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MATEMÁTICA I
AULA 3: DERIVADA
Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
Parte 1 •Definições
Parte 2 •Regras de derivação
INTRODUÇÃO
Considere os dados que descrevem o ganho de peso e o
consumo de ração de uma cultura de frangos (mistos) em
função do tempo, conforme mostra a tabela abaixo,
fornecida pela empresa NUTRIS. QUAL O MELHOR
PERÍODO PARA O ABATE DESSES FRANGOS?
Neste caso, as variáveis
selecionadas para responder
a questão levantada, foram:
• ganho de peso
• tempo
INTRODUÇÃO
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 20 40 60
Pe
so
(g
)
Tempo (dias)
y = -0,0094x3 + 1,1919x2 + 15,457x + 5,1429
R² = 1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 10 20 30 40 50 60
Pe
so
(g
)
Tempo (dias)
Curva de aproximação peso x tempo
A curva que melhor aproximou os dados foi:
𝑦 = − 0,0094𝑥3 + 1,1919𝑥2 + 15,457𝑥 + 5,1429
Distribuição do peso x tempo
Representação gráfica do modelo
Concluímos que é possível analisarmos o
peso dos frangos até aproximadamente 90
dias pois, a partir deste tempo, a curva
tende a decrescer, não sendo mais
representativa da situação em estudo.
INTRODUÇÃO
A análise da variação do peso em relação ao tempo foi
avaliada através da derivada de primeira ordem:
𝒚’ = − 𝟎, 𝟎𝟐𝟖𝟐𝒙𝟐 + 𝟐, 𝟑𝟖𝟑𝟖𝒙 + 𝟏𝟓, 𝟒𝟓𝟕
Note que a partir de um certo período o ganho de peso/dia
diminuía.
INTRODUÇÃO
Para determinar o período (dia), utiliza-se a derivada de
segunda ordem dada por:
𝒚” = − 𝟎, 𝟎𝟓𝟔𝟒𝒙 + 𝟐, 𝟑𝟖𝟑𝟖
pois a aproximação do zero desta derivada, que é o ponto de
inflexão da função representativa do modelo, corresponde
ao melhor dia para o abate destes frangos.
INTRODUÇÃO
Portanto, o ponto de inflexão aproximado da função
representativa do modelo (42, 2060), nos mostra que:
• em torno de 42 dias,
• com peso de 2,06kg,
é o melhor período para o abate, pois a partir deste número
de dias o ganho de peso/dia dos frangos começa a diminuir.
DEFINIÇÕES
https://www.geogebra.org/m/GqHqFyfC
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 8𝑥 + 2
𝑥
𝑦
reta secante 𝐴𝐵
DEFINIÇÕES
A primeira derivada de uma função num ponto é a
declividade da função neste ponto.
𝑦
𝑥
DEFINIÇÕES
A declividade 𝑚 de uma reta é definida como:
• a tangente de seu ângulo de inclinação ou,
• a taxa de variação da distância vertical (elevação)
relativamente à variação da distância horizontal
(percurso), à medida que um ponto se move ao longo
da reta, em qualquer sentido.
𝑚 = tan 𝜃 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
Δ𝑦
Δ𝑥
A declividade de qualquer reta dada é uma constante.
DEFINIÇÕES
https://www.geogebra.org/m/N22mc8NF
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 0,463 3 − 2 𝑥 + 0,463 2 + 𝑥 + 0,197 𝑓′ 𝑥
𝐫𝐞𝐭𝐚 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 à 𝒇 𝒙 𝐩𝐚𝐬𝐬𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐩𝐞𝐥𝐨 𝐩𝐨𝐧𝐭𝐨 𝑨
𝑥
𝑦
DEFINIÇÕES
Suponha que P = 𝑥1, 𝑦1 e
Q = 𝑥2, 𝑦2 sejam dois
pontos quaisquer da curva
𝑦 = 𝑓 𝑥 .
R
Para outras curvas a declividade não é constante e deve
ser determinada para cada ponto particular
Então, a declividade da reta R (chamada secante) que liga
os pontos P e Q é dada por:
𝑚𝑠𝑒𝑐 = tan 𝜃 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
Δ𝑦
Δ𝑥
DEFINIÇÕES
Suponha, agora, que o ponto P = 𝑥1, 𝑦1 seja fixado, enquanto o
ponto Q = 𝑥2, 𝑦2 é movimentado ao longo da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , em
direção ao ponto P. À medida que o ponto Q = 𝑥2, 𝑦2 se move, em geral,
a declividade da reta que liga P = 𝑥1, 𝑦1 e Q = 𝑥2, 𝑦2 variará.
