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CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
- Conjunto dos números naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... }
Um subconjunto importante de N é o conjunto N*:
N*={ 1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto N.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, co-
mo mostra o gráfico abaixo:
0 1 2 3 4 5
- Conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
o conjunto N é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z: Z= Z - {0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4,5,...}
Z- = conjunto dos inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4, -5,...}
Observe que Z+= N.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, confor-
me mostra o gráfico abaixo:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
- Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de
fração (com o numerador e denominador Z). Ou seja, o conjunto dos números
racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e ne-
gativas.
Então:
, por exemplo, são números racionais.
Assim, podemos escrever:
É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que
se obtém dividindo a por b.
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
OBS: Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de núme-
ro racional.
- Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que
não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de
números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3 :
Um número irracional bastante conhecido é o número = 3,1415926535...
- Conjunto dos números reais (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto
dos números reais como:
R = Q {irracionais} = {x| x é racional ou x é irracional}
b
a
75,320
7525,1
4
55,0
2
1
...1666,16
7...428571428571,0
7
6...333,0
3
1
2
3,1,
5
3,1,
5
7,2
...7320508,13
...4142135,12
2 1
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números
reais. Como subconjuntos importantes de R temos:
R* = R - {0}
R+ = conjunto dos números reais não negativos
R_ = conjunto dos números reais não positivos
OBS: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. POTENCIAÇÃO
- Potência de Expoente Inteiro
Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos ob-
servar as seguintes propriedades de potenciação:
1) an = a.a.a.a.a.a...a (n vezes) 2) ao = 1
3) a1 = a
4)
5)
(produto de potência de mesma base: repete a base e soma os expoentes)
6)
(divisão de potência de mesma base: repete a base e subtrai os expoentes)
7)
(potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes)
8)
9)
10)
OBS: a) Observe a diferença:
(23)2 = 23.2 = 26 =
b) Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser:
- positivo, se o expoente for par.
Ex: ( 3)2 = 9 ( 0,1)2 = 0,01
- negativo, se o expoente for ímpar.
Ex:
CUIDADO! Convencionou-se que 24 = (2 . 2 . 2. 2) = 16
(2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = 16
Logo: 24 (2)4
São potências de 10: 100 ; 100 ; 1000 ; 0,1 ; 0,001 ; etc. Para transformar os números acima em potências de 10, devemos
observar se o número dado é maior ou igual a 1 ou positivo e menor que 1.
1o) Caso: N1
Ex: 10 = 101 ; 100 = 102 ; 1000 = 103
2o) Caso: 0< N <1
Ex: 11010
11,0 ; 310
310
1
1000
1001,0
Obs: 200 = 2 . 102 ; 7000 = 7 . 103 ; 0,000125 = 125 . 10-6
Exemplo:
0a,
n
a
1na
mnamaxna
0a,mnamana
n.man
ma
0b,nb
nan
b
a
232 92
81
3
2
1
mbmam)ba(
mbmam)ba(
710510.310.610.310510.310
3)210(.310
00001,0.1000
3)01,0(.001,0
3 4
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Exercícios:
INTERVALOS NA RETA REAL
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denomi-
nados intervalos, que são determinados por meio de desigualdades. Sejam
os números reais a e b, com a b.
- Intervalo aberto de extremos a e b: ]a, b[ = {x R | a < x < b}
- Intervalo fechado de extremos a e b: [ a, b] = { x R | a x b}
- Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos a e b:
]a, b] = { x R | a < x b}
- Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos a e b:
[a, b[ = { x R | a x < b}
Existem ainda os intervalos infinitos:
- Intervalo infinito fechado à esquerda: [a, + [ = { x R | x a}
- Intervalo infinito aberto à esquerda: ] a, + [ = { x R | x > a}
- Intervalo infinito fechado à direita: ] - , a ] = { x R | x a}
- Intervalo aberto à direita: ] - , a [ = { x R | x < a}
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Conhecer os critérios de divisibilidade facilita a resolução de cál-
culos envolvendo divisões. Vejamos alguns critérios de divisibilidade:
DIVISIBILIDADE POR 2:
Um número é divisível por 2, quando o algarismo das unidades for 0, 2 , 4,
6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrá-rio, ímpar.
