Matemática - cec.uchile.clpeabingenieria/comagui/Ecuaciones y... · Para trabajar con intervalos, se deﬁnirán las operaciones de conjunto unión (∪) e intersección (∩), como:

TutorialMT-b11

Matemática 2006 Tutorial Nivel Básico

Inecuaciones e intervalos

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Inecuaciones e intervalos I. Definición y Propiedades de las desigualdades numéricas

1. Definición

Los números reales poseen la propiedad de orden, es decir, en los números reales se pueden establecer una de las tres siguientes relaciones:

a > b, a < b, a = b

Donde a > b, implica por definición que (a – b) es positivo, mientras que a < b significa por definición que (a –b) es negativo. Expresándolo matemáticamente:

a > b ⇔ a - b > 0

a < b ⇔ a - b < 0

Por definición, las relaciones a > b y a < b se llaman desigualdades. Los números a y b se denominan primero y segundo miembro (o partes) de la desigualdad.

Los símbolos utilizados en una desigualdad son:

< : Menor que

> : Mayor que

≤ : Menor o igual que

≥ : Mayor o igual que

son los signos de relación de orden.

Además, una desigualdad puede ser representada gráficamente en una recta numérica ,de modo que el mayor de los números se representa por el punto que se encuentra más a la derecha:

a b

a < b





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2. Propiedades De la definición misma de desigualdad se concluye que:

1. Todo número positivo es mayor que cero. Matemáticamente:

a > 0, ∀ a ∈ IR+

2. Todo número negativo es menor que cero. Matemáticamente:

b > 0,∀ b ∈ IR -

3. Todo número positivo a es mayor que cualquier número negativo b. Matemáticamente:

a > b, ∀ a ∈ IR+ ^ ∀ b ∈ IR -

4. De dos números negativos es mayor aquel, cuyo valor absoluto sea menor. Matemáticamente:

a > b si |a| < |b|, ∀ a ∈ IR - ^ b ∈ IR -

5. Si se suma o resta una misma cantidad a los miembros de una desigualdad, resulta otra

desigualdad en el mismo sentido que la dada.

6. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una cantidad positiva,

resulta otra desigualdad del mismo sentido que la dada.

7. Propiedad de asimetría:

a > b ⇔ b < a



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8. Propiedad de transitividad:

si a > b y b > c, entonces a > c. Matemáticamente:

a > b ^ b > c ⇒ a > c

En una recta numérica:

ab

a > b

c

II. Intervalos

Un intervalo es cualquier subconjunto de los números reales.

1. Intervalo Cerrado

[a, b] = {x ∈ IR / a ≤ x ≤ b}

a b

[ ]

2. Intervalo Abierto

(a, b) =] a, b [= {x ∈ IR / a < x < b}

a b

[]





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3. Intervalo semiabierto o semicerrado

[ a, b [ = [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}

] a, b ] = (a, b] = {x ∈ IR / a < x ≤ b}

Para trabajar con intervalos, se definirán las operaciones de conjunto unión (∪) e intersección (∩), como:

A ∪ B: Es el conjunto formado por todos los elementos que están en A o que están en B.

A ∩ B: Es el conjunto formado por todos los elementos que están presentes en el conjunto A y también en B.

Finalmente, sería conveniente recordar, en primer lugar, que para resolver una inecuación (una desigualdad en donde existan incógnitas), basta con despejar la incógnita siguiendo las propiedades revisadas. En segundo lugar, debemos recordar que para resolver un sistema de inecuaciones, debemos tratar cada desigualdad como en el caso uno y luego intersectarlas.

Ejercicios:

1. Complete con los signos de relación de orden (<, >, ≤, ≥) que correspondan

a) 10 _ -10

b) -15 _ -20

c) -25 _ 0

d) - 34

_ 53

e) 0 _ -1



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2. La expresión √-x+2 NO representa un número real si:

A) x < 0

B) x ≥ 0

C) x > 2

D) x ≤ 2

E) x < -2

3. Si a > b y b > c entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I a > c II a > 0 III a = c

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

4. Una persona se encuentra a 3x - 200 < x - 50 + x kilómetros de Santiago (con “x” kilómetros). ¿A qué distancia se encuentra de Santiago?

A) A menos de 150 kilómetros

B) A exactamente 150 kilómetros

C) A más de 150 kilómetros

D) A menos de 250 kilómetros

E) A exactamente 250 kilómetros





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5. ¿Cuál de las siguientes formas gráficas corresponde a: IR - [4,+∞[ ?

-∞ 4

[ [

4 +∞

[

4 +∞

I II III

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

6. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones es igual a x ≤ 13?

I 13 ≥ x II 5x - 26 ≤ 3x - 13 + x III -2x ≥ -26

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

7. ¿Cuál es el valor de x en la siguiente inecuación x - 4 + 3x + 25 < x + 2x - 20?

A) x < 41

B) x > 41

C) x < -41

D) x > -41

E) x ≤ -41



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8. ¿Cuál es el valor de x en la siguiente inecuación -28 + 3x < 40 + 5x -20?

