIONALIZANTES UNIVERSO MECNICO, ORGANIZAO DO TRABALHO, NORMALIZAO, MATERIAIS, LEITURA E INTERPRETAO DE DESENHO MECNICO, ELEMENTOS DE MQUINAS, CLCULO TCNICO LEITURA E INTERPRETAO DE DESENHO MECNICO, METROLOGIA, HIGIENE E SEGURANA DO TRABALHO, QUALIDADE, PROCESSOS DE FABRICAO, ENSAIOS DE MATERIAIS QUALIDADE AMBIENTAL, TRATAMENTO TRMICO, MANUTENO, PROCESSOS DE FABRICAO, TRATAMENTO DE SUPERFCIES, AUTOMATIZAO/ AUTOMAO

Cada fase tem a durao mdia de seis meses. O participante pode iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade, para seus interesses e para suas necessidades.

Recursos de aprendizagemO Telecurso 2000 combina o uso de programas de TV (teleaulas) com materiais impressos prprios, referentes a cada disciplina, permitindo - alm da aprendizagem dos contedos - a construo de novos conhecimentos e sua aplicao. - Cada aula na TV tem durao de 15 minutos. - Nos livros do Telecurso, o participante estuda, pesquisa e realiza exerccios. - importante o uso de dicionrios e de diferentes materiais de leitura: jornais, revistas, livros, entre outros, que enriqueam a aprendizagem.

Como participarO Telecurso 2000 aberto a todos os interessados, e o participante pode trabalhar de vrias formas, escolhendo a alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste sua possibilidade de participao. Alternativa 1 Freqentando a telessala instalada numa instituio privada ou pblica. Neste caso, o participante: q faz sua inscrio; q freqenta o curso no local e nos horrios estipulados pela instituio. Trata-se da recepo organizada organizada, na qual os alunos se renem com a presena do Orientador de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo. Alternativa 2 Assistindo s teleaulas, sozinho ou em pequenos grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV disponvel: em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e at no trabalho, sem necessitar da presena do Orientador de Aprendizagem durante a veiculao dos programas. Essa alternativa atende aos que tm dificuldade de freqentar diariamente uma sala de aula. Neste caso, o participante: q faz sua inscrio num centro controlador; q freqenta o curso pelo menos uma vez por semana. Trata-se da recepo controlada controlada, com a presena do Orientador de Aprendizagem para tirar dvidas, orientar, analisar exerccios, trocar idias, fornecer leituras suplementares e avaliar o desempenho do aluno. Alternativa 3 Assistindo s teleaulas em qualquer lugar, sem nenhuma orientao anterior ou posterior e, portanto, sem freqentar a telessala ou o centro controlador. Trata-se da recepo livre ou isolada isolada, destinada aos participantes que tenham total impossibilidade de freqentar uma telessala ou centro controlador.

Como obter certificado de conclusoO participante poder prestar os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas Estado. Secretarias de Educao de cada Estado Os procedimentos so os seguintes: q informar-se sobre datas de inscrio, local e documentos necessrios; q inscrever-se; q prestar os exames das matrias que desejar, no necessitando aguardar a concluso de todo o telecurso; q pedir, no local em que realizou as provas, o atestado da matria em que foi aprovado - quem aprovado em determinada matria no precisa mais prestar exame dessa disciplina; q solicitar Secretaria de Educao o certificado de concluso concluso, quando tiver sido aprovado em todas as matrias do currculo do Telecurso 2000.

A A UA U L LA

1 1

Recordando operaesV

Introduo

amos iniciar nosso curso de matemtica do 2 grau recordando as quatro operaes:l

adio subtrao multiplicao diviso

l

l

l

Vamos lembrar como essas operaes so feitas e, principalmente, quando devemos utiliz-las na soluo de um problema. Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez bom em matemtica. engano! Fazer contas rapidamente uma habilidade que se adquire com a prtica. Muito mais importante que fazer contas com rapidez descobrir quais so as operaes que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemtica, o mais importante o raciocnio . Para comear, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais so as contas que devem ser feitas.l

Um motorista de txi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia seguinte. No total, quanto ele andou nesses dois dias?

l

Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de R$50,00. De quanto foi o troco?

l

Uma caixa de leite tipo longa vida possui 16 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas?

l

Devo repartir 24 balas igualmente entre meus trs filhos. Quantas balas deve receber cada um?

Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas nmeros inteiros. Eles so os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3, ... e tambm os negativos - 1, - 2, - 3, ... .

Nossa A U L aula A

A adioPodemos pensar na operao de adio quando queremos juntar as coisas que esto separadas. EXEMPLO 1 Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola? Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A operao que devemos fazer : 27 + 31 + 18 = 76 Existem, portanto, 76 alunos nessa escola. Cada um dos nmeros de uma soma chama-se parcela . Na operao de adio, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27 + 31 tambm d 76 76. Devemos ainda lembrar que nmeros negativos tambm podem ser soma17. Para escrever essa operao dos. Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 d - 17 fazemos assim: - 12 + (- 5) = - 17 Observe que colocamos - 5 entre parnteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operao. Veja: - 12 - 5 = - 17

1

A subtraoPodemos pensar na operao de subtrao quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo. EXEMPLO 2 Uma secretria recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondncia. At a hora do almoo, ela j tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer? Temos aqui um exemplo claro de operao de subtrao. A operao que devemos fazer : 90 - 52 = 38

Assim, depois do almoo, a secretria dever preparar ainda 38 envelopes envelopes.

A U L A

1

Observe agora que, em uma subtrao, quando o segundo nmero maior que o primeiro, o resultado negativo. Veja: 9 -5 = 4 5-9 =-4 Para visualizar as operaes de adio e subtrao, representamos os nmeros inteiros como pontos de uma reta.-5 +5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Na operao 9 + 5 = 14 14, partimos do nmero 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao nmero 14. Na operao 9 - 5 = 4 4, partimos do nmero 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao nmero 4.-9 +9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Na operao 5 + 9 = 14 14, partimos do nmero 5, andamos 9 unidades para a direita e chegamos ao nmero 14. Na operao 5 - 9 = - 4 4, partimos do nmero 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao nmero - 4.

Para resumir, as regras so as seguintes:l l

Escrever 5 ou + 5 a mesma coisa. Quando sinais de nmeros e sinais de operaes aparecerem juntos, ento: (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+)

Por exemplo: 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 5 + (+ 3) = 5 - 3 = 2 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8

Veja, a seguir, como devemos proceder numa situao em que h soma e subtrao de diversos nmeros.

EXEMPLO 3 Joo abriu uma conta bancria. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:DIA SALDO INICIAL DEPSITO RETIRADA

A U L A

1

10 10 12 15 18 21

00,00 53,00 25,00 65,00 30,00 18,00

Qual ser o saldo de Joo aps essas operaes? Vamos representar os depsitos por nmeros positivos e as retiradas por nmeros negativos. Devemos ento fazer a seguinte conta: 53 - 25 + 65 - 30 - 18 O resultado dessa operao ser a quantia que Joo ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse clculo somar os nmeros positivos (os depsitos), somar os nmeros negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim: 0 53 - 25 + 65 - 30 - 18 = = (53 + 65) - (25 + 30 + 18) = = 118 - 73 = = 45 Portanto, Joo ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancria.

A multiplicaoA multiplicao nada mais que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 = 35 O nmero 7 apareceu 5 vezes. Ento, 7 vezes 5 d 35. Da mesma forma: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 = 35 Agora, o nmero 5 apareceu 7 vezes. Ento 5 vezes 7 d 35. Voc j sabe que, em uma multiplicao cada nmero chama-se fator. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicao.

A U L A

1

1. Na multiplicao, a ordem dos fatores no altera o resultado. Por isso: 57=7 5 2. Quando temos vrias multiplicaes seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo: 2 3 5 = (2 3) 5 = 6 5 = 30 2 3 5 = 2 (3 5) = 2 15 = 30 2 3 5 = (2 5) 3 = 10 3 = 30 3. Quando um nmero multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo: 2 (3 + 4 + 5) = 2 12 = 24 Ou, ainda: 2 (3 + 4 + 5) = 2 3 + 2 4 + 2 5 = 6 + 8 + 10 = 24 Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicaes com nmeros negativos. As regras so as seguintes: (+) ( -) = ( -) ( -) (+) = ( -) ( -) ( -) = (+) Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.l

Para calcular 4 (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3. Da: 4 (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3) 4 (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3 4 (- 3) = - 12 Para entender que o produto de dois nmeros negativos positivo vamos lembrar que o produto de qualquer nmero por zero d zero. Portanto: (- 3) 0 = 0 Vamos ento escrever essa igualdade assim: (- 3) (- 2 + 2) = 0

l

a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicao, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja: ( - 3) ( - 2) + (- 3) 2 = 0

Ora, sabemos que (- 3) 2 d - 6. Logo, devemos ter (- 3) (- 2) = 6 para que a soma seja zero.

{ {? -6

A divisoPodemos pensar na diviso quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um nmero cabe no outro.

A U L A

1

EXEMPLO 4 Desejamos colocar 80 lpis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo nmero de lpis. Quantos lpis devemos pr em cada caixa? A resposta fcil. Basta dividir 80 por 5. 80 5 = 16 Logo, cada caixa deve conter 16 lpis. No exemplo que acabamos de ver, a diviso foi exata ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lpis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que aconteceria, entretanto, se tivssemos 82 lpis para pr nas 5 caixas? resposta fcil. Cada caixa continuaria com 16 lpis, mas sobrariam 2. Veja a operao:

dividendo

082 5 -5 16 032 0-30 02

divisor quociente

resto

Na operao acima, 82 o dividendo , 5 o divisor , 16 o quociente e 2 o resto . Esses quatro nmeros se relacionam da seguinte forma: 82 = 5 16 + 2 (dividendo) = (divisor) (quociente) + (resto)

Ateno! O resto sempre positivo e menor que o divisor.

Ao fazer uma diviso, estaremos sempre encontrando dois novos nmeros: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operao em um problema.

A U L A

EXEMPLO 5 Certo elevador pode transportar no mximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador dever fazer para transportar todas essas pessoas? Devemos dividir 46 por 6. Observe a operao: _ 46 - 42 0_.4 6 7

1

O quociente igual a 7 indica que o elevador far 7 viagens com lotao completa. Mas o resto igual a 4 indica que sobraro ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador dever fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador far 8 viagens para transportar todas as pessoas.

Exerccios

Exerccio 1 Efetue as operaes indicadas: a) 37 + 43 = b) 55 - 18 = c) 18 - 55 = d) 12 + (- 7) = e) 12 - (- 7) = f) - 9 - 6 = g) - 9 + (- 6) = h) - 9 - (- 6 ) = i) 13 7 = j) (- 8) 9 = l) (7 - 3) 4 = m) (3 - 8) (- 4) = Exerccio 2 Efetue as operaes indicadas. Lembre que, se vrias operaes aparecem em uma mesma expresso, as multiplicaes e divises so feitas primeiro e depois as somas e subtraes. a) 4 + 2 3 = b) 20 - 3 + 12 - 30 6 = c) 13 112 - 11 10 = Exerccio 3 Um revendedor entrou numa confeco e fez a seguinte compra.MERCADORIA QUANTIDADE PREO UNITRIO

(R$)

camisetas camisas bermudas calas

30 15 25 20

06 12 09 18

Quanto ele pagou por essa compra?

Exerccio 4 Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais uma gratificao de R$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quanto esse trabalhador dever ter recebido aps 4 semanas?

A U L A

1

Exerccio 5 Descubra que nmeros esto faltando nas operaes abaixo: a) 12 ........ =180 b) ........ 8 5 26 c) 148 = 6 ........ + 4 Exerccio 6 Certo automvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o proprietrio colocou no tanque 30 litros de gasolina. Esse combustvel ser suficiente?

