MATEMÁTICA · TRIGONOMETRIA I MATEMÁTICA 1 PR1. (IFAL 2018) Um atleta de 1,70 metro de altura, percebe que, ao fazer flexões no momento em que estica os braços, seu …

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 1

PR1. (IFAL 2018) Um atleta de 1,70 metro de altura, percebe que, ao fazer flexões no momento em que estica os braços, seu corpo, em linha reta, forma um ângulo de 30º com o piso. Nessas condições, a que altura do piso se encontra a extremidade da sua cabeça? (Considere que os braços formam com o piso um ângulo reto).

A) 85 cm.

B) 85 3 cm.

C) 170 3

cm.3

D) 85 2 cm.

E) 340 cm.

PR2. (IFPE 2019) Após a instalação de um poste de energia, há a orientação de que ele fique apoiado por um período de 48 horas, após a sua fixação no terreno, por meio de 4 cabos de sustentação. A figura a seguir ilustra um modelo de um desses cabos de sustentação.

Sabendo que o cabo de sustentação do poste forma um ângulo de 60 com a

vertical e que ele está conectado ao poste a uma altura de 10 metros, determine o comprimento mínimo do cabo.

A) 10 m .

B) 5 m .

C) 25 m .

D) 20 m .

E) 12 m .

MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA I

2

PR3. (ENEM 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito

uma diagonal que forma 30 com a borda inferior. O raio da base do cilindro

mede 6

cm,π

e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice,

como na figura.

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

A) 36 3 .

B) 24 3 .

C) 4 3 .

D) 36 .

E) 72 . PR4. (IFPE 2018) Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das participantes do evento, ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua mochila

um transferidor e estimou o ângulo no ponto A, na margem onde estava, e,

após nadar, aproximadamente, 70 metros em linha reta em direção ao

paredão, estimou o ângulo no ponto B, conforme mostra a figura a seguir:

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 3

De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul?

Dados: sen (17 ) 0,29, = tan (17 ) 0,30, = cos (27 ) 0,89 = e tan (27 ) 0,51. =

A) 50 metros.

B) 51 metros.

C) 89 metros.

D) 70 metros.

E) 29 metros

PR5. (ENEM) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de

10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para

esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma

que o ângulo formado por elas fosse de 120 . A ponta seca está representada

pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça

do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.


4

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

Tipo de material Intervalo de valores de raio (cm)

I 0 R 5

II 5 R 10

III 10 R 15

IV 15 R 21

V 21 R 40

Considere 1,7 como aproximação para 3.

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V.

PR6. (EEAR) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se

esse triângulo tem um ângulo medindo 30 , seu lado oposto a esse ângulo

mede

A) R

2.

B) R .

C) 2R .

D) 2R

3.

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 5

PR7. (IFAL) Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e 11. O cosseno do

maior ângulo interno desse triângulo é:

A) 11

.15

B) 1

.27

−

C) 26

.33

D) 2

.27

−

E) 1.− PR8. (UPE-SSA) João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem,

respectivamente, 10 m e 6 m e formam entre si um ângulo de 120 . O

terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro

do arame custa R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do

arame? Dados:

3sen de 120

2 =

1cos de 120

2 = −

A) R$ 300,00 .

B) R$ 420,00 .

C) R$ 450,00 .

D) R$ 500,00 .

E) R$ 520,00 .


6

PR9. (UNISINOS) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo x

satisfazem a seguinte identidade: 2 2sen x cos x 1.+ = Se cos x 0,5,= quais

são os possíveis valores do seno deste ângulo x? Lembre que 2 2sen x (sen x) .=

A) 5

2− e

5

2.

B) 3

2− e

3

2.

C) 1

2− e

1

2.

D) 2

2− e

2

2.

E) 3

4− e

3

4.

PR10. (ENEM PPL) No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de

movimentos: 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o

ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120º.

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto A) B. C) E. E) G. B) D. D) F.

