Embed Size (px)
Citation preview
1
Resoluções
Extensivo Terceirão – Matemática 9A
9AMatemática
Aula 2525.01. a
y
y x
=
= − =
log
log log
2
2 2
324
32 4
25.02. b
log log log log
log log
A BC
A B C
A BC
A
3 23 2
3 2
3
⋅
= + −
⋅
= ⋅ ++ ⋅ −2 log logB C
25.03. cx
x
x
x
= += ⋅==
log log
log ( )
log
15 15
15
15
5 3
5 3
15
1
25.04. aA
A
A
= + + −
= + ⋅ −= −=
log ( ) log ( )
log [( ) ( )]
A log [ ]
log
3 3
3
3
3
5 2 5 2
5 2 5 2
5 2
3
AA =1
25.05. dlog( ) log( )
log( ) (logx logy)
log( ) ( ,
x y x y
x y
x y
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ +
⋅ = ⋅
3
3
3
3
3
3 0 22 0 5
3 0 7
2 1
3
3
+
⋅ = ⋅
⋅ =
, )
log( ) ,
log( ) ,
x y
x y
25.06. blog log log
log log log
log log( )
E
E
E
E
E
= +
= +
= ⋅= ⋅=
2 3 5 2
3 2
3 2
9 32
288
2 5
2 5
25.07. b2
log0,2 log log2 log10 0,3 1 0,710
log20 log(2 10) log2 log10 0,3 1 1,3
= = − = − = − = ⋅ = + = + =
25.08. by x
yx
= −
=
log log
log
2 2
2
800
800
Se y = 6 , temos:
6800
2800
64800
12 5
2
6
=
=
=
=
log
,
x
x
xx
Portanto, o preço de venda do produto deve ser R$ 12,50.
25.09. d
log ,
( ) ( )
,
, ,
2 0 301 10 2
16 2 2 10 10
0 301
10 4 10 40 0 301 40 12 04
= ⇒ =
= = = =
Portanto, 1610 está entre 1012 e 1013. 25.10. a
log
log
( )
( )
2 10 2
3 10 3
9 5
3102
1010
10
10 10
2
2
2
= ⇒ =
= ⇒ =
=
=
=
=
a
b
a
b
x
x
b xa
bx 11
2 112
−
= − ⇒ =−
a
bx a xa
b
25.11. alog log( ) log log log
log log( ) log lo
20 2 10 2 10 2 1
200 2 10 22
= ⋅ = + = +
= ⋅ = + gg log
log log( ) log log log
log lo
10 2 2
2000 2 10 2 10 2 3
2 2 2
2
3 3
= +
= ⋅ = + = ++ gg log log
log (log ) (log ) (log
20 2 200 2 2000
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
− − == + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ++ == + + − − − − = −
3
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 6 8
)
log log log log
25.12. dCondição de existência:x > 0
log log log log
log( )
log
x x x x
x x x x
x
+ + + = −
⋅ ⋅ ⋅ = −
= −−
2 3 4
2 3 4
10
20
20
20
10 220 10
2010 210 10 0 01
=
= = =− −
x
x ,
25.13. eA B C
C
C
A B
A B
⋅ + ⋅ =
+ =
⋅ =
log log
log log
log ( )
200 200
200 200
200
5 2
5 2
5 2
200 CC A B
C A B
C C A B C A e C B
= ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⇒ = =
5 2
2 5 5 2
2 5 5 2 3 2
3 2
3 2
( )
Portanto:A B C C C C C+ + = + + =3 2 6
25.14. elog log log log
log log log log log
log log
x
x
x
= + − − ⋅
= + − −
=
3 3 2 2 5
10 3 2 53 2
110 32 5
1000 32 25
60
3
2⋅
⋅
=⋅
⋅=x
2 Extensivo Terceirão – Matemática 9A
25.15. dlog log log log ... log log
log( ...
1 2 2 3 3 4 4 10 10
1 2 3 42 3 4
+ + + + + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
x
110
1 2 3 4 10
1 2 3 4 10 2 3 4
10
2 3 4 10
) log
...
( ... ) (
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
x
x
x .... ) ( ... )
( ) ... ( )
! !!
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
10 3 4 10
4 10 9 10 10
10 1010
x22
103
108
109
102 3 8 9
10
!!
!...
!!
!!
( !)! ! ... ! !
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅
x
25.16. dt
t2
22
2 22
2
x 2
y 2t 1
x 2 t log x
y 2t 1
y 2 log x 1
y log x log 2
y log (2x )
=
= += ⇒ == += ⋅ +
= +
=
25.17. dP x
x
x
= + −= + −= −
0 1 1996
3 6 0 1 1996
3 5 1996
2
2
2
23 5
, log ( )
, , log ( )
, log ( ), == −
⋅ = −
⋅ = −⋅ = − ⇒ =
x
x
x
x x
1996
2 2 1996
8 2 1996
8 1 4 1996 2007 2
3 0 5,
, ,
A população da cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados de 2007.
25.18. d
N tN
N eN
e et t t
( )=
⋅ = ⇒ = ⇒ =− − − −
0
05 0 5 5 1
2
212
2
Como ln ,2 0 7= , então:
log , ,e e2 0 7 20 7= ⇒ =
Assim:
e
e et
t
t
t
− −
− −
=
= ⇒− =− ⇒ =
5 1
5 0 7 1
2
50 7 3 5( ) , ,,
O tempo necessário é de 3 meses e meio.
25.19.log log log log
log log log log log
log log
E a b c
E a b c
E
= + + ⋅ −
= + + −
=
1 2
10
1
2
00
10
2
2
⋅ ⋅
=
a bc
Eabc
25.20.a)
t n a n
t a a
t a
b
b
b
b
b
b
( )
( ) , ,
( )
,
= ⋅
= ⋅ = ⇒ =
= ⋅ =
⋅ =
⋅ =
=
1 1 1 5 1 5
2 2 2
1 5 2 2
32
2 2
22 22
2
3
223
2 2 2 3
0 30 2 0 30 0 4
log log
log log log
, , ,
b
b
b
=
⋅ = ⋅ −⋅ = ⋅ − 55
0 150 30
0 5b = =,,
,
Portanto, a=1 5, e b = 0 5, .
b)t n n
t
t
t
( ) ,
( )
( )
( )
,
,
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
1 5
432
4
432
2
4 3
0 5
0 5
O tempo necessário é de 3 minutos.
3Extensivo Terceirão – Matemática 9A
Aula 2626.01. a
loglog
log
logloglog
loglog
82
2
82
3
23
82
125125
8
12552
1253 5
3
=
=
=⋅
= x
26.02. b
log log logloglog
loglog
loglog2 3 53 5 2
32
53
25
1⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
26.03. cA
A
A
A
= ⋅
= ⋅
= ⋅
log log
loglog
loglog
loglog
loglog
3 25
4
2
5 81
53
8125
53
35
== ⋅⋅⋅
= =loglog
loglog
53
4 32 5
42
2
26.04. clog2 7
2 7
=
=
xx
Como 2 42 = e 2 83 = , o número log2 7 está entre 2 e 3. 26.05. b
logloglog
loglog9
2 32
3
3
329
23
22
aa a x
x= =⋅
=⋅=
26.06. c
loglog
log
loglog( )log
loglog log
100
100 2
100
66
100
62 310
62 3
2
=
=⋅
=+
==+
=0 30 0 48
20 39
, ,,
26.07. b
log log logloglog
loglog
loglog
log log lo
9 2 5
9 2
2 5 329
52
35
2 5
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ggloglog
loglog
loglog5 23
39
33
32 3
12
= = =⋅
=
26.08. b
log logloglog
loglog
log loglog
log
A B
A B
B ABA
AB
B AB
A
3 23 2
3 2 3
⋅ = ⋅
⋅ =⋅
⋅22
6⋅
=log
logA
B26.09. b
log log logloglog
loglog
loglog
log log lo
2 7 5
2 7
7 5 472
57
45
7 5
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ggloglog
loglog
loglog5
2
442
22
2 22
2= = =⋅
=
26.10. clog log log log
loglog
loglog
logl
5 7 2 636 32 625 343
365
327
625
⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅oog
loglog
loglog
loglog
loglog
loglog
2343
6
65
27
52
76
2 5 4 3
⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =
=22 6
55 2
74 5
23 7
62 5 4 3 5 4 3
⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
loglog
loglog
loglog
loglog
⋅⋅ ⋅ =2 1 5!
26.11. d
logloglog
loglog( )
log
log
100
100
7
2
100
12801280100
12802 1010
1
=
=⋅
22802 10
2
12807 0 301 1
21 5535
7
100
=+
=⋅ +
=
log log
log,
,
26.12. aPortanto, a cada 30 segundos pingam 9 gotas, ou seja, a cada hora pingam 120 9 1080⋅ = gotas. Como o volume de cada gota é 0,2 mL, o desperdício de água em uma hora foi de 1080 0 2 216⋅ =, mL mL.
26.13. d
logloglog
,,
,5 20205
1 30 7
1 857= =
26.14. b
loglog
log
loglog( )
log
loglog log
9
9
4
2
9
4
160160
9
1602 10
3
1602
=
=⋅
=+ 110
2 3
1604 1
29
⋅
=+
log
loga
b
26.15. e
S
S
=⋅
+⋅
+⋅
=⋅
+⋅
12 2016
15 2016
110 2016
1
22016
2
1
5
2 3 7log log log
loglog
lloglog
loglog
loglog
loglog
20163
1
102016
72
2 20163
5 2016
+⋅
=⋅
+⋅
+Slloglog
log log loglog
log(
710 2016
5 2 2 3 710 2016
2 3 75 2
⋅
=⋅ + ⋅ +
⋅
=⋅ ⋅
S
S))
loglog
log10 20162016
10 20161
10⋅=
⋅=
26.16. cd t
e
e
e
e
e
t
t
t
t
( )
( )
,
,
,
,
,
,
,
=
⋅ − =
− =
=
=
−
−
−
−
25
50 1 25
1 0 5
0 5
12
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1tt
et
ee
t t
=
== ⇒ =
2
2
0 1 0 7 7
0 1log log
, ,
,
Portanto, o tempo gasto é de 7 segundos.
4 Extensivo Terceirão – Matemática 9A
26.17. bA t B t
t t
t
( ) ( )
log ( ) log ( )
log ( )log
log [ (
=
+ = +
⋅+
= ⋅
89
2
2
22
1 16 16
91
816 tt
tt
t t
+
⋅+
= + +
⋅ + = + +
1
91
316 1
3 1 4 1
22 2
2 2
)]
log ( )log log ( )
log ( ) log ( )
22 1 4
1 2 2 1 32
22
⋅ + =
+ = ⇒ = + ⇒ =
log ( )
log ( )
t
t t t
Assim, para t = 3 as duas populações são iguais. Para t > 3, A(t) B(t)> , e para t < 3, A t B t( ) ( )< .Exemplos:
tA
B=
= + = == ⋅ + = =
1
1 1 1 512 3
1 16 1 16 32 58
98
2 2
:( ) log ( ) log
( ) log ( ) log
== + = == ⋅ + =
tA
B7
7 1 7 8 9
7 16 7 16 1288
98
9
2 2
:( ) log ( ) log
( ) log ( ) log ==
7
Portanto, o valor mínimo do instante t é 3.26.18. a
g x x
g
f x
f g f
x k
k
( ) log
( ) log
( )
( ( )) ( )
== =
=
= =
−
−
2
2
3
8 8 3
3
8 3 3
Assim:f g
k k
f x
f
g f g
k
x
( ( ))
( )
( )
( ( ))
8 3
3 3 3 1 2
3
5 3 3 27
5
3
2
5 2 3
=
= ⇒ − = ⇒ =
=
= = ==
−
−
−
(( ) log
( ( ))loglog
loglog
,,
,
27 27
5272
32
3 0 480 30
4 8
23
=
= = =⋅
=g f
26.19. a)
f
f
(log ( ))
(log ( ))
log ( ) log ( )10
1 10 2 3 1 10 2 3
10
2 3 10 10
2 3 1
+ = +
+ =
+ + − +
00 10 10 10
2 3 10 10
1 10 2 3 10 2 3
1010
⋅ + ⋅
+ = ⋅
+ − +log ( ) log ( )
log ((log ( ))f 22 3
10 2 3
10
1
10
2 3 10 2 31
2 3
++
+
+ = ⋅ + ++
)log ( )
(log ( ))
(
f
f llog ( ))( ) ( )
(log ( ))
10
10
2 3 10 2 31
2 32 32 3
2 3 10
+ = ⋅ + ++
⋅−−
+ = ⋅f 22 3 2 3 40+ + − =
Portanto, f(log ( ))10 2 3+ é um número inteiro.
b)f x
x x
xx
( )=
+ =
⋅ + =
+ −
52
10 10 52
10 1010
1052
1 1
Sendo 10 x y= , temos:
1010
52
10 52 10 0
5 26 5 0 515
2
2
yy
y y
y y y ou y
+ =
− + =
− + = ⇒ = =
Portanto:i
�
i
10 5
5102
10 2 1 0 3 0 7
1015
x
x
x
x
=
= =
= − − =
=
=
log log log log , ,
log115
1 5 0 0 7 0 7 = − = − = −log log , ,
Portanto, x 0 7, ou x −0 7, .
26.20. 3000 metros
P e
e
e
e
h
h
h
(h) P
ln(
,
,
,
= ⋅
= ⋅
=
⋅
− ⋅
− ⋅
−
0
530 760
530760
0 00012
0 00012
0 00
α
0012 530760
0 00012 530 760
0 00012 6 2
⋅ =
− ⋅ = −− ⋅ =
h
h
h
) ln
, ln ln
, , 77 6 63
0 00012 0 36
3000
−− ⋅ = −=
,
, ,h
h
Portanto, a altura encontrada para o Pico da Neblina foi de 3000 metros.
5Extensivo Terceirão – Matemática 9A
Aula 2727.01. d
f x x
f
f
f
f f
( ) log
( ) log
( ) log
( ) log
( ) ( )
== == == =+ +
3
3
3
3
3 3 1
9 9 2
27 27 3
3 9 ff( )27 1 2 3 6= + + =
27.02. cCondição de existência:4 16 0
4 16
4
x
x
x
− >>>
Portanto:D f x x( ) { | }= ∈ > 4
27.03. bSe a função é crescente, a base é maior do que 1.Assim, um possível valor é a= 4.
27.04. da) CORRETO.
A função f é injetora.b) CORRETO.
Como a base é maior do que 1, a função é crescente.c) CORRETO.
D f( )= +*
d) INCORRETO.O conjunto imagem de f é .
27.05. df x
y
x
x
x y
x
x
y
y
( )
log log
log
=
=
=
==
3
3
3
33 3
3
Portanto, f x x− =13( ) log .
27.06. af x
f x x
f
f f f
x( )
( ) log
( ) log
( ( )) (log ) log
=
=
=
= = =
−
−
−
3
2 2
2 2 3 2
13
13
13
3 2
27.07. bCondição de existência:50 5 0
5 50 0 10 5
2
2
− − >
− − + > ⇒− < <
x x
x x x
Portanto:D f x x( ) { | }= ∈ − < < 10 5
27.08. aO ponto ( , )5 2 pertence ao gráfico da função.
f x x
f
b b
b
b
( ) log ( )
( )
log ( )
= −=− =
= ⇒ =
1
5 2
5 1 2
4 22
Portanto:f x x
f
f
( ) log ( )
( ) log ( )
( ) log log
= −= −
= = =
2
2
2 27
1
129 129 1
129 128 2 7
27.09. aO ponto ( , ; )0 5 1− pertence ao gráfico da função.f x x
f
bb
b
b
b
( ) log
( , )
log ( , )
,
== −
= −
= ⇒ = ⇒ =−
0 5 1
0 5 1
0 51 1
221
Portanto, a área sombreada é:b
2
Área 2 log 2
Área 2 log 2 2 1 2
= ⋅= ⋅ = ⋅ =
27.10. b
f x
f
f
x
( ) log
( ) log
( ) log
=
=
=
10
10
3
102000
3102000
3 110 10 1010002000
12
2
=
= −log log
27.11. eA t B t
t t
t
( ) ( )
log ( ) log ( )
log ( )log
log [ (
=
+ = +
⋅+
= ⋅ ⋅
45
22
2
22
2 2 4
52
42 2 tt
tt
t
+
⋅+
= ⋅ + +
⋅ + = ⋅ + ⋅
2
52
22 2 2
5 2 4 1 4
22 2
2
)]
log ( )[log log ( )]
log ( ) logg ( )
log ( )2
24
2
2 4 2 2 14
t
t t t
+
+ = ⇒ = + ⇒ =
27.12. b
x
xx
logxy 10 x, para x 0
log10 xy x
log10 1
1y 10
10y log(10x) log10 logx 1 logx
−
= = >
= = =
= = = = + = +
Portanto, para x > 0 obteremos 4 gráficos distintos.27.13. a
f
f
f
( , ) log ( , )
( , ) log
( ,
0 03125 0 03125
0 03125312510
0 03
2
2 5
=
=
11255
10
0 031255
10
0 03125
2
5
5
2
5
) log
( , ) log
( , )
=
=
f
f == ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −−5
12
5 2 5 1 52 21log log ( )
27.14. ef x x
n f f f
n
( ) log
( ) ( ) ( )
log log l
=
= + +
= + +
13192
13192
13192
10 11 12
10 11 oog
log ( )
log ( )
lo
13192
13192 2 2
13192
12
10 11 12
10 11 12
2
n
n
n
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ gg1319 1320
Como log1319 1320 é maior do que 1, então n> 2.