Geralmente, à medida que o ponto
Q = 𝑥2, 𝑦2 se se aproxima cada vez
mais do ponto P = 𝑥1, 𝑦1 , a declividade
da reta secante varia em quantidades
cada vez menores e, de fato, aproxima-se
de um valor limite constante.
• Quando isto acontece, diz-se que o
valor limite é a declividade da
tangente à curva em P = 𝑥1, 𝑦1 .
limΔ𝑥→0
𝑚𝑠𝑒𝑐 = limΔ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥
é a declividade de 𝑓 𝑥 em 𝑥1, 𝑦1
𝑦1
𝑦2 R
DEFINIÇÕES
A declividade de uma função num dado ponto é a primeira
derivada da função neste ponto. Então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥
Δ𝑥
é a primeira derivada em relação a 𝑥 da função 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Este limite pode existir para alguns valores de 𝑥 e deixar de
existir para outros.
Em cada ponto 𝑥, 𝑦 onde este limite existe, diz se que a função
𝑦 = 𝑓 𝑥 tem uma derivada ou diferencial.
•𝑑𝑦
𝑑𝑥 ou 𝑓′ 𝑥 é a primeira derivada ou, simplesmente, a
derivada de 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
O processo para se obter a primeira derivada de uma função é
conhecido como diferenciação.
DEFINIÇÕES h
ttp
s://
ww
w.g
eogeb
ra.o
rg/m
/WP
Ba
wY
qv
𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑥
𝑦
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 2
reta tangente à 𝑓 𝑥 passando pelo ponto 3,59; 12,89
DEFINIÇÕES
Deve-se observar que a primeira derivada de uma função
em relação a 𝑥 é, em geral, outra função de 𝑥 que deve ser
calculada para valores particulares
Exemplo 1. Utilizando a definição de derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥
Δ𝑥
encontre a primeira derivada de 𝑦 = 4𝑥 + 1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑥+Δ𝑥 −𝑓 𝑥
Δ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
4 𝑥+Δ𝑥 +1− 4𝑥+1
Δ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
4Δ𝑥
Δ𝑥= lim
Δ𝑥→04 = 4
DEFINIÇÕES
Exemplo 2. Utilizando a definição de derivada, encontre a primeira
derivada de 𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥 + 13. DICA: 𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑥+Δ𝑥 −𝑓 𝑥
Δ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑥+Δ𝑥 3−12 𝑥+Δ𝑥 +13− 𝑥3−12𝑥+13
Δ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
𝑥3+3𝑥 Δ𝑥 2+3𝑥2Δ𝑥+ Δ𝑥 3−12 𝑥+Δ𝑥 +13−𝑥3+12𝑥−13
Δ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
3𝑥 Δ𝑥 2+3𝑥2Δ𝑥+ Δ𝑥 3−12 Δ𝑥
Δ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→0
Δ𝑥 3𝑥 Δ𝑥 +3𝑥2+ Δ𝑥 2−12
Δ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
Δ𝑥→03𝑥 Δ𝑥 + 3𝑥2 + Δ𝑥 2 − 12 = 3𝑥2 − 12
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2 − 12.
Observe que 𝑑𝑦
𝑑𝑥 é uma função de 𝑥 e pode ser calculada para qualquer valor de 𝑥.
EXERCÍCIO
A distância de um trem desde o seu ponto de partida, quando ele
viaja ao longo de um trilho em linha reta, é dada pela equação:
𝑠 = 16𝑡2 + 2𝑡
onde 𝑠 é a distância em quilômetros e 𝑡 é o tempo em horas.
(a) Encontre a distância percorrida após 2 horas.
(b) Encontre a velocidade após 2 horas.
EXERCÍCIO – SOLUÇÃO
(a) Uma vez que a distância é dada por 𝑠 = 16𝑡2 + 2𝑡, para 𝑡 = 2:
𝑠 2 = 16 2 2 + 2 2 = 16 ∙ 4 + 4 = 64 + 4 = 68 km
(b) A velocidade é expressa pela derivada primeira de 𝑠 em 𝑡, assim:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= lim
Δ𝑡→0
𝑓 𝑡+Δ𝑡 −𝑓 𝑡
Δ𝑡= lim
Δ𝑡→0
16 𝑡+Δ𝑡 2+2 𝑡+Δ𝑡 − 16𝑡2+2𝑡
Δ𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡= lim
Δ𝑡→0
16 𝑡2+2𝑡 Δ𝑡 + Δ𝑡 2 +2𝑡+2Δ𝑡−16𝑡2−2𝑡
Δ𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡= lim
Δ𝑡→0
16𝑡2+32𝑡 Δ𝑡 +16 Δ𝑡 2+2𝑡+2Δ𝑡−16𝑡2−2𝑡
Δ𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡= lim
Δ𝑡→0
32𝑡 Δ𝑡 +16 Δ𝑡 2+2Δ𝑡
Δ𝑡= lim
Δ𝑡→032𝑡 + 16 Δ𝑡 + 2 = 32𝑡 + 2
Assim, a velocidade após 2h é de
𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑡=2
= 32 2 + 2 = 66 𝑘𝑚/.
