MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO - UM …€¦ · MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO propostas. Cabe relembrar que até este momento grafos era um assunto completamente desconhecido

RELATÓRIOS DE PESQUISA EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, v.13, Série B. n.2, p. 8-19.

Artigo submetido em 15/7/2013. Versão final recebida em 17/8/2013. Publicado em 9/9/2013.

MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO -

UM TRABALHO COM GRAFOS EULERIANOS

Christine Sertã Costa

Colégio Pedro II – Departamento de Matemática

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – Departamento de Matemática

Resumo

O trabalho aqui relatado faz parte de uma proposta de introdução de novos conceitos da Matemática Discreta a turmas do ensino Fundamental e Médio em escolas do Brasil que vem amadurecendo nos últimos anos. Esta abordagem foi inicialmente apresentada em Jurkiewicz (2002) e desde então já são encontrados na literatura alguns relatos de experiências bem sucedidas com este enfoque. Algumas mais recentes estão em Ferreira & Lozano (2009), Lopes (2010) e Lozano, Rangel & Pires (2010). Neste trabalho a área escolhida dentro da Matemática Discreta foi a Teoria dos Grafos - especificamente grafos eulerianos, que é um problema bem resolvido, simples e de muita aplicabilidade desta teoria. Este projeto foi desenvolvido em 2012 com alunos do 1º. Ano do ensino médio do Colégio Pedro II – Unidade Humaitá, localizado na cidade do Rio de Janeiro.

Palavras-Chave: Matemática Discreta, Grafos Eulerianos, Ensino.

Abstract

The work reported here is part of a proposal to introduce new concepts of Discrete Mathematics to classes of Elementary Schools and Middle Schools in Brazil that has matured in recent years. This approach was first presented in Jurkiewicz – 2002 and has since found in the literature are few reports of successful experiences with this approach. Some recent of them can be found in Ferreira & Lozano (2009), Lopes (2010) and Lozano, Rangel & Pires (2010). In this work within the chosen area was the Discrete Mathematics Graph Theory - specifically the problem of Eulerian graphs. This is a well-resolved and simple problem of the theory and with many applications. This project was developed with students from the 1st. Year of High School at the Colégio Pedro II - Humaitá Unit, located in the city of Rio de Janeiro.

Keywords: Discrete Mathematics, Eulerian Graphs, Education.

MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO - UM TRABALHO COM GRAFOS EULERIANOS

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1. Introdução

A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática Discreta com diversas aplicações em vários níveis no mundo contemporâneo, mas, apesar disso, ela não tem sido amplamente estudada nos cursos de licenciatura em Matemática nem apresentada a alunos do ensino Fundamental e Médio no Brasil. Especificamente, conceitos básicos de grafos e algumas de suas aplicações, incluindo os grafos eulerianos (tema do presente estudo), podem ser bem compreendidos e interessantes para alunos das séries iniciais e possibilitam a construção de trabalhos aplicados e interdisciplinares, tópicos ressaltados pelos PCN’s.

Como argumentos favoráveis à inclusão de assuntos relacionados com a Matemática Discreta nas séries iniciais, pode-se citar que muitas das questões abordadas por esta teoria:

-permitem a apresentação de problemas interessantes do mundo contemporâneo que motivam o aluno a buscar um entendimento completo da questão proposta e da sua solução. Muitas vezes esses problemas naturalmente possibilitam um debate interdisciplinar.

-possibilitam o exercício constante da enumeração de casos, do desenvolvimento de estratégias variadas de solução e da análise crítica das soluções encontradas por cada caminho para os problemas propostos.

-propiciam a discussão e a implementação de abordagens computacionais.

-estão sendo temas atuais em olimpíadas de Matemática (OBM, OMERJ, OBMEP, etc) e concursos de vestibulares (ENEM) no país.

Todo o relato acima motivou a construção deste trabalho que apresenta as etapas da aplicação de um projeto realizado com alunos do 1º ano do Ensino Médio do Colégio Pedro II – unidade Humaitá com o objetivo de promover a esses alunos um primeiro contato com a teoria dos grafos eulerianos. As etapas, observações obtidas e conclusões estão descritas no decorrer do presente estudo.