6 Extensivo Terceirão – Matemática 9A
27.15. ay f x x
f
f
f
= ====
( ) log
( ) log
( ) log
( ) log
10
10
10
10
2 2
3 3
4 4
A região hachurada corresponde a dois retângulos, ambos com base de medida 1, um deles com altura igual a log log10 103 2− e o
outro com altura igual a log log10 104 3− .
Portanto:10 10 10 10
10 10
10 10
Área 1 (log 3 log 2) 1 (log 4 log 3)
Área log 4 log 2
4Área log log 2
2
= ⋅ − + ⋅ −= −
= =
27.16. ey f x x
f
f
f
= = += + = + == += +
( ) log
( ) log , ,
( ) log
( ) lo
1
2 1 2 1 0 301 1 301
6 1 6
6 1 gg( )
f( ) log log , , ,
2 3
6 1 2 3 1 0 301 0 477 1778
⋅= + + = + + =
Portanto, a área do trapézio é:1,778 1,301
Área (6 2)2
3,079Área 4 6,158
2
+ = ⋅ − = ⋅ =
27.17. ef x a
f
a a
x( )
( )
=
− =
= ⇒ =−
112
12
21
Assim:x
2
32
f(x) 2
g(x) log x
g(k) 3
log k 3 2 k k 8
==
=
= ⇒ = ⇒ =
27.18. 18 (02, 16)01) INCORRETO.
g x
g x
x
x x x
( ) ( )
( ) ,
=
=
=
⋅ = ⋅
− +
+
2
14
14
14
0 2514
2 1
1
Como a base 14
está entre 0 e 1, a função g é decrescente.
02) CORRETO.f x
x x x
x x x
x x
( )
log( ) log( )
log( ) log( )
=
− + − − =
− + = −
− +
0
5 6 4 0
5 6 4
5
2 2
2 2
2 66 4
2 5 2 0 212
2
2
= −
− + = ⇒ = =
x
x x x ou x
Para x = 2, ambos os logaritmandos são nulos, o que não satisfaz as condições de existência.
Para x =12
, ambos os logaritmandos são positivos.
Portanto, a única solução da equação é 12
.
04) INCORRETO.Condições de existência:
x x
x
x x x ou x I
x x
2
2
2
2
5 6 0
4 0
5 6 0 2 3
4 0 2 2
− + >
− >
− + > ⇒ < >
− > ⇒− < <
( )
(II)
Da intersecção de (I) e (II), temos:D f x x( ) { | }= ∈ − < < 2 2
08) INCORRETO.g x
g
g
x( )=
−
=
−
= = =
− −
− ⋅ −
−
− −
2
12
2
12
2 21
2 2
212
2
1 2 1
220 5
12
0 5
12
0 5 52
=
−
=
−
= −
,
( , )
log( ,
f g f
f g ⋅⋅ + − −
−
= − =
0 5 6 4 0 5
12
3 75 3 75
2, ) log( , )
log( , ) log( , )f g 00
16) CORRETO.g x
g x
x
x
x
x
x
( )
( )
=
=
=
=
= ⇒− − = −
− −
− −
− −
− − −
2
28
22
8
222
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
12
3
2 252 55
214
⇒ =x
27.19. a)
Q tt
Q
k
k
k
k
( ) log
( )
log
=+
=
+
=
= ⇒ =
101
0 1
100 1
1
10 10 11
b)
Q tt
Q t
t
t
tt
( ) log
( )
log
=+
=
+
=
=+
=+
101
0
101
0
1010
1
110
1
0
++ = ⇒ =1 10 9tA experiência terminará ao fim de 9 horas.
7Extensivo Terceirão – Matemática 9A
27.20. a) h t
t
t
t t
h t
( ) ,
, log ( ) ,
log ( )
( ) ,
,
=+ + =+ =
= + ⇒ =
=+
0 5
0 5 1 0 5
1 0
3 1 0
1 5
0 5
3
30
llog ( ) ,
log ( )3
31
1 1 5
1 1
3 1 2
t
t
t t
+ =+ =
= + ⇒ =Portanto, o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m é 2 anos.
b) g t h t h t h t
g t h t t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) , log ( ) [ , log
− = + −− = + + + − +
3 2
0 5 3 2 1 0 53 3(( )]
( ) ( ) log ( ) log ( )
( ) ( ) log( )
t
g t h t t t
g t h tt
+− = + − +
− =⋅ +
1
3 3 1
3 13 3
3 ttg t h t
+
− = =1
3 13( ) ( ) log
Portanto, a diferença g t h t( ) ( )− é constante.
1Extensivo Terceirão – Matemática 9B
25.01. aA probabilidade de o jogador sorteado do time de basquetebol ter ingerido uma substância proibida é igual a 4/10 = 40%. A probabi-lidade de o jogador sorteado do time de voleibol ter ingerido uma substância proibida é igual a 5/12 @ 41,7%. A probabilidade de o jogador sorteado do time de futebol ter ingerido uma substância proibida é igual a 9/22 @ 41%. Logo, em ordem crescente, as probabilidades são assim ordenadas:p(Basquetebol) < p(Futebol) < p(Voleibol)
25.02. bDos 250 alunos, exatamente 110 estão com o peso ideal. Logo, a probabilidade é igual a 110/250 = 0,44 = 44%.
25.03. ePara n = 1, tem-se a = 2 ∙ 1 + 1 = 3.Para n = 2, tem-se a = 2 ∙ 2 + 1 = 5.Para n = 3, tem-se a = 2 ∙ 3 + 1 = 7.Para n = 4, tem-se a = 2 ∙ 4 + 1 = 9.Assim, dos 4 valores possíveis de a, nenhum é par. Logo, a probabi-lidade de a ser par é zero.
25.04. aOs múltiplos de 8 são 8, 16, 24, 32, 40 e 48, em um total de 6 nú-meros dentre os 50. Logo, a probabilidade é igual a 6/50 = 3/25.
25.05. eDe 1 a 900 há 900 números naturais. Desses, exatamente 100 deles são múltiplos de 9 (9, 18, 27, 36, ..., 900). Logo, a probabilidade é igual a 100/900 = 1/9.
25.06. cConsiderando P a probabilidade de ser selecionada aleatoriamente uma pessoa que não é muito confiante nas pesquisas:
P P=+ + +
⇒ =200
350 300 200 15015
25.07. eDo enunciado, temos que o número de condôminos, com taxas de
condomínio atrasadas, é dado por 20
100120
10100
230⋅ + ⋅ , ou seja,
47, dos quais 23 são proprietários de terreno sem edificação. Assim,
a probabilidade pedida é dada por 2347
.
25.08. bA quantidade de permutações que terminam com o algarismo 1 é igual à quantidade de permutações que terminam com o alga-rismo 2, 3, 4 ou 5. Assim, para que a permutação seja divisível por 2, basta que termine com 2 ou com 4. Portanto, a probabilidade é igual a 2/5, pois 2 dos 5 algarismos determinam um número par quando colocados na ordem das unidades.
25.09. 13 (01, 04, 08) 01) VERDADEIRA.
A probabilidade é superior a 50%, pois 6/11 > 0,50.02) FALSA.
Lançando dois dados, existem 6 ∙ 6 = 36 pares possíveis de re-sultados. Desses, exatamente 6 pares possuem números iguais. Logo, a probabilidade é igual a 6/36 = 1/6 < 0,20 = 20%.
04) VERDADEIRA.Em 30 cartões, exatamente 6 são múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20, 25 e 30). Logo, a probabilidade é igual a 6/30 = 1/5 = 0,20 = 20%.
08) VERDADEIRA.Comprando 2 números em 50 possíveis, a probabilidade de ga-nhar um prêmio é igual a 2/50 = 0,04 = 4%.
25.10. cExistem 7 jogadores para 3 vagas no time. Assim, a probabilidade de um jogador em particular ser escalado (independentemente de ser o mais jovem) é igual a 3/7 = 15/35.
25.11. eA pesquisa foi realizada com 30 + 60 + 50 + 40 = 180 pessoas. Na faixa de 15 a 17 anos, constituída por 40 pessoas, exatamente 40/5 = 8 pessoas têm 15 anos. Logo, a probabilidade é igual a 8/180 = 2/45.
25.12. aA área do quadrado de lado x é igual a x2. A área do círculo de raio R é igual a πR2. Se o quadrado está inscrito no círculo, então
xR
22
= , ou seja, xR= 2 . Logo, a probabilidade, p, de que o ponto
escolhido esteja no interior do quadrado é igual à razão entre a área do quadrado e a área do círculo:
px
R=
2
2π → p
xR
=
1 2
π. → p= ( )1
22
π. → p=
2π
25.13. cA tabela a seguir mostra todas as possibilidades de se retirar R$ 400,00 desse caixa eletrônico.
Notas de R$ 50,00
Notas de R$ 20,00
Total de cédulas
8 0 8
6 5 11
4 10 14
2 15 17
0 20 20
Dos cinco casos possíveis, em apenas dois o total de cédulas entre-gues e ímpar. A probabilidade de esse fato ocorrer é 2/5.
25.14. aMontamos a tabela com as somas dos possíveis resultados dos 2 dados:
1 2 3 3 5 6
1 2 3 4 4 6 7
2 3 4 5 5 7 8
4 5 6 7 7 9 10
4 5 6 7 7 9 10
5 6 7 8 8 10 11
6 7 8 9 9 11 12
Contamos 20 eventos favoráveis num espaço amostral de 36 resul-tados possíveis.Logo, a probabilidade é igual a 20/36 = 5/9.
Resoluções 9BMatemática
Aula 25
2 Extensivo Terceirão – Matemática 9B
25.15. a
Existem C10 510
10 5 510 9 8 7 6 5
5 5 4 3 2 1252;
!( )! !
!!
=− ⋅
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
formas de escolher cinco entre as dez questões propostas.
Existem C 7 57
7 5 57 6 52 5
21;!
( )! !!
! !=
− ⋅=
⋅ ⋅⋅
=
formas de escolher cinco entre as sete questões que o aluno con-seguiu resolver.Assim, a probabilidade de o aluno acertar todos os problemas da
prova é 21252
112
784
= =
25.16. dExistem 4 possibilidades para a retirada da primeira bola e 4 possi-bilidades para a retirada da segunda. Logo, existem 4 ∙ 4 = 16 pares possíveis considerando-se as duas retiradas. Para que a média arit-mética dos números obtidos seja menor que 5, a soma dos núme-ros obtidos deve ser inferior a 10. Para que a soma seja inferior a 10, não é favorável retirar a bola de número 8. Excluindo-se a bola de número 8 existem 3 possibilidades para a escolha da primeira bola e 3 possibilidades para a escolha da segunda bola, em um total de 3 ∙ 3 = 9 pares possíveis. Entretanto, os pares (4, 6), (6, 4) e (6, 6) pos-suem soma não inferior a 10. Logo, descontando-se esses 3 pares que não apresentam soma inferior a 10, tem-se 9 – 3 = 6 pares que apresentam soma inferior a 10 em um universo de 16 pares. Logo, a probabilidade é igual a 6/16 = 0,375.
25.17. cNo lançamento de dois dados honestos (não viciados) os resulta-dos possíveis são os apresentados na tabela seguinte:
A B(1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
(2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
(4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
(5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)D C
Observe que, dos 36 resultados possíveis, existem 17 casos em que um jogador faz suas peças andarem pelo menos oito casas. São os
quinze casos situados abaixo da diagonal BD da figura, e mais os casos (2; 2) e (3; 3), pois nestes, as somas são respectivamente 4 e 6, e os dobros das somas são 8 e 12.
Assim, a probabilidade pedida é 1736
.
25.18. eVocê receberá o tablet se o conjunto das cinco bolas sorteadas for {a, b, 7, 8, 9} com {a, b} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.A probabilidade pedida é, pois,
C
C6 2
9 5
15126
,
,
=
25.19. a) O algarismo 3 deve aparecer uma única vez, podendo ser na or-dem das centenas, das dezenas ou das unidades:
3 3 3
1 ∙ 9 ∙ 9 = 81 9 ∙ 1 ∙ 9 = 81 9 ∙ 9 ∙ 1 = 81
Logo, o número de possibilidades para a escolha do segredo é igual a:81 + 81 + 81 = 81 . 3 = 243 Existem 243 maneiras possíveis para a escolha do segredo, se o algarismo 3 aparecer uma única vez.
b) A quantidade total de segredos sem qualquer restrição é dada por:
10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000
A quantidade de segredos cujos algarismos sejam distintos e apareça o algarismo 3 é dada por:
3 3 3
1 ∙ 9 ∙ 8 = 72 9 ∙ 1 ∙ 8 = 72 9 ∙ 8 ∙ 1 = 72
Assim, existem 72 + 72 + 72 = 216 maneiras de escolher o segre-do com todos os algarismos distintos e o algarismo 3 aparecen-do uma vez. Logo, a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os algarismos são distintos e o algarismo 3 aparece
obrigatoriamente é dada por: 216
100021 6= , % .
25.20. As quantidades de animais de cada genótipo são:AA = 32% de 500 = 160Aa = 46% de 500 = 230aa = 22% de 500 = 110a) Sendo n o número de animais de genótipo aa que devemos
acrescentar, temos:
160 230500
50 390 250 0 5++
= ⇒ = + ⇒ =n
n n% , 280
Devemos acrescentar 280 animais de genótipo aa.b) Como o sorteio é feito logo após a morte dos animais de genóti-
po aa, temos 160 do tipo AA e 230 do tipo Aa, de onde resulta:
230 230P 0,59
160 230 390= = ≅ ⇒
+P @ 59%
A probabilidade pedida é de, aproximadamente, 59%.
Aula 2626.01. d
p(Matemática ou Elétrica) = p(Matemática) + p(Elétrica)
( ) = + = =80 40 120 6p Matemática ouElétrica
140 140 140 7
26.02. b
esporte idiomas
120 120 60
500
240 180
3Extensivo Terceirão – Matemática 9B
p Esporte ouIdiomas p Esporte p Idiomas p Esporte e Idioma( ) ( ) ( ) (= + − ss)
p Esporte ouIdiomas( )= + − = =240500
180500
120500
300500
35
26.03. bp(AVC ou Pulmão) = p(AVC) + p(Pulmão)
( ) = + = ≅ =15104 21906 37010p AVC ouPulmão 0,28 28%
130152 130152 13015226.04. d
p Masculino ou Sarampo p Masculino p Sarampo p Masculino e( ) ( ) ( ) (= + − SSarampo)
p Masculino ou Sarampo( ) %= + − = ≅67
12035
12019
12083
12069
26.05. dSe P(A) + P(B) = 1; 0 ≤ P(A) ≤ 1 e 0 ≤ P(B) ≤ 1, então, uma possível distribuição de probabili-dade para os eventos A e B seria P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6.
26.06. aObserve:
Defeito costura
Falta cadarço
15%
18%
(17% – 15%) 2%
(25% – 15%) 10%
Descolado a sola
Afirmação I: FalsaA probabilidade de que um calçado recolhido tenha como defeito a costura ou a sola desco-lada é 27%(2+15+10). Afirmação II: VerdadeiraO total dos calçados com estes defeitos será de 45% (2+15+10+18), ou seja, dos calçados recolhidos, 55%(100-45) apresentavam outros defeitos. Afirmação III: VerdadeiraExatamente 27% dos calçados apresentavam como problema um defeito na costura ou a sola descolada. Logo, 73% (100-27) não apresentam nenhum desses defeitos apontados.
26.07. d Se 40 sabem falar inglês e 25 sabem falar inglês e espanhol, então 40 – 25 = 15 pessoas sabem falar inglês, mas não espanhol. Logo, a probabilidade de que o funcionário fale inglês e não fale espanhol é igual:
p= =1545
13
26.08. dExistem 250 números possíveis. Destes 250 números exatamente 125 (metade) são múltiplos de 2. Os múltiplos de 7 são 7, 14, 21, 28, ..., 245, em um total de 35 números múltiplos de 7. Dentre os 250 números são múltiplos de 14, ou seja, simultaneamente de 2 e 7, os números 14, 28, 42, ..., 238, em um total de 17 números múltiplos de 14. Logo, a probabilidade de a bola retirada conter um número múltiplo de 2 ou 7 é igual a:
p=+ −
=125 35 17
250143250
26.09. aO percentual de pessoas que preferem a empresa Y à X é igual a:12,5% + 4,0% + 16,0% = 32,5%Logo, a probabilidade de que a pessoa prefira a empresa Y à empresa X é igual a 32,5%.
