Mecânica dos Fluidos

MECÂNICA DOS FLUIDOS

Marcelo de Almeida Santos Neves Comentários introdutórios A mecânica dos fluidos é um dos ramos mais antigos da física, e sua importância fundamental é destacável em áreas de ciências aplicadas (astrofísica, biologia, biomedicina, meteorologia, etc.) assim como em praticamente todas as áreas da engenharia. Trata, em linhas gerais, do estudo do equilíbrio e movimento de fluidos. A partir do século passado, com os grandes desenvolvimentos científicos então atingidos, desenvolveu-se enormemente, alavancando-se tanto em resultados teóricos como experimentais. Contribuiu como conhecimento central para o avanço da hidráulica na engenharia civil, bem como para a engenharia naval, onde os trabalhos de William Froude a partir de 1852 são notáveis. Se hoje a mecânica dos fluidos moderna avança para ultrapassar fronteiras inimagináveis há tempos atrás, suas aplicações práticas continuam permeando um sem número de situações cotidianas de nossas vidas e de nosso mundo. De fato, aí pode-se mencionar o vôo dos pássaros no ar e o movimento dos peixes na água como exemplos de fenômenos governados pela dinâmica dos fluidos. Ou ainda, nos esportes, no aprimoramento da natação esportiva, ou no futebol, por exemplo, na introdução de uma circulação do escoamento na bola de forma a chutar em curva. O vôo dos aviões e o comportamento de navios e sistemas flutuantes são outros exemplos, os dois últimos de interesse direto na engenharia naval. Os fluidos e o contínuo Para iniciar de forma lógica a discussão sobre as propriedades dos fluidos, deve-se diferenciar um sólido de um fluido. A matéria existe em três estados, sólido, líquido e gases. As duas últimas características definem o estado fluido. Sabe-se da Resistência dos Materiais que quando uma força é aplicada a um sólido, o corpo deforma-se, e que se a força por unidade de área (tensão) é pequena (dentro do limite de proporcionalidade), a deformação desaparece depois que a força deixa de atuar. Se a força for grande, o sólido pode adquirir uma deformação permanente ou quebrar. No entanto, se uma tensão de cisalhamento (componente tangencial à superfície) é aplicada a um fluido, este se deformará continuamente, independente da intensidade da força aplicada. Em outras palavras, o fluido tem a tendência a fluir, ao invés de manter-se como um bloco rígido. Essa tendência pode ser explicada pelas propriedades moleculares de sólidos e fluidos. Nos sólidos, grandes forças de atração intermolecular caracterizam a propriedade da rigidez. Essas forças são fracas nos líquidos e extremamente pequenas nos gases. Essas características fazem com que moléculas nos líquidos movam-se livremente no interior da

massa líquida, mantendo proximidade entre sí; nos gases essas moléculas têm tanta liberdade que ocupam o espaço a eles definido. A Fig. 1 ilustra essas diferentes ações de tensões cisalhantes em sólidos e líquidos.

Fig. 1 Efeitos de tensões cisalhantes em sólidos e fluidos.

O estudo do comportamento de fluidos pode ser dividido em três categorias: estática, cinemática e dinâmica. No primeiro caso, todos os elementos do fluido estão em repouso, e portanto não estão atuados por tensão cisalhante. As distribuições de pressão estática no fluido (e sobre corpos imersos no fluido) podem ser determinados com base em uma análise estática. A cinemática dos fluidos trata da descrição da translação, rotação e deformação de uma partícula fluida. A análise dinâmica envolve o conhecimento das forças agindo nas partículas em movimento, umas em relação às outras. Como existe esse movimento relativo de uma partícula em relação à outra, esforços cisalhantes são importantes nessa análise. Fundamentalmente, a descrição do movimento de um fluido envolve o estudo do desempenho de todas as moléculas discretas que compõem o fluido. Felizmente, em líquidos a análise do movimento não requer a introdução de teoria molecular, uma vez que as forças coesivas intramoleculares compelem o fluido a comportar-se como massa contínua. Em gases, no entanto, os movimentos moleculares são amplos. Para evitar-se a difícil e complicada consideração da análise molecular, sempre que a quantidade de moléculas é grande no gás, efeitos médios (por exemplo, densidade, pressão, temperatura) são assumidos como representativos do conjunto das moléculas. Tal modelo simplificador é chamado contínuo. Dois fatores são importantes na determinação da validade do modelo do contínuo: a distância entre moléculas, e o intervalo de tempo entre colisões das moléculas livres para mover-se. Não sendo o interesse neste curso a análise de gases rarefeitos, estaremos sempre considerando que a aplicação do modelo do contínuo estará sempre representando uma aproximação aceitável para a análise do movimento de fluidos. Ao se considerar vários tipos de fluidos sob condições estáticas, vê-se que alguns deles sofrem pequena variação de densidade, apesar da existência de altas pressões. Estes fluidos estão invariavelmente no estado líquido. Em tais circunstâncias, o fluido é chamado de incompressível e nas análises considera-se sua densidade constante. O estudo dos fluidos incompressíveis sob condições estáticas é chamado de hidrostática. Quando não se pode considerar a densidade constante nas condições de estática, como em um gás, o fluido é chamado de compressível. Algumas vezes usa-se a denominação aerostática para identificar tal classe de problemas. Essa classificação de compressibilidade é restrita à estática. Na realidade, na dinâmica dos fluidos a compressibilidade ou não de um fluido envolve

maiores considerações do que apenas a natureza do fluido. Ela depende principalmente de determinado parâmetro do escoamento (o número de Mach). Propriedades fluidas Algumas características de um fluido ocupando o contínuo são independentes do movimento do fluido. Essas propriedades do fluido são conceituadas a partir da definição de um conjunto de dimensões básicas: massa (kg) – ou força (N), comprimento (m) e tempo (seg). Alguns fenômenos dependerão da incorporação da temperatura como dimensão básica para serem estudados. Densidade, viscosidade, tensão superficial são exemplos de propriedades fluidas relevantes. A pressão em um ponto do fluido define-se como força por unidade de área. Matematicamente, pode-se escrever:

AFp

A ∆∆

=→∆

lim0

onde é a força normal exercida no ponto (sobre uma área infinitesimal ) pelas partículas que ocupam instantaneamente a vizinhança do ponto. Sobre essa área infinitesimal o meio é tratado como um contínuo. A pressão tem a mesma intensidade em todas as direções.

F∆ A∆

A massa específica representa a massa de um fluido contida em um volume unitário. A suposição do contínuo é válida em se tratando do comportamento de fluidos sob condições normais. Entretanto, ela deixa de ser válida sempre que a distância média entre as colisões das moléculas (aproximadamente polegadas para o ar nas condições normais de temperatura e pressão-CNTP) tornar-se da mesma ordem de grandeza que a menor dimensão relevante característica do problema. Em problemas tais como os de escoamento de gás rarefeito (por exemplo, como os encontrados nos vôos nas camadas superiores da atmosfera), a hipótese do contínuo deve ceder lugar a pontos de vista microscópico e estatístico.

6103.6 −x

Como conseqüência da hipótese do contínuo, admite-se que cada propriedade do fluido apresente um valor definido em cada ponto no espaço. Assim, propriedades dos fluidos, como massa específica, temperatura, velocidade, e assim por diante, são consideradas como funções contínuas de posição e tempo. Ilustrador do conceito de contínuo é a maneira segundo a qual é determinada a massa específica em um ponto. Matematicamente, a densidade em um ponto é dada como:

δδρ

δδ ' ∀=

∀→∀

mlim

e peso específico define-se como gργ = , onde g é a aceleração da gravidade. Para uma dada região do fluido, seja um ponto de coordenadas , ressaltado na Fig. 2(a). A ooo zyx ,,

massa específica é definida como massa por unidade volume. Assim, a massa específica

média no volume ∀ seria dada por ∀

=mρ . Evidentemente, isso não será, em geral, igual ao

valor da massa específica no ponto C da Fig. 2(a). Para que a massa específica em C seja determinada, é preciso selecionar um pequeno volume, ∀δ , o menor possível, ao redor do ponto C, e determinar o quociente da massa, mδ , contida no volume, em relação a esse volume para diferentes valores de volume. Supondo de início um volume ∀δ relativamente grande (mas pequeno em relação ao volume ∀ ), um gráfico típico do quociente ∀δ

δm

contra ∀δ assemelha-se ao indicado na Fig. 2(b); chega-se a um valor assintótico ao reduzir-se ∀δ a um volume contendo fluido homogêneo na vizinhança imediata do ponto C. Quando ∀δ se torna tão pequeno de modo a encerrar apenas um reduzido número de moléculas, torna-se impossível fixar um valor definido para o quociente ∀δ

δm ; o valor

passa a oscilar de maneira errática à proporção que as moléculas entram e saem no volume. Portanto, há um valor inferior limite para ∀δ , designado na Fig. 2(b). Isso justifica a definição matemática dada acima para massa específica definida no limite quando

'∀δ∀δ

tende para . Generalizando para qualquer ponto do fluido, obtém-se uma expressão para a distribuição da massa específica, definida em coordenadas cartesianas como

'∀δ

),,,( tzyxρρ = , que corresponde a um campo escalar.

Fig. 2 Massa específica para volume variável

A viscosidade de um fluido é o resultado de forças intermoleculares que ocorrem quando camadas de fluido tendem a escorregar umas sobre as outras. Assim, os esforços cisalhantes ocorrendo entre camadas de um fluido sem turbulência movendo-se em movimento retilíneo, podem ser definidos como:

yuτ yx ∂∂

∝

onde é a tensão cisalhante na superfície concebida por comprimentos infinitesimais segundo as direções em x e z (com vetor normal

yxτnr apontando na direção y) e onde u é a

velocidade na direção x. Ou seja, a tensão cisalhante entre camadas fluidas é proporcional à

mudança de velocidade por comprimento. O efeito da viscosidade no movimento fluido está ilustrado na Fig. 3, onde representa-se variação da velocidade no fluido para um escoamento próximo a uma parede sólida. Experimentos comprovam que a velocidade é nula no ponto de contato fluido-parede, mas aumenta consideravelmente para pontos mais distantes da parede. Ainda fruto de evidências experimentais, a relação entre a tensão cisalhante e o gradiente transversal de velocidade é dado como:

yuµτ yx ∂∂

=

sendo que a constante de proporcionalidade entre a tensão e o gradiente de velocidade é denominada coeficiente de viscosidade, ou viscosidade dinâmica. A relação acima é referida como Lei de Newton da Viscosidade. A razão entre o coeficiente de viscosidade e a densidade é chamada a viscosidade cinemática.

Fig 3. Lei de Newton da viscosidade

Mais adiante será definida uma lei mais geral que a de Newton. Esta, a lei de Stokes da viscosidade, será vista mais adiante no contexto do estudo do estado de tensões em um ponto do escoamento arbitrário. Campos. Descrições Lagrangeana e Euleriana Para obter-se a descrição completa da movimentação de um fluido, deve-se determinar a posição (coordenadas espaciais x, y, z) de cada partícula do fluido em cada instante. A velocidade de uma partícula pode então ser encontrada pela variação de posição à medida que o tempo evolui. Se as velocidades em diferentes pontos são independentes do tempo, o escoamento é permanente. Escoamentos com campos de velocidade dependentes do tempo são denominados não-permanentes. Independentemente de o escoamento ser permanente ou não, pode-se representar a movimentação de partículas fluidas por dois métodos, os métodos de Lagrange e de Euler. No primeiro método descreve-se o movimento de cada partícula inequivocamente identificada das outras todas, à medida que o tempo evolui. No segundo, descreve-se o movimento do fluido pela descrição da cinemática em cada ponto do campo, à medida que o tempo evolui. Na maioria dos problemas de engenharia não há a necessidade de conhecer-se o desenvolvimento no tempo de cada partícula, e o método de Euler é usualmente empregado nas análises de escoamentos. Logo adiante será mais detalhada a distinção entre os métodos de Lagrange e Euler.

Independentemente do método empregado para descrever a movimentação fluida, há que notar-se que a descrição de regimes não permanentes pode freqüentemente ser simplificada por meio de adequadas transformações de variáveis. Seja um torpedo movendo-se com velocidade 0V

v relativa ao sistema inercial xy em águas paradas. A velocidade do fluido no

ponto do campo será zero inicialmente, mas depois a velocidade irá passar por diversos valores, pois estará afetada pela passagem do torpedo. Mas, tomando-se uma referência fixa no corpo, a velocidade em

00 , yx

00 ,ηξ será constante. A Fig 4 abaixo ilustra a diferença resultante da mudança de sistema de referência. De fato, essa simplificação pode ser feita sempre que se tem um corpo que se move com velocidade constante através de fluido inicialmente não perturbado.

Fig. 4 Torpedo em velocidade constante. Dois pontos de vista. Método Lagrangeano Na representação Lagrangeana, sistemas de coordenadas retangulares são normalmente empregados. Uma certa partícula é individualizada especificando-se para ela uma certa posição inicial em um dado instante 0r

v0tt = . Em um tempo posterior , a mesma

partícula está na posição tt =

rv . Então, a posição da partícula estará completamente especificada se o vetor posição rv ou suas componentes zyx ,, forem dadas em função do tempo t e da posição inicial , isto é, vetorialmente, 0r

v ),( 0 trFr vv = , onde kzjyixr)))v ++= e

kzjyixr)))v

0000 ++= , ou, de outra forma:

),,,(),,,(),,,(

0003

0002

0001

tzyxFztzyxFytzyxFx

===

As coordenadas iniciais de uma partícula são denominadas coordenadas materiais de uma partícula, e servem convenientemente ao propósito de identificar a partícula. A velocidade de uma partícula identificada por

0rv

0rv é obtida, simplesmente, por meio da

derivada do vetor posição. Para a componente em x, 0r

dtdxu

v⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= e o campo de velocidade

fica dado por: 000

,,rrr t

zwtyv

txu

vvv⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

e a aceleração por 000

2

2

2

2

2

2

,,r

zr

yr

x tza

tya

txa

vvv⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

Nesse método (de aplicação usual na mecânica de corpos rígidos) a trajetória de cada partícula é conhecida. No caso de fluidos, não há facilidade para proceder-se ao acompanhamento de um conjunto de partículas regido por forças de atração molecular. Assim, na prática a aplicação desse método é difícil, e limitado a escoamentos bem simples. Método Euleriano Nesse método as partículas individuais do fluido não são identificadas. Ao invés, uma posição fixa no espaço é escolhida, e as velocidades das partículas nessa posição são traçadas. Matematicamente, a velocidade das partículas em qualquer ponto do espaço é dada como:

),( trFV vv=

onde:

kwjviuV)))v

++= ou ainda:

),,,(),,,(),,,(

tzyxfwtzyxfvtzyxfu

3

2

1

===

A determinação da aceleração não é trivial, requerendo a consideração de que se, localmente, avalia-se a variação da velocidade com o tempo, há ainda que levar-se em conta que a velocidade da partícula varia de ponto para ponto. Assim, sendo:

tV

zVw

yVv

xVu

tV

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

dtVda

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==vvvvvvvvv

v

É usual a notação:

DtVDav

v =

onde o operador:

).(t

VDtD

∂∂

+∇=v

é denominado derivada substantiva (ou material). Relação entre os Métodos Lagrangeano e Euleriano As expressões para as componentes de velocidade dadas em cada um dos métodos podem agora ser igualadas:

)t,z,y,x(wdtdz

)t,z,y,x(vdtdy

)t,z,y,x(udtdx

=

=

=

Essas equações, quando integradas, serão resolvidas a menos de três constantes, as quais serão obtidas a partir da consideração de condições iniciais da partícula fluida. E assim, as soluções dessas equações fornecerão as equações na forma Lagrangeana:

000 ,, zyx

)t,z,y,x(Fz)t,z,y,x(Fy)t,z,y,x(Fx

0003

0002

0001

===

Na maioria dos problemas da prática a resolução desse sistema simultâneo de equações diferenciais pode ser muito difícil. Na descrição do escoamento, trajetórias de partículas fluidas estão diretamente associadas à maneira Lagrangeana de descrever o escoamento. São obtidas pela eliminação do tempo na especificação do vetor posição, ou seja, fazendo-se:

ktzjtyitxtr)))v )()()()( ++=

Por outro lado, no método Euleriano, as trajetórias não são reconhecidas como as características cinemáticas adequadas. As linhas de corrente, definidas como linhas imaginárias formadas pelas tangentes às velocidades em cada ponto do campo retratam a visão Euleriana da movimentação fluida.