2. Primeira etapa do Projeto: Escolha do tema, forma motivadora de apresentá-lo e busca de uma solução.

Com o intuito de apresentar os conceitos básicos de grafos, teoria desconhecida para os alunos do ensino Médio, escolheu-se trabalhar com os grafos eulerianos, muito em função da simplicidade na modelagem do problema proposto utilizando esta Teoria bem como pela forma bem resolvida, simples e elegante de entendimento da solução. Além disso, esse tema foi o primeiro registro que se tem conhecimento de um problema relacionado com o que hoje em dia se chama Teoria dos Grafos: O Problema das Sete Pontes, muito conhecido entre os estudantes da área. Uma descrição do mesmo pode ser encontrada em Boaventura Netto (2009), entre outros. Para motivar a introdução desta nova teoria, escolheu-se um problema que causasse interesse no público e tivesse clareza tanto na modelagem como nas soluções das questões propostas. Por isso foi escolhido o problema do Caso Count Van Diamond, encontrado em http://www.inf.ufsc.br/grafos/temas/euleriano/euleriano.htm e descrito a seguir com algumas adaptações.

O material apresentado adiante, chamado de Desafio Interessante, foi entregue aos alunos e eles tiveram uma semana para debater e construir suas próprias soluções para as questões

MATEMÁTICA DISCRETA NO ENSINO MÉDIO

propostas. Cabe relembrar que até este momento grafos era um assunto completamente desconhecido para o grupo.

1ª.

DESAFIO INTERESSANTE: O CASO COUNT VAN DIAMOND

Sherlock Gomes (um conhecido detetive que nas horas vagas é um estudioso de várias áreas da Matemática) foi chamado para investigar o caso. Os presentes na mansão na hora do crime prestaram os depoimentos descritos a seguir.

- O mordomo alega ter visto o jardineiro e a empregada saírem do jardim e entrarem na sala da piscina por uma das portas de acesso e mais tarde voltarem ao jardim pela outra porta.

- O jardineiro, em sua defesa, afirma que entrou para repor flores em todos os cômodos da casa. Garante que entrou na casa por uma das portas ligadas ao jardim, passou por todas as portas da casa uma única vez e, em seguida, voltou ao jardim saindo pela porta que não entrou.

- A empregada por sua vez, sustenta que entrou para limpar todos os cômodos da casa, exceto o bar. Garante também que passou por todas as portas da casa, menos as portas que levam ao bar, uma única vez e em seguida voltou ao jardim pela porta que não entrou.

Sherlock Gomes então:

– Confirmou pelas câmeras de segurança da casa que realmente o jardineiro e a empregada tinham passado certo portas e saíram pela outra, como afirmaram.

– Constatou que, conforme os depoimentocômodos da casa tinham flores vasos e, com exceção do bar, todos os demais cômodos estavam


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que até este momento grafos era um assunto completamente

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE HUMAITÁ II

ANO ENSINO MÉDIO – 1º. TURNO – MATEMÁTICA


O cenário ao lado é a residência do bCount Van Diamond,

que acabaassassinado na Sala da Piscina de sua mansão.

JARDIM

Sherlock Gomes (um conhecido detetive que nas horas vagas é um estudioso de várias áreas da Matemática) foi chamado para investigar o caso. Os presentes na mansão na hora do crime

depoimentos descritos a seguir.

jardineiro e a empregada saírem do jardim e entrarem na sala da piscina por uma das portas de acesso e mais tarde voltarem ao jardim pela outra porta.

