Matrizes-Teoria (P/imprimir)

7/31/2019 Matrizes-Teoria (P/imprimir)

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GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIROSECRETARIA DE ESTADO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

FUNDAO DE APOIO ESCOLA TCNICA - FAETECINSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAO DO RIO DE JANEIRO ISERJ

QUESTES DE MATEMTICA - NVEL: ENSINO MDIO - PROF: TELMA CASTRO SILVACURSO:__________________________ SRIE: 2 TURMA: _______ DATA: ___/___/2012

ALUNO(A):________________________________________ N:_____

Matrizes Teoria e Exerccios

1. Matriz - Conceito

Matriz m x n uma tabela de m . n nmeros reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n

colunas (filas verticais).

Exemplos:

A =

1

0 uma matriz 2 x 1

B =

523

342

101

uma matriz 3 x 3

C =

623

250

341

uma matriz quadrada de ordem 3

2. Representao de uma matriz

Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz ser representadopelo smbolo ai j, onde o ndice i refere-se linha em que se encontra tal elemento e o ndicej refere-

se coluna em que se encontra o elemento.

Exemplo 1

Seja a matriz A =

20

14

32

O elemento a1 1 = 2 (1 linha e 1 coluna)

O elemento a3 2 = -2 (3 linha e 2 coluna)

O elemento a2 2 = -1 (2 linha e 2 coluna)


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2

Exemplo 2

Escreva a matriz A = (ai j)2 x 2, onde ai j = 2i + j.

Trata-se de uma matriz quadrada de ordem 2, que pode genericamente ser representada da

seguinte forma:

A =.

2221

1211

aa

aaUtilizando a regra de formao dos elementos dessa matriz, teremos:

a1 1 = 2 . 1 + 1 = 3

a2 1 = 2 . 2 + 1 = 5

a1 2 = 2 . 1 + 2 = 4

a2 2 = 2 . 2 + 2 = 6

Portanto, temos:

65

43

Exerccios de fixao

1) Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3, onde ai j = 2i + 3j.

2) Escreva a matriz B = (bi j)4 x 1 , onde bi j = i + j.

3) Escreva a matriz C = (ci j)3 x 3, onde ci j =j

i.

3. Tipos de Matrizes

Matriz Quadrada

Considere uma matriz m x n.

Quando m = n (o nmero de linhas igual ao nmero de colunas), diz-se que a matriz quadrada de

ordem n x n ou simplesmente de ordem n.

Exemplo:

201

123

645

uma matriz de ordem 3.

Os nmeros 5 , 2 e 2 formam a diagonal principal.

Os nmeros 1 , 2 e 6 formam a diagonal secundria.


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3

Matriz Triangular

Considere uma matriz quadrada de ordem n.

Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, dizemos que a matriz

triangular.

Exemplos:

13

02,

152

043

001

e

700

540

223

Matriz Diagonal

A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principalso

nulos chamada de matriz diagonal.

Exemplos:

400

010

003

e

10

03

Matriz Nula

A matriz que tem todos os elementos iguais a zero chamada de matriz nula. A matriz nula de

ordem m x n indicada por 0m x n e a matriz nula de ordem n por 0n.

Exemplo:

00

00 e

000

000

000

Matriz Identidade

Uma matriz quadrada de ordem n chamada de matriz identidade (indica-se por In) quando os

elementos de sua diagonal principalso todos iguais a 1, e os demais iguais a zero.

Exemplos:

10

01

2I ,

100

010

001

3I


4/10

4

4. Igualdade de matrizes

Duas matrizes de mesmo tipo m x n so iguais quando todos os seus elementos correspondentes so

iguais.

