1

Professor Me. Álvaro Emílio Leite

MATEMÁTICA

Revisão Geral

Aula 1 - Parte 1

O que é um algarismo?É um símbolo que utilizamospara formar e representar osnúmeros. Exemplo:Os algarismos que compõem onúmero 475 são os seguintes:

5

U

7

D

4

C

Valor posicional dos números

U.M. C D U , d c m d.c.1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

0 , 1

0 , 0 1

0 , 0 0 1

0 , 0 0 0 1

Unidad

e de milh

ar

Cen

tenas

Dezen

as

Unidad

es

centési-

mos

milésimos

décim

os

décim

os

milésimos

2

Conjunto dos números naturais (N)

N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... ∞∞∞∞ }

N

N* = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... ∞∞∞∞ }

N*

Algoritmo da soma

4

11 5 8 4

8

1

+ 4 5 7

3

2

7 9 32

unidades

dez

enas

cente

nas

milh

ares

SubtraçãoExemploUm carro custa R$ 31.000,00enquanto que outro custa R$19.000,00. Qual a diferença depreços entre os dois carros?

31000 - 19000 = 12000

subtraendominuendodiferença ou resto

3

Algoritmo da subtração

2

2 6 4 9– 1 8 9 7

57

unid

ades

dez

enas

cente

nas

milh

ares

-1

+10+10

-1

MultiplicaçãoFaça a seguinte multiplicação:27 X 12 =

2 71 2X

4

1

572 0

43 2

1

unid

ades

dez

enas

cente

nas

Algoritmo da multiplicação

27 quadradinhos12 q

uad

radin

hos

A multiplicação 12 x 27 pode ser representada da seguinte maneira:

4

Algoritmo da multiplicação

27 quad.

10 q

uad

.2 q

uad

.

27 quad. X 227

54

X10 27

270

270 + 54 = 324

A multiplicação 12 x 27 pode ser representada da seguinte maneira:

Algoritmo da divisão

474 3117 5

248

0

divisorDividendo

resto

Quociente

Faça a seguinte divisão: 474 ÷ 3

Algoritmo da divisão

1 centena

1 dezena

1 unidade

474 =

5

4 7 4 3

unid

ade

dez

ena

cente

na

Algoritmo da divisão

4 7 4 3

unid

ade

dez

ena

cente

na

11

Algoritmo da divisão

4 7 4 3

unid

ade

dez

ena

cente

na

11 7

Algoritmo da divisão

6

4 7 4 3

unid

ade

dez

ena

cente

na

11 7 52

Algoritmo da divisão

4 7 4 3

unid

ade

dez

ena

cente

na

11 7 52 4

Algoritmo da divisão

4 7 4 3

unid

ade

dez

ena

cente

na

11 7 52 4

80

Algoritmo da divisão

7

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MATEMÁTICA

Revisão Geral

Aula 1 - Parte 2

Potenciação

32expoente

base

2x2x223 ==== 8====

Exemplo: Um prédio possui 4 andares. Cada andar 4 apartamentos. Em cada apartamento moram 4 pessoas.

43 = 4 x 4 x 4 = 64

3 fatores

Potenciação

8

Exemplos:20 = 1 540 = 1 345670 = 1

351 = 35 326581 = 32658

036 = 0 024 = 0 010000 = 0

00 é uma indeterminação.

Potenciação

Propriedades das potências

733x3x3x3x3x3x3 ====

23 53

1ª propriedade: Em um produto de potências de mesma base podemos conservar a base e somar os expoentes, ou seja:

nmnm aaxa ++++==== a, m, n ∈ �

====52 3x3Exemplo:

Propriedades das potências

nmnm aaa −−−−====÷÷÷÷

32

22

222222222222 =

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅÷⋅⋅⋅⋅52 22

2ª propriedade: Em uma divisão de potências de mesma base podemos conservar a base e subtrair os expoentes, ou seja:

====÷÷÷÷ 25 22

Exemplo:

a, m, n ∈ �

9

Propriedades das potências

(((( )))) nmnm aa ⋅⋅⋅⋅====

3ª propriedade: A potência de umapotência pode ser escrita na formade uma única potência, bastaconservar a base e multiplicar osexpoentes, ou seja:

(((( )))) 6333323 222x22 ============ ++++

Exemplo:

Propriedades das potências

( ) mmm

bxabxa =

4ª propriedade: A potência de umproduto ou quociente é igual aoproduto ou quociente das potências,com o mesmo expoente, ou seja:

( ) mmm

baba ÷=÷

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 222 5x25x2x5x25x2x5x25x2 ============

Exemplo:

RadiciaçãoA radiciação é a operação inversa dapotenciação. Assim, a operaçãoinversa de elevar um número aoquadrado é extrair a sua raizquadrada.

na

O símbolo

é chamado de radical

radicandoíndice

10

Exemplos:

283 =

Radiciação

56254 =

525 =

Conjunto dos números inteiros (Z)

Z = { – ∞; ...; – 2; – 1; 0; 1; 2;... ∞}

Números naturais

Oposto dos números naturais

NZ

Soma de números inteiros• Em uma soma de números

inteiros, as parcelas podem ter sinais positivos ou negativos.

