Matemática - Ensino Fundamental - É Fácil Aprender Frações

8/14/2019 Matemtica - Ensino Fundamental - Fcil Aprender Fraes

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Curso de Matemtica - Mdulo 5

fcil aprender fraes?

Os nmeros naturais so aqueles com os quais as crianas tm o primeiro contato:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...No entanto, esses nmeros no conseguem resolver certos problemas que as fraesresolvem. Vejamos um exemplo:Pelo telefone, Dona Maria d uma receita de bolo a Dona Lcia.-Use 2 xcaras de farinha e menos que a metade de uma xcara de requeijo... No. menosque a metade, mas mais que a metade da metade.Ficou complicado, no mesmo? provvel que Dona Maria estivesse pensando numa

quantidade equivalente frao (um tero):

Se tivesse dito "um tero", Dona Lcia teria entendido melhor a receita..., se soubessefraes.Este foi um pequeno exemplo da utilidade das fraes. Veremos outros no decorrer dessalio.Note que, na maneira de Dona Maria dar a receita, h um outro problema: as xcaras emgeral tm um formato que torna difcil saber o que exatamente a metade. Por isso, nailustrao representamos uma caneca, na qual fcil marcar a metade.Cludia teve sua primeira aula sobre fraes. Ela aprendeu que a parte sombreada desse

retngulo corresponde frao (dois teros).

Perguntamos Cludia:

- Por que ?- Porque o retngulo foi dividido em trs partes e ns pintamos duas partes, respondeu a

menina.Aparentemente, ela tinha aprendido muito bem a lio. No entanto, ao apresentarmos esta

nova figura, Cludia afirmou que (trs quartos) da figura estavam sombreados:


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Ora, sabemos que, a regio sombreada no corresponde a , porque a figura no foidividida em 4 partes iguais.Para se ter uma frao preciso considerar:

uma unidade ou um todo; uma diviso dessa unidade ou desse todo em partes iguais; um certo nmero dessas partes iguais.

Provavelmente ningum havia alertado Cludia sobre esse detalhe: as partes devem seriguais. Embora esta idia seja muito importante, freqentemente passa despercebida aosnossos alunos.Uma frao sempre representada por dois nmeros naturais:

Essas designaes tm razo de ser: "denominador" significa "aquele que d o nome" (no

exemplo acima, estamos lidando com "teros") e "numerador" significa "aquele que d onmero de partes consideradas". Portanto, os nomes das fraes dependem do nmero departes em que a unidade dividida e do nmero de partes que estamos considerando.Vejamos alguns exemplos:


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FRAES COM DENOMINADORES 10, 100, 1000, 10000,etc. :

3/10 trs dcimos

37/100 trinta e sete centsimos

4/1000 quatro milsimos

71/10000 setenta e um sobre dezmil

Quando Marcelo comeou a aprender fraes, resolvia facilmente exerccios como estes:


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No entanto, no conseguiu resolver este:

"Comprei dezoito goiabas e delas tinham bichos. Quantas goiabas estavam estragadas?"

Marcelo entendeu que de cada goiaba tinha bichos. Nesse caso, todas as goiabasestariam estragadas.Como poderia ele ter uma idia to esquisita?

que Marcelo estava acostumado com fraes de uma figura geomtrica ou de um objeto.Isto , a unidade considerada (ou o todo) era sempre uma coisa s.No entanto, neste problema so as 18 goiabas que constituem o todo, ou seja, a unidadeconsiderada uma coleo de objetos. natural, que neste caso o menino ficasse confuso.Temos aqui outra das idias bsicas que formam o conceito de frao: a unidade pode ser dedois tipos:. uma nica figura ou um nico objeto;. uma coleo de objetos.Normalmente, as crianas comeam o aprendizado de fraes a partir de um s objeto ou deuma s figura. A dificuldade de Marcelo, que comum a outras crianas, mostra que apassagem para vrios objetos, tomados em conjunto, como um todo, ou como unidade, no

to simples assim.Para que as crianas compreendam essa nova situao, necessrio ir aos poucos.