, em sua defesa, afirma que entrou para repor flores em todos os cômodos da casa. ue entrou na casa por uma das portas ligadas ao jardim, passou por todas as portas da

em seguida, voltou ao jardim saindo pela porta que não entrou.

por sua vez, sustenta que entrou para limpar todos os cômodos da casa, exceto o bar. Garante também que passou por todas as portas da casa, menos as portas que levam ao bar, uma única vez e em seguida voltou ao jardim pela porta que não entrou.

onfirmou pelas câmeras de segurança da casa que realmente o jardineiro e a certo tempo dentro da casa e que ambos entraram por uma das

portas e saíram pela outra, como afirmaram.

onstatou que, conforme os depoimentos levantados, realmente os vasos de todos os cômodos da casa tinham flores viçosas e certamente recém colocadas nos seus respectivos

e, com exceção do bar, todos os demais cômodos estavam extraordinariamente


que até este momento grafos era um assunto completamente

UNIDADE HUMAITÁ II

MATEMÁTICA


O cenário ao lado é a residência do bilionário Count Van Diamond,

acaba de ser assassinado na Sala da Piscina de sua mansão.

Sherlock Gomes (um conhecido detetive que nas horas vagas é um estudioso de várias áreas da Matemática) foi chamado para investigar o caso. Os presentes na mansão na hora do crime

jardineiro e a empregada saírem do jardim e entrarem na sala da piscina por uma das portas de acesso e mais tarde voltarem ao jardim pela outra porta.

, em sua defesa, afirma que entrou para repor flores em todos os cômodos da casa. ue entrou na casa por uma das portas ligadas ao jardim, passou por todas as portas da

em seguida, voltou ao jardim saindo pela porta que não entrou.

por sua vez, sustenta que entrou para limpar todos os cômodos da casa, exceto o bar. Garante também que passou por todas as portas da casa, menos as portas que levam ao bar,

onfirmou pelas câmeras de segurança da casa que realmente o jardineiro e a tempo dentro da casa e que ambos entraram por uma das

s levantados, realmente os vasos de todos os nos seus respectivos

extraordinariamente limpos.


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– Estudou a planta da residência (conforme figura acima), pensou um pouco e, em pouco tempo, declarou que havia solucionado o caso.

Questões Propostas:

Sabendo que o suspeito indicado por Sherlock Gomes é aquele cujo depoimento apresenta uma contradição, responda as questões propostas a seguir:

a) Considerando que o relato da empregada é verdadeiro, apresente se possível, dois caminhos distintos que ela possa ter tomado para limpar os cômodos, conforme afirmou.

b) Considerando que o relato do jardineiro é verdadeiro, apresente se possível, um caminho que ele possa ter tomado para trocar as flores dos vasos da casa, conforme afirmou.

c) Quem é o suspeito apontado por Sherlock Gomes? Explique o raciocínio que o detetive desenvolveu para acusá-lo.

d) Que tipo de alteração você faria na planta da casa de modo que o depoimento do referido suspeito apontado no item (c) não fosse mais contraditório? Justifique.

e) Se uma pessoa encontra-se na Sala Principal ela consegue passear pela casa passando uma única vez por todas as suas portas? Em caso afirmativo, apresente uma solução que satisfaça e destaque onde esta pessoa terminaria esse passeio.

A proposta exposta foi construída com o objetivo de apresentar os conceitos básicos de grafos conexos não orientados e a questão da euleridade - teoria pode ser encontrada em (Boaventura Netto, 2009). Porém, inicialmente pretendeu-se verificar que tipos de estratégias os alunos usariam para responder às questões e a forma como apresentariam argumentações para sustentar suas soluções sem interferências, apenas com os encaminhamentos sugeridos pelas questões propostas.

3. Resultados Obtidos com a Primeira Etapa

Com os itens (a) e (b) propostos, tinha-se uma expectativa que eles construíssem caminhos por tentativas (item a) ou, depois de exaustivas tentativas, fossem capazes de afirmar que tal caminho não existe (item b). Além disso, esses itens dão os subsídios necessários para que estejam aptos a resolver o item (c). E isso realmente foi verificado na prática.

Sobre o item (a): A grande maioria dos grupos apresentou as duas soluções pedidas para o item (a) a partir da construção de caminhos na própria figura da planta da mansão apresentada na proposta (figura 1). Alguns apresentaram estes caminhos expressos textualmente (figura 2). Cabe uma observação: muitos dos que apresentaram as duas soluções pedidas no item (a) o


fizeram simplesmente invertendo a ordem dos capresentada.