DIVISIBILIDADE POR 3:
Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus
algarismos for divisível por 3. DIVISIBILIDADE POR 4:
Um número é divisível por 4, quando o número formado pelos dois últimos
algarismos da direita for 00 ou divisível por 4.
DIVISIBILIDADE POR 5:
Um número é divisível por 5, quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
DIVISIBILIDADE POR 6:
Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e por 3 simultane-amente.
DIVISIBILIDADE POR 10:
Um número é divisível por 10, quando o algarismo das unidades for 0
( zero )
DIVISIBILIDADE POR 11:
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos alga-rismos de ordem impar e a soma dos algarismos de ordem par for um
múltiplo de 11.
3
101
10
31)3,0()q9
12
3
1)h
9
162
3
42
4
3)p
9
123)g
21,12)1,1()o5
115)f
100
1
100
11)01,0()n6428)e
83)2()m1624)d
164)2()l1o)10()c
4
92
2
32
3
2)j1253)5()b
3
1
3
1)i92)3()a
5 6
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Ex: 121 2 2 = 0, o zero é múltiplo de 11
2904 9 + 4 = 13 (ordem ímpar) 0 + 2 = 2
13 – 2 = 11 11 é múltiplo de 11.
DIVISIBILIDADE POR 12:
Quando for divisível, ao mesmo tempo, por 3 e por 4 (3x4=12).
DIVISIBILIDADE POR 15:
Quando for, ao mesmo tempo, por 3 e por 5, é então por 15 (3x5).
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Para calcularmos a quantidade de divisores de um número, basta decompor esse número, em seguida, adicionar uma unidade (1) a cada
expoente das bases primas, e multiplicar os resultados.
CUIDADO: A lei do expoente só pode ser utilizada quando o
produto for composto exclusivamente por fatores primos.
Assim: 40 = 5 x 8 = 51 x 23
(1+1) x (3+1) = 2 x 4 = 8 divisores
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
É o produto deste número por um número natural qualquer. Ex: 3 x 12 = 36 é múltiplo de 3 e 12
Um número é múltiplo de outro quando decomposto em seus fatores
primos, contém todos os fatores desse outro, com expoentes iguais ou maiores.
Ex: Verificar se 252 é divisível por 18.
252 = 22 x 32 x 7
18 = 2 x 32
DIVISOR DE UM NÚMERO
Um número natural X é divisor de um número natural se este for múltiplo de X.
Ex: 5 x 8 = 40 ( 5 e 8 são divisores de 40)
Zero é múltiplo de qualquer número.
Um número é sempre múltiplo de si mesmo.
1 é o menor divisor de qualquer número.
Zero tem por divisores o conjunto dos números naturais menos
o próprio zero.
O maior divisor de um número diferente de zero, é ele próprio.
Exercícios
1) O número de divisores naturais do número 40:
Decompor o número: 40 = 23 x 5
Aplicamos a regra: soma-se 1 a cada expoente, multiplicando-se o resul-
tado.
(3 + 1) . (1 + 1) = 4 . 2 = 8 divisores
2) O número natural 25 . 21k tem 147 divisores positivos. Então k vale:
Decompor os números: 25 = 52 e 21 = (3 . 7)k
Temos: 52 x 3k x 7k (2 + 1) (k + 1) (k + 1) = 147
3 . 7 . 7 = 147
Assim: k + 1 = 7 então k = 6
3) O menor número inteiro positivo que ao ser dividido por dois, três, cinco
ou sete, deixa resto um, é:
Achar o m.m.c. de (2, 3, 5 e 7) = 210
Observe que ao dividir 210 por 2, 3, 5 ou 7 o resto será zero.
