MATEMÁTICA FINANCEIRA HP E EXCEL - gtimotheo.comgtimotheo.com/Arquivos/Matematica_Fianceira_apostila_revisadaII.pdf · CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP E EXCEL Prof. Gilberto

Prof. Gilberto de Castro Timotheo Página 1

MATEMÁTICA FINANCEIRA HP E EXCEL

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP E EXCEL


Sumário Conceitos e Convenções ......................3

Conceitos ................................................3

Convenções.............................................3

Convenções aplicadas a HP e

EXCEL .....................................................4

Conhecendo a HP..................................5

Princípio de funcionamento...............6

Regimes de Capitalização ...................8

Juros Simples ........................................10

Juros compostos....................................13

Classificação das Taxas .......................14

Operações de Desconto........................18

Fluxo de Caixa Uniforme ....................24

Fluxo de Caixa Irregular.....................28

Referências.............................................31



Matemática Fianceira

Conceitos e Convenções

Conceitos

“A matemática financeira é um conjunto de técnicas e formulações matemáticas, com o objetivo de analisar situações financeiras envolvendo o valor do dinheiro no tempo. Em qualquer operação financeira, existem dois fatores-chaves: dinheiro e tempo. O objetivo da matemática financeira é analisar como os recursos financeiros se modificam ao longo do tempo.

O valor do dinheiro muda no tempo, uma vez que o possuidor do dinheiro pode aplicá-lo e obter uma taxa de remuneração pelo capital. A remuneração do capital no tempo é chamada de juros e pode ser encarada como um direito inerente ao capital. O juro é a remuneração paga a quem possui os recursos financeiros.

Entende-se por capital qualquer valor expresso em moeda e disponível para consumo ou investimento em determinada data. Neste livro, usamos "$" como símbolo de uma moeda genérica, sendo que os conceitos de matemática financeira se aplicam para qualquer moeda.

Ao se dispor a aplicar recursos, o detentor do capital espera receber uma taxa de juros, que depende de diversos fatores, entre eles o risco da operação (probabilidade de perda do capital), a inflação (desvalorização do poder aquisitivo da moeda), a liquidez do investimento (prazo) e o valor do capital aplicado. O juro é sempre proporcional ao valor do capital

aplicado (ou emprestado) e ao tempo de duração da operação financeira.

A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa de juros sempre está relacionada com uma unidade de tempo (dia, semana, mês, semestre, ano etc.). Ela pode ser indicada em forma de fração ou porcentagem do capital que a gerou.” (Silva, 2005).

Convençoes

Capital

Também denomido “Principal” é o valor inicial de qualquer operação, seja ela de financiamento ou investimento.

Juros

È o valor recebido pelo detentor do capital pela abstenção de seu uso em um período de tempo.

Prazo

Período pelo qual o capital vai permanecer aplicado ou emprestado é medido em dias, meses, anos etc.

Montante

É o volume do capital acrescido dos juros ao final de determinado período.

Amortização ou Resgate



É o valor pago do capital investido ou emprestado em parcelas ou ao vencimento da operação(prazo final).

Pagamentos ou Recebimentos

São parcelas compostas pelo juros somente ou formada pelos juros + (amortização ou resgate).

Período ou ano Comercial

Representa um perído de tempo representado por 360 dias considera-sae o mês de 30 comercial dias.

Perído ou ano civil

Representa um perído de tempo compreendido de 365 anos normais e 366 para anos bissexto, considera-se os dias efetivamente transcorridos

Convenções aplicadas a HP e Excel

Valor persente- VP - (HP - PV)

Representa o capital investido ou aplicado no momento atual.

Valor futuro – VF - (HP – FV)

Representa o capital acumulado acrescido dos respectivos juros em determinado prazo.

Prazo- n - (HP – n)

É o período de duração de um investimento ou empréstimo.

Taxa de juros - i - (HP – i)

É a razão entre os juros(pagos ou recebidos) e o capital, expressa de forma unitária(0,01) ou percentual (10% - representando a décima parte de 100 unidades)

Pagamento - PGTO - (HP – PMT)

Também chamado de prestação(recebimento ou pagamento) com valores constantes distribuídos periodicamente no período da operação

Fluxo de caixa - Fc - (HP – Cf (cash flow))

É o conunto e entradas e saidas de dinheiro (caixa) de um indivíduo ou empresa ao longo do tempo. Tem como convenção a representatividade em uma reta e os pagamentos e recebimentos representados nesta reta com sentidos contrários(para baixo e para cima)

Cf0

receb

PGTO

final



Taxa interna de retorno – TIR - (HP - IRR – internal rate of return)

É a taxa que equaliza as entradas e saídas de um fluxo de caixa

Valor presente líquido – VPL - (HP – NPV)

È o valor presente de um série de pagamentos a uma taxa mínima de atratividade deduzindo deste o investimento inicial.

Data focal – D f

È uma data compreendida dentro de um fluxo de caixa na qual queremos calcular o valor de nossas entradas e siadas (valor presente).

Conhecendo a HP

Esta tecla aciona todos os comandos grafados na cor “laranja”

Esta tecla aciona todos os comandos grafados na cor “azul”

Controle de casas decimais

Digitamos o número 49,23453,

Ex 1 – se digitarmos a tecla e o número “2” teremos:

No visor - “49,23”

Ex 2 – se digitarmos a tecla e o número “3” teremos:

No visor - “49,235”

Desta forma podemos regular as casas decimais no intervalo de 0 a 9 casas, considerando que o arredondamento segue o seguinte critério: entre 0 e 4 o arredondamento é para baixo e de 5 em diante o arredondamento é para cima.