26.10. cInicialmente, vamos calcular as quanti-dades de pessoas pertencentes a cada um dos conjuntos citados:Aplicam dinheiro em caderneta de pou-pança: 50% de 300 = 0,30 ∙ 500 = 150 Aplicam dinheiro em fundos de investi-mento: 30% de 300 = 0,30 ∙ 300 = 90Aplicam dinheiro em caderneta de pou-pança e fundos de investimento, simul-taneamente:15% de 300 = 0,15 ∙ 300 = 45Organizando as informações em diagra-mas, temos:
Poupança Fundos
105
105
45 45
300 pessoas
Logo, a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é igual a:
p= = =105300
0 35 35, %
26.11. bO conjunto X é dado por X = {15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; ...; 63; 64}, em um total de 50 elementos. São múltiplos de 3 os seguintes elementos: A = {15, 18, 21, ..., 63}, em um total de 17 elementos. São múltiplos de 5 os seguintes elementos: B = {15, 20, 25, ..., 60}, em um total de 10 elementos. São múltiplos de 3 e 5 (15) os seguintes elementos: A ∩ B = {15, 30, 45, 60}, em um total de 4 elementos. Logo, a probabilidade de o número ser múltiplo de 3 ou de 5 é igual a:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
p A B( ) , %∪ = + − = = =1750
1050
450
2350
0 46 46
26.12. aSe o aluno precisa exatamente duas das três disciplinas, então escolherá ma-croeconomia, necessariamente, se não escolher econometria e microeconomia, juntas. Portanto, a probabilidade de esse estudante escolher macroeconomia, que é igual à probabilidade de ele não escolher econometria e microeconomia (simultaneamente), é:
100 25 75 0 7534
% % % , − = = =
4 Extensivo Terceirão – Matemática 9B
26.13. eA probabilidade de ela criar apenas cães ou apenas gatos é igual a:
p= −
+ −
= ≅ =
5690
1890
4090
1890
6090
0 67 67, %
26.14. 56 (08, 16, 32) 01) FALSA.
Razões entre o número de meninos e o de meninas em cada turma:
Turma A: 1723
34
<
Turma B: 1822
34
>
Turma C: 1525
34
<
A turma B possui razão maior do que 3/4.02) FALSA.
O percentual de meninos é dado por:17 18 15
17 18 15 23 22 2550
12040
+ ++ + + + +
= > %
Logo, o número de meninos do curso é maior que 40% do total de alunos matriculados.
04) FALSA.A média do número de alunas por turma é maior que 23, pois:23 22 25
3703
23+ +
= >
08) VERDADEIRA.Existem C70, 2 = 2415 duplas formadas exclusivamente por me-ninas.
16) VERDADEIRA.Sorteando-se um estudante do curso, a probabilidade de ser uma menina da turma A é igual a 23
120.
32) VERDADEIRA.Sorteando-se um estudante do curso, a probabilidade de ser
uma menina ou ser da turma A é igual a 70120
40120
23120
87120
+ − = .
26.15. eObserve como as informações podem ser organizadas:
A B
Nenhum
16%
57%
2%
33% 22%
9% 10%
50%60%
0% x%
C
Para calcular o valor de x, pode-se considerar que a soma dos per-centuais de cada um dos conjuntos é igual a 100%:9% + 16% + 2% + 33% + 10% + 22% + 0% + x% = 100%92% + x% = 100%x% = 8%
Logo, 8% não gostam de marca alguma. Por outro lado, o percentual de pessoas que gostam de uma única marca é igual a:9% + 10% + 0% = 19%Portanto, sorteando-se aleatoriamente uma dessas pessoas entre-vistadas, a probabilidade de que ela goste de uma única marca de refrigerante ou não goste de marca alguma é igual a:19% + 8% = 27%
26.16. a As informações podem ser organizadas da seguinte maneira:
M F
I
25
100
10
30 25
35 30
90100
35
Observando-se que são, ao todo, 500 professores, temos: a) VERDADEIRA
A probabilidade de ele lecionar somente matemática é igual a 35
5000 07= , .
b) FALSA
A probabilidade de ele lecionar somente física é igual a 30
5000 06= , .
c) FALSAA probabilidade de ele lecionar matemática e informática é igual
a 40
5000 08= , .
d) FalsaA probabilidade de ele lecionar física e informática é igual a 35
5000 07= , .
e) FALSAA quantidade de pessoas que não lecionam matemática, infor-márica ou física é igual a:500 – 35 – 25 – 10 – 30 – 30 – 25 – 35 = 310Logo, a probabilidade de a pessoa escolhida lecionar uma dis-ciplina que não seja matemática, informática ou física é igual a 310500
0 62= , .
26.17. cSejam os conjuntos:• A = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} (quadrados perfeitos)• B = {1, 8, 27, 64} (cubos perfeitos)• A ∩ B = {1, 64} (sextas potências perfeitas)A probabilidade de se retirar uma bola, cujo número é um quadra-do perfeito ou um cubo perfeito é dada por:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
p A B( )∪ = + −10
1004
1002
100
p A B( ) ,∪ = =12
1000 12
5Extensivo Terceirão – Matemática 9B
27.01. bp(Acertar e Errar) = p(Acertar) . p(Errar)p(Acertar e Errar) = 0,80 . 0,20 = 0,16 = 16%
27.02. c p(Hortelã e Hortelã) = p(Hortelã) . p(Hortelã/Hortelã)
5 4 5p(Hortelã e Hortelã)
8 7 14= ⋅ =
27.03. bp(Cores diferentes) = p(Branca e Preta) + p(Preta e Branca)
p Cores diferentes( )= ⋅ + ⋅ = =4
1069
610
49
4890
815
27.04. aSendo K (cara) e C (coroa), tem-se: p Mesma face p K e K e K e K p C e C e C e C( ) ( ) ( )= +
p Mesma face( )= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =12
12
12
12
12
12
12
12
18
27.05. c
A probabilidade é igual 36
12
0 25⋅ = , .
27.06. a Dos 40 tipos, temos: • 57,5% de 40: 0,575 . 40 = 23 (menta) • 7,5% de 40: 0,075 . 40 = 3 (canela) Logo, se uma pessoa retirar ao acaso dois maços de cigarros, um após o outro, sem reposição, a probabilidade de sair um maço de cigarros de menta e um de canela, em qualquer ordem, é igual a:
p= ⋅ ⋅23
1843
1832
p=1
24427.07. a
O número total de senhas distintas é igual a 10 . 9 . 8 . 7 = 5040. Logo, a probabilidade de acertar a senha na única tentativa é igual a uma em 5040.
27.08. bAs probabilidades de Edu, Fred e Gil não fecharem os negócios são: 25
710
14
, e , respectivamente.
Assim, a probabilidade de nenhum dos 3 fecharem o negócio é: 25
710
14
7⋅ ⋅ = %
27.09. cAs quatro pessoas podem escolher os números de 44 maneiras (quatro possibilidades por pessoa). Entre essas, há 4 maneiras de escolher o mesmo número. Logo, a probabilidade pedida é:
P = = =4
4
1
4
1644 3
27.10. aA probabilidade de um aluno errar todos os testes é dada por
23
64729
6 = .
Logo, a probabilidade de ele acertar pelo menos um teste é
164
729665729
− = .
Aula 27
26.18. bComo o filme A tem exibição a cada 180 minutos, a probabilidade de assistir a esse filme em até 30 minutos:
P A( )= =30
18016
Analogamente, a probabilidade de assistir ao filme B é:
P B( )= =30
12014
Assim, a probabilidade de assistir ao filme A ou ao filme B é:
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
P A B( ) ,∪ = + − ⋅ = =16
14
16
14
38
0 375
p(A ∪ B) = 37,5%
26.19. Seja p(R ∩ C) a probabilidade de a carta retirada ser o rei de copas. Logo:p(R ∪ C) = p(R) + p(C) – p(R ∩ C)0,3 = 0,075 + 0,25 – p(R ∩ C)p(R ∩ C) = 0,025Observando que p(R ∩ C) = 0,025 ≠ 0, conclui-se que o rei de co-pas está presente entre as cartas restantes. Portanto, tem-se:
p R Cn
n( ) ,∩ = = → =1
0 025 40
O valor de n é igual a 40.
26.20. 134
9Rapazes
Eduardos
outros
3 Simones17 Moças
14 outros
a) Quantidade total de grupos: C C132
173 53040⋅ =
• Quantidade de grupos sem Eduardos e sem Simones:
C C92
143 13104⋅ =
• Quantidade de grupos sem Eduardos e com Simones:
C C C92
173
143 11376⋅ − =( )
• Quantidade de grupos com Eduardos e sem Simones:( )C C C13
292
143 15288− ⋅ =
• Quantidade de grupos com pelo menos um Eduardo e pelo menos uma Simone:53 040 – 13 104 – 11376 – 15 288 = 13 272
b) A probabilidade de que um dos grupos seja formado por exa-tamente dois Eduardos e três Simones é dada por:
pC C
=⋅
= =42
33
13 2726
13 2721
2212
6 Extensivo Terceirão – Matemática 9B
27.11. cComo a cor das bolas não foi especificada e as retiradas são reali-zadas sem reposição, a probabilidade de se obter as três bolas da mesma cor dentre as 10 bolas é dada por:
p= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅5
1049
38
310
29
18
210
19
08
p= =66
72011
120
27.12. ePara que a equipe consiga pelo menos um ponto ela (equipe) não pode retirar da urna quatro bolas com números ímpares. A proba-bilidade disso ocorrer é:
45 5 5 5 1 1 151 P (quatro ímpar) 1 1 1
10 10 10 10 2 16 16 − = − ⋅ ⋅ ⋅ = − = − =
27.13. cA probabilidade de a bola ser vermelha é igual a:
p= ⋅ + ⋅ =12
25
12
12
920
27.14. cDentre as 23 cartas que estão no baralho, exatamente 5 delas são de ouros. Logo, a probabilidade de se retirar 3 cartas de ouros den-tre as 23 é igual a:
p= ⋅ ⋅ =5
234
22321
101771
27.15. aA probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa ao
acaso é 14
, e a de errar é 114
34
− = .
Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temos os seguintes casos favoráveis: I. Um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e o
outro, que errou a questão, está entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso.
II. Os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles acertado a questão e o outro errado.
Logo, a probabilidade de (I) ocorrer é 0 2 0 834
0 834
0 2 0 24, , , , ,⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ,
enquanto que a probabilidade de (II) ocorrer é
0 814
0 834
0 834
0 814
0 24, , , , ,⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = .
Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24 + 0,24 = 0,48.27.16. d
Vamos supor que, a cada jogada, a probabilidade de ganhar ou perder seja a mesma, ou seja, p(ganhar) = p(perder) = 0,5. Existem 8 resultados possíveis quanto à sequência nas 3 jogadas. Sendo G a probabilidade de ganhar e P a probabilidade de perder, vamos analisar o saldo final em cada uma delas: • GGG: • GGP: • GPG: • PGG: • PPG: • PGP: • GPP: • PPP:
0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 →0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 →0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 →0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 → 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 → 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 → 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 →0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 →
100 + 100 + 100 = 300 (sai ganhando)100 + 100 – 200 = 0 (não sai ganhando)100 – 150 + 100 = 50 (sai ganhando)
– 100 + 100 + 100 = 100 (sai ganhando)– 100 – 50 + 100 = – 50 (não sai ganhando)– 100 + 100 – 100 = – 100 (não sai ganhando)
100 – 150 – 75 = – 125 (não sai ganhando)– 100 – 50 – 25 = – 175 (não sai ganhando)
Observe que em 3 das 8 sequências você sai ganhando. Logo, a proba-bilidade é igual a 3/8.
27.17. cVamos supor que cada vértice seja destacado simultaneamente pelas letras A, B e C, e que o triângulo formado pelas 15 bolas seja fixo. Existem 3 possibilidades de dois vértices possuírem a mesma cor: A e B, A e C, B e C, sendo que cada uma dessas possibilidades tem a mesma probabilidade de ocorrer. Vamos, inicialmente, cal-cular a probabilidade de que os vértices A e B possuam a mesma cor. O vértice A pode possuir qualquer cor exceto a cor preta, pois existe uma única bola preta. Logo, a probabilidade de o vértice A não possuir a cor preta é igual a 14/15. Escolhida a cor do vértice A, a probabilidade de B possuir a mesma cor é igual a 1/14. A pro-babilidade de o vértice C possuir cor distinta das cores de A e B é igual a 13/13. Logo, a probabilidade de A e B possuírem a mesma cor é igual a:1415
114
1313
115
⋅ ⋅ =
Considerando as possibilidades de A e C, e B e C, temos:1
151
151
151
153
15
+ + = ⋅ =
27.18. bNúmero total de resultados: 210 = 1024Número de resultados com exatamente 8 caras: C10, 8 = 45.Número de resultados com exatamente 9 caras: C10, 9 = 10.Número de resultados com 10 caras: C10,10 = 1.Número de resultados com pelo menos 8 caras: 45 + 10 + 1 = 56.Probabilidade de se obter pelo menos 8 caras em 10 lançamentos:
P = =56
10247
128
27.19. a) A probabilidade dos dois relógios despertarem na hora progra-mada é:80% ∙ 70% = 56%
b) A probabilidade de nenhum dos dois relógios despertarem na hora programada é: (100% – 80%) ∙ (100% – 70%) = 20% ∙ 30% = 6%
27.20. A probabilidade de que as duas balas retiradas não sejam de menta é igual a:
p= ⋅ =6
1059
13
Dessa forma, a probabilidade de que pelo menos uma seja de men-ta é igual a:
p= − =113
23
1
Resoluções
Extensivo Terceirão – Matemática 9C
9CMatemática
Aula 2525.01. c
x x
y y
− = ⇒ =+ = ⇒ =−
5 0 5
3 0 3
O centro da circunferência é o ponto ( , )5 3− . 25.02. b
r
r
2 100
10
==
25.03. d( ) ( )
( , ) ( , )
( ) ( )
( ) ( )
x a y b r
a b
r
x y
x y
− + − ==
=
− + − =
− + −
2 2 2
2 2 2
2
1 5
4
1 5 4
1 5 22 16=
25.04. e( ) ( )
( , ) ( , )
( ( )) ( )
( ) (
x a y b r
a b
r
x y
x
− + − == −
=
− − + − =
+ +
2 2 2
2 2 2
2
3 1
2
3 1 2
3 yy
x x y y
x y x y
− =
+ + + − + =
+ + − + =
1 4
6 9 2 1 4
6 2 6 0
2
2 2
2 2
)
25.05. bO centro C da praça coincide com o centro do quadrado que repre-senta o quarteirão.Assim, a equação que define o contorno da praça é:C
r
x y
x y
==
− + − =
− + − =
( , )
( ) ( )
( ) ( )
50 50
12
50 50 12
50 50 144
2 2 2
2 2
25.06. bSeja r a medida do raio da circunferência.
Área do círculo limitado por essa circunferência: 2rπPerímetro (comprimento) da circunferência: 2 rππ π πr r
r r
r ou r
2
2
2 3
2 3 0
3 1
− =
− − == = −
Assim, o raio da circunferência mede 3.Equação da circunferência:( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
− + − =
− + − =
2 3 3
2 3 9
2 2 2
2 2
25.07. eSe a circunferência tangencia os eixos coordenados, seu raio mede c.Portanto, a equação da circunferência é:( ) ( )x c y c c− + − =2 2 2
25.08. cO centro da circunferência é o ponto ( , )−1 3 e o raio é 9 3= .
Assim:Ponto de ordenada mínima: ( , ) ( , )− − = −1 3 3 1 0
Ponto de ordenada máxima: ( , ) ( , )− + = −1 3 3 1 6
Ponto de abscissa mínima: ( , ) ( , )− − = −1 3 3 4 3
Ponto de abscissa máxima: ( , ) ( , )− + =1 3 3 2 3
Portanto, as retas verticais de equações x = −4 e x = 2, assim como as retas horizontais y = 0 e y = 6 , tangenciam a circunferência.
25.09. eA desigualdade x y2 2 9+ ≤ representa um círculo com centro na
origem e raio 9 3= .Portanto, a área da região formada pelos pontos ( , )x y , tais que x y2 2 9+ ≤ , é igual a π π⋅ =3 92 .
25.10. bPontos de intersecção da reta e da circunferência:
y x
x y
x x
x x x x
=
+ + − =
+ + − =
+ + + − + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2 16
2 2 16
4 4 4 4 16
2 2
2 2
2 2
22 8
4 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
x
x x ou x
x y
x y
=
= ⇒ = = −= ⇒ = →=− ⇒ =− → − −
( , )
( , )
Assim, as extremidades da corda determinada pela reta de equação
y x= na circunferência de equação ( ) ( )x y+ + − =2 2 162 2 são os pontos ( , )2 2 e ( , )− −2 2 .
O comprimento da corda é:
( ) ( )− − + − − = + = =2 2 2 2 16 16 32 4 22 2
25.11. eCentro da circunferência: (k, )2k Como a circunferência passa pela origem e tem raio 2, temos:
( ) ( )k k
k k k k k ou k
− + − =
+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = −
0 2 0 2
4 2 5 445
25
25
2 2
2 2 2 2
Como as coordenadas do centro da circunferência são positivas,
então k = =25
2 55
.