Portanto basta acrescer 1 (um) ao m.m.c. 210 + 1 = 211
Note que 252 possui todos os divisores de 18 com
expoentes iguais e maiores. Portanto, 252 é múltiplo
de 18.
7 8
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MÁXIMO DIVISOR COMUM
- Determinação do MDC por fatoração:
1o) Decompomos os números em fatores primos;
2o) Multiplicamos os fatores primos comuns das fatorações, com seus
menores expoentes.
Quando o MDC for a unidade, dizemos que os números são
primos entre si.
Ex: MDC (12 e 25) = 1
MENOR MÚLTIPLO COMUM
- Determinação do MMC:
1o) Decompomos os números em fatores primos;
2o) Multiplicamos os fatores primos comuns e não comuns, com os seus maiores expoentes
Propriedades do MDC e do MMC de 2 números:
1a) Se dois números são primos entre si, o MMC é o produ-
to deles e o MDC é 1.
2a) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é
o MMC e o menor o MDC.
3a) O produto de dois números, “A” e “B”, é igual ao produ-
to do MDC pelo MMC desses números.
A x B = MDC x MMC
Exemplos:
a) O produto de dois números é 1728 e o m.m.c., 144. Qual é o m.d.c? Usando a relação acima, temos: 1728 = MDC x 144
MDC =
b) (ESA) Se o m.d.c. entre os números “a” e “b” é “x”, então seu m.m.c. é:
a . b = x . MMC logo temos:
APLICAÇÕES DE M.M.C. E M.D.C.
1) Uma filha me visita a cada 15 dias; uma outra me visita a cada 18 dias. Se
aconteceu hoje a visita das duas filhas, a próxima visita acontecerá daqui
ao seguinte número de dias: a) 60 b) 90 c) 100 d) 120
Resolução:
Basta encontrar o menor número de dias que é múltiplo comum de 15 e 18.
MMC (15, 18) = 90 dias (a próxima visita das filhas) letra b
2) Para equipar as novas viaturas de resgate e salvamento da corporação,
dois rolos de cabo de aço, com respectivamente 450m e 600m de extensão,
deverão ser repartidos em pedaços iguais e com o maior comprimento
possível. A fim de que não haja sobras, a medida de cabo que cada viatura
receberá é: a) 120m b) 130m c) 150m 180m
Resolução:
Basta encontrar o maior número que divide ao mesmo tempo 450 e 600.
MDC (450, 600) = 150m (o maior pedaço de cabo de aço) letra c
Obs. Para determinar o número de cabos que cada pedaço fornece basta
dividir pelo mdc.
450 150 = 3 pedaços
600 150 = 4 pedaços
Total = 7 pedaços de 150m, de comprimento, cada.
3) Um auxiliar de laboratório resolveu separar os tubos de ensaios existentes de 6 em 6, de 12 em 12 ou de 18 em 18, mas sempre sobravam 4 tubos.
Soube por colegas que eles eram mais que 120 e menos que 150. O número
de tubos de ensaio existentes é: a) 124 b) 136 c) 140 d) 148
12114
1728
x
abMMC
9 10
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Resolução:
Este modelo de questão já caiu diversas vezes na EsSA. Para resol-
vê-la, não basta encontrar o menor número de tubos que é múltiplo comum de 6, 12 e 18; ele também é múltiplo do seu m.m.c.
Não podemos esquecer do resto.
120 < um múltiplo do m.m.c. (6, 12, 18) + resto < 150 (sempre que houver resto)
m.m.c. (6, 12, 18) = 36
Os múltiplos do m.m.c. são: 36, 72, 108, 144, 180, 216... Como nós queremos um número entre 120 e 150 então utilizaremos
o número 144.
120 < 144 + 4 < 150 (sempre que houver resto)
O número desejado é 148 letra d
4) PUC-SP – Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-
a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40 metros por 2,75 metros. Qual o menor número de quadrados que ele
pode colocar na parede?