Descrição do Escoamento Adotando-se o método Euleriano, seja ),,,( tzyxV

v o vetor velocidade da partícula fluida no

ponto de coordenadas definidas em um sistema retangular de referência, no instante t.

),,( zyxxx vv =

Seja um escoamento em contato com uma superfície sólida. A interação corpo-fluido gera forças em cada área dA definida sobre a superfície desse corpo. No limite, para área dA tão pequena quanto desejado, a força por unidade de área atuando em cada ponto terá uma direção genérica, a qual poderá ser decomposta em três componentes, uma alinhada com o vetor normal ao corpo, e outras duas componentes ortogonais a essa, e ortogonais entre sí. A Fig. 5 ilustra essas três componentes atuando em um dado ponto da superfície do corpo.

Fig. 5 Tensão normal nnσ e tensões cisalhantes 1ssτ e

2ssτ , as quais estão contidas em plano tangente ao corpo no ponto.

A cinemática do escoamento é determinada pelas forças de superfície e de corpo atuando em cada ponto do campo. Em cada ponto, cada componente da tensão superficial deve ser definida não apenas pela direção em que age, mas também pela orientação da superfície sobre a qual está atuando. Assim como no caso de um corpo sólido, dado um ponto do escoamento, conhecidas as tensões em três planos ortogonais entre sí, as tensões em qualquer outro plano poderão ser determinadas; dessa maneira, um total de 3x3=9 componentes da tensão devem ser definidos em cada ponto. Para estudar-se as tensões definidas em superfícies não alinhadas com os planos coordenados, seja a Fig. 6, onde o tetraedro representado é assumido como sendo suficientemente pequeno, tal que as tensões são tomadas como constantes sobre as superfícies. A nomenclatura empregada é tal que o segundo subscrito representa a direção da tensão, e o primeiro subscrito representa o plano normal. Por exemplo, a tensão yxτ atua na direção x sobre uma superfície de y=constante.

Fig. 6 Tetraedro indicando o conjunto de tensões atuando nas quatro faces.

Adicionalmente, decorre dessa consideração que o volume será de ordem inferior que a superfície. As forças de corpo são proporcionais a um cubo de lado infinitesimal, e portanto são de ordem inferior às de superfície, e portanto as forças de superfície serão predominantes frente às forças de corpo (inércia e peso). Assim, no limite, as forças de superfície atuantes nas quatro faces do tetraedro devem cancelar-se. De acordo com a nomenclatura da Fig. 6, sejam, em cada uma das faces ortogonais entre si, as forças de interação por unidade de área::

kjiP xzxyxxxˆˆˆ ττσ ++=

r

kjiP yzyyyxyˆˆˆ τστ ++=

r

kjiP zzzyzxzˆˆˆ σττ ++=

r

as quais, pelo raciocínio acima exposto, definem as ações em qualquer outra face oblíqua. Decorre então que para uma superfície genérica as forças superficiais, consideradas as respectivas áreas infinitesimais em que atuam, podem ser convenientemente expressas como:

∫∫ ++=S

zyxS dSdS

dxdyPdS

dxdzPdS

dydzPF )(rrrr

Definindo ),,( zyx nnnn =v como sendo o vetor normal (unitário) à face oblíqua do tetraedro, cada uma de suas três componentes é igual à razão entre a área correspondente e a área da face oblíqua. A expressão anterior pode então ser remodelada tal que:

∫∫ ++=S

zzyyxxS dSnPnPnPF )(rrrr

e em seguida decomposta segundo os unitários dos eixos coordenados:

∫∫ ++++++++=S

zzzyyzxxzzzyyyyxxyzzxyyxxxxS dSknnnjnnninnnF ˆ)(ˆ)(ˆ)( στττστττσr

Em notação conveniente:

∫∫ ++=S

321S dS]k)n.(j)n.(i)n.[(F rrrrrrrτττ

Argumentos similares podem ser empregados para demonstrar que, assim como para corpos rígidos, o tensor de tensões para fluidos é simétrico, ou seja, yxxy ττ = , zxxz ττ = ,

yzzy ττ = . Para permitir a introdução de notação indicial, será feita a identidade de subscritos de forma que empregue-se, quando conveniente, indistintamente subscritos (1,2,3) em lugar de (x,y,z), seja para as tensões como para a normal ou velocidades. Assim, o tensor de tensões será definido com suas nove componentes:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

333231

232221

131211

ijστττστττσ

τττττττττ

τ

e como o tensor é simétrico, . Note-se que, sendo o tensor simétrico, as grandezas desconhecidas requeridas para a caracterização do estado de tensões em dado ponto são efetivamente seis.

jiij ττ =

Conservação da Massa e da Quantidade de Movimento As leis de conservação da física podem ser aplicadas ao movimento de um fluido desde que se retenha controle sobre um grupo específico de partículas, ou seja, um volume material de fluido seja examinado, contendo o mesmo grupo de partículas (sistema). Seja então um tal volume de fluido sujeito a essas restrições. Sendo )(t∇ ρ a densidade, a massa total de fluido nesse volume é expresso pela integral tripla e a conservação da massa

requer que essa massa permaneça a mesma, ou seja:

∫∫∫∇

∇dρ

0=∇∫∫∫∇

ddtd ρ

A quantidade de movimento de uma partícula fluida é representada pelo vetor V

vρ . A

conservação da quantidade de movimento decorre da 2ª lei de Newton e requer que o somatório de todas as forças atuando no volume fluido seja igual à taxa de variação no

tempo (em relação a um sistema inercial) da quantidade de movimento. Ou, com notação indicial simples:

∫∫∫∫∫∫∫∫∇∇

∇+=∇ dFdSndVdtd

Si

rrrr.τρ

Nessa igualdade, os termos do lado direito descrevem as forças de superfície (integral de área) e as de corpo, que representam efeitos gravitacionais atuando nas partículas que compõem o volume considerado. A superfície S define o volume considerado. É possível reescrever essa equação tão somente em termos de integrais de volume, fazendo-se uso do teorema da divergência. Para um vetor Q

v contínuo e diferenciável no volume:

∫∫∫∫∫∇

∇∇= dQdSnQS

vvv ..

Empregando-se essa igualdade na equação de balanço de quantidade de movimento, obtém-se:

∫∫∫∫∫∫∇∇

∇+∇=∇ dFdVdtd

i ].[rrr

τρ

Aqui, as leis de conservação de massa e quantidade de movimento estão expressas em termos de integrais sobre um volume material arbitrário. Esse volume especificado é em sí uma dificuldade operacional, particularmente a obtenção de sua derivada em relação ao tempo, como requerido acima, o que é tratado em seguida. Nesse contexto, é importante estabelecer relações entre taxas de variação de grandezas definidas em sistemas e volumes de controle. O Teorema do Transporte Seja uma integral de volume genérica da forma:

∫∫∫∇

∇=)(

),()(t

dtxftI

onde f é uma função escalar arbitrária diferenciável, a ser integrada sobre um volume assinalado , que pode variar com o tempo. Da mesma forma, a superfície envolvente S variará com o tempo. Denote-se por a componente normal da velocidade dessa superfície. A diferença entre valores da integral I(t) em dois tempos consecutivos pode ser expressa como sendo dada por:

)(t∇

nU

∫∫∫∫∫∫∇∆+∇

∇−∇∆+=−∆+=∆)()(

),(),()()(ttt

dtxfdttxftIttII

Desprezando-se termos de segunda ordem em t∆ , pode-se assumir para o integrando uma expansão do tipo:

ttxfttxfttxf

∂∂

∆+=∆+),(),(),(

Pode-se, analogamente, desenvolver o volume )(t∇ em torno de um valor definido para

=0. Assim, a diferença entre os volumes t∆ )( tt ∆+∇ e )(t∇ será um volume incremental contido entre superfícies adjacentes ∇∆ )( ttS ∆+ e S(t), e proporcional a . Com esses

desenvolvimentos, tem-se: t∆

])[()( 2tOfddtftfdd

tftfI ∆+∇+∇

∂∂

∆=∇−∇∂∂

∆+=∆ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∇∆∇∇∇∆+∇

onde o último termo denota a grandeza de segunda ordem, proporcional a : 2)( t∆

])[( 2tOdtft ∆=∇∂∂

∆∫∫∫∇∆

Fig. 7 Sistema evoluindo no tempo.

A Fig. 7 ilustra a evolução do volume em dois tempos consecutivos. Para avaliar-se a integral no volume , vale notar que esse volume fluido é uma região de espessura pequena definida por duas posições de S(t). O fluxo de velocidade através de cada uma das posições de S é:

∇∆

∫∫∫∫ =S

nS

dSVdSnV vr.

Dentro do intervalo de tempo , as distâncias percorridas são as translações t∆ nV rr. t∆ . Logo, a contribuição da integral volumétrica no volume incremental ∇∆ é de ordem t∆ , e deve ser considerada. Adicionalmente, sendo f diferenciável em ∇ , pode ser tomado como sendo constante no volume infinitesimal ∇∆ definido pelas translações nas direções normais a S. Considerando-se essas direções, pode-se efetuar a integração desse termo, resultando:

∫∫∫∫∫∫∫ ∆=∆=∇∇∆ SS

fdSnVtfdStnVfd rrrr .).(

Substituindo-se na expressão original, dividindo-se todos os termos por e tomando-se o limite para , tem-se o Teorema do Transporte:

t∆0→∆t

∫∫∫∫∫ +∇∂∂

=∇ S

dSnVfdtf

dtdI ).( rr

onde a integral de superfície representa o transporte da quantidade de f para fora de ∇ em decorrência do movimento da fronteira S. Equação da Continuidade Aplicando-se o Teorema do Transporte ao balanço de massa e em seguida o teorema da divergência:

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∇∇∇

∇∇+∂∂

==+∇∂∂

=∇ dVt

dSnVdt

ddtd

S

)].([0.rrr ρρρρρ

O termo da direita representa uma integração em um volume especificado em dado instante de tempo, e abrange todo um volume arbitrariamente selecionado, não apenas sub-regiões desse volume. Logo, o integrando é nulo, ou seja:

0).( =∇+∂∂ V

tr

ρρ

o que estabelece a equação da continuidade como uma equação diferencial parcial. Considerando as particularidades de um fluido incompressível de densidade constante, tem-se a forma bastante conhecida da equação da continuidade:

0=+∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu

ou na forma vetorial: 0. =∇V

v

Equações do Balanço da Quantidade de Movimento Aplicando-se agora o Teorema do Transporte para o balanço de quantidade de movimento apresentado acima:

∫∫∫∫∫∫∇∇

∇+∇=∇ dFdVdtd

i ].[rrr

τρ

resulta em:

=∇∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

∫∫∫∇

dz

VwyVv

xVu

tV ])()()()([

rrrrρρρρ

∫∫∫∇

∇+∇ dFi ].[r

τ

Aqui novamente vale a argumentação de que o volume a ser considerado é arbitrário; portanto, a equação acima é válida na forma:

FzVw

yVv

xVu

tV

i

rrrrrr

+∇=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂ τρρρρ .)()()()(

Finalmente, se as derivadas de produtos no termo à esquerda do sinal de igual são expandidas pela regra da cadeia:

FzVw

yVv

xVu

tVV

tV i

rrrrrr

rr+∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∇+∂∂ τρρρ .)()].([

e aplicando-se a equação da continuidade, obtém-se as equações de Balanço de Quantidade de Movimento:

FDt

VDVVtV

i

rrr

rrr

+∇==∇+∂∂ τρ .]).([

ou ainda, na forma de componentes:

xzxyxxx Fzyxz

uwyuv

xuu

tu

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ττσ

ρ )(

yzyyyxy Fzyxz

vwyvv

xvu

tv

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ τστ

ρ )(

zzzyzxz F

zyxzww

ywv

xwu

tw

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ σττ

ρ )(

Os lados esquerdos dessas equações podem ser interpretados como as componentes da aceleração de uma partícula material de fluido, tendo-se em mente que a derivada substantiva estabelece a regra:

∇+∂∂

= .VtDt

D v

que expressa a taxa de variação no tempo em um sistema de referência que se move com a partícula fluida. Cinemática da Partícula Fluida. Vorticidade. Em geral, o movimento de uma partícula fluida pode consistir de uma translação, uma rotação e uma taxa de deformação. A Fig. 8 ilustra, para duas dimensões, os movimentos de corpo rígido (sem deformação) de um elemento fluido para deslocamentos infinitesimais. A Fig. 9 ilustra, ainda para fluxo em duas dimensões, taxas de deformações a que fica sujeito o elemento fluido.

