Gabarito

1Matemática B

Matemática B – Extensivo – V. 2Resolva

Aula 5

5.01) a) sen 330o = –sen (360o – 330o)

= –sen 30o = – 12

b) cos 120o = –cos (180o – 120o)

= –cos 60o = – 12

c)

cossec 2460o = cossec 300o = 1300sen o

= 23

33

2 33

.

d) sec 97 = sec = 1 11cos

= –1

e) tg 54

= tg 225o = tg (225o – 180o)

= tg 45o = 1

5.02) sec x = 54

; x 4o Q

cos x = 45

sen x = – 35

cossec x = 53

tg x = 34

y = tg x xx

cosseccos

34

53

45

9 201245

=

=

111245

1112

54

5548

.

Aula 7

7.01) f(x) = 3 – 2 sen x3

Período: p = 213

= 6

Imagem: [3 – 2, 3 + 2] = [1, 5]7.02) E

Período: 4

4 = 2m

m = 12

Imagem: [a – b, a + b] = [–1, 3]

a b

a b

1

3

2a = 2a = 1b = 2

y = 1 + 2 sen x2

Aula 8

8.01) Período: p = 13

= 3

Domínio: x3

– 2

2

+ k

2 36

3 66

x k

2x 6 + 6k ( 2)

x 3 + 3k

x 3 . (k + 1)

8.02) Período: p = 12

= 2

Domínio: x2

– k

x2

k +

x 2k + 2x 2 (1+k)

Gabarito

2 Matemática B

Testes

Aula 55.01)

cos 1560o = cos 120o = –cos 60o = 12

sec 1560o = 11560cos o

= –2

5.02) cossec x = 3; x 2o Q

sen x = 13

9 = y2 + 1

y = 2 2

cos x = – 2 23

5.03) E

tg x = 2; 0 < x < 2

y2 = 4 + 1

y 5

cos x = 15

55

55

.

5.04) Dsen2 x + cos2 x = 1(3a – 1)2 + a2 = 19a2 – 6a + 1 + a2 = 110a2 – 6a = 0 ( 2)5a2 – 3a = 0

a . (5a – 3) = 0 a

a

0

35

5.05) Melhorando a expressão, temos:

sec cosseccot

sec sec .x xtg x g x

x x xtg x

2

21coss ec =

=

1 1 1 1 1

1

2

2

2

cos

coscos

cos cos.

cos

x sen xsen x

xx

sen x

x x sen xsen x

xx

=

=

sen x xx sen x

sen x xx sen x

sen x x

x sen xcos

cos .

coscos .

cos

cos .2 2

2

ccos

cos

2 2

2

x sen x

x

=

= sen x – cos x + sen x xsen x

cos =

= (sen x – cos x) . 1 1sen x

Usando o dado do problema, encontramos:

sen x = 13

; x 1o Q

32 = y2 + 12

y = 2 2

cos x = 2 23

Realizando a substituição na expressão, obtemos:

(sen x – cos x) . 1 1sen x

=

= 13

2 23

. (1 + 3)=

= 1 2 2

3 . 4 = 4 8 2

3

5.06) cotcot

cos

cos

cos

cosg x

g x

xsen x

xsen x

x

sen xsen x

2

2

2

2

2

2

2

2

2 21 1 xx

sen x2

= cos2 x

5.07) A

cos x = 35

; x 4o Q

tg x = – 43

cotg x = – 34

Gabarito

3Matemática B

5.08) cossec x = 54

; x 1o Q

sen x = 45

cos x = 35

sec2 x = 259

tg x = 43

tg2 x = 169

9 . (sec2 x + tg2 x) = 9 . 259

169

= 41

5.09) 1 11sec

cos cosx tgx

xsenx

x

=

= 11 1

11senx

x

xsenx

senxsenx

cos

cos . ( )( )

=

= cos cos cos coscos

x x senxsen x

x x senxx1 2 2

=

= 1cos cosx

senxx

= sec x – tg x

5.10) cos = 310

; 2a Q

10 = y2 + 9 y = 1

tg = – 13

5.11) B

cos cossec cotcossec

2 2 2

1x

senxg x

x =

= cos cossec

cosseccotcossec

2 2 2

1x

senx

x

xg x

x =

= cos

cos2

2

2

11

1x

senx senx

x

sen x

senx

=

= cos cos2 2

11x

senx senxx

sen x =

= cos2 2

1x

sen xsen xsen x

=

= cos2

1x

sen x – sen x =

= cos2 2

1x sen x sen x

sen x =

= 11

sen xsen x

= 1

5.12) E

cos x = 25

52 = y2 + 22

y = 21Como cos x é positivo, x 1o ou 4o Q. Nesse caso,

sen x = 215

e tg x = 212

ou sen x = – 215

e

tg x = – 212

.