Figura 1 : Dois caminhos de percursos possíveis realizados pela empregada

Figura 2: Apresentação dos dois caminhos pedidos no item (a) da proposta

Sobre o item (b): três tipos de solução fora

- simplesmente enunciavam que

- construíam na própria planta da mansãoportas, exceto a porta que liga o Quarto Principal à Sala Principal, mostrando a contradiçdepoimento do jardineiro (figura 3) ou

- afirmavam que para trocar as flores de todos os vasos seria necessário passar duas vezes por uma porta, contrariando o depoimento do jardineiro (figura 4).


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fizeram simplesmente invertendo a ordem dos cômodos visitados na primeira solução por eles

Figura 1 : Dois caminhos de percursos possíveis realizados pela empregada

Figura 2: Apresentação dos dois caminhos pedidos no item (a) da proposta

três tipos de solução foram apresentadas:

simplesmente enunciavam que este caminho não era possível;

na própria planta da mansão um caminho que passa uma única vez por todas as portas, exceto a porta que liga o Quarto Principal à Sala Principal, mostrando a contradiçdepoimento do jardineiro (figura 3) ou

que para trocar as flores de todos os vasos seria necessário passar duas vezes por uma porta, contrariando o depoimento do jardineiro (figura 4).


ômodos visitados na primeira solução por eles

um caminho que passa uma única vez por todas as portas, exceto a porta que liga o Quarto Principal à Sala Principal, mostrando a contradição do

que para trocar as flores de todos os vasos seria necessário passar duas vezes por


Figura 3: Apresentação de um caminho que não passa

Figura 4 : Opções que justificam a contradição do depoimento do jardineiro

Sobre o item (c): Uma vez construídos os itens (a) e (b) foi imediato para os grupos apontar o jardineiro como suspeito, resposta do item (c), alegando que não era possível construir um caminho com as restrições colocadas no depoimento do mesmo. porquê da impossibilidade desta construção exaustivas de satisfazer as condições de cada depoimento.

Sobre o item (d): as soluções propostas foram:

- retirada do bar da mansão (justificado pelo desenvolv

- retirada da porta que liga o Quarto Principal à Sala Principal (solução obtida pelos que tentavam construir um caminho com as restrições do jardineiro e verificavam que não passavam pela referida porta – desenvolvimento do item (b)

Sobre o item (e): os grupos novamente apresentacomeça na Sala Principal, passa por todas as portas uma única vez e termina no Quarto Principal (figura 5), obtido por exaustão


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Figura 3: Apresentação de um caminho que não passa pela porta que liga Sala Principal ao Quarto Principal

Figura 4 : Opções que justificam a contradição do depoimento do jardineiro

Uma vez construídos os itens (a) e (b) foi imediato para os grupos apontar o jardineiro como suspeito, resposta do item (c), alegando que não era possível construir um caminho com as restrições colocadas no depoimento do mesmo. Nenhum trabalho justificou oporquê da impossibilidade desta construção de alguma outra forma que não fosse por tentativas exaustivas de satisfazer as condições de cada depoimento.

as soluções propostas foram:

justificado pelo desenvolvimento do item (a)).

retirada da porta que liga o Quarto Principal à Sala Principal (solução obtida pelos que tentavam construir um caminho com as restrições do jardineiro e verificavam que não

desenvolvimento do item (b)).

os grupos novamente apresentaram na planta da mansão um caminho que começa na Sala Principal, passa por todas as portas uma única vez e termina no Quarto

obtido por exaustão.


pela porta que liga Sala Principal ao Quarto Principal

Uma vez construídos os itens (a) e (b) foi imediato para os grupos apontar o jardineiro como suspeito, resposta do item (c), alegando que não era possível construir um

