Matemática em Exercícios.com - Aulas online para Ensino Médio … · 2019. 2. 26. · 2 - Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se

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Índice

AULA 1 Introdução aos limites 3

AULA 2 Propriedades dos limites 5

AULA 3 Continuidade de funções 8

AULA 4 Limites infinitos 10

AULA 5 Limites quando numerador e denominador tendem a zero 12

AULA 6 Limites no infinito 13

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AULA 1

Introdução aos limites Limite de uma função

No estudo dos limites, o limite de uma função nos fornece o comportamento dessa função quando sua variável tende para um determinado valor. Não importa o que acontece com a função nesse exato valor (ela nem precisa estar definida para ele), mas sim o que acontece com valores próximos a ele. Exemplo:

Observe o gráfico da função f: R⟶R, definida por f(x) = x + 1.

Note que conforme os valores de x se aproximam de 2 tanto pela direita quanto pela esquerda, os valores de f(x) se aproximam de 3. A tabela a seguir fornece mais precisamente alguns valores f(x) para os valores de x correspondentes:

x 1,8 1,9 1,99 2,01 2,1 2,2

f(x) 2,8 2,9 2,99 3,01 3,1 3,2

Podemos tornar os valores de f(x) tão

próximos de 3 quanto quisermos, ao tornar x suficientemente próximo de 2. Portanto, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a 2 é igual a 3, e escrevemos:

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 3

De maneira geral, utilizamos a notação:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

Significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L à medida em que x se aproxima do número a, por qualquer lado, mas x ≠ a.

Limites laterais

Observe mais um exemplo:

Dada a função 𝑓(𝑥) = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3 𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 > 3

,

cujo gráfico está representado abaixo,

encontre, se existir, lim𝑥→3 𝑓(𝑥).

Veja que quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) tende a 3, significa que estamos considerando somente valores de x próximos a 3 que são menores que 3. Já quando x tende a 3 pela direita, f(x) tende a 5, porque agora consideramos somente valores de x próximos a 3 que são maiores que 3. Assim, dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende a 3 é igual a 3, e escrevemos:

lim𝑥→3−

𝑓(𝑥) = 3

Da mesma maneira, o limite à direita de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5, e escrevemos:

lim𝑥→3+

𝑓(𝑥) = 5

Esses são os chamados limites laterais. Se eles resultassem valores iguais, esse seria o limite de f(x) para x tendendo a 3, mas como eles resultaram valores diferentes, não existe o limite de f(x) quando x tende a 3. Dessa maneira, temos que:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

se e somente se

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿



EXERCÍCIO RESOLVIDO

O gráfico de uma função g é apresentado abaixo.

Com base no gráfico, encontre, caso existam, os seguintes limites:

𝑎) lim𝑥→2−

𝑔(𝑥) 𝑑) lim𝑥→5−

𝑔(𝑥)

𝑏) lim𝑥→2+

𝑔(𝑥) 𝑒) lim𝑥→5+

𝑔(𝑥)

𝑐) lim𝑥→2

𝑔(𝑥) 𝑓) lim𝑥→5

𝑔(𝑥)

EXERCÍCIOS

1 – Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se existir.

𝑎) lim𝑥→1

𝑓(𝑥) 𝑏) lim𝑥→3−

𝑓(𝑥) 𝑐) lim𝑥→3+

𝑓(𝑥)

𝑑) lim𝑥→3

𝑓(𝑥) 𝑒) 𝑓(3) 𝑓) lim𝑥→−2−

𝑓(𝑥)

𝑔) lim𝑥→−2+

𝑓(𝑥) ℎ) lim𝑥→−2

𝑓(𝑥) 𝑖) 𝑓(−2)

2 - Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se existir.

𝑎) lim𝑥→3

𝑓(𝑥) 𝑏) lim𝑥→1

𝑓(𝑥) 𝑐) lim𝑥→−3

𝑓(𝑥)

𝑑) lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) 𝑒) lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) 𝑓) lim𝑥→2

𝑓(𝑥)

3 - Determine o valor do limite, se existir, a partir do gráfico dado.