Exemplo:

Determine a, b, c, d de modo que se tenha a igualdade seguinte:

dc

b

a

2

11

1

=

36

11

12

Sabendo-se que os elementos correspondentes devem ser iguais, teremos:

a = 2

b + 1 = 1

b = 0

c 2 = 6 c = 8

d = 3

Exerccios de fixao:

1) Determine x, y e z que satisfaam a igualdade:

153

21

zy

x=

056

4/321

2) Verifique se existe m, m R, para que se tenha

33

922

mm

m=

00

02

5. Operaes

Adio e Subtrao

Dadas duas matrizes, A = (ai j)m x n e B = (bi j)m x n, a matriz soma A + B a matriz C = (c i j)m x n, onde c =

ai j + bi j para todo i e todoj.

Assim, a matriz soma C do mesmo tipo que A e B, de modo que cada um de seus elementos a

soma de elementos correspondentes de A e B, conforme exemplo a seguir:

35

42+

01

63=

34

25

Encontre a matriz M de modo que a igualdade seja verdadeira:


5/10

5

24

11

32

+ M =

23

34

15

Sabe-se que a matriz procurada ter de ser do mesmo tipo, isto , 3 x 2.

24

11

32

+

fe

dc

ba

=

23

34

15

Equacionando de acordo com os termos correspondentes teremos:

2 + a = 5 a = 3

3 + b = -1 b = -4

- 1 + c = 4 c = 5

1 + d = - 3 d = - 4

4 + e = 3 e = - 1

- 2 + f = 2 f = 4

Matriz Oposta

Seja a matriz A = (a i j )m x n. Chama-se oposta de A, a matriz representada por A , tal que A + (- A) =

0, onde 0 a matriz nula do tipo m x n.

Para isso, basta trocar o sinal dos termos da matriz dada.

A =

51

73, ento A =

51

73

Matriz Diferena

Dadas duas matrizes A e B, definimos a matriz diferena A B como a soma de A com a oposta de B,

isto A B = A + (B).

24

6152

13

5232

=

24

6152

+

13

5232

=

11

1324

Multiplicao de um nmero real por uma matriz

Exemplo 1:

Seja A =

106

30

13


6/10

6

2 . A =

106

30

13

=

2012

60

26

Exemplo 2:

Resolver a equao matricial 2X = A + B, conforme segue, onde

A =

25

31e B =

01

13

Soluo

Primeiro determina-se genericamente a matriz X =

dc

ba

2.

dc

ba=

25

31+

01

13

dc

ba

22

22=

26

24

Pela igualdade obtm-se:

2a = 4a = 2

2b = 2b = 1

2c = - 6c = - 3

2d = 2d = 1

Desta forma X =

13

12

Multiplicao de Matrizes

Dadas as matrizes A = (ai j)m x n e B = (bi j)n x p, chama-seproduto de A por B, e indica-se por A . B, a

matriz C = (ci k)m x p, onde um elemento qualquer c obtido da seguinte maneira:

1) Tomamos ordenadamente os n elementos da linha i da matriz A: ai 1 , ai 2 , ..., ai n. ( I )2) Tomamos ordenadamente os n elementos da coluna k da matriz B: bi k , b2 k , ..., bn k. ( II )

3) Multiplicamos o 1 elemento de ( I ) pelo 1 elemento de ( II ), o 2 elemento de ( I ) pelo 2

elemento de ( I ) pelo 2 elemento de ( II ), e assim sucessivamente.

4 Somamos os produtos obtidos.

Assim:

ci k = ai 1 . b1 k + ai 2 . b2 k + ... + ai n . bn k

Observaes:


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7

1) O produto AB existe, se e somente se, o nmero de colunas de A for igual ao nmero de linhas de

B.

2) A matriz produto C = AB uma matriz cujo nmero de linhas igual ao nmero de linhas de A e o

nmero de colunas igual ao nmero de colunas de B.

A(m x n) . B(n x p) = C(m x p)

3) Notemos que, se A do tipo m x n e B do tipo n x p, com p diferente de m, ento AB existe, mas

BA no existe.

Exemplo 1:

Dados A =

41

05

23

e B =

26

13, determine AB.