Nenhum trabalho justificou o de alguma outra forma que não fosse por tentativas

retirada da porta que liga o Quarto Principal à Sala Principal (solução obtida pelos que tentavam construir um caminho com as restrições do jardineiro e verificavam que não

m na planta da mansão um caminho que começa na Sala Principal, passa por todas as portas uma única vez e termina no Quarto


Figura 5 : Caminho que começa na Sala principal e termina no Quarto Principal

4. Segunda etapa do Projeto: A introdução dos novos conceitos da Teoria dos Grafos e a solução do Problema baseada nesta teoria

Após a análise dos resultados obtidos com as respostas dos alunos para o desafio proposto, chegou a hora da apresentação resolver o problema e consolidar conceitos que correlatos. Nesta etapa então foram apresentados às turmas os primeiros minutos do filme Legado de Pitágoras

http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=1917

Neste trecho do filme é apresenta(território da Prússia até 1945, atual Kaliningrado, na Rússia),da Matemática Discreta e uma das principais fundações da

De forma bastante agradável e didática, o filme mostra a cidade de KoRio Prególia, esta cidade têm duas grandes ilhas que juntasépoca tinha sete pontes (cabe ressaltar que neste momento seria interessante a intervenção de outras áreas do conhecimento tais como a História e aseria possível atravessar todas as pontes passando uma única vez por cada uma delas. Muitos tentaram resolver o problema e em 1736 uma solução foi apresentada por Leonard Euler. O filme apresenta uma animação bem inte Introduz-se assim, mesmo que de forma bem simplificada,representação gráfica. A cada parte de terravértice) e a cada ponte associarepresentativo do problema das Sete Pontes

Figura 6 : representação gráfica do grafo representativo do Problema das Sete Pontes


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Caminho que começa na Sala principal e termina no Quarto Principal

Segunda etapa do Projeto: A introdução dos novos conceitos da Teoria dos Grafos e a solução do Problema baseada nesta teoria

Após a análise dos resultados obtidos com as respostas dos alunos para o desafio proposto, da nova teoria com o objetivo de mostrar uma nova forma

resolver o problema e consolidar conceitos que possibilitem solucionar outros problemas correlatos. Nesta etapa então foram apresentados às turmas os primeiros minutos do filme Legado de Pitágoras, que pode ser encontrado em

a.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=1917.

apresentado o famoso Problema das Sete Pontes de Konigsberg (território da Prússia até 1945, atual Kaliningrado, na Rússia), que é um histórico problema

e uma das principais fundações da Teoria dos Grafos.

De forma bastante agradável e didática, o filme mostra a cidade de Konigsberg. Cortada pelo m duas grandes ilhas que juntas formam um complexo que na

época tinha sete pontes (cabe ressaltar que neste momento seria interessante a intervenção de outras áreas do conhecimento tais como a História e a Geografia). Discutia-se na cidade se seria possível atravessar todas as pontes passando uma única vez por cada uma delas. Muitos tentaram resolver o problema e em 1736 uma solução foi apresentada por Leonard Euler. O filme apresenta uma animação bem interessante para a tentativa de solução do problema.

, mesmo que de forma bem simplificada, o conceito intuitivo de grafo e sua representação gráfica. A cada parte de terra do problema, associa-se um ponto (chamado de

associa-se uma linha (chamada de aresta). Dessa forma, o grafo representativo do problema das Sete Pontes é apresentado aos alunos conforme a f

: representação gráfica do grafo representativo do Problema das Sete Pontes


Segunda etapa do Projeto: A introdução dos novos conceitos da Teoria dos Grafos e a

Após a análise dos resultados obtidos com as respostas dos alunos para o desafio proposto, mostrar uma nova forma para

ros problemas correlatos. Nesta etapa então foram apresentados às turmas os primeiros minutos do filme O

encontrado em .

o famoso Problema das Sete Pontes de Konigsberg que é um histórico problema

nigsberg. Cortada pelo formam um complexo que na

época tinha sete pontes (cabe ressaltar que neste momento seria interessante a intervenção de se na cidade se

seria possível atravessar todas as pontes passando uma única vez por cada uma delas. Muitos tentaram resolver o problema e em 1736 uma solução foi apresentada por Leonard Euler. O

ressante para a tentativa de solução do problema.

de grafo e sua se um ponto (chamado de

uma linha (chamada de aresta). Dessa forma, o grafo figura 6.

