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12
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Função: construção de gráfi cos e tipos de funções.
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfi co
Ivana Lima
Diagramação
Ivana LimaJosé Antônio Bezerra JúniorMariana Araújo de BritoVitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração
Adauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin
Revisão Tipográfi ca
Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional
Janio Gustavo BarbosaLuciane Almeida Mascarenhas de AndradeJeremias Alves A. SilvaMargareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você verá
por aqui...
Objetivo
1
Matemática A12
... um estudo sobre funções – com maior enfoque para a construção de gráfi cos e análise destes, observando algumas características de cada tipo de função abordado – como determinar a função inversa de uma função dada e como determinar a função composta de duas funções e outras operações com funções.
Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e de algumas atividades com questões subjetivas. Apresentamos também, ao fi nal de todo o conteúdo, uma lista de exercícios com questões objetivas. E, ao fi nal da aula, na seção Auto-avaliação, você encontrará mais uma oportunidade para verifi car sua aprendizagem. Sempre que for necessário, releia a aula e refaça algumas atividades.
Na seção Para consulta, você encontra um resumo do assunto estudado nesta aula, que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.
Saber construir o gráfico de uma função, a partir da determinação de alguns pontos notáveis nesse gráfi co.
Saber classifi car funções, dada a lei de formação ou o gráfi co dessa função.
Saber identifi car o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de umafunção através da análise de seu gráfi co.
Saber utilizar adequadamente os procedimentos necessários para determinar, quando houver, a função inversa de determinada função,assim como efetuar a composição de funções ou outras operações como a soma, a diferença, o produto ou o quociente entre funções.
Remuneração, em R$, dos vendedores por volume mensal de vendas
Vendas mensais(R$)
Rem
uner
ação
men
sal
(R$)
5000
1000
500
0 x
y
2
Matemática A12
Para começo
de conversa
Em uma loja de tecidos, a remuneração dos vendedores é composta de duas partes:um salário base de R$ 500,00 e uma comissão de 10% do valor total, em reais, vendido por cada funcionário, no mês anterior.
A função que representa o valor (em R$) a ser recebido no início de cada mêspor um funcionário, segundo o valor total das vendas realizadas por ele, será
f(x) = 0, 10 · x + 500 ou f(x) =x
10+ 500 , em que x representa esse volume total de x
vendas (em R$).
Representando essa função em um gráfi co, teremos:
Gráfi co 1 – Representação da função f(x) =x
10+ 500
Para representar essa função nesse gráfi co, foi necessário determinar, primeiramente, alguns detalhes. E esses detalhes podem variar um pouco de uma função para outra.
Observe cada tipo de função aqui apresentada, suas características principais, como representar grafi camente cada uma delas e como identifi car, em cada gráfi co, qualo tipo de função representada.
(A)
y
x
(B)
y
x
(D)
y
x
(C)
y
x
Agora você pode descobrir quais gráfi cos representam funções. Passe uma régua
posicionada verticalmente em cadauma das fi guras e assinale as que
representam uma função.
3
Matemática A12
Lei de formação
A lei de formação
também defi ne o
formato do gráfi co
de uma função.
Conhecendo funções
através de seus gráfi cos
Uma função f de f A em B é uma relação emB A×B, que associa a cada variávelx emx A, um único y em y B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f:ff A→B. Estas características nos informam que uma função
pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em A×B, que sópode ser “cortada” uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.
Desafi o
Gráfi co de funções no plano cartesiano
Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação – uma lei queassocia elementos do domínio da função, a elementos do contradomínio da função. Costuma-se denotar a imagem de um elemento x por x f(ff x)x ou por y, pois é o elementoque a função f associa ao elementof x.
Na construção de gráfi cos de funções no plano cartesiano, os valores de x são xrepresentados no eixo horizontal (ou das abscissas) e f(ff x)x (ou y) no eixo vertical (oudas ordenadas). Em cada exemplo que veremos a seguir, marcaremos alguns pontos no plano cartesiano e ligar esses pontos formando o gráfi co da função.
Figura 1 – Representações em gráfi cos
Exemplo 1
4
Matemática A12
Na construção de um gráfi co no plano cartesiano, devemos seguir alguns passos. Emcada tipo de função, por causa de suas características particulares alguns detalhespodem ser acrescentados em cada um desses passos. Fique atento.
Vejamos, agora, como é feita a construção dos gráfi cos de alguns desses tipos defunção.
Função do 10 grau ou função afi m
Essa função é uma função polinomial de 11o grau, também chamadade função afi m, pois a função tem a forma f(ff x) =x ax + b, onde a ∈ℜ* e b ∈ℜ.
O valor de x para o qual x f(ff x) = 0x recebe o nome de raiz da funçãoou zero da função.
Assim, a raiz de f(ff x) =x x + 1 é x = – 1.
A função f(ff x) = x x + 1x é a função que relaciona todo o valor de x do domínio ao valor x + 1 no contradomínio.
11o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co de f(ff x) com oseixos.
•Ponto de interseção do gráfi co de f(ff x)x com o eixo dos x:
f(ff x) = 0 x ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 x
Logo (– 1; 0) é o ponto de interseção do gráfi co de f(ff x) com eixo dosx x.
•Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y:
f(0) = 0 + 1 = 1ff
Logo (0; 1) é o ponto de interseção do gráfi co da função com eixo dos y.
5
Matemática A12
2o passo: Construção da tabela de valores
x y (x; y)
– 1 0 (– 1; 0)
0 1 (0; 1)
3o passo: Construir o plano cartesiano, representar os pontos encontrados e completar o gráfi co da função.
0−1
1
f(x) = x + 1
x
y
Marcamos os dois pontos encontrados (-1;0) e (0; 1) e traçamos a reta quepassa por esses dois pontos.
Observe, no gráfico 2, que o domínio e o conjunto-imagem da função são formados por todos os números reais. Ou seja, D(f) =ff ℜ, CD(f) = ff ℜ e Im(f) = ff ℜ.
Gráfi co 2 – Função– f(ff x) =x x + 1x
Agora, veremos outras características desse tipo de função que acabamos de ver.
Características importantes de uma função afi m
•Forma geral: f(ff x) = x ax + x b, a ∈ ℜ* e b ∈ ℜ.
•Domínio, contradomínio e conjunto-imagem:
D(f) = ff ℜ, CD(f)ff = ℜ e Im(f) =ff ℜ.
6
Matemática A12
•Coefi cientes:
Coefi ciente angular: o coefi ciente a.
Coefi ciente linear: o coefi ciente b.
Quando a > 0, o gráfi co de f: ℜ➝ℜ é uma reta crescente.