• Se as parcelas tiverem sinais diferentes, subtraímos a menor parcela da maior e conservamos o sinal da parcela de maior módulo.

• Se as parcelas tiverem sinais iguais, somamos as parcelas e conservamos o mesmo sinal.

11

Módulo ou Valor absoluto de um número

33 ====−−−−

55 ====++++

4

3

4

3====−−−−

55 ====−−−−

74,374,3 ====++++

o módulo de mais 5 é 5

o módulo de menos 3 é 3

Soma de números inteiros

72 + (– 24) = 48

– 24 + 14 = – 10

12 + 24 = 36

– 13 + (– 18) = – 31

Subtração de números Inteiros

Exemplos:52 – (– 14) = – 25 – (+ 16) =

– 32 – (– 12) = 22 – (+ 41) =

52 + 14 = 66 – 25 – 16 = – 41

– 32 + 12 = – 20 22 – 41 = – 19

12

Multiplicação de números Inteiros

Exemplos:

12 x (– 14) = 1214X48

120168–

– 15 x (– 23) =

1523X45

300345

Multiplicação de números Inteiros

Exemplos:

– 64 x 13 =

6413X

192640832–

215 x 17 =

21517X

150521503655

Divisão de números InteirosExemplos:

371 ÷ (– 7) = – 540 ÷ (– 12) =

371 7512 3

0–

540 12406 5

0

13

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Revisão Geral

Aula 1 Parte 3

Potências de números inteiros

Situação 1:(– 2)4 = (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) =

(+ 4) x

= 16Regra: As potências que possuembases negativas e expoentes pares,têm como resultado um númeropositivo.

(+ 4)

Potências de números inteiros

(+ 16) (– 4) =x

Situação 2:(– 4)3 = (– 4) x (– 4) x (– 4)=

–64Regra: As potências que possuembases negativas e expoentesímpares, têm como resultado umnúmero negativo.

14

Radicais de números inteiros

Qual é a raiz quadrada de – 9?

9−−−−

3 x 3 = 9

Regra: Um radical cujo índice é pare o radicando é negativo, nãopossui raiz real.

(– 3) x (– 3) = 9

3 x (– 3) = – 9

Radicais de números inteiros

Qual é a raiz cúbica de – 27?

3 27−−−−

(– 3) x (– 3) x (– 3) = – 27

Regra: Se o radicando for negativoe o índice for ímpar, a raiz existe.

Conjunto dos números racionais (Q)

∞∞∞∞++++−−−−−−−−−−−−∞∞∞∞−−−−==== ...

2

3;1;

5

2;0;1;

4

3;2...Q

NZQ

15

Frações

b

a numeradordenominador

b ≠ 0

Frações

=�

=

=�

=

Problemas que envolvem frações

Gabriela possui em sua biblioteca48 livros, dos quais já leu cincooitavos. Quantos livros Gabriela jáleu? Quantos livros ainda faltampara Gabriel ler?

16

Problemas que envolvem frações

48de8

5

Problemas que envolvem frações

Parte 1

Parte 2

Parte 3

Parte 4

Parte 5

Parte 6

Parte 7

Parte 8

48de8

5

Problemas que envolvem frações

Parte 1

Parte 2

Parte 3

Parte 4

Parte 5

Parte 6

Parte 7

Parte 8

48de8

5

17

Macete

48de8

5

308

24048x

8

5========

Trocar “de” por “x”

Soma e subtração de frações

Exemplo: Os pais de Gabriela eHeloíse deram para cada umadelas uma barra de chocolate.Gabriela resolveu dar para MariaEduarda um quarto do seuchocolate. Já Heloíse deu paraMaria Eduarda três oitavos. Quala fração de chocolate que MariaEduarda recebeu?

