Teoria de Sistemas Lineares I - labspot.ufsc.braguinald/ensino/eel6001/sl2.pdf · Conjunto de matrizes Considere o conjunto M2×2 de todas as matrizes 2 ×2 da forma: M = x −y y

Teoria de Sistemas Lineares I


Prof. Aguinaldo S.e SilvaUniversidade Federal de Santa Catarina


Revisao de algebra linear

Conjunto

Def. Um conjunto e definido como sendo uma colecao de objetose e explicitado listando-se seus elementos.

F = {0, 1, 2, · · · }

Uma outra forma de explicitar um conjunto e evidenciando algumapropriedade comum de seus elementos:

F = {x ∈ R / x ≥ 0}

Conjuntos de interesse particular:

R : conjunto dos numeros reais

C : conjunto dos numeros complexos


Corpos numericos

Corpos numericos

Def. Um corpo numerico e um conjunto, denotado por F , deelementos escalares e duas operacoes: adicao e multiplicacao -ambas definidas sobre F , satisfazendo as seguintes propriedades:

1 ∀α, β ∈ F , α + β ∈ F , αβ ∈ F2 Os numeros 0 e 1 sao elementos de F tais que:

• α + 0 = α ∀α ∈ F• 1α = α ∀α ∈ F

3 ∀α ∈ F entao ∃ − α ∈ F tal que α + (−α) = 0

4 ∀α 6= 0 ∈ F entao ∃ 1α∈ F tal que α 1

α= 1

5 Associatividade: ∀α, β, γ ∈ F• (α + β) + γ = α + (β + γ)• (αβ)γ = α(βγ)


Corpos numericos

6 Comutatividade : ∀α, β ∈ F• α + β = β + α• αβ = αβ

7 Distributividade: ∀α, β, γ ∈ F• (α + β)γ = αγ + βγ


Corpos numericos

Exemplos

Exemplo 1

Conjunto S = {0, 1}S = {0, 1} com as definicoes usuais de soma e de multiplicacaonao formam um corpo pois:

1 + 1 = 2

Entretanto, se redefinirmos as operacoes: sendo:

0 + 0 = 0 ; 1 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1

0.1 = 0 ; 0.0 = 0 ; 1.1 = 1

Com essas operacoes S = {0, 1} forma um corpo.


Corpos numericos

Exemplos

Exemplo 2

Conjunto de matrizes

Considere o conjunto M2×2 de todas as matrizes 2 × 2 da forma:

M =

[

x −y

y x

]

onde x , y sao numeros reais arbitrarios. A soma e de multiplicacaode matrizes sao as usuais. Sejam os elementos neutros da soma eda multiplicacao:

0 =

[

0 00 0

]

; I =

[

1 00 1

]

Verificar que forma um corpo.


Espacos lineares

Espacos lineares

Consistem de um conjunto X de elementos chamados vetores.• Operacoes soma vetorial e multiplicacao por escalar.• Elemento nulo 0 ∈ X

Propriedades:

1 x + y = y + x , ∀ x , y ∈ X (comutativa)

2 (x + y) + z = x + (y + z) , ∀ x , y , z ∈ X (associativa)

3 0 + x = x , ∀ x ∈ X4 ∀ x ∈ X , ∃ (−x) ∈ X tal que x + (−x) = 0

5 (αβ)x = α(βx) , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X6 α(x + y) = αx + αy , ∀ α ∈ R , ∀ x , y ∈ X7 (α + β)x = αx + βx , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X8 1x = x , ∀ x ∈ X


Espacos lineares

Exemplos

1 Espaco X = Rn, com as operacoes de adicao vetorial e

multiplicacao por escalar definidas de maneira convencional

2 Y = {0} , 0 ∈ Rn

3 Z = span(v1, v2, . . . , vk) , vi ∈ Rn , i = 1, . . . , k

span(v1, v2, . . . , vk) ={

α1v1 + · · · + αkvk : αi ∈ R

}

4 W ={

f : R+ → Rn , f diferenciavel

}

(f1 + f2)(t) = f1(t) + f2(t) (soma)

(αf )(t) = αf (t) (multiplicacao por escalar)


Espacos lineares

Note que um elemento em W e uma trajetoria no Rn

5 V ={

x ∈ W : x = Ax}

Os elementos de V sao trajetorias do Rn solucoes do sistema

linear x = Ax

6 Espaco dos polinomios em s de grau menor ou igual a n


Subespacos lineares

Subespacos lineares

Um subespaco vetorial e um subconjunto que e tambem umespaco vetorial

Definicao

W e um subespaco vetorial de (V,F) se as seguintes condicoes

sao verificadas:

1 0 ∈ W2 ∀w1,w2 ∈ W entao w1 + w2 ∈ W3 ∀α ∈ F e ∀w ∈ W entao αw ∈ W


Subespacos lineares

Exemplos

1 X ,Y,Z sao subespacos do Rn

2 V e um subespaco de W

3 x ∈ R2 : x =

[

x1

αx1

]

e um subespaco do R2


Independencia linear. Base e Representacoes


• Os parametros considerados neste curso sao numeros reais (amenos que seja especificado diferentemente).

Matrizes: A (n × m), B (m × r), C (l × n), D (r × p)

Seja ai a i -esima coluna de A e bj a j-esima linha de B :

AB =[

a1 a2 · · · am

]

b1

b2...

bm

= a1b1 + a2b2 + · · · + ambm

CA = C[

a1 a2 · · · am

]

=[

Ca1 Ca2 · · · Cam

]



BD =

b1

b2...

bm

D =

b1D

b2D...

bmD

aibi : matriz n por r (vetor n × 1 multiplicado por vetor 1 × r)biai : so esta definido para n = r (escalar)• Espaco real de dimensao n: R

n

Cada vetor x ∈ Rn e uma enupla de numeros reais

x =

x1

x2...xn



Um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn}, xi ∈ Rn, e linearmente

dependente (LD) se e somente se existem escalaresα1, α2, . . . , αn,nao todos nulos, tais que

α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = 0

Se a igualdade for verdadeira apenas para

α1 = α2 = · · · = αn = 0

diz-se entao que o conjunto {x1, x2, . . . , xn} e linearmente

independente (LI).



Se um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn} e linearmentedependente, existe pelo menos um αi diferente de zero e (porexemplo, se α1 6= 0)

x1 = − 1

α1[α2x2 + α3x3 · · · + αnxn]

isto e, um dos vetores (mas nao necessariamente qualquer um)pode ser escrito como uma combinacao linear dos demais.



Equivalentemente, os vetores sao LI se

α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = β1x1 + β2x2 + · · · + βnxn

=⇒ α1 = β1 ; α2 = β2 ; · · · ; αn = βn

Ou ainda, se nenhum vetor xi puder ser expresso como combinacaolinear dos demais.O conceito de dependencia linear depende do tipo (corpo) doescalar considerado.



Considere o conjunto das funcoes racionais em s

{

s

s + 1,

1

s + 2

}

Nao existem escalares reais α1, α2 nao todos nulos tais que

α1s

s + 1+ α2

1

s + 2= 0

No entanto, para escalares pertencentes ao corpo das funcoesracionais em s, a igualdade vale se

α1 = − 1

s + 2; α2 =

s

s + 1



Dimensao

Definicao

A dimensao de um espaco vetorial e o numero maximo de vetores

LI desse espaco.

• Assim, no Rn ha no maximo n vetores LI.

• A dimensao de um espaco vetorial pode ser infinita: considereo espaco das funcoes contınuas no intervalo [a, b]. Emparticular, as funcoes t, t2, t3, . . ..

∞∑

i=1

αi ti = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = · · · = 0



Base

Definicao

Um conjunto de vetores LI do Rn e uma base se qualquer vetor

x ∈ Rn puder ser expresso de forma unica como uma combinacao

linear destes vetores.

• Em um espaco de dimensao n, qualquer conjunto de n vetoresLI forma uma base

• Quaisquer duas bases de um espaco n-dimensional possuem omesmo numero de elementos.

Seja {q1, q2, . . . , qn} uma base para o Rn, entao qualquer vetor

x ∈ Rn pode ser escrito de maneira unica como

x = α1q1 + α2q2 + · · · + αnqn



Definindo a matriz quadrada Q (n × n)

Q ,[

q1 q2 · · · qn

]

x = Q

α1

α2...

αn

= Qα

α ,[

α1 α2 · · · αn

]

′

e a representacao de x na base{q1, q2, . . . , qn}.