5.13) 11

112 2tg x g xcot

=

= 1

1

1

12

2

2

2

sen xx

xsen xcoscos

=

= 1 12 2

2

2 2

2

coscos

cosx sen xx

sen x xsen x

=

= 11

11

2 2cos x sen x

=

= cos2 x + sen2 x = 1

5.14) y = sen tgsen

o o o o

o o o

30 2 90 780210 2 40 402 2

( . cos sec ). coscossec

y =

12

2 0 60

1210

2

22 2

14

1 2 2. ( . sec )

.

.

.

tg

sen

o o

o

Gabarito

4 Matemática B

5.15) sen x = 35

; x 1o Q

cos x = 45

; tg x = 34

sec . cot cossec .. cossec

2

2

1

6x g x x tg x

sen x x =

=

2516

43

53

34

6 35

259

25

3

1

. .

. .

=

=

2512

1512

10

1

=

=

101210

1012

110

1

1

. = 12

5.16) ( cos ) . (cossec cot )(sec . cot

sen gtg g

o o o o

o o

30 120 150 330300 60 2225o )

=

=

12

12

2 33

2 3 1

.

( . ) =

=

1 2 33

33

2 3

. .

=

= 2 32 3

= 1

5.17) 4 60 7 6060 12

. . cotcossectg go o

o =

=

4 3 7 1

343

1

. . .

=

= 2813

= 28 . 3 = 84

5.18) sen x = 14

; x 3o Q

16 = 1 + y2

y = 15

tg x = 115

tg2 x = 115

5.19) sen seno o

o

o o

o

1560 11402100

120 60300

cossec

cossec

=

32

12

23 14

Gabarito

5Matemática B

6.01) A

tghx

3 3hx

h x

tgh

xo45

10

110

10h

xh x

3x = 10 + x

2 10 5 15x x h;

SABC

10 152.

= 75

6.02) 31

01. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. MD é perpendicular a DC.

02. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. SMDC = � �

�.

22 4

2

SABCM = � � � � �

�22

32

23

4

2. .

.

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. tg = ��2

= 2

08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. e são complementares. Assim,

sen = cos . Logo, sen2 + sen2 =

=cos2 + sen2 = 1.

16. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. e são suplementares, por isso têmmesmo valor de seno.

6.03) B

sen x = 12

; x 2a Q

x = 150o

I. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. cos 150o = – 32

II. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. sen 300o = – 32

III.CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. cossec 450o = cossec 90o = 1

IV. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. tg (150o + 90o) = tg 240o = 36.04) 11

sen 2x = 1; x 1o Qx = 45o

01. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. cos 45o – sen 45o = 002. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. cos 90o = 004. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. sec 45o . cotg 45o =

1

45

45

45cos. cos

o

o

osen

= 1 . 12

2

08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. sec 45o = 22

22

. = 2

16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. tg 45o = 16.05) g = 10; v = 20

= 30º x = 400 6010

40 32

20 3. .sen o

= 45º x = 400 9010. sen o

= 40

= 60º x = 400 12010

. sen o= 40 . 3

2 =

= 20 3Maior distância: 40

6.06) E

x + 45º + 90º + 90º = 360ºx = 135º

Aula 6

Gabarito

6 Matemática B

6.07) C

cos 30o = 212

x

32 6

x

x = 3 3

tg 60o = xAC

3 3 3AC

AC = 3

6.08) tg x = 2 ; x 1o Q

sen xxcos

2 sen x = 2 . cos x

Com a substituição em cos x . sen x = 23

, obte-

mos:

cos x . ( cos )2 23

x

cos2 x = 13

cos x = 13

33

33

.

a) cos x = 33

b) sen x = 2 . cos x sen x = 63

sec x = 33

33

. = 3

sen x + sec x = 63

+ 3 = 6 3 33

6.09) A

S = 32

d2 = 64 + 16 d = 80 = 4 5

Área do triângulo:

a b sen. .2

= 16

4 5 4 52

16. . sen sen = 2

5

6.10) AC = 1

AB = 3

CB2 = 1 + 3

CB = 2

O ângulo C^ em ABC é igual ao ângulo D^ em MND.

