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Prof. José Amaral MAT M9 - 1 19-11-2007
3. Diferenciação complexa.
3.1. Derivadas complexas. Funções analíticas.
Sendo )(zf uma função complexa de variável complexa definida numa região C⊂D , define-se a
derivada de )(zf num ponto interior z dessa região como
z
zfzzfzf
z ∆
−∆+=′
→∆
)()(lim)(
0
Caso o limite exista, e seja finito, a função diz-se diferenciável no ponto z . Se )(zf é diferenciável num ponto z então é contínua nesse ponto.
Sendo )(zf uma função complexa de variável complexa, se )(zf′ existe em todos os pontos z de
uma região C⊂D então )(zf diz-se uma função analítica (ou holomorfa, ou regular) em D .
Diz-se que )(zf é analítica num ponto 0z se existir um 0>δ tal que )(zf′ exista
δ<−∀0
: zzz , ou seja, para além de diferenciável em 0z , )(zf é também diferenciável em algum
disco aberto, no plano complexo, centrado em 0z .
Se )(zf for analítica em C então diz-se uma função inteira.
Exemplos
1. Sendo 2)( zzf = , com C∈z , então
z
zzz
z
zfzzfzf
z
z
∆
−∆+=
∆
−∆+=′
→∆
→∆
22
0
0
)(lim
)()(lim)(
T Ó P I C O S
Diferenciação complexa.
Derivadas complexas.
Funções analíticas.
Equações de Cauchy-Riemann.
Funções harmónicas.
Regra de L’Hospital.
�
Módulo 9• Note bem, a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira • Chama-se à atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição junto do docente de todas as dúvidas associadas.
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z
zz
z
zzzzzzf
z
z
2
)2(lim
2lim)(
0
222
0
=
+∆=
∆
−∆+∆+=′
→∆
→∆
A derivada existe C⊂∀z pelo que 2)( zzf = é uma função analítica em C , ou seja, é uma função inteira.
2. Sendo ∗= zzf )( , com C∈z , então
yjx
yjx
yjx
jyxyjxjyx
yjx
jyxyjxjyx
z
zzz
z
zfzzfzf
y
x
y
x
y
x
z
z
∆+∆
∆−∆=
∆+∆
+−∆−∆+−=
∆+∆
+−∆+∆++==
∆
−∆+=
∆
−∆+=′
→∆
→∆
→∆
→∆
∗∗
→∆
→∆
∗∗
→∆
→∆
0
0
0
0
0
0
0
0
lim
lim
)()(lim
)(lim
)()(lim)(
Fazendo, por exemplo, ymx ∆=∆ , temos
jm
jm
yjym
yjymzf
y
ymx
+
−=
∆+∆
∆−∆=′
→∆
∆=∆
0
lim)(
O limite depende da direcção segundo a qual é calculado, e portanto não existe. A função ∗
= zzf )( não é diferenciável em nenhum ponto do plano z , ou seja, ∗
= zzf )( é uma função não analítica em C .
3. Sendo 1
1)(
−
+=
z
zzf , com C∈z , então
2
0
22
0
00
)1(
2
)1)(1(
2lim
)1)(1(
11lim
1
1
1
1
lim)()(
lim)(
−
−=
−−∆+
−=
∆−−∆+
+∆−−+∆−−−∆−−+∆+=
∆
−
+−
−∆+
+∆+
=∆
−∆+=′
→∆
→∆
→∆→∆
z
zzz
zzzz
zzzzzzzzzzzz
z
z
z
zz
zz
z
zfzzfzf
z
z
zz
A função 1
1)(
−
+=
z
zzf é analítica em C \{ }1 .
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3.2. Equações de Cauchy-Riemann. Regras de derivação.
Seja ),(,()( yxjvyxuzf += uma função complexa de variável complexa. É condição necessária para que f seja analítica numa região C⊂D que, em D , se verifiquem as equações de Cauchy
Riemann
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂∧
∂
∂=
∂
∂
, ou seja,
y
f
x
fj
∂
∂=
∂
∂
, ou ainda, na forma polar,
θ∂
∂
ρ−=
ρ∂
∂∧
θ∂
∂
ρ=
ρ∂
∂ uvvu 11
ou seja,
θ∂
∂
ρ=
ρ∂
∂ ffj
1
Se as derivadas parciais de f forem contínuas em D , então as condições de Cauchy-Riemann são também condições suficientes para que f seja analítica em D .
