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MAT. – 5
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 1 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 04
01. Considere duas circunferências concêntricas em ,C conforme figura, em que a externa representa o círculo trigonométrico e a interna, o velocímetro, cuja marcação varia de 0 a 270 k /m h , de um carro com potência suficiente para atingir velocidade máxima de 270 k /m h . O ângulo ˆACB mede, em graus, 2α e tem CD como bissetriz.
Estando ,v em / ,km h e ,θ em graus, alinhados com ,C pede-se:
A) a velocidade ,v em termos de α e .θ B) a velocidade ,v dados 030α = e 060 .θ =
MAT. – 6
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 1 – TIPO A
02. Um cone circular reto, com geratriz g , vértice V e circunferência da base centrada
em C , está inscrito em uma esfera de raio ,R conforme ilustra a figura. A área de
uma seção transversal VACB e o volume do cone valem, respectivamente, 232 cm
e 3128 .
3cmπ
Determine: A) a geratriz do cone.
B) o raio da esfera.
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 1 – TIPO A
03. Em um laboratório, existem n substâncias. Sabe-se que exatamente duas dessas
substâncias não podem estar simultaneamente em qualquer mistura, porque provocam explosão. Um aluno que desconhece esse fato resolve misturar 6 das n substâncias. Sendo a probabilidade de explosão na mistura feita pelo aluno de 1 para 14, determine o número n de substâncias existentes no laboratório.
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 1 – TIPO A
04. Sejam os polinômios:
2 3( ) ,p x a bx cx dx= + + +
( ) ( )( )
2
p x p xq x
+ −= e ( ) ( )
( ) .2
p x p xr x
− −=
Considerando que:
i) ( )q x é divisível por 2x + e, quando dividido por 4,x − deixa resto 6− ,
ii) o gráfico de ( )r x no intervalo [ ]2,2− está representado abaixo,
mostre que:
A) (1)q é um número racional.
B) ( 3)r é um número par.
MAT. – 1
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, tendo obtido bom lucro com as apresentações, resolveu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lona precisava comprar, ele considerou as seguintes especificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 ,me o raio da circunferência, de 24 ,m como indica a figura. Que quantidade de lona,
em 2 ,m será necessário comprar?
MAT. – 1
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, tendo obtido bom lucro com as apresentações, resolveu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lona precisava comprar, ele considerou as seguintes especificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 ,me o raio da circunferência, de 24 ,m como indica a figura. Que quantidade de lona,
em 2 ,m será necessário comprar?
MAT. – 3
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 – TIPO A
03. Com um papelão em forma de retângulo, será construída uma caixa aberta em forma de paralelepípedo retângulo cujo volume é 33808 c .V m= Corta-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto do papelão, como indica a figura. Sabe-se que o comprimento do papelão é 20 cm maior que sua largura. Qual a soma das arestas da caixa?
MAT. – 4
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 –TIPO A
04. Um fabricante produz uma mercadoria por $ 200,00R cada unidade, a qual é vendida por $ 500,00R . Com esse preço, há uma demanda de 4000 unidades mensais. Em determinada época, o fabricante eleva o preço de venda de
$ 500,00R para $ 600,00R . Com isso, as vendas sofrem uma queda de 400unidades na demanda mensal. Determine, em reais e em porcentagem, o lucro mensal em relação ao custo de produção:
A) antes do aumento
B) depois do aumento
MAT. – 5
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 – TIPO A
05. Sejam R o raio e O o centro da circunferência circunscrita ao triângulo isósceles ,ABC AB AC= e 045BÂC= . Calcule a razão entre as áreas dos triângulos e OAB OBC.
MAT. – 6
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 –TIPO A
06. Uma sala de convenções de um shopping possui 20 poltronas na primeira fileira, 24 poltronas na segunda fileira, 28 poltronas na terceira fileira e, continuando nesta seqüência, o aumento de 4 poltronas, por fileira, permanece constante até a última fileira. Quantas fileiras são necessárias para compor 800 lugares?
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 – TIPO A
07. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tem-se: • a reta ,r passando por (2,3)P e (4,5);Q
• a reta s perpendicular à r em ,P interceptando o eixo x em A e o eixo y em ;B • um ponto C sobre o semi-eixo positivo x ;
Pede-se:
A) um esboço da situação apresentada no enunciado.