𝑎) lim𝑥→1

𝑔(𝑥) 𝑏) lim𝑥→0

𝑔(𝑥) 𝑐) lim𝑥→2

𝑔(𝑥)

𝑑) lim𝑥→−2

𝑔(𝑥) 𝑒) lim𝑥→−1−

𝑔(𝑥) 𝑓) lim𝑥→−1

𝑔(𝑥)

4 – Dada a função

𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 2

𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2 𝑒 𝑥 ≠ −1

Represente graficamente e encontre, se existirem, os limites:

𝑎) lim𝑥→−2


𝑓(𝑥) 𝑐) lim𝑥→−1

𝑓(𝑥)

𝑑) lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) 𝑒) lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) 𝑓) lim𝑥→2

𝑓(𝑥)

5 - Esboçe o gráfico de um exemplo de uma

função f que satisfaça a todas as condições dadas.

lim𝑥→3+ 𝑓(𝑥) = 4, lim𝑥→3− 𝑓(𝑥) = 2, lim𝑥→−2 𝑓(𝑥) = 2, 𝑓(3) = 3 e 𝑓(−2) = 1.

GABARITO

1) a) 3 b) 2 c) –2 d) Não existe e) 1 f) –1 g) –1 h) –1 i) –3 2) a) 2 b) –1 c) 1 d) 1 e) 2 f) Não existe 3) a) 0 b) Não existe c) 1 d) 0 e) 1 f) Não existe 4)

a) 5 b) 1 c) 2 d) 5 e) 3 f) Não existe

5)

ANOTAÇÕES



AULA 2

Propriedades dos limites

Na aula anterior vimos o que significa o limite de uma função e observamos como encontrar os limites basicamente pelos gráficos. Veremos agora como calcular alguns limites algebricamente usando as propriedades dos limites, que vamos admitir como verdadeiras sem demonstrá-las. Propriedade da substituição direta

Se f for uma função polinomial ou racional e

a estiver no domínio de f, então:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Isso quer dizer que nas funções com essa

propriedade, para encontrar o limite da função quando x tende a a, basta calcular o valor da função quando x vale a. Exemplos:

lim𝑥→−1(2𝑥5 − 𝑥3 + 4𝑥 − 3)

= 2 ∙ (−1)5 − (−1)3 + 4(−1) − 3 = 2 ∙ (−1) − (−1) − 4 − 3 = −2 + 1 − 4 − 3

= −8

lim𝑥→2 (𝑥2+2𝑥−3

3𝑥−4)

= 22 + 2 ∙ 2 − 3

3 ∙ 2 − 4

= 4 + 4 − 3

6 − 4

= 5

2

As funções com essa característica são chamadas de contínuas em a, o que veremos melhor na aula seguinte. Mas não se preocupe em verificar se a função se encaixa ou não na propriedade, você pode sempre tentar a substituição direta, a única coisa que acontece nos casos onde ela não pode ser utilizada é chegaremos nos problemas algébricos de divisão por zero ou indeterminação 0/0. Observe um exemplo:

lim𝑥→1𝑥2−1

𝑥−1

= 12 − 1

1 − 1=

0

0

Note que a função é racional mas x tende a 1, valor que não faz parte do domínio da função, então, ela não se encaixa na propriedade, logo, fazendo a substituição direta chegamos na indeterminação 0/0. Veremos como contornar esses problemas e resolver limites assim nas aulas seguintes.

Demais propriedades

Para as demais propriedades, consideramos

as funções f(x) e g(x), definidas num domínio D,

onde lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) existem e c

é uma constante real. Assim, é válido que:

1) lim𝑥→𝑎

𝑐 = 𝑐

2) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

3) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

4) lim𝑥→𝑎

𝑐 ∙ 𝑔(𝑥) = 𝑐 ∙ lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

5) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥), lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0

6) lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)]𝑛

7) lim𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛

= √lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛


1 – Use as propriedades dos limites e os gráficos da figura abaixo para calcular os seguintes limites, se eles existirem.