Resolução:
Convertendo para centímetros as dimensões da parede, temos:
440 cm por 275 cm. Deveremos então achar o máximo divisor comum -
MDC entre essas dimensões. Essa é a única forma de achar a dimensão do lado de cada quadrado, que caberá exatamente na parede sem sobra de
espaço. Temos:
MDC(440,275) = 55
Portanto, 440/55 = 8 e 275/55 = 5, de onde conclui-se que teremos 8.5 =
40 quadrados, todos com 55 cm de lado.
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Simplificar uma fração é obter uma outra que lhe seja equivalente e de termos menores.
OBS: Quando o numerador e o denominador forem números grandes, é conveniente, achar o MDC dos termos e dividir cada termo da
fração pelo MDC.
FRAÇÕES EQUIVALENTES
Duas ou mais frações que representa a mesma parte da unidade
são chamadas frações equivalentes.
são frações equivalentes
Exemplos:
1) Determinar a fração equivalente a 17
15 cujo denominador seja 85.
Verificar qual o número que multiplicado por 17 dá 85:
85 17 = 5
Para não alterarmos a fração multiplicamos ambos os termos por 5.
2) Determinar a fração equivalente a 72
45 cuja diferença dos termos é 21.
Simplificar a fração e subtrair os termos:
Dividir as duas diferenças: 21 3 = 7
Multiplicar a fração irredutível por 7
DICAS SOBRE FRAÇÕES Importante:
- Multiplicando-se (ou dividindo-se) o numerador de uma
fração por um número natural, o valor da fração fica multi-plicado (ou dividido) por esse número.
lirredutívefração6
5
1272
1260
72
60:Ex
3
2
60180
60120
180
120:Ex
3
2
6
4:Ex
85
75
517
515
3588
5
972
945
56
35
78
75
11 12
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
Ex: 3
7
2 (ficou multiplicado por 3)
- Multiplicando-se (ou dividindo-se) o denominador de uma fração por um número natural, o valor da fração fica dividi-
do (ou multiplicado) por esse número.
Ex: 2x5
3 (ficou dividido por 2)
Resolva: a) (ESA) - Dividindo-se o numerador de uma fração por 16 e o denomina-
dor por 8, a fração fica:
1) Observe que ao dividir o numerador por 16 a fração fica di-
vidida por 16.
2) Ao dividir o denominador por 8 a fração fica multiplicada por 8.
16 8 = 2. Dessa forma a fração ficou dividida por 2
b) Que alteração sofre uma fração se multiplicarmos o numerador por 5 e
dividir o denominador por 7?
Ao multiplicar o numerador por 5 a fração fica multiplicada
por 5;
Ao dividir o denominador por 7 a fração fica multiplicada por 7.
Assim temos: 5 x 7 = 35 ( a fração ficou multiplicada por 35)
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Conceito: São decimais infinitas e periódicas.
Chama-se período, o algarismo ou grupo de algarismos que se re-
petem. Os algarismos que se situam entre a vírgula e o período compõem a
parte não periódica da dízima.
Geratriz das dízimas periódicas simples:
É a fração que tem para numerador o período e para denominador
tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Ex:
Geratriz das dízimas periódicas compostas:
É a fração que tem para numerador o número formado pela parte
não periódica, seguida do período menos a parte não periódica e para de-nominador, o número formado de tantos noves quantos forem os algaris-
mos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da
parte não periódica.
Ex: a)
b)
CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Para calcularmos corretamente qualquer expressão numérica, é necessário obedecer algumas prioridades. Então, devemos tem em mente que deve-
mos fazer os cálculos na seguinte ordem:
1) parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { } 2) potência e raiz
3) multiplicação e divisão
4) soma e subtração
OBS: a) soma e subtração de fração deve-se tirar o MMC entre os
denominadores.
b) Produto de fração deve-se multiplicar numerador com
numerador e denominador com denominador.
c) Divisão de fração repete o primeiro e multiplica pelo inverso do segundo.