Exerccio 7 Em uma festa, as mesas do salo so quadradas e acomodam, no mximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas sero necessrias?

Exerccio 8 Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados?

Exerccio 9 Joo tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e deseja cerc-lo com uma cerca de arame com 5 fios.

Quantos metros de arame ele dever comprar?

A A UA U L LA

2 2

Fraes e nmeros decimaisnicialmente, as fraes so apresentadas como 2 partes de um todo. Por exemplo, teremos 5 de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos duas dessas partes. Entretanto, se substituir2 mos o bolo por uma unidade qualquer, a frao 5 um nmero e, como tal, possui seu lugar na reta numrica. Para fazer a marcao na reta numrica, dividimos a unidade em 5 partes e tomamos duas0 2 5 1 2

Introduo

I

Por outro lado, a frao tambm o resultado da diviso de dois nmeros; 2 por exemplo, a frao 5 , que o resultado da diviso de 2 por 5. Observe o desenho a seguir:2 5 2 5 2 52

2 5

2 5

Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais.

Nossa aula

Nesta aula vamos estudar as fraes, suas propriedades e a forma de represent-las por nmeros decimais.

A diviso prolongadaImagine que R$25,00 devam ser divididos igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma dever receber? Sabemos que 25 no mltiplo de 4, e portanto, a quantia que cada um deve receber no ser um nmero inteiro. Para isso existem os centavos. Vamos ento lembrar como fazemos a diviso de 25 por 4. // 25 4 //25 - 24 6 0. l 0.l

At agora, nossa conta indica que cada pessoa receber 6 reais; mas existe ainda um resto de 1 real. Para continuar, acrescente um zero ao resto e uma vrgula ao quociente. 25 4 -.25 - 24 6,25 - 10 - -8 --20 -- 20 --0 O resultado da diviso de 25 por 4 6,25 ou seja, cada pessoa receber 6 reais e 25 centavos. Utilizando uma frao para indicar a diviso, podemos representar a operao que fizemos da seguinte forma: 25 = 6,25 4 Todas as fraes podem ser representadas por nmeros decimais. Basta dividir o numerador pelo dominador prolongando a operao. A mquina de calcular faz muito bem esse trabalho. Observe os exemplos.

A U L A

2

25 4

2

5

4

=

126 15

1

2

6

1

5

=

2 3

2

3

=

O que aconteceu no ltimo exemplo? 2 A representao decimal da frao 3 tem infinitas casas decimais, ou seja, a quantidade de algarismos no acaba nunca. Esses nmeros decimais que possuem algarismos (ou grupos de algarismos) que se repetem eternamente so as dzimas peridicas . As dzimas peridicas so incmodas. Com elas, em geral no conseguimos fazer contas de somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Por isso, preferimos representar esses nmeros na forma de fraes. Vamos ento recordar as operaes com fraes.

A U L A

Fraes iguais:Sabemos que a frao 2 igual ao nmero decimal 0,5. Entretanto, as 2 3 4 fraes 4 , 6 , 8 , ... so tambm iguais a 0,5. Temos aqui um primeiro exemplo de fraes iguais:1

2

1 2 3 4 = = = = ... 2 4 6 8Como fazemos para obter fraes iguais? A propriedade que enunciamos a seguir responde a essa pergunta.

Uma frao no se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerado e o denominador pelo mesmo nmero.Observe os exemplos:

1 17 7 = = 2 2 7 14 2 23 6 = = 5 5 3 15 12 12 4 3 = = 32 32 4 8 50 50 10 5 = = 60 60 + 10 6Os dois ltimos exemplos so importantes porque mostram como simplifi12 car fraes. Se em algum problema aparece a frao 32 , podemos, em seu lu3 gar, usar a frao 8 , que representa o mesmo nmero e mais simples. A propriedade que vimos fundamental para as operaes de adio e subtrao de fraes.

Operaes com fraesSabemos que muito fcil somar ou subtrair fraes que tenham o mesmo denominador. Neste caso, basta somar ou subtrair os numeradores. Assim:

3 4 3+4 7 + = = 10 10 10 10Observe outro exemplo e a simplificao do resultado.

3 7 3 + 7 10 5 + = = = 8 8 8 8 4

Como faremos, ento, para somar ou subtrair fraes com denominadores diferentes? No difcil. Vamos tentar representar as fraes dadas por outras, iguais s que temos, mas com denominadores iguais. o que veremos a seguir. Adio e subtrao de fraes Tomemos como exemplo, a soma 4 + 6 . Os denominadores so diferentes. Ento, buscamos um nmero que seja mltiplo de ambos. Encontramos 12, que mltiplo de 4 e tambm de 6. Vamos ento representar as duas fraes dadas com esse mesmo denominador. Observe:1 1

A U L A

2

1 13 3 = = 4 4 3 12 1 12 2 = = 6 6 2 12Ento,

1 1 3 2 3+2 5 + = + = = 4 6 12 12 12 12Acabamos de somar duas fraes com denominadores diferentes. A subtrao feita da mesma forma. Devemos tambm igualar os denominadores. 4 3 Consideremos ento a diferena 5 - 8 . Qual ser o novo denominador que devemos escolher? Pense um pouco e observe a soluo.

4 4 8 32 = = 5 5 8 40 3 3 5 15 = = 8 8 5 40Ento,

4 3 32 15 17 - = = 5 8 40 40 40Multiplicao de fraes Se na soluo de algum problema devemos calcular, por exemplo a tera parte de dois quintos , estamos frente a uma situao em que devemos multiplicar duas fraes. A regra a seguinte:

Para multiplicar duas fraes, multiplique os numeradores e os denominadoresAssim:

1 2 12 2 = = 3 5 3 5 15

A U L A

O inverso de um nmero O inverso de um nmero um outro que, multiplicado pelo primeiro, d 1. Por exemplo: o inverso de o inverso de 23 5 1 2 5 3

2

porque porque

23 5

1 2 5 3

= =

2 2

=1 =1

15 15

O zero o nico nmero que no possui inverso . Observe agora a igualdade abaixo:2 3

=2

1 3

Ela est correta, claro. Mas, o que est mostrando? Que, do lado esquerdo, estamos dividindo 2 por 3 e, do lado direito, estamos multiplicando 2 pelo inverso de 3. Isso vale para qualquer nmero. A regra a seguinte.

Dividir um nmero por outro o mesmo que multiplicar esse nmero pelo inverso do outro.Por exemplo, quanto d a soluo.4 5

divididos por 3 ? Pense um pouco e acompanhe

2

4 2 4 3 12 6 = = = 5 3 5 2 10 5As porcentagens Uma porcentagem uma frao de denominador 100. Por exemplo, 32% 32 igual frao 100 que tambm igual ao nmero decimal 0,32 0,32. Quando queremos calcular uma porcentagem de algum valor, multiplicamos a frao por esse valor. Veja: 32% de 650 laranjas = 0,32 650 = 208 laranjas 08% de R$140,00 = 0,08 140 = R$11,20 O que fazer para transformar uma frao qualquer em uma porcentagem? Se o denominador s possui mltiplos de 2 e de 5, fcil encontrar uma frao equivalente com denominador 100. Por exemplo:

2 2 20 40 = = = 40% 5 5 20 100Mas como faramos com a frao 7 ? O mais prtico, em qualquer caso, usar a mquina para dividir o numerador pelo denominador e depois deslocar a vrgula duas casas para a direita. Observe os exemplos:4

8 25 5 8 4 7

= 8 25 = 0,32 = 32% = 5 8 = 0,625 = 62,5% = 4 7 @ 0,5714 = 57,14%

A U L A

2

Repare que nesse ltimo exemplo fizemos uma aproximao. Na prtica, usamos duas ou, no mximo, trs casas decimais em nossas aproximaes.

Exerccio 1 Simplifique as fraes abaixo. Exemplo:

18 18 2 9 93 3 = = = = 42 42 2 21 21 3 7a)

20 32 24 36

c)

320 400 10 100

b)

d)

Exerccio 2 Complete os espaos abaixo com os sinais de < (menor), > (maior) ou = (igual). Exemplo: 2 .... 5 3 8 Soluo:

Exerccios

2 2 8 16 = = 3 3 8 24 5 5 3 15 = = 8 8 3 24a)

}c) d)

16 15 2 5 > > 24 24 3 8

5 .... 3 8 5 2 .... 5 3 9

5 .... 23 6 24 8 .... 20 10 25

b)

Exerccio 3 Efetue: a)

3 1 + 8 6 3 4 10 15

c)

1 1 4 6 1 1 1 + + 2 3 5

b)

d)

A U L A

2

Exerccio 4 Efetue: a)

2 3 5 7 2 3 5 3 4 3

c)

2 3 5 7

b)

1+ d)

2 7 4 2

Exerccio 5 Calcule as porcentagens: a) 10% de 120 b) 24% de 500 c) 5% de 60 d) 12,5% de 72 Exerccio 6 Transforme as fraes em nmeros decimais aproximados. D as respostas com duas decimais. Entretanto, observe a terceira casa decimal. Se ela for menor que 5, mantenha o valor da segunda casa. Se ela for maior ou igual a 5, aumente de uma unidade a segunda casa. Exemplo:

1 = 0,142... @ 0,14 7 26 = 1,368... @ 1,36 19a)

2 3 3 7

c)

4 11 29 13

b)

d)

Exerccio 7 Escreva as fraes abaixo como porcentagens. No d respostas com mais de duas decimais. Aproxime se necessrio: a)

1 8 5 6 7 40

b)

c)

A L AL AUU

3 3

A

amos falar um pouco sobre a aritmtica , a geometria ... e a lgebra . Elas so reas importantes da matemtica. Cada uma delas inventa seus objetos de estudo e mtodos de resolver problemas, e todas tm aplicaes significativas em nosso cotidiano. Como voc deve se lembrar, de seus estudos no curso do 1 grau, a aritmtica estuda os nmeros - especialmente os nmeros inteiros e os fracionrios. Quanto geometria, seus objetos de estudo so as figuras geomtricas - como o tringulo, o quadrado, o crculo, a esfera etc. Os conhecimentos de aritmtica e de geometria surgiram possivelmente h mais de quatro milnios. Pelo que est registrado nos achados da arqueologia a cincia que estuda o nosso passado - devemos muitos aos babilnios e aos egpcios e, finalmente, aos gregos. Estes ltimos foram os responsveis pelo surgimento do pensamento cientfico e nos deixaram os trabalhos de Tales, de Pitgoras e, mais tarde, de Euclides. (Euclides, por volta de 300 a.C., formalizou praticamente todo o conhecimento matemtico de seu tempo em sua obra Os Elementos.)

V

Introduo

E a lgebra?A lgebra j bem mais recente. Considera-se que tenha surgido na ndia, nos primeiros sculos deste milnio. De l passou aos rabes. Nosso Sistema de numerao chamado indo-arbico devido a esses povos. E com os rabes, que lhe deram o nome, a lgebra penetrou na Europa, onde desenvolveu-se extraordinariamente a partir do sculo XVI. Da Europa, esta rea da matemtica que continua crescendo, chegou s Amricas e at ns, neste Brasil do limiar do terceiro milnio. A matemtica deve o que no apenas genialidade de homens e mulheres como Tales, Pitgoras, Hiptia (uma matemtica grega), Newton, Gauss etc., mas tambm aos talentos incgnitos que em instantes magnficos criaram e continuaro criando a matemtica. Quem teria inventado o zero? E as noes de ponto e de reta? E os nossos algarismos? Jamais saberemos responder. S sabemos que o conhecimento se espalha, como comum na natureza: cada nova planta que brota traz esperana de muitas outras plantas que brotaro. Sendo assim, aqui vo nossas sementes algbricas! E que voc as multiplique - o nosso desejo.