𝑎) lim𝑥→−2

[𝑓(𝑥) + 5𝑔(𝑥)]

𝑏) lim𝑥→1

[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]

𝑐) lim𝑥→2

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)]

EXERCÍCIOS

1 a 5 – Calcule o limite.

1) lim𝑥→0

(5𝑥2 − 2𝑥 + 3)

2) lim𝑥→3

(𝑥2 + 2)(𝑥2 − 5𝑥)

3) lim𝑥→−1

𝑥 − 2

𝑥2 + 4𝑥 − 3

4) lim𝑥→1

(𝑥4 + 𝑥2 − 6

𝑥4 + 2𝑥 + 3)

2

5) lim𝑥→−2

(𝑡 + 1)9(𝑡2 − 1)

6 – Dado que

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 4 lim𝑥→2

𝑔(𝑥) = −2 lim𝑥→2

𝑔(𝑥) = 0

encontre, se existir, o limite.

𝑎) lim𝑥→2

[𝑓(𝑥) + 5𝑔(𝑥)]

𝑏) lim𝑥→2

[𝑔(𝑥)]3

𝑐) lim𝑥→2

√𝑓(𝑥)

𝑑) lim𝑥→2

3𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑒) lim𝑥→2

𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)

𝑓) lim𝑥→2

𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)

𝑓(𝑥)

GABARITO

1) 3 2) –66 3) 1/2 4) 4/9 5) –3 6) a) -6 b) -8 c) 2 d) -6 e) Não existe f) 0

ANOTAÇÕES



AULA 3

Continuidade de funções

Na aula anterior, vimos alguns limites que quando x tende a a podem ser encontrados apenas calculando o valor da função em a. As funções com essa propriedade são chamadas de funções contínuas em a. Veremos agora quais as condições necessárias para que uma função seja contínua em um número a.

A ideia de continuidade em funções é muito próxima da que empregamos no uso comum da palavra continuidade. Uma coisa contínua é uma coisa que acontece sem interrupções. Observe abaixo o gráfico das funções f, g e h, respectivamente:

A função f é a única que não é interrompida

para x = a, seu gráfico não tem buracos, pode ser desenhado de uma só vez, sem levantar a ponta do lápis do papel. Dizemos então que a função f é contínua para x = a. Já as funções g e h são interrompidas em x = a, existem buracos, seus gráficos não podem ser desenhados sem levantar a ponta do lápis do papel. Assim, dizemos que as funções são descontínuas em x = a, e que a é um ponto de descontinuidade dessas funções.

De maneira mais precisa, para que uma função f(x) seja contínua em número a, é necessário primeiro que f(a) exista, ou seja, que a esteja no domínio de f, é necessário ainda que o limite de f(x) quando x tende a a exista, e por fim, esse limite deve ser igual ao valor da função em a.

Assim, chegamos na definição de função contínua em um número a:

Uma função f(x) definida em um intervalo I

com a ∈ I, é dita contínua em x = a, se:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)


1 – Verifique a continuidade da função f(x) em:

𝑓(𝑥) =2𝑥 + 1

𝑥 − 2

a) x = 2; b) x = 3.



EXERCÍCIOS

1 – Observe abaixo o gráfico de uma função f.

Verifique a continuidade da função em: a) x = 1;

b) x = 2;

c) x = 3;

d) x = 5.

2 e 3 – Verifique se a função é contínua ou descontínua no número dado, justificando sua resposta.

2) 𝑓(𝑥) =𝑥 + 5

𝑥2 + 3𝑥 − 10, 𝑥 = 2

3) 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥2 − 9, 𝑥 = 5 4 - Mostre que a função

𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 37, 𝑠𝑒 𝑥 = 3

é descontínua em x = 3.

5 – Determine m ∈ R de modo que a função

𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 5𝑥 + 6, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 43𝑚, 𝑠𝑒 𝑥 = 4

seja contínua em x = 4.

GABARITO

1) a) Descontínua, f(1) não está definido. b) Contínua, para x = 2 o gráfico não é interrompido.

c) Descontínua, pois lim𝑥→3 𝑓(𝑥) ∄

d) Descontínua, pois lim𝑥→5 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5)

2) Descontínua, pois f(2) não está definido.