conveniente pedir inicialmente que identifiquem, por exemplo, , ou , ou devrios grupos de objetos. Podem ser usados fsforos, palitos, pedras, tampinhas, etc.Talvez seja necessrio ajudar algumas crianas a arrumarem os objetos de modo a visualizara frao do todo. Outras crianas talvez descubram sozinhas o jeito de arrumar os objetos de

maneira a deixar claro o que , , , etc.Somente ento deve-se passar para problemas do tipo daquele das goiabas, usando desenhos.O ideal que as crianas faam os desenhos: vista de um desenho como este, as crianas

compreendem que 12 goiabas estavam estragadas.

Um adulto j familiarizado com a noo de frao de um todo formado por vrios objetospercebe que as respostas a problemas desse tipo podem ser obtidas por meio de clculos.

No problema das goiabas, por exemplo:. Dividimos a unidade (o conjunto de 18 goiabas) em trs partes iguais:18 : 3 = 6 goiabas. Tomamos duas dessas partes:


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2 x 6 = 12 goiabas tinham bichos

Luciano, um menino de 10 anos, no acreditava que a frao pudesse existir, eexplicava:- Como posso dividir uma coisa em 4 partes e pegar 5?A opinio de Luciano tem lgica. Ela reforada pelo fato de que o significado tradicionalda palavra frao "parte" ou "pedao".

Os egpcios antigos, que inventaram as fraes h cerca de 5000 anos atrs, jamais usaramfraes maiores que a unidade. Alis, s representavam fraes de numerador um. Havia

uma nica exceo, que era a frao .

A partir dos egpcios, encontramos as fraes nas civilizaes que se seguiram, pois o seuuso sempre se mostrou necessrio. Entretanto, continuavam sendo usadas apenas paraexpressar quantidades menores que a unidade.Mas, ento, como surgiram as fraes maiores que a unidade?Elas surgiram para expressar quantidades maiores que a unidade.

Vejamos um exemplo:

Esse anncio, que poderia ter sido feito por uma empresa que constri casas, na realidade,

era de uma fbrica de refrigerantes. Essa fbrica ps venda uma garrafa que continhade litro a mais, em comparao com as garrafas comuns que contm um litro.


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Atualmente, no comum usar fraes para indicar medidas. Quase sempre, as pessoaspreferem usar a escrita decimal, os "nmeros com vrgula". Assim, em vez de se indicar uma

altura de um metro e meio por m ou por m, prefere-se a indicao 1,5m.No entanto, usar as fraes para indicar medidas ajuda a formar o conceito de frao. Emespecial, muito til para entender as fraes maiores que a unidade.Vamos pensar na seguinte pergunta: Qual a frao que corresponde a trs inteiros e dois

quintos ?Para responder, vamos recorrer a desenhos:

Acontece que cada uma das barras que representam o inteiro pode ser subdividida em 5partes:

Agora vamos pensar no problema contrrio:


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Qual a escrita mista correspondente a ?Para achar a resposta, vamos desenhar o inteiro (dividido em 4 partes) tantas vezes quantasforem necessrias para perfazer 13 quartos:

Fazendo desenhos para representar fraes, percebemos que podemos indicar uma mesmaparte da unidade de maneiras diferentes. Vejamos alguns exemplos:

EXEMPLO 1 :Comeamos com um retngulo dividido em 3 partes e sombreamos 1 dessas partes:

Em seguida duplicamos o nmero de partes em que a unidade foi dividida e duplicamostambm o nmero de partes sombreadas.

O que fizemos foi multiplicar por 2 o numerador e o denominador da frao .

Observando a figura, vemos que essas duas fraes representam a mesma parte da unidade.

EXEMPLO 2 :


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Neste exemplo, triplicamos o nmero de partes em que o retngulo foi dividido etriplicamos o nmero de partes sombreadas.