d) Multiplicação e divisão de números reais:
Multiplicação + x + = + + x = x = +
Divisão + + = + + = = +
e) Soma e subtração de números reais prevalece o sinal
do maior 9
71...777,1
9
4...444,0
90
23
90
225...2555,0
15
8
90
48
90
553...5333,0
15
8
5
4x
3
2:Ex
21
10
7
5x
3
2
5
7
3
2:Ex
8
16
7
5
13 14
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
b
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
a) Unidades de comprimento:
Km – hm – dam – m – dm – cm – mm
b) Unidades de superfície (área)
Km2 – hm2 – dam2 – m2 – dm2 – cm2 – mm2
c) Unidades agrárias → equivalência: 1 ha = 1 hm2
1 a = 1 dam2
1 ca = 1 m2
d) Unidades de massa:
Kg – hg – dag – g – dg – cg – mg
1 tonelada (t) = 1.000 kg
e) Unidades de capacidade:
Kl – hl – dal – l – dl – cl - ml
f) Unidades de volume:
Km3 – hm3 – dam3 – m3 – dm3 – cm3 – mm3
RELAÇÃO ENTRE AS UNIDADES
Relação entre as unidades de volume e capacidade:
1 dm3 = 1 litro
Assim, 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 litros
IMPORTANTE: Para efetuarmos as operações com unidades de medidas diferentes,
devemos, antes, convertê-las para uma mesma unidade de medida.
Efetue: 1,5 kg – (409 g + 9,1 dag) = __________ kg.
409 g = 0, 409 kg
9,1 dag = 0,091 kg
1,5 kg – (0,409 kg + 0,091 kg) 1,5 kg – 0,5 kg = 1 kg
VOLUME DE UM SÓLIDO
a) CUBO:
V = a3
Volume = aresta x aresta x aresta
b) PARALELEPÍPEDO-RETÂNGULO:
V = a x b x c
a
Volume = comprimento x largura x altura
Exercícios:
a) Nossa sala de aula tem as seguintes dimensões: comprimento 9 m, largura 7 m e altura 4 m. Somos 41 alunos. Com o professor presente, quantos m3
de ar caberão a cada pessoa?
Volume de ar na sala: 9m x 7m x 4m = 252 m3
Não esqueça de contar o professor
252 m3 42 = 6 m3
b) (ESA) Um tanque de água de 4 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m
de profundidade está cheio 3
2 de sua capacidade. Então quantos metros
cúbicos ainda cabem de água:
Calcular o volume do tanque: V = 4m x 3m x 2m = 24 m3
Calcular 2/3 do volume: (de = multiplicação)
Basta subtrair do volume total o existente: 24m3 - 16m3 = 8m3
aresta (a)
c
3m163m24de3
2
15 16
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS
MEDIDAS DE TEMPO Minuto (m) = 60 seg
Hora (h) = 3600 seg ou 60 min
Dia (d) = 86400 seg ou 24 h
MEDIDAS DE ÂNGULOS Grau (o) = 60’
Minuto ( ’ ) = 60’’
Segundo (’’)
OPERAÇÕES
a) Adição:
Como 70 min = 1h + 10 min, então temos 15h 10 min
b) Subtração:
Atenção: 10h 20min = 9h 80min
Como não podemos subtrair 45min de 20 min, pedimos emprestado uma unidade (1h = 60min) na ordem imediatamente superior.
c) Multiplicação:
d) Divisão:
21h 28min 4
1h = 60min + 5h 22 min
88min 0 → observe que o resto 1h + 28min = 88 min
Para multiplicarmos uma medida não decimal por um nú-
mero racional fracionário, multiplica-se a medida dada pelo nu-
merador e divide-se o resultado pelo denominador, e para divi-
dir uma medida complexa por um número racional fracionário,
multiplica-se a medida dada pelo inverso do número fracionário.