3) Contínua, pois lim𝑥→5 𝑓(𝑥) = 𝑓(5)

4) f(x) é descontínua em x = 3 pois 𝑓(3) = 7 e

lim𝑥→3 𝑓(𝑥) = 5, logo, lim𝑥→3 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(3)

5) m = 2/3

ANOTAÇÕES



AULA 4

Introduzimos agora nos limites o elemento

infinito, que representamos por ∞. Esse

símbolo não representa um número, assim não podemos efetuar com ele as operações que fazemos com números reais.

Limites infinitos

Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥) =1

𝑥2.

Agora, vamos encontrar lim𝑥→0 1

𝑥2. Para

resolver esse limite, não podemos utilizar a substituição direta que vimos nas aulas anteriores porque a função não está definida para x = 0, pois se x for zero, temos 1/0. Porém, o limite serve justamente para isso, não importa o que acontece com a função quando x é exatamente zero mas sim o que acontece quando x assume valores próximos a zero. Observe que quando x se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto pela direita a função cresce ilimitadamente, assim, usamos a notação:

lim𝑥→0

1

𝑥2= ∞

Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a zero, é infinito. Significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos) tornando x suficientemente próximo de zero, mas não igual a zero.

Imagine agora que precisamos encontrar

lim𝑥→0 (−1

𝑥2). Esse é um limite análogo, a

diferença é que a função decresce ilimitadamente. Da mesma maneira que o limite anterior, à medida que x se aproxima de zero, os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes, porém negativos agora. Quando dizemos que

um número é “negativo grande” estamos dizendo que ele é negativo, mas seu valor absoluto (em módulo) é grande. Esse limite é representado por:

lim𝑥→0

(−1

𝑥2) = −∞

Significa que o limite de f(x) quando x tende a zero é menos infinito, ou seja, f(x) decresce ilimitadamente quando x tende a zero. Assíntotas verticais

A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) quando uma das seguintes condições é satisfeita:

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = −∞

Ou seja, a curva se aproxima muito de sua assíntota vertical mas nunca a toca, pois a função não existe quando x é exatamente a. Em geral, o conhecimento de assíntotas verticais é muito útil no esboço de gráficos. Observe o gráfico da função abaixo:

Veja que x = a é uma assíntota vertical da

curva y = f(x), pois lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞.


Encontre, se existir,

lim𝑥→3

2𝑥

𝑥 − 3,

e indique uma assíntota vertical a essa função.



EXERCÍCIOS

1 - Para a função f cujo gráfico é mostrado, determine o seguinte:

𝑎) lim𝑥→3


𝑓(𝑥)

𝑐) lim

𝑥→−4 𝑓(𝑥) 𝑑) lim

𝑥→−9− 𝑓(𝑥)

𝑒) lim𝑥→−9+

𝑓(𝑥)

f) As equações das assíntotas verticais.

2 a 5 – Determine o limite infinito.

2) lim𝑥→0

(−2

𝑥4)

3) lim𝑥→3

1

(𝑥 − 3)8

4) lim𝑥→4+

𝑥 − 1

𝑥2 − 5𝑥 + 4

5) lim𝑥→1+

𝑥 + 1

𝑥 ∙ sen(𝜋𝑥)

GABARITO

1) a) ∞ b) −∞ c) −∞ d) ∞ e) −∞ f) x = -9, x = -4, x = 3 e x = 7 2) −∞

3) ∞

4) ∞

5) −∞

ANOTAÇÕES



AULA 5

Limites quando numerador e denominador tendem a zero

Na aula anterior vimos como resolver os limites que por meio da substituição direta resultam em um número dividido por zero, que são os limites infinitos. Nessa aula veremos como resolver os limites onde a substituição direta nos leva a zero dividido por zero, ou seja, o numerador e o denominador tendem a zero.

O cálculo desses limites se resume a simplificar a expressão, onde encontramos uma nova expressão para a função que é igual a inicial para todos os pontos onde a função está definida, assim, basta aplicar a substituição direta na expressão simplificada. Vamos aos exemplos.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 a 4 - Calcule o valor do limite.