Nossa A U aula L A

3

Para comear esta aula, pense no seguinte problema: uma mulher de 25 anos casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Qual a soma das idades desse casal? Pense e responda. No difcil responder. O marido tem: 25 + 7 = 32 anos Portanto, a soma das idades do casal : 25 + 32 = 57 anos

Agora vamos ver outro problema semelhante: o marido de certa mulher 7 anos mais velho que ela. Quando nasce a primeira criana do casal, as idades dos dois somam 70 anos. Qual a idade da mulher? Podemos perceber que essa resposta no vir to facilmente quanto a do problema anterior. interessante, por isso, que voc pegue papel e lpis, e tente responder pergunta. Ser isso o que tambm faremos na prxima aula, quando mostraremos que alguns problemas tanto podem ser resolvidos pelo raciocnio aritmtico quanto pelo algbrico. Agora, queremos mostrar-lhe como resolver este problema pela lgebra, pois cremos que voc saber reconhecer o valor dessa nova forma de raciocnio.

O nascimento do xPara resolver esse problema, poderamos pensar assim: j que no sabemos a idade da mulher, ns escrevemos ? em seu lugar. Com isso, podemos escrever o que sabemos do problema: que a soma das idades da mulher e de seu marido 79. Assim: ? idade da mulher Continuando, encontraremos: ? + ? + 7 2? ? ? = = = = 79 72 72 2 36 + ( ? + 7 ) = 79 idade do marido

{

Portanto, a idade da mulher 36 anos. Para conferir, basta ver qual a idade do marido e qual a soma das idades. No fcil? Pois esta a essncia do chamado raciocnio algbrico - e daqui a pouco ns o recordaremos para voc. Por enquanto, repare que o raciocnio exatamente igual ao de uma outra pessoa que, no lugar de ? , usasse um outro smbolo qualquer para representar um nmero.

{

Por exemplo, algum poderia pensar assim: Como no sei a idade procurada, deixo um espao para ela dentro deste quadradinho, e ento escrevo o que sei. Ficaria assim: + ( + 7 ) = 79

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Resolvendo esta equao (que como chamamos em lgebra o procedimento de encontrar o nmero procurado), chegamos a:

= 36 36, como antes.

Ou seja, o smbolo que cada pessoa escolhe para ajud-la a resolver o problema no importante. Observe que o raciocnio o mesmo. Sendo assim, podemos usar qualquer smbolo (lembre-se disso, pois s vezes os smbolos escolhidos podem ajudar bastante na resoluo de problemas que encontramos na vida - e at nos motivar mais a enfrentar esses problemas). x para designar o nmero que comum, em Matemtica, usarmos a letra x estamos procurando - a incgnita , como se diz. Tambm em outras cincias e x tem sido usada para designar algo desconhecido na literatura em geral a letra x ou misterioso. raio x Como exemplos, temos: o raio x, que assim foi chamado porque descofaculdade x nhecia-se o que ele era; uma certa faculdade x, relacionada com o desenvolvimento da conscincia do homem (segundo o escritor britnico Colin Wilson); x, personagem misterioso de algum romance ou novela etc. o cavalheiro x No caso do problema anterior, ento, sua equao fica assim, usando x : x + ( x + 7) = 79 Compare com as outras duas formas de escrev-la. No a mesma coisa? E resolvendo a equao, obtemos x = 36 para a idade da mulher, como antes. Seguindo a tradio matemtica, tambm adotaremos o x quando o smbolo for indiferente.

Resumindo o raciocnio algbrico: outro problemaJoo avalia que, de sua caixa dgua de 1000 litros, restavam apenas uns 100 litros. Para ench-la de novo precisou fazer 45 viagens carregando uma lata cheia dgua. Qual a capacidade aproximada da lata? E quanto pesava a gua na lata? As etapas importante do nosso raciocnio acima so as seguintes. Procure compreender a idia geral do raciocnio: como vimos, ele fruto do bom senso. ETAPA 1 - Dando nome aos bois O que precisamos saber para resolver o problema: isto ser x . Neste exemplo, x = capacidade da lata. Em seguida, usamos x para escrever o que sabemos; quer dizer, montamos a equao do problema.

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ETAPA 2 - Montando a equao Basta interpretar o que est escrito na nossa linguagem comum em termos matemticos. Ou seja, escrever a equao. Reveja como fazemos: Capacidade da lata = x Capacidade de 45 latas = 45x O que sabemos: 45x + 100 = 1000 (litros)

3

ETAPA 3 - Resolvendo a equao Esta etapa mais automtica: so as regras do clculo. Aqui: 45x + 100 = 1000 45x = 900 x = 900 45 x = 20 (litros) E a lata pesa 20 kg, pois 1 litro de gua pesa 1 kg. No estamos considerando o peso da lata vazia, neste problema.

ETAPA 4 - Conferindo o resultado Tudo isso?, algum poderia perguntar, espantado com o peso carregado por Joo em tantas viagens. Para no termos dvida de que chegamos ao resultado certo, checamos se o nmero encontrado satisfaz de fato o que sabemos dos dados do problema. Quer dizer, se x for mesmo igual a 20, ento deveremos ter 45x + 100 = 1000. Vejamos: 45 (20) + 100 = 900 + 100 = 1000 (Confere !) x

So s estas etapas? No. preciso ter o cuidado final de verificar se j respondemos pergunta do problema.

ETAPA 5 - Respondendo o que foi perguntado Por exemplo, poderia ter sido perguntado no quanto era a capacidade da lata, mas sim qual o seu peso em gua. (A resposta no seria, claro, 20 litros!) Ou seja: para completar a soluo, voc tem de responder exatamente o que o problema pede.

Foi uma boa aula. Concorda? O raciocnio algbrico mesmo muito til, poderoso e at mesmo muito atual em termos de pensamento matemtico. Useo nos prximos exerccios, no esquecendo de que o importante a compreenso do que estamos estudando.

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3Exerccios

Exerccio 1 Para cercar todo o permetro de seu terreno quadrado e ainda gastar 26 m no caminho que leva estrada, Procpio precisou comprar 94 m de cerca. Qual a rea de seu terreno?

Exerccio 2 Quando seu primognito nasceu, Gustavo tinha 24 anos. Depois de quantos anos ele ter exatamente o dobro da idade de seu filho? E o triplo?

Exerccio 3 a) Qual o nmero cuja metade igual sexta parte de seu triplo? b) Qual o nmero cuja metade igual sexta parte de 21? c) Qual o nmero cuja metade igual sexta parte de 42?

Exerccio 4 Quinze anos depois do nascimento das trigmeas Lia, Lina e Liana, quantos anos tem cada uma delas?

Exerccio 5 Quanto devo pedir por determinada mercadoria que pretendo vender para que, descontados 10%, eu fique ainda com R$100,00? (Verifique!)

Exerccio 6 Relacione cada nmero esquerda com aquela expresso direita que se torna verdadeira quando x substitudo pelo nmero:VALORES DE

x

EXPRESSES

-2 -0 -3 -3 -1

a) 5x = 6 - x2 b) c)

18 +5=2+x x x +x=0

d) x3 + 2x = 12 e) x + 2x - 9 = 0

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4

4

O mtodo aritmtico e o mtodo algbricoe voc esteve bem atento na aula passada, na qual conhecemos os problemas com x, deve ter percebido que aquele problema das idades do casal poderia ter sido resolvido sem que fosse preciso usar x. Vejamos como. O problema dizia:

Introduo

S

Certa mulher casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Quando a primeira criana do casal nasceu, a soma das duas idades era 79. Qual era a idade da mulher?Podemos raciocinar da seguinte maneira. Se o homem e a mulher tivessem a mesma idade, a idade dela (ou dele) seria, claro, metade da soma; e a soma seria o dobro da idade da mulher. Como o marido 7 anos mais velho, o dobro da idade da mulher foi aumentado de 7 anos, somando 79 anos. Logo, o dobro da idade da mulher : 79 - 7 = 72

E a idade da mulher : 72 2 = 36

C.Q.D.! Isto , Como queramos demonstrar , pois foi este o resultado que encontramos na outra aula.A aula de hoje traz outros problemas, que podem ser resolvidos tanto pelo mtodo aritmtico (como fizemos agora), como pelo mtodo algbrico, ou mtodo do x . Qual o melhor para cada problema? A matemtica no decide isso por ns: ela apenas enriquece nosso conhecimento com vrios mtodos para resolver problemas, e deixa a escolha para ns. Pois cabe a cada pessoa escolher por si mesma, j que a Matemtica tambm parte da vida. Sendo assim, papel e lpis! Porque tambm no existe matemtica de cabea, e vamos aula de hoje!

Vamos ver como resolver um mesmo problema por mtodos diferentes. No exemplo seguinte, temos mais uma questo sobre idades. Compare a soluo pelo mtodo aritmtico e a soluo pelo mtodo algbrico. Voc ver que chegaremos ao mesmo resultado. Sou cinqento, afirmou Paulo (querendo dizer que tinha cinqenta e poucos anos). E hoje um dia cabalstico (isto , mgico). Pois no apenas a idade da minha mulher, Jurema, mais jovem do que eu, se escreve ao contrrio da minha, como a diferena entre as nossas idades igual idade que nossa filha comemora hoje: 9 anos! Quantos anos tem Paulo? Uma tal data cabalstica como essa se repetir algum dia? Tente descobrir a idade de Paulo, raciocinando apenas com nmeros, sem utilizar x , ou seja, raciocinando aritmeticamente. Resolvendo pelo mtodo aritmtico O caminho mais simples para resolver o problema pelo mtodo aritmtico, neste caso, parece ser pelo raciocnio das tentativas. Assim, vamos fazer diretamente as contas em cada uma das possibilidades para a idade de Paulo cinqenta e poucos anos:IDADE DE PAULO IDADE DE JUREMA DIFERENA

Nossa A U L aula A

4

(= 9?)

51 52 53 54 55

15 25 35 45 55

36 27 18 09 00

(no) (no) (no) (sim) (j no serve: Jurema mais jovem)

Portanto, Paulo tem 54 anos, e sua mulher, 45. Quanto segunda pergunta, fica para voc responder. Continue usando o mtodo das tentativas. No prximo ano, Paulo ter 55 anos, e Jurema, 46 (cujo contrrio 64, e no 55 - o que Paulo no consideraria cabalstico), e assim por diante. Procure! Resolvendo pelo mtodo algbrico A pergunta : qual a idade de Paulo cinqento? Vamo chamar a idade de Paulo de: 5 x , isto , (50 50 + x) anos dezenas unidades

E a idade de Jurema de: 10x + 5 x5 , isto , (10x 5) anos dezenas unidades

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Sabemos que a diferena entre as idades de 9 anos. Logo, (50 + x) - (10x +5) 50 + x - 10x - 5 - 9x + 45 - 9x x = = = = = 9 9 9 9 - 45

4

-36 =4 -9

A idade de Paulo, ento, 54 anos (como encontramos antes).

Que mtodo mais fcil? E mais rpido?No exemplo relativo idade de Paulo, talvez voc ache mais fcil aplicar o mtodo aritmtico. Basta organizar um pouco o raciocnio, fazendo uma tabela, e procurar o par de nmeros contrrios que satisfaa o que se pede. J o mtodo algbrico mais rpido, e tambm mais geral: adapta-se imediatamente a vrios problemas. (Veja os exerccios, depois.) Mas isso foi nesse exemplo. Em outros problemas, pode ser diferente. isso que bom, pois a prpria escolha inicial do mtodo a ser empregado j desenvolve nosso raciocnio e nossa criatividade. Veremos agora um problema que pode ser resolvido por, pelo menos, trs mtodos: um aritmtico, um algbrico e um grfico. Deixamos para voc opinar, neste caso, sobre qual deles o mais fcil, ou o mais rpido, ou o mais geral etc.