Assim, a equação da circunferência é:( ) ( )x k y k
x y
− + − =
−
+ −
=
2 2 2
2 2
2 2
2 55
4 55
4
25.12. eO centro da circunferência é o ponto ( , )0 0 .Seja r a reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto ( , )1 2
e s a reta que contém a corda.
m r =−−
=2 01 0
2
Como ( , )1 2 é o ponto médio da corda, então as retas r e s são perpendiculares.
m m
y x
y x
x y
r s= ⇒ =−
− = − ⋅ −
− = − ++ − =
212
212
1
2 4 1
2 5 0
( )
2 Extensivo Terceirão – Matemática 9C
Portanto, um possível valor para a b c+ − é:a b c
a b c
= = = −+ − = + − − =
1 2 5
1 2 5 8( )
Observação:Se multiplicarmos a equação x y+ − =2 5 0 por um número real k, diferente de zero, obtemos a seguinte equação:kx ky k+ − =2 5 0 Assim, a b c k k k k+ − = + − − =2 5 8( ) .Portanto, a b c+ − pode assumir qualquer valor real. A intenção do au-tor da questão era que fosse obtido o valor da expressão considerando a=1 .
25.13. ax ≥ 0 e y ≥ 0 (corresponde aos pontos do 1o. quadrante)x y
y x
y x
− + ≥− ≥ − −≤ +
1 0
1
1
(corresponde aos pontos do plano “abaixo” da reta de
equação y x= +1 e aos pontos pertencentes a essa reta)
x y2 2 9+ ≤ (corresponde aos pontos do círculo limitado pela cir-
cunferência de equação x y2 2 9+ = )Portanto, a região azul da figura representa o conjunto dos pontos que satisfazem todas as desigualdades.
3
3 x
y
y = x + 1
–10 1–3
–3
25.14. cA circunferência tem centro no ponto ( , )1 2 e raio 2.
Assim, a região azul da figura representa o conjunto dos pontos li-mitados pela circunferência, tais que x ≥1 e y 2≤ .
2
x
y
y = 2
x = 1
0 1
A área dessa região, que corresponde à quarta parte de um círculo de raio 2, é:π π
π⋅
= =2
444
2
25.15. cx y
y x x x ou x
2 2
2 2 2
18
4 4 18 2 2 2
+ =
= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = = −
Assim, a parábola passa pelos pontos A( , )2 4 , B( , )− 2 4 e ( , )0 0 .
Assim:
Como a parábola de equação y ax bx c= + +2 passa pela origem, temos:
y ax bx c
a b c c
a b a b
a b
= + +
= ⋅ + ⋅ + ⇒ =
= ⋅ + ⋅ ⇒ + =
= ⋅ − + ⋅
2
2
2
2
0 0 0 0
4 2 2 2 2 4
4 2
( )
( ) (( )− ⇒ − =
+ =
− =
⇒ = =
2 2 2 4
2 2 4
2 2 42 0
a b
a b
a ba e b
Portanto:
y x= 2 2
25.16. bd
k
k k k
d
(PP )
( ) ( )
( ) ( )
(PP )
1
12 2
12
12
1
2
2
2 5 3 2
2 4 4 2 0 2
=
+ + − =
+ + = ⇒ + = ⇒ =−= 22
0 2 3 2
4 3 4 3 0 3
22
2
22
22
2
( ) ( )
( ) ( )
+ + − =
+ − = ⇒ − = ⇒ =
k
k k k
Portanto:
k k13
23 3 32 3 8 27 19+ = − + = − + =( )
25.17. dComo o triângulo ABC é retângulo no vértice B, a hipotenusa AC é di-âmetro da circunferência. Assim, o centro da circunferência é o ponto médio do lado AC.
r
r
x
y
B = (0, 8) C = (8, 8)
(a, b)
A = (0, 2)
0 1
(a, b) , ( , )=+ +
=
0 82
2 82
4 5
O raio da circunferência é a metade da medida do lado AC.
r =− + −
= = =( ) ( )8 0 8 2
21002
102
52 2
25.18. c( ) ( )x y− + − ≤2 2 42 2 (corresponde aos pontos do círculo limitado
pela circunferência de equação ( ) ( )x y− + − =2 2 42 2 )
Assim, a região azul da figura representa o conjunto dos pontos li-mitados pela circunferência, tais que x ≥ 2 ou y ≥ 2.
x
y
y = 2
x = 2
0
2
2
(2, 2)
A área dessa região, que corresponde a três quartos de um círculo de raio 2, é:34
212
432⋅ ⋅ = =π
ππ
3Extensivo Terceirão – Matemática 9C
25.19.a)
Equação da circunferência com centro no ponto ( , )0 0 e raio 5 :
( ) ( ) ( )x y
x y
− + − =
+ =
0 0 5
5
2 2 2
2 2
Assim:
x y
yx
x y
xx
2 2
2 2
22
5
2
5
25
+ =
=
+ =
+ =
4 20
5 20 4 2 2
222
1 2 1
22
2
2 2
2 2
x x
x x x ou x
x y
x y
+ =
= ⇒ = ⇒ = = −
= ⇒ = = →
=− ⇒ =−
= −
( , )
11 2 1→ − −( , )
Os pontos P e Q são P = ( , )2 1 e Q = − −( , )2 1 .
b)
yx
m mr s= ⇒ = ⇒ =−2
12
2
Equação da reta s, que passa por P = ( , )2 1 .
y x
y x
y x
− = − ⋅ −− = − += − +
1 2 2
1 2 4
2 5
( )
25.20. 4A abscissa e a ordenada do vértice da parábola são, respectivamen-
te, iguais a xbaV =−
=−⋅ −
=2
42 1
2( )
e y V = − + ⋅ =2 4 2 42 . A equação
da circunferência é dada por:
( ) ( )x y a r− + − =2 2 2 2
Como o ponto ( , )2 4 , vértice da parábola, pertence à circunferên-
cia, temos:
( ) ( )
( )
2 2 4
4
4 4
4 4
2 2 2
2 2
− + − =
− =− = − = −+ = − =
a r
a r
a r ou a r
a r ou a r
Como a< 4, não é possível que a r− = 4 .Assim:a r+ = 4
Aula 2626.01. d
x y x y
a a
b b
2 2 6 4 12 0
2 6 3
2 4 2
+ + + + =− = ⇒ = −− = ⇒ = −
O centro da circunferência é o ponto ( , )− −3 2 .
26.02. e
( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
x x y y
x y
− − + − =
+ + − =
+ + + − + =
+
2 1 5
2 1 5
4 4 2 1 5
2 2 2
2 2
2 2
2 2 ++ − =4 2 0x y
26.03. bx y x y
a a
b b
a b r
r
2 2
2 2 2
2 2 2
6 8 24 0
2 6 3
2 8 4
24
3 4 24
+ − − + =− = − ⇒ =− = − ⇒ =
+ − =
+ − = ⇒⇒ = ⇒ =r r2 1 1
O centro é o ponto ( , )3 4 e o raio é 1.
26.04. bx x y
x x y
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
4 1 0
4 1 0
2 1 4
2 2
− + + =
− + + =
− + + =
+ +
( )
( )
( ) ( )
O centro é o ponto ( , )2 1− e o raio é 4 2= .
26.05. bx y x y
a a
b b
a b r
r
2 2
2 2 2
2 2 2
4 6 3 0
2 4 2
2 6 3
3
2 3
+ − + − =− = − ⇒ =− = ⇒ =−
+ − = −
+ − − =( ) −− ⇒ = ⇒ =3 16 42r r
O centro é o ponto ( , )2 3− e o raio é 4.
Portanto:a b r+ + = + − + =2 3 4 3( )
26.06. cO centro da circunferência é o ponto ( , )−2 0 e o raio é 2.Assim:
( ( )) ( )
( )
x y
x y
x x y
x y x
− − + − =
+ + =
+ + + =
+ + =
2 0 2
2 4
4 4 4
4 0
2 2 2
2 2
2 2
2 2
4 Extensivo Terceirão – Matemática 9C
26.07. c2 2 4 6 3 0
2 332
0
2 2 1
2 332
2 2
2 2
2
x y x y
x y x y
a a
b b
a b
+ − − − =
+ − − − =
− = − ⇒ =
− = − ⇒ =
+ 22 2
22
2 2
32
132
32
194
192
− = −
+ − = − ⇒ = ⇒ =
r
r r r
A equação representa uma circunferência com centro no ponto
132
,
e raio
192
.
26.08. cx y x y
a a
b b
a b r
r
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 4 0
2 4 2
2 2 1
4
2 1
+ + − − =− = ⇒ = −− = − ⇒ =
+ − = −
− + − =( ) −− ⇒ = ⇒ =4 9 32r r
Portanto, a área do círculo limitado pela circunferência é:
π π⋅ =3 92 26.09. b
x y y
a a
b b
2 2 4 3 0
2 0 0
2 4 2
+ + − =− = ⇒ =− = ⇒ =−
O centro da circunferência é o ponto ( , )0 2− .
Portanto, a reta de equações 5 2x y− = passa pelo centro da cir-cunferência, pois:5 0 2 2
0 2 2
⋅ − − =+ =
( )
( )verdadeiro
26.10. ex y x y m
a a
b b
a b r m
r m
2 2
2 2 2
2 2 2
4 6 0
2 4 2
2 6 3
2 3
+ + − + =− = ⇒ = −− = − ⇒ =
+ − =
− + − =( )
rr m2 13= −
Para que a equação represente uma circunferência, devemos ter:r
m m
2 0
13 0 13
>− > ⇒ <
26.11. cPara determinar o ponto de intersecção das retas r e s, resolvemos o sistema formado pelas suas equações.
x y
x y
x y
x y
x x
y y
− =+ − =
− =+ =
= ⇒ =+ = ⇒ =
0
4 0
0
4
2 4 2
2 4 2
Portanto, a circunferência com centro na origem passa pelo ponto ( , )2 2 .
Sendo R o raio da circunferência, temos:
R
R
= − + −
= + =
( ) ( )2 0 2 0
4 4 2 2
2 2
Equação da circunferência:( ) ( ) ( )x y
x y
x y
− + − =
+ =
+ − =
0 0 2 2
8
8 0
2 2 2
2 2
2 2
26.12. aO centro C da circunferência é o ponto médio do segmento MN.
C =+ − +
=
7 52
2 42
6 1, ( , )
O raio r da circunferência é a metade da medida do segmento MN.
r =− + − −
=+
= =( ) ( ( ))5 7 4 2
24 36
22 10
210
2 2
Equação da circunferência:( ) ( ) ( )x y
x x y y
x y x y
− + − =
− + + − + =
+ − − + =
6 1 10
12 36 2 1 10
12 2 27 0
2 2 2
2 2
2 2
26.13. ex y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
6 4 9 0
2 6 3
2 4 2
9
3 2 9
+ − − + =− = − ⇒ =− = − ⇒ =
+ − =
+ − = ⇒ == ⇒ =4 2r
Seja L a medida dos lados de um quadrado inscrito na circunferência.Assim:
L r
L
L
2 2
2 2 2
42
42
22
2 2
=
= ⋅
= = ⋅ =
O perímetro do quadrado é 4 4 2 2 8 2L = ⋅ = .
26.14. cx y x y
a a
b b
a b r
r
2 2
2 2 2
2 2
2 4 2 0
2 2 1
2 4 2
2
1 2
+ + + + =
− = ⇒ = −− = ⇒ = −
+ − =
− + − −( ) ( ) 22 22 3 3= ⇒ = ⇒ =r r
O centro O( , )− −1 2 da circunferência, o ponto P( , )− −1 1 e qualquer
extremidade da corda MN formam um triângulo retângulo em P.
M
O(–1, –2)
O(–1, –1)m
1
N
3Assim:
( )3 1
3 1
2 2
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
m
m
m m
O comprimento da corda MN é 2 2 2m= .
5Extensivo Terceirão – Matemática 9C
26.15. cAs coordenadas do ponto A são ( , )0 3 .
x
y
0
2
a
A
B 135º
r
λ
C (2; 3)
d
Equação da reta r:m tg tg
y x
x y
r = ° = − ° = −
− = − ⋅ −+ − =
135 45 1
3 1 0
3 0
( )
d=+ −
+= =
2 3 3
1 1
22
22 2
2
4 2
2 2
2 2 2
2 2
2
= +
= −
= ⇒ =
a d
a
a a
( )
Assim, AB a= =2 2 2 .Equação da circunferência:
( ) ( ) ( )x y
x y y
x y y
− + − =
+ − + =
+ − + =
0 3 2 2
6 9 8
6 1 0
2 2 2
2 2
2 2
26.16. dx y x y
a a
b b
a b r
r
2 2
2 2 2
2 2 2
4 6 3 0
2 4 2
2 6 3
3
2 3 3
+ − − − =− = − ⇒ =− = − ⇒ =
+ − = −
+ − = − ⇒ rr r2 16 4= ⇒ =
Seja h a altura do triângulo equilátero inscrito na circunferência.
r h
h h
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
23
423
6
26.17. cx y x y
a a
b b
a b r
r r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
6 6 9 0
2 6 3
2 6 3
9
3 3 9
+ − − + =− = − ⇒ =− = − ⇒ =
+ − =
+ − = ⇒ == ⇒ =9 3r
3
3
γ
x
y
0
A área da região sombreada é a diferença entre a área de um qua-drado cujos lados medem 3 e a quarta parte de um círculo de raio 3.
33
49
94
9 44
22
−⋅
= − =⋅ −π π π( )
26.18. ex y x
x y x
a a
b b
a b r
r
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 0
2 2 1
2 0 0
0
1 0 0
+ ≤
+ − ≤− = − ⇒ =− = ⇒ =
+ − =
+ − = ⇒ rr r2 1 1= ⇒ =
x y y
x y y
a a
b b
a b r
r
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 0
2 0 0
2 2 1
0
0 1 0
+ ≤
+ − ≤− = ⇒ =− = − ⇒ =
+ − =
+ − = ⇒ rr r2 1 1= ⇒ =A região azul da figura corresponde aos pontos do plano que satisfa-zem ambas as desigualdades.
x
y
0
1
1
Seja S a área dessa região.
1
1
A diferença entre a área de um setor circular de 90° (quarta parte de um círculo) e raio 1 e a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 é a metade de S.Assim:
S
S
S
21
41 12
21
32
1 1 5 1 0 5
2
=⋅
−⋅
= −
− = − =
π
π
, ,
26.19. x y mx y
y x mx
x mx
2 2
2 2
2
4 0
0 0 0 4 0
4 0
+ + − − =
= ⇒ + + − − =
+ − =Sejam A p= ( , )0 e B q= ( , )0 os pontos em que a circunferência inter-
secta o eixo das abscissas. Assim, p e q são as raízes da equação
x mx2 4 0+ − = .Soma das raízes:
p qm
p q m
+ = −
+ = −1
Como M=
52
0, é o ponto médio do segmento AB, temos:
p qm m
+= ⇒− = ⇒ =−
252
5 5
Centro C da circunferência:
6 Extensivo Terceirão – Matemática 9C
x y x y
a a
b b
C
2 2 5 4 0
2 552
2 112
52
12
+ − − − =
− = − ⇒ =
− = − ⇒ =
=
,
26.20.a)
x y x y
a a
b b
a b r
2 2
2 2 2
2
2 2 23 0
2 2 1
2 2 1
23
1 1
+ + + − =
− = ⇒ = −− = ⇒ = −
+ − = −
− + −( ) ( )22 2 223 25 5− = − ⇒ = ⇒ =r r rComo x ≥ 0 e y ≥ 0, temos a seguinte representação gráfica:
B
A
5
x
y
C
0–1
–1
O nome da curva AB é: arco de circunferência
b)
x y x y2 2 2 2 23 0+ + + − =Se y x= 2 , temos:
x x x x
x x
x
2 2
2
2 2 2 2 23 0
5 6 23 0
3 2 315
+ + + ⋅ − =
+ − =
=− ±
( )
Como x deve ser não negativo, então:
x
y x
=−
= =−
2 31 35
24 31 6
5Esses valores são aproximadamente iguais a 1,63 toneladas e 3,25 toneladas.
Aula 2727.01. b
x y x y k2 2 2 2 0+ − − − = Para que o ponto P( , )1 0 seja interior à circunferência, devemos ter:
1 0 2 1 2 0 0
1 2 0
1
2 2+ − ⋅ − ⋅ − <− − <> −
k
k
k
27.02.(F) ( ) ( )− + + ⋅ − − ⋅ − = − <2 2 2 2 4 2 4 8 02 2
O ponto pertence ao interior de C.(V)1 6 2 1 4 6 4 11 02 2+ + ⋅ − ⋅ − = >O ponto pertence ao exterior de C.(V)( ) ( ) ( ) ( )− + − + ⋅ − − ⋅ − − =1 1 2 1 4 1 4 02 2
O ponto pertence a C.(F)( ) ( )− + + ⋅ − − ⋅ − = >5 0 2 5 4 0 4 11 02 2
O ponto pertence ao exterior de C.(F)0 1 2 0 4 1 4 7 02 2+ + ⋅ − ⋅ − = − <O ponto pertence ao interior de C.
27.03. dComo a circunferência de centro C( , )3 4 é tangente ao eixo das
abscissas, o raio é 4.
27.04. dEquação da circunferência com centro no ponto C = ( , )3 4 e raio 5.