Observando as figuras, vemos que e representam a mesma parte da unidade.

EXEMPLO 3 :Dividimos um crcuulo em 2 partes iguais e sombreamos 1 parte. Temos a metade docrculo:

Agora, dividimos o mesmo crculo em 8 partes iguais e sombreamos 4 partes:

Multiplicamos o numerador e o denominador por 4:

e continuamos a ter a mesma parte do crculo.

Os exemplos que acabamos de apresentar mostram que, multiplicando o numerador e odenominador de uma frao por um mesmo nmero (qualquer que seja esse nmero), noalteramos a parte da unidade que estamos considerando.Fraes como:


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so chamadas de fraes equivalentes.

"Equi" indica igualdade. "Valente" significa "que tem valor".

Entretanto, em alguns livros, aps a afirmao de que, por exemplo, e so

equivalentes, encontra-se a representao de igualdade:

Esta situao pode provocar controvrsia: ser que mesmo igual a ?

Afinal, um pedao s e so dois pedaos.E quanto a ns professores? Devemos dizer "fraes equivalentes" e escrever que so"iguais"?Em nossa opinio, podemos dizer e escrever "igual", pois as duas fraes representam partes

do mesmo tamanho.J vimos que o valor de uma frao no muda quando multiplicamos seu numerador e seudenominador por um mesmo nmero.

Agora vamos ver o que acontece quando dividimos o numerador por um mesmo nmero.

Usando o exemplo acima, evidente que, se passamos de para , multiplicando por

3, podemos fazer o caminho inverso e voltar a , dividindo por 3 o numerador e o

denominador de .


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Quando fazemos isto, dizemos que a frao foi simplificada.

Note que nem toda frao pode ser simplificada. Por exemplo, a frao no pode sermais simplificada porque no podemos dividir seu numerador e seu denominador por ummesmo nmero para obter nmeros naturais menores que 2 e 5.

Dizemos que uma frao irredutvel.Mariana j est na 5a. srie e sempre gostou de estudar as fraes.

Sabe desenhar de uma figura, calcular de 60, somar com .Pedimos a Mariana que nos dissesse um nmero entre 0 e 1.Aps pensar um pouco, Mariana disse: 0,8.

- Muito bem! Est certo! Mas por que voc no disse uma frao como ou ?Ficamos surpresos com a resposta:- Fraes no so nmeros!Realmente, em certos casos, as fraes no parecem nmeros. Vejamos dois exemplos:

Sombreamos 5/6 do crculo.A frao no parece nmero. Elaindica uma parte de uma figura ou umarelao parte-todo.

5/6 de 120 :(120 : 6) x 5= 100A frao no parece nmero. Elapode ser interpretada como umamaneira de indicar operaes aserem feitas.

Nesses casos as fraes no parecem nmeros porque no indicam claramente quantidades etambm no indicam medidas.No entanto, j vimos que as fraes podem indicar medidas e quantidades:


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O segmento AB mede centmetro.Neste caso, a frao parece um nmero, no ?Isto nos leva a considerar as fraes como nmeros.Algumas fraes se confundem com os nmeros naturais. Por exemplo:

Outras, como , , no podem ser substitudas por nmeros naturais, mas nem porisso deixam de ser consideradas nmeros.Os matemticos deram o nome de nmeros racionais a todos os nmeros que podem serescritos sob a forma de frao com numerador e denominador inteiros.Era uma vez um timo professor de Matemtica e um aluno muito esperto, daqueles que no

perdem a ocasio de fazer perguntas para atrapalhar o professor.O professor foi explicando fraes e ia tudo muito bem at o dia em que fez vrios desenhosno quadro-negro e pediu aos alunos que copiassem os desenhos e escrevessem em baixo decada um a frao correspondente.Nenhum problema. Praticamente todos os alunos acertaram:

O professor, muito satisfeito, enfatizou aquilo que todos estavam vendo:- As figuras da esquerda mostram pedaos da unidade representados por fraes. As dadireita podem ser representadas por fraes, mas correspondem a unidades inteiras.E acrescentou:- Apesar dessa diferena, todos esses nmeros so chamados nmeros racionais.