Pontuação

Originalmente a HP 12C usa o formato “,” e “.” (ex: 2,000.32)

Para alteramos, basta desligarmos a calculadora pressionando a tecla “ on “ e em seguida presionamos a tecla “ .”, mantendo-a apertada pressionamos a tecla “ on “, soltando esta última primeiro e em seguida a tecla “ .”.

f

g

f

f



Troca de sinal

Originalmente quando teclamos um número ele assume o valor positivo, para alterarmos está condição digitamos o número e em seguida a tecla “CHS”

Príncipios de funcionamento

A HP funciona com o sistema de pilhas de armazenamento conforme abaixo:

T 0 0 0 0

Z 0 0 0 0

Y 0 5 5 0

X

visor

5 5 2 0

TC 5 2

Temos a expressão: ( 3 x 4 ) + (5 x 6)

7

Teclas de armazenamento e recuperação de dados

A HP possui duas teclas destinadas a armazenar dados durante cálculos, são elas:

“STO” - para armazenar, com possibilidade de um fluxo de 20 unidades ( de 0.1 a 9)

EX:

visor

20 STO 0.1

25 STO 0.8

12 STO 2

13 STO 9

“RCL” - para recuperar os dados armazenados na tecla “STO”

EX: recuperando os dados do exemplo anterior:

visor

RCL 0.1 20

RCL 0.8 25

RCL 2 12

RCL 9 13

T 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Z 0 0 0 0 0 12 12 0 0

Y 0 3 3 0 12 5 5 12 0 42

X 3 3 4 12 5 5 6 30 42 7 6

TC 3 4 x 5 6 x + 7 ÷

- enter

enter enter



Limpeza dos registradores

Para se limpar os registradores é necessario teclar “REG”.

e “FIN” , este procedimento

garante a exatidão do resultado da operação a ser realizada.

Para limpar o visor tecle “CLX”

Tratamento de data

A HP permite dois formatos de data:

D.MY ( dia mês ano)

Para colocar a calculadara neste modulo tecle “D.MY”, no visor

em tamanho reduzido na parte inferior direito aparecerá D.MY .

EX: A data 24.11.2007 deve ser digitada assim:

24.11207

M.DY (mês dia ano)

Para colocar a calculadara neste modulo tecle “M.DY”, no visor

em tamanho reduzido na parte inferior direito aparecerá M.DY.

EX: a data 24.11.2007 deve ser digitada conforme abaixo:

11.242007

Operações com datas

DATE

Esta tecla permite encontrar uma data futura ou passada a partir da contagem de dias.

EX: Calcule em que dia vence um título pré fixado para 265 dia a contar de 24.11.2007.

Certifique-se que no visor está D.MY

visor

24.112007

265 DATE

15.08.2008

EX: Um título foi aplicado a 210 dias atrás, como sendo hoje dia 14.11.2207, gostaria de saber qual a data da aplicação?

visor

24.112007

210 CHS

DATE

28.04.2007

g

g

enter

g

enter

g

f f



DYS

Calcula o número de dias exato entre duas datas.

EX:

visor

24.112007

28.042007

DYS

- 210

Operações algébricas

Soma 10+4 10

4 +

Subtração 10-4 10

4 -

Multilicação 10x4 10

4 x

Divisão 10x4 10

4 ÷

Potenciação 10

4

rediciação 10¼ 10

4

Operações com juros simples ou compostos

“STO” “EEX”

Ao teclarmos “STO” e em seguida “EEX” aparecerá na parte inferior diredo visor a letra “C”, isto significa que todos os cálculos são feitos a juros compostos.

Se teclarmos “STO” e em seguida

“EEX” o “C” desaparecerá do visor e então nossos cálculos estarão sendo realizados ajuros simples.

EX:

STO EEX “C” desativado

50.000,00 PV

5 i

0,5 n

FV -51.250,00

STO EEX “C” ativado

50.000,00 PV

5 i

0,5 n

FV -51.234,75

enter

g



Regimes de Capitalização

Os juros auferidos em um processo de investimento ou empréstimo, pode ser calculado através de dois regimes diferentes : Juros Simples ou Juros Compostos.

Na capitalização por juros simples o capital inicial é a base do calculo dos juros periódicos.

Na capitalização por juros compostos a base de calculo passa a ser o capital inicial acrescido dos juros dos períodos anteriores, este sistema é tambem chamado de capitalização exponencial.

Abaixo veremos as tabelas 1 e gráfico 1 - juros simples, tabela 2 e gráfico 2 – juros compostos, e um gráfico 3 mostrando a comparação entre os dois regimes.

Tabela 1. Crescimento do dinheiro a juros simples.

Ano Capital inicial PV

I% Juros ao ano

Capital final FV

1 100,00 10 10,00 110,00

2 110,00 10 10,00 120,00

3 120,00 10 10,00 130,00

4 130,00 10 10,00 140,00

5 140,00 10 10,00 150,00

O gráfico abaixo representa a tabela1.

Gráfico 1. Crescimento do dinheiro a juros simples.

Tabela 2. Crescimento do dinheiro a juros compostos.

Ano Capital inicial PV

I% Juros ao ano

Capital final FV

1 100,00 10 10,00 110,00

2 110,00 10 11,00 121,00

3 121,00 10 12,10 133,10

4 133,10 10 13,31 146,41

5 146,31 10 14,64 161,05



O gráfico abaixo representa a Tabela 2.

Gráfico 2. Crescimento do dinheiro a juros compostos.

Abaixo gráfico comparativo enre os dois regimes.

Gráfico 3. Comparativo entre os regimes de capitazação

Juros Simples

No regime de juros simples, a taxa vi insidir sempre sobre o capital inicial, não existindo cobrança sobre os juros gerados anteriormente, desta forma o juros produzido por período é constante e proporcional ao capital.

“A taxa de juros e o prazo devem estar na mesma base temporal” (Silva, 2005).