Resulta das equações de Cauchy-Riemann que, caso exista, a derivada de uma função complexa de variável complexa, ),(,()( yxjvyxuzf += , pode se calculada a partir da suas partes real e imaginária de diversas formas
x
vj
y
v
y
uj
y
v
y
uj
x
u
x
vj
x
u
dz
dfzf
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂==′ )(
Para as funções analíticas, são válidas as regras de derivação tal como vistas em Análise Matemática 1 e 2 (soma, produto, composição etc.), sendo as derivadas das funções elementares totalmente idênticas às conhecidas para as funções em R .
Exemplos
4. As derivadas das funções elementares conhecidas em R são válidas em C . Assim,
por exemplo, sendo )sen()( 2zzf = , temos
)cos(2
)cos()())(sen()(
2
222
zz
zzzzf
=
′=′=′
A função )sen()( 2zzf = é analítica em C (é inteira). Ou, sendo
z
izf
)ln()( = , temos
222 22
)1ln()ln(
)ln()(
zj
z
j
z
i
z
izf
π−=
π+
−=−=
′
=′
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A função z
izf
)ln()( = é analítica em C \{ }0 .
5. Para que a função jvyyyxezfx
+−=− ))cos()sen(()( seja analítica, dado que,
sendo
)cos()sen()sen(
))cos()sen((
yyeyxeye
yyyxexx
u
xxx
x
−−−
−
+−=
−∂
∂=
∂
∂
)sen()cos()cos(
))cos()sen((
yyeyxeye
yyyxexy
u
xxx
x
−−−
−
−−−=
−∂
∂=
∂
∂
e, implicando as equações de Cauchy-Riemann que
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂∧
∂
∂=
∂
∂
resulta
)cos()sen()sen( yyeyxeyex
u
y
vxxx −−−
+−=∂
∂=
∂
∂
)sen()cos()cos( yyeyxeyey
u
x
vxxx −−−
−−=∂
∂−=
∂
∂
Integrando yv ∂∂ , temos
)()sen()cos(
)())sen()(cos()cos()cos(
))cos()sen()sen((
xFyyeyxe
xFyyyeyxeye
dyyyeyxeyev
xx
xxx
xxx
++=
++++−=
+−=
−−
−−−
−−−
∫
Derivando e substituindo em xv ∂∂ , temos
)sen()cos()cos(
)()sen()cos()cos(
yyeyxeye
xFyyeyxeye
xxx
xxx
−−−
−−−
−−=
′+−−
, pelo que 0)( =′ xF , e portanto cxF =)( . Resulta então
cyyeyxevxx
++=−− )sen()cos(
6. Sendo
−+=
y
xjyxzf atan)ln(
2
1)( 22 , podemos usar as equações de Cauchy-
Riemann para mostrar que f é diferenciável. Sendo
−=
+=
y
xyxv
yxyxu
atan),(
)ln(2
1),( 22
, temos
222222
22 2
2
1)(
2
1
yx
x
yx
x
yx
xyx
x
u
+=
+=
+
∂+∂=
∂
∂
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Figura M10.1
222222
22 2
2
1)(
2
1
yx
y
yx
y
yx
yyx
y
u
+=
+=
+
∂+∂=
∂
∂
22
2
22
2
2
1
1
)(
yx
y
y
yx
y
y
x
xyx
x
v
+−=
+−=
+
∂∂−=
∂
∂
22
2
22
2
2
2
1
)(
yx
x
y
yx
y
x
y
x
yyx
y
v
+=
+
−
−=
+
∂∂−=
∂
∂
Verificando portanto as equações de Cauchy-Riemann
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂∧
∂
∂=
∂
∂
a função é diferenciável.