A qualquer vetor x ∈ Rn, pode-se associar a base ortonormal

e1 =

100...00

, e2 =

010...00

, . . . , en =

000...01

Um vetor x na base ortonormal {e1, e2, . . . , en} se escreve

x =

x1

x2...xn

= x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = In

x1

x2...xn

=⇒ confunde-se com sua representacao.



Exemplo

Considere o conjunto dos polinomios de grau menor do que 4.

Base: e1 = s3; e2 = s2; e3 = s; e4 = 1Se x = s3 + 4s2 − 4s + 10, entao

x =[

e1 e2 e3 e4

]

14−410

,

[

1 4 −4 10]

′

e a representacao de x na base escolhida.



Mudanca de Base

Se β e β sao as representacoes de um vetor x ∈ Rn em relacao as

bases {e1, e2, . . . , en} e {e1, e2, . . . , en}, entao

x =[

e1 e2 · · · en

]

β =[

e1 e2 · · · en

]

β

→ representar ei em termos de {e1, e2, . . . , en} ou vice-versa.

Seja pi =

p1i

p2i...

pni

a representacao de ei na base {e1, e2, . . . , en}:



Entao:

ei =[

e1 e2 · · · en

]

p1i

p2i...

pni

, Epi , i = 1, 2, . . . , n

Usando notacao matricial[

e1 e2 · · · en

]

=[

Ep1 Ep2 · · · Epn

]

= E[

p1 p2 · · · pn

]

=[

e1 e2 · · · en

]

p11 p12 · · · p1n

p21 p22 · · · p2n...

.... . .

...pn1 pn2 · · · pnn

,[

e1 e2 · · · en

]

P



x =[

e1 e2 · · · en

]

Pβ =[

e1 e2 · · · en

]

β

Como a representacao e unica: β = PβAnalogamente, representando ei na base {e1, e2, . . . , en}, obtem-seβ = Qβ.Conhecida a representacao de um vetor numa base, a representacaoem outra base pode ser automaticamente determinada:

β = Pβ = PQβ , ∀β

PQ = I → P = Q−1



Exemplo

Polinomios de grau menor do que 4.

Base: e1 = s3 − s; e2 = s2 − s; e3 = s − 1; e4 = 1Se x = s3 + 4s2 − 4s + 10, entao

x =[

e1 e2 e3 e4

]

14111


Operadores lineares

Transformacao Linear

Uma funcao f : X → Y e um operador linear se

f (α1x1 + α2x2) = α1f (x1) + α2f (x2)

para quaisquer escalares α1, α2 e x1, x2 ∈ X .

y = f (x) ; x ∈ X (domınio) , y ∈ Y (contradomınio (range))


Operadores lineares

Exemplo

Seja g uma funcao contınua sobre [0,T ]. A transformacao

y(t) =

∫ T

0g(t − τ)x(τ)dτ

e linear, levando do espaco das funcoes contınuas no intervalo[0,T ] para o mesmo espaco.


Operadores lineares

Teorema

Sejam X e Y espacos lineares de dimensao n e m,respectivamente. Sejam {x1, x2, . . . , xn} vetores LI de X . Entao, ooperador linear L : X → Y e unicamente determinado pelos n

pares yi = L(xi ), i = 1, 2, . . . , n. Alem disso, com relacao a base{x1, x2, . . . , xn} de X e a base {u1, u2, . . . , um} de Y, L pode serrepresentado por uma matriz A m × n. A i -esima coluna de A e arepresentacao de yi na base {u1, u2, . . . , um}.

Prova: Como L e linear,

L(x) = L(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)

= α1L(x1) + α2L(x2) + · · · + αnL(xn)

= α1y1 + α2y2 + · · · + αnyn


Operadores lineares

Seja

a1i

a2i...

ami

a representacao de yi na base {u1, . . . , um}

yi =[

u1 u2 · · · um

]

a1i

a2i...

ami

, i = 1, 2, . . . , n

Neste caso,

L([

x1 x2 · · · xn

]

) =[

y1 y2 · · · yn

]

=[

u1 u2 · · · um

]

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

,[ ]


Operadores lineares

Em relacao as bases {x1, x2, . . . , xn} e {u1, u2, . . . , um},

y = L(x)[

u1 u2 · · · um

]

β = L([

x1 x2 · · · xn

]

α)

=[

u1 u2 · · · um

]

Aα =⇒ β = Aα

Para se descrever a transformacao, nao ha diferenca entreespecificar x , y ou α, β. E claro que A (representacao datransformacao linear) depende das bases escolhidas.


Operadores lineares

Transformacao de Similaridade

Considere a transformacao linear L : X → Y, com a mesma basepara o domınio X e o contra-domınio Y.

{e1, e2, . . . , en} → A , {e1, e2, . . . , en} → A

xL

y (= L(x))

[

e1 · · · en

]

α

[

e1 · · · en

]

α

β (= Aα)

β (= Aα)

A

A

PP Q Q = P−1


Operadores lineares

A = PAP−1 = Q−1AQ

A = P−1AP = QAQ−1

=⇒ Q = P−1

A, A : matrizes similares

PAP−1, P−1AP : Transformacoes de Similaridade

Todas as representacoes de um operador linear sao similares. Umamatriz A ∈ R

n×n pode ser vista como a representacao de umoperador linear ou como o operador linear propriamente dito.


Operadores lineares

Exemplo de transformacao linear

A transformacao que rotaciona um ponto no plano de 90o nosentido anti-horario

x1

x2 = y1

x3

y2

y3


Operadores lineares

Em relacao a base {x1, x2}

y1 = L(x1) =[

x1 x2

]

[

01

]

y2 = L(x2) =[

x1 x2

]

[

−10

]

Portanto,

A =

[

0 −11 0

]


Operadores lineares

A representacao de y3 com relacao a base {x1, x2} e

β = Aα =

[

0 −11 0

] [

1.50.5

]

=

[

−0.51.5

]

[

1.50.5

]

e a representacao de x3 na base {x1, x2}


Operadores lineares

Matriz como Operador Linear

Seja a funcao linear L : Rn → R

n descrita pela matriz A ∈ Rn×n

y = L(x) = A(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn)

= α1Ax1 + α2Ax2 + · · · + αnAxn

=⇒ yi = Axi , i = 1 · · · n

Na base ortonormal, xi = ei e, portanto, yi = Aei = ai (i -esimacoluna de A) que coincide com sua representacao na baseortonormal unitaria (representacao de A = A)


Operadores lineares

Matriz como Operador Linear

Independente da base αL=A−→ β

[e1 e2 . . . en] αA−→ β

Q ↑ ↑ Q

Base [q1 q2 . . . qn] αA−→ β

A =

i-esima colunaRepresentacao de Aqi

com relacao a[q1 q2 . . . qn]

A = Q−1AQ

Q = [q1 q2 . . . qn]


Operadores lineares

Exemplo

A =

3 2 −1−2 1 04 3 1

; b =

001

Considere os vetores {b,Ab,A2b} (sao LI):

Ab =

−101

; A2b =

−42−3

; A3b =

−510−13

A e a representacao de A na base {b,Ab,A2b}:


Operadores lineares

A(b) =[

b Ab A2b]

010

A(Ab) =[

b Ab A2b]

001

A(A2b) =[

b Ab A2b]

17−155

=⇒ A =

0 0 171 0 −150 1 5

(Forma Companheira)


Operadores lineares

Representacao de A ∈ Rn×n na base {q1, q2, . . . , qn}

A = Q−1AQ ; Q ,[

q1 q2 · · · qn

]

i -esima coluna de Q:=⇒ representacao de qi na base ortonormal {e1, . . . , en} = qi

A = Q−1AQ → QA = AQ

ou, como Q =[

q1 q2 · · · qn

]

,

[

q1 q2 · · · qn

]

A =[

Aq1 Aq2 · · · Aqn

]

ai e a i -esima coluna de A, representacao de Aqi na base{q1, . . . , qn}. Uma escolha adequada da base {q1, q2, . . . , qn}pode levar a representacoes importantes.


Operadores lineares

Seja A ∈ Rn×n. Se existir um vetor b ∈ R

n×1 tal que o conjuntode n vetores {b,Ab,A2b, . . . ,An−1b} seja linearmenteindependente e se

An = β1b + β2Ab + · · · + βnAn−1b

entao a representacao de A na base {b,Ab,A2b, . . . ,An−1b} edada por (forma companheira)

A =

0 0 · · · 0 β1

1 0 · · · 0 β2

0 1 · · · 0 β3...