Fig. 8 Movimentos de translação e rotação no plano

Fig. 9 Deformações no plano

VV1

dV

dr

r+dr

P

0

P1

Fig. 10 Diagrama de velocidades para elementos fluidos

Seja, na Fig. 10, uma partícula fluida em movimento com velocidade Vr

, instantaneamente posicionada no ponto e considere-se uma segunda partícula muito próxima, em

. Seja a distância elementar entre os dois pontos e ),,( zyxP

),,( 1111 zyxP rdr 1Vr

a velocidade da segunda partícula. Essa velocidade pode ser expressa como:

dzxVdy

xVdx

xVkwjviuVdVkwjviuV

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++=+=++=rrr

rrr ˆˆˆˆˆˆ1111

kdzzwdy

ywdx

xwwjdz

zvdy

yvdx

xvvidz

zudy

yudx

xuu ˆ][ˆ][ˆ][

∂∂

+∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

Por conveniência rearranja-se a expressão de 1V

r como abaixo:

idyyu

xvdz

xw

zudz

xw

zudy

yu

xvdx

xuuV ˆ])()[(

21])(

21)(

21[1 ∂

∂−

∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+=r

jdzzv

ywdx

yu

xvdz

zv

ywdx

yu

xvdy

yvv ˆ])()[(

21])(

21)(

21[

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

++

kdxxw

zudy

zv

ywdy

zv

ywdx

xw

zudz

zww ˆ])()[(

21])(

21)(

21[

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

++

O vetor vorticidade ςr é definido como:

kyu

xvj

xw

zui

zv

ywVX ˆ)(ˆ)(ˆ)(

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

=∇=rrς

Definindo também:

idzxw

zudy

yu

xvdx

xuD ˆ])(

21)(

21[

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=r

jdzzv

ywdy

yvdx

yu

xv ˆ])(

21)(

21[

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+

kdzzwdy

zv

ywdx

xw

zu ˆ])(

21)(

21[

∂∂

+∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

+

resulta:

DrdXVVrrrrr

++= ς21

1

que representa a forma mais geral de movimento de um elemento fluido.

O primeiro termo representa a velocidade de translação, ou seja, movimento linear de todas as partes do elemento fluido sem alteração de forma. Nesse movimento todos os gradientes de velocidades são zero (isto é, 0... =∂∂==∂∂=∂∂=∂∂ zwzuyuxu ). O segundo termo representa uma rotação de corpo rígido do elemento fluido. A expressão matemática dada acima para definir o vetor vorticidade pode ser derivada a partir do conceito de que se busca definir para a cinemática do escoamento uma grandeza associada a uma velocidade média de rotação do elemento fluido. Consideradas diferentes retas perpendiculares entre sí que sejam definidas na partícula em dado instante, deve-se aceitar a hipótese de que em tempos subsequentes essas retas não mais estarão perpendiculares entre sí. Tal é a situação ilustrada na Fig. 9(b), onde tensões tangenciais desbalanceadas atuaram para deformar o elemento fluido. Diferentemente do caso ilustrado na Fig. 8(b), onde a perpendicularidade entre retas permanece. Mas quando se mede a média das velocidades angulares de retas anteriormente ortogonais, obtém-se uma grandeza que mensura a cinemática como se fora um corpo rígido. Para os movimentos planares definidos nas Figs. 8(b) e 9(b) a componente vertical da velocidade angular média pode ser definida como:

)(21

dtd

dtd

zβαω +=

onde α e β são ângulos formados por posições instantâneas das retas consideradas. Para o movimento no plano, são positivas as rotações contrárias ao sentido dos ponteiros dos relógios. Vale notar que tanto no caso da Fig. 8(b) como no da Fig. 9(b), a média das velocidades angulares é a mesma:

xv

dx

vdxxvv

rv

dtd

∂∂

=−

∂∂

+=

∆∆

=α

yu

dy

udyyuu

ru

dtd

∂∂

−=+

∂∂

+−=

∆∆

=)(

β

Assim,

)(21

yu

xv

z ∂∂

−∂∂

=ω

Similarmente, no caso mais geral de três dimensões:

)(21

zv

yw

x ∂∂

−∂∂

=ω

)(21

xw

zu

y ∂∂

−∂∂

=ω

Portanto, o vetor vorticidade é definido, por conveniência, como o dobro da velocidade angular média do elemento fluido e é obtido pela aplicação do rotacional à velocidade:

VXrr

∇=ς A relação vetorial entre o vetor velocidade e a vorticidade pode ser apreciada na Fig. 11, onde representa-se um elemento fluido dotado de uma velocidade instantânea V

r. Por

definição, o rotacional desse vetor é um outro vetor normal ao plano definido pelos vetores velocidade e normal à superfície no ponto considerado. Assim, pode-se definir matematicamente o vetor vorticidade da seguinte forma:

∫∫∀=∇=

S

dSVXnVX )(1limrrrrς

tomando-se o limite para o volume tendendo a zero. Com referência à Fig. 11, observa-se que o vetor vorticidade é tangente à superfície elementar dS considerada no ponto, uma vez que o produto vetorial é um vetor normal ao plano definido por V

r e nr . Sendo a normal um

vetor unitário, a intensidade do vetor vorticidade elementar é dSV θsen . Somando as contribuições em toda a superfície, dividindo pelo volume e tomando o limite para 0→∀ chega-se à vorticidade em um ponto do escoamento.

Fig. 11 Representação da vorticidade do vetor velocidade Um tipo particular de movimento fluido será analisado aqui com o intuito de demonstrar a relação existente entre vorticidade e rotação de corpo rígido. Seja um pequeno cilindro circular de fluido rodando em torno de seu próprio eixo, como se fosse um sólido, com velocidade angular , que é um vetor paralelo ao eixo de rotação, conforme mostrado na Fig. 12. O raio do cilindro é

Ωr

r e l é uma dimensão linear paralela ao eixo. O vetor VXnrr em cada ponto da superfície cilíndrica é paralelo ao eixo e é dado por:

rrnkrXXn z Ω==Ωrrrrrr ).(ˆ)( ω

Fig. 12 Pequeno cilindro fluido girando como um sólido Como αlrddS = tem-se que:

∫∫ ∫ Ω=Ω=S

lrrlrddSVXnπ

πα2

0

22)(rrrr

e desse resultado segue que:

Ω=Ω=→∀

rrr 221 22

0lim lr

lrπ

πς

que demonstra que para rotação de corpo rígido a vorticidade é igual ao dobro da velocidade angular. Finalmente, o último termo da expressão mais geral do movimento fluido, definido como vetor , representa as taxas de deformação do elemento. Esses movimentos serão mais discutidos nas seções seguintes.

Dr

Relações entre Tensões e Taxas de Deformação em Fluidos Newtonianos As equações de Balanço de Quantidade de Movimento representam o balanço, na forma de equações diferenciais parciais, entre forças atuantes em um ponto do escoamento, quais sejam, as forças inerciais, de superfície e de corpo. No intuito de relacionar essa equação da dinâmica dos fluidos com a movimentação do fluido, há que discutir-se os resultados sobre o padrão de movimentação do fluido quando atuado por tensões cisalhantes. Em elasticidade a relação entre tensão e deformação em um corpo sólido dentro do limite elástico é governado pela lei de Hooke. A lei de Hooke generalizada estabelece que cada uma das seis componentes da tensão relativos a dado ponto pode ser expressa como uma função linear das deformações. Na hidrodinâmica, definem-se as relações entre tensões e as taxas de movimentação e deformação do fluido. Quando essas relações são lineares, o fluido é dito ser Newtoniano. Se o fluido está em repouso, e de forma ainda mais geral, se inexistem tensões cisalhantes, uma pressão, relacionada às tensões normais atuará de maneira isotrópica, o que pode ser demonstrado sem dificuldade ao impor-se o equilíbrio (forças e momentos) em um

tetraedro infinitesimal. Então, em geral, na ausência de tensões cisalhantes, o tensor de tensões reduz-se a:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−=

pp

p

ij

000000

τ

Esse resultado vale para ausência de tensões cisalhantes. Assim, escoamentos genéricos associados a fluidos perfeitos (sem viscosidade) incorporam tão somente movimentos de corpo rígido, sem deformação, e tem seu estado de tensões dado pela expressão acima. Por hipótese, escoamentos dessa categoria podem ter em geral o seu campo de velocidade do tipo soma de vetores. De acordo com as derivações das relações cinemáticas, o campo de velocidades nesse caso é do tipo: rxBAV vvvv

+= , onde Av

e Bv

caracterizam translação e rotação no campo, e rv define um vetor posição. Tensões viscosas ocorrerão sempre que o campo de velocidades diferir dessa forma simples. Um caso muito simples foi discutido anteriormente, quando a lei de Newton da Viscosidade foi introduzida. Conforme visto, para escoamento laminar paralelo a Lei de Newton da Viscosidade estabelece uma relação linear entre tensão e taxa de variação de velocidade na direção normal ao fluxo:

BB yu )(∂∂

= µτ

Uma forma geral de estabelecer relações lineares entre tensões e as taxas de variação do movimento para ijτ simétrico é assumindo:

)(i

j

j

iij x

uxu

∂

∂+

∂∂

= µτ para ji ≠

O coeficiente µ é o coeficiente de viscosidade já definido anteriormente. Essa lei é denominada lei de Stokes da Viscosidade. Considerando o acréscimo devido às tensões viscosas, o tensor de tensões em sua forma mais geral (para fluidos incompressíveis) fica expresso como:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−=

zw2

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yv2

yu

xv

xw

zu

xv

yu

xu2

p000p000p

ij µτ

A segunda matriz é o tensor de tensões viscosas, proporcional ao coeficiente µ . Os elementos na diagonal do tensor estão associados a elongações dos elementos fluidos, enquanto que os elementos fora da diagonal são devidos a deformações cisalhantes, como discutido anteriormente e ilustrado na Fig. 9. A grande maioria dos fluidos, inclusive ar e água, tem desempenhos muito próximos das relações lineares dadas acima, ou seja, são caracteristicamente, em quase todas as situações práticas, fluidos newtonianos. Equações de Navier-Stokes As equações de Navier-Stokes são obtidas quando as relações entre tensões e gradientes de velocidades dadas acima são substituídas nas equações de Balanço de Quantidade de Movimento. As derivadas do tensor de tensões são:

)]()()2([xw

zu

zxv

yu

yxu

xxp

xij

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂µ

τ

)]()2()([yw

zv

zyv

yyu

xv

xyp

yij

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂µ

τ

)]2()()([zw

zzv

yw

yzu

xw

xzp

zij

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂µ

τ

Desenvolvendo essas derivadas e rearranjando termos, é possível explicitar termos envolvendo derivadas do divergente do vetor velocidade. Para fluxo incompressível esses termos desaparecem, uma vez que pela equação da continuidade:

02

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂

j

i

iij

j

xu

xxxu

Com esses resultados, tem-se a forma vetorial das equações de Navier-Stokes:

FVpDt

VDVVtV vv

rvv

v

ρν

ρ11).( 2 +∇+∇−==∇+

∂∂

onde ν é o coeficiente de viscosidade cinemática ρµν = . Esse coeficiente atua como coeficiente de difusão de efeitos viscosos no campo de velocidade. É de interesse observar os valores desse coeficiente para alguns fluidos. Para temperatura de 15 graus Celsius e pressão de uma atmosfera, reproduz-se abaixo a Tabela 1, vide Batchelor (1974).

Fluidos

segmX

/10

2

4ν

Mercúrio 0.0012 Água 0.011 Ar 0.15 Azeite de oliva 1.08 Glicerina 18.5

Tabela 1: Valores da viscosidade cinemática

Os valores da Tabela 1 indicam que, comparando-se fluidos através da característica viscosidade cinemática, o ar é bem mais viscoso que a água (13.64 vezes). Embora comparativamente os valores de ν do ar e água não sejam grandes, é importante ter em mente que em regiões de escoamento desses fluidos bem próximas da parede do corpo, grandes esforços tangenciais associados a fortes níveis de vorticidade ocorrem devido a efeitos decorrentes da viscosidade. Conforme será visto em detalhes mais adiante neste curso, essas regiões foram denominadas por L. Prandtl de camada limite. Nelas, a movimentação fluida é governada pela equação de Navier-Stokes. Navier-Stokes em coordenadas cartesianas fica dada como:

xFuxp

zuw

yuv

xuu

tu

ρν

ρ11 2 +∇+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

yFvyp

zvw

yvv

xvu

tv

ρν

ρ11 2 +∇+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zFwzp

zww

ywv

xwu

tw

ρν

ρ11 2 +∇+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

Esse sistema de três equações diferenciais parciais, junto com a equação da continuidade e as condições de contorno pertinentes, governam o movimento de um fluido viscoso sujeito apenas às restrições de densidade constante e relações newtonianas entre tensões e gradientes de velocidades. Nota-se que essas condições são atendidas tanto pelo ar como pela água. É muito difícil na maioria dos casos encontrar soluções para essas equações. Elas formam um conjunto acoplado de equações diferenciais parciais não-lineares, que foram resolvidas analiticamente para algumas configurações geométricas bem simples, em particular aquelas em que os termos não-lineares de aceleração convectiva VV

vv).( ∇ podem ser desprezados.

Forças de Corpo e Gravidade Nas derivações das equações de Balanço de Quantidade de Movimento e Navier-Stokes as forças de corpo, aqui representando os pesos das partículas fluidas foram pouco comentadas. Naturalmente, a atenção esteve concentrada na representação das ações

superficiais e inerciais. A força peso pode ser representada como - kg)

ρ onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade, onde o vetor unitário aponta para cima. Sendo o efeito gravitacional a ser considerado em F

v, esta ação pode ser convenientemente descrita como

sendo derivada de um gradiente de uma função escalar na forma: Ω∇= ρFv

, onde gz=Ω . No contexto da equação de Navier-Stokes, essa força pode ser convenientemente embutida no termo de pressão fazendo-se a substituição Ω−= pp~ . Com essa substituição a equação de Navier-Stokes não mais apresentará os termos de forças de corpo explicitamente. De fato, no que concerne à conservação da quantidade de movimento, o único efeito da força gravitacional é o de mudar a pressão somando um valor Ω . Usualmente p é referida como sendo a pressão total e como a pressão hidrodinâmica, e

é chamada a pressão hidrostática. Para fluidos em repouso as pressões total e hidrostática são iguais.

p~

Ω

Hidrostática Considerando-se um fluido sem movimento, as ações inerciais e viscosas estarão ausentes da equação de Navier-Stokes. Assim, nesse caso:

0xp=

∂∂ 0

yp=

∂∂ gρ

zp

−=∂∂

As duas primeiras equações indicam que a pressão é constante em planos normais ao eixo z. Quando a densidade é constante, a equação da pressão pode ser integrada, resultando em

Cgzp +−= ρ , onde C é a constante de integração. Nesta forma integrada, a equação da pressão é denominada a equação da hidrostática. Definindo-se as condições na superfície livre com subscrito zero, tem-se: )( 00 zzgpp −=− ρ que permite determinar a pressão hidrostática em qualquer profundidade. Denomina-se usualmente o termo

)( 00 zzgpp −=− ρ , isto é, a pressão acima da atmosférica, de pressão manométrica ou efetiva. Para um corpo imerso em fluido em repouso, chamando-se a pressão e a cota vertical na parte superior da superfície fechada do corpo de e , respectivamente, em uma área infinitesimal da superfície do corpo, e e as grandezas equivalentes na parte superior do corpo, a força infinitesimal será dada por:

up uz

lp lz

ZluZulB dAzzdAppdF )()( −=−= γ

que integrada fica dada como:

∫ ∫∫ ==−== VdVdAzzdFF ZluBB γγγ )( onde V é o volume do corpo imerso. O princípio de Arquimedes estabelece que: “todo corpo imerso recebe um empuxo de baixo para cima igual ao peso do volume deslocado”.