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
− + − =
− + − =
3 4 5
3 4 25
2 2 2
2 2
Assim:x y
y
y
y ou y
y ou
= ⇒ − + − =
+ − =
− =− = − = −=
0 0 3 4 25
9 4 25
4 16
4 4 4 4
8
2 2
2
2
( ) ( )
( )
( )
yy
y x
x
x
x ou x
x
=
= ⇒ − + − =
− + =
− =− = − = −
0
0 3 0 4 25
3 16 25
3 9
3 3 3 3
2 2
2
2
( ) ( )
( )
( )
== =6 0ou x
Portanto, a circunferência intersecta os eixos coordenados nos pontos ( , )0 0 , ( , )0 8 e ( , )6 0 .
27.05. aSeja L a medida dos lados e h a altura do triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio r =1.
7Extensivo Terceirão – Matemática 9C
Assim:2
r h3
2 31 h h
3 2
L 3h
23 L 3
L 32 2
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
=
= ⇒ =
Assim, as coordenadas dos pontos B, G e H são:B
G hL
H h
=
= −
= −
= −
= −
( , )
, , ,
,
1 0
12
132
32
12
32
1 −−
= − −
= − −
L2
132
32
12
32
, ,
27.06. ea) INCORRETA.
x y x
A falso
B
2 2
2 2
2 2
4 16
4 0 4 0 4 4 16
4 0 4 0
+ − =
= − → − + − ⋅ − =
= → +
( , ) ( ) ( ) ( )
( , ) −− ⋅ =
= − → + − − ⋅ =
4 4 16
0 4 0 4 4 0 162 2
( )
( , ) ( ) ( )
falso
C verdadeiro
Apenas o ponto C pertence à circunferência.b) INCORRETA.
Como o ponto C não pertence ao eixo das abscissas, os pontos A, B e C não estão sobre uma mesma reta.
c) INCORRETA.O ponto médio do segmento AB é ( , )0 0 .
d) INCORRETA.
x y y
A verdadeiro
B
2 2
2 2
2
4 16
4 0 4 0 4 0 16
4 0 4
+ − =
= − → − + − ⋅ =
= → +
( , ) ( ) ( )
( , ) 00 4 0 16
0 4 0 4 4 4 16
2
2 2
− ⋅ =
= − → + − − ⋅ − =
( )
( , ) ( ) ( ) ( )
verdadeiro
C falso
Apenas os pontos A e B pertencem à circunferência.e) CORRETA.
x y
A verdadeiro
B v
2 2
2 2
2 2
16
4 0 4 0 16
4 0 4 0 16
+ =
= − → − + =
= → + =
( , ) ( ) ( )
( , ) ( eerdadeiro
C verdadeiro
)
( , ) ( ) ( )= − → + − =0 4 0 4 162 2
Os pontos A, B e C pertencem à circunferência.27.07. e
1) VERDADEIRA.
( ) ( )
( , ) ( ) ( )
( ) (
x y
P
verdadeiro
− + − =
→ − + − =
+ − =
3 4 5
4 2 4 3 2 4 5
1 2 5
2 2
2 2
2 2 ))
Portanto, o ponto P pertence a C.2) FALSA.
r r2 5 5= ⇒ = 3) VERDADEIRA.
O centro da circunferência é o ponto ( , )3 4 .
y x
x y
=
= ⇒ = ⋅ =
43
343
3 4
Portanto, a reta passa pelo centro de C.
27.08. ca) INCORRETA.
O raio da circunferência é a distância entre os pontos ( , )2 1 e ( , )2 2− .
r = − + − − = + =( ) ( )2 2 2 1 0 9 32 2 Equação da circunferência:( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
− + − =
− + − =
2 1 3
2 1 9
2 2 2
2 2
b) INCORRETA.( ) ( )x y
x x y y
x y x y
− + − <
− + + − + <
+ − − <
2 1 9
4 4 2 1 9
4 2 4
2 2
2 2
2 2
c) CORRETA.x y x y
x x y y
2 2
2 2
4 2 4
4 2 4
+ − − <
− + − <d) INCORRETA.
( ) ( )x y
x x y y
x x y y
− + − >
− + + − + >
− + − >
2 1 9
4 4 2 1 9
4 2 4
2 2
2 2
2 2
e) INCORRETA.( ) ( )
( , ) ( ) ( )
( ) ( )
x y
falso
− + − =
− → − + − − =
+ − =
2 1 9
5 1 5 2 1 1 9
3 2 9
2 2
2 2
2 2
Portanto, o ponto ( , )5 1− não pertence à circunferência.
27.09. bx y x y
a a
b bC
x y x
2 2
1
2 2
4 16 55 0
2 4 2
2 16 82 8
8
+ − + + =
− = − ⇒ =− = ⇒ =−
→ −
+ +
( , )
++ =
− = ⇒ = −− = ⇒ =
→ −
12 0
2 8 4
2 0 04 02
a a
b bC ( , )
Distância entre os centros das circunferências:
d C C( ) ( ) ( ( ))1 22 24 2 0 8 36 64 10= − − + − − = + =
Sendo L a medida dos lados do quadrado, temos:
L
L
L L
2 10
2 10
2 100 50
2 2
2 2
=
=
= ⇒ =
( )
Portanto, a área do quadrado é igual a 50.27.10. a
As distâncias entre o centro e os pontos ( , )−1 1 e ( , )1 5 são iguais.
( ( )) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y
x y x y
x
− − + − = − + −
+ + − = − + −
1 1 1 5
1 1 1 5
2 2 2 2
2 2 2 2
22 2 2 22 1 2 1 2 1 10 25
2 1 2 1 2 1 10 25
4
+ + + − + = − + + − ++ − + = − + − ++
x y y x x y y
x y x y
x 88 24
2 6
y
x y
=+ =
27.11. cP y
x y
y y
=− − =⋅ − − = ⇒ = −
( , )0
2 3 6 0
2 0 3 6 0 2
Assim, P = −( , )0 2 .
8 Extensivo Terceirão – Matemática 9C
Como a circunferência tem centro no ponto P = −( , )0 2 e é tan-gente ao eixo das abscissas, então o raio é 2.Equação da circunferência:( ) ( ( ))x y
x y y
x y y
− + − − =
+ + + =
+ + =
0 2 2
4 4 4
4 0
2 2 2
2 2
2 2
27.12. dEquação da circunferência:( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
+ + + =
+ + + =
2 2 2
2 2 4
2 2 2
2 2
O ponto P é um dos pontos de intersecção da circunferência e da bisse-triz dos quadrantes ímpares, de equação y x= .
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
x y
y x
x x
x
x
x
+ + + ==
+ + + =
⋅ + =
+ =
+
2 2 4
2 2 4
2 2 4
2 2
2 2
2 2
2
2
22 2 2 2
2 2 2 2
= + = −
= − = − −
ou x
x ou xPortanto:
P = − − − −( , )2 2 2 2
27.13. ax y y
x y y
a a
b b
2 2
2 2
10
10 0
2 0 0
2 10 5
+ =
+ − =− = ⇒ =− = − ⇒ =
O centro da circunferência é o ponto C ( , )= 0 5 . Como C é o ponto mé-dio do segmento AB, temos:3
20 3
12
5 9
3 9
+= ⇒ = −
+= ⇒ =
−
xx
yy
B
BB
BB
( , )
27.14. dO triângulo OAB é retângulo em O. Assim, a hipotenusa AB é diâmetro da circunferência que passa pelos vértices do triângulo. Sendo r o raio da circunferência, temos:
( ) (OB) ( )
( )
( )
AB OA
AB
AB AB
rAB
2 2 2
2 2 2
2
3 2
13 13
2132
= +
= +
= ⇒ =
= =
27.15. ex y x y k
a a
b b
a b r k
r k r
2 2
2 2 2
2 2 2 2
6 4 0
2 6 3
2 4 2
3 2
+ − − + =− = − ⇒ =− = − ⇒ =
+ − =
+ − = ⇒ == −13 k
Para que a equação represente uma circunferência, devemos ter:r
k k
2 0
13 0 13
>− > ⇒ <
Para que o ponto ( , )6 3 pertença à circunferência, devemos ter:
6 3 6 6 4 3 0 32 2+ − ⋅ − ⋅ + = ⇒ =k kPara que o ponto ( , )8 5 seja externo à circunferência, devemos ter:
8 5 6 8 4 5 0
64 25 48 20 0 21
2 2+ − ⋅ − ⋅ + >+ − − + > ⇒ > −
k
k kComo k <13, temos que { | }k k∈ − < < 21 13 .
27.16. by x x
xba
y
B
V
V
= − + −
=−
=−⋅ −
=
= − + ⋅ − =
2
2
8 15
28
2 14
4 8 4 15 1
4 1
( )
( , )
x y x y
a a
b b
C
2 2 2 10 22 0
2 2 1
2 10 5
1 5
+ − − + =− = − ⇒ =− = − ⇒ =
( , )
Área do triângulo ABC:1 4 1 11
Área(ABC)1 1 5 12
1Área(ABC) 1 20 1 5 1 4
21
Área(ABC) 12 62
= ⋅
= ⋅ + + − − −
= ⋅ =
27.17. b
x
y
2
2
0–2
–2
y = x + 1
A região corresponde aos pontos do plano interiores à circunferên-cia com centro na origem e raio 2 e “abaixo” da reta de equação y x= +1.
Os pontos dessa região com coordenadas inteiras são:( , ), ( , ),( , ), ( , ), ( , ), ( , )− − − −1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1
6pontos� ������� ��������
27.18. ex y x y
a a
b b
a b r
2 2
2 2 2
2
4 10 28 0
2 4 2
2 10 5
28
2 5
+ + + + =− = ⇒ = −− = ⇒ = −
+ − =
− + −( ) ( ))2 2
2 2
28
4 25 28 1 1
− =
+ − = ⇒ = ⇒ =
r
r r r
O centro da circunferência é o ponto ( , )− −2 5 e o raio é 1. Portanto, o ponto da circunferência de ordenada máxima é ( , ) ( , )− − + = − −2 5 1 2 4 .
9Extensivo Terceirão – Matemática 9C
27.19. ( ) ( )x y− + − =4 3 92 2
O centro da circunferência é o ponto ( , )4 3 e o raio é 9 3= .
Q
r
x
y
0
P
(4, 3)
Seja r a reta que passa origem e pelo centro da circunferência.
m
y x
yx
r =−−
=
− = ⋅ −
=
3 04 0
34
034
0
34
( )
Os pontos P e Q são as intersecções da reta e da circunferência.
yx
x y
xx
x x
=
− + − =
− + −
=
− + ⋅
344 3 9
434
3 9
434
2 2
22
2
( ) ( )
( )
( ) ( −−
=
− + ⋅ − =
⋅ − =
− = − =
4 9
49
164 9
25 4 144
4125
4
2
2 2
2
)
( ) ( )
( )
x x
x
x ou x −−
= =
125
325
85
x ou x
x y
x y
= ⇒ = ⋅ =
= ⇒ = ⋅ =
325
34
325
245
85
34
85
65
Portanto, o ponto da circunferência mais próximo da origem é 85
65
,
e o mais distante é 325
245
,
.
27.20.a) Como O( , )0 0 é a origem do sistema cartesiano, temos:
d
d
d u c
PO
PO
PO
= − + − −
= +
=
( ) ( )
. .
16 0 3 0
256 9
265
2 2
b) O centro da circunferência é o ponto O( , )0 0 . Os pontos P, Q e O for-mam um triângulo retângulo em Q. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo PQO, temos:
( ) ( ) ( )
. .
PO PQ QO
r
r
r
r u c
2 2 2
2 2
2
2
265 12
265 144
121
11
= +
= +
= −
==
Aula 2525.01. c
Altura da pirâmide: H cm=12
Altura da pirâmide menor: h cm cm cm= − =12 4 8
Assim, a razão entre a área da base da pirâmide e a área da secção é:
SS
Hh
B
b=
=
=
=
2 2 2128
32
94
25.02. 6 mÁrea da base da pirâmide: S mB =144 2
Altura da pirâmide menor: h m= 4
Área da base da pirâmide menor: S mb = 64 2
Assim:
SS
Hh
H
H
H H m
B
b=
=
=⋅
= ⇒ =
2
2
2
2
2
14464 4
144 1664
36 6
25.03. cHh
Rr
h rr h r h r h
=
= ⇒ = ⇒ = ⇒ − =16 4
16 4 4 4 0
25.04. cAltura do cone: H cm= 8
Raio da base do cone: R cm= 4
Altura do cone menor: h cm cm cm= − =8 6 2
Sendo r o raio da base do cone menor, temos:Hh
Rr
rr cm
V r h
V
V
cone menor
cone menor
c
=
= ⇒ =
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
82
41
1313
1 2
2
2
π
π
oone menor cm=23
3π
25.05. dAltura do cone: HAltura do cone menor: h
H=
2
Sendo v o volume do cone menor, temos:
3
3
Hh H 2h
2
V Hv h
V 2hv hV V
8 vv 8
= ⇒ =
=
=
= ⇒ =
25.06. cAltura do pirulito: HAltura do minipirulito: h
H=
2
3
3
pirulito
minipirulito
pirulito
minipirulito
pirulito pirulitominipirulito
minipirulito
Hh H 2h
2V H
V h
V 2hV h
V V8 V
V 8
= ⇒ =
=
=
= ⇒ =
Portanto, para manter o preço diretamente proporcional à quanti-dade de doce utilizado, Maria deve vender cada minipirulito por R
R$ ,
$ ,0 808
0 10= .
25.07. e3
açaí
tapiocaaçaí
tapiocaaçaí açaí
tapiocaaçaí
açaí
tapioca
V 9V V 10
1000 V 729 V 729 V
271 V 729 V
V 7292,69
V 271
= +
⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅
=
25.08. c
3
3
3
33
1v V V 27v
27
V Hv h
27v 6v h
6 6h h cm 2 cm
27 3
= ⋅ ⇒ =
=
=
= ⇒ = =
Portanto, a distância do vértice ao plano é 2 cm.25.09. e
O plano determina um cone menor e um tronco de cone. Como os dois sólidos têm o mesmo volume, o volume do cone inicial é o dobro do volume do cone menor.Assim:
3
3
3
33
3
3 2 33
3 3 2
V 2v
V Hv h
2v 12v h
12h
212
h cm2
12 2 12 4h 6 4 cm
22 2
=
=
=
=
=
= ⋅ = =
1Extensivo Terceirão – Matemática 9D
Resoluções 9DMatemática
25.10. bO plano determina uma pirâmide menor e um tronco de pirâmi-de. Como os dois sólidos têm áreas laterais iguais, a área lateral da pirâmide inicial é o dobro da área lateral da pirâmide menor.
L
2L
2
2
22
S 2S
S HS h
2S aS x
a a 2x x
2 2
=
=
=
= ⇒ =
N
N
N
N
25.11. cO plano determina uma pirâmide menor e um tronco de pirâmide. Como os dois sólidos têm o mesmo volume, o volume da pirâmide inicial é o dobro do volume da pirâmide menor. Assim:
3
3
3
33
3 2 33
3 3 3 2
V 2v
V Hv h
2v 6v h
6h
2
6 6 2 6 4h 3 4
22 2 2
=
=
=
=
= = ⋅ = =
Portanto:d h
d
= −
= −
6
6 3 43
25.12. 64
VV
HH
VV
VV
VV
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3 1
2
10025
4 64
=
=
= ⇒ =
25.13. bO volume do depósito é a diferença entre os volumes dos dois cones.
2 2
2
3
cone menorcone maiordepósito
depósito
depósito
depósito
depósito
V V V
1 1V 2 (2 6) (1,5) 6
3 3
32 3V 2
3 232 9
V3 2
37V m
6
= −
= ⋅π⋅ ⋅ + − ⋅π⋅ ⋅
π = − π⋅ π π= −
π=
25.14. eSeja R o raio da base do copo cônico e r o raio da base do cone formado pelo suco.Assim:Rr
HH
rR
= ⇒ =
22
Seja h a altura atingida pelo suco após ter sido colocado no copo cilíndrico. Como o volume de suco é o mesmo em cada recipiente, temos:
13 2 2
13 4 2 24
22
22
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =
π πR H
R h
R HR h h
H
25.15. bd cm cm cm
V
V
V
= − =
=
=
15 3 12
1512
300 54
3tulipa
chope
chope
33
125 300 64
153 6
⋅ = ⋅
=
V
V mlchope
chope ,
25.16. bO volume de hipoclorito de sódio corresponde a 27% do volume de um cone de altura 12 cm e a 8% do volume de um cone de altura H.
27100
8100
827
1 2
1
2
⋅ = ⋅
=
V V
VV
Portanto:
VV H
H HH cm
1
2
3
3
12
827
12 12 23
18
=
=
⇒ = ⇒ =
25.17. cSe V é o volume da pirâmide original, o volume da pirâmide obtida
é V8
.
Assim:
VV h
h
hh m
8
10
810
102 5
3
3
=
=
= ⇒ =
25.18. aVolume do cone:
V cmcone = ⋅ ⋅ ⋅ =13
3 24 722 3π π
Considerando π = 3, o volume do cone é V cmcone = 216 3.
Em t segundos, o cone recebe t cm3 de água. Como o cone formado pela água é semelhante ao recipiente com formato cônico, temos:
216 24
24 64
3
33
t h
h th t
=
= ⇒ =
2 Extensivo Terceirão – Matemática 9D
25.19.a) O comprimento do setor circular usado para fazer o cone é
2 6 13 12 13π π⋅ − = −
A = B
12π – 3
C
C
A B
6 6 6
13
h
r
Portanto, o perímetro da base do cone é ( ) . .12 13π− u c .
b) Sendo r o raio da base do cone, temos:2 2 13
2 132
π πππ
r
r u c
= −
=−
. .
c)S rg
S
S u
lateral
lateral
lateral
=
= ⋅−
⋅
= ⋅ −
π
πππ
π
2 132
6
3 2 13( ) .aa.