Fórmula:

Juros

Onde : Pv = capital inicial

I = taxa de juros

N = prazo

J = juros calculados

FV (capital final ou montante)

FV = PV + J

FV = PV + (PV x i x n)

FV = PV x (1 + i x n)



Exercícios resolvidos

Ex:

Determine o valor de resgate de um capital que, aplicado por seis semestres á taxa de 30% a.a., rende $60.000,00 de juros.

Solução:

i = 30% a.a

n = 6 semestres = 3 meses

juros = 60.000,00

PV = ?

FV = ?

Juros = PV x i x n

PV = = = 66.666,67

FV = PV + Juros

FV = 66.666,67 + 60.000,00 = 126.666,67

Exercícios Propostos

Obs.: Todos os exercícios assumem regime de juros simples.

1. Determinar o valor de resgate de uma aplicação de $ 45.000,00, por um pra-zo de 8 trimestres, a uma taxa de 1,5% a.m.

2. Determinar o principal que, à taxa de 2% a.s., produz juros de $ 2.000,00 ao final de 4 anos.

3. Determinar a taxa mensal de juros que faz com que um capital investido por 6 bimestres renda juros iguais à metade do valor aplicado.

4. Determinar quantos meses são necessários para quintuplicar um capital aplicado a 8% a.s.

5. Calcular os juros recebidos por um investidor ao aplicar $ 10.000,00 durante 6 meses e 10 dias, a uma taxa de 1% a.m. Obs.: Assumir o mês com 30 dias.

6. Determinar a taxa semestral de juros paga por um mutuário que tomou um financiamento de $ 20.000,00 por um prazo de 15 meses e pagou $ 5.000,00 de juros.

7. Um professor realizou um investimento no Banco "A", por um prazo de 24 meses, a uma taxa de 22% a.a. No vencimento, resgatou a aplicação e investiu todo o montante no Banco "B", a uma taxa de 25% a.a., por um prazo de 32 meses, retirando ao final um valor de $ 550.000,00. Qual foi o valor aplicado inicialmente no Banco "A"?

8. Um empresário necessitará de $ 10.000,00 no fim de 5 meses e $ 18.000,00 no final de 9 meses. Ele foi aconselhado a aplicar uma determinada quantia financeira hoje, para fazer face aos pagamentos futuros. Determinar o valor do principal necessário para que o empresário possa honrar seus dois



compromissos em suas respectivas datas, sabendo-se que o banco irá remunerar o investimento a uma taxa de 2% a.b.

9. Um indivíduo deve $ 500,00 no prazo de 8 meses e $ 1.200,00 no prazo de 18 meses. Qual é o valor do pagamento único a ser efetuado hoje que liquidaria os dois débitos, sabendo que a taxa de juros é 15% a.a.?

10. Um pai comprou por $ 20.000,00 um título de renda fixa com prazo de 36 meses à taxa de 18% a.a. Um ano depois, propôs vender o título para seu filho. Determinar o valor justo da venda, sabendo-se que a taxa de juros no mercado é 23% a.a. Caso o título seja vendido pelo valor justo, qual será a taxa anual de juros recebida pelo pai no período em que ficou com o título?

11. Uma pequena empresa contrai hoje uma dívida de $ 18.000,00 com prazo de 9 meses. A empresa planeja pagar ao credor $ 8.000,00 daqui a 6 meses para reduzir o valor do pagamento no vencimento. Caso o credor concorde em receber esse valor no sexto mês, quanto faltará a ser pago no vencimento, sã bendo que a taxa de financiamento é 3% a.t.?

12. A empresa SoDevo S.A. comprou um equipamento cujo valor a vista era $ 50.000,00. A empresa pagou 10% de entrada e concordou em financiar o restante a uma taxa de juros de 3% a.m. Se a empresa pagar ao banco $ 9.000,00 nove meses após a compra e $ 15.000,00 quinze meses após a compra, quanto precisará pagar para liquidar o financiamento dois anos depois da compra?

13. Um comerciante contrai um financiamento de $ 50.000,00 a uma taxa

de juros de 1,8% a.m. Seis meses depois, podendo dispor do mesmo capital a juros de 1,2% a.m., saldou seu débito referente ao principal e juros através de um novo financiamento a taxas mais vantajosas. Sabendo-se que o total de juros pagos nos dois financiamentos foi de $ 12.048,00, determinar o prazo do segundo financiamento e a taxa média mensal paga pelo comerciante nos dois empréstimos

“Exercicios extraidos de (Silva, 2005)”

Gabarito

1. $ 61.200,00

2. $ 12.500,00

3. 4,17% a.m.

4. 300 meses

5. $ 633,33

6. 10% a.s.

7. $ 229.166,67

8. $ 26.037,57

9. $ 1.434,14

10. $ 21.095,89 e 5,48% a.a.

11. $ 11.393,58

12. $47.417,92

13. 10 meses e 1,51% a.m.



Juros Compostos

Neste regime, a taxa incide sobre o saldo acumulado do período anterior (capital inicial + juros dos períodos anteriores), é o mais utilizado sendo a base de cálculo dos empréstimos e investimentos.

Fórmula

Juros 1º período

FV PV J PV PV x i PV x 1 i

Juros 2º período

J 2 FV1 x i PV x 1 i x i

FV2 FV1 J2 PV x 1 i PV x 1 i x i PV x 1 i ²

Este cáuculo é repetido em todos os períodos da operação , donde para um capital aplicado (PV), a uma taxa de juros i, por um prazo n, é dado por:

Exercícios Resolvidos

Determinar os juros e o valor de resgate de um empréstimo de $ 50.000,00, com taxa de juros compostos

de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. Comparar os resultados com o do Exemplo 2.1.

Solução:

PV = 50.000,00

n = 3 trimestres = 9 meses

i = 5% a.m.

Juros = ?

FV = ?