O vetor posição do centro de carena é obtido como o resultado do momento estático: cr

r

V

dVr

F

dVrr

Bc γ

γγ ∫∫ ==

rrr

que corresponde ao centróide do volume. Estabilidade estática Um corpo totalmente submerso é estável desde que o centro de carena esteja acima do centro de gravidade. O empuxo aplicado no centro de carena e a força peso aplicada no centro de gravidade mantém sua igualdade qualquer que seja a inclinação do corpo submerso. Para corpos flutuando na superfície livre, a inclinação produz alteração na forma do volume submerso. Essa alteração da forma submersa altera a posição do centro de carena, enquanto que o centro de gravidade não se altera. Isso está ilustrado na Fig. 13. As forças peso e empuxo, de mesma intensidade, deixam de atuar segundo a mesma vertical, surgindo um binário.

Fig. 13 Momento restaurador na inclinação A mudança de forma submersa implica na configuração ilustrada na Fig. 14, onde observa-se que uma cunha emerge, enquanto outra imerge.

Fig. 14 Inclinação transversal de navio. O ponto M da Fig. 14 é chamado de metacentro. Deduz-se, com a devida consideração das cunhas definidas na Fig. 14 que para pequenas inclinações o momento restaurador é dado por:

).(. θ∆∆= Tr GMM onde é o deslocamento do navio e a grandeza é chamada altura metacêntrica transversal. Essa grandeza, indicadora da intensidade do momento restaurador em pequenas inclinações, é dada por:

∆ TGM

KGKBBMGM TT −+= onde , denominado raio metacêntrico transversal é definido como: TBM

VIBM T

T =

sendo o momento de inércia transversal da área de flutuação não inclinada (conforme a Fig. 14) e V o volume submerso.

TI

Da mesma maneira, pode-se definir, para uma inclinação longitudinal, uma altura metacêntrica longitudinal:

KGKBBMGM LL −+= onde , denominado raio metacêntrico longitudinal é definido como: LBM

VIBM L

L =

sendo o momento de inércia longitudinal da área de flutuação não inclinada. LI Equação vetorial da vorticidade Conforme derivado anteriormente, a equação de Navier-Stokes na forma vetorial é:

FVpDt

VDVVtV vv

rvv

v

ρν

ρ11).( 2 +∇+∇−==∇+

∂∂

Fazendo-se uso da identidade vetorial:

VXVXVVVrrrr

)()21().( 2 ∇+∇=∇

e aplicando o operador rotacional aos dois lados da equação de Navier-Stokes, nota-se de imediato que essa aplicação anula o termo quadrático da velocidade e os dois primeiros termos à direita do último sinal de igual. Esses resultados decorrem dos seguintes fatos: a) o rotacional do vetor gradiente é sempre zero; b) o vetor aceleração da gravidade é constante. Segue então que:

)()( 2 ςνςς rrrr

∇=∇+∂∂ VXX

t Tendo em vista que

).().().().()( VVVVVXXrrrrrrrrr

∇+∇−∇−∇=∇ ςςςςς e considerando a incompressibilidade dos vetores velocidade e vorticidade, e após algum remanejamento de termos chega-se à equação da vorticidade:

ςνςς rrrr

2).( ∇+∇= VDtD

O termo da esquerda representa a taxa total de mudança de vorticidade da partícula. O primeiro termo à direita é o que se denomina taxa de deformação das linhas de vórtices. O segundo termo à direita representa a taxa de difusão viscosa da vorticidade. Vale notar que para escoamentos planos ou axi-simétricos, necessariamente a taxa de deformação das linhas de vórtices é nula. Em tais escoamentos o vetor vorticidade é sempre perpendicular ao vetor velocidade, logo as linhas de vórtices são perpendiculares ao plano onde se dá o escoamento. Forças de pressão e gravitacionais não afetam diretamente a vorticidade. A justificativa física disso vem do fato de que a vorticidade é um indicador da rotação de corpo rígido da partícula. Forças de pressão e gravitacionais atuam sobre o centro de massa de uma partícula sem produzir rotação.

Por outro lado, esforços cisalhantes agem tangencialmente na superfície de uma partícula, e se atuam desbalanceados, gerarão vorticidade. Como regra geral, a existência de vorticidade significa que a partícula está (ou então esteve em seus movimentos pregressos) sujeita a forças viscosas. Em muitas situações um fluido adquire vorticidade por ação viscosa e daí em diante o movimento é invíscido, sendo as forças viscosas desprezíveis. Condições de contorno A equação da continuidade (escalar) e as de Navier-Stokes (vetorial) constituem as equações fundamentais que governam o movimento fluido. As incógnitas em pontos genéricos do domínio fluido são determinadas em cada problema hidrodinâmico se esse conjunto de equações diferenciais parciais, adicionado das pertinentes condições de contorno aplicáveis ao problema considerado, forem resolvidas, seja por procedimentos analíticos (alguns poucos casos) ou numéricos (empregando métodos computacionais).

,,, pwvu

Condições de contorno relevantes para problemas de escoamentos externos em volta de corpos são, tipicamente: nas paredes do corpo, na superfície livre, no entorno do domínio fluido (p. ex., no fundo). a) Em paredes impermeáveis, para corpos móveis, a chamada condição cinemática

representa a condição de não-escorregamento dos elementos fluidos sobre a superfície do corpo.

paredeVVrr

=

b) Na superfície livre ),,(0),,,( tyxztzyxF η−== a condição cinemática pode ser

convenientemente retratada por FVtF

DtDF

∇+∂∂

== .0r

, do que resulta a expressão para

a componente vertical dos elementos fluidos componentes da superfície livre:

yv

xu

tw

∂∂

+∂∂

+∂∂

=ηηη

Ainda na superfície livre uma condição dinâmica é requerida, qual seja, a de que em todos os pontos dessa superfície, atue a pressão atmosférica:

),,(/ tyxzppp a η==

c) Freqüentemente o entorno do domínio fluido é estacionário. Nesses casos, a condição

cinemática é aplicável sobre ele. Por exemplo, para fundo rígido e plano, .0=w Sempre que a aproximação de escoamento invíscido for aplicável )0( =µ , algumas simplificações são notáveis. As equações de Navier-Stokes ganham a forma conhecida na literatura como equação de Euler:

pgDt

VD∇−=

rr

ρρ

que pode ser integrada para recair em algumas das formas da chamada equação de Bernoulli, como será discutido adiante. As condições de contorno cinemáticas no corpo retratam o fato de que em escoamentos invíscidos o fluido efetivamente escorrega sobre a parede do corpo, ou seja, não se controla a componente tangencial da velocidade. Isso pode ser expresso como:

nVnV parederrrr .. =

No caso de corpo estacionário, há simplificação adicional:

0. == nVnV rr Função de corrente Algumas das dificuldades analíticas relativas à integração das equações fundamentais da mecânica dos fluidos podem ser evitadas ou atenuadas sempre que a equação da continuidade (reiteramos a ênfase deste texto em escoamento de fluidos incompressíveis):

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu

puder ser reduzida a apenas dois termos. Nesses casos, artifícios matemáticos permitem que a equação da continuidade seja descartada, e constróem uma rota de solução eficiente, reduzindo o problema vetorial a outro escalar pretensamente mais simples. Ao mesmo tempo, os problemas assim tratados ficam dotados de interessantes interpretações geométricas e físicas que têm importância prática. Em especial, nos problemas de regime permanente, onde a linguagem gráfica das linhas de corrente têm grande significado prático na representação do fluxo, a definição da Função de Corrente se coloca. Escoamentos bidimensionais ou axi-simétricos são casos em que a equação da continuidade pode ser reduzida a apenas dois termos. Para encaminhar a presente discussão, seja um escoamento incompressível bidimensional permanente. A equação da continuidade fica limitada a:

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

Essa equação é exatamente satisfeita se se define a Função de Corrente ),( yxψ (de Classe C1) tal que:

0)()( =∂∂

−∂∂

+∂∂

∂∂

xyyxψψ

ou seja, para:

xv

yu

∂∂

−=∂∂

=ψψ ; sendo: j

xi

yV ˆˆ

∂∂

−∂∂

=ψψr

.

Para o vetor velocidade assim definido, o vetor rotacional da velocidade fica sendo um vetor perpendicular ao plano:

kkyyxx

VX ˆˆ)]()([ 2ψψψ−∇=

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

=∇r

onde:

2

2

2

22

yx ∂∂

+∂∂

=∇ψψψ

Para regime permanente, a equação da vorticidade tem a forma:

)())(.( 222 ψνψ ∇∇=∇∇Vr

que eqüivale a:

)()()( 2222 ψνψψ ∇∇=∇∂∂

+∇∂∂

yv

xu

ou, finalmente:

)()()( 2222 ψνψψψψ∇∇=∇

∂∂

∂∂

−∇∂∂

∂∂

yxxy

Essa única equação escalar em ψ pode tomar então o lugar das equações da continuidade e Navier-Stokes. Trata-se de uma equação parcial de quarta ordem, para a qual quatro condições de contorno são requeridas. Por exemplo, para fluxo uniforme na direção x passando por corpo sólido, as quatro condições serão:

No infinito: 0=∂∂

=∂∂

xU

yψψ

No corpo: 0=∂∂

=∂∂

xyψψ

Em geral, grandes dificuldades matemáticas impedem soluções analíticas. Soluções numéricas existem para diversos problemas. Uma importante aplicação ocorre para escoamento bidimensional invíscido irrotacional, onde, por definição, o vetor vorticidade é identicamente nulo. Nesse caso, a equação escalar da Função de Corrente fica sendo:

02

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

=∇yxψψψ

que é a chamada Equação de Laplace. Para essa equação, uma infinidade de soluções e técnicas analíticas estão disponíveis. Como antecipado, a Função de Corrente tem interpretações geométricas e físicas que a torna um recurso atraente. A interpretação geométrica está associada ao fato de que linhas de .const=ψ são linhas de corrente do escoamento. Isso pode ser mostrado considerando-se a definição de linhas de corrente, como sendo aquelas linhas às quais o vetor velocidade em cada ponto lhe é tangente, conforme ilustra a Fig. 15.

Fig. 15 Tangência das velocidades às linhas de corrente. Matematicamente, para um elemento infinitesimal de uma linha de corrente genérica,

0=rdXV rr, logo as componentes desse vetor serão necessariamente nulos. No plano, isso

implica em , que é a equação cartesiana de uma linha de corrente. Considerando as relações entre u, v e

0=− udyvdxψ , a equação da linha de corrente fica expressa

como:

ψψψ ddyx

dxx

==∂∂

+∂∂ 0

Então, ao longo da linha de corrente, a Função de corrente é constante. Ou seja, tendo-se obtido ),( yxψ para um dado problema, graficam-se as linhas de corrente. Quanto à interpretação física, vale adiantar que existe uma importante relação entre ψ e o fluxo volumétrico. Recordando que o vetor normal a uma curva no plano define-se como:

jdsdxi

dsdyn ˆˆ −=

r

o fluxo de velocidade pelo elemento infinitesimal ds fica sendo:

ψψψ ddsdsdx

xdsdy

ydAnVdQ =

∂∂

+∂∂

== )().( rr

conforme ilustrado na Fig. 16.

dQ = (V i n) dA = dΨ

V = uî + vj ^

n

Fig. 16 A função de corrente como medida de vazão

Assim, a mudança de ψ ao longo do elemento é numericamente igual à vazão volumétrica através do elemento, tal que, para duas linhas de corrente adjacentes:

12

2

1

2

12,1 ).( ψψψ −=== ∫ ∫ ddAnVQ rr

Escoamentos não viscosos irrotacionais Como visto, desconsiderando-se a viscosidade, Navier-Stokes reduz-se à equação de Euler:

pgDt

VD∇−=

rr

ρρ

Adicionalmente, as equações ficam bem mais simples sempre que a movimentação fluida pode ser considerada como sendo apenas de translação, sem rotação das partículas em torno de seu próprio eixo. Notar que as acelerações contém contribuições não-lineares no termo denominado convectivo. Sempre que se puder fazer a consideração de que em todo o domínio fluido a vorticidade seja nula, certas não-linearidades das acelerações estarão ausentes, reduzindo então, sobremaneira, as dificuldades associadas com a solução do

problema hidrodinâmico dado. Para clarificar esse argumento, considere-se a expressão da derivada substantiva da velocidade:

VXVtVVV

tV

DtVD rr

rrr

rr

ς+∇+∂∂

=∇+∂∂

= )21().( 2

Sempre que a influência do último termo à direita puder ser desconsiderada, as equações poderão ser integradas sem maiores dificuldades. No intuito de aplicar um procedimento o mais genérico possível, multiplique-se escalarmente a equação vetorial de Euler pelo vetor elementar genérico : rdr

0].1)21([ 2 =−∇++∇+

∂∂ rdgpVXV

tV rrrrr

ρς

A hipótese de interesse 0).( =rdVX rrrς admite as seguintes sub-hipóteses: i) 0≡V

r; trivial, não há fluxo, caso hidrostático.

ii) 0≡ςr ; fluxo é dito ser irrotacional. iii) perpendicular a rdr VX

rrς : caso particular sem interesse específico. iv) paralelo a rdr 0)(: =rdXVV rrr

; pode-se integrar ao longo da linha de corrente.