Quando a < 0, o gráfi co de f: ℜ➝ℜ é uma reta decrescente.
Casos particulares de funções do primeiro grau:
Quando o coefi ciente b é igual a zero b (b = 0)b essa função recebe o nome particular de função linear e sua forma geral se resume a f(ff x)x = ax, a ∈ℜ*.
Quando a = 1a e b = 0b , a função afi m tem o formato f(ff x) =x x, que é chamada de função
identidade.
•Raiz da função ou zero da função: é o valor de x que tem imagem igual a zero. Ou seja, x
f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = − b
aé o valor da raiz da função.
Atenção! Uma função do 1o grau só tem uma raiz.
•Gráfi co da função afi m:
A construção do gráfi co de uma função do 1o grau, f(ff x) = x ax + x b, pode ser feita como vimos anteriormente no exemplo 1.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co da função com os eixos.
2o passo: Construção da tabela de pares ordenados
3o passo: Construção do plano cartesiano, representação dos pontos e esboço do gráfi co.
•Estudo do sinal de uma função afi m:
Como o gráfi co de uma função afi m corta em um ponto o eixo dos x, a função apresenta três sinais. Quando a linha que representa o gráfi co da função está abaixo do eixo dos x, a função é negativa. Quando corta o eixo dos x, é nula (ou igual a zero). Quando está acima do eixo dos x, a função é positiva.
f(x)=0f(x)>0
f(x)<0 x = −−ab
f(x) é crescente
x
y
f(x)=0 f(x)<0
f(x)>0x = −−a
b
x
y
f(x) é decrescente
7
Matemática A12
Se uma função f(ff x)x é crescente, como a função afi m representada no gráfi co 3, o estudo dos sinais de uma função afi m é o seguinte:
f(x) < 0 ⇒ x < − b
a
f(x) = 0 ⇒ x = − b
a
f(x) > 0 ⇒ x > − b
a
Observe, no gráfi co 3, cada um desses sinais.
Gráfi co 3 – Sinais de uma função afi m crescente
Se a função f(x) é decrescente, como a função afi m representada no gráfi co 4, o estudo do sinal de uma função afi m é o seguinte:
f(x) > 0 ⇒ x < − b
a
f(x) = 0 ⇒ x = − b
a
f(x) < 0 ⇒ x > − b
a
Observe no gráfi co 4, cada um desses sinais.
Gráfi co 4 – Sinais de uma função afi m decrescente–
Exemplo 2
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Matemática A12
O valor a ser cobrado pela corrida de um táxi é feita em duas partes:
•uma parte fi xa, chamada de bandeirada, ao preço de R$ 3,50;
•uma parte proporcional à quilometragem do percurso, a cada quilômetro R$ 1,70 (na bandeira 1, no horário comercial, em dias comuns).
Se um táxi faz um percurso, em um dia comum, no horário comercial, afunção que representa o valor a ser pago, em reais, é f(ff x) = (1,70)x x + 3,50x , ou f(ff x) = 1,7x + 3,5x , sendo x o número de quilômetros rodados nesse xpercurso.
A função f(ff x) = 1,7x x + 3,5x é uma função afi m.
Temos D(f) =ff ℜ, CD(f) = ff ℜ e Im(f) =ff ℜ. Na função f(ff x) = (1,7)x x + 3,5,x o coefi ciente angular é 1,7 e o coefi ciente linear é 3,5.
Observe os passos para a construção do gráfi co de f(ff x) = 1,7x x + 3,5x .
1º passo: Determinar alguns pontos do gráfi co.
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos x: f(ff x)x = 0 ⇒ 1,7x + 3,5 = 0
⇒ x = −3517 (raiz da função). O ponto de interseção da linha que representa
a função com o eixo horizontal é(−35
17; 0
).
Interseção do gráfi co a função com o eixo dos y:
f(0) = 1,70ff ⋅ 0 + 3,50 ⇒ f(0) = 3,50ff .
O ponto de interseção do gráfi co de f(x) com o eixo vertical é (0; 3,50).
Observe o exemplo a seguir.
Gráfi co 5 – Representação da função f(ff x) = 1,7x x + 3,5x
9
Matemática A12
2º passo: Construir a tabela dos pares ordenados a serem representados no plano cartesiano.
x y (x; y)
−3517 0
(−35
17; 0
)
0 3,5 (0; 3,50)
3º passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar o gráfi co.
O gráfi co 5 representa a função f(ff x) = 1,7x + 3,5.x
Para a função f(ff x) = 1,7x x + 3,5x , podemos fazer o seguinte estudo de sinais:
f(ff x) x < 0 ⇒ x < −3517
ou x < – 2,059
f(ff x) x = 0 ⇒ x = −3517
f(ff x) x > 0 ⇒ x > −3517
f(x)=0 f(x)>0
f(x)<0
0
−1
−1−2−3−4
1
2
33
x
y
1Praticando...
10
Matemática A12
1. Considerando a função f(ff x) = – 4x x + 1,x determine
(I) o coefi ciente angular e o coefi ciente linear;
(II) se a função é crescente ou decrescente;
(III) a imagem de x = – 2 e dex x = 3x .
2. Determine a função cujo gráfi co é uma reta, defi nida pela função f(ff x) = xax +x b e sabendo queb f(1) = 3 e ff f(–2) = 0ff , determine a imagem de x = 5x .
3. A comissão de um vendedor na Loja Venha Comprar é determinada por duas partes. A primeira (que é fi xa) é o salário de R$ 500,00. A segunda é uma porcentagem de 20% do valor total, em reais, vendido por mês.
Responda:
(I) Qual é a função que representa o valor recebido por esse funcionárioao fi nal do mês?
(II) Quanto receberá no mês em que vendeu R$ 20.000,00 de mercadoria?
(III) Quanto é preciso vender, para receber R$ 3.200,00, em certo mês?
4. Em cada uma das funções do 1º grau a seguir, esboce o gráfi co,classifi que-as em crescente ou decrescente e analise os sinais decada uma.
a) f(ff x) = 1 – 3x x. b) f(ff x) = – 1 + 2x x.
Responda aqui
11
Matemática A12
0−1 1 2 3 44 5−2−3−4−5
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5y
Gráfi co 6 – Função f(ff x) =x – 2
Exemplo 3
12
Matemática A12
A função f(ff x) = – 2x é uma função que relaciona todo valor x do domínio comxo valor do contradomínio y = – 2.y
Essa é uma função constante, pois tem a forma f(ff x) =x b, onde b∈ℜ.Seu gráfi co é uma reta paralela ao eixo horizontal.