Outro problema... e trs mtodos de resoluoEstou com uns amigos numa mesa de bar. Tenho na carteira R$15,70. Quanto posso deixar minha despesa alcanar, se tambm pretendo deixar como gorjeta para o garom 10% sobre essa despesa?Resolvendo pelo mtodo aritmtico Fazendo algumas tentativas com o valor da despesa, observo que, para cada 10 reais de despesa, deixarei mais 1 real para o garom, totalizando esse gasto 11 reais, ou R$11,00. Para cada 1 real de despesa, deixarei 10 centavos, gastando assim R$1,10. Vamos, ento, acrescentando novos gastos como esses, at a soma se aproximar do que tenho (R$15,70). Veja a tabela, com valores em R$:DESPESA GORJETA GASTO REAL SOMA

10 01 01 01 01 00,10 00,10 00,10

1 0,10 0,10 0,10 0,10 0,01 0,01 0,01

11 01,10 01,10 01,10 01,10 00,11 00,11 00,11

11 12,10 13,20 14,30 15,40 15,51 15,62 15,73

(mais do que tenho)

Observe que, aps a quinta linha de despesa, no valeria a pena continuar somando 1 real, pois isso levaria o total do gasto a mais de 16 reais - quantia de que no disponho. Por isso, continuamos com valores simples menores, de R$0,10 de despesa. Sendo assim, a tabela mostra que, nesse caso, posso deixar minha despesa alcanar apenas o que consta da ltima linha. Ou seja: 10 + 4 + 0,20 = 14,20 reais

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4Exerccios

Resolvendo pelo mtodo algbrico Vamos dar nomes (ou smbolos) aos componentes do problema:l l l

x - para o valor que a despesa pode alcanar 0,1x - para a gorjeta = 10% de x = (10/100) x 1,1x - para o gasto = x + 0,1x

Ento, eu quero saber qual o valor de x para que o meu gasto no bar no ultrapasse R$15,70. 1,1x = 15,70 (ou menor que isso) x = 14,27 - um pouco mais que 14,20. Como antes. De fato, se a minha despesa for R$14,20, a gorjeta ser de R$1,42 ao todo, e terei gasto R$14,20 + R$1,42 = R$15,62 R$15,62, como encontramos na soluo aritmtica.

Resolvendo pelo mtodo grfico Podemos tambm nos assegurar dessa resposta visualizando o problema num grfico. Por exemplo, marca-se no eixo horizontal a despesa e, no vertical, a despesa aumentada de 10%, quer dizer, o gasto real. E marcando neste grfico alguns valores conhecidos, como aqueles da tabela do item Resolvendo pelo mtodo aritmtico aritmtico.Gasto real (y) 11DESPESA GASTO REAL

10 01 04

11,00 11,10 04,40 4,40 4.40

1,10 1.10

1

4

10

Despesa (x)

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fcil notar que esses trs pontos do tipo (x,y) = (despesa, gasto) que encontramos na tabela, bem como quaisquer outros que calculemos, formam uma reta que passa pela origem dos eixos. De fato, isso acontece porque o gasto proporcional despesa: ou seja, se a despesa for, por exemplo, 10 vezes maior, o gasto tambm ser 10 vezes maior. Realmente, vimos que, de fato, um deles mltiplo do outro: gasto = (1,1) despesa. Aqui bom fazer uma pequena pausa para tratarmos de sinais matemticos. que, em lgebra, convm trocar o sinal de vezes () pelo ), para no confundir com a letra x . ponto ( Tradicionalmente, a matemtica utiliza os seguintes sinais: e para a multiplicao e e : para a diviso. Por isso, se voc encontrar: gasto = (1,1) despesa a mesma coisa que gasto = (1,1) despesa Algumas vezes, voc tambm v uma multiplicao na qual o sinal no aparece. Podemos escrever, por exemplo, o produto de a por b de trs formas: ab b, a b ou simplesmente ab Assim, para sabermos que a despesa corresponde ao gasto de, no mximo, R$15,70, marcamos este nmero no eixo vertical e procuramos pela despesa no eixo horizontal:Gasto real (y) 15,70 15.70 y=1,1x

11

4,4 4.4

4

10

14,20 Despesa (x) 14.20 Despesa (x)

Fazendo isto com cuidado, vimos que a despesa pode ser de at R$14,20, ou um pouco mais alta - como conclumos pelos outros dois mtodos. Aqui esto alguns exerccios para voc praticar. A lio mais importante desta aula, entretanto, no foi dita at aqui. esta:

Resolver um mesmo problema por dois mtodos diferentes pode lhe dar uma grande segurana quanto s respostas. Se elas forem iguais, bem possvel que suas respostas estejam certas. E se forem diferentes?, voc perguntaria. Neste caso, claro que uma das respostas est errada! Saber que estamos errados tambm uma forma de acertar. Concorda? O grande cientista Einstein teria dito, certa vez, que no se importava quando algum apontava um erro em suas teorias; na verdade, at gostava. Por qu? Ele dizia que, tendo sido encontrado esse equvoco, isso o colocava mais perto da verdade, pois j no estava se enganando. Grande Einstein! So palavras que nos fazem pensar, no mesmo?

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Exerccio 1 Use o grfico do ltimo problema desta aula para encontrar que despesa posso fazer para no ultrapassar os gastos abaixo, deixando ainda 10% para o garom: a) R$ 8,80 b) R$ 9,02 c) R$ 19,80

Exerccios

Exerccio 2 Resolva o Exerccio 1 aritmeticamente, completando a tabela dada na aula. Compare com as respostas encontradas naquele exerccio.

Exerccio 3 Resolva o exerccio 1 algebricamente, usando a equao que relaciona despesa e gasto no problema de gorjeta de 10%. Compare com as respostas dos exerccios anteriores.

Exerccio 4 Se eu decidisse deixar 20% de gorgeta para o garom , em vez de 10%, quanto poderia ter de despesa? a) Soluo aritmtica: b) Soluo algbrica: c) Soluo grfica:

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5

Equacionando os problemasossa aula comear com um quebra- cabea de mesa de bar - para voc tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fsforo. Mova de lugar exatamente 2 palitos, de modo a transform-la em 4 quadrados iguais, sem sobrar nenhum palito. Voc pode fazer isso com palitos ou no desenho.

Introduo

N

Nossa Aula

Conseguiu resolver o quebra-cabeas? No? Ento, vamos resolv-lo juntos, pelo caminho da matemtica. Certos problemas no nos parecem, de incio, problemas de matemtica - mas, de repente, vemos que existe uma soluo para eles que pode ser chamada de soluo matemtica. (Na realidade, o que existe na vida prtica no so problemas de matemtica - mas solues matemticas, criadas pelas pessoas para resolver problemas prticos). O quebra-cabea um exemplo. A princpio, pode no estar bem claro qual matemtica usar. Geometria? Aritmtica? De fato, o quebra-cabea envolve tanto figuras geomtricas quanto nmeros. Se voc ainda no conseguir resolv-lo, talvez seja porque no tenha percebido que o quebra-cabea tem dois aspectos: o geomtrico e o numrico . Talvez tambm tenha lhe faltado equacionar o problema. Isto : escolher quem ser a incgnita - geralmente chamada de x - e escrever a equao satisfeita por essa incgnita. A partir da - sempre deixando claro qual a pergunta do problema -, basta resolver a equao: quer dizer, encontrar o x do problema, como se costuma dizer. Quando conseguimos equacionar um problema, vemos claramente o que conhecido (pela equao) e o que se procura (a incgnita). Assim, o caminho da soluo, que leva de uma coisa outra, muitas vezes salta aos olhos nesse equacionamento. Vejamos no quebra-cabea.

Equacionando o quebra-cabeaO que vemos na figura dada? Vemos 5 quadrados iguais. Eles esto unidos e so feitos com palitos de fsforo. O problema pede que os 5 quadrados se transformem em 4 quadrados iguais, s com o movimento de 2 palitos. Que figura formaro, ento, os 4 quadrados? Se soubermos isso, ser bem mais fcil formar a tal figura... e o problema estar resolvido. Dois quadrados juntos podem ser formados de um dos seguintes modos: a) os quadrados no tm lado (palito) comum; ou b) os quadrados tm um lado comum. Qual a diferena importante no caso de querermos formar uma ou outra destas figuras? Pense.

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2 quadrados c o m lado comum

2 quadrados s e m

l ado comum

A diferena numrica: em a) a), precisamos de 8 palitos; j em b) b), precisamos de apenas 7 - pois economizamos um palito quando os quadrados so vizinhos, tendo um lado comum. E no nosso caso? Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos. Qual a pergunta crucial aqui? Pense. Isso mesmo! A pergunta : Quantos palitos temos? s contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui 4 palitos e queremos formar uma figura com 4 quadrados - desde que no permitamos que dois quadrados sejam vizinhos (de parede, isto , de lado comum) - usaremos: 4 4 = 16 palitos. Exatamente o que temos! Algumas tentativas iro lhe mostrar que, desenhando ou fazendo 4 quadrados com 16 palitos, o desenho que devemos procurar formar este:

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Est resolvido. No lhe parece mais fcil, agora? Pois ento. Tudo teve uma seqncia muito natural, desde o momento em que equacionamos o problema, contando o nmero de palitos e tentando visualizar claramente o que havia sido pedido - neste caso, a forma da figura dos 4 quadrados.

Equacionando um problema algbricoRigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equao (ou as equaes) de modo que ela expresse em linguagem matemtica o que foi dado no problema em linguagem comum. Vejamos, ento, como fazer isso com problemas algbricos, ou melhor, com problemas que admitem soluo algbrica. EXEMPLO 1 Qual o nmero cujo dobro, mais 5, igual a 17? Equacione o problema, chamando o nmero desconhecido de x . Vimos que no importa a letra que usamos para designar a incgnita, isto , o nmero procurado - mas universal o uso do x . O fato importante que: 2x + 5 = 17 A partir da, acharamos x . (Voc pode tentar, se quiser). S que nesta aula estamos mais interessados no equacionamento dos problemas - que a primeira etapa. Geralmente, essa a etapa mais importante na resoluo desses problemas. Vamos relembrar os momentos fundamentais desse equacionamento.l

Quando encaramos o tal nmero procurado como a incgnita do problema, e o chamamos de x ; Quando traduzimos em matematiqus o que est dado em portugus, ou seja, quando escrevemos a equao matemtica que satisfeita por essa incgnita. Neste exemplo, faramos assim: x = nmero O que sabemos: 2x + 5 = 17 Para reconhecer x , s resolver a equao. Encontra-se x = 6 6. Verifique.

l

Vamos ver outros exemplos de equacionamento de problemas. interessante que voc, em cada caso, experimente responder a estas duas perguntas do equacionamento, antes de continuar a leitura: a) O que x , neste caso? (Qual a incgnita?) b) O que sabemos sobre x ? (Qual a equao?)