.... . .

......

0 0 · · · 0 βn−1

0 0 · · · 1 βn


Normas e produto interno

Norma de vetores

Qualquer funcao real representada por ‖x‖ pode ser definida comouma norma se para qualquer x ∈ R

n e para qualquer escalar α ∈ R

1 ‖x‖ ≥ 0 ; ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0

2 ‖αx‖ = | α | ‖x‖3 ‖x1 + x2‖ ≤ ‖x1‖ + ‖x2‖ (Desigualdade Triangular)



Exemplo

‖x‖p =

(

n∑

i=1

| xi |p)

1p

; p ≥ 1 p inteiro

‖x‖2 =√

x ′x (norma Euclidiana)

‖x‖∞ = maxi

| xi | (norma infinito)

x

a

b



Produto Interno

Para dois vetores x , y ∈ Rn, define-se o produto interno (ou

produto escalar) como

⟨

x , y⟩

, x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = x ′y

Propriedades:

1

⟨

αx , y⟩

= α⟨

x , y⟩

2

⟨

x + y , z⟩

=⟨

x , z⟩

+⟨

y , z⟩

3

⟨

x , y⟩

=⟨

y , x⟩

4

⟨

x , x⟩

= ‖x‖2 ≥ 0

5

⟨

x , x⟩

= 0 ⇐⇒ x = 0

6 o vetor x ′ pode ser visto como uma funcao linearx ′ : R

n → R



• Identidade do paralelogramo

‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)

x

y

x + y

x − y



Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Defina ‖x‖ =(⟨

x , x⟩)

12. Entao,

|⟨

x , y⟩

| ≤ ‖x‖‖y‖

Prova: Para y = 0, a prova e imediata. Assumindo y 6= 0,

0 ≤⟨

x + αy , x + αy⟩

=⟨

x , x⟩

+ α⟨

y , x⟩

+ α⟨

x , y⟩

+ αα⟨

y , y⟩

vale ∀ α.



Escolhendo α = −

⟨

y , x⟩

⟨

y , y⟩ , tem-se

⟨

x , x⟩

≥

⟨

x , y⟩⟨

y , x⟩

⟨

y , y⟩ =

|⟨

x , y⟩

|2⟨

y , y⟩

O angulo θ entre quaisquer dois vetores x , y ∈ Rn e dado por

x

yθ (

x ′y

‖y‖

)

y

( )



x ′y = ‖x‖‖y‖ cos θ

• Se x e y sao colineares: θ = 0, x ′y = ‖x‖‖y‖ e se x 6= 0y = αx para algum α ≥ 0

• Se x e y sao vetores opostos: θ = π, x ′y = −‖x‖‖y‖ e sex 6= 0 y = −αx para algum α ≥ 0

• Se x e y sao vetores ortogonais (x ⊥ y): θ = ±π

2=⇒ x ′y = 0

• x ′y > 0 =⇒ angulo agudo; x ′y < 0 =⇒ angulo obtuso



• Dado um vetor y ∈ Rn, o conjunto{

x : x ′y ≤ 0}

define um semi-espaco em Rn (y e chamado vetor normal)

passando no ponto 0

y0

{

x : x ′y ≤ 0}



Ortonormalizacao

Um vetor x esta normalizado se sua norma Euclidiana e igual a 1,ou seja, x ′x = 1.Dois vetores x1 e x2 sao ortogonais se x ′

1x2 = x ′

2x1 = 0.Um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn} e ortonormal se

x ′

i xj =

{

0 se i 6= j

1 se i = j

Dado um conjunto de vetores LI {x1, x2, . . . , xn}, pode-se obter umconjunto de vetores ortonormais atraves do procedimento deortonormalizacao de Schmidt.



u1 = x1 q1 = u1/‖u1‖u2 = x2 − (q′

1x2)q1 q2 = u2/‖u2‖...

...

un = xn −n−1∑

k=1

(q′

kxn)qk qn = un/‖un‖

A primeira equacao apenas normaliza o vetor x1



Na segunda equacao, (q′

1x2)q1 e a projecao do vetor x2 ao longode q1, e x2 − (q′

1x2)q1 e necesssariamente ortogonal ao vetor q1.

x1 = u1

x2

q1

q2

u2

Se um conjunto de vetores u1, u2, . . . , un e ortonormal entao

U ,[

u1 u2 · · · un

]

; U ′U = In



Propriedades:

Se y = Ux , entao

n∑

i=1

y2i =

n∑

i=1

x2i , ou

‖y‖2 = ‖Ux‖2 = (Ux)′(Ux) = x ′U ′Ux = x ′x = ‖x‖2

Em outras palavras, y = Ux e um mapeamento isometrico (amultiplicacao por U nao altera a norma)

Se y = Ux e y = Ux entao⟨

y , y⟩

=⟨

x , x⟩

(a multiplicacao por

U nao altera o produto interno) pois⟨

y , y⟩

=⟨

Ux ,Ux⟩

= (Ux)′(Ux) = x ′U ′Ux =⟨

x , x⟩

e tambem nao altera o angulo ∠

⟨

y , y⟩

= ∠

⟨

x , x⟩

Se U e ortonormal, a transformacao linear y = Ux preserva anorma dos vetores ‖Ux‖ = ‖x‖ e preserva o angulo entre vetores

∠

⟨

Ux ,Ux⟩

= ∠

⟨

x , x⟩



Exemplos

Transformacoes de rotacao ou reflexao de vetores (de fato, todamatriz ortogonal descreve ou uma rotacao ou uma reflexao).



Exemplo 1

No R2, a transformacao que roda um vetor (sentido anti-horario)

de θ e dada por

y = Uθx ; Uθ =

[

cos θ − sin θsin θ cos θ

]

e1

e2

u1u2

θ



Exemplo 2

• A reflexao de um vetor na reta x2 = x1 tan(θ

2 ) e dada por

y = Rθx ; Rθ =

[

cos θ sin θsin θ − cos θ

]

e1

e2u1

u2

θ


Sistema de equacoes algebricas lineares


a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

x1

x2...xn

=

y1

y2...

ym

(Ax = y)

A (m × n) , x (n × 1) , y (m × 1)aij , yi ∈ R : dados do sistema; xi ∈ R : incognitas

Tres situacoes: m > n, m = n ou m < n

• Problema: dados A e y

1 ∃x : Ax = y?

2 Se existe solucao, qual o numero de solucoes LI?



Espaco Coluna e Posto

Espaco Coluna da matriz A ∈ Rm×n e definido como o conjunto

de todas as possıveis combinacoes lineares das colunas de A

R(A) ,

{

y = Ax : x ∈ Rn}

⊆ Rm

Posto da matriz A ∈ Rm×n e definido como a dimensao do espaco

coluna de A (ou, equivalentemente, como o numero de colunas LIem A) e denotado ρ(A).



Espaco Nulo

Espaco nulo da matriz A consiste no conjunto de vetores x ∈ Rn

tais que Ax = 0. A dimensao do espaco nulo e chamada denulidade da matriz A e denotada ν(A).

N (A) ,

{

x ∈ Rn : Ax = 0

}

Note que y = Ax pode ser escrito

y = x1a1 + x2a2 + · · · + xnan

e portanto xi ∈ R, i = 1, . . . , n sao as ponderacoes das colunas deA =

[

a1 a2 · · · an

]



Propriedades

• Para A ∈ Rm×n

ν(A) = n − ρ(A)

posto A = numero de colunas LI de A

= numero de linhas LI de A

≤ min (n,m)

• N (A) e R(A) sao espacos lineares; (N (A) e um subespaco doR

n e R(A) e um subespaco do Rm)



• Se ν(A) = 0, N (A) = {0} e as seguintes afirmacoes saoequivalentes:

· x pode ser determinado de maneira unica de y = Ax

· colunas de A sao LI

· det(A′A) 6= 0

• Se ν(A) = k, Ax = 0 possui k solucoes LI



Exemplo

Considere a matriz A ∈ R3×5 dada por

A =

0 1 1 2 −11 2 3 4 −12 0 2 0 2

=[

a1 a2 a3 a4 a5

]

Ax = x1

012

+ x2

120

+ x3

132

+ x4

240

+ x5

−1−12

a3 = a1 + a2 ; a4 = 2a2

a5 = a3 − a4 = a1 + a2 − 2a2 = a1 − a2



Ax = (x1 + x3 + x5)

012

+ (x2 + x3 + 2x4 − x5)

120

Como a1, a2 sao LI =⇒ ρ(A) = 2

Ax = 0 ⇐⇒{

x1 + x3 + x5 = 0x2 + x3 + 2x4 − x5 = 0

Numero de Equacoes = ρ(A) = 2Numero de Incognitas = 5Numero de Graus de Liberdade = 3



Possıveis solucoes LI:

v1 =

−1−1100

; v2 =

0−2010

, v3 =

−11001

{v1, v2, v3} formam uma base de N (A) ; ν(A) = 3



Teorema

• Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ R

m×1, existe umasolucao x ∈ R

n×1 da equacao

y = Ax

se e somente se y ∈ R(A) ou, equivalentemente,

ρ(A) = ρ([

A y]

)

• Dada uma matriz A, uma solucao x de y = Ax existe para todoy se e somente se ρ(A) = m (posto completo de linhas).