: representação gráfica do grafo representativo do Problema das Sete Pontes


Após assistirem ao filme e terem telementos – vértices e arestas; definições de grafo simples, orientados e não orientados, caminhos e ciclos e grau de um vértice), foi possível desenvolver as questões grafos não orientados que têm, ou não, provocadas pelo professor e discutidpróprios conseguissem concluir o Teorema de Eulerem Boaventura - 2006).

Figura 7 : Grafos com ciclo euleriano, caminho euleriano e sem caminho euleriano

Resumo das conclusões obtidas

Seja G um grafo conexo simples não orientado.

- Se todos os vértices de G têm grau parqualquer vértice de G, passar por todas as suas arestas uma única vez e retornar ao vértice de partida.

- Se exatamente dois vértices de G têm grau ímpar, então G é euleriano: é possível, a partir de um dos vértices de grau ímpar, passar por todas as suas arestas uma única vez e finalizar no outro vértice de grau ímpar.

- Se G tem mais de dois vértices de grau ímparcaminho euleriano.

Neste momento, os alunos novamente se organizaram nos grupos emodelar, solucionar e justificarGrafos. O grafo representativo do problema, um vértice e as portas por arestas ligando esses vértices, foi elaborado grupos e encontra-se na figura 8


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ao filme e terem tido contato com os conceitos básicos de grafosvértices e arestas; definições de grafo simples, orientados e não orientados,

grau de um vértice), foi possível desenvolver as questões grafos não orientados que têm, ou não, um ciclo ou caminho euleriano. Essas questões foram

pelo professor e discutidas exaustivamente com as turmas (figura 7) conseguissem concluir o Teorema de Euler (uma demonstração pode ser encontrada

: Grafos com ciclo euleriano, caminho euleriano e sem caminho euleriano

ões obtidas pelas turmas (Teorema de Euler)

Seja G um grafo conexo simples não orientado.

todos os vértices de G têm grau par, então G é um grafo euleriano: é possível, a partir de qualquer vértice de G, passar por todas as suas arestas uma única vez e retornar ao vértice de

Se exatamente dois vértices de G têm grau ímpar, então G é um grafo que possui um caminho é possível, a partir de um dos vértices de grau ímpar, passar por todas as suas arestas

uma única vez e finalizar no outro vértice de grau ímpar.

Se G tem mais de dois vértices de grau ímpar, então G não possui nem ciclo euleriano nem

os alunos novamente se organizaram nos grupos e rapidamentee justificar o problema do caso Count Van Diamond usando a Teoria dos

Grafos. O grafo representativo do problema, no qual cada cômodo da casa foi representado por um vértice e as portas por arestas ligando esses vértices, foi elaborado com facilidade pelos

8.


o com os conceitos básicos de grafos (seus vértices e arestas; definições de grafo simples, orientados e não orientados,

grau de um vértice), foi possível desenvolver as questões referentes a . Essas questões foram

) até que eles pode ser encontrada

: Grafos com ciclo euleriano, caminho euleriano e sem caminho euleriano

é possível, a partir de qualquer vértice de G, passar por todas as suas arestas uma única vez e retornar ao vértice de

ue possui um caminho é possível, a partir de um dos vértices de grau ímpar, passar por todas as suas arestas

em ciclo euleriano nem

rapidamente procuraram usando a Teoria dos

representado por com facilidade pelos


Figura 8: Grafo representativo do problema do caso Count Van Diamond

Nesta etapa, os alunos naturalmente(Quarto Principal) são os únicos dos quais saem um número ímpar de arestas (vértices de grau ímpar). Sendo assim, conseguiramque se comece em SP (ou QP)trabalho foram novamente respondidosobtidas da nova teoria apresentada