1o passo: Nesse caso não há interseção do gráfi co da função com o eixo dos x, somente com o eixo dos y que é o pontoy (0; – 2).
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfi co.
x y (x; y)
– 1 – 2 (– 1; – 2)
0 – 2 (0; – 2)
4 – 2 (4; – 2)
O gráfi co é uma reta que corta o eixo vertical em y = – 2. Acrescentaremos mais dois pares ordenados na tabela de pontos que serão representados no gráfi co.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar ográfi co.
Esse gráfi co é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
A lei de formação da função é f(ff x) =x – 2, ou seja, na forma f(ff x)x = b, sendo b um número real.b
Se b > 0 ⇒ o gráfi co de f(ff x)x passa acima do eixo dos x.
Se b = 0 ⇒ o gráfi co de f(ff x)x coincide com o eixo dos x.
Se b < 0 ⇒ o gráfi co de f(ff x)x passa abaixodo eixo dos x, como ocorre com o gráfi coda função f(ff x)x = – 2, no exemplo 3.
Exemplo 4
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Matemática A12
A função f(ff x)x = x2xx é a função que relaciona todo o valor de x do conjunto domínio ao valor de seu quadrado (x2xx ) no contradomínio.
Essa é uma função do 2º grau ou função quadrática, cujo gráfi co é uma parábola. Toda função com a forma f(ff x)x = ax2xx + bx + c, em quea ∈ℜ∗, b ∈ℜ e c ∈ℜ é uma função quadrática.
1o passo: Pontos nas interseções do gráfi co def(ff x)x com os eixos.
Interseção de f(ff x)x com o eixo dos x: f(ff x)x = 0 ⇒x2xx = 0 ⇒ x = 0 O pontoserá (0; 0).
Interseção de f(ff x)x com o eixo dos y: f(0) = 0ff 2 = 0 O ponto será (0; 0).
Observe que o ponto de interseção da função f(ff x) com o eixo dos x é o xmesmo que o ponto da interseção da função f(ff x) com o eixo dos y. Issoocorre quando a função quadrática tem os coefi cientes b eb c iguais a zero.c
Devemos, nesse caso, determinar outros pontos com x menores e maiores quexo x do ponto da interseção do gráfi co da função com os eixos dosx x e dosx y.
2o passo: Construir tabela dos pontos a serem marcados no gráfi co.
Foram inseridos outros valores de x, além dos encontrados para os pontosde interseção do gráfi co da função com os eixos no passo anterior e calculados os valores de y correspondentes.y
3o passo: Construir o plano cartesiano, e representar os pontos encontrados no passo anterior e completar o gráfi co da função.
x y (x; y)
4 (– 2; 4)
– 1 1 (– 1; 1)
0 0 (0; 0)
1 1 (1; 1)
2 4 (2; 4)
0−1 1 2−2−3
−1
11
2
3
44
x
y
Gráfi co 7 – Função– f(ff x) = x x2xx
14
Matemática A12
Observe que, no gráfi co, o conjunto domínio é formado por todos os números reais,mas o conjunto-imagem é formado pelos números reais não negativos. Ou seja,D(f)ff = ℜ, CD(f)ff = ℜ e Im(f)ff = ℜ
+.
Agora, vamos conhecer as características principais de uma função quadrática.
Função quadrática
Uma função quadrática tem a forma f(ff x) =x ax2xx + bx + c, onde a ∈ℜ*, b ∈ℜ e c ∈ℜsão chamados de coefi cientes.
O gráfi co de uma função quadrática é uma curva chamada de parábola, que temconcavidade voltada para cima, quando a > 0, ou tem sua concavidade voltada para
baixo, quando a < 0.
Na função f(ff x) = x x2xx – 4x + 3x , a parábola tem sua concavidade voltada para cima, poisa > 0. Na função g(x) = – x x2xx + 4x + 3, a parábola tem sua concavidade voltada para
baixo, pois a < 0.
Pontos notáveis do gráfi co
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
15
Matemática A12
Exemplo 5
Já vimos que raiz ou zero de uma função é o valor de x para o qual x f(ff x) = 0. Assim,
f(x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒ x′ =−b +
√Δ
2ae x′′ =
−b −√Δ
2asão as raízes da
função, sendo Δ = b2 – 4ac chamado de discriminante.
Se Δ > 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfi co da função corta o eixo horizontal em dois pontos.
Se Δ = 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfi co da função toca o eixo em apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola).
Se Δ > 0 ⇒ A função não tem raízes reais. O gráfi co da função não corta o eixo horizontal.
II. Vértice da parábola
O vértice V da parábola é mais um ponto notável do gráfi co, pois é em torno dele que Vocorre a simetria dessa curva.
As coordenadas do vértice são:
(xV ; yV ) =(− b
2a; −Δ
4a
)
III. Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y
É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0))ff .
Vejamos mais um exemplo com gráfi co de função quadrática.
Esboce o gráfi co da função f(ff x) = 2x x2xx – 3x + 1x , determinando também: (I) as raízes; (II) as coordenadas do vértice; (III) se a ordenada do vértice é valor mínimo ou valor máximo da função; (IV) a interseção da curva que representa f(ff x)x com o eixo vertical.
1o passo: Pontos notáveis do gráfi co
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
É o valor de x para o qual x f(ff x) = 0x . Assim, f(ff x) = 0x ⇒ 2x2xx – 3x + 1 = 0x .
16
Matemática A12
⇒ x′ =3 +
√Δ
4e x′′ =
3 −√Δ
4são as raízes da função, onde o
discriminante é Δ = (–3)2 –4⋅2⋅1 = 9 – 8 = 1. Ou seja, as raízes são:
x′ =3 +
√1
4⇒ x′ =
3 + 14
⇒ x′ =44
⇒ x′ = 1. Ponto A: (1; 0).
x′′ =3 −√
14
⇒ x′′ =3 − 1
4⇒ x′′ =
24
⇒ x′′ =12 . Ponto B:
(12; 0
).
Veja que Δ > 0. Signifi ca dizer que a função tem duas raízes reais e diferentes,
que são x'= 1 e x′′ =12
. O gráfi co da função corta o eixo horizontal nos
pontos A e B.
0−1 1 2
−0,5
1
0,5
22
3
4
1,55
2,5
3,5
4,5
x
y
Gráfi co 8 – Representação da função f(ff x) = 2x x2xx – 3x + 1x
II. Vértice da parábola
As coordenadas do vértice são: (xV ; yV ) =(
34; −1
8
)
III. Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y
17
Matemática A12
É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0))ff .
f(ff 0) = 2⋅02 – 3⋅0 +1⇒f(0) = 1ff . Ponto de interseção: (0; 1).