Inicialmente, considere-se o item (iv). Pode-se mostrar que o termo )21( 2V∇ , multiplicado

escalarmente por , dá: rdr

)(21])()()([

21 2

222

Vddzz

Vdyy

Vdxx

V=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

logo, resulta para a expressão do produto escalar acima:

01)21(. 2 =+++

∂∂ gdzdpVdrd

tV

ρr

r

Pode-se integrar ao longo da linha de corrente entre dois pontos quaisquer. Sendo a densidade constante:

0)()(1)(21

12122

12

2

2

1

=−+−+−+∂∂∫ zzgppVVds

tV

ρ

onde ds é o elemento de arco na linha de corrente. Essa equação é a versão da equação de Bernoulli sobre a linha de corrente válida para escoamentos não-permanentes. Para regime permanente, tem-se a forma mais comumente mencionada para a equação de Bernoulli sobre a linha de corrente:

.21 2 ctegzVp

=++ρ

(sobre a linha de corrente)

sendo que a constante pode variar de uma linha de corrente para outra. Considerando agora a sub-hipótese (ii), escoamento irrotacional, nesse caso é qualquer, não precisa pertencer à linha de corrente. Sendo movimento permanente, a integração aplica-se a todo o domínio fluido:

rdr

.21 2 ctegzVp

=++ρ

(em todo o domínio)

Potencial de Velocidades Para escoamento irrotacional define-se a função ),,,( tzyxφ a partir da qual pode-se obter a velocidade. Se 0=∇ VX

r, então existe uma função ),,,( tzyxφ tal que φ∇=V

r, ou:

zw

yv

xu

∂∂

=∂∂

=∂∂

=φφφ ;;

Linhas de mesmo valor de φ são chamadas linhas potenciais. Vale notar que diferentemente da Função de Corrente, a Função Potencial de Velocidades pode ser definida para escoamentos tridimensionais. Nesse caso de escoamento irrotacional, vale notar a forma que assume a integração da equação de Euler. A seguinte igualdade pode ser estabelecida:

)()()()(

).(.t

ddzztdy

ytdx

xtrd

trd

tV

∂∂

=∂∂∂

∂+

∂∂∂

∂+

∂∂∂

∂=∇

∂∂

=∂∂ φ

φφφ

φ rrr

Consequentemente, a integração da equação de Euler ganha a seguinte forma:

.21 2 ctegzp

t=+∇++

∂∂ φ

ρφ

válida para escoamentos irrotacionais não-permanentes. A constante é a mesma para todos os pontos, podendo variar com o tempo. Essa equação é chamada na literatura de Equação Integral de Cauchy-Bernoulli. Escoamentos potenciais notáveis

Diferentes escoamentos potenciais podem ser bem representados pela adequada superposição de escoamentos simples. Alguns desses escoamentos serão apresentados adiante, em suas versões bi e tridimensionais. i) bidimensionais: i.1) Escoamento uniforme de velocidade U na direção x: As velocidades são:

yxUu

∂∂

=∂∂

==ψφ ;

xyv

∂∂

−=∂∂

==ψφ0

Integrando-se as velocidades, descartando-se as constantes de integração, que não afetam as velocidades , as linhas de corrente e de potencial são obtidas:

UxUy == φψ ; Conforme ilustrado na Fig. 17 as linhas de corrente são retas horizontais (y = const.) e as linhas de potencial são verticais (x = const.).

Fig. 17 Escoamento uniforme plano

i.2) Linha de fonte ou sumidouro na origem: Representa emissão contínua de fluido Q no plano na direção radial. Em coordenadas polares, a componente circunferencial será nula. Em um raio r genérico e comprimento da linha definido por b, a velocidade é:

θφψφ

θψ

π θ ∂∂

=∂∂

−==∂∂

=∂∂

===rr

vrrr

mrb

Qvr10;1

2

onde b

Qmπ2

= é uma constante denominada intensidade, sendo positiva para a fonte e

negativa para o sumidouro. Integrando as velocidades e descartando as constantes de integração, obtém-se as linhas de corrente e de potencial para esse escoamento radial:

rmm ln; == φθψ A Fig. 18 ilustra esse escoamento.

Fig. 18 Linha de fonte ou sumidouro

i.3) Linha de vórtice irrotacional: O escoamento bidimensional linha de vórtice corresponde a um movimento circular

permanente, tal que e . Sendo 0=rv )(rfv =θ rKv =θ , onde K é uma constante chamada

intensidade do vórtice. Esse escoamento satisfaz a equação da continuidade e é irrotacional, isto é VX

r∇ = 0. Algumas vezes denominado vórtice livre, e sendo:

θφψφ

θψ

θ ∂∂

=∂∂

−==∂∂

=∂∂

==rrr

Kvrr

vr1;10

Novamente integrando: θφψ KrK =−= ;ln Como ilustrado na Fig. 19, as linhas de corrente são círculos concêntricos (r = const), enquanto que as linhas de potencial são raios (θ = const.).

Fig. 19 Vórtice livre. i.4) Superposição de fonte com sumidouro iguais: Os escoamentos apresentados correspondem a fluxos incompressíveis irrotacionais que satisfazem as equações de continuidade e 0 . Como a equação de Laplace é linear, qualquer soma dessas funções mais simples também será solução da equação de

02 =∇ ψ 2 =∇ φ

Laplace. Para fonte de intensidade +m no ponto )0,(),( ayx −= , combinada com sumidouro de intensidade –m localizado em , como ilustrado na Fig. 20, as linhas de corrente são simplesmente a soma das duas funções simples:

)0,(a

axym

axymsf −

−+

=+= −− 11 tantanψψψ

e as linhas de potencial são:

])ln[(21])ln[(

21 2222 yaxmyaxmsf +−−++=+= φφφ

Fig. 20 Superposição de fonte e sumidouro. Linhas de corrente contínuas, linhas de

potencial tracejadas. Setas indicam fluxo da fonte para sumidouro.

Com aplicação de relações trigonométricas e logarítmicas conhecidas, as expressões dadas acima podem ser simplificadas para:

2221 2tan

ayxaym−+

−= −ψ ; −+−++

= 22

22

)()(ln

21

yaxyaxmφ

i.5) Doublet: O processo de passagem ao limite da aproximação do par fonte/sumidouro produz expressão de interesse prático, denominado doublet (ou par fluido). Pode-se demonstrar que para , excluindo-se o ponto 0→a ax = (para esse ponto é a origem) as seguintes funções são obtidas:

0→a

22222 ;senyx

xrx

yxy

r +Λ

=Λ−=+Λ

=Λ= φθψ

onde é o seu chamado momento. As linhas de corrente associadas ao par fluido definido sobre o eixo são, em coordenadas cartesianas:

Λx

022 =Λ

−+ yc

yx

que define família de círculos com centros no eixo . Em presença de escoamento uniforme, obtém-se a representação do fluxo incidente sobre um cilindro circular, conforme mostrado na Fig. 21.

y

Fig. 21 Par fluido associado a escoamento uniforme incidente. ii) tridimensionais: ii.1) Fonte 3-D: O potencial de uma fonte tridimensional situada na origem é:

rmzyxmππ

φ4

)(4

2/1222 −=++−

= −

onde r é a distância radial até o ponto onde se situa a fonte e m a intensidade. ii.2) Semi-corpo: Soma de escoamento uniforme na direção x com fonte 3-D na origem:

2/1222 )(4

−++−= zyxmUxπ

φ

ii.3) Ovóide de Rankine: Soma de escoamento uniforme com fonte e sumidouro:

2/12222/1222 ])[(

4])[(

4−− ++−++++−= zyaxmzyaxmUx

ππφ

ii.4) Doublet:

2/3222 )(4 zyxx++

Λ=

πφ

ii.5) Soma de uniforme com doublet: Em coordenadas esféricas a soma resulta em:

24coscos

rUr

πθθφ Λ

+=

que corresponde ao escoamento de fluxo uniforme de velocidade U incidindo sobre esfera

de raio 3/1)2

(U

rπΛ

=

Caso 2-D: Ortogonalidade de linhas de corrente e de potenciais Como visto, para escoamento invíscido e irrotacional, existe uma função potencial de velocidades φ a partir da qual as características cinemáticas podem ser determinadas. Por outro lado, no caso de escoamentos bidimensionais existe uma função ψ , a chamada função de corrente a partir da qual também são obtidas as velocidades. Consequentemente, tem-se:

xyu

∂∂

=∂∂

=φψ

yxv

∂∂

=∂∂

−=φψ

Essas relações na forma de derivadas parciais entre as duas funções são conhecidas como relações de Cauchy-Riemman. Um aspecto geométrico dessas relações deve ser reconhecido de imediato: a ortogonalidade entre as linhas dessas funções. Isso pode ser observado considerando-se de início que para uma linha de φ constante:

vdyudxdyy

dxx

d +==∂∂

+∂∂

= 0φφφ

Resolvendo:

vu

dxdy

const −== .)( φ

Em seguida, considere-se que para uma linha de ψ constante:

udyvdxdyy

dxx

d +−==∂∂

+∂∂

= 0ψψψ

Resolvendo:

uv

dxdy

const == .)( ψ

E portanto verifica-se que:

.

.

)(

1)(const

const

dxdydx

dy

=

= −=

ψ

φ

que é a condição matemática de ortogonalidade entre duas famílias de curvas. Escoamentos incompressíveis viscosos Alguns escoamentos simples serão tratados antes de se iniciar a discussão dos escoamentos viscosos em torno de corpos. a) Escoamento de Couette Seja a movimentação fluida resultante tão somente do deslocamento de placa plana com velocidade constante U horizontal em presença de parede fixa. Movimento assumido como sendo 2-D sem efeito gravitacional. Inexiste gradiente de pressão, a velocidade fluida horizontal só depende de y , e 0≠u 0== wv . As equações fundamentais são:

Continuidade: 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu

reduz-se a 0=∂∂

xu , correspondente a )( yuu = apenas.

Navier-Stokes: xFuxp

zuw

yuv

xuu

tu

ρν

ρ11 2 +∇+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

yFvyp

zvw

yvv

xvu

tv

ρν

ρ11 2 +∇+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

a componente y dessa equação é identicamente nula, e a componente x reduz-se a:

02

2

=dy

udµ

e integrando-se duas vezes resulta: 21 cycu += . As duas constantes de integração são determinadas pela aplicação das condições de contorno pertinentes:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−==−=+==+=

2

2)(0;

;

2

1

21

21

Uc

hUc

ouchcuhy

chcUuhy

então:

hyhUyh

Uu ≤≤−+= ;22

que define um perfil linear sem escorregamento (conforme indicado na Fig. 22), correspondente à Lei de Newton da Viscosidade:

yxy yu )(∂∂

= µτ

Fig. 22 Perfil de velocidade para escoamento de Couette.

b) Escoamento de Poiseuille Corresponde a fluxo 2-D com gradiente de pressão, entre duas placas planas fixas, como

ilustrado na Fig. 23. A equação da continuidade reduz-se a )(0 yuuxu

=⇒=∂∂ e as duas

componentes de Navier-Stokes reduzem-se a:

xp

dyud

∂∂

=2

2

µ

)(0 xppyp

=⇒∂∂

= apenas.

Logo, .2

2

constdxdp

dyud

==µ

Integrando duas vezes:

21

2

21 cycy

dxdpu ++=

µ

Em ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

==⇒±=

µ2

00 2

2

1

hdxdpc

cuhy

Fig. 23 Escoamento gerado por duas placas (Poiseuille)

Então, o perfil de velocidades resultante é uma parábola:

)1(2 2

22

hyh

dxdpu −−=

µ

ocorrendo a máxima velocidade na linha de centro, com intensidade dada por:

µ2

2

maxh

dxdpu −=

Essa expressão deixa evidenciado o sinal negativo do gradiente de pressão constante. Escoamentos viscosos externos Conforme já discutido, próximo de uma parede as ações viscosas são relevantes. Nos escoamentos internos, efeitos viscosos propagam-se das paredes para o centro, e ao final, em toda a região fluida do fluxo as tensões viscosas são relevantes. Em contrapartida, para escoamentos externos, em princípio para números de Reynolds relativamente altos, esses efeitos ficam restritos a uma região limitada, sem que as ações viscosas difundam-se para

regiões amplas. Esse fato dá sustentação física à modelação clássica de teoria de camada limite fina. Um aspecto constitutivo dessa modelação é de que o escoamento externo em torno de um corpo compõe-se de uma região fina onde o movimento é governado por Navier-Stokes, com tensões viscosas importantes, que coexiste com a região mais exterior onde o escoamento é invíscido. Esse modelo tipo “colcha de retalhos” produz resultados muito satisfatórios para corpos esbeltos e números de Reynolds elevados. A teoria de camada limite teve seus principais desenvolvimentos no primeiro quarto do século vinte, através dos pesquisadores germânicos L. Prandtl e T. von Karman. Para baixos números de Reynolds ( ) onde os efeitos viscosos não ficam restritos a camadas finas, o modelo não se aplica. Nesses casos, a análise tem que ser fortemente lastrada em resultados experimentais e/ou numéricos.

1000Re0 ≤≤

Fig. 24 Camada limite em escoamento plano.

A Fig. 24 apresenta diagramaticamente a camada limite resultante do movimento fluido viscoso em contato com a superfície de uma das faces de uma placa plana. A linha tracejada pretende ilustrar a estreita região denominada camada limite. Indica-se em cada posição longitudinal x a espessura dessa camada. Sobre a placa a condição de não-deslisamento implica em velocidade resultante nula. Desse ponto de contato onde a velocidade é nula até a região externa da camada limite, a velocidade longitudinal do fluido cresce até ajustar-se ao valor da velocidade do escoamento não afetado pela viscosidade. De forma pragmática, estabelece-se um critério para definir espessura de camada limite

)(xδ : lugar geométrico dos pontos onde Uu10099

= onde U é a velocidade no escoamento

invíscido. De um modo geral, o fluxo entra na placa de forma estruturada em camadas bem ordenadas. Nesse caso o escoamento dentro da camada limite é dito ser laminar. Mais para dentro da superfície da placa os filetes bem arranjados começam a desestruturar-se e chegam adiante a fluírem de forma completamente misturada, desordenada em flutuações seqüenciais. Alguns pontos dessa região dita de transição ainda retém o caráter ordenado. Ainda mais adiante, depois que praticamente todos os filetes perderam sua laminaridade, diz-se que o regime dentro da camada limite tornou-se turbulento. Grandes gradientes de velocidade são então observados próximo à parede. Mais adiante estaremos deduzindo os resultados clássicos de solução das equações fundamentais da Mecânica dos Fluidos fundamentados na chamada teoria de camada limite,

tanto para escoamentos laminares quanto turbulentos. No presente estágio do desenvolvimento das discussões serão antecipados alguns resultados dessas soluções para dar uma idéia das dimensões envolvidas no desenvolvimento de camadas limites. Mais adiante esses resultados serão exatamente deduzidos. No momento, registramos aqui as expressões das espessuras de camada limite:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

)10(16.0

min5

67/1

2/1

exex

ex

RturbulentoR

arlaR

xδ

onde νUxRex = é o número de Reynolds local, sendo x a ordenada posicional sobre a placa,

x=0 sendo a aresta de ataque na placa. Resultados típicos estão apresentados na Tabela 2 para placa plana:

exR 410 510 610 710 810

lamx)(δ 0.050 0.016 0.005

turbx

)(δ 0.022 0.016 0.011

Tabela 2: Espessuras típicas de camada limite nos regimes laminar, crítico e turbulento para placas planas