DERIVADAS SUCESSIVAS
Quando derivamos 𝑦 = 𝑓 𝑥 obtemos uma nova função denotada
por 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 .
• Se esta nova função for diferenciável, sua derivada dará
origem a uma nova função e assim, sucessivamente.
Tal procedimento é chamado de derivadas sucessivas da função
𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Primeira Derivada – notações: 𝑓′ 𝑥 , 𝑦′,𝑑𝑦
𝑑𝑥, 𝑦 e 𝐷𝑥𝑦
Segunda Derivada – notações:𝑓′′ 𝑥 , 𝑦′′,𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 , 𝑦 e 𝐷𝑥2𝑦
Terceira Derivada – notações:𝑓′′′ 𝑥 , 𝑦′′′,𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 , 𝑦 e 𝐷𝑥3𝑦
⋮
n-ésima Derivada – notações: 𝑦(𝑛),𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 e 𝐷𝑥𝑛𝑦
DUVIDAS ???
Parte 1 •Definições
Parte 2 •Regras de derivação
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 1. A derivada de uma constante é zero.
• Se 𝑦 = 𝑐, sendo 𝑐 uma constante real, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑐 = 0
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 e 𝑓 𝑥 = 4 então:
𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥4 = 0
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 2. A derivada da 𝑛-ésima potência de uma variável é
igual ao produto de 𝑛 pela (𝑛 − 1) -ésima potência da
variável.
• Se 𝑦 = 𝑥𝑛, sendo 𝑛 uma constante real, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 e 𝑓 𝑥 = 𝑥3 então:
𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑥3 = 3𝑥3−1 = 3𝑥2
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 3. A derivada do produto de uma constante por uma
função diferenciável é igual ao produto da constante pela
derivada da função.
• Se 𝑦 = 𝑘𝑢, sendo 𝑘 uma constante real e 𝑢 = 𝑓(𝑥), então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑘𝑢 = 𝑘 ∙
𝑑 𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑔 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 7𝑥−2 então:
𝑔′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥7𝑥−2 = 7 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑥−2 = 7 −2𝑥−2−1
𝑔′ 𝑥 = −14𝑥−3 = −14
𝑥3
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 4. A derivada da soma de um número finito de
funções diferenciáveis é igual a soma de suas derivadas.
• Se 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções
diferenciáveis em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑢 + 𝑣 =
𝑑 𝑢
𝑑𝑥+
𝑑 𝑣
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 então:
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥3𝑥2 + 4𝑥 + 2
′ 𝑥 = 3 ∙𝑑
𝑑𝑥𝑥2 + 4 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥2 = 6𝑥 + 4
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 5. A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é
igual ao produto da primeira função pela derivada da segunda
função mais o produto da segunda função pela derivada da
primeira.
• Se 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣, sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções diferenciáveis em
𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙
𝑑 𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣 ∙
𝑑 𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = 𝑥3 + 4 𝑥 + 3 então:
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑥3 + 4 𝑥 + 3
= 𝑥3 + 4 ∙𝑑
𝑑𝑥𝑥 + 3 + 𝑥 + 3 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑥3 + 4
= 𝑥3 + 4 ∙ 1 + 𝑥 + 3 ∙ 3𝑥2 = 4𝑥3 + 9𝑥2 + 4
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 6. A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis
é igual ao quociente do produto do denominador pela derivada do
numerador menos o produto o numerador pela derivada do
denominador, dividido pelo quadrado do denominador.
• Se 𝑦 = 𝑢/𝑣, sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções diferenciáveis
em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑣=
𝑣 ∙𝑑 𝑢𝑑𝑥
− 𝑢 ∙𝑑 𝑣𝑑𝑥
𝑣2
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 =𝑥2−4𝑥+1
𝑥−6 então:
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑥2−4𝑥+1
𝑥−6
𝑑𝑥=
𝑥−6 ∙𝑑 𝑥2−4𝑥+1
𝑑𝑥− 𝑥2−4𝑥+1 ∙
𝑑 𝑥−6
𝑑𝑥
𝑥−6 2 =𝑥2−12𝑥+23
𝑥−6 2
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 7. A derivada da 𝑛-ésima potência de uma função
diferenciável é igual ao produto de 𝑛 pela (𝑛 − 1)-ésima
potência da função e pela derivada da função.
• Se 𝑦 = 𝑢𝑛, sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função diferenciável em 𝑥
e 𝑛 um número real fixo, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = 𝑥2 + 3 3.