Em ABC, 90o + + = 180o.

Assim, em AMD, D^ = . Portanto, MD é paralelo a

CB .Usando a semelhança entre AMD e ABC, temos:

xCB

xAC

1

x x2

11

x = 2 – 2x

x = 23

No quadrilátero CMDN, o ângulo externo em M é igualao ângulo externo em N (ambos iguais a ). Assim^M =

^N e o triângulo CMN é isósceles. Dessa forma

CN = CM = 23

.

Gabarito

7Matemática B

a) CN = CM = 23

b) Área de CMN:

Em ABC, sen = 32

. Logo, = 60o.

Então CMN é equilátero.

SCMN =

23

3

4

49

3

43

9

2

. .

6.11) A

sen 2

= 1

sen sen o116

33012

P.A. 1 12

, ,sen a

sen a = 1 1

22

sen a = 122

sen a = 14

6.12) cos x = 13

; x 4o Q

9 = y2 + 1

y = 2 2

tg x = – 2 21

= –2 2

P = (1 + tg2 x)2 – (1 – tg2 x)2

= (1 + 8)2 – (1 – 8)2 == 81 – 49 = 32

6.13) sen x tg xx sec

sen x sen xx

xsen x sen x

cotg coscos

cos 1

=

cos .cos

cos

x sen x sen xx

xsen x

1 =

= sen x x

xsen x

x

. (cos )

cos.

(cos )

1

1 =

= sen x . tg x

6.14)

Em ABO, AO2= 9 + 9

AO = 3 2

Em ABC, AC2= 9 + 1

AC = 10Em ACO:Lei dos senos

2 1045sen x sen o

10 sen x = 2 22

.

sen x = 1

5

sen x = 55

Lei dos cossenos

4 = 18 + 10 – 2 . 3 2 . 10 . cos x

4 = 18 + 10 – 6 20 . cos x

12 5 . cos x = 24

cos x = 25

55

.

cos x = 2 55

tg x = sen xxcos

55

2 55

12

Gabarito

8 Matemática B

6.15)

Em DCB, tg 30o = hBC

.

33

hBC

BC = 33

33

h .

BC = h 3

ACD é isósceles. Logo, AC = h.Pitágoras em ABC

2002 = h2 + h 32

40000 = 4h2

h2 = 10000h = 100

6.16) 0 x 2

sen 2x . cos2 x – sen 2x . sen2 x = 0sen 2x . (cos2 x – sen2 x) = 0sen 2x . (cos 2x) = 0sen 2x = 0 ou cos 2x = 0

Para sen 2x =0, temos:x = 0o, 90o, 180o, 270o, 360o

Para cos 2x = 0, temos:x = 45o, 135o, 225o, 315o

SoluçãoS={0o, 45o, 90o, 135o, 180o, 225o, 270o, 315o,360o}

6.17) C

5225

120 xx

52x = 3000 + 25x27x = 3000

x = 10009

sen = 251000

9

25 91000

940

. = 0,225

= 13o

6.18) (1 + tg2 x) . (1 – sen2 x) == sec2 x . cos2 x

= 12

2

cos. cos

xx = 1

6.19)2

< x <

sen x

sen x

0 1

0 1 2

2 0 = 3

4

2 – 2 sen2 x = 34

2 – 34

= 2 sen2 x

54

= 2 sen2 x

sen2 x = 58

sen x = 52 2

22

104

.

16 = 10 + y2 y = 6

Portanto, tg x = – 106

53

33

153

. .

