Matemática

OPERAÇÕES BÁSICAS

Professor Dudan

Operações Matemáticas Observe que cada operação tem nomes especiais:

Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total. Subtração: 8 – 5 = 3, em que o número 8 é o minuendo, o número 5 é o subtraendo e o número 3 é a diferença. Multiplicação: 6 × 5 = 30, em que os números 6 e 5 são os fatores e o número 30 é o produto. Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, neste caso o resto da divisão é ZERO.

Adição e Subtração Regra dos sinais

A soma de dois números positivos é um número positivo. (+ 3) + (+ 4) = + 7, na prática eliminamos os parênteses. + 3 + 4 = + 7 A soma de dois números negativos é um número negativo. (– 3) + (– 4) = – 7, na prática eliminamos os parênteses. – 3 – 4 = – 7 Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto. (– 4) + (+ 5) = + 1, na prática eliminamos os parênteses. – 4 + 5 = 1 assim, 6 – 8 = – 2.

Adição e Subtração Se subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao 1º o

oposto do 2º número. (+ 5) – (+ 2) = (+ 5) + (– 2) = + 3, na prática eliminamos os parênteses escrevendo o oposto do segundo número, então: + 5 – 2 = + 3 (o oposto de + 2 é – 2) Outros exemplos: (– 9) – (- 3) = – 9 + 3 = – 6 (– 8) – (+ 5) = – 8 – 5 = – 13

Adição e Subtração Lembrando que quando antes dos parênteses vier um sinal de + ,

ele derruba os parênteses e mantem o sinal de quem está dentro. Caso venha um sinal de - , ele derruba os parênteses e troca o sinal de quem está dentro.

DICA: Na adição e subtração, um número de sinal positivo representa “o que eu tenho de dinheiro” e um número de sinal negativo, “o que eu devo à alguém”, assim, basta imaginar que você está acertando as contas.

1. Calcule: a) – 5 + 3 = b) + 73 – 41 = c) – 24 – 13 = d) – 5 + (– 12) = e) + 51 – 4 = f) + 17 + (–14) = g) – 9 – (– 25) = h) + 72 – (–12) = i) + 19 – 25 = j) – 80 + 41 + 57 = k) – 2 – 22 – 21 = l) – 6 – (+ 31) + 50 =

Adição e Subtração

Adição e Subtração

Adição e Subtração

Múltiplos e Divisores • Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre

si da seguinte forma: Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5.

• Múltiplos de um número natural Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 2 x 0 = 0 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20 ... E assim sucessivamente.

Múltiplos e Divisores

Divisores de um número natural Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. Observações importantes: O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

O maior divisor de um número é o próprio número.

O zero não é divisor de nenhum número.

Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Múltiplos e Divisores

Principais Critérios de Divisibilidade

Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que consiste em representar o número em partes menores e iguais. Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero.

Múltiplos e Divisores

Divisibilidade por 1 Todo número é divisível por 1. Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Regras de divisibilidade

Múltiplos e Divisores

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Todo número é divisível por 4 quando for dividido por 2 e resultar em quociente par, o que permitirá outra divisão por 2. Exemplo: 156 é divisível por 4 pois se dividido por 2, resulta em 78 que pode novamente ser dividido por 2.

Múltiplos e Divisores

Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. Divisibilidade por 6 Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 54 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 também. 90 é divisível por 6, pelo mesmos motivos.. 87 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.

Múltiplos e Divisores

Divisibilidade por 9 Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplos: 81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9 1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero) 6342 não é divisível por 10 pois não termina em 0 (zero).

Múltiplos e Divisores

• Teste a divisibilidade dos números abaixo por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10. a) 1278 b)1450 c)1202154

Múltiplos e Divisores

Multiplicação e Divisão Regra dos sinais

Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é um número positivo. Exemplos: a) (+ 3) × (+ 8) = + 24 b) (+12) ÷ (+ 2) = + 6 Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado é um número positivo. Exemplos: a) (– 6) × (– 5) = + 30 b) (– 9) ÷ (– 3) = + 3 Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o resultado é um número negativo. Exemplos: a) (– 4) × (+ 3) = – 12 b) (+ 16) ÷ (– 8) = – 2

Multiplicação e Divisão 3. Calcule os produtos e os quocientes:

a) (– 5) × (– 4) = b) 24 ÷ (– 2) = c) – 5 × 8 = d) (– 14) ÷ (–14) = e) 32 ÷ (– 16) = f) – 14 × (– 4) = g) (+ 17) × (+ 2) = h) (– 64) ÷ (– 8) =

Multiplicação e Divisão 4. Efetue os cálculos a seguir:

Regras da DIVISÃO Depois de iniciada a divisão, sempre deve cair um algarismo original (que pretence ao Dividendo) por vez e quando ele cair devemos efetuar a divisão. Caso não seja possível dividir colocaremos “0” no quociente e somente assim cairá o próximo algarismo original. Após a colocação da vírgula no quociente , mediante empréstimo do “0” para seguir dividindo, a cada nova rodada de divisão teremos direito a um “0” gratuito. Caso ele não seja suficiente, na mesma rodada , um outro “0” sera solicitado devendo para isso colocar “0” no quociente.