EXEMPLO 2 Quanto deve medir de lado (em km) um terreno quadrado, para que o nmero que vai expressar seu permetro (em km) seja o mesmo que o nmero que expressa sua rea (em km)? Procure a soluo! Em primeiro lugar, vamos responder s duas perguntas principais do equacionamento: a) x = lado b) O que sabemos: 4x = x permetro rea

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Aqui, vamos lembrar que um nmero (ou incgnita) ao quadrado esse nmero (ou incgnita) multiplicado por ele mesmo. Ento: 4x = xx E, logo, adivinhamos um nmero x que satisfaz esta equao. Qual ? Ora at visualmente fica claro que a expresso 4x = x, acima, verdadeira quando substitumos x por 4, pois temos: 44=44 Portanto, se o lado do terreno quadrado for 4 quilmetros, satisfar o que pedido. Uma observao importante: a equao 4 x = x uma equao de 2 grau. Por isso, (como recordaremos) deve ter outra raiz, ou seja, outro nmero para substituir o x . A outra raiz zero, pois zero vezes qualquer nmero zero. Mas, neste caso, o terreno teria lado nulo, quer dizer, no existiria. (Dizemos que, neste caso, x = 0 uma soluo degenerada ). EXEMPLO 3l l

Qual o nmero cuja metade a sexta parte de 42? E de 21? E qual o nmero cuja metade a sexta parte de seu triplo? A primeira pergunta equacionada assim:

x = nmero 7 O que sabemos:

x 42 = 2 6

1

A partir da fica fcil: multiplicando os dois lados por 2, teremos x = 14.

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A segunda pergunta equacionada assim:

5

x = nmero 7 O que sabemos:

x 21 = 2 6

2

Logo, multiplicando os dois lados por 2, temos x = 7. J a terceira pergunta bem diferente: x = nmero O que sabemos:

x 3x = 2 6

isto , x = x

Voc pode dar exemplo de um nmero que pode substituir x e fazer a sentena ser verdadeira? Pense. Claro: qualquer nmero serve! Pois x = x verdadeiro para todo x , j que todo nmero igual a si mesmo. Assim, x = x no propriamente uma equao. Dizemos que uma identidade , pois verdadeira para todo x . EXEMPLO 4 O marcador de gasolina do meu automvel apresenta um erro e desejo conhec-lo. Assim, poderei compens-lo nas prximas leituras do marcador. H pouco ele marcava 3/4 do tanque, e precisei de 10 litros para ench-lo completamente. A capacidade do tanque de 50 litros. Qual o erro percentual que o marcador apresenta? Para mais ou para menos? Qual deve ser a incgnita nesse problema: voc diria que o erro percentual procurado (quer dizer, quantos por cento do tanque)? O primeiro cuidado do equacionamento a escolha da incgnita, do x . S preciso bom-senso para se fazer essa escolha: por exemplo, x deve ser tal que saibamos logo us-lo para escrever a equao do problema. Assim, mais razovel fazer da seguinte maneira: x = Volume que havia no tanque (litros) O que sabemos: x + 10 = 50 Logo, x = 40. O que queremos saber:l

erro = ? erro percentual = ?%

l

Mas o volume que o tanque marcava era:

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Assim:

3 50 = 37,5 4erro = 40 - 37,5 = 2,5 (em 40 litros)

5

Finalmente, em termos de erro percentual, precisamos fazer uma regra de trs , procurando o erro no em 40, mas em 100 litros. 2,5 y 40 100

Da,

2,5 40 = y 100Ento, multiplicando os dois lados por 100 y, temos: (2,5) (100) = 40 y Logo, dividindo por 40 e trocando os lados, temos que

y=

250 = 6, 25 (em 100 litros) 40

Conclumos que o erro percentual apresentado pelo marcador de 6,25 litros em 100 litros, ou seja, 6, 25% para menos, pois ele marca menos do que devia. Nesta pgina e nas seguintes esto alguns problemas para voc equacionar, sem necessariamente resolv-los. Lembre-se dos dois pontos importantes do equacionamento! Quais?! hora de reviso da aula...

Exerccio 1 Considere o seguinte problema: Subtraindo-se 4 de certo nmero e dividindo-se esse resultado por 2 e, depois, somando-se este novo resultado ao 4 triplo daquele nmero, sabemos que o resultado igual a 5 do nmero mais 7. Qual o nmero? a) Qual a incgnita? b) Que equao ela satisfaz? c) O que o problema pede? (Ateno: O exerccio no pede para resolver o problema. Faa-o se quiser.)

Exerccios

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Exerccio 2 a) Faa o mesmo com este problema, parecido com o Exemplo 2 2, visto na aula. Quanto deve medir a aresta (em m) de um cubo, para que o nmero que expressa a rea (em m) da superfcie lateral total do cubo (formada pelos 6 quadrados que o limitam) seja um nmero igual ao de seu volume (em m)?

arestas

cubo

superfcie lateral do cubo

b) Olhando para sua equao, que palpite voc arriscaria para o tamanho da aresta procurada?

Exerccio 3 a) Equacione o seguinte problema. A idade de um pai o triplo da idade de seu filho e, ao mesmo tempo, o filho 22 anos mais jovem que o pai. Quais as idades deles? Cuidado: h duas incgnitas! (Chame-as de x e y ). E h tambm duas equaes. b) Observando atentamente as suas duas equaes, voc consegue descobrir x e y ? (Pense na diferena entre as idades, vendo-a de dois modos.)

Exerccio 4 a) Resolva o item a) do exerccio anterior chamando as incgnitas de p e f . Compare as equaes com aquelas equaes anteriores: o que poderamos dizer dos valores dessas incgnitas? b) Que letras voc prefere para as incgnitas, neste problema? Por qu?

Exerccio 5 Equacione este problema, que trata do famoso retngulo ureo . O lado menor de um retngulo mede 1 m, e o lado maior desconhecido. Queremos que esse lado maior seja tal que, quando retirarmos um quadrado de lado 1 m do retngulo, sobre uma retngulo semelhante ao retngulo grande - isto , do mesmo formato que o retngulo grande, com os lados respectivamente proporcionais aos dele.?

A U L A

5O retngulo ureo igual a um quadrado unido a outro retngulo ureo menor ( importante na natureza, nas artes e na matemtica).

1

{{1

Sugesto: Chame de x a maior - ou a menor - das duas medidas desconhecidas, na figura. Agora interprete a proporcionalidade entre os lados do retngulo grande e do pequeno em termos de uma equao em x . Ateno Ateno: A equao de 2 grau. Deixe a resoluo para o momento em que estiver relembrado esse assunto, em aulas futuras.

{?

{

A A UA U LLA

6

6

Resolvendo equaes

Introduo

medida que os problemas se tornam mais complicados, o mtodo algbrico vai se impondo naturalmente ao mtodo aritmtico. Resolver equaes far parte das nossas atividades dirias. Mas, o que significa resolver uma equao? Tomemos como exemplo esta equao:

x+4 = 2 x - 3 -1 2No importa de que problema ela tenha vindo. Desejamos, antes de mais nada, responder pergunta que fizemos. Resolver uma equao significa encontrar um nmero tal que, se for colocado no lugar da letra x , torna a igualdade correta. Veja o que acontece se substitumos x por 2.

x+4 = 2 2 - 3 -1 23 = - 3 > errado!

Logo, x = 2 no soluo da nossa equao. Veja agora o que acontece se substitumos x por 6.

6+4 = 2 6 - 3 -1 25 = 5 > certo! Portanto, x = 6 soluo da nossa equao. Dizemos tambm que x = 6 raiz da equao dada. importante saber que x = 6 a nica soluo da equao do nosso exemplo. Voc pode tentar substituir x por outros nmeros; mas fique certo de que jamais encontrar outras igualdades corretas.

As equaes que aprenderemos a resolver nesta aula so chamadas de equaes do primeiro grau , ou seja, so equaes em que a letra x no aparece elevada a nenhum expoente. Um fato importante relativo s equaes de 1 grau que:

A U L A

6Nossa aula

Toda equao de 1 grau possui uma soluo.Inicialmente, vamos aprender a resolver equaes do 1 grau. No nos importar, portanto, de quais problemas elas vieram.

EXEMPLO 1 Resolva a equao 2x + 3 (x - 2) = 7x - 34. Neste primeiro exemplo, no h denominadores. Ento, a primeira coisa a fazer eliminar os parnteses. Observe que na multiplicao 3 (x - 2), o nmero 3 multiplica todos os termos que esto dentro do parnteses, ou seja: 3 (x- 2) = 3x - 3 2 Voltemos, ento, equao dada. 2x + 3 (x - 2) = 7x - 34 2x + 3x - 3 2 = 7x - 34 2x + 3x - 6 = 7x - 34 Agora, todos os termos que contm a letra x devem ser transportados para o lado esquerdo. Observe, ento, a mudana do sinal dos termos que trocaram de lado. 2x + 3x - 7x = 6 - 34 Continuamos fazendo as contas: 2+3-7 6 - 34 Temos ento: - 2x = - 28 conveniente trocar os sinais dos dois lados: 2x = 28 e dividir os dois membros por 2 para obter o valor de x . = - 2 do lado esquerdo e = 28 do lado direito.

2x 28 = 2 2x = 14 Est resolvida, assim, a nossa equao. Se quisermos conferir se a soluo realmente a que encontramos, devemos substituir x por 14 na equao dada.

A U L A

6

2 14 + 3 (14 - 2) = 7 14 - 34 28 + 36 = 98 - 34 64 = 64 Est certo. A raiz da equao dada realmente x = 14 14.

EXEMPLO 2 Como resolver a equao abaixo?

x-4 4x + 3x = +7 2 5Neste exemplo, a equao possui denominadores . Portanto, a primeira coisa a fazer, neste caso, eliminar esses denominadores. Para isso, buscamos um nmero que seja mltiplo de todos os denominadores e multiplicamos todos os termos da equao por esse nmero. No nosso caso, os denominadores so 2 e 5 . Como 10 mltiplo de 2 e de 5, vamos multiplicar por 10 todos os termos dessa equao.

10

(x - 4) 4x + 10 3x = 10 + 10 7 2 5

Fazemos agora as simplificaes: 5

10

2 4x (x - 4) + 10 3x = 10 + 10 7 21 5 1 5 (x - 4) + 30x = 8x + 70

Agora no h mais denominadores. Logo, podemos resolver essa equao do mesmo modo que fizemos no primeiro exemplo. 5x - 20 + 30x 5x + 30x - 8x 27x = = = 8x + 70 70 + 20 90

27x 90 = 27 27 10 9 x= 39 x= 10 310 3

Portanto, a soluo da equao dada x =

Vamos agora resolver alguns problemas com o auxlio da lgebra. Em cada um deles vamos tentar, a partir do enunciado, obter uma equao e, em seguida, resolv-la.

EXEMPLO 3

A U L A

Um feirante levou 60 mames para vender na feira. Comeou vendendo cada um por 50 centavos. Depois, como a venda estava fraca, baixou o preo para 30 centavos e vendeu todos os outros. Sabendo que ele arrecadou R$ 22,80, quantos mames ele vendeu pelo preo mais caro? Digamos que seja x o nmero de mames que ele vendeu pelo preo mais caro. Como cada uma dessas frutas foi vendida por R$ 0,50 ento, na primeira parte da venda ele arrecadou 0,50 x x. Quantos mames sobraram? Se ele tinha inicialmente 60 mames e vendeu x mames, ento sobraram 60 - x mames mames. Como cada um deles foi vendido por R$ 0,30, ento, na segunda parte da venda o feirante arrecadou 0,30 (60 - x) x). Se ele arrecadou no total R$ 22,80, nossa equao : 0,50 x + 0,30 (60 - x) = 22,80 Vamos agora resolver essa equao. Observe inicialmente que, na parte decimal de um nmero, o zero colocado direita pode ser dispensado. Ficamos ento com: 0,5 x + 0,3 (60 - x) = 22,8 Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos todos os termos da equao por 10. 5x + 3 (60 - x) = 228 Agora fica fcil: 5x + 3 60 - 3x 5x + 180 - 3 x 5x - 3x = 228 2x = = = = 228 228 180 48

6

2x 48 = 2 2x = 24 Portanto, o feirante vendeu 24 mames pelo preo mais caro.