5. Terceira etapa do Projeto: A avaliação por parte do grupo participante

Finalmente, foi pedido aos alunos que avaliassem todo o trabalho e copessoais sobre o interesse no tema, dinâmica da realização do projeto em todas as suas etapas. A tônica dos retornos obtidos fopois retratam relatos de todas as avaliações obtidas: - O grande interesse pelo tema motivador do trabalho:inclusive gostariam que o desafio tivesse mais pessoas envolvidas para que dificultasse a solução. - O total entendimento das definições apresentadas sobre grafos e se um grafo é ou não euleriano.- A facilidade e simplificação para- A importância da apresentação de um conteúdo a partir de um problema interessante proposto que possibilite formas distintas de solução- A curiosidade de se desenvolv


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: Grafo representativo do problema do caso Count Van Diamond

naturalmente concluíram que os vértices SP (Sala Principal) e QP (Quarto Principal) são os únicos dos quais saem um número ímpar de arestas (vértices de grau

iram concluir que este grafo possui um caminho euleriano, desde ) e termine em QP (ou SP). Todos os demais itens propost

respondidos, agora com mais clareza tendo por base as obtidas da nova teoria apresentada.

Terceira etapa do Projeto: A avaliação por parte do grupo participante

Finalmente, foi pedido aos alunos que avaliassem todo o trabalho e colocassem suas opiniões no tema, análise do quanto efetivamente tinham aprendido e na

dinâmica da realização do projeto em todas as suas etapas.

dos retornos obtidos foi muito favorável e os seguintes tópicos merecem destaquepois retratam relatos de todas as avaliações obtidas:

e pelo tema motivador do trabalho: elucidação de um crimeinclusive gostariam que o desafio tivesse mais pessoas envolvidas para que dificultasse a

total entendimento das definições apresentadas sobre grafos e a clareza sobre como decidirse um grafo é ou não euleriano.

A facilidade e simplificação para responder as questões propostas a partir da nova teoria.importância da apresentação de um conteúdo a partir de um problema interessante proposto

formas distintas de solução e debates de diversas abordagens. desenvolver assuntos da Matemática “sem contas nem fórmulas”.


que os vértices SP (Sala Principal) e QP (Quarto Principal) são os únicos dos quais saem um número ímpar de arestas (vértices de grau

concluir que este grafo possui um caminho euleriano, desde s os demais itens propostos no

as conclusões

locassem suas opiniões o efetivamente tinham aprendido e na

os seguintes tópicos merecem destaque,

elucidação de um crime. Muitos inclusive gostariam que o desafio tivesse mais pessoas envolvidas para que dificultasse a

como decidir

a partir da nova teoria. importância da apresentação de um conteúdo a partir de um problema interessante proposto

Matemática “sem contas nem fórmulas”.


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6. Alguns problemas interessantes que também desenvolvem este conteúdo. Com o intuito de acrescentar opções distintas para abordagem do tema em função do público alvo que se pretende trabalhar, alguns problemas que se adaptam ao tema são propostos a seguir mostrando a variedade de motivações que podem ser proporcionadas. Problema 1: Considere as 21 peças do jogo de dominó que não são peças duplas (dois números iguais na mesma peça). Cada uma dessas peças corresponde a um subconjunto de cardinalidade 2 do conjunto {0,1,2,3,4,5,6}. Com vocês sabem, a regra do jogo do dominó determina que é permi-tido "encostar" uma peça x formada pelos número {i,j} numa peça y com os números {k,l} se e só se j = k formando assim a sequência (i,j,j,l). Responda as questões a seguir. Procure justifi-cá-las usando conceitos da Teoria dos Grafos. (a) É possível formar uma “roda” que contenha todas essas 21 peças? (b) Eliminando-se dessas 21 peças todas as que contêm o número “6”, é possível formar uma “roda” com as restantes? (c ) Acrescentando-se a essas 21 peças as peças duplas do dominó, é possível formar a roda? Problema 2: Imagine que nas figuras a seguir os vértices são esquinas e as arestas ruas de mão dupla. Suponha que pretende-se recolher o lixo de todas as ruas consideradas minimizando ao máximo o gasto de combustível, ou seja, passando uma única vez por cada rua e retornando ao ponto de partida.