Teorema (parametrizacao de todas as solucoes)

• Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ R

m×1, seja xp umasolucao x ∈ R

n×1 da equacao y = Ax e seja k = n − ρ(A) = ν(A)a nulidade de A. Se ρ(A) = n (posto completo de colunas) asolucao xp e unica. Se k > 0, entao para todo αi ∈ R, i = 1, . . . , ko vetor

x = xp + α1n1 + α2n2 + · · · + αknk

sendo {n1, . . . , nk} uma base de N (A) e uma solucao de Ax = y .De fato,

Axp +

k∑

i=1

αiAni = Axp + 0 = y



Desigualdade de Sylvester

Para A ∈ Rq×n e B ∈ R

n×p

ρ(A) + ρ(B) − n ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B))

pρ(B)

N (B)

R(B)

n

d

ρ(A)

ν(A)N (A)

R(A)}R(AB)q

AB

ν(B)

Rp

Rn

Rq



• domınio de AB = R(B);• R(AB) = subespaco de R(A);• ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B));• ρ(AB) = ρ(B) − d ; ν(A) = n − ρ(A) ⇒ d ≤ n − ρ(A);• ρ(AB) ≥ ρ(A) + ρ(B) − n

Se B e uma matriz n × n nao singular

ρ(A) + ρ(B) − n = ρ(A) ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), n) ≤ ρ(A)



Seja A ∈ Rm×n. Entao

ρ(AC ) = ρ(A) ; ρ(DA) = ρ(A)

para quaisquer matrizes C ∈ Rn×n e D ∈ R

m×m nao singulares.

• O posto de uma matriz nao se altera ao ser pre oupos-multiplicada por uma matriz nao singular.

Seja A ∈ Cm×n e A∗ sua conjugada transposta. Entao,

• ρ(A) = n ⇐⇒ ρ(A∗A) = n ; det(A∗A) 6= 0

• ρ(A) = m ⇐⇒ ρ(AA∗) = m ; det(AA∗) 6= 0

A∗A n × n ; AA∗ m × m



Observe que ρ(A) = n implica

• n ≤ m

• Aα = 0 ⇒ α = 0



Inversa

Se A ∈ Rn×n (matriz quadrada), A e inversıvel ou nao-singular se

det(A) 6= 0.Condicoes equivalentes:

• as colunas de A formam uma base para o Rn

• as linhas de A formam uma base para o Rn

• a equacao y = Ax tem uma solucao unica x = A−1y para todoy ∈ R

n. Em particular, a unica solucao de Ax = nesse caso e x = 0• AA−1 = A−1A = I

• N (A) = {0}• R(A) = R

n

• det(A′A) = det(AA′) 6= 0

A−1 =1

det(A)Adj (A)



Inversa

Adj (A): matriz adjunta da matriz A

Adj (A) = [Co (A)]′

Co (A): matriz cofatora de A, composta pelos cofatores Cij damatriz A.


Autovalores, autovetores. Formas de Jordan


Um escalar λ ∈ C e um autovalor (valor proprio) de A ∈ Rn×n se

existe um vetor x ∈ Cn nao nulo tal que

Ax = λx

Qualquer vetor x ∈ C que satisfaca Ax = λx e chamado deautovetor (vetor proprio) de A associado a λ (mais precisamente,esta e a definicao para autovetores a direita de A).

• Ax = λx pode ser visto como (A − λI)x = 0

• ∃x ∈ Cn, x 6= 0 : (A − λI)x = 0 ⇔ det(A − λI) = 0

• ∆(λ) , det(λI − A) : polinomio (monico) caracterıstico de A

• ∆(λ) = 0 : equacao caracterıstica de A

• Grau de ∆(λ) = n e portanto A ∈ Rn×n possui n autovalores.



Exemplo

Considere a matriz A

A =

[

a11 a12

a21 a22

]

; A − λI =

[

a11 − λ a12

a21 a22 − λ

]

det (A − λI) = (λ − a11)(λ − a22) − a12a21

= λ2 − (a11 + a22)λ − (a12a21 − a11a22)

= λ2 − traco(A)λ + det(A)



det(A) =

n∑

j=1

aijCoij ; Coij : cofator de aij

Coij = (−1)i+jMij ; Mij : det de A sem a linha i e a coluna j



Note que λ ∈ C e um autovalor de A ∈ Rn×n se

∆(λ) = det(λI − A) = 0

Essa condicao e equivalente a existencia de y ∈ C tal que

y ′A = λy ′ =⇒ y ′(λI − A) = 0

e qualquer y que satisfaca a relacao acima e chamado de autovetora esquerda de A (associado ao autovalor λ).

• Se v ∈ Cn e um autovetor associado a λ ∈ C, entao v (complexo

conjugado de v) e um autovetor associado a λ.• Se v e um autovetor de A, a transformacao linear A aplicadasobre v produz um escalonamento de λ (na direcao v).



• Matrizes na forma companheira

0 0 0 −α4

1 0 0 −α3

0 1 0 −α2

0 0 1 −α1

;

−α1 −α2 −α3 −α4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

e suas transpostas tem o seguinte polinomio caracterıstico:

∆(λ) = λ4 + α1λ3 + α2λ

2 + α3λ + α4



Autovalores distintos

Teorema: Sejam λ1, λ2, . . . , λn autovalores distintos de A e vi umautovetor de A associado ao autovalor λi , i = 1, 2, . . . , n. Entao, oconjunto de autovetores {v1, v2, . . . , vn} e LI.Prova: Primeiramente, note que

(A − λj I)vi =

{

(λi − λj)vi , j 6= i

= 0 , j = i

Supondo (por absurdo) que {v1, v2, . . . , vn} e LD, existemescalares α1, α2, . . . , αn nao todos nulos tais que

n∑

i=1

αivi = 0



Sem perda de generalidade, assuma α1 6= 0. Entao,

(A − λnI)

n∑

i=1

αivi =

n−1∑

i=1

αi (λi − λn)vi

(A − λn−1I)(A − λnI)n∑

i=1

αivi =n−2∑

i=1

αi(λi − λn)(λi − λn−1)vi

...

α1(λ1 − λ2)(λ1 − λ3) · · · (λ1 − λn)v1 = 0

Como λi 6= λj , j = 2, 3, . . . , n, α1 = 0, o que contradiz a hipoteseinicial. Como conclusao,

{v1, v2, . . . , vn} LI → Base do Cn



Forma Diagonal

Seja A a representacao de A na base formada pelos autovetores{v1, v2, . . . , vn}. A i -esima coluna de A = representacao deAvi = λivi

na base {v1, v2, . . . , vn}. Entao,

Avi =[

v1 v2 · · · vi · · · vn

]

00...λi

...0



A =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

= Q−1AQ

Q =[

v1 v2 · · · vn

]

=⇒ Existe uma representacao diagonal se todos os autovalores deA sao distintos.

• Q define uma transformacao de similaridade que diagonaliza amatriz A

• Portanto, se Q =[

v1 v2 · · · vn

]

e tal que A = Q−1AQ

e uma matriz diagonal, entao

AQ = QA =⇒ Avi = λivi , i = 1 · · · n

e {v1, v2, . . . vn} sao autovetores LI de A.