A) x > -24

B) x < -24

C)x > 24

D) x > -48

E) x < -48

9. Si la suma de dos números pares consecutivos es mayor a 82, ¿cuál es el menor valor posible para el número menor?

A) 20

B) 21

C) 40

D) 42

E) 44

10. El lado de un cuadrado mide x + 3.¿Cuál debe ser el valor de x para que su perímetro sea menor a 24?

A) x < 3

B) x > 3

C) x < 12

D) x < 24

E) x > 24





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11. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa al intervalo de números que se encuentran a lo más a 25 unidades del 15?

A) [40, +∞[

B) ]-∞, -10]

C) [-10,40]

D) ]-10,40[

E) ]-∞,+∞[

12. La Fuerza Aérea de Chile envía dos satélites al planeta Venus. El primero envía datos informando que la temperatura del planeta en cierta localidad es de 5x - 50 ≥ 3x + 550, mientras que el segundo satélite informa que la temperatura en la misma localidad es de 6x + 500 - x ≤ 4x + 1200. Si “x” corresponde a la temperatura en Cº y la información de ambos satélites es correcta, ¿cuál es la temperatura de Venus en la localidad analizada?

A) [300, +∞[

B) [300, 700]

C) ]300, 700[

D) ]-∞, 700]

E) 500

13. ¿Cual de los siguientes intervalos satisface la desigualdad 3x + 25 ≥ x -15?

]

-20 +∞

I II III[-20, +∞[ ]-20, +∞[

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III



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14. ¿Cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponde al intervalo solución x < 12 ?

I II III32+ x < 20 - 2xx < 12

x < 12x ≤ 12

3x + 20 < 2x + 32x < 20

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

15. La expresión 23x +

representa un número real si:

(1) x > -3

(2) x ≠ -3

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas (1) y (2).

D) Cada una por sí sola (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional





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Respuestas

Pregunta Alternativa

1 a)> b)> c)< d)< e) >

2 C3 A4 A5 A6 E7 C8 A9 D10 A11 C12 B13 D14 E15 A

Solucionario

1)

a) Aplicando la propiedad “todo número positivo a es mayor que cualquier número negativo b”, tenemos que:

10 > -10

b) Aplicando la propiedad “de 2 números negativos es mayor aquel, cuyo valor absoluto sea menor” , tenemos que:

-15 > -20



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c) Aplicado la propiedad “todo número negativo es menor que cero”, tenemos que:

-25 < 0

d) Aplicando la propiedad “todo número positivo a es mayor que cualquier número negativo b”, tenemos que:

- 34 <

53

e) Aplicando la propiedad “Todo número negativo es menor que cero”,

tenemos que:

0 > -1

2) Alternativa correcta C

La expresión √-x + 2 NO representa un número real si:

-x +2 < 0 (Restando 2 a ambos lados de la inecuación)

-x < -2 (Multiplicando por -1 e invirtiendo el sentido de la

desigualdad)

x >2





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3) Alternativa correcta A

Por transitividad si a > b y b > c , entonces a > c

Por lo tanto, la afirmación I es verdadera.

La información sólo nos permite ordenar las variables, NO determinar su valor

Por lo tanto, la afirmación II es falsa.

Sabemos que a > b > c, con lo cual a > c

Por lo tanto, la afirmación III es falsa.


3x - 200 < x -50 + x (Sumando términos semejantes)

3x - 200 < 2x -50 (Sumando 200 a ambos lados de la desigualdad)

3x < 2x + 150 (Restando 2x a ambos lados de la desigualdad)

x < 150

Por lo tanto, se encuentra a menos de 150 kilómetros de Santiago.


El intervalo IR -[4,+∞[ corresponde a todos los reales (IR), menos los valores iguales o mayores a 4 ( [4,+∞[ ). Por lo tanto, los números que satisfacen estos requerimientos son todos aquellos menores a 4, es decir, que sólo la afirmación I satisface el intervalo IR -[4,+∞[



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6) Alternativa correcta E

-Aplicando la propiedad de asimetría: a > b ⇔ b < a

Por lo tanto, x ≤ 13 es equivalente a 13 ≥ x , con lo cual la afirmación I es verdadera

-Despejando 5x - 26 ≤ 3x - 13 + x

5x - 26 ≤ 3x - 13 + x (Sumando 26 a ambos lados de la ecuación)

5x ≤ 3x + 13 + x (Restando 4x a ambos lados de la ecuación)

x ≤ 13 con lo cual la afirmación II es verdadera.