Ex: 1o) (10m 8s) . 4
3 =
RAZÕES E PROPORÇÕES
1. RAZÕES:
Representação: b
a ou a : b
Conceito: A razão entre dois números é o quociente da divisão do primei-
ro pelo segundo.
min70h14
min45h5
min25h9
min45h4
min20h10
min35h5
min45h4
min80h9
"155'7535
5x
"31'157
o
o Como 155” = 2’ 35” , então temos 35o 77’ 35”
Como 77’ = 1o + 17’, então temos
36o 17’ 35”
'40222
'2045
2
5)'49(
5
2)'49()2
seg36min74
seg24min30
4
3)seg8min10()1
oo
oo
a = antecedente
b = conseqüente 17
17
18
18
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
Exemplos:
1) Achar a razão entre 10 minutos e 1 hora:
2) Achar a razão entre dois segmentos de 1,2m e 18dm.
Não esqueça! Antes de efetuar a divisão, reduzir metros em decímetros.
ESCALA:
Escala é a razão entre uma dimensão num desenho e sua dimen-
são correspondente no tamanho real.
Exemplos:
1) Determinar a escala utilizada em um mapa, sabendo que a distância
real de Fortaleza a São Paulo é de 3.035 km e a distância no mapa é de 4
cm. Lembre-se que: 3.035 km = 303.500.000 cm
2) (ESA) - Uma distância de 8km no terreno corresponde num mapa
construído na escala 1/1000 ao comprimento de:
Vamos calcular a distância no mapa em centímetros:
8 km = 800.000 cm
Aplicar a relação:
P R O P O R Ç Ã O
Chama-se proporção, a sentença matemática que expri-
me a igualdade entre duas razões.
Representação: d
c
b
a ou a : b : : c : d
meios
extremos
Propriedade Fundamental:
Em toda a proporção, o produto dos meios é igual ao pro-
duto dos extremos.
Exemplo: Dada a proporção: . Calcular o valor de x.
2 . ( 2x + 1) = 3 . 6
4x + 2 = 18 → 4x = 16
→ x = 4
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES:
1) PROPRIEDADE DA SOMA
Em toda a proporção, a soma (ou diferença) dos anteceden-
tes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim co-
mo qualquer antecedente está para seu conseqüente.
6
1
min60
min10
hora1
min10
3
2
dm18
dm12
1x2
6
3
2
4
16x
realoCompriment
desenhodooComprimentEscala
000.875.75:1ou000.875.75
1
cm000.500.303
cm4Escala
EDdtemos,disolandoD
dE
m8oucm800cm000.800x1000
1 mapa no Distância
20 19
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
lfundamentaepropriedadaaplicandox
18
7
2
63x2
126x
2) PROPRIEDADE DO PRODUTO
EXERCÍCIOS:
1) Determinar x e y no sistema
Aplicando a 2a propriedade:
b) 1666
21
1
5
, ...
x
2) Calcule a, b e c sabendo que
Inicialmente multiplicamos os termos da 1a razão por 2, os termos da 2a
razão por -3 e os termos da 3a razão por 4. Assim, obtemos:
Aplicamos a 1a propriedade:
Logo, a = 7 . 2 = 14 b = 3 . 2 = 6 c = 4 . 2 = 8
QUARTA PROPORCIONAL:
Chama-se quarta proporcional de três números, dados numa certa or-
dem, um quarto, que forme com os três primeiros, uma proporção.
Exemplo: (ESA) - Calcular a quarta proporcional entre 2, 7 e 18:
Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
2x = 7 . 18 temos
PROPORÇÃO CONTÍNUA
Proporção contínua é toda proporção que apresenta os meios iguais.
TERCEIRA PROPORCIONAL
Dados dois números racionais a e b, não-nulos, denomina-se terceira
proporcional desses números um número x tal que:
Exemplo: Determinar a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção.