FV = PV x (1+ i)n = 50.000,00 x (l + 5%)9 = 77.566,41

mês PV Juros Mensais FV

1 50.000,00 5% x 50.000,00 = 2.500,00

52.500,00

2 52.500,00 5% x 52.500,00 = 2.625,00

55.125,00

3 55.125,00 5% x 55.125,00 = 2.756,25

57.881,25

4 57.881,25 5% x 57.881,25 = 2.894,06

60.775,31

5 60.775,31 5% x 60.775,31 = 3.038,77

63.814,08

6 63.814,08 5% x 63.814,08 = 3.190,70

67.004,78

7 67.004,78 5% x 67.004,78 = 3.350,24

70.355,02

8 70.355,02 5% x 70.355,02 = 3.517,75

73.872,77

9 73.872,77 5% x 73.872,77 = 3.693,64

77.566,41

Resolvendo pela HP



50.000 PV

9 n

5 i

FV -77.566,41


Obs.: Todos os exercícios assumem regime de juros compostos.

1. Determinar o valor de resgate de um investimento de $ 20.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 3,2% a.m., por um prazo de 4 semestres.

2. Calcular o investimento necessário para se produzir um montante de $ 43.000,00, a uma taxa de juros de 16,5% a.a., daqui a 187 dias. Fazer os cálculos considerando o ano comercial e o ano civil.

3. Determinar o prazo necessário para um capital triplicar, a uma taxa de 25% a.a.

4. Qual é a taxa semestral de juros que produz um montante de $ 79.000,00 a partir de um investimento de $ 50.000,00 no fim de 10 anos?

5. Determinar o valor hoje das seguintes obrigações: $ 3.000,00 devidos hoje, $ 5.000,00 devidos em 5 meses e $ 9.000,00 devidos em 7 meses, com juros de 3,5% a.m.

6. Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar $ 50.000,00 no final de 12 meses e $ 75.000,00 no final de 24 meses. Determinar o valor do investimento,

sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% a.t.

7. Um banco vendeu títulos de sua emissão por $ 98.500,00. O título vence em 100 dias, com valor de resgate de $ 100.000,00. Determinar a taxa anual da operação, considerando o ano civil.

8. Uma pequena empresa deseja reestruturar suas dívidas. Atualmente, ela tem três obrigações, nos valores de $ 30.000,00,

$ 50.000,00 e $ 80.000,00, com vencimentos em 50, 70 e 90 dias, respectivamente. Ela deseja trocar os três pagamentos por um único daqui a 120 dias. Determinar o valor desse pagamento, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 30% a.a. (ano comercial).

9. Um empresário comprou um veículo no valor de $ 30.000,00, dando uma entrada de $ 5.000,00, ficando com uma prestação de $ 15.000,00 para 3 meses e outra para 6 meses. Determinar o valor da última prestação, sabendo-se que a taxa de juros é 3% a.b.

10. Um aposentado comprou um certificado de depósito bancário (CDB) que paga $ 100.000,00 daqui a 182 dias. Determinar o valor de emissão, para que a taxa de juros na operação seja 17% a.a. (ano comercial).

11. Uma empresa contraiu um financiamento que deve ser liquidado com um pagamento único no final de 15 meses. A taxa de juros do banco é 3,5% a.m., desdobrada em dois componentes: (a) uma taxa de 2,5% a.m. cobrada de forma postecipada; e (b) uma taxa antecipada (em porcentagem do valor financiado), cobrada a vista e a título de tarifa de



abertura de crédito. Determinar o va-lor da taxa antecipada para que o custo total do financiamento seja 3,5% a.m.

“Exercicios extraídos de (Silva, 2005)”

Gabarito

1. $42.593,44

2. $39,720,60(ano comercial) e $39.763,79(ano civil)

3. 4,92 anos

4. 2,31% a.s.

5. $14.283,78

6. $86.660,61

7. 5,67% a.a.

8. $165.194,10

9. $11.638,14

10. $92.369,43

11. 13.55%

Classificação das taxas de juros

Taxas Proporcionais e Equivalentes

Proporcionais

Duas taxas são classificadas como proporcionais quando dadas em

períodos diferentes de tempo, produzem sobre um mesmo capital inicial o mesmo montante no final da operação a juros simples.

EX:

Taxa ao ano = 2 x taxa ao semestre=4 x taxa ao trimestre=6 x taxa ao bimestre= 12 x taxa mensal= 360 x taxa dia.

Equivalentes

Duas taxas são classificadas como proporcionais quando dadas em períodos diferentes de tempo, produzem sobre um mesmo capital inicial o mesmo montante no final da operação a juros compostos.

EX:

(1+ )= = = =

=

Ex: Determinar a taxa mensal equivalente a: (a) 6% a.t.; (b) 24% a.s.; (c) 36% a.a.

Solução:

(a) (l + it)1/3 -1 = (1 + 6%)1/3 - l =

1,96% a.m.

(b) (l + i,)1/6 - 1 = (l + 24%) 1/6 - l = 3,65% a.m.



(c) (l + ia)1/12 - 1 = (! + 36%)1/12 - l = 2,60% a.m.

Logo, as taxas equivalentes são iguais a 1,96% a.m., 3,65% a.m. e 2,60% a.m. Vale ressaltar que os valores das taxas equivalentes são inferiores aos das taxas proporcionais do Exemplo 4.3, uma vez que as taxas proporcionais (juros sim-ples) crescem mais rápido do que as taxas equivalentes (juros compostos) quando n é fracionário.

Ex: Determinar a taxa

trimestral equivalente a 2% a.b.

Solução:

(l + ib)3/2 - 1 = (1 + 2%)3/2 - l = 3,01% a.t.

Ex: Determinar a taxa diária equivalente a 25% a.a., assumindo ano civil.

Solução:

(l + i )1/365 - 1 = (1 + 25%)1/365 - l = 0,06% a.d.