EXEMPLO 4 Uma caixa com 30 lpis custa R$ 4,80. Quanto dever custar uma outra com 40 lpis? Este um problema de regra de trs. Problemas como esse so muito freqentes em nossa vida. Observe como organizamos os dados no quadro montado abaixo. preo > 4,80 x

quantidade

>

0, 30 0,30

40

A U L A

Para resolver o problema, montamos a equao

6

4,80 x = 30 40Por que fazemos isso? simples. Vamos pensar no significado de cada frao. Repare que, dividindo o preo da caixa pela quantidade de lpis, estamos calculando quanto custa cada lpis. Se o preo de um lpis o mesmo nas duas caixas, as duas fraes devem ser iguais . Resolver essa equao fcil. Basta multiplicar por 40 os dois lados.

40 Da,

4,80 x = 40 30 40

x=

40 4, 80 = 6, 4 30

Logo, a caixa maior dever custar R$ 6,40 6,40. Comentrio: freqentemente, encontramos no mercado um mesmo produto em embalagens diferentes e com preos diferentes. Nesse caso, preciso saber qual das embalagens mais econmica. Por exemplo, se uma caixa com 30 lpis custa R$ 4,80 e outra com 40 lpis custa R$ 6,10, o problema que acabamos de resolver nos mostra que devemos preferir a segunda. Na caixa maior, o preo de cada lpis certamente menor.

EXEMPLO 5

Joo recebeu seu salrio e verificou que:l l l

a quarta parte do dinheiro ele gastou com aluguel e pagamento das contas; a tera parte gastou no supermercado; restaram-lhe R$ 100,00 para todas as outras despesas. Qual o salrio de Joo?

Vamos chamar de x o salrio de Joo. Agora, vamos somar o que ele pode gastar com outras despesas. Essa soma o salrio de Joo. Ento:

x x + + 100 = x 4 3Para resolver essa equao, vamos eliminar os denominadores, multiplicando todos os termos por 12.

12

x x + 12 + 12 100 = 12 x 4 3

Simplificando, temos: 3x + 4x + 1200 = 12x Passando todos os termos que contm x para um mesmo lado, ficamos com: 1200 1200 1200 5x = = = = 12x - 3x - 4x 12x - 7x 5x 1200

A U L A

6

5x 1200 = 5 5x = 240 Conclumos que o salrio de Joo de R$ 240,00 240,00. Observe agora o prximo exemplo para aprender algo diferente sobre as equaes.

EXEMPLO 6 Antnio, Bruno e Carlos so irmos. Sabe-se que Bruno dois anos mais velho que Antonio e que Carlos trs anos mais velho que Bruno. Se a soma das idades de Antonio e Carlos o dobro da idade de Bruno, calcule as idades dos 3 irmos. Vamos chamar de x a idade de Antnio. Como Bruno 2 anos mais velho, a sua idade ser x + 2 2. E j que Carlos trs anos mais velho que Bruno, a idade de Carlos ser x + 2 + 3 = x + 5 5. Resumindo: Antnio 0000000000 Bruno 0000000000 Carlos Antnio0000000000 Bruno0000000000 0000000000Carlos

x

x+2

x+5

Como a soma das idades de Antnio e Carlos o dobro da idade de Bruno, temos a seguinte equao: x + x + 5 = 2 (x + 2) Vamos resolver como j aprendemos x+x+5 5 - 4 1 = = = 2x + 4 2x - x - x 0

Mas isto um absurdo! Certamente que 1 no igual a zero. Qual o significado do que aconteceu? Vamos explicar. Chegamos equao: 5 - 4 = 2x - x - x que equivalente a 1 = (2 - 1 - 1) x ou, ainda, 1=0x

A U L A

6Exerccios

Essa uma equao impossvel , uma vez que no existe nenhum valor para x que torne a igualdade verdadeira. Isso quer dizer que o problema proposto impossvel, ou seja, nunca a soma das idades de Antnio e Carlos ser o dobro da idade de Bruno.

importante saber que muitos problemas no possuem soluo. Dizemos ento que so problemas impossveis, isto , que a situao apresentada por eles nunca ocorrer.Exerccio 1 Resolva as equaes abaixo: a) 3x + 4 = 25 b) 5 (x- 1) - 19 = 3 (x -2) c) d)

2x x - 2 + =8 3 6 x x + =1 2 5

Exerccio 2 A soma de um nmero com o dobro do consecutivo dele d 74. Qual esse nmero? Exerccio 3 Antnio, Bruno e Carlos so irmos. Sabe-se que Bruno 2 anos mais velho que Antnio e que Carlos 3 anos mais velho que Bruno. Se a soma das idades dos trs irmos 55, calcule as idades de cada um deles. Exerccio 4 Em certo mercado, uma caixa com uma dzia de ovos custa R$ 2,80 e uma outra com 18 ovos custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens mais econmica? Exerccio 5 Cada banco de um nibus possui dois lugares. Entraram 50 passageiros nesse nibus, mas 14 tiveram de viajar em p. Quantos bancos tem o nibus? Exerccio 6 Pai e filho tm 31 e 8 anos. Daqui a quantos anos o pai ter o dobro da idade do filho? Exerccio 7 Uma escola tem apenas turmas de 5, 6 e 7 sries. A metade dos alunos est na 5 srie. A tera parte dos alunos est na 6 srie e 32 alunos esto na 7 srie. Quantos alunos tem a escola? Exerccio 8 Maria saiu de casa com algum dinheiro. Comprou uma camiseta por R$ 6,00 e gastou a quarta parte do restante num lanche. Se Maria voltou para casa com metade do dinheiro que tinha, calcule que quantia ela levava quando saiu de casa.

A L AL AUU

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A lgebra nas profissesesta aula, voc vai perceber que, em diversas profisses e atividades, surgem problemas que podem ser resolvidos com o auxlio da lgebra. Alguns problemas so to freqentes que existem frmulas prontas para sua rpida resoluo. Outros, por no serem to freqentes, vo necessitar de maior raciocnio e criatividade. Mas, em todos eles, voc poder perceber a fora dessa nova ferramenta que a lgebra .

7

A

N

Introduo

A lgebra na medicinaNa medicina, os mdicos utilizam muitas frmulas matemticas. Principalmente para calcular as quantidades certas de remdios que devem ser dados aos doentes e para outros clculos. So frmulas que no podemos entender porque no somos mdicos. Mas existem algumas que so simples e teis para todos, como esta que vamos mostrar agora.

Nossa aula

EXEMPLO 1

Como calcular a altura de uma criana? A altura de uma criana depende de sua idade e de muitos outros fatores. Entretanto, os mdicos examinaram uma quantidade muito grande de crianas brasileiras e tiraram uma mdia (no exerccio 1 vamos lembrar o que isso). Essa pesquisa deu origem a uma frmula que voc mesmo pode usar para verificar o desenvolvimento dos seus filhos. A frmula - que vale para crianas de 4 a 13 anos - a seguinte:

y = 5,7 x + 81,5

Nessa frmula:l l

x a idade da criana (em anos) y a altura da criana (em centmetros)

A U L A

7

Por exemplo, se uma criana tem 5 anos podemos calcular sua altura, substituindo o x da frmula por 5. Veja: y = 5,7 5 + 81,5 y = 28,5 + 81,5 y = 110 cm O resultado indica que, em geral, as crianas de 5 anos devem estar medindo por volta de 110 cm de altura. Em geral, como o desenvolvimento da criana depende de outros fatores, como a altura dos pais, a alimentao etc., so consideradas crianas normais as que tiverem altura at 10 cm a mais ou a menos que o valor dado pela frmula.

Para voc saber maisCada criana tem seu jeito de crescer. Em geral, as meninas crescem de forma muito prxima aos valores dados pela frmula. J os meninos crescem um pouco menos dos 10 aos 12 anos e passam a crescer mais depois dos 12 anos. Com a frmula que apresentamos, voc pode fazer previses Suponha que uma menina tenha 115 cm de altura aos 5 anos. Essa criana tem, portanto, 5 cm a mais que o valor dado pela frmula. Se tudo correr normalmente, essa diferena deve se manter (ou at aumentar um pouco) ao longo dos anos. Assim, se voc quiser saber que altura ela ter aos 10 anos, aplique a frmula e acrescente esses 5 centmetros.

A lgebra em uma pequena empresaMesmo em pequenas empresas surgem freqentemente problemas relacionados com a produo, com os custos, com os investimentos, com a diviso dos lucros etc. Vamos mostrar um deles e sua soluo, com o auxlio da lgebra.

EXEMPLO 2

Como fazer uma diviso proporcional? Em uma confeco trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50% a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento colocada numa poupana para ser distribuda no fim do ano. a caixinha do Natal. Pois bem, no fim do ano, essa poupana tinha R$ 1.440,00. Como deveremos fazer a distribuio dessa caixinha mantendo-se a mesma proporo dos salrios? Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a lgebra. Como j vimos nas aulas anteriores, preciso escolher o significado da nossa incgnita . Vamos ento representar com a letra x a quantia que cada costureira dever receber. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma receber:

x + 25 % de x = x + = x + 0,25 x = (1 + 0,25) x = 1,25 x

25 x 100

A U L A

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A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receber: x + 50 % de x = x + = x + 0,5 x = (1 + 0,5) x = 1,5 x Veja, ento, o resumo no quadro abaixo.

50 x 100

16 costureiras

16 x 2 1,25 x 1,5 x

02 supervisoras 0 1 diretora

Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupana: 16 x + 2 1,25 x + 1,5x = 1440 Para encontrar o valor de x basta, ento, resolver essa equao. Observe: 16x + 2,5x + 1,5x = 1440 (16 + 2,5 +1,5) x = 1440 20x = 1440

(x x em evidncia)

20x 1440 = 20 20x = 72

(dividindo por 20)

Portanto, cada costureira dever receber R$ 72,00. O resto fcil. 1,25 x = 1,25 72 = 90 1, 5 x = 1,5 72 = 108 Assim, cada supervisora dever receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita ento a diviso proporcional da caixinha do Natal.

A lgebra na carpintariaSer que a lgebra tem vez em uma simples carpintaria? Tem sim. Existem problemas que o marceneiro pode resolver de forma muito eficiente com auxlio da lgebra. Vamos ver um deles.

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EXEMPLO 3

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O corte est no lugar certo? Certo dia, um marceneiro recebeu a seguinte tarefa: cortar os cantos de uma mesa quadrada, que tinha 120 cm de lado, para transform-la em uma outra com 8 lados iguais . Observe, nas figuras abaixo, o problema do marceneiro.

mesa antiga

nova mesa

120 cm

?

Repare que o problema de transformar a mesa quadrada em outra, com 8 lados iguais, no um problema fcil. Os cortes precisam ser feitos em lugares certos. Se no, o marceneiro corre o risco de estragar a mesa. Como fazer, ento, os cortes perfeitos? Acompanhe o raciocnio do marceneiro e, mais uma vez, a utilidade da lgebra. As partes que sero eliminadas da mesa quadrada so tringulos retngulos com dois lados iguais. Eles se chamam catetos . O lado maior, onde ser feito o corte, chama-se hipotenusa .hipotenusa

Catetos (iguais)

Para observar direito esse tringulo, ele fez um desenho grande de um tringulo desse tipo, com catetos de 1 m de comprimento, e mediu a hipotenusa.

