Jorge Freitas ESAS 2005/2006 Cálculo Vectorial.doc

1

CCáállccuulloo VVeeccttoorriiaall ((RReevviissõõeess))

Referencial Ortonormado :

2D: 1i j i j= = ∧ ⊥

3D: ( ) ( ) ( )1i j k i j i k j k= = = ∧ ⊥ ∧ ⊥ ∧ ⊥

Vectores definidos pelas coordenadas:

( ) ( )1 2 1 2, ,u u u v v v= = ( )1 2 3, ,u u u u=

Vectores definidos pelas componentes:

1 2 1 2u u e u f v v e v f= + = +

1 2 3u u i u j u k= + +

Soma de vectores

( )1 1 2 2,u v u v u v+ = + +

( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2u v u e u f v e v f u v e u v f+ = + + + = + + +

Norma de um vector

2 21 2u u u= + 2 2 2

1 2 3u u u u= + +

Soma de um ponto com um vector (é um ponto)

( ) ( ) ( )0 0 1 2 1 2, , ,A u x y u u x x+ = + =

A diferença entre dois pontos é um vector

( ) ( ) ( )1 1 0 0 1 2, , ,AB B A x y x y v v= − = − =

Produto de um número por um vector

( )1 2 1 2ku k u e u f ku e ku f= + = +

( ) ( )1 2 1 2, ,ku k u u ku ku= =

( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , ,ku k u u u ku ku ku= =

Jorge Freitas ESAS 2005/2006 Cálculo Vectorial.doc

2

ESTUDO DA RECTA (revisões)

,P A vλ λ= + ∈ℜ ( ) ( )1 0 1 0, ,AB B A x x y y v p q= − = − − =

• Equação Vectorial ( ) ( ) ( )0 0, , , ,P x y x y p qλ λ= + ∈ℜ ( ) ( ) ( )0 0, , , ,P x y x y p qλ λ λ= + ∈ℜ ( ) ( )0 0, , ,P x y x p y qλ λ λ= + + ∈ℜ • Equações Paramétricas

0

0

x x py y q

λλ

λ= +⎧

∈ℜ⎨ = +⎩

0

0

0 0

,

x xx x p py y q y y

q

λλ

λλ λ

−⎧ =⎪− =⎧ ⎪⇔ ∈ℜ⎨ ⎨− = −⎩ ⎪ =⎪⎩

• Equações Cartesianas: 0 0 0 0

1 0 1 0

x x y y x x y yp q x x y y− − − −

= ⇔ =− −

( ) ( )

0 00 0 0 0 0

q p

x x y y qx qx py py qx py qx pyp q− −

= ⇔ − = − ⇔ − − + =

0 0qx

q

yp

C p

AB

− +

=⎧−⎪ =⎨

⎪ =⎩

Equação Geral: 0Ax By C+ + =

A CBy Ax C y xB B

= − − ⇔ = − −

AmB

CbB

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

Equação Reduzida: y mx b= + Declive m:

1 0

1 0

y yA q qm tgB p p x x

α−= − = − = = =

− −

Jorge Freitas ESAS 2005/2006 Cálculo Vectorial.doc

3

•• VVEECCTTOORREESS PPAARRAALLEELLOOSS

// 'r s m m⇔ =( )( )( )( )

1 2

1 2

o vector director da recta ,

o vector director da recta ,

v r v v v

u s u u u

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

2 22 1 1 2

1 1

// ' v ur s m m v u v uv u

⇔ = ⇔ = ⇔ =

Dois vectores são colineares se: 2 1 1 2v u v u= ou 2 1 1 2 0v u v u− =

Nota: dois vectores são colineares sse :k k u v∃ ∈ = •• VVEECCTTOORREESS PPEERRPPEENNDDIICCUULLAARREESS

Os vectores u e v são perpendiculares se:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2

u v u v

u v u v u u v v

u v u v u u v v

+ = + ⇔

⇔ + + + = + + + ⇔

⇔ + + + = + + + ⇔

22 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 22 2

2 2 21 2 1

2 21 1 1 1 2

22 2 2 21 1 2 22 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

2 2 02 2 0 0

u u v v

u v

u u v v u u v v

u u v v u u v vu v u v u v u v u v u v

u v

⇔ + + + + + = ⇔

⇔ − + + − + − + + − = ⇔⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

+ + +

Dois vectores são perpendiculares ( )u v⊥ se:

1 1 2 2u v u v= − ou 1 1 2 2 0u v u v+ = Nota: para se obter um vector perpendicular a um vector dado, basta trocar as coordenadas e trocar o sinal de uma delas.

1'

r s mm

⊥ ⇔ = −( )( )( )( )

o vector director da recta ,

o vector director da recta ,

v r v x y

u s u y x

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩

1

'q p pr s m

m p q q⊥ ⇔ = − ⇔ = = −

−

Jorge Freitas ESAS 2005/2006 Cálculo Vectorial.doc

4

PPrroodduuttoo IInntteerrnnoo ((oouu eessccaallaarr)) ddee vveeccttoorreess Num Referencial Ortonormado ( )0, ,e f

( )cosu v u v u v⋅ = ⋅ ⋅ No plano e no espaço

( )Se ,o 0 pois 90º 0 0u v cos u v cos u v⊥ = = ⇒ ⋅ =

Nota: O produto interno também é nulo se pelo menos um dos dois vectores for vector nulo

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 1 2 2 1 2 2

u v u e u f v e v f

u e v e u e v f u f v e u f v f

u v e e u v e f u v f e u v f f

⋅ = + ⋅ + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, 0º cos 1

, 90º cos 0

, 90

1 1 1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1

º cos 0

, 0º cos 1

e e e e

e f e f

f e f e

f f f f

e e

e f

f e

f f

= ⇔ =

= ⇔ =

= ⇔ =

⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅= =⇔ =

1 1 2 2u v u v u v⋅ = + Expressão do produto interno nas coordenadas (plano)

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v⋅ = + + Expressão do produto interno nas coordenadas (espaço)

Co-seno ângulo de dois vectores:

( ) ( ) 1 1 2 22 2 2 21 2 1 2

cos ou cos u v u vu vu v u vu v u u v v

+⋅= =

⋅ + × +

Condição de perpendicularidade de dois vectores:

( ) 0u v u v⊥ ⇔ ⋅ =