Para corpos delgados a camada limite pode ser tão fina como sugerido pelos valores ilustrativos da Tabela 2. Para corpos não delgados, como no caso de um cilindro circular, a camada limite é fina, em geral, apenas na região de vante do corpo, onde predomina um gradiente favorável de pressão. Nessa região, assim como em geral para corpos delgados, a pressão sobre a superfície pode ser avaliada, com muito boa precisão, como se a camada limite fina não interferisse no campo de pressão, ou seja, a pressão sobre a superfície obtida fruto da solução da equação de Euler, correspondente a escoamentos invíscidos. Para corpos rombudos, na região de gradiente de pressão adversa há grande dificuldade para o fluido acompanhar a curvatura do corpo. Disso decorre que nessas regiões a aproximação da pressão sobre a parede ser determinada a partir do resultado de escoamento invíscido torna-se problemática. Um valor referencial aceito em geral é de que hidrodinamicamente uma camada limite é

fina para valores da ordem de 1.0<xδ . Na placa plana isso ocorre quando: 2/1

51.0exRx

==δ ,

ou: . Para valores inferiores, camada limite grossa não será compatível com determinação da pressão no escoamento invíscido. Por outro lado, ainda como valor referencial, a transição de regime laminar para turbulento ocorrerá para números de Reynolds em torno de . Para navios, considerando-se as dimensões de

2500>exR

6103 XRex ≈

supertanques, pode-se encontrar regimes com números de Reynolds tão elevados quanto . 9105 XRex ≈

Nas seções subsequentes serão introduzidos alguns conceitos teóricos aplicáveis a camadas limite em geral, os quais subseqüentemente serão usados na derivação das soluções de placa plana e corpos bidimensionais. Integral de momentum De acordo com a Segunda Lei de Newton, a variação da quantidade de movimento em um sistema dinâmico iguala-se ao somatório das forças externas. Fazendo-se referência à Fig. 24, tomem-se as diferenças de quantidades de movimento entre uma seção genérica e a aresta de ataque. Sendo a vazão massa na direção paralela à parede dada por uρ e b a largura da parede em consideração, o arraste fica expresso na forma integral derivada em 1921 por Karman:

∫ −=)(

0)()(

xdyuUubxD

δρ

o qual conceituou espessura de momentum como:

∫ −=)(

0)1(

xdy

Uu

Uuδ

θ

de modo que o arraste e sua derivada em relação a x ficam dadas como:

θρ 2)( bUxD = ; dxdbU

dxxdD θρ 2)(

=

respectivamente. Por outro lado, sabendo-se que o arraste e sua derivada podem ser dados alternativamente como:

∫=x

0 p dx)x(b)x(D τ ; )x(bdx

)x(dDpτ=

onde é a tensão cisalhante na parede, Karman, igualando termos, expressou a tensão na parede em função da espessura de momentum, expressão válida para escoamentos laminar ou turbulento:

pτ

dxdUpθρτ 2=

Prosseguindo, Karman, baseando-se em resultados experimentais, assumiu para placa plana uma lei parabólica para o perfil de velocidades:

)(0;)2(),( 2

2

xyyyUyxu δδδ

≤≤−=

Com essa hipótese, pode-se estimar θ e pτ :

∫ =+−−=δ

δδδδδ

θ0 2

2

2

2

152)21)(2( dyyyyy

δµµτ U

yu

yp

2

0

=∂∂

==

e em seguida fazer as substituições:

dxdU

dx

dU

dxdUU

pδρ

δρθρ

δµτ

152)

152(2 222 ====

donde obtém-se:

dxU

d νδδ 15=

Pode-se integrar de 0 a , assumindo-se x 0=δ em 0=x , resultando:

Uxνδ 15

21 2 =

ou ainda, a estimativa de Karman para espessura da camada de perfil parabólico:

2/1

5.5

exRx=

δ

que é 10% maior que a solução exata apresentada preliminarmente. Ainda usando a aproximação de Karman, pode-se estimar o Coeficiente Friccional:

δUδUU

UC p

fν

ρµ

ρ

τ 4)2(2222 =≅=

Espessura de deslocamento

O conceito de espessura de deslocamento resulta da aplicação do princípio da conservação da massa no que entra e sai da região afetada pelos efeitos viscosos. Seja a Fig. 25. Na aresta de ataque o perfil é uniforme. Tomando-se aí uma dada vazão Uh, em uma posição genérica , dado o perfil alterado, essa vazão estará mantida se se considerar uma altura

. Matematicamente: x*δ+= hy

∫∫ =δρρ

00ubdybdyU

h onde *δδ += h

Somando-se e diminuindo-se U:

∫ −+=δ

δ0

)( dyUuUUh

e eliminando-se h resulta:

∫ −=δ

δ0

* )1( dyUu

Aceitando-se a aproximação de perfil parabólico, obtém-se para a placa:

31*

≅δδ

A aplicação do conceito de espessura de deslocamento permite o uso de um corpo “aparente” no lugar do real, tal que a vazão massa sem atrito em torno do corpo “aparente” seja a mesma que a definida em torno do corpo real.

Fig. 25 Espessura de deslocamento

Teoria de camada limite Sob as hipóteses de escoamento viscoso incompressível, regime permanente, movimento bidimensional sem efeito gravitacional, as equações fundamentais ficam dadas como:

0yv

xu

=∂∂

+∂∂

)(12

2

2

2

yu

xu

xp

yuv

xuu

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ ν

ρ

)(12

2

2

2

yv

xv

yp

yvv

xvu

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ ν

ρ

Com a imposição das condições de contorno pertinentes, as incógnitas relativas ao escoamento em torno de um dado corpo podem ser determinadas, de forma aproximada, pela aplicação de métodos numéricos.

),,( pvu

Ou, através de hipóteses relativas às ordens de grandeza dos diferentes termos participantes das equações acima, adequadas e importantes simplificações podem ser aplicadas de forma tal que procedimentos analíticos são estendidos e ficam (quase que integralmente) disponíveis até a obtenção das soluções finais. Esse corpo teórico envolvendo hipóteses simplificadoras e procedimentos analíticos deveu-se fundamentalmente a L. Prandtl (circa 1904) e ficou desde então, acrescido de outros desenvolvimentos relativos, denominado Teoria de Camada Limite. Prandtl formulou, como passo inicial, que para números de Reynolds elevados a espessura da camada limite é pequena. Empregando-se notação conveniente, assume-se que dimensões longitudinais são de ordem unitária, , enquanto que nas dimensões verticais,

)1(O)(δO . Assim, as taxas de variação de u com as variáveis x e y podem ser

percebidas como indicado abaixo:

)1(Ou = )1(O

xu=

∂∂ )1(2

2

Oxu=

∂∂

)1(δ

Oyu=

∂∂

)1( 22

2

δO

yu=

∂∂

Tendo em conta, na equação da continuidade, que se )1(Oxu=

∂∂ , então também )1(O

yv=

∂∂ .

Mas dada a pequena espessura da camada limite, conclui-se que )(δOv = . Assim, as taxas de variação de v com as variáveis x e y podem ser percebidas como indicado abaixo:

)(δOv = )(δO

xv=

∂∂ )(2

2

δOxv=

∂∂

)1(Oyv=

∂∂

)1(2

2

δO

yv=

∂∂

Essas ordens de grandeza conduzem à seguinte avaliação dos termos da equação de Navier-Stokes:

)(12

2

2

2

yu

xu

xp

yuv

xuu

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ ν

ρ

)]1()1([1)1().()1().1( 2δν

ρδδ OO

xpOOOO ++∂∂

=+

Os dois termos dentro da chave à direita são de ordem de grandeza muito diferentes, sendo

)1()1( 2δOO << . É forçoso concluir que o coeficiente de viscosidade cinemática, que

multiplica ambos os termos, tem ordem de magnitude , o que estabelece para o termo de tensão viscosa uma ordem de grandeza comparável com os outros termos da

equação:

)( 2δO

)1(2

2

Oyu=

∂

∂ν . A segunda componente de Navier-Stokes tem as seguintes ordens

de grandeza:

)(12

2

2

2

yv

xv

yp

yvv

xvu

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ ν

ρ

)]1()([1)1().()().1(δ

δνρ

δδ OOypOOOO ++∂∂

=+

e esses resultados significam que a variação da pressão através da camada limite é )(δO , e

que essa variação pode ser desprezada: 0yp≅

∂∂ , ou seja, )(xpp = apenas. Em outras

palavras, a pressão determinada na região mais exterior ao corpo através da teoria de fluido invíscido pode ser considerada como atuando na própria parede. Essa variação longitudinal de pressão pode então, para fins de solução do problema de camada limite, ser assumida

como previamente conhecida através da equação de Bernoulli. Então: dxdUU

dxdp

xp ρ−==∂∂

Portanto, com as hipóteses de Prandtl, as 3 equações ficam reduzidas a apenas duas:

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

2

2)()(yu

dxxdUxU

yuv

xuu

∂∂

+=∂∂

+∂∂ ν

válidas tanto para escoamentos laminares como para turbulentos. As condições de contorno são: Na parede, não há escorregamento. 0:0 ==⇒= vuy Fora, )()( xUuxy =⇒= δ Camada limite laminar em placa plana. Solução de Blasius Com as hipóteses de Prandtl as equações que governam o escoamento dentro da camada limite ganham em simplicidade. No caso de a parede ser uma placa plana, o modelo ainda simplifica-se mais, levando-se em conta que nesse caso o escoamento exterior invíscido é:

0;. ==dxdUconstU . O problema de camada limite laminar sem gradiente de pressão

foi resolvido analiticamente em 1908 por Blasius, em sua dissertação de doutorado onde contou com Prandtl como supervisor. As equações a serem resolvidas são mais simples:

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

02

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

yu

yuv

xuu ν

Seguindo as hipóteses de Prandtl, Blasius definiu adimensionais que retratassem as diferenças de escala de dimensões que existem dentro de uma camada limite. Assim, definindo os adimensionais:

Lxx' = 2/1

eL' R

Lyy =

Uuu' = 2/1

eL' R

Uvv =

onde L é o comprimento da placa e ν

ULReL = corresponde ao número de Reynolds para a

dimensão longitudinal extrema da placa. Com esses adimensionais, as equações, com suas respectivas condições de contorno ficam sendo:

0'

'

'

'

=∂∂

+∂∂

yv

xu

02'

'2

'

''

'

'' =

∂

∂−

∂∂

+∂∂

yu

yuv

xuu

Em 0:0 ''' ==⇒= vuyEm 0;1 ''' ==⇒∞→ vuy

Para reduzir essas equações parciais a ordinárias, assume-se que L é grande em relação a x. Essa hipótese é atendida sem problemas para escoamento laminar. Consequentemente, a solução deve independer de L, tal que a dependência das componentes e das

coordenadas de posição e devem envolver apenas a razão

'u 'v

'x 'yx

Uyx

yν

η =='

'

denominada parâmetro de similaridade. Blasius buscou então soluções do tipo:

)(' ηFUuu == )('' ηGxv =

sendo ),( '' yxηη = As derivadas dos adimensionais da velocidade horizontal ficam expressas como:

ηηη

ddF

xxF

xu

'''

' )(∂∂

=∂

∂=

∂∂

ηηη

ddF

yyF

yu

'''

' )(∂∂

=∂

∂=

∂∂

sendo que:

'''

'

2/1'''

'

'

'' 211

21)

)(1()(

xxxy

xxy

xy

xxηη

−−=−=∂∂

=∂∂

=∂∂

''

'

''

1)(xx

yyy

=∂∂

=∂∂η

de forma que os termos inerciais ficam sendo:

)]()(21[11)(1]

21)[(

'''' ηηηηη

ηη

ηη GFddF

xddF

xG

xddF

xF +−=+−

Adicionalmente, as seguintes derivadas parciais são obtidas:

ηηηη

ddG

xddG

yxyG

xyv

''''''

' 11)(1=

∂∂

=∂

∂=

∂∂

2

2

'2'

'2 1)( ηd

Fdxy

u=

∂∂

Compilando resultados e eliminando de todos os termos a parcela '

1x

:

021

2

2

=−+−ηηη

ηd

FdddFG

ddFF

021

=+−ηη

ηddG

ddF

com as condições de contorno:

0)0( =F 1)( =∞F 0)0( =G 0)( =∞G

que é um sistema acoplado de equações diferenciais ordinárias.

Fazendo ηd

dfF = e )(21 f

ddfG −=η

η

de forma que:

2

2

ηη dfd

ddF

=

3

3

2

2

ηη dfd

dFd=

2

2

2

2

21)(

21

ηη

ηηη

ηηη

η dfd

ddf

dfd

ddf

dd

ddG

=−+=

então a equação da continuidade:

021

21

2

2

2

2

=+−η

ηη

ηd

fdd

fd

é exatamente satisfeita, e a equação restante fica sendo:

0)(21

21

3

3

2

2

2

2

=−−+−ηηη

ηηη

ηd

fdd

fdfddf

dfd

ddf

que, simplificada, resulta na chamada equação de Blasius:

021

3

3

2

2

=+ηη d

fdd

fdf

e as condições de contorno associadas são:

1)(;0)0()0( '' →∞== fff

O perfil de velocidades é: )('' ηfUuu == , o qual pode ser obtido por integração numérica.

Fig. 26 Perfil correspondente à solução de Blasius para placa plana laminar.

Tal solução está ilustrada na Fig. 26, na qual verifica-se que a solução de Blasius determina o valor para 99.0u' = 95.4≅η ; logo, a espessura de camada limite é:

2/1exR95.4

x=

δ . Esse resultado é muito próximo do anteriormente estimado pela aproximação

de perfil parabólico.

Fig. 27 Perfis de velocidade da solução exata de Blasius contra perfil parabólico comparados com perfis de escoamentos turbulentos.

Mas fica claro que o perfil correspondente à solução de Blasius não é parabólico. A Fig. 27 apresenta os perfis parabólico e de Blasius. Apresenta ainda algumas soluções relativas a escoamentos turbulentos, os quais serão mais discutidos adiante. Mas vale, desde já, notar

as grandes diferenças existentes entre perfis laminares e turbulentos. Graficados de outra forma, a Fig. 28 retrata essas diferentes características. Em particular, o forte gradiente de velocidade existente no perfil turbulento.

Fig. 28 Perfis de velocidade laminar e turbulento.

Com a solução para o perfil, tem-se então:

2/1

664.0

exf R

C = 2/1

* 721.1

exRx=

δ

Usando a definição do coeficiente friccional,

22/1

2664.0UR

C p

exf ρ

τ==

tem-se:

2/1

2/32/12/1332.0x

Up

µρτ =

Portanto, a tensão cai ao longo da placa, e aumenta para maiores velocidades na potência 3/2. O arraste na placa é obtido de:

∫ ==x

p xUbdxxbxD0

2/12/32/12/1664.0)()( µρτ

O coeficiente de arraste é definido para a placa:

)L(C2R

328.1

bLUρ21

)L(DC f2/1eL2

D ===

Transição para camada limite turbulenta Para números de Reynolds mais elevados, em uma placa placa poderá haver uma transição de escoamento laminar para turbulento. No entanto, não há um único dado valor de número de Reynolds onde isso ocorre. Dependendo do polimento da superfície, ou do estado de repouso do fluido incidente, é possível postergar-se o número de Reynolds de transição para valores até . No entanto, fora de condições laboratoriais, valores realísticos de números de Reynolds de transição estarão normalmente ao redor de

. Essa região da camada limite caracteriza-se pelo surgimento dos primeiros sintomas de turbulência, ocorrendo em alguns pontos indeterminados. Esses primeiros sinais irão em seguida generalizar-se sobre a placa, com a predominância então de turbulência generalizada, como está sugerido na Fig. 29.