1m

1.41 m

1m

O valor que ele encontrou para a hipotenusa foi 1 metro e 41 centmetros (este valor no exato, porm bem aproximado). O marceneiro sabia que, para aumentar ou diminuir o tamanho de uma figura, mantendo sua forma, basta multiplicar todos os comprimentos dessa figura por um mesmo nmero. Por exemplo, um tringulo 10 vezes maior que o da figura que o marceneiro fez ter lados de 10 m, 10 m e 14,1 m. Ele, ento, raciocinou corretamente colocando a letra x como a medida dos catetos dos tringulos que sero retirados. Assim, a medida da hipotenusa desses tringulos ser 1,41x 1,41x. Veja como ficou o projeto da nova mesa.

A U L A

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Na mesa de 8 lados, todos eles devem ser iguais. Portanto, a medida de cada um deles ser 1,41x. Agora, basta somar os comprimentos sobre um lado do quadrado antigo. x + 1,41x + x = 120 Agora, vamos envolver essa equao. 2x + 1,41x = 120 3,41x = 120

3, 41x 120 = 3, 41 3, 41x = 35,19 Conclumos, ento, que cada cateto dos tringulos que sero retirados mede, aproximadamente, 35,2 cm. O problema est resolvido. A partir de cada canto da mesa, o marceneiro vai medir comprimentos de 35,2 cm, e passar a serra nas hipotenusas dos tringulos formados. A mesa ficar com 8 lados iguais. E qual ser a medida de cada lado da nova mesa? Cada lado da nova mesa mede 1,41x, ou seja, 1,41 35,2, o que d 49,6 cm. Quase 50 cm de lado.

Como voc percebeu, a lgebra foi utilizada para resolver problemas muito diferentes. Mas no se esquea: ela apenas uma ferramenta. O mais importante sempre o raciocnio. A habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. Com a prtica. Com persistncia.

Exerccios A U L A

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Tente resolver os exerccios desta aula. Se voc no conseguir, deixe passar alguns dias e tente de novo. Exercitar o pensamento desenvolve a nossa mente e faz com que os problemas, com o passar do tempo, paream mais fceis.

Exerccio 1 Um pediatra anotou as alturas das meninas de 8 anos que foram ao seu consultrio em determinada semana: 125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm a) Qual a altura mdia dessas crianas? b) Qual o valor fornecido pela frmula das alturas das crianas?

Observao : A mdia de vrios nmeros igual soma desses nmeros dividida pela quantidade de nmeros dados.Exerccio 2 Uma construtora encomendou tbuas de pinho a 4 fornecedores diferentes. O primeiro entregou tbuas com 225 cm de comprimento; o segundo com 236 cm, o terceiro com 230 cm e o quarto com ..... cm. O mestre de obras calculou que a mdia dos comprimentos das tbuas era de 231 cm. Qual foi o comprimento das tbuas entregues pelo quarto fornecedor? Sugesto Sugesto: Represente por x o comprimento das tbuas do quarto fornecedor e calcule a mdia dos quatro comprimentos. Exerccio 3 Voc certamente j reparou que os calados so medidos por nmeros: 35, 36 e 37 para as mulheres e 39, 40 e 41 para a maioria dos homens. Mas, existem, claro, ps maiores. O nmero do sapato depende do comprimento do p, e a frmula para calcular o nmero do calado a seguinte:

N=

onde: N o nmero do sapato c o comprimento do p, em centmetros a) Que nmero cala uma pessoa cujo p mede 24 cm? b) Qual o comprimento do p de um jogador de basquete que cala 45? Exerccio 4 Na Europa, existem empresas em que o salrio mais alto , no mximo, 4 vezes o salrio mais baixo. Vamos imaginar uma empresa dessas e considerar que ela seja formada por operrios, tcnicos, engenheiros e diretores. Cada tcnico ganha o dobro de um operrio. Cada engenheiro ganha o triplo de um operrio e cada diretor ganha o qudruplo de um operrio. Sabe-se que nessa empresa trabalham 80 operrios, 20 tcnicos, 4 engenheiros e 2 diretores. Se a folha de pagamento dos salrios de R$ 74.200,00, pergunta-se:

5c + 28 4

a) Quanto ganha cada operrio? b) Quanto ganha cada diretor? Sugesto Sugesto: Represente o salrio de cada operrio por x e complete o quadro abaixo: 1 operrio ganha x 1 tcnico ganha .......... 1 engenheiro ganha .......... 1 diretor ganha .......... 80 20 04 02 operrios ganham .......... tcnicos ganham .......... engenheiros ganham .......... diretores ganham ..........

A U L A

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Tente descobrir a equao que resolve o problema.

Exerccio 5 A cantina de uma escola fez um refresco para as crianas, diluindo 1 litro de suco concentrado de laranja em 9 litros de gua. Foram produzidos 10 litros de refresco, no qual 10 % do total de suco concentrado e 90 % de gua. Como o refresco no ficou bom, resolveu-se acrescentar mais suco concentrado at que o total ficasse com 20 % de suco concentrado. Pergunta-se: Que quantidade de suco concentrado deve ser adicionada ao refresco? Sugesto Sugesto: Observe o quadro abaixo.LITROS DE SUCO CONCENTRADO LITROS DE GUA

TOTAL DE REFRESCO

1 REFRESCO 2 REFRESCO

1 1+x

9 9

10 10 + x

Agora escreva uma equao que represente o seguinte:

Suco concentrado = 20% do total do refresco

A A UA U L LA

8

8

Coordenadas

Introduo

subttulo da aula de hoje poderia ser este: Visualizando relaes entre nmeros. E esse assunto nos faz lembrar o matemtico francs Ren Descartes (1596-1650). Foi Descartes quem inventou um jeito de visualizar nmeros e relaes entre nmeros, que ficou conhecido como plano cartesiano - um sistema de eixos coordenados. Os exemplos que aparecem nesta aula mostraro como os grficos no plano cartesiano so simples e naturais e, no entanto, profundos e esclarecedores. Por enquanto, basta que voc se lembre dos grficos de barras - como aquele que mostra a populao do pas a cada ano, o seu salrio a cada ms, a temperatura de um local a cada hora etc. O plano cartesiano igualmente fcil, e ainda mais claro visualmente. Vamos a ele! Para comear, vamos rever uma conhecida nossa do 1 grau - a reta numrica. Eis aqui a reta numrica, com alguns nmeros representados nela. Observe as distncias iguais entre nmeros inteiros consecutivos, como: - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 etc.-6 -6 -5,1 -5.1 -2,5 -2.5 -1/2 -1/2 0 0

O

Nossa aula

~ @1,41 2 2~1.41 1 2

~ p @ 3,14 4 ~3.14 3 4

28/5 = 5,6 28/5=5.6

(-)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

5

6

(+)

A reta numrica completa : cada um dos seus infinitos pontos representa exatamente um nmero real, e todos os infinitos nmeros reais tm lugar nela. Ela se estende indefinidamente (ou ilimitadamente) nos dois sentidos da horizontal. E um eixo orientado: quanto mais direita, maior o nmero (ex: 10, 100, 1.000, 10.000 etc.); quanto mais esquerda, menor (ex: - 10, - 100, - 1000, - 10.000 etc.). Assim, por exemplo: -100 menor do que -10. Escrevemos: - 100 < - 10 Ento, - 100 fica esquerda de - 10. Pode-se dizer tambm que - 10 maior do que - 100 e escrever: - 10 > - 100

Um exemplo de reta numrica: a linha do tempoA reta numrica tem aplicaes prticas muito importantes. Exemplo disso so as linhas do tempo utilizadas em Histria. Essa reta tambm pode ser interessante do ponto de vista de nossa prpria vida, de nossa histria pessoal. Aqui est um trecho dela, dividido em milnios e subdividido em sculos, com exemplos do ano em que nasceram alguns homens e mulheres que ficaram conhecidos, como lderes, cientistas e artistas, entre outros. A linha do tempo nos ajuda a compreender melhor h quanto tempo cada um deles nasceu. Veja:1412 - Joana d'Arc 1416 - S. Francisco de Assis 1515 - S. T ereza d'Avila 1642 - Isaac Newton 1748 - Tiradentes 1803 - Alan Kardek 1819 - Anita Garibaldi 1839 - Machado de Assis 1877 - G.I. Gurdjieff 1887 - Villa-Lobos 1903 - Portinari

A U L A

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563a.C.? - Buda 558a.C.? - Pitgoras 470a.C.? - Scrates

0 - Jesus Cristo

Nossos bisavs nasceram no sculo XIX1945 - Fim da II Guerra Mundial

sculo I a.C. sculo II a.C.

Nascemos no sculo XX

Vamos agora fazer um zoom, como se diz em linguagem de computador (ou um close, em linguagem de fotografia), na reta numrica. Assim podemos visualizar mais de perto (close , em ingls) o nosso prprio sculo XX subdividido em dcadas e anos (e seus sculos vizinhos, ) com alguns acontecimentos:1889 - Proclamao da Repblica 1906 - Vo de Santos Dumont 1918 - Fim da I Guerra Mundial 1888 - Abolio da Escravatura 1989 - Retorno s eleies presidenciais no Brasil

1905 - T eoria da Relatividade

1930 - Revoluo de 30

1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Em que ano estamos?

1969 - Homen na Lua

Nossos bisnetos nascero no sculo XXI

700a.C. 600a.C. 500a.C. 400a.C. 300a.C. 200a.C. 100a.C. 0 100d.C. 200d.C. 300d.C. 400d.C. 500d.C. 600d.C. 700d.C. 800d.C. 900d.C. 1000d.C. 1100d.C. 1200d.C. 1300d.C. 1400d.C. 1500d.C. 1600d.C. 1700d.C. 1800d.C. 1900d.C. 2000d.C. 2100d.C.

569? - Maom

? - Hiptia

A U L A

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Voc tambm pode marcar nesta linha do tempo o ano do seu prprio nascimento, e riscar ao longo dela o segmento que corresponde sua vida at hoje. Por falar nisso: quantos anos voc tem? Visualize sua idade nesse segmento. Use outras cores para traar os segmentos de vida de seus familiares. No fica tudo mais claro com a reta numrica?

Relembrando os grficos de barrasVamos relembrar, com o problema que ser proposto, o que um grfico de barras. Jlio um profissional autnomo. Para controlar de perto as finanas familiares, Jlio anota todo ms quanto ganhou e quanto gastou (em reais). Agora ele est analisando a tabela que montou com as anotaes de ganhos. Responda: a) Em que ms Jlio ganhou mais? b) Em que ms seu ganho deu maior salto para cima? c) E para baixo?MS/ 1994 G A N H O (R$)

jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez

300 410 540 380 320 500 490 570 380 430 420 400

A pergunta do item a) fcil de responder: basta procurar pelo nmero maior da tabela. (O ms foi agosto: R$ 570,00). J os itens b) e c) no esto com as respostas to claras. Uma boa sugesto seria ampliar a tabela para incluir tambm uma coluna com Diferena em relao ao ms anterior. Ela comearia com os seguintes dados: fev, 10; mar, 130; abr, - 160 etc. Continue, e responda b) e c) c). A idia fazer um grfico de barras para que, nele, voc visualize as respostas:ganho (R$) 600 500 400 300 200 100 jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez ms/1994 maior salto p/ cima: junho maior salto p/ baixo: setembro

Fcil; no ? por isso que um grfico tem tanto valor, pois, sem ele, as relaes entre os nmeros ficariam bem mais abstratas. Da a importncia da inveno de Descartes, o plano cartesiano. A idia igual de um grfico de barras, com pequenas mas importantes diferenas: no plano cartesiano, os dois eixos orientados perpendiculares so duas retas numricas com os dois pontos 0 (zero) superpostos, formando a origem do plano.