25.20.a)
VV
R H
R H
A
B=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅=
13
2
13
4
2
2
π
π
( )
b) Seja h a altura que o líquido atingirá A.
VV
Hh
Hh
Hh
hH H H
A
B=
=
=
= = ⋅ =
3
3
3
3 3
3
3
3
4
4
4 422
22
Aula 2626.01. d
V
Vh
h
hh
cone maior
cone menor=
= =3
3
3
3
5 125
125
26.02. b2 34 17
2 28 14
3273
17
2 2
R cm R cm
r cm r cm
VH
R r Rr
V
t
= ⇒ == ⇒ =
= ⋅ + +
= ⋅ ⋅
( )
(
π π π
π 22 2
3
14 17 14
9 289 196 238
6507 3 14
20432
+ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + +⋅
π π
π π π
)
( )
V ,
V
V cm
== =20432 20 432mL L,
26.03. c
VH
S S S S
H
H
tB b B b
t
t
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + ⇒
3
353
4 1 4 1
105 16 1 4
2 2 2 2
( )
( )
H ( )
π
π tt cm= 5
Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em centímetros:
1
4
5H
H – 5 HHH H
H cm
−=
= −
=
541
4 20
203
26.04. b2 2
3
água
água
água
água
2 16V ( 11 8 11 8)
3 332
V (121 64 88 )9
32 32V 273 91 3
9 3
V 2912 cm 2912 mL 2,912 litros
= ⋅ ⋅ π⋅ + π⋅ + π⋅ ⋅
= ⋅ π+ π+ π
= ⋅ π ⋅ ⋅
= =
26.05. eH cm
R cm R cm
r cm r cm
V
V
t == ⇒ == ⇒ =
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅
12
2 6 3
2 4 2
123
3 2 3 2
4
2 2( )π π π
(( )
, ,
9 4 6
76
76 3 14 238 64
3
3
π π π
π
+ +
=
⋅ =
V cm
V cm
Portanto, o volume do líquido é de aproximadamente 238 ml.26.06. d
Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em centíme-tros.
x
3 3
3
3
13
( )13 3
13 9
4 2
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
x
x
x x cm
Assim, o raio da base maior do tronco de cone é 5 cm.Seja H a altura do cone original.
3Extensivo Terceirão – Matemática 9D
Assim:
3
5
3
H
H – 3
HH
H H H cm
V
V
−= ⇒ = − ⇒ =
= ⋅ ⋅ ⋅
353
3 5 15152
13
5152
2cone original
cone orig
π
iinal
cone original
=
=
1252
62 5 3
π
πV cm,
26.07. eObserve a figura, em que as medidas indicadas estão em centíme-tros.
2
2
8
8
5at
4 – 1 = 3
5 3 4
48 2 4
28 2
80 64 4
2 2 2
2 2
= + ⇒ == + +
= ⋅+ ⋅
+ +
= + +
( )
( )
a a cm
S S S S
S
S
t t
t B b
t
t
n
SS cmt =148 2
26.08. bO sólido é um tronco de pirâmide.
22
4
2
B
A
h
hC
4
No triângulo retângulo ABC, temos:
BC
h
h
h h
= − =
= +
= −
= ⇒ =
4 22
2 22
2
2 2
4 2
2 2
2 2 2
2
2
( )
Portanto:
V
V
V
tronco
tronco
tronco
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + ⋅
=
23
4 2 4 2
23
16 4 4 2
28 23
2 2 2 2( )
( )
26.09. cVolume de água no balde:
0 097 97 97 3, π π πlitros mL cm= =
Assim:25
100123
3 3 97
9 3 97
3 88 0
8
2 2
2
2
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
+ + =
+ − == =
( )π π π πR R
R R
R R
R ou R −−11
Portanto, o raio da base maior é 8 cm.26.10. 05 (01, 04)
Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em centímetros.
6 g
0,5
0,5 1,5
01) CORRETO.
V
V
V
funil
funil
funil
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + +
63
2 0 5 2 0 5
2 4 0 25
2 2( , , )
( , )
π π π
π π π
==10 5 3, π cm
Como 3,14π , o volume do funil é maior do que 30 cm3. 02) INCORRETO.
No triângulo retângulo da figura, temos:
g
g
g g cm
2 2 2
2
2
6 1 5
3694
1534
3 172
= +
= +
= ⇒ =
,
Assim:
S
S
S cm
n
n
n
= ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅
=
( , )π π
π
π
2 0 53 17
252
3 172
15 174
2
Como 3,14π e 17 4 , a área lateral do funil é aproximada-
mente igual a 15 3 14 4
447 1 2⋅ ⋅
=,
, cm .
04) CORRETO.Quando o funil está com água até a metade da altura, o raio do cír-
culo formado pela superfície da água é 0 5 2
21 25
,,
cm cmcm
+= .
Portanto, o volume de água é:
2 2
3 3
água
água
água
3V ( 0,5 1,25 0,5 1,25)
3V 0,25 1,5625 0,625
V 2,4375 cm 10 cm
= ⋅ π⋅ + π⋅ + π⋅ ⋅
= π+ π+ π
= π <
08) INCORRETO.Sendo H a altura do cone original, temos:
20 5 62 12 0 5
1 5 12 8
,,
,
=−
− == ⇒ =
HH
H H
H H cm
4 Extensivo Terceirão – Matemática 9D
16) INCORRETO.ππ⋅⋅
= =2
0 54
0 2516
2
2, ,
26.11. 31 (01, 02, 04, 08, 16)Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em centímetros.
L
L
10
10
6
12
01) CORRETO.
10 12
65
LL cm= ⇒ =
Área da secção transversal (base da pirâmide menor):
S
S cm
b
b
=
=
5
25
2
2
02) CORRETO.
2
3
pirâmide
pirâmide
1V 10 12
3
V 400 cm
= ⋅ ⋅
=
04) CORRETO.
O volume da pirâmide menor é 13
5 6 502 3⋅ ⋅ = cm .
Portanto:
tronco
pirâmide
V 400 50 350 7V 400 400 8
−= = =
08) CORRETO.
ππ
ππ
⋅⋅
= =5
1025
10014
2
2
16) CORRETO.
V
V cm
tronco
tronco
= −
=
400 50
350 3
26.12. 43 (01, 02, 08, 32)Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em centíme-tros.
2
2
A
B
C
8
8
6
hh
01) CORRETO.02) CORRETO.04) INCORRETO.
V F A
A A
+ = ++ = + ⇒ =
2
8 6 2 12
08) CORRETO. No triângulo retângulo ABC, temos:
BC
h
h
h h cm
= − =
= +
= −
= ⇒ =
8 22
2 22
3 2
6 3 2
36 18
18 3 2
2 2 2
2
2
( )
16) INCORRETO.
at
4 – 1 = 3
2
2
C
8
8
6
6 3 3 32 2 2= + ⇒ =( )a a cmt t
S
S cm
N
N
= ⋅+ ⋅
=
48 2 3 3
260 3 2
( )
32) CORRETO.
V
V
cm
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + ⋅
=
3 23
8 2 8 2
2 64 4 8 2
84 2
2 2 2 2
3
( )
( )
V
64) INCORRETO.
SS
B
b= = =
82
644
162
2
26.13. c
S m
S m
V
B
b
=⋅ ⋅
=
=⋅ ⋅
=
= ⋅ + + ⋅
6 2 34
6 3
6 1 34
3 32
33
6 33 3
26 3
3 32
22
22
tronco
= + +
=⋅
= =
V
V m l
tronco
tronco
6 33 3
23 3
21 32
21 172
17 85 178503
,, iitros
26.14. dConsidere que:• Área lateral do cone: SL
• Área lateral do cone parcial: S N Assim:
SS
hH
SS
H
HS S
L
LL
N
NN
=
=
= ⇒ = ⋅
2
2
23 1
99
Portanto:S
SS S
S
S
S
S S
S
S
Llateral do tronco
lateral do tronco
N
N
N
N
N N
N
=−
=⋅ −
=⋅9 8
NN
NS= 8
26.15. 22 damSendo V o volume inicial, temos:34
23100 30800 3⋅ = ⇒ =V V dam
5Extensivo Terceirão – Matemática 9D
Assim:
2 2 2 2
tronco paralelepípedoV V 30800
12(40 30 40 30 ) 40 40 (H 12) 30800
34 (1600 900 40 30) 1600 (H 12) 30800
4 (1600 900 40 30) 1600 (H 12) 30800
14800 1600 (H 12) 30800
148 16H 192 308
16H 352
H 22 dam
+ =
⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ − =
⋅ + + ⋅ + ⋅ − =⋅ + + ⋅ + ⋅ − =
+ ⋅ − =+ − ==
=
26.16. 57R
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 2 2 2
2 2
taça
taça
copo
copo
copotaça
RV R R ( R r Rr)
3
4R r RrV R
3 3 3
3RV ( R (2r) R 2r)
3
V R (R 4r 2Rr)
2V V
3
4R r Rr 2R R (R 4r 2Rr)
3 3 3 3
4R r Rr 2R 8r 4Rr
7r 3Rr 2R 0
r
= π ⋅ + ⋅ π + π + π
= π ⋅ + +
= ⋅ π + π⋅ + π ⋅
= π ⋅ + +
= ⋅
π ⋅ + + = ⋅π ⋅ + +
+ + = + +
+ − =
−=2 2
2
3R (3R) 4 7 ( 2R )2 7
3R 65Rr
14
± − ⋅ ⋅ −⋅
− ±=
Usando a aproximação 65 8 , temos:
rR R
rR
ou rR
− ±
−
3 814
514
1114
Portanto, rR
514
e o raio aproximado da base do copo é
2 2514
57
rR R
= ⋅ = .
26.17. cConsidere que:• Volume do cone original: V• Volume do cone S1: V1 • Volume do tronco de cone S2: V2
Assim:
VV
hH
VV
H
HV V
13
1
3
2 13 1
2727
=
=
= ⇒ = ⋅
Portanto:VV
V VV
V VV
VV
2
1
1
1
1 1
1
1
1
27 2626=
−=
−= =
26.18. bObserve a figura, em que as medidas indicadas estão em centímetros.
H
h
R
Volume do tronco de cilindro:
V RH h
12
2= ⋅
+
π
Duplicando a base menor do trapézio, temos:
V RH h
22 2
2= ⋅
+
π
Assim:
V VV
VV
RH h
RH h
H h
2 11
21
2 2
34
32
243 2
243
= +
=
⋅+
= ⋅ ⋅
+
+ = ⋅
π π
(HH h
H h H h H h
+
+ = + ⇒ =
)
3 6 4 4 2
26.19. Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em centímetros.
x8
41
1
1
4 3
a)8 4
64 16
48 4 3
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
x
x
x x cm
V
V
V
tronco
tronco
tronco
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + +
4 33
5 1 5 1
4 33
25 5
2 2( )
( )
π π π
π π π
==124 3
33π
cm
b) O volume total do funil é a soma dos volumes do tronco e do cilindro.V V V
V
V
funil tronco cilindro
funil
funil
= +
= + ⋅ ⋅
=
124 33
1 4 3
136 33
2ππ
πccm3
6 Extensivo Terceirão – Matemática 9D
26.20.a) Como 1 quilate corresponde a 200 mg, temos:
0 7 0 7 200 140 0 14
3 50 14 0 14
3 50
, , ,
,, ,
,,
quilate mg mg g
dmV
VV
= ⋅ = =
=
= ⇒ = = 004 3cm
Aula 2727.01. e
Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em centíme-tros.
12 13
r
No triângulo retângulo da figura, temos:
13 12
169 144
25
5
2 2 2
2
2
= +
= −
==
r
r
r
r cm
27.02. 48
Seja R o raio da base do cilindro. Assim, o raio das esferas é R2
e a altu-
ra do cilindro é 4 2 8⋅ =R R .
V
VR R
R
RR
cilindro
esfera=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=⋅
=π
π
2
3
3
38
43 2
843 8
48
Portanto, são obtidas 48 esferas. 27.03. d
Sendo r o raio da esfera, temos:Área da superfície esférica: 24 rπ
Área total do cilindro: 2 2 42 2π π π⋅ ⋅ + ⋅ =R R R R Assim:
4 42 2π πr R
r R
==
27.04. eSendo R o raio do reservatório, temos:
VR
1
343
=π
Aumentando o raio R em 20%, este passa a ser 120100
65
⋅ =RR
.
VR
VR
V
2
3
2
3
1
43
65
43
216125
216125
= ⋅
= ⋅ = ⋅
π
π
Como 216125
1728 172 8= =, , % , o volume aumentará 72,8%.
27.05. a2 50 25R m R m= ⇒ =
S R
S R
S
S
semiesfera
semiesfera
semiesfera
semi
= ⋅
=
= ⋅
12
4
2
2 25
2
2
2
π
π
π
eesfera 1250 3 14 3925 2⋅ =, m
Portanto, o custo aproximado da restauração é:3925 800 00 3 140 000 00⋅ =R R$ , $ . . ,
3,14 milhões de reais27.06. 74 mm
Observe a figura, em que as medidas indicadas estão em milíme-tros.
R – 4 R
424
No triângulo retângulo da figura, temos:
R R
R R R
R
R mm
2 2 2
2 2
4 24
8 16 576
8 582
74
= − +
= − + +==
( )
b) Usando as aproximações, temos:V V V
V
brilhante tronco de cone cone
brilhante
= +
= ⋅ ⋅ + ⋅ +0 63
2 12 2,(π π π⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ + + +
=
2 113
2 1 8
0 2 4 2 2 4
2) ,
, ( ) ,
π
π π π πV
V
brilhante
brilhante 33 8 3, πmm
7Extensivo Terceirão – Matemática 9D
27.07. cSeja r o raio da bolinha.O volume da bolinha é igual ao volume de água que subiu (água des-locada), ou seja, ao volume de um cilindro de altura 1,2 cm e base com raio 3 cm.
32
3
3
3
bolinha água deslocadaV V
4 r3 1,2
3
4r 27 1,2
r 8,1
r 8,1
r 2 cm
=
π = π⋅ ⋅
= ⋅
=
=
27.08. cA altura do cilindro corresponde a 10 dm, enquanto o raio das se-miesferas e da base do cilindro corresponde a 3 dm.Assim:V V V
V
V
boiler cilindro esfera
boiler
boiler
= +
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
π π3 1043
3
90
2 3
ππ π
π
+
=
36
126 3V dmboiler
Como 1 3dm equivale a 1 litro e 3,14π , temos:
V litros
V litrosboiler
boiler
126 3 14
395 64
⋅ ,
,
27.09. cSeja R o raio da base do cilindro.V V
R
R
R
cilindro =
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= +
=
esferas
π π π2 3 3
2
2
1243
443
8
3643
5123
3 1992
64
8
2R
R cm
==
27.10. dA superfície que será revestida com tinta anticorrosiva corresponde à superfície lateral de um cilindro de altura 6 m e base com raio 1 m e à superfície de uma esfera de raio 1 m (duas semiesferas).Assim:
S
S
S
S m
= ⋅ ⋅ + ⋅= +=
⋅ =
2 1 6 4 1
12 4
16
16 3 14 50 24
2
2
π ππ ππ
, ,
Como cada lata de tinta é suficiente para revestir 8 metros quadra-dos, temos:50 24
86 28
,,=
Devem ser compradas no mínimo 7 latas de tinta.27.11. d
S S
R R
R R R R
2 1
22
12
22
12
2 1
144100
4144100
4
144100
1210
= ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
π π
RR R2 11 2= ⋅,
Assim, para que a área da superfície de uma esfera aumente 44%, o raio deve aumentar 20%.
V R
V R
V R
V R
V
1 13
2 23
2 13
2 13
2
43
4343
1 2
43
1728
1
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
π
π
π
π
( , )
,
,,728 1⋅V
Como 1728 172 8, , %= , a bolha poderia conter em seu interior um volume de ar até 72,8% maior, sem estourar.
27.12. 18 (02, 16)Sejam x e y, respectivamente, os raios das bases do cilindro e do cone e R o raio da esfera. Assim, a altura do cone é R e a altura do cilindro
é R2
.
Assim:
VR
V xR x R
V y Ry R
esfera
cilindro
cone
=
= ⋅ ⋅ =⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =⋅
43
2 213
3
22
22
π
ππ
ππ
33
01) INCORRETO.
V V
x R y R
x yy
xy
x
cilindro cone=
⋅=
⋅
= ⇒ = ⇒ =
2 2
2 22
2
2 3
2 33
23
2
π π
Portanto, o raio da base do cone é maior do que o raio da base do cilindro.
02) CORRETO.
V V
y R R
y R y R
cone esfera=
⋅=
= ⇒ =
2 3
2 2
34
3
4 2
π π
04) INCORRETO.
A altura do cilindro é R2
.
08) INCORRETO.