2o passo: Construção do gráfi co (v. Gráfi co 8).
3o passo: Conjunto-imagem de f(ff x)x :
Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o Conjunto-imagem é formado por todos os valores de y maiores ou iguais aoy yv, ou seja,
lm(f) ={
y ∈ � | y ≥ −18
}
4o passo: Estudo dos sinais da função quadrática f(ff x) = 2x x2xx – 3x + 1x
f(ff x) x > 0 ⇒ x < 0,5 ou x > 1
f(ff x)x = 0 ⇒ x = 0,5 x ou x = 1
f(ff x)x < 0 ⇒ 0,5 < x < 1
Exemplo 6
Observe o gráfi co da função para compreender o estudo dos sinais dessa função.
A função f(ff x) = x |x+1xx | é a função que relaciona cada valor x do domínio com xo valor do módulo de x + 1x no contradomínio.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co da função com oseixos dos x e dos x y
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos x:
f(ff x) = 0x ⇒ |x+1xx | = 0 ⇒x + 1 = 0 ou – (x+1) = 0xx
x + 1 = 0 x ⇒ x = – 1 x ou – (x+1) = 0 xx ⇒ – x – 1 = 0 x ⇒ – x = 1x ⇒ x = –1x
Módulo
Essa é uma
função modular,
pois é uma função
que associa cada
x do domínio xcom o módulo
uma expressão
algébrica.
0−1 1 2−2−3−4
−1
1
2
y
x
18
Matemática A12
O ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos x será x (– 1; 0).
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos y:
f(0) = ff |0 + 1| ⇒f(0) =ff |1| ⇒ f(0)ff = |1| ⇒f(0) = 1ff .
O ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y será (0; 1).
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfi co.
x y (x; y)
– 2 1 (– 2; 1)
– 1 0 (– 1; 1)
0 1 (0; 1)
1 2 (1; 2)
Foram acrescentados dois outros valores de x, um menor e outro maior que os determinados no passo anterior, e calculados os valores de ycorrespondentes.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabelaconstruída no passo anterior e completar o gráfi co.
Como a expressão que está em módulo é uma função do 1º grau, o gráfi co dessa função modular é um conjunto de segmentos de retas.
Observe o gráfi co 9 e verá que a função tem os seguintes sinais:
f(ff x) = 0 x ⇒ x = –1x
f(ff x)x > 0 ⇒ x ≠ –1
Gráfi co 9 – Função– f(ff x) =x |x + 1x |
19
Matemática A12
Exemplo 7
Esboce o gráfi co de g(x) = x |2x2xx – 3x +1x | e faça o estudo do sinal da função.
Para fazer o gráfi co da função modular g(x) =x |2x2xx – 3x +1x |, é preciso calcular as raízes da função que está em módulo.
Nesta aula, já calculamos estas raízes, no exemplo 5.
x′ =3 +
√1
4⇒ x′ =
44
⇒ x′ = 1 .
x′′ =3 −√
14
⇒ x′′ =24
⇒ x′′ =12 .
Pontos de interseção do gráfi co da função com o eixo dos x: A (1; 0) e
B(
12; 0
).
0−1 1 2
1
0,5
2
3
1,5
2,5
x
y
Gráfi co 10 – Representação da função– g(x) =x |2x2xx – 3x + 1x |
Como se trata do módulo de uma função quadrática, o gráfi co é derivado de uma parábola, porém a função apresenta somente valores positivos ou nulos.
Compare o gráfi co 10 com gráfi co 8 e observe as diferenças entre eles. Veja que os sinais das imagens entre as raízes na função g(x)x são positivos.
O estudo de sinais da função, representada no gráfi co 10, é o seguinte:
f(x) = 0 ⇒ x =12
ou x = 1
f(x) > 0 ⇒ x �= 12
ou x �= 1
Exemplo 8
20
Matemática A12
Para saber mais sobre os assuntos tratados nesta aula, você podeconsultar os livros indicados na seção Referências ou na seção Leiturascomplementares.
Outras características das funções modulares
Uma função f(ff x) =x |x| pode ser apresentada sob a forma
f(x) =
{x, se x ≥ 0−x, se x ≤ 0
é chamada de função modular.
Note que D(f) =ff ℜ e Im(f) = ff ℜ+*.
Uma função f(ff x) = x |g(x)x |, terá também D(f) = ff ℜ e Im(f) =ff ℜ+, porém uma
função h(x) = – x | g(x)x |, terá D(f) =ff ℜ e Im(f)ff = ℜ–.
A função f(ff x) = 2x x é a função que relaciona cada valor x x do domínio com o xvalor de 2x no contradomínio. Essa é uma função exponencial.x
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co da função com os eixos dos x e dos x y.
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos x:
f(ff x) = 0x ⇒ 2x = 0 ⇒ ∄ × ∈ℜ| 2x = 0 ⇒ Não há ponto de interseção do gráfi coda função com o eixo dos x.
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos y:
f(0) = 2ff 0 = 1. O ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y seráy (0; 1).
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Matemática A12
x y (x; y)
14
(−2;
14
)
12
(−1;
12
)
1 (0; – 2)
1 2 (1; – 2)
2 4 (2; 4)
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem representados no gráfi co.
Foram incluídos outros valores de x e calculados os valores dex ycorrespondentes.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabelaconstruída no passo anterior e completar o gráfi co.
O gráfi co dessa função é uma curva que não toca o eixo dos x.
Quanto menor o valor de x, menor será a imagem encontrada, ou seja, mais próximo o gráfi co da função se encontra do eixo horizontal, sem nunca tocá-lo, entretanto.
0−1 1 2−2−3
−1
1
2
3
4
x
y
Gráfi co 11 – Função f(ff x) = 2x x
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Matemática A12
Características de uma função exponencial
Chama-se de função exponencial a toda função do tipo f(ff x) = ax, defi nida para todox ∈ℜ, com a > 0 e a ≠ 1.
A curva de uma função f(ff x)x = ax passa pelo ponto x (0; 1).
D(f) = ff ℜ; CD(f) = ff ℜ e Im(f) =ff ℜ+*.
A função é crescente para a > a 1.
A função é decrescente para 0 < a <1.
Exemplo 9
2Praticando...
As funções f(ff x) = 2x x + 1x e g(x) = x(
12
)xsão exemplos de funções exponenciais.
A função f(ff x)x é uma função crescente e g(x)x é uma função decrescente.