Ex: Determinar a taxa diária proporcional a 25% a.a., assumindo ano civil.

0,07% a.d.

Taxas Nominais e Efetivas

Nominais

São as taxas que aparecem descritas nos contratos, enunciados, e estão representadas em um determinado perído de tempo. Se capitalizadas por este mesmo período de tempo, dizemos

100,00 CHS PV 6 i 0 PMT 1 [ENTER] 3 [/] n FV 101,96

100,00 CHS PV 24 i 0 PMT 1 [ENTER] 6 [/] n FV 103,65

100,00 CHS PV 36 !

0 PMT 1 [ENTER] 12 [/] n FV 102,60

100,00 CHS PV

2 i

0 PMT

3 [ENTER] 2 [/] n

FV 103,01



que também é efetiva comforme exemplificadas abaixo:

• 17% a.a., capitalizados anualmente;

• 12% a.s., capitalizados emestralmente;

• 5% a.t., capitalizados trimestralmente;

• 3% a.b., capitalizados bimestralmente;

• 1,5% a.m., capitalizados mensalmente

Por outro lado se taxa nominal ou a taxa apresentada no contrato, enunciado, está em uma unidade de tempo e é capitalizada em outra unidade de tempo, a taxa efetiva será aquela apresentada após o processo de capitalização, sendo assim diferente da taxa nominal.

Podemos dizer que a taxa efetiva representa aquela utilizada nos cálculos financeiros e representa o custo ou rendimento da operação.

Portanto devemos sempre transformar as taxas nominais em taxas efetivas pelo regime de juros simples e então promover a capitalização.

EX:

17% a.a., capitalizados semestralmente , taxa nominal anual.

i = = 8,5% a.s - Taxa efetiva semestral

(1 + 8,5)² - 1 = 17,72% a.a. – Taxa efetiva anual


1. Determinar as taxas mensal e trimestral proporcionais a 24% a.a.

2. Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes a 18% a.a.

3. Determinar a taxa anual equivalente a 48% a.a., capitalizados bimestralmente.

4. Determinar a taxa bimestral equivalente a 12% a.s.

5. Determinar as taxas mensal, bimestral e trimestral equivalentes a 12% a.a., capitalizados semestralmente.

6. Determinar a taxa anual (ano comercial) equivalente à taxa de 32% a.a. (ano civil).

7. Determinar o montante acumulado por um investidor que aplicou $ 80.000,00 por cinco trimestres a 21% a.a., capitalizados bimestralmente.

8. Um investidor aplicou $ 130.000,00 por dois anos a uma taxa de 18% a.a., capitalizados trimestralmente. Qual é o montante esperado ao final da aplicação?

9. Determinar o investimento necessário para produzir um montante de $ 75.000,00 ao final de 9 bimestres à taxa de 24% a.a., capitalizados mensalmente.

10. Um investidor quer resgatar $ 75.000,00 daqui a 8 meses. Qual deve ser o valor de sua aplicação hoje, sabendo-se que a taxa de juros é 18% a.a., capitalizados bimestralmente.

“Exercícios extraidos de (Silva, 2005).” ™



Gabarito

1. 2,00% a.m. e 6,00% a.t.

2. 1,39% a.m. e 4,22 a.t.

3. 58,69% a.a.

4. 3,85 a.b.

5. 0,98% a.m., 1,96% a.b. e 2,96% a.t.

6. 31,50% a.a.

7. $103.548,21

8. $184.873,08

9. $52.511,95

10. $66.636,53

Operações de Desconto

Conceito È a importância ou valor deduzidos de um título com prazo de vencimento e valor nominal definidos, para pagamento ou resgate antecipado deste título. O desconto pode ser através da incidência da taxa sobre o valor futuro do título ( desconto “por fora”) denomidado desconto comercial ou bancário, ou sobre o valor presente do título (desconto “por dentro”) também chamado de desconto recional.

Capitalização Simples

Desconto Racional

O desconto racional (desconto "por dentro") pode ser calculado no regime de juros simples, incidindo a taxa de juros sobre o valor presente. A taxa de juros (i) também é chamada de taxa de desconto racional simples. O Valor Futuro (FV), Valor Presente (PV) e Desconto (D) podem ser obtidos por meio das seguintes equações:

Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ 65.000,00, com vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto racional simples de 3% a.m.

Solução:

FV = 65.000,00 n = 8 meses i = 3% a.m. PV = ?



= 52.419,35

D = FV – PV D = 65.000,00 – 52.419,35 = 12.580,65

Desconto Comercial ou Bancário

O desconto comercial ou bancário (desconto "por fora") é calculado no regime de juros simples, multiplicando-se a taxa de desconto pelo valor futuro (ou valor nominal) e pelo prazo da operação. No desconto "por fora", a taxa de juros (i), que incide sobre o valor presente, é sempre superior à taxa de desconto (d), que incide sobre o valor futuro. O Valor Futuro (FV), o Valor Presente (PV) e o Desconto (D) podem ser obtidos por meio das seguintes equações:

D = F V x i x n

D = FV – PV

PV= FV-D

PV= F V - F V x i x n

PV = FV x (l – i x n)

Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ 65.000,00, com

vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 3% a.m. Qual é a taxa mensal de juros (desconto racional simples) implícita na operação?

Solução:

FV = 65.000,00

n = 8 meses

d = 3% a.m.

PV = ?

i = ?

D = FV x d n

D = 65.000,00 x 3% * 8

D = 15.600,00

PV = FV – D

PV = 65.000,00 – 15.600,00

PV = 49.400,00

A taxa de desconto implícita na operação é maior que os 3% nominais.

FV = PV x (1 + i x n)

65.000,00=49.400,00 x (1 + i x 8)

i = 3,95% a. m.

