MATEMÁTICAENSINO MÉDIO2º ANO PROF. MÁRIO ANDRÉ

PROF. RILNER MOREIRA

REVISÃO DOS CONTEÚDOS

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Unidade IIGeometria Plana e Espacial

REVISÃO DOS CONTEÚDOS

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Aula 14ConteúdoRevisão e Avaliação

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Posições relativas de retas e planos

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Prisma é um poliedro cujas bases são duas regiões poligonais congruentes (mesma forma e mesmo tamanho) e paralelas. Suas faces laterais são regiões em forma de paralelogramo.

Base

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Base

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Base

Base

Base

Base

Base

Base

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A nomenclatura de prisma ocorre de acordo com o polígono de suas bases. Alguns exemplos:

• Prisma triangular: bases são triângulos. • Prisma quadrangular: bases são quadrados. • Prisma pentagonal: bases são pentágonos. • Prisma hexagonal: bases são hexágonos. • Prisma heptagonal: bases são heptágonos. • Prisma octogonal: bases são octógonos.

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Área total da pirâmideA área total da pirâmide é a soma da área da superfície lateral com a área da base.

Vamos calcular a área total de uma pirâmide regular quadrangular que possui as seguintes medidas: a aresta da base mede 18cm e a altura mede 12cm.

AT = ASL + AB

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Como essa pirâmide é regular, basta calcular a área de uma face lateral e multiplicar esse resultado por 4 (número de faces laterais) para obter AL. Para isso, precisamos calcular o apótema dessa pirâmide. Isso pode ser feito pelo teorema de Pitágoras:

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Área externa do cilindroDado um cilindro reto de raio r e altura h. A planificação desse cilindro mostra que ele é formado por:

• Dois círculos de raio r (bases). • Por um retângulo de medidas 2πr e h (lateral).

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Área das bases: πr² é a área do círculo. Como são duas bases iguais, a área das bases é: 2πr².Área lateral (retângulo): (2πr)h=2πrh

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Portanto, a área externa (ou total) do cilindro é:Área das bases + área lateral2πr²+2πrh2πr(r+h)A foto mostra uma lata de tinta. O diâmetro externo mede 17cm e a altura, 18,5cm. Determinar sua área lateral e área total.

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Área externa do coneConsiderando um cone reto de raio da base r, altura h e geratrizes medindo g. A planificação desse cone mostra que ele é formado por:

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• Base: um círculo de raio r. • Lateral: um setor circular de comprimento de arco 2πr e

raio g (geratriz).

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Importante: não confundir o raio da base com o raio do setor circular! No nosso exemplo, r é o raio da base e g é o raio do setor circular.

• Área da base: πr2 é a área do círculo. • Área da lateral: área de setor circular de comprimento

do arco 2πr e raio g: comprimento de arco×raio/2 = 2π r g/2=πrg

Portanto, a área externa (ou total) do cone é:Aexterna = Abase+Alateral = πr2+πrg =πr(r+g)

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Um cone circular reto tem 12cm de raio e 16cm de altura. Determinar a área lateral e a área total desse cone.

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Área da superfície esféricaA fórmula da área da superfície esférica (ou “casca” da esfera) é dada pela seguinte constatação experimental:A área da superfície esférica de uma esfera de raio r é igual à área de quatro círculos de raio r.Portanto, como a área de um círculo de raio r é πr2, a área da superfície esférica de raio r é quatro vezes πr2:Asuperficie esferica = 4πr

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ExemploUm artista plástico gostaria de colocar uma bola de isopor sobre uma de suas obras de arte, entretanto será necessário pintá-la de vermelho. Sabendo que o metro quadrado de tinta vermelha custa R$ 150,00 e que o raio dessa bola mede 1 metro, calcule o valor que será gasto por esse artista.Solução:Basta calcular a área da esfera de isopor e multiplicar o resultado pelo preço por metro quadrado da tinta para

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encontrar o valor gasto na obra.A = 4πr2

A = 4·3,14·12

A = 12,56·1A = 12,56 m2

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Poliedros • Poliedro convexo e não convexo • Elementos de um poliedro • Relação de Euler • Poliedros regulares

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Exemplo 1Determine o número de arestas de um sólido geométrico que possui 10 vértices e 7 faces.

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Prismas • Princípio de Cavalieri • Área da superfície e volume de um prisma reto

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Exemplo 2Qual é o volume de um cubo de aresta 14cm?

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Pirâmides • Volume de uma pirâmide

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Exemplo 3Uma pirâmide de base quadrangular possui altura medindo 2 metros e cada lado da base com medida igual a 3 metros. Determine o volume dessa pirâmide.

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Cilindro • Volume do cilindro

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Exemplo 4Uma lata de óleo possui as seguintes dimensões: raio da base medindo 4,5cm e altura igual a 16cm. Considerando que o conteúdo da lata seja de 900ml, calcule a parte não ocupada da lata de óleo.

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Cone • Volume do cone

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Exemplo 5Uma casquinha de sorvete possui o formato de um cone reto com altura de 10cm e raio da base medindo 5cm. Determine o volume da casquinha.

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Esfera • Volume da esfera

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Exemplo 6Uma esfera possui raio medindo 5cm. Determine o volume dessa esfera.