1. Esboce o gráfi co, faça o estudo do sinal e descreva o domínio e oconjunto-imagem de cada uma das funções:
a) f(ff x) = 3,5x .
b) f(ff x) = – 1,25.x
c) f(ff x) =x 3x 2 – 6x + 3.x
d) f(ff x) =x 2 – 5x 2.
e) f(ff x) =x |2x – 5x |.
f) f(ff x) =x – |– x – 4x |.
g) f(ff x) =x 3x – 1x .
h) .f(x) =(
13
)x
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Matemática A12
Responda aqui
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Matemática A12
Outras características
das funções
Outras características e propriedades das funções são importantes. Ve jamos algumas.
Funções injetoras, bijetoras e sobrejetoras
Uma função f:ff AB é B injetora se quaisquer dois elementos distintos de A (x1
xx e x2
xx )
sempre possuam imagens distintas em B (respectivamente, f(ff x1) e f(ff x
2xx )). Isto é:
se x1
xx ≠ x2
xx ⇒ f(ff x1
xx ) ≠ f(ff x2
xx ).
No gráfi co de uma função, para verifi car se ela é injetora, basta que passe linhashorizontais (que podem ser imaginárias) sobre a linha que representa a função. Se cadauma dessas linhas só cortar o gráfi co da função em um ponto de cada vez, signifi ca quea função é injetora. Veja alguns exemplos.
Exemplo 10
Olhe o gráfi co 12, que representa a função f:ff ℜ➝ℜ defi nida por f(ff x) = 3x x + 5x . Essa função é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes parax, obtemos dois valores diferentes para f(ff x)x .
0−1−2−3 1 2
−1
1
22
3
4
5
6
7
8
x
y
Gráfi co 12 – Representação da função f(ff x) = 3x xx + 5
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Matemática A12
Exemplo 11
x y (x; y)
– 2 – 1 (– 2; – 1)
−53 0
(−5
3; 0
)
– 1 2 (– 1; 2)
0 5 (0; 5)
Se você passar linhas horizontais, cada uma dessas linhas cortará o gráfi co da função em apenas um ponto de cada vez. Logo, essa função é injetora.
A função f:ff ℜ➝ℜ defi nida por f(ff x) =x x2xx – 2 não é injetora, pois:
f(1) = – 1ff e f(–1) = – 1.ff
Ou seja, para valores diferentes do domínio apresentam a mesma imagem.
No gráfi co dessa função , ao passar linhas paralelas ao eixo dos x, você verá que algumas dessas linhas cortarão o gráfi co em mais de um ponto de cada vez. Logo, essa função não é injetora.
Gráfi co 13 – Representação da função quadrática – f(ff x) = x x2 xx – 2
−3
0 2−2
−2
−4
−1
1
2
y
x
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Matemática A12
Exemplo 13
Uma função f:ff AB éB sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos Bum elemento de A, ou seja, para todo y ∈ B existeB x ∈ A tal que y = f(ff x)x . Isto equivalea afi rmar que o conjunto-imagem da função deve ser exatamente igual ao contradomínio dessa função, ou seja, Im(f) = ff CD(f).ff
A função f:ff ℜ→ℜ dada por f(ff x) = 2x é in jetora e sobrejetora. Logo, é bijetora.
Exemplo 12
A função f:ff ℜ→ℜ, f(ff x) = 3x x + 2x é sobrejetora, pois CD(f)ff = Im(f)ff = ℜ.
A função f:ff ℜ→ℜ+, f(ff x)x = x2xx é sobrejetora, pois seu CD(f)ff = Im(f) =ff ℜ+.
A função f:ff ℜ→ℜ defi nida por f(ff x) = 2x não é sobrejetora, pois existem x
elementos do contradomínio ℜ que não fazem parte do conjunto-imagem.Ou seja, Im(f)ff ≠ CD(f)ff .
Bijetora
Quando uma
função é ao
mesmo tempo
injetora e
sobrejetora,
dizemos que ela é
bijetora.
Função crescente ou função decrescente
Uma função f(ff x)x é crescente se quaisquer que sejam x1
xx e x2
xx do Domínio de f, com ff x1
xx< x
2xx , tivermos f(ff x
1xx ) < f(ff x
2xx ). Isto é, conforme o valor de x aumenta, os valores dosx f(ff x)x
correspondentes também aumentam.
Uma função f éf decrescente se, para quaisquer x1
xx e x2
xx do Domínio de f, comff x1
xx < x2
xx , tivermos f(ff x
1xx ) > f(ff x
2xx ). Isto é, conforme os valores de x aumentam, os valores dos x f(ff x)x
correspondentes diminuem.
Uma função pode ser apenas crescente ou ser apenas decrescente para todo valor do domínio, mas você pode ter observado que existem funções, como as funçõesquadráticas ou as funções modulares, que são crescentes para uma parte do domínioe decrescente para outra parte. E, ainda, existem funções que nem são classifi cadascomo crescentes nem como decrescentes, como as funções constantes.
27
Matemática A12
Exemplo 14
Seja a função f:ff ℜ→ℜ defi nida por f(ff x)x = 8x + 2. Para os valores: x1
xx = 1 e x2
xx= 2, obtemos f(ff x
1xx ) = 10 e f(ff x
2xx ) = 18. Como, para quaisquer dois elementos
do domínio da função x1
xx < x2
xx implica que f(ff x1
xx ) < f(ff x2
xx ), a função f é crescentef .
Seja a função g:ℜ→ℜ defi nida por g(x) = – 8x + 2. Para x1
xx = 1 e x2
xx = 2, obtemos g(x
1xx ) = – 6 e g(x
2xx ) = – 14. Como, para quaisquer dois elementos
do domínio x1
xx < x2
xx implica que g(x1
xx ) > g(x2
xx ), a função g é decrescenteg .
3Praticando...
1. Classifi que cada uma das funções a seguir em injetora, sobrejetora oubijetora. (Você pode optar em esboçar o gráfi co ou verifi car algebricamentecada função).
a) f(ff x) = 2x x2xx – 5x
b) f(ff x) =x 3x + 5
c) f(ff x) =x 5 – 2x
d) f(ff x) =x 4x – 5x2xx
2. Indique, em cada uma das funções, para quais valores de x cada uma xdelas é uma função crescente e função decrescente.
a) f(ff x) =x 5 – 2x
b) f(ff x) =x 3x + 5x
c) f(ff x) =x 2x2xx – 5x
d) f(ff x) =x 4x – 5x2xx
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Matemática A12
Função composta
Considerando os conjuntos A, B eB C, onde existem CC f:ff A→B e B g:B→C, a função compostaCCé uma lei que relaciona diretamente os elementos do conjunto A com os do conjunto C.
