MATEMÁTICA FINANCEIRA 

Conceitos básicos    A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 

    CapitalO Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 

    JurosJuros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.   

   

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

   

    O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida comotaxa de juros. 

    Quando usamos juros simples e juros compostos?

    A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 

    Taxa de juros    A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

    Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES 

    O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: 

J = P . i . n 

Onde:J = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos

       Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160    Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.   Montante = Principal + Juros   Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) 

M = P . ( 1 + ( i . n ) ) 

    Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.    SOLUÇÃO:    M = P . ( 1 + (i.n) )    M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42    Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

 

   Exercícios sobre juros simples:   1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.    0.13 / 6 = 0.02167    logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195    j = 1200 x 0.195 = 234 

    2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.    Temos: J = P.i.n    A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.    Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:    J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 

    3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?    Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)    Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,    3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:    P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 

   4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

   Objetivo: M = 2.P    Dados: i = 150/100 = 1,5    Fórmula: M = P (1 + i.n)    Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

PORCENTAGEM

Porcentagem É uma taxa ou proporção calculada em relação ao número 100 (por cem). A porcentagem consiste em uma fração em que o denominador é 100 e é representada pelo símbolo %.

1) Quanto é 15% de 80? 2) Quanto é 70% de 30?  

3) Quanto é 150% de 45? 4) Quanto é 100% de 40?  

6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou seja, 70% mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30%que moram na ilha:337.799 está para 70, assim como x está para 30:

Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771 habitantes. 

8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário?Vamos resolver este exercício montando uma regra de três:O percentual que eu procuro (x) está para o desconto (R$ 240,00), assim como 100% está para o meu salário deR$ 1.200,00:

Portanto este desconto equivale a 20% por cento do meu salário. 

9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?Sem utilizarmos uma regra de três, basta que se divida o valor do qual se procura a porcentagem (12), pelo valor que representa os 100% (20) e que se multiplique o valor obtido por 100%:

Portanto a idade de meu irmão é 60% da minha idade. 

11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?R$ 336,00 é 28% de R$ 1.200,00. Obtemos este valor dividindo-se 336 por 1200:

 Eu perdi 28% desta quantia. 

13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?12% de R$ 1.500,00 é R$ 180,00. Chegamos a este valor pela conta abaixo:

A diferença entre R$ 1.500,00 e R$ 180,00 é de R$ 1.320,00, conforme calculado a seguir:

14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei?15% de 40 é 6. Chegamos a este valor pela conta abaixo:

A diferença entre 40 e 6 é de 34, conforme calculado a seguir:

Portanto: Das 40 garrafas que estavam na mesa, eu quebrei 34 e sobraram apenas 6.

 

11) (PCSP1205/001-AgentePolicia – 2013) – Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preço  normal de venda desse produto é

06) Se 35% dos 40 alunos do 8° ano de um colégio são homens, quantas são as mulheres?

07) Uma bicicleta, cujo preço é R$ 1200,00, pode ser comprada da seguinte maneira:a) a vista, com 15% de desconto. b) pagamento para 90 dias, com acréscimo de 25% sobre o preço inicial. Responda: Qual é a diferença, em reais, entre as duas opções de compra?

08) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era o seu preço original?