- Despejando -2x ≥ -26

-2x ≥ -26 (Dividiendo por -2 a ambos lados de la inecuación

e invirtiendo el sentido de la misma)

x ≤ 13 con lo cual la afirmación III es verdadera


x - 4 + 3x + 25 < x + 2x -20 (Sumando términos semejantes)

4x + 21 < 3x - 20 (Restando 21 a ambos lados de la ecuación)

4x < 3x - 41 (Restando 3x a ambos lados de la ecuación)

x < - 41


-28 + 3x < 40 + 5x -20 (Sumando términos semejantes)

-28 + 3x < 5x + 20 (Sumando 28 a ambos lados de la ecuación)

3x < 5x + 48 (Restando 5x a ambos lados de la ecuación)

-2x < 48 (Dividiendo por -2 ambos lados de la ecuación)

x > -24 (Observar que al multiplicar o dividir una inecuación por una cantidad negativa, en este caso -2, la inecuación cambia de sentido)





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9) Alternativa correcta D

Expresando algebraicamente la frase “la suma de dos números pares consecutivos es mayor a 82”

2x + (2x + 2) > 82 (Sumando términos semejantes)

4x + 2 > 82 (Restando 2 a ambos lados de la ecuación)

4x > 80 (Dividiendo por 4 a ambos lados de la ecuación)

x > 20

Luego, como x debe ser mayor a 20, el menor número que puede tomar x es 21, reemplazando en 2x (el número par menor), 2 ∙ 21=42


El perímetro de un cuadrado se obtiene multiplicando su lado por 4, luego el perímetro de cuadrado es 4 ∙ (x + 3) = 4x + 12

Luego, para que el perímetro sea menor a 24, se debe cumplir la desigualdad

4x + 12 < 24 (Restando 12 a ambos lados de la desigualdad)

4x < 12 (Dividiendo por 4 a ambos lados de la ecuación)

x < 3



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Para encontrar los números que estén a lo más a 25 unidades del 15 debemos despejar la inecuación: |x - 15| ≤ 25

Como es un valor absoluto, debemos asumir que

x - 15 ≤ 25 y además que:

- (x - 15) ≤ 25

Despejando x - 15 ≤ 25 (Sumando 15 a ambos lados de la desigualdad)

x ≤ 40

Despejando -(x - 15) ≤ 25 (Desarrollando el paréntesis)

-x + 15 ≤ 25 (Restando 15 a ambos lados de la desigualdad)

-x ≤ 10 (Multiplicando por -1 e invirtiendo la inecuación)

x ≥ -10

Entonces, los números que están a lo más a 25 unidades del 15, son todos aquellos mayores o iguales a -10 y menores o iguales a 40, o si se prefiere [-10,40]

12) Alternativa correcta B

5x - 50 ≥ 3x + 550 (Sumando 50 a ambos lados de la desigualdad)

5x ≥ 3x + 600 (Restando 3x a ambos lados de la desigualdad)

2x ≥ 600 (Dividiendo por 2 a ambos lados de la ecuación)

x ≥ 300

Entonces, la temperatura informada por el primer satélite es mayor o igual a 300 ºC

6x + 500 - x ≤ 4x + 1200 (Restando 4x a ambos lados de la inecuación)

x + 500 ≤ 1200 (Restando 500 a ambos lados de la inecuación)

x ≤ 700





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Entonces, la temperatura informada por el segundo satélite es menor o igual a 700 ºC

Luego, como la información de ambos satélites es correcta, debemos intersectarlas, con lo cual la temperatura de Venus en esa localidad corresponde al intervalo [300,700].

13) Alternativa correcta D

3x + 25 ≥ x - 15 (Restando 25 a ambos lados de la inecuación)

3x ≥ x - 40 (Restando x a ambos lados de la inecuación)

2x ≥ - 40 (Dividiendo por 2 ambos lados de la inecuación)

x ≥ - 20

14) Alternativa correcta E

Para descubrir qué intervalo corresponde a x < 12 , debemos despejar las inecuaciones de cada sistema e intersectarlas.

I 32 + x < 20 - 2x (Restando 32 a ambos lados de la inecuación)

x < -12 - 2x (Sumando 2x a ambos lados de la inecuación)

3x < -12 (Dividiendo por 3)

x < -4

Finalmente, intersectando x < -4 y x < 12 el resultado es: x < -4

Con lo cual la afirmación I NO corresponde al intervalo x < 12

II En este caso las inecuaciones ya están despejadas y sólo debemos intersectarlas

Luego intersectando x < 12 y x ≤ 12 el resultado es x < 12

Con lo cual la afirmación II corresponde al intervalo x < 12

III 3x + 20 < 2x + 32 (Restando 20 a ambos lados de la inecuación)

3x < 2x + 12 (Restando 2x a ambos lados de la inecuación)

x < 12



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Luego intersectando x < 12 y x < 20 el resultado es x < 12

Con lo cuál la afirmación III corresponde al intervalo x < 12


Para resolver este ejercicios debemos saber que las expresiones con denominador cero NO pertenecen a los reales y además para que la expresión pertenezca a los reales, por propiedad de raíces x + 3 ≥ 0 , luego:

x + 3 ≠ 0 ^ x + 3 ≥ 0 o si se prefiere: x + 3 > 0

x + 3 > 0 (Restando 3 a ambos lados de la desigualdad)

x > -3

Por lo tanto, la alternativa (1) por sí sola permite resolver el problema.





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