Podemos calcular )(zf′ por qualquer das expressões
x
vj
y
v
y
uj
y
v
y
uj
x
u
x
vj
x
u
dz
dfzf
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂==′ )(
, sendo
22
2222)(
yx
jyx
yx
yj
yx
xzf
+
−=
+
−
+
=′
É de notar que
)ln(
)ln(
atanlnatan)ln(2
1)( 2222
z
j
x
yjyx
y
xjyxzf
=
θ+ρ=
++=
−+=
, pelo que
( )z
zzf1
)ln()( =′
=′
, de onde concluímos de imediato que )(zf é diferenciável em
C \{ }0 (na verdade, tendo em atenção a descontinuidade da função { }zArg , e
tomando-se usualmente para o ramo principal [ ]ππ−∈θ , , a função é descontínua
sobre todo o eixo 0≤x . A figura M9.1 mostra o { }),( yxzArg com [ ]1,1, −∈yx ).
Note que
22))((
11
yx
jyx
jyxjyx
jyx
jyxz +
−=
−+
−=
+
=
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3.3. Funções harmónicas.
Uma função ),( yxu , real de variável real, definida numa região 2R⊂D diz-se uma função
harmónica em D se, nessa região, satisfizer a equação de Laplace
02
=∇ U
, sendo operador diferencial 2∇ , dito Lapaciano, dado em coordenadas cartesianas por
2
2
2
22
yx ∂
∂+
∂
∂≡∇
Resulta das equações de Cauchy-Riemman que, sendo ),(),(),()( yxjvyxuvufzf +== uma função
analítica numa região C⊂D , então ),( yxu e ),( yxv são função harmónicas na correspondente
região 2R⊂D
002
2
2
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂∧=
∂
∂+
∂
∂
y
v
x
v
y
u
x
u
Podemos ainda demonstrar que, dada qualquer função harmónica ),( yxu numa região 2R⊂D ,
existe uma função ),( yxv , única a menos de uma constante, dita função harmónica conjugada
de ),( yxu , tal que a função complexa de variável complexa ),(),(),( yxjvyxuvuf += é analítica
na correspondente região C⊂D .
Exemplos
7. Podemos verificar que a função RR →2:),( yxu
2223 62),( yxyxxyxu −++−=
é uma função harmónica (em 2R )
0
)212()212(
)212()626(
)62()62(
22
2223
2
22223
2
2
2
2
2
2
=
−++−=
−∂
∂+++−
∂
∂=
−++−∂
∂+−++−
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
xx
yxyy
yxxx
yxyxxy
yxyxxxy
u
x
u
Com base nas equações de Cauchy-Riemman
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂∧
∂
∂=
∂
∂
podemos determinar a sua função harmónica conjugada. Sendo
yxyy
u
x
v
yxxx
u
y
v
212
62622
+−=∂
∂−=
∂
∂
++−=∂
∂=
∂
∂
, resulta
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)(226
)626(
32
22
xgyxyyx
dyyxx
dyy
vv
+++−=
++−=
∂
∂=
∫
∫
e
)(26
)212(
2 yhxyyx
dxyxy
dxx
vv
++−=
+−=
∂
∂=
∫
∫
, pelo que
cyxyyxyxv +++−=32 226),(
As função, complexas de variável complexa,
)226()62(
),(),(),(
322223cyxyyxjyxyxx
yxjvyxuyxf
+++−+−++−=
+=
são analíticas em C , ou seja, são inteiras.
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3.4. Regra de L’Hospital.
Sendo )(zf e )(zg funções analíticas numa região contendo um ponto 0z , e admitindo que
0)()(00
== zgzf , mas 0)(0
≠′ zg então
)(
)(
)(
)(lim
0
0
0 zg
zf
zg
zf
zz ′
′=
→
Tal como no caso das funções reais de variável real, modificação apropriadas das expressões das funções permitem tratar as situações ∞∞ , ∞⋅0 , etc.
Exemplos
8. Atendendo à regra de L’Hospital
3
5
lim3
5
6
10lim
0
0
)(1
)(1
1
1lim
4
5
9
32
52
6
10
=
=
=
=
+
+=
+
+
→
→
→
z
z
z
z
z
z
z
iz
iz
jz
9. Podemos recorrer à regra de L’Hospital e a limites de referência, tal como foi feito em R
2
1
2
)cos(lim
0
0
2
)sen(lim
0
0)cos(1lim
)sen(lim
)cos(1lim
)sen(
)cos(1
lim
0
0
)sen(
)cos(1lim
0
0
20
2
2
0
20
2
2
2
0
20
=
=
==
=−
=
−
=
−
=
=−
→
→
→
→
→
→
→
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