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 7

SOLUÇÃO PR1

[A] Considere a situação

Utilizando da relação de seno temos:

cateto oposto 1 xsen(30 ) x 85 cm.

hipotenusa 2 1,7 = = =

SOLUÇÃO PR2

[D] Sendo x o comprimento do cabo, pode-se calcular:

10 1 10cos60 x 20 m

x 2 x = = =

SOLUÇÃO PR3

[B]

Seja h a altura do cilindro. Na figura é possível perceber que foram dadas seis voltas em torno do

cilindro. Logo o cateto adjacente ao ângulo de 30 mede 6

6 2 72cm =

e,

portanto, temos

htg30 h 24 3 cm.

72 = =


8

SOLUÇÃO PR4

[B]

Considerando x a altura do paredão e y a distância do ponto B ao paredão,

temos:

( )

xtg27 x y tg27 x 0,51y (I)

y

xtg17 x y 70 tg17 x 0,30y 21 (II)

y 70

= = =

= = + = ++

Fazendo (I) (II),= temos:

0,51y 0,30y 21 0,21y 21 y 100= + = =

Logo, a altura do paredão será:

x 0,51 100 51m.= =

SOLUÇÃO PR5

[D] O compasso forma, com a superfície do papel, um triângulo isóscele de lados

10, 10 e R (raio), e ângulos 120, 30 e 30 graus. Sabendo-se disto, pode-se

calcular o raio R :

R 10 1 3R 10 R 10 3 17cm 15 R 21

sen 120 sen 30 2 2= = =

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 9

SOLUÇÃO PR6

[B]

Seja a medida do lado do triângulo que é oposto ao ângulo de 30 . Pela Lei

dos Senos, tem-se que

2R R.sen30

= =

SOLUÇÃO PR7

[B] Note que um triangulo com tais lados não forma um triangulo retângulo, para comprovar basta aplicar o Teorema de Pitágoras.

2 2 2

2 2 2

hip cat cat

11 6 9

121 36 81

= +

= +

+

Nesse sentido, para obter o valor do cosseno desejado, basta aplicar a lei dos

cossenos sobre os três lados. Seja θ o ângulo relativo ao lado de maior

medida e a, b, c os lados do triângulo. Logo:

2 2 2

2 2 2

a b c 2 b c cos( )

11 9 6 2 9 6 cos( )

121 117 108 cos( )

1cos( )

27

θ

θ

θ

θ

= + −

= + −

= −

−=

SOLUÇÃO PR8

[C] Pela lei dos cossenos:

2 2 2 2 21a 10 6 2 10 6 cos 120 a 136 120 a 196 a 14

2

Perímetro 10 6 14 30 m

3 voltas 90 m custo 5 90 450 reais

= + − = − − = → =

= + + =

= = =


10

SOLUÇÃO PR9

[B] Tem-se que

22 21 3

sen x 1 sen x2 4

3senx .

2

+ = =

=

SOLUÇÃO PR10

[D]

De acordo com o enunciado, a bolinha desloca-se em linha reta do ponto P

até a circunferência de raio 6 e depois desloca-se sobre esta, em sentido

anti-horário, por 120 , o que resulta na posição final sobre o ponto F.

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 11

PC1. (EPCAR (CPCAR) 2020) À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não

Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m,

estacionado paralelamente ao solo a 30 m de altura.

O VANT está a uma distância y metros de um holofote que foi instalado no

helicóptero. O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana

e produz uma sombra circular de centro O e raio R.

O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60 com o feixe

de luz, conforme se vê na figura seguinte.

Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto A da

circunferência da sombra corre para o ponto O, pé da perpendicular traçada

do holofote à região plana.

A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é um número

entre

A) 18 e 19 .

B) 19 e 20 .

C) 20 e 21 .

D) 22 e 23 .


12

PC2. (UNESP 2020) Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime. Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa. As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.

Considere a coleta de uma amostra de gota de sangue e a tabela trigonométrica apresentadas a seguir.

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 13

α sen α cos α tg α

31 0,51 0,85 0,60

37 0,60 0,80 0,75

53 0,80 0,60 1,32

59 0,85 0,51 1,66

74 0,96 0,28 3,50

De acordo com as informações, o ângulo de impacto da gota de sangue coletada na amostra foi de

A) 37 .