Capitalização Composta



Desconto Racional

O mecanismo de desconto racional ("por dentro") composto está relacionado diretamente com o tema estudado no Capítulo 3. No desconto racional com-posto, a taxa de juros ou desconto racional (i) incide sobre o Valor Presente (PV) a juros compostos. O Valor Presente de um título com prazo n pode ser calculado da seguinte forma:

D = FV – PV D = FV - D = FV x [ 1 - ]

D = FV x [ ]

Os cálculos do desconto racional composto podem ser realizados facilmente através das funções financeiras da HP-12C. PV Valor presente

n Tempo i Taxa de juros FV Valor futuro PMT Prestações

Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ 65.000,00, com vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto racional composto de 3% a.m.

Solução:

FV = 65.000,00

n = 8 meses

i = 3% a.m.

PV = ?

PV = 51.311,60

65.000,00 CHS FV

0 PMT 3 i 8 n PV 51.311, 60

Desconto Comercial ou Bancário

A maior parte das operações de desconto comercial ou bancário (desconto "por fora") é calculada no regime de juros simples. No entanto, em algumas situa-ções, pode ser utilizado o mecanismo de



desconto comercial ou bancário (desconto "por fora") a juros compostos.

No desconto "por fora" composto, a taxa de desconto (d) incide sobre o Valor Futuro (FV) a juros compostos. O Valor Presente (PV) de um título com prazo n pode ser calculado da seguinte forma:

D = FV – PV D = FV - D = FV x [1 -

Ex: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ 65.000,00, com vencimento em 8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial composto de 3% a.m. Qual é a taxa mensal de juros compostos na operação?

Solução:

FV = 65.000,00

n = 8 meses

d = 3% a.m.

PV = ?

i = ?

PV = FV x

PV= 65.000,00 x (1 - 3%)8

PV= 50.943,32

A taxa de juros (i) compostos implícita na operação é superior à taxa de desconto (d) composto de 3% a.m.

FV = PV x

65.000,00 =50.943,32x (1 + i)8

i = 3,09% a.m.

50.943,32 PV 65.000,00 CHS FV 0 PMT 8 n i 3,09

Conforme demonstra a tabela comparativa abaixo resume os exemplos anterios dês te tópico de operações com desconto considerando uma taxa nominal de 3%

Desconto Racional Simples

12.580,65

52.419,35

2,73% a.m.

Desconto Comercial Simples

15.600,00

49.400,00

3,49% a.m.

Desconto Racional Composto

13.688,40

51.311,60

3,00% a.m.

Desconto Comercial Composto

14.056,68

50.943,32

3,09% a.m.




1. Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de $ 100.000,00, com vencimento em 6 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto, sabendo-se que:

a) o banco cobra uma taxa de desconto racional simples de 2% a.m.;

b) o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 2% a.m.;

c) o banco cobra uma taxa de desconto racional composto de 2% a.m.;

d) o banco cobra uma taxa de desconto comercial composto de 2% a.m.

2. Determinar o valor antecipado e a taxa mensal de juros compostos implícita no desconto de um cheque pré-datado de $ 5.000,00, 6 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 3% a.m.

3. Uma letra de câmbio de $ 5.000,00 foi descontada, resultando na antecipação de $ 4.200,00 hoje. Determinar o vencimento do título e a taxa mensal de juros compostos, sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% a.m.

4. Uma nota promissória de $ 4.000,00, com prazo de 32 dias, foi descontada a uma taxa de desconto comercial simples de 23% a.a. Assumindo o ano comercial, determinar o valor antecipado e a taxa mensal de juros compostos implícita na operação.

5. Uma empresa ãefactoríng compra cheques pré-datados de 3 meses por 80% do valor nominal. Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples e a taxa mensal de juros compostos do financiamento.

6. Uma loja procurou um banco para descontar uma letra de câmbio de $ 85.000,00, com prazo de 134 dias. O banco exige a retenção de 10% do valor nominal a título de saldo médio, permanecendo este valor bloqueado e sem remuneração na conta da loja até a data de vencimento da letra de câmbio. Caso a loja realize a operação de desconto, poderá sacar hoje um valor líquido de $ 50.000,00. Assumindo o ano comercial, determinar a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa mensal de juros compostos da operação.

7. Determinar a taxa anual de desconto comercial simples em uma operação de desconto de um título de 98 dias, onde o valor antecipado é de 82% do valor nominal. Obs.: assumir ano civil.

8. Uma empresa tem três notas promissórias com valor nominal de $ 15.000,00 e vencimentos em 5, 8 e 10 meses. Determinar o valor recebido pela loja, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial simples de 3% a.m.

9. Uma loja desconta um cheque pré-datado de $ 3.000,00, com vencimento em dois meses, a uma taxa de desconto comercial simples de 3,5% a.m. O banco exige ainda um saldo médio de 20% do valor nominal, a ser retido durante o prazo do financiamento, o qual será remunerado a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. Determinar a taxa mensal de juros compostos do



financiamento, sem e com a retenção do saldo médio.

10. Determinar a taxa mensal de juros compostos do financiamento do exercício anterior, supondo que o banco exige, além do saldo médio, 3% do valor no-minal como despesa administrativa da operaçao.

Gabarito

1. a) $ 10.714,29 e $ 89.285,71

b) $ 12.000,00 e $ 88.000,00

c) $ 11.202,86 e $ 88.797,14

d) $ 11.415,76 e $ 88.584,24

2. $ 4.100,00 e 3,36% a.m.

3. 4 meses e 4,46% a.m.

4. $ 3.918,22 e 1,96% a.m.

5. 6,67% a.m. e 7,72% a.m.

6. 83,76% a.a. e 9,99% a.m.

7. 67,04% a.a.

8. $ 34.650,00

9. 3,70% a.m. e 4,42% a.m.

10. 6,64% a.m.