6103 XRex ≅

5105 XRex ≅

LAMINAR TRANSIÇÃO TURBULENTO

CAMADALIMITE

Fig. 29 Transição de escoamento laminar para turbulento em placa plana Escoamento turbulento Se no regime laminar o escoamento processa-se de forma ordenada, após o surgimento das primeiras flutuações de velocidade, característico da transição, logo depois o movimento fluido adquire uma característica totalmente turbulenta, vale dizer, tridimensional, não-permanente, aleatória. Dentro da camada limite turbulenta, muito próximo da parede, existe uma sub-camada com características próximas da camada laminar. A razão disso é que as flutuações das velocidades das partículas na região mais próxima da parede terão sempre os movimentos normais à parede amortecidos e atenuados pela presença da parede. No entanto, o movimento fluido é muito complexo e desafia uma descrição precisa. A existência de uma sub-camada laminar dentro da turbulenta pode ser percebida e

conceituada. Ainda assim, representa uma parte muito pequena da camada limite turbulenta. Não há nenhum modelo analítico completo para equacionamento do problema hidrodinâmico dentro de uma camada limite turbulenta, mesmo no caso mais simples de placa plana. Conforme mencionado, nos escoamentos turbulentos as velocidades e pressões passam por flutuações aleatórias mais ou menos rápidas, funções do tempo e espaço. Conforme o modelo proposto por Osborne Reynolds (1895), o interesse reside nos valores médios das velocidades e pressões em escoamentos caracterizados por altos números de Reynolds. A Fig. 30 ilustra esse conceito e reitera as características médias temporais, definidas para períodos de tempo maiores que os períodos característicos das flutuações.

Fig. 30 Flutuações da velocidade no tempo. Assim, de acordo com a Fig. 30, as médias são representadas com traço horizontal sobre o símbolo pertinente. Por exemplo, para a velocidade média horizontal:

∫=T

udtT

u0

1

a velocidade fica definida como uma soma: uuu ′+= onde u′ representa a flutuação que se superpõe à média. A flutuação da velocidade tem média zero:

∫ =−=−=′T

uudtuuT

u0

0)(1

mas a média quadrática é diferente de zero:

∫ ≠′=′T

dtuT

u0

22 01

Em geral, também são diferentes de zero as flutuações médias do tipo puvu ′′′′ , em fluxos turbulentos característicos, uma vez que a flutuação de sinais negativos e positivos fica quebrada pelo produto das flutuações. Generalizando esses conceitos, definem-se então:

uuu ′+= vvv ′+= www ′+= ppp ′+=

Substituindo-se esses termos na equação da continuidade e tomando as médias temporais:

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu

que tem forma igual à equação para escoamento laminar. Mas na equação de Navier-Stokes, depois de tomar as médias temporais, restam termos médios, mais três produtos médios de velocidades flutuantes. Na direção principal:

)( 2uxu

xg

xp

dtud

x ′−∂∂

∂∂

++∂∂

−= ρµρρ

)( vuyu

y′′−

∂∂

∂∂

+ ρµ

)( wuzu

z′′−

∂∂

∂∂

+ ρµ

Os três termos adicionais, do tipo produto de flutuações )( 2u′ρ , )( vu ′′ρ , )( wu ′′ρ são denominadas tensões turbulentas, porque têm a mesma dimensão de tensões, e também porque aparecem imediatamente à direita das tensões equivalentes ao regime laminar. Na realidade, esses termos adicionais são termos de acelerações convectivas (notar a presença nesses termos da massa específica ρ ) e não tensões. Mas são universalmente denominados na literatura de tensões. Formalmente, constituem-se em incógnitas adicionais, uma vez que não são conhecidas de antemão. Usualmente são tratadas experimentalmente, visando relacioná-las com o problema em questão. Dessas análises experimentais decorre que dentro da camada limite a

tensão )( vu ′′ρ , associada à principal tensão tangencial média yu∂∂µ é dominante. Assim, é

aplicável a aproximação, na direção principal do escoamento:

yg

xp

dtud

x ∂∂

++∂∂

−=τρρ

onde: turblamvuyu ττρµτ +=′′−∂∂

=

Fig. 31 Distribuições de tensões e velocidades junto à parede em camada limite turbulenta

A Fig. 31 representa resultados experimentais típicos. Correspondem a distribuições de lamτ e turbτ dentro de camada limite turbulenta. Tensões laminares são dominantes em região reduzida mais próxima à parede, na sub-camada laminar, a região interna, e tensões turbulentas são dominantes na região da camada limite turbulenta mais exterior à parede, a região externa. Logo acima da finíssima sub-camada laminar coexistem as duas características, sendo denominada região de superposição. Esses resultados experimentais sugerem formas específicas para aproximações aplicáveis para perfis de velocidades dentro de camadas limites turbulentas, conforme será tratado logo adiante. Após essas considerações, deixamos de empregar a barra horizontal sobre as variáveis, com o entendimento de que valores médios estão sendo considerados. Em seguida, note-se que Prandtl (1930) observou ser boa hipótese de que dentro da sub-camada laminar deve ser independente da espessura de camada limite,

u1)/( <<δy , sendo então função de:

),,,( yfu p ρτµ= . Por análise dimensional, isso é equivalente a:

)(*

* νyuF

uuu ==+

onde, para substituir a grandeza adimensionalizadora U, que não é parâmetro relevante

nessa região interna, Prandtl propôs a chamada velocidade de fricção: 2/1* )(ρτ pu = . Essa

expressão é conhecida como lei da parede, ou lei interior, a qual estabelece que junto à parede a velocidade adimensional é função apenas de um número de Reynolds referido à velocidade de fricção e à distância y da parede. É usual tomar essa lei em sua forma linear:

ν

*

*

yuuuu ==+

Pouco depois, Karman (1933) deduziu que na região externa:

),,,()( yguU pext ρτδ=−

Novamente, por análise dimensional:

)y(Gu

uU* δ

=−

denominada na literatura lei do deficit de velocidade, aplicável na região externa. Diferentes experimentos com escoamentos externos turbulentos sobre corpos mostraram que ambas as leis de velocidades, a da parede e a do deficit, são boas representações em suas regiões de aplicação. Elas são diferentes na forma, e no entanto elas devem ajustar-se suavemente na camada intermediária, a região de superposição. Em 1937, C. B. Milikan mostrou que isso só ocorre se a velocidade na região de superposição variar logaritmicamente com : y

B)yuln(1uu *

* +=νκ

onde as constantes são determinadas experimentalmente. Esses valores são determinados para paredes lisas como sendo: 5.5B;41.0 ==κ .

Fig. 32 Verificação experimental das leis de velocidade para camadas limite

turbulentas.Escala vertical é *uuu =+ . Horizontal:

νyuRe

*y =

Com esses valores: 5.5)yu(Log75.55.5)yuln(5.2uu *

10*

* +=+=νν

A lei acima é chamada lei de ajuste logarítmico. A Fig. 32 apresenta as três leis de velocidade plotadas contra o logarítmo de y. A lei da parede aplica-se a não mais que 2% da espessura característica da camada limite. Considerando para a lei exterior um gradiente de pressão pouco significativo, resulta que a lei de ajuste logarítmico pode ser estendida, sem grandes comprometimentos, de forma a representar todo o perfil de velocidades turbulento. Na parte mais exterior da camada limite, δ=y e Uu = , logo:

BuuU

+= )ln(1 *

* νδ

κ

Notando que:

2/1* )2(

fCuU

≡ e 2/1*

)2

( fe

CRu

δνδ

≡

resulta a lei friccional para fluxos turbulentos em placas planas:

0.5])2

(ln[44.2)2( 2/12/1 +≅ fe

f

CR

C δ

Na Tabela 4 estão apresentados valores de para valores definidos de usando-se a lei friccional acima:

fC δeR

δeR 410 510 610 710

fC 0.00493 0.00315 0.00217 0.00158

Tabela 3: Coeficiente friccional para diferentes valores de δ . eR

Prandtl aproximou esses pontos por uma lei de potência, do que resultou: . Outra aproximação, mais adotada, também devido a Prandtl, é a chamada lei de potência um sétimo, que foi proposta para representar perfis turbulentos para fluxos de números de Reynolds não muito altos:

6/102.0 −≅ δef RC

7/1)()(

δy

Uu

turb ≅

Com essa aproximação, a espessura de momentum, já definida, pode ser obtida:

∫ =−≅δ

δδδ

θ0

7/17/1

727])(1[)( dyyy

Como dxdC fθ2=

resulta:

)727(202.0 6/1 δδ dx

dRC ef == −

ou: dxdReδ

δ 72.96/1 =− , que é equivalente a: )()(1

6/1ex

e

e RdRd

Rδ

δ

= , a qual pode, por seu turno, ser

reescrita como: . )()( 6/1δδ eeex RdRRd =

Integrando:

6/7

76

δeex RR =

ou, equacionando para : δeR

7/616.0 exe RR =δ o que permite expressar, então, para a espessura de camada limite:

7/1

16.0

exRx=

δ

Assim, a espessura da camada limite turbulenta cresce na função , bem mais rapidamente que a laminar (Blasius), . A partir da expressão da espessura, os outros parâmetros da camada limite podem ser derivados:

7/6x2/1x

7/1

027.0

exf R

C ≅ ; 7/1

7/137/67/1

,0135.0

xU

turbpρµτ ≅ ; )(

67031.0

7/1 LCR

C fex

D == ; 81*

=δδ

Influência do gradiente de pressão Na placa plana não há gradiente de pressão. No cilindro circular há gradiente favorável na

frente, enquanto que à ré há gradiente adverso ( 0>dxdp ). Para corpos delgados, como por

exemplo no caso de um perfil delgado de asa, o ponto de separação não passa por mudanças significativas quando a rugosidade ou velocidade se alteram. Mas certamente quando o gradiente de pressão é suficientemente grande a camada limite deflete-se ou separa-se da parede, como indicado na Fig. 33.

Fig. 33 Escoamento uniforme sobre perfil com separação de camada limite.

Isso produz uma região de escoamento reverso, com engrossamento da camada limite e conseqüente perda de recuperação de pressão, isto é, uma maior resistência de pressão do que aquela que existiria se não houvesse separação, onde a vorticidade não seria tão marcante. A localização do ponto de separação irá depender do número de Reynolds. Essa dependência irá apresentar dificuldades significativas de escala de modelos para protótipos sempre que não ocorrer reprodução integral do adimensional (o que é comum em experimentos). Na Fig. 33, B denota o ponto de estagnação frontal, BC é a região do dorso do perfil sobre a qual a pressão diminui, e em Ct aumenta. Quase sempre existe uma região Bt onde o escoamento é laminar, estendendo-se pouco além do ponto C, após o qual o gradiente adverso começa. Para números de Reynolds suficientemente grandes, flutuações turbulentas intermitentes aparecem na camada limite. Imediatamente após essa região de transiência, toda a camada limite torna-se turbulenta. Perfis de velocidade típicos para essas diferentes regiões estão mostradas na Fig. 34.

• Logo após transição

• Em região depressão crescente

• Na separação

• Próximo a ponto deestagnação frontal

• Próximo a ponto demínima pressão

• Próximo a ponto deseparação

Fig. 34 Perfis de velocidades laminar e turbulento com separação

Ocorre separação em superfícies não planas quando a quantidade de movimento cai contra o efeito crescente adverso da pressão.

Para na equação da quantidade de movimento junto à parede: 0== vu

ydx)x(dU)x(U

yuv

xuu

∂∂

+=∂∂

+∂∂ τ

ρ1

com

yu∂∂

= µτ (laminar)

'' vuρ

yuµτ −∂∂

= (turbulento)

resulta em:

dxdp

dxdUU

yu

y paredeparede

=−=∂∂

=∂∂ ρµτ

2

2

para qualquer camada limite, laminar ou turbulenta. Essa equação, interpretada geometricamente, estabelece que para gradiente adverso:

00 2

2>

∂

∂⇒>

paredeyu

dxdp mas 02

2

<∂∂

=δyyu (máximo)

logo, passa por inflexão em algum y entre 0 e δ . Consequentemente, o perfil deve ter forma de S. A Fig. 35 ilustra as diversas configurações.

Fig. 35 Diferentes perfis diante de gradiente de pressão. A teoria de camada limite vai só até o ponto de separação. Daí em diante, é inválida.

