MÓDULOS

DE

MATEMÁTICA

BÁSICA

Professora Simone Leal Schwertl

MÓDULO I

FRAÇÕES

2

MÓDULO I - FRAÇÕES

O módulo 1 envolve operações com números fracionários. Números fracionários são um subconjunto dos números Reais.

Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre números fracionários é importante relembrarmos os subconjuntos dos números Reais.

1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ()= {0,1,2,3,4,5,....} 0 a ∞ ∞ símbolo que indica infinito

* = {1,2,3,4,5,....} Naturais Positivos * indica a exclusão do zero de um conjunto.

2 – CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ()= {-3,-2,-1,0,1,2,3,....} Inteiros

+ = {0,1,2,3,4,5,....} Inteiros não Negativos

*+ = {1,2,3,4,5,....} Inteiros Positivos

- = {...,-3,-2,-1,0} Inteiros não Positivos

*- = {...,-3,-2,-1} Inteiros Negativos

3 – CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)Todos os números que podem ser obtidos da divisão entre dois números inteiros

Ex.: 10/4 = 2,5 (divisão exata) 10/3 = 3,333... (divisão periódica)

Q =

Q + = Racionais não Negativos

Q *+ = Racionais Positivos

Q - = Racionais não Positivos

Q *- = Racionais Negativos

4 – CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ()Possuem infinitas casas decimais após a vírgula e não formam um período.

Ex.: √2=1,41421356... √10=3,1622776... π=3,14159.... (razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência) e =2,7182818284.... (conhecido como número de Euler-Leonhard Euler /1707-1783)

5 – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ®É a união do conjunto dos números racionais e irracionais.

R + = Reais não Negativos

R *+ = Reais Positivos

R - = Reais não Positivos

R *- = Reais Negativos

3

R

Q

A seguir, relembraremos operações envolvendo números fracionários:

I. Transformação de Número Fracionário em Número Decimal

Basta dividir numerador pelo denominador.

Exemplo:

a)

b)

II. Transformação de Número Decimal em Número Fracionário

Exemplo:a)

b)

c)

d)

Obs. 1: O número de zeros colocados no denominador é igual ao número de casas após a vírgula.

Obs. 2:

Obs. 3: Os exemplos que trazemos são de números decimais finitos. Existe uma técnica para as dízimas, que não será objeto de nosso estudo, e existem ainda os números irracionais que não podem ser escritos na forma fracionária.

EXERCÍCIOS

1. Transforme os números decimais abaixo em fração:

a) 0,4b) –1,3c) 0,580d) 45,6

e) 0,20f) 0,1000g) 7%h) 10%

III. Adição e Subtração

Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador.Exemplo:

4

(a)

(b)

Quando as frações não possuem o mesmo denominador devemos reduzi-las ao menor denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e, em seguida somar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas.

Exemplo:

Obs. 1.: Frações equivalentes: quando dividimos ou multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, sempre obtemos uma fração equivalente à fração dada.

Ex.: e

Logo e são frações equivalentes.

Como obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais denominadores?

Relembraremos uma técnica chamada de “decomposição simultânea em fatores primos”.Esta técnica consiste em decompor simultaneamente cada denominador em fatores primos.

O produto de todos os fatores primos que aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo comum.

Obs.: Número primo é um número que possui apenas 2 divisores (o número 1 e ele mesmo).

Exemplo 1:

Como fazer ??? Iniciamos a resolução fazendo a decomposição dos denominadores em fatores primos.

Decomposição em fatores primos dos denominadores das frações:

Agora reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do mmc 30:

5

Frações equivalentes às frações dadas, com o mesmo denominador

15 é o menor denominador comum ou o mínimo múltiplo comum de 3 e 5.

é o m.m.c. de 2, 6 e 10.

Comece com o menor divisor primo. OK!

3

1

15

5

São frações equivalentes, pois

representam a mesma parte de um

inteiro.

Exemplo 2:

Como os denominadores são todos números primos, o m.m.c. será o produto destes.

Reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do mmc 70:

Exemplo 3:

Resolveremos também pela decomposição dos denominadores das frações em fatores primos.

Decomposição dos denominadores em fatores primos:

Como nos exercícios anteriores reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do mmc 60:

6

30130

30260

e

ffff

515

51260

e

933

e

31030

1515

15230

1

e

ffff

Como 15 não é divisível por 2, ele será repetido até que não tenha mais números divisíveis por dois dentre os denominadores. E assim sempre deverá ser feito na seqüência da fatoração.

Em cada uma das frações dividimos o

m.m.c (30) pelo denominador e o

resultado multiplicado pelo numerador.

EXERCÍCIOS

2. Calcule e dê a resposta na forma fracionária:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

3. Sabendo que e , calcule:

a)x + y = b) x – y = c) y – x =

7

IV. Multiplicação

Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplo:

a)

b)

Obs.: Você não deve tirar o M.M.C., ou seja, não é necessário que as frações tenham denominadores iguais.

EXERCÍCIOS

4. Calcule os produtos e dê a resposta na forma fracionária:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

V. Divisão

Mantenha a primeira fração e inverta a segunda passando a divisão para multiplicação.

Exemplo:

a)

b)

c)

Lembre-se:

EXERCÍCIOS

5. Calcule as divisões:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

6. Escreva o resultado das operações na forma fracionária:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

7. Escreva o resultado das operações em forma de fração:

a)b)

c)

d)

e)

f)

g)

8. Determine o valor de x, sendo:

a)

b)

c)

9. Coloque os números abaixo na ordem crescente:

a)

b)

c)

RE S P O S T A S D O S EX E R C Í C I O S

1ª Questão:a) c) e) g)

b) d) f) h)

2ª Questão:

a) d) g) j)

b) e) h) k)

c) f) i) l)

m)

3ª Questão:a) b) c)

4ª Questão:a) c) e)

b) d) f)

5ª Questão:

a) c) e) g)

b) d) f) h)

i)

6ª Questão:a) 2 c) e) g)

b) d) f) h)

i)

7ª Questão:a) c) e) 4 g)

b) d) f)

8ª Questão:a) b) c)

9ª Questão:a)b)c)