Zezinho, o aluno esperto, pulou na cadeira e, todo irnico:- Professor, por acaso existem nmeros irracionais!? Ou o senhor est brincando com agente? Eu pensava que a Matemtica era toda racional!?O professor, que era brincalho, respondeu muito srio, impertubvel:


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- Existem nmeros irracionais. Alis, so muito mais interessantes do que os racionais. Vocvai conhec-los daqui a cinco ou seis anos. Foram os gregos que descobriram essesnmeros, atravs da geometria. Eles descobriram que certas grandezas no podem serexpressas por meio de fraes com numerador e denominador inteiros. Mas no seimpressione com essa designao "racionais". Os Matemticos poderiam ter inventadooutros nomes.O sinal tocou. O professor saiu da sala conversando com o Zezinho:

- Tomara que voc ainda seja meu aluno daqui a cinco ou seis anos. Vamos nos divertirmuito juntos, com a histria dos irracionais.Zezinho acabou fazendo curso de Matemtica na faculdade e se tornou professor deMatemtica.

Operaes com fraes

Adio

A idia de juntar corresponde, na Matemtica, adio. Podemos ento somar fraes

representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Vejamos a adio :

Este exemplo justifica a regra utilizada para somar fraes:Para somar fraes de mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamoso denominador.No entanto, quando as fraes tm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade.

Como vamos somar e por exemplo?


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Agora precisamos descobrir a que frao corresponde a parte sombreada que representa

.

A soluo do problema est no fato de que possvel escrever de muitas outras

maneiras, o mesmo ocorrendo com . Procuraremos, ento, nas vrias escritas de e

de , aquelas que tm denominadores iguais:

Agora, sim, podemos somar: em vez de escrever , escrevemos , e em vez de ,

escrevemos . Este processo se chama "reduzir fraes ao mesmo denominador".Depois que as fraes esto com o mesmo denominador, efetuamos a adio:

Para visualizar esta adio, desenhamos novamente o retngulo e o dividimos em 12 partes:


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Podemos, ento, formular a regra:Para somar fraes com denominadores diferentes, reduzimos as fraes ao mesmodenominador e aplicamos a regra anterior.

Subtrao

Para subtrair fraes, usa-se um processo semelhante ao da adio. Vejamos, por exemplo,

como efetuar :

Dos tiramos :

Restam .

Portanto:Quando os denominadores so diferentes, podemos torn-los iguais usando o mesmoprocedimento utilizado na adio. Por exemplo, vamos efetuar a subtrao:

Procuramos fraes que sejam iguais a estas, mas que tenham o mesmo denominador:

e efetuamos a subtrao:


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Podemos representar esta subtrao por meio de um retngulo dividido em 16 partes:

Tirando de , restam .Portanto, as regras para a subtrao so anlogas s da adio:Para subtrair fraes que tm o mesmo denominador, subtramos os numeradores econservamos o denominador.Para subtrair fraes que tm denominadores diferentes, reduzimos as fraes aomesmo denominador, subtramos os numeradores e conservamos o denominador.

Multiplicao

Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.

Da mesma forma: .

Nestes dois exemplos estamos utilizando a idia de que multiplicar por 3 somar 3 parcelasiguais.O problema que no podemos utilizar essa mesma idia para efetuar, por exemplo,

.Esta multiplicao no uma adio de parcelas iguais. Em casos como este devemosconsiderar a multiplicao de outra maneira.Sabemos que expresses como "o dobro de", "o triplo de", etc., esto relacionadas commultiplicaes. Estas expresses so expresses multiplicativas.