(a) Isto é possível no grafo (a) ? E no (b) (b) Apresente um percurso possível para o grafo que você respondeu SIM no item anterior (c) Para o grafo que você respondeu NÃO, decida se é possível recolher todo o lixo

passando uma única vez por cada rua mas não retornando ao ponto de partida. Apresente um percurso que satisfaça, se possível.


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Problema 3 ( http://www.inf.ufsc.br/grafos/temas/euleriano/euleriano.htm):

Tertuliano Gonçalves havia prometido casamento a Josefina das Graças. O evento deveria ser realizado, segundo ele, assim que acabasse o contrato de trabalho assinado recentemente com uma empresa encarregada de pavimentar toda a rede de estradas que liga Santana do Caixa Prego (cidade onde mora Josefina) às cidades da região. O trabalho iria começar em Santana e prosseguir em continuidade, estrada após estrada, terminando, segundo explicou Tertuliano, na própria Santana. A rede de estradas é dada pela tabela abaixo, na qual a cidade de Santana do Caixa Prego é representada pelo número 1 e se existe um X na linha i coluna j da tabela é porque existe uma estrada ligando diretamente a cidade i até a cidade j.

(a) Você, que leu a estória, acredita que Tertuliano estava sendo sincero com Josefina? Por quê?

(b) E se o itinerário 1-5-9-10 estivesse a cargo de outra empresa, estaria ele sendo sincero? 7. Considerações Finais O objetivo primordial do presente trabalho é apresentar mais um projeto onde a inclusão de conceitos da Matemática Discreta nos Ensinos Fundamental e Médio trouxe resultados satisfatórios. Isso se deu com a introdução de conceitos da teoria dos Grafos, assunto não trabalhado nos currículos padrões dessas séries no país. Verificou-se que o tema favorece o raciocínio, motiva a construção de estratégias para busca da solução, viabiliza um enfoque interdisciplinar em várias abordagens e principalmente causa interesse ao alunado já que, em função do público alvo que se pretende atingir, várias aplicações práticas distintas podem ser estabelecidas. Além disso, cabe destacar que a estratégia de apresentar um problema motivador interessante e de dividir as turmas em grupos não só estimulou a participação ativa de todos os envolvidos como também permitiu a construção de habilidades necessárias na aprendizagem e acompanhamento perceptivo por parte do professor. Espera-se que este trabalho dê mais uma contribuição para o desenvolvimento do ensino da Matemática Discreta nos Ensinos Fundamental e Médio das escolas do Brasil.


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Referências Bibliográficas

Boaventura Netto, P.O. & Jurkiewicz, S. Grafos: Introdução e prática. Blucher, 2009. (ISBN 978-5-212-0473-2)

Boaventura Netto, P.O. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. 4ª edição, Blucher,2006. (ISBN 85-212-0391-8)

Ferreira, G.P. & Lozano, A.R.G (2009). A Viabilidade do Ensino de Matemática Discreta na Educação Básica usando Modelagem Matemática, IX Congresso Nacional de Educação – EDUCERE, III Encontro Sul Brasileiro de Psicopedagogia, PUCPR, 5558-5568.

Jurkiewicz, S. (2002). Matemática Discreta em Sala de aula. História e Tecnologia do Ensino de Matemática. Carvalho. L. M.; Guimarães, L. C. (org), IME-UERJ, Rio de Janeiro, v1, 115-161.

Lopes, M.L.M.L. Grafos: jogos e desafios. IM/UFRJ, 2010. (ISBN: 978-85-87674-20-3).

Lozano, D. & Rangel, S. & Pires, C. (2010). Uma Proposta de Oficina de Coloração de Mapas e Grafos para o Ensino Fundamental e Médio, PODes – Revista Eletrônica Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento, v.2, n.3, 216-225.

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