Matrizes - Soma e Produto por Escalarmatematicauva.org/wp-content/uploads/2014/01/compressed...Soma de Matrizes Subtra¸c˜ao Produto por escalar Matrizes e Imagens Digitais IGUALDADE

Representacao de um conjunto de MatrizesOperacoes

Soma de MatrizesSubtracao

Produto por escalarMatrizes e Imagens Digitais

Matrizes - Soma e Produto por Escalar

Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do Acarau

Centro de Ciencias Exatas e Tecnologia

Curso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Algebra Matricial - 2015.1

23 de julho de 2015

Marcio Nascimento Matrizes - Soma e Produto por Escalar




Sumario

1 Representacao de um conjunto de Matrizes

2 Operacoes

3 Soma de Matrizes

4 Subtracao

5 Produto por escalar

6 Matrizes e Imagens Digitais





Sumario


2 Operacoes

3 Soma de Matrizes

4 Subtracao







Matriz

Uma matriz nada mais e do que um conjunto de numeros reais(ou complexos) dispostos em linhas e colunas

Por exemplo,[

1 2 34 5 6

]

e uma matriz formada por numeros reais com duas linhas etres colunas.

Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (comelementos reais) com duas linhas e tres colunas por R2×3.





EXEMPLOS

A =

4 2 12 3 −10 1 7

∈ R3×3

B =

[

(2i) (4− 2i) (7i) (5)

(0) (−3 + 7i) (12i) (5−√2i)

]

∈ C2×4

A =

4 2 12 3 −10 1 7

∈ C3×3





GENERALIZANDO

Rn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradas

reais;

Cn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradas

complexas;

E verdade que Rn×m ⊂ C

n×m?

E verdade que Rn×m = R

m×n?

E verdade que R2×2 ⊂ R

3×3?





NOTACAO

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

∈ Rn×m(ou ∈ C

n×m)

ars - elemento da LINHA r e COLUNA s;

Por exemplo: a14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4;

a79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9;

a81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109;

A = [ars ]n×m: r ∈ 1, 2, ..., n e s ∈ 1, 2, ...,m





EXEMPLO

Esbocar a matriz A = [ars ] ∈ R4×3 tal que ars = r2 − s.

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

A =

(12 − 1) (12 − 2) (12 − 3)(22 − 1) (22 − 2) (22 − 3)(32 − 1) (32 − 2) (32 − 3)(42 − 1) (42 − 2) (42 − 3)

A =

0 −1 −23 2 18 7 615 14 13





Importante

Uma vez que todo numero real tambem e um numero complexo,podemos sempre nos referir a um conjunto de matrizes usando anotacao

Cn×m





Sumario


2 Operacoes

3 Soma de Matrizes

4 Subtracao







Considere um conjunto Ω nao vazio.

Podemos obter uma estrutura algebrica ao definirmos umaoperacao (∗) entre os elementos de Ω;

Os elementos de Ω, sob a influencia da operacao ∗, possuemalgumas propriedades;

Se consideramos um conjunto de matrizes, entao a Algebra

Matricial consiste da operacao entre matrizes e suaspropriedades.





EXEMPLO

Considere o conjunto nao vazio

Ω = matriculados em Algebra Matricial no semestre 2015.1

Operacao: x ∗ y = y

Propriedade: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z





IGUALDADE ENTRE MATRIZES

Antes de definirmos as operacoes, vamos estabelecer que duasmatrizes sao IGUAIS quando

possuem a mesma ordem e

os elementos correspondentes (posicoes) sao iguais.

Exemplo:

321

=

√9√4

50

Exemplo:

[

(2− 4i)(1 + 2i)

]

6=[

(2− 4i) (1 + 2i)]





Sumario


2 Operacoes

3 Soma de Matrizes

4 Subtracao







Soma de Matrizes

Considere duas matrizes A,B de mesma ordem n ×m. A soma

A+ B e a matriz tambem de ordem n ×m obtida pela soma dasentradas de A, com as entradas de B , respeitando-se as posicoes.

Exemplo: A =

[

3 2 14 −1 5

]

, B =

[

7 0 2−5 −4 2

]

A+ B =

[

(3 + 7) (2 + 0) (1 + 2)(4 + (−5)) (−1 + (−4)) (5 + 2)

]

A+ B =

[

10 2 3−1 −5 7

]





Soma de Matrizes

Considerando as matrizes

A =

[

3 2 14 −1 5

]

, B =

7 0 2−5 −4 20 0 0

o que se pode dizer sobre a soma A+ B?

Nao esta definida, pois A tem ordem 2× 3 e B tem ordem3× 3.





Soma de Matrizes

Usando a notacao matricial:

Se A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m,

entao A+ B = [(ars + brs)]n×m





Propriedades da Soma

Sejam A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m e C = [crs ]n×m com entradasreais ou complexas. Sao validas as seguintes propriedades:

Associatividade: A+ (B + C ) = (A+ B) + C

Comutatividade: A+ B = B + A

Existencia de Elemento Neutro: Existe uma matriz X0 deordem n ×m tal que A+ X0 = A qualquer que seja a matrizA de ordem n ×m.

Existencia de Inverso Aditivo: Para cada matriz A deordem n ×m, existe uma matriz A′ tal que A+ A′ = X0.