B) 74 .

C) 59 .

D) 53 .

E) 31 .

PC3. (FAMERP 2020) A figura indica o retângulo FAME e o losango MERP desenhados, respectivamente, em uma parede e no chão a ela perpendicular.

O ângulo ˆMER mede 120 , ME 2 m= e a área do retângulo FAME é igual a

212 m .

Na situação descrita, a medida de RA é

A) 3 3 m .

B) 4 3 m .

C) 5 2 m .

D) 3 2 m .

E) 4 2 m .


14

PC4. (FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICIN 2019) Uma empresa desenvolveu um suporte para fixação de televisores (TVs) em paredes. O

suporte pode ser utilizado em TVs de 32 até 55 polegadas e permite que o

aparelho fique na vertical ou inclinado, conforme a ilustração, em que β

refere-se ao ângulo máximo de inclinação.

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 15

Considere os seguintes valores aproximados para seno, cosseno e tangente:

β sen β cos β tg β β sen β cos β tg β

10 0,174 0,985 0,176 16 0,276 0,961 0,287

11 0,191 0,982 0,194 17 0,292 0,956 0,306

12 0,208 0,978 0,213 18 0,309 0,951 0,325

13 0,225 0,974 0,230 19 0,326 0,946 0,344

14 0,242 0,970 0,250 20 0,342 0,940 0,364

15 0,259 0,966 0,268 21 0,358 0,934 0,384

A diferença entre o ângulo máximo de inclinação da TV de 32 polegadas e da

TV de 55 polegadas é um valor entre

A) 1 e 3 .

B) 9 e 11 .

C) 7 e 9 .

D) 3 e 5 .

E) 5 e 7 .

PC5. (COTIL 2019) O prefeito de uma cidade turística pretende construir um

teleférico unindo o parque cultural ao topo de uma montanha de 200 m de

altura, como mostra a figura abaixo. Considerando que a plataforma de

embarque do teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão e que o pico

da montanha possa ser observado sob um ângulo de 30 , determine a

distância percorrida pelo teleférico do ponto de embarque ao topo da montanha.

A) 350 m .

B) 370 m .

C) 390 m .

D) 410 m .


16

PC6. (UDESC 2019) A figura abaixo apresenta uma semicircunferência de

diâmetro AB, com raio igual a 3 e com o ponto C sobre a

semicircunferência.

Sabendo-se que o segmento AC mede 3 cm, o comprimento do arco AC é:

A) 3 3

cm2

π.

B) 3

cm3

π.

C) 4 3

cm3

π.

D) 2 3

cm3

π.

E) 3 cmπ .

PC7. (COTIL 2019) A acessibilidade urbana é um tema que merece atenção, especialmente quando as cidades crescem sem que haja planejamento de ações que garantam o bem-estar, a segurança e a autonomia no uso de equipamentos urbanos por pessoas com algum tipo de limitação, seja ela de mobilidade, idade ou percepção. Assim, para a construção de uma rampa de acesso, calculando-se sua inclinação, usa-se a seguinte expressão matemática:

hx100i ,

C= em que:

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 17

i é a inclinação da rampa em porcentagem;

h é a altura do desnível;

C é o comprimento da projeção horizontal.

Qual é o ângulo formado em uma rampa que possui 100% de inclinação?

A) 180 .

B) 90 .

C) 60 .

D) 45 .

PC8. (ENEM PPL 2019) As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre a superfície terrestre são a latitude e a longitude. Para tal, considera-se que a Terra tem a forma de uma esfera. Um meridiano é uma circunferência sobre a superfície da Terra que passa

pelos polos Norte e Sul, representados na figura por PN e PS. O

comprimento da semicircunferência que une os pontos PN e PS tem

comprimento igual a 20.016 km. A linha do Equador também é uma

circunferência sobre a superfície da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano que a contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano.

Seja P um ponto na superfície da Terra, C o centro da Terra e o segmento

PC um raio, conforme mostra a figura. Seja o ângulo que o segmento PC

faz com o plano que contém a linha do Equador. A medida em graus de é a

medida da latitude de P.