Exemplo

A =

1 0 −10 2 00 0 3

, λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3

(A − λ1I)v1 = 0

0 0 −10 1 00 0 2

v11

v21

v31

= 0

−v31 = 0v21 = 02v31 = 0

→ v1 =

100



(A − λ2I)v2 = 0

−1 0 −10 0 00 0 1

v12

v22

v32

= 0

−v12 − v32 = 0

v32 = 0→ v2 =

010



(A − λ3I)v3 = 0

−2 0 −10 −1 00 0 0

v13

v23

v33

= 0

−2v13 − v33 = 0−v23 = 0

→ v13 = −0.5v33 ; v3 =

−0.501

{v1, v2, v3} sao LI A =

1 0 00 2 00 0 3

, Q =[

v1 v2 v3

]



Considere entretanto

A =

1 0 −10 1 00 0 2

, λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2

(A − λ1I)v1 = 0 =⇒

0 0 −10 0 00 0 1

v11

v21

v31

= 0

Solucoes LI: v1 =

100

, v2 =

010



(A − λ3I)v3 = 0 =⇒

−1 0 −10 −1 00 0 0

v13

v23

v33

= 0

; v3 =

−101

, Q =[

v1 v2 v3

]



• Multiplicidade Geometrica (MG) de λ1 : 2 (numero de solucoesLI associadas ao autovalor)• No caso geral, tem-se: Multiplicidade Geometrica (MG) ≤Multiplicidade Algebrica (MA)• Se a Multiplicidade Geometrica for menor que a MultiplicidadeAlgebrica, entao nao e possıvel determinar autovetores {v1, v2, v3}LI.



Autovalores complexos

Considere a matriz

A =

−1 1 10 4 −130 1 0

Polinomio caracterıstico: (λ + 1)(λ2 − 4λ + 13)

Autovalores: −1, 2 + j3 e 2 − j3

Note que autovalores complexos sempre aparecem em parescomplexo conjugados para matrizes com coeficientes reais.



Autovetores:

100

;

j

−3 + j2j

;

−j

−3 − j2−j

Q =

1 j −j

0 −3 + j2 −3 − j20 j −j

; A =

−1 0 00 2 + j3 00 0 2 − j3



• Para autovalores nao distintos, nem sempre e possıvel obter A naforma diagonal:

A =

[

5 10 5

]

, λ1 = λ2 = 5 , MA = 2

(A − λ1I)v1 = 0

⇒[

0 10 0

] [

v11

v21

]

= 0

v1 =

[

10

]

MG = 1



Forma Canonica de Jordan

Define-se como Jk(λ) o bloco de Jordan de dimensao k × k

associado ao autovalor λ, dado por

Jk(λ) =

λ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 10 0 0 · · · λ

∈ Ck×k



Para qualquer matriz A ∈ Rn×n existe uma matriz nao singular Q

tal que

A = Q−1AQ =

Jk1(λ1)

Jk2(λ2)

. . .

Jkr(λr )

k1 + · · · + kr = n

sendo que A tem r autovalores distintos λ1, . . . , λr entre n

possıveis.



Associados aos r autovalores distintos, pode-se determinar r

autovetores LI {v1, v2, . . . , vr} a partir de

(A − λi I)vi = 0 , i = 1, 2, . . . , r

• A e em geral bidiagonal superior, sendo diagonal no caso de n

blocos de Jordan de tamanho k = 1

• A forma de Jordan e unica para uma dada matriz A (salvoeventuais permutacoes entre os blocos)

• Pode haver multiplos blocos associados ao mesmo autovalor



Os autovetores associados ao bloco de Jordan Jki(λi ) verificam:

[

vi1 vi2 · · · viki

]

λi 1 0 · · · 00 λi 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 10 0 0 · · · λi

= A[

vi1 vi2 · · · viki

]

Definindo vi1 , vi (autovetor associado ao autovalor λi) tem-se

λivi1 = Avi1 =⇒ (A − λi I)vi1 = 0vi1 + λivi2 = Avi2 =⇒ (A − λi I)vi2 = vi1

...vi(ki−1) + λiviki

= Aviki=⇒ (A − λi I)viki

= vi(ki−1)

• Note que sempre existe vi1 6= 0 tal que (A − λi I)vi1 = 0(definicao de autovetor)



• Da equacao que define vi2 tem-se

(A − λi I)(A − λi I)vi2 = (A − λi I)vi1 = 0

{

(A − λi I)2vi2 = 0

(A − λi I)vi2 6= 0=⇒ Autovetor Generalizado de λi

v e um autovetor generalizado de grau ℓ de A associado aoautovalor λ se

(A − λI)ℓv = 0(A − λI)ℓ−1v 6= 0



Note que um autovetor generalizado v de grau 1 satisfaz

(A − λI)v = 0 ; v 6= 0

e portanto e um autovetor.• O numero de blocos de Jordan associados ao autovalor λ e dadopor

ν(A − λI)

• A forma canonica de Jordan e util do ponto de vista conceitual,nao sendo usada para calculos computacionais.



Exemplo

A =

0 6 −51 0 23 2 4

∆(λ) = λ3 − 4λ2 + 5λ − 2 = ; λ1 = 2 , λ2 = λ3 = 1

Autovetor associado ao autovalor λ1 = 2:

(A − 2I)v1 =

−2 6 −51 −2 23 2 2

v1a

v1b

v1c

= 0 ; v1 =

−212



Para o autovalor λ2 = 1:

(A − 1I)v2 =

−1 6 −51 −1 23 2 3

v2 = 0

Note que a 3a linha e igual a 1a mais (4×)2a =⇒ν(A − 1I) = 1



Portanto, existe 1 bloco de Jordan associado ao autovalor λ = 1;com isso, sabe-se que a forma de Jordan e dada por

A = Q−1AQ =

2 0 0

0 1 10 0 1

Um autovetor v2 pode ser obtido da expressao acima:

v2 =

−13/75/7



A partir de v21 , v2 pode-se determinar o autovetor generalizadov22

(A − 1I)v22 = v21 ; v22 =

−122/4946/49

Q =[

v1 v21 v22

]

• “Ajuda” do Matlab e importante.



Considere A ∈ R4×4 com um autovalor λ de multiplicidade

algebrica igual a 4. Assuma que ν(A − λI) = 1. Assim,

(A − λI)v = 0

possui apenas uma solucao linearmente independente. Para formaruma base do R

4, tres outros vetores LI sao necessarios. Os tresvetores (autovetores generalizados) v2, v3 e v4 devem satisfazer aspropriedades:

(A − λI)2v2 = 0(A − λI)3v3 = 0(A − λI)4v4 = 0

A partir do autovetor generalizado de grau 4 v , a cadeia deautovetores generalizados de tamanho 4 pode ser gerada daseguinte forma:

v4 , v

v3 , (A − λI)v4 = (A − λI)v

v2 , (A − λI)v3 = (A − λI)2v

v , (A − λI)v = (A − λI)3v



Como pode ser verificado, valem as propriedades: (A − λI)v1 = 0,(A − λI)2v2 = 0, (A − λI)3v3 = 0 e (A − λI)4v4 = 0.Os vetores gerados dessa maneira sao LI. Das equacoes, obtem-se

Av1 = λv1

Av2 = v1 + λv2

Av3 = v2 + λv3

Av4 = v3 + λv4

Forma de Jordan (representacao na base {v1, v2, v3, v4}):

A =

λ 1 0 00 λ 1 00 0 λ 10 0 0 λ

• Se a ordem dos vetores da base for invertida, a representacaopassa a ser bidiagonal inferior.



Considere agora A ∈ R4×4 com um autovalor λ de multiplicidade

algebrica igual a 4 mas ν(A − λI) = 2. Assim,

(A − λI)v = 0

possui 2 solucoes LI. Dois autovetores podem ser obtidos en − 2 = 4 − 2 = 2 autovetores generalizados sao necessarios.