Associatividade: A+ (B + C ) = (A+ B) + C

A+ (B + C ) = [ars ] + ([brs ] + [crs ])

= [ars ] + ([brs + crs ]) (definicao da soma)

= [ars + (brs + crs)] (definicao da soma)

= [(ars + brs) + crs ] (associatividade em R, C)

= [(ars + brs)] + [crs ] (definicao da soma)

= ([ars ] + [brs ]) + [crs ] = (A+ B) + C






Comutatividade: A+ B = B + A

A+ B = [ars ] + [brs ]

= [(ars + brs)] (definicao para a soma de A e B)

= [(brs + ars)] (comutatividade em R, C)

= [brs ] + [ars ] = B + A






Existencia de Elemento Neutro: Seja A uma matriz de ordemn ×m. Vamos resolver a equacao

A+ X = A

A+ X = A

=⇒ [ars ] + [xrs ] = [ars ]

=⇒ [(ars + xrs)] = [ars ]

=⇒ ars + xrs = ars para todo r ∈ 1, ..., n,s ∈ 1, ...,m=⇒ xrs = 0 para todo r ∈ 1, ..., n, s ∈ 1, ...,m=⇒ X e uma matriz de ordem n ×m formada por 0.





Elemento Neutro

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 . . . anm

+

x11 x12 . . . x1mx21 x22 . . . x2m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn1 xn2 . . . xnm

=

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 . . . anm

X =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

......

0 0 . . . 0

= [0]n×m

Vamos denotar tal matriz por 0.






Existencia do Inverso Aditivo: Seja A uma matriz de ordemn ×m. Vamos resolver a equacao

A+ X = 0

A+ X = 0

=⇒ [ars ] + [xrs ] = [0]

=⇒ [(ars + xrs)] = [0]

=⇒ ars + xrs = 0 para todo r ∈ 1, ..., n,s ∈ 1, ...,m=⇒ xrs = −ars para todo r ∈ 1, ..., n,s ∈ 1, ...,m=⇒ X = [−ars ] e a inversa aditiva da matriz A.





Inverso Aditivo

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 . . . anm

+

x11 x12 . . . x1mx21 x22 . . . x2m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn1 xn2 . . . xnm

=

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . 0

X =

−a11 −a12 . . . −a1m−a21 −a22 . . . −a2m...

......

−an1 −an2 . . . −anm

= [−ars ]n×m

Vamos denotar tal matriz por −A.





EXEMPLO

Qual o elemento neutro, com relacao a operacao SOMA, noconjunto de matrizes C2×2?

0 =

[

0 00 0

]

Qual o inverso aditivo da matriz A =[

(3 + 2i) (−2 + i)]

emC1×2?

−A =[

(−3− 2i) (2− i)]





Sumario


2 Operacoes

3 Soma de Matrizes

4 Subtracao







Dadas duas matrizes A = [ars ] e B = [brs ], ambas de mesmaordem, definimos a subtracao da seguinte forma:

A− B = A+ (−B)

Ou seja,

A− B = [ars ] + [−brs ]

= [(ars + (−brs))]

= [(ars − brs)]

Isto e, a subtracao de duas matrizes se da elemento aelemento.





EXEMPLO Considere as matrizes

A =

3 2 14 5 68 9 0

, B =

1 2 36 5 40 9 8

A− B =

2 0 −2−2 0 28 0 −8

B − A =

−2 0 22 0 −2−8 0 8

Veja que, em geral, a subtracao e NAO COMUTATIVA.





Sumario


2 Operacoes

3 Soma de Matrizes

4 Subtracao







O quadro abaixo mostra o preco de 1kg de duas marcas de arrozem quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade.

A

E1 E2 E3 E4

A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00

A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10

Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de10% nos precos de todas as suas mercadorias. Como fica onovo quadro com os precos de arroz?

B

E1 E2 E3 E4

A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80

A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89





Vejamos as duas tabelas

A

E1 E2 E3 E4

A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00

A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10

B

E1 E2 E3 E4

A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80

A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89

Podemos denotar cada quadro acima usando matrizes:

A =

[

2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10

]

B =

[

1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89

]





Qual a relacao entre as entradas correspondentes das matrizes A eB?

A =

[

2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10

]

B =

[

1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89

]

ars/brs e sempre igual?

Se foi dado um desconto de 10%, entao o novo preco (matrizB) corresponde a 0,9 do preco antigo (matriz A), isto e:

brs = 0, 9.ars para todas as entradas.

Escreveremos B = 0, 9.A





Generalizando Seja A uma matriz de ordem n×m e α um escalar(numero real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz A

e definido por:

α.A = [α.ars ]

α.

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

=

(α.a11) (α.a12) . . . (α.a1m)(α.a21) (α.a22) . . . (α.a2m)

......

...(α.an1) (α.an2) . . . (α.anm)





Propriedades Sejam A,B matrizes de mesma ordem e α, βescalares.

α.(β.A) = (α.β).A

α.(A+ B) = α.A+ α.B

(α+ β).A = α.A+ β.A

Existe um escalar x0 tal que x0.A = A para qualquer matriz A.





Propriedades Encontremos o escalar x0 tal que x0.A = A paraqualquer matriz A.

Vamos resolver a equacao x .A = A.

x .A = A =⇒ x .[ars ] = [ars ]

=⇒ [(x .ars)] = [ars ]

=⇒ x .ars = ars para todo r ∈ 1, ..., n, s ∈ 1, ..., n=⇒ x = 1





Sumario


2 Operacoes

3 Soma de Matrizes

4 Subtracao







Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1.













Imagens coloridas: tres matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e255.





Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor paracada ’pixel’.





Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidadedas cores, isto e, multiplicar uma (ou duas, ou tres) das matrizesR,G,B por escalar(es).





R = [rij ]1920×1080 =

r11 r12 . . . r1,1080r21 r22 . . . r2,1080...

......

r1920,1 r1920,2 . . . r1920,1080

G = [gij ]1920×1080, B = [bij ]1920×1080

1.R , 1.G , 1.B α.R α.R , βG , γB


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