Dadas as funções f:ff A→B eB g:B→C, a composta de CC f com f g, denotada por gof, é a função ffdefi nida por (gof)ff (x)x = g(f(ff x))x . A expressão gof pode ser lida como “f g composta com g f ”.Veja a representação dessa função composta na fi gura 2.
A B C
x g(f(x))g(x)f(x)
gof
Ou seja, as operações que seriam feitas com x na função x g(x)x serão feitas com f(ff x)x nafunção composta de g(f(ff x).x
Figura 2 – Representação da composição de funções
Exemplo 15
Considere as funções f(ff x) = 2x + 3 e g(x) = x – 1 e determine a funçãocomposta g(f(ff x))x .
g(f(ff x)) =x f(ff x) – 1 = (2x x + 3) – 1 = 2x x + 3 – 1 = 2x x + 2.x
Ou seja, (g(f(ff x)) = 2x x + 2.x
Observe o exemplo a seguir.
29
Matemática A12
Exemplo 16
Considere as funções f(ff x) = 2x + 3 x e g(x) = x – 1x e determine a função f(ff g(x)).x
f(ff g(x)) = 2x g(x) + 3 = 2(x x – 1) + 3 = 2x x – 2 + 3 = 2x x + 1.x
Exemplo 17
Exemplo 18
Considere as funções reais defi nidas por f(ff x) = 4x + 2x e g(x) =7x – 4.x As composições fog eg gof são possíveis e, neste caso, serãofdefi nidas por:
(fog)(x) = x f(ff g(x)) =x f(7ff x – 4) = 4(7x x – 4) + 2 = 28x x – 16 + 2 = 7x x – 14.x
(gof)(ff x) = x g(f(ff x)) =x g(4x+2) = 7(4xx x + 2) – 4 = 28x x + 14 – 4 = 28x x + 10x
Observe que, em geral, f(ff g(x)) ≠ g(f(ff x)) e que existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(ff g(x)), x f(ff f(ff x))x etc.
Consideremos as funções reais defi nidas por f(ff x) = x x2xx + 1 e g(x) =x 2x – 4.
Observe que:
A função f é a função que associa um valorf x a um valorx x2xx + 1. Logo, afunção f(ff g(x))x associa g(x)x com [g(x)]x 2 + 1. Ou seja:
30
Matemática A12
(fog) (x) = x f(ff g(x)) = x f(2x – 4) = (2x – 4)ff 2 + 1 = (4x2xx – 6x + 16) + 1 = 4x x2xx– 6x + 17x
A função g é a função que associa um valorg x a um valorx 2x – 4.x Logo, a função g(f(ff x))x associa f(ff x)x com 2 ⋅ [f[[ (ff x)] – 4.x Ou seja:
(gof) (ff x) =x g(f(ff x)) =x g(x2xx + 1) = 2(x2xx + 1) – 4 = 2x2xx + 2 – 4 = 2x2xx – 2.
A função f é a função que associa um valor f x a um valor x x2xx + 1. Logo, a função f(ff f(ff x))x associa f(ff x)x com [f[[ (ff x)]x 2 + 1. Ou seja:
(fof)(ff x) = x f(ff f(ff x)) = (x f(ff x))x 2 + 1 = (x2xx + 1)2 + 1 = (x4xx + 2x2xx + 1) + 1 = x4xx+ 2x2xx + 2
A função g é a função que associa um valorg x a um valor x 2x – 4. Logo, afunção g(g(x))x associa g(x)x com 2 ⋅ [g(x)]x – 4. Ou seja:
(gog)(x) =x g(g(x)) = 2(x g(x)) – 4 = 2(2x x – 4) – 4 = 4x x – 8 – 4 = 4x x – 12.x
Funções inversas
Dada uma função bijetora f:ff AB, a função inversa de f é a funçãof f –1: BA tal que se f(ff a) = b, então f –1(b) = a, quaisquer que sejam a ema A e b em b B. Denotamos a função inversa de f(ff x)x por f –1(x).x
Observação:
Se g = f –1(x)x é a inversa de f(ff x)x e f(ff x)x é a inversa de g = f –1(x)x , valem as relações: gof= IAI e fog = IBI , sendo IAI e IBI , respectivamente, as funções identidades nos conjuntosA e B.
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Matemática A12
Exemplo 19
Exemplo 20
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = B {2, 4, 6, 8, 10} e a função f:ff AB defi nida Bpor f(ff x)x = x + 3 e g: BA defi nida por g(x)x = x – 3.
Cálculo da função inversa:
Seja f:ff ℜ→ℜ, f(ff x) = x + 3.x Tomando y no lugar de y f(ff x), teremosy = x + 3.
Trocando x por x y (e vice-versa), temosy x = y + 3.
Isolando y, obtemos: y =y x – 3.
Assim, g(x)x = x – 3 é a função inversa de f (x) =x x + 3.x
Observe o cálculo da função inversa:
f(ff x) = x x + 1x
y =y x + 1x , substituindo x por x y (e vice-versa), temos: y x = y + 1
Isolando o valor de y, temos: y =y x – 1x
Portanto, f –1 (x) = x x – 1x
4Praticando...
1. Considerando as funções do exemplo 21, determine
a) f(ff f(ff x)) =x
b) f(ff g(x)) =
c) g(f(ff x)) =
d) g(g(x)) =x
2. Encontre o valor de f –1(3), para a função f(x) =x
3+ 5.
32
Matemática A12
Responda aqui
Operações
com funções
f e f g, podemos realizar algumas operações entre elas, entre as quais:
• Adição de funções: (f + f g) (x) =x f(ff x) + x g(x)x
•Diferença de funções: (f –f g) (x) = x f(ff x) – x g(x)x
• Produto de funções: (f ⋅g) (x) = x f(ff x)x ⋅ g(x)x
•Quociente entre funções: (
f
g
)(x) =
f(x)g(x)
, se g(x)x ≠ 0.