20x = 10 . 10 20x = 100
x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
2
2
2
2
d
c
b
a
d.b
c.a
d
c
b
a
240y.x
5
y
3
x
20y15
240.25y
25
y
15
240
12x14415
240.9x
9
x
15
240
25
y
9
x
5.3
y.x
22
22
22
4
c
3
b
7
a
42c4b3a2
16
c4
9
b3
14
a2
4
c
3
b
7
a
1
2
21
42
4
c
3
b
7
a
16914
c4b3a2
c
b
b
a
x
b
b
a
lfundamentaepropriedadaaplicandox
10
10
20
21
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
MÉDIA GEOMÉTRICA OU MÉDIA PROPORCIONAL
Dada uma proporção contínua , o número b é denominado mé-
dia geométrica ou média proporcional entre a e c.
Exemplo: Determinar a média geométrica positiva dos números 5 e 20.
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética entre dois ou mais números é dada pelo quociente
formado pela soma desses números e a quantidade de parcelas considera-
das. Ex: Determinar a média aritmética , entre 4, 8, 12 e 20.
NÚMEROS PROPORCIONAIS
a) Divisão em partes diretamente proporcionais
Ex: Simone dividiu 150 bolinhas de gude entre seus sobrinhos de 2, 3 e
5 anos. Determine quantas bolinhas recebeu cada um deles, sabendo
que a divisão foi diretamente proporcional às suas idades.
Representaremos por a, b e c a quantidade de bolinhas recebida por cada
um dos meninos. Assim:
Aplicamos a propriedade das proporções, temos:
b) Divisão em partes inversamente proporcionais
Ex: Divida o número 310 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5.
REGRA DE TRÊS
- Passos utilizados numa regra de três:
1) Identificar se as grandezas são diretamente (seta para baixo) ou inver-samente (seta para cima) proporcionais.
2) Montar a proporção e resolver a equação.
Ex: a) O trem voador Maglev, deslocando-se a uma velocidade média de
400 km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo
faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse 480 km/h?
Observe que aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
c
b
b
a
.10épositivageométricamédiaaLogo
10b100b
100b20
b
b
5 2
.5e3,2aaisproporcionediretament5
c
3
b
2
a
150cba
75c155
c45b15
3
b30a15
2
a
.alidadeproporciondefatoroé15númeroO
1510
150
532
cba
5
c
3
b
2
a
5e3,2aaisproporcionteInversamen
5
1
c
3
1
b
2
1
a
310cba
60300.5
1c300
5
1
c
100300.3
1b300
3
1
b
150300.2
1a300
2
1
a
.alidadeproporciondefatoroé300númeroO
300
30
31
310
5
1
3
1
2
1
cba
5
1
c
3
1
b
2
1
a
x480
3400
TempoVelocidade
114
44
4
201284Ma
22 23
24
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
x
8
450
300ou
x
8
3.150
5.60
100
t.i.Cj
Como as palavras são contrárias (aumenta-diminui) as grandezas são in-
versamente proporcionais.
2o) Na fabricação de 60 blusas, 3 máquinas gastam 8 horas. Para produzir
150 blusas, 5 máquinas quantas horas gastam?
Blusas Máquinas Horas
60 3 8
150 5 x
- O número de blusas e o de horas são diretamente proporcionais.
Mais blusas, mais horas.
- O número de máquinas e o de horas são inversamente proporcio-
nais. Mais máquinas, menos horas.
Aplicando a regra prática, temos:
x = 12 horas
JUROS SIMPLES
- Juros são uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se pa-
ga pelo empréstimo de determinada quantia, ao final de um período.
- Quando o valor a ser pago pelo empréstimo é calculado apenas sobre
o capital inicial, que se mantém constante durante todo o período de transação, estamos trabalhando com juros simples.
O valor dos juros depende:
- do capital (C) Dinheiro que se empresta ou se toma emprestado.
- d a taxa (i) Taxa percentual que representa os juros que se rece-
be ou se paga, ao final de um período.
- do tempo (t) Período utilizado na transação.
Fórmula:
A fórmula só pode ser aplicada se a taxa e o tempo se referem à
mesma unidade.
MONTANTE
O montante (M) refere-se ao total pago no final de um empréstimo e cor-
responde ao capital mais o total de juros.