Analogamente, as expresses "a metade de", "a tera parte de", "a quarta parte de", ou

de, de, de, conduzem a divises.Para se ter a metade, necessrio dividir por 2.Para se ter a tera parte, necessrio dividir por 3.E assim por diante.Vamos utilizar essas idias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicao defraes.Comecemos pelo exemplo citado:


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O que queremos saber quanto vale "o dobro" da "tera parte" de .

Comeamos por representar :

Depois, marcamos "a tera parte" de :

Por ltimo, marcamos "o dobro" da "tera parte" de :

Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:

Quanto vale a parte marcada, em relao ao retngulo todo?

A parte marcada corresponde a do retngulo todo.

Conclumos que .Podemos resumir tudo isso numa regra simples:

Para multiplicar fraes, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadoresentre si.Para confirmar esta regra, podemos test-la em outras multiplicaes:

. Vamos calcular

Temos

Queremos a metade de


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A figura nos mostra que a metade de , ou seja:

. Agora vamos calcular

Dividimos em 4 partes:

Agora tomamos 3 dessas partes:

ou seja:

Existem fraes que, multiplicadas, resultam na unidade. Vejamos um exemplo:

Seguindo a regra da multiplicao, vamos multiplicar a frao pela frao .

Um desenho mostra que equivalem unidade:

Podemos chegar mesma concluso por outro caminho. Como j vimos, se queremos achar

o resultado de , devemos primeiro achar a metade de :


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,

e, depois, 3 vezes a metade de :

Chegamos, ento, ao mesmo resultado anterior:

Dizemos que o inverso multiplicativo de .

Este fato ser usado logo adiante.

Diviso

Temos trs caminhos para chegar ao resultado de uma diviso de fraes.1 caminho: REPARTINDOPodemos encontrar o resultado de algumas divises de fraes utilizando a idia derepartir.

Por exemplo, se repartimos de uma barra de chocolate entre 2 crianas, cada uma

receber a metade de da barra:

Ento, o resultado da diviso de por 2 . Escrevemos: .

2 caminho: QUANTAS VEZES CABE?Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um nmero cabe nooutro.Com nmeros naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar oresultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes

em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2.


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Podemos aplicar esta idia a fraes. Quando procuramos o resultado de , estamos

querendo saber quantas vezes cabe em . Um desenho responde imediatamente:

Ento podemos escrever:

Como se pode perceber, as idias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" so equivalentes.

uma questo de se achar mais fcil ou mais difcil usar cada uma delas, em cada caso.

O uso das operaes com fraes

No passado, quando as medidas eram expressas por fraes, as operaes com fraes erambastante utilizadas.Hoje em dia, como usamos os nmeros decimais para expressar as medidas, as operaescom fraes so menos usadas. Embora os livros didticos apresentem vrios problemas em

que essas operaes so utilizadas, a maioria constituda por operaes bastante artificiais.Isso no quer dizer que as operaes com fraes sejam inteis. Elas so importantes e atmesmo essenciais na Matemtica mais avanada que envolve clculos algbricos.Por isso vale a pena o ensino das operaes com fraes. Apenas ressaltamos que, primeiro,as crianas devem compreender bem as idias bsicas e fazer apenas operaes simples,sempre com o uso de desenhos e nunca decorando regras.As tcnicas operatrias, que discutimos nesta segunda parte da lio, s devem ser ensinadasdepois que as crianas tenham compreendido perfeitamente o que significa cada operao.Como o estudo de fraes costuma ser feito em duas etapas ( 3a. ou 4a. srie e, de novo, na5a. srie), as tcnicas operatrias podem ficar para a segunda etapa.Alguns especialistas em ensino de Matemtica acham at que as regras s deveriam ser

apresentadas quando os alunos j esto estudando os clculos algbricos. uma questo polmica que s pode ser resolvida por cada professor, em funo de seusalunos. No prudente estabelecer regras gerais em casos como este.

Saiba Mais: http://educar.sc.usp.br/matematica/mate01.htm

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