6.20) C

1 + 12 2cos . cossecx x

– sec2 x =

= 1 + 12

2

cos xsen x

– sec2 x =

= 1 + tg2 x – sec2 x == sec2 x – sec2 x = 0

Gabarito

9Matemática B

7.01) y = 2 + cos x2

Período: p = 212

= 4

Imagem: [2 – 1, 2 + 1] = [1, 3]7.02) A

Período: p = 2Imagem: [–2, 2]y = 2cos x

7.03) Ef(x) = 3sen 2x

Período: p = 22

=

Imagem: [–3, 3]

7.04) y = sen 23 4x

Período: p = 223

= 3

7.05) EPeríodo: p = Imagem: [–1, 1]Obs.: "Seno invertido":y = –sen 2x

7.06) B

Período: p = 2Imagem: [a – b, a + b] = [0, 2]

a b

a b

0

2

2a = 2a = 1b = 1

f(x) = 1 + cos x7.07) B

Período: p = 4Imagem: [–2, 2] = [a – b, a + b]

a b

a b

2

2

2a = 0a = 0b = 2

y = 2sen x2

7.08) Df(x) = a + b sen xNote que é o gráfico de um seno invertido.Assim, b < 0.Imagem: [a + b, a – b] = [–1, 3]

a b

a b

1

3

2a = 2

a = 1b = –2

7.09) A

Período: p = 2Imagem: [a – b, a + b] = [–2, 2]

a b

a b

2

2

2a = 0a = 0b = 2

y = 2 sen x7.10) B

Período: p = 2Imagem: [a – b, a + b] = [0, 2]

a b

a b

0

2

2a = 2a = 1b = 1

y = 1 + sen x7.11) 63

01. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

sen x x02. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

x 02

, ; sen x + cos x 1

se x = 0 sen 0 + cos 0 1, pois 1 1.

Se x = 2

sen 2

+ cos 2

1, pois 1 1.

Se x 0 e x 2

, teremos sempre um triângulo retân-

gulo de catetos sen x e cos x e hipotenusa igual a 1.Num triângulo um lado é sempre menor que a somados outros dois. Logo, sen x + cos x > 1.

Aula 7

Gabarito

10 Matemática B

04. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

coscot cos cos

sec xg x

sen xx

sen xx

2

2

2

2

2

2

11 = sec2 x

08. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

f1(x) = sen x e f2(x) = 5sen x se intercep-tam em todos os pontos da forma x =k , k Z.

16. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. Observe que a equação g1(x) = g2(x) não ad-mite solução:

cos cosx x3

0 = 3 (absurdo)32. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

Aula 8

8.01) f(x) = cotg x2 2

Período: p = 12

= 2

Domínio: x k2 2

x + 2kx 2k –

x 2 . k 12

; k Z

8.02) y = 2 – tg 22

x

Período: p = 2

Domínio: 2x – 2

2

+ k

2x + k

x k2

x 2

. (k + 1); k Z

8.03) tg a = x 13

;

cos a = 2 3x

y2 = x – 1 + 9

y = x 8

cos a = 38x

2 3 38

2 2

x x

12 982x x

9x2 = 12x + 969x2 – 12x – 96 = 0 ( 3)3x2 – 4x – 32 = 0x' = 4

Gabarito

11Matemática B

x " 83

x = – 83

torna a expressão tg a = x 13

inexisten-

te. Logo, x = 4.8.04) E

tg x = 10 – m2; x 4 2

,

tg x > 110 – m2 > 1–m2 + 9 > 0 . (–1)m2 – 9 < 0

–3 < m < 3

8.05) cotg x = 2 43

m ; x 3o Q

cotg x > 0

2 43

m > 0

2 + 4m > 0

m > – 12

8.06) D

sen (nx) Período: p = 2| |n

tg(mx) Período: p = | |m

2 2| | | |

| || |n m

nm

nm

= 2

nm

= 2 ou nm

= –2

8.07) 0301. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.

tg x6

x – 6

2

+ k

66

3 66

x k

6x 4 + 6k ( 2)

3x 2 + 3k

x 23

+ k ; k Z

02. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.g(x) = 2sen 3x

p = 23

04. FFFFFalsaalsaalsaalsaalsa. cos 3x = 32

08. FFFFFalsaalsaalsaalsaalsa. y = –sen 2x

Gabarito

12 Matemática B

8.08) EDomínio:

x – 4

2

+ k

44

x 2 44

k

4x 3 + 4k

x 34

+ k

Imagem: R

Período: p1

8.09) y = cotg 24

x

Domínio: 2x + 4

k

84

44

x k

8x 4k –

x k2 8

x 2

. k 14

; k Z

Período: p = 2

8.10) f(x) = g(0)

1 5sen x = 1 – tg2 0

1 155

5sen x ( )

1 + sen5 x = 1sen5 x = 0sen x = 0

x = 0, x = , x = 2

Anotações