B) as coordenadas dos pontos e .A B
C) as coordenadas do ponto ,C tais que a distância entre e Q C seja 13.
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 –TIPO A
08. Determine o número natural n na seguinte equação:
1.1! 2.2! 3.3! ( -1)( -1)! . ! 1 380( 1)!n n n n n+ + + + + = − + −K
Sugestão: . ! ( 1)! i!i i i= + − , para todo número natural 1i ≥ .
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 – TIPO A
09. No círculo trigonométrico, os arcos AB e ,AC marcados no sentido anti-horário,
têm medidas, em radianos, α e β ( �AB α= e �AC β= ), respectivamente.
Se 3
,5
senα =2
π α π< < e 5
cos ,13
β −= 3,
2
ππ β< < calcule:
A) cosα e .senβ
B) ( )senα β+ e cos( ).α β+
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 –TIPO A
10. Com base nos conhecimentos em cálculos algébricos, determine os números racionais , , , , , a b c d p q nas igualdades abaixo.
A)3 4
68 12 4
2b c
+ + = +
B) 23 5 2 ( )( )x x a x p x q− + = − −
C) 1
2
log 32 log 0,001 d+ =
MAT. – 11
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 – TIPO A
11. Na divisão de ( )A x por 2( ) 5 6,B x x x= − + − encontramos um quociente ( )Q x e um resto ( )R x . Suponha que os restos da divisão de ( )A x por 1x+ e 2x− sejam, respectivamente, 3 e 1− e que ( )Q x seja divisível por 1x+ . Determine ( )R x .
MAT. – 12
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 5 –TIPO A
12. O gráfico abaixo representa uma função f definida por partes. A primeira parte,
restrita ao intervalo [ ]4, 2− − , é um segmento de reta, e a segunda parte, para
2x ≥ − , é um arco de parábola de eixo vertical cujo vértice é (0, 2) .
Escreva, na notação abaixo, as equações das partes que definem esta função.
.............................., 4 2
( )
.............................., 2
x
f x
x
− ≤ ≤ −= ≥ −
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 6 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 06
01. Um observador está a uma distância d de uma torre de relógio de altura .H Seus olhos estão a uma altura h do solo e visualizam a torre sob um ângulo ,θ α β= +conforme ilustra a figura abaixo.
Se tg bβ = e ,tg cθ = pede-se:
A) a altura ,h em função de ,b .d
B) a altura ,H em função de ,b ,c .d
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 6 – TIPO A
02. No triângulo isósceles OAB , ,OA AB= o lado desigual OB está sobre o eixo dos ,x
o ângulo interno no vértice A é de 030 e está inscrito em uma circunferência de centro C e raio 2 . A figura está inserida em um plano cartesiano ortogonal.
Determine:
A) a área do triângulo .OCB
B) a equação da circunferência.
C) a equação da reta que passa por C e .B
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 6 – TIPO A
03. Um certo veículo, colocado à venda em primeiro de janeiro de 2000, sofre uma depreciação de $ 50,00R a cada mês. Sabendo-se que, em primeiro de janeiro de 2005, o preço do veículo era de $ 6000,00R , qual o seu preço em primeiro de abril de 2000?
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 6 – TIPO A
04. Na figura, os pontos , e A B V estão sobre o gráfico da função 2 2
2
x x
y−+= e têm,
respectivamente, abscissas iguais a 1 2log 3x = − e 2 2log 3.x =
Determine a área do triângulo .ABV
MAT. – 11
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 6 – TIPO A
05. Seja f a função real de variável real definida por
2(6 )( ) 9 log ( 5)xf x x x−= − + + .
Encontre os valores de x para os quais f faz sentido.
MAT. – 12
1º VESTIBULAR UFOP 2008
GRUPO 6 – TIPO A
06. Seja a matriz 3 3
,i j xB b =
2
11 12 13
21 22 23
31 32 33
6
log (2 ) , , 3 e 3
81 , , 3 e 3
, em que 3 , 3 3
0 , 3 3
, 3 3
ji
j
i j
j
i j i j
i j i jb b bi
B b b b bi e j
b b bi e j
i i e j
≠ ≠ ≠ + = ≠ ≠ = = = =
= ≠ ≠ =
A) Escreva a matriz .B
B) Mostre que det B é múltiplo de 7.