18

Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção

ao Polo Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto P com 30 graus de

latitude. Quantos quilômetros são percorridos pelo navio?

A) 1.668 .

B) 3.336 .

C) 5.004 .

D) 6.672 .

E) 10.008 .

PC9. (ENEM 2018) Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números

naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por

ângulos de rad,6

π conforme a figura.

Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas

circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0; 0).

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 19

Considere o valor de π com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.

Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B

até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a

A) 2 1

83

π + .

B) 2 2

63

π + .

C) 2 3

43

π + .

D) 2 4

23

π + .

E) 2 5

23

π + .

PC10. (FGV) A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, em Portugal,

tem o formato de um prisma oblíquo, com base retangular de área 2247 m . A

inclinação da torre é de aproximadamente 76,7 , com deslocamento

horizontal de 9 m da base superior em relação à base inferior do prisma.


20

Dados:

α sen α cos α tg α

13,3 0,23 0,97 0,24

Nas condições descritas, o volume do prisma que representa essa torre, aproximado na casa da centena, é igual a

A) 39.300 m .

B) 38.900 m .

C) 38.300 m .

D) 34.600 m .

E) 34.200 m .

PC11. (ENEM (LIBRAS) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.

Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros

de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo ,α e a projeção ortogonal

de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme

mostra a figura.

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 21

O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.

Ângulo α

(Grau) Seno

0,0 0,0

1,0 0,017

1,5 0,026

1,8 0,031

2,0 0,034

3,0 0,052

Uma estimativa para o ângulo de inclinação ,α quando dado em grau, é tal

que

A) 0 1,0α .

B) 1,0 1,5α .

C) 1,5 1,8α .

D) 1,8 2,0α .

E) 2,0 3,0α .

PC12. (EPCAR (CPCAR)) As cidades A, B e C situam-se às margens de

um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura

abaixo.


22

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto

corta AC no ponto P. Se BC 6 3 km,= então CP é, em km, igual a

A) 6 3+

B) ( )6 3 3−

C) 9 3 2−

D) ( )9 2 1−

PC13. (UECE) Uma pessoa, com 1,7 m de altura, está em um plano

horizontal e caminha na direção perpendicular a um prédio cuja base está situada neste mesmo plano. Em certo instante, essa pessoa visualiza o ponto

mais alto do prédio sob um ângulo de 30 graus. Ao caminhar mais 3 m,

visualiza o ponto mais alto do prédio, agora sob um ângulo de 45 graus.

Nestas condições, a medida da altura do prédio, em metros, é aproximadamente

A) 5,6.

B) 6,6.

C) 7,6.

D) 8,6.

PC14. (UERJ) O raio de uma roda gigante de centro C mede

CA CB 10 m.= = Do centro C ao plano horizontal do chão, há uma distância

de 11m. Os pontos A e B, situados no mesmo plano vertical, ACB,

pertencem à circunferência dessa roda e distam, respectivamente, 16 m e

3,95 m do plano do chão. Observe o esquema e a tabela:

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 23

θ

(graus) senθ

15 0,259

30 0,500

45 0,707

60 0,866

A medida, em graus, mais próxima do menor ângulo ACB corresponde a:

A) 45. B) 60. C) 75. D) 105. PC15. (INSPER) Quinze bolas esféricas idênticas de bilhar estão perfeitamente encostadas entre si, e presas por uma fita totalmente esticada. A figura mostra as bolas e a fita, em vista superior.

A medida do raio de uma dessas bolas de bilhar, em centímetros, é igual a

A) 4 3 2.−

B) 2 3 1.+

C) 3 3 1.−

D) 3 3 2.−

E) 2 3 1.−


24

1 C 6 D 11 C

2 A 7 D 12 B

3 B 8 B 13 A

4 C 9 A 14 C

5 C 10 A 15 E

TRIGONOMETRIA I

MATEMÁTICA 25

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MATEMÁTICA · TRIGONOMETRIA I MATEMÁTICA 1 PR1. (IFAL 2018) Um atleta de 1,70 metro de altura, percebe que, ao fazer flexões no momento em que estica os braços, seu …