Multiplicação e Divisão

Multiplicação e Divisão

Multiplicação e Divisão

Multiplicação e Divisão

Potências No exemplo 7² = 49 temos que: 7 é a base, 2 é o expoente e 49 é a

potência. A potência é uma multiplicação de fatores iguais: 7² = 7 x 7 = 49 Todo número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo: Ex.: a) (– 4)¹ = -4 b) (+ 5)¹ = 5 Todo número inteiro elevado a zero é igual a 1. Ex.: a) (– 8)⁰ = 1 b) (+ 2) ⁰ = 1

Regra dos sinais Expoente par com parênteses: a potência é sempre positiva. a) (– 2)² = +4, porque (– 2) × (– 2)= + 4 b) (+ 2)² = 4, porque (+ 2) × (+ 2) = + 4 Expoente ímpar com parênteses: a potência terá o mesmo sinal da base. a) (– 2)³ = – 8, porque (– 2) × (– 2) × (– 2) = – 8 b) (+ 2)⁵ = + 32, porque (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) = + 32 Quando não tiver parênteses, conservamos o sinal da base independente do expoente. a) – 2² = – 4 b) – 2³ = – 8 c) + 3² = 9 d) + 5³ = + 125

Potências

5. Calcule as potências:

Potências

Propriedades da Potenciação Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes. a) a³ x a⁴ x a² = a³⁺⁴⁺² = a⁹ b) (– 5)² x (– 5)¹ = (– 5)²⁺¹ = (– 5)³ = – 125 c) 3⁻² x 3¹ x 3⁵ = 3⁻²⁺¹⁺⁵ = 3⁴ = 81 Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. a) b ⁵ ÷ b² = b ⁵⁻² = b³ b) (– 2)⁶ ÷ (– 2)⁴ = (– 2)⁶⁻⁴ = (– 2)² = + 4 c) (– 19)¹⁵ ÷ (– 19)⁵ = (– 19)¹⁵⁻⁵ = (– 19)¹⁰

Potências

Potência de potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

a) (a²)³ = a².³ = a⁶ b) [(– 2)⁵]² = (– 2)⁵.² = (– 2)¹⁰ = 1024 Potência de um produto ou de um quociente: multiplica-se o expoente de cada um dos elementos da operação da multiplicação ou divisão pela potência indicada.

a) [(– 5)² x (+ 3)⁴]³= (– 5)².³ x (+ 3)⁴.³ = (– 5)⁶ x (+ 3)¹² b) [(– 2)¹ ÷ (– 3)⁴]² = (– 2)¹.²÷ (– 3)⁴.² = (– 2)² ÷ (– 3)⁸

Potências

Radicais

Já sabemos que 6² = 36. Veremos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36. , pois 6 elevado ao quadrado é 36. Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação..

Radicais

Principais Regras Regra do SOL e da SOMBRA Exemplo:

Radicais

Propriedades da Radiciação Produto de radicais de mesmo índica: conserva-se a raiz nesse indice e multiplicam-se os radicandos. Divisão de radicais de mesmo índice: conserva-se a raiz nesse índice e dividem-se os radicandos.

Radicais

Para resolver expressões numéricas é preciso obedecer à seguinte ordem: 1º resolvemos as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem. 2º resolvemos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem. 3º resolvemos as adições e subtrações na ordem em que aparecem. Caso contenha sinais de associação: 1º resolvemos os parênteses ( ) 2º resolvemos os colchetes [ ] 3º resolvemos as chaves { }

Expressões numéricas

6. Calcule o valor das expressões numéricas:

Expressões numéricas

Expressões numéricas

COMO A FCC

COBRA ISSO?

Seja P o produto 8726617 × 9827274. O resto da divisão de P por 5 é igual a; a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3

TRT - 2013

A soma dos três menores divisores positivos de cada um dos números 14, 32 e 45 é um divisor do número

a) 44. b) 30. c) 60. d) 52. e) 80.

SABESP - 2014

Josué queria multiplicar 72 por 34. Josué se enganou e multiplicou 72 por 23. O resultado do cálculo que ele fez é menor do que o resultado do cálculo que ele queria fazer em um número de unidades igual a

a) 642. b) 792. c) 820. d) 566. e) 1656.

DPE - 2015

No universo dos números naturais, o resto da divisão do número Y por 13 é 2. O resto da divisão do mesmo número Y por 17 é 3. O número Y é menor do que 80. O resto da divisão do número Y por 15 é:

a) 3. b) 0. c) 5. d) 12. e) 9.