33
Matemática A12
Considerando f(ff x) = x2xx + 2x + 1x e g(x) = x + 1, observe as operaçõesefetuadas a seguir:
a) (f + f g) (x) = (x x2xx + 2x + 1) + (x x + 1) = x x2xx + 2x + 1 + x x + 1 = x x2xx + 3x + 2x
b) (f – f g) (x) = (x x2xx + 2x + 1) – (x x + 1) =x x2xx + 2x + 1 – x x – 1 =x x2xx + x
c) (f ⋅g) (x) = (x x2xx + 2x + 1)x ⋅ (x + 1) = (x x2xx + 2x + 1)x ⋅ (x) + (x x2xx + 2x + 1)x ⋅ 1=
= (x3xx + 2x2xx + x) + (x x2xx + 2x + 1) = x x3xx + 2x2xx + x + x x2xx + 2x + 1 = x
= x3xx + 3x2xx + 3x + 1x
d) (
f
g
)(x) =
x2 + 2x + 1x + 1
=(x + 1)2
x + 1=
(x + 1) · (x + 1)(x + 1)
= x + 1x + 1)
x + 1
+ 1 – xx
Exemplo 21
Exemplo 22
Com as funções apresentadas no exemplo 21, observe as operaçõesefetuadas:
a) (f + f f) (ff x) = (x x2xx + 2x + 1) + (x x2xx + 2x + 1) = 2x x2xx + 4x + 2x
b) 2 ⋅ [g(x)] – x f(ff x) = 2x ⋅ [x+1] – (xx x2xx + 2x + 1) = 2x x + 2 – x x2xx – 2x – 1= – x x2xx + 1.
c) [g(x)]x 2 – f(ff x) = [x x + 1]x 2 – (x2xx + 2x + 1) = x x2xx + 2x + 1 – x x2xx – 2x – 1 = 0.x
1) = x + 2x
= 2 + 2 – x2 2xx 1= – x2
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Matemática A12
5Praticando...
Responda aqui
1. Considerando as funções apresentadas no exemplo 21, efetue as seguintes operações:
a) 2 ⋅ f(ff x) – [g(x)]2 =
b)
2. Determine a inversa da função f(ff x) = 3x x – 2.x
(3 · fg
)(x) =
Se você já resolveu todas as atividades e não tem mais dúvida, resolva a lista deexercícios a seguir.
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A12
Exerc
ício
s1. Assinale a opção que apresenta uma função afi m:
a) f(ff x) = – 2.
b) f(ff x) = 16 – 3x.
c) f(ff x) = |5x + 3x |
d) f(ff x) = 4x
2. O gráfi co da função afi m f(ff x) = 5 – 4x passa pelo pontox A (2; m). O valor de m ém
a) – 3.
b) – 1. –
c) 0.
d) 2.
3. A função que apresenta como gráfi co uma reta paralela ao eixo dos x éx
a) f(ff x) = 3x x2xx – 2x + 4x
b) f(ff x) =x | – 4x + 3x |
c) f(ff x) = 5x x
d) f(ff x) = – 3x
4. A função quadrática cujo gráfi co toca o eixo dos x em apenas um ponto exé representado por uma parábola com concavidade voltada para baixo é
a) f(ff x) = 3x x2xx – 2x + 4x
b) f(ff x) = 5 – 4x2xx
c) f(ff x) = – 2x2xx
d) f(ff x) = 5x2xx
5. A função f: ℜ→ℜ, que pode ser classifi cada como bijetora é
a) f(ff x) = 3x x2xx – 2x + 4x
b) f(ff x) =x | – 4x + 3x |
d) f(ff x) = 5x x
f) f(ff x) = – 3x
6. A função f(ff x) =x ax2xx intersecta o gráfi co da função g(x) = 3x x em um pontoxde abscissa igual a 1. O valor de a éa
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.
35
MatemáticaamátMat A12
36
A12
Resposta
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MatemáticaMatemática A12
Para consulta
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Matemática A12
Nesta aula, você estudou sobre a construção de gráfi cos, a partir de alguns pontos notáveis; a classifi cação de funções, dada a lei de formação ou o gráfi co dessa função; viu como identifi car o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma função através da análise de seu gráfi co; determinar, quando existir, a função inversa de dada função; assim como efetuar a composição de funções ou outras operações como a soma, a diferença, o produto ou o quociente entre funções.
Leitura complementar
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo: Atual Editora, 2004. (Conjuntos e Funções, v 1).
Aborda de forma detalhada alguns tópicos de Matemática. No volume 1, as funções polinomiais do 1º grau e as do 2º grau são o tema da obra. No volume 2, você encontra um estudo sobre as funções exponenciais.
Gráfi co de uma função no plano cartesiano
A representação gráfi ca de uma função é uma linha no plano cartesiano que só pode ser “cortada” uma única vez por uma reta vertical qualquer.
Gráfi co de funções
Na construção de gráfi cos de funções no plano cartesiano, os valores de x são representados no eixo das abscissas e f(ff x)x ou y no eixo vertical (ou das yordenadas). Em cada função, marque alguns pontos no plano cartesiano e
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Matemática A12
ligue esses pontos formando o gráfi co da função. A lei de formação também defi ne o formato do gráfi co de uma função.
Função do 10 grau ou função afi m
Forma geral: f(ff x) =x ax + b, a ∈ℜ* e b ∈ℜ.
Raiz (ou zero) da função: é o valor de x para o qualx f(ff x) = 0x , ou seja, x = − b
a.
Pontos de interseção com os eixos: (− b
a; 0
)e (0; b), sendo a e b os
coefi cientes da função. Coefi ciente angular: a. Coefi ciente linear: b.
Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f)ff = ℜ, CD(f) =ff ℜ e Im(f)ff = ℜ.
Construção do gráfico: Em um plano cartesiano, marque os pontos de interseção da função com os eixos e ligue-os passando uma reta por eles.
Casos particulares de funções do primeiro grau:
Função linear: Quando o coefi ciente b = 0 b ⇒ f(ff x) = x ax, a ∈ℜ*.
Função identidade: Quando a = 1a e b = 0 ⇒ f(ff x) =x x.
Estudo do sinal de uma função afi m:
Se f(ff x)x é crescente, o estudo dos sinais é o seguinte:
(I) f(x) < 0 ⇒ x < − b
a; (II) f(x) = 0 ⇒ x = − b
a; e (III) f(x) > 0 ⇒ x > − b
a
Se f(x) é decrescente, o estudo dos sinais é o seguinte:
(I) f(x) > 0 ⇒ x < − b
a; (II) f(x) = 0 ⇒ x = − b
a; e (III) f(x) < 0 ⇒ x > − b
a
Função constante
Forma geral: Toda função com a forma f(ff x)x = b, onde b ∈ℜ.
Pontos de interseção do gráfi co da função com os eixos cartesianos: Só há interseção do gráfi co da função com o eixo dos y que é o ponto (0; b), onde b é o coefi ciente da função.b
39
Matemática A12
Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f) =ff ℜ, CD(f) =ff ℜ e Im(f) = ff {b}.
Construção do gráfico: em um plano cartesiano, marque os pontos deinterseção do gráfi co da função com o eixo vertical e trace uma reta paralelaao eixo horizontal que passe por ele. Quando b > 0, o gráfi co de f:ff ℜ→ℜ é umareta acima do eixo dos x. Quando b < 0, o gráfi co de f:ff ℜ→ℜ é uma reta abaixodo eixo dos x.