Equação integral para superfícies com 0)(≠

dxxdU

Para placa plana foi estabelecido que:

dxdC

U fp θ

ρτ

==21

2

Independentemente da forma do corpo, em se tratando de escoamento bidimensional, separação ocorre para:

0)( 0 =∂∂

=yyu

com a condição necessária:

0)( 02

2

>∂∂

=yyu

Essa condição, obviamente, pode ser relacionada ao gradiente de pressão, sendo que, na parede, onde u = v = 0 , como visto na seção anterior, tem-se:

xp

yu

y ∂∂

=∂∂

=02

2

µ

Integrando-se a equação de quantidade de movimento na direção normal, ou seja, através da espessura da camada limite:

∫∫∫ ∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ δδδ

νρ 0 2

2

00

1)( dyyudy

xpdy

yuv

xuu

A pressão fora da camada limite é regulada pela equação de Bernoulli: .21 2 cteUp +−= ρ

Assim, o gradiente de pressão é:

dxdUU

xp ρ−=∂∂

Portanto, reagrupando termos, tem-se:

ρτ

ννν δ

δδ pyy y

uyudy

yudy

dxdUU

yuv

xuu −=

∂∂

−∂∂

=∂∂

=−∂∂

+∂∂

==∫∫ 00 2

2

0)()()(

Deve-se observar que o termo do meio na integral à esquerda do sinal de igualdade pode ser alterada para:

∫∫∫ ∂∂

−∂

∂=

∂∂ δδδ

000

)( dyyvudy

yuvdy

yuv

δδ δδδ00 000 ]Uv[dy

yvudy

yvUdy

yvu]uv[ =

∂∂

−∂∂

=∂∂

−= ∫ ∫∫

Considerando-se que a equação da continuidade estabelece que:

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

fazendo-se uso dessa expressão, resulta para a integral anterior:

∫∫∫ ∂∂

+∂∂

−=∂∂ δδδ

000dy

xuudy

xuUdy

yuv

Substituindo esse resultado na equação do balanço de quantidade de movimento:

∫ ∫ ∂∂

−−∂∂

+∂∂

=−δ δ

ρτ

0 0)( dy

xuUdy

dxdUU

xuu

xuup

∫ −∂∂

−∂∂

=δ

0)2( dy

dxdUU

xuU

xuu

∫ ∫ −−−∂∂

−=δ δ

0 0)()]([ dyuU

dxdUdyuUu

x

∫ ∫ −−−−=δ δ

0 0)()( dyuU

dxdUdyuUu

dxd

Tendo em conta as definições de espessuras de momentum e de deslocamento, respectivamente:

∫ −=δ

θ0

)1( dyUu

Uu

∫ −=δ

δ0

* )1( dyUu

obtém-se:

dxdU

UH

dxdC

U fp θθ

ρτ

)2(21

2 ++==

O termo mais à direita corresponde à influência do gradiente de pressão no balanço da quantidade de movimento dentro da camada limite. O parâmetro H pode ser interpretado

como um indicador local da reserva de quantidade de movimento antes da separação. Está definido como:

)()()(

*

xxxH

θδ

=

sendo que quanto maior seu valor, mais próximo estará o ponto de separação. Método de Polhausen Polhausen propôs método para computar as características de camadas limite laminares bidimensionais em presença de gradiente de pressão, baseado na hipótese de que o perfil de velocidades pode ser dado como um polinômio do quarto grau:

432 )()()()(δδδδydycybya

Uu

+++=

A condição em é satisfeita porque não há termo independente no polinômio do quarto grau. As quatro condições de contorno requeridas são obtidas de :

0=u 0=y

Em dxdUU

xp

yuy −=

∂∂

=∂∂

=ρ

ν 1:0 2

2

Em 0;0;: 2

2

=∂∂

=∂∂

==yu

yuUuy δ

Introduzindo o parâmetro: dxdU

νδ 2

=Λ determinam-se:

61;

22;

2;

62 Λ

−=Λ

+−=Λ

−=Λ

+= dcba

Sendo δy

=η , verifica-se que a expressão do perfil de velocidade é:

)()()( ηηη GFfUu

Λ+==

sendo:

3432

43

)1(6

)33(61)(

22)(

ηηηηηηη

ηηηη

−=−+−=

+−=

G

F

Assim, a tangente ao e a curvatura do perfil de velocidade na camada limite são obtidas:

)]41()1[(6

)462( 232 ηηηηη

−−Λ

++−=ddf

])16

(12)[1(2

2

Λ−−Λ

−= ηηηd

fd

Mas, em 6

2)(:0 0Λ

+==η

ηddf

Logo, o perfil de separação 0)( 0 =ηddf ocorre para 12−=Λ . Esse é o menor valor de Λ . O

maior valor será obtido da condição de curvatura zero: 02

2

=ηd

fd , o que implica em:

16

12

−Λ

Λ

=η . Notar que para 1,12;1,12 <>Λ≥≤Λ ηη . Então, para , o ponto de

inflexão ocorre em

12>Λ

1=η , isto é, a velocidade fica maior que a do escoamento potencial, o que não tem base física. Então, 1212 ≤Λ≤− . Notar que 0=Λ corresponde ao perfil de

Blasius. A Fig. 36 apresenta diferentes perfis para diferentes valores de δ

η y= .

Fig. 36 Perfis para diferentes valores de

δy

Para diferentes valores de pode-se calcular: Λ

)6

2()( 0Λ

+=∂∂

= = δµµτ U

yu

yp

120103)]()(1[

1

0

* Λ−=Λ−−= ∫ ηηη

δδ dGF

907294531537)]()(1)][()([

21

0

Λ−

Λ−=Λ−−Λ+= ∫ ηηηηη

δθ dGFGF

Se as expressões obtidas para são substituídas na equação de balanço de quantidade de movimento dentro da camada limite, e fazendo substituições adequadas, obtém-se a equação de Polhausen:

*,, δθτ p

)()(1 2

2

Λ+Λ=Λ h

dxdUdx

Ud

gdxdU

Udxd

onde:

2

32

76.512.2138.092.3732.13366.7257)(

Λ−Λ−Λ+Λ+Λ−

=Λg

2

32

76.512.2132.092.112.213)(

Λ−Λ−Λ−Λ−Λ

=Λh

Para progredir, há que resolver numericamente a equação de Polhausen para uma dada

função (obtida de escoamento invíscido) dxdU , a partir do ponto de estagnação frontal,

onde .0;0 >=dxdUU

Considerando definição alternativa, seja:

dxdU

νθλ

2

=

e como dxdU

νδ 2

=Λ segue que Λ= 2)(δθλ . Portanto, a equação de Polhausen pode ser

escrita tendo λ como variável, ao invés de Λ . Definindo νθ 2

=z , tal que dxdUz=λ , a

expressão que resulta é:

UF

dxdU

dxUd

dxd

dxdz )(2

22

λνθλ

=−

=

onde:

λλλλ )](2[2)(2)( 12 ffF +−= sendo:

θδλ

µθτ

λ*

12 )(;)( == fU

f p .

A função )(λF , que é não-linear, está apresentada na Fig. 37 em linha cheia, função (1). Como reta tracejada, está apresentada a chamada aproximação de Thwaites, função (2). Essa aproximação propõe para a função uma forma linear bakF +−=)(λ , sendo que, nesse caso, a equação de Polhausen simplifica para:

Ubz

Udxdu

adxdz

=+)(

Fig. 37 Simplificação de Thwaites

Thwaites identificou para a reta os coeficientes 6=a e 45.0=b . A solução geral da equação linear acima é:

∫+=x

dxUUU

U0

56

6020

2 45.0)( νθθ

quando se faz a consideração (pouco usual) de tomar 00 ≠θ em . O método de Thwaites é uma boa aproximação entre os pontos de estagnação frontal e o ponto de velocidade máxima. De acordo com essa aproximação, separação

0=x

)0( =fC ocorre em valor particular de 09.0: −=λλ . Adicionalmente, Thwaites correlacionou valores

adimensionais da tensão cisalhante θµθτ

efp RCU

S21

== com λ , e o resultado pode ser

aproximado por:

62.0)09.0()( +≅= λµθτ

λU

S p

Os resultados aproximados do método de Thwaites dão em torno de 10% de precisão comparados com resultados de integração numérica das equações do movimento. Como teste para as soluções de Polhausen e Thwaites, pode-se verificar essas aproximações para placa plana )0.,,0( 0 ====Λ θλ constU . Para Polhausen:

2/1)(685.0Uxνθ =

Empregando a aproximação de Thwaites, obtém-se:

2/1)(671.0Uxνθ =

A aproximação de Polhausen corresponde a erro de 3% contra a solução exata de Blasius, cujo resultado, como deduzido anteriormente, é:

2/1)(664.0Uxνθ =

A solução linear de Thwaites está na margem 1% da solução de Blasius. No entanto, vale dizer que para escoamentos de caráter geral a aproximação de Thwaites tende a ser mais pobre que a de Polhausen. Corpos imersos: análise experimental A teoria de camada limite apresentada na seção anterior não é capaz de descrever adequadamente o escoamento viscoso além do ponto de separação. Na realidade, não há nenhuma teoria geral para as forças atuando em corpos arbitrários em números de Reynolds quaisquer. A experimentação segue sendo o mecanismo fundamental de obtenção de dados relevantes à análise do desempenho de corpos imersos em fluidos viscosos. Para fins de classificação introdutória, distingue-se:

1. Arraste em corpos 2D e 3D • rombudos • delgados

2. Desempenho de superfícies de sustentação • aerofólios • hidrofólios • projéteis • sistemas alados

Em princípio, para corpos rígidos (não sujeitos a distorções) seis graus de liberdade podem ser especificados, três translações e três rotações. É usual a nomenclatura inglesa: surge, sway, heave para os deslocamentos lineares , e roll, pitch, yaw para os angulares ,, zyx

),, ψθφ . Considerando-se corpos com simetria em relação ao plano diametral, é evidente que não há alteração nos valores triviais de ),, θφy quando o corpo desloca-se com velocidade apenas na direção coincidente com o eixo longitudinal do corpo. Configuração ainda mais simples ocorre quando o corpo apresenta simetria em relação a z. Nesse caso, não há surgimento de força de sustentação. Só há arraste. Tipicamente, essa é a situação de leme não-fletido em presença de escoamento uniforme incidente (fluxo ao longo da corda).

A lei de variação do coeficiente de arraste é )()( eD RfC = , onde νVLRe = , sendo L =

corda, e AV

DCD2

21 ρ

= . A área característica pode variar, segundo a conveniência do caso

em análise. Usualmente: Frontal – cilindros, esferas, corpos pouco carenados Planar – asas, fólios Molhada – cascos de navios, submarinos, barcaças, etc. Em se tratando de corpos com espessura, o arraste total fica composto de duas contribuições caracteristicamente distintas: o arraste friccional e o arraste de pressão. A separação é definitivamente o grande problema. Por isto, placa plana tem resultados teóricos excelentes. A teoria de camada limite discutida anteriormente pode prever o ponto de separação com muito boa precisão, mas não a distribuição de baixa pressão na região separada. Na realidade, a diferença entre a alta pressão na estagnação frontal e a baixa pressão na região separada na parte de trás do corpo cria uma grande contribuição ao arraste, chamada arraste de pressão viscosa, tal que é usual a decomposição: PVFD CCC += onde representa efeitos tangenciais e descreve os efeitos normais à parede do corpo. A forma do corpo é preponderante no balanço dessas contribuições, especialmente a sua

FC

PVC

espessura. A Fig. 38 apresenta resultados de medições, para 610==νVcRe , do arraste em

cilindros bidimensionais de formas carenadas de diferentes relações t/c (espessura/comprimento).

Fig. 38 Frações do arraste para corpos carenados (

ctxCD ).

De acordo com a Fig. 38, para t = 0 o corpo é uma placa plana e apresenta arraste 100% friccional. Quando a espessura iguala-se ao comprimento (ou corda), que eqüivale a um cilindro circular, o arraste friccional é apenas 3% do total. Os arrastes friccional e de pressão são iguais na espessura t/c = 0.25. A Fig. 39 ilustra o enorme efeito do escoamento separado na parte posterior de um cilindro circular. As pressões medidas tanto para escoamentos laminares como turbulentos são apresentados em forma adimensional. Adicionalmente, o coeficiente de pressão determinado por meio de teoria potencial é mostrado por linha tracejada. O resultado teórico corresponde à superposição de escoamento retilíneo uniforme com um doublet na

origem: θρ

2

2sen41

21

−=−

= ∞

V

ppC p . Os resultados são muito diferentes. O escoamento

laminar é muito vulnerável ao gradiente de pressão adverso, e separação ocorre para . Como ilustrado na Fig. 39(a), uma esteira espessa se forma, do que decorre uma

pressão baixa por uma ampla região, e o arraste torna-se grande,

082=θ.2.1=DC No escoamento

com camada limite turbulenta a separação é postergada até , a esteira é mais fina, a pressão não fica tão baixa, resultando em um arraste 75% menor, Vale notar ainda que no caso de fluido ideal, onde não há arraste friccional em decorrência da ausência de viscosidade, a distribuição das pressões na região frontal do cilindro repete-se na região posterior, resultando em cancelamento completo das forças de pressão sobre o corpo. Esse resultado (distante da observação física) é referido na literatura como paradoxo de d’Alembert.

0120=θ.3.0=DC

Fig. 39 Escoamento em torno de cilindro circular. Separação laminar e turbulenta.

A Fig. 40 apresenta resultados experimentais de arraste total em cilindros circulares para diferentes valores de números de Reynolds. Vale notar a grande queda que se verifica no arraste quando o escoamento na camada limite passa pela transição de laminar para turbulento, devido ao deslocamento do ponto de separação, mencionado no contexto da discussão da Fig. 39.

Transição paracamada limiteturbulenta

Esfera

Cilindro (bi-dimensional)

Fig. 40 Arraste em cilindro bidimensional e esfera para diferentes números de Reynolds.

Analogamente, para escoamentos sobre esferas também se observa a camada limite laminar mais suscetível à separação que o turbulento. A Fig. 41 apresenta fotos obtidas para uma bola de boliche de D = 8.5 polegadas submetida a escoamento uniforme de água a V = 25 ft/Seg. Na segunda fotografia o escoamento foi artificialmente levado ao regime turbulento

pela adição de papel adesivo com grãos de areia. No regime laminar a separação se dá para e No regime turbulento, e 080=θ .5.0=DC 0120=θ .2.0=DC

Fig. 41 Escoamentos laminar e turbulento sobre bola de boliche.

É relevante notar que o escoamento produzido por um cilindro circular em presença de escoamento incidente uniforme pode apresentar um caráter oscilatório. Aproximadamente na faixa de números de Reynolds a liberação de vórtices na parte posterior do cilindro não ocorre concomitantemente em cima e embaixo, mas sim de forma alternada, o que tende a imprimir um regime periódico ao escoamento, e o surgimento de vibração induzida por vorticidade produzida pela alternância da ação da força hidrodinâmica transversal à direção do escoamento incidente. Strouhal (1878) estudando experimentalmente o comportamento de arames submetidos à ação de vento, observou que

esse fenômeno é caracterizado pelos adimensionais e

72 1010 << eR

eRVDSt π

ω2

= , o segundo

denominado, em deferência a seus estudos pioneiros, número de Strouhal. A Fig. 42 apresenta resultados experimentais das freqüências das oscilações resultantes para

diferentes números de Reynolds, as quais ocorrem na média para 21.02

≅=VDSt π

ω .

Fig. 42 Número de Strouhal contra número de Reynolds.

O escoamento produzido pela liberação alternada de vórtices pode ser observado na Fig. 43.

Fig. 43 Visualização de escoamento a jusante de corpo rombudo. Referências bibliográficas Batchelor, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press, 1974 Hoerner, S.F., Fluid Dynamic Drag, Publicado pelo autor, Midland Park, NJ, 1965 Hoerner, S.F., Fluid Dynamic Lift, Publicado pelo autor, Midland Park, NJ, 1969 Kochin, N.E., Kibel, I.A., Roze, N.V., Theoretical Hydromechanics, Interscience Publishers, 1965 Newman, J.N., Marine Hydrodynamics, MIT Press, 1977 Schlichting, Boundary Layer Theory, 7ª ed., McGraw-Hill, New York, 1979 Shames, I.H., Mecânica dos Fluidos, Ed. E. Blucher, 1973 Streeter, V.L., Fluid Mechanics, McGraw Hill Book Co., 1976 White, F.M., Fluid Mechanics, 4ª edição Yuan, S.W., Foundations of Fluid Mechanics, Prentice Hall Inc., 1967