V V
x R Rx
R
cilindro esfera=
⋅= ⇒ =
2 32
2
24
38
3π π
Área da superfície da esfera:
2superfície esféricaS 4 R= π
Área da base do cilindro:
S xR R
B = = ⋅ =π ππ2
2 283
83
16) CORRETO.
R cm
y R cm
=
= =
5
2 2 5
Como a altura do cone é R e o raio da base do cone é y, temos:
g y R
g
g g g cm
2 2 2
2 2 2
2 2
2 5 5
20 5 25 5
= +
= +
= + ⇒ = ⇒ =
( ) ( )
8 Extensivo Terceirão – Matemática 9D
27.13. 9,6 cmSeja h a altura do cone circular reto (casquinha). O volume do cone corresponde a 80% do volume da esfera.Assim:13
380
10043
3
9 6
2 3⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
=
π πh
h cm,
27.14. V – V – F – F – V2 3
3 3
2 3
3 3 3
cilindro
semiesfera
cone
sólido
V 6 6 216 cm
1 4V 6 144 cm
2 31
V 6 6 72 cm3
V 144 cm 72 cm 216 cm
= π⋅ ⋅ = π
= ⋅ ⋅π⋅ = π
= ⋅π⋅ ⋅ = π
= π + π = π
(V)3
cilindro sólidoV V 216 cm= = π
(V)23
23
216 1443 3⋅ = ⋅ = =V cm cm Vcilindro π π semiesfera
(F)V
Vcmcm
cone
cilindro= =
72216
13
3
3ππ
(F)V
V
V
Vcone
cilindro
cilindro
cone= ⇒ = ≠
13
3 π
(V)
V cm
V cmV V
conecone
semiesferasemiesfera
=
=
⇒ = ⋅
144
722
3
3
π
π
27.15. cObserve a figura, em que as medidas indicadas estão em decíme-tros.
T
3
R
3A
F
B
C
Como a área do círculo de centro T é igual à área da superfície esférica, temos:
π π⋅ = ⋅
= ⇒ =
R
R R dm
2 2
2
4 3
9 6
Os triângulos FTB e FCA são semelhantes.FTFC
TBCA
FTFC
FT FC
=
= ⇒ =63
2
Sendo FC x= e utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo, FCA, temos:
(FA) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 3 3
4 12 9 9
4 0 0
= +
− = +
− + = +
− = ⇒ =
FC CA
x x
x x x
x x x ou x == 4
Portanto:FC dm
FT FC
FT
FT dm
=== ⋅=
4
2
2 4
8
27.16. cSendo R a razão da progressão aritmética, temos:
ar
Rr
a a n
rn
rn
n
1
3
3
13 3
18
451
181
45
=
=
= + − ⋅
= + − ⋅
π
π
π π
( ) R
a ( )
A soma dos termos da progressão aritmética é igual ao volume de uma semiesfera de raio r.
Sr
a a n r
r rn
r
n
n
= ⋅
+ ⋅=
+ + − ⋅
12
43
22
3
18 181
45
3
13
3 3 3
π
π
π π π
( )
( ) ⋅⋅
=
⋅ +−
⋅ = ⋅
+−
=
+ − = ⇒ =
nr
nn
n n n
n n n o
22
3
319
145
2 2
3 154
4 60 0 6
3
2
2
π
uu n= −10
Portanto, n= 6.
27.17. 14 (02, 04, 08)Sejam R o raio da esfera e da base do cilindro e h a altura do cilindro.
4 2 2
2
2 2π π πR Rh R
R h R h R
= += + ⇒ =
01) INCORRETO.Como h 2R≠ , o cilindro não é equilátero.
02) CORRETO.
42
2 22
2ππ
RRh
Rh
RR
= = =
04) CORRETO.
V R R
V R
R cm V
V
cilindro
cilindro
cilindro
cili
= ⋅
=
= ⇒ = ⋅ =
π
π
π π
2
3
36 6 216
nndro cm 216 3 14 678 24 3⋅ =, ,
08) CORRETO.
V
V
R
R Resfera
cilindro=
⋅= >
43 4
31
3
2
π
π
16) INCORRETO.A altura do cilindro é igual ao raio da esfera.
27.18. dV V V
V
V
porta joias
porta joias
porta jo
-
-
-
= −
= −⋅
cubo esfera
104 4
33
3π
iias
porta joiasV cm
1000256 3
3
744 3
−⋅
-
9Extensivo Terceirão – Matemática 9D
Portanto:
dmV
m
m g
=
=
=
0 85744
632 4
,
,
27.19. a)
Área lateral do recipiente:S
S cmN
N
= ⋅ ⋅
=
4 15 40
2400 2
Área da superfície de cada bola:2 4 2
4 2
16 3 48
2
2
R cm R cm
S
S cm
= ⇒ =
= ⋅
= ⋅ =
π
b)V
V cm
recipiente
recipiente
= ⋅
=
15 40
9000
2
2
V
V cm
esfera
esfera
=⋅
=⋅=
4 23
32 33
32
3
3
π
3
recipientelíquido esfera
líquido
líquido
V V 90 V
V 9000 90 32
V 6120 cm
= − ⋅
= − ⋅
=
27.20.Capacidade do copo de sorvete:
V
V cm
copo
copo
= ⋅ ⋅ ⋅
=
13
3 13
39
2
3
π
π
Volume da bola de sorvete:2 6 3
4 33
36
3
3
R cm R cm
V
V cm
= ⇒ =
=⋅
=
bola
bola
π
π
Como o volume da bola é menor que o volume do copo, este não ficará totalmente cheio.
10 Extensivo Terceirão – Matemática 9D
Aula 2525.01. d
z
w
z w z w
=
=
⋅ = ⋅ = ⋅ =
5
10
5 10 50
25.02. bO argumento do quociente
zw
de dois números complexos é a
diferença entre o argumento de z e o argumento de w.25.03. b
arg( ) arg( ) arg( ) arg( )
arg( )
arg(
A B C A B C
A B C
A
⋅ ⋅ = + +⋅ ⋅ = °+ °+ °30 60 90
⋅⋅ ⋅ = °B C) 180
25.04. cz z i sen
z z1 2
1 2
2 2 2 120 240 120 240
4 3
⋅ = ⋅ ⋅ °+ ° + ⋅ °+ °⋅ = ⋅
[cos( ) ( )]
[cos( 660 360
4 0 01 2
° + ⋅ °⋅ = ⋅ °+ ⋅ °
) ( )]
[cos ]
i sen
z z i sen
25.05. azz
i sen
zz
2
1
2
1
2 22
240 120 240 120
2 120
= ⋅ °− ° + ⋅ °− °
= ⋅ °
[cos( ) ( )]
[cos( )) ( )]+ ⋅ °i sen 120
25.06. dO afixo de um número complexo real pertence ao eixo real. Portanto: o argumento é 0° ou 180°.O módulo é igual ao próprio número, se o número for positivo ou igual a zero, e o oposto do número, se o número for negativo.
25.07. a1
2
1 2
1 22
1 2
Z 2 3i
Z 1 i
Z Z 2 3i ( 1 i) 1 2i
Z Z (2 3i) ( 1 i)
Z Z 2 2i 3i 3i 1 5i
= += − −+ = + + − − = +⋅ = + ⋅ − −
⋅ = − − − − = −
25.08. dz z z
z i sen
z
= ⋅
= ⋅ ⋅ °+ ° + ⋅ °+ °
= ⋅ ° +
1 2
412
60 90 60 90
2 150
[cos( ) ( )]
[cos( ) ii sen
i sen
z i
⋅ °= ⋅ − ° + ⋅ °
= ⋅ − + ⋅
( )]
z [ cos( ) ( )]
150
2 30 30
23
212
= − +z i3
25.09. c
z i sen
w i sen
z w
=
+ ⋅
=
+ ⋅
⋅ =
cos
cos
π π
π π6 6
3 3
ccos cosπ π π π6 6 3 3
+ ⋅
⋅
+ ⋅
i sen i sen
z w i sen
z w i sen
⋅ = +
+ ⋅ +
⋅ =
+ ⋅
cos
cos
π π π π
π π6 3 6 3
2 2
= + ⋅ =0 1i i
25.10. ez i
tg
= −
=−
= −
1 3
31
3θ
Como o afixo de z pertence ao 4o. quadrante, então θ = °− ° = °360 60 300 .w i
tg
= − +
=−= −
1
11
1θ
Como o afixo de w pertence ao 2o. quadrante, então θ = °− ° = °180 45 135 .
Portanto:
arg arg( ) arg( )
arg
zw
z w
zw
= −
= °− ° = ° =300 135 165
1112π
25.11. eI. INCORRETA.
Exemplo:a
b
a b
a b
==
+ = + =
+ = + = + =
4
9
4 9 13
4 9 2 3 5
II. CORRETA.
13
12
314
13
12
2714
1094
3 23
3 2
+
= +
+
= + =
−
−
III. CORRETA.z i
z
tg
= + ⋅
= + = =
= =
1 3
1 3 4 2
31
3
2 2( )
θ
Como o afixo de z pertence ao 1o. quadrante, então θ = °60 .Assim:
z i i sen= + ⋅ = ⋅ °+ ⋅ °1 3 2 60 60(cos )
25.12. dz z z
z i i
z i i
z i
z
tg
3 1 2
3
32
3
32 2
1
1
1 1 2
11
1
= ⋅= + ⋅ −
= − −= −
= + − =
=−= −
( ) ( )
( )
θ
1Extensivo Terceirão – Matemática 9E
Resoluções 9EMatemática
Como o afixo de z pertence ao 4o. quadrante, então θ = °− ° = °360 45 315 .Portanto:z i sen
z i sen
3
3
2 315 315
274
74
= ⋅ °+ ⋅ °
= ⋅ + ⋅
(cos )
cosπ π
25.13. aComo o triângulo é equilátero, temos:θ = °
° = ⇒ = ⇒ =
60
60 3 3tgba
ba
b a
Assim:z a a i
z a a i
z a a a i a i
z a a i
z
= + ⋅
= + ⋅
= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
= − + ⋅
=
3
3
2 3 3
2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
( )
−− − ⋅2 2 32 2a a i
Assim, como a parte real é negativa e a parte imaginária é negativa,
o afixo de z 2 pertence ao 3o. quadrante.25.14. 09 (01, 08)
01) CORRETO.
z z a bi a bi a b⋅ = + ⋅ − = +( ) ( ) 2 2
Portanto, como a e b são não nulos, a b2 2 0+ > e a b2 2+ é o módulo de z e de z , ou seja, a distância de seus afixos até a origem.
02) INCORRETO.O afixo de z é obtido por meio de uma reflexão do afixo de z em torno do eixo real.
04) INCORRETO.
z i z i2 2 2= ⇒ = = −( ) (z ) 08) CORRETO.
A mediatriz do segmento cujas extremidades são os afixos de z e de z é o eixo real. Portanto, se o afixo de w é equidistante dos afixos de z e de z , então w é real.
16) INCORRETO.
zz
a bia bi
a bia bi
a bia bi
a bia b
a ba
=+−
=+−
⋅++
=++
=−( )
( )( )( )
( )2
2 2
2 2
2 +++
+⋅
bab
a bi2 2 2
2
Como a e b são não nulos, o quociente zz
não é real.
25.15. a
Como o módulo de 1+ i é 2 e o argumento é 454
° =π
, temos:
1 24 4
+ = ⋅ + ⋅
i i sencos
π π
Assim:
( ) cos
cos cos
112 12
24 4
+ ⋅ + ⋅
= +
⋅ + ⋅
⋅
i i sen x yi
i sen
π π
π π π112 12
24 12 4 12
+ ⋅
= +
⋅ +
+ ⋅ +
i sen x yi
i sen
π
π π π πcos
= +
⋅ + ⋅
= +
⋅ + ⋅
= +
x yi
i sen x yi
i x yi
23 3
212
32
cosπ π
222
62
22
62
+ ⋅ = + ⇒ = =i x yi x e y
Portanto:
3 32
26
26⋅ + = ⋅ + =x y
25.16. c
z i
tg
1
1
3
13
33
30
= +
= = ⇒ = °θ θ
Assim:θ 2
2
2
2
2 30 60
4 60 60
412
32
2
= ⋅ ° = °= ⋅ °+ ⋅ °
= ⋅ + ⋅
=
z i sen
z i
z
(cos )
++ ⋅2 3 i
Portanto, z z2 12= ( ) , pois:
(z ) ( )
(z )1
2 2
12 2
2
3
3 2 3 2 2 3
= +
= + ⋅ + = + ⋅ =
i
i i i z
25.17. aO argumento do número complexo u é 180 60 120°− ° = °.Assim:u i sen
u i sen
u i
= ⋅ °+ ⋅ °= ⋅ − °+ ⋅ °
= ⋅ − + ⋅
4 120 120
4 60 60
412
32
(cos )
( cos )
= − +2 2 3i
vui
vi
i
vi
iii
vi i
ii
=
=− +
=− +
⋅−−
=−−
= +
2 2 3
2 2 3
2 2 32 3 2
2
2
( )( )
a) CORRETO.
u v i i
u v i
u v
u
+ = − + + +
+ = − + + + ⋅
+ = − + + +
+
2 2 3 2 3 2
2 2 3 2 3 2
2 2 3 2 3 22 2
( )
( )
( ) ( )
vv
u v
= − + + + +
+ = =
4 8 3 12 12 8 3 4
32 4 2
25.18. bO raio da circunferência é 1.Assim:z i sen
z i sen
z
8
2
6
1 45 45
1 135 135
1 315
= ⋅ °+ ⋅ °= ⋅ °+ ⋅ °= ⋅
(cos )
(cos )
(cos °°+ ⋅ °⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ °+ °+ ° +
⋅ °+
i sen
z z z
i sen
315
1 1 1 45 135 315
458 2 6
)
[cos( )
( 1135 315
1 495 495
18 2 6
8 2 6
°+ °⋅ ⋅ = ⋅ ° + ⋅ °⋅ ⋅ = ⋅
)]
[cos( ) ( )
[c
z z z i sen
z z z oos( ) ( ) z135 135 2° + ⋅ ° =i sen
Como z 2 é o conjugado de z 4, então z z z8 2 6 4⋅ ⋅ = z .
25.19. 18 2 3 3⋅ −( ) . .u a
z w i
z w i
+ = − + ⋅ −
− = − + + ⋅ −
( ) ( )
( ) ( )
9 3 3 9 3 3
3 3 3 3 3 3
2 Extensivo Terceirão – Matemática 9E
Somando as equações, temos:
2 6 12 6 3
3 6 3 3
z i
z i
= + ⋅ −
= + ⋅ −
( )
( )
Subtraindo as equações, temos:
2 12 6 3 6
6 3 3 3
w i
w i
= − + ⋅
= − +
( )
( )
0
3
3
z
w
60º
Im
Re
36 – 3
36 – 3
As medidas dos lados do paralelogramo correspondem aos módulos dos números complexos z e w.
z w
z w
z w
= = − +
= = − + +
= = ⋅ − = ⋅ −
( )
( )
6 3 3 3
36 36 3 27 9
36 2 3 6 2 3
2 2
Área do paralelogramo:1
Área 2 z w sen602
3Área 6 2 3 6 2 3
2Área 18 (2 3) 3
Área 18 (2 3 3) u.a.
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅
= ⋅ −
25.20. 40
z a bi
z i z
a bi i a bi
a b a b
a b
= +
⋅ − = −
⋅ + − = + −
⋅ + − = − +
⋅ +
2 2
2 2
2 1 2
4
2 2 2 2
2
( ) ( )
( 22 2 2
2 2
2 2
2
2 1 4 4
3 3 4 8 0
43
83
0
43
23
− + = − + +
+ + − =
+ + − =
+ +
b a a b
a b a b
aa
bb
aa
)
+ − +
=
+
+
+
22
2 2 2
2
83
43
23
43
23
bb
a b−−
=
43
209
2
O centro da circunferência é o ponto −
23
43
, e o raio é 209
2 53
= .
Portanto:
9 923
43
2 53
9
2 2 22 2
⋅ + + = ⋅ −
+
+
⋅
( )
(
a b r
aa b r2 2 2 949
169
209
9409
40+ + = ⋅ + +
= ⋅ =)
Aula 2626.01. b
z =
= °
3
60θ
O módulo de z 2 é z z2 2 23 9= = = e o argumento é 2 60 120⋅ ° = °.
26.02. cA =10
O módulo de A 2 é A A3 3 310 1000= = = .26.03. d
O argumento de z 5 é o quíntuplo do argumento de z. Portanto, o ar-gumento é multiplicado por 5.
26.04. d
z i
z i
z
z
= +
= +
= +
= = =
( )
( )
( )
1
1
1 1
2 2 4
4
4
2 2 4
4 2
26.05. bz i sen
z i sen
z
= °+ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ° + ⋅ ⋅ °
= ⋅
2 60 60
2 6 60 6 60
64
6 6
6
(cos )
[cos( ) ( )]
[ccos( ) ( )]
z ( )
360 360
64 1 0 646
° + ⋅ °
= ⋅ + ⋅ =
i sen
i
Portanto, z 6 é um número real positivo.