Fluxo de Caixa Uniforme

Conceito de Anuidade ou Série

Silva define como anuidade ou série um conjunto de prestações positivas(recebimentos, entradaas de caixa) ou negativas ( pagamentos, saídas de caixa), períodicas e constantes, podendo ser finitas(quando ocorrem dentro de um período determinado de tempo) ou infinita(quando ocorrem para sempre, também chamadas perpetuidades).

Anuidade Finita

PMT

0

n

PV

Anuidade Infinita

PMT .......

0

......

PV

Anuidade Postecipada

PMT

0

n

PV

Anuidade Antecipada

PMT

0

n - 1 n

PV

Anuidade diferida

PMT

0

1 2 3 n

PV

Séries Uniformes Equivalentes

Dada uma série não uniforme de pagamentos ou recebimentos, pode-se transformá-la em uma série uniforme equivalente (SUE), com a utilização de calculadora financeira.



Transformação de um valor em SUE (Série Uniforme Equivalente)

Suponha-se que um valor presente de $ 60.000 deva ser transformado em uma SUE, conhecendo-se a taxa de juros e o número de capitalização.

Na calculadora financeira: .

VP =-$60.000,00

i = 15% a.p. (ao período)

N = 4

PMT = ?

A SUE (teclaPMT) desse fluxo de caixa é de $ 21.015,92.

Transformação de desembolso de diversas data em SUE.

Agora, suponha-se que a seguinte distribuição de valores (não confundir o gráfico a seguir com o fluxo de caixa) deva ser transformada em uma SUE, com desembolso a partir do período l, mantendo-se a taxa de juros de 15% a.p.

0 1 2 3 4

40000 14000 14000 14000 48980,12

Essa distribuição de valores poderia ser representada da seguinte forma:

0 1 2 3 4

40000 14000 14000 14000 14000 3498,12 ----------- 48980,12

Uma vez que já se conhece uma parte da SUE ($14000), basta calcular as SUEs dos seguintes valores e adicioná-las à parte já conhecida. 0 4

40000 34980,12

Desembolso do período 0:

VP =-$40.000,00

i = 15%a.p.

N = 4

PMT = ?

PMT = $ 14.010,61

Desembolso do período 4:

VF = - $ 34.980,12

i = 15%a.p.

N- = 4

PMT = ?

PMT = $ 7.005,31



Assim, temos:

SUE = $ 14.000,00 + $ 14.010,61 + $ 7.005,31 = $ 35.015,92

Outra maneira de se calcular a SUE é se obter a soma dos valores presentes na data “0” das anuidades e então utilizar este valor como Pv aplicando na formula de PMT.

Fórmulas das Anuidades

FV = PMT x

PV = FV x

PMT = PV x

Para as prestações infinitas e postecipadas, teremos uma perpetuidade. Nestes casos, quando n tende ao infinito, as equações para determinar o PV e o PMT tendem para:

PV = PMT = PV x i

Ex:

Um empresário adquiriu equipamentos, com valor de $ 36.000,00, a ser pago em 36 prestações mensais e iguais, com uma taxa de juros de 1,8% a.m. Determinar o valor das prestações, caso a primeira parcela seja paga: (a) l mês após a compra; (b) a vista.

Solução:

PV = 36.000,00

FV = 0,00

n = 36 meses

i = 1,8% a.m.

PMT = ?

A ) Série Postecipada

B) Série Antecipada

[ g ] END

36.000,00 PV 1,8 i 0 FV 36 n PMT - 1.367,42




1. Uma loja contraiu um financiamento de $ 6.000,00, a ser pago em 8 presta-ções mensais e iguais de $ 1.000,00. Determinar a taxa mensal de juros do empréstimo, caso a primeira parcela seja paga: (a) l mês após a liberação dos recursos; (b) a vista.

2. Um empresário adquiriu equipamentos com valor de $ 48.000,00, a ser pago em 48 prestações mensais e iguais, com uma taxa de juros de 0,8% a.m. De-terminar o valor das prestações, caso a primeira parcela seja paga: (a) l mês após a compra; (b) a vista.

3. 3. Um investidor adquiriu um título que rende 10 prestações trimestrais iguais de $ 3.000,00, com a primeira vencendo l trimestre após a compra. Determinar o valor do investimento realizado, sabendo que a taxa de juros é de 2% a.t.

4. 4. Um pai, interessado em fazer uma poupança para seu filho, resolveu depositar mensalmente $ 500,00, durante 21 anos, com o primeiro depósito sendo efetuado daqui a um mês. Determinar o montante disponível para o filho, ao final do

período, sabendo que a taxa de juros é de 0,5% a.m.

5. 5. Determinar o valor de emissão de um título de renda fixa com valor de resgate de $ 1.000,00 e rendas anuais postecipadas de $ 80,00 até seu vencimento em 3 anos, sabendo que a taxa de juros é de 6% a.a.

6. 6. Um DVD é vendido em 6 prestações de $ 200,00, a serem pagas ao final de cada bimestre após a compra. Sendo a taxa de juros de 1% a.m., determinar o valor do aparelho a vista.

7. 7. Uma loja, realizando promoções de Natal, vende uma geladeira por $ l.000,00, em 5 parcelas mensais "sem juros" de $ 200,00, vencendo a primeira 30 dias após a compra. Determinar a taxa mensal de juros implícita na operação, sabendo que a loja oferece um desconto de 10% para pagamento a vista.

8. 8. Um lojista financiou a compra de uma máquina de $ 30.000,00, propondo-se a pagar 12 prestações mensais iguais, sendo a primeira parcela no final de 6 meses após a compra. Determinar o valor das prestações mensais, sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m.