Estudo do sinal de uma função afi m:
Quando b > 0: f(ff x)x > 0, ∀x ∈ℜ. (Lê-se ‘para todo X real’.)X
Quando b <b 0: f(ff x)x < 0, ∀x ∈ℜ.
Função quadrática
Forma geral: Toda função com a forma f(ff x)x = ax2xx + bx + c, onde a ∈ℜ*, b ∈ℜe c ∈ℜ são seus coefi cientes. Seu gráfi co é uma curva chamada de parábola,de concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0).
Pontos notáveis do gráfi co
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
É o valor de x para o qualx f(x) = 0 ⇒ x′ =−b +
√Δ
2ae x′′ =
−b −√Δ
2asão
as raízes da função, onde Δ = b2 – 4ac é chamado de discriminante.
Se Δ > 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfi co da função corta o eixo horizontal em dois pontos.
Se Δ = 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfi co da função toca o eixo em apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola).
Se Δ > 0 ⇒ A função não tem raízes reais. O gráfi co da função não corta oeixo horizontal.
II. Vértice da parábola: V = (xV ; yV ) =(− b
2a; −Δ
4a
)
III. Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y: (0; f(0)).
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Matemática A12
Estudo dos sinais:
Função modular
Forma geral: É qualquer f(ff x)x que associa cada valor x do domínio com umaxexpressão algébrica em x que apresenta um módulo.x
Pontos notáveis: Não há uma fórmula geral para os pontos notáveis, pois a determinação dos pontos de interseção com os eixos vai depender da expressão envolvida na lei de formação da função.
Função exponencial
Forma geral: Chama-se de função exponencial a toda função do tipo f(ff x) =xax, defi nida para todo x ∈ℜ, com a >a 0 e a ≠ 1. A curva de uma função f(ff x) x= ax passa pelo pontox (0; 1). A função é crescente para a >a 1. A função é decrescente para 0 < a <a 1.
Observe o gráfi co de cada função representada de forma genéricana fi gura 4 e elabore o estudo dos sinais da função quadráticaque está estudando.
y
xx"x'
y
xx"x''
y
xx'
y
xx'
x
x
f(x) < 0 ⇒ x' < x < x"f(x) = 0 ⇒ x = x' ou x = x"f(x) > 0 ⇒ x < x' ou x > onde x' e x" sãoas raízes de f(x).
f(x) = 0, x = x'(raiz).f(x) < 0, x x'
f(x) = 0, x = x'(raiz).f(x) > 0, x x'
f(x) < 0, x ∈ �, ouseja, a função é negativapara todo x real.
f(x) > 0, x ∈ �, ouseja, a função é positivapara todo x real.
f(x) < 0 ⇒ x' < x < x"f(x) = 0 ⇒ x = x' oux = x"f(x) > 0 ⇒ x < x' ou x > x", onde x' e x" sãoas raízes de f(x).
Figura 3 – Sinais de funções quadráticas
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Matemática A12
Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem: D(f) =ff ℜ; CD(f) =ff ℜ e Im(f)ff = ℜ+*.
Outras características das funções
Função injetora: f:ff AB é B injetora, se x1
xx ≠ x2
xx (elementos de A) ⇒f(ff x1
xx ) ≠ f(ff x2
xx ).
Se no gráfi co de uma função f passamos linhas horizontais, e essa linha querepresenta f é ‘cortada’ somente em um ponto por vez, podemos afi rmar quefa função f é injetora.f
Função sobrejetora: f:ff AB éB sobrejetora se todo elemento de B é a imagemBde pelo menos um elemento de A, ou seja, para todo y ∈B existeB x ∈A tal que y =y f(ff x).x Ou seja, Im(f) = ff CD(f).ff
Função bijetora: É toda função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Função crescente: os valores de x (do Domínio dex f) aumentam e os valoresffdos f(ff x)x correspondentes também aumentam.
Função decrescente: os valores de x (do Domínio de x f) aumentam e os valoresffdos f(ff x)x correspondentes diminuem.
Função composta:
A B C
x g(f(x))g(x)f(x)
gof
As imagens da função f(ff x)x servem de elementos do domínio para a função g(x)x . Observe que, em geral, f(ff g(x))x ≠ g(f(ff x)).x
Função inversa: Dada uma função bijetora f:ff A→B, a função inversa de fé a função f –1: BA tal que se f(ff a) = b, então f –1(b) = a, quaisquer que sejam a em a A e b em b B. Denotamos a função inversa de f(ff x)x por f –1(x).x
Figura 4 – Diagrama com representação de função composta
Figura 5 – Gráfi cos
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Matemática A12
Operações com funções
Dadas as funções f e f g, podemos realizar algumas operações entre elas:
Adição de funções: (f + g) (x) =x f(ff x)x + g(x)x
Diferença de funções: (f – f g) (x) =x f(ff x) – x g(x)x
Produto de funções: (f ⋅ g) (x) =x f(ff x) x ⋅ g(x)x
Quociente entre funções:(
f
g
)(x) =
f(x)g(x)
, se g(x) �= 0.
Resposta do desafi o
São representações gráfi cas de funções as representações dos itens A e B.
Os itens C eC D não representam funções, pois cada uma das linhas verticais Dtraçadas cortam o gráfi co em mais de um ponto. Podem ser representaçõesde relações entre conjuntos, mas não de funções.
y
x
A
C D
B
y
x
y
x
y
x
Autoavaliação
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Matemática A12
1. Associe os itens da coluna da direita com os da esquerda:
a) Função afi m ( ) f(ff x) = 3x x2xx – 2x + 4x
b) Função exponencial ( ) f(ff x) = 5x x
c) Função modular ( ) f(ff x) =x 4x
d) Função quadrática ( ) f(ff x) =x – 4x + 3x
e) Função constante ( ) f(ff x) =x |– 4x + 3x |
2. O que é uma função sobrejetora? Exemplifi que com duas funções.
3. Dê exemplo de duas funções que para uma parte do seu domínio é crescente e para outra decrescente.
4. Determine a função inversa de f(x) =3 − 5x
8.
Referências
BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática: aula por aula: ensino médio. São Paulo: FTD, 2000. p. 51 - 187.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações: ensino médio. São Paulo:Ática, 2003. p. 30 - 107.
PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2003. p. 56 - 117.
PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. Ensino médio: relações e funções.2005. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm>. Acesso em: 12 out. 2008.
WIKIPÉDIA. Função . D isponíve l em: <http://pt .wik ipedia.org/wik i/Fun%C3%A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out. 2008.
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Anotações