Montante = Capital + juros M = C + j
Exemplos:
1) Determine o capital que, que aplicado à taxa de 0,4% ao dia, rendeu ao
final de 4 meses R$ 600,00 de juros.
i = 0,4 ao dia = 0,4 x 30 dias = 12% ao mês
Observe que o tempo e a taxa tem que ser referente ao mês.
xh/km480
h3h/km400
TempoVelocidade
termososinvertemos400
480
x
3
min30h2ouh5,2480
400.3x:temos400.3x480
Taxa anual, tempo em anos;
Taxa mensal, tempo em meses;
Taxa diária, tempo em dias.
00,250.1$RC:temosndoSimplifica412
600100C
it
j100C
100
Citj
25 26
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
%12525,1100
125
100
5,3
100
125
100
32
100
5
%3232,0100
32
2) Quanto tempo deverá permanecer aplicado um capital para que o juro
seja igual a duas vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.?
Temos: j = 2C
2) Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao
trimestre (15% a.t.).
t = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses
i = 15% (trimestre) = 15 3 = 5% ao mês
19C = 7980000
C = $ 420.000
P O R C E N T A G E M
Razão centesimal é a razão cujo conseqüente é 100:
Essas razões, também chamadas razões porcentuais, percentuais
ou por cento, são, normalmente, representadas por numeração que utiliza
o símbolo %.
Quando problema de porcentagem for sobre o preço de custo
(C) ou preço de venda (V), procedemos do seguinte modo:
- quando o lucro (L) ou o prejuízo (P) for sobre o preço de
custo, o equivalemos a .............. 100% (C 100%)
- quando o lucro ou prejuízo for sobre o preço de venda, o
equivalemos a ......................... 100% (V 100%)
Exemplos:
1) A expressão (10%)2 – (5%)2 é equivalente a:
2) Ricardo, após receber dois aumentos sucessivos de 15% e 18%, passou a receber um salário de R$ 271,40. Qual era o seu salário antes dos
aumentos?
x = salário inicial 1o aumento: x + 0,15x → 1,15x
2o aumento: 1,15x + 0,18 . 1,15x → 1,15x (1 + 0,18)
1,15x . 1,18 = 271,40 1,357x = 271,40 → x = R$ 200,00
3) Um objeto foi vendido por R$ 34.500,00 com um lucro de 15% sobre o custo. Qual é o seu preço de custo?
V = C + L → Houve lucro, portanto:
4) Um objeto foi vendido por R$ 23.400,00, com um lucro de 20% sobre a venda. Qual é o seu preço de custo?
V = C + L → Houve lucro, portanto:
anos20tC10
100C2t
100
t10CC2
100
Citj
100
Citj j C M
C9000.980.7C1010
C9000.798CMjC
jCMemsubstituir10
C9j
100
185Cj
%75,0:100pormosSimplifica
10000
75
10000
25
10000
100
100
5
100
1022
00,000.30$RC:teremosolog100.34500C115
C%100
500.34%115%15%100%115
00,720.18$R100
80.23400C:olog8023400100C
80% C
%100400.23temos%20%80%100
27
CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES
lfundamentaepropriedadaaplicandox
18
7
2
63x2
126x
QUARTA PROPORCIONAL:
Chama-se quarta proporcional de três números, dados numa certa or-
dem, um quarto, que forme com os três primeiros, uma proporção.
Exemplo: (ESA) - Calcular a quarta proporcional entre 2, 7 e 18:
Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
2x = 7 . 18 temos
PROPORÇÃO CONTÍNUA
Proporção contínua é toda proporção que apresenta os meios iguais.
TERCEIRA PROPORCIONAL
Dados dois números racionais a e b, não-nulos, denomina-se terceira
proporcional desses números um número x tal que:
Exemplo: Determinar a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção.
20x = 10 . 10 20x = 100 x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
28
c
b
b
a
x
b
b
a
lfundamentaepropriedadaaplicandox
10
10
20
22