A partir de cada um dos autovetores, gera-se uma cadeia deautovetores generalizados. As possıveis formas de Jordan nestecaso sao:

A1 =

λ 1 0 00 λ 1 00 0 λ 00 0 0 λ

; A2 =

λ 1 0 00 λ 0 00 0 λ 10 0 0 λ



Exemplo

A =

3 −1 1 1 0 01 1 −1 −1 0 0

0 0 2 0 1 10 0 0 2 −1 −1

0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1

Propriedade (A e C matrizes quadradas)

det

[

A B

0 C

]

= det A det C



∆(λ) = det(A− λI) = [(3 − λ)(1 − λ) + 1] (2− λ)2[

(1 − λ)2 − 1]

= (2 − λ)2(2 − λ)2(2 − λ)λ = (2 − λ)5λ

Autovalores: λ1 = 2, MA= 5 ; λ2 = 0, MA= 1



(A − 2I) =

1 −1 1 1 0 01 −1 −1 −1 0 00 0 0 0 1 10 0 0 0 −1 −10 0 0 0 −1 10 0 0 0 1 −1

ρ(A − 2I) = 4 ⇒ ν1 = ν(A − 2I) = 6 − 4 = 2 → MG = 2

• A forma de Jordan apresenta dois blocos (MG=2) associados aoautovalor λ1 = 2

A =

3 −1 1 1 0 01 1 −1 −1 0 0

0 0 2 0 1 10 0 0 2 −1 −1

0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1



Q =

0 2 2 1 0 00 2 0 0 0 00 0 1 1 2 10 0 −1 0 −2 −1

0.5 0 0 0.5 0 1−0.5 0 0 0.5 0 1

=[

x v1 v2 v3 u1 u2

]

• x , v1 e u1 sao autovetores

A = Q−1AQ =

0 0 0 0 0 0

0 2 1 0 0 00 0 2 1 0 00 0 0 2 0 0

0 0 0 0 2 10 0 0 0 0 2



• Nem sempre e facil determinar a cadeia de autovetoresgeneralizados. Por exemplo, se v e autovetor, −v tambem e, masos autovetores generalizados podem ser diferentes

Ax = v + λx ; Ay = −v + λy



Autovalores e Autovetores de Matriz Simetrica

Sejam λ1, λ2, . . . , λn autovalores de uma matriz simetricaA ∈ R

n×n.• λi ∈ R, i = 1, . . . , n• Autovetores vi , vj associados a autovalores distintos λi 6= λj saoortogonais, isto e

⟨

vi , vj

⟩

= v ′

i vj = 0

Para mostrar que os autovalores sao reais, note que se λ ∈ C e umautovalor e v ∈ C

n e um autovetor generico de A

Av = λv ; v 6= 0 =⇒ v∗Av = λv∗v

Tomando o conjugado transposto da expressao (escalar) acima elembrando que A∗ = A (matriz simetrica)

(v∗Av)∗ = (v∗Av) = λv∗v



Subtraindo

0 = (λ − λ)v∗v =⇒ λ = λ =⇒ λ ∈ R

Para mostrar a ortogonalidade de autovetores associados aautovalores distintos:

Avi = λivi =⇒ v ′

j Avi = λiv′

j vi

Avj = λjvj =⇒ v ′

i Avj = λjv′

i vj

Como o lado esquerdo das expressoes acima e igual (A = A′),subtraindo

0 = (λi − λj)⟨

vi , vj

⟩

=⇒ vi ⊥ vj se λi 6= λj

A forma de Jordan de uma matriz simetrica A ∈ Rn×n e diagonal.



Para provar, mostra-se que nao existem autovetores generalizadosde grau k ≥ 2. Suponha, por absurdo, que para algum λi

(A − λi I)kv = 0 e (A − λi I)

k−1v 6= 0 (k ≥ 2)

Entretanto,⟨

(A − λi I)k−2v , (A − λi I)

kv⟩

= 0

Usando a simetria de A⟨

(A − λi I)k−1v , (A − λi I)

k−1v⟩

= ‖(A − λi I)k−1v‖ = 0

⇐⇒ (A − λi I)k−1v = 0

o que contradiz a hipotese inicial. Portanto, nao existe nenhumbloco de Jordan cuja ordem seja maior do que 1

∃ Q : A = Q−1AQ → diagonal



• Se A = A′, A = A′ e uma matriz diagonal (com os autovaloresreais na diagonal) e a base formada pelos autovetores e tal que

Q ′Q = I (base ortonormal)

(Q−1AQ)′ = Q ′AQ−1 = Q−1AQ =⇒ Q−1 = Q ′


Funcoes matriciais

Funcoes matriciais

Funcoes de Matriz Quadrada

Matrizes quadradas A ∈ Rn×n estao associadas a transformacoes

lineares f : Rn → R

n

Defina

A0 = I ; Ak = AA · · ·A (k vezes) ; k ∈ Z

Funcoes Polinomiais: Seja f (λ) um polinomio em λ de graufinito. Por exemplo,

f (λ) = λ2 + 5λ + 6 = (λ + 2)(λ + 3)

Uma funcao f (A) e definida como

f (A) , A2 + 5A + 6I = (A + 2I)(A + 3I)


Funcoes matriciais

Em particular, se A assume a forma bloco diagonal

A =

[

A1 00 A2

]

com A1 e A2 matrizes quadradas de qualquer ordem, tem-se

Ak =

[

Ak1 0

0 Ak2

]

; f (A) =

[

f (A1) 00 f (A2)

]


Funcoes matriciais

Como e sempre possıvel escrever A = QAQ−1 (A e arepresentacao de A na Forma Canonica de Jordan)

f (A) = f (QAQ−1) = (QAQ−1)(QAQ−1)+5(QAQ−1)+6(QQ−1)

= Q[

A2 + 5A + 6I]

Q−1 = Qf (A)Q−1

ou f (A) = Q−1f (A)Q.O polinomio mınimo de A e definido como o polinomio monico(maior coeficiente igual a 1) φ(λ) de menor grau tal que φ(A) = 0.Portanto, f (A) = 0 se e somente se f (A) = 0 (matrizes similarestem o mesmo polinomio mınimo).


Funcoes matriciais

O polinomio mınimo de uma matriz na forma de Jordan pode serobtido por inspecao.Se λi e um autovalor de A com multiplicidade ni , o polinomiocaracterıstico de A e dado por

∆(λ) = det(λI − A) =∏

i

(λ − λi )ni


Funcoes matriciais

Supondo que a forma de Jordan de A e conhecida, define-se comoo ındice de λi a maior ordem de todos os blocos de Jordanassociados a λi (denotado ni ).

Por exemplo, λ1 tem multiplicidade 4 nas quatro matrizes abaixo:

A1 =

λ1 0 0 00 λ1 0 00 0 λ1 00 0 0 λ1

; A2 =

λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 00 0 0 λ1

A3 =

λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 00 0 0 λ1

; A4 =

λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 10 0 0 λ1

=⇒ os ındices do autovalor λ1 sao, respectivamente, 1, 2, 3 e 4.


Funcoes matriciais

Usando os ındices ni de todos os autovalores λi , o polinomiomınimo pode ser expresso da seguinte forma:

φ(λ) =∏

i

(λ − λi )ni

com grau n =∑

ni ≤∑

ni = n = dimensao de A.

Nas matrizes acima, os polinomios mınimos sao:

φ1 = (λ − λ1) ; φ2 = (λ − λ1)2

φ3 = (λ − λ1)3 ; φ4 = (λ − λ1)

4

O polinomio caracterıstico e sempre ∆(λ) = (λ − λ1)4.

Portanto, o polinomio mınimo e um fator do polinomiocaracterıstico.


Funcoes matriciais

Exemplo

Forma de Jordan dada por

A =

λ 1 0 00 λ 1 00 0 λ 10 0 0 λ

Note que

(A − λI) =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

; (A − λI)2 =

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

(A − λI)3 =

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

; (A − λI)k = 0 para k ≥ 4


Funcoes matriciais

Teorema de Cayley-Hamilton

Seja ∆(λ) = det(λI − A) = λn + α1λn−1 + · · · + αn−1λ + αn o

polinomio caracterıstico de A. Entao,

∆(A) = An + α1An−1 + · · · + αn−1A + αnI = 0

isto e, toda matriz A ∈ Rn×n satisfaz seu polinomio caracterıstico.

Como ni ≥ ni , o polinomio caracterıstico contem o polinomiomınimo como um fator, ou seja, para algum polinomio h(λ)

∆(λ) = φ(λ)h(λ)

Como φ(A) = 0,

∆(A) = φ(A)h(A) = 0h(A) = 0


Funcoes matriciais

Pelo Teorema, An pode ser escrita como uma combinacao linear de{I,A, . . . ,An−1}.De fato, multiplicando-se ∆(A) = 0 por A tem-se que An+1 podeser escrito como combinacao linear de {A,A2 . . . ,An}, que por suavez pode se escrever como combinacao linear de {I,A, . . . ,An−1},e assim sucessivamente.

Para qualquer polinomio f (λ), independentemente do grau, evalores apropriados de βi , f (A) pode ser expresso na forma

f (A) = β0I + β1A + · · · + βn−1An−1

Na verdade, se o polinomio mınimo (grau n) de A e conhecido, A

pode ser expressa como combinacao linear de {I,A, . . . ,An−1}.


Funcoes matriciais

Expressando um polinomio qualquer f (λ) na forma

f (λ) = q(λ)∆(λ) + h(λ)

q(λ): quociente da divisao por ∆(λ)

h(λ): resto da divisao (grau menor que n)

f (A) = q(A)∆(A) + h(A) = q(A)0 + h(A) = h(A)

Uma alternativa a divisao de polinomios acima e dada a seguir.Defina h(λ) como

h(λ) = β0 + β1λ + · · · + βn−1λn−1

βi , i = 0, . . . , n − 1: incognitas a serem obtidas


Funcoes matriciais

Se os n autovalores de A sao distintos, βi podem ser obtidosdiretamente das n equacoes

f (λi ) = q(λi )∆(λi ) + h(λi ) = h(λi) , i = 1, 2, . . . , n

Se A tem autovalores com multiplicidade maior do que 1, aexpressao acima tem que ser diferenciada (em relacao a λ) parafornecer novas equacoes.


Funcoes matriciais

Seja f (λ) uma funcao dada e seja A ∈ Rn×n com o polinomio

caracterıstico

∆(λ) =

m∏

i=1

(λ − λi )ni ; n =

m∑

i=1

ni

Defina o polinomio de grau n − 1 (com n coeficientes adeterminar):

h(λ) = β0 + β1λ + · · · + βn−1λn−1


Funcoes matriciais

Os n coeficientes βi podem ser obtidos do conjunto de n equacoesdadas por

f (ℓ)(λi ) = h(ℓ)(λi )

{

ℓ = 0, 1, . . . , ni − 1i = 1, 2, . . . ,m

onde f (ℓ)(λi ) ,d ℓf (λ)

dλℓ

∣

∣

∣

∣

λ=λi

; h(ℓ)(λi ) ,d ℓh(λ)

dλℓ

∣

∣

∣

∣

λ=λi

Neste caso, f (A) = g(A) e diz-se que h(λ) e igual a f (λ) noespectro (conjunto dos autovalores) de A.


Funcoes matriciais

• Dois polinomios que tenhas os mesmos valores no espectro deA definem a mesma funcao matricial.

• O resultado acima pode ser usado para qualquer funcao f (λ)(nao necessariamente polinomial), definindo-se f (A) = h(A) ecomputando-se os coeficientes βi , i = 0, . . . , n − 1.

• Qualquer polinomio h(λ) de grau n − 1, com n parametrosindependentes, poderia ser usado.


Funcoes matriciais

Exemplo 1

A100 , A =

[

1 20 1

]

; ∆(λ) = det(λI − A) = (λ − 1)2

g(λ) = α0 + α1λ

Espectro de A: λ = 1 , f (λ) = λ100

f (1) = g(1) → 1100 = α0 + α1

d

dλf (1) =

d

dλg(1) → 100(199) = α1

=⇒ α0 = −99 ; α1 = 100

A100 = f (A) = g(A) = α0I + α1A =

[

1 2000 1

]


Funcoes matriciais

Exemplo 2

Calcule exp(At), isto e, se f (λ) = exp(λt), encontre f (A)

A =

0 0 −20 1 01 0 3

; ∆(λ) = (λ − 1)2(λ − 2) , n1 = 2, n2 = 1

g(λ) = α0 + α1λ + α2λ2 ; f (A) = α0I + α1A + α2A

2

f (1) = g(1) → exp(t) = α0 + α1 + α2

f ′(1) = g ′(1) → t exp(t) = α1 + 2α2

f (2) = g(2) → exp(2t) = α0 + 2α1 + 4α2

α0 = −2t exp(t) + exp(2t) ; α1 = 3t exp(t) + 2 exp(t) − 2 exp(2t)

α2 = exp(2t) − exp(t) − t exp(t)


Funcoes matriciais

f (A) =

2 exp(t) − exp(2t) 0 2 exp(t) − 2 exp(2t)0 exp(t) 0

− exp(t) + exp(2t) 0 2 exp(2t) − exp(t)


Funcoes matriciais

Exemplo 3

Obtenha a expressao de f (A) para

A =

λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 10 0 0 λ1

O polinomio caracterıstico e dado por ∆(λ) = (λ − λ1)4.

Escolhendo (de maneira conveniente)

h(λ) = β0 + β1(λ − λ1) + β2(λ − λ1)2 + β3(λ − λ1)

3

A condicao f (λ) = h(λ) no espectro de A fornece

β0 = f (λ1) ; β1 = f ′(λ1) ; β2 =f ′′(λ1)

2!; β3 =

f (3)(λ1)

3!


Funcoes matriciais

Assim,

f (A) = f (λ1)I +f ′(λ1)

1!(A − λ1I)

+f ′′(λ1)

2!(A − λ1I)

2 +f (3)(λ1)

3!(A − λ1I)

3

Usando as propriedades de (A − λI)k

f (A) =

f (λ1) f ′(λ1)/1! f ′′(λ1)/2! f (3)(λ1)/3!0 f (λ1) f ′(λ1)/1! f ′′(λ1)/2!0 0 f (λ1) f ′(λ1)/1!0 0 0 f (λ1)


Funcoes matriciais

Por exemplo, para f (λ) = exp(λt)

exp(At) =

exp(λ1t) t exp(λ1t) t2 exp(λ1t)/2! t3 exp(λ1t)/3!0 exp(λ1t) t exp(λ1t) t2 exp(λ1t)/2!0 0 exp(λ1t) t exp(λ1t)0 0 0 exp(λ1t)


Funcoes matriciais

Exemplo 5

Considere a matriz (com dois blocos de Jordan)

A =

λ1 1 0 0 00 λ1 1 0 00 0 λ1 0 00 0 0 λ2 10 0 0 0 λ2

• Se f (λ) = exp(λt)= eλt , entao

exp(At) = eAt =

eλ1t teλ1t t2eλ1t/2! 0 00 eλ1t teλ1t 0 00 0 eλ1t 0 00 0 0 eλ2t teλ2t

0 0 0 0 eλ2t


Funcoes matriciais

• Se f (λ) = (s − λ)−1, entao

(sI − A)−1 =

1

(s − λ1)

1

(s − λ1)21

(s − λ1)30 0

01

(s − λ1)

1

(s − λ1)20 0

0 01

(s − λ1)0 0

0 0 01

(s − λ2)

1

(s − λ2)2

0 0 0 01

(s − λ2)


Funcoes matriciais

Funcao exponencial eAt

A serie

eλt = 1 + λt +λ2t2

2!+ · · · + λntn

n!. . .

converge para todo t e λ.Entao

eAt = I + tA +t2

2!A2 + · · · =

∞∑

k=0

1

k!tkAk

Esta serie converge rapidamente e pode ser usada para calculareAt .


Funcoes matriciais

Propriedades de eAt

e0 = I

eA(t1+t2) = eAt1eAt2

[

eAt]

−1= e−At


Funcoes matriciais

Derivada de eAt

d

dteAt =

∞∑

k=1

1

(k − 1)!tk−1Ak

= A

(

∞∑

k=0

1

k!tkAk

)

=

(

∞∑

k=0

1

k!tkAk

)

A

Portantod

dteAt = AeAt = eAtA

Obs: e(A+B)t 6= eAteBt


Funcoes matriciais

Transformada de Laplace de eAt

Desde que

L[

tk

k!

]

= s−(k+1)

Aplicando a transformada de Laplace a

eAt = I + tA +t2

2!A2 + · · · =

∞∑

k=0

1

k!tkAk

tem-se

L[

eAt]

=

∞∑

k=0

s−(k+1)Ak

= s−1∞∑

k=0

(s−1A)k


Funcoes matriciais

A serie infinita

∞∑

k=0

(s−1λ)k = 1 + s−1λ + s−2λ2 + · · · = (1 − s−1λ)−1

converge para |s−1λ| < 1.Entao

s−1∞∑

k=0

(s−1A)k = s−1I + s−2A + s−3A2 + . . .

= s−1(I − s−1A)−1 =[

s(I − s−1A)]

−1= (sI − A)−1

Entao: L[

eAt]

= (sI − A)−1


Funcoes matriciais

Teorema de Cayley-Hamilton

Seja ∆(λ) = det(λI − A) = λn + α1λn−1 + · · · + αn−1λ + αn o

polinomio caracterıstico de A. Entao,

∆(A) = An + α1An−1 + · · · + αn−1A + αnI = 0

• Se A e uma matriz diagonalizavel, entao existe umatransformacao de similaridade dada pela matriz Q tal que

A = QΛQ−1 ; Λ diagonal ; A2 = (QΛQ−1)(QΛQ−1) = QΛ2Q−1

A3 = QΛ3Q−1 , . . . , Ak = QΛkQ−1

∆(A) = Q[

Λn + α1Λn−1 + · · · + αn−1Λ + αnI

]

Q−1

e cada termo dentro dos colchetes e uma matriz diagonal cujoelemento (i , i) e dado por

λni + α1λ

n−1i + · · · + αn−1λi + αn = ∆(λi) = 0

pois λi e um autovalor de A.


Funcoes matriciais

• O teorema de Cayley-Hamilton fornece uma formula explıcitapara o calculo da matriz inversa

A−1 = − 1

αn

[

An−1 + α1An−2 + · · · + αn−1I

]

No caso geral, a matriz A sempre pode ser reduzida a forma deJordan

A = Q−1AQ ; ∆(A) = Q[

An +α1An−1 + · · ·+αn−1A+αnI

]

Q−1


Funcoes matriciais

Para mostrar que a matriz dentro dos colchetes vale sempre zero,note que a forma de Jordan e composta de blocos diagonais Ai

A = diag {A1, A2, . . . , Ar} ; Ak = diag {Ak1 , Ak

2 , . . . , Akr }

Considerando um tıpico bloco Ai , e preciso provar que

[

Ani + α1A

n−1i + · · · + αn−1Ai + αnI

]

= 0

Note que os termos abaixo da diagonal principal sao sempre iguaisa zero, e que na diagonal principal um elemento tıpico (i , i) e dadopor ∆(λi ) = 0. Na diagonal acima da diagonal principal (verificar),um termo tıpico e dado por

nλn−1i + α1(n − 1)λn−2

i + · · · + αn−1 =d∆(λ)

dλ

∣

∣

∣

∣

λ=λi

= 0

e a raız em questao tem multiplicidade maior do que 1.


Funcoes matriciais

Se Ai e um bloco de Jordan de tamanho p × p, λi necessariamentee uma raız de no mınimo ordem p, e assim as derivadas de ordemate p − 1 sao todas iguais a zero em λ = λi . As sucessivasdiagonais acima possuem termos que sao multiplos dessasderivadas da equacao caracterıstica, e portanto[

Ani + α1A

n−1i + · · · + αnI

]

= 0


Funcoes matriciais

Equacao de Lyapunov

Seja a equacao:AM + MB = C

onde A e de dimensao n × n e B e de dimensao m × m e M e C

sao de dimensao n × m. A matriz M deve ser determinada.Esta equacao pode ser escrita como um conjunto padrao deequacoes lineares.


Funcoes matriciais

Exemplo

Seja n = 3 e m = 2.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

m11 m12

m21 m22

m31 m32

+

m11 m12

m21 m22

m31 m32

[

b11 b12

b21 b22

]

=

c11 c12

c21 c22

c31 c32


Funcoes matriciais

Multiplicando:

a11 + b11 a12 a13 b21 0 0a21 a22 + b11 a23 0 b21 0a31 a32 a33 + b11 0 0 b21

b12 0 0 a11 + b22 a12 + a13

0 b12 0 a21 a22 + b22 a23

0 0 b12 a31 a32 a33 + b22

×

m11

m21

m31

m12

m22

m32

=

c11

c21

c31

c12

c22

c32


Funcoes matriciais

Seja A(M) = AM + MB .A equacao de Lyapunov pode ser escrita como:

A(M) = C

e e o mapeamento de um espaco de dimensao nm nele mesmo.Um escalar η e chamado um autovalor de A se existe M nao nulatal que

A(M) = ηM

A tem nm autovalores, dados por ηk , k = 1, . . . , nm.


Funcoes matriciais

Pode-se provar que:

ηk = λi + µj i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . ,m

onde λi , i = 1, 2, . . . , n e µj = 1, 2 . . . ,m sao os autovalores de A eB , respectivamente.Ou seja, os autovalores de A sao todas as possıveis somas dosautovalores de A e B .


Funcoes matriciais

Demonstracao informal

Seja u de dimensao n × 1 o autovetor a direita associado com λi .Entao:

Au = λiu

Seja v de dimensao 1 × m o autovetor a esquerda de B associadoao autovalor µj . Entao:

vB = vµj

Aplicando A a matriz uv de dimensao n × m:

A(uv) = Auv + uvB = λ1uv + uvµj = (λj + µj)uv


Funcoes matriciais

Conclusao:A solucao e unica para a equacao de Lyapunov se nao existirem λi

e µj tal que λi + µj = 0 (caso contrario a matriz nm × nm esingular.Se para algum i e para algum j , λi + µj = 0, entao solucoespodem ou nao existir. Se C pertence ao espaco imagem de Aentao solucoes existem e nao sao unicas.


Funcoes matriciais

Formas quadraticas e definicao em sinal

Seja M uma matriz real simetrica de dimensao n × n.A funcao

x′Mx

onde x e um vetor de dimensao n × 1, e uma forma quadratica.Uma matriz M e definida positiva (M > 0) se x′Mx > 0 para todox nao nulo.Uma matriz M e semidefinida positiva (M ≥ 0) se x′Mx ≥ 0 paratodo x nao nulo.


Funcoes matriciais

Teorema

Teorema

Uma matriz simetrica M de dimensao n × n e definida positiva(semidefinida positiva) se, e somente se, qualquer uma dasseguintes condicoes e valida:

1 Todo autovalor de M e positivo (zero ou positivo).

2 Todos os menores principais lıderes de M sao positivos (todosos menores principais de M sao nao negativos).

3 Existe uma matriz nao-singular de dimensao n × n (umamatriz singular n × n ou uma matriz de dimensao m × n (comm < n)) N tal que M = N′N.


Funcoes matriciais

Decomposicao em valores singulares

Seja H uma matriz real de dimensao m × n. Seja M = HH′ (que esimetrica e semidefinida positiva).Os autovalores de M sao reais e nao negativos. Seja r o numerode autovalores positivos.


Funcoes matriciais

Os autovalores de M = H′H podem ser arranjados como

λ21 ≥ λ2

2 ≥ · · · ≥ λ2r > 0 = λr+1 = · · · = λn

Seja n = min(m.n).O conjunto

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λr > 0 = λr+1 = · · · = λn

corresponde aos valores singulares de H.


Funcoes matriciais

Exemplo

Seja a matriz

H =

[

−4 −1 22 0.5 −1

]

Calculando

M = H′H =

20 5 −105 1.25 −2.5

−10 −2.5 5

Os autovalores de H′H sao dados por

det(λI − M) = λ2(λ − 26.25) = 0

Portanto os autovalores de H′H sao 26.25 e 0.Os valores singulares de H sao

√

(26.25) = 5.1235 e 0.O numero de valores singulares e min(2, 3) = 2.


Funcoes matriciais

Alternativamente os valores singulares de H podem ser calculadosde HH′.

M = HH′ =

[

21 −10.5−10.5 5.25

]

Os autovalores de HH′ sao dados por

det(λI − M) = λ(λ − 26.25) = 0

Os valores singulares de H′ sao 26.25 e 0.Portanto o numero de valores singulares de H′ e H e o mesmo (soo numero de autovalores 0 HH′ e de H′H diferem).


Funcoes matriciais

Decomposicao em valores singulares

Theorem (Chen,92)

Toda matriz H de dimensao m × n pode ser decomposta da forma

H = RSQ

com RR′ = Im,Q′Q = QQ′ = In, e S e a matriz de dimensao

m × n com os valores singulares de H na diagonal.


Funcoes matriciais

• As colunas de Q sao os autovetores normalizados de H′H

• As colunas de R sao os autovetores normalizados de HH′

• O posto de H e o numero de valores singulares nao nulos

• Se o posto de H for r entao:• As primeiras r colunas de R formam uma base ortonormal do

espaco imagem das colunas de H

• As ultimas (n − r) colunas de Q formam uma base ortonormaldo espaco nulo de H

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Teoria de Sistemas Lineares I - labspot.ufsc.braguinald/ensino/eel6001/sl2.pdf · Conjunto de matrizes Considere o conjunto M2×2 de todas as matrizes 2 ×2 da forma: M = x −y y