26.06. cz i sen
z i sen
z i sen
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
1
1 3 3
1 3 3
3 3
3
(cos )
(cos )
(cos )
θ θ
θ θ
θ θ
O cubo desse número complexo terá módulo unitário e argumento 3θ. 26.07. e
z i sen
z i sen
= ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
24 4
2 24
24
2 2
cos
cos
π π
π π
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ =
z i sen
z i i
2
2
42 2
4 0 1 4
cos
( )
π π
Portanto, o conjugado de z 2 é –4i.26.08. 65
w i i i
w i i
w w
= + += − + − +
= − ⇒ = − =
3 2
6 6
1
1 1 1
( )
( )
z i sen
z i sen
= ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
23 3
2 63
63
6 6
cos
cos
π π
π π
= ⋅ + ⋅[ ]= ⋅ + ⋅[ ] =
z i sen
z i
6
6
64 2 2
64 1 0 64
cos( ) ( )π π
3Extensivo Terceirão – Matemática 9E
Portanto:
y z w= + = + =6 6 64 1 65
26.09. d
z i sen
z i sen i sen i i
z
= + ⋅
= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ =
=
cos
cos cos
π π
π π π π6 6
36
36 2 2
0 13
6 ccos cos
cos
66
66
1 0 1
126
1212
π ππ π
π π
+ ⋅ = + ⋅ = − + ⋅ = −
= + ⋅
i sen i sen i
z i sen66
2 2 1 0 1
1 13 6 12
= + ⋅ = + ⋅ =
+ + = + − + =
cos
( )
π πi sen i
z z z i i
26.10. az i
z
tg
= +
= + =
= =
1
1 1 2
11
1
2 2
θ
Como o afixo de z pertence ao 1o. quadrante, então θπ
= ° =454
.
Assim:
z i sen
z i sen
z
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅
24 4
234
34
2 2
3 3
3
cos
( ) cos
π π
π π
ccos34
34
π π+ ⋅
i sen
26.11. dz i
z
tg
= +
= + = =
= =
3
3 1 4 2
13
33
2 2( )
θ
Como o afixo de z pertence ao 1o. quadrante, então θ = °30 .Assim:z i sen
z i sen
z
= ⋅ °+ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ° + ⋅ ⋅ °
= ⋅
2 30 30
2 6 30 6 30
64
6 6
6
(cos )
[cos( ) ( )]
[[cos( ) ( )]
z [ ]
180 180
64 1 0 646
° + ⋅ °
= ⋅ − + ⋅ = −
i sen
i
26.12. a
z i sen
z i sen
= ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
223
23
2 623
623
6 6
cos
cos
π π
π π
= ⋅ + ⋅[ ]z i sen6 64 4 4cos π π
26.13. da) FALSO.
z i sen
z i sen
z i sen
= + ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
= + ⋅
cos
cos( ) ( )
cos
1 1
2 1 2 1
2 2
2
2
b) FALSO.z i sen
z i sen
z i sen
= + ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
= + ⋅
cos
cos( ) ( )
cos
1 1
10 1 10 1
10 10
10
10
Como o módulo de z 10 é igual a 1, o afixo é um ponto de uma circunferência de centro na origem e raio 1.
c) FALSO.z i sen
z i sen
z i sen
= + ⋅
= + ⋅
= + ⋅
cos
cos
cos
1 1
2 2
3 3
2
3
Como 1 radiano é aproximadamente igual a 57,3°, o afixo de z per-tence ao primeiro quadrante. Como 2 rad 114,6° e 3 rad 171,9° , os afixos de z 2 e de z 3 pertencem ao segundo quadrante.
d) VERDADEIRO.
z i sen100 100 100= + ⋅cos
Como 100 5730 15 360 330rad ° = ⋅ °+ °, o afixo de z 100 pertence
ao quarto quadrante.e) FALSO.
O argumento de z é aproximadamente 57,3°.26.14. 06 (02, 04)
01) INCORRETO.
arg arg( )1
2z
z = − = −
02) CORRETO.
z z a bi a bi
z z a abi b i a abi b i
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 22 2
− = + − −
− = + + ⋅ − − + ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( 22
2 2 4
)
( )z z abi− =
04) CORRETO.
21
21
21
11
2 21
32
5 2
2++
=++=
++⋅−−=
− + −−
=−i
iii
ii
ii
i i ii
i
Portanto, a parte real é 32
.
08) INCORRETO.
z i sen
z i sen
z
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅
26 6
266
66
64
6 6
6
cos
cos
(c
π π
π π
oos )
( )
π π+ ⋅
= ⋅ − + ⋅ = −
i sen
z i6 64 1 0 64
16) INCORRETO.
z i sen
z i sen
z
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅
24 4
224
24
4
2 2
2
cos
cos
cos
π π
π π
ππ π2 2
4 0 1 42
+ ⋅
= ⋅ + ⋅ =
i sen
z i i( )26.15. c
z i
z
tg
= − + ⋅
= − + = + = =
=−
= −
2 2
2 2 2 2 4 2
22
1
2 2( ) ( )
θ
Como o afixo de z pertence ao 2o. quadrante, então θ = °− ° = °180 45 135 .Assim:z i sen
z n i sen nn n
= ⋅ °+ ⋅ °
= ⋅ °⋅ + ⋅ °⋅
2 135 135
2 135 135
(cos )
[cos( ) ( )]
Para que o número complexo seja imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero e a parte imaginária diferente de zero.
4 Extensivo Terceirão – Matemática 9E
cos( )
( )
( )
(
135 0
135 90 180
90 1 2135
2 1
°⋅ =°⋅ = °+ ⋅ ° ∈
=°⋅ +
°
=⋅ +
n
n k k
nk
n
223
023
1 2
k
k n
k n
)
= ⇒ =
= ⇒ =Portanto, o menor valor de n é 2.
26.16. bz i
z i
z i i
z i
= −
= −
= − ⋅ −
= −
1
1
1 1
1
2015 2015
2015 2014
2015 2 100
( )
( ) ( )
[( ) ] 77
2015 2 1007
2015 1007
201
1
1 2 1
2 1
⋅ −
= − + ⋅ −
= − ⋅ −
( )
[ i ] ( )
[ ] ( )
i
z i i
z i i
z 55 1007 1007
2015 1007 3
2015 1007
2 1
2 1
2
= − ⋅ ⋅ −
= − ⋅ ⋅ −
= − ⋅
( ) ( )
( )
(
i i
z i i
z −− ⋅ −
= − ⋅ − +
= + ⋅
i i
z i i
z i
) ( )
( )
1
2
2 2
2015 1007 2
2015 1007 1007
Portanto, o afixo do número complexo é o ponto de
coordenadas ( , )2 21007 1007 .
26.17. bz i
z
tg
= +
= + = + = =
= =
1 3
1 3 1 3 4 2
31
3
2 2( )
θ
Como o afixo de z pertence ao 1o. quadrante, então θ = °60 .Assim:z i sen
z n i sen nn n
= ⋅ °+ ⋅ °
= ⋅ °⋅ + ⋅ °⋅
2 60 60
2 60 60
(cos )
[cos( ) ( )]
Para que o número complexo seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero.sen n
n k k
n k
k n
k n
( )
( )
60 0
60 180
3
0 0
1 3
°⋅ =°⋅ = ⋅ ° ∈== ⇒ == ⇒ =
Portanto, o menor valor não nulo de n é 3. 26.18. b
z i sen
z n i sen n
z n i sen
n n
n
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= + ⋅
1
1
(cos )
[cos( ) ( )]
cos( )
θ θ
θ θ
θ (( )
cos( ) ( ) cos( ) (
n
zz
z z
zz
n i sen n n i sen
nn
n n
nn
θ
θ θ θ
+ = +
+ = + ⋅ + − + ⋅
−1
1−−nθ)
Como cos( ) cos( )− =n nθ θ (função par) e sen n sen n( ) ( )− = −θ θ
(função ímpar), temos:
zz
n i sen n n i sen n
zz
n
nn
nn
+ = + ⋅ + − + ⋅ −
+ =
1
1
cos( ) ( ) cos( ) ( )
cos( )
θ θ θ θ
θ ++ ⋅ + − ⋅
+ = ⋅
i sen n n i sen n
zz
nnn
( ) cos( ) ( )
cos( )
θ θ θ
θ1
2
26.19. 150°
z i sen
z i sen i sen
z i
= + ⋅
= + ⋅ = + ⋅
= +
cos
cos cos
cos
π π
π π π π
π
6 626
26 3 3
36
2
3 ⋅⋅ = + ⋅sen i sen36 2 2π π π
cos
Os afixos (imagens) dos números complexos, z, z 2 e z 3, pertencem a uma circunferência de raio unitário e com centro na origem, pois o módulos dos três números complexos é 1.
Im
αα
Re
30º30º
30ºO
P3
P2
P1
Como os triângulos OP P1 2 e OP P2 3 são isósceles e congruentes, os
ângulos internos OP P2 1 e OP P2 3 medem α =°− °
= °180 30
275 .
Portanto, o maior ângulo interno do triângulo P P P1 2 3 mede
2 75 75 150α = °+ ° = °. 26.20. n = 15
z i
z
tg
= +
= + = + = =
= =
3
3 1 3 1 4 2
13
33
2 2( )
θ
Como o afixo de z pertence ao 1o. quadrante, então θ = °30 .Assim:z i sen
z n i sen nn n
= ⋅ °+ ⋅ °
= ⋅ °⋅ + ⋅ °⋅
2 30 30
2 30 30
(cos )
[cos( ) ( )]
Para que o número complexo seja imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero e a parte imaginária diferente de zero.cos( )
( )
30 0
30 90 180
3 6
°⋅ =°⋅ = °+ ⋅ ° ∈= +
n
n k k
n k
O menor número natural n maior do que 10 é 15, pois:n k
k n
= += ⇒ = + ⋅ =
3 6
2 3 6 2 15
5Extensivo Terceirão – Matemática 9E
Aula 2727.01. d
Uma equação algébrica do 5o. grau tem 5 raízes, que podem ou não ser todas distintas. Portanto, o número máximo de elementos do conjunto solução é 5.
27.02. bSe todas as 5 raízes de uma equação algébrica do 5o. grau forem iguais, o conjunto solução terá apenas 1 elemento.
27.03. c( )
( )
x
x raiz tripla
− ==
1 0
1
3
O conjunto solução da equação é {1} (tem um único elemento).27.04. a
x x x k
x k
k
k
3 2
3 2
4 5 0
1 1 4 1 5 1 0
1 4 5 0
0
+ − + =
= ⇒ + ⋅ − ⋅ + =+ − + ==
27.05. b( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
ou
x x raiz tripla
− ⋅ + =− = ⇒ =
+ = ⇒ = −
1 2 0
1 0 1
2 0 2
3
3
O número de raízes distintas da equação é 2.27.06. e
P x
x x x
( )
( ) ( ) ( )
=
− ⋅ − ⋅ − =
0
3 2 4 05 6 10
O grau da equação é 5 6 10 21+ + = . 27.07. a
2 2 1 –7 –6
2 5 3 0
2 5 3 0
132
2x x
x ou x
+ + =
= − = −
Portanto, as outras raízes são reais e estão entre –2 e 0.27.08. c
P x x x k
P i
i i k
i i k
( )
( )
( ) ( )
( ) [( ) ]
= − ++ =
+ − ⋅ + + =
+ ⋅ + − + =
3
3
2
2
1 0
1 2 1 0
1 1 2 0
(( ) [ ]
( ) ( )
1 1 2 2 0
1 2 2 0
2 2 2 2 0
4
2
2
+ ⋅ + + − + =+ ⋅ − + =
− + − + ==
i i i k
i i k
i i i k
k
27.09. ax x+ = ⇒ = −1 0 1
–1 2 0 –3k –4
2 –2 2 – 3k 3k – 6Assim:3 6 0 2
2 2 2 3 0
2 2 2 3 2 0
2 0
1 2
2
2
2
k k
x x k
x x
x x
x ou x
− = ⇒ =
− + − =
− + − ⋅ =
− − == − =
Portanto, o conjunto verdade da equação é {–1, 2}.
27.10. bp x x ax x
p
a
a
a
( )
( )
= − −=
⋅ − ⋅ − ⋅ =− − ==
2 2
1 0
2 1 1 2 1 0
2 2 0
0
3 2
3 2
Portanto:p x x x
p x x x
p x x x x
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= −
= ⋅ −= ⋅ + ⋅ −
2 2
2 1
2 1 1
3
2
27.11. a
f x x x x
f x x x x
= + + −
= ⋅ + + −
4 3 2
3
4 6
4 6( )
O número –2 é raiz de p x x x x( )= + + −3 4 6
–2 1 4 1 –6
1 2 –3 0
x x
x ou x
2 2 3 0
1 3
+ − == = −
Portanto, a forma fatorada de f é:f x x x x= ⋅ + ⋅ − ⋅ +( ) ( ) ( )2 1 3
27.12. b5
4
2 2
2 2
2 2
x x 0
x (x 1) 0
x (x 1) (x 1) 0
x 0
x 1 0 x 1 x i ou x i
x 1 0 x 1 x 1ou x 1
− =
⋅ − =
⋅ + ⋅ − ==
+ = ⇒ = − ⇒ = = −
− = ⇒ = ⇒ = = −
Portanto, a equação tem três soluções reais (0, 1, –1) e duas solu-ções complexas não reais (i, –i).
27.13. e1. VERDADEIRA.
p x x ax x a
p i i a i i a
p i i a i a
p i
( )
( )
( )
( )
= − + −
= − ⋅ + −= − + + −=
3 2
3 2
0
Portanto, i é uma raiz do polinômio.2. VERDADEIRA.
p x x ax x a
p a a a a a
p
( )
(a)
(a)
= − + −
= − ⋅ + −=
3 2
3 2
0Como p a( )= 0, o polinômio p(x) é divisível por x a− .
3. VERDADEIRA.
p x x ax x a
p
a a
a a
( )
( )
( ) ( ) ( )
= − + −− = −
− − ⋅ − + − − = −− − ⋅ − −
3 2
3 2
2 10
2 2 2 10
8 4 2 == −− − = −=
10
5 10 10
0
a
a
6 Extensivo Terceirão – Matemática 9E
27.14. 8
1 2/ 2 –17 32 –12
2 –16 24 0
2 16 24 0
8 12 0
2 6
2
2
x x
x x
x ou x
− + =
− + == =
A soma das outras duas raízes é 2 6 8+ = .27.15. d
2 1 –4 8 –16 16
2 1 –2 4 –8 0
1 0 4 0
x
x x i ou x i
2
2
4 0
4 2 2
+ =
= − ⇒ = = −
Portanto, as outras raízes são {2i, –2i}.27.16. b
Como f( )0 2= , o gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto ( , ).0 2
Observe no gráfico que a reta de equação y = 2 intersecta o gráfico de
f em quatro pontos.
x
y
y = 22
Portanto, o número de elementos do conjunto solução da equação f x( )= 2 é 4.
27.17. ap x
x x x
q x
x x x
r x
p
( )
( )
( )
(
=
+ = ⇒ = − ⇒ ∉=
+ = ⇒ = − ⇒ ∉
=
0
10 0 10
0
10 1 01
100
4 4
2 2
xx q x
x x
x x
x ou x
x ou x ou
) ( )
( )
− =
+ − + =
− + =
= == = −
0
10 10 1 0
10 9 0
1 9
1 1
4 2
4 2
2 2
xx ou x= = −3 3
Portanto, as equações têm, respectivamente, 0, 0 e 4 raízes reais.
27.18. cSendo α a terceira raiz, temos:P x x x x( ) ( ) ( ) ( )
P( )
( ) ( ) ( )
( )
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −− =− − ⋅ − − ⋅ − − =− ⋅
1 1 2
1 4
1 1 1 2 1 4
2
α
α(( ) ( )− ⋅ − − =
− − =
= −
3 1 4
6 6 4
53
αα
α
27.19. a)
x x x x
x
4 3 2
4 3 2
5 6
2
2 2 5 2 2 6
16 8 5 4 2
− − − −
= −
− − − − ⋅ − − − − == − − − ⋅ +( ) ( ) ( ) ( )
( ) −− =6 0
O valor da expressão é zero.b)
Como p( )− =2 0, o número –2 é raiz do polinômio p(x).Assim:
–2 1 –1 –5 –1 –6
1 –3 1 –3 0
x x x
x x x
x x
x ou x
x
3 2
2
2
2
3 3 0
3 3 0
3 1 0
3 0 1 0
3 0
− + − =
⋅ − + − =
− ⋅ + =
− = + =− =
( )
( ) ( )
⇒⇒ =
+ = ⇒ =− ⇒ = = −
x
x x x i ou x i
3
1 0 12 2
O conjunto solução da equação é:{–2, 3, i, –i}
27.20.a)
x x− = ⇒ =2 0 2
2 1 –2 –5 d
1 0 –5 –10 + d
− + ==10 0
10
d
d
b) Do item anterior, temos que 2 é uma das raízes da equação. As demais raízes são tais que:x
x
x ou x
2
2
5 0
5
5 5
− =
=
= = −
O conjunto solução da equação é:
{ , , }2 5 5−
7Extensivo Terceirão – Matemática 9E
![M Paiva - Matemática - Volume Único [1a ed.][2000][460 f][C][JPEG_Q20]](https://img.document.onl/doc/110x75/577cd90d1a28ab9e78a2934b/m-paiva-matematica-volume-unico-1a-ed2000460-fcjpegq20.jpg)