9. 9. Um empresário tomou um financiamento de $ 75.000,00, para ser pago em 15 prestações mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de 1% a.m. Imediatamente após o nono pagamento, o empresário propôs uma renegociação ao banco, que aceitou refinanciar em 12 prestações mensais adicionais, todas do mesmo valor, a serem pagas a partir do final do décimo mês. Determinar o valor das novas prestações mensais, sabendo que a taxa de juros da operação permanece a mesma.

BEG

36.000,00 PV 1,8 I 0 FV 36 N PMT - 1.367,42



10. 10. Um operário realizou 4 depósitos iguais e sucessivos, no final de janeiro, fevereiro, março e abril. No final de julho, o total acumulado era de $ 5.000,00. Determinar o valor dos depósitos efetuados, sabendo-se que o banco lhe ofereceu uma taxa de juros de 2,5% a.m.

Gabarito

1. 6,88% a.m. e 9,20% a.m.

2. $ 1.208,20 e $ 1.198,62

3. $ 26.947,76

4. $ 251.437,06

5. $ 1.053,46

6. $ 1.119,91

7. 3,62% a.m.

8. $ 3.132,04

9. $ 2.785,35

10. $ 1.118,12

Fluxo de Caixa Irregular

Conceito

Um fluxo de caixa irregular (não uniforme) consiste em uma sequência de entradas e saídas de caixa de intensidades, sinais e periodicidades diferentes. Em um fluxo de caixa irregular, não conseguimos trabalhar direta e facilmente com as cinco funções financeiras básicas (PV, FV, PMT, i e n). A Figura 7.1 mostra a configuração de um fluxo de caixa irregular.

Para analisarmos estes fluxos o faremos através do Valor Presente Líquido ( VPL ou na HP – NPV) e a Taxa interna de Retorno (TIR ou na HP - IRR ).

Valor Presente Líquido

O valor presente líquido (VPL) ou net present value (NPV) é igual ao valor presente de todas as entradas e saídas futuras de caixa. Para um fluxo de entradas e saídas de caixa desiguais ao longo de um horizonte de tempo n, o valor presente líquido pode ser calculado através da fórmula:

VPL = + + +

+.....+

Onde:

FCo = Fluxo de caixa inicial

FCn = Fluxo de caixa no período n



i = Taxa de juros

n = Prazo

Quando o valor presente líquido é positivo, isso significa que os fluxos futu-ros de caixa trazidos e somados a valor presente superam o investimento inicial. Portanto, o fluxo de caixa agrega valor e é atrativo do ponto de vista econômi-co-financeiro.

Por outro lado, quando o valor presente líquido é negativo, os fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor presente são inferiores ao investimento inicial. Logo, o fluxo de caixa destrói valor e não deveria ser realizado.

Quando o valor presente líquido é zero, os fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor presente são exatamente iguais ao investimento inicial. Nesta si-tuação, ficamos em uma posição de indiferença para realizar ou não o investimento.

Taxa Interna de Retorno

A taxa interna de retorno (TIR) ou internal rate of return (IRR) mede a renta-bilidade do fluxo de caixa. O cálculo da TIR não é direto, uma vez que não existe uma fórmula específica. Na verdade, a TIR é a taxa de juros (i) que iguala o VPL de um fluxo de caixa a zero.

Quando o valor presente líquido é positivo, isso significa que o projeto agrega valor, ou seja, o investimento está sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) superior à taxa desejada (i).

Quando o valor presente líquido é negativo, o projeto destrói valor, pois o investimento está sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) inferior à taxa desejada (i).

Quando o valor presente líquido é zero, ficamos em uma posição de indiferença para fazer ou não o projeto, pois o investimento está sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) igual à taxa desejada (i).

VPL TIR Decisão

> 0 > i Fazer

= 0 = i indiferente

< 0 < i Não fazer

Teclas utlizadas para as operações de fluxo de caixa

[f]NPV Valor presente líquido

[f] IRR Taxa interna de retorno tg] CF0 Fluxo de caixa no tempo 0 [g] CF, Fluxo de caixa no tempo j [g] Nj Número de parcelas CF, iguais e

ti i Taxa de juros



As funções da HP-12C exigem que os fluxos de caixa sejam informados de forma sequencial nas funções [g] [CF,], à exceção do fluxo de caixa no tempo O, que deve ser informado na função [g] [CF0]. Deve-se informar todas as parcelas, inclusive as que tiverem valor nulo, além de observar as convenções dos sinais, em que as entradas de caixa devem ser inseridas com valores positivos e as saídas de caixa, com valores negativos. Antes de começar qualquer exercício, é importante limpar a memória da calculadora HP-12C através da função [f] [REG].

O passo-a-passo para resolver esse exercício na HP-12C pode ser visto a se-guir. Quando existem fluxos de caixa repetidos e seguidos, a calculadora HP-12C permite economizar trabalho e digitação, usando a tecla [g] N,. Como as grandezas $ 400,00 e $ 500,00 se repetem por 2 e 3 vezes, respectivamente, podemos, alternativamente, usar a função [g] Nj.

Formato 1

[f] REG 1.200,00 CHS [g] CF0 300,00 [g] CFj 400,00 [g] CFj 400,00 [g] CFj 500,00 [g] CFj 500,00 [g] CFj 500,00 [g] CFj 20 i [f] NPV 168,77 [f] IRR 25,02

Formato 2

[f] REG

1.200,00 CHS [g] CF0

300,00 [g] CFj

400,00 [g] CFj

2 [g] Nj

500,00 [g] CFj

3 [g] Nj

20 i

[f] NPV 168,77

[f] IRR 25,02



Referências Hoji, M. (2007). Administração Financeira e Orçamentária. São Paulo: Editora Atlas S.A.

Santos, E. O. (2001). Administração Financeira da Pequena e Média Empresa . Sáo Pualo: editora Atlas S.A.

Silva, A. L. (2005). Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: Editora Atlas S.A.

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