METRÔ - 2013

O número A é composto por 2000 algarismos, todos eles iguais a 1, e o número B é composto por 1000 algarismos, todos eles iguais a 3. Se o número C é igual à soma dos números A e B, então a soma de todos os algarismos que compõem C é igual a

a) 5000. b) 4444. c) 4000. d) 3333. e) 3000.

TRT - 2014

Em cada uma das 25 fichas de cartolina (do tamanho das cartas de um baralho) foi escrito um número natural diferente, de 1 a 25. De um monte com essas 25 fichas foram excluídas todas aquelas cujo número era múltiplo de 8, depois foram excluídas todas aquelas cujo número era múltiplo de 7, depois foram excluídas todas aquelas cujo número era múltiplo de 9, depois foram excluídas todas aquelas cujo número era múltiplo de 5, depois foram excluídas todas aquelas cujo número era múltiplo de 6. A quantidade de fichas que foram retiradas é igual a:

a) 20. b) 16. c) 15. d) 11. e) 14.

METRÔ - 2013

Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos: I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. Está correto o que se afirma APENAS em

a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II. e) III.

CETAM - 2014

Rafael quer criar uma senha de acesso para um arquivo de dados. Ele decidiu que a senha será um número de três algarismos, divisível por três, e com algarismo da centena igual a 5. Nessas condições, o total de senhas diferentes que Rafael pode criar é igual a

a) 28. b) 41. c) 33. d) 27. e) 34.

TRT - 2015

Um grupo de funcionários do Metrô é formado por mais do que 50 e menos do que 100 pessoas. Os funcionários desse grupo terão que ser distribuídos em subgrupos menores, todos com o mesmo número de funcionários. Para atender a essa regra, se forem formados subgrupos com 5 funcionários, 3 ficarão de fora. Se forem formados subgrupos com 7 funcionários, 4 ficarão de fora. Nas circunstâncias descritas, se forem formados subgrupos com 12 funcionários, o número de funcionários que ficarão de fora será igual

a) 6. b) 4. c) 7. d) 5. e) 9.

METRÔ - 2015

Ao se dividir 95 por x obtém-se o quociente inteiro y e resto da divisão igual a 11. Ao se dividir 210 por x a divisão é exata e o quociente é inteiro e maior do que 10. Sendo assim, pode-se afirmar corretamente que a diferença entre x e y, nessa ordem, é igual a

a) 14. b) 11. c) 5. d) 21. e) 8.

CÂMARA MUNICIPAL - 2014

Ao efetuar a conta de multiplicação de 13 por um número natural de dois algarismos, ambos diferentes de zero, por engano Rafael inverteu a ordem dos dois algarismos desse número. Apenas com esses dados é correto afirmar que a maior diferença possível entre o resultado obtido por Rafael e o resultado que ele teria obtido se a conta tivesse sido feita com a ordem correta dos algarismos seria de

a) 1053. b) 1170. c) 780. d) 936. e) 819.

DPE - 2015

Apenas uma alternativa representa um número real que, em uma reta numérica real, situa-se entre √25 e √49 . A alternativa que corresponde a esse número é:

a) 88/17 b) 150/18 c) 64/13 d) 93/23 e) √50

METRÔ - 2013

O valor da expressão numérica após o cálculo completo é: a) - 6. b) -1. c) 305. d) 1. e) 6.

Al - 2013

O resultado da expressão numérica é igual a: a) 120. b) 1/5 c) 55 d) 25 e) 620

TRF - 2014

O resultado da expressão numérica: 3 + 4 ×7 −8 ×3 é igual a a) 9. b) 123. c) 7. d) 60. e) 23.

DPE - 2015

O algarismo da dezena do resultado da expressão numérica 948652919238493 - 5843748 x 95732437 é a) 1. b) 3. c) 9. d) 7. e) 5.

AL - 2013

GABARITOS 1 a)-2 b)+32 c)-37 d)-17 e)+47 f) +3 g)+16 h) +84 i)-6 j)+18 k) -45 l)+13

2 a) 1697 b)1023 c) 97 d)1733 e )978 f)213 g)2781 h)118,43 i) 90,1 j)-1,545 k) 58,09 l) 81,47 m)-11,95 n)144,62 o) 118,89 p)488,12 3 a)+20 b)-12 c)-40 d)+1 e)-2 f)+56 g)+34 h)+8 4 a)32832 b) 10144 c)811,26 d) 32,908 5 a)+9 b)+9 c)-9 d)+125 e)+36 f)-16 g)+1 h)+16 i)+1 j)-49 k)-1 l) +49 m)+64 n)-64 6 a)+6 b)+92 c)+11 d)+1 e)+3 f)+145 7 a) -1 b)-1 c)+899 d)-8 e)-4 f) +16 g)+25 h)-4 i)+1 j)-17 Questões FCC : E-D-B-E-A-C-E-C-B-E-D - A-B-A-C-A