Soma e subtração de frações

====++++8

3

4

1

Chocolate de Gabriela

Chocolate de Heloise

18

Soma e subtração de frações

====++++8

3

4

1

Chocolate de Gabriela

Chocolate de Heloise

Chocolate de Maria Eduarda

Mínimo Múltiplo Comum

Definição:O Mínimo Múltiplo Comum(MMC) de dois ou mais númerosé o menor múltiplo comumdesses números, diferente dezero.

M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }

M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }

Mínimo Múltiplo Comum

19

M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }

M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }

Quais são os múltiplos comuns?

Mínimo Múltiplo Comum

{ 0, 12, 24,...}

Mínimo Múltiplo Comum

Qual é o menor desses múltiplosdiferente de zero?

M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }

M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }

É o 12

MMC (3, 4) = { 12 }

Mínimo Múltiplo Comum

Portanto, o mínimo múltiplocomum de 3 e 4 é:

M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }

M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }

20

Números Primos

São os números naturais quepossuem apenas dois divisores:o 1 e ele mesmo.

Exemplos:{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

29, 31, ...}

Método da decomposição em fatores primos

O método da decomposiçãoem fatores primos consiste emdividir sucessivamente osnúmeros pelo menor númeroprimo possível.

Método da decomposição em fatores primos

60 2430 12

22

15 6 215 3 3

5 1 51 1 2³ · 3 · 5 =

8· 3 · 5 =

Portanto, MMC ( 60,24) = 120

21

Soma e subtração de frações

Vamos somar as frações

====++++3

2

2

1

MMC (2, 3) =2 3 21 3 31 1

2 · 3 = 6

66+

÷

××××

3

6 ÷ 3 · 2 = 4

4

6 ÷ 2 · 1 = 3

6

7=

Soma e subtração de frações, Vamos subtrair as frações

=−15

2

12

1

6060–

÷

××××

5

60 ÷ 15 · 2 = 8

60

3−=

60 ÷ 12 · 1= 5

MMC (12, 15) =12 15 2

6 15 2

1 1

22 · 3 · 5 = 60

3 15 31 5 5

8

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Revisão Geral

Aula 1- Parte 4

22

Multiplicação de FraçõesRegra prática:Para multiplicar duas ou maisfrações devemos multiplicar osseus numeradores entre si e seusdenominadores entre si.

Exemplos:�

∙�

�=

�

�

(−�)

∙�

=−�

��=−�

��

Frações equivalentes

�

��=��

��=

�

� =

�

� � �

� ∙ � ∙ � = ��

Máximo Divisor Comum

O Máximo Divisor Comum (MDC)de dois ou mais números é oelemento de maior valor doconjunto dos divisores comunsdesses números.

23

Máximo Divisor ComumExemploQual é o máximo divisor comumentre os números 18 e 24?

D (18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }D (24) = { 1, 2, 3, 6, 8, 12, 24 }

Quais são os divisores comuns?

DC = { 1, 2, 3, 6 }

MDC = 6

MDC utilizando decomposição em fatores primos

24 18021263

223

1 24 = 2³ · 3

180 = 2² · 3² · 5

290 245 315 3

5

Qual é o MDC (24, 180) ?= 12

15

2² · 3

Frações equivalentes

Qual é a fração irredutível que é equivalente a ��

���?

24 ÷ 12 = 2

180÷ 12 = 15

24

180=

2

15

24

Divisão de frações

Regra práticaNuma divisão de frações,multiplicamos a primeira fraçãopelo inverso da segunda.

Divisão de frações

Exemplos:3

8÷5

4=3

8∙4

5=12

40=

3

10

�23�

�49�=

2

3∙9

4=18

12=3

2

Potenciação de frações

Regra: Elevar uma fração a umexpoente é o mesmo que elevar onumerador e o denominador aomesmo expoente.

2

3∙2

3∙2

3∙2

3=2�

3�=16

81

2

3

�

=

Exemplos:

25

Potenciação de frações

−3

4

"

= −"

�∙ −

"

�∙ −

"

�=

−4

7∙ −

4

7=

16

49

−27

64

−4

7

�

=

Exemplos:

Expoentes negativosRegra: qualquer base elevada aum expoente negativo deve serinvertida a fim de tornar oexpoente positivo

3

4

�

=9

16

−1

5

"

=−5 #" = −1

125

4

3

#�

=

Exemplos:

Radiciação de fraçõesRegra: Para extrair a raiz enésimade uma fração basta extrair a raizenésima do numerador e dodenominador.

−�

�� �

=−�

= −

�

�

��$�

=�

��$�

=�

�=�

�

−

��

�

=

Exemplos: