ME 203 - Estat´ıstica Elementarnancy/Cursos/me203/aula21_08.pdf · ME-203 • O primeiro estudo sistema´tico de como calcular probabilidades apareceu no livro Liber de Ludo Aleae,

ME-203

ME 203 - Estatıstica Elementar

Nancy Lopes Garcia, Sala 209 - IMECC

[email protected], www.ime.unicamp.br/˜nancy

1 2o. semestre 2008

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Um pouco de historia

• Inıcio da Probabilidade: 1654 com a troca de cartas entre

Pascal e Fermat sobre o Problema dos Pontos colocado para

Pascal por Chevalier de Mere.

• A e B jogam dados, vamos supor que A ganha 1 ponto quando

o resultado pertence ao conjunto 1, 2 enquanto B ganha 1

ponto quando o resultado pertence ao conjunto 3, 4, 5, 6. Se

A precisa de n pontos para ganhar e B necessita m pontos para

ganhar. Qual a probabilidade que A ganhe o jogo?

2 2o. semestre 2008

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• O primeiro estudo sistematico de como calcular probabilidades

apareceu no livro Liber de Ludo Aleae, publicado em 1663,

pelo medico italiano ( e tambem matematico, fısico e astrologo)

Girolamo Cardano ( 1501 - 1576).

• Devido a sua fama na epoca, Cardano foi convidado para fazer

o horoscopo de Eduardo VI. Prognosticou-lhe longa vida. O rei

morreu no ano seguinte. Por outro lado Cardano previu o dia

exato de sua morte e acertou. Muitos dizem que cometeu

suicıdio para tornar realidade esta previsao.

3 2o. semestre 2008

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• O conhecimento de como calcular probabilidades circulou entre

matematicos tais como Galileu ( 1564 - 1642 ) e depois passou

da Italia para a Franca com Fermat e Pascal.

• Em 1654 Fermat e Pascal trocam correspondencias sobre o

problema dos pontos: Dois jogadores, aos quais faltam a e b

pontos, respectivamente, decidem interromper o jogo. Como as

apostas devem ser divididas?

• Suponha que o primeiro jogador a obter 3 pontos vence a

aposta em que cada um colocou 32 moedas de ouro.

• Suponhamos que o primeiro ja tenha vencido duas partidas e o

segundo apenas uma. Portanto parando agora, Jogador A: 48

moedas e Jogador B: 16 moedas

• O primeiro tenha ganho duas partidas e o outro nenhuma.

Jogador A fica com 56 moedas

4 2o. semestre 2008

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Axiomas de Probabilidade

Espaco amostral e eventos

E : um experimento aleatorio

Ω = conjunto de todos os resultados possıveis de E .

5 2o. semestre 2008

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Exemplos

1. E lancamento de uma moeda

Ω = c, c2. E retirada de uma peca de um lote com pecas defeituosas e nao

defeituosas

Ω = D, N3. E colocacao de 4 antenas em serie sendo 2 defeituosas

Ω =

(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)4. E retirada de duas pecas de um lote com pecas defeituosas e

nao defeituosas

Ω = (D, D), (D, N), (N, D), (N, N)5. E final do campeonato paulista entre 4 times: Corinthians, Sao

Paulo, Palmeiras e Santos

6 2o. semestre 2008

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Ω = (x1, x2, x3, x4); xi ∈Corinthians, Sao Paulo, Palmeiras e Santos , xi 6= xj , i 6= j

6. E observacao do tempo de vida de um circuito integrado

Ω = [0,∞)

7. E observacao do tempo de vida de um paciente submetido a

transplante de coracao

Ω = [0,∞)

8. E erro cometido quando medimos a distancia percorrida por

um carro de F1 em 10 seg

Ω = (−∞,∞)

7 2o. semestre 2008

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Eventos Subconjunto do espaco amostral aos quais queremos

atribuir probabilidade

Exemplos

1. A1 = c, B1 = c

2. A2 = D, B2 = ∅

3. A3 = “o sistema e funcional”

B3 = “a primeira antena e nao defeituosa”

4. A4 = “ambas as pecas retiradas sao nao defeituosas”

B4 = “exatamente uma peca retirada e defeituosa”

5. A5 = [0, 100), B5 = (50,∞)

8 2o. semestre 2008

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Propriedades:

E1 Se A e evento entao Ac tambem e evento.

E2 Ω e um evento

E3 Se A1, A2, . . . sao eventos entao ∪∞

i=1Ai tambem e evento.

Consequencias: ∅, ∪Ai e A1 ∪ A2 sao eventos.

9 2o. semestre 2008

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• Teoria de conjuntos

E ∪ F = F ∪ E E ∩ F = F ∩ E

(E ∪ F ) ∪ G = E ∪ (F ∪ G) (E ∩ F ) ∩ G = E ∩ (F ∩ G)

(E ∪ F ) ∩ G = (E ∩ G) ∪ (F ∩ G) (E ∩ F ) ∪ G = (E ∪ G) ∩ (F ∪ G)

• Diagramas de Venn

• Leis de Morgan

(∪ni=1Ei)

c = ∩ni=1E

ci

(∩ni=1Ei)

c = ∪ni=1E

ci

10 2o. semestre 2008

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AXIOMAS DE PROBABILIDADE

Axioma 1 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ∈ A

Axioma 2 P(Ω) = 1

Axioma 3 Se E1, E2, . . . ∈ A e Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j

P (∪∞

i=1Ei) =∞∑

i=1

P(Ei).


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Propriedades:

1. P(∅) = 0 Prova: Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ . . .

2. Se E1, E2, . . . En ∈ A sao disjuntos

P (∪ni=1Ei) =

n∑

i=1

P(Ei).

3. P(Ec) = 1 − P(E)

4. Se E ⊂ F entao P(E) ≤ P(F )

5. P(E ∪ F ) = P(E) + P(F ) − P(E ∩ F )


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Exemplos:

1. E lancamento de uma moeda

Ω = c, cA = P(Ω) = ∅, c, c, c, cP(∅) = 0, P(c) = p, P(c) = 1 − p, P(c, c) = 1

2. E colocacao de 4 antenas em serie sendo 2 defeituosas

Ω =

(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)A = P(Ω)

P(ω) = 1/6, ∀ω ∈ Ω e P(A) =∑

ω∈A P(ω) = #(A)/6

3. E observacao do tempo de vida de um circuito integrado

Ω = [0,∞)

A = todos os subconjuntos de [0,∞) que podem ser obtidos

atraves de operacoes com intervalos

P([0, x]) = 1 − e−x/100


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4. E erro cometido quando medimos a distancia percorrida por

um carro de F1 em 10 seg

Ω = (−∞,∞)

A = todos os subconjuntos de [0,∞) que podem ser obtidos

atraves de operacoes com intervalos

P((a, b]) =

∫ b

a

1√2π

e−x2/2dx


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Espacos amostrais equiprovaveis

Ω = 1, 2, . . . , N

P(1) = P(2) = . . . , P(N) =1

N.

P(E) =#(E)

N

Exemplos:

1. Se dois dados (um vermelho e o outro verde) sao lancados, qual

a probabilidade da soma ser 7?

2. Se dois dados (identicos) sao lancados, qual a probabilidade da

soma ser 7?

3. Se 3 bolas sao retiradas ao acaso de uma urna contendo 6 bolas

brancas e 5 bolas pretas, qual a probabilidade de que uma bola

seja branca e as outras duas sejam pretas?


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Analise Combinatoria

Exemplo Sistema de comunicacao

n antenas alinhadas

Funcional: a menos que duas antenas consecutivas estejam com

defeito

Se m antenas sao defeituosas e as antenas sao arrumadas ao acaso,

qual a probabilidade do sistema ser funcional?

E.g.: n = 4, m = 2 temos 6 arranjos dos quais 3 sao funcionais.

p = 1/2.


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Princıpio basico da contagem:

• 2 experimentos:

1. Experimento 1: m resultados

2. Experimento 2: n resultados

• Total: m.n formas de realizar experimento 1 seguido de

experimento 2

Proof. E1 = 1, 2, . . . , m, E2 = 1, 2, . . . , n,E1 × E2 = (1, 1), (1, 2), . . . , (m, n)Exemplo 2

• Depto Estatıstica: 18 docentes

• Depto Mat. Aplicada: 43 docentes

• Depto Matematica: 64 docentes

Comissao com 3 docentes, um de cada departamento:

18 . 43 . 64 = 49536


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Exemplo 3

• Placas antigas: 2 letras e 4 numeros

• Placas atuais: 3 letras e 4 numeros

26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000

26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 =

175.760.000

E se a repeticao de letras e numeros nao fosse permitida?

26.25.24.10.9.8.7 = 78.624.000

Exemplo 4 Seja A um conjunto com n pontos. Quantas funcoes

f : A → 0, 1 podem ser definidas?

2 . 2 . 2 . . . . . 2 = 2n

Seja P(A) = conjunto de todos os subconjuntos de A. Daı,

|P(A)| = 2n . Por que?


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Permutacoes

A = 1, 2, . . . , n

π : A → A; tal que π(i) 6= π(j), i 6= j

quantas permutacoes sao possıveis? n!

Exemplo 5: Temos 11 livros

• 4 matematica

• 3 quımica

• 2 historia

• 2 ingles

Todos os livros do mesmo assunto juntos: 4! (4!.3!.2!.2!) = 13824


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Exemplo 6: Anagramas

• PIMENTA: 7! = 5040

• ESTATISTICA:11!

2!3!2!3!= 831.600


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Combinacoes

Conjunto: n objetos Subconjunto: k objetos

n

k

E.g.: n = 5, k = 3

5 . 4 . 3

Mas

1, 2, 3 = 3, 2, 1No. permutacoes = 3!

5.4.3

3!=

5!

2!3!=

5

3


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exemplo 7: Comite com 7 professores MAP

43

7

exemplo 8: Comite com 4 professores MAP e 3 Estatistica

43

7

+

18

3

E se Ronaldo e Nancy nao querem participar juntos?

2

0

16

3

+

2

1

16

2

nem Ronaldo e nem Nancy Ronaldo, mas nao Nancy ou Nancy e nao Ronaldo


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Exemplo Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( =

0) e n − m nao defeituosas (= 1)

∧ 1 ∧ 1 ∧ 1 ∧ . . . ∧ 1 ∧ n − m + 1 locacoes

∧ : possıveis locacoes para as m defeituosas.

n − m + 1

m

Identidade:

n

r

=

n − 1

r − 1

+

n − 1

r

(Fixe um dos objetos, no lado direito da equacao temos o numero

de subconjuntos de tamanho r que contem o objeto fixado mais o

numero de subconjuntos de tamanho r que nao contem o objeto

fixado.


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Teorema binomial:

(x + y)n =n

∑

k=0

n

k

xkyn−k

Prova: Por inducao.


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Coeficientes multinomiais

Conjunto: n objetos Subconjuntos: k1 objetos, k2 objetos, . . ., kr

objetos

n

k1

n − k1

k2

n − k1 − k2

k3

. . .

n − k1 − . . . − kr−1

kr

=n!

k1!k2! . . . kr!

Notacao :

n

k1, . . . , kr

Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores,

entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B pois time A

vai jogar em SP e time B vai jogar em Limeira. Quantas divisoes

sao possıveis?10!

5!5!


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Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores,

entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B para jogarem

entre si. Quantas divisoes sao possıveis?

10!

5!5!2!

Teorema multinomial:

(x1+x2+. . .+xr)n =

∑

(k1,...,kr);k1+...+kr=n

n

k1, . . . , kr

xk1

1 xk2

2 . . . xkr

r


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