A U L A

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O plano cartesianoAqui est um exemplo de plano cartesiano, com alguns pontos assinalados. x, y Cada ponto tem duas coordenadas - x e y - e simbolizado por (x, y); dizemos que x a abscissa do ponto, e y a ordenada . Se um dos nmeros representados por x ou y tiver vrgula, podemos separar as duas letras com ponto e vrgula. Exemplo: (2; 1,5).y (-12, 8) 8 7 6 5 (0, 5) 4 (-6, 13/5) (-3, 2)(-9,5; (-9.5; 0) 0)

(51/10; (51/10; 6.2) 6,2) (10.5; 4) (10,5; 4) (3, 2) (11, 0) 1 2 3 4 (3, -2) (7, -) 5 6 7 8 9 10 11 12 x

3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 (0, -5)

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 (-3, -2)(-7; -4.21) 4,21) (-7;

Para voc se certificar de que compreendeu bem como funciona o plano cartesiano, marque nele estes outros pontos : 00. (7, 3) 00.(7, 00. (7, 0) 00.(7, 00. (7, -3) 00.(7, 0( - 7, -3) (- 11, - 3 ) 3) Escreva suas coordenadas junto do ponto (como est na ilustrao). O plano cartesiano fcil e lgico, no acha? E o melhor est por vir. Quando x e y no so dois nmeros quaisquer, mas esto relacionados por alguma frmula, ou alguma regra, ento acontece uma coisa espantosa! Vejamos logo alguns exemplos. E voc tambm concordar conosco que esse invento mesmo um auxlio e tanto para entender relaes entre nmeros.

A U L A

Dois exemplos de grficos de relaes entre nmerosx , y ) no plano cartesiano, de maneira que x e Vamos marcar alguns pontos (x y satisfaam uma relao dada. Para isso, primeiro faremos uma tabela de valores de x e y , a partir de alguns exemplos. A primeira relao esta: a) y = 2x + 100 x 00x 00 1 001 00 2 002 3 00 003 00 0 000 -1 - 2,5 y = 2x + 1 00 3 003 00 5 005 00 7 007 00 1 001 -1 -4y 7 6 (2, 5) 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 grfico de y=2x+1 (reta) (3, 7)

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(1, 3) (0, 1) x

(-2.5; -4)

-11 2 3 -2 -3 -4

Lembrete: em matemtica, quando queremos escrever uma igualdade usamos o sinal de igual (=); quando queremos mostrar uma diferena, usamos o sinal de diferente ().

Quanto mais pontos assinalarmos, maior ser nossa certeza: se marcssemos todos os pontos (x, y) = (x, 2x + 1) para todos os valores de x , ento teramos desenhado uma reta. Ela o grfico da relao y = 2x + 1, e formada por todos os pontos (x, y) do plano, tais que y = 2x + 1. Por exemplo: o ponto (2, 5) est nesta reta, pois 5 = 2 (2) + 1; j (2, 6) no est, pois 6 1 (2) + 1. Verifique. Outro exemplo: como ser o grfico dos pontos (x, y), tais que y seja o nmero que mede a rea de um terreno quadrado de lado x , ou seja, tais que y = x2? b) y = x200 x 00x 00 2 002 00 1 001 00 0 000 -1 -2 00 3 003 -3 00 4 004 00 2,5 002,5 y = x2 00 4 004 00 1 001 00 0 000 00 1 001 0 04 00 9 009 00 9 009 016 00 6,25 006,25y grfico de y=x 2 (parbola)

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 (0,0) 1 2 3 4 5 x

O grfico da relao y = x2 uma curva importante na geometria e na fsica: uma parbola . A parbola , por exemplo, a curva descrita no ar por uma bola chutada, ou qualquer objeto arremessado. Voc tambm j deve ter ouvido falar em antena parablica: sua forma derivada da parbola. Calcule e marque outros pontos da parbola y = x2. Que tal usar nmeros fracionrios?

A U L A

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ConclusoEsses exemplos so suficientes para nos convencer da importncia do plano cartesiano: tanto na soluo de problemas da vida prtica (rea de terrenos, salrios, gastos etc), quanto no prprio desenvolvimento da matemtica. Com o plano cartesiano, Descartes criou a ferramenta visual para o que veio logo depois: o clculo diferencial e integral . Esse clculo foi uma verdadeira revoluo na matemtica, do mesmo modo que foram revolucionrias as suas aplicaes em outras cincias, a exemplo da fsica, da biologia e da astromonia, e tambm em vrias reas, como em economia e at em psicologia. Para ns, o plano cartesiano tambm ser de grande auxlio. Vamos nos exercitar nele? Exerccio 1 A figura mostra um joguinho muito popular: a Batalha Naval. Consiste em um tabuleiro quadriculado, no qual a posio de cada quadradinho dada pelo eixo horizontal, com letras (A, B, C, ...) e, pelo eixo vertical, com nmeros (1, 2, 3, ...). Aqui esto algumas das peas da Batalha Naval, dadas por seus quadradinhos. Preencha os quadradinhos no quadro esquerda e veja como so essas peas: l submarino: E7 l destroyer: G4, G5 l hidroavio: L4, M3, N4 l cruzador: B11, C11, D11, E11 l couraado: L9, L10, L11, L12, L13 Diga que quadradinhos do quadro direita esto formando estas peas: l submarino: l destroyer: l hidroavio: l cruzador: l couraado:

Exerccios

A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B C D E F G H I J K L M N O

No Exerccio A U L A2, o grfico outra curva importante de geometria: uma hiprbole. Por exemplo, a trajetria que um corpo momentaneamente atrado pela Terra descreve no espao pode ser uma hiprbole, ou mesmo uma parbola. J a trajetria da Terra em volta do Sol uma elipse, como descobriu Johannes Kepler (1571-1630).

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Exerccio 2 Use o plano cartesiano para comparar o tamanho e a forma de todos os terrenos retangulares que tm a mesma rea - digamos, de 12 km2. Ou seja, use o grfico de todos os pontos (x, y) tais que, se x e y forem lados de um desses retngulo, ento x y = 12 12. Ou, dividindo tudo por x (que no pode 12 ser zero), ento y = X . Faa como nos exemplos vistos: tabela e grfico em papel quadriculado.

Exerccio 3 1? Por qu? Quais destes pontos devem pertencer ao grfico de y = 2x + 1 a) (5, 11) b) (4, 11) c) (- 11, - 20) d) (p, 2p + 1)

1 e) ( - ; 0,1) 2f) (200, 401)

Exerccio 4 Quais destes pontos se encontram sobre a parbola y = x2? Por qu? a) (- 4, 16) b) (10, 102) c) (10, 100) d) ( 2 , 2) e) (7, - 49) f) (- 7, - 49)

A L AL AUU

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O grfico que uma retagora que j conhecemos melhor o plano cartesiano e o grfico de algumas relaes entre x e y , voltemos ao exemplo da aula 8, onde y = 2x + 1 e cujo grfico uma reta. Queremos saber mais sobre como essa ligao que existe entre a frmula y = 2x + 1 e a figura geomtrica da reta. Queremos saber, por exemplo, se outras frmulas tambm tm como grfico uma reta. Caso haja, o que essas frmulas de retas tm em comum; de que modo se parecem? isso que estudaremos hoje. Como voc ver, so muitas as situaes na vida cotidiana - especialmente nas nossas diversas profisses - em que a relao entre duas grandezas expressa graficamente por um reta. Veremos isso num exemplo com um automvel em movimento, na relao entre a distncia percorrida e o tempo de percurso. E deixaremos para voc aplicar as mesmas idias na sua prpria rea de trabalho: na construo civil, na indstria, no comrcio, no trabalho em casa etc. A concluso da aula que a Matemtica tem uma maneira de visualizar toda uma srie de problemas, facilitando imensamente sua resoluo.

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A

A

Introduo

Um exemplo tirado do futebolTalvez voc j tenha visto um comentarista de futebol dizer o seguinte, analisando um determinado chute a gol: A velocidade da bola era de aproximadamente 90 km/h, quando foi espalmada pelo goleiro. O que significa isso? Como se faz essa estimativa de velocidade? Se um automvel estivesse a 90 km/h, isso quer dizer que ele percorreria 90 quilmetros de distncia no tempo de 1 hora. Possivelmente, a estimativa do comentarista deve ter sido calculada por computador da seguinte maneira: pelo vdeo do chute, anotado o instante em que o p do jogador toca a bola e a posio em que ele est no campo; anotado tambm o instante em que o goleiro espalma a bola e a posio do goleiro. Assim, obtm-se a distncia que a bola percorreu e o tempo que levou para isso. O que a velocidade da bola, ento? Se, para simplificar, considerarmos que a velocidade da bola constante ao longo de toda sua trajetria, ento, por definio:

Nossa aula

Velocidade a distncia percorrida dividida pelo tempo de percurso.

A U L A

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Rigorosamente falando, isso no verdade, pois o atrito do ar diminui a velocidade da bola o tempo todo. Estamos simplificando as coisas.) Em linguagem matemtica: espao tempo e = t

velocidade =

ou v

No caso desse chute, a velocidade equivale a 90 km/h. Em metros por segundo (pois as medidas do campo de futebol so em metros e cada chute se d em fraes de segundo), ela de:

v = 90 km/h =

90km 90 1000m = = 25 m/s 1h 3600s40

Ou seja, a bola percorre um espao de 25 metros a cada segundo . Ou 50 metros a cada 2 segundos, ou 100 metros a cada 4 segundos, ou 150 metros a cada 6 segundos, e assim por diante. e ) percorrido com o fcil visualizar de uma s vez a relao do espao (e t ) de percurso - que neste exemplo : tempo (t

e = 25 25, ou e = 25 t tPara isso, basta construir uma tabela e um grfico que mostre a maneira como o espao se relaciona com o tempo:00 t 00t 00 0 000 00 1 001 00 2 002 00 4 004 6 00 006 e = 25t 00 0 000 025 050 100 150e (m) e 150 125 100 75 50 25 e=25t

0

1

2

3

4

5

6

t (s)

Como vemos, neste caso, temos uma reta que passa pela origem do plano cartesiano. Observe que, nesse exemplo, os eixos do plano cartesiano representam e (espao) e t (tempo), que so grandezas diferentes: uma medida em metros e outra, em segundos, respectivamente. Dessa forma, a marcao dos pontos sobre os eixos pode ser feita tambm com unidades diferentes. No eixo vertical, cada unidade equivale a 25 metros; enquanto no eixo horizontal cada unidade corresponde a 1 segundo.

O grfico de y = ax: retas pela origemObserve os exemplos a seguir: a) y = x00 x 00x 00 0 000 00 1 001 00 2 002 00 y 0 1 2 x 0 1 2

A U L A

b) y = 3xy 0 3 6y 6 5

9Exerccios

y

2

4 3

1

2 1

1

2

x

1

2

x

c) y = - 2xx 0 1 2 y -0 -2 -4y

1 d) y = - x 2x 0 1 2 y -0-

1 2

-1y

1 -1

2

x- 1/2 -1

1

2

x

-2

-3

-4

A U L A

y 2 q.

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1 q.

x

3 q.

4 q.

Como voc mesmo deve ter notado, o grfico de y = ax (no qual a uma constante) sempre uma reta. Quando a positivo, a reta est no 1 e no 3 quadrantes do plano cartesiano; quando a negativo, a reta est no 2 e no 4 quadrantes. Veja nos exemplos abaixo:

00

OS

4

QUADRANTES

DO PLANO CARTESIANO

y 3 2 1 1/2 1

y=3x (a=3)

y

y=x (a=1)1 1 y= x a= y=1/2 2 2 (a=1/2)

( )

1 -1/3 -1 -2 x y=-1/3x (a=-1/3) 1 1 x a =y= 3 3 y=-x (a=-1) y=-2x (a=-2)

(

)

x

Voltando ao exemplo da velocidadeO grfi