Soluo

Como A uma matriz 3 x 2 e B uma matriz 2 x 2, o nmero de colunas de A igual ao nmero de

linhas de B; assim, est definido o produto AB, que ser uma matriz 3 x 2, isto :

AB =

3231

2221

1211

cc

cc

cc

=

41

05

23

26

13=

2.41.16.43.1

2.01.56.03.5

2.21.36.23.3

=

927

515

721

Matriz Transposta

Seja A uma matriz m x n.

Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por At) a matriz n x m cujas linhas so,

ordenadamente, as colunas de A.

Exemplo:

A =

54

26

52

46TA

Notamos que, se A de ordem m x n, ento At de ordem n x m e bj i = ai j.

Propriedades da matriz transposta

(At)t = A ( A)t = At (A + B)t = At + Bt

(AB)t

= BtA

t


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8

Matriz Simtrica

Observe a matriz A seguinte e sua transposta At

985

843

532

A e

985

843

532

TA

Comparando, vemos que A = At. Quando isso acontece, dizemos que A matriz simtrica.

Dada uma matriz quadrada A = (ai j ) n, dizemos que A matriz simtrica se, e somente se, ai j = aj i,

para todo 1 i n e 1 j n.

Matriz anti-simtrica

Observe as matrizes quadradas a seguir:

085

804

540

A e

085

804

540

TA

Comparando, vemos que A = - At. Quando isso acontece, dizemos que A matriz anti-simtrica. Note

que cada elemento ai j o oposto de aj i.

Assim, definimos:

Dada uma matriz quadrada A = (ai j ) n, dizemos que A matriz anti-simtrica se, e somente se, ai j = -

aj i, para todo 1 i n e 1 j n.

Matriz Inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A dita invertvel se existir uma matriz B tal que:

A . B = B .A = In

Neste caso, B dita inversa de A e indicada por A-1

.

Exemplo

A inversa de A =

34

02A

3/13/2

02/11A , pois:

A . A-1

=

34

02.

3/13/2

02/1=

10

01e

A-1

. A =.

3/13/2

02/1.

34

02=

10

01


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9

Exerccios Diversos

1) Escreva as matrizes:

a) A = (ai j)3 x 2 tal que ai j = 3i -2j + 4.

b) M = (ai j), com 1 i 3 e 1 j 3, tal que ai j = 3i + 2j 5.

2) Determine x e y de modo que as matrizes sejam iguais:

yx

yx

332

223e

32

27

3)Escreva a matriz diagonal:

a) de ordem 3, em que ai j = i + j para i = j.

b) de ordem 4, em que ai j = i para i = j.

4) Observe a matriz

y

x

00

40

321

. Chama-se trao de

uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz

dada de tal forma que seu trao valha 9 e x seja o triplo de y.

5) Seja a matriz A = (ai j) de ordem 3 x 2 dada por ai j = 3i j. Calcule:

a) A + A b) A + 03 x 2

6) Determine a matriz X tal que X A + B = 0, sendo dados A =

5

2

3

e B =

4

2

1

7) Qual a matriz X soluo da equao

01

10+ X =

10

01?

TESTES

1) Se A =

12

01e B =

01

24, ento a matriz 2A -

2

B:

A)

22/7

14

B)

22/910

C)

02/7

14

D)

1125

E)

24

04


10/10

10

2) Os nmeros reais x e y, que satisfazem o sistema matricial

12

21.

y

x=

3

4, so tais

que seu produto igual a:

A)2

B)1

C)0

D)1

E)2

3) Sejam as matrizes M =

13

1pe T =

q

2. Se M .T a matriz nula 2 x 1, ento p .q igual a:

A) -12 B) -15 C) -16 D) -18 E) -20

4) Dada a matriz A =

21

01

, seja A

t

a sua transposta. O produto A . A

t

a matriz:

A)

40

01

B)

51

11

C)

42

22

D)

14

10

E)

42

20

5) Sejam as matrizes A3 x 2 , B3 x 3 e C2 x 3. A alternativa em que a expresso possvel de ser

determinada :

A)B(A + C)

B)(BA) + C

C)(CB) + A

D)(AC) + B

E)A(B + C)

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