Note que: 𝑢 = 𝑥2 + 3 e 𝑛 = 3 então,
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑 𝑥2+33
𝑑𝑥= 3 𝑥2 + 3 3−1 𝑑 𝑥2+3
𝑑𝑥= 3 𝑥2 + 3 2 ∙ 2𝑥 = 6𝑥 𝑥2 + 3 2
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 8. Se 𝑦 = log𝑎 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥log𝑎 𝑢 =
log𝑎 𝑒
𝑢∙𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = log𝑥
𝑥+1.
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥log
𝑥
𝑥 + 1=
log 𝑒𝑥
𝑥 + 1
∙𝑥 + 1 − 𝑥
𝑥 + 1 2
= log 𝑒𝑥 + 1
𝑥∙
1
𝑥 + 1 2=
log 𝑒
𝑥 𝑥 + 1
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 9. Se 𝑦 = 𝑎𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = 2−𝑥.
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥2−𝑥 = 2−𝑥 ln 2
𝑑
𝑑𝑥−𝑥
= 2−𝑥 ln 2 −1 = −2−𝑥 ln 2
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 10. Se 𝑦 = 𝑢𝑣 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções
diferenciáveis em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑢𝑣 = 𝑣𝑢𝑣−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑢𝑣 ln 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = 𝑥𝑥2.
Note que: 𝑢 = 𝑥 e 𝑣 = 𝑥2, então:
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑥2
= 𝑥2𝑥𝑥2−1𝑑
𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
ln 𝑥𝑑
𝑑𝑥𝑥2
= 𝑥2𝑥𝑥2−1 ∙ 1 + 𝑥𝑥2ln 𝑥 2𝑥 = 𝑥𝑥2−1+2 + 𝑥𝑥2+1 ln 𝑥 2
= 𝑥𝑥2+1 + 𝑥𝑥2+1 ln 𝑥 2 = 𝑥𝑥2+1 1 + 2 ln 𝑥
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 11. Se 𝑦 = sen 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥sen 𝑢 = cos 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = sen 𝑥2 + 𝜃 .
Note que: 𝑢 = 𝑥2 + 𝜃, então:
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥sen 𝑥2 + 𝜃 = cos 𝑥2 + 𝜃
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 + 𝜃
= cos 𝑥2 + 𝜃𝑑
𝑑𝑥𝑥2 +
𝑑
𝑑𝑥𝜃 = cos 𝑥2 + 𝜃 2𝑥 + 0
= 2𝑥 cos 𝑥2 + 𝜃
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 12. Se 𝑦 = cos 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥cos 𝑢 = − sen 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = cos 𝑥2 − 𝜃 .
Note que: 𝑢 = 𝑥2 − 𝜃, então:
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥cos 𝑥2 − 𝜃 = −sen 𝑥2 − 𝜃
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 − 𝜃
= −sen 𝑥2 − 𝜃𝑑
𝑑𝑥𝑥2 −
𝑑
𝑑𝑥𝜃 = −sen 𝑥2 − 𝜃 2𝑥 − 0
= −2𝑥 sen 𝑥2 − 𝜃
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 13. Se 𝑦 = tg 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥tg 𝑢 = sec2 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Regra 14. Se 𝑦 = cossec 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥cossec 𝑢 = cossec 𝑢 ∙ cotg 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 15. Se 𝑦 = sec 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥sec 𝑢 = sec 𝑢 ∙ tg 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Regra 16. Se 𝑦 = cotg 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função
diferenciável em 𝑥, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥cotg 𝑢 = −cossec2 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 17. A derivada da inversa de uma função é igual à
recíproca da derivada da função.
• Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 e 𝑥 = 𝑔 𝑦 são funções diferenciáveis
inversas, então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑑𝑥𝑑𝑦
=1
𝑑𝑔 𝑦𝑑𝑦
• Exemplo. Seja 𝑥 = 𝑦 +1
3𝑦3 +
1
5𝑦5. Determine
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Note que: 𝑑𝑥
𝑑𝑦= 1 + 𝑦2 + 𝑦4, então:
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑑𝑥𝑑𝑦
=1
1 + 𝑦2 + 𝑦4
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra 18. (REGRA DA CADEIA) Se 𝑦 = 𝑔 𝑢 e 𝑢 = 𝑓 𝑥 ,
então:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∙𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑢2
3 e 𝑢 = 𝑥2 + 1, determine 𝑑𝑦
𝑑𝑥
′ 𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑢𝑢
2
3 ∙𝑑
𝑑𝑥𝑥2 + 1 =
2
3𝑢
2
3−1 ∙ 2𝑥 + 0
′ 𝑥 =2
3𝑢
−1
3 ∙ 2𝑥 + 0 =2
3𝑢1
3
∙ 2𝑥 =4𝑥
3 𝑥2+113