1) lim𝑥→0

𝑥2 + 𝑥

4𝑥

2) lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1

3) lim𝑥→5

𝑥2 − 10𝑥 + 25

𝑥 − 5

4) lim𝑥→2

√𝑥 − √2

𝑥 − 2

EXERCÍCIOS

1 a 10 – Calcule o valor do limite.

1) lim𝑥→0

𝑥2 − 𝑥

𝑥

2) lim𝑥→−5

𝑥2 + 5𝑥

𝑥 + 5

3) lim𝑥→−5

𝑥2 − 25

𝑥 + 5

4) lim𝑥→−1

𝑥3 − 5𝑥2 − 6𝑥

𝑥2 − 5𝑥 − 6

5) lim𝑥→−2

𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑥 + 2

6) lim𝑥→1

𝑥2 − 2𝑥 + 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

7) lim𝑥→2

𝑥2 + 5𝑥 − 14

𝑥 − 2

8) lim𝑥→0

𝑥2 − 3𝑥 + 2

2𝑥2 − 5𝑥 + 2

9) lim𝑥→4

√𝑥 − 2

𝑥 − 4

10) lim𝑥→9

√𝑥 − 3

𝑥2 − 9𝑥

GABARITO

1) -1 2) -5 3) -10 4) -1 5) 0 6) 0 7) 9 8) 2 9) 1/4 10) 1/54

ANOTAÇÕES



AULA 6

Limites no infinito

Finalizando nosso estudo sobre os limites, a última aula traz o cálculo dos limites de funções

f(x) quando x tende a ±∞.

Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥) =1

𝑥.

Quando x tende a ±∞, f(x) tende a zero,

assim, dizemos que:

lim𝑥→∞

1

𝑥= 0 𝑒 lim

𝑥→−∞ 1

𝑥= 0

Em geral, sempre que o numerador tende a

um número e o denominador tende a ±∞, o

limite é igual a zero. Nas demais situações, precisamos fatorar e/ou simplificar a expressão para fugirmos de indeterminações envolvendo

∞. Veremos isso melhor com os exercícios

resolvidos.

Assíntotas horizontais

A reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f(x) quando:

lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Na função 𝑓(𝑥) =1

𝑥 do exemplo inicial, o

eixo x (reta y = 0) é uma assíntota horizontal da função.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) lim𝑥→∞

2𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 − 1

2) lim𝑥→−∞

2𝑥2 − 5𝑥 + 1

4𝑥2 + 3𝑥 − 7

3) lim𝑥→∞

√𝑥 + 1 − √𝑥

EXERCÍCIOS

1 a 9 – Calcule o valor do limite.

1) lim𝑥→∞

1

2𝑥 + 3

2) lim𝑥→∞

3𝑥4 − 𝑥3 + 2

3) lim𝑥→∞

𝑥2 − 𝑥

4) lim𝑥→∞

8𝑥 + 1

4𝑥 − 5

5) lim𝑥→−∞

3𝑥 + 2

𝑥2 − 5𝑥 + 6

6) lim𝑥→∞

𝑥2 + 𝑥

3 − 𝑥

7) lim𝑥→∞

6𝑥2 − 5𝑥

2𝑥2 − 5

8) lim𝑥→∞

(√9𝑥2 + 𝑥 − 3𝑥)

9) lim𝑥→∞

(√𝑥2 − 𝑥 + 1 − 𝑥)

10 – Encontre uma equação para uma função que tenha como assíntota horizontal a reta y = 2.

GABARITO

1) 0 2) ∞ 3) ∞ 4) 2 5) 0

6) −∞ 7) 3 8) 1/6 9) -1/2

10) Basta que lim𝑥→±∞ 𝑓(𝑥) = 2. Um

exemplo é 𝑓(𝑥) =8𝑥+1

4𝑥−5, como vimos no item 4.



REFERÊNCIAS

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa, vol. 3. 2a. ed. São Paulo, FTD. STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São Paulo, Cengage Learning.

ANOTAÇÕES


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